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Marc-Antoine Barbeau
il y a 6 ans
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Sodage aléatoire simple Techiques d equête Exercice 1 Sur les 500 élèves de M1 de l Uiversité d Auverge, o veut coaître la proportio P qui souhaitet faire u Master à Clermot-Ferrad.

1 Sodage aléatoire simple Techiques d equête Exercice 1 Sur les 500 élèves de M1 de l Uiversité d Auverge, o veut coaître la proportio P qui souhaitet faire u Master à Clermot-Ferrad. Parmi les 150 élèves iterrogés, 63 voudraiet poursuivre. 1. Quel est l estimateur de P? L estimateur sas biais p = p = 63 = 0, Quel est sa précisio? Quel est le ombre d élèves souhaitat poursuivre e master avec u degré de cofiace de 95% estimé à partir de l échatillo? La variace estimée est : p (1 p ) V (p) = (1 f). 1 Puisque est grad, o églige 1-f 0,42(1 0.42) = = O e déduit : σ = 0,040 Avec 95% : p [0,42 1,96 0,040; 0,42 + 1,96 0,040] L estimateur du ombre total d élèves N D souhaitat poursuivre e master est : N D = N. p = 500 0,42 = 210 O a : σ ND = N. σ = 20.2 N D [ ; ] = [170; 249] Exercice 2 : O cherche à coaître la proportio de filles ées e Quelle taille d échatillo doit-o l adopter à trois poits près (et à 95% de degré de cofiace), das le cas d u sodage aléatoire simple? Soit P ce pourcetage et p so estimateur sas biais. L itervalle de cofiace, si o églige le taux f est : O ous impose : P(1 P) p [p 1,96. 1 ; p + 1,96. P(1 P) 1 ]

2 P(1 P) 1,96. 1 = 0,03 O e coaît pas P, mais o sait que P sera aux aletours de 50%, soit au pire : p(1 p) = 0,25 Autre maière de calculer : (cf slides 23) Avec: ,25 1 = 0, = t2 p(1 p) L = taille de l'échatillo attedu. t = Seuil de cofiace (ou Niveau de cofiace ou ecore Taux de cofiace) que l o souhaite garatir sur la mesure (t=1,96 pour u taux de cofiace de 95%). p= proportio estimée de la populatio présetat la caractéristique étudiée (ici 0.5) L = marge d'erreur (fixée à 3%). Exercice 3 : Das u modèle SAS, les échatillos sot tirés sas remise. Les probabilités de sortie p(s) sot égales à l iverse du ombre d échatillos disticts que l o peut costituer das la populatio (équiprobabilité). i Rj Compléter le tableau suivat : Das u modèle SAS, les échatillos sot tirés sas remise. Les probabilités de sortie p(s) sot égales à l iverse du ombre d échatillos disticts que l o peut costituer das la populatio (équiprobabilité).

3 s Reveu moye s p(s) échatillo au carré Somme L estimateur est-il biaisé? L estimateur correspodat à l échatillo s est R (s). C est la simple des reveus des deux idividus equêtés. L espérace de l estimateur vaut : Le biais est doc : E(R ) = p(s). R (s) = 0,1 ( ,5) + ) = 21 s E(R ) R = 0 L estimateur «simple» est doc sas biais, coformémet à la théorie. 2. Quelle est la précisio des estimateurs? ERRATUM: la correctio présetée e cours est icomplète. Il e suffit pas juste de multiplier la variace de chaque échatillo par la probabilité de sélectio de l échatillo, mais esuite d effectuer: V (y ) = (1 f). s2 Avec s 2 = 1 1 p(s)(y s y ) 2 i=1 =(84)/(2-1)=84 O peut e déduire que V (y ) = (1 2 5 ) 84 2 = 25.2

4 Sodage stratifié Exercice 1 : Soit ue populatio de 4 persoes pour lesquelles le caractère Y pred les valeurs suivates : y 1 =2 ; y 2 =3 ; y 3 =1, y 4 =6. O tire des échatillos de taille Calculer la variace de l estimateur de la das le cas d u sodage aléatoire simple (sas remise). L estimateur de la d u sodage aléatoire simple est pas biaisé. O pourrait doc soit predre la de la populatio, soit : Y = Y = 1 N y k = k U ( ) 4 Ou bie calculer la sur chaque échatillo possible, puis predre la somme des s s (par la probabilité de sélectio p(s)) de tous les échatillos possibles. 1 Y = p(s) Y s i=1 = 3 p(s) échatillo s SAS ^ Somme O a doc Y = 3. Pour la variace, o pred la somme des carrés des écarts à la (par la probabilité de sélectio p(s)) de tous les échatillos possibles (derière coloe du tableau), soit ous appliquos la formule : V (y ) = (1 f). s2 Avec s 2 = 1 p(s)(y 1 i=1 s y ) 2 =1.167/(2-1)=1.167 Avec (1-f)=[1-(2/4)]=0.5 et =2 ; alors V (y ) = =

5 2. Ue étude précédete affirme que les deux premiers idividus fot partis d u même groupe. Calculer la variace de l estimateur de la das le cas d u sodage stratifié pour avec les strates U1={y 1,y 2 } et U2={y 3,y 4 } Quelle méthode vaut-il mieux précoiser? Justifiez. O suppose ue allocatio proportioelle etre les strates. Aisi, puisque les strates fot la même taille 1 = 2 et 2 = 2, et que otre échatillo est de taille 2, il ous faut iterroger qu u seul idividu das chaque strate. O commece par calculer les paramètres au sei des classes : Echatillo possible strate 1 échatillo p(s) SAS ^ Puis Echatillo possible strate 1 échatillo p(s) SAS ^ S² y1 = p(s)(y s Y1)² = 0,5 k U1 S² y2 = p(s)(y s Y2)² = 12,5 k U2 S agissat d ue allocatio proportioelle, la variace est : Avec f=/n Soit : 1 = (1 f) N h N s² h N = N N h N s² h = 4 2 ( ) = O voit doc que la variace du pla stratifié est plus grade que pour le SAS, malgré l allocatio proportioelle. - Ce résultat surpreat rappelle que la stratificatio etraîe pas ue amélioratio systématique de la précisio.

6 - Dû au fait que das cet exemple la variace iter-strate est faible et que la taille de la populatio est petite. Exercice 2 : O cherche à estimer le poids moye de la populatio européee. O possède des iformatios sur la proportio de persoes selo leur idice de masse corporelle (IMC). La populatio est divisée e trois strates IMC faible, ormal et élevé. O tire u échatillo par SAS pour chacue des strates et o obtiet les résultats suivats : Podératio de la strate de l'échatillo e strate h Vraie dispersio des poids e strate h 1. Calculez l estimateur stratifié de la das la populatio européee de la variable «poids moye». Avat toute chose, repreos les iformatios que ous avos das l éocé: - Podératio de la strate h :N h /N - de l échatillo e strate h : Y h - Vraie dispersio des poids e strate h : S h ² - Le poids moye de la populatio est doé par : N Y = N Y h = = 84.1 IMC faible IMC ormale IMC élevé Cet estimateur peut-il être différet de celui d ue simple? Oui si l allocatio est pas proportioelle. Das ce cas-là, h N h N 3. Ciq as plus tard, o suppose que la dispersio das le poids moye a pas bougé. O se propose de vérifier cela e tirat u échatillo de 100 persoes sas remise. Quelle est la variace de l estimateur du poids moye avec u sodage stratifié proportioel? La dispersio de la variable poids moye est : 1 = (1 f) N h N s² h Comme est très grad (supérieur à 50), o peut égliger le taux de sodage.

7 1 = N h N s² h = [ ]/100 = Même questio avec u sodage stratifié optimal pour lequel 1=50, 2=35 et 3=15 Sodage à plusieurs degrés 1 = N h N s² h = Exercice 1 Sur les bords de plages de Bali o compte 45 villages, chacu de taille variable. O cherche à estimer le ombre moye de chambre d hôtels sur l île. Pour cela, o sélectioe 3 villages par sodage aléatoire simple sas remise, et o iterroge tous les hôtels qui y résidet. O sait, e outre que chambres sot dispoible das l île. Les résultats de l equête sot les suivats : Numéro du village Nombre d'hôtels das le village Nombre total de chambres das le village Estimer le ombre moye et le ombre total de chambres das l île. Il s agit d u sodage par grappes où les grappes sot sélectioées à probabilités égales avec M=45, m=3 et N= O ote s l échatillo par grappes tirées. L estimateur reteu : Y M π = Nm iy i Y 45 π = ( ) = iεs 2. Estimer la variace de l estimateur de la var (Y ) π = = M m var (Y ) π = m 1. M m. (Y i i N i s Y 2 π M ) [( ) 2 + ( ) 2 + ( ) 2 ]

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