Notes de cours d électrostatique (classes préparatoires) Exercices et examens corrigés. Zouhaier HAFSIA. Saliha NOURI

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1 Insttut épaatoe au Etudes d Ingéneus El-ana Ecole Supéeue des Scences et Technque de Tuns Notes de cous d électostatque (classes pépaatoes) Eecces et eamens cogés Zouhae HAFSIA Insttut épaatoe au Etudes d Ingéneus El-ana Salha NUI Ecole Supéeue des Scences et Technque de Tuns Année unvestae 9-.

2 Tables des matèes Notes de cous Chapte I - CHAGE ET INTEACTINS ELECTSTATIQUES... Chapte II - CHA ET TENTIEL ELECTSTATIQUES....7 Chapte III- THEEE DE GAUSS 7 Chapte IV - LE DILE ELECTSTATIQUE.8 Eecces cogés Calcul de la foce et du champ électostatques cées pa des chages ponctuelles. 5 Calcul dect du potentel et du champ électostatque cées pa une dstbuton contnue de chages.9 Calcul du champ et du potentel électostatque cées pa une dstbuton contnue de chages à pat du théoème de Gauss.56 Eamens cogés Eamen ESSTT..68 Eamen IEI-El ana Eamen IEI-El ana 8..8 Annee : Systèmes des coodonnées à aes othogonau..88

3 Notes de cous d électostatque

4 Chapte I I- INTDUCTIN CHAGE ET INTEACTINS ELECTSTATIQUES L'électostatque est la banche de la physque qu étude les phénomènes (champ et potentel électostatque) céés pa des chages électques statques pou l'obsevateu. Les foces électostatques sont déctes pa la lo de Coulomb qu pésente une cetane analoge avec l nteacton gavtatonnelle. I- LA CHAGE ELECTIQUE I-. Défnton La chage électque d une patcule est une gandeu scalae (algébque) qu caactése les actons électomagnétques subes ou eecée pa la patcule. La chage électque joue dans l nteacton électostatque le même ôle que joue la masse (scalae postve) dans l nteacton gavtatonnelle. Les epéences d électsaton montent qu l este deu classes de patcules chagées : deu patcules chagées d une même classe se epoussent alos que deu patcules chagées appatenant à des classes dfféentes s attent. a conventon, l une des classes sea dte chagée postvement, l aute chagée négatvement. Ans, s le poton est affecté d une chage postve et l électon d une chage négatve, aucune consdéaton physque ne peut justfe ce cho qu n a aucune ncdence su la théoe de l électomagnétsme. I-. Quantfcaton de la chage A l échelle mcoscopque, l epéence monte (llkan, 9), monte que la chage électque vae de façon dscontnue et se pésente pa unté sous fome de quantté ben détemnée. n dt qu elle est quantfée. Sa valeu est un multple ente d une chage qu on peut pende comme chage élémentae, notée e. C est la valeu absolue de la chage de l électon e,69-9 C. Les patcules élémentaes, consttuants de la matèe, ont pou chages: - électon : q -e - l,6-9 C - poton : q + e l,6-9 C - neuton : la chage est nulle. L unté de la chage est le coulomb C dans le SI. (KSA). C est la quantté de chage tanspotée pa un couant de Ampèe pendant seconde (Q I t). C 6,5 8 e C est un nombe élevé de patcules. Dans la patque, on utlse le mc et le μc. Notons, qu à l échelle macoscopques (gand nombe de chage élémentaes) la natue dscontnue de la chage n a plus de sens : la chage électque paaît ête une gandeu susceptble de vaaton contnue. I-. Invaance de la chage électque Le pncpe de consevaton de la chage est des pncpes fondamentau de consevaton qu sont à la base de la physque, tels que la consevaton de l énege, de la quantté de mouvement, du moment cnétque,... La chage totale d un système n est pas modfée pa sute du mouvement des chages. La lo de consevaton de la chage est valable en elatvté, c est-à-de même s la chage se

5 déplace à une vtesse poche de celle de la lumèe. n dt que la chage électque est une gandeu qu est consevée : c est un nvaant elatvste. Des epéences ont pems de monte que la valeu de la chage d un électon ne dépend pas de sa vtesse : la valeu est donc la même pou un obsevateu en mouvement pa appot à la chage. Ce n est pas le cas de toutes les gandeus physques : l énege est consevée mas n est pas un nvaant elatvste. I- LI DE CULB U INCIE FNDAENTAL DE L ELECTSTATIQUE Nous commenceons pa analyse l nteacton électostatque (foces et champ) dans le cas de chages ponctuelles. a chages ponctuelles nous voulons sgnfe que les dmensons des chagées sont pettes pa appot à la dstance qu les sépae ; ce n est donc qu une déalsaton mathématque d un système physque. La généalsaton de ces notons au cas d une dstbuton contnue de chages sea fate dans le chapte II. I-. Enoncé de la lo de Coulomb Consdéons dans le vde, deu chages ponctuelles q et q, fées en et. Les deu chages statonnaes q et q eecent l une su l aute une foce popotonnelle à chacune des chages et nvesement popotonnelle au caé de la dstance qu les sépae. La foce électostatque est dgée suvant la dote qu jont les chages (fgue I-). Elle attactve s les chages sont de sgnes contaes (fgue I--a), épulsve losque les chages sont de même sgne (fgue I--b). F F F q F q u q q < q u q q > Fgue I--a Fgue I--b La foce F eecée pa q su la chage q s éct : qq F K u (I-) où est la dstance ente q et q et u le vecteu untae défn pa : u Confomément au pncpe de l acton et de la éacton, la foce F eecée pa q su la chage q est égale et opposée à F : F F Les foces F et F sont potées pa la dote qu jont les chages q et q. C est une caactéstque que l on peut eplque en évoquant le pncpe d sotope : dans un unves vde, aucune decton ne peut ête pvlégée pa appot à une aute, toutes les dectons sont équvalentes. La pésence de deu chages ponctuelles détut cette sotope en ntodusant une seule decton pvlégée, la dote jognant les chages.

6 La constante de popotonnalté est lée au untés choses pou epme la foce, la longueu et la chage. Dans le système d untés ntenatonal (S.I.), sous sa fome atonalsée, K s éct : 9 K 9 SI ( V m / C) où est la pemttvté du vde et a pou valeu : 8, 854 F m I-. Valdté de la lo de Coulomb La lo de Coulomb est valable pou des chages au epos où à la lmte en mouvement elatf lent. Elle est auss valable dans le vde et appomatvement dans l a. La lo de Coulomb este valable pou les tès gandes dstances dans le domane mcoscopque : jusqu à -5 m, ode de gandeu des dmensons du noyau atomque. Cette lo n est pas valable pou des dstances nféeues à -5 m (dmenson du noyau atomque). Dans ce dene cas, l sea nécessae d utlse la mécanque quantque pou l étude du compotement des patcules sous l effet des foces coulombennes. Dans d autes mleu lnéaes homogènes et sotopes (l.h..), l nteacton électostatque est ben décte pa la lo de Coulomb à condton de emplace pa une constante dfféente qu tent compte de l nfluence du mleu (ses caactéstques électques ). s appelle la pemttvté délectque du mleu et l on pose dans ce cas / où est la pemttvté délectque elatve du mleu (quantté sans dmenson). I-. Analoge avec l nteacton de gavtaton Deu ponts matéels de masse m et m, placées espectvement en et eecent l un su l aute une foce de gavtaton ; la foce F g eecée pa m su m est : u F g G mm (I-) ù G est la constante de gavtaton unveselle. La foce de gavtaton a la même fomulaton mathématque que la foce électostatque : elle est potée pa la dote qu jont les masses m et m et nvesement popotonnelle au caé de la dstance qu sépae les deu masses. Nous veons au chapte suvant les popétés qu découlent de ces deu caactéstques et qu seont donc applcables au foces de u gavtaton. C est pouquo on appelle les foces de la fome k, foces coulombennes. as elles sont toujous attactves. D apès le cous de mécanque du pont, la foce de gavtaton joue un ôle fondamental dans la mécanque des objets macoscopques et dans la dynamque céleste. Cependant, à l échelle atomque et subatomque, la foce de gavtaton est néglgeable. A tte d eemple, compaons la foce de gavtaton qu s eece ente l électon et le poton d un atome d hydogène à la foce électostatque s eeçant ente eu. La dstance qu sépae l électon de masse m e 9, - kg du poton de masse m p,7-7 kg est envon 5 - m. 9 e 9 (,6 ) 8 F e 9 9 N (5 ) 7 mem p (9, )(,7 ) 47 F g G 6,7 4 N (5 )

7 La foce électostatque est 9 fos supéeue à la foce de gavtaton. n peut alos s étonne du fat que dans note ve quotdenne, nous ne essentons pas de manfestatons de ces foces énomes d ogne électque. L estence de deu types de chages de sgne contae, mas de même valeu absolue condut à des foces de épulson et d attacton et la neutalté électque de la matèe assue une compensaton ente ces foces. a conte les foces gavtatonnelles ben que d ntensté fable, podusent des effets sgnfcatfs ca elles sont toujous attactves. n peut magne ce qu entaîneat un lége ecès d électons su deu pesonnes dstantes de un mète : s chacune d elle pote un pou cent de plus d électons que de potons, elles eeceaent ente elles une foce capable de souleve la tee toute entèe. I-4 INCIE DE SUESITIN Consdéons tos chages ponctuelles q, q et q fées espectvement en, et (Fgue I-). q F q > F F q < Fgue I- Quelle est la foce F que subt la chage q placée en pésence des chages q et q? La lo de Coulomb pemet de calcule la foce F sube pa la chage q losqu elle est unquement en pésence de q. n peut de la même manèe calcule F, foce sube pa q losque seule q est en pésence de la chage q. L epéence monte que la foce F subt pa q losqu elle est en pésence des deu chages q et q est la somme vectoelle des foces F et F : F q q q q F + F + (I-) 4 Π Ce ésultat est véfé quel que sot le nombe de chages en pésence. La foce F sube une chage q placée en, en pésence de n chagées q, q,..., q,...,q n fées en,,...,,..., n est la somme vectoelle des foces dues à l nteacton de chacune des chages avec q, calculées sépaément : F n F q n q Cette epesson epme le pncpe de supeposton. la foce totale F due à un ensemble de chages est la somme vectoelle de l effet de chaque chage pse ndvduellement. Ce qu suppose que la foce s eeçant ente deu chages n est pas modfée pa la pésence d une tosème chage. Il y a donc ndépendance des effets : la (I-4) 4

8 soluton est smplement la somme des solutons calculées pou chaque couple de chages. Il en ésulte que les équatons de l électostatque sont des équatons lnéaes. Le pncpe de supeposton s applque au phénomènes électomagnétques : les équatons de awell, équatons de base de l électomagnétsme sont des équatons lnéaes. Cependant, l ne faut pas en dédue que c est un pncpe généal en physque. En effet, le pncpe de supeposton ne s applque pas toujous ; pa eemple, dans le domane atomque ou subatomque, des effets quantques de natue électomagnétque, non lnéaes peuvent appaaîte. I-5 LE CHA ELECTSTATIQUE Consdéons la foce F défne pa (I-4). Dvsons l epesson (I-4) pa la chage q. Nous obtenons une gandeu vectoelle qu dépend de la stuctue des n chages et de la poston du pont : cette gandeu est appelée le champ électostatque, E ( ), cée au pont pa le système de chagées q, q,..., q,..., q n fées en,,...,,..., n. E( ) F q u et n n q 4 q u Π Le champ électostatque E ( ) qu ésulte de F est la somme vectoelle des champs E ( ) cées pa les chages q : n (I-5) E( ) E ( ) (I-6) où E ( ) est le champ cée en pa la chage q ponctuelle placée en (Fgue I-) q q u E ( ) (I-7) Π 4 Nous venons de défn une gandeu vectoelle, foncton du pont, caactéstque du système de chages q, q,..., q,...,q n, souces du champ E. En chaque pont de l espace, on fat coesponde un vecteu E, foncton du pont consdéé (Fgue I-). E ( ''') E ( ) E ( '') q > E ( ') Fgue I- 5

9 L ensemble des vecteus E consttue un champ de vecteus. Le champ E étant détemné, la foce F que subt une chage q placée en un pont est donnée pa la elaton : F q E( ) (I-8) L ntoducton du champ E aboutt à une nouvelle descpton de l nteacton électostatque. Nous avons emplacée l acton à dstance contenue dans la lo de Coulomb pa la noton de champ électostatque, gandeu locale. Au leu de consdée les chages q et q en pésence nteagssant pa l ntemédae de la foce de Coulomb : Chage q en Chage q en soumse à F q n q n epme le champ E cée pa la chage q dans tout l espace entouant cette chage. Ce champ este ndépendamment du fat qu l este ou non une aute chage q en pésence de la chage q, souce du champ E. La foce F sube pa q placée en ésulte de l estence en ce pont d un champ électostatque : Chage q en : n souce du champ E( ) electostatque q Agt su la chage q : F q E I-6 CNCLUSIN Le champ électostatque cée en un pont pa une chage ponctuelle q placée en est : q q u E( ) où : u et Le champ E ( ) pésente deu caactéstques : La pemèe ésde dans le fat que E ( ) est de la fome f ( ) u, popété que nous eploteons dans le calcul de la cculaton de E et qu condua à la défnton du potentel électostatque. La deuème caactéstque est la fome de f(), en, popété que nous eploteons dans le calcul du flu de E et qu condua au théoème de Gauss. Les ésultats que nous u obtendons seont valables pou tout champ de la fome f ( ) u, en patcule le champ de gavtaton. 6

10 Chapte II CHA ET TENTIEL ELECTSTATIQUES II- INTDUCTIN Le potentel électostatque V() assocé au champ électostatque E ( ) est une foncton scalae contaement à E. Nous veons, dans beaucoup de cas, que le potentel sea un ntemédae commode dans le calcul du champ vectoel E ( ). Le potentel se attache physquement à la noton d énege potentelle, d où son appellaton. II- CICULATIN DU CHA ELECTSTATIQUE : LE TENTIEL ELECTSTATIQUE II-. otentel électostatque a) Cas d une seule chage ponctuelle Consdéons une chage ponctuelle q (>) fée en et un pont de l espace (fgue II-) : A E( ) q u d B Fgue II- La chage ponctuelle q fée en cée en tout pont de l espace un champ électostatque donné pa : q q u E( ) avec u : vecteu untae dgé de ves. La cculaton élémentae dc du champ E coespondant à un déplacement élémentae d du pont su la coube AB est : q dc E. d u. d (II-), d d( ) d( u) d u + du et d. u ( d u + du). u d + du. u usque : d ( u. u) u. du ; on a : d. u d La cculaton élémentae dc s éct alos : 7

11 dc q d q d( ) (II-) osons alos, dc E. d dv ( ) V est le potentel électostatque V() cée pa la chage q fée en : q V ( ) V ( ) + cste (II-) Nous venons de défn un nouveau champ, le potentel électostatque ; c est un champ scalae défn à une constante pès. n chost en généal la valeu de la constante de telle sote que le potentel sot nul losque le pont est nfnment élogné de la chage : V ( ). Dans ce cas, la constante est nulle et le potentel s éct : q V ( ) V ( ) (II-4) Comme le champ E, le potentel V n est pas défn au ponts : E ( ) et V( ) ne sont pas défns. b) Cas d une dstbuton de n chages ponctuelles Soent n chages ponctuelles q, q,..., q,...,q n fés au ponts,,...,,..., n. Sot un pont de l espace. (fgue II-). A E n d B q n q q q Calculons la cculaton élémentae dc du champ dc E. d dv ( ) q q u Avec E ( ) et u Ans, le potentel électostatque V () dû à la chage q. q V ( ) avec: Fgue II- E cée pa la chage q seule : Le potentel V() dû à l ensemble des n chages est la somme des potentels en applcaton du pncpe de supeposton : 8

12 V ( ) n V ( ) n q (II-5) Dans cette elaton, nous avons chos la constante nulle pou chaque potentel V cée pa la chage q ; cec n est pas valable que s les chages q sont épates dans un volume fn. II-. elaton ente champ et potentel électostatque Le potentel électostatque a été défn à pat de la cculaton élémentae du champ E : dc E. d dv, dv gadv. d d où la elaton ente E et V : E( ) gadv ( ) : elaton locale (II-6) Le champ électostatque E déve du potentel scalae V. a l ntemédae de cette elaton locale, qu le le champ électostatque E et le potentel électostatque V, la connassance de V en un pont de l espace sufft pou la détemnaton de E ( ). Cette elaton mplque des condtons de contnuté et de dévablté su la foncton V(). Unté : l unté du potentel électostatque dans le système KSA est le Volt (V). D apès la elaton qu le le champ électostatque E et le potentel électostatque V, l unté du champ électostatque est le Volt pa mète (V/m). II-. opétés La cculaton C AB du champ E le long du contou AB est B B C AB E. d dv V ( A) V ( B) A A q (II-7) A B La cculaton du champ de vecteu E, le long de AB, est donc égale à la dfféence de potentel V A V B. Ans, la connassance de E ne défnt que les dfféences de potentel. ou avo le potentel en un pont, l fauda défn une ogne abtae des potentels. Il est commode de chos le potentel nul à l nfn quand la dstbuton de chages est lmtée à un domane fn. La cculaton du champ de vecteu E, le long de AB est ndépendante de la fome du contou AB ; elle ne dépend pas du chemn suv (la cculaton élémentae dc est dfféentelle totale eacte). En conséquence la cculaton de E est nulle le long de tout contou femé. Le champ E est un champ de vecteus à cculaton consevatve qu déve d une foncton scalae appelée potentel électostatque. En ésumé : B C AB E. d dv V ( A) V ( B) E. d E gadv (II-8) AB A 9

13 II-.4 Topogaphe d un champ électque a) Lgnes de champ ou avo une dée su l allue du champ E, on tace les lgnes de champ, c est à de les coubes tangentes en chaque pont au vecteu E défn en ce pont. Ces coubes sont oentées pa conventon dans le sens du vecteu E (fgue II-). Sot un pont d une lgne de champ et d le vecteu déplacement élémentae su une lgne de champ (Fgue II-). E usque E et d sont colnéaes, on a : E d E (II-9) d Cette elaton pemet d obten les équatons des lgnes de champ. Dans le système de coodonnées catésennes, posons : E E + E j E k et d d + dy j + dk d E y + La elaton (II-9) condut à : dy d (II-) E E y Fgue II- Eemple de lgnes de champ Sot une chage ponctuelle en. les lgnes du champ cée pa la chage ponctuelle sont des dem-dotes concouantes en, dvegentes s q > (fgue II-4-a) et convegentes s q < (fgue II-4-b). (a) (b) q > q < Notons que dans une égon où le champ E est un vecteu ben défn et non nul, on peut suve de façon contnue une lgne de champ Deu lgnes de champ ne peuvent se cose : la fgue II-4 monte que les lgnes de champ commencent (fgue II-4-a) ou s aêtent (fgue II-4-b) su les chages qu sont des ponts sngules. b) Tube de champ Fgue II-4 L ensemble des lgnes de champ s appuyant su un contou femé consttue un tube de champ (Fgue II-5). Fgue II-5

14 c) Suface équpotentelles Ce sont des sufaces d équaton V cste, c est à de d égal potentel (Fgue II-6). D apès la elaton E gadv, le champ E est nomal au sufaces équpotentelles et dgé ves les potentels décossants (sans le sgne mons dans cette elaton, E est dgé ves les potentels cossants). Nous avons epésenté su la fgue II-6 les sufaces équpotentelles et les lgnes du champ E cée pa une chage ponctuelle postve. Les sufaces équpotentelles sont des sphèes centées en, pont où se touve la chage. La decton de E, c est à de du gadent de V est la decton de la nomale au sufaces équpotentelles, celle où V vae le plus apdement ; l est cla que pou passe de la valeu V à la valeu V, le chemn le plus cout est le segment AB. C B V < V A V (q > ) Lgnes de champ Sufaces équpotentelles Fgue II-6 emaque Losqu on a un système de pluseus chages, on ne peut pas obten les lgnes de champ pa supeposton des lgnes du champ de chacune des chages. Il faut calcule le champ total E et ensute tace les lgnes de champ. II-.5 Sgnfcaton physque du potentel électostatque Concédeons une chage q en soumse à un champ électostatque E ( ) due à une cetane dstbuton de chages dscontnue (fgue II-7). La foce électostatque F qe entaîne un déplacement de la chage q (placée en ) d un pont à un pont. Fgue II-7 La foce électostatque est consevatve. Elle déve donc d une énege potentelle U telle que : du dw ( F) F. d osons : F op F q d E

15 Nous avons ntodut la foce F op pou avo un moyen d amene la chage q du pont au pont, qu n entaîne pas de poducton d énege cnétque. L opéateu déplace tès lentement la chage q avec une foce telle qu elle équlbe la foce électostatque qu s applque à la chage : F op F. Ans, un tel déplacement appelé quas-statque n entaîne aucune poducton d énege cnétque. Dans une telle stuaton, le taval podut en amenant la chage de à se pésente sous fome d énege potentelle. Ans, du epésente le taval qu un opéateu dot applque à la chage q conte la foce électostatque F pou déplace la chage q de d. du F op. d qe. d dw op (II-) ou amene la chage du pont au pont, on a : ΔU q E). d q dv q( V ( ) V ( )) U ( ) U ( ) ( Le taval de la foce F op ne dépend pas du chemn suv, l ne dépend que de la poston ntale et de la poston fnale. Il s ensut que le taval de F op losque la chage q est déplacée le long d un contou femé est nul, ésultat que nous avons obtenu pou la cculaton de E. W op q E. d consevaton de l énege le champ E est consevatf. op Epmons le taval W que l opéateu dot foun pou amene la chage q de l nfn au pont. Sachant que V ( ) : op W qe. d qv ( ) qv ( ) U ( ) (II-) U() est l énege potentelle de la chage q placée au pont où le potentel est V(), d où le nom potentel et la justfcaton du cho du sgne mons dans la elaton de défnton : E gadv. U ( ) qv ( ) : énege potentelle de la chage q placée en un pont où le potentel est égal à V(). L énege potentelle est défne à une constante pès. Il en est de même pou le potentel. Il faut donc un pont de éféence. Epémentalement, seules les dfféences de potentel sont accessbles. II- DISTIBUTIN CNTINUE DE CHAGES - DENSITE A l échelle macoscopque, le nombe de chages élémentaes est s mpotant que la natue dscontnue de la chage n a plus de sens; l en est de même pou la masse pusqu l ne nous est pas possble de décele les potons et les électons à l échelle macoscopque. Cec nous pemet de consdée que la épatton de chages dans la matèe est contnue. II-. Densté lnéque de chage S la chage est concentée su un système flfome, on défnt une densté lnéque de chages λ(), à pat de la chage dq poté pa un élément dl du fl, entouant le pont : (Γ) dl Fgue II-8

16 dq λ dl (II-) La chage totale du fl est donnée pa l ntégale cuvlgne : Q λ dl Γ II-. Densté sufacque de chage Losque les chages sont épates su une couche d épasseu tès fable pa appot au dmensons de la couche, on défnt une densté sufacque de chages () à pat de la chage dq potée pa un élément ds de la suface de la couche, entouant le pont : (Σ) () Fgue II-9 (II-4) dq ds Dans ce cas, la chage totale d une suface (S) est donnée pa s obtent à pat de l ntégale de suface : Q ds S II-. Densté volumque de chage ou déce une dstbuton volumque de chage, on défnt la densté volumque de chages ρ() à pat de la chage dq contenue dans un élément de volume dτ entouant le pont : v ρ() Fgue II- dq ρ dτ (II-5) La densté de chages ρ() est une foncton de pont scalae qu peut sub de gandes vaatons d un pont à l aute de la dstbuton. En effet, la chage est nulle dans l espace vde ente un noyau et un électon et pend une valeu dfféente de éo en un pont stué su le noyau ou l électon. En conséquence ρ() pouat avo des valeus tès dfféentes suvant le cho du volume élémentae dτ. ou que la défnton de ρ() at un sens, c est à de qu elle sot ndépendante de la fome eacte de dτ, l faut consdée un élément de volume dτ qu sot gand pa appot au dmensons atomques, mas tès pett pa appot au dmensons de la dstbuton de chages. Celle-c coespond alos à un système macoscopque et ρ() poua ête consdéé comme une densté volumque de chages, moyennée su le volume dτ. Cette descpton est valable tant que l on s ntéesse à une descpton macoscopque (en opposton à mcoscopque) du système de chages. ou un volume τ, la chage totale s obtent à pat de l ntégale de volume : Q ρdτ τ

17 II-4 CHA ET TENTIEL D UNE DISTIBUTIN CNTINUE DE CHAGES II-4. Intoducton Nous savons détemne le champ et le potentel électostatque cée pa une dstbuton de chages ponctuelles : E( ) q n n E ( ) u n n et V ( ) V ( ) q analogue à l ntégaton numéque Comment calcule le champ et le potentel cées pa une dstbuton contnue? La dstbuton de chages peut ête découpée en éléments de volume ou de suface ou de coube qu potent une chage élémentae dq. Chacune de ces chages élémentaes cée un champ et un potentel électostatques appelés élémentaes. Le champ (ou le potentel) cée pa toute la dstbuton est, pa applcaton du pncpe de supeposton, la somme des chages (ou des potentels) élémentaes cées pa les chages dq. II-4. Dstbuton lnéque n consdèe une poton de coube Γ AB potant une densté lnéque de chage λ (fgue II-8). (Γ) dl u Fgue II-8 Un élément dl entouant un pont pote une chage : dq λ dl Cette chage cée en un champ et un potentel donné pa les epessons suvantes : d dq λ( ) dl dq λ( ) dl E( ) u et dv ( ) avec, u u D où le champ total E ( ) et le potentel V() céés en pa toute la dstbuton lnéque de chage s écvent : dl dl E λ( ) λ( ) ( ) u Π Γ Π (II-6) 4 Γ 4 V ( ) Γ λ( ) dl Γ λ( ) dl Cette denèe elaton n est valable que s le fl est de dmenson fne. (II-7) 4

18 emaque n peut monte que le champ E ( ) et le potentel V() ne sont pas défns en un pont stué su le fl chagé. II-4. Dstbuton sufacque Dans le cas d une dstbuton sufacque de chages, on consdèe une chage dq potée pa un élément de suface ds (fgue II-9). (Σ) () u Fgue II-9 Le champ et le potentel cées en pa dq sont donnés pa : ( ) ds ( ) ds d E( ) u et dv ( ) avec, u u D où le champ total E ( ) et le potentel V() céés pa les chages épates su la suface Σ : ds ds E ( ) ( ) ( ) u Π Σ Π (II-8) 4 Σ 4 V ( ) Σ ( ) ds Σ ( ) ds (II-9) Cette elaton suppose que la dstbuton de chages s étend su une suface de dmenson fn. Dans le cas contae, on chosa comme ogne des potentels un pont à dstance fne. emaque n peut monte que le potentel est défn su la suface chagée et contnue à la tavesée de la suface chagée. Il n en est pas de même pou le champ E qu n est pas défn su une suface chagée. Il subt une dscontnuté à la tavesée de la face chagée. Nous étudeons le compotement du champ E à la tavesée d une suface chagée au chapte III. 5

19 II-4.4 Dstbuton volumque Sot une dstbuton volumque de chages contenue dans le volume v ; ρ() est la densté volumque de chages en un pont du volume v (fgue II-). v u ρ() Fgue II- La chage contenue dans l élément de volume entouant le pont dτ est : dq ρ ( ) dτ Cette chage cée en un champ d E et un potentel dv comme le feat une chage ponctuelle dq placée en (Fgue II-) : dq dq d E( ) u et dv ( ) avec, u u et dq ρ ( ) dτ D apès le pncpe de supeposton, le champ total E ( ) céé pa la dstbuton est la somme des contbutons d E( ) : d d E ρ( ) τ ρ( ) τ ( ) u Π v 4 Π (II-) v 4 Il faut donc calcule une ntégale de volume pou obten le champ E ( ) alos que le potentel est obtenu à pat de l ntégale de volume : ρ( ) dτ ρ( ) dτ V ( ) v (II-) v Cette elaton suppose que l on a chos le potentel nul à l nfn, donc que la dstbuton de chages s étend su un volume fn. S ce n est pas le cas, l faut chos une aute ogne des potentels. emaque n peut monte que le potentel V et le champ E sont défns en un pont ntéeu à la dstbuton de chages. II-5 Concluson Le champ électostatque peut ête caactésé smplement à l ade d une foncton que nous appelleons potentel électostatque. Cette foncton scalae est souvent plus smple à détemne que le champ électostatque. Cette appellaton sea justfée pa l ntepétaton de cette foncton en teme d énege potentelle d une chage soumse au effets d un champ électostatque. 6

20 Chapte III III- INTDUCTIN THEEE DE GAUSS Dans le calcul de la cculaton du champ électostatque E, nous avons utlsé le fat que E est de la fome f ( ) u et nous avons en dédut la elaton ente le champ E et le potentel V. Nous allons mantenant dédue une équaton du champ E qu dépend spécfquement du fat que f() est en /. Les développements qu suvent s applquent donc au champ de la fome u /. III- FLUX DU CHA ELECTSTATIQUE III-- Cas d une chage ponctuelle a) Flu élémentae Sot une chage ponctuelle q> placée en et un pont de l espace (fgue III-). n u α d S q > ) dω Fgue III- ds Le champ E ( ) céé pa q en est : q u E( ) avec, u / et Sot ds un élément de suface entouant le pont ; oentons la suface ds (fgue III- ). Le flu élémentae de E à taves la suface oentée est : q u. d S q dφ E. d S dω (III-) Π 4 u. d S u. n où, dω ds : angle solde élémentae sous lequel du pont on vot la suface élémentae. Le sgne de dω dépend de l oentaton de la suface : dω > s α ( u, n) < Π/ dω < s α > Π / 7

21 b) Flu sotant à taves une suface femée Sot une suface femée Σ. n se popose de calcule le flu du champ électostatque E céé pa une chage ponctuelle q à taves la suface femée Σ. lus pécsément on s ntéesse au flu sotant, donc on a chos d oente le vecteu n dans le sens de la nomale sotante à Σ. Deu cas seont envsagés : le cas où la chage q est stuée à l etéeue de la suface Σ et celu où la chage q est stuée à l ntéeu de la suface Σ Nous désgnons pa l ndce les chages stuées à l ntéeu de Σ et pa l ndce e les chages etéeues à Σ. Sot E le champ céé pa q et E e le champ céé pa q e. è Cas : La chage est stuée à l etéeu de Σ Nous pouvons calcule le flu sotant de la suface femée Σ (fgue III-) à pat des flu élémentaes. En effet, taçons un cône élémentae de sommet (où se touve la chage etéeu à Σ, q e ) et d angle solde d Ω. Ce cône découpe su la suface Σ deu sufaces élémentaes ds en et ds et. Soent n et n ' les vecteus sotant des sufaces ds et ds. L angle solde sous lequel du pont on vot les sufaces élémentaes oentées ds et ds, a la même valeu absolue, mas de sgnes opposés à cause de l oentaton du vecteu nomal n pa appot à u (fgue III-) : u n' E e n u ds ds q e dω (Σ) Fgue III- u. n u. n' d Ω (III-) ds dω' ds' ' S on consdèe le flu du champ E e céé pa la chage q e stuée en, sotant des sufaces ds et ds, d apès (III-) et (III-), on obtent : ' qe qe dφ + dφ dω + dω' ou obten le flu de E e sotant de la suface Σ, Φ e E e. d S, on peut balaye toute la suface Σ à l ade de cônes élémentaes tels que celu de la fgue III-. Chacun de Σ 8

22 ces cônes ntecepte su la suface Σ une pae de sufaces élémentaes ds et ds telles que leu contbuton au flu total, d Φ + dφ'. n en conclut que le flu du champ électostatque cée pa une chage ponctuelle stuée à l etéeu d une suface femée Σ, sotant de la suface Σ est nul : Φ e E e. d S (III-) Σ ème Cas : La chage est stuée à l ntéeu de Σ Sot (C) le cône élémentae de sommet et d angle solde dω (fgue III-). (C) u n E ds q n' u' dω ds dω (Σ) Fgue III- Dans ce cas, l angle solde sous lequel du pont on vot ds est égal à l angle solde sous lequel de on vot ds : d Ω dω' d où dφ dφ' dφ. Ans, la pae de suface élémentae ds et ds découpées pa un cône élémentae de sommet (ou se touve la chage q ) donne une contbuton d Φ + dφ' au flu total, non nulle. Le flu élémentae dφ cée pa E à taves une suface élémentae ds (fgue III- 4) est donnée pa : u n ds q dφ E. d S dω Le flu total sotant de Σ est la somme des flu élémentaes dφ : q Φ dω Σ q dω (Σ) Fgue III-4 9

23 Σ Ω d est l angle solde sous lequel du pont, on vot la suface femée Σ ; Ω est donc l angle solde sous lequel du pont on vot tout l espace : Ω 4Π d où : q Φ Le flu du champ électostatque céé pa une chage ponctuelle stuée à l ntéeu d une suface femée Σ, sotant de la suface Σ est égal à : q Φ E. d S (III-4) Σ Ans, le flu total du champ électostatque céé pa une chage ponctuelle est : q Φ Φ + Φ Φ e Cette elaton ele le flu à taves une suface femée (Σ) et les échanges à l ntéeue de cette suface. III-- Cas de n chages ponctuelles Consdéons n chages à l ntéeue d une suface femée (Σ) et n e chages stuées à l etéeue de cette suface. Le champ E céé pa les n chages (n n + n e ) est la somme vectoelle des champs céées pa chacune des chages : E n n e E + E e e Le flu du champ E sotant de la suface Σ est : Φ E. d S E + E e. d S Φ + Σ Σ e D apès (III-) et (III-4), on a : q Φ et Φ e d où : n Qnt Φ q avec, Q nt q Le flu sotant de la suface femée Σ est égal à la somme, dvsée pa, des chages ntéeues à la suface Σ : Qnt Φ E. d S q (III-5) Σ avec, Q nt : chage totale ntéeue à Σ Ce ésultat consttue le théoème de Gauss. e Φ e

24 III-- Cas d une dstbuton contnue de chage n peut éce le théoème de Gauss dans le cas où la dstbuton de chages est contnue et décte pa une densté volumque de chages ρ. La chage totale ntéeue à Σ, c est à de contenue dans le volume v lmté pa la suface femée Σ est : Q nt v ρ dτ ù v est le volume délmtée pa (Σ). Dans ce cas le théoème de Gauss s éct, v étant le volume lmté pa la suface (Σ) : Φ E. d S ρ dτ (III-6) Σ v C est l epesson du théoème de Gauss sous la fome ntégale. III--4 Valdté du théoème de Gauss écsons que ce théoème est obtenu à pat de la lo de Coulomb (lo fondamentale de l électostatque). Ce théoème este valable quand les chages sont en mouvement. Le théoème de Gauss est une conséquence : ) de la lo en / égssant les nteactons ente les chages électques ) du caactèe cental des foces électostatques ) du pncpe de supeposton Nous pésentons dans le tableau c-dessous la fomulaton du théoème de Gauss pou le champ électostatque. Souces du champ Champ céé en pa une q u souce ponctuelle placée en E ( ) Flu élémentae Théoème de Gauss dφ Φ Chages q Σ dω E. d S Cependant, ce théoème est également valable pou tous les champs de vecteus de la fome u /, en patcule pou le champ de gavtaton g. q q ou Φ v ρ dτ IIL- SYETIE ET INVAIANCE DE LA DISTIBUTIN DE CHAGE ET CAACTEISATIN DU CHA ET DU TENTIEL n appelle que le calcul du champ électostatque E, cée pa une dstbuton de chage de densté volumque ρ peut ête mené, sot à pat : de la lo de Coulomb : ρdτ E u Π τ 4 du potentel V :

25 V τ ρdτ avec, C E gadv ou E. d où τ est le volume de la dstbuton de chage, et C est un contou femé. du théoème de Gauss sous sa fome ntégale: q E. nds S ù n est la nomale à la suface femée englobant la chage q. III-- Symétes des souces ( causes) et des effets cées : ncpe de Cue Les effets pésentent les mêmes symétes que leus causes. Les éléments de syméte des causes (dstbutons D ou souces) dovent donc se etouve dans les effets ( E et V) poduts. a) Dstbuton de chage pésentant un plan de syméte pa (Π) n dt qu une dstbuton de chage (D) est symétque pa appot à un plan Π, s pou deu ponts et symétques pa appot à Π, on a (fgue III-5) : ρ '( ') ρ( ). ρ() Π I ρ( ) Fgue III-5 ou lluste ce cas, nous penons deu chages dentques q placées en et, où est le symétque de pa appot au plan Π. Sot le symétque du pont pa appot au plan Π. n peut constate su la fgue III-6 que le champ en est le symétque du champ en : E ( ') syme( ) et V ( ') symv ( )

26 E( ) E( ') E ( ) E ' ( ') E ' ( ) E ( ') + + q Π q Fgue III-6 n emaque que les composantes du champ paallèles au plan de syméte E // sont consevées alos que celles pependculaes au plan E sont nvesées : E // ( ') E // ( ) et E ( ') E ( ) En patcule, en un pont du plan de syméte ( ) on a (fgue III-7): E( ) + + q Π q Fgue III-7 E ( ) d où : E ( ) E // ( ) + E ( ) E // ( ) Le champ électque est contenu dans le plan de syméte pae. Dune façon généale tout vecteu polae est contenu dans le plan de syméte pae (fgue III-7). b) Dstbuton de chage pésentant un plan de syméte mpa (Π ) Une dstbuton de chage possède un plan de syméte mpae Π, s pou deu ponts et symétques pa appot à Π, on a

27 ρ' ( ') ρ( ) ou lluste ce cas, nous penons deu chages q et q placées en et, où est le symétque de pa appot au plan Π. E ( ) E( ) E ' ( ) E ( ') E( ') E ' ( ') + - q Π -q Fgue III-8 Sot un pont symétque de pa appot à Π, n peut constate su la fgue III- 8 que le champ en est l opposé du symétque du champ en : E( ') syme( ) et V ( ') symv ( ) A l nvese du cas pécèdent, on emaque su la fgue III-8 que les composantes du champ paallèles au plan de syméte mpa Π sont opposées alos que celles pependculaes au plan sont consevées : E // ( ') E // ( ) et E ( ') E ( ) S appatent au plan de syméte mpae ( ), on aua (fgue III-9) : E( ) + + q Π -q Fgue III-9 n a donc, E // ( ) et E( ) E // ( ) + E ( ) E ( ) Tout vecteu polae est pependculae à un plan de syméte mpae. 4

28 c) Conséquences Los d une opéaton de syméte applquée à la dstbuton de chages (D), le champ électostatque E subt la même opéaton. n dt que le vecteu champ électque est un vecteu polae ou va vecteu. Ce vecteu a les mêmes popétés de syméte que ses souces. Les plans de syméte nous pemettent souvent de touve la decton du champ en un pont. ou touve la decton du champ E en un pont, l sufft de touve : * Sot deu plans de syméte passant pa. Le champ E appatenant à ces deu plans. Il est donc poté pa la dote fomée pa leu ntesecton. * Sot un plan de syméte mpa passant pa. La decton du champ E au pont est donnée pa la nomale au plan de syméte mpae. Les plans de syméte pemettent d obten les composantes du champ E. III-- Invaance de la dstbuton de chage a) Invaance pa tanslaton le long d un ae Les vaables dont dépendent ces composantes sont obtenues en étudant les nvaances de la dstbuton de chages. Dans la plupat des cas nous utlsons des dstbutons déalsées, pa eemple pou calcule le champ E cée pa un fl en un pont de l espace homogène et sotope, tès poche du fl, on peut consdée que le fl est nfn. Consdéons l eemple d un fl ectlgne caactésé pa une densté lnéque λ unfome. S on tanslate le fl paallèlement à lu même d un vecteu T, la nouvelle dstbuton D coïncde avec D (pusque le fl est consdéé nfn et la dstbuton de chage est unfome). (fgue III--a). D Fl tanslaté T T E( ') E '( ) E( ) E( ) D D Fl Fgue III--b Fgue III--a n a : λ '( ) λ( ) D apès le pncpe de Cue, le champ E( ) et le potentel V() sont nchangés en un pont quelconque de l espace homogène et sotope : E '( ) E( ) ou un aute pont quelconque tel que: ' T, on a auss (fgue III--b) : 5

29 E '( ') E( ') Comme une opéaton de tanslaton ne modfe pas le vecteu E ', l vent : E '( ') T ( E( )) E( ) n obtent fnalement E ( ') E( ) et V ( ') V ( ) S une dstbuton de chage admet une syméte de tanslaton, les gandeus physques ne dépendent pas de la vaable décvant ae de tanslaton. S pa eemple, on epèe le pont pa ses coodonnées catésennes (, y, ) et que u (annee ), les elatons pécédentes de E et V s écvent : E (, y, + ) E(, y, ) et V (, y, + ) V (, y, ) Ces elatons dovent ête nvaantes quelque sot : T E ( ) E(, y) et V ( ) V (, y) L estence de cet élément de tanslaton a pems de lmte le nombe de vaables ndépendantes (, y, ) au deu coodonnées et y. b) Invaance pa otaton autou d un ae Consdéons une épatton de chage D de densté volumque unfome ρ pésentant un ae de évoluton, c est à de s on fat sub à cette dstbuton une otaton d angle θ autou de cet ae, la nouvelle dstbuton D coïncde avec la pécédente (la dstbuton este nvaante) (fgue III--a). D D D E' ( ') θ θ E '( ) E( ) E( ) Fgue III--a Fgue III--b n a : ρ '( ) ρ( ) D apès le pncpe de Cue, cette opéaton de syméte pou D l est auss en un pont de l espace homogène et sotope, pou E. S on consdèe un pont quelconque obtenu pa otaton du pont d un angle θ on aua (fgue III--b) : E '( ') E( ') S nous chosssons les coodonnées cylndques (ρ, θ, ) (annee ) et l ae de syméte de otaton de la dstbuton le potentel et le champ électques ne dovent pas dépende de θ ca le système est nvaant los de la otaton : E( ) E( ρ, ) et V ( ) V ( ρ, ) n vot que l estence d un ae de évoluton et le cho appopé du système de coodonnées, ont pems de lmte le nombe de vaables ndépendantes dont dépendent E et V (c a deu ρ et ). 6

30 III-4 CNCLUSIN Le théoème de Gauss établt une elaton ente le flu du champ électque à taves une suface femée et la chage à l'ntéeu de cette suface. Cette elaton a les popétés suvantes : - elle eflète les popétés généales des champs électques et ne se lmte pas au champs électostatques (contaement à la lo de Coulomb); - elle pemet de détemne plus smplement l epesson du champ électostatque céé pa les dstbutons de chages qu pésentent une syméte appopée (sphéque, cylndque, plan, etc.). 7

31 Chapte IV LE DILE ELECTSTATIQUE IV- INTDUCTIN Un dpôle électostatque se défnt pa une épatton patculèe de chages électques telles que le baycente des chages postves ne coïncde pas avec celu des chages négatves (le système est globalement neute). Le dpôle le plus smple est donc un couple de deu chages de sgne opposé dstantes d'une longueu a non nulle. Cette noton est pncpalement utlsée en électomagnétsme et pa sute en chme où cetanes lasons ente molécules peuvent ête eplquées en modélsant ces molécules pa un dpôle (lason hydogène pa eemple). En physque, on s'ntéesse au champ électostatque E () céé en un pont élogné du dpôle (on pale alos de dpôle actf). as on peut auss étude le compotement du dpôle losqu'l est placé dans un champ etéeu (on pale alos de dpôle passf). IV. TENTIEL ET CHA ELECTSTATIQUES CEES A UN DILE ISLE IV-. Défnton Le dpôle électostatque est l ensemble de deu chages électques égales et de sgnes contaes (-q) et (+q) (q > ), (fgue IV-). Ces deu chages sont fées espectvement en deu ponts A et B sépaées d une dstance ( a AB ). n se popose d étude les caactéstques du champ et du potentel électostatque cées pa ces deu chages en un pont tès élognés des chages : a << : appomaton dpolae. u uθ A B A θ B -q u +q p IV-. oment dpolaes électques Soent deu chages ponctuelles q, +q fées espectvement en A et B (q > ). Le moment dpolae électque (ou moment du dpôle) est une gandeu vectoelle défne pa (fgue IV-): p qa + qb q AB Fgue IV- 8

32 p p En désgnant pa a la dstance sépaant A et B, la nome du moment dpolae vaut : qa Le moment dpolae déct la chage et sa géométe. Il pemet de caactése le dpôle. Son unté dans le système Intenatonal (SI) est le Coulomb-mète (C m). IV-. Calcul du potentel électostatque Soent deu chages ponctuelles q, +q fées espectvement en A et B (fgue IV-) dstant de (a). Consdéons un pont tès élognés des chages, ce qu event à consdée la dstance a tès nféeue à celle qu sépae de l une ou l aute chage (la dstance a est agande pou des asons de claté). La poston de est epéé dans le système des coodonnées polaes (, θ). Nous chosssons de pende pou ae (), la dote qu jont les deu chages tel que l ogne sot au mleu du segment AB qu jont les chages ( es l ae de évoluton de la dstbuton). D apès le pncpe de supeposton, le potentel V() céé pa le dpôle en un pont epéé pa ses coodonnées polaes (, θ) est donnée pa : q A qb q q V ( ) V ( ) + ( ) + ( ) A VB B A Π A Π B Π B A avec, * B B B B + B B ( B + ) B + B. + où, ; a a a B et B. cos( π θ ) cosθ on a : a a a B B a cosθ + ( cosθ + ) 4 4 * A A A A + A A ( A + ) +. A + A a a où,. A cosθ et A Ans, a a a A A + a cosθ + ( + cosθ + ) 4 4 Nous avons donc, A A / a a cos 4 a a + θ + et cos A + θ + 4 B B / a a cos 4 a a θ + et cos B θ + 4 / / 9

33 usque a / <<, on a : a /(4 ) << a /, on peut néglge les temes en (a/) devant le teme en (a/) : A + a cos θ / / a B cos θ Etant donné que a <<, on peut développe A et eten que le teme du peme ode ( + ) / +...: a A cosθ B en pussance de (a/) et ne et a + B cosθ d où : a a a B A + cosθ cosθ cosθ Le potentel V() est donc donné pa : qa cosθ p cosθ V ( ) Sot le vecteu poston du pont pa appot au pont (mleu de [A, B]) et p le moment dpolae (fgue IV-). A u θ p B n a : p. p cosθ Le potentel V() s éct donc : p. p. u V ( ) (IV-) Π 4 Fgue IV- Cette epesson qu fat nteven un podut scalae est ndépendante de tout système de coodonnées Il faut emaque que la décossance du potentel en cée pa un dpôle (/ ) est plus apde que dans le cas d une chage ponctuelle qu est en (/).

34 IV-.4 Calcul du champ électostatque IV-.4. Composantes du champ en coodonnées polaes Le dpôle pésente une syméte de évoluton autou de (AB). Le champ électostatque E ( ) est donc contenu dans le plan (, AB) (fgue IV-). E Eθ α E A -q uθ u θ u B +q Fgue IV- D apès le pncpe de supeposton, le champ en est donné pa : E( ) E A ( ) + E B ( ) E u + E θ uθ ( E ) ou calcule les composantes du champ, utlsons la elaton : E( ) gadv ( ) V V avec, gadv ( ) u + θ θ u p cosθ et V ( ) Les composantes du champ dévant du potentel V() s écvent dans le système de coodonnées cylndques : V p cosθ E u u V psnθ Eθ uθ u θ θ θ Π/ Π Π/ E p u E E E E E E E θ E θ p u E E E / θ E θ E 4 E Il faut emaque que la décossance du champ en (/ ) céés pa un dpôle est plus apde que dans le cas d une chage ponctuelle qu est en (/ ). Le module de E ( ) est : p E + cos θ

35 Sot α l angle que fat E avec la adale : α ( E, u ) Eθ tgθ tgα E Notons que les composantes catésennes du champ suvant et y (du plan AB) s écvent : u cos θ + snθ j et uθ sn θ + cosθ j p cosθ psnθ E E + Eθ (cosθ + snθ j) + ( snθ + cosθ j) p p E E + E y (cos θ ) + (snθ cosθ ) j IV-.4. Fomulaton globale du champ E Nous pouvons epme E unquement en foncton de p et de en calculant le gadent de V() : p. p. E( ) gadv ( ) gad gad( p. ) gad Π Π 4 4, En posant : p p + p j p k et + y j + k y + * gad( p. ) gad( p + p y + p ) p + p j + p k p y y * gad 5 D où l epesson ntnsèque de E en foncton de p et de : ( p. ) p E( ) Π 5 4 (IV-5) Les effets électques E et V poduts pa le dpôle sont entèement détemnés pa son moment dpolae p. Il faut emaque que la décossance du potentel en (/ ) et du champ en (/ ) céés pa un dpôle est plus apde que dans le cas d une chage ponctuelle. Notons que les composantes catésennes du champ suvant et y (du plan AB) peuvent ête également obtenues en écvant : p. p cosθ ; cos θ + snθ j et p p Ce qu donne d apès l epesson ntnsèque du champ ndépendante du système de coodonnées : p cosθ p E E + E y ( cosθ + snθ j) ) 5 n etouve donc les composantes calcule à pat des composantes polaes du champ : p p E (cos θ ) et E y (snθ cosθ ) j

36 IV. ACTIN D UN CHA EXTEIEU UNIFE SU UN DILE Consdéons un dpôle A(-q) et B( +q) de moment p placé dans un champ unfome E et tel que ( p, E ) α (fgue IV-4). F B E A Γ α B p -q +q F A u Fgue IV-4 IV-. Foces et moment du couple eecés pa un dpôle Chacune des chages subt une foce donnée pa : F A qe et F B qe usque le champ etéeu est unfome, la ésultante des foces est évdemment nulle (on ne tenda pas compte de la foce eecée pa q su q et écpoquement) : F F A + F B a conte, le dpôle subt un couple de foce ( F A et F B ) dont le moment est : Γ A F A + B F B A ( F B ) + B F B AB F B q AB E Ce qu donne : Γ p E p E snα u (IV-6) avec, u est un vecteu untae de la decton ( ) du epèe (y). Γ est un vecteu pependculae au plan fomé pa p et E. S on lbèe le dpôle, l tend sous l acton de Γ à toune pou attende une poston d équlbe ( Γ ) dans laquelle p et E sont colnéaes : α ( p, E ) ou Π. ou α ( p a le même sens que E ). S on écate légèement le dpôle de sa poston d équlbe, le couple de foce tend à le amene à cette poston (fgue IV-5-a). L équlbe est stable. ou α Π ( p est antpaallèle à E ). S on écate légèement le dpôle de sa poston d équlbe, le couple de foce tend à l élogne de cette poston (fgue IV-5-b). L équlbe est nstable.

37 (a) (b) F A -q A Γ B α # E +q p F B E -q A F B Γ α # π F A B +q p Ans, l acton mécanque pncpale d un champ unfome est qu l tend à oente le dpôle suvant les lgnes du champ E. IV-. Enege potentelle d nteacton du dpôle C est l énege nécessae pou amene +q et q de l nfn à leu poston en B et A. Les chages q et +q fées en A et B ont des éneges potentelles égales à q ( V ' A ) et q ( V ' B ) ). Ans, l énege potentelle d nteacton W assocé au champ etéeu E est : W q ( V ' V B ' A ) Sot V le potentel dont déve le champ E. dv ' E. d B B B V ' A V ' B dv ' E. d E cos d E cos a E. AB A A α α A Ans, W p E pe cosα (IV-7). Fgue IV-5 Cette epesson epésente l énege d nteacton du dpôle assocée au champ E et n a en à vo avec l énege de ntene du dpôle (énege nécessae pou amene une chage de l nfn à une dstance a de l aute). Nous etouvons les postons d équlbe : ou α ( p a le même sens que E ), W pe L énege potentelle est mnmale et l équlbe est stable. ou α Π ( p est antpaallèle à E ), W pe L énege potentelle est mamale et l équlbe nstable. IV-4 Concluson Le champ céé pa un dpôle dans le cade de l appomaton dpolae est popotonnel à / et le potentel à /, alos que pou une chage ponctuelle, le champ céé est popotonnel à / et le potentel à /. 4

38 Eecces cogés

39 Calcul de la foce et du champ électostatques cées pa des chages ponctuelles - Foce électostatque cée pa des chages ponctuelles dentques au sommets d un caé en chaque sommet du caé - Enoncé Quate chages ponctuelles dentques q (q > ) sont fées au sommets A, B, C et D d un caé de côté a. Une cnquème chage q > est mantenue fe au cente du caé. Détemne la valeu de q en foncton de q pou que la foce électostatque totale qu s eece su chacune des cnq chages sot nulle. - Soluton La foce électostatque F () eecée pa les quate chages dentques q su la chage q est nulle quelle que sot la valeu de q. Il este à évalue la foce totale eecée su chacune des chages q, pa eemple la chage placée en A (fgue ). F B F D -q F C A F q B -q -q C D -q D apès le pncpe de supeposton : Fgue 4 q BA CA DA qq F( A) F F B + F C + F D + F + + 4Π BA CA DA 4, * BA CA a Π A A * DA AB + BD a asn, DA a DA * A a Ans, q qq F( A) BA + CA + DA a, et 4 ( ) A q qq F( A) BA CA DA A 4 a + + Π 4 5

40 usque : B C BA + CA ( B + A) + ( C + A) A ; DA A ; q q q A a ( + ) 4 q q q A a ( + ) La foce F (A) est nulle losque : q ( + ) q Ans, + + q q q 4 - Champ électostatque cée pa des chages ponctuelles dentques au sommets d un tangle au cente géométque du tangle - Enoncé Détemne le champ électostatque cée pa tos chages ponctuelles dentques q > placées au sommets d un tangle équlatéal, en son cente géométque G. - Soluton D apès le pncpe de supeposton, on a (fgue ): E ( G) E E A + E B + q AG BG CG + + AG BG CG E C a E C A G q E B, AG BG CG ( AG + BG CG) q E ( G) + BG B q E A Fgue q C Sot, étant un pont quelconque de l espace. AG + BG + CG A + B + C + G ca G A E ( G) 6

41 - Champ électostatque cée pa des chages ponctuelles dentques au sommets d un caé en un pont de l ae passant pa le cente du caé - Enoncé Détemne le champ électostatque céé pa quate chage ponctuelle dentques q placées au sommets d un caé de côté a, en un pont d abscsse de l ae passant pa son cente et pependculae à son plan (fgue ). B a A D α () C - Soluton D apès le pncpe de supeposton, on a : 4 E ( ) E E A + E B + E C + q A B C D A B C D a / A B C D ( + ) q A + B + C + D E( ) A E D Fgue La dstbuton de chages pésente une syméte de évoluton autou de la dote (). Le champ ésultant en n a donc de composante non nulle que suvant cette dote, pa eemple la decton de vecteu untae. q q E ( ) 4 A cosα 4 A 4Π A sot, 4q E( ) a ( + / ) - Cas lmte A l ogne ( ), le champ est nul. En effet, d apès la syméte pa appot à ce pont les champs céés pa les chages s annulent deu à deu. En un pont élogné de l ogne ( >> a), on a : 7

42 8 Fgue 4 a E 4 a q Π q a q E / 4 4 ) ( 4 4 ) ( Π + Π C est le champ équvalent à celu céé en pa une chage Q 4 q concentée en. Son module vae en (fgue 4).

43 Calcul dect du potentel et du champ électostatque cées pa une dstbuton contnue de chages - Segment de dote unfomément chagé avec la densté lnéque - Enoncé Sot un segment AB unfomément chagé avec une densté lnéque λ > (fgue ). n désgne pa le mleu du segment AB. Calcule le champ E cée pa cette dstbuton en tout pont su une dstance a de la médatce de AB et en un pont appatenant au segment AB. (a) j α A B Fgue - Soluton ) Le pont est su la médatce de AB Consdéons les ponts A et B su l ae tel que l ogne sot le mleu de AB (fgue ). Deu éléments de chages dq et dq, centés en deu ponts et symétques pa appot à, céent en des champs électostatques élémentaes espectvement d E et d E. La ésultante de ces champs est potée pa la médatce (), pa eemple l ae y y de vecteu j. d E d E d E (a) α α j A dl B Fgue Le champ électostatque E céé pa l ensemble de la chage potée pa le segment AB est donc, pa ason de syméte, dgé suvant l ae des y. Sot, 9