Modélisation et conception d algorithmes pour la planification automatique du personnel de compagnies

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1 Modélsaton et concepton d algorthmes pour la planfcaton automatque du personnel de compagnes aérennes Carmen Draghc To cte ths verson: Carmen Draghc. Modélsaton et concepton d algorthmes pour la planfcaton automatque du personnel de compagnes aérennes. Automatc. INSA de Toulouse, French. <tel > HAL Id: tel Submtted on 7 Jan 2006 HAL s a mult-dscplnary open access archve for the depost and dssemnaton of scentfc research documents, whether they are publshed or not. The documents may come from teachng and research nsttutons n France or abroad, or from publc or prvate research centers. L archve ouverte plurdscplnare HAL, est destnée au dépôt et à la dffuson de documents scentfques de nveau recherche, publés ou non, émanant des établssements d ensegnement et de recherche franças ou étrangers, des laboratores publcs ou prvés.

2 Thèse Préparée au Laboratore d Analyse et d Archtecture des Systèmes du CNRS En vu d obtenton du grade de Docteur de l Insttut Natonal de Scences Applquées de Toulouse Spécalté : Systèmes Industrels par Carmen DRAGHICI MODELISATION ET CONCEPTION D ALGORITHMES POUR LA PLANIFICATION AUTOMATIQUE DU PERSONNEL DE COMPAGNIES AERIENNES Soutenue le 29 septembre 2005 devant le ury : Rapporteurs : Examnateurs : Jean-Charles BILLAUT Chrstan PRINS Smona Iulana CARAMIHAI Jacques ERSCHLER Invté : Hervé LE ROY Drecteurs de thèse : Jean-Claude HENNET Olver PAILLOT

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4 A ma grand-mère T as vu? Je sus docteur mantenant. Pas un qu guért les malades, mas docteur quand même

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6 Résumé La planfcaton et la geston optmale des ressources humanes ouent un rôle mportant dans la productvté et la compéttvté des entreprses. Dans cette thèse nous nous ntéressons à la modélsaton et à la résoluton de dfférents problèmes d optmsaton soulevés par la constructon de plannngs pour les agents qu travallent dans un contexte aéronautque : la créaton de vacatons, la créaton de rotaton, l affectaton de vacatons et de rotatons. Pour le problème de constructon de vacatons, nous proposons une approche de modélsaton basée sur le concept de plage horare et ensute une méthode heurstque de résoluton basée sur l algorthme FFD (Frst Ft Decreasng) et sur la génératon de colonnes. Le problème de créaton de rotatons est résolu par une méthode de programmaton lnéare en varables mxtes. Les problèmes d affectaton de vacatons et de rotatons sont modélsés comme des problèmes de mult-affectaton généralsé. Nous proposons une décomposton temporelle et par qualfcaton et ensute une transformaton du problème d affectaton généralsé en un problème d affectaton smple par relaxaton Lagrangenne. Un algorthme ad-hoc est utlsé pour la résoluton de chaque problème de base. La plupart des algorthmes élaborés ont été couplés à des bases de données réelles et commercalsés par la socété IFR-France. Mots clés: optmsaton de plannngs, problèmes, Frst Ft Decreasng, génératon de colonnes, programmaton lnéare en varables mxtes, problème de mult-affectaton généralsé, relaxaton Lagrangenne. Abstract Optmal schedulng and management of human resources have an mportant role n the productvty and compettveness of an enterprse. In ths thess we are nterested n modelng and solvng dfferent optmsaton problems whch rse durng the constructon of schedules for agents workng n an arlne context: the shft generaton problem, the crew parng problem, the rosterng problem. For the shft generaton problem, we propose a modelng approach based on the concept of tme slot and then a resoluton method based on the Frst Ft Decreasng algorthm and the column generaton technque. The crew parng problem s solved usng a mxed lnear programmng method. The rosterng problem s modeled as a generalzed mult-assgnment problem. We propose a decomposton n tme and by qualfcaton and then a transformaton of the generalzed assgnment problem nto a smple assgnment problem by Lagrangan relaxaton. An ad hoc algorthm s used for the resoluton of each basc problem. Most of the proposed algorthms were connected to real databases and commercalsed by IFR France. Keywords: schedules optmsaton, Frst Ft Decreasng, column generaton, mxed lnear programmng, generalzed mult-assgnment problem, Lagrangan relaxaton.

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8 Remercements Ce traval de thèse n aurat pu être réalsés sans mes deux drecteurs de thèse, Monseur Jean-Claude Hennet, drecteur de recherche au LAAS-CNRS, et Monseur Olver Pallot, ngéneur à IFR France, que e tens très vvement à remercer. Je sus très reconnassante pour leur confance et pour l autonome qu ls m ont accordée. Je remerce auss Monseur Chrstan Prnce, professeur à L Unversté de Technologe de Troyes et Monseur Jean-Charles Bllaut, professeur à L Unversté «Franços Rabelas» de Tours pour l honneur qu ls m ont fat d accepter de rapporter ce traval et l ntérêt qu ls y ont porté. Je tens également à remercer Monseur Jacques Erschler, professeur à l Insttut Natonal des Scences Applquées de Toulouse et Madame Smona Caramha, professeur à l Unversté «Poltehnca» de Bucarest pour le crédt qu ls ont accordé à mon traval en partcpant au ury de cette thèse. Un mot partculer pour Madame Caramha qu a gudé mes premers pas dans le monde de la recherche à l Unversté «Poltehnca» de Bucarest et qu m a donné ensute l enve et la motvaton d effectuer cette thèse. Mes remercements vont auss vers Marcel Mongeau, maître de conférences à l Unversté «Paul Sabater» de Toulouse. Notre collaboraton sur l un des chaptres de ce document et auss ses nombreux consels m ont été préceux. Je lu remerce auss pour son amté et pour le courage d avor partagé avec mo le bureau pendant ma dernère année de thèse. La motvaton et le plasr quotden d effectuer cette thèse n auraent pu être les mêmes sans mes collègues du LAAS, doctorants ou stagares : Yasemn, Manue, Catherne, Steff, Malka, Codruta, Marcos, Sergo, Carmen, Andreea, Tatana, Franços, Julen Merc pour votre ade et votre souten, mas auss pour les agréables moments de détente passés ensemble. Je sus reconnassante à Hervé Le Roy et à Joan Vch qu ont accepté le déft d une thèse CIFRE et qu m ont chaleureusement accuell au sen d IFR France et de l équpe KEOPS. J adresse toute ma sympathe à ceux qu chaque matn ont drot à un «Bonour, KEOPS!» : Nathale, Gégé, Sss, Abdel, Seb, Nno, Pete, Yannck. Ils m ont consellé et adé tout au long de cette thèse. Je ne pourras pas passer sous slence Flo, Sandrne et Jean-Marc que a ben harcelé avec mes problèmes admnstratves où logstques. Merc pour votre dsponblté et effcacté. Je remerce de tout cœur à ma famlle et à mes ams de Roumane qu, malgré la dstance qu nous sépare, m ont soutenu et supporté durant ces tros ans. Enfn, e ne pourras termner sans cter celu qu est pour mo le "pso cel ma dragut foc".

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10 Table de matères Introducton...5. Planfcaton des ressources humanes INTRODUCTION QUELQUES NOTIONS SUR LA PLANIFICATION LA PLANIFICATION DANS UN CONTEXTE AERONAUTIQUE Personnel au sol Personnel navgant CONCLUSIONS Modèles et technques de résoluton pour les problèmes de planfcaton d'horares INTRODUCTION PROBLEMES CLASSIQUES D OPTIMISATION COMBINATOIRE Problème d affectaton Problème de bn-packng Problème de recouvrement d ensemble TECHNIQUES DE RESOLUTION RETENUES Méthodes de résoluton de problèmes de couplage et d affectaton Bp Match L algorthme de Busacker et Gowen L algorthme hongros Méthode de relaxaton Lagrangenne pour le problème d affectaton généralsé Algorthmes de résoluton pour le problème de bn-packng Algorthmes on-lne Algorthmes off-lne Génératon de colonnes pour la résoluton du problème de recouvrement d ensemble Convergence de la méthode L algorthme générateur Recherche des solutons entères CONCLUSION Créaton de vacatons pour le personnel au sol INTRODUCTION CONCEPTS DE BASE : TACHES ET VACATIONS Tâches Vacatons Personnel PRESENTATION DU PROBLEME Contrantes réglementares Méthodes de résoluton dans la lttérature Modélsaton par recouvrement d ensemble Méthodes tératves MODELISATION PROPOSEE La représentaton du temps Plages horares Tâches, vacatons, contrantes Modélsaton du problème METHODE DE RESOLUTION PROPOSEE Génératon de vacatons Constructon des patrons de vacatons Tratement des tâches fxes Tratement des tâches mobles Remplssage de vacatons... 45

11 3.6 RESULTATS OBTENUS CONCLUSIONS Créaton de rotatons pour le personnel navgant INTRODUCTION CONCEPTS DE BASE Rotatons Actvtés hors-vol Personnel MODELISATION ET RESOLUTION DU PROBLEME Contrantes réglementares Méthodes de résoluton dans la lttérature Modélsaton proposée Constructon des PdS Constructon de rotatons à partr des PdS Résultats Constructon des PdS Constructon de rotatons à partr des PdS Post tratement des rotatons PERSPECTIVES : CONSTRUCTION D ALGORITHMES APPROCHES Constructon de PdS Constructons de rotatons CONCLUSIONS Affectaton de vacatons/ rotatons INTRODUCTION PRESENTATION DU PROBLEME Contrantes réglementares METHODES DE RESOLUTION DANS LA LITTERATURE Affectaton de vacatons Affectaton de rotatons MODELISATION DU PROBLEME METHODE DE RESOLUTION PROPOSEE Constructon de la matrce de coût Calcul des coûts L affectaton de réserves pour le personnel navgant Affectaton de séquences IMPLEMENTATION ET RESULTATS Valdaton de la méthode Implémentaton CONCLUSION... 9 Concluson Bblographe

12 INTODUCTION Introducton Le transport aéren connaît une crossance vertgneuse depus les années 60 car, s en 945, le trafc aéren comptat 9 mllons de passagers par an, l est passé auourd hu à,8 mllard. Les compagnes aérennes sont nombreuses et ont tendance à se grouper car la concurrence est mportante. Rester rentable dans un envronnement complexe et concurrentel est d autant plus dffcle qu une compagne est oblgée de fare face à d énormes dépenses pour payer le carburant, le personnel, les taxes d utlsaton des aéroports, l entreten, la locaton ou l achat des aéronefs. Les augmentatons de recettes étant très dffcles sur ce marché très concurrentel, une éventuelle réducton des coûts est essentelle pour assurer la rentablté d une compagne. La deuxème source de dépense d une compagne aérenne après le carburant est consttuée par le personnel ; elle représente 5-20% du budget opératonnel. Une geston effcace des plannngs du personnel est donc d une mportance maeure, car une basse de seulement quelques pourcents de ces coûts entraîne des économes annuelles qu peuvent s élever à des dzanes de mllons de dollars pour des grandes compagnes. Générer des plannngs est un processus dffcle, soums à des règles complexes et parfos contradctores. De plus, aux contrantes réglementares se raoutent des règles socales, de sécurté, de préférences personnelles... Dans cette thèse nous nous ntéressons à la modélsaton et à la résoluton de dfférents problèmes d optmsaton soulevés par la constructon de plannngs pour les agents qu travallent dans un contexte aéronautque : le personnel au sol d un aéroport et le personnel navgant d une compagne aérenne. Ce sont des problèmes qu ressemblent aux problèmes d optmsaton combnatore classquement étudés en recherche opératonnelle mas, ssus d applcatons réelles, ls sont le plus souvent complexes et de grande talle. Les travaux présentés dans ce manuscrt ont été effectués dans le cadre d une Conventon Industrelle de Formaton par la Recherche entre la socété IFR France et le groupe Modélsaton, Organsaton et Geston Intégrée des Systèmes d Actvtés du Laboratore d Analyse et d Archtecture des Systèmes du Centre Natonal de Recherche Scentfque. IFR France conçot, réalse et commercalse des produts logcels permettant de maîtrser les dfférents aspects de la geston d une compagne aérenne, un grand ntérêt étant porté à la geston de personnel. L obectf prncpal de ma thèse a été d étuder, de concevor et d mplémenter des algorthmes d ade à l élaboraton des plannngs de personnel, en combnant la recherche académque et l expertse du domane d applcaton spécfque. Le manuscrt est dvsé en 5 chaptres. Le premer chaptre présente la problématque de la planfcaton des emplos du temps dans un cadre général. Le problème de créaton de plannngs dans un contexte aéronautque est décrt par la sute. Dans un tel contexte, la charge de traval est consttuée des tâches à réalser en vol et au sol. Selon le type d actvté effectuée, le personnel se dvse en personnel au sol et en personnel navgant : le personnel au sol effectue tout le traval au nveau de l aéroport (l'enregstrement des passagers, l'accuel à l'arrvée et au départ, le servce de correspondance et de transt aux aéroports ) ; le personnel 5

13 INTODUCTION navgant est celu qu consttue les équpages des vols à effectuer : les plotes, les coplotes, les hôtesses,... Compte tenu du fat que la charge de traval est assez mportante, les plannngs ndvduels ne sont amas créés drectement à partr des tâches ou des vols. Pour le personnel au sol, les tâches sont groupées dans un premer temps dans ce que l on appelle des vacatons. Les vols à effectuer par les navgants sont auss groupés dans des séquences nommées rotatons. C est à partr de ces vacatons/ rotatons que les plannngs sont ensute construts. Le deuxème chaptre passe en revue des problèmes d optmsaton combnatore qu émergent à dfférents stades de la planfcaton d horares : le problème d affectaton, le problème de bn-packng et le problème de recouvrement d ensemble. Quelques technques de base retenues pour la résoluton de ces problèmes sont ensute présentées : l algorthme hongros, le Bp Match et l algorthme de Busacker et Gowen pour résoudre le problème d affectaton et quelques algorthmes approchés pour le problème de bn-packng. Quelques notons sur la génératon de colonnes sont auss présentées, car cette méthode est utlsée avec succès pour la résoluton de problèmes de très grande talle, problèmes pour lesquels les méthodes classques de programmaton lnéare ne peuvent plus être utlsées. Le problème de créaton de vacatons avec ses deux versons (constructon proprement dte ou remplssage) est présenté dans le trosème chaptre. Dans la lttérature, l est traté le plus souvent comme un problème de recouvrement d ensemble. Les méthodes de résoluton proposées sont basées sur la programmaton lnéare ou sur des méthodes tératves d exploraton de lstes. Comme ce problème repose sur la satsfacton de nombreuses contrantes temporelles, nous proposons une approche de modélsaton basée sur le concept de plage horare. Le modèle obtenu permet une représentaton smple des contrantes, à partr de laquelle nous proposons une méthode heurstque de constructon de vacatons basée sur la méthode FFD (Frst Ft Decreasng) et sur la génératon de colonnes. L algorthme que nous proposons pour la constructon de vacatons peut auss être utlsé, après quelques modfcatons, pour le problème de remplssage de vacatons prédéfnes. Le quatrème chaptre trate le problème de créaton de rotatons. La créaton de rotatons est un problème complexe, car, d un côté, la réglementaton à laquelle les rotatons sont soumses trate beaucoup de cas partculers et, d un autre côté, la combnatore du problème est consdérable. C est pour cette rason qu l est habtuellement résolu en deux étapes : une premère étape, la constructon de pérodes de servce, groupe les vols dans des ournées de traval (ou pérodes de servce) ; la deuxème étape enchaîne les ournées de traval, de manère à créer des rotatons. Après avor présenté quelques méthodes proposées dans la lttérature pour la constructon de rotatons, nous proposons une modélsaton du problème de créaton de pérodes de servces par programmaton lnéare en varables mxtes. L avantage de cette méthode est qu elle peut prendre en compte les dfférents types des pérodes de servces. Pour le groupement des pérodes de servces dans des rotatons, un modèle lnéare en varables entères est utlsé. L utlsaton d un logcel de programmaton lnéare permet la résoluton exacte d une verson relâchée de ce problème, obtenue en smplfant certanes contrantes. Cec présente l ntérêt maeur de fournr des bornes qu permettent d évaluer la qualté des dfférentes méthodes heurstques proposées pour la recherche de solutons admssbles performantes. L analyse du problème en termes de modélsaton, de structure et des possbltés de décomposton permet de ramener sa résoluton, globalement très complexe à celle d un ensemble de sous-problèmes plus facles et ben maîtrsés. Ans, la résoluton exacte de certanes partes du problème global, a pu être ntégrée effcacement dans la méthode globale heurstque de résoluton. 6

14 INTODUCTION Une approche smlare par décomposton et smplfcaton est construte dans le derner chaptre pour résoudre les problèmes d affectaton du personnel aux vacatons et aux rotatons. Le problème d affectaton représente la deuxème étape dans la résoluton du problème de créaton de plannngs. Compte tenu de la smlarté entre l affectaton des vacatons et l affectaton des rotatons, les deux cas sont présentés ensemble dans le cnquème chaptre. Après avor énuméré les contrantes réglementares communes ou spécfques à chaque cas, nous analysons quelques modèles et méthodes de résoluton proposés dans la lttérature. Ensute l approche que nous retenons est exposée. En rason des nombreuses contrantes réglementares, le problème est modélsé comme un problème de mult-affectaton généralsé. Nous proposons une décomposton temporelle et par qualfcaton et ensute une transformaton du problème d affectaton généralsé en problème d affectaton smple par relaxaton Lagrangenne. Un algorthme ad-hoc est utlsé pour la résoluton de chaque problème de base. IFR France a développé un produt commercal pour l affectaton de rotatons au personnel navgant d une compagne aérenne qu utlse notre approche de résoluton. Le chaptre V s achève avec la présentaton de ce produt. 7

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16 CHAPITRE Planfcaton de ressources humanes Chaptre Planfcaton des ressources humanes. Introducton La planfcaton et la geston optmale des ressources humanes ouent un rôle mportant dans la productvté et la compéttvté d une entreprse. Les fonds alloués à la rémunératon du personnel sont assez élevés : dans une compagne aérenne, par exemple, les fonds alloués pour payer le personnel représentent les plus mportantes dépenses [Anbl et al. 92] après le coût du carburant ; dans un établssement des sons, les coûts salaraux peuvent représenter usqu à 70% du budget opératonnel [Wel et al. 98]. Une geston effcace du personnel est donc un facteur économque prmordal. Ce chaptre présente la problématque de la «planfcaton des emplos du temps» dans un cadre général. Le problème de créaton de plannngs dans un contexte aéronautque est décrt, ans qu un passage en revue de quelques méthodes de modélsaton et de résoluton proposées dans la lttérature..2 Quelques notons sur la planfcaton La planfcaton d horares de traval vse, pour un horzon de planfcaton d un our à quelques mos, à dmensonner une force de traval et à optmser l utlsaton de cette ressource, de façon a couvrr un beson exprmé par une charge de traval prévsonnelle, tout en respectant un ensemble de contrantes précses. Elle aboutt à des programmes défnssant les horares de traval et de repos de la force de traval, en trouvant le melleur comproms entre les préférences des dfférents acteurs [Rém-Robert, 03]. Les contrantes qu vennent d être mentonnées couvrent ce que l on appelle les aspects «JuSTE» [Chan 02] : Jurdque : la légslaton en matère de drot du traval (durées de traval et de repos) sur dfférents horzons de temps (ournaler, hebdomadare, mensuel et annuel) Socal : répartton équtable des tâches entre salarés, entre hommes et femmes, avec respect des dsponbltés, préférences ndvduelles et autres souhats des salarés; répartton équtable du temps de traval et du repos Technque : les règlements des dfférents méters de l entreprse (prse en compte des compétences et des nveaux requs) Economque : respect des besons de l entreprse à chaque moment de l horzon de planfcaton. Cela se présente comme la melleure adaptaton de l énerge dsponble aux 9

17 CHAPITRE Planfcaton de ressources humanes charges à chaque moment de l horzon. On cherche à ne pas dépenser nutlement cette énerge. La dffculté de la créaton d un plannng est mons le processus de créaton en lumême que l obtenton d un plannng de bonne qualté. Comment peut-on défnr un plannng de bonne qualté, alors qu au sen d une entreprse, chacun a son propre pont de vue? Le planfcateur souhate que le plannng sot assez flexble en ce qu concerne la man d œuvre, pour pouvor trater les possbles mprévus. Pour le chef d entreprse, le plannng dot permettre le dmensonnement de la force de traval au plus uste et sa répartton de manère à obtenr le melleur servce au melleur coût. Pour l nspecton du traval, le plannng dot respecter dans les mondres détals la légslaton du traval et les conventons collectves. Le salaré recherche la satsfacton socale de son traval, par rapport à ses dsponbltés, à ses desderata ou par rapport à l équté de tratement. La créaton des plannngs qu prennent en compte toutes ces contrantes, parfos contradctores, mplque à la fos une bonne connassance du cadre de traval, mas auss l utlsaton des technques d optmsaton combnatore. Suvant leur spécfcté et leur domane d applcaton, les plannngs portent dfférents noms : un plannng précsant le programme de traval de chaque employé sur un mos s appelle tableau de servce Brand C. M M S M N N R R N S M S S R S Esqurol P. M N S N R M M S M M N R R S N Hennet J.-C. M S N R N S S S N R M S N N N Huguet M.-J. N N R M S M S S N R N N S M S Lopez P. M S N M S N R M S N R M S N N Mongeau M. S M S S N R N N N S S R M M M M M S M N N R R N S M S S R S M N S N R M M S M M N R R S N M S N R N S S S N R M S N N N N N R M S M S S N R N N S M S M S N M S N R M S N R M S N N S M S S N R N N N S S R M M M (M=matn ; S=sor ; N=nut ; R=repos) Tableau.. Exemple de tableau de servce S le plannng représente les programmes de traval et de repos non nomnatfs sur un nombre enter de semanes, l s agt de grlle de traval. S les horares ndvduels sont pérodques, les plannngs sont cyclques, snon, on parle des plannngs acyclques. Semane Lund Mard Mercred Jeud Vendred Samed Dmanche M M S M N R R 2 S N S N R M M 3 M S N R R S S 4 N R R M S M S (M=matn ; S=sor ; N=nut ; R=repos) Tableau.2. Exemple de grlle de traval cyclque sur 4 semanes 0

18 CHAPITRE Planfcaton de ressources humanes Même s les premers travaux datent des années 50 (créaton d horares de traval pour les agents d un poste de péage [Dantzg 54]), l ntérêt concernant le problème de créaton des plannngs de personnel n a pas dmnué. De plus en plus nombreux sont les secteurs vsés : l ndustre sdérurgque (ndustre «à flux contnu»), le secteur bancare [Jacques 93], les servces hosptalers ([Brusco et Showalter 98], [Wel et al. 98], [Bellant et al. 04]), les centres d appel ([Keth 79], [Grossman et al. 99]), les aéroports ([Jacquet-Lagrèze et al. 98], [Partouche 98]), les compagnes de transport aéren, ferrovare ([Caprara et al. 98b]) et urban ([Martello & Toth 86]), les commssarats de polce et les gendarmeres, les servces postaux, la restauraton rapde ([Loucks & Jacobs 9]), les cassers du secteur de la dstrbuton ([Thompson 88]), etc. Dans [Ernst et al. 04] on trouve une revue de lttérature sur la planfcaton de personnel en général. Des outls, des modèles et des méthodes utlsés dans dfférents secteurs sont détallés..3 La planfcaton dans un contexte aéronautque Dans un contexte aéronautque, la charge de traval est consttuée des tâches à réalser en vol et au sol, tâches qu sont détermnées la plupart du temps par le programme des vols. Suvant le type du traval à effectuer, le personnel se dvse en deux catégores : le personnel au sol et le personnel navgant. Dans la sute de ce chaptre, nous allons présenter les problèmes spécfques de chacune de ces deux catégores et quelques méthodes de modélsaton et de résoluton proposées dans la lttérature. Dans les chaptres suvants, nous décrrons nos contrbutons à la résoluton de ces problèmes..3. Personnel au sol Le programme des vols d une compagne aérenne mpose un ensemble de tâches à effectuer au sol : l'enregstrement des passagers, l'accuel à l'arrvée et au départ, le servce de correspondance et de transt aux aéroports. Ces tâches sont effectuées par ce que l on appelle le personnel au sol. Le problème de planfcaton du personnel au sol n est pas drectement formulé à partr des tâches à effectuer ; l y a une étape ntermédare : les tâches dovent être groupées en vacatons, et ce sont ces vacatons qu sont ensute affectées au personnel. On appelle «vacaton» un ensemble de tâches exécutées consécutvement par la même personne pendant son servce ournaler. Suvant le type de contrat du personnel, les vacatons dovent être créées ou remples avant d être affectées aux agents. Généralement, le contrat des agents spécfe des bornes nféreures et supéreures pour la durée du traval ournaler et mensuel, l exstence des pauses pendant la ournée de traval et leurs durées. Ans, chaque type de contrat devent une sorte de «patron» à partr duquel des vacatons seront construtes et ensute remples avec des tâches. Pour plus de clarté, prenons un exemple : sot un agent dont le contrat mpose un traval ournaler de sept heures au mnmum et dx heures au maxmum, avec une pause prévue entre 8h00 et 4h00, d une durée mnmum d une heure et maxmum de deux heures. Une vacaton qu commence à 6h00 du matn et qu fnt à 4h30, avec une pause entre 9h30 et h00 respecte les demandes du contrat. Une autre vacaton qu commence à 8h00 et fnt à 6h00, avec une pause entre 2h5 et 4h00 est auss une vacaton «légale». Il reste à trouver s les tâches à effectuer ce our par cet agent peuvent être plus faclement nsérées dans la premère ou dans la deuxème vacaton.

19 CHAPITRE Planfcaton de ressources humanes S, par contre, le personnel travalle en grlle, les vacatons sont déà fournes, car chaque case de la grlle de traval correspond à une ournée de traval, donc à une vacaton vde. Les heures de début et de fn étant précsées, l reste seulement à les remplr avec des tâches. S, par exemple, la grlle de traval propre à un certan agent précse que mard l agent commence le traval à 7h30 et fnt à 5h30, alors la vacaton du mard commence à 7h30 et fnt à 5h30 et les tâches que l agent va effectuer ce our ne dovent pas dépasser cet ntervalle de temps. Dans la lttérature, beaucoup de méthodes de résoluton du problème de créaton des vacatons reposent sur des approches par recouvrement d ensemble. Dans une premère étape, tout ou une parte de l ensemble des vacatons canddates sont générées ([Easton & Rossn 9], [Bechold & Brusco 94]). Ensute, les vacatons fasant parte de la soluton fnale sont sélectonnées selon dfférentes méthodes : à partr d une premère soluton générée par la résoluton d un problème de recouvrement d ensemble relâché ([Dantzg 54], [Morrs & Showalter 83]) ou par une heurstque de constructon tératve où les vacatons sont sélectonnées les unes après les autres ([McGnns et al. 78], [Brusco & Johns 96]). [Segal 74] montre que la créaton des vacatons peut être nterprétée comme un problème de flot à coût mnmal. La méthode de résoluton que nous proposons pour la créaton de vacatons part d une modélsaton du problème en tant que problème de bn-packng : les tâches sont assmlées aux obets et les vacatons aux conteneurs. Nous avons chos cette modélsaton car, malgré le fat que le problème de bn-packng est NP-dffcle, l exste de nombreux algorthmes qu donnent des solutons approchées. La méthode proposée a en outre l avantage de pouvor être utlsée, sans lu apporter beaucoup de modfcatons, pour la créaton et pour le remplssage de vacatons. Nous allons la présenter en détals dans le chaptre Personnel navgant Le personnel navgant d une compagne aérenne est celu qu consttue les équpages des vols à effectuer : les plotes, les coplotes, les hôtesses,... La créaton de plannngs pour le personnel navgant est un problème qu attre consdérablement l attenton des compagnes aérennes et en même temps des communautés de la recherche opératonnelle. Comme les navgants représentent l une des ressources les plus coûteuses d une compagne, une geston effcace du personnel s mpose naturellement comme ndspensable. Le problème est ntéressant auss du pont de vue mathématque, car l fat l obet de nombreuses modélsatons et de nombreuses technques de résoluton, qu relèvent le plus souvent de l optmsaton combnatore. La plupart des compagnes aérennes ont dvsé la constructon du plannng en deux sous-problèmes : la créaton des rotatons (problème connu auss dans la lttérature sous le nom de «crew parng») et l affectaton de ces dernères aux navgants («crew rosterng»). Une rotaton est une séquence d actvtés qu commence et qu fnt dans la vlle de domcle d un équpage, appelée base. Elle peut couvrr un ou pluseurs ours. Le but du premer sous-problème est de créer un ensemble de rotatons à coût mnmum qu couvre tous les vols à effectuer par la compagne dans un certan ntervalle temporel. Une fos les rotatons créées, elles sont ensute affectées aux personnels navgants (PN). Les travaux dans le domane sont nombreux. En 969, [Arabeyre et al, 69] fat déà un tour d horzon des travaux dédées à la créaton de rotatons. Dans [Etschmaer et al, 85] et [Rushmeer et al, 95] on trouve des revues de lttérature plus récentes. Les dernères recherches formulent le problème de créaton de rotatons comme un problème de parttonnement d ensemble. Après avor généré l ensemble [Yan et al. 02] ou une parte [Chu et al. 97] des rotatons admssbles, dfférentes heurstques sont proposées 2

20 CHAPITRE Planfcaton de ressources humanes pour trouver la soluton de coût mnmum. Une autre approche consste à grouper les vols en pérodes de servce [Desaulners et al. 97a] et, à partr de ces dernères, à créer des rotatons. Les références [Cranc & Rousseau 87] et [Lavoe et al. 88] proposent des méthodes de résoluton basées sur la génératon de colonnes. L affectaton des rotatons peut être réalsée suvant dfférentes approches. L approche utlsée par la plupart des compagnes nord-amércanes ( bdlne approach ) consste à créer des plannngs anonymes sur l horzon concerné et à les affecter ensute aux navgants, par ordre de prorté et auss suvant leurs préférences. L avantage de cette approche est que chacun sat exactement s le plannng qu l accepte est en concordance avec ses préférences. Les références [Campbell et al 97] et [Chrstou et al. 99] proposent des méthodes de constructons des plannngs utlsant cette approche. Cette approche a en partculer été applquée dans les compagnes FedEx et Delta Ar Lnes. Les plannngs sont construts en deux étapes. Dans une premère étape, on crée, en nombre maxmal, des plannngs ndvduels de très bonne qualté, c est-à-dre qu respectent les contrantes (dures et souples) dans les mondres détals. Dans la deuxème étape on complète ces plannngs à partr des rotatons qu n ont pas pu être affectées auparavant. Les plannngs sont ensute affectés aux navgants par ordre de prorté de ces derners (qualfcaton et ancenneté). La référence [Campbell et al. 97] utlse le recut smulé pour la premère étape et une procédure gloutonne pour la deuxème. L étude [Chrstou et al. 99] propose une procédure basée sur des algorthmes génétques. La plupart des compagnes européennes créent drectement des plannngs personnalsés pour chaque navgant. Dans ce type d approche, le navgant exprme ses préférences avant la créaton du plannng, sans connaître la confguraton fnale des rotatons. Pour la créaton de plannngs personnalsés, pluseurs méthodes heurstques ont été proposées, mas les méthodes basées sur le parttonnement d ensemble («set parttonng») sont de plus en plus utlsées. [Ryan 92] propose une méthode heurstque pour la constructon des plannngs valdes, en utlsant une matrce de contrantes qu faclte la recherche des solutons. Le problème est ensute résolu par programmaton en nombres enters. [Gamache et al. 99] décrt une méthode de résoluton basée sur la génératon de colonnes. [El Moudan et al. 00] propose une méthode d affectaton des rotatons utlsant des algorthmes génétques. Cette méthode prend auss en compte les éventuels changements de plannng. La programmaton par contrantes est auss utlsée pour résoudre le problème d affectaton de rotatons. Cette technque est surtout utlsée dans les cas où le problème a beaucoup de contrantes et où on peut se contenter d une soluton fasable même s elle n est pas optmale. Souvent, elle est combnée avec des technques de recherche opératonnelle. Les auteurs [Guernk et al. 95] utlsent la programmaton par contrantes comme technque de prétratement, pour rédure la dmenson du problème. Ensute, l est résolu à l ade d une méthode de programmaton lnéare complétée par un algorthme de Branch & Bound. Une autre alternatve est d utlser la programmaton par contrantes pour générer des colonnes dans un problème de recouvrement d ensemble (set coverng) [Caprara et al. 98a]. Cette technque faclte la représentaton des contrantes les plus complexes lors de la génératon de colonnes, tout en garantssant la qualté de la soluton, grâce à l utlsaton de la programmaton en nombres enters. Pour résoudre le problème d affectaton de rotatons, nous avons chos l approche «européenne» - des plannngs personnalsés. Notre problème peut être vu comme un problème d affectaton multple généralsé. Dans le chaptre 5, nous proposons une décomposton du problème dans un ensemble de problèmes d affectaton smple et un algorthme ad-hoc pour la résoluton de chaque sous-problème. 3

21 CHAPITRE Planfcaton de ressources humanes.4 Conclusons Dans ce chaptre, nous avons présenté le problème de créaton des plannngs dans dfférents domanes d actvté, en nsstant partculèrement sur le contexte aéronautque. Le tour d horzon sur la lttérature dans le domane nous montre que ce problème fat l obet d ntérêt de la communauté de Recherche Opératonnelle depus plus d une trentane d années. Plus récemment, des recherches ont été effectuées également dans le domane de l Intellgence Artfcelle. De nombreux modèles et méthodes ont été proposés pour la consttuton de plannngs. Dans le chaptre suvant, nous allons présenter quelques problèmes classques d optmsaton combnatore utlsée pour la modélsaton des problèmes de créaton de plannngs. Quelques méthodes couramment utlsées pour la résoluton de ces problèmes d optmsaton combnatore sont auss décrtes. 4

22 CHAPITRE 2 Modèles et technques de résoluton pour les problèmes de planfcaton d horares Chaptre 2 Modèles et technques de résoluton pour les problèmes de planfcaton d horares 2. Introducton La créaton de plannngs relève de nombreux problèmes d optmsaton. Ces problèmes ressemblent aux problèmes d optmsaton combnatore classquement étudés en recherche opératonnelle, mas présentent également certanes spécfctés : ssus d applcatons réelles, ls sont le plus souvent complexes et de grande talle. Les algorthmes de programmaton lnéare en varables mxtes (contnues et dscrètes) sont des outls pussants pour la résoluton de nombreux problèmes de recherche opératonnelle. Face à des problèmes réels de grande talle, ls perdent rapdement leur effcacté. C est pourquo, en pratque, pour des problèmes de planfcaton, on se contente souvent de solutons fasables qu remplssent certans crtères de qualté, même s elles ne sont pas optmales. Des méthodes approchées sont alors utlsées à la place des méthodes exactes. L avantage de ces méthodes est qu elles présentent un très bon rapport entre la qualté de la soluton fourne et le temps de calcul. Ce chaptre propose un bref passage en revue des problèmes d optmsaton combnatore qu émergent dans dfférents stades de la planfcaton d horares : le problème d affectaton, le problème de bn-packng et le problème de recouvrement d ensemble. Nous présentons ensute les technques de base retenues pour la sute de nos travaux pour résoudre ces problèmes. 2.2 Problèmes classques d optmsaton combnatore 2.2. Problème d affectaton Le problème d affectaton consste à trouver des lens entre les éléments de deux ensemble dstncts, de manère à mnmser un coût et à respecter des contrantes d uncté de len. En théore des graphes, un problème d affectaton smple peut être vu comme un problème de couplage parfat dans un graphe bpart. Un graphe G s appelle bpart s l on peut dvser ses sommets en deux sous-ensembles et X 2 avec aucune arête de type (,) avec et dans X ou ben et dans X 2. On appelle couplage d un graphe G un sous-ensemble d arêtes non adacentes deux à deux. 5

23 CHAPITRE 2 Modèles et technques de résoluton pour les problèmes de planfcaton d horares Problème d affectaton smple Sot un ensemble de m opératons qu dovent être exécutées par n ressources, n m. Chaque couple (opératon, ressource ) ( = à m, = à n) a un coût assocé c, qu représente la dépense assocée à la réalsaton de l opératon par la ressource. En supposant que chaque opératon dot être exécutée une seule fos et que chaque ressource est utlsée au plus par une seule opératon, le problème peut être modélsé de la manère suvante : m Mn c x n = = n x = sous : m x = = {,.., m} (2.) (2.2) {,.., n} (2.3) x { 0,} {,.., m}, {,..,n} (2.4) où x est une varable bnare assocée à chaque pare (opératon, ressource ) et qu vaut s l opératon est effectuée par la ressource et 0 snon. S l on consdère que X représente l ensemble des opératons ( X = m) et X 2 l ensemble des ressources ( X 2 = n) du problème (2.)-(2.4), avec m n alors chaque arête entre un sommet de X et un sommet de X 2 sgnfe que l opératon peut être effectuée par la ressource. On assoce à chacune de ces arêtes un coût égal à c. Comme le coût total d un couplage est donné par la somme des coûts de chaque arête, le problème d affectaton revent à trouver un couplage de cardnal m et de coût mnmal. Ce modèle correspond à ce que l on appelle le problème d affectaton smple. Problème d affectaton généralsé Dans un cadre plus général, où par exemple les ressources sont agrégées, la contrante (2.3), appelé contrante de capacté, n est plus suffsante pour décrre l utlsaton des ressources. Dans ce cas, une ressource est caractérsée par sa capacté S et chaque opératon nécesste la quantté de ressource r s elle utlse la ressource. La contrante (2.3) devent : m = r k x S k {,.., n}, k { K},..., (2.5) Dans la formulaton du problème, l ndce k tradut l exstence fréquente de pluseurs contrantes de capacté généralement lées à l utlsaton de ressources annexes ou complémentares par rapport aux ressources de base [Hennet 97]. Le problème d affectaton smple ayant des contrantes de capacté exprmées par (2.5) devent un problème d affectaton généralsé Problème de bn-packng Un des problèmes les plus souvent rencontrés dans le domane de la recherche opératonnelle est le problème de bn-packng. Celu-c consste à placer des obets ayant une talle donnée dans des conteneurs de capacté connue. Dans les problèmes les plus basques, les talles et les capactés ont une seule dmenson (pods, longueur ) et tous les conteneurs ont la même capacté. Dans les problèmes plus complexes, l y a pluseurs types de conteneurs et les obets ont pluseurs dmensons. Souvent, l s agt de dmensons géométrques ou de 6

24 CHAPITRE 2 Modèles et technques de résoluton pour les problèmes de planfcaton d horares caractérstques physques (pods, volume). Les obectfs les plus fréquents sont sot de remplr au maxmum les conteneurs utlsés, sachant que les obets ne dovent pas forcément être tous sélectonnés, sot de placer tous les obets dans un nombre mnmal de conteneurs, ou encore d équlbrer les charges. [Dyckhoff 90] propose une typologe des problèmes de bn-packng, chaque type étant caractérsé par les attrbuts suvants : Dmenson. Ce paramètre précse le nombre mnmal des varables nécessares à la descrpton géométrque du modèle : une dmenson (), deux dmensons (2), tros dmensons (3), N dmensons (N). Type d assgnaton. Deux cas sont envsagés : sot tous les obets sont affectés à une sélecton de conteneurs (V), sot une sélecton d obets est affectée à tous les conteneurs (B). Capacté des contaneurs. Sot l y un seul conteneur (O) sot l y en a pluseurs avec des capactés dentques (I) ou avec des capactés dfférentes (D). Talle des obets. Il peut y avor peu d obets de formes dfférentes (F), pluseurs obets de pluseurs formes dfférentes (M), pluseurs obets de peu de formes dfférentes (R), ou des obets de formes dentques (C). D'une façon classque [Guéret et al. 00], un problème élémentare de bn-packng peut être formulé de la manère suvante : n y = Mn n sous : = m = = x {,..., m} (2.6) (2.7) a. x b. y {,...,n} (2.8) x { 0,} {,..., m}, {,...,n} y { 0,} {,...,n} (2.9) (2.0) ou m est le nombre des obets à placer dans des conteneurs, n est le nombre des conteneurs, a donne la talle de l obet, b donne la capacté du conteneur, x est une varable bnare qu vaut s l obet se trouve dans le conteneur, 0 snon et y est une varable bnare qu vaut s le conteneur fat parte de la soluton, 0 snon. Il est ben connu que le problème de bn-packng est un problème NP-dffcle [Coffman et al. 98]. Cependant, l exste de nombreux algorthmes de résoluton approchés effcaces. Les plus performants parm ces algorthmes seront analysés dans le paragraphe Problème de recouvrement d ensemble Un problème de recouvrement d ensemble (set coverng problem) peut être modélsé sous la forme suvante : n Mn c x = n sous : a x = {,.., m} x { 0,} {,..,n} (2.) (2.2) (2.3) 7

25 CHAPITRE 2 Modèles et technques de résoluton pour les problèmes de planfcaton d horares S l négalté (2.2) est remplacée par une égalté, on a un problème de parttonnement d ensemble (set parttonng problem). Dans le cas où l négalté ( ) change de sens ( ), on a un problème d emballage (set packng problem). De nombreuses applcatons peuvent être modélsées comme problèmes de recouvrement d ensemble. Les problèmes de lvrason ou de tournée, les problèmes de planfcaton ou les problèmes de localsaton d entrepôts sont tratés comme problèmes de recouvrement d ensemble dès que l on veut s'assurer que chaque clent est serv par un certan entrepôt, véhcule ou personne. La référence [Balas & Padberg 76] content une bblographe mportante sur les domanes d applcatons du problème de recouvrement d ensemble. Les problèmes modélsés en tant que problèmes de recouvrement d ensemble sont généralement des problèmes de très grande talle et ne peuvent pas être formulés explctement. Une des technques les plus utlsées pour la résoluton de ce genre de problèmes est la génératon de colonnes. Nous allons dscuter plus en détal de la génératon de colonnes dans La génératon de colonnes a été utlsée pour la premère fos pour la résoluton d un problème de découpe [Glmore&Gomory 6]. Des problèmes d affectaton et d ordonnancement de tâches [Savelsbergh 97], [Van Den Akker et al. 00], des problèmes de tournée avec contrantes supplémentares fenêtres de temps et contrantes de ressources [Desrosers et al. 84, Desrochers et al. 92, Rbero & Soums 94] et des problèmes de constructon de plannngs dans le domane des transports aérens [Desaulners et al. 97a], [Barnhart et al. 98a] ont auss été résolus en utlsant cette méthode. 2.3 Technques de résoluton retenues Dans la paragraphe précédent, nous avons vu quelques modèles de recherche opératonnelle souvent rencontrés pour modélser des problèmes lés à l affectaton du personnel. Ce paragraphe présente les technques les plus performantes pour résoudre ces problèmes de recherche opératonnelle Méthodes de résoluton de problèmes de couplage et d affectaton Le problème d affectaton smple (2.)-(2.4) est parm les problèmes combnatores les plus facles à résoudre. En effet, sa matrce de contrantes pour les contrantes (2.2)-(2.3) a la proprété d unmodularté. Les contrantes bnares (2.4) peuvent donc être remplacées par les contrantes de la relaxaton contnue suvante sans changer la soluton optmale du problème qu est «naturellement» bnare. 0,.., m,..,n (2.4) x { }, { } Une conséquence évdente de cette proprété est que des problèmes d affectaton smples de très grande dmenson peuvent être résolus drectement par des logcels de programmaton lnéare en nombres réels. Cependant, pour des rasons de souplesse d utlsaton et d mplémentaton dans des progcels commercaux, nous avons chos de résoudre les problèmes d affectaton smples par des algorthmes ad-hoc, que nous allons mantenant passer en revue Bp Match Le Bp Match est un algorthme rapde utlsant les chaînes alternées amélorantes pour trouver un couplage maxmal dans un graphe bpart [Prns 94]. Pour un graphe G et un couplage C, une chaîne est alternée s elle emprunte alternatvement des arêtes dans C et hors 8

26 CHAPITRE 2 Modèles et technques de résoluton pour les problèmes de planfcaton d horares C. Pour un couplage, une chaîne alternée est amélorante (ou augmentante) s ses deux extrémtés sont nsaturées par le couplage. Le fonctonnement de l algorthme est basé sur les deux suvantes proprétés dues à Berge [Berge 83] : Proprété. Sot un graphe G, C un couplage de G et une chaîne alternée amélorante µ pour C. Un transfert sur µ donne un nouveau couplage C avec C = C +. Proprété 2. Un couplage est maxmal s est seulement s l n admet aucune chaîne alternée amélorante. Le Bp Match part d un couplage ntal non vde, obtenu en cherchant les chaînes alternées amélorantes rédutes à une arête - on affecte chaque sommet de X à son premer successeur lbre, c est-à-dre n étant pas déà extrémté d une arête du couplage. A partr de cette affectaton ntale, on cherche les chaînes amélorantes, par une exploraton en largeur du graphe. Cette recherche vse à amélorer la soluton trouvée par l affectaton ntale, pus la soluton courante, par l augmentaton de la cardnalté du couplage. On part touours d un sommet nsaturé de X et on s arrête à la plus courte chaîne trouvée. On va explorer les sommets alternatvement (un sommet de X, un sommet de Y ), de manère que la chaîne at une arête hors du couplage, pus une arête dans le couplage. L algorthme s arrête quand l n arrve plus à trouver des chaînes amélorantes. La recherche du couplage maxmal est schématsée dans la Fgure 2. : Construre le graphe bpart et établr le couplage ntal non vde Pour chaque sommet nsaturé de X, chercher une chaîne alternée amélorante Mettre à our le nouveau couplage Y a-t-l des chaînes amélorantes? OUI NON Couplage de cardnal maxmal? NON OUI SOLUTION OPTIMALE SOLUTION sous optmale Fgure 2. Le Bp Match L opératon de transfert sur µ consste à enlever de C les arêtes de µ qu fasaent parte du couplage et à aouter à C les arêtes de µ qu n en fasant pas parte. Cec revent à nverser le statut dans C / hors C des arêtes de µ. 9

27 CHAPITRE 2 Modèles et technques de résoluton pour les problèmes de planfcaton d horares Le Bp Match s nscrt dans la catégore des méthodes prmales. En effet, la recherche des chaînes alternées amélorantes qu augmente la cardnalté du couplage correspond à la constructon d une séquence de solutons admssbles qu converge vers l optmum. L avantage d une méthode prmale est d être très rapde dans le cas de pluseurs solutons équvalentes. Comme le but est d amélorer la soluton ntale, les solutons équvalentes ne sont pas explorées. S l y a une soluton melleure, elle est retenue, snon, on arrête l exploraton L algorthme de Busacker et Gowen Un problème d affectaton ou de couplage maxmal dans un graphe bpart peut être modélsé comme un problème de flot ; ans, la recherche d une affectaton optmale revent à la recherche d un flot maxmal de coût mnmal. C est un problème classque de la théore des graphes qu cherche à fare passer un débt maxmal à travers un réseau à mondre coût. L algorthme de Busacker et Gowen [Busacker&Gowen 6] est une méthode smple et effcace pour trouver un tel flot. Son prncpe de fonctonnement est équvalent à celu du Bp Match : l part d un flot nul et l l augmente progressvement, par recherche des chaînes augmentantes. C est auss une méthode prmale comme le Bp Match, donc l présente les mêmes avantages que celu-c. De plus, l prend en compte les coûts d affectaton L algorthme hongros Un cas partculer du problème d affectaton, souvent traté dans la lttérature est celu où le nombre des opératons à effectuer est égal au nombre des ressources utlsées. En effet, tout problème d affectaton smple peut être ms sous cette forme par ntroducton d opératons fctves à coût nul pour toutes les ressources dans le cas m<n, ou de ressources fctves à coût nul pour toutes les opératons dans le cas m>n. Une méthode de résoluton du problème d affectaton qu prend en compte cette structure est l algorthme hongros. Développé en 955 par H.W.Kuhn et nommé ans en honneur des mathématcens J. Egervary et D. Köng, l algorthme hongros [Kuhn 55] est un algorthme dual qu utlse la modélsaton sous forme de programme lnéare du problème d affectaton. Toutefos, l peut être vu comme une varante de l algorthme de Busacker et Gowen, spécalsée pour la structure bparte du graphe. Du fat de sa grande effcacté sur ce type de problème, c est l algorthme de référence en Recherche Opératonnelle pour résoudre le problème d affectaton. Son prncpe est basé sur le fat que les couplages de pods mnmal dans le graphe du problème prmal sont exactement les couplages de cardnalté maxmale dans le graphe du problème dual. Une schématsaton smplste de l algorthme hongros pourrat être la suvante : Etape. On crée la matrce des coûts (c ) ( = m, = n, m = n) ntale, qu est consdérée non négatve. Etape 2. Pour chaque lgne de la matrce, on trouve l élément mnmal et on le soustrat à tous les éléments de cette lgne. S l reste des colonnes sans coeffcents nuls, pour chacune de ces colonnes, on trouve l élément mnmal et on le soustrat à tous les éléments de cette colonne. Etape 3. On cherche une affectaton admssble en vérfant s, pour chaque lgne et chaque colonne l exste exactement une case marquée. S ou, l affectaton trouvée est optmale. Snon, on trace des trats (en nombre mnmal) sur les lgnes et les colonnes de la matrce, pour couvrr tout les 0 au mons une fos. 20