Mesure des grandeurs physiques

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1 es buts de cet amphi Compredre la sigificatio physique du formalisme mis e place Mesure des gradeurs physiques Quelle est l iformatio acquise lors d ue mesure? Formulatio du pricipe 3, d abord sous ue forme «faible», puis sous sa forme «forte» Exploiter le lie etre «quatités physiques» et «opérateurs» Chapitre du chapitre 4 Valeurs propres et foctios propres, résolutio de l équatio de Schrödiger Mesures de positio et d impulsio Particule poctuelle de foctio d ode Desité de probabilité pour la positio = : x = x dx iterférece d électros (Hitachi) 1. x a mesure des gradeurs physiques : Mesure d impulsio, par exemple par ue expériece de temps de vol positio, impulsio, éergie, TF (p) dp = (p) dp (p p x ) p = p (p) dp qui s écrit aussi (isométrie + dérivatio) : p = i d dx dx

2 Structure commue e termes d opérateurs a mesure d ue gradeur physique Valeur moyee de la positio x = [ˆx ] dx = h ˆx i : multiplicatio par x ˆx x Pricipe 3 (versio «faible») À toute gradeur physique, o peut associer ue «observable»   : opérateur liéaire hermitie agissat das l espace des foctios d ode Valeur moyee de l impulsio p = [ˆp ] dx = h ˆp i ˆp ˆp x : dérivatio par rapport à x (à près) ˆp i d dx Si o prépare u grad ombre de systèmes idetiques tous das l état et qu o mesure A sur chacu, la moyee des résultats vaut Z i hai = hâ dx = h  i Rappel du produit scalaire «aturel» das : Z h 1 i = 1 dx Opérateur hermitie : h 1  i = hâ 1 i ce qui etraîe e particulier que hai est réel Commet costruire l opérateur associé à A? positio quatité physique actio de l opérateur associé sur multiplicatio par ( r) impulsio ˆp x = i x ˆp y = i y ˆp z = i z ˆ p = i ˆp =. éergie totale E = p m + V ( r) Hamiltoie Ĥ = ˆp m + V (ˆ r) = m + V ( r) Valeurs propres et foctios propres d u opérateur momet ciétique opérateur momet ˆ = = r p ciétique ˆ r ˆ p z = xp y yp ˆz x = x y i y x

3 Défiitio géérale exemple de l opérateur impulsio est ue foctio propre de l opérateur A, associé à ue O dit que quatité physique A, si cette foctio est pas idetiquemet ulle et si = a A Valeurs propres q et foctios propres p x q =q p q =q d q iq = dx e ombre aα (même dimesio que A) est la valeur propre associée à q de l impulsio p = d : i dx q q q = C eiqx/ es foctios propres de l impulsio sot les odes plaes. e spectre de l impulsio (esemble de ses valeurs propres) est l esemble des ombres réels R. Théorème spectral : e dimesio fiie, u opérateur hermitie (du type de ceux qui sot associés aux gradeurs physiques) est diagoalisable : o peut former ue base de l espace de foctios avec ses vecteurs propres. Subtilités avec otre espace de foctios, qui est de dimesio ifiie... es foctios propres de l hamiltoie V e puits carré ifii Foctios qui vot jouer u rôle crucial pour étudier l évolutio des systèmes H m d E dx + V E =E E E =E E H E =E E pour simplifier les otatios: (à ue dimesio) a résolutio de cette équatio passe e gééral par u traitemet umérique. E x Il existe cepedat quelques cas solubles aalytiquemet : potetiel harmoique potetiel coulombie potetiel costat par morceau Sadwich de Al Ga As Ga As Al Ga As coditios aux limites : cotiue

4 es valeurs propres de l éergie du puits carré ifii Si o choisit E réelle égative : pas de solutio Pour E réelle et positive : posos k = m = E (à vérifier e exercice) es «états statioaires» du puits carré ifii es foctios propres de l hamiltoie s écrivet doc = E = ~ k /m me/ = s écrit alors si(k x) k Normalisatio : Forme géérale des solutios : imite e x = :! () = imite e x = :! () = = si(kx) + cos(kx) k = / dx = 1 = / esemble des forme ue «base» orthoormée de l espace des foctios d ode telles que () = () = = orthoormalité : si(k) = avec dx =, si(k) = développemet d ue foctio d ode sur cette «base» : + es vecteurs d ode k e peuvet predre que des valeurs discrètes : k = k = = 1,,... = m Émissio de lumière par u puits quatique E E1 = = 1,,... =1 C = 1 similaire à u développemet d ue foctio périodique e série de Fourier Bila pour le puits carré ifii E = E1 =1 et les valeurs propres pour l éergie sot «quatifiées» : E = + C E3 itrure de gallium E m E si( x/) E1 x Ordres de gradeur u électro das u puits quatique de largeur = =1 couches atomiques E1 =6 couches atomiques m E1 = 1 mev u ucléo (proto ou eutro) das u oyau de diamètre = m E1 = 1 MeV Photo: P. Reiss/CEA

5 Préambule 1 : lie etre «résultats de mesure» et «valeurs propres» 3. e résultat de la mesure de A est certai (ou prédétermié) si et seulemet si l état est u état propre de l observable A Preuve du ses direct de l équivalece Quatité physique A, décrite par l observable A : Si discret (ce qui exclut l opérateur «impulsio») Base orthoormée de foctios propres pour tout = C E E1 O s itéresse à la mesure d ue quatité physique A! sur ue particule préparée das l état Quels résultats pour ue mesure idividuelle? Spectre de valeurs propres a E3 dx = : avec, C = 1 Préambule 1 (suite) =, alors le résultat de la mesure de A est certai. a = [A a = [A ] dx = ] dx = a [a ] dx = a a = a ( a ) = Par exemple, u état propre de l hamiltoie est u état d éergie bie défiie. Préambule : qu atted-o d ue mesure? Preuve du ses réciproque de l équivalece O suppose que la particule est das u état tel que la quatité A est «bie défiie» : pas de fluctuatios des résultats de mesure a = Alors, a = [A ] dx a mesure d ue quatité physique fourit u ombre (ou u esemble de ombres) qui apporte ue iformatio sur le système étudié. Tailles d ue populatio : taux d apparitio est état propre de A avec la valeur propre a. taille Démostratio : = = (A [(A [(A a ) = a ) ] dx a ) ] [(A a ) ] dx A = a Coclusio : le résultat de la mesure de A est certai si et seulemet si l état de la particule est u état propre de A. e résultat est la valeur propre associée. Pour que l iformatio fourie e soit pas factice, il faut que les mesures d ue même quatité (ici la taille d u idividu doé) à deux istats «très proches» doet le même résultat. «très proches» : l état du système évolue pas de maière sigificative etre les deux mesures.

6 Quel est l état de la particule après ue mesure? Exemple d ue mesure d éergie das u puits E 3 E E 1 état iitial = C à l istat t 1 à l istat t mesure de l éergie : résultat ε# Quelles sot les valeurs possibles de ε? Quel est l état après mesure? Pour que le résultat à l istat t soit avec certitude égal à ε, il faut (cf. préambule 1) que: (i) ε soit ue des valeurs propres E de l opérateur éergie cf. préambule : ue ouvelle mesure de l éergie sur le même système à u istat t «très proche» de t 1 doit doer avec certitude le résultat ε# (ii) le système soit das u état propre de l opérateur éergie à l istat t mesure à t 1 :! es résultats possibles pour ue mesure idividuelle Si o mesure la quatité physique A, les seuls résultats de mesure possibles sot les valeurs propres de l opérateur.  Si la particule est avat la mesure das l état propre de Â, alors le résultat est avec certitude la valeur propre a α. Si la particule est avat la mesure das u état quelcoque = C avec C =1 alors le résultat sera aléatoiremet ue des valeurs propres a α. Quelle est la loi de probabilité correspodate? Cette loi se déduit de : a = [ ] dx =...= C a a = [ ] dx =...= C a oi de probabilité pour a α : p = C Versio forte du pricipe de la mesure O s itéresse à la mesure d ue quatité physique A, d observable  Valeurs propres a α et foctios propres orthoormées ψ α de  Avat la mesure : = C Pricipe 3 (versio «forte»)  =a a α supposée ici o dégéérée avec C =1 e résultat a d ue mesure idividuelle de la gradeur physique A est écessairemet ue des valeurs propres a α de  a probabilité p α de trouver le résultat a α est p = C Juste après ue mesure ayat doé le résultat a α, la foctio d ode de la particule est Qu appred-o das ue mesure? Ue mesure idividuelle, sur ue particule doée, doe u reseigemet sur l état du système après mesure : icou = C  appareil de mesure (classique) 1 O e peut pas, avec cette seule mesure, recostruire l état O sait seulemet que était pas ulle p p = C a 1 a a 3 a foctio d ode est modifiée de maière irréversible par la mesure : «réductio du paquet d odes» Si le résultat est α, l état après cette mesure est : =

7 Qu appred-o das ue mesure (II)? Si o dispose de N particules préparées das le même état icou, o peut e effectuat ue fois la mesure de A sur chaque particule détermier les probabilités p α# icou appareil a α1" p 1 =N 1 /N de mesure (classique) a α" p =N /N = C 1 a α3" p 3 =N 3 /N 4. Etats propres de l hamiltoie et résolutio de l équatio de Schrödiger À partir de p = C, o peut recostruire (au mois partiellemet) i t = Ĥ Ĥ = ˆp + V (ˆx, t) m O se limite ici au cas où V e déped pas du temps : V (ˆx, t) =V (ˆx) Évolutio d u état quelcoque es états propres de l hamiltoie sot des «états statioaires» O détermie les états propres de l hamiltoie : Ĥ =E es états formet ue «base» de l espace des foctios d ode Si o prépare la particule das u de ces états à t = : alors la solutio de l équatio de Schrödiger à l istat t est (x, ) = Foctio d ode iitiale de la particule : (x, ) = Alors la foctio d ode à l istat t vaut : (x, t) = C C e ie t/ (x, t) = e ie t/ a probabilité de présece évolue pas : (x, t) = Démostratio : le (x, t) proposé est-il solutio de i = Ĥ (x, t)? t i = C E e ie t/ t = i ie C e ie t/ Ĥ (x, t) = C Ĥ e ie t/ = a résolutio d u problème de mécaique quatique commece presque toujours par la détermiatio des foctios propres de l éergie. C E e ie t/ et il e va de même pour la valeur moyee de toute quatité physique a (t) = (x, t)[â (x, t)] dx = [Â ] dx U état d éergie bie défiie est pas «e mouvemet»!

8 e chat de Schrödiger e rôle de la mesure Pricipe de superpositio : si et sot des foctios d ode «éligibles», alors l est aussi. Électro das l expériece des trous d Youg : «passé das le trou de gauche» ET «passé das le trou de droite» O ouvre la boîte et o regarde l état de saté du chat Ue chace sur deux de le trouver e vie Y avait-il moye de prévoir ce qui allait arriver? No! il e s agit pas d ue probabilité classique comme das u tirage à «pile OU face» e dispositif diabolique de Schrödiger : Après u temps bie choisi : Quad le chat meurt-il? Tat qu o a pas fait la mesure, l état du système (chat+ atome+ cyaure) est ue superpositio cohérete des deux situatios «vivat» ET «mort» : o pourrait e pricipe recostruire ψ () ET quatique OU classique a décohérece Pour u système macroscopique, couplé à l eviroemet, la cohérece quatique etre les états «vivat» et «mort» disparaît très rapidemet : ET quatique décohérece OU classique Quels sot les plus gros objets sur lesquels o va pouvoir observer le «ET» quatique? iterféreces de grosses molécules (virus?), cohérece quatique das des boucles de supracoducteurs (SQUID), importace pratique cosidérable pour le développemet de futurs «ordiateurs quatiques»