Nombres réels et complexes

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1 [ édité le 9 mai 07 Eocés Nombres réels et complexes Ratioels et irratioels Exercice [ 0093 ] [Correctio] Motrer que 'est pas u ombre ratioel Exercice [ 0095 ] [Correctio] Soit f : Q Q telle que x, y Q, fx + y) = fx) + fy) a) O suppose f costate égale C quelle est la valeur de C? O reviet au cas gééral. b) Calculer f0). c) Motrer que x Q, f x) = fx). d) Établir que N, x Q, fx) = fx) et gééraliser cette propriété à Z. e) O pose a = f). Motrer que x Q, fx) = ax. Exercice 3 [ 047 ] [Correctio] Motrer que ) / ) /3 5 3 est u ratioel. O coseille d'eectuer les calculs par ordiateur. Exercice 4 [ ] [Correctio] Irratioalité de e r pour r Q ) a) Pour a, b N, motrer que la foctio polyomiale P x) =! x bx a) et ses dérivées successives preet e x = 0 des valeurs etières. b) Établir la même propriété e x = a/b c) O pose r = a/b et pour N Motrer que I 0. I = r 0 P t)e t dt d) E supposat e r = p/q avec p, q N, motrer que qi Z. Coclure. Les ombres réels Exercice 5 [ 0099 ] [Correctio] Soit f : R R ue applicatio telle que : a) Calculer f0), f) et f ). x, y) R,fx + y) = fx) + fy); x, y) R,fxy) = fx)fy); x R,fx) 0. b) Détermier fx) pour x Z puis pour x Q. c) Démotrer que x 0, fx) 0. E déduire que f est croissate. d) Coclure que f = Id R. Exercice 6 [ ] [Correctio] Soiet N et x,..., x R. O suppose x k = x k = Motrer que pour tout k {,..., }, x k =. Iégalités Exercice 7 [ ] [Correctio] Soiet x, y [0 ; ]. Motrer x + y xy Diusio autorisée à titre etièremet gratuit uiquemet - dd

2 [ édité le 9 mai 07 Eocés Exercice 8 [ 034 ] [Correctio] Motrer u, v 0, + uv + u + v Exercice 9 [ 0733 ] [Correctio] Détermier tous les couples α, β) R +) pour lesquels il existe M R tel que x, y > 0, x α y β Mx + y) Exercice 0 [ ] [Correctio] Soiet x,..., x ) et y,..., y ) deux suites réelles mootoes. Comparer ) ) x k y k et x k y k Exercice 5 [ 006 ] [Correctio] Soit N. a) Motrer qu'il existe a, b ) N tel que + 3) = a + b 3 et 3b = a b) Motrer que la partie etière de + 3) est u etier impair. Les ombres complexes Exercice 6 [ 009 ] [Correctio] Calculer pour θ R et N, C = ) coskθ) et S = k ) sikθ) k Exercice [ 0407 ] [Correctio] Motrer que Partie etière x, y [0 ; ], mi {xy, x) y)} 4 Exercice [ 00 ] [Correctio] Motrer x, y R, x + x + y + y x + y Exercice 3 [ 004 ] [Correctio] Motrer que x R, N, Exercice 4 [ 005 ] [Correctio] Soit a b R. Établir x + k = x Card[a ; b] Z) = b + a Exercice 7 [ 0307 ] [Correctio] Soit B ue partie borée o vide de C. O suppose que si z B alors z + z B et + z + z B. Détermier B. Exercice 8 [ 0365 ] [Correctio] Soiet a, b, z trois complexes de module deux à deux disticts. Démotrer Le pla complexe b a Exercice 9 [ 007 ] [Correctio] ) z a R + z b a) Détermier le lieu des poits M d'axe z qui sot aligés avec I d'axe i et M d'axe iz. b) Détermier de plus le lieu des poits M correspodat. Exercice 0 [ ] [Correctio] Quelle est l'image du cercle uité par l'applicatio z z? Diusio autorisée à titre etièremet gratuit uiquemet - dd

3 [ édité le 9 mai 07 Eocés 3 Exercice [ 0050 ] [Correctio] Détermier l'esemble des poits M d'axe z tels que z + z = z Exercice [ ] [Correctio] Soiet a, b, c des réels strictemet positifs. À quelle coditio existe-t-il des complexes t, u, v de somme ulle vériat Module et argumet t t = a, uū = b et v v = c Exercice 3 [ 0030 ] [Correctio] Détermier module et argumet de z = + + i Exercice 4 [ 003 ] [Correctio] Soiet z C et z C. Motrer z + z = z + z λ R +, z = λ.z Exercice 5 [ 003 ] [Correctio] Établir : z, z C, z + z z + z + z z Iterprétatio géométrique et précisio du cas d'égalité? Exercice 6 [ ] [Correctio] Soit a C tel que a <. Détermier l'esemble des complexes z tels que z a āz a) Vérier z, z C, z + z + z z = z + z b) O suppose z, z C tels que z et z. Motrer qu'il existe ε = ou tel que z + εz Exercice 8 [ 0349 ] [Correctio] Soit f : C C déie par Détermier les valeurs prises par f. fz) = z + z Exercice 9 [ 005 ] [Correctio] Résoudre l'équatio z + = z + d'icoue z C. Racies de l'uité Exercice 30 [ 0037 ] [Correctio] Soit N. O ote U l'esemble des racies -ème de l'uité. Calculer z U z Exercice 3 [ ] [Correctio] Soiet 3, ω,..., ω les racies -ième de l'uité avec ω =. a) Calculer pour p Z, b) Calculer S p = T = i= i= ω p i ω i Exercice 7 [ 0364 ] [Correctio] Diusio autorisée à titre etièremet gratuit uiquemet - dd

4 [ édité le 9 mai 07 Eocés 4 Exercice 3 [ 0038 ] [Correctio] Soit ω ue racie ème de l'uité diérete de. O pose S = k + ) ω k E calculat ω)s, détermier la valeur de S. Exercice 33 [ 0039 ] [Correctio] Simplier : a) jj + ) b) j j + c) j+ j Équatios algébriques Exercice 38 [ 0045 ] [Correctio] Pour quels a R l'équatio x 3 + x + ax a = 0 possède x = pour solutio? Quelles sot alors les autres solutios de l'équatio? Exercice 39 [ 0046 ] [Correctio] Résoudre das C, les équatios : a) z iz + i = 0 b) z 4 5 4i)z + 5i) = 0. Exercice 34 [ 0040 ] [Correctio] Soit N. Résoudre l'équatio Combie y a-t-il de solutios? Exercice 35 [ 0043 ] [Correctio] Soit ω = e i π 7. Calculer les ombres : Exercice 36 [ 0044 ] [Correctio] Soiet N, et ω = expiπ/). a) Établir que pour tout z C, z, z + ) = z ) A = ω + ω + ω 4 et B = ω 3 + ω 5 + ω 6 z ω k ) = b) Justier que l'égalité reste valable pour z =. c) E déduire l'égalité si kπ = l=0 Exercice 37 [ 053 ] [Correctio] Motrer que π ) 5 5 si = 5 8 z l Exercice 40 [ 0047 ] [Correctio] a) Détermier les racies carrées complexes de 5 i. b) Résoudre l'équatio z 3 + i)z i)z 0 + i) = 0 e commeçat par observer l'existece d'ue solutio imagiaire pure. c) Quelles particularités a le triagle dot les sommets ot pour axe les solutios de l'équatio précédete? Exercice 4 [ 0048 ] [Correctio] Résoudre das C le système { x + y = + i xy = i Expoetielle complexe Exercice 4 [ 005 ] [Correctio] Soit Z C. Résoudre l'équatio e z = Z d'icoue z C. Expoetielles imagiaires Exercice 43 [ 0034 ] [Correctio] Simplier eiθ pour θ ] π ; π[. e iθ + Exercice 44 [ 0035 ] [Correctio] Détermier module et argumet de e i.θ + e i.θ pour θ, θ R. Diusio autorisée à titre etièremet gratuit uiquemet - dd

5 [ édité le 9 mai 07 Correctios 5 Correctios Exercice : [éocé] Par l'absurde supposos Q. O peut alors écrire = p/q avec p, q N et, quitte à simplier, p et q o tous les deux pairs. O a alors q = p. p est alors écessairemet pair car p est pair. Cela permet d'écrire p = k avec k N puis q = k. Mais alors q est pair. Par suite p et q sot tous les deux pairs. Absurde. Exercice : [éocé] a) La relatio fx + y) = fx) + fy) avec f costate égale à C doe C = C + C d'où C = 0. b) Pour x = y = 0, la relatio fx + y) = fx) + fy) implique f0) = 0. c) Pour y = x, la relatio fx + y) = fx) + fy) doe 0 = f x) + fx) d'où f x) = fx). d) Par récurrece : Pour Z, = p avec p N et N, x Q, fx) = fx) fx) = f px) = fpx) = pfx) = fx) e) O peut écrire x = p/q avec p Z et q N. fx) = fp q ) = pf q ) Exercice 3 : [éocé] O déit le ombre x étudié x:=/3+4/8*sqrt5/3)) /3)+/3-4/8*sqrt5/3)) /3); Attetio à déir les racies cubiques par des exposats /3 avec parethèses. O peut commecer par estimer la valeur cherchée evalfx); Nous allos chercher à élimier les racies cubiques. Pour cela o calcule x 3 expadx 3); Das l'expressio obteue, o peut faire apparaître x par factorisatio du terme Simplios ce terme ) / ) / simplify/3+4/43*sqrt5)) /3)* /3-4/43*sqrt5)) /3), assume=positive); O obtiet ) / ) /3 5 8 Développos selo a b)a + b) = a b *5) /3); doe 96. E ifactor96); permet de coclure que Aisi x est solutio de l'équatio ) / ) /3 5 = x 3 = x or doc a = f) = fq q ) = qf q ) f q ) = a q E factorisat le polyôme sous-jacet factorx 3-7/9*x-4/3); o obtiet 3x 4)3x + 4x + 3) = 0 Puisque 3x + 4x + 3 > 0, o peut coclure puis fx) = ap q = ax Exercice 4 : [éocé] x = 4/3 Diusio autorisée à titre etièremet gratuit uiquemet - dd

6 [ édité le 9 mai 07 Correctios 6 a) 0 est racie de multiplicité de P doc m <, P m) 0) = 0 Le polyôme P est de degré doc P m) m >, P m) 0) = 0 = 0 pour tout m > et aisi Reste à traiter le cas m. E développat par la formule du biôme ) P x) = a) k b k x +k! k Puisque P m) 0) est doé par la dérivatio du terme x m, o obtiet P m) 0) = ) a) m b m + m)! Z! m b) O remarque doc c) O a I 0 =! x R, P a/b x) = P x) m N, P m) r d) Par itégratio par parties et e répétat l'opératio O e déduit qi = 0 a/b) = ) m P m) 0) Z t bt a) e t dt! r+ br + a) I = [ P t)e t] r r 0 P t)e t dt I = m=0 [ m=0 0 ) m P m) t)e t ] r 0 ) ) m P m) r)p P m 0)q Z + 0 Or sur [0 ; r] la foctio t P t)e t est cotiue, positive sas être ulle et 0 < r doc I > 0. Aisi qi 0, qi > 0 et qi Z : c'est absurde. Notos qu'o e déduit immédiatemet l'irratioalité de l r pour r Q + \ {}. Exercice 5 : [éocé] a) f0) = f0 + 0) = f0) + f0) doc f0) = 0. x R, fx) = f.x) = f)fx) Comme f est o ulle, o a f) =. f) + f ) = f0) = 0 doc f ) =. b) Par récurrece sur N : f) =. De plus f ) = f ) ) = f ) f) = f) = c) doc Pour x Q, x = p q avec p Z, q N, Or fp) = p et x Z, fx) = x fx) = fp q ) = fp) f q ) = f) = fq q ) = fq) f q ) = q f q ) doc f q ) = q. Par suite fx) = x. Pour x, y R, si x y alors Aisi f est croissate. d) Pour x R et N : Comme f est croissate : puis x 0, fx) = f x x) = f x) ) 0 fy) = fx + y x) = fx) + fy x) fx) x) f x) x) x < x) + ) fx) < f x) + ) fx) < x) + À la limite, quad +, o obtiet x fx) x i.e. fx) = x. Fialemet, f = Id R. Diusio autorisée à titre etièremet gratuit uiquemet - dd

7 [ édité le 9 mai 07 Correctios 7 Exercice 6 : [éocé] O a x k ) = x k x k + = 0 et puisqu'ue somme de quatités positives 'est ulle que si chaque quatité est ulle, o obtiet k, x k = Exercice 7 : [éocé] Sachat x x et y y, o a x + y xy x + y xy = x ) y) 0 Exercice 8 : [éocé] Compte teu de la positivité des membres, le problème reviet à établir + uv ) + u) + v) soit ecore ce qui découle de la propriété Exercice 9 : [éocé] Soit α, β) solutio. Cosidéros sur R +). O a uv u + v u v ) 0 fx, y) = xα y β x + y fx, x) = xα+β x f borée implique α + β =. Iversemet, supposos α + β =. Si y x alors 0 fx, y) = xα y α x + y y x + y Si x y alors idem. ) α x y Exercice 0 : [éocé] Étudios la diérece x k y k ce qui doe ecore Or l= x k y k x k y k x k y l ) = x k ) l= ) y k = x k y k x k ) x k y k y l ) = l= l= ) x k y l ) y k = x k y k x k y l ) l<k x k y k y l )+ car lorsque k = l le terme x k y k y l ) est ul. Par chagemet d'idice, o peut réécrire la derière somme x k y k y l ) = x l y l y k ) et alors l= k<l x k y k x k y l ) = l<k l<k x k x l ) y k y l ) k<l Les termes sommés sot alors tous de même sige, à savoir positif si les suites x i ) i et y i ) i ot même mootoie et égatifs si ces deux suites sot de mootoies cotraires. Au al, si les deux suites ot même mootoie alors ) ) x k y k x k y k et si les deux suites sot de mootoies cotraires alors ) ) x k y k x k y k Exercice : [éocé] Commeços par résoudre le mi. O a xy x) y) x + y x k y k y l ) Diusio autorisée à titre etièremet gratuit uiquemet - dd

8 [ édité le 9 mai 07 Correctios 8 Cas x + y : Cas x + y > : mi {xy, x) y)} = xy x x) 4 Si k + r < alors x + k = q et si k + r alors x + k = q +. Par suite x + k = r x + k + k= r x + k = q + r = m = x mi {xy, x) y)} = x) y) < x)x /4 Exercice : [éocé] Si x x < x + / et y y < y + / alors x + y = x + y, x = x et y = y puis relatio voulue. Si x + / x < x + et y y < y + / alors Exercice 4 : [éocé] Si a / Z alors [a ; b] Z = { a +, a +,..., b } doc Or car a / Z doc Card[a ; b] Z) = b a a = + a = a Card[a ; b] Z) = b + a Si a Z alors [a ; b] Z = {a, a +,..., b } doc x + y x + y +, x = x + et y = y car a Z. Card[a ; b] Z) = b a + = b + a puis la relatio voulue. Si x x < x + / et y + / y < y + : c'est aalogue. Si x + / x < x + et y + / y < y + alors x + y x + y +, x = x + et y = y + puis la relatio voulue. Das tous les cas la relatio proposée est vériée. Exercice 5 : [éocé] a) Par récurrece sur N. Pour =, a = et b = covieet. Supposos la propriété établie au rag. + 3) + = + 3)a + b 3) = a+ + b + 3 avec a + = a + 3b et b + = a + b de sorte que 3b + a + = a + 3b = Récurrece établie. Exercice 3 : [éocé] Posos m = x et réalisos la divisio euclidiee de m par : m = q + r avec 0 r. O a q + r x < q + r + doc pour tout k {0,..., } : q + k + r x + k < q + k + r + b) a b 3 < a doc a + 3) < a doc + 3) = a C'est u etier impair. Diusio autorisée à titre etièremet gratuit uiquemet - dd

9 [ édité le 9 mai 07 Correctios 9 Exercice 6 : [éocé] C et S sot les parties réelles et imagiaires de ) e ikθ = + e iθ ) = e i θ cos θ k Aisi C = cos θ cos θ et S = si θ cos θ Exercice 7 : [éocé] O observe que B = {i, i} est solutio. Motros qu'il 'y e a pas d'autres... Posos f : C C et g : C C déies par O remarque fz) = z + z et gz) = + z + z fz) i = z + i z + i), fz) + i = z i z i) gz) i = z i z + + i et gz) + i = z + i z + i Soiet a B et z ) 0 la suite d'élémets de B déie par z 0 = a et pour tout N { fz ) si Rez ) 0 z + = gz ) si Rez ) > 0 Posos e Si Rez ) 0 alors u = z + = z i z + i u + = fz ) i fz ) + i = u z + i) z i) Selo le sige de la partie imagiaire de z, l'u au mois des deux modules z + i) et z i) est supérieur à alors que l'autre est supérieur à. Aisi u + u Si Rez ) > 0, o obtiet le même résultat. O e déduit que si u 0 0 alors la suite u ) 'est pas borée. Or la partie B est borée doc u 0 = 0 puis a = ±i. Aisi B {i, i}. Sachat B et sachat que l'apparteace de i etraîe celle de i et iversemet, o peut coclure B = {i, i} Exercice 8 : [éocé] Rappelos que si u est u complexe de module alors /u = ū. O a alors z a) = z a) z ) z a)ā z) z a = = a ā ā z z doc Exercice 9 : [éocé] b a ) z a z a = z b z b R + a) M = I est solutio. Pour M I, I, M, M sot aligés si, et seulemet si, il existe λ R tel que IM = λ IM iz i i.e. z i R. Posos x ) = Rez) et y = Imz). iz i Im z i = 0 xx ) + yy ) = 0 x ) ) + y =. / Fialemet le lieu des poits M solutios est le cercle de cetre Ω et de / rayo /. b) Le poit M est l'image de M par la rotatio de cetre O et d'agle π/. Le lieu des poits M est doc le cercle de cetre Ω / et de rayo / / Exercice 0 : [éocé] Soit z u complexe du cercle uité avec z. Il existe θ ]0 ; π[ tel que z = e iθ. O a alors z = e iθ = i e iθ/ si θ/ = + i cot θ Quad θ parcourt ]0 ; π[ ce qui reviet à faire parcourir à z le cercle uité), l'expressio cotθ/) pred toutes les valeurs de R. L'image du cercle uité est la droite d'équatio x = /. Exercice : [éocé] Soit Mz) solutio avec z = a + ib et a, b R. O a a = a + b doc a 0 et b = ± 3a. Diusio autorisée à titre etièremet gratuit uiquemet - dd

10 [ édité le 9 mai 07 Correctios 0 Aisi M se situe sur les demi-droites d'origie O dirigée par les vecteurs u et 3 v 3. Iversemet : ok. Exercice : [éocé] E multipliat les trois complexes t, u, v par e iθ, o peut former u ouveau triplet solutio à partir d'u premier. Sas perte de gééralité, o peut doc supposer t R + auquel cas t = a. E écrivat u = x + iy et v = x + iy avec x, x, y, y R, la coditio t + u + v = 0 doe { x = a + x) y = y et les deux coditios uū = b et v v = c équivalet alors au système { x + y = b x + a) + y = c Ce système possède ue solutio si, et seulemet si, le cercle de cetre O et de rayo b coupe le cercle de cetre Ω a, 0) et de rayo c. Ces deux cercles se coupet si, et seulemet si, b c a b + c O peut alors coclure que le triplet t, u, v) existe si, et seulemet si, chacu des paramètres a, b, c est iférieur à la somme des deux autres. Exercice 3 : [éocé] z = + + = 4 doc z =. Posos θ u argumet de z qu'o peut choisir das [0 ; π/] car Rez), Imz) 0. O a cos θ = + doc cosθ) = cos θ = + ) = Exercice 4 : [éocé] = ) ok = ) Si z + z = z + z alors, e divisat par z : + x = + x avec x = z /z C. Écrivos x = a + ib avec a, b R. et + x = a + ) + b = + a + b + a + x ) = + a + b ) = + a + b + a + b + x = + x doe alors a = a + b d'où b = 0 et a 0. Par suite x R + et o coclut. Exercice 5 : [éocé] O a z + z = z z ) + z + z ) + z z) + z + z) z + z + z z Iterprétatio : Das u parallélogramme la somme des logueurs de deux côtés est iférieure à la somme des logueurs des diagoales. Il y a égalité si, et seulemet si, : z z = 0 i.e. z = z ) ou z+z z z R + et z+z z z R + ce qui se résume à z = z. Exercice 6 : [éocé] Pour que la quatité soit déie il est écessaire que z /ā. Si tel est le cas z a āz z a āz Sachat x + y = x + Re xy) + y, o obtiet z a ) ) āz a z 0 L'esemble recherché est l'esemble des complexes de module iférieur à. avec θ [0 ; π] doc θ = π/4 puis θ = π/8. Exercice 7 : [éocé] Diusio autorisée à titre etièremet gratuit uiquemet - dd

11 [ édité le 9 mai 07 Correctios a) E développat z + z = z + z ) z + z ) = z + z z + z z + z et la relatio écrire est alors immédiate. b) O a z + z + z z 4 doc parmi les quatités z + z et z z, l'ue au mois est de carré iférieur à. Exercice 8 : [éocé] Soit z C. Si z R alors fz) = 0. Sio, o peut écrire z = re iθ avec r > 0 et θ ] π ; π[ et alors Puisque cosθ/) 0 doc fz) = r + eiθ = r cos θ eiθ/ fz) = r cos θ et arg fz) = θ fz) {Z C Re Z > 0} Iversemet, soit Z C tel que Re Z > 0. O peut écrire Z = Re iα avec R > 0 et α ] π/ ; π/[. Pour les calculs qui précèdet doet z = R cos α eiα fz) = Re iα = Z Fialemet, les valeurs prises par f sot les complexes de parties réelles strictemet positives aisi que le complexe ul. Exercice 9 : [éocé] z + = z + Rez) + et z + ) = z + z + doc z + = z + Rez) = z z R +. Exercice 30 : [éocé] Notos ω k = e ikπ Alors avec k Z. Par factorisatio d'expoetielle équilibrée ω k = si kπ z = si kπ ) = Im e i kπ z U ) = 4 Im = cos π e iπ/ si π = cot π Exercice 3 : [éocé] Quitte à réidexer, o peut supposer k {,..., }, ω k = e ikπ/ = ω k avec ω = e iπ/ a) Si e divise pas p alors, puisque ω p Si divise p alors b) Pour k, o a Puisque o a S p = S p = ω kp = ω p ωp ω p = 0 ω kp = = ω k = e ikπ/ i si kπ cot kπ = l= k l= = i cot kπ + cot π lπ ) = cot kπ = 0 l= cot ) lπ Diusio autorisée à titre etièremet gratuit uiquemet - dd

12 [ édité le 9 mai 07 Correctios puis T = ) O peut aussi lier le calcul au précédet e écrivat = ω p i ω + i p=0 ω i ω i O peut aussi retrouver cette relatio e cosidérat que T est la somme des racies d'u polyôme bie costruit P = X ) X = X + Exercice 3 : [éocé] O a ω)s = k + )ω k doc Exercice 33 : [éocé] S = ) X + kω k = ω k ω = ω Exercice 34 : [éocé] Notos ω k = e ikπ avec k Z les racies ème de l'uité. z+ Si z est solutio alors écessairemet z et z ) = doc il existe k {0,,..., } tel que z + z = ω k ce qui doe ω k )z = ω k + Si k = 0 alors ce la doe 0 = doc écessairemet k {,..., } et ω k. Par suite z = ω k + ω k = cos kπ i si kπ = i cot kπ Iversemet, e remotat le calcul : ok Fialemet S = { i cot kπ } k {,..., } Puisque la foctio cot est ijective sur ]0 ; π[, il y a exactemet solutios. Exercice 35 : [éocé] O a + A + B = 0, AB = et ImA) > 0 doc A = B = + i 7 a) b) c) jj + ) = j + j = j j + = j j = j + j + )j ) = j j )j ) = j + )j ) j )j ) = j3 + j j j j 3 j = j + 3 Exercice 36 : [éocé] a) Puisque les racies de l'équatio z sot, ω,..., ω, o a z = z ) z ω k ) Or o a aussi z = z ) + z + + z ) d'où l'égalité proposée pour z. b) Les foctios x x ωk ) et x l=0 xl sot déies et cotiues sur R et coïcidet sur R \ {}, elles coïcidet doc aussi e par passage à la limite. Diusio autorisée à titre etièremet gratuit uiquemet - dd

13 [ édité le 9 mai 07 Correctios 3 c) Pour z =, l'égalité du a) doe ωk ) =. Or par factorisatio de l'expoetielle équilibrée, et doc puis la relatio proposée. ω k = e ikπ kπ i si e i kπ = e i π k = i ω k ) = si kπ Exercice 37 : [éocé] Puisque la somme des racies 5-ième de l'uité, e cosidérat la partie réelle, o obtiet + cos π 5 + cos 4π 5 = 0 Sachat cos a = cos a, o obtiet que cosπ/5) est solutio positive de l'équatio 4r + r = 0 et doc Or cos a = si a doc puis cos π 5 = 5 4 si π 5 = 5 4 si π 5 = et e la formule proposée puisque siπ/5) 0. Exercice 38 : [éocé] x = est solutio de l'équatio si, et seulemet si, a a 3 = 0 ce qui doe a = ou a = 3. Lorsque a =, les solutios de l'équatio sot, 3+ 5, Lorsque a = 3, les solutios de l'équatio sot, 3+i3 3, 3+i3 3. Exercice 39 : [éocé] a) S = {, + i}, b) S = { + i, 3 + i, i, 3 i}. Exercice 40 : [éocé] a) ±3 i) b) a = i, b = + 3i et c = + i c) c b = c a = 3 et b a = 6. Le triagle est rectagle isocèle. Exercice 4 : [éocé] Il s'agit d'u système somme produit, o obtiet ses solutios e résolvat l'équatio z + i)z + i) = 0 O obtiet l'esemble solutio Exercice 4 : [éocé] Posos ρ = Z et θ = arg Z S = { + i, i), i, + i)} [π]. e z = Z e Re z e i Im z = Z e iθ e Re z = Z et e i Im z = e iθ z = l ρ + iθ + ikπ avec k Z. Exercice 43 : [éocé] E factorisat e iθ/ au umérateur et au déomiateur Exercice 44 : [éocé] O peut factoriser e iθ + e iθ e iθ i si θ/ e iθ = + cos θ/ = i ta θ = e i θ+θ e i θ θ θ θ i + e ) = cos θ θ e i θ+θ ce qui permet de préciser module et argumet e discutat selo le sige de cos θ θ. Diusio autorisée à titre etièremet gratuit uiquemet - dd