INTERFÉROMÈTRE DE MICHELSON

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1 INTERFÉROMÈTRE DE MICHELSON Au programme fgurent ans l étue nterférences localsées, unquement celles observées avec l nterféromètre e Mchelson, lequel est un spostf vseur ampltue. Le Mchelson peut onner leu à eux types e franges localsées : es franges égale nclnason et es franges égale épasseur (respectvement es anneaux et es rotes parallèles). Il permet accéer à es mesures très précses (e longueur one, épasseur), où son nom «nterféromètre». Il fut créé en 1881 par le physcen amércan Mchelson, prx Nobel; son utlsaton par Mchelson et Morley joua un rôle mportant ans l établssement e la théore e la relatvté restrente (l a perms e montrer que la vtesse e la lumère état népenante u référentel). I. Descrpton mror M O compensatrce C source O I O 1 x face semréfléchssante séparatrce mror M 1 O objectf L écran observaton E F M y schéma u Mchelson Il est construt à partr e eux axes orthogonaux Ox et Oy (appelés bras e l nterféromètre) : 3.4. Mchelson 1

2 Il est prncpalement consttué une lame sem réfléchssante (appelée séparatrce) qu réflécht et transmet la lumère vers eux mrors plans approxmatvement perpenculares à Ox et Oy, avant e recombner les fasceaux vers une zone observaton. Le mror M 1 est approxmatvement orthogonal en son centre O 1 à l axe Ox (on peut régler son orentaton à l ae e vs e réglage). Il est monté sur un charot et peut ans être translaté parallèlement à lu-même; sa poston peut être repérée très précsément. Le mror M est approxmatvement orthogonal en son centre O à l axe Oy (on peut régler son orentaton à l ae e vs e réglage). La séparatrce est nclnée à 45 sur l axe Ox. On note Σ la face réfléchssante, sur laquelle se trouve le pont O. La source lumneuse est placée au vosnage e l axe Ox, côté x négatfs, elle est ponctuelle ou étenue, monochromatque ou non, selon les utlsatons. Sot un rayon éms par S, arrvant en un pont I sur la séparatrce, une parte e la lumère est transmse vers M 1, l autre est réfléche vers M. On t qu l y a vson ampltue, contrarement au spostf es trous Young qu est un spostf à vson u front one. Après réflexon sur les mrors, les rayons sont renvoyés vers la séparatrce qu les réflécht ou transmet vers l écran observaton placé perpencularement à l axe Oy. Un rayon se réfléchssant sur M 1 traverse 3 fos la séparatrce alors qu un rayon se réfléchssant sur M la traverse une seule fos. Pour compenser cette contrbuton à la m entre les eux rayons émergents, on place une lame appelée compensatrce, C, e même épasseur et e même nce que la séparatrce. Grâce à elle, l épasseur e verre traversée est la même sur les eux chemns. Dans un schéma smplfé, on ne fera onc apparaître que la face réfléchssante Σ e la séparatrce (et pas le reste e cellec n la compensatrce). mror M O S O O 1 Σ mror M 1 O objectf L F M écran observaton E schéma smplfé u Mchelson 3.4. Mchelson

3 On observe prncpalement eux types e franges localsées avec le Mchelson : II. Interféromètre réglé en lame ar à faces parallèles : anneaux égale nclnason 1. Descrpton L nterféromètre ot être réglé e façon que M 1 sot strctement orthogonal à M (réglage très élcat). Le mror M 1 peut être éplacé parallèlement à lu-même; sot M 1 son mage par la séparatrce. M et M 1 forme une lame ar à faces parallèles. Sot la stance entre le mror M et l mage M 1 e M 1 par la séparatrce. est appelée «épasseur e la lame ar». Sot S un pont e la source. mror M 1 mror M A A1 S I J J 1 A1 Σ mror M1 objectf L Sot un rayon éms par S avec une nclnason (.e. fasant un angle avec la normale au mror M 1 ). Sot I le pont ncence e ce rayon sur la séparatrce. Par vson ampltue, l lu correspon eux rayons émergents : un premer rayon, transms par Σ, frappant M 1 en A 1, est réfléch par M 1, frappe à nouveau la séparatrce, s y réflécht et émerge en fasant avec la normale à M, le même angle. un secon rayon, réflécht par Σ, frappant M en un pont A, s y réflécht pus est transms par la séparatrce. Il fat lu auss avec la normale à M, le même angle. Tout se passe comme s les eux rayons émergents provenaent e la réflexon u rayon IA respectvement sur M en A et sur M 1 en A 1. Pour un rayon ncent onné tombant sur la séparatrce, les eux rayons émergents sont parallèles entre eux, ls se coupent onc «à l nfn» : le pont ntersecton e ces eux rotes, «à l nfn», ans la recton, est attent par eux ones provenant toutes les eux e la même source prmare S : on y observe le phénomène nterférence. On parle nterférences localsées car on ne peut pas placer l écran n mporte où : l ot être théorquement «à l nfn», en pratque «très lon». Les nterférences sont localsées à l nfn Mchelson 3

4 Ces nterférences localsées peuvent auss être observées à l ae une lentlle appelée objectf, L, ans son plan focal mage. En effet, une lentlle axe optque normal à M onne un objet à l nfn (tel que «les franges nterférences» écrtes précéemment) une mage stuée ans son plan focal : les eux rayons précéents, parallèles entre eux, émergent e la lentlle en se coupant en un pont M e son plan focal tel que (MO F )=. Les nterférences sont alors localsées ans le plan focal mage e L. Remarque : le rayon () émerge après réflexon sur M, le rayon (1) après réflexon sur M 1. L ensemble se comporte onc comme une lame ar à faces parallèles, lmtée par les plans M et M 1. C est la rason pour laquelle ans cette confguraton, l nterféromètre est t «réglé en lame ar à faces parallèles».. Calcul e la m Sot un pont M u plan focal mage e L. On caractérse M par sa stance r à F (on utlse ans le plan e l écran, les cooronnées polares). On peut également caractérser M par l angle =(F O M). La relaton entre et r est : tan = Calculons la m en M entre les eux rayons y arrvant, l un réfléch sur M, l autre sur M 1. Les ponts K 1 et K respectvement sur le chemn 1 et le chemn, sont éfns par le schéma c-essous. δ ( M) = (SM) 1 (SM) = (IM) 1 (IM) = (IAA1' K1M) (IAK M) En effet IM) (IA A ' K M) ( 1 = 1 1 Ans δ M) = (A A ' K M) (A K M) = (A A ' K ) (A K ) ( En effet, (K 1 M)=(K M) car K 1 et K sont tous eux sur le même plan e phase une one qu serat émse par un pont objet à l nfn ans la recton, ont l mage serat M, pusque M est ans le plan focal mage e L et tel que =(F O M). ( A A ' + A ' K A ) δ / n = K r f ' ( 1 sn ) cos δ / n = A A1' A K = A K1 sn = ( tan ) sn = = cos cos cos δ(μ)=n.cos mror M 1 A 1 mror M A K K 1 I () (1) objectf L O f M F r écran observaton E 3.4. Mchelson 4

5 M 1 M cas partculer u contact optque : c est le cas où les eux mrors sont parfatement symétrques par rapport à la séparatrce,.e. M et M 1 sont confonus ou encore =0 (lame ar épasseur nulle). La m est alors nulle en tout pont e l écran : l éclarement est onc unforme sur l écran; c est un cas lmte où l on n observe pas nterférences. Cette poston relatve es eux mrors est qualfée e contact optque (car M et M 1 sont confonus). Interféromètre au contact optque : =0 : M et M 1 confonus : lame ar épasseur nulle : I(M) unforme : δ=0 quelque sot (ou r) 3. éclarement en M On se place pour la sute ans le cas où 0. On suppose que les eux ones ont la même ampltue. δ(m) I(M) = I cos ( 1+ cos πp(m) ) = I 1+ cos π = I 1+ cos π Prenons en compte mantenant, le fat que l angle est fable : cos 1 et tan r f ' = + r I(M) = I π 0 1+ cos 4π [1 ] I ] 0 1 cos 4 [1 f ' Sur l écran, l éclarement I(M), tout comme la m en M, δ(m), ne épen que e l angle, ou encore e la stance r u pont M au foyer F. Une frange nterférences étant un leu égal fférence e marche, ou encore égal éclarement, ou égal orre nterférence aura onc pour équaton r=cst ou encore =cst : les franges nterférences sont es anneaux, appelés «anneaux égale nclnason». Leu es ponts «δ=cst» : leu es ponts «constant»,.e., leu es ponts «F M constant» : cercles e centre F Les franges sont es anneaux concentrques e centre F. L éclarement est une foncton snusoïale (onc péroque) e r et non e r. Sur l écran, l éclarement vare entre 0 et 4I 0 selon la stance au centre F Mchelson 5

6 Les anneaux brllants sont le leu es ponts où l éclarement est maxmum (4I 0 ),.e. où le cosnus vaut +1, ou encore où r la m est un multple enter e 0, ou encore où le éphasage 4π [1 ] est un multple enter e π ou encore ou f ' l orre nterférence est enter. Les anneaux sombres sont le leu es ponts où l éclarement est mnmum (l vaut 0),.e. où le cosnus vaut 1, ou encore r où la m est un multple em-enter e 0, ou encore où le éphasage 4π [1 ] est un multple em-enter e f ' π. 4. Orre nterférence en M L orre nterférence en M s écrt, lorsqu on n est pas au contact optque (.e. quan 0) : δ cos r p = = (1 ) = (1 ) f ' 0 On remarque qu en F, caractérsé par r=0 ou =0, l orre nterférence est non nul. C est même là qu l est le plus élevé, c est là que la m est la plus grane, elle vaut. L orre nterférence est maxmum au centre F ; l écroît quan on s élogne u centre F. p F' Exemple : =0,0mm, =500nm ; p F 800 = = p max 0 ; p max peut être très élevé On remarque qu l faurat connaître avec une précson u même orre que pour savor s p F est enter, pour connaître le premer chffre après la vrgule. On ne peut pas avor accès à une telle précson sur la mesure e. cepenant l observaton e l écran nous permet e connaître le premer chffre après la vrgule (excéent fractonnare e p) : cf TP. Le pont F peut être brllant, sombre ou éclarement nterméare : ça épen e la nature u rapport / (enter, ementer ou autre). Détermnons les expressons es rayons es anneaux brllants par exemple ans un cas partculer : La stance est telle que le centre F est sombre ( éclarement mnmum) L orre nterférence en F, /, est onc em-enter. Pusque l orre nterférence écroît quan on s élogne u centre, l orre nterférence en un pont u premer anneau brllant compté à partr u centre vaut : premer anneau brllant : 1 p 1 = p F' = 1 r Or l orre nterférence p et la stance r au centre es anneaux F sont lés par la relaton p= (1 ) f ' On éut le rayon u premer anneau brllant r 1 = f ' L orre nterférence en un pont u secon anneau brllant vaut : p 3 3 = p1 1 = p F' =, pusque : l orre nterférence vare une unté entre eux franges consécutves e même nature et que par alleurs, l orre nterférence mnue quan on s élogne u centre. Le rayon u secon anneau brllant vaut onc : r 3 = f ' Mchelson 6

7 Et ans e sute : on montre faclement que le rayon u k ème anneau brllant vaut r k = f ' 1 k Attenton : k est c «le rang e l anneau», ce n est pas l orre nterférence e l anneau. 5. Proprétés es anneaux On peut vérfer que r k -r k-1 mnue avec k (la foncton e k «r k -r k-1» a une érvée négatve); les anneaux se resserrent quan on s écarte u centre Pour k onné, r k -r k-1 est proportonnel à -1/ : les anneaux sont autant plus serrés que la stance est grane, autant mons serrés que est fable. A la lmte, lorsque ten vers zéro, l écran observaton est unformément éclaré : c est le contact optque. S on mnue, tout en suvant u regar un anneau brllant onné (caractérsé par un orre nterférence enter r onné) on a p = (1 ) =cst : r mnue, l anneau semble rentrer vers F : «on fat rentrer les anneaux quan f ' on se rapproche u contact optque» (quan on mnue ). Inversement, on fat sortr les anneaux quan on s élogne u contact optque (quan on augmente la stance ). 6. Influence e l extenson e la source S la source n est pas ponctuelle mas étenue, les fférents ponts sources onnent ans le plan focal e L, exactement la même fgure nterférence pusque l orre nterférence en M ne épen que e. Ces fférents ponts sources e la source étenue étant ncohérents, les ntenstés s ajoutent : on observe es anneaux autant plus lumneux que la source est étenue. C est le gros avantage u Mchelson : son prncpe autorse l utlsaton une source étenue et la fgure obtenue peut être très lumneuse. Remarque : L utlsaton une source étenue ne permet observer les phénomènes que ans le plan focal e L (ou «à l nfn», en l absence objectf) : on t que les nterférences sont localsées. S la source état un pont unque S, on pourrat observer es nterférences non localsées, alleurs que ans le plan focal e L, pusque les franges nterférences sont éfnes par (S 1M)-(S M)=cst : ce sont es hyperboloïes e révoluton e foyers S 1 et S, ont les ntersectons avec un plan (E) perpenculare à S 1S sont es cercles axe S 1S ). En présence e pluseurs sources ponctuelles ncohérentes, les fférents systèmes anneaux sont écalés : l y a broullage et on n observe pas e fgure nterférence s la poston u plan (E) est quelconque : on n en observe que «à l nfn» ou encore ans le plan focal mage une lentlle : les nterférences sont localsées à l nfn. III. Interféromètre réglé en con ar : franges égale épasseur 1. Réglage On règle abor le Mchelson au contact optque : les mrors M 1 et M sont orthogonaux et tels que =0, c est-à-re que M et M 1 sont confonus. On fat alors tourner le mror M 1 un angle θ très fable, autour un axe perpenculare au plan e la fgure Mchelson 7

8 L nterféromètre est équvalent à un con ar comprs entre M et M 1. Pour observer es nterférences avec cette confguraton, l est nécessare éclarer les mrors en ncence quas normale : pour cela, on place par exemple un aphragme crculare e fare rayon entre la source étenue et une lentlle convergente, e façon que le aphragme sot au foyer objet e cette ernère. L nclnason es rayons sur la normale au mror M 1 est alors quasment nulle pour tous les rayons. M mror M O A mror M 1 θ X mror M 1 O «très lon» mror M θ A (X) A 1 =θx X Rayon réfléch sur M 1 R 1 rayon réfléch sur M 1 Rayon venant e S Rayon réfléch sur M rayon venant e S R rayon réfléch sur M y schéma équvalent au Mckelson réglé en con ar zoom sur le vosnage e A. Franges Les eux rayons R 1 et R ssus u rayon ncent unque IA ne se coupent plus «à l nfn», mas se coupent en un pont M très proche e A 1, lu-même très proche e A, u fat que, pour que les phénomènes soent observables, θ est extrêmement fable. De ce fat, on t que les franges nterférences sont localsées sur les mrors. La rote, ntersecton e M et M 1 joue un rôle partculer. Les franges seront es segments e rote parallèles à cette arête. Les eux mrors forment un con ar arête, c est pourquo le Mchelson est t réglé en con ar. 3. m Sot M le pont ntersecton es eux rayons R 1 et R émergents. Nous amettons que le résultat obtenu au paragraphe précéent est utlsable, mas l angle ncence étant c très fable, on pren cos=1. δ(m)=n loc La lame ar n est plus «à faces parallèles» mas on amet que la m se calcule ben par n où est l épasseur locale,.e. l épasseur au nveau u pont A,.e. la stance entre les eux mrors M et M 1 au nveau u pont A, ou encore l épasseur u con ar au nveau e A. Sot X la stance u pont A à la rote ntersecton e M et M 1. La stance entre les eux mrors (X),.e. l épasseur locale u con ar au nveau u pont ncence A, est foncton e X; elle s écrt, en premère approxmaton, l angle θ étant très fable : Xθ. La fférence e chemn optque en M est onc : 3.4. Mchelson 8

9 δ(μ)=x.θ Les franges nterférences sont le leu égale m : elles sont éfnes par δ=cst, e X=cst : ce sont ben es segments e rote parallèles à. Ces franges sont nommées franges égale épasseur car les ponts stués sur une même frange sont caractérsés par la même m onc la même abscsse X, onc la même épasseur =Xθ. L éclarement en un pont M «u mror M» s écrt : δ Xθ (M) = I0 1 + cos π = I 1 + cos π : c est une foncton péroque e X. 0 I 0 L nterfrange est la péroe e cette foncton, c est l écart entre eux franges consécutves e même nature. Il vaut : Il est autant plus gran que θ est fable. = θ A la lmte, s θ ten vers zéro, l nterfrange ten vers l nfn, l éclarement event unforme sur l écran : on est ans le cas lmte u contact optque. La frange centrale (δ=0) a pour équaton X=0 : elle est stuée sur l arête u ère, là où l épasseur u con ar est nulle. Sur le schéma c-contre, on a exagéré énormément l angle θ, pour la clarté e la fgure. Par alleurs, les notatons sont fférentes (x au leu e X, α au leu e θ, e au leu e ). Enfn, sur ce essn, les mrors sont retournés un 1/4 e tour par rapport aux fgures u Projecton sur un écran à l ae une lentlle Lorsqu on regare «à l œl» les mrors, on vot les franges sur le mror M. On peut les projeter sur un écran à l ae une lentlle e projecton L (lentlle convergente) : les franges sur le mror consttuent l objet réel. Pour obtenr leur mage réelle agrane sur un écran, on ot utlser une lentlle convergente, et placer l écran à une stance e M supéreure à 4f, ans le plan conjugué e M par la lentlle. L nterfrange «mage» écran mesuré sur l écran est alors relé à l nterfrange «objet» sur M,, par la formule u granssement : écran = γ γ = avec O' O" O' O O étant le centre optque e la lentlle, O l ntersecton u plan e l écran avec Oy. O O O mror M Lentlle e projecton Écran 3.4. Mchelson 9

10 La mesure e l nterfrange permet une mesure e 0 ou e l angle θ. Numérquement, pour obtenr es franges vsbles à l œl nu, on ot avor typquement écran >1mm, sot avec γ=10, >0,1mm. Avec =0,600µm, on obtent θ< ra=0,17 =10 : en pratque, l angle entre les mrors ot être très fable. Remarque : la source peut être étenue. Dans la pratque, alleurs on utlse toujours une source étenue pour avor es phénomènes plus lumneux : les fférents ponts sources étant ncohérents, les ntenstés s ajoutent. En revanche, à cause e l extenson e la source, les nterférences sont localsées (au nveau es mrors) Mchelson 10