OPTIQUE SUPPORT DE COURS

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1 République du Béi Miistère d Etat chargé de l Eseigemet Supérieur et de la Recherche Scietifique Ecole Supérieure de Géie Civil VERECHAGUINE A. K SUPPORT DE COURS OPTIQUE Filière : Première aée Géie Civil Aée académique :

2 PLAN DU COURS Etablissemet : Uiversité d Abomey-Calavi (UAC) Domaie : Scieces et Techologies Metio : Scieces Physiques Spécialité : Mathématiques - Physique - Iformatique - Geie Civil Uité de Formatio et de Recherche : IMSP / FAST/ Départemet de Physique Uité d Eseigemet : Optique géométrique Nombre de crédits : à idiquer Aée d étude : Licece 1 Masse horaire : à idiquer Période : à idiquer Jour / Heure : à idiquer Lieu : à idiquer Nom et Grade de l eseigat du cours:rachidia.ayessoufou,maître-assistat 1. Objectif gééral : Ce cours vise à permettre à l étudiat de maîtriser les lois fodametales de l optique géométrique et leurs applicatios à différets systèmes optiques. 2. Objectifs spécifiques : À la fi de ce cours, chaque étudiat doit être capable de : Éocer les lois et pricipes de l optique géométrique; Tracer lamarched urayolumieux esebasatsur lesloisetpricipesdel optique géométrique à travers : U dioptre; U miroir; U système cetré; Ue letille mice; Ue associatio de letilles mices.

3 2 Détermier la positio de l image coaissat celle de l objet et iversemet à travers u système optique; Expliquer le pricipe de foctioemet d u microscope, d u oeil et d ue luette astroomique. 3. Pré - requis : Costructio géométrique; Théorèmes de Thalès et de Pythagore; Foctios circulaires. 4. Coteu : Pricipes et lois de l optique géométrique Applicatios Les systèmes cetrés Istrumets d optique 5. Méthodes d eseigemet : à idiquer au cours

4 Uiversité d'abomey - Calavi (UAC) Faculté des Scieces et Techiques (FAST) Départemet de Physique Cours : Optique géométrique Rachidi A. A. YESSOUFOU Maître - Assistat 1 Cours : Optique géométrique

5 Gééralités sur l optique I- Objet de l optique Nature de la lumière : I-1- Défiitio : L optique était d abord l étude de la lumière visible, c'est-à-dire l étude des phéomèes physiques qui impressioet l œil das le domaie du spectre visible (logueurs d ode comprises etre 0,4 m et 0,75 m) puis, après l apparitio d autres récepteurs de rayoemet, comme des cellules photoélectriques, des plaques photographiques et des photomultiplicateurs. L applicatio de l optique s est étedue à d autres domaies de rayoemet tels que le domaie de rayoemets Ifrarouge, Ultraviolet et des rayos X I-2- Nature de la lumière : Afi d expliquer la ature de la lumière et iterpréter ses phéomèes, deux théories ot été élaborées : a- La théorie corpusculaire : développée successivemet par Newto et Plack et souteue par Eistei, elle cosidère que la lumière est u flux de particules (des photos h) qui se déplacet istataémet, à très grade vitesse et frappe la rétie de l œil. Cepedat, cette théorie est icapable d iterpréter des phéomèes très importats e optique tels que les iterféreces et la diffractio. b- La théorie odulatoire : formulée par Huyges et souteue par Fresel e 1870, selo laquelle le phéomèe lumieux est vibratoire : la lumière se propage par ode. Au début du 19ème siècle, l étude systématique des phéomèes d iterféreces et de diffractio, etreprise par Youg et Fresel, a doé l avatage à la théorie odulatoire seule capable d iterpréter les phéomèes d iterféreces et de diffractio. 1

6 Cette théorie semble l emporter défiitivemet, lorsque Maxwell parviet à idetifier le phéomèe lumieux comme u domaie particulier de la gamme des fréqueces des odes électromagétiques. Mais, malgré l éorme progrès que cette théorie apporte, elle s est avérée icapable d iterpréter certais phéomèes où itervieet des relatios éergétiques etre matière et rayoemet à l itérieur des atomes. Aisi l effet photoélectrique lui échappe complètemet. E 1924, Luis De Broglie viet cocilier les deux poits de vue, e motrat que le double aspect préseté par le phéomèe lumieux, est u cas particulier d ue propriété géérale de la matière : à toute particule e mouvemet o peut associer ue ode. I-3- Les domaies d optique : O peut diviser l optique e deux domaies pricipaux : a- Optique géométrique : C est la partie de l optique que l o peut déduire de la loi de propagatio rectilige de la lumière : o assimile la lumière à des rayos lumieux, das u milieu homogèe, se propaget e lige droite (o verra cela e détail lors du prochai chapitre). b- Optique odulatoire ou optique physique : C est le domaie d optique où les phéomèes physiques s expliquet e cosidérat que la lumière se propage par odes électromagétiques : la lumière est décrite comme état la propagatio d odes électromagétiques (das u domaie de fréquece bie défii), ue vibratio lumieuse est composée d u champ électrique et d u champ magétique. Remarque : L optique géométrique est ue approximatio de l optique odulatoire valable lorsque les dimesios des ouvertures et des objets qui limitet les faisceaux lumieux sot grades devat la logueur d ode du rayoemet cosidéré. 2

7 Les pricipes et les lois de l optique géométrique I- Propagatio rectilige de la lumière : Défiitios 1 : * U milieu est dit homogèe s il a la même compositio e tous ses poits. * U milieu est dit isotrope si ses propriétés sot les mêmes das toutes les directios. Pricipe 1 : Pricipe de Fermat : Pour aller d u poit A à u poit B, la lumière emprute u chemi tel que le trajet AB soit de durée statioaire. Coséqueces : Das u milieu homogèe et isotrope, la lumière se propage e lige droite (c est le chemi le plus court etre deux poits). Le chemi suivi est idépedat du ses de parcours. Défiitios 2 : La trajectoire de la lumière costitue u rayo lumieux. U esemble peu étedu de rayos lumieux costitue u piceau lumieux. U esemble plus étedu de rayos lumieux costitue u faisceau lumieux. U piceau ou u faisceau est dit coverget si tous les rayos se diriget vers u même poit, diverget s ils sot issus du même poit, parallèle si tous les rayos sot parallèles etre eux. II- Lois de réflexio : Défiitios 3 : coverget diverget parallèle 3

8 La réflexio cosiste e u brusque chagemet de directio de la lumière qui, après avoir recotré ue surface réfléchissate, reviet das so milieu de propagatio iitial. U rayo lumieux est dit icidet avat d avoir recotré la surface réfléchissate, réfléchi après. La surface réfléchissate est appelée miroir. Rayo icidet Rayo réfléchi surface réfléchissate Le miroir peut être pla ou o. Les miroirs les plus courats sot plas, sphériques ou paraboliques. Défiitios 4 : O appelle : poit d icidece : le poit où le rayo icidet recotre la surface réfléchissate. pla d icidece : le pla coteat le rayo icidet avec la ormale à la surface réfléchissate au poit d icidece. agle d icidece : l agle que fait le rayo icidet avec la ormale à la surface réfléchissate au poit d icidece. agle de réflexio : l agle que fait le rayo réfléchi avec la ormale à la surface réfléchissate au poit d icidece. Lois de la réflexio : lois de Descartes (lois de Sell das les ouvrages aglosaxos) Loi 1 : les rayos icidet et réfléchi sot coteus das le pla d icidece. Loi 2 : Le rayo réfléchi est le symétrique du rayo icidet par rapport à la ormale à la surface réfléchissate au poit d icidece. 4

9 N S R i r (SI), (IR) et (IN) sot coplaaires (loi I 1) i = r (loi 2) III- Lois de la réfractio : Défiitios 5 : La réfractio cosiste e u brusque chagemet de directio de la lumière qui, après avoir recotré sur ue surface réfractate, se propage das u milieu différet de so milieu de propagatio iitial. La surface réfractate est appelée dioptre ou surface dioptrique. Rayo icidet surface réfractate Rayo réfracté Le dioptre est e gééral pla ou sphérique. Les défiitios du poit d icidece et du pla d icidece sot les mêmes que pour la réflexio. Les milieux de propagatio que ous supposeros homogèes et isotropes sot caractérisés par leur idice de réfractio et respectivemet égaux à v c et c, c état la célérité de la lumière das le vide, v la vitesse v' de propagatio de la lumière das l u des deux milieux (par exemple icidet) et v la vitesse de propagatio de la lumière das l autre milieu (par exemple réfracté) O pred : c = 3 x 10 8 m / s 5

10 L idice de réfractio est ue caractéristique du milieu, il est doé par : c v > 1. Remarque : Das u milieu d idice, o a = T 1 = v = v T Das l air comme das le vide : = c T D où 0 c 0 v O voit bie que : La logueur d ode d u rayoemet déped de l idice de réfractio du milieu où il se propage. L idice de réfractio d u milieu matériel déped de la logueur d ode de la lumière utilisée (phéomèe de dispersio). Lois de Descartes (lois de Sell) pour la réfractio : Loi 3 : les rayos icidet et réfracté sot coteus das le pla d icidece. N S i I i N R Le rayo icidet SI, le rayo réfracté IR et la ormale IN sot coplaaires. (Les rayos icidet et réfracté sot toujours de part et d autre de la ormale) Loi 4 : Les agle d icidece i et de réfractio i sot tels que : si (i) = si (i ) Réfractio limite et réflexio totale : La lumière passe d u milieu d idice à u autre d idice. 1 er cas : < (le milieu d idice est dit plus réfriget que le milieu d idice ) 6

11 ' 1 si (i') si (i) ' 1 si (i') si (i) i' i Le rayo réfracté se rapproche doc de la ormale e péétrat das le milieu le plus réfriget. N S i I i i max N R (S) La valeur maximale de i état /2 (icidece rasate) Pour i = /2 la valeur maximale de i max de i est telle que : si (i max ) = 1 ' 2 ème cas : > (la lumière passe du milieu d idice au milieu d idice mois réfriget ) ' 1 si (i') si (i) ' 1 si (i') si (i) i' i S N i I i N R (S) Le rayo réfracté s écarte de la ormale e péétrat das le milieu le mois réfriget. Pour ue certaie valeur de i, i atteit sa valeur limite /2, d où : ' si ( ) ' si ( ) si (imax ) (i max = ) 7

12 Tous les rayos qui arrivet sur la surface (S) avec ue icidece (i > i max = ) subisset ue réflexio totale (il y a pas de rayos réfractés) : c est le phéomèe de la réflexio totale, l agle i max = correspod à la réfractio limite. IV- Pricipe de retour iverse de la lumière : Si l o iverse le ses de propagatio de la lumière, c'est-à-dire si l o itervertit les rayos icidet et réfracté ou réfléchi, les lois de la réflexio ou de la réfractio sot ichagées. Ceci résulte du pricipe suivat : Pricipe 2 : Le trajet suivi par la lumière etre deux poits situés sur u même rayo lumieux est idépedat du ses de propagatio de la lumière etre ces deux poits. V- Pricipe de l idépedace des rayos lumieux : Si, das u milieu homogèe, existat plusieurs sources de lumière, les différets faisceaux peuvet se propager sas se gêer. Ceci résulte du pricipe suivat : Pricipe 3 : pricipe de l idépedace des rayos lumieux : Das u milieu homogèe, les rayos lumieux issus d ue même source ou de sources distictes se propaget idépedammet les us des autres. 8

13 Formatio des images Stigmatisme - Aplaétisme I- Système optique : I-1- Défiitio 1 : O appelle système optique l esemble d u certai ombre de milieux trasparets e gééral homogèes et isotropes séparés par des surfaces réfractates (dioptres) ou réfléchissates (miroirs) dot la forme est simple. O distigue trois catégories de systèmes : Les systèmes dioptriques comportat seulemet des dioptres. Les systèmes catadioptriques comportat des dioptres et des miroirs. Les systèmes catoptriques comportat seulemet des miroirs. rayo icidet A système optique (S) rayo émerget A F e face d etrée F s face de sortie Gééralemet les surfaces de séparatio sot de révolutio autour d u même axe (axe optique), le système est alors dit cetré. II- Image d u poit Caractère réel et virtuel : II-1- Poit objet réel et poit image réel : Tout poit lumieux evoyat réellemet de la lumière sur la face d etrée du système costitue u poit objet réel. 9

14 A poit objet réel a (S) A poit image réel Si les rayos lumieux issus de A coverget réellemet e A, après avoir traversé le système. A peut être reçue sur u écra : o dit que A est l image réelle de A. II-2- Poit objet réel et poit image virtuel : A poit objet réel a A (S) A : poit image virtuel Les rayos lumieux issus de A e coverget pas réellemet pas e A mais virtuellemet (e prologeat les rayos émergets). L image A e peut pas être reçue sur u écra, c est ue image virtuelle de A. II-3- Poit objet virtuel et poit image réel : A : poit objet virtuel (S) A A poit image réel II-4- Poit objet virtuel et poit image virtuel : A : poit objet virtuel A A (S) A : poit image virtuel 10

15 II-5- Cas de deux systèmes : A A 1 (S 1 ) (S 2 ) A A 1 est l image virtuelle de A à travers (S 1 ) costitue aussi u objet réel pour le système (S 2 ). II-6- Espace objet espace image : lumière espace objet réel face d etrée (S) espace image réelle face de sortie La lumière se propage das u système optique cetré de la gauche vers la droite. Le système (S) divise l espace e u espace objet réel situé e avat de la face d etrée (das le ses de propagatio de la lumière) et u espace image réelle située e arrière de sa face de sortie. lumière espace objet réel espace objet virtuel lumière face d etrée espace image virtuelle face d etrée (S) (S) face de sortie espace image réelle face de sortie 11

16 U objet est dit réel s il est situé das l espace objet réel ; il est virtuel s il se trouve das l espace objet virtuel. Ue image est dite réelle si elle est située das l espace image réelle ; elle est virtuelle si elle se trouve das l espace image virtuelle. III- Stigmatisme : III-1- Stigmatisme rigoureux : Défiitio 3 : U système optique est rigoureusemet stigmatique pour le couple de poits cojugués A et A si tous les rayos issus du poit objet A passet, après traversée du système, par le même poit image A. Remarque : L applicatio du pricipe du retour iverse motre immédiatemet que si A est le poit objet et si o iverse le ses de la marche de la lumière, A sera l image rigoureusemet stigmatique de A. A et A sot deux poits cojugués par rapport à (S). III-2- Stigmatisme approché : Défiitio 4 : U système optique est approximativemet stigmatique si l image d u poit objet A est ue tache de très petites dimesios, cetrée e A, image géométrique de A. III-3- Remarques : Le stigmatisme rigoureux est très raremet réalisé. A l exceptio du miroir pla, tous les systèmes que ous allos étudier e sot pas rigoureusemet stigmatiques pour ue positio quelcoque du poit objet. O peut e gééral se coteter du stigmatisme approché : les systèmes optiques sot presque toujours utilisés das des coditios de stigmatisme approché pour chacu des poits du couple objet-image. 12

17 IV- Coditios de stigmatisme : IV-1- Chemi optique : Soit u rayo lumieux se propageat das des milieux quelcoques (pas écessairemet homogèes et isotropes) subisset évetuellemet des réflexios et des réfractios (e ombre quelcoque). Cosidéros u poit A et u poit A situés sur ce même rayo. Soiet u poit M de ce rayo et l idice de réfractio du milieu de propagatio au voisiage de M. Soit ds u élémet d arc du rayo, cetré e M. A M A ds Défiitio 5 : O appelle chemi optique élémetaire autour de M la quatité : dl = ds et chemi optique de A à A la quatité otée (AA ) ou L AA telle que : (AA ) = L AA = A' ds A IV-2- Sigificatio physique du chemi optique : Soit v la vitesse de la lumière e M. L idice de réfractio : = v c Soit dt la durée mise par la lumière pour courir ds ; o a : ds = v x dt D où : (AA ) = A' ds A A' A c v vdt c t AA' t AA état la durée mise pour aller de A à A. Le chemi optique représete la distace que parcourrait la lumière das le vide pedat la même durée. Covetio d algébrisatio : O coviet de compter positivemet les chemis optiques correspodat à des trajets réels et égativemet ceux correspodat à des trajets virtuels. 13

18 IV-3- Coditios de stigmatisme rigoureux : A (S) A Soit u système optique rigoureusemet stigmatique pour le couple de poits cojugués A, A. O motre que pour qu il e soit aisi, il faut et il suffit que : (AA ) = costate Pour tous les rayos lumieux joigat deux poits stigmatiques A et A le chemi optique est le même. IV-4- Coditios de stigmatisme approché : Soit (S) u système cetré. Le poit objet A est sur l axe de symétrie. Axe de symétrie A a I I (S) A + (S) est approximativemet stigmatique : tous les rayos issus de A passet, après traversée du système, au voisiage immédiat de A. O motre pour qu il ait stigmatisme approché pour le couple de poits A, A de l axe, il faut et il suffit que : (AA ) costate à des termes e a 4 près. aétat l agle que fait AI avec l axe de symétrie orieté. Le stigmatisme approché sera doc réalisé lorsque ces termes e a 4 sot égligeables. Il e sera aisi pour des agles a petits doc des rayos icidets AI très proches de l axe de symétrie : de tels rayos sot dits paraxiaux. 14

19 V- Aplaétisme : O cosidère u système cetré (S), B + A u I I a (S) u' + A B + a Soiet A et A deux poits de l axe pour lesquels le système est rigoureusemet stigmatique, B et B deux poits très proches de A et A respectivemet, situés das des plas perpediculaires à l axe e A et A (plas de frot) et das le même pla coteat l axe (pla de la figure). Défiitio 6 : Le système est dit aplaétique pour A et A si, état rigoureusemet stigmatique pour A et A, il est aussi rigoureusemet stigmatique par B et B. * Coditio d aplaétisme : O motre que, pour que le système (S) soit aplaétique pou A et A, il faut et il suffit que la coditio suivate soit vérifiée : AB si ( a ) ' A'B' si ( a') coditio d Abbe - Cas particulier : lorsque les rayos sot paraxiaux, o a si (a) a et si (a') a, la coditio d Abbe s écrit : AB a ' A' B' a' relatio de Lagrage Helmoltz * Coditio d Herschel (stigmatisme le log de l axe) Soit u système cetré (S) rigoureusemet stigmatique pour deux poits A et A de l axe. Soiet deux poits A 1 et ' A1 de l axe très proches de A et A. 15

20 + A 1 + A u I I a (S) u' + A + ' A 1 a + Pour que le système (S) soit rigoureusemet stigmatique, à la fois pour (A, A ) et ' pour (A 1, A 1), il faut et il suffit que la coditio suivate soit vérifiée : 2 a ' 2 a' AA1 si ' A' A1 si coditio d Herschel 2 2 VI- Coditios de l approximatio de Gauss : Les coditios de l approximatio de Gauss sot les coditios écessaires pour obteir des images de boe qualité. * Coditios de l approximatio de Gauss : - L objet doit être pla, perpediculaire à l axe, cetré sur l axe et de petites dimesios. - L objet e doit evoyer sur le système que des rayos paraxiaux. L image obteue est alors de boe qualité, plae, perpediculaire à l axe et cetrée sur l axe. 16

21 Dioptres et miroirs sphériques das l approximatio de Gauss A- Etude du dioptre sphérique das l approximatio de Gauss : Défiitio 1 : O appelle dioptre sphérique ue surface sphérique de cetre C, séparat u milieu d idice d u milieu d idice. Das l approximatio de Gauss, u dioptre est e fait limité à ue calotte de sommet S. L axe CS s appelle axe pricipal du dioptre. A-I- Formule de cojugaiso et gradissemet : Défiitio 2 : Les relatios de cojugaiso sot les formules permettat de coaître la positio et la gradeur d ue image lorsque l o coaît la positio et la gradeur de l objet. A-I-1- Relatio de cojugaiso avec origie au sommet : A + M i a a A C i w H S Stigmatisme approché du dioptre sphérique Cette figure est faite e supposat >. O cosidère u rayo lumieux issu d u poit A situé sur l axe pricipal et o cherche la positio de so cojugué A. H état la projectio orthogoale de M sur l axe. Das l approximatio de Gauss, H et S sot pratiquemet cofodus. O a : 17

22 a + i = w et a + i = w La loi de la réfractio e M pour des rayos paraxiaux (agles très petits e radias) s écrit : i = i (w- a) = (w- a ) Les poits H et S sot pratiquemet cofodus et les agles sot très petits : tg HM HM w w ; tga a ; tga ' CH CS HM AH E reportat das l expressio précédete : HM AS a' HM A' H HM A'S 1 HM CS 1 AS 1 ' HM CS 1 A'S ou ecore : 1 SA 1 SC ' 1 SA' 1 SC Cette relatio fixe la positio de A idépedammet du choix du rayo AM : c est la relatio de cojugaiso avec origie au sommet. Elle peut s écrire sous la forme : SA ' SA' ' SC A-I-2- Gradissemet trasversal : Soiet A et A deux poits cojugués sur l axe pricipal du dioptre et cosidéros u petit objet AB perpediculaire à cet axe. Défiitio 3 : La gradeur de l image est obteue par le gradissemet trasversal défii par : A' B' AB + B A C i S i A B + B B C A i A S i 18

23 La figure de gauche représete le cas A B réel et celle de droite le cas A B virtuel. O a : Le rayo passat par le cetre est pas dévié. tg AB i i et tgi' SA i' A' B' SA' La relatio de la réfractio : i = i appliquée au rayo BSB s écrit : D où l expressio du gradissemet : AB ' SA A' B' SA' A' B' AB ' SA' SA A-II- Positios des foyers : A-II-1- Foyers pricipaux : Défiitio 4 : Le foyer image F est le poit cojugué du poit du milieu objet situé à l ifii sur l axe pricipal. O obtiet la positio de F e preat A à l ifii das la relatio de cojugaiso précédete : SA ; SA' SF' ' SF' ' SC Soit : SF' ' SC ' Défiitio 5 : Le foyer objet F est le poit cojugué du poit du milieu image situé à l ifii sur l axe pricipal. SA ' ; SA SF SF ' SC Soit : SF SC ' 19

24 Défiitio 6 : O pose f = SF la distace focale objet du dioptre. f = SF ' la distace focale image du dioptre. O remarque : f f ' ' Les distaces focales ot des siges opposés. Défiitio 7 : U dioptre est dit coverget si le foyer image est réel, c est-àdire si F se trouve effectivemet das le milieu d idice ; das le cas cotraire le dioptre est dit diverget. Les différets cas possibles suivat les valeurs respectives de et d ue part et suivat le ses de la cocavité d autre part. C S F F S C > > F C S S C F < < Remarque : le rayo réfracté s écarte de la ormale e péétrat das le milieu le mois réfriget. le rayo réfracté s approche de la ormale e péétrat das le milieu le Coclusio : plus réfriget. 20

25 De l exame de ces figures, o pourra reteir le résultat suivat : u dioptre est coverget si so cetre est situé das le milieu le plus réfriget. A-II-2- Foyers secodaires : Défiitio 8 : O appelle pla focal objet (respectivemet pla focal image), le pla perpediculaire à l axe et coteat le foyer objet F (respectivemet le foyer image F ). Défiitio 9 : Les foyers secodaires objet et image sot les cojugués des poits à l ifii das les directios secodaires (o parallèles à l axe). C S F > ' F 1 F : foyer pricipal ' F 1 : foyer secodaire Les foyers secodaires objet (respectivemet image) que l o ote F 1 ou (respectivemet ' F 1 ou ) sot das le pla frotal coteat le foyer objet (respectivemet image) pricipal. Ceci résulte de l aplaétisme du dioptre. A-II-3- Covergece et vergece : Défiitio 10 : * O appelle covergece C d u dioptre sphérique la quatité : C = ' SC * O appelle vergece objet d u dioptre sphérique la quatité : V = SA 21

26 * O appelle vergece image d u dioptre sphérique la quatité : V = ' SA ' La relatio de cojugaiso s écrit : V = V + C A-III- Relatio de cojugaiso et gradissemet avec origie au cetre : A-III-1- Relatio de cojugaiso avec origie au cetre : La relatio de cojugaiso avec origie au sommet : SA ' SA' ' SC SA SC CA ; SA' SC CA' ' ' SA' ' SA SA SA' SC SA SA' SC CA' ' SC CA SC CA SC CA' SC ' SC CA' ' CA SC CA SC CA' SC 2 ' ' ' SC CA' SC ' CA SC ' SC 2 ' SC ' CA SC ' CA' SC ' CA CA' 0 CA SC ' CA' SC ' CA CA' CA ' CA' SC ' CA CA' ' CA' CA ' SC ' CS C est la formule de cojugaiso avec origie au cetre. A-III-2- gradissemet avec origie au cetre : Soiet A et A sot deux poits cojugués de l axe pricipal et soit AB u petit objet perpediculaire à l axe. O trace le rayo BC qui, passat par le cetre C, est pas dévié. 22

27 + B A C S A B Le théorème de Thalès doe : A' B' AB CA' CA C est la formule de gradissemet avec origie au cetre. A-IV- Relatio de cojugaiso et gradissemet avec origie aux foyers : Das l approximatio de Gauss, o adopte ue représetatio courate du dioptre sphérique : B A F M F S A M B Les triagles ABF et FSM sot semblables : SM ' FS et SM' A' B ' AB FA A' B' AB FS FA f FA (*) De même, Les triagles A B F et F SM sot semblables : A' B' SM F' A' et SM AB F'S A' B' AB F' A' F'S F' A' f ' (**) f O déduit de (*) et (**) que : FA F' A' f ' 23

28 D où : f f ' F' A' FA C est la formule de cojugaiso avec origie aux foyers (relatio de Newto) avec f = SF et f = SF ' A-V- Costructio d ue image : Pour costruire l image d u objet AB perpediculaire à l axe, o utilise des rayos particuliers qui ot des propriétés remarquables. U rayo passat par le cetre C est pas dévié. U rayo icidet parallèle à l axe pricipal a so émerget qui passe par le foyer image. U rayo passat par le foyer objet a so émerget parallèle à l axe pricipal. + B A F C S F B A L mage est réelle si elle est située das le milieu d idice, virtuelle sio. A-VI- Cas particulier du dioptre pla : Défiitio 11 : U dioptre pla est u système de deux milieux trasparets, d idices différets, séparés par ue surface plae. Le dioptre pla peut être cosidéré comme u dioptre sphérique dot le rayo est ifii. Le sommet est sur le dioptre alors que le cetre est rejeté à l ifii. * Foyers : Tout faisceau icidet parallèle à l axe (ormal au pla) est pas dévié et ressort doc parallèle à l axe. Les foyers pricipaux de ce système optique sot doc rejetés à l ifii sur l axe. 24

29 Défiitio 12 : U système afocal est u système dot le(s) foyer(s) est (sot) rejetés à l ifii. Le dioptre pla est u système afocal. La relatio de cojugaiso du dioptre pla s obtiet de celle du dioptre sphérique e faisat tedre SC vers l ifii : SA ' SA' Le gradissemet trasversal est doé par : A' B' SA' ' 1 AB ' SA ' Rappelos que les deux formules ecadrées e sot valables que das l approximatio de Gauss. B B A A L image a la même taille que l objet. L objet et l image sot du même côté du dioptre et par suite ils sot de atures différetes : objet réel image virtuelle et vice versa. B- Etude du miroir sphérique das l approximatio de Gauss : Défiitio 1 : O appelle miroir sphérique ue calotte sphérique réfléchissate. Le cetre C de la sphère das laquelle a été découpée la calotte est le cetre du miroir, le sommet S de la calotte est le sommet du miroir. C a R r S Axe pricipal du miroir r est appelé rayo d ouverture, CS le rayo du miroir et a l agle d ouverture. 25

30 L axe de symétrie passat par C et par S est l axe pricipal du miroir, tout autre axe passat par C est u axe secodaire. O peut distiguer deux types de miroir sphérique : Miroir cocave : la face réfléchissate est du côté du cetre C. Miroir covexe : la face réfléchissate est du côté opposé au cetre C. B-I-1- Formule de cojugaiso et gradissemet avec origie au sommet : O cosidère u miroir sphérique de cetre C et de sommet S. M A i a w i' A a C H S U rayo lumieux issu d u poit A, frappe le miroir e M, se réfléchit et recoupe l axe e A. H état la projectio orthogoale de M sur l axe pricipal. Das l approximatio de Gauss, H et S sot pratiquemet cofodus. O a : i = i' (loi de la réflexio) Par coséquet : wa = a - w a + i = w et a = i + w Les poits H et S sot pratiquemet cofodus et les agles sot très petits : tg HM HM w w ; tga a ; tga ' CH CS HM AH E reportat das l expressio précédete : HM AS a' HM A' H HM A'S 1 HM CS 1 AS 1 HM A'S 1 CS ou ecore : 1 SA 1 SC 1 SA' 1 SC 1 1 SA SA' 2 SC 26

31 Cette relatio fixe la positio de A idépedammet du choix du rayo AM : c est la relatio de cojugaiso avec origie au sommet. B-I-2-Gradissemet : B A A B S O cosidère le rayo passat par le sommet S. La loi de la réflexio, i = i, motre que les triagles SAB et SA B sot semblables, ce qui doe : A' B' AB SA' SA Remarque fodametale : Les deux formules que ous veos d obteir, peuvet se déduire de celles du dioptre sphérique e posat = -. Ceci viet du fait que la loi de la réflexio peut s écrire, avec des agles orietés, i = - i, et qu elle a alors la même forme que la loi de la réfractio pour des rayos paraxiaux : i = i, à coditio de poser = -. Pour obteir les formules du miroir sphérique, il suffit de poser = - das celles du dioptre sphérique, e se rappelat que, du fait de la réflexio, l espace image est «replié» sur l espace objet. B-II- Positio des foyers : O obtiet la positio du foyer image F e faisat tedre SA vers l ifii das la relatio de cojugaiso : 1 2 SF' SC SF' SC 2 27

32 Le même raisoemet coduit à la positio du foyer objet F ( SA' 0 ) coduit à : SC SF 2 Les foyers image et objet sot cofodus. O appelle distace focale f du miroir la quatité algébrique : f = SF SF' SC 2 Le foyer est situé au milieu du segmet SC. La distace focale est égale, e valeur absolue, à la moitié du rayo de courbure. B-III- Costructio d ue image : B A C A B F = F S Le rayo passat par le cetre est pas dévié (il est replié sur lui-même), u rayo icidet parallèle à l axe repasse par le foyer, u rayo icidet passat par le foyer est réfléchi parallèlemet à l axe. B-IV- Cojugaiso et gradissemet avec origie aux foyers : formules de Newto : B I A C A B F = F S J Miroir cocave das l approximatio de Gauss 28

33 Les triagles FAB et FSJ sot semblables SJ AB FS FA Les triagles FA B et FSI sot semblables SI A' B' FS FA' De plus, SI AB et SJ A' B' D où les formules de Newto : A' B' FS FA' AB FA FS FA. FA' 2 FS La distace focale du miroir : f = SC SF 2 Les formules de Newto s écrivet : f FA' FA f FA. FA' 2 f Remarque : Les mêmes calculs peuvet être faits avec le miroir covexe. B I J B S A A F C Miroir covexe das l approximatio de Gauss B-V- Cojugaiso et gradissemet avec origie au cetre : Soit AB u petit objet perpediculaire à l axe pricipal, dot l image est A B. Le rayo BCB est pas dévié, o a : B A C A F B S 29

34 A' B' AB CA' CA La relatio de cojugaiso avec origie au cetre s écrit : 1 CA 1 CA' 2 CS B-VI- Miroir pla : Le miroir pla peut être cosidéré comme u miroir sphérique dot le rayo est ifii. Le sommet est alors sur le miroir, le cetre état rejeté à l ifii. Il e est doc de même du foyer : le miroir pla est u système afocal. Rappelos qu u système afocal est u système pour lequel le(s) foyer(s) est (sot) rejeté(s) à l ifii. La relatio de cojugaiso et le gradissemet d u miroir pla s écrit : SA SA' 1 Aisi l objet et l image sot idetiques et symétriques l u de l autre par rapport au miroir pla. 30

35 Letilles Propriétés géérales Ue letille est u système cetré formé de deux dioptres dot l'u au mois est u dioptre sphérique. O défiira les rayos de courbure de chacu des dioptres par leurs mesures algébriques: où C 1 et C 2 sot les cetres des dioptres correspodat. O distigue deux familles de letilles suivat que les bords sot plus mices ou plus épais que l'épaisseur S 1 S 2 : Les letilles à bords mices Les letilles à bords épais 31

36 Ue letille sera dite mice ou épaisse suivat que so épaisseur S 1 S 2 comptée sur l'axe est égligeable ou o devat les rayos de courbure de ses faces R 1 et R 2 et devat la valeur absolue de la différece de leurs valeurs algébriques. Ue letille épaisse état formée par l'associatio de deux dioptres costitue u système cetré qui e réalisera le stigmatisme approché que das les coditios de Gauss. Cetre optique Nous cosidéreros das ce qui suit que la letille a ses deux faces au cotact de l'air. E premier lieu o pourra dire qu'ue letille est mice lorsque so épaisseur est égligeable devat les rayos de courbure de ses deux faces. Les sommets pourrot alors être cofodus e u même poit S; mais cette coditio e permet pas de cofodre S avec le cetre optique O. O motre que pour ue letille épaisse ous avos la relatio: Ce qui permet d'écrire: 32

37 O pourra doc cosidérer que O et S 2 sot cofodus si l'épaisseur S 1 S 2 est petite devat la valeur absolue de la différece des valeurs algébriques des rayos de courbure R 2 - R 1. Lorsque les deux coditios précédetes serot satisfaites, le cetre optique O pourra être cofodu avec les sommets S 1 et S 2. Aisi u faisceau coverget e O 'est modifié i e directio i e positio par ue letille mice dot le cetre optique est e O. Les letilles à bords mices : (a) Les letilles à bords épais : (b). Foyers, plas focaux. Distaces focales La letille mice qui est u système cetré dioptrique possède deux plas focaux perpediculaires à l'axe pricipal aux foyers objet F et image F'. Comme les milieux extrêmes sot idetiques les distaces focales sot égales e valeur absolue et l'o a: Il existe deux sortes de letilles mices : 33

38 - les letilles mices covergetes pour lesquelles f ' est positive. Le foyer objet F est situé das espace objet et le foyer image F ' est situé das l'espace image; les deux foyers sot réels. - les letilles mices divergetes pour lesquelles f ' est égative et les foyers sot virtuels. Costructio de l'image d'u objet AB perpediculaire à l'axe Das le cadre de l'approximatio de Gauss, l'image A'B' d'u objet AB perpediculaire à l'axe est égalemet perpediculaire à l'axe. Pour trouver l'image A'B' de AB il suffira doc de détermier l'image B' de B et d'abaisser de B' ue perpediculaire à l'axe pricipal pour obteir A'. Pour ce faire ous pourros utiliser trois rayos particuliers issus de B: - le rayo qui passe par le cetre optique O et qui 'est pas dévié. - le rayo qui passe par le foyer objet F de la letille et qui émerge parallèlemet à l'axe pricipal. - le rayo parallèle à l'axe pricipal et qui émerge e passat par le foyer image F'. Seuls deux des trois rayos utilisés suffiset à détermier la positio du poit B'. 34

39 Formules de cojugaiso avec origie au cetre Coaissat la positio des foyers : O costruit l image E appliquat le théorème de Thalès : D où : Ou ecore : Que l'o écrit souvet e posat: Le gradissemet liéaire s'exprimera par: 35

40 Formules de cojugaiso avec origies aux foyers O a: Soit e posat: O a égalemet: O e déduit la formule du gradissemet liéaire: 36

41 Exercice Solutio : E séace de cours. 37

42 Costructio de l'émerget correspodat à u icidet quelcoque Deux méthodes de costructio peuvet être evisagées pour tracer le rayo émerget correspodat à u icidet quelcoque: - la première méthode cosiste à remarquer que tout faisceau issu d'u foyer secodaire Fs apparteat au pla focal objet émerge e u faisceau de rayos parallèles à l'axe secodaire FsO - la deuxième méthode utilise le fait qu'u faisceau de lumière parallèle icidet sur la letille coverge e u foyer secodaire image F's apparteat au pla focal image; F's est l'itersectio de l'axe secodaire parallèle au faisceau icidet avec le pla focal image. D où les costructios suivates pour u rayo icidet quelcoque: O cherche l'itersectio du rayo icidet avec le pla focal objet Fs; le rayo émerget sera parallèle à FsO. 38

43 O trace ue parallèle au rayo icidet passat par le cetre optique O qui coupe le pla focal image e F's; le rayo émerge e passat par le foyer secodaire F's. 39

44 Bibliographie Nous avos reteu, das cette liste volotairemet réduite, que quelques livres particulièremet accessibles aux étudiats du premier cycle uiversitaire. Optique géométrique et optique physique : Cours et 94 exercices corrigés, 1re et 2e aées MP, PC de Jea-Pierre Faroux 308 pages Duod; (J'itègre) Optique, fodemets et applicatios avec 250 exercices et problèmes résolus, 6e éditio de Perez Duod; (Eseigemet de) Optique. Cours et exercices corrigés de Roux 336 pages Ellipses Marketig Optique géométrique et odulatoire : 98 problèmes résolus, rappels de cours : 1re aée MPSI, PCSI, PTSI, 2e aée MP, PSI, PC de Hubert Lumbroso Duod; (J'itègre) 137

45 Optique: Cours et problèmes résolus de May 477 pages Duod; (Duod) Electrostatique, Magétostatique, Optique géométrique, MPSI-PCSI-PTSI : 1ère aée, cours et exercices de Marie Helee Auvray 320 pages Presses Uiversitaires de Frace - PUF; (Physique-chimie Prépa) Optique géométrique : cours de Agès Maurel Beli; (Beli-Sup Scieces) Optique geometrique - exercices de Malbec Maurel Beli; (Uiversitaire B) TD Optique : Rappels de cours, questio de réflexio, exercices d'etraîemet de Jea-Paul Parisot, Sylvie Le Boiteux, Patricia Segods, Michel Dobrijevic 216 pages Duod; (Scieces Sup) 138

46 M. Berti, J. P. Faroux, J. Reault, Optique géométrique. (Duod uiversité, Paris). J. Faget, L. Marti, Exercices et problèmes d optique physique. (Vuibert, Paris). Moussa, P. Posoet, Optique. (Desviges, Lyo). Pelletier, J. Schmouker, Cours de physique, 2-Optique. (Duod, Paris). J.-L. Queyrel, J. Mesplède, Optique. (Les ouveaux précis Bréal, Bréal 1999). ES-SBAI, A., GUESSOUS, A., NAJID, N., OUZZANI, M., Problèmes corrigés de physique. Optique. Électromagétisme. Mécaique classique. Mécaique quatique. 1992, (ouvelle éditio). RENAULT Jacques, Exercices d'optique et de physique odulatoire. Duod, LECARDONNEL J. P., TILOY P., Exercices et problèmes résolus. Optique. Bréal,