MÉTHODES SIMPLIFIÉES DU CALCUL DE LA PARALLAXE EXEMPLES

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1 FICHE PÉDAGOGIQUE N 5 MÉHODES SIMPLIFIÉES DU CALCUL DE LA PARALLAXE EXEMPLES P. Roche (IMCCE) PR8 mecedi m I.INRODUCION Dn cette fiche nou llon péente un clcul implifié de l pllxe équtoile moyenne du Soleil. Cette implifiction du clcul e fit u pix d une continte impotnte pou le obevtion. Cette continte et l imultnéité de obevtion. Nou llon uppoe que nou von deux obevtion imultnée qui nou founient l ditnce ente le deux cente ppent de l plnète énu devnt le dique olie. Nou indiqueon le ppoximtion et implifiction que nou effectuon. Nou donneon églement deux exemple d utilition de fomule implifiée de l méthode de Delile et de Hlley pemettnt de clcule une pemièe ppoximtion de l pllxe équtoile moyenne de Soleil. II HYPOHÈSES Soit deux lieux d obevtion M et M, uffimment éloigné ; deux obevteu notent u même intnt t l poition du cente ppent de l plnète énu devnt le dique olie, pui à l ide de ce deux obevtion, il déteminent l ditnce qui joint ce deux cente ppent de énu. L meue de cette ditnce expimée en yon olie pemet de clcule l pllxe moyenne équtoile du Soleil. Nou veon que cette meue et loin d ête imple. FIGURE OBSERAION DU PASSAGE DE ÉNUS DEPUIS DEUX LIEUX AU MÊME INSAN.

2 Soient O le cente de l ee, C le cente du Soleil, le cente de énu et et le cente de énu u le dique olie vu epectivement depui le point M et M. Noton D et D le ngle CM et CM fomé p le diection de doite joignnt le deux point d obevtion ux cente de énu et du Soleil et noton l ngle ou lequel on voit le egment M M depui le Soleil et v l ngle ou lequel on voit le egment M M depui énu. Ce deux ngle ont le pllxe du Soleil et de énu vue depui le lieux M et M (figue ). Si le deux point M et M ont quelconque u l ufce teete dn l zone de viibilité du pge, il n y ucune ion pou que le qute point M, M, et C oient dn un même pln. Donc le doite M C et M ne ont p dn le même pln et ne e coupent p. On ne peut donc p pplique le ègle de l géométie plne dn l figue. Et l eltion uivnte : D D v et fue. Elle n et vie que loque le qute point ont coplnie. P conte, l difféence de pllxe et égle à l ditnce ngulie ente le deux cente ppent de énu (figue ). FIGURE POSIIONS APPARENES DE ÉNUS SUR LE DISQUE SOLAIRE. On véifie bien que cette difféence et égle à D D loque le qute point ont coplnie, c et-à-die loque, et C ont ligné. L vleu que le obevteu vont meue et donc l ditnce ente le cente ppent de énu et c et l eltion qui v nou pemette de clcule le pllxe. v Pou cel nou llon expime le deux pllxe en fonction de ditnce ente le cente de l ee et le cente de deux te. Soit l ditnce ente le cente du Soleil et le cente de énu et l ditnce ente le cente de l ee et le cente du Soleil, l ditnce énu-ee et donc égle à. Pou expime cette pllxe nou devon églement connîte l pojection d de l ditnce ente le deux point M M u le pln noml à l diection ee Soleil (figue 3).

3 FIGURE 3 PARALLAXE SOLAIRE RELAIE AUX POINS M E M. Comme le yon teete et l ditnce ente le deux point ont petit p ppot ux ditnce ee-soleil et ee-énu, le pllxe ont donnée p le fomule ppochée uivnte : d d et v () En élité, le pllxe excte ont donnée p : co co v C M C M M M C M C M M M On donc l eltion uivnte : v () Et v ou encoe (3) L meue nou donne l vleu expimée en dimète olie, on doit églement meue le dimète du Soleil, c i l ditnce ee-soleil et inconnue on ne peut p l clcule. Pou connîte l pllxe olie, il fut donc églement connîte le ppot de ditnce Soleil-ee et Soleil-énu. O ce ppot peut ête clculé gâce ux loi de Keple. 3

4 III. LE CALCUL DU RAPPOR DES DISANCES AU SOLEIL À L AIDE DES LOIS DE KEPLER L pemièe loi de Keple nou dit que le plnète décivent de obite elliptique utou du Soleil et que le Soleil occupe un de foye de ce ellipe. À un intnt donné, le yon vecteu p joignnt le cente du Soleil à une plnète p e clcule à l ide de l fomule uivnte : e co E (4) p p p Où p et le demi-gnd xe de l ellipe, e p et l excenticité de l ellipe et E et un ngle ppelé nomlie excentique qui pemet de plce l plnète u on obite. L toiième loi de Keple founit une eltion ente le demi-gnd xe de obite et le péiode de évolution de plnète ; ini pou un même cop centl toute le obite de plnète qui gvitent utou de ce cop centl véifient l eltion uivnte : 3 p p co n t (5) Le loi de Keple décivent donc le obite du ytème olie à un fcteu d échelle pè. L obevtion de péiode de évolution de plnète nou donne le ppot de demi-gnd xe, ini le ppot de demi-gnd xe de obite de énu et de l ee et égl à : 3 (6) et à un intnt t quelconque le ppot de yon vecteu et égl à e E e E co 3 co e co E e co E (7) Donc le loi de Keple pemettent de clcule le ppot de yon vecteu pou un intnt t quelconque. Note meue nou pemet de clcule l vleu, il convient donc mintennt de pe de cette vleu à l vleu de l pllxe équtoile moyenne du Soleil. I. CALCUL DE LA PARALLAXE MOYENNE DU SOLEIL L pllxe équtoile moyenne du Soleil et p définition l ngle ou lequel on voit le yon équtoil de l ee depui le cente du Soleil loque le Soleil e touve à une unité tonomique de l ee. On donc l eltion uivnte : R in o u R (8) R étnt le yon équtoil teete et l unité tonomique. 4

5 L éqution () nou donne l vleu de l pllxe olie en fonction de l ditnce ee- Soleil et de l pojection d de l ditnce ente le point d obevtion u le pln noml à l diection ee-soleil. Il uffit d expime cette ditnce d en yon teete et l ditnce ee-soleil en unité tonomique pou voi une eltion ente et. d d R d R R (9) Il ne ete plu qu à clcule le ppot d u R. Le ppot / nou et founi p l pemièe loi de Keple (cf. fomule 4). Si l on fit le poduit vectoiel de deux vecteu M M et OC on obtient : M M O C M M O C in () O le poduit de l longueu du pemie vecteu p le inu de l ngle ente le deux vecteu M M in (figue 4). et égl à l ditnce d. De même l longueu de OC et égle à l ditnce FIGURE 4 PARALLAXE SOLAIRE RELAIE AUX POINS M E M. L éolution de l éqution () nou donne l vleu de d. d M M in M M OC O C () Remque : i l notion de poduit vectoiel n et p connue, on peut utilie le poduit clie de même vecteu, cel pemet de clcule le coinu de l ngle, pui on inu p l eltion : in co. 5

6 DESCRIPION DE CE CALCUL Ce clcul u le vecteu demnde de connîte le coodonnée ctéienne de deux point M et M et du cente du Soleil C dn un epèe othonomé (O, x, y, z) centé u cente de l ee. Nou llon utilie le epèe équtoil ppent géocentique pou ce clcul. Ce epèe et défini p le pln de l équteu teete à l intnt t de l obevtion (pln Oxy) et p l diection du pôle célete nod de l xe de ottion de l ee (Oz). Dn ce epèe on peut défini un ytème de coodonnée ctéienne (x, y, z) et un ytème de coodonnée polie (,, ) le deux ngle potent le nom d cenion doite et de déclinion (figue 5). On pe d un ytème à l ute p le eltion uivnte : x co co y co in () z in et le eltion invee x y z ctn x y (3) ctn x z y L diection de l xe Ox à l intnt t et l diection de l équinoxe de pintemp u même intnt. Le éphéméide (c et-à-die le loi de Keple) nou donnent le coodonnée équtoile géocentique du cente du Soleil (, ) l ditnce n et p connue, mi cel n p d impotnce c on peut emplce le vecteu OC p on vecteu unitie dn l éqution. Le poblème le plu complexe et l détemintion de coodonnée ctéienne de point M et M dn ce epèe équtoil. 6

7 FIGURE 5 COORDONNÉES ÉQUAORIALES GÉOCENRIQUES. Le poition d un point de l ufce teete ont donnée p ltitude et longitude géogphique, l ltitude et donnée p ppot à l équteu teete c et donc une vible ngulie identique à l déclinion, l longitude et donnée p ppot à un méidien oigine (méidien de Geenwich) c et donc une vible ngulie identique à l cenion doite, mi qui une oigine difféente de celle de coodonnée équtoile célete. Il convient donc de connîte à chque intnt l ngle ente l diection de l xe Ox et l diection de l pojection du méidien oigine dn le pln de l équteu (cf. figue 5). Cet ngle et lié à l ottion de l ee u elle-même, il pote le nom de temp idél u méidien de Geenwich et il vie de 36 en 3h 56m 4 (évolution idéle de l ee). Il uffit donc de connîte le temp idél à Geenwich G à h UC le 5 juin pou connîte le temp idél à Geenwich à l intnt t pui le temp idél en tout point de l ee de longitude. 36 ( t U C )= ( h U C )+ t (4) G G 3 h 5 6 m 4 On pe du temp idél à Geenwich u temp idél u lieu M de longitude en etnchnt cette longitude. en joutnt ou Attention, le temp idél ugmente loque l on éloigne ve l et du méidien de Geenwich, il convient donc de bien fie ttention à l convention de igne utiliée pou note le longitude. Si le longitude ont comptée négtivement ve l et lo l eltion lint le temp idél locl u méidien du lieu de longitude et le temp idél u méidien de Geenwich et l uivnte : G (5) Attention, le deux ngle doivent ête expimé vec l même unité (degé ou heue). 7

8 Alo le coodonnée ctéienne d un point M de coodonnée géogphique (, ) à l intnt t ont donnée p : x R co co y R co in (6) z R in L longueu M M du vecteu M M (on module) et e coodonnée (X, Y, Z) ont donné p : X x x Y y y Z z z (7) M M X i Y j Z k M M X Y Z Le vecteu unitie c de l diection «cente de l ee-soleil» et donné p : x y co co co in (8) z in Le poduit vectoiel M M c et on module ont lo : M M c Yz Z y i Z x X z j X y Yx k M M c Yz Z y Z x X z X y Yx (9) et finlement en utilint l fomule, on obtient : d M M M M c Yz Z y Z x X z X y Yx () in Et l pllxe équtoile moyenne et donnée p d pè (9) : R d (). APPLICAION NUMÉRIQUE Nou llon pende pou exemple l obevtion à omk (Ruie) et à Aucklnd (Nouvelle- Zélnde) le 6 juin à l intnt t=h UC. Le coodonnée géogphique de omk ont le uivnte : Ltitude :56 3' nod, longitude : 85 5' et donc = 56,5 et = 85,

9 Le coodonnée géogphique d Aucklnd ont le uivnte : Ltitude : 36 55' ud, longitude : 74 47' et donc = 74, = -36, et Le coodonnée équtoile géocentique du Soleil le 6 juin à h UC ont donnée p le éphéméide : Acenion doite du Soleil = 74 3'.99" Déclinion du Soleil = + 4' 4.63" Le temp idél à Geenwich à un intnt t en UC et donné p l fomule uivnte : (ttention l oigine de temp dn cette fomule et le 5 juin à h UC, t et donc égl à 5h). G (t UC) = 6h 55m 8, +,73798 t Donc le temp idél le 6 juin à Geenwich à h et égl à : G = 6h 55m 8, + 5h 4m 6,4 = 4h 59m 4,4 = 7h 59m 4,4 Il convient de le conveti en degé vnt de l utilie pou clcule le temp idél locl u deux lieux conidéé. G = 7h 59m 4,4 = 69,8575. D où on déduit le temp idél locl à h UC à omk : = 69,8575 ( 85, ) = Et le temp idél locl à h UC à Aucklnd : = 69,8575 ( 74, ) = 444, modulo 36 = 84, On en déduit le coodonnée ctéienne équtoile de deux ville : omk : x R co co, R y R co in -, R z R in, R Aucklnd : x R co co, R y R co in, R z R in -, R Le coodonnée du vecteu unitie c de l diection ee-soleil ont obtenue à l ide de l fomule (8) : 9

10 x y z co co, co in, in, Le vecteu M M pou coodonnée : X Y Z, R, R, R L fomule () nou pemet de clcule l vleu de d : d Y z Z y Z x X z X y Y x d, R Le éphéméide nou donnent le ppot de yon vecteu ini que le ppot de l ditnce ee-soleil u le demi-gnd xe de l obite teete à l intnt conidéé :, et, Il ne ete plu qu à fie une hypothèe u le vleu meuée, c et-à-die u dimète olie : Nou llon fie le hypothèe uivnte :, 99 et =3,5' et u le Ce qui donne pou vleu de 37,635" L fomule 3 nou donne l vleu de l pllxe olie : 4, " Et l fomule () nou donne l vleu de l pllxe équtoile moyenne : R 8, 7 8 " d L vleu que l on touve et eltivement poche de l élité, mi elle epoe uniquement u l meue de l ditnce de cente ppent de énu u le dique olie et l gndeu du dimète olie. L tille ppente du dimète olie peut ête meuée vec une bonne péciion, p conte l meue de l ditnce ente le cente ppent de énu n et p évidente, u un cliché photogphique clique, le dimète ppent et de l ode mm, l ditnce de cente et lo de,3mm et une péciion de l ode du millième coepond à une meue à,mm pè. On emque églement que l vleu 37,635 et inféieue u dimète ppent (57,84") de énu. Le deux dique ppent de énu ont donc ptiellement upepoé.

11 Dn le fomulie pécédent, on occulté un cetin nombe de difficulté pou implifie le poblème. oici l lite de compliction qui ppient i l on veut fie un clcul igoueux :. En ion de petubtion mutuelle, le obite de plnète ne uivent p le loi de Keple (vlble uniquement pou deux cop) mi de tjectoie plu complexe.. Ce n et p l ee qui une obite qui elliptique utou du Soleil mi le bycente du ytème ee-lune. 3. Suite u mouvement de l xe de ottion de l ee (péceion et nuttion), l oigine Ox du epèe équtoil n et p fixe dn le temp. 4. L lumièe e popgent vec une vitee finie, le poition du Soleil et de énu à un intnt t ne ont p de poition géométique, mi celle de deux cop ux intnt t p, p epéentnt le temp mi p l lumièe pou pcoui l ditnce ente chque cop et l ee. Comme ce ditnce ne ont p uppoée connue, il convient de éitée le clcul pou en teni compte. 5. Nou von uppoé l ee comme phéique, en élité elle et pltie. I CALCUL DE LA PARALLAXE À PARIR DES INSANS DES CONACS OU DE LA DURÉE DU PASSAGE. Nou von vu dn l fiche n 4b, qu il exite deux fomule implifiée qui pemettent un clcul diect de l pllxe à pti de l compion de intnt d un même contct en deux lieux ditinct (méthode de Delile) ou à pti de l compion de l duée de pge en deux lieux ditinct (méthode de Hlley). Nou llon tite imultnément ce deux pect à pti de l exemple numéique pécédent. L pllxe équtoile moyenne olie obtient en compnt deux contct identique à l ide de l fomule implifiée uivnte (cf. fomule 6 de l fiche n 4b) : A (co co co co ) B (co in co in ) C (in in ) d D d D d D d D ( t t ) t t ( ), o, o d t d t d t d t () Si l on néglige le incetitude et le eeu lo cette fomule devient : A (co co co co ) dd B (co in co in ) ( t t ), o, o dt C (in in ) (3) De même, l pllxe équtoile moyenne olie obtient en compnt deux duée identique à l ide de l fomule uivnte (cf. fomule de l fiche n 4b) : A i j co co co co B B co in co in dd D dt C i j o i A C j in in (4)

12 i et j ont de indice lié ux même contct : i =, j = 4 pou le contct extéieu et i =, j = 3 pou le contct intéieu. Le coefficient A, B, C et le teme dd tbleu uivnt : dt ont clculé pou chque contct et ont donné p le Deciption du contct A B C dd/dt "/m Pemie contct extéieu (indice ),3833,57,7337 3,978 Pemie contct intéieu (indice ),854,3,7979 3,936 Denie contct intéieu (indice 3),64,547,888 3,933 Denie contct extéieu (indice 4),39,3773,7877 3,975 II. EXEMPLES NUMÉRIQUES Nou llon epende l exemple de deux ville pécédente vec le hypothèe d obevtion uivnte : ille n : omk ( = 56,5 et = 85, ). Intnt du pemie contct intéieu obevé (indice ) : t = h 4m 59 UC. Intnt du denie contct intéieu obevé (indice 3) :t3 = 4h 34m 4 UC. Duée du pge intéieu obevée: 6h 9m 4. ille n : Aucklnd ( = -36, et = 74, ). Intnt du pemie contct intéieu obevé (indice ) : t = h 33m 3 UC. Intnt du denie contct intéieu obevé (indice 3) :t3 = 4h 5m UC. Duée du pge intéieu obevée : 5h 5m 49. Dn le fomule () et (3) le fcteu de coefficient A, B, C ont identique et peuvent ête clculé épément : co co co co, co in co in, in in, Clcul de l pllxe à l ide de pemie contct : L éct de temp de pemie contct intéieu et de 8m 5 (8,533m), et l uge de vleu de coefficient A, B, C et dd Ce qui donne 8, 7. dt dn l fomule () nou donnent l eltion uivnte : 3, , / m in (8, m in )

13 Clcul de l pllxe à l ide de duée de pge intéieu : L éct de duée de pge intéieu et de 7m 53 (7,8833m), et l uge de vleu de coefficient A, B, C, A 3, B 3, C 3 et dd dt dn l fomule (3) nou donne l eltion uivnte : 6, , / m in ( 7, m in ) Attention, c et l vleu d D d t d D d t 3 et utout on igne qui doit ête utiliée. Ce qui donne 8, 7 3 ". On ppelle que ce méthode ne ont p excte, et que l on doit utilie de fomule plu complexe pou éduie le obevtion. 3