Ift Chapitre 6. Résolution des équations différentielles: Conditions initiales

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1 Ift 4 Chapitre 6 Résolutio des équatios différetielles: Coditios iitiales Ift4 Chapitre 6

2 Résolutio umérique des équatios différetielles Rappels: grades classes:. Les équatios différetielles ordiaires: ue seule variable.. Les équatios aux dérivées partielles: plusieurs variables. (équatio de la chaleur, des odes,...) Ordre d ue équatio différetielle : dérivée la plus élevée. Équatio différetielle liéaire : émissio radioactive : dr( t) dt = λr( t) Équatio différetielle o liéaire : Variatio de populatio : dn( t) dt = an( t) bn( t). 7 Covectio : du( t) dt = k( u( t) T) 5 4 écessite des coditios iitiales. Ift4 Chapitre 6

3 Résolutio umérique des équatios différetielles Exemple du pedule : Équatio différetielle o liéaire du secod ordre. Impossible de trouver ue solutio aalytique. Pour de petit mouvemets : Si( θ) θ Équatio du pedule: t: temps θ: Positio agulaire d θ dt g + L Si ( θ) = 0 Coditios iitiales usuelles: θ( t ) = θ 0 0 θ ( t ) = θ 0 0 θ L Ift4 3 Chapitre 6

4 Méthode des séries de Taylor Ordre : y ( t) = f ( t, y( t)) y( t ) = y 0 0 Développemet de Taylor au voisiage de t = t0 + h 3 h h y + = y + h y t + y t + y t + O h 4 ( ) ( ) ( ) ( ) 6 Deviet: 3 y = y + h h h f t y + f t y + + f t y + O h 4 (, ) (, ) (, ) ( ) 6 Remarques:. L'ordre local est e h 4.. Pas d'estimée de l'erreur. 3. Les dérivées de la foctio f(t,y(t)) se fot: df dt = f ( f f t, y ) = t + y y = f t + f y f 4. Si l'ordre local est e h, l'ordre global sera e h -. Ift4 4 Chapitre 6

5 Exemple: Appliquer la méthode de Taylor avec u pas h = 0. et u ordre local e h 3 pour: y ( t) = f ( t, y( t)) = t y ( t) y( t ) = y = 0 0 Solutio aalytique: y t ( ) = + t Le pas est h = 0., ous allos calculer les valeurs de y(t)pour t = 0, t = 0., t = 0.,..., etc. Si ous utilisos u ordre local e h 3, ous avos: y = y + h h y t + + y t + O h 3 ( ) ( ) ( ) Exprimos y ( t) y ( t) = f ( t, y( t)) = y ( t) + ( t) y( t) y ( t) or y ( t) = f ( t, y( t)) = t y ( t) doc y ( t) = y ( t) + ( t) y( t) ( t y ( t)) 3 y ( t) = y ( t) + t y ( t) Ift4 5 Chapitre 6

6 La formule de Taylor d'ordre local h 3 deviet alors: y = y + h h t y t + + y t + 3 t y t + 3 ( ( )) ( ( ) ( )) O( h ) pour t = t0 + h 0. 3 y = y0 h t0 y ( t0 ) + ( y ( t0 ) + to y ( t0 )) Valeur exacte: y( 0. ) pour t = t0 + h y = = = = h 3 y = y h t y ( t) + ( y ( t) + t y ( t)) 0. = ( 0. ( ) ) + + y y = ( ( ) 0. ( ) ) Valeur exacte: y(. ) 0 = = pour t3 = t0 + 3h Etc. Ordre global h. Ift4 6 Chapitre 6

7 Méthode d'euler (ordiaire) Ordre : y ( t) = f ( t, y( t)) y( t ) = y 0 0 Méthode d'euler = Méthode de Taylor d'ordre local e h. Ordre global e h. y = y + h y + t + ( ) O( h ) y = y + h f t y t + + (, ( )) O( h ) Iterprétatio géométrique: y y y 0 Solutio aalytique x 0 x 0 +h x Ift4 7 Chapitre 6

8 Erreur globale vs Erreur locale Y = Valeur calculée e x. y = Valeur exacte e x. e = y Y = erreur e Y ; Y = y + e Avec la méthode d'euler, ous avos: Y = Y + + h f ( t, Y ) E utilisat les séries de Taylor: y = y + h + h f t y + y (, ) ( ξ ) avec x ξ x + h h e+ = y+ Y + = y Y + h[ f ( x, y ) f ( x, Y )] + y ( ξ ) e e h f x y f x Y = + (, ) (, ) h + y Y y y Y + ( ) ( ξ ) ( ) e = e + h + h f y x e + y (, η ) ( ξ ) avec η etre y et Y e + h + hk e + y ( ) ( ξ ) Ift4 8 Chapitre 6

9 e 0 = 0 Erreur globale vs Erreur locale (suite) h e hk e0 y 0 h ( + ) + ( ξ ) = y ( ξ0) h e hk h y 0 y h ( + ) hk y 0 y ( ξ ) + = + + ( ξ ) ( ) ( ξ ) ( ξ ) e3 h [( + hk) y ( ξ0) + ( + hk) y ( ξ) + y ( ξ )]... e h [( + hk) y ( ξ0) + ( + hk) y ( ξ) + K+ y ( ξ ) ] [ ] e h M[ ( + hk) + ( + hk) + K+ ] Sachat que : s + s + s + K+ s = s Nous obteos : ( + hk) e h M ( + hk) e hm hm ( + hk) K K 3 ( hk) ( hk) e hk = + hk K 3 Maclauri hk + hk < e ( K > 0) e hm ( ) ( ) K e hk hm hm K K e hk hm K e ( x x0 ) K ( ) = = = O ( h ) Ift4 9 Chapitre 6

10 Méthode d'euler modifiée Taylor d ordre local e h 3 : y = y + h h f t y + f + t y + O h 3 (, ) (, ) ( ) Différece avat pour évaluer f : f ( t, y ) = f ( t, y ) f ( t, y ) + + h + O( h) y Formule d Euler modifiée : h = y + [ f t y + f t y ] + O h 3 (, ) (, ) ( ) y y h = y + [ y + y ] + O h 3 ( ) + + y y 0 Solutio aalytique x 0 x 0 +h x Ift4 0 Chapitre 6

11 Méthode d'euler ordiaire Algorithme y 0 doé y = y + + h f ( t, y( t )) Ue seule étape de calcul y Méthode d'euler modifiée Algorithme y 0 doé ~ y = y + + h f ( t, y( t )) h = y + f ( t, y ) + f ( t, ~ y ) [ ] Deux étapes de calcul:. la prédictio.. La correctio. Ordre global e h. Méthode d'euler ordiaire Pour résoudre: y ( t) = t y ( t) y( 0) = Ordre global e h. Méthode d'euler modifié Pour résoudre: y ( t) = t y ( t) y( 0) = t y erreur t y prédit y corrigé erreur Note: L'étape de correctio peut être répétée à 3 fois, au delà, il est préférable de réduite h. Ift4 Chapitre 6

12 Méthode d'euler ordiaire h =0.5 y ( t) = t y ( t) y( 0) = t y Méthode d'euler Modifié h =0.5 t y Ift4 Chapitre 6

13 Méthode de Ruge Kutta Développemet à l ordre y 0 doé k = h f ( x, y) k = h f ( x + α h, y + β k) y+ = y + a k + bk Trouver les valeurs de : a, b, α et β. Développemet de Taylor : or y = y + h h f x y + f + x y + O h 3 (, ) (, ) ( ) f ( x, y ) = ( f + f y ) x y = ( f + f f ) x y y = y + h h f x y + f + + x f y f + 3 (, ) ( ) O( h ) () Algorithme de Ruge Kutta d ordre : y = y + ah f x y + bh f x + h y + + (, ) ( α, βh f ( x, y )) Développos au premier ordre : f ( x + αh, y + βh f ( x, y )) f + ( f ) α h + ( f ) βh f x y { } y = y + a + b h f + h f x b + + ( ) ( ) α ( f y ) β b f () Ift4 3 Chapitre 6

14 Méthode de Ruge Kutta : développemet à l ordre y 0 doé k = h f ( x, y) k = h f ( x + α h, y + β k) y+ = y + a k + bk Trouver les valeurs de : a, b, α et β. y = y + h h f x y + f + + x f y f + 3 (, ) ( ) O( h ) () { } y = y + a + b h f + h f x b + + ( ) ( ) α ( f y ) β b f () E forçat () = (), ous avos : a + b = α b = β b = Ordre local e h 3 Ordre global e h. Choix Courats : a = b = et α = β = Type I : Euler modifié a = 0 b = et α = β = Type II 3 a = b = et α = β = 3 3 Type III Ift4 4 Chapitre 6

15 Méthode de Ruge Kutta d ordre global Le plus courat : y 0 doé k = h f ( x, y ) 3 3 k = h f ( x + h, y + k) y = y + + k + k + 3 O( h ) 3 3 Méthode de Ruge Kutta d ordre global 4 Le plus courat : y 0 doé k = h f ( x, y ) k = h f ( x + h, y + k) k3 = h f ( x + h, y + k ) k4 = h f ( x + h, y + k3) y = y + k + + k + k + k O( h ) Ift4 5 Chapitre 6

16 Les méthodes de Ruge Kutta sot très efficaces car :. Elles suivet de près la solutio aalytique.. Avec ue valeur du pas relativemet élevé. 3. Mois coûteux que les autres méthodes pour u O(h ) doé. Méthode de Ruge Kutta d ordre global h 4 : y ( t) = t y ( t) y( 0) = Pas ecore d approximatio de l erreur commise. Nécessité de choisir le pas e foctio de l erreur maximale recherchée. Solutio : calculer avec u pas égal à h, h/,... Jusqu à la stabilité de la solutio. Coût élevé! Les méthodes qui austet le pas sot dites méthodes à pas adaptatif. h=.0 h = h=0.5 t y y Réel Ift4 6 Chapitre 6

17 Algorithme de Ruge Kutta Merso d ordre global 4 avec estimé de l erreur. y 0 doé k h f x y = (, ) k = h f ( x + h, y + k) k 3 = h f ( x + h, y + k + k ) k 4 = h f ( x + h, y + k + k3) k5 = h f ( x + h, y + k k3 + k4 ) y+ = y + k + k4 + k5 + O( h ) E k k + k k Algorithme de Ruge Kutta Fehlberg d ordre global 5 avec estimé de l erreur. y 0 doé k h f x y = (, ) k = h f ( x + h, y + k) k3 = h f ( x + h, y + k + k ) k4 = h f ( x + h, y + k + k + k3) k5 = h f ( x + h, y + k 8k + k3 k4 ) k6 = h f ( x + h, y k + k k3 + k4 k5) y+ = y + k + k3 + k4 + k5 + O( h ) E k k k + k + k Ift4 7 Chapitre 6

18 Exemple : Algorithme de Ruge Kutta Fehlberg d ordre global 5 avec estimé de l erreur. y ( t) = t y ( t) y( 0) = h =0. t y Erreur y 6 = Méthode efficace et populaire avec cotrôle de l erreur. Ift4 8 Chapitre 6

19 Méthodes à pas uique utiliset seulemet le pas précédet : y et y Exemples : Méthodes de Taylor et de Ruge Kutta. Méthodes à pas multiples (multistep methods) utiliset plusieurs pas précédets : y et y et aussi y et y ( y et y possible) Méthodes ouvertes Méthodes fermées (de type prédictio correctio) utiliset que les valeurs précédetes y, y, y... utiliset autat les valeurs précédetes y, y, y... que les valeurs suivates y +, y +... Exemple : méthode d Euler modifiée. Ift4 9 Chapitre 6

20 Méthode d Adams Équatios différetielles sous la forme dy = f ( x, y) dx à itégrer sur [x, x + ] : x x dy = x x + + f ( x, y) dx remplacer la foctio f(x,y(x)) par u polyôme de collocatio : x, x -, x -,... Polyôme quadratique de Newto Grégory descedat : s( s + ) s( s )( s ) 3 P ( s) = f + s f + f + h f ( ξ) 6 Calcul des itégrales : 5 y+ = y + h f + f + f O h + 4 ( ) h 4 = y + [ 3 f 6 f + 5 f ] + O( h ) Note : Le résultat sera d ordre local + pour u polyôme de degré. Attetio : Degré trop élevé erreurs d arrodis. Ift4 0 Chapitre 6

21 Méthodes d Adams 5 y+ = y + h f + f + f O h + 4 ( ) h 4 = y + [ 3 f 6 f + 5 f ] + O( h ) Remarques :. Pour démarrer, les valeurs de y 0, y et y (doc f 0, f, et f ) sot écessaires. Amorçage : méthode de Ruge Kutta.. Pas questio d adapter le pas directemet. 3. Problème : extrapolatio avec le polyôme de collocatio ; mois précis qu iterpolatio. y y Adams (ordre local e h 3 ) h 3 = y + [ f f ] + O h 3 ( ) + Adams (ordre local e h 5 ) h 5 = y + [ 55 f 59 f + 37 f 9 f ] + O( h ) Ift4 Chapitre 6

22 Méthodes d Adams Moulto (prédictio correctio) étapes :. ue étape de prédictio où ous extrapolos approximatio de y +. ue étape de correctio où ous iterpolos pour trouver y + e se servat de f + tel que prédit par la première étape. Méthode d Adams Moulto (d ordre local e h 4 ) y 0, y, y doés ~ h y y [ ] ( 4 f f f O h ) + = y Calcul de ~ f = f ( x, ~ y ) h 4 = y + [ f + f f ] + O h 5 ~ 8 ( ) + + Ift4 Chapitre 6

23 Méthodes d Adams Moulto Remarques :. Le correcteur : même ordre que prédicteur, mais précisio plus grade.. La valeur exacte etre le prédicteur et le correcteur. 3. Deux évaluatios de la foctio f à chaque étape (comparée à 4 pour Ruge Kutta du même ordre). 4. Pour amorcer : Ruge Kutta du même ordre. Méthodes d Adams Moulto (d ordre local e h 5 ) y 0, y, y, y 3 doés h [ ] ~ 5 v y = y + f f + f f + h y ( ξ ) + 3 y Calcul de ~ f = f ( x, ~ y ) h [ ] 4 9 ~ = y + f + f f + f h y v ( ξ) Ift4 3 Chapitre 6

24 Méthode d Adams Moulto Mesure de la précisio 9 yexact ycorrige ycorrige y predit 70 ( ) N décimales exactes lorsque : y corrige y predit N 0 4. L erreur globale est stable doc pas de divergece. Comparaiso des méthode pour résoudre : yexact = y predit h y 70 yexact = ycorrige 9 5 h y 70 v v ( ξ) ( ξ) = y y + h y v predit corrige ( ξ) 70 ( corrige predit ) 5 v 70 h y ( ξ ) = y y 70 Doc ( ) 9 70 y = y y y exact corrige corrige predit ( ) 9 y = y y y 70 exact corrige corrige predit y ( t) = t y ( t) y( 0) = Méthode t = 0. t = 0. Solutio aalytique Euler O(h ) Taylor O(h 3 ) Taylor O(h 4 ) Euler Modifié O(h 3 ) RK type II O(h 3 ) RK type III O(h 3 ) RK O(h 5 ) Adams Moulto Ift4 4 Chapitre 6

25 Résoudre u système d'équatios différetielles du premier ordre: Exemple: dx = xy + t dt Coditios iitiales: dy x(0) = et y(0) = - = ty + x dt Méthode de Taylor avec ordre local e h 4 : 3 h h x + = x + h x t + x t + x t + O h 4 ( ) ( ) ( ) ( ) 6 3 h h y + = y + h y t + y t + y t + O h 4 ( ) ( ) ( ) ( ) 6 x = xy + t y = ty + x x = xy + x y + y = y + ty + x x = x y + xy + x y + x y y = y + y + ty + x Ift4 5 Chapitre 6

26 x y Euler modifié ~ x (, ( )) + = x + h f t x t ~ y + = y + h f ( t, y( t )) h = x + f ( t, x ) + f ( t, ~ x ) h = y + f ( t, y ) + f ( t, ~ y ) [ ] [ ] Exemple: x = xy + t y = ty + x h = 0. Prédictio: Coditios iitiales: x(0) = et y(0) = - x y ~ x = x0 + h f ( t0, x( t0)) = + 0. [( )( ) + 0] = 0. 9 ~ y = y0 + h f ( t0, y( t0)) = + 0. [( 0)( ) + ] = 0. 9 Correctio: h = x + [ f ( t, x ) + f ( t, ~ x ] 0. ) = + ( + [ 0. 9 ( 0. 9 ) + 0. ]) h = y + [ f ( t, y ) + f ( t, ~ y ] = + 0. ) ( + [ 0. ( 0. 9 ) ]) x y = = Ift4 6 Chapitre 6

27 Équatio différetielles d ordre supérieur Ordre : ( ) ( ) y ( t) = f ( t, y( t), y ( t), K, y ( t)) Coditios iitiales : ( k ) ( k ) y ( t ) = y doés pour k = 0,,..., Remarque : Il est raremet possible de trouver ue solutio aalytique. Équatio du pedule: (pour de petits mouvemets) t: temps θ: Positio agulaire d θ dt g + θ = L 0 L Coditios iitiales usuelles: θ( t ) = θ 0 0 θ ( t0) = θ0 θ ( t) = θ Cos( g ) + θ ( ) L t L 0 0 g Si g L t θ Ift4 7 Chapitre 6

28 Trasformatio d'ue équatio différetielle d'ordre e u système d ordre : Ordre : y ( t) = f ( t, y( t), y ( t)) Coditios iitiales : y( t ) = y et y ( t ) = y E posat : x( t) = y ( t) Système équivalet : x ( t) = f ( t, y( t), x( t)) y ( t) = x( t) avec coditios iitiales : y( t ) = y et x( t ) = y Ift4 8 Chapitre 6

29 Remarque: Il est touours possible de trasformer ue équatio différetielle d'ordre e u système d'équatios différetielles d'ordre. Équatio différetielle d'ordre : ( ) ( ) y ( t) = f ( t, y( t), y ( t), K, y ( t)) Coditios iitiales : ( k ) ( k ) y ( t ) = y doés pour k = 0,,..., ( k ) E posat: x ( t) = y ( t) pour k = 0,,..., -. k Nous obteos u système de équatios d'ordre : x0 ( t) = x( t) x = ( t) x ( t) M x ( t) = x ( t) x ( t) = f ( t, x0( t), x( t), K, x ( t)) ( ) = y ( t) Avec coditios iitiales: ( k ) x ( t ) = y ( t ) pour k = 0,,..., -. k 0 0 Ift4 9 Chapitre 6

30 d x dt Exemple: Résoudre dx Coditios iitiales: ( x ) + x = 0 dt x(0) = 0.5 et x'(0) = 0 Mise sous la forme de système: dx dt dy dt = y = ( x ) y x Coditios iitiales: x(0) = 0.5 et y(0) = x'(0) = 0 Euler avec h = 0. x + = x + h f ( t, x( t ), x ( t )) y + = y + h f ( t, y( t ), y ( t )) Ici = 0: x = x0 + h y0 y = y0 + h ( x0 ) y x [ 0 0] x y = ( 0. )( 0) [ ] = 0 + ( 0. ) ( 0. 5) Calculer x''(0) et x''(0.) x ( 0) = ( x0 ) y0 x0 x ( 0. ) = ( x ) y x Ift4 30 Chapitre 6

31 Méthodes d Adams Moulto d ordre global 4 Pour les systèmes d ordre. x 0, x, x, x 3 doés et y 0, y, y, y 3 doés Calcul des prédicteurs : ~ h x x [ ] ( 5 f f f f O h ) + = ~ h y y [ ] ( 5 g g g g O h ) + = Nouveaux estimés de la foctio : ~ f (, ~, ~ + = f t+ x+ y+ ) g~ = g t, x ~, ~ y ( ) x y Calcul des correcteurs : h 5 = x + [ f + f f + f ] + O h 4 9 ~ 9 5 ( ) h 5 = y + [ g + g g + g ] + O h 4 9 ~ 9 5 ( ) Correcteur : même ordre que le prédicteur. Valeur exacte etre le prédicteur et le correcteur. Ift4 3 Chapitre 6

32 Exemple : Soit le système : x = xy + t y = ty + x avec pour coditios iitiales : x( 0) = y( 0) = t x x t y y Valeurs de départ Prédictio Correctio Calcul des prédicteurs : ~ x ( 0. ) = x [ 55 f f f f 0 ] = = [ 55( ) 59( ) 37( 0. 97) 9( ) ] ~ y ( 0. ) = = Nouveaux estimés de la foctio : ( ) ( ) [ 55( ) 59( ) 37( ) 9( 0. )] ~ f, ~, ~ + = f t+ x+ y+ = ( ) + 0. = g~, ~, ~ + = g t+ x+ y+ = 0. ( ) = Calcul des correcteurs : x( 0. ) [ ] = + 9( ) + 9( ) 5( ) + ( 0. 97) = y( 0. ) = [ 9( ) + 9( ) 5( ) ] = x( 0. ) = y( 0. ) = Ift4 3 Chapitre 6

33 Comparaiso des méthodes pour les équatios différetielles Euler Modifié Ruge Kutta d ordre 4 Adams Moulto Type de méthode Pas uique Pas uique Pas multiple Erreur locale O(h 3 ) O(h 5 ) O(h 5 ) Erreur globale O(h ) O(h 4 ) O(h 4 ) b d évaluatio de foctio 4 Stabilité boe boe boe Facilité pour chager le pas oui oui o Recommadée NON OUI OUI Ift4 33 Chapitre 6

34 Ift 4 Chapitre 6 Résolutio des équatios différetielles: Coditios limites Ift4 34 Chapitre 6

35 Problèmes aux limites Équatio différetielle d ordre y ( t) = f ( t, y( t), y ( t)) Avec les coditios limites : y( t ) = y et y( t ) = y 0 0 Type différet de celles doées avec des coditios iitiales. Les méthodes vues précédemmet e s appliquet pas car ous e coaissos pas y ( t ) 0 Exemple : Déformatio d ue poutre : w(x) : déformatio e foctio de l abscisse x. d w S dx EI w qx = + ( x L) EI Avec les coditios limites w( 0) = w( L) = 0 q : charge uiforme. E : Coefficiet d élasticité. L : logueur de la poutre. S : tesio aux limites. I : momet cetral d iertie. s 0 w s L Ift4 35 Chapitre 6

36 Problèmes liéaires aux limites Pour ue équatio différetielle liéaire d ordre ou d u autre ordre tat qu elle est liéaire. y ( t) = H( t) + G( t) y( t) + F( t) y ( t) () Nous avos : Théorème : Si y (t) et y (t) sot deux solutios de () alors y3( t) = αy( t) + ( α) y( t) est aussi solutio de (). Le théorème pour des équatios différetielles liéaires seulemet. Cas homogèe : Où H = 0, ous acceptos toute combiaiso liéaire : Pour tout α et β, y 3 (t) = α y (t) + β y (t) est aussi solutio de (). Ift4 36 Chapitre 6

37 Méthode de tir Problème liéaire à résoudre x ( t) = t + ( 0. t) x( t) Avec les coditios aux limites (frotières) : x() = et x(3) = - O essaie u premier tir e remplaçat par les coditios iitiales : x () = x () = -.5 Premier tir: Raté : ous trouvos x (3) = 4.8 Ift4 37 Chapitre 6

38 Méthode de tir Problème liéaire à résoudre x ( t) = t + ( 0. t) x( t) Avec les coditios aux limites (frotières) : x() = et x(3) = - O essaie u deuxième tir e remplaçat par les coditios iitiales : x () = x () = - 3 Deuxième tir: Ecore raté : ous trouvos x (3) = Ift4 38 Chapitre 6

39 Combiaiso des tirs Mais ous avos : x ( t) = αx ( t) + ( α) x ( t) 3 qui sera aussi ue solutio. de x ( t) = t + ( 0. t) x( t) Il faut doc détermier α pour avoir x 3 (3) = -. x3( 3) = αx( 3) + ( α) x( 3) = α( 4. 8) + ( α)( ) α = Solutio e tout poit : x ( t) = x ( t) x ( t) 3 Ift4 39 Chapitre 6

40 Combiaiso des tirs Notes :. Problèmes liéaires du secod ordre coverget e tirs.. Ordre plus élevé : la méthode foctioe aussi. 3. Ordre global et précisio de la méthode employée pour les coditios iitiales. 4. Peu gééralisables e D et 3D, peu utilisée e pratique. Problème liéaire à résoudre x ( t) = t + ( 0. t) x( t) t x ( t ) x ( t) x ( t) Ift4 40 Chapitre 6

41 Pour les équatios o liéaires : Covergece de la méthode de tir comme ue méthode de poit fixe. X(3)=f(x ()) peu de chace que l iterpolatio liéaire procure la solutio exacte. Sert à estimer la prochaie pete. Problème o liéaire à résoudre x ( t) = t + ( 0. t) x( t) x ( t) avec CL : x()= et x(3)=- Valeur assumée pour x () valeur Calculée pour x(3) * * * * valeur obteue par iterpolatio liéaire. Ift4 4 Chapitre 6

42 Méthodes des différeces fiies étapes :. Étape de discrétisatio : Diviser l itervalle e sous itervalle de logueur h. Dérivées approchées par des formules de différece.. Résolutio du système discrétisé : Systèmes liéaires pour des équatios différetielles liéaires et systèmes o liéaires pour des équatios différetielles o liéaires. Propriétés mathématiques des matrices obteues par discrétisatio (matrices tridiagoales, ou symétriques, ou défiies positives). Problème liéaire à résoudre x ( t) = t + ( 0. t) x( t) Avec les coditios aux limites (frotières) : x() = et x(3) = - dx dt = x x h i + i Différeces cetrées : d x x x + x + O( h ) = dt h i + i i + O( h ) Substituer ces formules das l équatio différetielle et choisir u pas. Ift4 4 Chapitre 6

43 Méthodes des différeces fiies Étape de discrétisatio x x + x h i + i i = t + ( 0. t ) x i i i Pour i =,..., - avec ti = t + ( i ) h et xi = x( ti ) Nous avos: t = et x = t =3 et x =- Précisio de l'approximatio: Valeur du pas h Type de différeces utilisées. [ ( 0. )] x + h t x + x = h t i i i i + i Remarque: Ici: O(h ) Appliquer la techique d'extrapolatio de Richardso. ( ) Calculer ue solutio x i ( ) avec u pas h. Calculer ue solutio x i + avec u pas h. Esuite grâce à l'extrapolatio de Richardso, calculer ue ouvelle solutio. ( extrapolatio) ( ) ( ) ( ) xi + = xi + + ( xi + xi + ) 3 Ift4 43 Chapitre 6

44 Méthodes des différeces fiies Pour i =,..., - [ ( 0. )] x + h t x + x = h t i i i i + i Nous avos: t = et x =, t =3 et x =- Cosidéros h = 0.5 : [ ( 0. )] [ ( 0. )] [ ( 0. )] x + h t x + x = h t 3 x + h t x + x = h t x + h t x + x = h t x 50. x 0 5. x = Nous obteos: x x x x x = = 055. = = = Ift4 44 Chapitre 6

45 x ( t) = t + ( 0. t) x( t) Avec les coditios aux limites : x() = et x(3) = - Pour h=0. : x = Note: le système est tridiagoal. Résultats: t Méthode des différeces fiies Méthode de tir Ift4 45 Chapitre 6

46 Méthodes des différeces fiies x ( t) = t + ( 0. t) x( t) Avec les coditios aux limites (frotières) : x() = et x(3) = - Ift4 46 Chapitre 6

47 Coditios limites sur les dérivées. Méthode de tir. x ( t) = t + ( 0. t) x( t) Avec les coditios aux limites : x ( ) = 0 et x ( 3) = Essais sur la valeur de x(): O essaie tirs e remplaçat par les coditios iitiales: Premier tir: x ( ) = et x ( ) = 0 Deuxième tir: x ( ) = 8 et x ( ) = 0 Combier les solutios avec x ( 3) et x ( 3) x ( 3) et x ( 3) sot estimées avec la formules des différeces divisées. Ift4 47 Chapitre 6

48 Coditios limites sur les dérivées. Méthode des différeces fiies. x ( t) = t + ( 0. t) x( t) Avec les coditios aux limites : x ( ) = 0 et x ( 3) = Se discrétise e : xi + xi + xi = ti + ( 0. ti ) xi h x + h ( 0. t ) x + x = h t [ ] i i i i + i Mais maiteat, cela est valable pour i =,...,. Nous raoutos poits : ( t0, x0 ) et ( t+, x+ ) tels que: x x = h x ( t ) 0 x+ x = h x ( t) Remarque: Nous coaissos les dérivées aux limites x ( ) = 0 et x ( 3) = Ift4 48 Chapitre 6

49 Exemple: x ( t) = t + ( 0. t) x( t) Avec les coditios aux limites : x ( ) = 0 et x ( 3) = Cosidéros h = 0.5 : [ ( 0. )] [ ( 0. )] [ ( 0. )] x + h t x + x = h t 3 x + h t x + x = h t x + h t x + x = h t x x0 = h x ( t) x x = h x ( t ) x x x x x x = x x x x = = = = = Ift4 49 Chapitre 6