Analyse Statistique cas des petits nombres

Transcription

1 Analyse Statstque cas des petts nombres Jérôme Govnazzo - CEBG govnaz@cenbg.np3.fr Ecole Jolot-Cure Segnosse 008

2 Analyse statstque cas des petts nombres I. Introducton II. Calcul des probabltés concepts de la théore des probabltés probabltés condtonnelles varables aléatores lo des grands nombres un peu abstrat un peu abstrat III. Analyse statstques estmateurs comportement asymptotque ntervalle de confance un peu plus concret un peu plus concret IV. Applcatons avec des petts nombres cas d une dstrbuton dscrète cas d une dstrbuton contnue analyse statstque cas des petts nombres

3 parte Introducton analyse statstque cas des petts nombres

4 Remarques prélmnares ce cours n est pas donné par un statstcen statstque et probabltés: domanes des mathématques parte ntroducton souvent maltraté par la physque!!! des domanes avec des objectfs dfférents: - mathématques : rgueur formelle parfate - physque : le nombre n est que l nterprétaton d une réalté (le monde : on en attend «seulement» une sgnfcaton suffsante l y a une part de subjectvté ntrnsèque de l nterprétaton (ce qu peut paraître paradoxal pour une scence dte exacte autres cultures, autres langages physcens et statstcens n ont pas le même jargon

5 La physque et la statstque Probabltés : domane des mathématques pures les probabltés permettent de détermner le comportement de varables aléatores à partr des los de dstrbuton auxquelles ces varables obéssent parte ntroducton Statstque : domane des mathématques applquées L outl de base de l analyse statstque est le calcul des probabltés (mse en œuvre des los de probablté la statstque part d une observaton, c est à dre un échantllon de varables aléatores, et cherche à retrouver la lo de probablté correspondante (ou, de façon plus générale, les paramètres de cette lo la statstque donne une nterprétaton de l observaton c est l objet de son utlsaton en physque (nterprétaton de la mesure par l analyse statstque Qu est-ce que la physque? descrpton de la réalté à l ade de théores (ou de modèles confrontaton avec l expérence: ensemble de mesures pour valder ou d nvalder ces théores nécessté de détermner s le résultat d une mesure est sgnfcatf (degré de confance que l on peut lu accorder

6 Objectfs du cours ( subjectvté en amont: modèle physque parte ntroducton subjectvté en aval: nterprétaton de la mesure statstque en dehors des «cas d école», cette subjectvté est donc généralement névtable, au delà de celle nhérente aux statstques écessté d une analyse au cas par cas, à partr d outls de base - Chaque problème est spécfque - Utlser les méthodes les meux adaptées Objectfs: - rappeler quelques concepts fondamentaux de l analyse statstque - llustratons à partr de cas smples

7 Objectfs du cours ( parte ntroducton La statstque, un vaste monde - calcul des probabltés - théore de l nformaton, théore de la décson - varables aléatores, estmatons, régressons - erreurs et ncerttudes Calcul des probabltés - bases - probabltés condtonnelles - dstrbutons courantes Analyse statstque - constructon d un estmateur - ntervalle de confance

8 Objectfs du cours (3 parte ntroducton les fables statstques des exemples concrets les grands nombres tous devent gaussen Ce qu ne sera pas traté c Les tests d hypothèses théore de la décson Les régressons? type mnmsaton outls d analyses famlers et robustes: PAW / ROOT (Mnut!

9 La mesure et l erreur Précson ou exacttude? parte ntroducton mesure juste mesure précse mas mprécse mas nexacte Erreur statstque, erreur systématque statstques ncerttude lée au caractère aléatore des grandeurs mesurées un plus grand nombre de mesure rédut cette ncerttude systématques l l n y a pas de théore pour les erreurs systématques! elles provennent prncpalement des technques expérmentales, susceptbles d ntrodure des bas chaque cas est partculer, et les erreurs systématques ne sont pas abordées c

10 parte Calcul des probabltés Quelques concepts de base de la théore des probabltés Probabltés condtonnelles Varables aléatores Lo des grands nombres analyse statstque cas des petts nombres

11 Probablté: défnton et proprétés ( parte probabltés bases défnton en «fréquence» - expérence (mesure dont le résultat peut être (ou non d un type donné X - on répète fos l expérence, et on obtent n fos le résultat X probablté P(X qu un événement sot de type X : événements élémentares sot un ensemble des résultats possbles X - exhaustf : le résultat est forcément un des X - exclusf : le résultat ne peut être smultanément de type X et X jj s j alors P( X lm P( X > 0 P( X ou X P( X P( X n + P( X j

12 Probablté: défnton et proprétés ( lo d addton parte probabltés bases s A et B sont sous-ensembles des possbltés X, la probablté qu une observaton se produse dans A ou B est : probablté condtonnelle (lo de multplcaton P( A B P( A + P( B P( A B P(A B probablté qu une observaton se produse dans A, alors qu elle appartent à B la probablté qu une observaton se produse dans A et B smultanément est alors donnée par la lo de multplcaton: ndépendance P( A B P( AB P( B P( B A P( A s la réalsaton de A est ndépendante de celle de B, alors P(A B P(A et P( A B P( A P( B (c est une condton nécessare et suffsante

13 parte probabltés probabltés condtonnelles Probablté condtonnelle : llustraton géométrque on consdère un ensemble de ponts (x,y équprobables on défnt deux sous-ensembles A et B : P(A est la proba. qu un pont sot dans A, et P(B la proba. qu l sot dans B A y max A y mn A : B S S S A A { y y y } A mn B x mn B B x max max B B B B B B : { x x x } B : { x x x et y y y } A B AB mn max A A ( y max y mn B B ( x max x mn B B A A ( x x ( y y S A max S B mn max mn P( A B S cas A et B ndépendants AB P( AB S S A P( A surfaces A : S S S A B AB probabltés A S B A A { y y y } mn mn max max mn A A ( y max y mn B B B B ( x max x mn ( y max y mn B B A A ( x x ( y y max P( A B P( AB P( B P ( AB P( A B P( B mn P ( A B S AB SB y P( AB y A mn B mn P( A S AB y y A max B max max B y max B y mn mn A max cas A et B non ndépendants B x mn B B x max

14 parte probabltés probabltés condtonnelles théorème de Bayes Approches classques et modernes ( d après la lo de multplcaton pour des événements dscrets: on peut généralser cette relaton, en consdérant n sous-ensembles A (, n d événements, les A étant supposés exhaustfs et exclusfs, et un sous-ensemble quelconque B : classques et modernes P( A j B P( B A P( A P( B A P( A P( AB P( B lorsqu à partr d une observaton (événement de type B, on veut tester une hypothèse (l événement est-l de type A?, l l se pose alors un problème d nterprétaton, sur lequel deux écoles s opposent : les «classques» (ou ant-bayesens et les «modernes» (ou bayesens au cœur de la queston statstque : l nterprétaton! j P( B A P( A j

15 parte probabltés probabltés condtonnelles Approches classques et modernes ( hypothèse des «modernes» (bayesens on suppose une observaton (mesure, donnant un résultat x, que l on cherche à nterpréter dans le cadre d une théore : l ensemble des hypothèses θ possbles (ex. θ peut représenter les valeurs, dscrètes ou contnues, des paramètres de la théore les «modernes» généralsent le théorème de Bayes au cas des hypothèses: P( θ x P( x θ P( θ P( x P(θ x probablté que l hypothèse sot vrae alors qu on a observé x nterprétaton statstque du résultat P(x θ probablté d observer x dans le cadre de l hypothèse θ calcul de probablté, donné par la théore P(θ probablté d une hypothèse donnée degré de confance à pror de l hypothèse P(x probablté d observer x quelle que sot l hypothèse consdérée

16 parte probabltés probabltés condtonnelles Approches classques et modernes (3 opposton des modernes et des classques s l ensemble des θ est exhaustf et exclusf (c est en général le cas en physque : un paramètre de la théore a une valeur et une seule alors : la controverse vent du terme P(θ : pour les «classques», cette probablté à pror ne peut être détermnée l nterprétaton du résultat X (nformaton à posteror que l on en tre n est pas la même les approches! llustraton pour fables statstques dans la parte 3 ce n est pas seulement une queston de valeur numérque, mas auss une queston de sgnfcaton du résultat remarques P( θ x P( x θ P( θ P( x P( x θ P ( x P( θ j - l l est préférable d évter l approche bayesenne, à cause de la subjectvté sur P(θ - mas l approche classque ne permet pas toujours de conclure! - pour un grand nombre d observatons, les approchent convergent vers un même résultat j j

17 Varables aléatores parte probabltés varables aléatores atores événement aléatore pluseurs résultats possbles une varable (grandeur physque, assocée à un tel événement, peut prendre un ensemble de valeurs, dscret ou contnu varables aléatores dscrète valeurs x, avec,,n s les x sont exhaustfs : varable aléatore contnue valeur x dans domane Ω f(xdx : probablté d une valeur dans [x;x+dx[ s le domane Ω est exhaustf : 0 P( x P( f(x : densté de probablté, ou probablté dfférentelle n Ω x f ( x dx dp( x f ( x dx

18 Caractérstques des V.A. varable x dscrète contnue [ x ] espérance E µ x k P ( x k µ x f ( x dx k X Ω [ x ] varance σ ( x k µ P ( x k V σ ( x µ f ( x dx k Ω X j moments µ j (x µ j ( x k P ( x k j µ j x f ( x dx X k Ω moments centraux j µ (x j µ j ( x k µ P ( x k µ ( x µ f ( x dx k j Ω X parte probabltés varables aléatores atores

19 Fonctons de dstrbuton densté de probablté pour une V.A. elle est normée Ω f ( x dx toute foncton d une V.A. est également une V.A. espérance (valeur attendue d une foncton g(x, où x est une V.A. de fdp f(x : [ g ] Ω E g ( x f ( x dx E[ ] est un opérateur lnéare: E [ α g + β h ] α E [ g ] + β E [ h ] α g ( x f ( x dx + β Ω Ω h ( x f ( x dx parte probabltés varables aléatores atores

20 parte probabltés varables aléatores atores défnton x une var. aléatore Φ ( t E x tx [ e ] Foncton caractérstque varable contnue : varable dscrète : proprétés la foncton caractérstque défnt entèrement la foncton de dstrbuton de probablté + xt f ( x Φ t e dt x ( π s α et β sont des constantes s x et y sont V.A. ndépendantes de fonctons caractérstques Φ x (t et Φ y (t, la foncton caractérstque de la V.A. (x+y est calcul des moments t 0 Φ αx + β Φ x + y Φ ( t + e Φ tβ ( t e Φ ( αt ( t Φ ( t Φ ( t x x x tx (t pk e r r d d µ t µ r Φ( t µ [ Φ( ] r r e t r dt dt x y k t 0 f ( x dx tx k pour pour nformaton nformaton seulement seulement

21 Pluseurs varables aléatores densté de probablté conjonte de (ou plus V.A. : f(x,y Ω f ( x, y dx dy alors, pour une foncton g(x,y : [ g ] Ω E g ( x, y f ( x, y dx dy dstrbutons margnales y max f X ( x f ( x, y dy y x mn max f Y ( y f ( x, y dx x mn f Y (y p(y x 0 y y max y max (x 0 Ω dstrbutons condtonnelles p ( y x y ( x 0 0 théorème de Bayes max f ( x 0, y dy y p ( y x mn ( x 0 f p ( x y f ( X x ( 0 f x, Y y ( y y mn f X (x y mn (x 0 x 0 x mn x max x parte probabltés varables aléatores atores

22 Covarance et corrélaton défntons moyennes et varances, pour chaque varable : [ x ] Ω µ x E x f ( x, y dx dy µ y E [ y ] y f ( x, y dx dy ( [ ] ( σ E [ µ ] σ ( x E x µ x Ω y ( y y covarance [, y ] E [ ( x µ ( y ] cov µ x x y E [ xy ] E [ x ] E [ y ] corrélaton corr [ x, y ] ρ ( x, y cov σ x [ x, y ] σ y on montre faclement que : ρ + parte probabltés varables aléatores atores

23 Varables aléatores ndépendantes parte probabltés varables aléatores atores ndépendance les V.A. x et y sont ndépendantes s et seulement s (condton nécessare et suffsante alors E f ( x, y f ( x f ( y [ xy ] cov[x,y] 0 et ρ(x,y 0 X [ x] E[ y ] Y (produt des f.d.p. margnales x y fx ( x fy ( y dx dy x fx ( x dx y f Ω E ( y dy ndépendance non corrélaton (la récproque n est pas nécessarement vrae matrce de covarance les V.A. x,,x n sont ndépendantes s et seulement s la f.d.p. conjonte est factorsable sous la forme: n f ( x K les covarances et coeffcents de corrélatons pour (x,x j j : matrce de covarance :,, x f ( x V [ σ j ] s la matrce de covarance n est pas nversble, l l exste au mons une relaton lnéare entre les x σ j Y cov ( x, x j

24 Lo des grands nombres parte 3 statstque los de convergence l l exste pluseurs «lo de convergence» (on n entre pas dans les détals c applcatons des théorèmes de convergence: lo des grands nombres théorème de la lmte centrale (TCL lo des grands nombres {x,,x } un ensemble de V.A. ndépendantes de même moyenne µ, et de varances σ moyenne de l échantllon : lo des grands nombres : en moyenne quadratque s x x x µ lm σ σ lm (lo fable presque certanement s est fne (lo forte à noter : (statstques (statstques 0 résultats résultats mportants mportants non non démontrés démontrés dans dans ce ce cours cours c est le cas s l l les varances σ sont bornées (et donc également s elles sont égales

25 Lo des grands nombres llustraton : mesures de v.a. x dstrbuées unformément entre et + lo des grands nombres : la moyenne de l échantllon tend vers la moyenne de la foncton de densté de probablté des varables x x µ parte 3 statstque los de convergence

26 Théorème de la lmte centrale parte 3 statstque los de convergence théorème de la lmte centrale {x,,x } un ensemble de V.A. ndépendantes de moyennes µ, et de varances σ (sous des condtons peu restrctves lmtant l augmentaton des µ et σ avec alors le TLC donne la dstrbuton de la V.A. S x lorsque tend vers l nfn : cas partculer lo normale standard (gaussenne µ 0 et σ ndépendamment de la dstrbuton de départ! s les x (ndépendants ont la même moyenne µ et la même varance σ, et s on défnt les V.A.: alors S y µ σ x et x (0, et E [ ] 0 V [ ] z z z y µ σ non non démontré démontré dans dans ce ce cours cours

27 Théorème Résumé du de cours la lmte précédent centrale T.L.C. : la foncton de dstrbuton de Σx tend vers une lo normale de centre Σµ et de varance Σσ f x µ, σ parte 3 statstque los de convergence

28 Dstrbutons courantes de probabltés dstrbutons dscrètes lo de Posson lo bnomale dstrbutons contnues lo «normale» (gaussenne dstrbuton du Ch autres dstrbutons courantes : Student, Fsher-Snedecor, parte probabltés dstrbutons courantes

29 parte probabltés dstrbutons courantes cas d utlsaton probablté d obtenr n succès parm trages lorsque la probablté de succès d un trage est p foncton de probablté n! r!( n r! r n r (, p n p ( p B r varable 0 n (enter param. > 0 (enter 0 < p < (réel Lo bnomale (dst. dscrète caractérstques f.d.p. lées à la bnomale espérance : p bnomale négatve : probablté de devor attendre trages pour obtenr n succès varance : p( p multnomale : généralsaton au cas de plus de ssues possbles

30 parte probabltés dstrbutons courantes cas d utlsaton probablté d observer n événements lorsqu on en attend λ foncton de probablté n λ λ P( n λ e n! varable n 0 (enter param. λ > 0 (réel caractérstques espérance : λ varance : λ Lo de Posson (dst. dscrète f.d.p. dérvée de la lo de Posson lo exponentelle : (lo contnue év ts ts ndépendants avec une fréquence moyenne ν proba. de l ntervalle de temps t entre événements consécutfs : νt P( tν ν e moy.: / ν var.: / ν

31 parte probabltés dstrbutons courantes cas d utlsaton f.d.p. la plus utlsée! (notamment en rason du T.L.C. proprétés unques (non détallées c foncton de probablté P ( x µ, σ varable x (réel param. µ, σ (réels caractérstques espérance : µ varance : exp π σ σ Lo «normale» (dst. contnue x µ σ remarques lo normale «standard» pour µ 0 et σ toute combnason lnéare de V.A. normales est normale moments (fct caractérstque : µ r µ lo normale à pluseurs dmensons r 0 (r! r! σ r

32 parte probabltés dstrbutons courantes cas d utlsaton s x est une v.a. dstrbuée selon une lo normale standard (µ 0 et σ, alors la f.d.p. de S s est une dstrbuton du χ à n degrés de lberté foncton de probablté P varable S s 0 (réel param. n (enter caractérstques espérance : varance : n n n Dstrbuton du Ch (dst. contnue ( x + ( S n e n S n Γ S proprétés s (n s et ndépendantes suvent des dst. du χ à n et m d.d.l, alors s s sut une dst. du à p n + m d.d.l. s + les V.A. s (m ( p ( n ( m y n s( n n et z n s( n n n suvent une lo standard (0,

33 Relatons asymptotques Bnomale p 0 np µ Posson n µ Multnomale n ormale n Ch- Fsher Student parte probabltés dstrbutons courantes

34 parte 3 Analyse statstque Estmateurs Comportement asymptotque Intervalle de confance analyse statstque cas des petts nombres

35 Échantllon parte 3 statstque estmateurs moyenne, varance, moments sot une varable aléatore X on fat mesures de cette varable : x,,x dstrbuton de probablté de la V.A. moyenne varance moments pour l échantllon moyenne varance échantllon µ lm x σ lm ( x µ lm x µ µ j lm ( x x s x ( x j x elles ne sont pas ndépendantes!

36 Foncton de vrasemblance parte 3 statstque estmateurs concepts de base de la théore de l nformaton foncton de vrasemblance défnton : x est une V.A. de f.d.p. f(x,θ échantllon : observatons x,,x L r «probablté globale» de l observaton complète nformaton r ( x θ L( x, K, x θ f ( x θ f.d.p. à paramètre : f.d.p. à pluseurs paramètres : r ( θ E Ω r r dl( x θ dθ θ r dl( x θ dθ I r X [ I r ( θ ] θ r j r r r r L( x θ L( x θ E θ θ j r r L( x θ dx au au delà delà des des objectfs objectfs de de ce ce cours cours

37 Estmateur d une varable aléatore parte 3 statstque estmateurs qu est-ce qu un estmateur? varable aléatore x dstrbuée selon une f.d.p. f(x θ 0 échantllon (mesure X {x } ou, Que peut-on dre de θ 0 à partr de l échantllon? un estmateur θ(x est une foncton de l échantllon qu tente de donner une valeur s approchant de la valeur «vrae» du paramètre un estmateur est une varable aléatore! qualtés d un estmateur un estmateur dot être : - consstant : l l converge vers la vrae valeur du paramètre - non basé : s E[θ] θ 0 quel que sot le nombre d observatons - effcace : s l converge rapdement vers la valeur du paramètre - robuste : lé à la fablté de l estmateur s la f.d.p. est peu ou mal connue (sensblté à la forme de la f.d.p.

38 Estmaton ponctuelle ( parte 3 statstque estmateurs estmateur ntutf x est une V.A. avec une f.d.p. f(x θ 0 toute foncton a(x est une V.A. échantllon X {x ;, } lo des grands nombres : s a(x est telle que alors estmateur de θ 0 : lm a( x E Ω 0 X [ a( x θ ] h( θ E θ h 0 [ a( x θ0] a( x f ( x, θ dx ( E[ a( x θ ] h lm a( x 0 θ ( X h a( x h ˆ grandeur expérmentale ξ ( ξ a( x

39 Estmaton ponctuelle ( parte 3 statstque estmateurs cas de pluseurs paramètres s la f.d.p. dépend de pluseurs paramètres {θ j j ; j, r} r fonctons a j j (x r fonctons h j j (θ, θ r r grandeurs expérmentales ξ j a j ( x h j système d équatons: méthode des moments ξ h ξr h elle correspond au chox a j j j (x x j r ( ˆ θ, L, ˆ θ M r ( ˆ θ, L, ˆ θ r ˆ θ ( h ˆ θr ( h ( ˆ θ, L, ˆ θ ex.: X dstrbuée selon une f.d.p. de moyenne µ et de varance σ (param. θ µ et θ σ ξ ξ x ( x h ( µ, σ h ( µ, σ Ω Ω X X M r r ( ξ, L, ξ r ( ξ, L, ξ x f ( x µ, σ dx x f ( x µ, σ dx r µ σ + µ sot : h ( ξ, ξ ξ ˆ σ ( h ( ξ, ξ ξ ( ξ ˆ µ (

40 Estmaton ponctuelle (3 parte 3 statstque estmateurs estmateur mplcte on peut généralser au cas d une foncton de x et de θ : a(x,θ en chosssant a de sorte que h(θ 0 0 avec la grandeur expérmentale devent une foncton du paramètre : lo des grands nombres : un estmateur mplcte vérfe donc : [ a( x, θ θ ] a( x, θ f ( x, dx ( 0 0 θ Ω 0 X h θ θ E h( θ θ0 0 0 ξ ( θ θ a( x, θ0 E 0 ξ ( θ a( x, θ des fonctons du type a(x,θ a(x E[a(x θ] satsfont naturellement la condton h(θ 0 0 méthode des moments a (x x µ et a (x x (µ + σ on retrouve le résultat de l estmateur ntutf [ a( X, θ ] 0 0 ξ ( ˆ θ a( ξ( ˆ, µ ˆ σ ξ( ˆ, µ ˆ σ x, ˆ θ ( x ˆ µ 0 ( x ( ˆ µ + ˆ σ

41 Estmaton ponctuelle (4 parte 3 statstque estmateurs estmateur par maxmsaton / mnmsaton estmateur mplcte : résoudre ξ(t 0 s on consdère une foncton g(x,θ telle que : on obtent alors de façon trvale un estmateur de θ 0 en résolvant : maxmum de vrasemblance g ( x, θ ln f ( x θ l correspond au chox de ( l correspond au chox de mondres carrés d a ( x, θ g( x, θ dθ d ξ ( ˆ θ g( x, ˆ θ 0 dθ d ξ ( ˆ θ ln f ( x, ˆ θ dθ d ln dθ g(x,θ est une forme quadratque du type (cas de θ à r dmensons : W : matrce de pods ; M(θ E[X θ] (espérance sot à résoudre un système de r équatons : T [ X M( θ ]( W ( [ X M( θ ] ( g( X, θ ( L( X, ˆ θ estmateur estmateur consstant consstant : condtons condtons de de dérvablté dérvablté et et de de commutaton commutaton T ( g( X, θ [ M( θ ] W [ X M( ] 0 ξ ( θ r θ ( θ θ ( r

42 parte 3 statstque estmateurs récréatf récréatf Cas pathologque le maxmum de vrasemblance est un des estmateurs les plus utlsés mas l l n est pas toujours le meux adapté un cas d école x une varable aléatore unformément dstrbuée entre 0 et θ 0 : f(x / θ 0 on fat mesures : L(x,,x θ / θ maxmum pour θ x +, où x + est la plus grande des valeurs observées (θ ne peut pas être plus pett f.d.p. de l estmateur θ x + : θ x f (θ / θ 0 f (θ P(x <θ f(x θ + P(x <θ f(x θ θ / θ 0 basé qcq f (θ θ - / (θ 0 quel que sot le nombre de mesures E[θ ] < θ 0 estmateur non basé : θ x + + (x + / f ( θ + θ θ 0 3

43 parte 3 statstque comportement asymptotque Comportement asymptotque ( quelle ncerttude sur l estmaton? lo des grands nombres estmateur théorème de la lmte centrale ncerttude cas d un estmateur ntutf TCL : ξ a( x développement au premer ordre autour de ξ 0 E[a(x] θ h a( x h ˆ ( ξ asymptotquement ( dstrbué selon une lo normale de moyenne E[a(x] et de varance V[a(x] ˆ θ h ( E[ a] h + ( E[ a] tous les termes sont constants, sauf ξ normalement dstrbués, et [ ˆ θ ] E ( ˆ θ θ ˆ θ h ( ξ [ ] h E[ a] E [ a] + L estmaton de l ncerttude : à partr de la moyenne et de la varance de l échantllon a(x ξ ( V [ a] h + ξ V 0 ξ 0 ( ξ 0 { ξ ξ } + L 0 a( x

44 Comportement asymptotque ( généralsaton calcul smlare pour un estmateur mplcte h ξ ( E [ a ] ξ ξ (θ E ξ ( θ θ θ θ 0 V [ ˆ V ] [ a ( X, θ 0 ] θ ξ ( θ E θ θ θ 0 maxmum de vrasemblance a ln ( f ( V [ ˆ θ ] ( x, θ x θ θ I ( θ 0 où I est l l «nformaton» vue précédemment cas de pluseurs paramètres non détallé c non détallé c écrture matrcelle cas de paramètres contrants changements de varables parte 3 statstque comportement asymptotque

45 Intervalle de confance ( grands nombres et lmte centrale lorsque lo des grands nombres estmateur théorème de la lmte centrale ncerttude qu en est-l lorsque le nombre d observaton est fable? on ne peut plus s appuyer sur le comportement asymptotque parte 3 statstque ntervalle de confance

46 parte 3 statstque ntervalle de confance Intervalle de confance ( Approche classque : centure de confance échantllon X, dstrbué selon f(x θ, où θ est nconnu estmateur de θ : t(x t(x est une varable aléatore (une statstque de l échantllon avec une f.d.p. f t (t,θ qu peut être détermnée en foncton de θ on peut défnr t (θ et t (θ tel que P(t < t θ α alors P(t < t < t θ β (α +α θ 0, la valeur «vrae», est nconnue à partr de l estmateur t(x, on défnt un ntervalle de confance [θ A,θ B ] : θ A t (θ A t(x θ B t (θ B t(x t t f ( t θ dt β comme P(t < t < t θ 0 β, alors la probablté que la vrae valeur θ 0 sot dans [θ A,θ B ] est auss β t P(t > t θ α (tous les ntervalles [θ A,θ B ] obtenus pour t < t < t contennent θ 0 θ θ Β θ 0 θ Α α t (θ β t (X t (θ t 0 (θ 0 t (θ α t

47 parte 3 statstque ntervalle de confance lmtes supéreure ou nféreure Intervalle de confance (3 l ntervalle de confance (avec un degré de confance β n est pas unque en règle général, on fat le chox symétrque : β α α l l n y a pas à pror, d un pont de vue statstque, de chox préférable dans certan cas cependant, l l peut être préférable de chosr α et α de façon asymétrque les cas extrêmes sont obtenus pour α 0 ou α 0 lm. nf. α 0 t P(θ > θ A β lm. sup. α 0 t + P(θ < θ B β ex.: mesure d un nombre d événements d un type donné, lorsque aucun événement de ce type n est observé : ntervalle [0;θ sup ]

48 parte 3 statstque ntervalle de confance approche bayesenne Intervalle de confance (4 la probablté à posteror est détermnée à partr de la probablté à pror un ntervalle de confance [θ A,θ B ] avec un nveau de confance β vérfe la condton : le chox de l ntervalle n est pas unque s on mpose également que P(θ A X P(θ B X alors - l ntervalle est unque P( θ X - c est le plus pett ntervalle pour le nveau de confance β - chaque valeur à l ntéreur de l ntervalle est plus probable que n mporte quelle valeur à l extéreur Ω θ P( X θ P( θ P( X θ P( θ dθ θ B θ A P ( θ X dθ β θ Α θ A P(θ X θ Β θ B

49 parte 3 statstque ntervalle de confance Remarques sur les ntervalles de confance présentaton du résultat l estmateur donne une valeur (la plus probable : ex.: maxmum de vrasemblance ntervalle de confance à 68,3 % : [ θ A, θ B ] ncerttude à «σ» (par abus de langage par analoge avec la gaussenne comparason entre les approches classques et bayesennes l hypothèse sur P(θ dans l approche bayesenne apporte de l nformaton l ntervalle de confance bayesen est toujours plus pett que l ntervalle de confance classque θˆ 0 θ ˆ θ + 0 B ( θ ˆ θ0 ( ˆ θ θ 0 A

50 les les données données numérques numérques des des exemples exemples ne ne sont sont pas pas les les résultats résultats expérmentaux expérmentaux vértables vértables parte 4 Applcatons dans le cas de fables statstques Lo dscrète mesure d un rapport d embranchement Lo contnue mesure de durée de ve analyse statstque cas des petts nombres

51 Applcaton : rapport d embranchement parte 4 applcatons lo dscrète exemple de la radoactvté -protons succès : radoactvté p échec : décrossance β (+p, +p, +pα, ex.: 45 Fe / 54 Zn expérence : on produt obs 0 noyaux 54 Zn on observe n P 7 décrossances p lo bnomale n P n p! (, p ( p n! ( n! que peut-on dre pour le rapport d embranchement p? ( probablté p R P n

52 Lo bnomale parte 4 applcatons lo dscrète un événement à ssues possbles : - «succès» avec une probablté p - «échec» avec une probablté (-p on consdère un échantllon de événements quelle est la probablté d avor n succès? P(0 -p P( p P(0 P{e,e} (-p P( P{s,e} + P{e,s} p(-p P( P{s,s} p lo bnomale n P n p! (, p ( p n! ( n! n

53 Centure de confance de la lo bnomale estmateur : M.V. L L ( ( n p, n p ˆ, dp n P 0 p ˆ n p ( p n n n ntervalle de confance : pour p ˆ p B tel que P(n n exp p B < α soluton de n exp n n exp P ( n p A, α p A tel que P(n n exp p A < α soluton de n n exp 0 P ( n p B, α ntervalle avec un degré de confance β (α + α 0 n 7 parte 4 applcatons lo dscrète

54 Centure de confance de la lo bnomale estmateur : M.V. L L ( ( n p, n p ˆ, dp n P 0 p ˆ n p ( p n n n ntervalle de confance : pour p ˆ n exp p B tel que P(n n exp p B < α p A tel que P(n n exp p A < α centure de confance : pour l ensemble des nombres d observatons possbles 0 n 7 parte 4 applcatons lo dscrète

55 Résultat : approche classque exemple de la radoactvté -protons succès : radoactvté p échec : décrossance β (+p, +p, +pα, ex.: 45 Fe / 54 Zn expérence : on produt 0 noyaux 54 Zn on observe n 7 décrossances p résultat estmateur (MV R p 0,7 nt. conf. (β 68,3% R mn 0,49 R p 0, 70 R max 0, ,6 0, parte 4 applcatons lo dscrète

56 Approche bayesenne parte 4 applcatons lo dscrète théorème de Bayes échantllon X : observatons, P( p X n succès, ( n échecs hypothèse : toutes les valeurs du rapport d embranchements p R P sont possbles, sans préférence «à pror» P(p unforme maxmum de vrasemblance foncton de vrasemblance P( X p normalsaton résoluton P( p X + n n L( n p, p ( p n p 0 n + L( n p, n n ( p p P( p P( X p P( p dp 0 P( X Rp 0, , 0,5 0 n 7 les bornes de l ntervalle de confance sont les solutons de : (résoluton numérque P( pa P( pb p B P( p dp pa β p Α p 0 p Β

57 Comparason classque bayesen p 0,7 nt. classque nt. bayesen parte 4 applcatons lo dscrète

58 Applcaton : durée de ve parte 4 applcatons lo contnue (sute de l exemple : la radoactvté -protons on a produt noyaux très exotques ( est «pett» et on mesure pour chacun à quel nstant (après sa créaton a leu sa décrossance radoactve lo de décrossance probablté de décrossance par unté de temps : λ (constante proba. d avor la décr. entre t et t + dt (s elle n a pas déjà eu leu : λdt proba. de ne pas avor cette décrossance : λdt s P(t est la probablté de ne pas avor la décr. entre 0 et t, alors P( t + dt P( t P( t + dt P( t ( λt λt P( t lo de probablté des décrossances radoactves : P( t exp f ( t λ λ e λt ( λt durée de ve (temps pour lequel la probablté que la décrossance at eu leu est de 50% : T / ln λ

59 Durée de ve : la mesure observaton (mesure on a observé 0 noyaux (ceux de l exemple précédent l échantllon est l ensemble des temps décrossance mesurés : {t, t,, t 0 } exemple : t (ms que peut-on dre de T / (ou de λ? parte 4 applcatons lo contnue

60 Durée de ve : estmateur parte 4 applcatons lo contnue maxmum de vrasemblance foncton de vrasemblance la foncton de vrasemblance ne dépend que de la somme des t, mas pas des valeurs ndvduelles maxmum estmateur r ( { t,, t } λ L t dl( tσ λ 0 dλ lnl( t λˆ Σ t K d λ ln( λ λt Σ λ P ( lnl( t λ dλ Σ Σ exp λ 0 d λ e λt t λ ( lnl( t λ dλ Σ exp t λ [ λt ] Σ Σ t Σ t

61 Durée de ve : f.d.p. de l estmateur parte 4 applcatons lo contnue probablté de l estmateur : f (λ λ 0 probablté d observer t Σ avec on a un échantllon de mesures f ( t ( t Σ λ 0 calcul par récurrence : on retrouve la forme d une lo de Posson pour une varable x λ 0 t Σ le facteur λ 0 vent du fat que f(xdx f(tdt changement de varable comme f f t Σ f ( t L λ t t Σ t n 0 Σ t t 0 0 t 0 t K t n f ( t f ( t λ 0 λ0 f t t ( t ( λ0 tσ λ t ( tσ λ0 λ0 e f 0 t λ ( t ( λ λ0 dλ f ( tσ λ0 λ0 λ ( λ λ 0 λ! Σ (! dt e tσ λ Σ λ0 λ λ ou Σ avec Σ j tσ t j λ0 dt dt K dt x f ( λ λ 0 e λ! λ0 x λ0 tσ λ x

62 λ0 λb Centure de confance ntervalle de confance λ B tel que P(λ λ exp λ B < α soluton de λ exp f λ λ 0 0 d ( λ α λ A tel que P(λ λ exp λ B < α λ0 λa soluton de λ exp f ( λ λ d λ α 0 parte 4 applcatons lo contnue

63 Centure de confance ntervalle de confance λ B tel que P(λ λ exp λ B < α soluton de λ exp f λ λ 0 0 d ( λ α λ A tel que P(λ λ exp λ B < α soluton de λ exp f ( λ λ d λ α 0 centure de confance ntervalle de confance pour l ensemble des valeurs de l estmateur parte 4 applcatons lo contnue

64 Résultat «classque» parte 4 applcatons lo contnue observaton (mesure on a observé 0 noyaux (ceux de l exemple précédent l échantllon est l ensemble des temps décrossance mesurés : {t, t,, t 0 } exemple : t (ms que peut-on dre de T / (ou de λ? T / 5 ms résultat estmateur λ 0,3 T / 5,68 nt. conf. (β 68,3% λ B 0,09 T / 7,647 λ A 0,73 T / 4,08 T,4 / 5, 3 +,3

65 Approche bayesenne parte 4 applcatons lo contnue f.d.p. dans l approche bayesenne hypothèse : f.d.p. résoluton f ( λ t f ( λ t Σ 0 f ( t f ( t toutes les valeurs du paramètre λ sont possbles, sans préférence «à pror» P(λ unforme les bornes de l ntervalle de confance sont les solutons de (résoluton numérque : f ( λa f ( λb λ B f ( λ dλ β λa Σ t Σ Σ Σ ( λ tσ (! λ P( λ λ P( λ dλ e λ t + 0,047 +, 0,038 / 5, 3,4 λ 0,3 T Σ ntervalle tel que,5 P(λ<λ A P(λ>λ B α T/ 5, 3 +,6 nt. bayesen le plus pett pour λ, classque :,4 mas pas pour T /! T / 5, 3 +,3

66 Autre chox du paramètre parte 4 applcatons lo contnue on peut fare le chox d un autre paramètre : (temps caractérstque lo de décrossance : f.d.p. pour le paramètre τ dans l approche bayesenne hypothèse : f.d.p. f ( τ t résoluton Σ P(τ unforme P(λ unforme!!! t Σ tσ τ (! e t Σ τ + 0,047 +,4 0,038 / 5, 3,5 τ 0,3 T f ( t τ e τ ntervalle tel que 3,4 P(τ <τ A P(τ >τ B α T/ 5, 3 + 0,9 résultat dfférent selon le chox du classque :,4 paramètre! T ( t τ / 5, 3 +,3 T / τ λ ln

67 même résultat expérmental Durée de ve : récaptulatf 0 5 approche classque ( même résultat avec λ ou τ T / 3 5, +,4,3 T / 3 5, + bayesen, param. λ T / 3 5, +,,4 T / 3 5, + bayesen, param. τ T / 3 5, +,4,5 T / 3 5, + 4., parte 4 applcatons lo contnue

68 Durée de ve avec brut de fond parte 4 applcatons brut de fond dans la réalté le problème n est jamas auss smple : - pour chaque noyau produt, on mesure la décrossance pendant un temps fn - l l y a généralement du «brut de fond», c est à dre des événements ndésrables (qu on ne sat pas dstnguer du sgnal - l l y a du temps mort (un événement peut en cacher un autre - cas d une mesure de brut de durée de ve avec brut de fond pour chacun des noyaux produts, on étude la décrossance pendant un ntervalle de temps fxe : T pour une «mesure» sur un ntervalle T on peut avor : la décrossance du noyau ( ou 0 événement du brut de fond : événements aléatores, de fréquence ν b, supposée constante problème l nformaton contenue dans l échantllon ( mesures avec un nombre varable d événements comporte à la fos des aspects contnus (nstant des événements et des aspects dscrets (nombre d événement approches (tratement bayésen analyse événement par événement analyse par hstogramme pour smplfer, on suppose la fréquence du fond connue (ν b 0,0 ms -

69 Analyse par événements ( parte 4 applcatons brut de fond décomposton probablste mesures (nombre de noyaux sur un ntervalle de temps T pour chaque mesure, on observe n événements (sgnal vra et/ou fond prob. d observer la décr. : P λ d ( e λ T Q d P d prob. d observer n ts b év ts de fond : B[n b ] P( n b ν b (lo de Posson prob., pour une mesure, d observer n événements P[n] Q d B[n] + P d B[n ] P[0] Q d B[0] probablté d observer les n événements à des temps [t ; t +dt ], [t ; t +dt ], f n ( t, t, t n dt dt dt n foncton de vrasemblance L( obs λ P[ n ] f ( t, L, t n n

70 Analyse par événements ( parte 4 applcatons brut de fond foncton de vrasemblance exemple pour une mesure avec n 3 (probablté condtonnée : t, t, t 3 cas possbles ( ème condton sot on n a pas la décrossance (fond unforme, temps équprobables f 0 / 3( t, t, t3 3 T λ λt sot on a la décrossance ft ( t e ( normalsé sur [0,T] λt e au temps t : f/ 3( t, t, t3 f ( T t T au temps t : f / 3( t, t, t3 f ( T t T au temps t 3 : f3 / 3( t, t, t3 f ( 3 T t T donc la probablté dfférentelle est cond. f Q B[3] P B[] ( t, t, t3 d d + 3 T T T 3 P[3] T P[3] T + [ f ( t + f ( t f ( ] 3 t généralsaton f ( t L n n Qd B[ n] + Pd B[ n ] f 3 P[ n] T P[ n] T k,, tn T ( tk

71 Analyse par événements (3 parte 4 applcatons brut de fond maxmum de vrasemblance la foncton de vrasemblance se smplfe : ( λ L obs l approche classque ne permet pas de trater le problème : l l faudrat envsager toutes les possbltés condusant au même estmateur (nfnté nextrcable! soluton bayésenne (λ «à pror» unforme cond. : nombre d observatons n d d P[ n ] + 3 λt P[ n ] T P[ n ] T e k ( Q B[ n ] d 3 T T k Q B[ n T cond. : avec / sans décrossance ] + B[ n ],4 / 5, 4 +,5 P B[ n λ n ] exp( λt k λ exp( λt k (à partr des mêmes données de décr. que précédemment en ajoutant du fond

72 Analyse d hstogramme ( parte 4 applcatons brut de fond l ensemble des données est placé dans un hstogramme dscrétsaton du problème perte d nformaton lée au «bnnng» forme de l hstogramme (nombre de coups attendus par bn pour une mesure - décrossance : - fond constant pour mesures dndec ( t dt dn fond dt dn( t dt λ e ( t ν b λt t [ λ e ν ] λ + «bnnng» t nombre de coups attendus pour un bn [ t ; t + t ], avec t t µ dn( t dt dt b dn( t dt t + t t t

73 Analyse d hstogramme ( parte 4 applcatons brut de fond maxmum de vrasemblance pour chaque bn, on détermne la probablté d observer n coups lorsqu on en attend µ lo de Posson foncton de vrasemblance approche bayesenne (en supposant les valeurs de λ équprobables même calcul sur τ tratement év. par év. L( obs λ 3, / 4, 4 +, le tratement «probablste» semble melleur : - valeur «vrae» : 5 ms - nt. de conf. plus pett effet du «bnnng»??? T T T 3,4 / 4, 4 +,3,4 / 5, 4 +,5 estmateur M.V. non consstant ( µ ( λ n n e µ ( λ

74 Remarques parte 4 applcatons brut de fond un cas au départ très smple peut vte devenr plus complexe tratement bayésen ncontournable en général, pas de soluton analytque (résoluton numérque des problèmes, pas forcément très ardu llustraton dans le cas de la radoactvté -protons pas encore complètement réalste rapport d embranchement : à partr des événements dans un pc du spectre en énerge : «brut de fond» dans le pc? durée de ve : prse en compte du temps mort «prncpe de réalté» que gagne-t-on vrament à rendre le problème trop complexe? les physcens contnueront encore un peu à maltrater les statstques

75 Concluson proprétés de base du calcul des probabltés et des varables aléatores constructon d un estmateur à partr d un échantllon (mesures expérmentales concluson détermnaton de l ncerttude sur l estmaton comportement asymptotque dans le cas des grands nombres ntervalle de confance llustré à partr d exemples très smples, qu montrent que dans le cas des petts nombres d observatons que le chox de la méthode n est pas neutre que les mêmes données peuvent condure à des résultats dfférents pour les fables statstques, un résultat se comprend en connassance de la méthode utlsée

76 merc de votre attenton quelques références : statstcal methods n expermental physcs, W.T. Eade et al. data reducton and error analyss for the physcal scences, P.R. Bevngton Partcle Data Group (CER : l n y a plus qu à

77 Intégrales utles J n! t n n( t λ exp( λt dt 0 n+ 0 t n! n ( λt exp( λt dt K τ t τ ( n! t n( t exp dτ 0 n n 0 t t ( n! τ n t exp dτ τ annexes