Modélisation et conception d algorithmes pour la planification automatique du personnel de compagnies

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1 Modélsaton et concepton d algorthmes pour la planfcaton automatque du personnel de compagnes aérennes Carmen Draghc To cte ths verson: Carmen Draghc. Modélsaton et concepton d algorthmes pour la planfcaton automatque du personnel de compagnes aérennes. Automatc. INSA de Toulouse, French. <tel > HAL Id: tel Submtted on 7 Jan 2006 HAL s a mult-dscplnary open access archve for the depost and dssemnaton of scentfc research documents, whether they are publshed or not. The documents may come from teachng and research nsttutons n France or abroad, or from publc or prvate research centers. L archve ouverte plurdscplnare HAL, est destnée au dépôt et à la dffuson de documents scentfques de nveau recherche, publés ou non, émanant des établssements d ensegnement et de recherche franças ou étrangers, des laboratores publcs ou prvés.

2 Thèse Préparée au Laboratore d Analyse et d Archtecture des Systèmes du CNRS En vu d obtenton du grade de Docteur de l Insttut Natonal de Scences Applquées de Toulouse Spécalté : Systèmes Industrels par Carmen DRAGHICI MODELISATION ET CONCEPTION D ALGORITHMES POUR LA PLANIFICATION AUTOMATIQUE DU PERSONNEL DE COMPAGNIES AERIENNES Soutenue le 29 septembre 2005 devant le ury : Rapporteurs : Examnateurs : Jean-Charles BILLAUT Chrstan PRINS Smona Iulana CARAMIHAI Jacques ERSCHLER Invté : Hervé LE ROY Drecteurs de thèse : Jean-Claude HENNET Olver PAILLOT

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4 A ma grand-mère T as vu? Je sus docteur mantenant. Pas un qu guért les malades, mas docteur quand même

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6 Résumé La planfcaton et la geston optmale des ressources humanes ouent un rôle mportant dans la productvté et la compéttvté des entreprses. Dans cette thèse nous nous ntéressons à la modélsaton et à la résoluton de dfférents problèmes d optmsaton soulevés par la constructon de plannngs pour les agents qu travallent dans un contexte aéronautque : la créaton de vacatons, la créaton de rotaton, l affectaton de vacatons et de rotatons. Pour le problème de constructon de vacatons, nous proposons une approche de modélsaton basée sur le concept de plage horare et ensute une méthode heurstque de résoluton basée sur l algorthme FFD (Frst Ft Decreasng) et sur la génératon de colonnes. Le problème de créaton de rotatons est résolu par une méthode de programmaton lnéare en varables mxtes. Les problèmes d affectaton de vacatons et de rotatons sont modélsés comme des problèmes de mult-affectaton généralsé. Nous proposons une décomposton temporelle et par qualfcaton et ensute une transformaton du problème d affectaton généralsé en un problème d affectaton smple par relaxaton Lagrangenne. Un algorthme ad-hoc est utlsé pour la résoluton de chaque problème de base. La plupart des algorthmes élaborés ont été couplés à des bases de données réelles et commercalsés par la socété IFR-France. Mots clés: optmsaton de plannngs, problèmes, Frst Ft Decreasng, génératon de colonnes, programmaton lnéare en varables mxtes, problème de mult-affectaton généralsé, relaxaton Lagrangenne. Abstract Optmal schedulng and management of human resources have an mportant role n the productvty and compettveness of an enterprse. In ths thess we are nterested n modelng and solvng dfferent optmsaton problems whch rse durng the constructon of schedules for agents workng n an arlne context: the shft generaton problem, the crew parng problem, the rosterng problem. For the shft generaton problem, we propose a modelng approach based on the concept of tme slot and then a resoluton method based on the Frst Ft Decreasng algorthm and the column generaton technque. The crew parng problem s solved usng a mxed lnear programmng method. The rosterng problem s modeled as a generalzed mult-assgnment problem. We propose a decomposton n tme and by qualfcaton and then a transformaton of the generalzed assgnment problem nto a smple assgnment problem by Lagrangan relaxaton. An ad hoc algorthm s used for the resoluton of each basc problem. Most of the proposed algorthms were connected to real databases and commercalsed by IFR France. Keywords: schedules optmsaton, Frst Ft Decreasng, column generaton, mxed lnear programmng, generalzed mult-assgnment problem, Lagrangan relaxaton.

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8 Remercements Ce traval de thèse n aurat pu être réalsés sans mes deux drecteurs de thèse, Monseur Jean-Claude Hennet, drecteur de recherche au LAAS-CNRS, et Monseur Olver Pallot, ngéneur à IFR France, que e tens très vvement à remercer. Je sus très reconnassante pour leur confance et pour l autonome qu ls m ont accordée. Je remerce auss Monseur Chrstan Prnce, professeur à L Unversté de Technologe de Troyes et Monseur Jean-Charles Bllaut, professeur à L Unversté «Franços Rabelas» de Tours pour l honneur qu ls m ont fat d accepter de rapporter ce traval et l ntérêt qu ls y ont porté. Je tens également à remercer Monseur Jacques Erschler, professeur à l Insttut Natonal des Scences Applquées de Toulouse et Madame Smona Caramha, professeur à l Unversté «Poltehnca» de Bucarest pour le crédt qu ls ont accordé à mon traval en partcpant au ury de cette thèse. Un mot partculer pour Madame Caramha qu a gudé mes premers pas dans le monde de la recherche à l Unversté «Poltehnca» de Bucarest et qu m a donné ensute l enve et la motvaton d effectuer cette thèse. Mes remercements vont auss vers Marcel Mongeau, maître de conférences à l Unversté «Paul Sabater» de Toulouse. Notre collaboraton sur l un des chaptres de ce document et auss ses nombreux consels m ont été préceux. Je lu remerce auss pour son amté et pour le courage d avor partagé avec mo le bureau pendant ma dernère année de thèse. La motvaton et le plasr quotden d effectuer cette thèse n auraent pu être les mêmes sans mes collègues du LAAS, doctorants ou stagares : Yasemn, Manue, Catherne, Steff, Malka, Codruta, Marcos, Sergo, Carmen, Andreea, Tatana, Franços, Julen Merc pour votre ade et votre souten, mas auss pour les agréables moments de détente passés ensemble. Je sus reconnassante à Hervé Le Roy et à Joan Vch qu ont accepté le déft d une thèse CIFRE et qu m ont chaleureusement accuell au sen d IFR France et de l équpe KEOPS. J adresse toute ma sympathe à ceux qu chaque matn ont drot à un «Bonour, KEOPS!» : Nathale, Gégé, Sss, Abdel, Seb, Nno, Pete, Yannck. Ils m ont consellé et adé tout au long de cette thèse. Je ne pourras pas passer sous slence Flo, Sandrne et Jean-Marc que a ben harcelé avec mes problèmes admnstratves où logstques. Merc pour votre dsponblté et effcacté. Je remerce de tout cœur à ma famlle et à mes ams de Roumane qu, malgré la dstance qu nous sépare, m ont soutenu et supporté durant ces tros ans. Enfn, e ne pourras termner sans cter celu qu est pour mo le "pso cel ma dragut foc".

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10 Table de matères Introducton...5. Planfcaton des ressources humanes INTRODUCTION QUELQUES NOTIONS SUR LA PLANIFICATION LA PLANIFICATION DANS UN CONTEXTE AERONAUTIQUE Personnel au sol Personnel navgant CONCLUSIONS Modèles et technques de résoluton pour les problèmes de planfcaton d'horares INTRODUCTION PROBLEMES CLASSIQUES D OPTIMISATION COMBINATOIRE Problème d affectaton Problème de bn-packng Problème de recouvrement d ensemble TECHNIQUES DE RESOLUTION RETENUES Méthodes de résoluton de problèmes de couplage et d affectaton Bp Match L algorthme de Busacker et Gowen L algorthme hongros Méthode de relaxaton Lagrangenne pour le problème d affectaton généralsé Algorthmes de résoluton pour le problème de bn-packng Algorthmes on-lne Algorthmes off-lne Génératon de colonnes pour la résoluton du problème de recouvrement d ensemble Convergence de la méthode L algorthme générateur Recherche des solutons entères CONCLUSION Créaton de vacatons pour le personnel au sol INTRODUCTION CONCEPTS DE BASE : TACHES ET VACATIONS Tâches Vacatons Personnel PRESENTATION DU PROBLEME Contrantes réglementares Méthodes de résoluton dans la lttérature Modélsaton par recouvrement d ensemble Méthodes tératves MODELISATION PROPOSEE La représentaton du temps Plages horares Tâches, vacatons, contrantes Modélsaton du problème METHODE DE RESOLUTION PROPOSEE Génératon de vacatons Constructon des patrons de vacatons Tratement des tâches fxes Tratement des tâches mobles Remplssage de vacatons... 45

11 3.6 RESULTATS OBTENUS CONCLUSIONS Créaton de rotatons pour le personnel navgant INTRODUCTION CONCEPTS DE BASE Rotatons Actvtés hors-vol Personnel MODELISATION ET RESOLUTION DU PROBLEME Contrantes réglementares Méthodes de résoluton dans la lttérature Modélsaton proposée Constructon des PdS Constructon de rotatons à partr des PdS Résultats Constructon des PdS Constructon de rotatons à partr des PdS Post tratement des rotatons PERSPECTIVES : CONSTRUCTION D ALGORITHMES APPROCHES Constructon de PdS Constructons de rotatons CONCLUSIONS Affectaton de vacatons/ rotatons INTRODUCTION PRESENTATION DU PROBLEME Contrantes réglementares METHODES DE RESOLUTION DANS LA LITTERATURE Affectaton de vacatons Affectaton de rotatons MODELISATION DU PROBLEME METHODE DE RESOLUTION PROPOSEE Constructon de la matrce de coût Calcul des coûts L affectaton de réserves pour le personnel navgant Affectaton de séquences IMPLEMENTATION ET RESULTATS Valdaton de la méthode Implémentaton CONCLUSION... 9 Concluson Bblographe

12 INTODUCTION Introducton Le transport aéren connaît une crossance vertgneuse depus les années 60 car, s en 945, le trafc aéren comptat 9 mllons de passagers par an, l est passé auourd hu à,8 mllard. Les compagnes aérennes sont nombreuses et ont tendance à se grouper car la concurrence est mportante. Rester rentable dans un envronnement complexe et concurrentel est d autant plus dffcle qu une compagne est oblgée de fare face à d énormes dépenses pour payer le carburant, le personnel, les taxes d utlsaton des aéroports, l entreten, la locaton ou l achat des aéronefs. Les augmentatons de recettes étant très dffcles sur ce marché très concurrentel, une éventuelle réducton des coûts est essentelle pour assurer la rentablté d une compagne. La deuxème source de dépense d une compagne aérenne après le carburant est consttuée par le personnel ; elle représente 5-20% du budget opératonnel. Une geston effcace des plannngs du personnel est donc d une mportance maeure, car une basse de seulement quelques pourcents de ces coûts entraîne des économes annuelles qu peuvent s élever à des dzanes de mllons de dollars pour des grandes compagnes. Générer des plannngs est un processus dffcle, soums à des règles complexes et parfos contradctores. De plus, aux contrantes réglementares se raoutent des règles socales, de sécurté, de préférences personnelles... Dans cette thèse nous nous ntéressons à la modélsaton et à la résoluton de dfférents problèmes d optmsaton soulevés par la constructon de plannngs pour les agents qu travallent dans un contexte aéronautque : le personnel au sol d un aéroport et le personnel navgant d une compagne aérenne. Ce sont des problèmes qu ressemblent aux problèmes d optmsaton combnatore classquement étudés en recherche opératonnelle mas, ssus d applcatons réelles, ls sont le plus souvent complexes et de grande talle. Les travaux présentés dans ce manuscrt ont été effectués dans le cadre d une Conventon Industrelle de Formaton par la Recherche entre la socété IFR France et le groupe Modélsaton, Organsaton et Geston Intégrée des Systèmes d Actvtés du Laboratore d Analyse et d Archtecture des Systèmes du Centre Natonal de Recherche Scentfque. IFR France conçot, réalse et commercalse des produts logcels permettant de maîtrser les dfférents aspects de la geston d une compagne aérenne, un grand ntérêt étant porté à la geston de personnel. L obectf prncpal de ma thèse a été d étuder, de concevor et d mplémenter des algorthmes d ade à l élaboraton des plannngs de personnel, en combnant la recherche académque et l expertse du domane d applcaton spécfque. Le manuscrt est dvsé en 5 chaptres. Le premer chaptre présente la problématque de la planfcaton des emplos du temps dans un cadre général. Le problème de créaton de plannngs dans un contexte aéronautque est décrt par la sute. Dans un tel contexte, la charge de traval est consttuée des tâches à réalser en vol et au sol. Selon le type d actvté effectuée, le personnel se dvse en personnel au sol et en personnel navgant : le personnel au sol effectue tout le traval au nveau de l aéroport (l'enregstrement des passagers, l'accuel à l'arrvée et au départ, le servce de correspondance et de transt aux aéroports ) ; le personnel 5

13 INTODUCTION navgant est celu qu consttue les équpages des vols à effectuer : les plotes, les coplotes, les hôtesses,... Compte tenu du fat que la charge de traval est assez mportante, les plannngs ndvduels ne sont amas créés drectement à partr des tâches ou des vols. Pour le personnel au sol, les tâches sont groupées dans un premer temps dans ce que l on appelle des vacatons. Les vols à effectuer par les navgants sont auss groupés dans des séquences nommées rotatons. C est à partr de ces vacatons/ rotatons que les plannngs sont ensute construts. Le deuxème chaptre passe en revue des problèmes d optmsaton combnatore qu émergent à dfférents stades de la planfcaton d horares : le problème d affectaton, le problème de bn-packng et le problème de recouvrement d ensemble. Quelques technques de base retenues pour la résoluton de ces problèmes sont ensute présentées : l algorthme hongros, le Bp Match et l algorthme de Busacker et Gowen pour résoudre le problème d affectaton et quelques algorthmes approchés pour le problème de bn-packng. Quelques notons sur la génératon de colonnes sont auss présentées, car cette méthode est utlsée avec succès pour la résoluton de problèmes de très grande talle, problèmes pour lesquels les méthodes classques de programmaton lnéare ne peuvent plus être utlsées. Le problème de créaton de vacatons avec ses deux versons (constructon proprement dte ou remplssage) est présenté dans le trosème chaptre. Dans la lttérature, l est traté le plus souvent comme un problème de recouvrement d ensemble. Les méthodes de résoluton proposées sont basées sur la programmaton lnéare ou sur des méthodes tératves d exploraton de lstes. Comme ce problème repose sur la satsfacton de nombreuses contrantes temporelles, nous proposons une approche de modélsaton basée sur le concept de plage horare. Le modèle obtenu permet une représentaton smple des contrantes, à partr de laquelle nous proposons une méthode heurstque de constructon de vacatons basée sur la méthode FFD (Frst Ft Decreasng) et sur la génératon de colonnes. L algorthme que nous proposons pour la constructon de vacatons peut auss être utlsé, après quelques modfcatons, pour le problème de remplssage de vacatons prédéfnes. Le quatrème chaptre trate le problème de créaton de rotatons. La créaton de rotatons est un problème complexe, car, d un côté, la réglementaton à laquelle les rotatons sont soumses trate beaucoup de cas partculers et, d un autre côté, la combnatore du problème est consdérable. C est pour cette rason qu l est habtuellement résolu en deux étapes : une premère étape, la constructon de pérodes de servce, groupe les vols dans des ournées de traval (ou pérodes de servce) ; la deuxème étape enchaîne les ournées de traval, de manère à créer des rotatons. Après avor présenté quelques méthodes proposées dans la lttérature pour la constructon de rotatons, nous proposons une modélsaton du problème de créaton de pérodes de servces par programmaton lnéare en varables mxtes. L avantage de cette méthode est qu elle peut prendre en compte les dfférents types des pérodes de servces. Pour le groupement des pérodes de servces dans des rotatons, un modèle lnéare en varables entères est utlsé. L utlsaton d un logcel de programmaton lnéare permet la résoluton exacte d une verson relâchée de ce problème, obtenue en smplfant certanes contrantes. Cec présente l ntérêt maeur de fournr des bornes qu permettent d évaluer la qualté des dfférentes méthodes heurstques proposées pour la recherche de solutons admssbles performantes. L analyse du problème en termes de modélsaton, de structure et des possbltés de décomposton permet de ramener sa résoluton, globalement très complexe à celle d un ensemble de sous-problèmes plus facles et ben maîtrsés. Ans, la résoluton exacte de certanes partes du problème global, a pu être ntégrée effcacement dans la méthode globale heurstque de résoluton. 6

14 INTODUCTION Une approche smlare par décomposton et smplfcaton est construte dans le derner chaptre pour résoudre les problèmes d affectaton du personnel aux vacatons et aux rotatons. Le problème d affectaton représente la deuxème étape dans la résoluton du problème de créaton de plannngs. Compte tenu de la smlarté entre l affectaton des vacatons et l affectaton des rotatons, les deux cas sont présentés ensemble dans le cnquème chaptre. Après avor énuméré les contrantes réglementares communes ou spécfques à chaque cas, nous analysons quelques modèles et méthodes de résoluton proposés dans la lttérature. Ensute l approche que nous retenons est exposée. En rason des nombreuses contrantes réglementares, le problème est modélsé comme un problème de mult-affectaton généralsé. Nous proposons une décomposton temporelle et par qualfcaton et ensute une transformaton du problème d affectaton généralsé en problème d affectaton smple par relaxaton Lagrangenne. Un algorthme ad-hoc est utlsé pour la résoluton de chaque problème de base. IFR France a développé un produt commercal pour l affectaton de rotatons au personnel navgant d une compagne aérenne qu utlse notre approche de résoluton. Le chaptre V s achève avec la présentaton de ce produt. 7

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16 CHAPITRE Planfcaton de ressources humanes Chaptre Planfcaton des ressources humanes. Introducton La planfcaton et la geston optmale des ressources humanes ouent un rôle mportant dans la productvté et la compéttvté d une entreprse. Les fonds alloués à la rémunératon du personnel sont assez élevés : dans une compagne aérenne, par exemple, les fonds alloués pour payer le personnel représentent les plus mportantes dépenses [Anbl et al. 92] après le coût du carburant ; dans un établssement des sons, les coûts salaraux peuvent représenter usqu à 70% du budget opératonnel [Wel et al. 98]. Une geston effcace du personnel est donc un facteur économque prmordal. Ce chaptre présente la problématque de la «planfcaton des emplos du temps» dans un cadre général. Le problème de créaton de plannngs dans un contexte aéronautque est décrt, ans qu un passage en revue de quelques méthodes de modélsaton et de résoluton proposées dans la lttérature..2 Quelques notons sur la planfcaton La planfcaton d horares de traval vse, pour un horzon de planfcaton d un our à quelques mos, à dmensonner une force de traval et à optmser l utlsaton de cette ressource, de façon a couvrr un beson exprmé par une charge de traval prévsonnelle, tout en respectant un ensemble de contrantes précses. Elle aboutt à des programmes défnssant les horares de traval et de repos de la force de traval, en trouvant le melleur comproms entre les préférences des dfférents acteurs [Rém-Robert, 03]. Les contrantes qu vennent d être mentonnées couvrent ce que l on appelle les aspects «JuSTE» [Chan 02] : Jurdque : la légslaton en matère de drot du traval (durées de traval et de repos) sur dfférents horzons de temps (ournaler, hebdomadare, mensuel et annuel) Socal : répartton équtable des tâches entre salarés, entre hommes et femmes, avec respect des dsponbltés, préférences ndvduelles et autres souhats des salarés; répartton équtable du temps de traval et du repos Technque : les règlements des dfférents méters de l entreprse (prse en compte des compétences et des nveaux requs) Economque : respect des besons de l entreprse à chaque moment de l horzon de planfcaton. Cela se présente comme la melleure adaptaton de l énerge dsponble aux 9

17 CHAPITRE Planfcaton de ressources humanes charges à chaque moment de l horzon. On cherche à ne pas dépenser nutlement cette énerge. La dffculté de la créaton d un plannng est mons le processus de créaton en lumême que l obtenton d un plannng de bonne qualté. Comment peut-on défnr un plannng de bonne qualté, alors qu au sen d une entreprse, chacun a son propre pont de vue? Le planfcateur souhate que le plannng sot assez flexble en ce qu concerne la man d œuvre, pour pouvor trater les possbles mprévus. Pour le chef d entreprse, le plannng dot permettre le dmensonnement de la force de traval au plus uste et sa répartton de manère à obtenr le melleur servce au melleur coût. Pour l nspecton du traval, le plannng dot respecter dans les mondres détals la légslaton du traval et les conventons collectves. Le salaré recherche la satsfacton socale de son traval, par rapport à ses dsponbltés, à ses desderata ou par rapport à l équté de tratement. La créaton des plannngs qu prennent en compte toutes ces contrantes, parfos contradctores, mplque à la fos une bonne connassance du cadre de traval, mas auss l utlsaton des technques d optmsaton combnatore. Suvant leur spécfcté et leur domane d applcaton, les plannngs portent dfférents noms : un plannng précsant le programme de traval de chaque employé sur un mos s appelle tableau de servce Brand C. M M S M N N R R N S M S S R S Esqurol P. M N S N R M M S M M N R R S N Hennet J.-C. M S N R N S S S N R M S N N N Huguet M.-J. N N R M S M S S N R N N S M S Lopez P. M S N M S N R M S N R M S N N Mongeau M. S M S S N R N N N S S R M M M M M S M N N R R N S M S S R S M N S N R M M S M M N R R S N M S N R N S S S N R M S N N N N N R M S M S S N R N N S M S M S N M S N R M S N R M S N N S M S S N R N N N S S R M M M (M=matn ; S=sor ; N=nut ; R=repos) Tableau.. Exemple de tableau de servce S le plannng représente les programmes de traval et de repos non nomnatfs sur un nombre enter de semanes, l s agt de grlle de traval. S les horares ndvduels sont pérodques, les plannngs sont cyclques, snon, on parle des plannngs acyclques. Semane Lund Mard Mercred Jeud Vendred Samed Dmanche M M S M N R R 2 S N S N R M M 3 M S N R R S S 4 N R R M S M S (M=matn ; S=sor ; N=nut ; R=repos) Tableau.2. Exemple de grlle de traval cyclque sur 4 semanes 0

18 CHAPITRE Planfcaton de ressources humanes Même s les premers travaux datent des années 50 (créaton d horares de traval pour les agents d un poste de péage [Dantzg 54]), l ntérêt concernant le problème de créaton des plannngs de personnel n a pas dmnué. De plus en plus nombreux sont les secteurs vsés : l ndustre sdérurgque (ndustre «à flux contnu»), le secteur bancare [Jacques 93], les servces hosptalers ([Brusco et Showalter 98], [Wel et al. 98], [Bellant et al. 04]), les centres d appel ([Keth 79], [Grossman et al. 99]), les aéroports ([Jacquet-Lagrèze et al. 98], [Partouche 98]), les compagnes de transport aéren, ferrovare ([Caprara et al. 98b]) et urban ([Martello & Toth 86]), les commssarats de polce et les gendarmeres, les servces postaux, la restauraton rapde ([Loucks & Jacobs 9]), les cassers du secteur de la dstrbuton ([Thompson 88]), etc. Dans [Ernst et al. 04] on trouve une revue de lttérature sur la planfcaton de personnel en général. Des outls, des modèles et des méthodes utlsés dans dfférents secteurs sont détallés..3 La planfcaton dans un contexte aéronautque Dans un contexte aéronautque, la charge de traval est consttuée des tâches à réalser en vol et au sol, tâches qu sont détermnées la plupart du temps par le programme des vols. Suvant le type du traval à effectuer, le personnel se dvse en deux catégores : le personnel au sol et le personnel navgant. Dans la sute de ce chaptre, nous allons présenter les problèmes spécfques de chacune de ces deux catégores et quelques méthodes de modélsaton et de résoluton proposées dans la lttérature. Dans les chaptres suvants, nous décrrons nos contrbutons à la résoluton de ces problèmes..3. Personnel au sol Le programme des vols d une compagne aérenne mpose un ensemble de tâches à effectuer au sol : l'enregstrement des passagers, l'accuel à l'arrvée et au départ, le servce de correspondance et de transt aux aéroports. Ces tâches sont effectuées par ce que l on appelle le personnel au sol. Le problème de planfcaton du personnel au sol n est pas drectement formulé à partr des tâches à effectuer ; l y a une étape ntermédare : les tâches dovent être groupées en vacatons, et ce sont ces vacatons qu sont ensute affectées au personnel. On appelle «vacaton» un ensemble de tâches exécutées consécutvement par la même personne pendant son servce ournaler. Suvant le type de contrat du personnel, les vacatons dovent être créées ou remples avant d être affectées aux agents. Généralement, le contrat des agents spécfe des bornes nféreures et supéreures pour la durée du traval ournaler et mensuel, l exstence des pauses pendant la ournée de traval et leurs durées. Ans, chaque type de contrat devent une sorte de «patron» à partr duquel des vacatons seront construtes et ensute remples avec des tâches. Pour plus de clarté, prenons un exemple : sot un agent dont le contrat mpose un traval ournaler de sept heures au mnmum et dx heures au maxmum, avec une pause prévue entre 8h00 et 4h00, d une durée mnmum d une heure et maxmum de deux heures. Une vacaton qu commence à 6h00 du matn et qu fnt à 4h30, avec une pause entre 9h30 et h00 respecte les demandes du contrat. Une autre vacaton qu commence à 8h00 et fnt à 6h00, avec une pause entre 2h5 et 4h00 est auss une vacaton «légale». Il reste à trouver s les tâches à effectuer ce our par cet agent peuvent être plus faclement nsérées dans la premère ou dans la deuxème vacaton.

19 CHAPITRE Planfcaton de ressources humanes S, par contre, le personnel travalle en grlle, les vacatons sont déà fournes, car chaque case de la grlle de traval correspond à une ournée de traval, donc à une vacaton vde. Les heures de début et de fn étant précsées, l reste seulement à les remplr avec des tâches. S, par exemple, la grlle de traval propre à un certan agent précse que mard l agent commence le traval à 7h30 et fnt à 5h30, alors la vacaton du mard commence à 7h30 et fnt à 5h30 et les tâches que l agent va effectuer ce our ne dovent pas dépasser cet ntervalle de temps. Dans la lttérature, beaucoup de méthodes de résoluton du problème de créaton des vacatons reposent sur des approches par recouvrement d ensemble. Dans une premère étape, tout ou une parte de l ensemble des vacatons canddates sont générées ([Easton & Rossn 9], [Bechold & Brusco 94]). Ensute, les vacatons fasant parte de la soluton fnale sont sélectonnées selon dfférentes méthodes : à partr d une premère soluton générée par la résoluton d un problème de recouvrement d ensemble relâché ([Dantzg 54], [Morrs & Showalter 83]) ou par une heurstque de constructon tératve où les vacatons sont sélectonnées les unes après les autres ([McGnns et al. 78], [Brusco & Johns 96]). [Segal 74] montre que la créaton des vacatons peut être nterprétée comme un problème de flot à coût mnmal. La méthode de résoluton que nous proposons pour la créaton de vacatons part d une modélsaton du problème en tant que problème de bn-packng : les tâches sont assmlées aux obets et les vacatons aux conteneurs. Nous avons chos cette modélsaton car, malgré le fat que le problème de bn-packng est NP-dffcle, l exste de nombreux algorthmes qu donnent des solutons approchées. La méthode proposée a en outre l avantage de pouvor être utlsée, sans lu apporter beaucoup de modfcatons, pour la créaton et pour le remplssage de vacatons. Nous allons la présenter en détals dans le chaptre Personnel navgant Le personnel navgant d une compagne aérenne est celu qu consttue les équpages des vols à effectuer : les plotes, les coplotes, les hôtesses,... La créaton de plannngs pour le personnel navgant est un problème qu attre consdérablement l attenton des compagnes aérennes et en même temps des communautés de la recherche opératonnelle. Comme les navgants représentent l une des ressources les plus coûteuses d une compagne, une geston effcace du personnel s mpose naturellement comme ndspensable. Le problème est ntéressant auss du pont de vue mathématque, car l fat l obet de nombreuses modélsatons et de nombreuses technques de résoluton, qu relèvent le plus souvent de l optmsaton combnatore. La plupart des compagnes aérennes ont dvsé la constructon du plannng en deux sous-problèmes : la créaton des rotatons (problème connu auss dans la lttérature sous le nom de «crew parng») et l affectaton de ces dernères aux navgants («crew rosterng»). Une rotaton est une séquence d actvtés qu commence et qu fnt dans la vlle de domcle d un équpage, appelée base. Elle peut couvrr un ou pluseurs ours. Le but du premer sous-problème est de créer un ensemble de rotatons à coût mnmum qu couvre tous les vols à effectuer par la compagne dans un certan ntervalle temporel. Une fos les rotatons créées, elles sont ensute affectées aux personnels navgants (PN). Les travaux dans le domane sont nombreux. En 969, [Arabeyre et al, 69] fat déà un tour d horzon des travaux dédées à la créaton de rotatons. Dans [Etschmaer et al, 85] et [Rushmeer et al, 95] on trouve des revues de lttérature plus récentes. Les dernères recherches formulent le problème de créaton de rotatons comme un problème de parttonnement d ensemble. Après avor généré l ensemble [Yan et al. 02] ou une parte [Chu et al. 97] des rotatons admssbles, dfférentes heurstques sont proposées 2

20 CHAPITRE Planfcaton de ressources humanes pour trouver la soluton de coût mnmum. Une autre approche consste à grouper les vols en pérodes de servce [Desaulners et al. 97a] et, à partr de ces dernères, à créer des rotatons. Les références [Cranc & Rousseau 87] et [Lavoe et al. 88] proposent des méthodes de résoluton basées sur la génératon de colonnes. L affectaton des rotatons peut être réalsée suvant dfférentes approches. L approche utlsée par la plupart des compagnes nord-amércanes ( bdlne approach ) consste à créer des plannngs anonymes sur l horzon concerné et à les affecter ensute aux navgants, par ordre de prorté et auss suvant leurs préférences. L avantage de cette approche est que chacun sat exactement s le plannng qu l accepte est en concordance avec ses préférences. Les références [Campbell et al 97] et [Chrstou et al. 99] proposent des méthodes de constructons des plannngs utlsant cette approche. Cette approche a en partculer été applquée dans les compagnes FedEx et Delta Ar Lnes. Les plannngs sont construts en deux étapes. Dans une premère étape, on crée, en nombre maxmal, des plannngs ndvduels de très bonne qualté, c est-à-dre qu respectent les contrantes (dures et souples) dans les mondres détals. Dans la deuxème étape on complète ces plannngs à partr des rotatons qu n ont pas pu être affectées auparavant. Les plannngs sont ensute affectés aux navgants par ordre de prorté de ces derners (qualfcaton et ancenneté). La référence [Campbell et al. 97] utlse le recut smulé pour la premère étape et une procédure gloutonne pour la deuxème. L étude [Chrstou et al. 99] propose une procédure basée sur des algorthmes génétques. La plupart des compagnes européennes créent drectement des plannngs personnalsés pour chaque navgant. Dans ce type d approche, le navgant exprme ses préférences avant la créaton du plannng, sans connaître la confguraton fnale des rotatons. Pour la créaton de plannngs personnalsés, pluseurs méthodes heurstques ont été proposées, mas les méthodes basées sur le parttonnement d ensemble («set parttonng») sont de plus en plus utlsées. [Ryan 92] propose une méthode heurstque pour la constructon des plannngs valdes, en utlsant une matrce de contrantes qu faclte la recherche des solutons. Le problème est ensute résolu par programmaton en nombres enters. [Gamache et al. 99] décrt une méthode de résoluton basée sur la génératon de colonnes. [El Moudan et al. 00] propose une méthode d affectaton des rotatons utlsant des algorthmes génétques. Cette méthode prend auss en compte les éventuels changements de plannng. La programmaton par contrantes est auss utlsée pour résoudre le problème d affectaton de rotatons. Cette technque est surtout utlsée dans les cas où le problème a beaucoup de contrantes et où on peut se contenter d une soluton fasable même s elle n est pas optmale. Souvent, elle est combnée avec des technques de recherche opératonnelle. Les auteurs [Guernk et al. 95] utlsent la programmaton par contrantes comme technque de prétratement, pour rédure la dmenson du problème. Ensute, l est résolu à l ade d une méthode de programmaton lnéare complétée par un algorthme de Branch & Bound. Une autre alternatve est d utlser la programmaton par contrantes pour générer des colonnes dans un problème de recouvrement d ensemble (set coverng) [Caprara et al. 98a]. Cette technque faclte la représentaton des contrantes les plus complexes lors de la génératon de colonnes, tout en garantssant la qualté de la soluton, grâce à l utlsaton de la programmaton en nombres enters. Pour résoudre le problème d affectaton de rotatons, nous avons chos l approche «européenne» - des plannngs personnalsés. Notre problème peut être vu comme un problème d affectaton multple généralsé. Dans le chaptre 5, nous proposons une décomposton du problème dans un ensemble de problèmes d affectaton smple et un algorthme ad-hoc pour la résoluton de chaque sous-problème. 3

21 CHAPITRE Planfcaton de ressources humanes.4 Conclusons Dans ce chaptre, nous avons présenté le problème de créaton des plannngs dans dfférents domanes d actvté, en nsstant partculèrement sur le contexte aéronautque. Le tour d horzon sur la lttérature dans le domane nous montre que ce problème fat l obet d ntérêt de la communauté de Recherche Opératonnelle depus plus d une trentane d années. Plus récemment, des recherches ont été effectuées également dans le domane de l Intellgence Artfcelle. De nombreux modèles et méthodes ont été proposés pour la consttuton de plannngs. Dans le chaptre suvant, nous allons présenter quelques problèmes classques d optmsaton combnatore utlsée pour la modélsaton des problèmes de créaton de plannngs. Quelques méthodes couramment utlsées pour la résoluton de ces problèmes d optmsaton combnatore sont auss décrtes. 4

22 CHAPITRE 2 Modèles et technques de résoluton pour les problèmes de planfcaton d horares Chaptre 2 Modèles et technques de résoluton pour les problèmes de planfcaton d horares 2. Introducton La créaton de plannngs relève de nombreux problèmes d optmsaton. Ces problèmes ressemblent aux problèmes d optmsaton combnatore classquement étudés en recherche opératonnelle, mas présentent également certanes spécfctés : ssus d applcatons réelles, ls sont le plus souvent complexes et de grande talle. Les algorthmes de programmaton lnéare en varables mxtes (contnues et dscrètes) sont des outls pussants pour la résoluton de nombreux problèmes de recherche opératonnelle. Face à des problèmes réels de grande talle, ls perdent rapdement leur effcacté. C est pourquo, en pratque, pour des problèmes de planfcaton, on se contente souvent de solutons fasables qu remplssent certans crtères de qualté, même s elles ne sont pas optmales. Des méthodes approchées sont alors utlsées à la place des méthodes exactes. L avantage de ces méthodes est qu elles présentent un très bon rapport entre la qualté de la soluton fourne et le temps de calcul. Ce chaptre propose un bref passage en revue des problèmes d optmsaton combnatore qu émergent dans dfférents stades de la planfcaton d horares : le problème d affectaton, le problème de bn-packng et le problème de recouvrement d ensemble. Nous présentons ensute les technques de base retenues pour la sute de nos travaux pour résoudre ces problèmes. 2.2 Problèmes classques d optmsaton combnatore 2.2. Problème d affectaton Le problème d affectaton consste à trouver des lens entre les éléments de deux ensemble dstncts, de manère à mnmser un coût et à respecter des contrantes d uncté de len. En théore des graphes, un problème d affectaton smple peut être vu comme un problème de couplage parfat dans un graphe bpart. Un graphe G s appelle bpart s l on peut dvser ses sommets en deux sous-ensembles et X 2 avec aucune arête de type (,) avec et dans X ou ben et dans X 2. On appelle couplage d un graphe G un sous-ensemble d arêtes non adacentes deux à deux. 5

23 CHAPITRE 2 Modèles et technques de résoluton pour les problèmes de planfcaton d horares Problème d affectaton smple Sot un ensemble de m opératons qu dovent être exécutées par n ressources, n m. Chaque couple (opératon, ressource ) ( = à m, = à n) a un coût assocé c, qu représente la dépense assocée à la réalsaton de l opératon par la ressource. En supposant que chaque opératon dot être exécutée une seule fos et que chaque ressource est utlsée au plus par une seule opératon, le problème peut être modélsé de la manère suvante : m Mn c x n = = n x = sous : m x = = {,.., m} (2.) (2.2) {,.., n} (2.3) x { 0,} {,.., m}, {,..,n} (2.4) où x est une varable bnare assocée à chaque pare (opératon, ressource ) et qu vaut s l opératon est effectuée par la ressource et 0 snon. S l on consdère que X représente l ensemble des opératons ( X = m) et X 2 l ensemble des ressources ( X 2 = n) du problème (2.)-(2.4), avec m n alors chaque arête entre un sommet de X et un sommet de X 2 sgnfe que l opératon peut être effectuée par la ressource. On assoce à chacune de ces arêtes un coût égal à c. Comme le coût total d un couplage est donné par la somme des coûts de chaque arête, le problème d affectaton revent à trouver un couplage de cardnal m et de coût mnmal. Ce modèle correspond à ce que l on appelle le problème d affectaton smple. Problème d affectaton généralsé Dans un cadre plus général, où par exemple les ressources sont agrégées, la contrante (2.3), appelé contrante de capacté, n est plus suffsante pour décrre l utlsaton des ressources. Dans ce cas, une ressource est caractérsée par sa capacté S et chaque opératon nécesste la quantté de ressource r s elle utlse la ressource. La contrante (2.3) devent : m = r k x S k {,.., n}, k { K},..., (2.5) Dans la formulaton du problème, l ndce k tradut l exstence fréquente de pluseurs contrantes de capacté généralement lées à l utlsaton de ressources annexes ou complémentares par rapport aux ressources de base [Hennet 97]. Le problème d affectaton smple ayant des contrantes de capacté exprmées par (2.5) devent un problème d affectaton généralsé Problème de bn-packng Un des problèmes les plus souvent rencontrés dans le domane de la recherche opératonnelle est le problème de bn-packng. Celu-c consste à placer des obets ayant une talle donnée dans des conteneurs de capacté connue. Dans les problèmes les plus basques, les talles et les capactés ont une seule dmenson (pods, longueur ) et tous les conteneurs ont la même capacté. Dans les problèmes plus complexes, l y a pluseurs types de conteneurs et les obets ont pluseurs dmensons. Souvent, l s agt de dmensons géométrques ou de 6

24 CHAPITRE 2 Modèles et technques de résoluton pour les problèmes de planfcaton d horares caractérstques physques (pods, volume). Les obectfs les plus fréquents sont sot de remplr au maxmum les conteneurs utlsés, sachant que les obets ne dovent pas forcément être tous sélectonnés, sot de placer tous les obets dans un nombre mnmal de conteneurs, ou encore d équlbrer les charges. [Dyckhoff 90] propose une typologe des problèmes de bn-packng, chaque type étant caractérsé par les attrbuts suvants : Dmenson. Ce paramètre précse le nombre mnmal des varables nécessares à la descrpton géométrque du modèle : une dmenson (), deux dmensons (2), tros dmensons (3), N dmensons (N). Type d assgnaton. Deux cas sont envsagés : sot tous les obets sont affectés à une sélecton de conteneurs (V), sot une sélecton d obets est affectée à tous les conteneurs (B). Capacté des contaneurs. Sot l y un seul conteneur (O) sot l y en a pluseurs avec des capactés dentques (I) ou avec des capactés dfférentes (D). Talle des obets. Il peut y avor peu d obets de formes dfférentes (F), pluseurs obets de pluseurs formes dfférentes (M), pluseurs obets de peu de formes dfférentes (R), ou des obets de formes dentques (C). D'une façon classque [Guéret et al. 00], un problème élémentare de bn-packng peut être formulé de la manère suvante : n y = Mn n sous : = m = = x {,..., m} (2.6) (2.7) a. x b. y {,...,n} (2.8) x { 0,} {,..., m}, {,...,n} y { 0,} {,...,n} (2.9) (2.0) ou m est le nombre des obets à placer dans des conteneurs, n est le nombre des conteneurs, a donne la talle de l obet, b donne la capacté du conteneur, x est une varable bnare qu vaut s l obet se trouve dans le conteneur, 0 snon et y est une varable bnare qu vaut s le conteneur fat parte de la soluton, 0 snon. Il est ben connu que le problème de bn-packng est un problème NP-dffcle [Coffman et al. 98]. Cependant, l exste de nombreux algorthmes de résoluton approchés effcaces. Les plus performants parm ces algorthmes seront analysés dans le paragraphe Problème de recouvrement d ensemble Un problème de recouvrement d ensemble (set coverng problem) peut être modélsé sous la forme suvante : n Mn c x = n sous : a x = {,.., m} x { 0,} {,..,n} (2.) (2.2) (2.3) 7

25 CHAPITRE 2 Modèles et technques de résoluton pour les problèmes de planfcaton d horares S l négalté (2.2) est remplacée par une égalté, on a un problème de parttonnement d ensemble (set parttonng problem). Dans le cas où l négalté ( ) change de sens ( ), on a un problème d emballage (set packng problem). De nombreuses applcatons peuvent être modélsées comme problèmes de recouvrement d ensemble. Les problèmes de lvrason ou de tournée, les problèmes de planfcaton ou les problèmes de localsaton d entrepôts sont tratés comme problèmes de recouvrement d ensemble dès que l on veut s'assurer que chaque clent est serv par un certan entrepôt, véhcule ou personne. La référence [Balas & Padberg 76] content une bblographe mportante sur les domanes d applcatons du problème de recouvrement d ensemble. Les problèmes modélsés en tant que problèmes de recouvrement d ensemble sont généralement des problèmes de très grande talle et ne peuvent pas être formulés explctement. Une des technques les plus utlsées pour la résoluton de ce genre de problèmes est la génératon de colonnes. Nous allons dscuter plus en détal de la génératon de colonnes dans La génératon de colonnes a été utlsée pour la premère fos pour la résoluton d un problème de découpe [Glmore&Gomory 6]. Des problèmes d affectaton et d ordonnancement de tâches [Savelsbergh 97], [Van Den Akker et al. 00], des problèmes de tournée avec contrantes supplémentares fenêtres de temps et contrantes de ressources [Desrosers et al. 84, Desrochers et al. 92, Rbero & Soums 94] et des problèmes de constructon de plannngs dans le domane des transports aérens [Desaulners et al. 97a], [Barnhart et al. 98a] ont auss été résolus en utlsant cette méthode. 2.3 Technques de résoluton retenues Dans la paragraphe précédent, nous avons vu quelques modèles de recherche opératonnelle souvent rencontrés pour modélser des problèmes lés à l affectaton du personnel. Ce paragraphe présente les technques les plus performantes pour résoudre ces problèmes de recherche opératonnelle Méthodes de résoluton de problèmes de couplage et d affectaton Le problème d affectaton smple (2.)-(2.4) est parm les problèmes combnatores les plus facles à résoudre. En effet, sa matrce de contrantes pour les contrantes (2.2)-(2.3) a la proprété d unmodularté. Les contrantes bnares (2.4) peuvent donc être remplacées par les contrantes de la relaxaton contnue suvante sans changer la soluton optmale du problème qu est «naturellement» bnare. 0,.., m,..,n (2.4) x { }, { } Une conséquence évdente de cette proprété est que des problèmes d affectaton smples de très grande dmenson peuvent être résolus drectement par des logcels de programmaton lnéare en nombres réels. Cependant, pour des rasons de souplesse d utlsaton et d mplémentaton dans des progcels commercaux, nous avons chos de résoudre les problèmes d affectaton smples par des algorthmes ad-hoc, que nous allons mantenant passer en revue Bp Match Le Bp Match est un algorthme rapde utlsant les chaînes alternées amélorantes pour trouver un couplage maxmal dans un graphe bpart [Prns 94]. Pour un graphe G et un couplage C, une chaîne est alternée s elle emprunte alternatvement des arêtes dans C et hors 8

26 CHAPITRE 2 Modèles et technques de résoluton pour les problèmes de planfcaton d horares C. Pour un couplage, une chaîne alternée est amélorante (ou augmentante) s ses deux extrémtés sont nsaturées par le couplage. Le fonctonnement de l algorthme est basé sur les deux suvantes proprétés dues à Berge [Berge 83] : Proprété. Sot un graphe G, C un couplage de G et une chaîne alternée amélorante µ pour C. Un transfert sur µ donne un nouveau couplage C avec C = C +. Proprété 2. Un couplage est maxmal s est seulement s l n admet aucune chaîne alternée amélorante. Le Bp Match part d un couplage ntal non vde, obtenu en cherchant les chaînes alternées amélorantes rédutes à une arête - on affecte chaque sommet de X à son premer successeur lbre, c est-à-dre n étant pas déà extrémté d une arête du couplage. A partr de cette affectaton ntale, on cherche les chaînes amélorantes, par une exploraton en largeur du graphe. Cette recherche vse à amélorer la soluton trouvée par l affectaton ntale, pus la soluton courante, par l augmentaton de la cardnalté du couplage. On part touours d un sommet nsaturé de X et on s arrête à la plus courte chaîne trouvée. On va explorer les sommets alternatvement (un sommet de X, un sommet de Y ), de manère que la chaîne at une arête hors du couplage, pus une arête dans le couplage. L algorthme s arrête quand l n arrve plus à trouver des chaînes amélorantes. La recherche du couplage maxmal est schématsée dans la Fgure 2. : Construre le graphe bpart et établr le couplage ntal non vde Pour chaque sommet nsaturé de X, chercher une chaîne alternée amélorante Mettre à our le nouveau couplage Y a-t-l des chaînes amélorantes? OUI NON Couplage de cardnal maxmal? NON OUI SOLUTION OPTIMALE SOLUTION sous optmale Fgure 2. Le Bp Match L opératon de transfert sur µ consste à enlever de C les arêtes de µ qu fasaent parte du couplage et à aouter à C les arêtes de µ qu n en fasant pas parte. Cec revent à nverser le statut dans C / hors C des arêtes de µ. 9

27 CHAPITRE 2 Modèles et technques de résoluton pour les problèmes de planfcaton d horares Le Bp Match s nscrt dans la catégore des méthodes prmales. En effet, la recherche des chaînes alternées amélorantes qu augmente la cardnalté du couplage correspond à la constructon d une séquence de solutons admssbles qu converge vers l optmum. L avantage d une méthode prmale est d être très rapde dans le cas de pluseurs solutons équvalentes. Comme le but est d amélorer la soluton ntale, les solutons équvalentes ne sont pas explorées. S l y a une soluton melleure, elle est retenue, snon, on arrête l exploraton L algorthme de Busacker et Gowen Un problème d affectaton ou de couplage maxmal dans un graphe bpart peut être modélsé comme un problème de flot ; ans, la recherche d une affectaton optmale revent à la recherche d un flot maxmal de coût mnmal. C est un problème classque de la théore des graphes qu cherche à fare passer un débt maxmal à travers un réseau à mondre coût. L algorthme de Busacker et Gowen [Busacker&Gowen 6] est une méthode smple et effcace pour trouver un tel flot. Son prncpe de fonctonnement est équvalent à celu du Bp Match : l part d un flot nul et l l augmente progressvement, par recherche des chaînes augmentantes. C est auss une méthode prmale comme le Bp Match, donc l présente les mêmes avantages que celu-c. De plus, l prend en compte les coûts d affectaton L algorthme hongros Un cas partculer du problème d affectaton, souvent traté dans la lttérature est celu où le nombre des opératons à effectuer est égal au nombre des ressources utlsées. En effet, tout problème d affectaton smple peut être ms sous cette forme par ntroducton d opératons fctves à coût nul pour toutes les ressources dans le cas m<n, ou de ressources fctves à coût nul pour toutes les opératons dans le cas m>n. Une méthode de résoluton du problème d affectaton qu prend en compte cette structure est l algorthme hongros. Développé en 955 par H.W.Kuhn et nommé ans en honneur des mathématcens J. Egervary et D. Köng, l algorthme hongros [Kuhn 55] est un algorthme dual qu utlse la modélsaton sous forme de programme lnéare du problème d affectaton. Toutefos, l peut être vu comme une varante de l algorthme de Busacker et Gowen, spécalsée pour la structure bparte du graphe. Du fat de sa grande effcacté sur ce type de problème, c est l algorthme de référence en Recherche Opératonnelle pour résoudre le problème d affectaton. Son prncpe est basé sur le fat que les couplages de pods mnmal dans le graphe du problème prmal sont exactement les couplages de cardnalté maxmale dans le graphe du problème dual. Une schématsaton smplste de l algorthme hongros pourrat être la suvante : Etape. On crée la matrce des coûts (c ) ( = m, = n, m = n) ntale, qu est consdérée non négatve. Etape 2. Pour chaque lgne de la matrce, on trouve l élément mnmal et on le soustrat à tous les éléments de cette lgne. S l reste des colonnes sans coeffcents nuls, pour chacune de ces colonnes, on trouve l élément mnmal et on le soustrat à tous les éléments de cette colonne. Etape 3. On cherche une affectaton admssble en vérfant s, pour chaque lgne et chaque colonne l exste exactement une case marquée. S ou, l affectaton trouvée est optmale. Snon, on trace des trats (en nombre mnmal) sur les lgnes et les colonnes de la matrce, pour couvrr tout les 0 au mons une fos. 20

28 CHAPITRE 2 Modèles et technques de résoluton pour les problèmes de planfcaton d horares Etape 4. On cherche l élément mnmal non marqué. On le soustrat à tous les éléments non marqués et on l addtonne à tous les éléments marqués deux fos (tous les éléments qu se trouvent à l ntersecton de deux trats). On retourne à Etape 3. La Fgure 2.2 schématse l algorthme hongros. Créaton matrce des coûts Pour chaque lgne, soustrare l élément mnmal de la lgne à tous les éléments de cette lgne Est-ce qu-l reste des colonnes sans 0? OUI NON Pour chaque colonne sans 0, soustrare l élément mnmal de la colonne à tous les éléments de cette colonne Affectaton admssble? NON OUI Tracer des trats (en nombre mnmal) sur les lgnes et les colonnes ayant des 0 SOLUTION OPTIMALE Soustrare l élément non-barré mnmal à toutes les cases non-barrées et addtonner l élément non-barré mnmal à toutes les cases barrées deux fos Fgure 2.2 L algorthme hongros Méthode de relaxaton Lagrangenne pour le problème d affectaton généralsé Pour résoudre un problème d affectaton généralsé, on peut chercher à le transformer en un problème d affectaton smple et ensute résoudre ce problème. Une méthode fréquemment utlsée pour ce genre de transformaton est la relaxaton Lagrangenne. En dualsant la contrante (2.5), le crtère (2.) est remplacé par l expresson lagrangenne suvante : L = m n = = c x + n K m k ( k k λ r x S ) (2.5) = k = = En relaxant les contrantes de capacté (2.5) et en pondérant leur non-respect, on a à résoudre un problème d affectaton smple, avec les paramètres de coûts c remplacés par les paramètres c défns par : 2

29 CHAPITRE 2 Modèles et technques de résoluton pour les problèmes de planfcaton d horares c ' = c + K k= λ r (2.6) k k Le chox des valeurs numérques, nécessarement non négatves, des varables duales est ben sûr très mportant, car la soluton optmale du problème d affectaton généralsé est obtenue pour les valeurs optmales de ces varables duales. Des valeurs canddates pour les paramètres λ peuvent être obtenues en résolvant le problème d affectaton généralsé dans k lequel les contrantes bnares sur les varables ont été relaxées. Cela revent à résoudre le problème en remplaçant (2.4) par (2.4): x {,.., m}, {,..,n} 0 Pour la résoluton d un problème d affectaton smple, les algorthmes décrts c-dessus peuvent être utlsés Algorthmes de résoluton pour le problème de bn-packng Il est ben connu que le problème de bn-packng est un problème NP-dffcle. Il y a toutefos de nombreux algorthmes de résoluton qu donnent des solutons approchées en un temps de réponse polynomal. La qualté de chacun de ces algorthmes est donnée par la garante de performance dans le pre cas [Coffman et al. 98]. Sot A un algorthme qu donne une soluton approchée et OPT un algorthme qu donne la soluton optmale. A(k) représente le nombre de conteneurs utlsés par l algorthme A pour caser k obets et OPT(k) représente le nombre optmal de conteneurs pour caser les mêmes k obets. Avec ces notatons, la garante de performance de l algorthme A, dans le pre cas est défne par : A( k) R A = lm (2.7) k OPT ( k) Dans la sute, nous allons présenter quelques algorthmes et leurs performances. Auparavant, nous donnons quelques précsons : Tous les conteneurs sont vdes au début. Chaque conteneur qu n est pas vde est sot fermé, sot ouvert. Un conteneur est ouvert s l on peut encore mettre des obets dedans. Un conteneur fermé n est plus dsponble pour recevor des obets; une fos fermé, l n est plus rouvert. Les obets à mettre dans des conteneurs se trouvent dans une lste L = { o, o 2, o 3 }. Cette lste peut être trée suvant la talle des obets, mas la règle de tr dépend de l algorthme chos. Suvant la modalté d nspecton des obets à caser dans des conteneurs, les algorthmes sont dvsés en deux catégores : algorthmes on-lne et algorthmes off-lne. k λ Algorthmes on-lne Un algorthme on-lne trate les obets dans leur ordre, sans aucune connassance de la talle ou du nombre des obets pas encore tratés. Les conteneurs sont tratés dans l ordre C, C 2, C 3 Comme règle générale, l algorthme commence par mettre l obet o dans le conteneur C et ensute l trate les autres obets dans l ordre o 2, o 3, o 4 Parm les algorthmes on-lne les plus connus, on trouve : Next-Ft, Worst-Ft, Frst-Ft, Best-Ft. 22

30 CHAPITRE 2 Modèles et technques de résoluton pour les problèmes de planfcaton d horares Next-Ft (NF) est peut être le plus smple des algorthmes de résoluton du bn packng. Une fos le premer obet placé, NF met chaque obet restant dans le conteneur du derner obet placé. S l n y a pas de place, l ferme ce conteneur et place l obet courant dans un conteneur vde. Cet algorthme a une complexté en O(n) et une garante R = 2. Une analyse complète concernant R NF se trouve dans [Johnson 74]. Worst-Ft (WF) place l obet courant dans le conteneur le mons rempl où l obet peut rentrer. S l y a pluseurs conteneurs de ce type, celu avec l ndex le plus pett est chos. S l n y a pas de conteneur ouvert dans lequel l obet courant peut être placé, un conteneur vde est ouvert. Cet algorthme a la même garante que NF [Johnson 74]. Frst-Ft (FF) place l obet courant dans le premer conteneur ouvert ayant le plus pett ndex où l obet rentre. S l n y a pas un tel conteneur, un autre sera ouvert. L algorthme a une complexté en O(n log n), donc plus élevée que celle du NF, mas une melleure garante de performance relatve au pre, car R FF = 7 / 0 [Johnson et al. 74]. Best-Ft (BF) place l obet courant dans le conteneur le plus rempl où l obet rentre. S l y en a pluseurs équvalents, celu avec le plus pett ndex est chos. S l n y a pas de conteneur qu pusse recevor cet obet, un conteneur vde est ouvert. L algorthme a une complexté O(n log n) et une garante de performance relatve au pre R BF = 7 / 0 [Johnson et al. 74] Algorthmes off-lne Un algorthme off-lne permet le tr des obets avant de commencer à les ranger dans les conteneurs. La règle la plus naturelle tre les obets en ordre décrossant de leur talle. En effet, un gros obet est plus facle à nsérer lorsque le chox des conteneurs canddats est mportant. Selon la même logque, l est plus facle de compléter un conteneur déà rempl avec un pett obet qu avec un gros. En combnant cette règle de tr avec les algorthmes qu vennent d être présentés, on obtent les algorthmes suvants : Next Ft Decreasng (NFD), Frst Ft Decreasng (FFD), Best Ft Decreasng (BFD). FFD et BFD ont la même garante de performance : R = FFD RBFD = / 9, donc melleure que dans le cas on-lne. Pendant des années, le FFD a été consdéré comme le melleur algorthme d approxmaton pour la résoluton du problème de bn-packng. Toutefos, des modfcatons ont été apportées au FFD, en essayant de trouver une melleure garante. Yao [Yao 80] a créé l algorthme Refned Frst Ft Decreasng (RFFD) dont la garante de performance est 7 R RFFD / 9 0, mas avec une complexté en O(n 0 log n). Ensute, [Garey & Johnson 85] ont proposé l algorthme Modfed Frst Ft Decreasng (MFFD) qu amélore encore plus le FFD. Sa complexté est la même que celle du FFD, O(n log n), mas la garante de performance est melleure : R MFFD = 7/ 60. Plus de détals concernant les dfférents algorthmes présentés c-dessus fgurent dans [Coffman et al. 98] Génératon de colonnes pour la résoluton du problème de recouvrement d ensemble Une partcularté du problème de recouvrement d ensemble décrt par (2.) (2.3) est que, dans de nombreuses applcaton, l a un très grand nombre de varables, ce qu est équvalent au fat que la matrce (a ) ( = m, = n) a un très grand nombre de colonnes NF 23

31 CHAPITRE 2 Modèles et technques de résoluton pour les problèmes de planfcaton d horares (n>>m), de telle sorte que toutes ses colonnes ne peuvent pas être explctées. La queston qu se pose alors est de construre une technque capable de résoudre un tel problème, sans tenr compte en même temps de façon explcte de toutes les varables du problème. Une telle technque est la génératon de colonnes. Le prncpe consste à ne manpuler qu un nombre restrent de varables à la fos et à dentfer (générer) les varables ou les combnasons de varables (colonnes) entrantes dans la soluton au cours de la résoluton, sans les énumérer explctement. D une manère plus générale, on peut réécrre (2.4) (2.6) sous la forme suvante : Mn cx ( P ) : sous Ax b (2.8) x 0 où c et x sont des vecteurs de dmenson n, A est une matrce m n, et b est un vecteur de dmenson m. Même s la matrce A ne peut pas être explctée, on suppose qu elle est connue mplctement, c est-à-dre que ses colonnes correspondent aux éléments d un ensemble que l on sat caractérser. On suppose auss que l on dspose d un algorthme «générateur» pour générer une colonne de A mnmsant une foncton lnéare de la forme : z( A ) = c πa (2.9) ou π = (π,.., π m ) est un vecteur lgne de paramètres. Sot Ω un sous-ensemble des varables du problème (P ) et A la sous-matrce de A correspondante (rang(a ) = m). On note (P 2 ) la restrcton de (P ) à Ω. En utlsant par exemple l algorthme du smplexe 2, (P 2 ) a comme soluton optmale : = B b (2.20) où B * est une base de A, avec rang (B * ) = m. Cette soluton est admssble pour P, mas pas forcément optmale. Pour l amélorer, on sut la méthode du smplexe : on cherche une colonne hors base dont le coût rédut est négatf, pour la fare entrer dans la base. C est c que l algorthme générateur ntervent. Comme la colonne que l on cherche ne se trouve pas dans Ω, l faut donc exhber une ou pluseurs varables non explctée de P et de générer une nouvelle colonne pour A. On sat que le coût margnal d une varable hors base est : c = c πa (2.2) * x B où π est le vecteur de multplcateurs du smplexe assocés à B*. A l ade de l algorthme générateur, on peut générer la colonne A r de manère que : c r = Mn c πa ) (2.22) ( Tant que l on trouve un c r négatf, on aoute x r à Ω, A r à A et on nte une nouvelle tératon, en résolvant le nouveau programme lnéare. Lorsque l algorthme générateur détermne c r 0, l algorthme s arrête : toutes les varables hors base ont alors un coût rédut postf ou nul ; la soluton courante est donc mnmale pour P. D une façon synthétque, l approche de résoluton par génératon de colonnes peut être vue comme un schéma tératf de coopératon entre deux types de problèmes plus facles à résoudre que le problème global : le problème maître, qu est une restrcton à un sous-ensemble de varables du problème P ntal et donc, à chaque tératon on ne résout que cette restrcton ; 2 Pour une présentaton plus détallé sur le smplexe, le lecteur peut se référer à des ouvrages spécalsés comme [Dantzg 63], [Lasdon 70] ou, plus récemment, [Gondran & Mnoux 95]. 24

32 CHAPITRE 2 Modèles et technques de résoluton pour les problèmes de planfcaton d horares le problème esclave, résolu à chaque tératon par un algorthme générateur qu consste à générer, s elle exste, une colonne de coût rédut négatf qu, nsérée dans la matrce du problème maître restrent courant, permet d amélorer la soluton courante. La Fgure 2.3, présente le schéma de coopératon entre les deux problèmes (cf. [Mancel 04]) : Intalsaton - trouver une base admssble B pour P - ntalser Ώ - ntalser P 2, la restrcton de P à Ώ Problème maître A= B r colonnes non explctées Ώ - mettre à our Ώ (et P 2 ) - résoudre le nouveau P 2 soluton optmale de P 2 valeurs duales de P 2 duales colonnes Problème esclave - mettre à our la foncton obectf (calcul des profts margnaux) - résoudre le problème (l algorthme générateur) nouvelle colonne Test d arrêt : Y a-t-l une colonne amélorante? Ou Non STOP Fgure 2.3 Schéma de fonctonnement de la génératon de colonnes Convergence de la méthode Comme le smplexe, la génératon de colonnes est une méthode convergente et exacte. La vtesse de convergence dépend du nombre d tératons nécessares usqu à la preuve d optmalté, autrement dt, dépend de l effcacté de l algorthme générateur. Le rôle de cet algorthme est de fournr à chaque tératon une nouvelle colonne dont le coût margnal négatf peut amélorer la valeur de la foncton obectf. Même s théorquement, n mporte quelle colonne de coût négatf peut amélorer la soluton courante, l se trouve qu en pratque un comproms dot être trouvé entre la vtesse de convergence et la complexté de l algorthme générateur. L algorthme générateur peut donc résoudre un problème esclave restrent, ou ben fare appel à des méthodes approchées, afn de rédure le temps de calcul. De toute façon, l faut noter que pour sortr du processus tératf l faut utlser un algorthme exact pour prouver qu l n y a aucune colonne de coût rédut négatf. Une méthode couramment pratquée pour l accélératon de la génératon de colonnes est la génératon smultanée de pluseurs colonnes amélorantes à chaque tératon [Lasdon 70], [Gamache et al. 99]. Cec permet de rédure le nombre d tératons nécessares pour générer les colonnes de la base optmale du problème. Un autre aspect mportant lé à la convergence est le fat que les valeurs duales convergent vers l optmum en oscllant de manère rrégulère. Dfférents travaux de recherche portent sur les technques d accélératon de la convergence, consstant à contrôler 25

33 CHAPITRE 2 Modèles et technques de résoluton pour les problèmes de planfcaton d horares au meux ces valeurs duales. Parm ces travaux, les méthodes de stablsaton de la procédure de résoluton proposées par [Merle et al. 99] pus [Ben Amor 02] sont partculèrement effcaces ; elles se basent sur l ntroducton des perturbatons dans le problème maître, couplées avec des bornes sur les varables duales. Les résultats reportés dans ces travaux montrent d mportantes réductons du nombre d tératons et des temps de calcul sur dfférents problèmes, ans que la possblté de résoudre des problèmes de plus grande talle L algorthme générateur Pour générer de nouvelles colonnes pour le problème maître, une des méthodes les plus souvent utlsées dans la lttérature est la recherche de plus court chemn dans un graphe. En effet, une colonne peut souvent être nterprétée comme un chemn dans un graphe ou comme un flot dans un réseau. Les algorthmes générateurs font souvent appel à la théore des graphes et la programmaton dynamque et, plus rarement, à d autres méthodes comme la programmaton lnéare ou la programmaton non lnéare (cf. [Lasdon 70]). Ans, la génératon d une nouvelle colonne se ramène fréquemment à un problème de plus court chemn dans un graphe avec des contrantes supplémentares. Les algorthmes générateurs développés pour ce type de problème se basent essentellement sur un algorthme de programmaton dynamque, pseudopolynomal, présenté dans [Desrochers et Soums 88, Desrochers et al. 92] pour la résoluton par génératon de colonnes d un problème de tournée de bus scolares (avec fenêtres temporelles et contrantes de ressources). Le prncpe de cet algorthme est d assocer à chaque chemn partel du graphe une étquette fournssant une évaluaton mult-crtère (sur le temps et la consommaton des dfférentes ressources) et d élmner des chemns partels grâce à des règles de domnance. C est une extenson de l algorthme classque de Bellman-Ford pour la recherche de plus courts chemns dans un graphe [Prns 94]. Des méthodes approchées peuvent également être utlsées pour générer les colonnes du problème maître ; elles se basent généralement sur les mêmes prncpes mas se contentent de rechercher un chemn réalsable dans le graphe, satsfasant l ensemble des contrantes du sous-problème. Cependant, à une tératon donnée, le fat de ne pas trouver de colonne amélorante, par un algorthme heurstque, ne prouve pas l optmalté de la soluton courante du problème maître. Pour termner le processus tératf, on dot donc utlser un algorthme générateur exact Recherche des solutons entères La génératon de colonnes applquée à un problème maître en nombres enters fournt une soluton optmale de sa relaxaton lnéare. Généralement, cette soluton n est pas entère, mas elle représente une borne nféreure de la soluton entère du problème maître. Une premère approche pour la recherche d une soluton entère consste à lancer une recherche arborescente classque de type Branch & Bound sur le problème maître restrent à l ensemble Ω des colonnes explctées lors du processus de génératon de colonnes. C est une approche heurstque car, même s l ensemble de colonnes Ω permet de trouver la soluton optmale contnue du problème maître à la racne de l arborescence, on n est pas assuré d obtenr la soluton optmale (n même une soluton réalsable) aux autres noeuds de l arbre, car des colonnes hors Ω, sont susceptbles d amélorer la soluton (ou de rendre le problème admssble) au cours de la recherche arborescente. Ans, une deuxème approche, appelée Branch & Prce [Barnhart et al. 98b, Vanderbeck & Wolsey 96, Vanderbeck 00], adapte les prncpes du Branch & Bound au contexte de la génératon de colonnes, en permettant d explcter de nouvelles colonnes à 26

34 CHAPITRE 2 Modèles et technques de résoluton pour les problèmes de planfcaton d horares chaque noeud de l arbre, c est-à-dre en utlsant une procédure d évaluaton des noeuds par la méthode de génératon de colonnes. Les technques de séparaton dovent alors permettre de supprmer des solutons fractonnares, tout en n ntrodusant que des contrantes qu pussent être prses en compte asément par l algorthme générateur. 2.4 Concluson Dans ce chaptre, nous avons présenté quelques modèles et méthodes que nous allons utlser dans les chaptres suvants pour la modélsaton et la résoluton du problème de créaton de plannngs. Dans la sute, nous allons vor que des sous-problèmes du problème de créaton de plannngs peuvent être modélsés en tant que problèmes d affectaton ou de bnpackng. Les prncpes de ces problèmes ont été présentés ans que dfférentes méthodes de résoluton : l algorthme hongros, le Bp Match et l algorthme de Busacker et Gowen pour résoudre le problème d affectaton et quelques algorthmes approchés pour le problème de bn-packng. Quelques notons sur la génératon de colonnes ont auss été présentées, car cette méthode est utlsée avec succès pour la résoluton de problèmes de grande talle, problèmes pour lesquels les méthodes classques de programmaton lnéare ne peuvent plus être utlsées. Cette méthode sera utlsée, sous une forme smplfée, au chaptre 3. 27

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36 CHAPITRE 3 Créaton de vacatons pour le personnel au sol Chaptre 3 Créaton de vacatons pour le personnel au sol 3. Introducton Le programme des vols d une compagne aérenne mpose un ensemble de tâches à effectuer au sol : des tâches commercales comme l'enregstrement des passagers, l'accuel à l'arrvée et au départ, le servce de correspondance et de transt aux aéroports et des tâches technques comme le gudage de l avon sur la pste d atterrssage, la mse en place des toboggans, les vérfcatons technques, le remplssage du réservor, C est le personnel au sol qu effectue ces tâches. La créaton de plannngs consste à partager entre les agents toutes les tâches à effectuer durant un ntervalle temporel donné, de manère à respecter des contrantes lées à la réglementaton du traval, à la prse en compte des compétences du personnel et en même temps à établr un équlbre entre la charge de traval de chaque agent. Créer drectement des plannngs personnalsés à partr des tâches à effectuer peut devenr un problème assez dffcle à résoudre, vu le nombre des tâches à effectuer et la complexté de la réglementaton. C est pour cette rason qu habtuellement ce problème est décomposé en deux sous-problèmes ndépendants (cf..3.) : la créaton de vacatons et l affectaton de vacatons. Dans ce chaptre nous allons présenter le problème de créaton de vacatons. Dans la lttérature, l est traté le plus souvent comme un problème de recouvrement d ensemble. Les méthodes de résoluton proposées sont basées sur la programmaton lnéare ou sont des méthodes tératves qu construsent drectement l ensemble de vacatons. Comme ce problème repose sur la satsfacton de nombreuses contrantes temporelles, nous proposons une approche de modélsaton basée sur le concept de plage horare [Hennet et al. 03]. Ce concept permet une représentaton générque des tâches et des vacatons et une geston logque des relatons temporelles par l'ntermédare d'une algèbre d'ntervalles. A partr de ce modèle, nous proposons une méthode heurstque de constructon de vacatons basée sur le FFD et la génératon de colonnes [Draghc&Hennet 05]. S les agents travallent en grlle, la créaton de vacatons se transforme en un problème de remplssage de vacatons. L algorthme que nous proposons pour la créaton de vacatons peut être utlsé auss, avec quelques modfcatons, pour le problème de remplssage. 3.2 Concepts de base : tâches et vacatons Avant de décrre le modèle utlsé et la méthode de résoluton que nous proposons pour la créaton de vacatons, nous allons présenter avec plus de détals les notons de tâche et de 29

37 CHAPITRE 3 Créaton de vacatons pour le personnel au sol vacaton, leurs caractérstques et les dfférents types rencontrés. Les prncpaux attrbuts du personnel sont auss exposés Tâches Chaque tâche est caractérsée par un numéro dentfant, une date de début, un horare et une qualfcaton requse au personnel qu va l effectuer. On appelle déla de convocaton l ntervalle de temps qu une personne dot passer à son poste avant le début de la tâche qu elle dot effectuer. D une façon équvalente, le déla de couverture est donné par l ntervalle de temps pendant lequel la même personne ne dot pas qutter son poste après la fn de la tâche (Fgure 3.). Début de convocaton Début de tâche Fn de tâche Fn de convocaton Durée tâche Déla de convocaton Déla de couverture Intervalle d exécuton possble Fgure 3. Représentaton d une tâche Selon leur poston dans le temps, les tâches se dvsent en deux catégores : - tâches fxes. Une telle tâche est, comme son nom le précse, fxée dans le temps. Donc on connaît l heure de début de convocaton, l heure de début et l heure de fn de la tâche proprement dte, l heure de fn de convocaton. - tâches mobles. Une tâche moble peut être effectuée n mporte quand dans un ntervalle de temps donné. Pour ce type de tâche, on connaît le début et la fn de cet ntervalle de temps, ans que la durée de la tâche. Souvent, pour les tâches mobles, l heure de début de la convocaton coïncde avec l heure de début de la tâche et l heure de fn de convocaton avec l heure de fn de la tâche Vacatons a) tâche fxe a) tâche moble Chaque vacaton est caractérsée par un numéro dentfant, une date de début, une heure de début et une heure de fn, la qualfcaton requse pour la personne qu dot la réalser (la même pour toutes les tâches de la vacaton) et la lste des tâches comprses. Dans le cas où les vacatons sont générées, l heure de début d une vacaton coïncde avec l heure de début de convocaton de la premère tâche comprse dans la vacaton et l heure de fn coïncde avec l heure de fn de convocaton de la dernère tâche de la vacaton. Pour le remplssage, les heures de début et de fn d une vacaton sont données par le début et la fn de la case correspondante de la grlle de traval. Pour deux tâches successves d une vacaton, la fn du déla de couverture de la premère tâche ne correspond pas nécessarement au début de convocaton de la suvante : l est supéreur ou égal, mas pas forcément égal. On dstngue deux types de vacatons : - vacatons contnues. Ce sont des vacatons où le traval est effectué en une seule fos. L horare mentonne l heure de début de la vacaton et l heure de fn. La durée est détermnée par l ntervalle de temps comprs entre le début de la premère tâche et la fn de la dernère (Fgure 3.2 a). - vacatons fractonnées. Ce sont des vacatons coupées en deux par une pause non comptée dans le temps de traval. Une pause a les même caractérstques qu une tâche 30

38 CHAPITRE 3 Créaton de vacatons pour le personnel au sol moble : un ntervalle de temps pendant lequel elle dot être effectuée et une durée. (Dans le cas de la créaton de vacatons, seule la durée de la pause est précsée). La durée d une vacaton fractonnée est égale à la durée de la même vacaton s elle état contnue, mons la durée de la pause (Fgure 3.2 b). Tâche Tâche 2 Tâche 3 Vacaton Tâche Tâche 2 Tâche 3 Pause Vacaton Début case Fn case a) vacaton contnue dans le cas génératon de vacatons (le début/ la fn de la vacaton coïncde avec le début/ la fn de la premère / dernère tâche de la vacaton) b) vacaton fractonnée dans le cas remplssage de vacatons (le début/ la fn de la vacaton coïncde avec le début/ la fn de case correspondante de la grlle de traval) Fgure 3.2 Représentaton d une vacaton Personnel La force de traval est représentée par l ensemble des salarés, appelés auss agents, susceptbles de couvrr la charge de traval. Elle est consttuée de dfférentes classes de personnel. Chaque classe est caractérsée par un type de contrat de traval (les mêmes types de contrat qu génèrent les patrons des vacatons). Les caractérstques de base du personnel sont l effectf, la dsponblté et les qualfcatons. L effectf. Même s dans une démarche stratégque, on peut supposer le personnel en nombre llmté, afn de le dmensonner, dans une approche plus opératonnelle, l effectf de chaque classe de personnel est contrant en nombre et en dsponblté. Vu la lmtaton en nombre des agents, l est possble que la charge de traval ne pusse pas être couverte entèrement. Dans ce cas, des agents en sureffectf (nommés auss agent temporares) vont effectuer la charge du traval en excès. Toutefos, l faut mentonner que le nombre des agents en sureffectf ne peut pas dépasser un certan pourcentage d augmentaton de l effectf. La dsponblté. Pour qu un agent pusse effectuer une tâche, l dot être dsponble pour cette tâche. Il faut vor la dsponblté sous deux angles : d un côté, la prse en compte des éventuelles actvtés pré-affectées et des ndsponbltés (congé, arrêt malade, ), et d un autre côté la prse en compte des desderata de chaque agent. Les qualfcatons. Un agent peut avor une seule qualfcaton ou peut être multqualfé. Il est possble que les qualfcatons soent hérarchsées, ce qu veut dre qu un agent ayant une qualfcaton supéreure peut effectuer le traval d un agent avec une qualfcaton nféreure, mas pas l nverse. En tout cas, l faut respecter certanes lmtes pour ce genre d affectaton, car du pont de vue de l agent, l n est pas touours agréable d effectuer un traval qu demande une qualfcaton nféreure. 3.3 Présentaton du problème Le problème de créaton de vacatons consste à grouper un ensemble de tâches dans un nombre mnmum de vacatons, tout un respectant une sére de contrantes réglementares. 3

39 CHAPITRE 3 Créaton de vacatons pour le personnel au sol Nous avons explqué au 3. que, suvant les types des contrats du personnel, les vacatons dovent être générées ou remples. L obectf du problème change selon le cas abordé. Dans le premer cas, les vacatons dovent être générées en nombre mnmal et en respectant une certane proporton vacatons contnues/ vacatons fractonnées, proporton conforme avec l effectf moyen dsponble pour les dfférents contrats et qualfcatons. S les vacatons sont remples, leur nombre ne peut pas être modfé, car l correspond au nombre des cases de la grlle concernée. Dans ce cas, l obectf du problème est d équlbrer la charge de traval entre les vacatons, de manère à évter les pérodes d actvté trop longues et à ne pas fare travaller les agents sur des pérodes trop courtes. Les contrantes à respecter lors de la créaton de vacatons changent auss suvant le type de problème (génératon ou remplssage). Nous allons présenter quelques contrantes et comment elles sont nterprétées selon le cas Contrantes réglementares Pour que les vacatons créées soent valdes, de nombreuses contrantes dovent être respectées. Ce sont des contrantes lées aux caractérstques des tâches et des vacatons ou mposées par les dfférents types de contrats du personnel. Beaucoup de ces contrantes sont spécfques au contexte du traval donc, pour garder la généralté, nous allons décrre les plus mportantes d entre elles. () Condton de compatblté tâche vacaton : seules des tâches du même our et de même qualfcaton peuvent fare parte de la même vacaton. Comme une vacaton représente un traval ournaler, c est évdent que l on ne peut pas grouper au sen d une même vacaton des tâches étalées sur pluseurs ours. On sat qu une tâche peut être effectuée par une personne seulement s cette personne a la qualfcaton requse. Généralement, les tâches d un our ne demandent pas toutes la même qualfcaton et les agents ne sont pas forcément mult-qualfés. Une vacaton étant effectuée entèrement par une seule personne qu a une qualfcaton précse, alors toutes les tâches comprses dans cette vacaton dovent avor la même qualfcaton assocée. (2) Condton d ncluson : toute tâche fasant parte d une vacaton dot être entèrement comprse dans la vacaton. La valdté de cette condton est vérfée dfféremment, selon le problème. Dans le cas de la génératon de vacatons, l horare d une vacaton n est pas connu à pror ; tout ce que l on connaît est la durée maxmale réglementare d une vacaton. Donc, pour un ensemble de tâches à grouper dans la même vacaton, la condton d ncluson peut être formulée de la manère suvante : la durée de l ntervalle de temps comprs entre le début de la convocaton de la premère tâche et la fn de la convocaton de la dernère tâche dot être nféreure ou égale à la durée maxmale d une vacaton. S les vacatons représentent les cases de la grlle de traval (le cas du remplssage des vacatons), le début et la fn de la vacaton sont connus. La condton d ncluson revent à : une tâche peut fare parte d une vacaton s elle commence après ou en même temps que la vacaton et fnt avant ou en même temps que la vacaton (en l occurrence, s la convocaton de la tâche commence après ou en même temps que la vacaton et fnt avant ou en même temps que la vacaton). (3) Condton de pause. Dans le cas d une vacaton fractonnée, les tâches qu en font parte ne dovent pas écraser la pause et n la partager en pluseurs partes. Il est possble qu une tâche chevauche l ntervalle d exécuton possble de la pause ; cela n est pas consdéré comme non respect de la condton s ce qu reste de cet ntervalle permet touours que la pause sot effectuée. Pour plus de clarté, prenons un exemple : sot une vacaton à l ntéreur de laquelle, entre h00 et 4h00 l faut placer une pause d une durée de deux heure. On veut affecter à cette vacaton une tâche qu 32

40 CHAPITRE 3 Créaton de vacatons pour le personnel au sol commence à 3h30 et qu fnt après 4h00. Comme une pause de deux heures peut touours être effectuée entre h00 et 3h30, cette tâche peut être affectée à la vacaton. Par contre, une tâche qu commence à h30 et qu fnt à 3h45 ne peut pas fare parte de la vacaton, car la pause ne peut être accordée n avant la tâche n après. (4) Condton de non-chevauchement : en cours de vacaton, les tâches ne dovent amas se chevaucher. Toutefos, dans certans cas le déla de couverture d une tâche peut chevaucher le déla de convocaton de la tâche qu la sut, la condton de nonchevauchement s applquant aux tâches proprement dtes Méthodes de résoluton dans la lttérature Les méthodes proposées dans la lttérature pour la constructon de vacatons peuvent être dvsée en deux catégores : - les méthodes qu modélsent le problème comme un problème de recouvrement d ensemble - les méthodes tératves qu construsent drectement l ensemble de vacatons Modélsaton par recouvrement d ensemble Le problème de créaton de vacatons peut être modélsé comme un problème de recouvrement d ensemble. Un modèle smplfé et non-lnéare pour ce genre de problème est le suvant : Mn z = n n = c x Sous : = m = a {,..., m} x a b d (3.) (3.2) { },...,n (3.3) où n : le nombre de vacatons fasables m : le nombre des tâches à grouper dans des vacatons x : une varable bnare qu vaut s la vacaton fat parte de la soluton et 0 snon c : le coût de la vacaton a : une varable bnare qu vaut s la tâche fat parte de la vacaton et 0 snon b : la durée de la tâche d : la durée de la vacaton Notons que ce modèle ne sufft pas à décrre le problème de créaton de vacatons dans le contexte aéronautque et aéroportuare car l ne prend pas en compte les contrantes réglementares (), (2), (3), (4) c-dessus. L utlsaton des approches classques décrtes cdessous nécessterat donc de nouveaux tests de fasablté des vacatons canddates. En général, le problème est résolu de la manère suvante : selon la dmenson du problème, toutes ou un sous-ensemble des vacatons fasables sont générées. Ayant ans fxé les valeurs des paramètres a défnssant les vacatons canddates, une soluton courante est calculée sot en résolvant le problème relâché (et lnéarsé, car a ne sont plus des varables) de recouvrement d ensemble, sot à l ade d une heurstque qu sélectonne les vacatons les unes après les autres. La soluton fnale est trouvée à partr de cette soluton ntale, en utlsant dfférentes procédures tératves. 33

41 CHAPITRE 3 Créaton de vacatons pour le personnel au sol L approche de Dantzg Dantzg [Dantzg 54] propose une méthode de résoluton pour un problème de créaton de vacatons pour les agents d un poste de péage. Toutes les vacatons à créer ont une durée de 7 heures et dovent contenr une pause de 30 mnutes au mleu. Comme toutes les vacatons sont consdérées avor le même coût, l obectf du problème est dans ce cas de mnmser le nombre des vacatons créées. Le crtère (3.) prend donc la forme suvante : Mn z = n x = (3.4) Dantzg est le premer à avor proposé l utlsaton de la soluton du programme lnéare relâché dans les réels comme pont de départ dans la recherche d une soluton entère. Sur les quelques tests effectués, l remarque que la soluton de départ est quand même entère. Toutefos, l propose un algorthme pour arrondr la soluton du problème relâché de manère à ce que toutes les contrantes soent respectées et admet que cette soluton peut être consdérée comme très proche de la soluton optmale. L approche de Henderson et Berry Henderson et Berry [Henderson & Berry, 76] proposent une méthode de résoluton du problème à partr d un sous-ensemble de vacatons fasables. L ensemble complet de vacatons est défn à l ade de pluseurs paramètres. Ensute, un sous-ensemble est généré. Deux méthodes heurstques sont proposées pour la génératon de ce sous-ensemble : - à chaque tératon, on chost la vacaton qu couvre le plus de tâches non encore couvertes par d autres vacatons fasant déà parte du sous-ensemble - les vacatons du sous-ensemble sont choses au hasard Une fos le sous-ensemble généré, l reste à trouver une soluton. De nouveau, pluseurs méthodes sont proposées : - une premère méthode calcule la soluton du problème relâché de recouvrement d ensemble formulé pour le sous-ensemble trouvé avant. Ensute, cette soluton est arronde. - une autre méthode part de la soluton obtenue par la premère méthode et essaye de remplacer deux vacatons par une trosème qu fat parte du sous-ensemble de départ. - la dernère méthode proposée utlse la même technque de résoluton que la deuxème, mas en partant d une soluton réalsable obtenue au hasard. Dans cet artcle, Henderson et Berry ont montré que des sous-ensembles relatvement lmtés en talle par rapport à l ensemble complet donnent des solutons dont le coût est très proche de celu de l optmum théorque. De plus ls ont montré qu au-dessus d une certane talle, la méthode qu chost le sous-ensemble des vacatons au hasard est auss performante que l autre, la premère restant toutefos la melleure pour des sous-ensembles de pette talle. En ce qu concerne les méthodes proposées pour le calcul de la soluton fnale, les auteurs ont constaté que les deux méthodes qu utlsent comme pont de départ la soluton du problème relâché donnent des résultats ben melleurs que la méthode qu part d une soluton générée au hasard. L approche de Morrs et Showalter Dans leur artcle [Morrs et Showalter 83], les auteurs proposent des approches smples pour dfférents problèmes de planfcaton d horare. En partculer, ls s appuent sur une méthode de coupes planes et une procédure de séparaton et évaluaton. 34

42 CHAPITRE 3 Créaton de vacatons pour le personnel au sol La contrbuton des auteurs est à mentonner, car les tests effectués sont nombreux et les courbes de charge varées. Ils ont montré qu envron 50% des problèmes tratés donnent une soluton entère dès la premère résoluton du problème relâché, envrons 20% une fos que la borne nféreure du crtère à été arronde supéreurement et seulement 30% nécesstent la séparaton et l évaluaton Méthodes tératves Les heurstques de constructon tératve reposent sur le calcul d un ndce d augmentaton qu détermne la vacaton devant entrer dans la soluton. [Buffa et al. 76] proposent l une des premères heurstques de constructon tératve pour résoudre le problème de constructon de vacatons. L approche proposée utlse un ndce d augmentaton développé par Luce en 973 qu tente d équlbrer le sur-effectf et le souseffectf. [McGnns et al. 78] comparent quatre heurstques de constructon tératve pour résoudre le problème de constructon de vacatons lorsque des vacatons contnues, de durée unque, dovent couvrr une charge contnue sur 7 ours. 3.4 Modélsaton proposée Nous avons vu que les caractérstques des tâches et des vacatons sont lées au temps : heure de début, heure de fn, durée. De plus, les contrantes à respecter lors de la créaton de vacatons sont, pour la plupart, des contrantes temporelles. C est pourquo un problème méthodologque clé qu se pose est le chox de la représentaton du temps La représentaton du temps L Intellgence Artfcelle est un domane où la modélsaton du temps oue un rôle mportant, car les contrantes temporelles sont omnprésentes dans toute actvté et nfluencent fortement la logque de son déroulement. La plupart de ces actvtés concernent le monde réel, qu est un monde dynamque. Les fats et les phénomènes qu s y produsent se produsent dans le temps. La percepton et la compréhenson humane du monde réel ntègre la noton de temps. Les événements sont lés temporellement, qu l s agsse de leur séquencement logque (avant, pendant, après) ou de leur ordonnancement (dates de début et de fn). Le temps apparaît donc comme une entté fondamentale dans les actvtés humanes auss ben que dans les phénomènes physques. C est pour cette rason que nous avons porté notre attenton sur des travaux concernant la modélsaton du temps dans le domane de l Intellgence Artfcelle. Les premers travaux qu consdèrent le temps comme une entté ndépendante, et non pas comme un paramètre assocé à chaque actvté, remontent au début des années 80. McDermott défnt une théore du temps qu repose sur des nstants, un ntervalle temporel étant consdéré comme un ensemble d nstants [McDermott 82]. Allen a développé ensute une logque temporelle basée sur la noton d ntervalle [Allen 84], les nstants étant consdérés comme des ntervalles de temps très courts. Ans, 3 relatons élémentares d ordre entre ntervalles ont été proposées (7 drectes et 6 nverses). Deux ntervalles quelconques I et I 2 sont nécessarement lés par l une des relatons suvantes : - I est entèrement comprs dans I 2 (ou I 2 est entèrement comprs dans I ) - I et I 2 commencent en même temps, mas I fnt avant I 2 (ou I et I 2 commencent en même temps, mas I 2 fnt avant I ) 35

43 CHAPITRE 3 Créaton de vacatons pour le personnel au sol - I et I 2 fnssent en même temps, mas I commence après I 2 (ou I et I 2 fnssent en même temps, mas I 2 commence après I ) - I se trouve avant I 2 et l n y a pas de chevauchement entre les deux (ou I 2 se trouve avant I et l n y a pas de chevauchement entre les deux) - I commence avant I 2 et les ntervalles se chevauchent (ou I 2 commence avant I et les ntervalles se chevauchent) - I se trouve avant I 2, mas l n y a pas d ntervalle entre les deux donc, I fnt quant I 2 commence (ou I 2 se trouve avant I, mas l n y a pas d ntervalle entre les deux donc, I 2 fnt quant I commence) - I et I 2 représente le même ntervalle. Dans ses travaux, Shoham consdère que, même s l approche par ntervalles est la plus naturelle, l serat également souhatable de pouvor représenter un phénomène nstantané. Donc, l défnt une autre sémantque du temps, dans laquelle la noton d nstant et celle d ntervalle peuvent être conontement supportés [Shoham 87]. Le but de ce paragraphe est de donner une smple dée sur la représentaton du temps dans la lttérature, pour pouvor focalser ensute sur le chox que nous avons fat. Pour une descrpton plus détallée sur le rasonnement temporel, le lecteur est envoyé à [Vla 94, Vdal 95] Plages horares En partant des travaux présentés dans la secton précédente sur la représentaton du temps, nous proposons une modélsaton de notre problème basée sur la noton de plage horare [Hennet et al. 03], qu repose prncpalement sur la noton d ntervalle. Les plages horares sont des ntervalles de temps dont on peut ndquer l heure de début, l heure de fn ans que la durée. On défnt c tros types de base : les plages contnues : une plage contnue est le type de plage le plus smple. En effet c est une plage horare défne par un début et une fn (Fgure 3.3.a). Sa durée est dédute de ces deux attrbuts : durée = fn début (3.5) les plages fractonnées : une plage fractonnée est un ensemble de plages contnues dsontes. Elle est défne par une lste de m plages contnues (Fgure 3.3.b). Nous précsons que cette lste peut être vde (m = 0). La durée d une plage fractonnée est la somme des durées de chaque de ses sous plages : m durée = durée = ( fn début ) (3.6) = m = les plages mobles: une plage moble est une plage d une durée détermnée pouvant débuter a dverses heures. Elle est caractérsée par une durée et une plage fractonnée symbolsant les heures de début possble (Fgure 3.3.c). Les opératons sur les plages mobles se ramènent donc à des opératons sur des plages fractonnées. Début Durée Fn Début Durée Fgure 3.3 Types de plages horares Fn Débuts possbles Durée a) plage contnue b) plage fractonnée c) plage moble 36

44 CHAPITRE 3 Créaton de vacatons pour le personnel au sol Défnssons mantenant quelques opératons mathématques sur les plages horares: addton, soustracton, ntersecton. On note qu l s agt ben de los de composton nternes dans l ensemble des plages horares. L addton des deux plages horares. Le résultat est une plage horare, d habtude fractonnée, dont l ensemble des sous plages content toutes les sous plages des deux termes addtonnés (Fgure 3.4). S l y a des plages qu se chevauchent, elles seront réunes. Plage Plage 2 Résultat a) deux plages contnues b) une plage contnue et une plage fractonnée Fgure 3.4 Adton des deux plages horares c) deux plages fractonnées La soustracton des deux plages horares. L opératon retre de l ensemble de sous plages du premer terme la pérode correspondante aux sous plages du deuxème terme (Fgure 3.5). Plage Plage 2 Résultat a) deux plages contnues b) une plage contnue et une plage fractonnée c) deux plages fractonnées Fgure 3.5 Soustracton des deux plages horares L ntersecton des deux plages horares. La plage résultante content les sous plages (ou des partes de sous plages) communes aux deux plages horares (Fgure 3.6). Plage Plage 2 Résultat a) deux plages contnues b) une plage contnue et une plage fractonnée c) deux plages fractonnées Tâches, vacatons, contrantes Fgure 3.6 Intersecton des deux plages horares A l ade des plages horares, les tâches, les vacatons et les contrantes peuvent être modélsées d une manère très naturelle : Une tâche fxe peut être caractérsée par deux plages contnues emboîtées : la plage de convocaton et la plage de la tâche (Fgure 3.7). Une tâche moble est décrte par une plage moble. Un ensemble de sous plages donne les dates de début possbles de la tâche. 37

45 CHAPITRE 3 Créaton de vacatons pour le personnel au sol Début de convocaton Plage de tâche Plage de convocaton (durée) a) tâche fxe Fn de convocaton Plages des débuts possbles Durée Début le plutôt possble b) tâche moble Fgure 3.7 Modélsaton des tâches à l ade des plages horares Une vacaton contnue est défne par une plage contnue qu fxe le début et la fn de la vacaton et par l ensemble de plages qu défnssent les tâches de la vacaton. Mas l ensemble des plages qu défnssent les tâches de la vacaton forment une plage fractonnée. Pour construre une vacaton fractonnée dans l ensemble des plages horares, l sufft de construre la vacaton contnue contenant toutes ses tâches et de lu aouter la plage fractonnée des dates de début possbles de la pause, ans que la durée mnmum de la pause. Mentonnons que la pause est ans représentée comme une plage moble. Nous allons mantenant décrre les règles à respecter lors de la créaton d un plannng, exprmées en termes de plages horares (les règles (2) (4) du paragraphe 3.3.). L approche par plages horares nous permet d exprmer ces contrantes par des relatons mathématques entre les attrbuts des dfférentes plages consdérées : début, fn, durée. Sot un ensemble de V vacatons et un ensemble de T tâches. Chaque vacaton v est caractérsée par une qualfcaton g v, une date de début z v, une heure de début a v et une heure de fn b v. S la vacaton est fractonnée, on consdère en plus I l ensemble des sous plages des débuts possbles de la pause, m v le début de la sous plage, n v la fn de la sous plage et p v la durée mnmum de la pause. De la même manère, pour chaque tâche t, q t donne la qualfcaton de la tâche, s t la date de début et c t et d t les heures de début et de fn. S la tâche est moble, J représente l ensemble des sous plages des débuts possbles de la tâche, u et w le début et la fn de la sous plage et l t la durée de la tâche. Condton d ncluson. Toute tâche t fasant parte d une vacaton v dot être entèrement comprse dans la vacaton. Pour une tâche fxe, les relatons mathématques sont : c t a v (3.7) d t b v (3.8) Pour une tâche moble, la condton d ncluson de la tâche dans la vacaton est un peu dfférente. Pour au mons un ntervalle [ u t, w t ] de début possble de la tâche, l faut trouver à l ntéreur un nstant deb t tel que : deb t a v (3.7 ) deb t + l t b v (3.8 ) Début le plus tard possble Pour tradure cette condton dans la logque d ntervalles, on peut calculer d abord l ntersecton des deux plages horares correspondant à la tâche et à la vacaton. Pour une tâche fxe, s la durée de la plage résultante est au mons égale à la durée de la tâche, la contrante est vérfée (Fgure 3.8.a). Pour une tâche moble, la plage correspondante est représentée par l ensemble des sous plages des débuts possbles de la tâche, chaque sous plage «prolongée» à drote par la durée de la tâche. Ans, chaque sous plage de débuts possbles devent une sous plage possble de la t t 38

46 CHAPITRE 3 Créaton de vacatons pour le personnel au sol tâche. Dans ce cas, l opératon d ntersecton est effectuée séquentellement, sous plage par sous plage. S, pour une sous plage possble, la durée de la plage résultante est au mons égale à la durée de la tâche, la contrante est vérfée. (Fgure 3.8.b). ) ) ) ) ) ) a) vacaton contnue, tâche fxe ) la tâche chevauche la vacaton ) la tâche entre dans la vacaton ) la tâche chevauche la vacaton b) vacaton contnue, tâche moble ) la tâche peut entrer dans la vacaton ) la tâche peut entrer dans la vacaton ) la tâche chevauche la vacaton Fgure 3.8 Toute tâche fasant parte d une vacaton dot être entèrement comprse dans la vacaton concernée Condton de pause. Dans le cas d une vacaton fractonnée, les tâches qu en font parte ne dovent pas écraser la pause. Pour une tâche fxe, la condton est vérfée s l une des deux relatons suvantes est vrae pour au mons une des sous plages des débuts possbles de la pause (un ntervalle de type [ m, n ] ): v v d t < n v (3.9) m v + p v c t (3.0) Les relatons c-dessus exprment deux contrantes dsonctves, suvant la poston de la tâche par rapport à l ntervalle [ m v, n v ]: (3.9) la pause peut être placée après la tâche, (3.0) la pause peut être placée avant la tâche. Pour une tâche moble, les relatons (3.9) et (3.0) peuvent être écrtes de manère suvante : m v + p v < u t + l t w t (3.9 ) n v (3.0 ) La contrante est vérfée s sot (3.9 ) sot (3.0 ) est vrae pour au mons un ntervalle du type [ m, n ] et au mons un ntervalle du type [ u, w ]. v v Analysons la compatblté tâche pause en termes de plages mobles. Les plages correspondant à une tâche moble et à la pause de la vacaton sont représentées de la même manère qu auparavant : chaque sous plage des débuts possbles est transformée en sous plage possble de la tâche ou ben de la pause. On effectue l opératon d addton séquentellement, entre pares de plages du type (plage de tâche, sous plage possble de la pause) ou ben (sous plage possble de la tâche, sous plage possble de la pause). Pour une plage résultante fractonnée (deux plages dsontes), la contrante est respectée. Pour une plage résultante contnue, la contrante est respectée s la durée de cette plage est au mons égale à la somme des durées de la tâche et de la plage. (Fgure 3.9). t t 39

47 CHAPITRE 3 Créaton de vacatons pour le personnel au sol ) ) ) ) ) ) a) vacaton fractonnée, tâche fxe ) condton de pause respectée ) la tâche écrase la pause ) condton de pause respectée b) vacaton fractonnée, tâche moble ) ) condton de pause respectée Fgure 3.9 En cas de vacaton fractonnée, les tâches qu en font parte ne dovent pas écraser la pause Condton de non-chevauchement. En cours de vacaton, les plages de couverture de deux tâches successves peuvent se chevaucher, sans que les tâches elles-mêmes ne se chevauchent. S l on consdère que pour une tâche t, c t et d t représentent le début et la fn de la plage de ' ' convocaton et s l on note c t et d t le début et la fn de la tâche proprement dte, pour deux tâches fxes t et t (t avant t ), la relaton mathématque est la suvante : d < c ' ' (3.) ' t t S une tâche est moble (ou ben les deux), on se retrouve dans le contexte de la condton de pause, où la tâche moble prend la place de la pause et l ntervalle [c t, d t ] est substtué à c, d ]. [ ' t ' t En termes de plages horares, on effectue l opératon d addton entre les deux plages horares correspondant aux deux tâches. Une tâche fxe est représentée par la plage de la tâche proprement dte (et non pas par la plage de couverture, comme auparavant). Pour une tâche moble, la plage de couverture et la plage de la tâche proprement dte sont dentques donc, la représentaton d une tâche moble reste la même (ensemble de sous plages possbles). ) ) ) ) les plages de couverture ne se chevauchent pas ) les plages de couverture se chevauchent, mas pas les tâches elles-mêmes ) les plages des tâches se chevauchent plage de couverture plage de la tâche Fgure 3.0. En cours de vacaton, les plages de couverture de deux tâches fxes successves peuvent se chevaucher, sans que les tâches elles-mêmes se chevauchent La condton de non-chevauchement est respectée s la plage résultante est fractonnée ou s la durée de la plage résultante contnue est au mons égale à la durée des deux tâches. La Fgure 3.0 présente le cas où les deux tâches sont fxes. S l une des tâches est moble, le contexte est représenté en Fgure 3.9.a s l on substtue la pause par la tâche moble. En gardant la même substtuton, la Fgure 3.9.b llustre le cas où les deux tâches sont mobles. 40

48 CHAPITRE 3 Créaton de vacatons pour le personnel au sol Modélsaton du problème La créaton de vacatons peut être modélsée comme un problème de bn-packng, où les vacatons représentent les conteneurs à remplr et les tâches représentent les obets à mettre dans les conteneurs. Le modèle du problème est celu du chaptre 2, en sachant qu l faut aouter les contrantes addtonnelles qu ont été présentées dans le paragraphe précédant. Pour résoudre notre problème, nous avons chos d utlser l algorthme FFD, combné avec la génératon de colonnes [Draghc Hennet 05]. Avant de présenter en détal la méthode de résoluton chose, quelques défntons sont nécessares. Rappelons que la durée d V d une vacaton est donnée par une des deux relatons suvantes : d = fn _ convoc deb _ convoc (3.2) d V V case m = h _ fn h _ deb (3.3) case La relaton (3.2) exprme la durée d une vacaton dans le cas de la créaton de vacatons où fn_convoc m représente l heure de fn de la convocaton de la dernère tâche comprse dans la vacaton et deb_convoc représente l heure de début de convocaton de la premère tâche comprse dans la vacaton. La relaton (3.3) donne la durée d une vacaton pour le remplssage de vacatons, où h_deb case et h_fn case exprment l heure de début et l heure de fn caractérsant la case correspondante à la vacaton V dans la grlle de traval. On appelle durée «rentable» d une vacaton d_rent V la somme des durées des tâches comprses dans la vacaton. On appelle taux de remplssage d une vacaton tr V le rapport suvant : tr V d _ rent V = (3.4) d V S la vacaton est vde, le taux de remplssage est égal à zéro. Une vacaton fractonnée est équlbrée s la plage horare de la pause est ncluse dans la plage contnue commençant au début de la vacaton et fnssant à la fn de la vacaton. En bref, l faut qu l y at au mons une tâche de chaque coté de la pause. Le taux d équlbre d une vacaton fractonnée te V est calculé à l ade de l expresson suvante : d _ centrevp tev = (3.5) d V où d_centre VP représente la dstance entre le centre de la vacaton et le centre de la pause. S la vacaton est contnue, le taux d équlbre est égal au taux de remplssage. Un taux de 00% ndque un parfat équlbre tands qu un taux de 0% ndque un déséqulbre maxmum. Le taux de contrante d une tâche fxe tc V dans un ensemble de tâches fxes est égal au nombre de tâches (elle exclue) qu chevauchent la plage horare de cette tâche. 4

49 CHAPITRE 3 Créaton de vacatons pour le personnel au sol 3.5 Méthode de résoluton proposée 3.5. Génératon de vacatons Dans ce paragraphe, nous allons présenter la méthode de résoluton proposée pour la constructon de vacatons dans le cas où le profl des vacatons est donné par les dfférents types de contrats du personnel. Les tâches fxes et les tâches mobles sont tratées séparément. Ce chox est ustfé par le fat que, en pratque, les plannngs du personnel au sol contennent beaucoup plus de tâches fxes que de tâches mobles. Ans, notre méthode s appue prncpalement sur la génératon de vacatons à partr de l ensemble des tâches fxes. Ensute, les tâches mobles sont utlsées pour amélorer les vacatons déà créées. Eventuellement, elles condusent à créer d autres vacatons. L algorthme se déroule en tros étapes : - constructon des patrons de vacatons - tratement des tâches fxes - tratement des tâches mobles Constructon des patrons de vacatons Un patron de vacaton est un générateur de vacatons d un type donné. Ce type est spécfé par les dfférents types de contrats du personnel. Ans, un patron est créé pour chaque type de contrat. (cf..3.). Chaque patron est spécfé par : une descrpton des vacatons à créer (contnue/fractonnée), la durée mnmum souhatable, la durée maxmum, un rapport de prorté de ce patron et un nombre de vacatons déà générées avec succès pour ce patron. Le rapport de force est une forme de proporton. Pour deux patrons x et y, x ayant un rapport de 2 et y un rapport de, on pourra consdérer que pour 3 vacatons créées, l y aura créée par y et 2 par x Tratement des tâches fxes Les données d entrée du problème sont : La lste des tâches fxes. Cette lste content toutes les tâches fxes que l on souhate placer dans des vacatons. Elle est trée par ordre décrossant des taux de contrante de chaque tâche. Cet ordre correspond à celu qu va de la tâche la plus dffcle à placer à la plus facle à placer. Les tâches sont tratées ensute séquentellement. La lste des vacatons. Au début, cette lste est vde car aucune vacaton n a été créée. Dans le cas où la lste content des vacatons déà construtes partellement que l algorthme dot prendre en compte et amélorer, aucune des tâches de ces vacatons ne dot être déclarée dans la lste des tâches. La lste des patrons de vacatons. Elle content l ensemble des patrons construts durant l étape précédente. La lste peut être trée selon le nombre de vacatons déà générées avec succès pour chaque patron. Ce tr ade dans le chox du patron le plus pertnent afn de respecter les proportons. 42

50 CHAPITRE 3 Créaton de vacatons pour le personnel au sol FFD et génératon de colonnes Le prncpe général de fonctonnement sut le schéma classque du FFD. La lste des tâches est trée une seule fos au début de l algorthme et tratée ensute séquentellement. La lste des vacatons canddates est trée selon l ordre dans laquelle les vacatons ont été «ouvertes». Une vacaton est ouverte au moment où la premère tâche y est nsérée. La tâche courante est placée dans la premère vacaton de la lste qu peut la contenr. La génératon de colonnes peut être utlsée afn de rédure la dmenson de la lste des vacatons canddates qu dovent être testées. Une nouvelle colonne correspond à une nouvelle vacaton. S aucune vacaton déà créée ne peut contenr la tâche courante, une nouvelle vacaton est créée, selon un des patrons exstants. Cette nouvelle vacaton peut être contnue ou fractonnée, tant qu elle peut contenr la tâche courante. Toutefos, s la nouvelle vacaton créée est fractonnée, l algorthme cherche une deuxème tâche, afn d équlbrer la vacaton dès sa constructon : l place une tâche avant la pause et l autre après la pause. S l ne trouve pas de tâche pour équlbrer, la vacaton est détrute, car les vacatons fractonnées non équlbrées ne sont pas acceptées. Une vacaton contnue est créée à sa place. Cette procédure smplfée de génératon de colonnes se révèle suffsante pour la résoluton du problème de génératon, car une vacaton qu vent d être créée est caractérsée seulement par la tâche qu elle content et peut être postonnée dans le temps de manère souple, compatble avec son type. Comme dans [Sarn & Aggarwal 0] le problème maître prend alors la forme d un problème de recouvrement d ensemble : pour un ensemble de tâches T, l faut générer un ensemble de vacatons V, de manère que : t T, une seule vacaton V V ; t V (3.6) C-dessous, nous présentons l algorthme pour le tratement des tâches fxes : Procedure Gen_Trate_tâches_fxes Tant que(lste_tâches_fxes pas vde) Tâche_courante=retrer_tête(Lste_tâches_fxes) ; Compteur tératons= Compteur tératons+ ; S(Compteur tératon correspond à Fréquence de tr) Trer(Lste vacatons) ; Fn S Pour Vacaton_Courante parcourt (Lste_vacatons) S(On peut aouter Tâche_courante à Vacaton_Courante) Aoute(Tâche_courante à Vacaton_Courante); Aller à Succès_Inserton Fn S Fn Pour Trer par ordre de prorté (Lste_patrons_vacatons); Pour Patron_Courant parcourt (Lste_patrons_vacaton) Nouvelle_vacaton = Génère_colonne(Patron_Courant); S(on peut aouter Tâche_courante à Nouvelle_vacaton) Aoute(Tâche_courante à Nouvelle_vacaton); S(Nouvelle_vacaton pas équlbrée) Tâche_Equlbre=trouver une tâche dans Lste_tâches telle que (on peut l aouter à Nouvelle_vacaton) et que( Nouvelle_vacaton équlbrée) ; S(Tâche_Equlbre exste) Aouter(Tâche Equlbre à Nouvelle_vacaton); Compteur_tératons = Compteur tératons + ; Aller à Succès Patron 43

51 CHAPITRE 3 Créaton de vacatons pour le personnel au sol Fn S Aller à Echec_Patron Fn S Succès_Patron : Aouter(Nouvelle_vacaton en fn de Lste_vacatons); Aller à Succès nserton Fn S Echec Patron : Détrure(Nouvelle vacaton) Sgnaler_échec(Patron_Courant) Fn Pour Echec Inserton -> Cette tache est écartée du tratement Succès nserton : Fn tant que Améloraton de la soluton : tr dynamque de la lste des vacatons L obectf classque de notre problème (3.6) est de mnmser le cardnal de V, donc le nombre de vacatons créées. Cependant, en pratque, celu-c n est pas le seul obectf à prendre en compte, car la qualté des vacatons créées est essentelle pour évaluer et optmser la qualté du traval et l équté entre les agents. C est pour cette rason que nous avons développé une deuxème verson de l algorthme, qu nclut un tr dynamque de la lste des vacatons partellement remples. Ce tr permet l améloraton de la qualté des vacatons. La lste des vacatons déà créées est ordonnée pluseurs fos lors de la constructon de nouvelles vacatons. Le tr est fat par ordre crossant des taux de remplssage et d'équlbre de chaque vacaton. Ans, les vacatons avec un taux fable de remplssage/ équlbre peuvent être évtées. Un paramètre de qualté détermne la fréquence de tr. Les deux obectfs du problème sont mantenant de créer des vacatons de bonne qualté et d en créer en nombre mnmum. Avec le tr des vacatons, la qualté générale des vacatons est amélorée, mas leur nombre peut augmenter avec la fréquence de tr. Le comproms entre la qualté des vacatons et leur nombre est lassé à l utlsateur, par le chox de la valeur du paramètre de qualté qu est lé à la fréquence du tr. Ce nouvel algorthme est du type «best ft», donc l a une complexté plus élevée que celle du FFD. Il faut noter que le tr dynamque de la lste des vacatons n est pas lé au tratement des tâches fxes ; l est également utlsé pendant le tratement des tâches mobles Tratement des tâches mobles Une fos le placement des tâches fxes termné, la lste des tâches mobles est analysée. Le données du problème sont smlares à celles consdérées pour les tâches fxes : la lste des tâches mobles, la lste des vacatons, la lste des patrons de vacatons. La lste de vacatons n est plus vde comme dans le cas précédant ; elle content mantenant les vacatons créées pour nsérer les tâches fxes. La procédure de tratement est smlare à celle des tâches fxes. Pour pouvor trer les tâches mobles de la même façon que les tâches fxes, on assoce à chaque tâche l attrbut suvant : durée de la tâche/ampltude des débuts possbles. Les tâches sont ordonnées dans la lste en ordre crossant de cet attrbut. S deux tâches ont la même valeur, la tâche qu a la plus longue durée sera placée la premère. 44

52 CHAPITRE 3 Créaton de vacatons pour le personnel au sol Règle d nserton d une tâche moble dans une vacaton : S une tâche moble est nsérée dans une vacaton : - s elle est aoutée à une vacaton contenant des tâches fxes elle sera fxée - s elle est aoutée à un vacaton vde elle sera placée telle qu elle - s elle est aoutée à une vacaton ne contenant que des tâches mobles elle sera placée en début ou en fn de la vacaton. Une tâche moble est fxée s l on mpose son heure de début et de fn. Nous avons chos de fxer une tâche moble de manère à ce que son centre coïncde avec le centre de l ntervalle d exécutons possbles Remplssage de vacatons S le personnel travalle en grlle, on ne parle plus de génératon de vacatons, mas de remplssage (cf. 3.). En effet, les vacatons vdes sont fournes par les cases de la grlle de traval. La résoluton du problème de remplssage de vacatons est une adaptaton de l algorthme proposée dans Les dfférences par rapport à la génératon de vacatons sont : - la lste de patrons de vacatons n exste plus - la lste des vacatons n est plus vde au départ, car elle content toutes les vacatons vdes à remplr avec des tâches. Dans ce contexte, la boucle sur la lste des patrons de vacatons devent la suvante: Pour Patron_Courant parcourt (Lste_patrons_vacaton) décrte dans la procedure Gen_Trate_tâches_fxes s effectue mantenant sur la lste des vacatons et la boucle du début de la procédure sur la lste des vacatons : Pour Vacaton_Courante parcourt (Lste_vacatons) est enlevée. Tr de la lste des vacatons On peut noter que dans le cas du remplssage, le nombre de vacatons à remplr est fxé a pror. L obectf du problème est alors d obtenr des vacatons de bonne qualté. C est pourquo la lste des vacatons est trée lors du processus de remplssage. N oublons pas que la lste content des vacatons vdes et des vacatons partellement remples. Les vacatons partellement remples sont trées faclement, suvant leur taux de remplssage/ équlbre, mas les vacatons vdes ont toutes ce taux égal à zéro. Elles sont placées en début de lste, dans l ordre crossant de leur heure de début. S pluseurs vacatons commencent à la même heure, la lste est ordonnée en sélectonnant une de chaque type, afn de favorser toutes les vacatons et non pas seulement les vacatons qu commencent le plus tôt. Pour plus de clarté, prenons une exemple : sot un ensemble de sept vacatons V V 7 dont les tros premères commencent à 9h00, la quatrème à 0h47, la cnquème et la sxème à h6 et la septème à 2h23. L ordre fnal de ces vacatons dans la lste est la suvante : V (9h00), V 4 (0h47), V 5 (h6), V 7 (2h23), V 2 (9h00), V 6 (h6), V 3 (9h00). 3.6 Résultats obtenus L algorthme développé pour la génératon des vacatons a été mplémenté en C++ et testé sur un processeur Intel Celeron (930 MHz, 248 Mo de RAM). Il a été testé sur un problème réel de talle moyenne : 450 tâches étalées sur une semane et correspondant à deux qualfcatons. Les temps de réponse obtenus (de 2 à 5 secondes) ont été consdérés comme 45

53 CHAPITRE 3 Créaton de vacatons pour le personnel au sol très satsfasants. En même temps, les paramètres de qualté ont prouvé leur mportance en ce qu concerne l optmsaton de l algorthme. Les résultats sont llustrés dans le Table. Pour le cas du remplssage des vacatons, l adaptaton de l algorthme de créaton de vacatons présentée dans 3.5. a été auss mplémentée et testée pour des données sur une semane : 226 vacatons et 455 tâches correspondant à 2 qualfcatons. Les résultats sont présentés dans la Table 3.. Algorthme «rapde» Charge équlbrée entre vacatons Vacatons de «qualté» Créaton des vacatons Remplssage des vacatons Temps [secondes] Vacatons crées Temps [secondes] Tâches affectées Vacatons restées vdes Table 3.. Créaton et remplssage des vacatons résultats. Dans le cas de la créaton des vacatons, cette dégradaton reste lmtée: comme on peut le vor dans le Table, s l on préfère un algorthme rapde, sans tenr compte de la qualté des vacatons «remples», le résultat est obtenu dans 2 secondes. S l on est ntéressé par l équlbrage de la charge entre vacatons ou par la qualté des vacatons, le temps de réponse est de 4, respectvement de 5 secondes. Dans le cas du remplssage des vacatons, un résultat sans améloratons est obtenu en quelques secondes et un résultat «de qualté» est fourn en plus d une mnute. Cela s explque par la dmenson de la lste des vacatons et par le fat que l améloraton du résultat est basée sur le réordonnancement de cette lste. Dans le cas de la génératon, la lste est vde au début. Elle est remple au fur et à mesure que les vacatons sont créées. Naturellement, le tratement d une lste vde ou de pette talle prend mons de temps que celu d une lste de grande talle, comme dans le cas du remplssage des vacatons où toutes les vacatons sont données dès le début. S la premère applcaton groupe toutes les tâches dans des vacatons, les résultats de la Table 3. montrent qu envron 80 tâches n ont pas été affectées lors du remplssage des vacatons. Ce sont des tâches dont l horare ne correspond pas à l horare des grlles (donc à l horare des vacatons). En pratque, elles pourront être effectuées par des employés qu travallent hors grlle. 3.7 Conclusons Dans ce chaptre, nous avons présenté le problème de créaton de vacatons. Selon les contrats des agents, on dstngue deux types de problèmes. Le premer type est celu de la créaton de vacatons par regroupement de tâches. Le deuxème est propre aux envronnements où l actvté des agents est programmée selon des grlles de traval ; les vacatons vdes exstent déà sous la forme des cases de grlles de traval - on parle donc d un problème de remplssage de vacatons. L approche de modélsaton que nous proposons repose sur le concept de plage horare. Ce concept permet une représentaton générque des tâches et des vacatons et une geston logque des relatons temporelles par l'ntermédare d'une algèbre d'ntervalles. Le problème a été formulé comme un problème du type «bn-packng», avec des contrantes addtonnelles. 46

54 CHAPITRE 3 Créaton de vacatons pour le personnel au sol Il a été résolu par une approche heurstque qu combne le FFD avec une procédure smplfée de génératon de colonnes. Après quelques modfcatons, le modèle proposé a pu être auss utlsé avec succès pour la résoluton de problèmes de remplssage de vacatons prédéfnes. 47

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56 CHAPITRE 4 Créaton de plannngs pour le personnel navgant Chaptre 4 Créaton de rotatons pour le personnel navgant d une compagne aérenne 4. Introducton La constructon de plannngs pour le personnel navgant de compagnes aérennes est un problème dffcle, d une part à cause de sa grande talle et d autre part à cause de la complexté de la réglementaton du traval à prendre en compte. La plupart des compagnes aérennes construsent des plannngs en deux étapes consdérées comme ndépendantes : durant la premère étape, appelée créaton de rotatons, un ensemble de rotatons est construt à partr d une lste de vols. Ce problème est connu sous le nom anglas de Crew Parng. La deuxème étape est celle d affectaton de rotatons (Crew Rosterng en anglas). Elle construt des plannngs pour tous les navgants, en leur affectant des rotatons, des ours de réserves et de repos règlementare et en tenant compte des actvtés pré-affectées. Ce chaptre présente la créaton de rotatons, le problème d affectaton étant traté dans le chaptre 5. La créaton de rotatons est un problème complexe, car, d un côté, la réglementaton à laquelle les rotatons sont soumses trate beaucoup de cas partculers et, d un autre côté, la combnatore du problème est exponentelle. Nous avons vu dans le chaptre que les travaux dédés à la créaton de rotatons résolvent le problème en deux étapes. Une premère étape, la constructon de pérodes de servce, groupe les vols dans des ournées de traval (ou pérodes de servce). La deuxème étape enchaîne les ournées de traval, de manère à créer des rotatons. Nous commençons le chaptre par l ntroducton de quelques notons de base. Ensute, nous allons décrre quelques méthodes proposées dans la lttérature pour la constructon de rotatons. Nous résolvons le problème de constructon de pérodes de servce par une méthode de programmaton lnéare en varables mxtes. L orgnalté de cette méthode est qu elle peut prendre en compte les dfférents types des pérodes de servces. Pour le groupement des pérodes de servces dans des rotatons, nous proposons un modèle lnéare en varables entères. 4.2 Concepts de base Pour évter d éventuelles confusons, nous allons ntrodure quelques défntons. Même s elles sont extrates du Code de l Avaton Cvle, et donc propres à la réglementaton françase, ces défntons ntrodusent des notons «standard», qu sont utlsées 49

57 CHAPITRE 4 Créaton de plannngs pour le personnel navgant habtuellement dans un contexte aéronautque, ndépendamment du pays et de la réglementaton concernée: Temps de vol C est le temps décompté depus le moment où l'aéronef commence à se déplacer en vue de gagner l'are de décollage usqu'au moment où l s'mmoblse à la fn du vol Pérode de vol C est la somme des temps de vol entre deux temps d'arrêts successfs Temps d arrêt C est le temps décompté depus le moment où l'aéronef s'mmoblse à la fn de la dernère étape usqu'au moment où l'aéronef commence à se déplacer en vue de gagner l'are de décollage pour effectuer la premère étape d'une nouvelle pérode de vol. (Une étape représente un vol.) 4.2. Rotatons Une rotaton est consttuée d un ensemble de vols, débutant à la base du navgant et le ramenant à sa base en fn de rotaton. La base d un navgant est son aéroport de rattachement. Les vols à effectuer pendant une rotaton peuvent être des vols en foncton ou des vols de mse en place. Les vols en foncton sont des vols qu un navgant effectue en tant que membre de l équpage. Les vols de mse en place sont des vols que les navgants prennent en tant que passagers. Ce sont des vols qu transfèrent les navgants entre deux aéroports pour qu ls pussent contnuer leur rotaton ou qu les ramènent à la base en fn de rotaton. Ces vols peuvent être effectués par la compagne même ou ben par d autres compagnes. En général, les vols hors-compagne ne sont choss que dans les cas où la compagne n assure pas certanes lasons entre dfférents aéroports. Pérodes de servce. Une rotaton pouvant couvrr un ou pluseurs ours, les vols qu elle content sont groupés dans des ournées de traval, appelées pérodes de servce («duty perods» en anglas). Chaque pérode de servce (PdS) commence avec un déla de convocaton où brefng et fnt avec un débrefng. Les durées du brefng et du débrefng ont des valeurs prédéfnes et sont spécfques à chaque compagne. A la fn de chaque PdS l y a oblgatorement une pérode de repos, proportonnelle au temps de vol effectué durant la PdS. Dans certanes compagnes aérennes, une noton de type de PdS est ntrodute. Ans, selon l heure de début et de fn, une PdS est de our ou de nut. Une PdS est consdérée comme une PdS de nut s elle commence ou fnt dans l ntervalle [ t deb, t fn ]. Les valeurs de t deb et t fn sont spécfques à chaque compagne aérenne et sont exprmées en heure locale de l aéroport de départ/ arrvée de la PdS. Il faut noter que : - pour établr s une PdS est de nut ou de our, l heure prse en compte comme heure de début de la PdS est l heure de début du brefng et non pas l heure du début du premer vol. De la même manère, l heure de fn de la PdS est spécfée par l heure de fn du débrefng. Donc, pour une PdS dont le premer vol commence à h, le derner vol fnt à h, le durée du brefng est premer deb derner fn D bref et la durée du débrefng de D débref la procédure pour établr le type de la PdS est la suvante : Procedure Calcul_type_PdS type_pds = PdS_de_our //par défaut, toutes les PdS sont des PdS de our 50

58 CHAPITRE 4 Créaton de plannngs pour le personnel navgant h h PdS deb PdS fn = h = h premer deb derner fn D D bref débref h t ) PdS PdS S ( hdeb t deb ou deb fn type_pds = PdS_de_nut Fn S S( PdS PdS h fn tdeb ou fn t fn h ) type_pds = PdS_de_nut Fn S - t deb et t fn étant exprmés en heure locale de chaque aéroport, l horare de chaque vol dot être auss en heure locale de l aéroport de départ/ arrvée. Le type d une PdS est assez mportant, car l a des nfluences sur la durée et les lmtes de temps de vol de la PdS. En général, une PdS de nut est plus courte qu une PdS de our et demande un repos réglementare d une plus longue durée. Les PdS sont soumses à des contrantes réglementares concernant la durée maxmum, la pérode de vol maxmum, la durée du repos réglementare. Ces règles sont étables par le gouvernement de chaque pays et donnent le cadre général d applcaton. Ensute, les conventons cvles de chaque compagne, complémentares à la lo, peuvent alléger ou renforcer certanes contrantes. Equpage. Chaque rotaton a une confguraton d équpage qu précse le nombre de navgants de chaque qualfcaton dont la rotaton a beson. La confguraton d un équpage est défne pour chaque vol et dépend du type et du secteur de l avon qu effectue le vol. Dans un cas déal, les vols d une rotaton ont tous la même confguraton d équpage, donc l équpage est le même durant toute la rotaton. En pratque, cela ne se produt pas tout le temps, car les rotatons peuvent contenr des vols appartenant à pluseurs secteur avon, donc avec des confguratons d équpage dfférentes. Toutefos, un équpage en confguraton mnmale dot couvrr toute la rotaton, une soluton alternatve (mse en place ou stand-by) étant trouvée pour les navgants en surplus sur les autres vols. Prenons un exemple smple : sor une rotaton avec 3 vols : v, v 2 et v 3. Les vols v et v 3 demandent comme équpage un plote, un coplote et 3 hôtesses. Le vol v 2 a beson d un plote, un coplote et 2 hôtesses. Durant toute la rotaton, le plote, le coplote et deux hôtesses sont en foncton. La trosème hôtesse est consdérée en foncton sur v et v 3 et en mse en place sur v 2. S à la place du vol v 2 on retrouve deux vols v 2- et v 2_2 de manère que l aéroport de départ de v 2- coïncde avec l aéroport d arrvée de v 2_2, la soluton la mons coûteuse est de lasser au sol, en stand-by, la trosème hôtesse durant ces deux vols. Identfcateur. A chaque rotaton on attrbue une sorte d étquette, appelée dentfcateur, qu donne des nformatons sur les vols contenus. Cette étquette n est pas unque. S pluseurs rotatons contennent les mêmes vols, elles auront le même dentfcateur. Cec arrve dans le cas des vols répéttfs. Soent deux vols répéttfs v et v 2. Le vol v est effectué chaque lund durant le mos courant ( v - premer lund du mos, v 2 - deuxème lund du mons, ) et v 2 chaque mard ( v 2 - premer mard du mos, v 22 - deuxème mard du mos, ). Deux rotatons R = { v,v2 } et R 2 = { v2,v22} auront le même dentfcateur. 5

59 CHAPITRE 4 Créaton de plannngs pour le personnel navgant Actvtés hors-vol Un navgant effectue auss des actvtés au sol, appelées actvtés hors-vol. Un type mportant d actvté hors-vol est consttué par les réserves. Une réserve représente une ournée de traval pendant laquelle le navgant n effectue pas de vol, en restant toutefos dsponble pour remplacer un autre navgant, s ce derner se trouve dans l mpossblté d effectuer un vol qu lu a été affecté. Les ours de réserves attrbués à un navgant pendant un mos peuvent être étalés sur tout le mos ou groupés sur pluseurs ours consécutfs, dans ce que l on appelle un block-réserve. La manère dont on affecte les réserves est soumse à des contrantes réglementares et est la même pour tous les navgants. Dans tous les cas, un certan équlbrage entre les ours de réserves accordés aux navgants s mpose, car rester bloqué au sol pendant un ou pluseurs ours n est une actvté n agréable n valorsante. Parm les actvtés hors-vol, on peut mentonner auss les pérodes de formaton et d entraînement, les actvtés admnstratves, les vstes médcales pérodques. Généralement, ces dernères actvtés sont programmées à des échéances fxes et aoutées automatquement au plannng de chaque navgant. Elles ne font l obet de ce chaptre que dans une pette mesure car, par la sute, nous allons les appeler et les consdérer comme des actvtés préaffectées Personnel Le personnel navgant d une compagne aérenne est dvsé en deux catégores : le personnel navgant technque (plotes et coplotes) et le personnel navgant commercal (chef de cabne et hôtesses/stewards). Les qualfcatons de chaque catégore sont hérarchsées : un navgant ayant une qualfcaton supéreure est autorsé à effectuer le traval d un navgant mons qualfé (un plote peut effectuer un vol en tant que coplote et un chef de cabne peut voler comme hôtesse ou stewart). Le seul fat d être plote ou hôtesse ne sufft pas pour pouvor effectuer un vol, car la flotte est souvent composée de dfférents types (ou secteurs) d avon et chaque secteur demande des qualfcatons spécfques. S, généralement, un navgant qualfé pour un apparel d un secteur donné est qualfé pour tous les apparels appartenant au même secteur, l n est pas oblgatorement qualfé pour un autre secteur. En résumé, être qualfé pour un vol sgnfe avor la qualfcaton requse par le vol à effectuer sur le secteur d avon concerné. Selon leur ancenneté sur dfférents secteurs d avon, les navgants peuvent être unors ou senors. L ancenneté est calculée en foncton du nombre d heures de vol effectuées sur ce secteur d avon, donc, en foncton de l expérence ; un navgant peut être senor sur un secteur et unor sur un autre. L ancenneté des navgants est très mportante pour la consttuton d un équpage, pour que les mons expérmentés (les unors) soent touours accompagnés par les plus expérmentés (les senors). 4.3 Modélsaton et résoluton du problème Le problème de créaton de rotatons consste à construre un ensemble de rotatons qu couvre toutes les vols de la compagne sur un horzon temporel donné - en général un mos calendare. La caractérstque de base des rotatons est qu elles dovent être fasables par rapport à la réglementaton du traval et aux conventons cvles. L obectf prncpal du problème de créaton de rotatons est de générer des rotatons qu couvrent de la melleure façon tous les vols de la compagne. La qualté des rotatons est ugée 52

60 CHAPITRE 4 Créaton de plannngs pour le personnel navgant le plus souvent selon le nombre des rotatons créées, mas l y a auss d autres crtères comme la durée totale des rotatons, le nombre de vols de mse en place utlsées, la rétrbuton payée par la compagne aux navgants qu effectuent ces rotatons, Une compagne aérenne peut avor pluseurs bases, donc les vols à couvrr et les rotatons à créer sont partagées entre ces bases Contrantes réglementares Les contrantes à respecter lors de la créaton de rotatons sont nombreuses et spécfques à chaque pays et chaque compagne aérenne. Toutefos, l y a des contrantes qu se retrouvent partout, comme celles concernant les lmtatons sur le temps de vol et de traval ou les repos. Sans perdre de généralté, nous allons en présenter quelques-unes : (5) Condton sur le temps de vol : au sen d une PdS, le temps de vol ne dot pas dépasser une certane lmte supéreure. Toutefos, l y a des cas spécaux où des PdS dépassent cette lmte. Ces PdS ont beson de l autorsaton du Mnstère du Transport pour être effectuées et s appellent «pérodes de servce dérogatores». (6) Condton sur la durée d une PdS : la durée d une PdS ne dot pas dépasser une certane lmte supéreure. (7) Condton de repos : après chaque PdS, une pérode de repos dot être accordée. La durée du repos dépend de la durée et du temps de vol de la PdS assocée. Parfos, une nouvelle PdS peut commencer avant la fn réglementare du repos. Dans ce cas, la durée du repos qu n a pas été effectuée sera cumulée à la durée du repos correspondant à la nouvelle PdS. (8) Condton sur le temps d escale : le temps d escale entre deux vols consécutfs dot être supéreur à une certane lmte nféreure. La valeur de cette lmte est calculée en foncton des durées des opératons comme le débarquement et l embarquement des passagers, le temps nécessare au nettoyage et/ ou à l almentaton en carburant,... Naturellement, elle dépend du type d avon Méthodes de résoluton dans la lttérature La lttérature consacrée au problème de créaton de rotatons est très rche et la grande maorté des méthodes de résoluton proposées modélsent le problème comme un problème de recouvrement d ensemble. Une formulaton non lnéare de ce problème est présentée cdessous : Mn (4.) Sous e, =... m (4.2) x où : m = nombre de vols à grouper dans des rotatons n = nombre de rotatons générées c = coût de la rotaton. Le coût d une rotaton peut être calculé en foncton de sa durée et du temps de vol, mas peut représenter auss le coût payé par la compagne pour que la rotaton sot effectuée. S l on souhate seulement mnmser le nombre de rotatons générées, sans tenr compte des coûts, l sufft de mettre c = dans (4.). x = varable bnare qu vaut s la rotaton fat parte de la soluton et 0 snon e = varable bnare qu vaut s le vol est couvert par la rotaton et 0 snon 53

61 CHAPITRE 4 Créaton de plannngs pour le personnel navgant Il faut noter que ce modèle prend en compte les possbles vols de mse en place au sen de la compagne, car (4.2) permet qu un vol se retrouve en même temps dans pluseurs rotatons. Dans une rotaton l sera consdéré comme vol en foncton, dans les autres comme vol de mse en place. S le problème est formulé comme un problème de parttonnement d ensemble (donc (4.2) devent égalté), la possblté d ntégrer des vols de mse en place est exclue. Le problème formulé ans ((4.)-(4.2)) est résolu généralement en deux étapes : a. génératon d une soluton ntale b. améloraton de la soluton Lors de la premère étape, un ensemble de rotatons fasables est généré. Ayant ans fxé les valeurs des paramètres e défnssant les rotatons canddates, une soluton courante est calculée en résolvant le problème lnéarsé de recouvrement d ensemble: Mn J Sous c (4. ) x x : I (4.2 ) où : J : ensemble des rotatons générées I : ensemble des vols à grouper dans des rotatons c : coût de la rotaton. x : varable bnare qu vaut s la rotaton fat parte de la soluton et 0 snon. Chaque colonne a un élément 0 sur la lgne s le vol fat parte de la rotaton et 0 snon. Pendant la deuxème étape, de nouvelles rotatons susceptbles d amélorer la soluton ntale sont construtes et raoutées au modèle lnéare (4. )-(4.2 ). Une nouvelle soluton est calculée. Le processus se répète usqu à ce que l améloraton de la soluton devenne néglgeable. Une des méthodes les plus utlsées pour la constructon de nouvelles rotatons (4.)- (4.2) est la génératon de colonnes. Chaque colonne générée correspond à une rotaton canddate. Comme les contrantes réglementares concernant les PdS sont assez complexes, les rotatons ne sont pas construtes drectement à partr des vols ; l y a une étape ntermédare : la constructon de PdS. Les rotatons sont ensute générées à partr de ces PdS. L approche de Rubn Rubn [Rubn, 73] propose un modèle de parttonnement d ensemble pour créer des rotatons. En aoutant des lmtes sur le temps de vol dsponble par base, le modèle prend en compte l aspect mult-base : H L k h x H (4.3) k U k 54

62 CHAPITRE 4 Créaton de plannngs pour le personnel navgant L H k U H k et représentent les lmtes nféreure et supéreure d heures de vol par personne et par mos dsponbles pour la base k. Ces lmtes sont calculées en foncton du temps de vol réglementare qu peut être effectué par un navgant. h quantfe le nombre d heures de vols par personne générées par la rotaton pour la base k. k S la rotaton ne part pas de k, h = 0. k Même s (4.2) exclut les vols de mse en place, l y a toutefos la possblté d en prendre en compte quelques uns, en raoutant des lgnes supplémentares à la matrce (e ). Ces lgnes sont prses en compte seulement dans le calcul des coûts des rotatons qu les couvrent, mas ne sont pas prses en compte par le problème de parttonnement. L avantage de cette modélsaton est qu elle ntègre les deux catégores de vols de mse en place : compagne et hors compagne. L améloraton de la soluton ntale S (qu est connue dès le début) est obtenue en résolvant pluseurs sous-problèmes de parttonnement d ensemble de talle rédute : pour un ensemble de rotatons T S qu couvre un ensemble de vols, toutes les rotatons fasables qu peuvent couvrr ces vols sont générées. S l exste un ensemble T avec un coût melleur que celu de T, T est remplacé par T. L approche de Cranc et Rousseau [Cranc & Rousseau, 87] proposent une méthode de constructon de rotatons en deux étapes. La premère étape génère des PdS à partr de la lste des vols. La génératon des PdS est un smple processus d enchaînement de vols ; toutefos, l on cherche à générer des PdS de bonne qualté, en nterdsant la constructon de certanes PdS. Une fos créées, les PdS ne sont plus retouchées. La deuxème étape construt, à l ade d un processus tératf, des rotatons à partr des PdS. :. Un ensemble R de rotatons de bonne qualté, contenant une seule PdS est construt. Pour les PdS qu ne se retrouvent pas dans ces rotatons, des rotatons supplémentares sont générées, même s elles sont de mauvase qualté. Un compteur s est créé et ntalsé à 2. Ce compteur donne des nformatons sur le nombre de PdS que les nouvelles rotatons dovent contenr. 2. Le problème contnu de recouvrement d ensemble est résolu pour les rotatons de R. 3. R est généré, ensemble de rotatons à maxmum s PdS, qu pourraent amélorer la soluton. 4. S R 0, alors R R R' et on revent au pas 2. Snon, on augmente la valeur de s d une unté et on revent au pas. L algorthme s arrête s la valeur du compteur dépasse une certan seul S. La valeur de S est chose en foncton des lmtes que la plupart des compagnes aérennes mposent pour la durée maxmale des rotatons. Une fos toutes les rotatons générées, la soluton entère est obtenue avec l heurstque de Salkn [Salkn 75]. L approche de Lavoe, Mnoux et Oder Les auteurs [Lavoe et al. 88] modélsent le problème de constructon de rotatons en tant que problème de recouvrement d ensemble avec beaucoup de colonnes, chaque colonne représentant une rotaton valde. On part d une soluton ntale qu est amélorée par une méthode de génératon de colonnes. Le modèle construt des rotatons pour une seule base. 55

63 CHAPITRE 4 Créaton de plannngs pour le personnel navgant L algorthme construt en premer les PdS et ensute des rotatons. Le nombre de vols dans une PdS étant lmté, l énumératon de toutes les PdS est possble. Une fos créées, les PdS ne sont plus modfables. Une soluton ntale est obtenue en résolvant le problème restrent à l ade de technques de coupe. Cette soluton fournt un ensemble de rotatons de bonne qualté. L algorthme générateur utlsé pour trouver une nouvelle colonne de coût rédut négatf est équvalent à un problème de plus court chemn dans un graphe où les nœuds sont des PdS et les arêtes des enchaînements valdes entre deux PdS consécutves. Ce problème est résolu à l ade de l algorthme de Dkstra. Comme l algorthme générateur est assez coûteux, à chaque appel tous les plus courts chemns de coût négatf sont gardés. Généralement, l algorthme fournt drectement la soluton entère, même s l résout la relaxaton contnue du problème. En cas contrare, des méthodes comme Branch&Bound ou des méthodes de coupe sont utlsées Modélsaton proposée Comme nous l avons vu dans 4.3., les contrantes à prendre en compte lors de la constructon de rotatons, vsent plus les PdS que les rotatons : s les PdS d une rotaton et les repos correspondants sont légales, la rotaton est légale auss. C est pour cette rason que nous avons décdé de garder le schéma tradtonnel du problème de créaton de rotatons : génératon des PdS, ensute constructon de rotatons par groupement de PdS Constructon des PdS Même s la lttérature dédée au problème de créaton de rotatons est très rche, à notre connassance, peu d attenton à été accordée à l étape de constructon des PdS. Des travaux mnuteux ont été effectués sur la constructon de rotatons à partr d une lste de PdS, mas tous ces travaux lassent de côte les algorthmes de génératon des PdS ou tratent ce problème d une manère smplste. Etant donné le grand nombre de contrantes réglementares et leur mpact beaucoup plus mportant sur les PdS que sur les rotatons, nous proposons une méthode de créaton de rotatons qu sut le schéma classque en deux étapes créaton de PdS et ensute constructon de rotatons à partr des PdS mas qu met l accent sur la premère étape et non pas sur la deuxème. L orgnalté de cette méthode résde dans le fat qu elle prend en compte l nfluence que les vols ont sur les PdS, en modfant leur type de our ou de nut. A partr de la lste des vols à couvrr sur une pérode de temps donnée, nous proposons de les grouper entèrement dans des PdS. On connaît le nombre des vols, le nombre maxmum de PdS qu peuvent être créées (dans le pre des cas une PdS pour chaque vol) et le nombre maxmum de vols qu peuvent être nclus dans une PdS. Pour chaque vol, on connaît l heure de départ et d arrvée, la durée du vol, les aéroports de départ et d arrvée. On connaît auss la durée maxmum d une PdS de our et de nut, le temps de vol maxmum comprs dans une PdS, la durée du brefng et du débrefng. Nous proposons une formalsaton du problème de constructon des PdS sous forme d un programme lnéare en varables mxtes. Nous ntrodusons d abord les ndces et paramètres suvants : : numéro de vol, =..I, où I est le nombre de vols à grouper dans des PdS : numéro de PdS, =..J, ou J est le nombre de PdS construtes k : rang d un vol au sen d une PdS, k=..k, où K est le nombre maxmum des vols dans une PdS 56

64 CHAPITRE 4 Créaton de plannngs pour le personnel navgant h d : heure de départ du vol h a : heure d arrvée du vol d : durée du vol. Il faut noter que d ha hd.comme une PdS de nut est détermnée par rapport à l heure locale de l aéroport de départ/ arrvée de son premer/ derner vol, l horare de chaque vol est donné en heure locale de l aéroport de départ/ arrvée. a : aéroport de départ du vol d a a : aéroport d arrvée du vol n d : donnée bnare qu vaut s premer vol de cette PdS n : donnée bnare qu vaut s f derner vol de cette PdS T max : durée maxmum de vol dans une PdS vol peut détermner une PdS de nut en tant que vol peut détermner une PdS de nut en tant que DJ max : durée maxmum d une PdS de our (sans compter le brefng et le débrefng) DN max : durée maxmum d une PdS de nut (sans compter le brefng et le débrefng) Df = DJ max - DN max (dfférence de durée entre un PdS de our et une PdS de nut) D bref = durée du brefng D débref = durée du débrefng B = la base (Le problème prend en compte une seule base.) Nous ntrodusons les varables suvantes : x k : varable bnare qu vaut s le vol se trouve dans la PdS en poston k ; 0 snon. escale k : varable contnue qu donne la durée de l escale comprse entre le vol en poston k ( k =... K ) et le vol en poston k+ de la PdS. Cette escale exste seulement s l y a un vol sur la poston k+. escale k I = I k + hd xk ha ) * = I = ( x x (4.4) escale k = I = x = k + I I k + hd * xk + xk ha * = = () (2) k = esc k esc k escale La forme de cette équaton sort du cadre de la programmaton lnéare, car c est une soustracton de deux produts entre une varable contnue (le premer facteur de chaque I = x k + 57

65 CHAPITRE 4 Créaton de plannngs pour le personnel navgant produt) et une varable bnare I = x k +. Selon [Bès et al. 02]3, chacun de ces deux produts peut être remplacé de la manère suvante : () esc 0 (4.5) esc esc esc k I () k MAX x k + = () k () k I * (4.6) xk + hd (4.7) = I I MAX *( x ) x h (4.8) = k + + = k + d (2) esc 0 (4.5 ) esc esc esc I = I = k I (2) k MAX x k + = (2) k (2) k x I * (4.6 ) xk ha (4.7 ) = I I MAX *( x ) x h (4.8 ) k + { 0,} = k + + = k a x (4.9) k + hd MAX (4.0) I = x k h a MAX (4.0 ) MAX fournt la valeur maxmale que h d et ha peuvent prendre. Comme les deux paramètres représentent des heures, MAX = 24 heures. z : durée de la PS, sans compter le brefng et le débrefng. Elle est calculée comme somme des durées des vols contenus à laquelle on raoute la somme des escales : 3 Un produt d une varable bnare b avec une varable contnue x peut être remplacée par l aout d une varable (contnue) p et de 4 contrantes d négalté lnéares. S m > 0, alors : (,, ) 0 ( x, b, p) x b p p = b * x b { 0,} x [ 0, m] p p m * b p x p m * ( b ) + x b { 0,} x [0, m] 58

66 CHAPITRE 4 Créaton de plannngs pour le personnel navgant z = snon : K I K () (2) x * d + ( esc esc ) (4.) k k k k= = k = X k : varable contnue qu vaut s l y a un vol sur la poston k de la X k = x k I = PS ; 0 (4.2) k n f : varable contnue qu vaut s l y a un vol en poston k dans la PdS et s ce vol peut détermner une PdS de nut; 0 snon : n k f f = I = n f * x (4.3) k n : varable contnue qu vaut s le derner vol de la PdS transforme la PdS dans une PdS de nut ; 0 snon K k= K k n f = n f + n f * ( X k + ) (4.4) K Encore une fos le produt k n f *( X k + ) sort du cadre de la programmaton k= lnéare. En utlsant la transformaton de Fortet 4 [Fortet 60], l est remplacé par une varable contnue p (k = K-), de manère que : k k p n ( X ) (4.5) k = f * k + p 0 (4.6) k k p k n f (4.7) p X (4.8) k k + k p n X (4.9) k f k + { 0,} { 0,} n (4.20) k f X (4.2) k + A ce moment, on peut écrre : K + k = K n = n p (4.22) f f k 4 Un produt de deux varables bnares b et b 2 peut être remplacée par l aout d une varable (contnue) p et de 4 contrantes d négalté lnéares: ( b, b 2, p) p = b * b b b 2 2 { 0,} { 0,} ( b, b 2, p) p b b, b p 0 p b p b 2 + b 2 2 { 0,} 59

67 CHAPITRE 4 Créaton de plannngs pour le personnel navgant p : varable qu vaut s PS est une PdS de nut; 0 snon. S PS commence dans l ntervalle qu défnt la pérode de nut, alors n d x = ; s PS fnt dans l ntervalle qu défnt la pérode de nut, alors I = n d x f I = n =. On peut dédure la valeur de et de n f. Le tableau suvant montre les valeurs possbles de foncton des valeurs de n d x et de n f : I = p en foncton de p, calculées en p I = n f n d x On peut écrre : I = I p = ( n d x = p = I = Tableau 4. Calcul des valeurs possbles de ou n f ) (- p ) = (- n d x )*(- n f ) I = I = nd x + n f n f * nd x (4.23) En utlsant la même procédure que pour les produts k a I = k + p I = k + d ) * I ( x h x et ( x h ) * x, on ntrodut Pr ( = J) varable contnue, de manère que : I Pr = n * n x (4.24) f = d Pr 0 (4.25) I Pr n x (4.26) = n f d Pr (4.27) Pr I = [ 0,] n x + d = k + n f (4.28) n (4.29) f I = Ans, p d x { 0,} n (4.30) p peut être écrt sous la forme suvante : I = = n d x + n f Pr (4.3) 60

68 CHAPITRE 4 Créaton de plannngs pour le personnel navgant Les contrantes du problème s exprment par les équatons suvantes : K I k= = z x k d T max =...J (4.32) DJ p Df =... J (4.33) max * J K x k = k = I = I = =... I (4.34) x =... J; k =... K (4.35) k x k x k + = = k + x k + I x s ( ad aa ou a = a B ou h < h a ) =... J; k =... K (4.36) d, =... I,, =... J, k =... K (4.37) =... I; =... J, k = 2... (4.38) x = 0 s a = d B K k Les deux premères contrantes assurent la légalté du temps de vol (4.32) et de la durée (4.33) d une PdS. La contrante prend en compte le type de PdS (de nut s p = et de our s p = 0 ), car la durée réglementare vare en foncton de celle-c. La contrante (4.34) mpose le fat que chaque vol sot couvert une seule fos, ce qu est équvalent au fat que les vols de mse en place compagne ne sont pas acceptés. Dans le cas où l on souhate ntégrer dans le modèle la prse en compte des vols de mse en place, l équaton (4.34) peut être remplacée par les contrantes suvantes : J K x k = k = J K et x k mep = k = où mep représente le nombre maxmum de fos qu un vol peut être couvert : une fos en tant que vol en foncton, mep- fos en tant que vol de mse en place. La contrante (4.35) garantt l exstence d au maxmum un vol sur chaque poston à l ntéreur d une rotaton. La contrante (4.36) assure le fat qu l n y a pas de trou à l ntéreur d une PdS. Une PdS peut contenr k < K vols. Dans ce cas, on veut que les k vols se trouvent sur les k premères postons de la PdS. Les contrantes (4.37) et (4.38) tratent l enchaînement des vols au sen d une PdS : un vol v peut suvre un vol v s l aéroport de départ du v coïncde avec l aéroport d arrvée du v et s l heure de départ du v est supéreure à l heure d arrvée du v. En même temps, les vols avec départ/ arrvée base sont nterdts à l ntéreur d une PdS (sauf en premère/ dernère poston). Les solutons recherchées dovent respecter les contrantes (4.32) (4.38) et mnmser le temps hors vol (brefng, débrefng, escales) de chaque PdS. J Mnmser : X * ( Dbref + Ddébref ) + = K () (2) ( esc k esc k )] k= [ (4.39) 6

69 CHAPITRE 4 Créaton de plannngs pour le personnel navgant S, en même temps, l on désre la mnmsaton du nombre de PdS construtes, le crtère peut être modfé ans : Mnmser : J = [ X K () (2) * ( Dbref + Ddébref ) + ( esc k esc k )] k= (4.40) Constructon de rotatons à partr des PdS A la fn de l étape de constructon de PdS, la seule caractérstque de chaque PdS créée est la lste des vols correspondants; le brefng, le débrefng et le repos réglementare de fn de PdS ne sont pas calculés explctement. Le brefng et le débrefng peuvent être calculés faclement, car leurs durées sont prédéfnes. La durée du repos dépend parfos de la rotaton qu la content, selon les règles de constructon utlsées. Il y a deux modaltés d enchaînement de PdS : une qu permet un pseudo chevauchement entre deux PdS consécutves et une autre qu nterdt le chevauchement. Dans le premer cas, une PdS a le drot de chevaucher la pérode du repos réglementare appartenant à la PdS d avant. Dans ce cas, son propre repos est prolongé avec la durée du repos d avant qu n a pas été effectuée. Nous utlsons la méthode qu nterdt les chevauchements. Dans ce cas, le repos d une PdS est calculé une seule fos et l ne sera pas modfé. Afn de smplfer l étape de constructon de rotatons, les durées correspondantes du brefng, du débrefng et du repos sont calculées avant et collées à la PdS. Ans, chaque PdS sera caractérsée par : - l heure de début, qu coïncde avec l heure du début du brefng - l heure de fn, qu coïncde avec l heure de fn du repos réglementare - l aéroport de départ du premer vol - l aéroport d arrvée du derner vol La Fgure 4. présente l évoluton du profl d une PdS entre la fn de l étape de créaton de PdS et le début de l étape de constructon de rotatons. + J = X a) 2 vols 2 escales b) brefng 4 débrefng 5 repos réglementare c) Début PdS Fn PdS Fgure 4. Profl d une PdS a) ssus de l étape de créaton de PdS ; b) après le calcul du brefng, du débrefng et du repos ; c) au début de l étape de constructon de rotatons 62

70 CHAPITRE 4 Créaton de plannngs pour le personnel navgant Le problème de constructons de rotatons a été modélsé comme un programme lnéare en varables entères. Le modèle peut être vu comme une verson smplfée du problème de créaton de PdS, car : - les règles concernant l enchaînement des vols dans une PdS restent pour la constructon de rotatons. Dans une PdS, un vol peut suvre un autre seulement s son aéroport de départ coïncde avec l aéroport d arrvée du vol d avant et s les deux vols ne chevauchent pas. De la même manère, deux PdS peuvent être enchaînées s l y a une PdS qu commence après la fn de l autre et à l aéroport de fn de l autre. - Toute la réglementaton concernant les lmtes légales du temps de vol, du temps de traval ou le type d une PdS n est plus prse en compte, vu que les PdS la respectent déà. Ans, la constructon de rotatons peut être modélsée comme un programme lnéare en nombre enters. On ntrodut les paramètres suvants : : numéro de PdS, =..I, où I est le nombre des PdS à grouper dans des rotatons : numéro de rotaton, =..J, ou J est le nombre des rotatons construtes k : rang d une PdS au sen d une rotaton, k=..k, où K est le nombre maxmum de PdS dans une rotaton. Comme une PdS peut être assmlée à une ournée de traval, le nombre de ours consécutfs de traval étant lmté par la lo, la valeur de K peut être chose en foncton de cette lmte. On connaît : h d : heure de début de la PdS h f : heure de fn de la PdS a d : aéroport de départ du premer sol de la PdS a f : aéroport d arrvée du derner vol de la PdS Les contrantes à respecter : J K x k = k = I x k = I K (,..., I) (4.4) (,... J ), k (,..., K) (4.42) x k y = k = x k + x k + s I = K * (,... J ) (4.43) a a et d f h < h d f, (,..., I ), (,... J ), k (,... K ) (4.44) I + k (,.., I ), k (,.. K ) = x k x (4.45) x = 0 s a d B (,..., I), (,... J ) (4.46) x x k I = k + s B a f (,..., I ), (,... J ), k (2,... K ) (4.47) 63

71 CHAPITRE 4 Créaton de plannngs pour le personnel navgant x k est une varable bnare qu vaut s la PdS est en poston k dans la rotaton ; 0 snon.. y est une varable bnare qu vaut s la rotaton a été créée et 0 snon. La contrante (4.4) assure que chaque PdS sot affectée au plus une seule fos. Récproquement, la contrante (4.42) mpose que chaque rotaton at au maxmum une PdS sur chaque poston. La contrante (4.43) garantt le nombre maxmal de PdS dans une rotaton. La contrante (4.44) vérfe les règles d enchaînement de deux PdS consécutves à l ntéreur d une rotaton. La contrante (4.45) garantt qu une rotaton avec seulement p PdS (p < K) a les PdS dans les p premères postons. Les contrantes (4.46) et (4.47) assurent le départ de la base au début de la rotaton et le retour à la base en fn de rotaton. L obectf est de mnmser le nombre de rotatons créées et le nombre de PdS non comprses dans des rotatons. La foncton obectf du modèle est la suvante : Mnmser J = J K y + ( x ) (4.48) = k = k Résultats Nous avons valdé et testé notre modèle en utlsant le logcel de programmaton lnéare Xpress-MP. Les résultats obtenus nous permettent de trouver une soluton optmale pour des problèmes réduts à quelques dzanes de vols et sur un horzon de calcul d une ournée Constructon des PdS Jusqu à mantenant, notre méthode n a été testée que sur des données expérmentales et des résultats très satsfasants ont été obtenus. Le tableau 4. présente quelques résultats : Pb. Nbr. vols Nbr.max. PdS (J) Vols par PdS (K) Contrantes Varables Eléments non zéro Temps sol.opt. [s] * * Tableau 4.. Créaton de FdP résultats expérmentaux Chaque lgne donne des nformatons sur le nombre de vols à grouper, le nombre de PdS à créer, le nombre maxmum de vols dans une PdS, le nombre de contrantes, de varables et d éléments non zéro générés par le modèle, ans que le temps de réponse pour la soluton 64

72 CHAPITRE 4 Créaton de plannngs pour le personnel navgant optmale. Dans presque tous les cas testés, la soluton optmale a été trouvée. Pour les cases avec un astérsque, le programme a été nterrompu avant d obtenr la soluton optmale. Malgré l optmalté de la soluton obtenue dans presque tous les cas, le modèle présente un nconvénent maeur : le temps de réponse augmente très vte avec la talle du problème Constructon de rotatons à partr des PdS Comme pour la créaton des PdS, le modèle proposé pour la constructon de rotatons a été testé sur des données expérmentales. Le tableau 4.2 présente quelques résultats : Pb. Nbr. PdS Nbr.max. rotatons PdS par rotaton Contrantes Varables Eléments non zéro Temps sol.opt. [s] * * Tableau 4.2. Créaton de rotatons résultats expérmentaux Chaque lgne du tableau donne des nformaton sur le nombre total de PdS, le nombre de rotatons à créer, le nombre maxmum de PdS dans une rotaton, le nombre de contrantes, de varables et d éléments non zéro générés pas le problème, ans que le temps de réponse pour la soluton optmale. Ce modèle présente les mêmes avantages et nconvénents que celu pour la constructon de PdS : la soluton optmale est obtenue très vte (quelques secondes) pour des eux de données de pette talle, mas le temps de réponse augmente très vte avec la talle du problème Post tratement des rotatons Pour certanes compagnes aérennes, le programme des vols content en grande maorté des vols répéttfs. Dans ce cas, la constructon des rotatons peut être fate manuellement, en explotant au maxmum la pérodcté des vols. Il faut noter que la lste des rotatons obtenues content beaucoup de rotatons ayant le même dentfcateur. Avec cette structure partculère de rotatons, lors de l étape d affectaton (qu sera présentée en détal dans le chaptre 5), des règles concernant l équlbrage du temps de traval et du temps de vol, des ours de réserve ou de repos entre les navgants sont plus faclement respectées. Ans, des plannngs équtables et satsfasants sont construts. L outl que nous proposons essae d utlser les connassances du planfcateur human. Son expérence lu a prouvé que certanes séquences d actvtés contenant des rotatons, des 65

73 CHAPITRE 4 Créaton de plannngs pour le personnel navgant ours de repos ou de réserve facltent le respect des règles d équlbrages. Ans, avant l étape d affectaton, nous proposons un post tratement des rotatons. Le chox de ce post tratement est lassé à l utlsateur. S l désre le groupement des rotatons dans des séquences, l fournt le profl des séquences qu l souhate construre. L utlsateur peut proposer un ou pluseurs type séquences. Un type de séquence est représenté par une lste qu donne des nformatons sur le type d actvté souhaté et l ordre d enchaînement. Une séquence dont le type a la forme suvante Type_séquence_ : ID, Réserve, Repos, ID 2, ID 3, Repos dot contenr, dans la même ordre : une rotaton ayant l dentfcateur ID, un our de réserve, un our de repos, une rotaton ayant l dentfcateur ID 2, une rotaton ayant l dentfcateur ID 3 et un our de repos. Une séquence dot être compacte : des ours sans aucune actvté ne sont pas perms à l ntéreur d une séquence. La Fgure 4.2 présente tros séquences construtes selon le type Type_séquence_. Séquence_ est une séquence valde, Séquence_2 et Séquence_3 sont des mauvases séquences, car l y a des trous à l ntéreur. Séquence_2 lasse un our non couvert entre la premère rotaton et le our de réserve. Dans Séquence_3 l y a un our sans aucune actvté entre la deuxème et la trosème rotaton. Séquence_ Séquence_2 Séquence_3 our our 2 our 3 our k our n our n+ our n+2 Rotaton avec ID Jour de réserve Jour de repos Rotaton avec ID 2 Rotaton avec ID 3 Fgure 4.2 Séquences de rotatons Pour construre des séquences possbles, nous proposons un algorthme de lstes. Afn de faclter la recherche des rotatons dans la lste, elles sont trées en ordre crossant de la date et de l heure de début. Les types de séquences sont tratés séquentellement ; pour chaque type on cherche à construre le maxmum de séquences possbles. S les rotatons se répètent chaque our, une séquence sera construte pour chaque our du mos. Constructon d une séquence. Les éléments d un type de séquence sont tratés un par un et sans changer leur ordre. S l élément courant est un our de réserve ou de repos, un our de réserve ou de repos est créé et aouté à la séquence en cours de constructon. S l élément donne l dentfcateur d une rotaton, alors la lste des rotatons est parcourue pour trouver la premère rotaton avec cet dentfcateur. Dans le cas où l élément courant n est pas le premer 66

74 CHAPITRE 4 Créaton de plannngs pour le personnel navgant élément de la séquence, quelques condtons supplémentares dovent être respectées. On dstngue tros cas dfférents, selon la nature de l élément courant : - l élément courant est un our de réserve. On cherche DateFn et HeureFn, la date et l heure de fn de la dernère actvté nsérée dans la séquence en tran de construre. On essae de construre une réserve le our DateFn. L horare d une réserve étant prédéfn, la réserve peut être construte seulement s son heure de début est supéreure à HeureFn. S ce n est pas le cas, la réserve sera construte pour le our suvant, DateFn+. - l élément courant est un our de repos. Un our de repos sera construt le our DateFn+. - l élément courant donne l dentfcateur d une rotaton. Dans la lste des rotatons, on cherche une rotaton ayant l dentfcateur demandé, qu commence le our DateFn et après HeureFn. S l n y a pas de rotaton avec ces caractérstques, une nouvelle recherche est lancée pour le our DateFn+. S la nouvelle recherche fnt par un échec, la séquence ne peut pas être construte usqu à la fn. La parte qu a été construte usqu à ce moment est détrute. Le processus essaye de construre une nouvelle séquence du même type qu commence un autre our. S la séquence a été construte avec succès, toutes les rotatons comprses sont enlevées de la lste des rotatons, car une rotaton ne peut pas être nsérée dans pluseurs séquences. Nous présentons c-dessous la procédure de constructon de séquences : Procedure Constructon_séquences Tr(Lste_rotatons) Pour Type_Séquence_Courant parcourt (Lste_Types_Séquences) Pour(chaque our du mos) Actvté_Courante =Retrer_tête(Lste_actvtés_Type_Séquence_Courant) S(Actvté_Courante = réserve) Crée (Nouvelle_séquence) Nouvelle_séquence.Commence_avec(our_de_réserve) enconstructon = VRAI Fn S S(Actvté_Courante = repos) Crée (Nouvelle_séquence) Nouvelle_séquence.Commence_avec(our_de_repos) enconstructon = VRAI Fn S S(Actvté_Courante=rotaton avec ID k ) Cherche_dans(Lste_rotatons) premère rotaton ayant ID k S(trouvé) Crée (Nouvelle_séquence) Nouvelle_séquence.Commence_avec(rotaton_trouvée) enconstructon = VRAI Fn S Fn S Tant_que (Lste_actvtés_Type_Séquence_Courant pas_vde et enconstructon) Fn_Nouvelle_séquence = Date_fn(Dernère_actvté_séquence) S(Actvté_Courante = réserve ou repos) Crée(réserve ou repos) le our (Fn_Nouvelle_séquence) S (ChevauchementAvec(Dernère_actvté_séquence)) Crée(réserve ou repos) le our (Fn_Nouvelle_séquence+) Fn S Aoute(réserve ou repos à Nouvelle_séquence) Fn S 67

75 CHAPITRE 4 Créaton de plannngs pour le personnel navgant S(Actvté_Courante=rotaton avec ID l ) Cherche_dans(Lste_rotatons) premère rotaton avec ID l qu commence le our(fn_nouvelle_séquence) S(pas_trouvée ou ChevauchementAvec(Dernère_actvté_séquence)) Cherche_dans(Lste_rotatons) premère rotaton avec ID l qu commence le our(fn_nouvelle_séquence+) Fn S S(trouvé) Aoute(rotaton_trouvée à Nouvelle_séquence) Fn S Snon // non trouvé ou chevauchement Détrut(Nouvelle_séquence) enconstructon = FAUX Fn Snon Fn S Fn Tant_que S(enConstructon)// Nouvelle_séquence construte avec succès Enlève_de(Lste_rotatons) toutes les rotaton comprses dans Nouvelle_séquence Fn S Fn Pour Fn Pour 4.4 Perspectves : constructon d algorthmes approchés Les tests effectués sur les deux modèles proposés ont fourn de très bons résultats : la soluton optmale est souvent obtenue en quelques secondes. Par contre, les deux modèles proposés fonctonnent très ben sur des eux de données de pette talle, mas leur temps de réponse augmente de façon exponentelle avec la talle du problème. Cet aspect nous mène à explorer d autres modaltés de résoluton Constructon de PdS Pour la constructon de PdS, une méthode heurstque basée sur un algorthme de lstes pourrat être envsagée. Cet algorthme repose sur le fat que le temps d escale entre deux vols vare selon que l équpage effectue le vol suvant sur le même avon ou qu l change d avon. Dans le premer cas, la durée du temps d escale dmnue. Comme l obectf du problème reste de mnmser le temps hors-vol d une PdS, cette caractérstque du temps d escale peut être explotée. Les vols sont groupés en lstes selon l avon qu les effectue (une lste pour tous les vols sur le même avon) et trés en ordre crossant de leur date et heure de départ; ensute, les lstes sont tratées séparément : Pour chaque lste, on essae de construre le maxmum de PdS entèrement comprses dans la lste. Cette technque de constructon rédut a pror la combnatore du problème. S l reste des vols non couverts, d autres PdS sont construtes par exploraton des lstes des vols Constructons de rotatons 68

76 CHAPITRE 4 Créaton de plannngs pour le personnel navgant Comme nous l avons déà mentonné, les rotatons sont soumses à mons de contrantes que les PdS et, a pror, les rotatons construtes par enchaînement de PdS légales restent légales, donc les possbltés de combner des PdS afn de construre des rotatons sont nfnes. Dans ces condtons, la premère voe à explorer pour la constructon de rotatons reste la génératon de colonnes. La combnason d un algorthme du type FFD et de la génératon de colonne, qu s est révélée très effcace pour la génératon de vacatons, est donc auss prometteuse pour la créaton de rotatons. 4.5 Conclusons Dans ce chaptre, nous avons présenté le problème de créaton de rotatons. Nous avons vu que c est un problème complexe, habtuellement résolu en deux étapes : constructon de pérodes de servce et groupement de ces deux dernères en rotatons. La lttérature dans le domane met l accent sur la deuxème étape, la constructon des pérodes de servce étant mse un peu dans l ombre. Nous proposons une méthode de résoluton du problème de créaton de rotatons, également en deux étapes, mas en transférant une grande parte de la complexté du problème sur la constructon des pérodes de servce. Les deux sous-problèmes ont été modélsés comme programmes lnéares en varables mxtes pour la constructon des pérodes de servce et en varables entères pour le groupement dans des rotatons. Enfn, une étape supplémentare de post tratement des rotatons permet de les grouper en séquence, avant l étape d affectaton. Il est mportant de noter que les méthodes proposées c-dessus pour la créaton des PdS et des rotatons tratent le problème de façon rgoureuse, en cherchant l optmalté. En contreparte, ces méthodes ne s applquent qu à de petts eux de données. En pratque, elles permettent d évaluer la qualté des algorthmes de résoluton approchée. Quelques pstes pour l élaboraton d algorthmes applcables à des eux de données réels ont été présentés en complément. 69

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78 CHAPITRE 5 Affectaton de vacatons/ rotatons Chaptre 5 Affectaton de vacatons/ rotatons 5. Introducton Le sous-problème d affectaton représente la deuxème étape dans la résoluton du problème de créaton de plannngs. Compte tenu de la ressemblance entre l affectaton de vacatons et celle de rotatons, nous avons décdé de présenter les deux cas ensemble, mas en mettant en évdence les aspects spécfques de chaque cas. Ce chaptre commence par une présentaton des deux problèmes d affectaton. Après avor énuméré les contrantes réglementares communes ou spécfques à chaque cas, nous analysons quelques modèles et méthodes de résoluton proposés dans la lttérature. Ensute l approche que nous retenons est exposée. En rason des nombreuses contrantes réglementares le problème est modélsé comme un problème d affectaton généralsée. Nous proposons une décomposton temporelle et par qualfcaton et ensute une transformaton du problème d affectaton généralsé en problème d affectaton smple par relaxaton Lagrangenne. Un algorthme ad-hoc est utlsé pour la résoluton de chaque problème de base. IFR France a développé un produt commercal pour l affectaton de rotatons au personnel navgant d une compagne aérenne et qu utlse notre approche de résoluton. Le chaptre fnt par la présentaton de ce produt. 5.2 Présentaton du problème L affectaton de vacatons consste à affecter aux agents du personnel au sol (PS), à mondre coût, toutes les vacatons à effectuer, de manère à respecter les contrantes lées à la réglementaton du traval et aux dsponbltés des agents, en prenant en compte leurs préférences. L affectaton de rotatons consste à affecter au personnel navgant (PN) toutes les rotatons à effectuer sur un ntervalle temporel donné, de manère à respecter les contrantes lées à la réglementaton du traval et aux dsponbltés des agents, en prenant en compte leurs préférences. De manère équvalente, l faut trouver des équpages complets pour chaque rotaton Contrantes réglementares Le processus d affectaton dot tenr compte de pluseurs contrantes réglementares. Ces contrantes représentent l ensemble des los et règlements consgnés dans le Code du traval 7

79 CHAPITRE 5 Affectaton de vacatons/ rotatons complété par la ursprudence, les conventons collectves complétant les dspostons légales en matère d heures supplémentares et de modulaton des horares. Il faut mentonner que pour un navgant, une ournée de traval est représentée par une PdS et le temps de traval est équvalent au temps de vol effectué. Dans un cadre très général, tros nveaux de contrantes peuvent être dstngués : () Contrantes quotdennes : durée mnmum et maxmum d une ournée de traval, durée maxmum du temps de traval. Pour les PS : nombre de pauses avec leurs durées et la fenêtre de temps au cours de laquelle chaque pause peut être prse. (2) Contrantes sur n ours glssants : temps de traval mnmum et maxmum, temps de repos nécessare entre deux ours de traval successfs, nombre maxmum de ours de traval successfs, temps de repos mnmum, postonnement des ours de repos dans la semane (le week-end ou dans la semane) (3) Contrantes sur une pérode de pluseurs semanes : durée exacte du temps de traval effectf moyen sur l horzon consdéré, nombre maxmum d heures supplémentares permses. Pour les navgants, l y a auss des contrantes concernant la qualfcaton sur des vols et la confguraton des équpages : (4) Contrantes sur la qualfcaton pour un vol: un navgant peut effectuer un vol s l a effectué un nombre mnmum requs d heures de vol sur le secteur d avon correspondant à ce vol dans un ntervalle temporel qu précède le vol (exemple : un navgant peut effectuer un vol sur un avon de type A s l a effectué au mons x heures de vol sur le même type d avon, lors des y derners mos avant le vol). (5) Contrantes entre les membres d un équpage : dans le cockpt, s l un des navgants (plote ou coplote) est unor, l autre dot être senor. Dans la cabne, vers certanes destnatons, un nombre mnmum d hôtesses dovent parler certanes langues. Suvant leur mportance, les règles à respecter lors de l affectaton peuvent être dvsées en deux catégores : règles dures et règles souples. Les règles dures dovent être respectées mpératvement, car ce sont des règles qu fxent le cadre de traval et la valdté des affectatons (les règles mposées par la lo). Les règles souples contrbuent à la qualté de l affectaton (règles économques, de qualté ou de préférence). Elles peuvent être progressvement relaxées s nécessare, afn d accroître le domane de solutons admssbles. 5.3 Méthodes de résoluton dans la lttérature 5.3. Affectaton de vacatons Malgré l ntérêt accordé au problème de créaton de vacatons, peu de travaux ont été dédés exclusvement au problème d affectaton de ces dernères aux agents. Souvent, cette deuxème étape de la créaton de plannngs est tratée à la sute de la constructon des vacatons. Pour des rasons d ntégrté, nous avons décdé de présenter entèrement les études qu tratent ensemble la créaton et l affectaton de vacatons. 72

80 CHAPITRE 5 Affectaton de vacatons/ rotatons L approche d Alvarez-Valdes Alvarez-Valdes et ses co-auteurs [Alvarez-Valdes et al. 99] proposent une méthode d affectaton de personnel sur un horzon temporel d une semane. Le problème est résolu en tros étapes. Dans une premère étape, on prend en compte seulement les types des vacatons (de nut, de matn et d après-md) et le nombre de ours de repos à accorder par semane. Des enchaînements admssbles de vacatons et ours de repos sur 7 ours sont défns. Le but de cette premère étape est de trouver l ensemble mnmal de ces enchaînements qu couvre toutes les vacatons de la semane. Le modèle du problème est le suvant : Mn c x s s s S Sous : ats xs rt, T s S xs b s, x s enter x s compatble avec la semane précédente où : S = ensemble des enchaînements admssbles T = pérodes de la semane c s = coût de l enchaînement s x s = nombre de fos où l enchaînement s est prs dans la soluton r t = nombre de personnels demandés pour la pérode t a ts = varable bnare qu vaut s l enchaînement s couvre la pérode t et 0 snon b s = borne nféreure pour x s Le problème est résolu par une recherche tabou, basée sur la procédure de [Glover & McMllan 86] pour des problèmes de sac à dos multdmensonnel. La méthode sut une oscllaton stratégque qu alterne des phases constructves et destructves. Dans une phase constructve, la valeur de x s est augmentée progressvement et dans une phase destructve elle est dmnuée progressvement. La deuxème étape est un smple problème d affectaton de n enchaînements à n personnels. Le coût d affectaton est calculé en foncton des obectfs suvants : équlbrage du nombre de week-ends non-travallés et du nombre d heures de nut travallées, pénalsaton pour des séquences trop longues de ours consécutfs travallés. Le problème est résolu à l ade de l algorthme hongros. La dernère étape affecte les vacatons proprement dtes aux personnels, en foncton des enchaînements qu leur ont été attrbués lors de la deuxème étape. Cela se fat en deux partes. La premère parte affecte les vacatons de manère à respecter toutes les contrantes. Chaque personnel reçot chaque our la vacaton la plus longue admssble ayant le type défn par l enchaînement correspondant. Deux procédures de correcton sont possbles durant cette parte : le remplacement de certanes vacatons déà affectées aux agents et l échange d enchaînements entre deux agents. La deuxème parte cherche à amélorer la soluton par rapport à certanes contrantes secondares, lées au nombre requs d agents et aux lmtes de temps de traval. Cela peut se fare en remplaçant certanes vacatons par d autres plus courtes ou en accordant plus de ours de repos. Cette approche fournt une soluton admssble, pas forcément optmale, mas qu donne de bons résultats en pratque. 73

81 CHAPITRE 5 Affectaton de vacatons/ rotatons L approche de Mason Dans [Mason et al., 98], on nous propose une méthode d affectaton de vacatons pour le personnel du servce de douane de l Aéroport Internatonal d Auckland, Nouvelle Zélande. Les vacatons dovent être affectées à des programmes de traval ournalers, ntégrés dans des séquences de 9 ours consécutfs (6 ours de traval et 3 ours de repos). Comme l n y a pas de vacatons à cheval sur deux ours, le problème est décomposé d une façon naturelle en sousproblèmes ndépendants qu couvrent un our, sachant que chaque our est dvsé en pérodes de temps de 5 mnutes. Chaque sous-problème a pour obectf de mnmser le coût assocé aux agents nécessares pour effectuer toutes les vacatons du our. Le modèle du problème est le suvant : n Mn c x Sous : = m x a = b, {,..., m} x 0,,...,n où : a = varable bnare qu vaut s la pérode est couverte par la vacaton, 0 snon x = nombre d agents qu dovent effectuer la vacaton b = nombre mnmum de personnel requs pour effectuer la tâche c = coût de la vacaton, calculé en foncton de la durée de la vacaton (nombre de pérodes de 5 mnutes couvertes) x enter, { } Chaque problème de ce type est résolu par programmaton lnéare en nombres enters [Ryan 80]. La soluton entère est obtenue par un schéma standard de branchement sur les varables. Les problèmes sont en général de pette talle, donc de très bons temps de réponse sont obtenus (quelques dzanes de secondes). Ensute, des plannngs ndvduels couvrant des enchaînements de 9 ours sont construts à l ade d une heurstque [Panton 9] qu détermne les ours travallés et les ours de repos. Cette heurstque génère des plannngs fasables de bonne qualté, en assurant en même temps la qualté des plannngs plus longs, obtenus par la successon de pluseurs enchaînements consécutfs. Une fos l enchaînement créé, les vacatons sont affectées en ordre décrossant de leur talle. L approche de Duffuaa et Al-Sultan [Duffuaa & Al-Sultan, 99] proposent un modèle stochastque pour l affectaton des vacatons au personnel de mantenance des avons dans un aéroport. Les travaux de mantenance des avons se dvsent en deux catégores : la premère, appelée «mantenance planfée» nclut la mantenance de routne et préventve ; la deuxème, la «mantenance nonplanfée», nclut les pannes et les urgences. S la mantenance planfée a un comportement détermnste, la mantenance nonplanfée a un caractère stochastque et peut perturber complètement le plannng des tâches/ vacatons planfées. Le modèle proposé content une parte détermnste et une parte stochastque. La parte détermnste reprend le modèle décrt dans [Roberts & Escudero, 83] qu est un programme lnéare en nombre entères. La parte stochastque combne une approche antcpatve et une 74

82 CHAPITRE 5 Affectaton de vacatons/ rotatons approche adaptve, de manère à trouver un comproms entre un plannng à long terme et un plannng ayant une bonne réactvté face aux urgences de chaque our Affectaton de rotatons L approche de Ryan Un des artcles qu a beaucoup nfluencé la sute des travaux dans le domane est celu de Ryan [Ryan 92]. Il est l un des premers à avor modélsé le problème d affectaton de rotatons comme un problème de parttonnement d ensemble. L dée de base est de générer tous les plannngs fasables de chaque navgant. Chaque plannng dot respecter la réglementaton et les actvtés pré-affectées. Pour obtenr une soluton fasable, un sousensemble de ces plannngs dot être sélectonné, de manère à affecter un seul plannng à chaque navgant et à assurer des équpages complets pour chaque rotaton. Pour un problème avec p navgants et t rotatons, le modèle général est le suvant: T Mn z = c x Sous : Ax = b x { 0,} avec A une matrce unmodulare qu a la forme suvante : C A = L C L 2 2 C L C L p p où : T C = ee est une matrce de dmenson p n avec e = [0,0,...,...,0] ( en poston ) et T e = [,,...,]. L : matrce ce dmenson t n ou n représente le nombre de plannngs fasables pour le navgant. Chaque élément l k vaut s le k-ème plannng du navgant content la rotaton et 0 snon. La matrce A est de dmenson m p n =, où m = p + t. Les éléments du vecteur b ont les valeurs suvantes : b = pour =... p et b p+ = r pour =...t, où r représente le nombre de navgants requs pour la -ème rotaton. Ryan propose une constructon par smple énumératon des plannngs fasables pour chaque navgant. Comme le nombre de plannngs pour un seul agent peut attendre des mllers, des technques de fltraton [Ryan & Falkner, 88] sont utlsées pour lmter leur nombre. Ensute, le problème est résolu comme un programme lnéare en nombre enters. La relaxaton lnéare obtenue à l ade de l algorthme prmal du smplexe est amélorée en utlsant une verson des stratéges de programmaton lnéare élastque utlsées par [Brown & Graves, 75]. La soluton entère est obtenue à l ade d une technque de Branch&Bound qu effectue le branchement sur les contrantes et non pas sur les varables. L arbre de recherche est exploré en profondeur, en parcourant touours d abord la branche dont la valeur de la contrante est fxée à. 75

83 CHAPITRE 5 Affectaton de vacatons/ rotatons L approche de Dawd En utlsant le model de Ryan, Dawd [Dawd et al. 0] propose une méthode de résoluton à l ade d une technque de Branch&Bound. Cette approche cherche une soluton fasable, mas pas forcément optmale. L avantage de cette méthode est qu elle arrve à rédure le temps de réponse par rapport à d autres méthodes proposées dans la lttérature pour le même genre de problème. Le modèle peut être décrt de la manère suvante : sot W un ensemble de plannngs ndvduels générés a pror, M un ensemble de navgants et P un ensemble de rotatons, en sachant que chaque rotaton a beson de d navgants. Un plannng L est consttué d un sous-ensemble de rotatons qu ne chevauchent pas P, assuettes aux contrantes réglementares. W M k W représente l ensemble de plannngs fasables assocés au navgant k. Pour tout k k2, les ensembles dsonts. W P { L L} M Wk et M Wk 2 sont = représente l ensemble de tous les plannngs L contenant la rotaton. Une varable bnare x est assocée à chaque plannng W. S le plannng est sélectonné dans la soluton, x prend la valeur, snon x = 0. Chaque plannng a une utlté u. Cette valeur est utlsée pour maxmser l utlté totale de la soluton. A l ade de ces notons, Dawd modélse le problème de la manère suvante : n Mn u x = Sous : = P W W M k x = d x, k {,...,m}, {,..., q} x { 0,}, {,..., n} Par rapport au modèle de Ryan, Dawd ntègre dans son modèle la sur-qualfcaton, ce qu veut dre qu un navgant ayant une qualfcaton supéreure peut effectuer un traval qu demande une qualfcaton nféreure (par exemple, un chef de cabne peut effectuer une rotaton en tant que stewart). Cette approche permet la résoluton des problèmes ou le nombre de PN ayant une certane qualfcaton n est pas suffsant pour couvrr toutes les rotatons. L algorthme de résoluton proposé, qu est une adaptaton de l algorthme de Davs- Putman [Davs & Putman, 96], est une énumératon mplcte. Même s la recherche d une soluton se fat dans un arbre, cette méthode n est pas un Branch&Bound tradtonnel, car l n y a pas de bornes pour lmter l espace de recherche d une soluton : c est une technque de propagaton de contrantes qu est utlsée pour rédure le nombre de noeuds à évaluer. Dans chaque noeud de l arbre l état du modèle est défn : S = { S pos, S neg, S free} où S pos défnt l ensemble des varables x dont la valeur a été fxée à, varables x dont la valeur a été fxée à 0 et n a pas encore été fxée. L état ntal du modèle est S { 0,0,W } obtenue s S = {*,*,0 } et s toutes les contrantes sont respectées. S neg l ensemble des S free l ensemble des varables x dont la valeur 0 =. Une soluton fasable est 76

84 CHAPITRE 5 Affectaton de vacatons/ rotatons Dans chaque noeud de l arbre de recherche, la varable de branchement est chose parm les éléments de S free. S S free est vde et le modèle est touours dans un état fasable, alors une soluton a été trouvée et la recherche s arrête. Snon, l état courant du modèle est sauvegardé, la valeur de la varable de branchement chose est fxée à et une propagaton de contrantes est effectuée. S le modèle reste touours fasable on descend dans l arbre de recherche et un autre nœud est examné. S le modèle devent nfasable après un changement d état ou sute à un backtrackng, l ancen état dot être restauré et la valeur de la dernère varable chose est fxée à 0. S la nouvelle soluton est touours nfasable le nœud courant est enlevé de l arbre de recherche et un backtrackng est effectué. Snon, la procédure se répète pour une autre varable lbre. L approche de Gamache [Gamache et al. 99] utlsent la même modélsaton que Ryan, mas ls proposent une méthode de résoluton basée sur la génératon de colonnes. Une rotaton mère est une rotaton qu dot être affectée à un équpage enter. Chaque rotaton mère peut être décomposée en pluseurs rotatons flles, une rotaton flle pour chaque membre de l équpage. L obectf du problème est de maxmser la durée des rotatons couvertes, donc de mnmser la durée des rotatons qu n ont pas été couvertes. Le modèle mathématque du problème maître est le suvant : Sous : r R k n Mn c p e p m k= r Rk p= a pr x r + e p = b p, p {,...,n} x =, k {,...,m} r e 0 p {,...,n} p { 0,} x U m r r ou R : ensemble de plannngs fasables pour le navgant k k c : durée de la rotaton p p R k k= b p : nombre des rotatons flles composant la rotaton mère p e p : nombre de rotaton flles appartenant à la rotaton mère p et non affectées a pr : varable bnare qu vaut s la rotaton p fat parte du plannng r et 0 snon x r : varable bnare qu vaut s le plannng r fat parte de la soluton et 0 snon La relaxaton lnéare du problème maître est résolue à l ade du smplexe pour un ensemble de plannngs donnés. Le problème esclave utlse une technque de génératon de colonne pour construre de nouveaux plannngs de coût rédut négatf. Dans le problème esclave, un réseau est assocé à chaque navgant. Le nœud source et le nœud puts modélsent le début et la fn du mos. Tous les autres noeuds représentent des nstants de temps assocés au début ou à la fn d une actvté. Chaque arc représente sot une actvté (rotaton, repos, actvté pre-affectée) sot un len entre deux nstants de temps. Un 77

85 CHAPITRE 5 Affectaton de vacatons/ rotatons arc représentant une rotaton fat parte du réseau assocé à un navgant seulement s le navgant peut l effectuer. Chaque chemn trouvé dans un réseau représente un plannng valde pour le navgant en queston. Le coût assocé a chaque chemn représente le coût rédut du plannng dans le problème maître et l est calculé à l ade des varables duales fournes par celu-c. A chaque résoluton d un problème, tous les plannngs de coût rédut négatf sont envoyés vers le problème maître. Cette technque est décrte en détal dans [Desrosers et al. 95]. La soluton entère est obtenue à l ade d une recherche partelle de type Branch&Bound. L heurstque utlse une stratége de recherche en profondeur et s arrête à la premère soluton entère trouvée. 5.4 Modélsaton du problème En rason des nombreuses contrantes réglementares, le problème d affectaton de vacatons/ rotatons est un problème d affectaton multple généralsé. Ce problème admet une formulaton lnéare en varables mxtes : des varables bnares pour représenter les chox d affectaton et des varables réelles pour représenter les dates et les durées dans les contrantes de réglementaton. Il est donc naturel de chercher à le résoudre par les logcels commercaux de programmaton lnéare en varables mxtes, comme CPLEX ou XPRESS- MP. Cependant, malgré l effcacté remarquable et sans cesse amélorée de ces logcels, la résoluton globale de ce problème reste naccessble en rason de l exploson combnatore. C est pour cette rason que nous proposons une décomposton du problème global, ans qu une relaxaton du problème d affectaton généralsée en un problème d affectaton smple. Une décomposton temporelle et par qualfcaton pour l affectaton de vacatons Le problème global étant formulé sur un mos calendare, nous proposons une décomposton temporelle et par qualfcaton. Chaque sous-problème est relatf à une qualfcaton et couvre un ntervalle de temps plus court (typquement une ournée de traval). Les vacatons représentant des ournées de traval, une décomposton par ours est presque naturelle. Un ensemble de sous-problèmes est ans défn pour chaque groupe de vacatons qu commencent le même our. Ans, la décomposton par our n exclut en ren les pérodes de traval nocturnes. Les contrantes du problème global qu couplent les sous-problèmes sont celles lées aux durées de traval et de repos : contrantes sur n ours glssants et contrantes sur une pérode de pluseurs semanes. Dans la décomposton séquentelle ournalère du problème global, ces contrantes vont être répartes sur chaque our, cette répartton étant mse à our de façon dynamque à partr du calcul des cumuls de durées de traval et de durées des repos. Une décomposton temporelle et par qualfcaton pour l affectaton de rotatons Une rotaton a une structure un peu plus complexe qu une vacaton, car elle s étale sur pluseurs ours et est effectuée par un équpage complet et non pas par une seule personne. Même s la décomposton du problème par ours de traval n est plus réalsable, une décomposton temporelle est touours possble s les rotatons sont groupées suvant leur date de début : un sous-problème est ans défn pour chaque groupe de rotatons qu commencent le même our. Les équpages changent au cours du mos, les navgants tournent entre pluseurs équpages. Etant données auss les contrantes qu exstent au sen d un équpage, une autre 78

86 CHAPITRE 5 Affectaton de vacatons/ rotatons décomposton sera fate par qualfcaton (plotes, coplotes, hôtesses ). On appellera «ob» le traval élémentare d une qualfcaton donnée au sen d une rotaton donnée. Dans le cas où p navgants ayant la même qualfcaton sont requs sur une rotaton, on défnra p obs et on résoudra en séquence p sous-problèmes de façon à trater de proche en proche les contrantes nternes lées aux éventuelles ncompatbltés réglementares entre membres du même équpage. Une trosème décomposton possble peut se fare selon les secteurs d avon, car les navgants ne sont pas oblgatorement qualfés sur tous les secteurs d avon. Cette décomposton sera fate seulement dans les cas où les navgants sont mono qualfés. En cas de mult qualfcaton, la découpe du problème par secteur n a pas d ntérêt. Pour conclure, le problème d affectaton de rotatons peut être décomposé dans le temps, par qualfcaton de navgants et, éventuellement, par secteur d avon: un sousproblème est ans défn pour chaque groupe de rotaton qu commence le même our et pour tous les navgants dsponbles ayant la même qualfcaton (sur le secteur avon correspondant aux rotatons sélectonnées). Problème d affectaton smple Le sous-problème d affectaton défn c-dessus peut être vu comme un problème d affectaton généralsé car, en plus de la contrante de base qu mpose que chaque vacaton/ rotaton dot être affectée à un agent, l y a des contrantes supplémentares à respecter. Nous proposons une transformaton du problème d affectaton généralsé en problème d affectaton smple par relaxaton Lagrangenne : les contrantes sont dualsées et des termes pénalsant leur non respect sont ntégrés dans le crtère sous forme de coûts. Compte tenu du grand nombre de contrantes, les valeurs des pondératons correspondantes sont étables a pror et non à l ade d une méthode tératve. Toutes les contrantes seront ans tratées comme des contrantes souples, le non-respect des contrantes strctes étant très fortement pénalsé (méthode du «grand M» en Programmaton Lnéare). Au paragraphe 5.5.2, nous allons détaller le calcul des pondératons. En résumé, le problème global de mult-affectaton généralsé avec beaucoup de varables est décomposé en pluseurs sous-problèmes d affectaton smple. Cette décomposton confère en outre à la technque de résoluton, un caractère modulare facltant l nterprétaton des résultats et la prse en compte de modfcatons locales. Les contrantes couplantes, généralement d orgne réglementare, sont transformées en contrantes localsées par des mses à our temporelles à la fn de chaque pérode. En outre, le paramétrage des contrantes souples est réalsé grâce à une nterface. Le programme fournt ans une ade à la décson pour le responsable en charge du plannng. 5.5 Méthode de résoluton proposée Pour la résoluton du problème, nous proposons une combnason de deux méthodes classques de résoluton des problèmes d affectaton. Une méthode duale est utlsée comme méthode de base, mas l étape de décson sur l admssblté de la soluton courante est effectuée par une méthode prmale. Nous avons retenu l algorthme hongros comme méthode duale et le Bp Match comme méthode prmale. La combnason chose essae de maxmser les avantages des deux méthodes et de mnmser leurs nconvénents. L avantage d une méthode duale est qu elle fournt touours la soluton optmale, s l en exste une. Son nconvénent est le fat que la n est obtenue qu à la convergence de 79

87 CHAPITRE 5 Affectaton de vacatons/ rotatons l algorthme (caractérstque de base des méthodes duales, qu sont dtes «non-admssbles»). Il n y a donc pas de soluton ntermédare admssble dsponble dans le cas où la convergence est lente. De plus, cette méthode peut prendre beaucoup de temps dans le cas de pluseurs solutons équvalentes, car elles sont toutes explorées. Les méthodes prmales construsent une séquence de solutons admssbles qu converge vers l optmum. Cec a pour conséquence que, en mettant des délas temporels pour le déroulement de l algorthme, s l algorthme n a pas trouvé l optmum à la fn de ce déla, l fournt une soluton admssble, mas sous-optmale. On peut mposer qu une méthode prmale amélore strctement la soluton courante à chaque tératon, ce qu évte l exploraton des solutons équvalentes. Applqué à des matrces creuses (beaucoup de solutons équvalentes), ce type de méthode est alors très rapde. L algorthme prmal chos, le Bp Match, s applque à la recherche d un couplage maxmal de coût nul. Dans ce cas, la soluton fourne par le Bp Match n est donc en général qu une soluton partelle. Il faut mentonner que les deux algorthmes choss ont des complextés polynomales et très proches l une de l autre : l algorthme hongros a une complexté en O(n 3 ) et le Bp Match a une complexté en O(n 2 ), où n représente le nombre des vacatons à affecter Constructon de la matrce de coût L algorthme hongros débute par la constructon de la matrce de coût. Les dmensons de la matrce sont fournes par les nombres des vacatons/rotatons (V/R) et des agents susceptble de les effectuer: une lgne pour chaque V/R et une colonne pour chaque agent. La partcularté de cette matrce est qu elle dot être carrée, se qu sgnfe que l algorthme hongros résout le problème seulement dans le cas où le nombre des V/R est égal au nombre des agents. En pratque, cec n arrve presque amas. Il faut donc trouver une méthode pour ramener notre problème à la forme mposée par l algorthme standard. Dmensonnement de la matrce Sot m le nombre des V/R à effectuer et p le nombre des agents supposés à les exécuter (m p) ; la matrce a donc m lgnes et p colonnes. Pour transformer la matrce dans une matrce carrée, nous ntrodusons des lgnes (s m<p) ou des colonnes (s m>p) supplémentares, usqu à ce que les nombres de lgnes et de colonnes de la matrce sot égal à n = max(m, p) + k. Les k lgnes ou colonnes supplémentares donnent des degrés de lberté, pour évter par exemple des affectatons nterdtes. La valeur de k est étable de manère expérmentale. Nous allons parler plus en détal de la sgnfcaton des affectatons nterdtes dans Les lgnes supplémentares sont nterprétées comme des V/R fctves et les colonnes supplémentares comme des agents en sureffectf. La matrce fnale présente un des profls représentés sur la Fgure

88 CHAPITRE 5 Affectaton de vacatons/ rotatons p k p m-p+k agents en sureffectf m p-m+k vacatons fctves m k a) m<p. On raoute p-m+k lgnes supplémentares. b) p<m. On raoute m-p+k colonnes supplémentares. Fgure 5.. La matrce des coûts Calcul des coûts Chaque élément de la matrce ( n, n ), représente le coût d affectaton de la V/R à l agent. Ce coût est calculé en foncton de chaque contrante à respecter, par dualsaton des contrantes. Pour chaque pare (V/R, agent ) et chaque contrante réglementare un coût pondéré est établ. Le coût total correspondant au couple (vacaton, agent ) est donné par la somme de coûts de chaque règle à respecter. Dans notre modèle, la valeur des coûts vare entre 0 et M (où M + ). Un coût égal à 0 représente le cas déal d affectaton, un coût égal à M rend l affectaton mpossble. Le coût assocé à chaque règle dépend de l mportance accordée à la règle. Les règles dures se tradusent faclement en termes de coûts. Comme ce sont des règles de type «tout ou ren», le coût mposé par une telle règle pour l affectaton d une V/R à un agent est 0 s la règle est respectée, ou M snon. Les règles souples se tradusent parfos par des obectfs contradctores. Par conséquent, chacune d entre elles aura un coût «brut» et une pondératon assocée à ce coût, comprse dans l ntervalle [0%,00%]. Le coût brut est une foncton des caractérstques du couple (vacaton, agent ) pour lesquels la règle est vérfée. La pondératon est ntrodute dans le modèle de manère nteractve, de façon que l utlsateur pusse chosr la pondératon de chaque règle souple, en foncton de l mportance qu l accorde à chacune d entre elles. Ans, le coût fnal mposé par une règle souple pour l affectaton (V/R, agent ) est le produt entre le coût «brut» de la règle et de la pondératon étable par l utlsateur. Comme les règles souples servent à amélorer la qualté des plannngs créés, leurs coûts ne peuvent amas prendre la valeur M (qu nterdrat l affectaton). Cette manère de calculer les coûts n est valable que pour m, p. Pour les éléments supplémentares, le coût est calculé dfféremment. On dstngue tros stuatons dfférentes : () m et p < n. Cette stuaton correspond à un couple (vrae V/R, agent en sureffectf). (2) m < n et p. Cette stuaton correspond à un couple (V/R fctve, agent réel). (3) m < n et p < n. Cette stuaton correspond à un couple (vacaton fctve, agent en sureffectf). 8

89 CHAPITRE 5 Affectaton de vacatons/ rotatons Chaque élément qu correspond aux ponts () ou (2) aura une valeur strcte postve b<<m, chose de manère expérmentale. L explcaton pour cela est assez smple : s, à un moment donnée, pour une V/R (=..m) l n y a aucun agent qu pusse l effectuer (c = M, = p), on affecte la V/R à un agent temporare ( > p) dont coût = b. De même manère s, pour un agent l n y a aucune vrae V/R qu peut lu être affectée, on lu en affecte une «fctve» ( > m ). Par conventon, chaque coût d affectaton coût ( > m, p < p + k ou > p et m < m + k ) d une V/R fctve à un agent en sureffectf est nul. Pour tout couple (V/R, navgant ), le non-respect d une seule règle dure rend l affectaton mpossble. Comme les règles à vérfer sont assez nombreuses et coûteuses en terme de temps de calcul, pour dmnuer le temps de réponse, les règles dures seront testées avant les règles souples et chaque fos qu un règle dure n est pas respectée par un couple (V/R, navgant ), on passe au couple suvant, sans tester les autres règles. Les fonctons des coûts, en général non lnéares, sont approxmées par des fonctons lnéares par morceaux. Les pondératons représentent les paramètres de Kuhn Tucker. Les valeurs des pondératons sont calculées de manère expérmentale et sans rechercher leurs valeurs optmales, car une valeur qu permet la prse en compte de la règle sufft. Les pondératons assocées à chaque règle dépendent de l mportance accordée à la règle. Les valeurs des paramètres de Kuhn Tucker assocés aux règles dures sont trouvées faclement. Comme ce sont des règles de type «tout ou ren», le non respect d une telle règle rend l affectaton mpossble. Il est connu qu en surévaluant la valeur du paramètre de Kuhn Tucker correspondant, la règle est prse en compte. Donc, pour chaque règle dure, nous avons décdé de surévaluer cette valeur à M (où M + ) Dsponblté. La dsponblté d un agent étant essentelle pour l exécuton d une V/R, le test de dsponblté peut être consdéré comme une règle dure. En même temps, pour dmnuer au mnmum le temps de calcul, nos utlsons ce test comme premer test dans le calcul des coûts. Etablr s un navgant est dsponble pour une rotaton est un processus un peu plus complexe que la vérfcaton de la dsponblté d un personnel au sol. La smple vérfcaton du fat que le navgant n a pas d autres actvtés pré-affectées pendant toute la durée de la rotaton ne sufft pas. La valdté du contrat d embauche et de la qualfcaton dot être prse en compte auss. En effet, le contrat d embauche ou le contrat de qualfcaton peuvent commencer ou fnr en cours du mos. Le navgant peut effectuer une rotaton seulement s la durée de la rotaton est entèrement comprse dans la pérode de valdté du contrat d embauche et du contrat de qualfcaton. L algorthme de calcul des éléments c ( m, p ) est le suvant : Procedure Matrce_coût Pour = m Pour = p //étape d ntalsaton peut_travaller = VRAI S agent Est_dsponble pour V/R r c = 0 Snon 82

90 CHAPITRE 5 Affectaton de vacatons/ rotatons c = M peut_travaller = FAUX Fn S //c pour les règles dures S (peut_travaller) Tant qu (l y a des règles dures à vérfer et peut_travaller) S régle_courante n est pas vérfée c += M peut_travaller = FAUX Fn S Fn Tant que Fn S //c pour les règles souples S (peut_travaller) Pour chaque règle souple c += CoûtRègle*PondératonRègle Fn Pour Fn S Fn Pour Fn Pour Introducton des cumuls Chaque problème d affectaton smple est exécuté a pror ndépendamment des autres. L nconvénent est qu à l ntéreur du problème l n y a pas de vsblté sur tout l horzon temporel concernant le problème global. Donc, s la soluton d un sous problème respecte toutes les contrantes du problème local, l est possble que l ensemble de toutes les solutons ne respectent pas les contrantes globales. Prenons un exemple smple. Dans le cas de l affectaton de rotatons, le problème global P est décomposé en l sous-problèmes de base. Sot deux problèmes de base, P et P k : - P dot affecter un ensemble de rotatons (R,, R s, R m ) à un ensemble d agents (a, b, c,.). Dans la soluton de P, l agent b effectue la rotaton Rs. Cette rotaton commence le our et s étend sur 4 ours :, +, + 2, P k affecte un ensemble de rotatons (R,, R t, R n ) à un ensemble d agents (b, d, e ). La soluton ndque que l agent b effectue la rotaton R t qu commence le our + 4 et a une durée de 5 ours : + 4, + 5, + 6, + 7, + 8. Supposons qu une des règles dures mpose au maxmum 7 ours de traval consécutfs. L agent b travalle 4 ours pour effectuer la rotaton R s et 5 ours pour effectuer la rotaton R t. Donc, cette règle est respectée pour chaque sous-problème traté ndépendamment. Ce qu n a pas été prs en compte est le fat que les deux rotatons sont consécutves, donc b travalle en total 9 ours consécutfs, ce qu n est plus réglementare. Pour évter ce genre de stuaton, nous ntrodusons des cumuls qu gardent l hstorque de chaque agent sur tout l horzon : temps de traval/ de vol déà effectué, ours consécutfs travallés. Les cumuls sont ms à our à la fn de chaque sous-problème. Ans, chaque règle sera vérfée lors de chaque sous-problème par rapport à ces cumuls, et non plus par rapport aux valeurs absolues du problème global. 83

91 CHAPITRE 5 Affectaton de vacatons/ rotatons Sot le même problème P décomposé en l sous-problème : P, P,..., 2 P k,..., Pl et le même agent x. La soluton de chaque problème P affecte une rotaton d une durée d à l agent x. k La durée maxmum du traval sur tout l horzon est D max. Lors de la résoluton du problème P, l agent x a effectué déà Cum ( x) = d nd heures de traval. Donc on peut lu nd = affecter une rotaton r d une durée d seulement s D Cum( x). Algorthme de résoluton r Une fos la matrce construte, l algorthme retent les coûts nuls ou, s l n y en a pas, l en crée pour chaque lgne et chaque colonne de la matrce. A ce pont, on ntègre l algorthme du Bp Match qu cherche une affectaton optmale complète à partr de ces coûts. S l n en trouve pas, on commute vers l algorthme hongros qu crée de nouveaux coûts nuls pour un nouvel appel du Bp Match. Le processus se répète usqu à ce que l on trouve une soluton optmale ou usqu à ce que le déla mposé pour trouver le résultat touche à sa fn. Dans le deuxème cas, le Bp Match, qu fournt une soluton sous optmale mas partelle, est complété par quelques tératons de l algorthme de Busacker et Gowen, ce qu assure une soluton complète, mas sous-optmale. La Fgure 5.2 présente le schéma de résoluton proposée. k d r max k Créaton matrce des coûts Génératon de coûts modfés nuls. Déla depassé? OUI Créaton nouveaux coûts nuls. NON BpMatc h NON Couplage maxmal? OUI SOLUTION OPTIMALE Algo tronqué Busacker et Gowen SOLUTION SOUS- OPTIMALE Fgure 5.2. Algorthme d affectaton L affectaton de réserves pour le personnel navgant Le problème d affectaton de rotatons prévot auss l affectaton d un nombre prédéfn de réserves par our et pour chaque qualfcaton. Nous rappelons que les réserves sont des ournées de traval à horare fxe ne contenant a pror aucun vol. 84

92 CHAPITRE 5 Affectaton de vacatons/ rotatons Pour l affectaton de réserves, nous utlsons la même méthode de résoluton que pour les rotatons, les réserves étant déà partagées par qualfcaton et par our. Une premère dée a été d accorder la même mportance aux réserves qu aux rotatons et de les affecter en même temps. Mas, s les rotatons dovent être effectuées oblgatorement, les réserves sont effectves seulement s un navgant se retrouve dans l mpossblté d effectuer une rotaton qu lu à été déà allouée et donne sa place à la réserve. Le navgant en réserve reste bloqué au sol durant la ournée, mas l n effectue pas oblgatorement une rotaton pendant sa réserve. Ces réflexons nous ont décdé d affecter les rotatons en premer et ensute les réserves aux navgants qu n avaent pas reçu des rotatons. On commence par la décomposton temporelle : pour chaque our du mos, on cherche toutes les rotatons qu commencent ce our et on les met dans Lste_rotatons_du_our. On parcourt la lste des rotatons pour détermner les secteurs couverts et les qualfcatons requses par les confguraton équpage ; on crée les lstes Lste_secteurs_du_our et Lste_qualfcatons_du_our. On contnue avec la décomposton par secteur et par qualfcaton : pour chaque secteur de la Lste_secteurs_du_our et chaque qualfcaton de la Lste_qualfcatons_du_our on crée la Lste_rotatons qu content toutes les rotatons du our sur le secteur courant ayant beson d au mons un navgant avec la qualfcaton courante. Ensute, on cherche tous les navgants ayant la qualfcaton courante sur le secteur courant ; la Lste_navgants est créée. A ce moment, on peut affecter les rotatons de la Lste_rotatons aux navgants de la Lste_navgants en utlsant la méthode proposée dans Une fos les rotatons affectées, les réserves peuvent être affectées à leur tour. La Lste_navgants est mse à our, en enlevant de la lste les navgants qu ont été affectés à des rotaton. On cherche les réserves à affecter pour la qualfcaton courante et pour le secteur courant ; la Lste_réserves_du_our est créée. Les réserves de la Lste_réserves_du_our sont affectées aux navgants de la Lste_navgants de la même manère que les rotatons. C-dessous, la procédure Affectaton décrt l affectaton de rotatons et de réserves : Procedure Affectaton_PN Pour (chaque our_du_mos) Crée (Lste_rotatons_du_our) Crée (Lste_secteurs_du_our) Crée (Lste_qualfcatons_du_our) Pour secteur_courant parcourt (Lste_secteurs_du_our) Pour qualfcaton_courante parcourt (Lste_qualfcatons_du_our) Crée (Lste_rotatons) Crée (Lste_navgants) Affecte les rotatons de la Lste_rotatons aux navgants de la Lste_navgants Affectaton de rotatons Fn Pour Fn Pour Fn Pour Met_à_our (Lste_navgants) Crée (Lste_réserves_du_our) Affecte les réserves de la Lste_réserves_du_our aux navgants de la Lste_navgants Affectaton de réserves 85

93 CHAPITRE 5 Affectaton de vacatons/ rotatons Affectaton de séquences Comme nous l avons vu dans le chaptre 4, à la fn de l étape de créaton de rotatons l peut y avor un post tratement des rotatons qu consste en la constructon des séquences. S tel est le cas, le processus d affectaton trate les séquences et non plus les rotatons ndépendantes. Pour le problème d affectaton, les séquences peuvent être assmlées à des rotatons beaucoup plus longues et avec une structure un peu plus complexe, car les séquences permettent l exstence des ours de repos à l ntéreur. Donc, l algorthme d affectaton a pu être utlsé pour le tratement des séquences sans qu l at été nécessare de lu apporter des modfcatons mportantes. Parfos, les séquences créées ne couvrent pas l ntégralté des rotatons à effectuer durant le mos. Dans ce cas, les séquences sont tratées en premer, les rotatons étant affectées une fos que les séquences ont trouvé leurs places dans les plannngs des navgants. Cet ordre est naturel et se ustfe par la talle plus grande des séquences en comparason avec celle des rotatons. Comme dans les algorthmes off-lne de résoluton de problèmes de bn-packng, les obets sont trés en ordre décrossant de leur talle, car un gros obet est plus facle à nsérer au début qu à la fn et, en même temps, l est plus facle de compléter un conteneur déà rempl avec un pett obet qu avec un gros. D un autre côte, le chox de cet ordre s explque par l exstence même des séquences : rappelons que leur constructon a comme but une melleure répartton de la charge de traval entre navgants, donc l améloraton de la qualté des plannngs ndvduels. C est donc normal de leur accorder plus d mportance. 5.6 Implémentaton et résultats 5.6. Valdaton de la méthode L algorthme proposé pour la résoluton des problèmes d affectaton smple a été mplémenté en C++ et testé sur pluseurs eux de données. Ces eux de données on été générés aléatorement, en varant la dmenson de la matrce de coûts et la plage des valeurs des coûts. Le tableau 5. synthétse les résultats obtenus : Nb. problèmes testés 4600 Dmenson (n) matrce de coûts (nxn)....entre 5 et 50 Valeurs coûts....entre 0 et 000 % problèmes avec soluton sous-optmale.. 5% Temps de réponse.- 2 secondes Tableau 5.. Valdaton de l algorthme d affectaton Nous avons consdéré que les tests effectués sur des matrces de dmenson plus grande que 50 par 50 ne sont pas d ntérêt, car dans le cas réel étudé, la dmenson de ces matrces dépasse rarement cette lmte. En ce qu concerne les bornes des valeurs des coûts, nous avons chos 0 pour le cas déal d affectaton ; 000 représente la valeur chose pour M (cf ). Pour avor une melleure vson des résultats obtenus, le problème d affectaton smple a été modélsé en tant que programme lnéare, mplémenté à l ade d un module de 86

94 CHAPITRE 5 Affectaton de vacatons/ rotatons programmaton lnéare commercal (Xpress-MP) et testé sur pluseurs eux de données. Dans tous les cas, le programme lnéare a fourn la soluton optmale en mons d une seconde. Les mêmes eux de données ont été utlsés pour tester la méthode que nous proposons. Le Tableau 5.2 présente les résultats fourns par l algorthme d affectaton proposée : n = 0 n = 20 n = 30 n = 40 n = 50 Nb. problèmes résolus % sol sous-opt Dev.moyenne sol. opt..2%.2%.6% 0.8% 0.5 Dev.max sol. opt % % % 9% 5% Temps réponse moyen[s] < Temps réponse max[s] < Tableau 5.2 Résultats pour l algorthme d affectaton On peut observer qu en foncton de la dmenson de la matrce de coûts, le pourcentage de problèmes dont la soluton obtenue est sous-optmale augmente. Ce qu est mportant à précser est le fat que la dévaton par rapport à la soluton optmale calculée par le programme lnéare reste lmtée mons de 2%. Il y a des cas où la soluton sous-optmale s écarte à plus de 0 pour cent de la soluton optmale, mas ls sont très solés. Généralement, le temps moyen de réponse d un problème vare entre et 2 secondes. Pour des problèmes dont la talle de la matrce de coûts est comprse dans l ntervalle [30, 40], le temps de réponse peut augmenter usqu à 0 5 secondes. Dans peu de cas et pour des matrces de coûts avec plus de 40 lgnes, le temps de réponse peut dépasser mnute. La soluton d un problème résolu par la méthode proposée est un comproms entre le temps de réponse et une soluton de qualté (soluton optmale). L algorthme a été conçu pour s arrêter après un certan nombre d tératons. Pour la valeur chose, les tests ont prouvé que la soluton sous-optmale obtenue reste de bonne qualté. A pror, cette qualté peut être encore amélorée s le nombre d tératons augmente. Notre méthode de résoluton a des pons fables par rapport à la méthode exacte utlsée par la programmaton lnéare : temps de réponse plus élevé et soluton pas touours optmale. Pourtant, l «abandon» de la programmaton lnéare est ustfé. Nous rappelons que nos travaux ont eu auss un but ndustrel : comme la compagne IFR France développe des produts logcels commercaux, un module d affectaton de personnel devat être ntégré dans un de ces logcels. Pour des rasons de coût économque du produt fnal destné aux compagnes aérennes, une des contrantes du caher des charges nterdsat l utlsaton des logcels commercaux de programmaton lnéare. En même temps, les résultats obtenus sute aux tests, ont prouvé que la méthode proposée fournt des résultats de qualté dans un temps de réponse rasonnable Implémentaton La compagne IFR France a développé un produt commercal pour l affectaton automatque des rotatons, produt qu ntègre la méthode de résoluton proposée dans ce chaptre. Il crée des plannngs pour tous les navgants d une compagne aérenne, en leur affectant des rotatons, des ours de réserve et des ours de repos s nécessare. L horzon temporel consdéré est d un mos calendare. Le module est assez flexble, car l ne déclenche pas automatquement le processus global d affectaton. L utlsateur a tout d abord la possblté de chosr le mos, la base, les secteurs avon et les qualfcatons pour lesquels l désre effectuer l affectaton (Fgure 5.3). 87

95 CHAPITRE 5 Affectaton de vacatons/ rotatons Fgure 5.3 L utlsateur peut chosr le mos, la base, les secteurs avon et les qualfcatons pour lesquels l désre effectuer l affectaton 88

96 CHAPITRE 5 Affectaton de vacatons/ rotatons Ensute, l utlsateur chost des pondératons pour les règles souples (cf ), en foncton de l mportance qu l veut accorder à chaque règle (Fgure 5.4) : Fgure 5.4 Pondératons assocées aux règles souples 89

97 CHAPITRE 5 Affectaton de vacatons/ rotatons Avant de lancer l affectaton, une vsualsaton les plannngs des navgants concernés est possble. A ce stade, leurs plannngs contennent seulement les actvtés pré-affectées. Fgure 5.5 Avant l affectaton, les plannngs des navgants contennent seulement les actvtés pré-affectées Une fos l affectaton effectuée et acceptée par l utlsateur, les plannngs sont ms à our : Fgure 5.6. Les plannngs des navgants à la fn de l affectaton 90

98 CHAPITRE 5 Affectaton de vacatons/ rotatons Le module d affectaton a été mplémenté en Vsual C++. Des tests ont été effectués sur des données réelles, relatfs à une compagne aérenne de talle moyenne. Pour des rasons de confdentalté, son nom ne sera pas précsé. Tous les tests on été effectués sur un processeur Intel Celeron (930 MHz, 248 Mo de RAM). Quelques nformatons sur les cas testés sont présentées dans le Tableau 5.3 Nb. rotatons entre 555 et 959 Nb. navgants. entre 7 et 9 Nb. secteurs avons... entre et 3 Nb. sous-problèmes résolus.... entre 2 et 206 Temps de réponse...entre 7 et Concluson Tableau 5.3 Ce chaptre présente la deuxème étape du problème de créaton de plannngs, celu de l affectaton des vacatons/ rotatons. Nous avons vu que dans la lttérature, ce problème est souvent modélsé comme un problème de recouvrement/ parttonnement d ensemble et résolu à l ade de la programmaton lnéare et des technques de Branch&Bound et/ ou de génératon de colonnes. Nous proposons une approche de modélsaton du problème en tant que problème d affectaton généralsé. Après une décomposton temporelle et par qualfcaton, chaque sous-problème résultant est transformé en un problème d affectaton smple. Un algorthme ad-hoc qu combne deux méthodes classques de résoluton des problèmes d affectaton est utlsé pour résoudre chaque problème d affectaton smple. Ben que les résultats obtenus en résolvant le même problème comme un programme lnéare soent de melleure qualté, les résultats fourns par notre méthode de résoluton restent comparables avec ces derners. Le chaptre se conclut par la présentaton d un produt commercal développé par IFR France pour l affectaton de rotatons au personnel navgant d une compagne aérenne et qu utlse notre approche de résoluton. 9

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100 CONCLUSION Concluson La créaton de plannngs dans un contexte aéronautque attre l attenton de la communauté de Recherche Opératonnelle depus plus de quarante ans, car ce problème concentre de nombreux eneux sur les plans commercaux et méthodologques et consttue un domane d applcaton prvlégé pour l optmsaton combnatore. En début de ce manuscrt nous présentons les prncpaux problèmes soulevés par la créaton de plannngs, ans que des modèles et des méthodes proposés dans la lttérature pour leur résoluton. Nos travaux ont porté sur la constructon de plannngs pour le personnel travallant dans un contexte aéronautque : le personnel navgant d une compagne aérenne et le personnel au sol d un aéroport. Problème complexe et de grande talle, la créaton de plannngs est dvsée en deux sous-problèmes ndépendants : pour le personnel au sol, le premer sous-problème consste à grouper les tâches dans ce que l on appelle des vacatons. Les vols à effectuer par les navgants sont auss groupés dans des séquences nommées rotatons. Le deuxème sous problème est commun aux deux types de personnel et consste à affecter aux agents les vacatons/ rotatons créées, de manère à construre des plannngs personnalsés. Nous nous sommes ntéressés séparément aux problèmes de créaton de vacaton et de rotatons. Compte tenu de la ressemblance entre l affectaton de vacatons et l affectaton de rotatons, les deux cas ont été analysés ensemble, en tenant compte ben sûr des caractérstques spécfques de chaque problème. La créaton de vacatons étant un problème qu repose sur la satsfacton de nombreuses contrantes temporelles, nous proposons une approche de modélsaton basée sur le concept de plage horare. Le modèle obtenu permet une représentaton smple des contrantes, à partr de laquelle nous proposons une méthode heurstque de constructon de vacatons basée sur la méthode FFD (Frst Ft Decreasng) et sur la génératon de colonnes. La soluton obtenue avec cet algorthme peut être amélorée s l on veut que le crtère du problème prenne auss en compte la qualté des vacatons construtes. Nous analysons auss le cas où les agents travallent en grlle : le remplssage de vacatons. Un des avantages de l algorthme que nous proposons pour le problème de créaton est qu l peut être utlsé, avec quelques modfcatons, pour le problème de remplssage. La créaton de rotatons est un problème complexe, car, d une part, la réglementaton à laquelle les rotatons sont soumses trate beaucoup de cas partculers et, d autre part, la combnatore du problème est consdérable. C est pour cette rason que nous proposons une résoluton en deux étapes : une premère étape, la constructon de pérodes de servce (PdS), groupe les vols dans des ournées de traval (ou pérodes de servce) ; la deuxème étape enchaîne les ournées de traval, de manère à créer des rotatons. Nous proposons une modélsaton du problème de créaton de pérodes de servces par programmaton lnéare en varables mxtes. L avantage de cette méthode est qu elle peut prendre en compte les dfférents types des pérodes de servces. Pour le groupement des pérodes de servces dans des rotatons, un modèle lnéare en varables entères est utlsé. Les tests effectués sur les deux modèles proposés ont fourn de très bons résultats sur des eux de données de pette talle, pusque la soluton optmale est obtenue en quelques 93

101 CONCLUSION secondes mas le temps de réponse augmente exponentellement avec la talle du problème. Cet aspect nous amène à explorer d autres modaltés de résoluton. Pour la constructon de PdS, une méthode heurstque basée sur un algorthme de lstes a été envsagée et pourrat mantenant être mplémentée. Cet algorthme est basé sur le fat que le temps d escale entre deux vols dépend du fat que l équpage effectue le vol suvant sur le même avon ou sur un autre. Dans le premer cas la durée du temps d escale dmnue. Comme l obectf du problème reste de mnmser le temps hors-vol d une PdS, cette caractérstque du temps d escale peut être explotée. Les vols sont groupés en lstes selon l avon qu les effectue (une lste pour tous les vols sur le même avon) et trés en ordre crossant de leur date et heure de départ; ensute, les lstes sont tratées séparément : pour chaque lste, on essae de construre le maxmum de PdS entèrement comprses dans la lste. Cette technque de constructon rédut a pror la combnatore du problème. S l reste des vols non couverts, d autres PdS sont construtes par exploraton des lstes des vols. En ce qu concerne le problème de constructon de rotatons à partr des PdS, la premère voe à explorer pour rendre plus performante la constructon de rotatons reste la génératon de colonnes. Pour le problème d affectaton du personnel aux vacatons et aux rotatons, nous proposons une approche par décomposton et smplfcaton du problème global. En rason des nombreuses contrantes réglementares, le problème est modélsé comme un problème de mult-affectaton généralsé. Nous proposons une décomposton temporelle et par qualfcaton et ensute une transformaton du problème d affectaton généralsé en problème d affectaton smple par relaxaton Lagrangenne. Un algorthme ad-hoc est utlsé pour la résoluton de chaque problème de base. La décomposton par qualfcaton permet la prse en compte d une manère plus flexble des contrantes exstant entre les dfférentes qualfcatons au sen du même l équpage. La décomposton temporelle dvse l horzon du problème global en pluseurs ntervalles de temps. Pour garder la vsblté sur tout l horzon, nous ntrodusons des cumuls qu gardent l hstorque de chaque agent sur tout l horzon : temps de traval/ de vol déà effectué, ours consécutfs travallés. Les cumuls sont ms à our à la fn de chaque sousproblème. Ans, chaque règle sera vérfée lors de chaque sous-problème par rapport à ces cumuls, et non plus par rapport aux valeurs absolues du problème global. Notre méthode de résoluton n est pas auss performante que la méthode exacte de programmaton lnéare pour la résoluton des problèmes d affectaton smple: temps de réponse plus élevé et soluton pas touours optmale. Pourtant, globalement, l «abandon» de la programmaton lnéare est peu pénalsant. Nous rappelons que nos travaux ont eu auss un but ndustrel : le module d affectaton de personnel devat être ntégré dans un des produts logcels commercaux de la compagne IFR France. Pour des rasons de coût économque du produt fnal destné aux compagnes aérennes, une des contrantes du caher des charges nterdsat l utlsaton des logcels commercaux de programmaton lnéare. En même temps, les résultats obtenus sute aux tests, ont prouvé que la méthode proposée fournt des résultats de qualté dans un temps de réponse rasonnable. Une des perspectves du traval concernant l affectaton de vacatons/ rotatons, concerne la prse en compte des desderata des agents, car la satsfacton des souhats du personnel a des répercutons mportantes sur la qualté du traval. Deux types de desderata sont dstngués : les desderata ndvduels et les desderata concernant les couples travallant ensemble. Des problèmes d agrégaton de préférences se posent alors et l serat ntéressant de réfléchr à la logque d agrégaton à prvléger. Une approche multcrtère pourrat être également développée pour le problème d affectaton : au crtère classque du problème, de nature économque, l aspect de satsfacton du personnel peut être aouté comme deuxème crtère. 94

102 CONCLUSION A plus long terme, nous souhatons ntégrer dans de futures approches l aspect prévson de la charge de traval, phase amont à la planfcaton, et l aspect régulaton, phase aval du plannng. Dans ce deuxème cas, l analyse des aléas entraînant la modfcaton des plannngs pourrat déboucher sur la constructon de plannngs prévsonnels plus robustes, c'est-à-dre supportant meux les aléas. 95

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