Interprétation cristalline de l isomorphisme de Deligne-Illusie (cas des courbes)

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1 Interprétaton crstallne de l somorphsme de Delgne-Illuse (cas des courbes) C. Huyghe et N. Wach 6 avrl 23 Abstract In 987, Delgne and Illuse proved the degeneraton of the spectral sequence de Hodge vers de Rham n a purely algebrac way, by constructng a quas-somorphsm at the level of derved categores between the de Rham complex of smooth schemes n car. p > of dmenson < p wth a complex wth dfferentals. We gve here a crystallne verson of ths morphsm for projectve curves and show that the two morphsms are compatble. As an applcaton of ths compatblty, we compute the (ϕ, Γ)-module mod p assocated to the Drnfeld Curve. Résumé En 987, Delgne et Illuse ont démontré la dégénérescence de la sute spectrale de Hodge vers de Rham d une façon purement algébrque, en construsant un quassomorphsme dans la catégore dérvée entre le complexe de de Rham d un schéma lsse en car. p >, de dmenson < p et un complexe à dfférentelles nulles. Nous donnons c une verson crstallne de ce morphsme pour les courbes projectves et montrons que les deux morphsmes sont compatbles. Comme applcaton de cette compatblté, nous calculons le (ϕ, Γ)-module mod p assocé à la courbe de Drnfeld. Table des matères Notatons 4 2 Constructon du morphsme Φ crstalln 6 Les deux auteurs ont bénéfcé du souten du projet CETHop : ANR-9-JCJC-48-, coordonné par Xaver Caruso, projet de l Agence Natonale de la Recherche. MSC classfcaton 2 : S23, 4F3, 4F4

2 3 Comparason avec le morphsme de Delgne-Illuse 4 Comparason avec le Frobenus dvsé de Mazur pour les courbes 24 5 Applcatons à la courbe de Drnfeld 28 Introducton Soent k un corps fn, de caractérstque p dfférent de 2, W = W (k), X un schéma lsse sur spec k de dmenson D, qu se relève en un schéma lsse X sur W/p 2. S l on note X le changement de base par le Frobenus F du schéma X, DR X le complexe de de Rham de X, Delgne et Illuse ont montré qu l exste un morphsme dans la catégore dérvée des fasceaux de O X -modules : DI : Ω X [ ] F DR X, <p qu, par passage à la cohomologe, ndut l somorphsme de Carter pour < p. Une conséquence spectaculare de ce résultat fut une démonstraton algébrque de la dégénerescence de la sute spectrale de Hodge vers de Rham pour un schéma propre et lsse sur un corps de caractérstque. Smultanémenent, Fontane et Messng [FM87], ont donné une constructon dans le cadre de la cohomologe syntomque de ce morphsme de décomposton, mas sans comparer avec le morphsme de Delgne-Illuse. Ensute Breul [Bre98], a donné une verson log-syntomque de ce morphsme, sans comparer non plus sa constructon avec celle de Delgne-Illuse. Rappelons que la constructon de Delgne-Illuse repose sur deux étapes. D abord on construt une flèche DI dans la catégore dérvée du complexe tronqué O X Ω X [ ] vers F DR X. Ensute, on utlse cette flèche pour construre le morphsme de Delgne- Illuse. Nous regardons c une stuaton technquement plus smple en nous plaçant dans le cas où X est projectf, et en donnant une verson crstallne Φ du morphsme de Delgne- Illuse tronqué pour, dont nous montrons qu l coïncde, en un sens qu sera précsé en 2.4, avec celu de Delgne-Illuse (tronqué pour ). S X est une courbe projectve lsse, qu se relève sur spec W, nous montrons ans que le morphsme de Delgne-Illuse provent d un morphsme crstalln. Cec nous permet de démontrer que le morphsme de Delgne-Illuse est ben, mod p, le morphsme de Frobenus dvsé défn par Mazur dans [Maz73] sur la cohomologe de de Rham de X. Or, la smplcté technque de la constructon de Delgne-Illuse a une conséquence pratque mportante, qu est que cette applcaton est complètement calculable dans certans cas explctes. C est d alleurs cette observaton qu a motvé notre traval : un calcul crstalln analogue serat 2

3 hors de portée. Prenons l exemple de la courbe de Drnfeld, dont Haastert et Jantzen ont calculé la cohomologe crstallne dans [HJ9]. En nous appuyant sur leur calcul, nous pouvons calculer, grâce à une méthode due à Wach, le (ϕ, Γ)-module mod p assocé à cette courbe, ce qu est équvalent à la descrpton comme représentaton galosenne de la réducton mod p, de la cohomologe étale de X K à coeffcents dans Q p (où K est une clôture algébrque de K). Il apparaît alors que l acton de Γ est dagonalsable, ce qu smplfe le calcul. Notre résultat montre ans que la constructon de Delgne-Illuse a des applcatons tout à fat concrètes. Au passage nous voyons auss que cette courbe n est pas ordnare. Après une premère parte de notatons, nous démontrons le théorème de comparason dans la deuxème parte de cet artcle. Il faut d abord construre le morphsme Φ crstalln, ce qu fat l objet de la secton 2. Pour comparer avec le morphsme de Delgne-Illuse (secton 3), l faut calculer Φ par descente cohomologque, va un complexe que nous notons K. L argument clé pour mener à ben le théorème de comparason est que l on peut construre une vrae flèche de complexes O X Ω X [ ] K, qu commute aux morphsmes de descente cohomologque (cf ). Le théorème de comparason n est donc pas complètement formel à partr de la défnton de Φ. Dans la secton 4, nous comparons avec la constructon de Mazur pour les courbes. Dans la secton 5, nous menons le calcul explcte pour le cas des courbes de Drnfeld, en donnant un algorthme et le (φ, Γ)-module. La constructon de Delgne-Illuse, ben que smple, peut paraître mraculeuse. Il n en est fnalement ren pusque celle-c provent du Frobenus dvsé crstalln, que l on peut calculer de façon systématque en utlsant une résoluton smplcale de la courbe X. Au mons pour les courbes, la constructon de Delgne-Illuse s obtent donc en aplatssant cette flèche crstallne, au nveau de résolutons de Čech des dfférents fasceaux consdérés. Pour les courbes hyperellptques, d autres méthodes exstent pour calculer la réducton mod p n du (ϕ, Γ)-module assocé à la cohomologe étale de X K, qu font appel à des calculs de cohomologe rgde tels qu ntés par Kedlaya [Ked] et à l algorthme de Wach [HW3]. L approche va le morphsme de Delgne-Illuse est dfférente, sans doute plus générale, mas ne fournt qu un résultat mod p. Nous tenons à remercer, pour avor répondu avec gentllesse et précson à nos questons concernant ce sujet : Chrstophe Breul, Jean-Marc Fontane, Luc Illuse et Arthur Ogus. Nous remercons auss Mchel Gros de nous avor sgnalé l artcle de Haastert-Jantzen [HJ9], ans que Perre Berthelot et Bernard le Stum pour l ntérêt qu ls ont manfesté pour ce traval. 3

4 Notatons Rappelons que p est un nombre premer dfférent de 2, k est un corps fn de caractérstque p >. Nous noterons W = W (k), W n = W/p n W, S = spec W, S = spec k, S n = spec W n+. Dans ce texte, X est un schéma projectf lsse sur S, qu admet un relèvement projectf, lsse X sur S,.e. modulo p 2. On fxe a : X X. S Y est un schéma sur W, Y n sera le schéma Y n = spec W n spec W Y. Etant donné une mmerson fermée : X Y n de X dans un S n -schéma lsse Y n, nous noterons P(Y n ) l enveloppe à pussances dvsées de l déal de cette mmerson et J Yn PD-déal de P(Y n ). L algèbre P(Y n ) est fltrée par les pussances dvsées de l déal J Yn : J [k] Y n est l déal engendré par les éléments x [a ] x [ar] r tels que les enters naturels a vérfent a +...+a r k. En partculer, on a l égalté J Yn = J [] Y n. On omettra le Y n en ndce quand le contexte sera clar. La lettre grecque σ désgnera à la fos le Frobenus sur k, et auss son relevé sur W ou W n pour tout n. S Y est un k-schéma, F Y sera le Frobenus absolu sur Y, Y = Y spec k spec k, le changement de base par le Frobenus sur k, et F sera le Frobenus relatf habtuel : Y Y. De façon abusve, nous noterons auss F le morphsme ndut par F : F O Y O Y. En général, s Y n est un schéma sur S n, Y n sera le produt fbré par le morphsme σ : Y n = Y n Sn S n. S E est un fasceau de W n+ -modules lbres sur un S n -schéma, on notera m p (resp. m p ) l somorphsme de multplcaton par p, m p : E/p n E p E, (resp. m p son somorphsme nverse). S u est un morphsme de fasceaux W n+ -lnéare : E F, le dagramme suvant est ben entendu commutatf le E/p n E u F/p n F m p p E, u m p p F, ce qu revent à dre que m p u = u m p. S Z est un S-schéma (resp. S n -schéma), on notera Ab Z la catégore des fasceaux de groupes abélens pour la topologe Zarsk sur Z et D b (Ab Z ) la catégore dérvée des complexes à cohomologe bornée des fasceaux de Ab Z. On notera auss D b (Ab Z ) la catégore dérvée des complexes à cohomologe bornée des fasceaux de O Z -modules cohérents. Les conventons pour les complexes (ndexés par Z) sont les suvantes : s K est un complexe de modules, et a Z, alors (K [a]) j = K j+a. Le tronqué cohomologque σ a K 4

5 est le complexe : K a K a Ker(d a+ ). Soent mantenant K, un b-complexe de modules tel que K,j = s et j j pour un certan couple (, j ), et dont les dfférentelles horzontales et vertcales sont notées respectvement d et d. Alors le complexe smple assocé sera noté [K, ] s et a pour terme général [K, ] s n = K n = +j=n K,j et pour dfférentelle pour x K,j, d(x) = d (x) + ( ) d (x). O X /S n Nous serons amenés à consdérer dans la sute les stes crstallns X /S n, dont on notera le fasceau structural, défn par O X /S n (T ) = O T, s U T est un épassssement de U, c est-à-dre une mmerson fermée défne par un déal à pussances dvsées (PD-déal) J U = Ker(O T O U ). Ces déaux forment le fasceau de PD-déaux J X /S n. On notera J [k] X /S n le k-ème terme de la fltraton PD-adque et on notera u la projecton sur le ste zarsken j, (X /S n ) crs (X /S n ) Zar. Nous aurons auss beson de l applcaton suvante défne sur Z et à valeurs dans N. S j = nf j v p ( p et j = pour j. Nous fasons alors l observaton : Lemme.. Pour tout nombre premer p et tout j, j. Pour tout nombre premer p 2, et tout j 2, j 2. Démonstraton. S σ() désgne la somme des chffres de écrt en base p, alors ( ) p v p = σ() 2) + (p! p p p 2 p + s, p Ce qu montre le (). D autre part, on a s 2,! ), ( ) p v p! 2) + 2(p p p + p 2 p > de sorte que cette quantté, qu est un nombre enter relatf, est supéreure à 2 s 2, ce qu montre (). 5

6 2 Constructon du morphsme Φ crstalln 2. Généraltés Supposons que X se plonge dans un schéma projectf Y n, de dmenson N, lsse sur S n. mun d un relèvement F : Y n Y n du morphsme de Frobenus relatf sur la fbre spécale Y (on peut par exemple prendre pour Y un espace projectf sur S n ). L hypothèse que X est projectf ntervent c pour pouvor calculer le Frobenus crstalln par plongement de X dans un schéma lsse sur S, sur lequel on dspose d un relèvement du Frobenus, ce qu n est pas garant sans cette hypothèse. Défnton 2... On appelle réalsaton de Ru X O X /S n est quas-somorphe à Ru X O X /S n. tout complexe de D b (Ab Yn ) qu Consdérons la réalsaton de Ru X O X /S n suvante E Yn : P(Y n ) P(Y n ) OYn Ω Y n P(Y n ) OYn Ω N Y n, () dont la dfférentelle est obtenue à partr du fat que d(x [a] ) = x [a ] dx pour toute secton locale x de l déal à pussances dvsées J de P(Y n ). Le relèvement du Frobenus sur Y n ndut un morphsme de Frobenus F : E Y n F E Yn et on dspose des estmatons de Mazur ([Maz73]) De plus, F (Ω Y n ) p Ω Y n pour tout enter naturel. k, F (J [k] Y n P(Y n)) p k P(Y n ). (2) On rappelle de plus que l on dspose dans D (Ab Yn ) d un quas-somorphsme can : Ru X J [m] [m] X /S n L Y n, où L [m] Y n est le complexe de fasceaux Zarsk sur X, L [m] Y n : J [m] J [m ] OYn Ω Y n J [m N] OYn Ω N Y n. Nous aurons beson d un énoncé analogue pour le fasceau J X /S X /S. Proposton 2.2. Supposons que l on at une mmerson fermée α : X Y, où Y est un S -schéma lsse. Dans la catégore D (Ab Y ), l exste un quas-somorphsme can : Ru X /S (J X /S X /S ) L [] Y /L [2] Y. De plus, le complexe M [] Y = L [] Y /L [2] Y est à cohomologe en degrés et et est donné par : M [] Y : J Y Y α Ω Y. 6

7 A tout dagramme commutatf de S -schémas Z β h α X Y, où Y et Z sont lsses, correspond un quas-somorphsme canonque : M [] Y M [] Z. Remarque. La O X -lnéarté de la dfférentelle d du complexe M [] Y entraîne que l on travalle en fat avec des complexes de D b (O X ), ce que nous ferons dans la sute. Démonstraton. D après la démonstraton de 6.2 de [BO78], ces complexes sont obtenus en applquant le foncteur Ru X /S aux complexes de fasceaux lnéarsés sur le ste crstalln (X /S ), dont le terme de degré q, noté K m q, est égal à F m (L(P(Y ) OY Ω q Y )) pour m = et m = 2. Comme ces complexes sont acyclques pour u X /S ( de loc. ct.), on observe que u X (Kq m ) = F m (P(Y ) OY Ω q Y ). De plus, les quotents Kq m /Kq m+ sont auss acyclques pour u X /S par la sute exacte longue de cohomologe. Le quotent J X /S X /S est ans quas-somorphe au complexe de terme général Kq /Kq 2, qu est à termes acyclques pour u X /S. On en dédut que Ru X /S (J X /S X /S ) est quassomorphe au complexe de terme général u X /S (Kq /Kq 2 ) u X /S (Kq )/u X /S (Kq 2 ), et donc au complexe L [] Y /L [2] Y, sot encore au complexe J Y Y P(Y )/J Y OY Ω Y. On remarque que P(Y )/J [] Y est somorphe à O X, ce qu donne le de l énoncé. Le () provent de la fonctoralté des résolutons L [m] Y n, qu fournt des quassomorphsmes de complexes (V, corollare de [Ber74]). L applcaton ndute entre M [] Y et M [] Z provent des morphsmes canonques J Y J Z et α Ω Y β Ω Z. Et comme M [] Y = L [] Y /L [2] Y (resp. pour Z ), l applcaton obtenue est un quas-somorphsme. 2.3 Calcul dans des cas partculers Rappelons que par hypothèse, X admet un relèvement projectf lsse X sur S, qu est fxé. Supposons que X se plonge dans un schéma lsse Y, va une mmerson de fasceaux a d déaux régulers L. On note α l mmerson composée : X X Y. On suppose qu l exste une secton s e au morphsme canonque O Y O X. Cette secton permet de munr l algèbre P(Y ) d une structure de O X -module, que l on fxera dans la sute de ce paragraphe. Soent d le morphsme canonque L/L 2 Ω Y, L = a L, et d : L/L2 α Ω Y, le morphsme dédut de d par réducton mod p. On note encore s e : O Y O X, le morphsme dédut de s e. On a alors le résultat suvant : 7

8 Proposton Sous les hypothèses c-dessus, le complexe M [] Y est quas-somorphe au complexe de D b (O X ) O X L/L 2 α Ω Y, dont la dfférentelle d est O X -lnéare et est donnée, pour (a, b) O X L/L 2 par d (a + b) = d(b), en partculer, on dspose d un morphsme de complexes O X M [] Y. Etant donné un dagramme commutatf de S schémas lsses Y, Z Z j h X Y, on note β = j a, α = a, M la réducton mod p du fasceau d déaux M de l mmerson X Z. On dspose alors d un morphsme canonque de complexes, qu est un quas-somorphsme de D b (O X ) : O X L/L 2 α Ω Y O X M/M 2 β Ω Z. Démonstraton. Commençons par (). L algèbre P(Y ) est auss la PD-algèbre de l déal L, de sorte que cette algèbre content le PD-déal K engendré par les éléments de L. Ans on a la relaton J Y = pp(y ) + K. Sot W un ouvert de Y tel que τ,..., τ n est une sute régulère de générateurs de L. Alors pour tout k tel que k, les éléments pτ [k] sont dans J [2] Y, de même que p 2, s ben que l déal J Y Y est annulé par p. On dspose d une flèche évdente L/L 2 K/K [2] qu donne une flèche L/L 2 J Y Y. On dspose d autre m p part d une flèche O X po X pp(y ). On a ans une flèche s : O X L/L 2 J Y Y. Il sufft de vérfer localement, sur un ouvert W de Y sur lequel τ,..., τ n est une sute régulère de générateurs de L, que s est un somorphsme. En utlsant la secton s e on a les dentfcatons suvantes P(Y ) k O X τ [k], K O X τ [k], K/K [2] k n O X τ, = 8

9 ce qu montre que K/K [2] est somorphe à L/L 2. D autre part, J Y Y est somorphe sur W à po X n = O X τ, et donc au module O X L/L 2. La vérfcaton de l expresson de d peut auss se fare localement. Comme rappelé en 2., s τ L, d (τ) = d(τ). D autre part, comme O X s envoe dans P(Y ) va la multplcaton par p, m p, la dfférentelle s annule sur po X, donc d s annule sur O X, ce qu nous donne l expresson voulue de d. Il reste à vérfer la O X -lnéarté de d. S b O X, τ L, on calcule d (bτ) = s e (b)d(τ) + τd(s e (b)) P(Y ) OY Ω Y. Or, τd(s e (b)) L Ω Y, ce qu fnalement donne d (bτ) = b d (τ) α Ω Y. Le () est une conséquence évdente du (). Le () est une traducton de () de 2.2. Dans la sute, nous applquerons le résultat précédent aux mmersons dagonales X X S S X, pusque les surjectons canonques O X W2 W2 O X O X possèdent des sectons. Pour la proposton qu sut, on prend la secton s e du morphsme O X W2 O X O X donnée par s e (b) = b. est quas-somorphe au com- Proposton S on chost Y = X, alors M [] Y plexe à dfférentelle nulle D X : O X Ω X [ ]. S on chost Y = X S X, et α : X X X obtenue comme le composé de l mmerson fermée X X et de l mmerson dagonale : X X X, alors M [] X X est quas-somorphe au complexe E X : O X Ω X α Ω X X, dont la dfférentelle est donnée localement, pour a, b, c O X, par d (a + b dc) = b ( dc dc ). Démonstraton. Il s agt d une smple applcaton de Avec les notatons de cette proposton, dans le cas (), L =. Dans le cas (), L = Ω X, et la descrpton de la dfférentelle résulte alors du calcul de Remarque. Le quas-somorphsme de () de 2.3. entre les deux complexes de la proposton est donné par le quotent par le PD-déal K et le morphsme canonque α Ω X X Ω X. Le dagramme suvant décrt ce quas-somorphsme de complexes, dont la flèche vertcale de gauche est smplement la projecton sur O X. 9

10 O X Ω X d α Ω X X O X Ω X. 2.4 Défnton de Φ Revenons mantenant au cas d une mmerson fermée dans un S -schéma lsse X Y. Supposons de plus que Y sot mun d un relèvement du Frobenus. On en dédut une mmerson fermée X Y. La proposton suvante permet alors de défnr le morphsme Φ, à partr de l acton du Frobenus F sur le complexe E Y défn en. Proposton 2.5. Sous les hypothèses c-dessus. () On peut défnr un morphsme de complexes dans D b (O X ), Φ L [] Y /L [2] F Y E Y. = m p F : () Ce morphsme est fonctorel en la donnée de Y et permet de défnr un morphsme Φ abs dans Db (O X ) : Ru X (J X /S X /S ) F Ru X /S O X /S. Démonstraton. Commençons par regarder l acton du Frobenus sur le complexe E Y, dont on notera d la dfférentelle. D après les estmatons de Mazur 2 et le lemme., de sorte que F envoe J Y une applcaton Φ : J Y F Y Y F (J [2] ) p 2 P(Y ) =, Y sur pp(y ) qu on dentfe à P(Y ) va m p ( ). Cec défnt P(Y ). De même F (J Y OY Ω Y ) =, de sorte que ( ) P(Y )/J Y OY Ω Y p P(Y ) OY Ω Y, qu on dentfe à P(Y ) OY Ω Y va m p, de façon à défnr une applcaton Φ. Par constructon d Φ = Φ d. Enfn, F (P(Y ) Ω2 Y ) p 2 P(Y ) Ω 2 Y =, nous dt que d Φ L [] Y =, ce qu mplque que l on a ans défn un morphsme de complexes Φ : F E Y. /L [2] Y Pour le (), l sufft de montrer que le morphsme ans défn ne dépend pas du chox du plongement X Y. Sot Z un autre plongement de X dans un S -schéma lsse, mun d un relèvement du Forbenus. On note Φ Y le morphsme correspondant à Y et le morphsme correspondant à Z. Il sufft, d après la fonctoralté de V2.3.4 de Φ Z

11 [Ber74], de remarquer que le dagramme suvant, dont les flèches horzontales sont des quas-somorphsmes, est commutatf. Φ Y M [] Y M [] Z Φ Z E Y E Z. Or la commutatvté vent du fat que le dagramme analogue pour le Frobenus sur les complexes E Y et E Z est commutatf. Tronqué en degré, le morphsme de Delgne-Illuse ndut un morphsme dans D b (O X ) : DI : O X Ω X F DR X. Les complexes Ru X (J X /S X /S ) et Ru X O X /S et se réalsent auss respectvement sur X et X. On peut regarder le dagramme suvant Ru X (J X /S X /S )Φ abs F Ru X O X /S can can O X Ω X DI F DR X. Le but de cet artcle est de montrer le théorème : Théorème 2.6. Le dagramme précédent est commutatf. La démonstraton de ce théorème occupe la secton 3 et fera l objet de l énoncé Rappelons que, par passage à la cohomologe, le morphsme DI, coı ncde avec l somorphsme de Carter C : Ω X H F DR X, défn pour c une secton locale de O X par C (dc) = classe de (c p dc) dans H F DR X. 3 Comparason avec le morphsme de Delgne-Illuse a Dans toute la sute, nous fxons une mmerson fermée X X, où X est un S -schéma projectf et lsse. 3. Consdératons smplcales Il est classque que l acton du Frobenus sur la cohomologe crstallne se calcule par descente cohomologque. Nous mettons en place ce calcul c. Donnons-nous un recouvrement ouvert de X par des ouverts affnes U pour {,..., n}, muns de coordonnées globales et d un relèvement du Frobenus F : U U. Sot U [] = I U. On consdère auss U les fbres spécales de ces ouverts, qu forment un recouvrement de X et U [] = I U.

12 Sot U le S -schéma smplcal donné par le cosquelette cosq(u [] S ),.e. le schéma smplcal augmenté vers S de composantes les pussances cartésennes de U [] sur S, U le schéma smplcal augmenté vers X, cosq(u [] X ), de composantes les pussances cartésennes de U [] sur X. Nous dsposons ben entendu, après changement de base par le Frobenus, des schémas smplcaux U et U. On note alors ε le morphsme canonque U [] X. Sur le ste crstalln assocé au ce schéma smplcal U, on consdère, pour tout enter k, les fasceaux O U /S ans que J [k] U smplcal de U. Notons encore pour un mult-ndce = (,..., u ) : - U = U U u, U = U U u, - U () = U S... S U u, U () = U S... S U u, (resp. J U /S U /S ). Le schéma U est un sous-schéma - α l mmerson fermée U U (), β l mmerson fermée U U (), - P(U () ) la PD-enveloppe de l mmerson α, J le PD-déal de cette mmerson, - M l déal de l mmerson fermée U U (), dont le PD-déal sera noté N. On remarquera que M = et que M,j est la restrcton à U,j de l déal dagonal de X engendré par les sectons locales a b b a pour a, b O X. - L l déal de l mmerson fermée α, de sorte que L = po U () + M, J le PD-déal de l mmerson fermée α. Ans N est un sous-pd-déal de J. En fat, J = po U() N (cf. la démonstraton de 2.3.). Dans la sute on adaptera la proposton 2.2 aux mmersons fermées α. Comme U a pour composantes des réunons dsjontes d ouverts de X, les composantes du fasceau ε J [] X /S /J[2] X /S sont sommes drectes de restrctons de J X /S /J[2] X /S à des ntersectons de k-ouverts parm les U, pour k varable On vot ans que ε J X /S X /S est le fasceau smplcal J [] U U. Par V de [Ber74], la flèche canonque d adjoncton J X /S X /S Rε ε J X /S X /S canonque dans D b (O X ), est un somorphsme, ce qu nous donne fnalement un somorphsme Ru X /S J X /S X /S Rε Ru U /S J U /S U /S. L applcaton ε : U X est affne, et grâce à la proposton 2.2, les termes du complexe Ru U /S J U /S U /S sont O U cohérents, de sorte que ce complexe est à termes acyclques pour ε. Nous le calculons explctement dans la sous-secton suvante. Dans la sute, on notera DC les morphsmes de descente cohomologque se rapportant à des résolutons smplcales de X. 2

13 3.2 Le calcul Sauf menton explcte du contrare, les produts cartésens seront prs c sur S. Les notatons sont celles défnes en Mse en garde. Les algèbres P(U () ) sont des O U -algèbres, obtenues par la () proprété unverselle des algèbres à pussances dvsées. Les morphsmes J J avec = u et = u sont obtenus par fonctoralté des enveloppes à pussances dvsées à partr des morphsmes habtuels O U O () U, et dont la constructon est rappelée cdessous. Pour explcter ces morphsmes, nous nous contentons dans la sute de donner ( ) les formules pour les flèches O U O () U. Il est alors sous-entendu que ces flèches donnent des ( ) flèches au nveau des complexes smplcaux consdérés, par fonctoralté des constructons. Il s agt donc d un abus de notaton, qu est habtuel. Nous donnerons au cours du calcul l expresson détallée de ces flèches. D autre part, nous travallons dans des quotents. Nous utlserons alors la notaton a pour sgnaler qu on regarde l mage de l élément a dans un quotent, qu sera en prncpe clar. Ans, dans J (où J est le PD-déal de P(U ())), s b est une secton locale de O U, resp. c une secton locale de O U j, l élément bc b c sera l mage de l élément bc b c modulo J [2] Consdérons, pour u N, = {,..., u }, et l {,..., n}\{,..., u }, δ l : O U S S O U u O U S S O U l S S O U u Cette flèche ndut des flèches f f u f f u. d,u : =u+ P(U () ) =u+2 P(U () ) S = (S ) d,u (S) avec (d,u (S)) = u+ l= ( )l δ l (S,...,î l,..., u+ ), ans que les flèches analogues pour v N, d v,u : =u+ P(U () ) Ωv U () =u+2 P(U () ) Ωv U (). (3) Le complexe Rε Ru U /S J U U, avec les notatons de 2.2 applquées aux mmersons fermées α, est quas-somorphe au bcomplexe M,, qu on représente comme un complexe 3

14 dont les termes sont des complexes en degré,,..., n : M, : M [] U,j M [] M []. (4) U U (,j) (,...,n) Toujours d après 2.2, chaque complexe M [] admet une résoluton en deux crans. U () Consdérons le b-complexe de terme général K t,u pour u, v, K,u J, et K,u = α Ω U (), =u+ =u+ avec pour dfférentelle d.,u : K.,u K.,u+ décrtes c-dessus (3) et d t,., qu est la dfférentelle provenant du complexe donné en 2.2 et qu sera explctée plus lon. Ecrvons les premers termes de ce bcomplexe :... α Ω U () d, d, <j α,j Ω U (,j) <j<k α,j,k Ω U (,j,k)... J d, <j J,j,j <j<k J,j,k,j,k.... Le complexe smple K assocé à ce b-complexe est quas-somorphe à Rε Ru U /S J U /S U /S et auss au complexe Ru X (J X /S X /S ), c est-à-dre fnalement au complexe à dfférentelle nulle D X (cf 2.3.). En partculer, la cohomologe de ce complexe est concentrée en degrés et, de sorte que ce complexe smple est quas-somorphe à son tronqué cohomologque σ K. Le complexe smple K est le complexe : K : J d d <j <j<k J,j,j α Ω U () J,j,k,j,k <j α,jω U (,j)... α,...,nω U (,...,n), (5) et les premères dfférentelles provennent par fonctoralté de la formaton des PD-algèbres, des flèches suvantes : ( n ) d f = ( f j f ) n df, = <j = d n h,j ω = (h j,k ) δ (h,k ) + δ 2 (h,j )) <j = <j<k(δ ( ω j ω dh,j ). <j On note fnalement DC 2 le morphsme de descente cohomologque DC 2 : Ru X /S J X /S X /S K. Dans la sous-secton suvante, nous précsons ce calcul. 4

15 3.3 Comparason de morphsmes de descente cohomologque 3.3. Pour calculer le complexe Ru X /S J X /S X /S, sans voulor calculer le morphsme de Frobenus, on peut auss utlser le recouvrement (U ) et les mmersons fermées U U. On peut auss consdérer le recouvrement X X, qu donne leu à un morphsme de schémas smplcaux constants X X. D où fnalement un dagramme de schémas smplcaux U U X X. Le morphsme de descente cohomologque obtenu pour le morphsme de schémas smplcaux constants du bas n est ren d autre que le morphsme canonque de On notera auss Ũ le système de schémas smplcaux correspondant aux morphsmes U U et ε : U X, correspondant à ce système de schémas smplcaux. On dspose alors d un somorphsme de descente cohomologque DC. Les complexes M[] décrts en 2.2 U sont quas-somorphes aux complexes à dfférentelles nulles D U : O U Ω U [ ] va les dentfcatons 2.3. et Le complexe R ε J X /S X /S est alors donné par le complexe smple assocé au bcomplexe M, : M [] U,j M [] M []. (6) U,j U,...,n assocé au recouvrement (U ), resp. Sot C (O X ) le complexe de Čech du fasceau O X C (Ω X ), celu du fasceau Ω X On vot fnalement que le morphsme canonque DC., assocé au système Ũ, va de Ru X /S J X /S X /S vers le complexe smple assocé au b-complexe C (O X ) C (Ω X On a de plus un morphsme de complexes canonque, )[ ]. assocé au dagramme de schémas smplcaux c-dessus : res : O X ΩX C (O X ) C (Ω X )[ ]. D autre part, étant donné les dentfcatons qu ont été fates, et la fonctoralté des flèches DC pour le dagramme c-dessus, le dagramme suvant est commutatf Ru X /S J X /S DC can=dc [ C (O X ) ] C (Ω X )[ ] s. res O X ΩX [ ] Utlsons de nouveau les dentfcatons 2.3.2, en munssant P(U (,j)) de la structure de O U -module envoyant a sur a. Le premer terme du complexe K de 5 s dentfe alors (,j) 5

16 à K O U le deuxème terme K du complexe K de 5 à K <j J,j,j α Ω U () p <j J, O U,j Ω U Ω,j U. (7) On peut donc récrre K en utlsant ces dentfcatons, ce qu nous donne K : O U O U,j Ω U,j <j Ω U d <j<k J,j,k,j,k <j α,jω U (,j)... α,...,nω U (,...,n), (8) Défnton Pour f une secton locale de O X, on pose w (f) = (f U ) O U. Pour ω une secton locale de Ω X, on pose w (ω) = (( ω U,j ) ω U ) O U,j Ω U,j <j Ω U. Proposton L applcaton w défnt un morphsme de complexes D X K rendant commutatf le dagramme : Ru X /S J can=dc O X Ω X [ ] DC 2 K. w Démonstraton. Montrons d abord que w est un morphsme de complexes. Comme D X est un complexe à dfférentelle nulle, l sufft de montrer que d w = (resp. d w = ). Montrons d abord que d w =. Sot f une secton locale de O X, alors pf est une secton locale de po X, qu s envoe sur pf P(X ). d ( pf) = ( d(pf) U,j ) (d(pf) U ) = O U,j Ω U α,j Ω U (),,j d où l asserton. Montrons ensute que d w =. Pour cela, notons ρ,j l mmerson ouverte U,j U et dentfons α,j Ω U (,j) à ρ,j β Ω U ρ j, β j Ω U. Un élément ω de Ω j X 6

17 s écrt localement ω = bdc, sot comme la classe de bc c b, avec b, c O X dans J X. Alors w X (ω) = ( bc c b U U j ) (bdc U ). La composante sur J,j,k,j,k de d w (ω) est d w (ω),j,k = bc c b ( bc c b) + bc c b = (c c )( b b ) J [2],j,k =. La composante sur α,j Ω U (,j) de d w (ω) est d w (ω) = d(( b)( c c )) + b( dc dc ) U,j = ( c c )( db) (b( dc dc ) + b( dc dc ) U,j = ( c c )( db) = α,jω U (,j), car ( c c )( db) M,j Ω U (,j). Et on en conclut que w est un morphsme de complexes. Consdérons ensute le dagramme de morphsmes de schémas smplcaux, où les deux carrés sont commutatfs U U U ( ) U X X. Le carré cartésen du haut donne une flèche canonque red : K [ C (O X ) ] C (Ω X tel que red )[ ] DC 2 = DC. Le complexe s C = [ C (O X ) ] C (Ω X )[ ] s écrt : s d O U <j O U,j Ω U d <j<k O U,j,k <j Ω U,j... d n Ω U,...,n. Calculons red et red. On vot faclement que red : K = O U O U est égal à l dentté. D autre part, dentfons la composante d ndce (, j) de K comme en 7 à O U,j Ω U Ω,j U.,j Alors, d après la démonstraton de 2.3.2, la flèche J,j,j po U O,j U,j est donnée par la réducton modulo le PD-déal N,j (où ce qu revent au même c modulo M,j ), ce qu 7

18 donne le fat que red est la projecton : red ((f,j ω,j ) (η )) = (f,j ) (η ). Cec nous permet de calculer pour a O X, red w (a) = (a U ) = res (a) et pour ω Ω X, red w (ω) = red (( ω U,j ) (ω U ) = (ω U ) = res (ω). On en conclut que res = red w. On dspose fnalement du dagramme suvant dans D b (Ab X ) DC Ru X /S J X /S X /S can=dc O X Ω X [ ] DC 2 w K red res [ C (O X ) ] C (Ω X )[ ] s, où red DC 2 = DC res DC = DC red w = res. On en dédut : red DC 2 = res DC = red w DC. Comme l applcaton red est un quas-somorphsme, cela nous donne l égalté des morphsmes dans la catégore dérvée : w DC = DC 2. Nous obtenons en partculer le Corollare Le morphsme de complexes w construt en est un quassomorphsme de complexes. Rappelons mantenant la constructon de Delgne-Illuse. 8

19 3.4 Constructon du morphsme de Delgne-Illuse Identfons comme d habtude po X à O X va m p : O X p pox. Le morphsme de Delgne-Illuse est construt en [DI87]. Nous nous référerons auss à [Ill96]. Suvant 2. et 5.4 de [Ill96], l exste un morphsme O X -lnéare tel que h,j Hom OX (Ω X /S, F O X )(U,j ), b, c O X, h,j (bdc) = b p m p (F j (c) F (c)), h,j + h j,k = h,k. La deuxème relaton mplque que les h,j défnssent un cocycle de Hom OX (Ω X /S, F O X ). Sot F C s (DR X ) le complexe smple assocé à la résoluton de Čech de l mage drecte par F recouvrement par les ouverts U. On a : du complexe de de Rham de X, relatvement au F C s (DR X ) : F O U F O U,j F Ω U <j F O U,j,k F Ω U,j F Ω 2 U F Ω N U.,...,n <j<k <j On dspose auss du morphsme canonque F : O X F C s (DR X ). Delgne et Illuse défnssent un morphsme relatvement au recouvrement par les ouverts (U ) : DI : D X F C s (DR X ), par : () a O X, DI (a) = (F (a) U ) F O U, () ω Ω X, DI (ω) = (h,j (ω) U,j ) (m p (df (ω)) U ) <j F O U,j F Ω U Relatvement aux mmersons U U (), nous pouvons consdérer les complexes E U() : P(U () ) P(U () ) OU() Ω U () P(U () ) OU() ) ΩN U (). D après 2.4, le morphsme Φ ndut un morphsme de complexes entre le bcomplexe suvant M, défn en 4 M [] U,j M [] U (,j) M [] U (,...,n), et le complexe F E U,j F E U(,j) F E U(,...,n). 9

20 et donc par défnton de K, qu est le complexe smple assocé au complexe source, un morphsme Φ : K F E U() F E U(,j) F E U(.,...,n),j Dans la sute, nous noterons E le complexe smple but du morphsme précédent. Nous pouvons explcter ce complexe de la façon suvante : s E : F O U <j F P(U (,j) ) F Ω U <j<k F P(U (,j,k) ) <j F P(U (,j) ) Ω U (,j) F O U Ω 2 U F P(U (,...,n) ) Ω N(n+) U,...,n. Consdérons mantenant comme pour la démonstraton de 3.3.3, le dagramme de schémas smplcaux U U U ( ) U X X. Par descente cohomologque, on a un quas-somorphsme entre E et F Ru X O X /S. On dspose enfn d une flèche canonque red : E red F C s (DR X ), qu provent des quas-somorphsmes F E U() F DR U(), et tel que le dagramme suvant sot commutatf : DC F Ru X O X /S F C s (DR X ). DC 2 De même, s l on note res la flèche de résoluton canonque F DR X dagramme suvant est commutatf : red E. DC F Ru X O X /S F C s (DR X ). DC =can res F DR X. F C s (DR X ), le 2

21 Fnalement, nous obtenons formellement red DC 2 = DC can. (9) Calculons l applcaton red : red : F O U F O U red : F P(U (,j) ) F Ω U (g ) (g ), F O U,j F Ω U (k,j ) (ω ) τ,j (k,j ) (ω ), où τ,j est l applcaton de réducton canonque : F P(U (,j) ) F O U,j. Proposton Le dagramme suvant est commutatf : O X Ω X [ ] w K DI F C s (DR X ) E. Démonstraton. Nous reprenons la descrpton 5 du complexe K. En partculer, son terme K est canonquement somorphe à O U. Sot f une secton locale de O X, alors red Φ w (f) = (f U ) K, Φ w (f) = (F (f U )) E red Φ w (f) = (F (f U )), = DI (f) Comparons mantenant ces deux morphsmes en degré. Sot ω Ω X, qu on écrt loca- [2] lement comme ω = bdc,.e. ω = bc c b, avec b, c O X dans J X X /J Il X. X sufft, par lnéarté, de montrer que red Φ w (dc) = DI (dc), pour toute secton locale c de O X. Dans la sute, nous prenons ω = dc. Nous dentfons à nouveau comme en O U,j Ω U,j à J,j,j, et dc sur c c (le surlgnage ndque que l on prend la classe modulo J [2],j ). Pour calculer Φ, l faut regarder F F j (ω U,j ) pp(u,j ), et applquer m p pour avor le résultat dans P(U,j ). On calcule : (F F j )(ω U,j ) = (F F j )( c c ), = F j (c) F (c), = ( F j (c) F (c) ). 2

22 Sot r,j = ( F j (c) F (c) ) P(U (,j) ), et γ les pussances dvsées sur le PD-déal J,j déal. Il est clar, d après la constructon de Φ donnée en 2.4, que r,j pp(u (,j) ), ce que l on peut vérfer explctement. Lemme r,j pp(u (,j) ). Vérfons ce lemme. Nous savons que F j (c) F (c) po X, et Fnalement, cec nous donne c p c p = ( c c ) p mod pp(u (,j) ). F j (c) F (c) = F (c) F (c) + (F j (c) F (c)) = F (c) F (c) mod pp(u (,j) ) = c p c p mod pp(u (,j) ) = p(p )!γ( c c ) = mod pp(u (,j) ) Observons mantenant que d après, τ,j (r,j ) = m p (F j (c) F (c)). Fnalement, nous avons le calcul suvant, pour ω = dc une secton locale de Ω X : w (ω) = ( ω U,j ) (ω U ) K, Φ w (ω) = ( m p r,j ) U,j ) (m p F (ω U )) E, red Φ w (ω) = (m p (F j (c) F (c)) U,j ) (m p F (ω U )), = DI (ω), ce qu achève la démonstraton de la proposton. Nous termnons par un corollare qu achève la démonstraton du théorème. Corollare Le dagramme suvant de morphsmes dans les catégores dérvées est commutatf : Ru X (J X /S can X /S )Φ abs F Ru X O X /S can O X Ω X DI F DR X. 22

23 Démonstraton. Les propostons et nous donnent le dagramme : Ru X (J X /S X /S ) can Φ abs DC 2 K w O X Ω X [ ] DI F Ru X O X /S DC 2 can E Φ red res F C s (DR X ) F DR X. De ce dagramme on dédut les égaltés de morphsmes de complexes res can Φ abs = red DC 2 Φ abs = red Φ DC 2 = red Φ w can = DI can, et donc que le dagramme précédent de morphsmes dans les catégores dérvées ad hoc est commutatf. Le couple de flèches DI et res défnssent le morphsme DI de 2.6 dans la catégore dérvée. En partculer, l égalté des morphsmes précédents montre l égalté des morphsmes dans D b (O X ) et donc le théorème 2.6. can Φ abs = DI can, Applquons le foncteur σ au dagramme précédent. Le morphsme tronqué σ DI est un quas-somorphsme : O X Ω X [ ] σ F DR X, pusque par passage à la cohomologe l coïncde avec l somorphsme de Carter. Sous l hypothèse de, que X est un S -schéma projectf lsse, qu se relève modulo p 2,.e. qu admet un relèvement projectf lsse sur S, nous en dédusons formellement le Corollare Le morphsme de D b (O X ), σ Φ abs : Ru X (J X /S X /S ) σ F Ru X O X /S est un quas-somorphsme. S X est une courbe, le morphsme Φ abs est un quas-somorphsme de Db (O X ). 23

24 Termnons par une remarque, qu ntervendra dans la secton suvante. Applquons mantenant R Γ(X,.) (resp. R Γ(X,.)) au dagramme précédent, alors toutes les flèches devennent des somorphsmes de groupes. De plus, le fasceau crstalln J X /S X /S est réalsé sur X par M[] = O X X Ω X [ ] (cf ). Du théorème précédent, nous trons le Corollare Le dagramme suvant est commutatf : H ((X /S ), J X /S X /S ) Φ abs H crs (X /S ) can can H (X, O X ) H (X, Ω X. ) DI H DR (X ) En partculer, s X est mun d un relèvement du Frobenus, les morphsmes Φ réalsant Φ abs dentques. sur M[] X, et DI : H (X, O X ) H (X, Ω X ) H DR (X ), sont 4 Comparason avec le Frobenus dvsé de Mazur pour les courbes Sot X une courbe projectve lsse sur spec k, et X un relevé projectf et lsse sur S = spec W. On pose X = X S S, où le produt est prs pour le relevé à S du morphsme de Frobenus sur k. On suppose que les groupes H p (X, Ω q X ) sont des W -modules lbres pour p, q {, } de rang fn, ce qu mplque la sute spectrale de Hodge vers de Rham dégénère d après [Del68]. En partculer, on dspose de la sute exacte suvante pour X et X : H (X, Ω X ) H DR(X ) H (X, O X ), () et les groupes de cohomologe de de Rham HDR (X/S) sont sans torson. De plus nous avons le lemme : Lemme 4.. {,, 2}, n N, H crs (X /W n+ ) = H crs (X/W ) W W n+, {,, 2}, n N, H DR (X S n) = H DR (X/W ) W W n+, {, }, n N, H (X, O X /p n+ O X ) = H (X, O X ) W W n+, v {, }, n N, H (X, Ω X /pn+ Ω X ) = H (X, Ω X ) W W n+ Démonstraton. D après le théorème de comparason entre la cohomologe de de Rham HDR (X/S) et la cohomologe crstallne H crs (X /W ), les groupes de cohomologe crstallne sont sans W -torson. Donc, d après 7.25 de [BO78], Hcrs (X /W n+ ) = Hcrs (X/W ) W 24

25 W n+ pour tout {,, 2}. La deuxème asserton s en dédut par comparason entre cohomologe de de Rham et cohomologe crstallne. Pour les deux autres assertons, posons F l un des fasceaux O X ou Ω X, alors on dspose de la sute exacte courte : F pn+ F F/p n+ F. La sute exacte longue de cohomologe assocée au foncteur Γ(X,.) donne Γ(X, F) pn+ Γ(X, F) Γ(X, F/p n+ F) H (X, F) pn+ H (X, F) H (X, F/p n+ F). Comme H (X, F) est lbre sur W, cette sute exacte de scnde en deux sutes exactes courtes, ce qu nous donne le résultat. Dans [Maz73], on trouve la constructon suvante, que l on détalle c seulement dans le cas des courbes. Soent ι le morphsme canonque H (X, Ω X ) H DR (X/W ) et τ un scndage de la sute exacte. On note F DR l unque morphsme de groupes abélens ndut par le Frobenus crstalln, fasant commuter le dagramme : H crs (X /W ) F H crs (X /W ) can can H DR (X /S) F DR H DR (X/S). On note que F DR (ι(h (X, Ω X ))) ph DR (X/W ). Le scndage τ permet de défnr Φτ M : H (X, Ω X ) H (X, O X ) HDR (X/S) par : () ω H (X, Ω X ), Φ τ M (ω) = m p (F DR (ι(ω))), () ξ H (X, O X ), Φ τ M (ξ) = F DR(τ(ξ)). Lemme 4.2. Il exste une unque applcaton Φ M : H (X, Ω X ) H (X, O X ) H DR (X /S ), ndépendante du chox de τ et fasant commuter le dagramme : H (X, Ω X ) H (X, O X ) H (X, Ω X ) H (X, O X ) Φ τ M Φ M H DR (X/S) H DR (X /S ). Démonstraton. Nous lassons le lecteur vérfer que la flèche Φ M est ben défne. De plus, s τ est un autre scndage de, notons Φ τ M le morphsme Φ M construt relatvement à τ. S ξ H (X, O X ), alors l exste η H (X, Ω X ) tel que τ(ξ) τ (ξ) = η, et donc F DR (τ(ξ)) F DR (τ (ξ)) ph DR (X/S),.e. Φτ M(ξ) = Φ τ M(ξ), de sorte que Φ M est ndépendant de τ. 25

26 Reprenons mantenant le morphsme DI ntrodut pour l énoncé de 2.6, et qu est un morphsme de catégores dérvées : O X Ω X F DR X. Par passage au foncteur R Γ(X,.) (resp. R Γ(X,.)), nous obtenons un morphsme DI H (X, O X ) H (X, Ω X ) H DR (X ). Le théorème est alors : Théorème 4.3. Sot X une courbe projectve lsse, les morphsmes Φ M et DI : H (X, O X ) H (X, Ω X ) H DR (X ) sont égaux. Démonstraton. Montrons d abord que les flèches coïncdent en restrcton à H (X, O X ). Par constructon, DI est donné par le passage à la cohomologe de la flèche composée donnée par le Frobenus : F : O X F DR X res F C s (DR X ), de sorte que DI correspond à F : O X F DR X. Pour calculer Φ M en restrcton à H (X, O X ), l sufft en fat de calculer l acton du Frobenus sur Hcrs (X /S ), pusque dans ce cas on ne dvse pas par p. Or, cette acton ndut le Frobenus usuel F : H DR (X ) H DR (X ), qu provent du morphsme de complexes DR X F DR X. Nous calculons cette acton en utlsant des complexes de Čech. Donnons-nous un recouvrement fn de X par des ouverts affnes U,..., U n. Alors le complexe de Čech du complexe de de Rham est le complexe : C (DR X ) : O(U ),j O(U,j ) Ω(U ),j O(U,j,k ),j Ω(U,j ), et on dspose d une projecton vers le complexe de Čech de O X C (O X ) : O(U ),j O(U,j ),j O(U,j,k ). Nous consdérons les complexes de Čech analogues pour X, DR X et O X. Un élément ξ de H (X, O X ) est représenté par la classe cl((h,j)) dans le h de C (O X ), où h,j O X (U,j ). Soent ((k,j ), ω ) H DR (X /S ) un relèvement de cette classe, alors s H (X, O X ), j, k,j h,j = s Uj s U, et F (((k,j ), ω )) = ((k,j ) p, ) HDR(X /S ). Or, ((k p,j, )) ((hp,j, )) = d (s p ), est un bord de C (DR X ) de sorte que ((k,j ) p, ) = ((h,j ) p, ), ce qu dt précsément que Φ M (ξ) provent par passage à la cohomologe du morphsme F : O X F DR X, et que Φ M et DI coïncdent en restrcton à H (X, O X ). Montrons mantenant que les flèches coïncdent en restrcton à H (X, Ω X Sot ω ). un élément de H (X, Ω X Pour calculer Φ ). M (ω), l sufft en fat de relever ω dans H (X, Ω X Pour calculer l acton du Frobenus crstalln sur cet élément, l est alors ). seulement nécessare de calculer le Frobenus F : Hcrs (X /S ) Hcrs (X /S ). D autre 26

27 part, nous utlsons le théorème 2.6. Nous avons beson des fasceaux ntroduts en 2., les fasceaux Ru X J X /S, Ru X J X /S X /S, et leurs réalsatons respectves sur X : L [] X : po X Ω X, et M[] X = O X Ω X [ ]. Le dagramme suvant décrt l applcaton l : l Ω X [ ] l L [] X O X Ω X. () Pour calculer le morphsme Φ, nous devons fare ntervenr un plongement projectf X Y où Y est somorphe à un espace projectf Pn S, sur lequel on dspose d un relèvement du Frobenus. Les fasceaux précédents se réalsent sur Y. Il exste une njecton canonque de complexes L [] Y Y sur E Y E Y. Sot F le morphsme de Frobenus ndut par le Frobenus sur. D après 2.4, la restrcton de F à L[] Y applcaton se factorse en une applcaton Φ : M [] Y dagrammes commutatfs de complexes : est à valeurs dans pe Y, de plus, cette E Y. On dspose donc de deux M [] Y Φ L [] Y m p F E Y L [] Y F E Y F E Y. L mmerson X Y donne des surjectons canonques de complexes : M[] Y M [] X, L [] L [], E Y X Y DR X, que nous noterons générquement S. Aux dagrammes précédents, nous pouvons applquer R Γ(X,.) et R Γ(X,.) et l applcaton S, pour obtenr l acton de Φ sur la cohomologe, ce qu donne les dagrammes commutatfs suvants : H (X, Ω X ) R Γ(X, L[] ) X H DR (X ) R Γ(X, M[] X ) L Φ L R Γ(X, L[] X ) m p F DR H DR (X ) F DR F DR H DR (X ). Le morphsme canonque Ω X [ ] E X se factorse par l : Ω X [ ] L [] (cf. le X dagramme ). Sot ω H (X, Ω X ), et ω un relevé de ω dans H (X, Ω X alors, ), 27

28 d après 3.4.5, Φ M (ω) = m p F DR (ι( ω)) = Φ L( ω) = DI L( ω) = DI (ω). 5 Applcatons à la courbe de Drnfeld Applqué à certanes famlles de courbes, notamment aux courbes de Drnfeld ou aux courbes hyperellptques [HW3], le résultat précédent permet de décrre un algorthme menant au calcul explcte du Frobenus dvsé de Mazur sur HDR (X ) va la méthode de Delgne-Illuse. Le calcul du (ϕ, Γ)-module assocé repose alors essentellement sur le calcul de l nverse d une matrce. 5. Généraltés La stuaton générale est celle décrte dans la secton précédente, où X est une courbe propre et lsse sur spec k se relevant en X projectf et lsse sur spec W. La cohomologe de de Rham est mune de l endomorphsme de Frobenus F DR et le chox d un scndage τ de la sute exacte détermne un somorphsme H (X, Ω X ) H (X, O X ) HdR (X ). On peut alors défnr le Frobenus dvsé Φ τ M : H (X, Ω X ) H (X, O X ) HDR(X) et sa réducton modulo p, Φ M : H (X, Ω X ) H (X, O X )(X ) HDR(X ), qu ne dépend pas de τ. D autre part, le schéma X étant un relèvement plat de X sur W 2, l applcaton de Delgne et Illuse ([DI87]) f X : <p Ω X [ ] F Ω X est un quas-somorphsme et ndut l somorphsme DI : H (X, Ω X ) H (X, O X ) H dr (X ) 28

29 qu n est autre que Φ M par le théorème 4.3. Rappelons brèvement la méthode, qu utlse le complexe de Cech, dans le cas où la courbe X admet un recouvrement U consttué de deux ouverts affnes lsses notés U et V. Ces deux ouverts se relèvent en U et V consttuant un recouvrement affne lssse de X sur W 2. Le Frobenus sur X se relève alors séparément sur chacun des deux ouverts U et V en des applcaton notées F U et F V. Notons Č(U, Ω X ) le complexe smple assocé au bcomplexe de Cech du recouvrement U. Le morphsme Ω X Č(U, Ω X ) est un quassomorphsme et ndut un somorphsme H dr (X ) H (Č(U, Ω X )). De même F Ω X F Č(U, Ω X ) est un quas-somorphsme, d où la descrpton suvante de f X : en degré, f X : O X F O U F O V est l applcaton σ-lnéare de k-algèbres qu envoe x sur x p. en degré, f X = (f U, f V, h) : Ω X F Ω U /k F Ω V /k F O U V est ndute par l applcaton qu localement vérfe f U (ω) = m p (df U (ω U ), f V (ω) = m p (df V (ω V ) h(dx) = m p (F V (x) F U (x)). On peut alors dentfer H DR (X ) à l ensemble des classes de trplets η de représentants η = (ω U, ω V, h) Ω U /k Ω V /k O U V tels que (ω U ) U V (ω V ) U V + dh =, avec pour relatons η = s h s étend en une foncton défne sur U ou V. 5.2 Cohomologe de de Rham des courbes de Drnfeld Sot n un enter strctement postf, posons q = p n ; dans cette parte, k est un corps parfat contenant F q 2 et W l anneau des vecteurs de Wtt à coeffcents dans k. Le représentant de Techmüller fournt un plongement naturel de F q 2 dans W. On consdère la courbe C k projectve et lsse sur F p, d équaton XY q X q Y Z q+ = g dans P 2. Le groupe SL 2 (q) agt sur P 2 k va g et cette acton lasse stable C k. De plus, s F désgne le Frobenus géométrque agssant sur C k, les actons de F n 29

30 et de SL 2 (q) sur C k commutent. On dspose également d une acton de F sur C q 2 k va α α α q. La courbe C k peut-être recouverte par deux ouverts affnes U = spec k[u, u 2 ] = spec k[y, Z]/(Y q Y Z q+ ) V = spec k[v, v 2 ] = spec k[x, Z]/(X X q Z q+ ) avec les changements de carte u = v et v 2 = u 2 u. Notons C W la courbe projectve et lsse d équaton XY q X q Y Z q+ = dans P 2 W ; c est un relèvement de C k sur W, qu peut auss être recouvert par deux ouverts affnes notés U W = spec W [u, u 2 ] et V W = spec W [v, v 2 ]. L acton de F q 2 sur C W. se relève en une acton Lemme Le Frobenus se relève sur l ouvert U en une applcaton F U défne sur les générateurs par p F U (u ) = u p ( ( ) l ( p l )u(q )(p l) ) et F U (u 2 ) = u p 2. l= Le Frobenus se relève sur l ouvert V en une applcaton F V défne sur les générateurs par p F V (v ) = v p ( ( ) l ( p l )v(q )l ) et F V (v 2 ) = v p 2. Démonstraton. On recherche un relèvement sous la forme l= F U (u ) = u p ( + pk(u )) et F U (u 2 ) = u p 2, et l on obtent K(u ) = p l= ( )l (p l ) p u(q )(p l). En utlsant le recouvrement c-dessus et la cohomologe de Cech, Haastert et Jantzen démontrent la proposton suvante ([HJ9] corollary 2.2 et proposton 2.3), où A représente k, W ou plus généralement un anneau noethéren ntègre dans lequel q 2 est nversble. Proposton Le A-module H (C A, Ω C A ) est lbre de base {u a u b 2(qu q ) du 2, a N, b N, a + b q 2}; Le A-module H (C A, O CA ) est lbre de base {[u a ub 2], a < b q}. 3

31 L acton de F permet de décomposer la cohomologe de de Rham et les groupes de q 2 cohomologe de Hodge en sous-espaces propres. Plus précsément, notons ψ(j), pour j Z, le caractère de F q 2 défn par α α j. Proposton Les décompostons suvantes sont des décompostons en espaces propres de dmenson pour l acton de F q 2 : H (C A, O CA ) =,j N +j q H (C A, Ω C A ) =,j N +j q H DR (C A) =,j N +j q H (C A, O CA ) ψ( +qj) ; H (C A, Ω C A ) ψ( qj) ; ( H DR (C A ) ψ( +qj) H DR (C A) ψ( qj) ). Remarques ) On vérfe que les caractères aparassant en ) et ) sont tous dstncts. ) On constate que µ = {α F q 2 α q+ = } agt sur les ouverts affnes et, pour α µ, α(u ) = [α] (q+) u = u et α(u 2 ) = [α] u 2 ; on en dédut que, pour a < b q, la classe [u a ub 2 ] est un générateur de H (C A, O CA ) ψ( +qj) en posant = b a et j = a. ) De la même manère, on obtent un générateur de H (C A, Ω C A ) ψ( qj) en consdérant u a ub 2 (quq ) du 2 avec les relatons = q a b et j = + a. v) La proposton permet de construre un scndage naturel de la sute exacte courte () : pour u H (C A, O CA ) ψ( +qj), chosssons τ(u) comme l unque élément de H DR (C A) ψ( +qj) d mage u par la surjecton. Le scndage τ étant fxé, nous noterons dorénavant Φ M = Φ τ M et nous l assmlons à une applcaton de H DR (C A ) vers H DR (C A). 5.3 Calcul du Frobenus dvsé Chosssons, pour chaque couple d enters strctement postfs (, j) tels que + j q, le générateur v(, j) = u j u q (+j) 2 (qu q )du 2 (cf remarque )) du W -module H (C W, Ω C W ) ψ( qj) lbre de rang ; l ensemble {v(, j), j et + j q} est une base de H (C W, Ω C W ). De même chosssons le générateur v(, j) = τ([u j u+j 2 ]) (cf remarques ) et v)) du W -module H DR (C W ) ψ( +qj) lbre de rang. Le fat de remarquer que s v H DR (C W ) ψ(m), alors F DR (v) H DR (C W ) ψ(pm), permet à Haastert et Jantzen de décrre comment l acton du Frobenus échange les espaces propres pour l acton de F q 2 ([HJ9] proposton 3.5). On sat alors quels coeffcents de la matrce du Frobenus dans la base (v(, j), v(, j)) ne sont pas nuls, sans les calculer. Nous proposons c un calcul explcte modulo p des coeffcents du Frobenus dvsé. Avertssement : les éléments v(, j) (respectvement v(, j) présents dans cet artcle correspondent à v(, j ) (respectvement v( ( ), (j )) de [HJ9]. Moyennant ce décallage, l n est pas dffcle (mas fastdeux) de vérfer que les calculs c-dessous sont cohérents avec les résultats de loc. ct.. 3

32 5.3. Algorthme On travalle dans l anneau A = W [u, u 2, v ], où u, u 2 et v vérfent les relatons u q u u q+ 2 = et u v =. Les calculs mplqués sont des calculs de polynômes dérvés et des combnasons lnéares. La talle de la matrce, qu est q(q ) = p n (p n ), grosst très vte en foncton de n, mas on sat a pror qu l n y a que q(q ) coeffcents non nuls. Etape Pour et j enters comprs entre et q tels que + j q, on détermne d abord un trplet représentant v(, j) dans le complexe de Cech. Pour cela on calcule la dfférentelle d(v j u+j 2 ), pus on la décompose en une somme d(v j u+j 2 ) = ω U (, j) + ω V (, j) où ω U (respectvement ω V ) est défn sur l ouvert U (respectvement sur V ). Le trplet recherché est ( ω U (, j), ω V (, j), v j u+j 2 ). Etape 2 Calcul de Φ M (v(, j)). On calcule les coeffcents a l et b l tels que v pj up(+j) 2 = b l vu l b 2 + a l u l u b 2 l l dans l anneau A, où b est le reste de la dvson eucldenne de p( + j) par q +. On pose h = b l= b lv l ub 2. S h, l exste un unque enter l tel que h = b l v l ub 2. On a alors Φ M (v(, j)) = b l v( (b l), l). S h =, on pose h U = l a lu l ub 2 et on calcule d(h U). Il exste un unque couple d enters (l, m) et α k tels que d(h U ) = αu l um 2 du 2. On a alors Φ M (v(, j)) = αv(q m l, l + ). Etape 3 Calcul de Φ M (v(, j)). On calcule h j = u p(q j+) 2 u p(j ) p ( ) l (p l ) p vl(q ), pus, comme dans l étape 2, les coeffcents a l et b l tels que h j = l l= b l v l u b 2 + l a l u l u b 2 où b est le reste de la dvson eucldenne de p(q j + ) par q +. On obtent h j = h U + h V + h comme c-dessus. S h, l exste un unque enter l tel que h = b l v l ub 2. On a alors Φ M (v(, j)) = b l v( (b l), l). S h =, on pose h U = l a lu l ub 2 et on calcule d(h U). Il exste un unque couple d enters (l, m) et α k tels que u p(j ) u p(q j) 2 u p 2 + d(h U ) = αu l u m 2 du 2. 32