Module et argument. [ édité le 10 juillet 2014 Enoncés 1
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- Cécile Corriveau
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1 [ édité le 10 juillet 014 Eocés 1 Module et argumet Exercice 1 [ 0030 ] [correctio] Détermier module et argumet de z = + + i Exercice 8 [ 0646 ] [correctio] Si x, y, z) R 3 vérifie e ix + e iy + e iz = 0 motrer e ix + e iy + e iz = 0 Exercice [ 0031 ] [correctio] Soiet z C et z C. Motrer z + z = z + z λ R +, z = λ.z Exercice 3 [ 003 ] [correctio] Etablir : z, z C, z + z z + z + z z Iterprétatio géométrique et précisio du cas d égalité? Exercice 9 [ ] [correctio] Soit a C tel que a < 1. Détermier l esemble des complexes z tels que z a 1 āz 1 Exercice 10 [ ] [correctio] Quelle est l image du cercle uité par l applicatio z 1 1 z? Exercice 4 [ 0356 ] [correctio] Soiet a, b C. Motrer et préciser les cas d égalité. a + b a + b + a b Exercice 5 [ 0033 ] [correctio] Détermier module et argumet de e iθ + 1 et de e iθ 1 pour θ R. Exercice 6 [ 0034 ] [correctio] Simplifier eiθ 1 pour θ ] π, π[. e iθ +1 Exercice 7 [ 0035 ] [correctio] Détermier module et argumet de e i.θ + e i.θ pour θ, θ R. Exercice 11 [ ] [correctio] Soit B ue partie borée o vide de C. O suppose que si z B alors 1 z + z B et 1 + z + z B. Détermier B. Exercice 1 [ 0349 ] [correctio] Soit f : C C défiie par Détermier les valeurs prises par f. fz) = z + z Exercice 13 [ ] [correctio] E étudiat module et argumet, établir que pour tout z C 1 + z ) expz)
2 [ édité le 10 juillet 014 Eocés Exercice 14 [ 0364 ] [correctio] a) Vérifier z 1, z C, z 1 + z + z 1 z = z 1 + z b) O suppose z 1, z C tels que z 1 1 et z 1. Motrer qu il existe ε = 1 ou 1 tel que z 1 + εz Exercice 15 [ ] [correctio] Soiet a, b, z trois complexes de module 1 deux à deux disticts. Démotrer b a ) z a R + z b Exercice 16 [ ] [correctio] Soiet a, b, c des réels strictemet positifs. A quelle coditio existe-t-il des complexes t, u, v de somme ulle vérifiat t t = a, uū = b et v v = c
3 [ édité le 10 juillet 014 Correctios 3 Correctios Exercice 1 : [éocé] z = + + = 4 doc z =. Posos θ u argumet de z qu o peut choisir das [0, π/] car Rez), Imz) 0. O a cos θ = 1 + doc cosθ) = cos θ 1 = 1 avec θ [0, π] doc θ = π/4 puis θ = π/8. + ) 1 = Exercice : [éocé] ) ok ) Si z + z = z + z alors, e divisat par z : 1 + x = 1 + x avec x = z /z C. Ecrivos x = a + ib avec a, b R. et 1 + x = a + 1) + b = 1 + a + b + a 1 + x ) = 1 + a + b ) = 1 + a + b + a + b 1 + x = 1 + x doe alors a = a + b d où b = 0 et a 0. Par suite x R + et o coclut. Exercice 3 : [éocé] O a z + z = 1 z z ) + z + z ) + 1 z z) + z + z) z + z + z z Iterprétatio : Das u parallélogramme la somme des logueurs de deux côtés est iférieure à la somme des logueurs des diagoales. Il y a égalité si, et seulemet si, : z z = 0 i.e. z = z ) ou z+z z z R + et z+z z z R+ ce qui se résume à z = z. Exercice 4 : [éocé] Si a = 0, l iégalité est vraie avec égalité si, et seulemet si, b = 0. Si a 0, l iégalité reviet à avec u = b/a. E écrivat u = x + iy, 1 + u 1 + u + 1 u 1 + u ) = 1 + x + y + x + y + x + y ) = 1 + u + 1 u 1 + u + 1 u ) avec égalité si, et seulemet si, x + y = 1 et 1 u = 0 soit u = ±1 ce qui reviet à a = ±b. Exercice 5 : [éocé] z = e iθ + 1 = cos θ eiθ/. Si cos θ > 0 alors z = cos θ et argz) = θ [π], si cos θ = 0 alors z = 0. et si cos θ < 0 alors z = cos θ et argz) = θ + π [π]. z = e iθ 1 = i si θ eiθ/ et la suite est similaire. Exercice 6 : [éocé] E factorisat e iθ/ au umérateur et au déomiateur Exercice 7 : [éocé] O peut factoriser e iθ + e iθ e iθ 1 i si θ/ e iθ = + 1 cos θ/ = i ta θ = e i θ+θ e i θ θ θ θ i + e ) = cos θ θ e i θ+θ ce qui permet de préciser module et argumet e discutat selo le sige de cos θ θ. Exercice 8 : [éocé] Puisque e ix + e iy + e iz = 0, e multipliat par e ix, o obtiet 1 + e iα + e iβ = 0
4 [ édité le 10 juillet 014 Correctios 4 avec α = y x et β = z x. E passat aux parties réelle et imagiaire cos α + cos β = 1 L équatio si α + si β = 0 doe si α + si β = 0 α = β [π] ou α = π + β [π] Si α = π + β [π] alors la relatio cos α + cos β = 1 doe 0 = 1. Il reste α = β [π] et alors cos α = 1 doe α = ±π/3 [π]. Par suite e iα = j ou j. O obtiet alors aisémet 1 + e iα + e iβ = 0 puis e ix + e iy + e iz = 0. Exercice 9 : [éocé] Pour que la quatité soit défiie il est écessaire que z 1/ā. Si tel est le cas z a 1 āz 1 z a 1 āz Sachat x + y = x + Re xy) + y, o obtiet z a ) ) 1 āz a 1 1 z 1 0 L esemble recherché est l esemble des complexes de module iférieur à 1. Exercice 10 : [éocé] Soit z u complexe du cercle uité avec z 1. Il existe θ ]0, π[ tel que z = e iθ. O a alors 1 1 z = 1 1 e iθ = i e iθ/ si θ/ = icotaθ Quad θ parcourt ]0, π[ ce qui reviet à faire parcourir à z le cercle uité), l expressio cotaθ/) pred toutes les valeurs de R. L image du cercle uité est la droite d équatio x = 1/. Exercice 11 : [éocé] O observe que B = i, i} est solutio. Motros qu il y e a pas d autres... Posos f : C C et g : C C défiies par fz) = 1 z + z et gz) = 1 + z + z O remarque fz) i = z + i z 1 + i), fz) + i = z i z 1 i) gz) i = z i z i et gz) + i = z + i z + 1 i Soiet a B et z ) 0 la suite d élémets de B défiie par z 0 = a et pour tout N fz ) si Rez z +1 = ) 0 gz ) si Rez ) > 0 Posos efi Si Rez ) 0 alors u = z + 1 = z i z + i u +1 = fz ) i fz ) + i = u z 1 + i) z 1 i) Selo le sige de la partie imagiaire de z, l u au mois des deux modules z 1 + i) et z 1 i) est supérieur à alors que l autre est supérieur à 1. Aisi u +1 u Si Rez ) > 0, o obtiet le même résultat. O e déduit que si u 0 0 alors la suite u ) est pas borée. Or la partie B est borée doc u 0 = 0 puis a = ±i. Aisi B i, i}. Sachat B et sachat que l apparteace de i etraîe celle de i et iversemet, o peut coclure B = i, i} Exercice 1 : [éocé] Soit z C. Si z R alors fz) = 0. Sio, o peut écrire z = re iθ avec r > 0 et θ ] π, π[ et alors Puisque cosθ/) 0 doc fz) = r 1 + eiθ = r cos θ eiθ/ fz) = r cos θ et arg fz) = θ fz) Z C/ReZ > 0}
5 [ édité le 10 juillet 014 Correctios 5 Iversemet, soit Z C tel que ReZ > 0. O peut écrire Z = Re iα avec R > 0 et α ] π/, π/[. Pour les calculs qui précèdet doet z = R cos α eiα Exercice 15 : [éocé] Rappelos que si u est u complexe de module alors 1/u = ū. O a alors 1 z a) = z a) z 1 ) z a)ā z) z a = = a ā ā z z fz) = Re iα = Z Fialemet, les valeurs prises par f sot les complexes de parties réelles strictemet positives aisi que le complexe ul. doc b a ) z a z a = z b z b R+ Exercice 13 : [éocé] Posos x = Rez et y = Imz. O a 1 + z = 1 + x Pour assez grad, o a 1 + x/ > 0 et doc 1 + z ) = r e iθ avec r = Quad + r = exp 1 l + x + x + y )) et ) + i y 1 + ) x y ) + et θ = arcta x = exp + o θ y y doc 1 + z ) expx)e iy = expz) Exercice 14 : [éocé] a) E développat z 1 + z = z 1 + z ) z 1 + z ) = z 1 + z 1 z + z 1 z + z y/ 1 + x/ ))) 1 expx) Exercice 16 : [éocé] E multipliat les trois complexes t, u, v par e iθ, o peut former u ouveau triplet solutio à partir d u premier. Sas perte de gééralité, o peut doc supposer t R + auquel cas t = a. E écrivat u = x + iy et v = x + iy avec x, x, y, y R, la coditio t + u + v = 0 doe x = a + x) y = y et les deux coditios uū = b et v v = c équivalet alors au système x + y = b x + a) + y = c Ce système possède ue solutio si, et seulemet si, le cercle de cetre O et de rayo b coupe le cercle de cetre Ω a, 0) et de rayo c. Ces deux cercles se coupet si, et seulemet si, b c a b + c O peut alors coclure que le triplet t, u, v) existe si, et seulemet si, chacu des paramètres a, b, c est iférieur à la somme des deux autres. et la relatio écrire est alors immédiate. b) O a z 1 + z + z 1 z 4 doc parmi les quatités z 1 + z et z 1 z, l ue au mois est de carré iférieur à.
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