Programme de Mathématiques en MPSI FORMULAIRE, DEFINITIONS ET THÉORÈMES 1

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1 MPSI-MP Aée Programme de Mathématiques e MPSI FORMULAIRE, DEFINITIONS ET THÉORÈMES Nombres réels R est u corps commutatif totalemet ordoé, c est à dire u esemble mui de deux lois + et, telles que (R, +) soit u groupe commutatif, (R, +, ) u aeau itègre das lequel tous les élémets o uls sot iversibles. R est mui d ue relatio d ordre total 6 ( x6y y x R + ) compatible avec l additio (x6y x + a6y + a) et la multiplicatio par u réel positif. (x6y et a>0 xa6ya) Soit A R ue partie de R. O dit que A admet ue bore supérieure das R lorsqu il existe a R tel que a soit le plus petit élémet de l esemble des majorats de la partie A,c estàdire x A, x6a et b <a, x A, b < x Lorsqu elle existe, cette bore supérieure est uique. Elle est otée sup(a). O défiit de faço symétrique la otio de bore iférieure. Par exemple, si A = +, N sup(a) =, if(a) =mi(a) = exemple. o vérifie: : oter que A e possède pas de plus grad élémet pour cet O itroduit par commodité l esemble R = R {, + }, afi de pouvoir étedre la otatio sup(a) à toute partie o vide de R : par exemple sup(n) =+ Théorème d existece de la bore supérieure das R Das R, toute partie o vide et majorée admet ue bore supérieure. O peut éocer u résultat aalogue pour les parties o vides et miorées qui admettet ue bore iférieure. I est u itervalle de R I est ue partie covexe de R,c estàdire: (x, y) I, λ [0, ], λx +( λ)y I Exemple I =], 5] Iégalités triagulaires: (x, y) R, x y 6 x + y 6 x + y O obtiet x y 6 x + y à partir de x 0 + y 0 6 x 0 + y 0 e posat x 0 = x + y et y 0 = x de même (x, y) R, x y 6 x + y Cogruece modulo u réel a strictemet positif: Soit a>0:deux réels x et y sot cogrus modulo a ssi y x a.z = {ka, k Z} O motre que tout réel x est cogru modulo a à u seul réel y apparteat à l itervalle [0,a[: x R,! Z,!y [0,a[,x= a + y Seuls les résultats sot éocés, sas démostratios, mais accompagés d exemples. Il e s agit pas d u cours mais plutôt d u recueil de défiitios, qui peut permettre par so caractère abrupt de vérifier que l o a bie compris tel ou tel cocept. lycée Dessaiges

2 Exemple: mod Partie etière d u réel: lorsque a =, l etier relatif est appelé partie etière de x, otée = E(x) et y = x E(x) est parfois appelé la partie fractioaire de x. x R,x x E(x)mod O retiedra: E(x) Z et E(x)6x <E(x)+ Remarque : O retrouve l etier défii plus haut das la cogruece modulo a par x = a + y àl aide de la partie etière : o a e effet = E( x a ) Valeur décimale approchée par défaut d u réel: soit x [0, [ et u etier aturel o ul:!(a,..., a ) {0,,,...,9}, si y = k= a k 0 k, alors y6x <y+0 y est la valeur décimale approchée par défaut de x à 0 près. De plus k {,.., },a k = E(0 k x) 0E(0 k x) par exemple si x = =0, alors a =4,a =,a 3 =4 Isomorphisme du groupe (R, +) das le groupe (R +,.) La foctio expoetielle établit u isomorphisme de groupe de (R, +) das (R +,.), dot l isomorphisme réciproque est la foctio logarithme épérie (x, y) R, exp(x + y) =exp(x) exp(y) (x, y) R +, l(xy) =l(x)+l(y) Attetio, isomorphisme de groupe est u terme qui,isolé, e veut rie dire : il faut bie préciser la structure de groupe (A,..) de départ et la structure de groupe (B,T..) d arrivée ( e fait préciser les lois ) et e pas oublier bie sûr de vérifier le caractére bijectif de l applicatio aisi que le respect des lois,t Suites de ombres réels Ue suitedeombreréelsest ue applicatio de N das R. L esemble des suites de ombres réels est oté R N. O ote u R N ou (u ) N R N. Soit u ue suite de ombres réels u est majorée (resp miorée) ssi M R, N,u 6M (resp u >M) u est borée ssi M R +, N, u 6M ce qui reviet à dire qu elle est à la fois miorée et majorée u est croissate (resp décroissate) si N,u + u >0 (resp u + u 60) O appelle suite extraite de (u ) N toute suite (v ) N =(u ϕ() ) N formée de certais termes de la suite u, extraits à l aide d ue foctio ϕ : N N strictemet croissate. Si u est borée, toutes ses suites extraites le sot. De même si u est mootoe, il e va de même de toutes ses suites extraites. Par exemple, la suite (u =(+( ) )) N est miorée, o majorée, o mootoe. Sa suite extraite ( u + ) obteue pour ϕ() = +est costate égale à 0. lycée Dessaiges

3 . Suites covergetes La suite u R N est covergete vers a R lorque ε > 0, N N, >N, u a 6ε Par exemple la suite u = est covergete vers + Notatio: lim u = a: lim u = a lim u a =0 Remarque : il est équivalet de dire lim u =0ou lim u =0 Ue suite est covergete s il existe u réel a tel que lim u = a Sio elle diverge. Par exemple la suite u =(+( ) ) diverge Toute suite covergete est borée Les suites covergetes formet u sous espace vectoriel de R N. De plus: Si lim u = a et lim v = b alors (λ,µ) R (λu + µv ) N coverge et lim λu + µv = λa + µb Les suites covergetes vers 0 formet u sous espace vectoriel de R N.Deplus Si lim u =0et si v est borée alors + Lorsqu ue suite coverge vers a>0, N N, >N,u > 0 lim v u =0 + Si ue suite (u ) N coverge vers a, toute suite extraite de u coverge vers a.. Suites divergetes vers + (resp - ) La suite u diverge vers + (resp - ) ssi A R, N N, >N, A6u (resp u 6A) Attetio, ue suite qui diverge e diverge pas forcémet vers + ou - comme le motret les exemples u =(+( ) ), v =cos() Si ue suite (u ) N diverge vers +, toute suite extraite de u diverge vers + Les suites obéisset aux règles suivates e ce qui cocere les iégalités Si lim v =0 et si N N, >N, u 6 v alors lim u =0 + + Si lim u =+ et si N N, >N,u 6v alors lim v =+ + + Si lim u = lim w = a et si N,u 6v 6w,alors lim v = a Suites de référeces a, α a < lim a =0, a > lim a =+ α < 0 lim α =0, α > 0 lim α =+.3 Relatios de Comparaiso Etat doée ue suite (v ) de ombres réels o uls, et ue suite (u ) de ombres réels: u est domiée par v lorsque 3 lycée Dessaiges

4 O ote u = O (v ) (grad O ) u est égligeable devat v lorsque: A R +, N, u v 6A ce qui reviet à dire que : Si u ε > 0, N N, >N, lim (u )=0 v O ote u = o (v ) (petit o) La suite u est équivalete à la suite v lorsque u v = ε > 0, N N, N, u v ε v Ou ecore lorsque v e s aulle pas: O ote u v v et a b alors a u lim (u )= v b v et a u Si u = a + b et b = o (a ) alors u a Attetio de e pas ajouter deux équivalets Observer le cotre exemple suivat : + u v 6ε o (v ), ce qui reviet à dire que : b v + et + cepedat est pas équivalet à + Ue erreur très répadue est de croire que si deux suites sot équivaletes et si l ue est croissate à partir d u certai rag l autre aussi : o peut se covaicre du cotraire grâce au cotre-exemple u =, v = +( ) Voici le tableau des Croissaces comparées 0 <a<b a = o(b ) soit lim( a b )=0 <aet α R α = o(a ) soit lim(a α )=0 a < et α R a = o( α ) soit lim(a α )=0 α > 0 et β R (l()) β = o( α ) soit lim( α (l()) β )=0 α < 0 et β R α = o((l()) β ) soit lim( α (l()) β )=0 a R et α R α = o(!) et a = o(!) soit lim( a! )=lim (α! )=0 La hiérarchie est doc la suivate lorsque a> et α > 0, la suite factorielle domie a et α,lasuite a domie α,etlasuite α domie les suites (l()) β Si u v alors u et v sot de même sige à partir d u certai rag..4 Suites usuelles 4 lycée Dessaiges

5 Suites arithmétiques Suites géométriques u + = u + r u = u 0 + r u k = ( p +) u p + u k=p k= k = ( +) u + = qu u = q u 0 q p+ u k = u p q k=p k=0 q k = q+ q si q 6= Suites arithmético-géométriques (q 6= ) u + = qu + r (u + l) =q(u l) avec l = lq + r u = q (u 0 l)+l Exemple: u + =u +et u 0 =. O cherche le poit fixe l de la foctio f(x) =x +qui est ici égal à -, puis u += (u 0 +)soit u = + Sommes usuelles k=0 k=0 k = k 3 = ( ( + )( +) 6 k= k) = ( +) 4 Suites homographiques u + = au + b cu + d ces suites peuvet s étudier e cherchat les solutios l,l de l équatio l = al + b cl + d, puis e se rameat lorsque l 6= l à la suite v = u l, qui vérifie u l ce qui permet d expliciter u v + = l l v Théorème de la limite mootoe : Toute suite croissate de ombres réels qui est majorée est covergete :oaalors lim u =sup { u, N} L éocé subsiste pour les suites décroissates et miorées, et lim u =if { u, N} Théorème des suites adjacetes: Si deux suites u, v vérifiet : u croissate, v décroissate et lim v u = 0,alors N,u 6v et les deux suites u et v coverget vers la même limite l;deplus (, p) N, u 6 l 6 v p 5 lycée Dessaiges

6 Théorème des segmets emboités :SoitI =[u,v ] ue suite d itervalles fermés borés o vides de R, décroissate pour l iclusio ( N,I + I ) :alors N I 6= Cas particulier des suites dichotomiques :silasuitei =[u,v ] vérifie: alors N, I + =[u, u + v l R, N ] ou I + =[ u + v,v ] I = {l} Théorème de Bolzao-Weierstrass :Silasuiteu R N est borée, il existe ue suite extraite de u qui coverge das R. 3 Foctios réelles d ue variable réelle Soit A ue partie de R: ooter A l esemble des foctios de A à valeurs das R. (Remarque: cette otatio a pour origie le cas ou A est u esemble fii A = {x,..,x } de cardial, puisqu alors ue applicatio f de A das R est caractérisée par le -uplet {y = f(x ),..., y = f(x )} R. O retrouve aisi les suites réelles de R N comme applicatios de N das R. C est d ailleurs comme cela qu il faut les voir...) Cet esemble est mui des trois lois usuelles suivates : si f et g sot deux foctios apparteat à R A et si λ R,alors + additio des foctios: x A, (f + g)(x) = f(x)+g(x), produit des foctios: x A, (f g)(x) =f(x)g(x). produit d ue foctio par u scalaire x A, (λ.f)(x) =λf(x) Aisi défiies, ces lois fot de (A, +,,.) ue R algèbre commutative, dot le vecteur ul est la foctio costate égale à 0 otée 0:(x A 0) et l élémet uité est la foctio costate égale à, otée (x A 7 ) Ue foctio f R A est majorée, miorée, borée si (respectivemet) M R +, x A, f(x)6m (majorée) ou M R +, x A, f(x)>m (miorée) M R +, x A, f(x) 6M (borée) L esemble des foctios borées forme ue sous-algèbre de R A f admet e x 0 u maximum absolu sur A (resp miimum absolu sur A) ssi O ote respectivemet x A, f(x)6f(x 0 ) (resp f(x)>f(x 0 )) f(x 0 )=max{f(x),x A} =max x A f(x 0 )=mi{f(x),x A} =mi x A f(x) =max f A f(x) =mi f A f admet e x 0 u maximum local sur A(resp miimum local) ssi α > 0, x A ]x 0 α,x 0 + α[, f(x)6f(x 0 ) (resp f(x)>f(x 0 )) O ote sup(f(x),x A) =sup(f) la bore supérieure d ue foctio défiie sur A: Il s agit d u A élémet de R. Si f est majorée sur A il s agit d u élémet de R Ue foctio est dite croissate (resp strictemet croissate)sura ssi (x, y) A,x6y f(x)6f(y) (resp x<y f(x) <f(y)) Attetio : le caractère cotiu ( o discret ) de R e permet pas, comme pour les suites, de se rameer 6 lycée Dessaiges

7 à comparer l image d u élémet de A avec celle de so successeur ( quel est le successeur d u réel...) O défiit de même les foctios décroissates. Foctios paires, impaires si A est ue partie de R symétrique par rapport à 0, ue foctio f R A est dite paire ssi x A, f( x) =f(x) Elle est dite impaire ssi x A, f( x) = f(x) La parité d ue foctio se réduit géométriquemet au fait que so graphe est symétrique par rapport à la droite x =0, l imparité se traduit par le fait que le graphe est symétrique par rapport au poit O(0, 0). L esemble P A (resp I A ) des foctios paires sur A (resp impaires sur A) est u sous-espace vectoriel de R A. Toute foctio f défiie sur A est somme d ue foctio paire p et d ue foctio impaire i appelées respectivemet les partiespairesetimpairesde f x A, f(x) =p(x)+i(x) avec p(x) = f(x)+f( x) f(x) f( x),i(x) = Cette écriture est uique, ce que l o peut traduire par le fait que les deux sous espaces P A et I A sot e somme directe P A I A = R A O peut remplacer das ces défiitios 0 par u autre réel a, ce qui reviet à remplacer la foctio x 7 f(x) par la foctio x 7 f(x a) E particulier: la symétrie par rapport à la droite x = a se traduit par : x A, f(a x) =f(x + a) ecore équivalet f(x) =f(a x) U cetre de symétrie e A(a, 0) se traduit par x A, f(a x) = f(x + a) ou ecore f(x) =f(a x) Soit T>0. Ue foctio défiie sur ue partie I est dite T périodique si x I,x + T I et x T I et f(x + T )=f(x) O e déduit que (x, k) I Z, f(x + kt) = f(x). La foctio f est alors défiie par sa valeur sur les élémets I [0,T[ grâce à la cogruece modulo T. Par exemple la foctio f(x) =d(x, Z) =if( x, Z) qui doe la distace d u réel x à l esemble Z des etiers relatif est -périodique et paire. O peut recostruire cette foctio e doat sa valeur sur l itervalle I =[0, 0.5] :cette valeur est évidemmet f(x) =x ce qui doe le graphe suivat x lycée Dessaiges

8 Exercice: démotrer que f est défiie sur R par f(x) = x E(x + ) Ue foctio est Lipchitziee de rapport k>0 sur l itervalle I ssi (x, y) I, f(x) f(y) 6k x y 3. Etude locale d ue foctio Ue applicatio f de I das R admet la limite a R lorsque x ted vers x 0 R lorsque V a T a, W x0 T x0, x W x0 I, f(x) V a Notatio: limf(x) =a x x0 Das cette défiitio, si b R, T b désige l esemble des itervalles ouverts voisiages de b défiis comme suit : b R : T b = {]b α,b+ α[, α > 0} b = : T = {],m[,m R} b =+ : T + = {]m, + [,m R} Il faut doc compredre que la défiitio précédete se développe comme 9 défiitios différetes. La défiitio pour a et x 0 réels doe par exemple: ε > 0, α > 0, x ]x 0 α,x 0 + α[ I, f(x) ]a ε,a+ ε[ ou ecore e termes de valeurs absolues ε > 0, α > 0, x x 0 < α et x I f(x) a < ε f est cotiue au poit x 0 R si et seulemet si x 0 I et lim x x0 f(x) =f(x 0 ) ceci se traduit par ε > 0, α > 0, x x 0 < α et x I f(x) f(x 0 ) < ε α s appelle le module de cotiuité locale e x 0, il déped bie etedu à la fois de x 0 et de ε : e clair f(x) est aussi proche que l o veut de f(x 0 ) pourvu que x soit assez proche de x 0 f admet u prologemet par cotiuité e x 0 si a R, lim f(x) =a x x0 la foctio prologée f est égale à f sur I et de plus f(x 0 )=a et x 0 / I f est alors cotiue e x 0 Toute foctio admettat ue limite fiie a e u poit est borée das u voisiage de ce poit. ue foctio qui est borée au voisiage d u poit admet pas forcémet de limite e ce poit comme le prouve l exemple f(x) =si( x ) sur ]0, ] pour x 0 =0 Les foctios obéisset aux propriétés usuelles des limites (voir suites) Si la foctio f est cotiue au poit x 0 et si la suite (u ) N coverge vers x 0, alors la suite (v = f(u )) N coverge vers f(x 0 ) Caractérisatio séquetielle de la cotiuité: Solutio: poser g(x) = x E(x + ). Démotrerquelafoctiog est périodique et vérifie: x [ /, /[,g(x) = x = f(x) 8 lycée Dessaiges

9 f est cotiue au poit x 0 si et seulemet si pour toute suite (u ) N qui coverge vers x 0, alors la suite (v = f(u )) N coverge vers f(x 0 ). Remarque: il peut être parfois utile d utiliser cette caractérisatio de la cotiuité pour démotrer qu ue foctio est cotiue e u poit. Théorème de la limite mootoe: Soit f ue foctio croissate (resp décroissate) sur l itervalle I =]α, β[ R. Alors sif est majorée sur I (resp miorée sur I), elle admet ue limite à gauche l = lim f(x) R e β x β de plus l = lim f(x) =sup(f(x)) respectivemet l = lim f(x)= if (f(x)) x β x I x β x I siolim f(x) =+ respectivemet lim f(x) = x β x β 3. Relatios de comparaisos Soit x 0 R, f et g deux foctios défiies sur u itervalle I coteat ]x 0 r, x 0 [ou ]x 0,x 0 +r[ ou la réuio des deux, o défiit les relatios de comparaisos suivates f est égligeable devat g e x 0 ssi ε > 0, α > 0, x I {x 0 }, x x 0 < α f(x) 6ε g(x) ceci se ote f(x) = o g(x) x x 0 cela reviet, si g e s aule pas localemet au voisiage de x 0, à: lim x x 0 x6=x 0 f(x) g(x) =0 f est domiée par g e x 0 ssi A >0, α > 0, x I {x 0 }, x x 0 < α f(x) 6A g(x) ceci se ote f(x) = O g(x) x x0 celà reviet, si g e s aule pas localemet au voisiage de x 0, à dire que la foctio x 7 f(x) g(x) au voisiage de x 0 f est équivalete à g e x 0 ssi f(x) g(x) = o x x 0 g(x) ceci se ote f(x) g(x) x x0 cela reviet, si g e s aule pas localemet au voisiage de x 0, à: f(x) g(x) = lim x x 0 x6=x 0 Si f(x) x0 g(x) et a(x) x0 b(x) alors a(x)f(x) x0 b(x)g(x) et a(x) f(x) x 0 b(x) g(x) est borée Si f(x) =a(x)+b(x) et b(x) =o( a(x)) alors f(x) b(x) x x0 0 Attetio à e pas ajouter les équivalets (voir suites ), i à tirer des coséqueces sur la mootoie locale d ue foctio à partir d u équivalet. 9 lycée Dessaiges

10 Si f(x) g(x) et si g est positive sur u voisiage de x 0,alorsf est égalemet positive sur u certai x0 voisiage de x 0 (qui est pas forcémet le même ) 3.3 Relatios de comparaisos des foctios usuelles e + α < β e αx = o (e βx ) soit lim )=0 + eβx α R et β R + x α = o (e βx ) soit lim(x e βx )=0 + + α < β x α = o (x β ) + soit lim x α β =0 + α > 0 et β R (l(x)) β = o (x α ) + soit lim x α (l(x)) β =0 + α < β x β =o (x α ) 0 soit lim x β α =0 0 + ( eαx α > 0 et β R (x) α =o 0 (l(x) β ) soit lim 0 x α (l(x)) β =0 O peut reteir de faço simple que les expoetielles domiet toujours sur les puissaces et que les puissaces domiet toujours sur le logarithme (et les puissaces du logarithme) das les problèmes de coflits de limites du type 0, Attetio de bie rester das le cadre d applicatio du théorème : par exemple e pas proposer e l(x) lim =+!!!! x + x sous prétexte que l expoetielle l emporte sur la puissace. E effet ici e l(x) = exp[ l(x) l(x)] = exp[ l(x)( l(x))] 0 x x + f admet u développemet limité à l ordre e x 0 si et seulemet si il existe +réels a 0,..., a,u itervalle ]x 0 α,x 0 + α[ (ou]x 0 α,x 0 [ ou ]x 0,x 0 + α[ )et x ]x 0 α,x 0 + α[, f(x) = Foctio x au voisiage de x =0 x u = k=0 +u = 3.4 Foctio cotiue sur u itervalle k=0 k=0 u k + a k (x x 0 ) k + o u 0 (u ) ( ) k u k + o u 0 (u ) o x x 0 (x x 0 ) Ue foctio f défiie sur l itervalle I est cotiue sur I ssi elle est cotiue e tous les poits de I ( cotiuité à droite ou à gauche s il s agit d ue extrémité de I qui appartiet à I) L image d u itervalle I par ue foctio f cotiue sur I est u itervalle J = f(i) L image d u itervalle fermé boré I =[a, b] par ue foctio cotiue sur I est l itervalle fermé f(i) = [α, β] : ceci reviet à dire que la foctio f est borée et atteit ses bores supérieures et iférieures sur le compact [a, b] Si f est cotiue et strictemet croissate sur l itervalle I =]a, b[,alors J = f(i) =] lim f(x), lim f(x)[ x a + x b et f réalise ue bijectio de I das f(i): 0 lycée Dessaiges

11 De plus la bijectio réciproque f de f est elle même cotiue sur J et de même mootoie que f :so graphe das le p^la rapporté à u repère orthoormé est obteu par la symétrie orthogoale par rapport àlapremièrebissectriceappliquée au graphe de f. O a u éocé aalogue si f est strictemet décroissate Ue foctio f défiie sur I à valeur das R est uiformémet cotiue sur I ssi ε > 0, α > 0, (x, y) I, x y < α f(x) f(y) < ε ceci reviet à dire que o seulemet f est cotiue e tout poit de I, mais que de plus le module de cotiuité locale de f e chaque poit de I e déped que de ε. Par exemple la foctio x 7 x est uiformémet cotiue sur [0, + [ E effet supposos 06y6x et x y < α. O a doc ou bie 06x6α das ce cas x y 6 x6 α ou bie α <xet das ce cas x y x y x y = 6 6 α = α x + y x α Il suffit doc de choisir α = ε qui est doc u module de cotiuité uiforme sur [0, + [ pour cette foctio. Théorème de Heie : Toute foctio cotiue sur u compact y est uiformémet cotiue 4 Nombres complexes 4. Corps des ombres complexes C = {a + ib, (a, b) R } est u corps commutatif,dot R est u sous-corps, lorsqu il est mui des deux lois de compositio iteres: (a + ib)+(c + id) = a + b + i(b + d) (a + ib) (c + id) = ac bd + i(ad + bc) l élémet i vérifie i = Pour z = a + ib C,a=Re(z) et b =Im(z) sot les parties réelles et imagiaires de z. Pour z = a + ib C, z = a ib est le cojugué de z Si l o itroduit la loi de compositio extere : (λ,z) R C λ.z C, C deviet ue R algèbre de dimesio sur le corps R des ombres réels, dot ue base est par exemple (,i). z désige le module de z Pour z = a + ib C, z = a + b >0 zz 0 = z z 0 ; si z 0 z 6=0 = z z 0 z 0 max( Re(z), Im(z) ) z Re(z) + Im(z) Iégalité triagulaire (z,z 0 ) C, z z 0 6 z + z 0 6 z + z 0 Cette iégalité s iterprète e terme de distace : e effet si A, B, C sot trois poits du pla d affixes respectifs a, b, c, e preat z = b a et z 0 = c b, o a doc z + z 0 = c a et l iégalité triagulaire se traduit par AB BC 6AC6AB + BC lycée Dessaiges

12 cas d égalité : z + z 0 = z + z 0 se produit si et seulemet si les deux complexes z, z 0 sot proportioels das u rapport positif ce qui sigifie qu il existe λ R + tel que z 0 = λz ou z =0 O ote U = {z C, z =} l esemble des ombres complexes de module. Noter que z C z, U, ce qui sigifie que tout ombre complexe o ul est proportioel das z u rapport positif à u et u seul élémet de U. (U, ) est u sous groupe du groupe multiplicatif (C, ) Notatio d Euler θ R o pose e iθ =cos(θ)+i si(θ) e iθ = cos θ = eiθ + e iθ, si θ = eiθ e iθ i z U,!θ [0, π[, z = e iθ (θ, θ 0 ) R, e iθ = e iθ0 θ θ 0 0mod(π) (θ, θ 0 ) R, e iθ e iθ0 = e i(θ+θ0 ) Aisi l applicatio Φ : R U θ 7 e iθ est u morphisme surjectif de (R+) das (U, ) dot le oyau est égal à πz Formule de Moivre θ R, Z, (cos θ + i si θ) =cos(θ)+i si(θ) O e déduit e particulier l expressio de cos(θ) et si(θ) e foctio des puissaces de cos(θ) e utilisat la formule du biôme de Newto cos(θ) = E(/) k=0 k E(( )/ si(θ) = si(θ) k=0 ( ) k cos k (θ)( cos (θ)) k = T (cos(θ)) k + ( ) k cos k (θ)( cos (θ)) k T est le ieme polyôme de Tchebichev O e déduit égalemet la liéarisatio de cos (θ) et si (θ) e développat ( eiθ + e iθ ) àl aidedu biôme de Newto et e regroupat deux par deux les termes de la somme obteue cos (θ) = k=0 k cos((k )θ) argumet d u ombre complexe o ul z C,!θ [0, π[, z = z e iθ θ est appelé détermiatio pricipale de l argumet de z arg(zz 0 ) arg(z)+arg(z 0 ) mod(π) Racie ième de l uité N,z = k {0,,.., },z = e L esemble U des racies iemes de l uité das C est u groupe multiplicatif de cardial, egedré par z = e iπ : U = Racie ième d u complexe a = ρe iθ,z,z,..., z avec z = e iπ N,z = ρe iθ k {0,,.., },z = ρ / e Lesimagesdaslepladesracies iémes de a formet u polygôe régulier à sommets, distribués sur ikπ θ+kπ i( ) lycée Dessaiges

13 le cercle de cetre O et de rayo a /. Pour les obteir toutes, il suffit de multiplier l ue d etre elles par tous les élémets de U. 4. Expoetielle complexe Expoetielle complexe z C, e z = e Re(z) e i Im(z) si z = x + iy alors e x+iy = e x (cos(y)+i si(y)) e z = e x et arg(e z )=y E particulier (z,z 0 ) C,e z e z0 = e z+z0 : l expoetielle réalise u morphisme de groupe surjectif de (C, +) das (C, ), dot le oyau est iπz. Ceci sigifie que e z = k Z,z =ikπ Equatio e z = a e z = a = a e i arg(a) z =l( a )+i arg(a)+ikπ avec k quelcoque das Z 4.3 Les complexes e géométrie plae u C : l applicatio z 7 z + u s iterprète comme la traslatio de vecteur u où u admet u pour affixe θ R : l applicatio z 7 e iθ z s iterprète comme la rotatio d agle θ et de cetre 0 λ R : l applicatio z 7 λz s iterprète comme l homothétie de cetre 0 et de rapport λ l applicatio z λe iθ (z z 0 )+z 0 s iterprète comme la similitude directe de cetre A d affixe z 0, de rapport λ et d agle θ. Soiet A, B, M trois poits du pla d affixe respectifs a, b, z: oa z a z b = MA a et arg(z MB z b )= ( MB \,MA) Les quatres poits A, B, C, D sot cocycliques ou aligés ssi arg( c a c b )=arg(d a d b ) mod π 4.4 Trigoométrie A, B, C, D sot cocycliques ou aligés (c a)(d b) (c b)(d a) R cos(x + y) = cos(x)cos(y) si(x)si(y) cos(x y) = cos(x)cos(y)+si(x)si(y) si(x + y) = si(x)cos(y)+ si(y)cos(x) si(x y) = si(x)cos(y) si(y)cos(x) cos(p)+cos(q) = cos( p + q )cos(p q ) cos(p) cos(q) = si( p + q )si(p q ) si(p)+si(q) = si( p + q )cos(p q ) 3 lycée Dessaiges

14 si(p) si(q) = si( p q )cos(p + q ) cos(a)cos(b) = si(a)si(b) = si(a)cos(b) = cos(a + b)+cos(a b) cos(a b) cos(a + b) si(a + b)+si(a b) ta(x + y) = ta(x)+ta(y) ta(x)ta(y) ta(x) ta(y) ta(x y) = +ta(x)ta(y) cos(θ) =cos (θ) si (θ) =cos (θ) = si (θ) si(θ) =si(θ)cos(θ) ta(θ) = ta(θ) ta (θ) +cos(θ) =cos ( θ ) cos(θ) =si ( θ ) e iθ + e iθ0 =cos( θ θ0 )e i θ+θ0 +e iθ =cos( θ θ )ei cette formule s iterprète comme la somme de deux vecteurs uitaires, format aisi la diagoale d u losage qui est aussi sa bissectrice itérieure. arc moitié cos(θ) = t t t, si(θ) =, ta(θ) = +t +t t avec t =ta(θ ) 5 Calcul différetiel 5. Dérivée e u poit, foctio dérivée La foctio f : I R état défiie sur u voisiage de x 0 est dérivable e x 0 si et seulemet si f(x 0 + h) f(x 0 ) f(x) f(x 0 ) l R, lim = l = lim h 0 h x x0 x x 0 Défiitio équivalete (développemet limité d ordre ) l R, x I, f(x) =f(x 0 )+l(x x 0 )+ o (x x 0 ) x x 0 l est le ombre dérivé de f e x 0, oté f 0 (x 0 ) Toute foctio qui est dérivable au poit x 0 est cotiue e x 0 La réciproque est fausse comme le prouve l exemple de la foctio x x e x 0 =0 f est dérivable sur l itervalle I si elle l est e tout poit de I, et à droite ou à gauche e ses évetuelles extrémités si I est fermé f 0 : x I 7 f 0 (x) est alors appelée la foctio dérivée de f 4 lycée Dessaiges

15 Si f est dérivable sur l itervalle I et admet e u poit x 0 itérieur à I u extrémum local, alors f 0 (x 0 )=0 la réciproque est fausse comme le motre le cotre exemple x 7 f(x) =x 3 e 0 D autre part l éocé de ce théorème suppose que x 0 est itérieur à I, et ceci est u poit fodametal, pesez à la foctio x x sur I =[0, ] qui admet so maximum e Composée :sif est dérivable e x 0 et g l est e f(x 0 ) alors gof est dérivable e x 0 et (gof) 0 (x 0 )=f 0 (x 0 ) g 0 (f(x 0 )) Si f est dérivable sur I, de dérivée cotiue e x 0 et si f 0 (x 0 ) 6= 0alors f est localemet bijective d u voisiage de x 0 sur u voisiage de y 0 = f(x 0 ) et sa bijectio réciproque f est dérivable e y 0 : de plus (f ) 0 (y 0 )= f 0 (x 0 ) O peut reteir aussi la formule sous la forme (f ) 0 = f 0 of Opératios (f + g) 0 = f 0 + g 0 (fg) 0 = f 0 g + fg 0 ( f g )0 = f 0 g fg 0 ( g f )0 = f 0 ( f) 0 = f 0 f f (exp(f)) 0 = f 0 exp(f) (f α ) 0 = αf 0 f α l( f ) 0 = f 0 (si(f)) 0 = f 0 cos(f), (cos(f)) 0 = f 0 si(f) f Dérivées d ordre supérieur f est k fois dérivable sur l itervalle I ssi elle est k fois dérivable sur I et si la foctio f (k ) est dérivable sur I : O pose alors f (k) =(f (k ) ) 0 f est de classe C k sur I si elle est k fois dérivable sur I et si sa dérivée f (k) est cotiue sur I. O itroduit aisi u opérateur D dit opérateur de dérivatio sur l esemble des foctios k fois dérivables à valeurs das l esemble des foctios k fois dérivables sur I. Cet opérateur est défii par D(f) =f 0. O ote D k (lire D puissace k) l opérateur DoDoD...oD, k fois, et l o a aisi: D k (f) =f (k) E particulier D i od j (f) =D j od i (f) =D i+j (f) pour toute foctio de classe C i+j sur I L opérateur D aisi que tous les opérateurs D k sot liéaires Formule de Leibiz: si f et g sot de classe C k sur I, fg l est égalemet et D (fg)= k=0 k D k (f)d k (g) Complémet sur la dérivée d ordre d ue composée : et pourquoi bo dieu e parle t o jamais de la dérivée iéme de la composée de deux foctios de classe C, il doit bie y avoir ue formule...oui la voici m D! D(f)(x) D m (f)(x) D q m f(x) q (gof)(x) = m!m!..m q! Dp (g)of(x)...!! q! où cette somme est étedue à toutes les suites d etiers positifs (m i ) i q vérifiat m +m qm q = et où p désige la somme m + m m q = p par exemple si =, = 0+ = + 0 doe les deux suites m =,m =0et m =0,m =d où : (gof) (x) =! 0!! g0 (f(x)) f (x) +!!!0! g (f(x))(f 0 (x)) 5 lycée Dessaiges

16 O compredra que l o évite d e parler... Exercice 3 :calculer(gof) (3) (x) et vérifier que la formule est vraie pour =3 5. Etude globale des foctios dérivables Théorème de Rolle Si f est cotiue sur [a, b] et dérivable sur ]a, b[,etsif(a) =f(b) alors il existe u poit c ]a, b[ tel que f 0 (c) =0 Théorème des accroissemets fiis Si f est cotiue sur [a, b] et dérivable sur ]a, b[, alors il existe u poit c ]a, b[ tel que f 0 (c) = f(b) f(a) b a Iégalité des accroissemets fiis Si f est cotiue sur [a, b] dérivable sur ]a, b[ et si sa dérivée est borée, alors f(b) f(a) 6 b a sup ( f 0 (x) ) x ]a,b[ e otat k = sup ( f 0 (x) ) ceci reviet à dire que f est k lipchitziee sur [a, b] x ]a,b[ Théorème de prologemet de la dérivée Si f est cotiue sur [a, b], dérivable sur ]a, b[, et si f 0 admet ue limite fiie l à droite au poit a,alors f est de classe C sur [a, b[ et f 0 (a) =l Il faut cepedat faire très attetio car le comportemet de la dérivée peut être diverget au poit a bie que la foctio f soit dérivable e a. L exemple le plus simple est la foctio f(x) =x si(/x) ( prologée par cotiuité e 0) qui est dérivable sur R : f 0 (x) =x si cos si x 6= 0et f 0 (0) = 0,et x x cepedat lim f 0 (x) existe pas x x x x x si(/x) sur [ 0.5, 0.5] Zoom sur [ 0., 0.] U théorème qui éoce des coditios suffisates ( et pas forcémet écessaires : e fraçais courat ca suffit mais ce est pas obligatoire ) pour qu ue propriété soit vérifiée doit être aalysé d autat plus soigeusemet afi d éviter de cofodre le écessaire et le suffisat. Travailler sur le écessaire et le suffisat par rapport à ue propriété, c est la situer das le cotexte de la logique mathématique u peu comme o situerait u ombre sur ue droite. 5.3 Foctios covexes La foctio f : I R est covexe sur l itervalle I ssi l ue des propriétés équivaletes suivates est vérifiée: 3 (gof) (3) (x) =g (3) (f(x))(f 0 (x)) 3 +3g () (f(x))f 0 (x)f () (x)+g 0 (f(x))f (3) (x)obteue avec les triplets (m,m,m 3 )=(0, 0, ), (,, 0), (3, 0, 0) 6 lycée Dessaiges

17 a) (x, y) I, λ [0, ],f(λx +( λ)y)6λf(x)+( λ)f(y) b) >, (λ,..., λ ) (R + ), ((x,..,x ) I, i= λ i = f( i= λ ix i )6 i= λ if(x i ) f(x) f(a) c) a I, l applicatio t a : x t a (x) = est croissate sur I {a} x a d) (x, y, z) I 3 f(y) f(x) f(z) f(x) f(z) f(y),x<y <z 6 6 y x z x z y e) la partie A = {(x, y) R,x I,y>f(x)} est ue partie covexe du pla R D u poit de vue géométrique la covexité d ue foctio sur u itervalle I se traduit par le fait que pour tout couple de poits A, B du graphe de f, l arc de courbe _ AB est situé au dessous de la corde AB Si la foctio f est de classe C sur I alors f est covexe sur I f 0 est croissate sur I Das ce cas,le poit de vue géométrique se traduit par le fait que pour tout poit A du graphe de f,l arc de courbe AB _ estsituéaudessusdelatageteea au graphe de f soit a I, x I, f 0 (a)(x a)+f(a)6f(x) Iégalités de covexités pour les foctios usuelles x R +, l(x)6x u ], + [, l( + u)6u x R, +x6e x +x x ], + [, +x Exercice : Démotrer l iégalité 4 x [0, π/4],x ta(x) 4x π 6 Itégratio sur u segmet des foctios à valeurs réelles 6. Foctios cotiues par morceaux Ue foctio f R [a,b] est dite e escalier sur [a, b] ssi il existe ue subdivisio a 0 = a<a <..<a = b de [a, b] telle que pour tout i {,.., }, la restrictio de f à l itervalle ouvert ]a i,a i [ soit costate : o otera λ i = f(x) la valeur de la foctio f sur ]a i,a i [. L esemble Esc([a, b], R) des foctios e escalier sur I est u sous espace vectoriel de R [a,b] Si f est e escalier sur la subdivisio (a 0,a,..., a ) o ote a b f = i= (a i a i )λ i L applicatio f b f est ue forme liéaire sur Esc([a, b], R) a Ue foctio f défiie sur I =[a, b] est cotiue par morceaux sur I s il existe ue subdivisio a 0 = a< a <..<a = b de I telle que f soit cotiue sur chacu des itervalles ouverts ]a i,a i+ [ de la subdivisio, et admette ue limite fiie à gauche et à droite e chacu des poits de la subdivisio 4 la foctio x ta(x) vérifie ta (x) = si(x) cos 3 qui est positif sur l itervalle [0, π/4]. Elle y est doc covexe or la (x) pete de tagete e 0 est =ta 0 (0) et la corde a pour équatio y = 4x π 7 lycée Dessaiges

18 La coditio d existece d ue limite peut aussi s éocer comme suit : la restrictio de f à chacu des itervalles ouverts ]a i,a i+ [ admet u prologemet par cotiuité sur le fermé [a i,a i+ ]. O ote C 0 m([a, b], R) l esemble des foctios cotiues par morceaux sur [a, b]: c est u sous espace vectoriel de R [a,b] Approximatio uiforme d ue foctio de Cm([a, 0 b], R) par ue foctio e escalier Soit f ue foctio cotiue par morceaux sur [a, b], il est possible de l ecadrer par deux foctios e escalier dot la différece excède pas ue valeur ε fixée arbitrairemet ε > 0, (ϕ, ψ) Esc([a, b], R), x [a, b], ϕ(x)6f(x)6ψ(x) et ψ(x) ϕ(x)6ε O peut égalemet formuler cela à l aide d ue bore supérieure: ε > 0, ϕ Esc([a, b], R), sup ( f(x) ϕ(x) ) ε x [a,b] 6. Itégrale d ue foctio cotiue par morceaux Il existe ue applicatio, appelée itégrale au ses de Riemma, défiie sur Cm([a, 0 b], R) à valeurs das R b et otée : f b f telle que a a l applicatio b est liéaire a b f Esc([a, b], R), f = a i= (a i a i )λ i b O ote égalemet f(t)dt,ou f a [a,b] O a les propriétés suivates f>0 b f>0 a f6g b f6 b g a a b f 6 b f a a b c [a, b], f = c f + b f a a c Valeur moyee d ue foctio : Lorsque la foctio f est cotiue par morceaux sur [a, b], si l o pred la moyee arithmétique M = f(a,i ) + i=0 des valeurs de la foctio f aux +poits a,0 = a, a,k = a + k b a,...,a, = b régulièremet distribués sur [a, b], alors cette moyee ted, lorsque ted vers, vers la valeur moyee de f sur [a, b] b f b a a Iégalités de la moyee b f 6(b a)sup f a b a fg 6 sup f [a,b] L itégrale comme produit scalaire b Si f est cotiue sur [a, b] et positive, alors f =0 f =0 a O défiit sur C 0 ([a, b], R) la forme biliéaire symétrique, défiie positive (f g) = a b I a fg b g 8 lycée Dessaiges

19 C est le produit scalaire caoique sur C 0 ([a, b], R) La orme associée, appelée orme N est défiie par Iégalité de Cauchy-Schwarz (f,g) C 0 ([a, b], R), a b fg 6 N (f) = b f a a b b f a g ou ecore (f g) 6N (f)n (g) Il y a égalité das cette iégalité ssi les deux foctios f et g sot proportioelles Somme de Riemma Si f est cotiue sur [a, b],etsi(σ =(a i, ) 06i6 ) N est ue suite de subdivisios de [a, b] telles que le pas π =max (a i, a i, ) de σ tede vers 0 lorsque alors pour toute suite (x i, ) telle que 6i6 N, i {,.}, x i, [a i,,a i, ],oa lim i= (a i, a i, )f(x i, )= i= (a i, a i, )f(x i, ) est appelée somme de Riema de f pour la subdivisio poitée (a i,,x i, ) 06i6 Somme de Riemma équirépartie f C 0 ([a, b], R), b a lim k= a b f f(a + k b a )= Cette formule est aussi coue sous le om de formule des rectagles, o motre que b a k= f(a + k b a ) a b f = O( ) Formule des trapèzes si f est cotiue sur [a, b], e otat a k = a + k b a, la méthode des trapèzes cosiste à approximer la foctio f par la foctio g affie par morceaux sur la subdivisio (a k ) 06k6,valatf(a k ) e a k pour tout etier k I (f) = O obtiet lorsque f est de classe C a b g(t)dt = b a I (f) a b k= f = O( ) [f(a k )+f(a k )] O peut affier l approximatio e utilisat ue foctio g dot la formule sur chacu des segmets [a k,a k+ ] est le polyôme de degré qui vérifie g(a k )=f(a k ), g( a k + a k+ )=f( a k + a k+ ), g(a k+ )=f(a k+ ) La formule des trois iveaux doe alors a k+ f(a k )+4f( a k + a k+ )+f(a k+ ) g(t)dt = a k 6 puis e sommat, o obtiet la formuledesimso: J (f) = b a 6 k= (f(a k )+4f( a k + a k )+f(a k )) a b f 9 lycée Dessaiges

20 O démotre que lorsque f est de classe C 3 J (f) a b f = O( 3 ) Exercice: sur u logiciel de calcul, programmez la formule des rectagles, la formule des trapèzes et la formule de Simso, pour la foctio f(x) =si(x) sur [a, b] =[0, ] et =0. Validez les iégalités e mesurat l erreur Itégratio et dérivatio Soit f C 0 (I,C). F est ue primitive de f sur l 0 itervalle I si et seulemet si F est dérivable sur I et si F 0 = f. Deux primitives de f sur l itervalle I diffèret d ue costate. Soit f C 0 (I,C) et a I : Alors l uique primitive de f qui s aule e a est la foctio x F (x) = f(t)dt E particulier x ( x ( x a v(x) u(x) a f(t)dt) = f(x) f(t)dt) = v 0 (x)f(v(x)) u 0 (x)f(u(x)) Si F est ue primitive de f sur I alors b f(t)dt = F (b) F (a) =[F (x)] b a Itégratio par parties Si f est de classe C aisi que g sur [a, b] b f(t)g 0 (t)dt =[f(x)g(x)] b a a a a b f 0 (t)g(t)dt Chagemet de variable Si f est cotiue sur I et si ϕ est de classe C sur [α, β] à valeurs das I,alors 6.4 Formules de Taylor ϕ(β) ϕ(α) f(t)dt = α β ϕ 0 (u).foϕ(u)du Formule de Taylor-Youg Soit f ue foctio de classe C + sur u itervalle I ouvert coteat a : O a (x a) k x I,f(x) =f(a)+ D k (f)(a)+ o(x a) k! Formule de Taylor avec reste sous forme d ue itégrale Soit f ue foctio de classe C + sur u itervalle I ouvert coteat a : O a (x a) k x I,f(x) =f(a)+ D k (f)(a)+ x (x t) D + (f)(t)dt k!! k= k= a x a 5 Erreurs: rectagles 0.04; trapèzes , Simso lycée Dessaiges

21 Iégalité de Taylor-Lagrage Soit f ue foctio de classe C + sur u itervalle I ouvert coteat a et b : O a f(b) f(a) k= 6.5 Etude des foctios usuelles (b a) k k! D k b a + (f)(a) 6 max ( +)! ( t [a,b] D+ (f)(t) 6.5. Foctios expoetielles, logarithmes, puissaces Foctios expoetielle réelle a R +, x R,a x = e x l a x ax =la.a x Foctios logarithmes réelles x foctios x, 0.5 x, 3 x, 0.3 x a >0,a6=, x >0, log a (x) = l(x) l(a) x log a(x) = x l(a) y = a x x =log a (y) x l(x), log (x), log / (x) Foctios puissaces x >0, α R,x α = e α l(x) x (xα )=αx α lycée Dessaiges

22 Foctios hyperboliques x x, x,x 3,x 0.5,x 0.3,x 0,x 0.5,x,x x R,ch(x) = ex + e x x R,sh(x) = ex e x x R,th(x) = ex e x sh(x) = e x + e x ch(x) ch 0 (x) =sh(x) sh 0 (x) =ch(x) th 0 (x) = th (x) = ch (x) x ch(x),sh(x),th(x) t R, ch (t) sh (t) = Cette formule est à l origie de l appellatio hyperbolique puisque la courbe paramètrée t (ch(t),sh(t)) admet pour support ue des deux braches de l hyperbole équilatère d équatio x y = lycée Dessaiges

23 Foctios circulaires x=ch(t),y=sh(t): brache d hyperbole si,cos,ta cos(x) =Re(e ix ), si(x) =Im(e ix ), ta(x) = si(x) cos(x) cos (x)+si (x) = c est le paramètrage du cercle de cetre 0 et de rayo qui est à l origie de la déomiatio circulaire (cos(x)) = si(x), x x x (ta(x)) = + ta (x) = (si(x)) = cos(x) cos (x) x 4 cos(x): R [, ] x x si(x):r [, ] ta(x): R π + kπ R La foctio cos établit ue bijectio de [0, π] das [, ], la bijectio réciproque est otée arccos 3 lycée Dessaiges

24 x arccos(x): [, ] [0, π] x (arccos(x)) = x x [, ], cos(arccos(x)) = x x [0, π], arccos(cos(x)) = x Remarque: x [π, π], arccos(cos(x)) = π x, x [π, 3π], arccos(cos(x)) = x π La foctio si établit ue bijectio de [ π/, π/] das [, ], la bijectio réciproque est otée arcsi x - arcsi(x): [, ] [ π, π ] x (arcsi(x)) = x x [, ], si(arcsi(x)) = x x [ π/, π/], arcsi(si(x)) = x La foctio ta établit ue bijectio de ] π/, π/[ das ], + [, la bijectio réciproque est otée arcta x (arcta(x)) = +x x R, ta(arcta(x)) = x k Z, x ] π/+kπ, π/+kπ[, arcta(ta(x)) = x kπ x R, arcta(x) + arcta( x )=sige(x)π 4 lycée Dessaiges

25 x Foctio expoetielle complexe x arcta(x) a = x + iy est u complexe et t R. O rappelle que exp(at) =e xt (cos(yt) +i si(yt)). Soit ϕ ue foctio dérivable défiie sur ue partie de R à valeurs das C: ϕ(t) =Re(ϕ(t)) + i Im(ϕ(t). O a alors les deux formules a C, t eat = ae at t eϕ(t) = ϕ 0 (t)e ϕ(t) 6.6 Primitives des foctios usuelles le symbole désige l esemble des primitives de la foctio cosidérée O a précisé sur quels itervalles ces formules sot valables. a C, Z { }, (t a) (t a)+ dt = + C R {a} si <0 et R si 0 + dt =l( t )+C ]0, + [ et ], 0[ t cos(t)dt =sit + C R ta(t)dt = l cos(t) + C R {π/+kπ} P = polyôme et a C : e at P (t)dt = e at Q(t)+C R deg P=deg Q +t a R + : dt = arcta(t)+c R a + t dt = a arcta( t a )+C R si t dt =l(ta(x ) )+C R {kπ} 5 lycée Dessaiges

26 ch(t)dt = sh(t)+ C t dt = +t l( t α R, α 6=, l(t)dt = t l(t) t + C R )+C R {, } t α dt = tα+ α + + C ]0, + [ ]0, + [ si(t)dt = cos(t)+ C R e at dt = eat a + C R dt =arcsi(t)+c ], [ t cos(t) dt =l(ta(x + π 4 ) )+C R {π/+kπ} sh(t)dt = ch(t)+ C R th(t)dt =l( ch(t) )+C R 6.7 Développemets limités des foctios usuelles Les développemets suivats sot au voisiage de 0 f(x 0 + t) =f(x 0 )+ e at = si(t) = k=0 ak tk k! + o t 0(t ) k= f (k) (x 0 ) tk k! + o t 0(t ) t k+ k=0 ( )k (k +)! + o t 0(t + ) tk cos(t) = ( )k k=0 (k)! + o t 0(t + ) ta(t) =t + 3 t3 + O (t 4 ) sh(t) = k=0 t k+ (k +)! + o t 0(t + ) 6 lycée Dessaiges

27 t k ch(t) = k=0 (k)! + o t 0(t + ) th(t) =t 3 t3 + O (t 4 ) ( + t) α =+ k= ( ) k+ α(α )...(α k+) k! t k + o t 0 (t ) l( + t) = k= k t k + o t 0 (t ) l( t) = k= k tk + o t 0 (t ) t = k=0 tk + o t 0 (t ) +t = k=0 ( )k t k + o t 0 (t ) arcta(t) = k=0 ( ) k k + tk+ + o t 0 (t + ) 7 Foctios itégrables ur u itervalle quelcoque Soit f ue foctio cotiue sur l itervalle I de R à valeurs das R +. f est itégrable sur I si et seulemet si il existe u réel M>0 tel que [a, b] I, a b f(t)dt6m Das ce cas o défiit b b f = sup f(t)dt = lim f(t)dt I [a,b] I a a avec =0 [a,b ]=I et N, [a,b ] [a +,b + ] Si f est ue foctio cotiue sur l itervalle I de R à valeurs das R + o itégrable,alors sup [a,b] I a b f(t)dt =+ Il arrive que l o utilise pour les foctios positives la déomiatio : itégrale covergete, itégrale divergete, au lieu de foctio itégrable, foctio o itégrable. C est parfois plus commode car cela permet de parler de la ature d ue itégrale : le théorème suivat justifie cette appellatio. Soit F ue primitive quelcoque de f sur I =[a, c[, f état positive sur [a, c[ : f est itégrable sur [a, c[ F admet ue limite fiie e c et das ce cas f(t)dt = lim [a,c[ b c a b f(t)dt = lim F (b) F (a) b c Itégrabilité de t 7 sur [, + [ tα est itégrable sur [, + [ α > tα Itégrabilité de t 7 t sur ]0, ] α est itégrable sur ]0, ] α < tα 7 lycée Dessaiges

28 Itégrabilité de t 7 sur [c, b[ (b t) α est itégrable sur [c, b[ (b t) α α < Si f et g sot équivaletes au poit b et si f est positive sur [c, b[ alors [c,b[ f(t)dt et g(t)dt sot de [c,b[ même ature Par défiitio, ue foctio f cotiue sur I est itégrable sur I si et seulemet si f l est. 8 Equatios différetielles Soit a ue foctio cotiue sur l itervalle I coteat α. L esemble des solutios de l équatio différetielle liéaire homogèe du premier ordre (H) y 0 (x) a(x)y(x) =0 forme u sous espace vectoriel de R I de dimesio, admettat pour base la foctio x x y(x) =exp a(t)dt la solutio géérale est doc doée par y(x) =λe x α α a(t)dt Si b est ue foctio cotiue sur I, l esemble des solutios de l équatio avec secod membre (E) y 0 a(x)y(x) =b(x) s obtiet e ajoutat à la solutio géérale de (H) ue solutio particulière de (E), que l o peut trouver e faisat varier la costate λ. O obtiet: y(x) = α x b(t)e t α a(u)du dt + µ e x α a(t)dt Soiet a, b, c trois élémets de C. O appelle équatio différetielle liéaire du secod ordre à coefficiets costats l équatio (E) ay (x)+by 0 (x)+cy(x) =0 l équatio caractéristique de (E) (eq) ax + bx + c =0 gère les solutios de (E) sur R à valeurs das C par l itermédiaire de so discrimiat 6= 0;sir,r sot les deux racies complexes de (eq) (E) (λ,µ) C,y(x) =λe r x + µe r x les solutios de E formet aisi u espace vectoriel de dimesio, admettat pour base le couple de foctios (x e r x,x e r x ) =0;sir est la racie double complexe de (eq) alors (E) (λ,µ) C,y(x) =λe rx (λ + µx) les solutios de E formet aisi u espace vectoriel de dimesio, admettat pour base le couple de foctios (x e rx,x xe rx ) Remarque : o retrouve les solutios à valeurs das R e preat la partie réelle des solutios complexes. Par exemple l équatio différetielle y (x) +y 0 (x) +y(x) =0admet pour solutios réelles x 7 Re(λe jx + µe jx ) ou j = e iπ 3 = + i 3 8 lycée Dessaiges

29 O motre alors que les solutios s exprimet sous la forme y(x) =αe 3 x 3 cos( x)+βe x si( x) 9 Notios sur les foctios de deux variables 9. Espace R. Foctios cotiues 9.. Espace R Normes usuelles : Soit x =(x,x ) R N (x) =sup( x, x ) N (x) = x + x N (x) = x + x sot trois exemples de ormes sur R.N est la orme euclidiee. Ces ormes sot équivaletes. N (x)6n (x)6n (x)6n (x) Das la suite o ote N l ue d etre elles Partie borée A R est borée ssi M R +, x A, N(x)6M Boule ouverte (resp fermée) de cetre a et de rayo r pour la orme N B(a, r) = x R,N(x a) <r B 0 (a, r) = x R,N(x a) r Adhérece d ue partie U poit a R est adhéret à A s il est limite d ue suite de poits de A, c est à dire s il existe ue suite (a ) N d élémets de A telle que lim N(a a )=0. L adhérece A de A est l esemble des poit adhérets à A. Par exemple l adhérece de B(a, r) das R est B 0 (a, r). Exercice 6. Démotrer que l adhérece de Q das R est égale à R. Partie ouverte Ue partie de R est ouverte si et seulemet si, lorsqu elle cotiet u poit a elle cotiet au mois ue boule ouverte cetrée e A Exemple A =]0, [ ]0, [ est ue partie ouverte car si a =(a,a ) A,alors B(a, mi(a,a )) A A =]0, [ [0, [ e l est pas car le poit (, 0) A mais aucue boule de cetre (, 0) est icluse das A Partie fermée Ue partie A est fermée lorsque A = A Cela reviet au même de dire que le complémetaire de A est ue partie ouverte Théorème de Bolzao-Wierstrass De toute suite borée de poits de R o peut extraire ue sous suite-covergete. 6 Soit X =(x, y) R.Posos x = E(0 x) 0 Q,y = E(0 y) 0 Q. la suite X =(x,y ) est ue suite de Q qui vérifie N (X X ) 0 doc qui coverge vers X 9 lycée Dessaiges

30 9.. Foctios cotiues Ue foctio défiie sur A R à valeurs das C est lipchitziee sur A si et seulemet si il existe k>0 tel que (x, y) A, f(x) f(y) 6kN(x y) Ue foctio défiie sur A R à valeurs das C est cotiue e a A si et seulemet si ε > 0, α > 0, x A, N(x a) < α f(x) f(a) < ε Il est clair que toute foctio lipchitziee sur A est cotiue e tout poit de A Applicatios partielles e u poit Soit f défiie e a =(a a ). O appelle applicatios partielles f,f au poit a les deux applicatios f (x) = f(x, a ) f (y) = f(a,y) elles revieet à cosidérer ue restrictio de f sur chacue des deux droites passat par a et parallèle aux axes Ox, Oy Défiitio séquetielle de la cotiuité f est cotiue e a si et seulemet si pour tout suite (u ) N de poits de A qui coverge vers a (c est à dire telle que lim N(u a) =0), alors la suite (f(u )) N coverge vers f(a) Toute foctio cotiue sur ue partie A qui est fermée et borée, à valeurs das R,estborée et atteit ses bores La cotiuité das R est ue otio assez délicate. Par exemple, il est écéssaire pour ue foctio f cotiue e a que ses deux applicatios partielles soiet cotiues e a et a mais ce est pas suffisat: ceci proviet du fait qu il existe ue ifiité de directios pour s approcher d u poit das R ( de plus o peut s approcher d u poit sas écéssairemet suivre u directio doée, par exemple e suivat ue spirale qui s eroule autour de ce poit) ceci est pas le cas das R. Par exemple, l applicatio f :(x, y) f(x, y) = xy et f(0, 0) = 0 est cotiue e (0, 0) car x + y f(x, y) f(0, 0) 6x, e effet cela prouve que f(x, y) ted vers f(0, 0) lorsque le couple (x, y) ted vers (0, 0). Das cet exemple les deux applicatios partielles f = f e (0, 0) sot ulles. Cosidéros maiteat l applicatio g :(x, y) g(x, y) = xy et g(0, 0) = 0. Elle est pas cotiue e (0, 0) x + y car lim g(, )= et lim g(, )=, cepedat g = g =0sot toutes deux cotiues e 0 puisqu elles sot ulles. Il peut être parfois commode de passer e coordoées polaires pour prouver la cotiuité d ue applicatio e 0,e posat r = x + y et x = r cos θ,y = r si θ. E effet dire que (x, y) (0, 0) se traduit par r 0. Par exemple das le cas de f et g, o trouve f(x, y) =r cos θ si θ et g(x, y) =cosθ si θ,ce qui permet alors facilemet de retrouver les résultats précédets Exercice 7 :soitf(x, y) = x α y β,f(0, 0) = 0 où α, β, γ sot trois réels positifs. Etudier la cotiuité (x + y ) γ de f 9. Foctios de deux variables: calcul différetiel. Dérivée selo u vecteur h f est ue foctio défiie autour du poit a =(a,a ) R et h =(h,h ) R {0} est u vecteur 7 f(x, y) =r α+β γ cos θ α si θ β. Si α + β γ > 0 alors f(x, y) (x,y) (0,0) 0. Si α + β γ 0,efixat θ=π/4, f(x, y) 9 (x,y) (0,0) 0 30 lycée Dessaiges

31 doé. Il s agit alors de cosidérer l applicatio d ue variable réelle ϕ : t ϕ (t) =f(a + t h ) h h et de regarder si elle est dérivable e 0. O pose alors: f f(a + th) f(a) f(a + th,a + th ) f(a,a ) (a) = lim = lim h t 0 t t 0 t Remarque : o le ote parfois f(a) h Dérivées partielles O dérive selo e,et e vecteurs de la base caoique de R f (a) est oté: f f(a + te ) f(a) (a) =lim e x t 0 t f (a) est oté f e y (a) =lim t 0 f(a + te ) f(a) t =lim t 0 f(a + t, a ) f(a,a ) t =lim t 0 f(a,a + t) f(a,a ) t Développemet limité à l ordre e a Si les dérivées partielles de f existet et sot cotiues sur u voisiage de a =(a,a ) alors f admet au poit a u développemet limité à l ordre doé par l expressio suivate de f(a+h) où h =(h,h ) R f(a + h) = f(a)+df a (h)+o(h) avec df a (h,h ) = f x (a)h + f y (a)h df a est appelé la différetielle e a de f Gradiet de f grad(f)(a) =( f f (a), (a)) R x y ce vecteur doe la directio des plus fortes variatios de la foctio f (grad(f)(a) (h,h )) = f x (a)h + f y (a)h = df a (h,h ) ce qui sigifie d après l iégalité de Cauchy-Schwarz que df a (h,h ) 6N (grad(f)(a))n (h) df a (h,h ) est maximum lorsque h et coliéaire au gradiet de f Par exemple si f(x, y) =x +4y, o trouve grad(f)(a,a )=(a, 8a ). La lige de iveau de f qui passe par le poit (a,a ) est l ellipse d équatio x +4y = a +4a. Si lepoit m(x, y) se déplace das la directio de grad(f)(a,a ), il maximise l accroissemet de f. Sur le graphique qui suit o a représeté deux liges de iveau de l applicatio f(x, y) =x +4y,c est à dire les parties du pla défiies par: f(x, y) =k ou k est ue costate (ici k =5, k =6). Lorsque l o se trouve au poit m(, ) pour k =5, si l o veut augmeter la foctio f le plus possible, il faut se déplacer das la directio doée par grad(f)(, ) = (, 8) idiquée sur la figure. Noter que la directio du gradiet est orthogoale à la directio de la tagete e M à la lige de iveau, ce qui est tout à fait 3 lycée Dessaiges

32 logique puisque l o souhaite s e échapper le plus vite possible. 3 y x deux liges de iveaux de x +4y et gradiet Soit A R,etf R A.fadmet au poit a A u maximum local ssi α > 0, x A B(a, α), f(x)6f(a) Si f est de classe C sur ue partie ouverte A de R et admet e u poit a de A u extrémum local,alors df a =0, ou ce qui reviet au même grad(f)(a) =0 9.3 Dérivées d ordre supérieur f est de classe C k sur la partie A de R ssi elle y est de classe C k et si toutes ses dérivées partielles d ordre k sot de classe C sur A O ote alors pour x i {x, y} k f ( )= k f x x... x k x... x k Par exemple f f x y (a,a )=lim t 0 f y (a,a )=lim t 0 Théorème de Schwarz: Sif est de classe C sur A f x y = f y x 9.4 Champs de vecteurs y (a + t, a ) f y (a,a ) t f y (a,a + t) f y (a,a ) U champ scalaire C das R est ue applicatio de classe C d ue partie A de R à valeurs das R : A R f : (x, y) f(x, y) grad(f)(x, y) =( f f (x, y), (x, y)) x y Exemple: e physique, le potetiel est u champs scalaire. U champ de vecteurs C das R 3 est ue applicatio de classe C d ue partie A de R 3 à valeurs das R 3 : A R f : 3 m =(x, y, z) f(m) =(f (x, y, z),f (x, y, z),f 3 (x, y, z)) Exemple: E physique, le champ de gravité de la terre. t 3 lycée Dessaiges

33 O représete souvet u champ de vecteurs par la famille des couples (m, f(m)). voici par exemple u champ sur R,associé à l équatio différetielle du modèle de Volterra modélisat l évolutio d ue x populatio (x =proies, y =prédateurs) 0 = x( y) y 0 =3y(x ) Divergece Rotatioel div(f)(x, y, z) = f x (x, y, z)+ f y (x, y, z)+ f 3 z = f x f y f 3 z (x,y,z) rot(f)(x, y, z) = ( f 3 y f z, f z f 3 x, f x f y = x y z. f f f 3 (x, y, z) (x, y, z) )(x, y, z) 0 Nombres et structures algébriques 0. Esembles, applicatios 0.. Esembles Soiet R, S deux propositios: o défiit les propositios RetS, RouS, R S, or, R S par la table de vérité suivate 33 lycée Dessaiges

34 R S RetS RouS R S or R S V V V V V F V V F F V F F F F V F V V V F F F F F V V V (o(rets)) ((or) ou (os)) (o(rous)) ((or) et (os)) (o(o(r)) R Implicatio (R S) (or ou S) [o(r S)] (R et os) E clair, ue implicatio est fausse lorsque so hypothèse R ( ou prémisse) est vraie et que sa coclusio S est fausse. Par exemple l implicatio < < est vraie ( eh oui!) mais l implicatio 5 < 6 6 < 5 est fausse. Quatificateurs [o[ x E,R(x))]] [ x E,oR(x)] [o[ x E,R(x))]] [ x E,oR(x)] Sur ce sujet, o e peut que coseiller de lire le livre de Lewiss Caroll : Logique sas peie, édité chez Herma et illustré par max Erst dot voici quelques morceaux choisis, présetés sous forme de syllogismes dot il faut trouver la coclusio SyllogismeN SyllogismeN Aucu de mes fils 0 est malhoête Tous les chats compreet le fracais o respecte toujours u homme hoête 8 quelques poulets sot des chats 9 SyllogismeN 3 Seuls les braves méritet la victoire quelques fafaros sot des lâches 0 Raisoemet par cotrapposée (R S) (os or) Par exemple si f R I et a I, il reviet au même de prouver que [[f est cotiue e a] [pour toute suite ( u ) N covergete vers a, la suite f(u )) N coverge vers f(a)] ] ou que [[il existe ue suite ( u ) N covergete vers a telle que la suite f(u )) N e coverge pas vers f(a)] [ f est pas cotiue e a]] Noter que la égatio de la phrase pour toute suite (u ) N covergete vers a, la suite (f(u )) N coverge vers f(a) a tout d abord écessité de l écrire : [ u I N,P(u) Q(u)] où P (u) est la propositio u coverge vers a et Q(u) la propositio (f(u )) N coverge vers f(a), afi de pouvoir la ier sous la forme [ u I N,P(u) et o Q(u)] O compred aisi l itérêt de l écriture quatifiée sous la forme la plus dépouillée d ue propositio mathématique : cela évite l ambiguïté d ue iterprétatio hasardeuse. Il e faut cepedat pas tomber das l excès iverse, qui peut redre u discours mathématique totalemet idigeste: le mieux est l eemi du bie. Soit E u esemble. O défiit l esemble P(E) des parties de E 8 Aucu de mes fils est jamais traité sas respect 9 quelques poulets compreet le fraçais 0 quelques fafaros e méritet pas la victoire 34 lycée Dessaiges

35 Noter que: P(E) P(E) ={A, A E} Soit E u esemble et R(x) ue foctio propositioelle, c est à dire ue propositio dot la valeur de vérité déped de x E F = {x E,R(x)} défiit ue partie de E, formée des élémets de E tels que la propositio R(x) soit vraie Exemples F = {x R, +x + x R } : vérifier que F = G = {x C, +x + x R } vérifier que G = x = 3 + ib, b R et b Soiet R, S deux foctios propositioelles sur E et F = {x E,R(x)}, G = {x E,S(x)} O a alors Produit cartésie 0.. Applicatios, lois de compositio F G = {x E, R(x) et S(x)} F G = {x E, R(x) ou S(x)} C E (F ) = {x E, o(r(x))} E F = {(x, y),x E et y F } Ue applicatio de E (esemble de départ) vers F (esemble d arrivée ) est la doée d ue partie G de E F appelée graphe de f : qui doit vérifier x E,!y F, (x, y) G O appelle y l image de x (elle est uique ), et x u atécédet de y (il est pas forcémet uique, et peut e pas exister si l o pred u élémet y quelcoque das F ) et l o ote y = f(x) O ote f(e) ou Im(f) l esemble Im(f) ={y F, x E, y = f(x)} Plus gééralemet, si A E, o appelle image de la partie A et l o ote f(a) l esemble des images des élémets de A f(a) ={y F, x A, y = f(x)} Iversemet si F 0 est ue partie de F o ote f (F 0 ), image réciproque de F 0 par f, l esemble des élémets de E dot l image est élémet de F 0 : f (F 0 )={x E, y F 0,y = f(x)} Attetio : e pas cofodre cette otatio avec f, bijectio réciproque de f. O ote F E l esemble des applicatios de E vers F. Exemple : Soit f : R R défiie par f(x) =x E(x). Détermier f(z), f ({0}), f ({/}), f(r), f (]0, [) Idetité de E Id E : E E x Id E (x) =x poser x = a + ib et idetifier f(z) ={0}, f ({0}) =Z, f ({/}) =Z+/,f(R) =[0, [, f (]0, [) = R Z 35 lycée Dessaiges

36 Ue applicatio f F E est f est ijective [ (x, x 0 ) E, [f(x) =f(x 0 ) x = x 0 ]] f est surjective [ y F, x E, y = f(x)] f est bijective [ y F,!x E, y = f(x)] La composée de deux ijectios (resp surjectios, resp bijectios ) est ijective (resp surjective, resp bijective) Si gof est ijective (resp surjective) alors f est ijective (resp g est surjective) Si f F E est bijective, il existe ue uique applicatio f E F vérifiat (x, y) E F, y = f(x) x = f (y) f est la bijectio réciproque de f fof = Id F f of = Id E Loi de compositio itere sur E. O omme aisi toute applicatio de E E à valeurs das E E E E : (x, y) x y Notatio : si N alors x = x x.. x, fois est l itéré ième de x pour la loi Associativité associative (x, y, z) E 3,x (y z) =(x y) z quad ue loi est associative il est iutile de mettre des parethèses : attetio certaies lois e sot pas associatives... par exemple la loi défiie sur N par a b = a b e l est pas puisque (a b ) c = a bc 6= a (bc) e gééral Elémet eutre : Il existe u élémet eutre e pour das E ssi x E,e x = x e = x Si e existe et si la loi est associative, alors e est uique. Iverse d u élémet :Sie existe et si la loi est associative, o dit que l élémet x est iversible pour ssi il existe u élémet x 0 tel que x 0 x = x x 0 = e x 0 est alors uique et s appelle l iverse de x pour la loi : il est oté x Commutativité commutative (x, y) E,x y = y x Exercice 3 : Soit u esemble E mui d ue loi qui est associative, qui posséde u élémet eutre e, et telle que x E,x = e : alors la loi est commutative 0..3 Relatios d équivaleces, relatios d ordre Ue partitio de l esemble E est ue famille (E i ) i I de parties o vides et disjoites de E dot la réuio est égale à E E i = E, et (i, j) I,i6= j E i E j = et i I,E i 6= i I Ue relatio d équivalece sur E est la doée d ue partitio (E i ) i I de E.OdéfiitalorsR par xry i I,{x, y} E i R est réflexive : x E,xRx 3 (x, y) E,x y E,doc(x y) = e =(x y) (x y), doc (x e) y =[x [(x y) (x y)]] ce qui doe grâce à l associativité x y = y x 36 lycée Dessaiges

37 R est symétrique : (x, y) E,xRy yrx R est trasitive : (x, y, z) E 3, [[xry et yrz] [xrz]] U système de représetats pour R est la doée d ue partie F de E telle que x E,!y F, xry La classe d équivalece de l élémet x de E est défiie par Cl(x) ={y E,xRy} Remarque: Il existe u uique élémet i 0 de I tel que Cl(x) =E i0 (x, y) E, [Cl(x) Cl(y) = ou Cl(x) =Cl(y)] Par exemple si est u etier aturel o ul, la relatio xry x y mod est ue relatio d équivalece sur Z. La classe de x est Cl(x) =x + Z. Il existe classes disjoites E 0,..., E. ( E k = Cl(k) =k + Z) 06k6 Ue relatio C est ue relatio d ordre sur E si C est réflexive, trasitive et atisymétrique C est atisymétrique: (x, y) E, [xcy et ycx] x = y C est u ordre total si (x, y) E, [xcy ou ycx] U ordre o total est dit partiel Par exemple la relatio 6 est ue relatio d ordre total sur R. la relatio est ue relatio d ordre partiel sur P(E) lorsque Card(E) Majorat, miorat d ue partie A Soit A E. a E est u majorat de A (resp miorat) ssi x A, xca (resp acx) Plus grad élémet, plus petit élémet max(a) = a a est u majorat de A et a A mi(a) = a a est u miorat de A et a A lorsqu ils existet max(a), mi(a),sot uiques Par exemple si E = P(N),et A = {, {, }, {, 3}, {,, 7}}, a = {,, 3, 7} est u majorat de A, mais est pas plus grad élémet de A, a = est le plus petit élémet de A Exercice : Comparer max(mi(a i,j )) et mi(max(a i,j )). Vérifier sur l exemple a = 4 i j j i 3 Solutio: max(mi(a i,j )) 6 mi(max(a i,j )) i j j i e gééral il y a pas égalité : O étudie la cas gééral : i, j, a i,j 6 max(a i,j ) i doc doc mi(a i,j )6 mi(max(a i,j )) (idépedat de i et j) j j i max(mi(a i,j )) 6 mi(max(a i,j )) i j j i e effet sur otre exemple o costate que max(mi(a i,j )) = et mi(max(a i,j )) = 3 i j j i 0. Nombres etiers aturels, esembles fiis, déombremet 0.. Nombres etiers aturels Toute partie o vide de N possède u plus petit élémet. Toute partie majorée o vide de N possède u plus grad élémet. 37 lycée Dessaiges

38 Pricipe de récurrece.soita ue partie de N telle que 0 A A, [> 0 et A] [ + A] Alors { N,> 0 } A Pricipe de récurrece avec prédécesseurs. Soit A ue partie de N telle que 0 A A, [ { 0,..,} A] [ + A] Alors { N,> 0 } A 0.. Esembles fiis L esemble E est fii ssi il existe u etier aturel tel que E soit e bijectio avec {,.., } : est alors uique, et se ote Card(E) ( autres otatios [E],#E) est fii de cardial ul Si E est fii alors toute partie E 0 E de E est fiie et Card(E 0 )6Card(E) De plus Card(E 0 )=Card(E) E 0 = E Soit E et F deux esembles fiis de cardiaux égaux. Soit d autre part f F E : O a f ijective f surjective f bijective Soiet E et F deux esembles et Φ ue bijectio de E das F ; Alors si E est fii, F l est égalemet et ils ot le même cardial 0..3 Sommes et produits i= i= p a i = a a a i = a a... a p ( a i,j ) = ( a i,j )= i= j= j= i= (i,j) {,.,} {,..,p} p p a i,j ( a i b j ) = ( a i )( b j )= a i b j i= j= i= i= (i,j) {,.,} {,..,p} 0..4 Opératios sur les esembles fiis. Déombremet Si E et F sot deux esembles fiis, E F, E F le sot et Card(E F )=Card(E)+Card(F ) Card(E F ) Card(E F G) = Card(E)+Card(F )+Card(G) Card(E F ) Card(F G) Card(E G) +Card(E F G) 38 lycée Dessaiges

39 Card( i= E i )= k=( ) k+ (i,..,i k ) P k ({,..}) Card(E i.. E ik ) P k ({,..}) désigat ici l esemble des parties à k élémets de {,..} Produit cartésie Card(E F )=Card(E) Card(F ) Lemme des bergers Soit f ue applicatio surjective de E das F telle que p N, y F, Card( f ({y})) = p alors Card(E) =p Card(F ) Esemble F E des applicatios de E das F parfois oté F(E,F) Card(F E )=Card(F ) Card(E) Esemble des parties de E Card(P(E)) = Card(E) P(E) F(E,{0, }) Cette formule se démotre e utilisat la bijectio Φ : A A ou A est défiie par : x E, A (x) =si x A et A (x) =0si x/ A A est la foctio caractéristique de A Nombre d ijectios Soit E,F deux esembles fiis de cardial respectifs p = Card(E), = Card(F ) tels que p6. leombre d ijectios de E das F est A p = ( )..( p +) cela reviet à choisir successivemet les images des élémets de E, e preat soi de les choisir différetes. Nombre de bijectios Si E et F sot de même cardial, le ombre de bijectios de E das F est A =! Ue applicatio bijective de E das lui même est appelée permutatio de E. S(E) = f E E,f bijective card(s(e)) =! Combiaisos Soit E u esemble de cardial. O appelle combiaiso à p élémets de E toute partie de E de cardial p. Il existe C p parties à p élémets de E p + k=0 p p k p = = =, = p ( )..( p +) p! + p k=0 p =! p!( p)! Formule de Pascal ( ) k =0 39 lycée Dessaiges

40 +p k= p k = = p + + p + Triagle de Pascal \p Exercice 4 : Détermier le ombre d applicatios {,,..,} das lui même qui trasforme tout ombre pair e u ombre pair, et dot la restrictio à l esemble des ombres impairs est ijective. 0.3 Structures algébriques usuelles U groupe est u couple (G, ) formé d u esemble G mui d ue loi de compositio itere, associative, possédat u élémet eutre e, et telle que tous les élémets de E possédet u iverse das E Soit (G, ) u groupe et G 0 ue partie o vide de G. G 0 est u sous-groupe de G si elle est stable pour la loi et si de plus (G 0, ) est u groupe. Ceci est équivalet à motrer que e G 0 (x, y) G 0,x y G 0 Ue applicatio f de (G, $) das (H, $) est u morphisme ssi (x, y) G, f(x$y) =f(x)$f(y) Si f est u morphisme surjectif et si (G, $) est u groupe alors (H, $) est u groupe et de plus e H = f(e G ) f(x ) = (f(x)) Le oyau d u morphisme de groupe f est ker(f) ={x G, f(x) =e H } C est u sous groupe de (G, $) L image d u morphisme de groupe f est Im(f) =f(g) U morphisme f est ijectif ssi ker(f) ={e G }. Il est surjectif ssi Im(f) =H U groupe est commutatif ssi la loi du groupe l est. (Z, +) est u exemple de groupe commutatif 0.3. Sous groupe egedré par u élémet. 4 Ue telle applicatio f est etièremet coue lorsque l o coait le couple formé de ses deux restrictios (f,f ) aux ombres pairs P et aux ombres impairs I. Pour détermier l image des élémets de P, il faut et suffit que l o se doe ue applicatio de P das lui même ce qui correspod à choix. Pour détermier l image des élémets I il faut et il suffit que l o se doe ue ijectio de I das E, ce qui correspod à A =!! couple (f,f ) correspod à celui d u produit cartésie. Il y a doc.!! choix possibles. Or le cardial des possibilités pour le telles applicatios. 40 lycée Dessaiges

41 Soit (G, ) u groupe commutatif et a G. O ote N,a = a.. a, fois Z,a =(a ) et a 0 = e. Gr(a) ={a, Z} L esemble Gr(a) est u sous-groupe de G appelé sous groupe egedré par a Par exemple si (G, ) =(U, ) est le groupe des complexes de module,et a = e iπ 5 Gr(a) =,a,a,a 3,a 4 = U 5 est autre que le sous groupe des racies ciquièmes de l uité das C. Ordre d u élémet das u groupe Soit a G. O dit que a est d ordre fii ssi il existe u etier p> tel que a p = e et k {,..,p },a k 6= e. p est l ordre de a :il est uique lorsqu il existe, mais existe pas écessairemet par exemple das (U, ),a= e i est pas d ordre fii 5, alors que a = e iπ 5 est d ordre 5 Groupe cyclique. U groupe G est cyclique lorsqu il existe u élémet a de ce groupe tel que Gr(a) =G Par exemple ( Z, +) est cyclique car Z = Gr() = Gr( ), U 5 est cyclique car U 5 = Gr(e iπ 5 ), cepedat (R, +) est pas cyclique puisque si a 6= 0, Gr(a) = Za = {a, a Z}, et Za 6= R O appelle géérateur d u groupe cyclique tout élémet a qui vérifie Gr(a) =G Le groupe U des racies ièmes de l uité est cyclique, de cardial. Il admet pour géérateur α = e iπ, aisi que tous les élémets de la forme α k ou 6k6 est u ombre premier avec Le groupe symétrique Groupe symétrique. O omme aisi le groupe S des permutatios de {,..,} Card(S )=! La traspositio t i,j de S est l applicatio telle que t i,j (i) =j, t i,j (j) =i qui laisse tous les autres élémets de {,..,} ivariats Le cycle c i,..,i k est l applicatio c telle que j {,.., k },c(i j )=i j+ et c(i k )=i Ue traspositio est u cycle de logueur Géératio de S par les traspositios σ S, p N, t,..,t p, p traspositios telles que σ = t ot o...ot p Remarque : toute permutatio peut se décomposer comme produit commutatif de cycles à supports disjoits Par exemple f : est la composée commutative de c,4,, c 3,5,c 6,7 Sigature d ue permutatio σ S, σ = t ot o...ot p ε(σ) =( ) p L applicatio ε est u morphisme de (S,o) das ({, }, ). C est d ailleurs le seul morphisme o trivial. Le oyau de ce morphisme est l esemble des permutatios dot la sigature est égale à, que l o omme permutatios paires A = {σ S, ε(σ) =} A est u sous groupe de S, appelé groupe alteré. 5 e effet a k = e ik : a k = k =rπ k = r =0car sio o aurait π Q 4 lycée Dessaiges

42 3 Exercice: peut o passer de la positio du taqui : à la positio : 7 8 utilisat la case vide pour faire glisser les pièces verticalemet ou horizotalemet? Aeaux, Corps e U aeau (A, +, ) est u esemble mui de deux lois iteres +, tel que (A, +) est u groupe commutatif est associative possède u élémet eutre A est distributive sur + si la loi est commutative, l aeau est dit commutatif Elémets iversibles O ote A l esemble des élémets de A qui admettet u iverse pour la loi A = {x A, y A, xy = yx = A } A est u groupe multiplicatif Corps. U corps est u aeau commutatif das lequel tous les élémets o uls sot iversibles U aeau commutatif est itègre ssi (x, y) A, xy =0 x =0ou y =0 (Z, +, ) est u aeau itègre. (Q, +, ) est u corps Divisibilité das Z. Soiet (a, b) Z.best u multiple de a ssi il existe k Z tel que b = ka das ce cas a est u diviseur de b. Oleote: a b k Z,b= ka Divisio euclidiee das Z (a, b) Z N,!(q, r) Z N,a= bq + r et 06r6b q est le quotiet et r est le reste das la divisio euclidiee de a par b Formule du biôme Soit A u aeau et x, y deux élémets de A qui commutet.alors Espaces vectoriels (x + y) = k=0 k x y = (x y)( k=0 x k y k x k y k ) x y = (x y)(x + y) x 3 y 3 = (x y)(x + xy + y ) x 3 + y 3 = (x + y)(x xy + y ) 6 No. associos à chaque positio du taqui la suite des chiffres lus das la table e parcourat successivemet les liges de gauche à droite. O obtiet aisi ue permutatio de {,..,8}. la positio défiit ue permutatio de sigature -, alors que la positio a pour sigature :or toutes les trasformatios possibles sur le taqui sot soit l idetité pour le glissemets horizotaux, soit des cycles d ordre 3 pour les glissemets verticaux, dot la sigtaure est égale à. Il est doc impossible e composat de telles permutatios d obteir ue sigature égale à 4 lycée Dessaiges

43 Soit (E,+) u groupe commutatif et K u corps. O omme loi de compositio extere sur E à domaie d opérateurs das K toute applicatio de K E das E otée (α,x) α.x qui vérifie les quatre axiomes α.(x + y) =α.x + α.y (x, y) E, (α, β) K (α + β).x = α.x + β.x, α.(β.x) =(αβ).x K.x = x Le triplet (E,+,.) est alors appelé K espace vectoriel LesélémetsdeE sot appelés vecteurs. Le vecteur ul est oté 0 E LesélémetsdeK sot appelés scalaires. Le scalaire ul est oté 0 K Ue partie F de E est u sous-espace vectorieldee ssi F est u sous groupe additif de E, stable pour., ce qui reviet à dire que F 6= et (x, y) F, α K, x+ αy F Soiet (E,+,.) et (F,, ) deux K espaces vectoriels et f F E. f est ue applicatio liéaire ssi les deux propriétés suivates sot vérifiées (x, y) E,f(x + y) =f(x) f(y) (x, α) E K, f(α.x) =α f(x) O ote L(E,F) l esmble des applicatios liéaires de E das F Ue forme liéaire sur E est ue applicatio liéaire de E das K Rem: il suffit de bie compredre commet foctioet les formes liéaires pour compredre l algèbre liéaire, ce sot e effet les briques élémetaires de cette théorie L(E,K) est oté E, c est le dual de E La composée de deux applicatios liéaires est liéaire U edomorphisme de E est ue applicatio liéaire de E das E O ote L(E) l esemble des edomorphismes de E O appelle isomorphisme de E vers F toute applicatio liéaire bijective de E das F O ote parfois Isom(E,F) l esemble des isomorphismes de E vers F O appelle automorphisme de E tout isomorphisme de E das E. O ote GL(E) l esemble des automorphismes de E Si f est u isomorphisme de E das F,alorsf est u isomorphisme de F das E Espace produit Soiet (E,+,.) et (F,, ) deux K espaces vectoriels. E F est u K espace vectoriel lorsqu il est mui des lois produit (E F,, ) (x, y sot deux vecteurs quelcoques et α u scalaire quelcoque ) (x, y) (x 0,y 0 )=(x + x 0,y y 0 ) α (x, y) =(α.x, α y) Il va de soi que ces symboles sot là pour motrer la distictio etre les différetes lois, et que das la pratique pour e pas compliquer iutilemet, o ote souvet l additio + et la loi extere. quelquesoit l espace das lequel o travaille. Soit X u esemble et (E,+,.) u K espace vectoriel. l esemble F(X, E) =E X des applicatios de X das E est espace vectoriel sur K lorsqu il est mui des lois (E X,, ) (f et g sot deux applicatios quelcoques et α u scalaire quelcoque) x X, (f g)(x) =f(x)+g(x) x X, (α f)(x) =α.f(x) 43 lycée Dessaiges

44 E particulier L(E,F) est u sous espace vectoriel de F E.Deplus (u, u 0,v,v 0 ) L(F, G) L(E,F), α K uo(v + αv 0 ) = uov + α.uov 0 (u + αu 0 )ov = uov + α.u 0 ov ce que l o traduit e disat que les deux applicatios suivates sot liéaires Φ u : L(E,F) L(E,G) v uov Φ v : L(F, G) L(E,G) u uov Noyau, Image.soitf L(E,F). Im(f) = f(e) ={y F, x E, y = f(x)} ker(f) = f ({O F })={x E, f(x) =O F } Im(f) est u sous espace vectoriel de F,etker(f) est u sous-espace vectoriel de E Equatio u(x) =b. Soitu L(E,F) et b F L équatio u(x) =b dot l icoue est x E admet aucue solutio lorsque b/ Im(f). Sib Im(f),etsix 0 est u atécédet de b par u alors u(x) =b = u(x 0 ) x x 0 ker(u) Combiaiso liéaire.soiet(x i ) 6i6 ue famille de vecteurs de E. O appelle combiaiso liéaire de cette famille tout vecteur x qui s écrit x = i= où les α i sot des scalaires Par exemple, la foctio f : x cos(x) est combiaiso liéaire des foctios f : x si (x) et f 3 : x cos (x): e effet f = f 3 f Soiet F, G deux sous-espaces vectoriels de E.AlorsF G est aussi u sous-espace vectoriel de E.Les sous-espaces {O E } et E sot appelés les sous-espaces triviaux Sous-espace vectoriel egedré par ue partie Soit A ue partie de E. O appelle sous-espace vectoriel egedré par A le plus petit sous espace vectoriel de E qui cotiet A. C est aussi l esemble de toutes les combiaisos liéaires possibles d élémets de A. Oleotevect(A) vect(a) = F F, sev de E coteat A α i.x i vect(a) = x E, N, (α,..,α ) K, (x,..,x ) A, x = Somme de deux sous- espaces vectoriels F et G de E F + G = {z E, (x, y) F G, z = x + y} F + G = vect(f G) Sous-espaces supplémetaires Deux sous espaces vectoriel F et G de E sot supplémetaires ssi F + G = E F G = {O E } Ceci reviet à dire que tout vecteur x de E s écrit de maière uique sous la forme d ue somme x = x F + x G, x F F, x G G k= α i.x i 44 lycée Dessaiges

45 x F s appelle le projeté de x sur F parallèlemet à G. O ote alors E = F G Projecteurs associés l applicatio p F : E E x x F est la projectio sur F parallèlemet à G : elle vérifie p F op F = p F Im(p F ) = ker(id p F )=F ker(p F ) = Im(Id p F )=G O défiit de même la projectio p G sur G parallèlemet à F. p F + p G = Id E p F et p G sot des projecteurs associés. Caractérisatio des projecteurs.soitp L(E) pop = p p est la projectio sur Im(p) parallèlemet à ker(p) L écriture x = p(x)+(x p(x)) met e évidece la décompositio de x e somme d u vecteur p(x) de Im(p) et d u vecteur x p(x) de ker(p) Remarque : o dit idifféremmet projectio vectorielle ou projecteur Algèbres Soit A u esemble mui de deux lois de compositio iteres otées + et et d ue loi de compositio extere sur le corps K. (A, +,,.) est ue K algèbre si et seulemet si (A, +,.) est u K espace vectoriel (A, +, ) est u aeau commutatif α K, (x, y) A, α.(x y) =(α.x) y = x (α.y) Soit E u K espace vectoriel. (L(E), +,o,.) est ue K algèbre 0.4 Arithmétique élémetaire 0.4. Numératio Numératio e base a, où a est u etier > Soit N. Il existe u uique etier aturel p, et u uique (p+)-uplet (α 0,...,α p ) {0,,.., a } p+ tel que = p k=0 α k a k et α p 6=0. Lesα k sot appelés les chiffres de l écriture de e base a O obtiet α k par l algorithme suivat écrit e lagage MAPLE decomp : = proc(, a) local,l, m, r; L : = NULL; m := ; while m < > 0 do r : = irem(m, a); m := iquo(m, a); L : = L, r 45 lycée Dessaiges

46 od; RET URN(L) ed; Ici NULL désige la liste vide, irem le reste iquo le quotiet decomp(00, 3); répose :, 0,, 0, Algorithme d expoetiatio rapide : Pour calculer x o décompose e base : = x = x i i tel que α i = p i=0 α i i, puis o remarque que De plus la suite x i vérifie x i+ =(x i ). Il suffit doc de calculer x, x,x 4,..,x p par élévatio au carré successives, ce qui fait p l () calculs, et de multiplier celles de ces puissaces dot l idice est tel que α i =. o gage doc u facteur par rapport à la méthode simple qui cosisterait à multuplier x, l () fois pas lui même. Par exemple si =0 6 ; le gai est de l ordre de multrap : = proc(x, ) localm,p,y,r; m : = ; p := ; y := x; while m < > 0 do r := irem(m, ); m := iquo(m, ); if r = the p := p yfi; y : = yˆ od; RET URN(p); ed; multrap(x, 00) : Répose x 00 Remarque : o peut ecore faire mieux e utilisat la base 3 et le fait que tout etier aturel peut s écrire {, 0, } 0.4. Divisibilité das l aeau Z p i=0 α i3 i avec α i = Esemble des diviseurs positifs de N,Div() ={k N,k } Plus grad commu diviseur, plus petit commu multiple p gcd(m, ) = m =max(div( ) Div( m )) ppcm(, m) = m =mi(z mz N ) Nombres premiers etre eux m = et m sot premiers etre eux Das ce cas m = m Paramétrage d u couple d etiers à l aide de leur pgcd (, m) N,!( 0,m 0 ) N, 0 m 0 =et = 0 ( m) et m = m 0 ( m) Lie etre pgcd et ppcm ( m)( m) = m 46 lycée Dessaiges

47 Théorème de Bezout : et m sot deux etiers relatifs m = (u, v) Z,u+ mv = m = d (u, v) Z,u+ mv = d la réciproque est vraie lorsque d =, mais fausse das les autres cas Théorème de Gauss [ m =et mp] p Algorithme d Euclide m est le derier reste o ul das la suite strictemet décroissate r k d etiers aturels défiie par a = bq 0 + r 0, b = r 0 q + r, r 0 = r q + r, r = r q 3 + r 3...etc. p gcd : = proc(a, b) local x, y, z; x : = a; y := b; z := irem(a, b); while z < > 0 do x := y;,y := z; z := irem(x, y) od; RET URN(y); ed; Exercice 7 : a, b état deux etiers aturels o uls doés, détermier tous les etiers c tels que c ab, a bc, b ac Nombres premiers Nombres premiers U etier aturel p est premier ssi Div(p) ={,p} Si p est premier, il est premier avec tout ombre qu il e divise pas L esemble P des ombres premiers est ifii Décompositioefacteurspremiers N,!r N,!(p,..,p r ) P r, p <..<p r,!(α,.., α r ) N r, tels que = O défiit la foctio valuatio d ordre p,otéev p par : v p () = 0 si p e figure pas das la décompositio e facteurs premiers de α si p figure das la décompositio e facteurs premiers de avec l exposat α O a alors v p (m) = v p ()+v p (m) v p ( m ) = v p() v p (m) Exercice 8. Combie y a t il de solutio c au problème c ab, a bc, b ac lorsque a = 900 et b = Polyômes, fractios ratioelles r i= p α i i 7 posos d = a b, a = dα, b = dβ. O doit alors résoudre c αβd, α βc, β αc et puisque α β =, o e déduit par le théorème de Gauss que α c, β c, doc αβ c.efic = kαβ αβd k d. Les solutios sot doc les etiers c = kαβ où k est u diviseur de d. 8 O a ici d =8= 3,d oud = 3 4. u diviseur de d s écrit k = α 3 β avec 0 α et 0 β 4. Ilya doc 5 solutios positives 47 lycée Dessaiges

48 0.5. Algèbre K[X] et corps K(X) Polyôme : c est ue suite a =(a ) N K N, ulle à partie d u certai rag. O ote X la suite (0,, 0, 0,...) et la suite (, 0, 0, 0,...) O défiit les lois +,,.par (a + b) = a + b (a b) = k=0 a k b k (α.a) = αa O remarque que X p =(0, 0,..,0,, 0, 0,...), puis que tout polyôme a peut s écrire comme ue combiaiso liéaire de la famille (X i ) i N. Dès lors, o abadoe la otatio séquetielle (a ) N pour ue ouvelle otatio : P = a k X k Degré d u polyôme k=0 (K[X], +,.) est ue K algèbre itègre si a 6= 0, deg( k=0 a k X k )= deg(0) = par covetio a 6=0est le coefficiet domiat de P. Lorsque a =P est uitaire deg(pq) = deg(p )+deg(q) deg(αp ) = deg(p ) deg(p + Q) max(deg(p ), deg(q)) Espace K p [X] les polyômes de degré iférieur ou égal à p formet u sous-espace vectoriel de E oté K p [X] Divisio euclidiee das K[X] (A, B) K[X] (K[X] {0}),!(Q, R) K[X] A = BQ + Ret deg(r) < deg(b) Q est le quotiet et R le reste das la divisio euclidiee de A par B Divisibilité : Le polyôme B divise le polyôme A ssi il existe u polyôme Q tel que A = BQ, ce qui se ote B A Corps K(X) C est le corps des fractios de K[X] K(X) = P, (P, Q) K[X] K[X] {0} Q Si P Q K(X) o défiit le degré de F par deg(f )=deg(p ) deg(q) 48 lycée Dessaiges

49 0.5. Foctio polyômiale, foctio ratioelle Soit P = k=0 a kx k K[X], o appelle foctio polyomiale associée à P la foctio f P : K K x 7 k=0 a kx k Equatio algébrique C est ue équatio du type f P (x) =0,ou f P est la foctio polyomiale associée à P a k x k =0 K Racie(s) d u polyôme Ce sot les solutios de l équatio algébrique f P (x) =0associée au plolyôme P α est racie de P f P (α) =0 α est racie de P le reste das la divisio de P par (X α) est ul k=0 Ordre de multiplicité d ue racie α est racie de P d ordre r > 0 (X α) r P et o[(x α) r+ P ] α est racie de P d ordre r > 0 [f P (α) =fp 0 (α) =.. = f (r ) P (α) =0]et [f (r) P (α) 6= 0] Pôles d ue fractio ratioelle F = P admet pour pôles les réels a racies du polyôme Q telles que l ordre de a das Q soit strictemet Q supérieur à l ordre de a das P (sia est pas racie de P ce secod ordre est ul) Formules de Taylor pour les polyômes P (X) = deg(p ) =0 deg(p ) (X a) P () (a)! X P (a + X) =! P () (a) =0 U polyôme est scidé sur K si ce polyôme peut s écrire comme produit de polyômes de degrés (α,..,α ) sot alors les racies de P P = a Relatios etre coefficiets et racies de P : Soit P = u polyôme scidé admettat (α,.., α ) pour racies : O a les formules a = α i a +a a = a 3 a = k= i k=0 i<j (X α k ) () i<j<k a k X k () α i α j α i α j α k ( ) k a k a = i <i <..<i k α i α i..α ik 49 lycée Dessaiges

50 ( ) k a 0 a = Ces formules s obtieet e développat () et e idetifiat das () a k= (X α k )=a(x i k= α k α i X + i<j α i α j X ( ) Théorème de d Alembert-Gauss das C[X], tous les polyômes sot scidés Les polyômes irréductibles de C[X] sot doc ceux dot le degré est Les polyômes irréductibles de R[X] sot ceux dot le degré est ou ceux dot le degré est et dot le discrimiat est égatif Factorisatio de ax + bx + c C[X] lorsque = b 4ac < 0 ax + bx + c = a(x z)(x z) où z = b + i 4ac b et z = b i 4ac b a a Factorisatio de X das C,dasR X = k=0 (X e ikπ ) X = (X )(X +) (X cos( kπ k= )X +) X + = (X ) (X cos( kπ )X +) + k= Exercice 9 : Motrer que si p, le polyôme P = X p + X p +divise le polyôme Q = X + X Divisibilité das l aeau K[X] La théorie du pgcd est e tout poit aalogue à celle développée das Z, ceci tiet au fait que l aeau Z et l aeau K[X] sot tous deux euclidies (muis d ue divisio euclidiee) Décompositio e élémets simples d ue fractio ratioelle k= α k ) Partie etière :SoitF = P Q ue fractio ratioelle de C[X]. Il existe u uique polyôme E tel que E est la partie etière de F F = E + P Q et deg(p ) < deg(q) Décompositio e élémets simples 9 LesraciesdeP = X p + X p +=(X p j)(x p j ) sot les p racies p iemes de j et les p racies p iemes de j ( cojuguées des précédetes ) Soit α ue de ces racies, par exemple telle que α p = j : O a α = hα p i p = j p or j 4 = j, j 8 = j,j 6 = j...etc (soitj soit j ).DocQ(α) =(α j)(α j )= α + α +=0. O e déduit que Q est divisible par P puisque les racies de P sot toutes simples 50 lycée Dessaiges

51 Si Q = r k= (X α k) p k, alors la fractio F = P s écrit de maière uique Q où E est la partie etière de F L expressio Calcul de λ j,pk p k j= F = E + r k= p k j= λ j,k (X α k ) j λ j,k (X α k ) j s appelle la partie polaire de F relative au pôle α k λ pk,k Le umérateur de la fractio (X α k ) p k s obtiet e multipliat F par (X α k ) p k et e doat à X la valeur α k. O peut alors procéder de même e soustrayat λ pk,k (X α k ) p k λ pk,k à F pour obteir (X α k ) et p k aisi de suite Cas d u pôle simple Si α est u pôle simple de F, la partie polaire relative à α das F s écrit Décompositio e élémets simples de P 0 P λ = P (α) Q 0 (α) si P = r k= (X α k) p k alors P 0 r P = p k (X α k ) k= O retrouve cette formule de faço heuristique e dérivat Algèbre Liéaire l(p )= r k=. Espaces vectoriels de dimesio fiie.. Familles libres, géératrices, bases p k l(x α k ) λ (X α) où Ue famille (a i ) 6i6 de vecteurs de l espace vectoriel E est libre ssi la seule combiaiso liéaire des vecteurs de la famille qui soit ulle est celle dot tous les coefficiets sot uls (λ,..,λ ) K, k= λ i a i =0 E (λ,..,λ )=(0 K, 0 K,..,0 K ) Ue famille est liée si il existe ue combiaiso liéaire ulle autre que la combiaiso triviale λ i a i =0 E et (λ,..,λ ) 6= (0 K, 0 K,..,0 K ) k= C est doc ue famille o libre attetio: (λ,..,λ ) 6= (0 K, 0 K,.., 0 K ) sigifie que l u au mois des λ i est o ul et o que tous les λ i sot o uls Par exemple das R[X] la famille (X, (X ), (X+) ) est liée puisque 4X (X ) +(X+) =0 Lorsque qu ue famille cotiet le vecteur ul, elle est liée 5 lycée Dessaiges

52 la famille (a i ) 6i6 de vecteurs de l espace vectoriel E est liée ssi l u des vecteurs de la famille peut s exprimer comme ue combiaiso liéaire des autres Par exemple : X = /4(X ) +/4(X +) Famille libre de cardial Ue famille (a) de u vecteur uique est libre ssi a 6= 0 E Famille libre de cardial Ue famille (a, b) de deux vecteur est libre ssi b 6= 0 E et a est pas coliéaire à b ( a/ Vect(b)) Famille libre de cardial 3 Ue famille (a, b, c) de trois vecteurs est libre ssi c 6= 0 E et b est pas coliéaire à c ( b/ Vect(c)) et a/ Vect(b, c) O pourrait cotiuer aisi cette caractérisatio, cepedat la meilleure faço de prouver qu ue famille est libre est sas coteste de reveir à la défiitio origiale λ i a i =0 E (λ,..,λ )=(0 K, 0 K,..,0 K ) k= Exemple 0 : Motrer que la famille des foctios f i (x) =(si(ix)) i est libre Famille géératrice de E Ue famille (a i ) 6i6 est géératrice ssi tout vecteur de E est combiaiso liéaire des vecteurs de cette famille, ou ecore Vect((a i ) 6i6 ) = E Soit : x E, (λ,..,λ ) K,x= Par exemple la famille (,X,..,X ) est géératrice das K [X],maisel estpasdask + [X] Base : ue famille (a i ) 6i6 est ue base de E ssi elle est à la fois libre et géératrice Das ce cas x E,!(x,..,x ) K,x= x i a i La suite fiie (x,..,x ) s appelle la suite des coordoées de x Base caoique de K : C est k= k= λ i a i où δ i,j = 0 si i 6= j si i = j (e i =(δ i,j ) 6j6 ) 6i6 est le symbole de Kroeker e i =(0, 0,.., i ieme positio, 0,.., 0) Caractérisatio d ue applicatio liéaire de L(E,F) par la doée des images des vecteurs d ue base de E Soit (a i ) 6i6 ue base de E et (b i ) 6i6 ue famille de vecteurs quelcoques de F. Il existe ue et ue seule applicatio liéaire f L(E,F) qui vérifie i {,.., },f(a i )=b j Elle est défiie par la formule x E,si x = i= x i a i alors f(x) = 0 remarquos tout d abord que si i 6= j, R π 0 si(ix)si(jx)dx = R π cos((i+j)x)+cos((i j)x)dx =0 Supposos 0 uerelatiodelaforme P i= λ if i =0.Soitj u etier compris etre et. O a doc 0= R π 0 f j(x)( P i= λ if i (x))dx = R π λ j 0 si (jx)dx ce qui prouve que λ j =0. La méthode utilise le produit scalaire (f g) = R π fg, employé par exemple das 0 les séries de Fourier. i= x i b i 5 lycée Dessaiges

53 .. Dimesiod uespacevectoriel U espace vectoriel E sur K est de dimesio fiie s il possède ue partie géératrice fiie G. Das ce cas si l o cosidère ue famille libre L G, o démotre qu il existe ue base B de E telle que L B G Das ce cas toutes les bases de E ot même cardial appelé dimesio de E : =dime Théorème de la base icomplète Toute famille libre de E peut se complèter e ue base de E Extractio d ue sous famille basique toute famille géératrice de E admet ue sous famille qui est ue base de E. Deux espaces vectoriels de dimesio fiie sot isomorphes si et seulemet si ils ot même dimesio. Critères pour qu ue famille fiie soit basique e dim fiie : Si L ue famille libre de E : card(l)6 dim E L est ue base de E card(l) =dime Si G ue famille géératrice de E : card(g)> dim E G est ue base card(g) =dime Base de E F si (a i ) 6i6 et (b j ) 6i6m sot des bases respectives de E et F,alors ((a i, 0 F ) 6i6, ((0 E,b j ) 6i6m ) costitue ue base de E F dim(e F )=dim(e)+dim(f ) Base de L(E,F) si (a i ) 6i6 et (b j ) 6i6m sot des bases respectives de E et F, alors la famille des applicatio (u i,j ) 6i6 6j6m défiies par i {..}, j {..m}, k {..},u i,j (a k )=δ i,k b j est ue base de L(E,F) et l applicatio f défiie par admet das cette base l expressio E particulier Dual E de E i {..},f(a i )= f = m k= i= m k= λ k,i u i,k λ k,i b k dim(l(e,f)) = dim(e) dim(f ) L(E,K) = E estledualdee lesélémetsdee sot les formes liéaires dim(e ) = dim(e) Formes liéaires coordoées Soit (a i ) 6i6 ue base de E. Tout vecteur x de E s écrit de faço uique sous la forme x = i= x ia i. 53 lycée Dessaiges

54 Pour u idice i fixé, l applicatio e E K i : x x i s appelle la ième forme coordoée e i E (e i ) 6i6 est ue base du dual de E Par exemple si E = R 4, et si ( e i ) 6i64 est la base caoique de E, alors pour x =(,, 3, 4), e (x) =,e (x) =,e 3(x) =3,e 4(x) = 4 Si l o cosidère l applicatio E K ϕ : x =(x,x,x 3,x 4 ) 7 x x 3 +x 4 alors ϕ est ue forme liéaire et ϕ = e e 3 +e 4..3 Dimesiod usous-espacevectoriel Tout sous-espace vectoriel F d u espace vectoriel de dimesio fiie E est lui même de dimesio fiie, de plus dim F 6 dim E et dim F =dime F = E Rag d ue famille de vecteurs Soit (a i ) i {,..,p} ue famille de p vecteurs de E. Le rag de cette famille est la dimesio du sous-espace Vect((a i ) 6i6p ) qu elle egedre rg((a i ) i {,..,p} )=dim[vect((a i ) 6i6p )] rg((a i ) i {,..,p} ) mi(p, dim E) rg((a i ) i {,..,p} ) = p (a i ) i {,..,p} est libre rg((a i ) i {,..,p} ) = dim(e) (a i ) i {,..,p} est géératrice Supplémetaires e dimesio fiie si E est de dimesio fiie, tout sous espace F de E possède des sous-espaces vectoriels supplémetaires G.Deplus F + G = E F G = {0 F G = E E } dim(f )+dim(g) =dim(e) dim(f )+dim(g) =dim(e) Attetio, la otio algèbrique de supplémetaire e doit absolumet pas être cofodue avec la otio esembliste de complémetaire. Par exemple si l o cosidère l espace E = R rapporté à sa base caoique, le sous espace F = Vect(e ) admet ue ifiité de sous espaces supplémetaires G = Vect(u) (il est écéssairemet de dimesio ), il suffit de choisir u vecteur u o coliéaire à e de telle sorte que Vect(e ) Vect(u) ={0 E } Formule de Grassma..4 Rag d ue applicatio liéaire dim(f + G) =dim(f )+dim(g) dim(f G) Soit u L(E,F) et S u supplémetaire de ker(u) das E. Alors la restrictio de u à S établit u isomorphisme de S das Im(u) ker(u) S = U u S Isom(S, Im(u)) Théorème du rag dim(ker(u)) + dim(im(u)) = dim(e) 54 lycée Dessaiges

55 Rag d ue applicatio liéaire rg(u) =dim(im(u) rg(u)+dim(ker(u)) = dim(e) rg(u) mi(dim(e), dim(f )) rg(u) = dim(e) u ijective rg(u) = dim(f ) u surjective Elémets iversibles de L(E) Soit u L(E) u edomorphisme de E u est u automorphisme de E ker u = {0 E } rg(u) =dim(e) Groupe liéaire GL(E) GL(E) = {u L(E),uiversible} (GL(E),o) est u groupe Homothéties de rappport λ 6= 0 O omme aisi l applicatio λ.id E : x λx L esemble des homothéties est u sous-groupe de GL(E) Affiité de base F de directio G et de rapport λ Soiet F, G deux sous-espaces vectoriels supplémetaires das E : F G = E. L affiité de base F de directio G et de rapport λ est l applicatio qui au vecteur x = x F +x G associe le vecteur f(x) =x F +λx G x = x F + x G f(x) =x F + λx G f = p F + λ.p G où p F et p G sot les projecteurs associés à F et G Cas particulier de la symétrie par rapport à F et de directio G Il s agit de l applicatio x = x F + x G s(x) =x F x G s = p F p G =p F Id E = Id E p G s = Id E Caractérisatio des symétries Soit f L(E) telle que f = Id E Alors ker(f Id E ) ker(f + Id E )=E de plus f est la symétrie par rapport au sous-espace ker(f Id E ) de ses vecteurs ivariats, et de directio le sous-espace ker(f + Id E ) des vecteurs trasformés e leur opposé. D autre part si l o ote p la projectio sur ker(f Id E ) das la directio de ker(f + Id E ) s =p Id E 55 lycée Dessaiges

56 symétrie vectorielle Exercice : Soit f l applicatio liéaire de R 3 das R 4 telle que f((x, y, z)) = (x + y, x + z, x + y z,x y +3z) Détermier rg(f) et ue base de ker f, Im f. Calcul matriciel.. Opératios sur les matrices Ue matrice à liges et p coloes das le corps K est ue applicatio de {,..,} {,..,p} à valeurs das K.Olaote M =(m i,j ) 6i6 6j6p M,p (K) est l esemble de ces matrices. (M,p (K), +,.) est u K espace vectoriel lorsqu il est mui des lois usuelles ( voir l esemble des applicatios de X das E : F(X, E),iciX = {,..,} {,.., p} et E = K) Base caoique de M,p (K) Soit (i, j) {,.., } {,.., p}.o ote E i,j la matrice qui admet u e positio (i, j) et des 0 ailleurs. O a doc (k, l) {,..,} {,.., p}, (E i,j ) k,l = δ i,k δ k,l (E i,j ) k,l désigat le terme d idice (k, l) de la matice E i,j et δ le symbole de kroecker dim(m,p (K)) =p Produit matriciel Soit A =(a i,j ) 6i6 M,p (K) et B =(b i,j ) 6i6p M p,q (K) 6j6p 6j6q O défiit C = AB M,q (K) par C =(c i,j ) 6i6 avec 6j6q Par exemple (i, j) {,..,} {,..,q},c i,j = p k= a i,k b k,j a 0 b 0 c 0 d 0 e 0 f 0 a c e b d f = a 0 a + b 0 c + c 0 e d 0 a + e 0 c + f 0 e a 0 b + b 0 d + c 0 f d 0 b + e 0 d + f 0 f das l ordre o trouve ker f = Vect(e e e 3 ), o e déduit que +rg(f) =3doc que rg(f) =doc Im(f) = Vect(f(e ),f(e ),f(e 3 )) est u sous espace vectoriel de R 4 de dimesio egedré par la famillle libre ( f(e )=(,,, ),f(e ) = (, 0,, )). Noter que l o remarque que f(e e e 3 )=0 f(e 3 )=f(e ) f(e ) 56 lycée Dessaiges

57 a c e b d f a0 b 0 c 0 d 0 e 0 f 0 = a 0 a + d 0 b ab 0 + be 0 ac 0 + bf 0 ca 0 + dd 0 b 0 c + e 0 d cc 0 + df 0 ea 0 + fd 0 eb 0 + fe 0 c 0 e + f 0 f Isomorphisme caoique etre M,p (K) et L(K p, K ) (Ndlr: c est sas doute le poit le plus importat à compredre e algèbre liéaire ) Soit f L(K p, K ): o ote B =(e j ) 6i6p la base caoique de K p et C =(ε i ) 6i6 celle de K. O appelle matrice de f de la base B das la base C la matrice M =(m i,j ) 6i6 6j6p dot les coefficiets sot défiis par j {,..,p},f(e j )= i= m i,j ε i M = m, m,p... m, m,p Soit x = p j= x je j u vecteur de K p :ootex = ce cas f(x) = i= y iε i image de x par f est idetifiée au vecteur coloe Y = aalors m, m,p.. x x. x p MX = Y x x. = x p M p,(k), que l o idetifiera à x. Das... m, m,p y Exercice Détermier la matrice de l applicatio liéaire f de R 3 das R défiie par f((a, b, c)) = (a + b, a + b + c) Algèbre M (K) des matrices carrées o ote M (K) =M, (K). Le produit matriciel défiit ue loi de compositio itere das M (K) (M (K), +,,.) est ue K algèbre, e gééral o commutative et o itègre (sauf si =) par exemple y y y y. y M,(K). O = = mat(f) =µ 0 57 lycée Dessaiges

58 L élémet uité est la matrice I = Ue matrice est dite scalaire sielleestdelaformeλi : Les matrices scalaires formet u sous espace vectoriel de M (K) de dimesio, stable pour (sous algèbre) Ue matrice est dite diagoale si elle est de la forme a, a M =, a, Les matrices diagoales formet u sous espace vectoriel de M (K) de dimesio, stable pour (sous algèbre) ue matrice est dite triagulaire supérieure sielleestdelaforme a, a,... a, M = 0 a, a, a, Les matrices triagulaires supérieures formet u sous espace vectoriel de M (K) de dimesio ( +), stable pour (sous algèbre) Exercice 3. Motrer que le produit de deux matrices de M (K) triagulaires supérieures est triagulaire supérieure Matrices iversibles, Groupe liéaire Soit M M (K). M est iversible ssi elle admet u iverse pour la loi,c estàdires ilexisteue matrice M telle que MM = M M = I L esemble des matrices iversibles de M (K) forme u groupe pour le produit matriciel, appelé groupe liéaire GL (K) 3 4 = 3 / GL (R) Traspositio Soit M M,p (K). O ote t M M p, (K) la matrice telle que (i, j) {,..,p} {,.., }, ( t M) i,j = M j,i Cas particulier des matrices coloes t (AB) = t B t A t (λa + µb) = λ t A + µ t B 3 soit M =(m i,j ) et N =( i,j ) vérifiat : i>j m i,j = i,j =0.PososC = MN. Soiet i, j deux idices tels que i>j.o a c i,j = P k= m i,k k,j =0car si k<ialors m i,k =0et si k i alors k>jet doc k,j =0 58 lycée Dessaiges

59 Si X = x x e particulier si X =,alorst X =. x x... x p x p x x et Y =. x p y y. y p t YX = y y... y p x x =. x p p k= x i y i K Remarque : X t Y = x x. y y... y p = x p e coloes o obtiet X t Y = y X y X... y p X x y x y... x y p. x y. x p y.... x p y p x p y x p y... x p y p Matrices carrées symétriques, atisymétriques Soit M M (K). M est symétrique (resp atisymétrique) si et seulemet si t M = M (resp t M = M ) S (K) = M M (K),M = t M, A (K) = M M (K), M = t M ( +) ( ) dim(s (K)) =, dim(a (K)) = M = M + t M + M t M S (K) A (K) =M (K).3 Matrices et applicatios liéaires Matrice d ue applicatio liéaire soit u L(E,F) et B =(e j ) 6j6p ue base de E, C =(ε i ) 6i6 ue base de F O appelle matrice de u de la base B das la base C la matrice mat B,C (u) =(m i,j ) 6i6 6j6p dot les coefficiets sot défiis par j {,..,p},u(e j )= i= m i,j ε i soit x = m, m,p mat B,C (u) =.... m, m,p p j= x je j est u vecteur de E,oote X = mat B (x) = x x. x p M p,(k) 59 lycée Dessaiges

60 que l o idetifiera à x. Dascecasu(x) = i= y iε i, image de x par u, est idetifiée au vecteur coloe O a alors Y = mat C (u(x)) = y y. y M,(K) mat B,C (u) mat B (X) = mat C (u(x)) m, m,p.. x x =. x p... m, m,p y Exercice 4 Détermier la matrice de l applicatio liéaire f de R [X] das R 3 [X] défiie par f(p )=XP(X +) lorsque l espace de départ et l espace d arrivée sot rapportés aux bases caoiques Matrice de la composée de deux applicatios liéaires. Soit u L(E,F), v L(F, G) et E =(e k ) 6k6p ue base de E, E 0 =(e 0 j) 6j6q ue base de F, et E =(e i ) 6i6 ue base de G. O a la formule mat E,E (vou) =mat E 0,E (v) mat E,E 0(u) e effet : si x E, mat E (v [u(x)]) = mat E 0,E (v) mat E 0(u(x)) = mat E 0,E (v) mat E,E 0(u) mat E (x) or par défiitio mat E (v [u(x)]) = mat E,E (vou) mat E (x) E idetifiat les deux relatios, et du fait que cette égalité a lieu pour tout vecteur x E o e déduit le résultat. Matrice d u edomorphisme soit u L(E) et B =(e j ) 6i6 ue base de E O appelle matrice de u das la base B la matrice mat B (u) =(m i,j ) 6i6 dot les coefficiets sot 6j6 défiis par j {,..,},u(e j )= i= y y m i,j e i mat B (u) = m, m,... m, m, (u, v) L(E),mat B (uov) =mat B (u) mat B (v) u GL(E), mat B (u )=mat B (u) (λ,u) K L(E), mat B (λ.u) =λ.mat B (u) (, u) N L(E), mat B (u )=mat B (u) Matrices de passages Soiet B =(e i ) 6i6,B 0 =(e 0 j) 6j6 deux bases de E. O appelle matrice de passage de la base B 4 mat(f) = lycée Dessaiges

61 àlabaseb 0 la matrice P B,B 0 M (K) dot la j ieme coloe exprime les coordoées de e 0 j das la base (e i ) 6i6. C est aussi la matrice de l idetité de E lorsque l espace E de départ est mui de la base B 0 et l espace E d arrivéedelabaseb; P B,B 0 =(α i,j ) 6i6 j {,..,},e 0 j = α k,j e k 6j6 k= Si X = mat B (x) et X 0 = mat B 0(x) et P = P B,B 0 alors X = PX 0 P B,B 0 GL (K) et (P B,B 0) = P B 0,B P B,B 0 P B 0,B = P B,B Exemple: B =(e,e ) est la base caoique de R : former l équatio de l hyperbole 4x x = das le repère cetré e 0 et de base B 0 =(e e,e +e ) P B,B 0 = ;soit x = x e + x e = x 0 e 0 + x 0 e 0, u vecteur quelcoque décomposé das la base B et das la base B 0 : d après les formules de chagemet de base: X = PX 0 x = x 0 + x 0 x = x 0 +x 0 4x x = 4(x 0 + x 0 ) ( x 0 +x 0 ) = 4x x = 6x 0 x 0 = O retrouve u résultat classique de géomètrie, à savoir que das u repère dot les axes sot les asymptotes d ue hyperbole H, les poits de cette hyperbole sot caractérisés par le fait que le produit de leurs coordoées est costat y x - - hyperbole rapportée à ses asymptotes Effet d u chagemet de base sur la matrice d ue applicatio liéaire Soit u L(E,F) etb =(e j ) 6i6p, B 0 =(e j ) 6i6p deux bases de E, C =(ε i ) 6i6, C 0 =(ε 0 i) 6i6 deux bases de F mat B 0,C 0(u) =P C 0,C mat B,C (u) P B,B 0 Effet d u chagemet de base sur la matrice d u edomorphisme si u L(E) et si B =(e j ) 6i6, B 0 =(e j ) 6i6 sot deux bases de E, e otat P = P B,B 0,oala formule mat B 0(u) =P mat B (u) P.4 Opératios élémetaires sur les matrices 6 lycée Dessaiges

62 M M,p (K) est ue matrice quelcoque, que l o écrira M =. ou M =(C,..C p ) L selo que l o travaille e liges(l i ) ou e coloes (C j ) le codage L L + L sigifie par exemple: remplacer L par L + L L Opératios élémetaires sur les liges Voici la liste des opératios élémetaires sur les liges et leurs tracriptios e termes de produits matriciels ajouter à la lige L i la lige λl j, j 6= i L i L i + λl j M Π,λ,i,j M où Π,λ,i,j = I + λe i,j estlamatrice dot la diagoale est costituée de et qui a u λ e positio (i, j), des 0 ailleurs permuter L i et L j, j 6= i L i L j M Θ,i,j M où Θ,i,j est la matrice I das laquelle o a permuté la lige i et la lige j multiplier la lige L i par λ L i λl i M Ω,i,λ M où Ω,i,λ est la matrice I das laquelle o a multiplié la i ieme lige par λ Opératios élémetaires sur les coloes Voici la liste des opératios élémetaires sur les coloes et leurs tracriptios e termes de produits matriciels ajouter à la coloe C j la coloe λc i, j 6= i C j C j + λc i M M Π p,λ,i,j où Π p,λ,i,j = I p + λe i,j est la matrice p p dot la diagoale est costituée de et qui a u λ e positio (i, j), des 0 ailleurs permuter C j et C i, j 6= i C i C j M M Θ p,i,j où Θ p,i,j est la matrice I p das laquelle o a permuté la coloe i et la coloe j multiplier la coloe C j par λ C j λc j M M Ω p,j,λ où Ω p,i,λ est la matrice I p das laquelle o a multiplié la j ieme coloe par λ Iterêt de ces opératios. suppposos que l o effectue sur la matrice M M (K) des opératios élémetaires e lige, et que l o aboutisse à l issue de ces opératios à la matrice I, cela s iterprète matriciellemet comme ue série d opératios à gauche par des matrices de trasformatios otées pour simplifier T i d ou T q T q...t M = I 6 lycée Dessaiges

63 Doc M = T q T q...t C est la méthodedegausspour obteir l iverse d ue matrice carrée, pour obteir T q T q...t, il suffit d effectuer sur I les mêmes opératios que l o a effectuées sur M (eeffett q T q...t = T q T q...t I ) Le même raisoemet vaut e coloes (attetio: pas de mélage lige-coloe ).5 Rag d ue matrice Le rag d ue matrice M M,p (K) est le rag de l applicatio liéaire f caoiquemet associée à M. C est aussi le rag des vecteurs coloes de la matrice M Le rag d ue matrice M est ivariat par applicatio des opératios élémetaires. E particulier o peut ajouter à ue lige (resp ue coloe) ue combiaiso liéaire des autres liges (resp des autres coloes) saschagerleragdelamatricem. Attetio ceci est ue recette qui permet de simplifier la matrice pour e lire le rag, les matrices itermédiaires obteues das ce calcul ot aucu lie direct avec l applicatio liéaire f associée à M. rg(m) = rg( t M) Si U est iversible rg(um) = rg(m) Si V est iversible rg(mv) = rg(m) O ote J r M,p (K) la matrice dot le bloc supérieur gauche r r est I r et tous les autres coefficiets sot uls. O a alors le critère rg(m) =r (U, V ) GL (K) GL p (K), M= UJ r V ceci reviet à dire que rg(m) =r si et seulemet si il existe ue base B de K p et ue base C de K telles que, si f est l applicatio liéaire caoiquemet associée à M, mat B,C (f) =J r = I r U et V s iterprètet comme des matrices de passage. a Exercice 5 : détermier le rag de la matrice A = où a C. a.6 Systèmes d équatios liéaires U système liéaire (S) de équatios à p icoues est la doée de (p +)scalaires (a i,j ) 6i6 et 6j6p (b i ) 6i6. 5 à l aide des opératios élémetaires suivates L L L,L 3 L 3 L, L 3 L 3 +(a 4)L o trouve que la matrice A est équivalete à la matrice A 0 = a 0 a dot le 0 0 a +3a 3 rag est égal à si a = 3 ± i 3, et à 3 das tous les autres cas 63 lycée Dessaiges

64 Les p icoues sot x,.., x p et appartieet au corps K a, x a,p x p = b a, x a,p x p = b (S) :. a, x a,p x p = b a, x a,p x p =0 a, x a,p x p =0 Le système homogèe associé est :(H) :. a, x a,p x p =0 Résoudre (S),c est trouver tous les p uplets : x =(x,..,x p ) qui le vérifiet O ote A =(a i,j ) 6i6 la matrice pricipale du système et f l applicatio liéaire caoiquemet associée 6j6p à A. b b O ote b =(b,..,b ), et B = mat(b) = O ote X = mat(x) = x x. x. b le secod membre l icoue sous forme vectorielle (remarque : iterprèter u système commme ayat ue icoue das K p et o p icoues das K c est toute la force de l algèbre liéaire.) L équatio se traduit alors par (S) AX = B f(x) =b Résolutio de (S) Lesystème(S) admet au mois ue solutio si et seulemet si b Im(f) les solutios de (S) s obtieet e ajoutat à ue solutio particulière de (S) l esemble de toutes les solutios de (H) Les solutios de (H) costituet le oyau de f et doc formet u sous-espace vectoriel de E. Ce sous espace est de dimesio p rg(a) Pratiquemet, o peut utiliser la méthode du pivot de Gaus pour trasformer S e u autre système équivalet et plus simple. Il s agit e fait de trasformer le système e u système dot la matrice pricipale est triagulaire supérieure et de remoter les équatios Systémes de Cramer U système est dit de Cramer lorsque = p = r, c est à dire qu il a autat d équatios que d icoues et que le rag de la matrice pricipale du sytème est égal à la taille de cette matrice Lorsqu u système est de Cramer, il possède ue uique solutio. x + y = Exemple: Résoudre le système y + z =, où a est u paramètre réel, x + az = (S) estdecramersietseulemetsi a 6= et si a = il est icompatible ( il y a pas de solutios). x + y = E effet la suite d opératios élémetaires : L 3 L 3 L ; L 3 L 3 + L aboutit à y + z = ( + a)z = doc si a 6=, z = +a,y = a +a,x= si a =, la derière équatio est impossible. +a 64 lycée Dessaiges

65 .7 Détermiats.7. Forme -liéaire symétrique, atisymétrique, alterée Soit E u espace vectoriel sur K et u etier aturel o ul. O muit E de sa structure d espace produit.soitf ue applicatio de E à valeurs das K E f : K (x,.., x ) 7 f((x,.., x )) Par exemple o peut predre E = K, et cosidérer l applicatio qui au uplet (x,x,..,x ) associe f((x,x., x )) = x x..x f est liéaire si elle est liéaire par rapport à x, et à x,..,et à x (c est le cas de l exemple). O parle alors de forme -liéaire f est symétrique si, lorsque l o permutte deux idices i et j cela a pas de répercussio sur la valeur f((x,x., x )) (c est le cas de l exemple) f est atisymétrique si, lorsque l o permutte deux idices i et j cela trasforme f((x,x., x )) e so opposé (ce est pas le cas de l exemple) f est alterée si, lorsque deux coordoées x i et x j d idices disticts sot égales, alors f((x,x., x )) = 0 (ce est pas le cas de l exemple) Lorsque le corps de base est égal à Q, R où C, f est atisymétrique f est alterée.7. Détermiat de vecteurs das ue base B Soit E u K espace vectoriel de dimesio. O ote Λ (E) l espace vectoriel des formes liéaires alterées sur E dim(λ (E)) = Soiet B =(a i ) i ue base de E. O appelle détermiat e base B oté det B alterée sur E qui vérifie det,..., a )= B si (x j = i= x i,ja i ) j E alors par exemple det B (x,..,x )= σ S ε(σ).x,σ().x,σ()...x,σ() =:det B (x,x )=x, x x, x, l uique forme -liéaire = 3 : det,x,x 3 )=x, x, x 3,3 +x, x,3 x 3, +x 3, x, x,3 B x, x,3 x 3, x, x, x 3,3 x 3, x,3 x, Cette formule se retiet sous le om de règle de Sarrus a par exemple avec cette règle det =+4+a a a = a 3a +3(attetio la a règle de Sarrus e foctioe que pour =3) Famille liée : Ue famille de vecteurs est liée ssi so détermiat das ue base (quelquesoit cette base) est ul (x,..,x ) liée det B (x,..,x )=0 65 lycée Dessaiges

66 par exemple o retrouve que le rag de A = a a est strictemet iférieur à 3 ssi a 3a+3 = 0 Effet d ue permutatio des vecteurs σ S, det (x σ(),..., x σ() )=ε(σ)det (x,..,x ) B B Trasformatios élémetaires Lorsque l o permute deux vecteurs, o multiplie le détermiat par Lorsque l o ajoute à u vecteur ue combiaiso liéaire des autres vecteurs,oemodifiepasla valeur du détermiat. Lorsque l o multiplie u vecteur par λ, le détermiat est multiplié par λ Exemple : Soit ( x j ) j E ue famille de vecteurs. Exprimer D =det ( x i, x i,.., x i ) B i6= i6= i6= e foctio de det (x,.., x ). B otos s = i= x i. O a D =det ( x i, x i,.., x i )=det(s x,s x,..,s x ) B i6= i6= i6= développos ce détermiat par liéarité: o obtiet termes det(s x,..,s x )=det(s,.., s)+det( x,..,s)+... +det( x,.., x ) das cette somme, dès que le vecteur s apparait au mois deux fois das u détermiat, celui ci est ul. Doc il e reste plus qu ue somme de +détermiats : D = det(s, x,,.., x )+det( x,s, x 3,,.., x ).. +det( x, x,,..,s) +det( x, x,,.., x ) d autre part e ajoutat à s la somme x.. x de tous les autres vecteurs o obtiet: det(s, x,,.., x )=det(x, x,.., x ) Doc D = ( ) det(x,x,..,x )+( ) det(x,..,x )=( )( ) det(x,x,..,x ) Caractérisatio des bases soit B 0 =(e 0 l ) j ue famille de vecteurs de E B 0 est ue base de E det B (B0 ) 6= Détermiat d u edomorphisme Soit u L(E) et B =(a i ) i ue base de E. det ),..,u(a )) B ce scalaire est idépedat de la base B et se ote det(u) (u, v) L(E), det(uov) =det(u)det(v) u GL(E) det(u) 6= 0 u GL(E), det(u )= det(u) Effet d ue applicatio liéaire sur u détermiat Soit (x j ) j E ue famille de vecteurs de E et f L(E). det (f(x ),f(x ),..., f(x )) = det(f) det (x,x,..., x ) B B Soit A M (K) o appelle det(a) le détermiat de l edomorphisme caoiquemet associé à A = 66 lycée Dessaiges

67 det(ab) = det(a)det(b) det(λ.a) = λ det(a) det( t A) = det(a) det(a) = ε(σ).a,σ().a,σ()...a,σ() σ S Comatrice Soit (i, j) {,..,}. O ote D i,j le détermiat de la matrice A i,j obteue e supprimat la i ième lige et la j ieme colloe de A. Lecofacteur de a i,j est ( ) i+j D i,j. La comatrice de A est la matrice Com(A) des cofacteurs, défiie par com(a) i,j =( ) i+j D i,j Com(A) =(( ) i+j D i,j ) i,j A t Com(A) = t Com(A) A =det(a)i si det(a) 6= 0,A = det(a) t Com(A) Formules de Cramer Soit (S) AX = B u système de équatios à icoues de matrice A =[C,..,C ] (S) est de Cramer det(a) 6= 0 das ce cas si X = x x. o a les formules de Cramer x i {,..,},x i = det([c,.,c i,b,c i+., C ]) det(a) Exercice 6 : Résoudre le système liéaire cos θ.x +siθ.y = a si θ.x +cosθ.y = b à l aide des formules de Cramer Géomètrie Affie. Traslatios, sous-espaces affies E est u R espace vectoriel: ses élémets serot appelés idifféremmet poits ou vecteurs. Lorsque E est cosidéré comme u esemble de poits, c est le poit de vue affie. Das ce cas les élémets de E sot otés A, B, C,..., M, N, P et il peut même être commode de oter E autremet (par exemple E ) Lorsque E est cosidéré comme u esemble de vecteurs c est le poit de vue vectoriel. Das ce cas les élémets de E sot otés a, b, c,..., m,, p Evidemmet puisque les deux poits de vues sot possibles, u poit et u vecteur c est à priori la même chose. E fait la dualité poits/vecteurs repose essetiellemet sur l existece d ue applicatio défiie caoiquemet de E E das E ( il faudrait d ailleurs dire de E Edas E )parφ : E E E (A, B) 7 AB = B A c est aisi que l o défiit le vecteur AB d origie a et d extrémité b l applicatio Φ est telle que pour tout vecteur x E, et pour tout poit A E, il existe u seul poit B E tel que AB = x : ce poit est défii par B = A + x a si θ b cos θ cos θ a si θ b 6 det(a) =6= 0doc le sytème est de Cramer. x = = a cos θ b si θ et y = = b cos θ + det A det A a si θ. Bie sûr o peut résoudre directemet par combiaiso liéaire, ou même par substitutio, a coditio de discuter sur θ,mais l iterêt de cette méthode est qu il y a pas à réflèchir, o applique bêtemet. 67 lycée Dessaiges

68 cette otatio permet doc d ajouter u poit A et u vecteur x Traslatios d u espace vectoriel Soit x E. La traslatio de vecteur x est l applicatio t x de E das lui même défiie par t x : M 7 M 0 = M + x O a doc M 0 = t x (M) MM 0 = x Par exemple, si H = Vect(si, cos) est le sous espace vectoriel des solutios de l équatio différetielle y +y =0, egedré par les deux foctios si, cos et B l esemble des solutios de l équatio différetielle y +y = x, o a e otat id l applicatio défiie sur R par id(x) =x, B = A + id = f R R, (a, b) R, x R,f(x) =a si x + b cos x + x Sous-espace affie Soit F u sous espace vectoriel de E et A E u poit doé. O appelle sous espace affie passat par A et dirigé par F la partie W otée A + F défiie par W = A + F = M E, x F, M = A + x par exemple si F = Vect(si, cos) est le sous espace vectoriel de E =R R formé des solutios de l équatio différetielle y +y =0, qui est egedré par les deux foctios ( si, cos) et W l esemble des solutios de l équatio différetielle y +y = x, o a e otat id l applicatio défiie sur R par id(x) =x, W = id + F = f R R, (a, b) R, x R,f(x) =a si x + b cos x + x W est doc le sous espace affie de E passat par le poit id ( eh oui ici la foctio x x est cosidèrée comme u poit de l espace ) et dirigé par W. Autre exemple: la droite W de R d équatio x+y + = 0 est le sous espace affie de E =R passat par le poit A =(0, ) (par exemple) et dirigé par le sous espace vectoriel F de R : F = vect(e e ) 4 y x x+y+=0 de directio x+y=0 la dimesio de W = A + F est défiie comme égale à la dimesio de F : e particulier si F = {0}, W est u poit (dim W =0),sidim W =, W est ue droite, si dim W =, W est u pla. Au delà, o utilise le terme gééral de sous-espace affie E est bie etedu u sous-espace affie de lui même. O appelle vecteurs directeurs de A + F toute famille de vecteurs qui costitue ue base de F Par exemple les foctio si, cos sot des vecteurs directeurs du sous espace affie des solutios de y +y = x,etlevecteur e e est u vecteur directeur de la droite affie d équatio x + y +=0 Uicité de la directio d u sous espace affie si W = A + F alors B W, W = B + F Sous-espaces affies parallèles Soiet W et W 0 deux sous espaces affies de E. Par défiitio W est parallèle à W 0 si et seulemet si la directio de W est icluse das la directio de W 0, c est a dire s il existe deux poits A et A 0 de E et deux sous-espaces vectoriel F, F 0 de E tels que W = A + F et W 0 = A 0 + F 0 et F F 0 68 lycée Dessaiges

69 par exemple si W et W 0 sot les deux sous-espaces affies de R 3 d équatios respectives x+y+z+ = 0 x + y =0 et, W est le pla passat par A(0, 0, ) et de vecteurs directeurs ( e z = e,e e 3 ),et W 0 la droite passat par A 0 (0, 0, ) et de vecteur directeur e e. W 0 est doc parallèle à W si W 0 et W ot la même directio ils sot dit fortemet parallèles : c est la otio de parallèlisme classique ( par exemple das R 3 droites parallèles, plas parallèles ) Itersectio de deux sous-espaces affies Soiet W, W 0 deux sous espaces affies de E de directios respectives F, F 0. Alors ou bie W W 0 =, ou bie W W 0 est lui même u sous-espace affie de E: das ce secod cas, la directio de W W 0 est égale à F F 0 E particulier supposos que E =R 3 : les règles d icideces sot les suivates A) si W et W 0 sot des plas : A ) W et W 0 sot fortemet parallèles: das ce cas ou bie W = W 0 ou bie W W 0 = A ) W et W 0 e sot pas fortemet parallèles et alors W W 0 est ue droite. B) si W estuplaetw 0 ue droite: B ) W 0 est parallèle à W : das ce cas ou bie W 0 W ou bie W W 0 = B) W 0 est pas parallèle à W : das ce cas W W 0 est u poit C) si W et W 0 sot des droites C ) W et W 0 sot coplaaires ( icluses das u même pla) : das ce cas il y a deux sous-cas C a) si W et W 0 sot fortemet parallèles et alors ou bie W = W 0 ou bie W W 0 = C b) si W et W 0 e sot pas parallèlles, alors elles sot sécates e u poit. C )W et W 0 e sot pas coplaaires. das ce cas W W 0 = Exemple: motrer plus gééralemet das le cas ou est quelcoque que lorsque F F 0 = E ( c est à dire le cas B ),alors W W 0 est u poit. E effet posos W = A + F et W 0 = A 0 + F 0 : Cherchos les poits M W W 0. Soit M u tel poit : M W W 0 AM Fet A 0 M F 0 or AA 0 = AM A 0 M. De plus, puisque F F 0 = E, le vecteur AA 0 qui est élémet de E se décompose de faço uique sous la forme AA 0 = u + u 0 avec ( u, u 0 ) F F 0 les deux vecteurs u et u 0 sot doc détermiés de faço uique à l aide de A et de A 0, et il est écéssaire d avoir AM = u et MA 0 = u 0. Examios la première de ces deux coditios : Il existe u et u seul poit M 0 tel que AM 0 = u.motros que ce poit M 0 vérifie aussi la deuxième coditio: e effet M 0 A 0 = u + AA 0 = u 0. O e déduit doc l existece et l uicité du poit M.. Barycetres Défiitio du barycetre de poits Soiet (A i ) i ue famille de poits et (λ i ) i ue famille de scalaires réels tels que 0;Le barycetre de la famille (A i ) i affecté des masses (λ i ) i est le poit G défii par λ igai = 0 i= M E, i= λ i MA i =( i= λ i )MG i= λ i 6= o e modifie pas G e multipliat toutes les masses par u même réel λ 6= 0 E particulier il est toujours possible de supposer i= λ i =e divisat chaque masse par la somme de toutes les masses Notatio : G = bar((a i ) i,(λ i ) i ) 69 lycée Dessaiges

70 Associativité du barycetre soiet G = bar((a i ) i,(λ i ) i ), G 0 = bar((a 0 i) i 0,(λ 0 i) i 0) si G =bar((a i ) i (A 0 i) i 0, (λ i ) i (λ 0 i) i 0)=bar((G, G 0 ), ( i= λ i + 0 i= λ0 i 6= 0alors Stabilité d u sous-espace affie par barycetratio Soit W u sous espace affie de E. Soiet (A i ) i ue famille de poits de W et (λ i ) i ue famille de scalaires réels tels que i= λ i 6= 0, alors le barycetre G = bar((a i ) i,(λ i ) i ) appartiet à W. Segmet [A, B] [A, B] = {M E, λ [0, ], M= bar((a, B), (λ, λ))} M [A, B] λ [0, ], AM = λ AB Partie covexe de E Soit A E ue partie de E. A est dite covexe lorsque dès qu elle cotiet deux poits M et N elle cotiet le segmet [M,N] A covexe (M,N) A, [M,N] A Exercice 7 :SoitA ue partie o vide de l espace affie E. O appelle eveloppe covexe de A, otée C(A) l esemble de tous les barycetres possibles de poits de A affectés de masses positives ( o peut predre autat de poits que l o veut ). Par exemple l eveloppe covexe de trois poits A, B, C o aligés est le triagle ABC et tous les poits itérieurs à ce triagle. Motrer C(A) est covexe. Comparer pour l iclusio C(X X ) et C(X ) C(X ) ou X et X sot deux parties quelcoques de E d itersectio o vide..3 Applicatios affies, trasformatios affies Applicatio affie Soit f ue applicatio de l espace affie E das l espace affie E 0. f est ue applicatio affie si et seulemet si il existe ue applicatio liéaire ϕ f et u poit A E tels que M E,f(M) =f(a)+ϕ f ( AM) das ce cas, pour tout couple de poits (M,N) E o a f(m)f(n) =ϕ f ( MN) ϕ f est l applicatio liéaire associée à f E particulier toute applicatio liéaire est ue applicatio affie qui vérifie f(0 E )=0 E 0 Coservatio du barycetre Soit f ue applicatio affie. Pour toute famille de poits (A i ) i podérés par les masses (λ i ) i, si G = bar((a i ) i, (λ i ) i ),alorsf(g) =bar((f(a i )) i, (λ i ) i ) Exemple: si T = {A, B, C} est ue partie du pla formée de trois poits o aligés, l esemble X T = {f GA(E),f(T )=T } des trasformatios du pla qui laisset T globalemet ivariate est u sousgroupe de GA(E), formé de six applicatio : chacue de ces six applicatios est caractérisée par l image des trois poits A, B et C: 7 si M,M 0 sot deux poits de C(A), o a M = bar((a i ) i p, (λ i ) i p ) et M 0 = bar((a 0 i ) i, (λ 0 i) i ) ou les λ I,λ 0 i sot tous positifs ou uls. Soit λ [0, ] et N = bar((m,m 0 ), (λ, λ)).le théorème d associativité fourit N = bar((a i ) i p (A 0 i ) i, (λλ i ) i p (( λ)λ 0 i) i ) doc N est u barycetre de poits de A affectés de masses positives et doc N C(A). si M C(X X ), M est u barycetre positif de poits de X doc M C(X ) et de même M C(X ). Doc C(X X ) C(X ) C(X ). Cepedat l iclusio iverse est fausse, il suffit par exemple de cosidérer sur ue droite trois poits A, B, C das cet ordre et X = {A, B},X = {A, C}.O a C(X )=[A, B],C(X )= [A, C],C(X X )={A},C(X ) C(X )=[A, B] i= λ i, 0 i= λ 0 i) 70 lycée Dessaiges

71 admet pour edomor- par exemple 8 l applicatio f telle que f(a) =A, f(b) =C et f(c) =B phisme associé l applicatio liéaire ϕ f telle que ϕ f ( AB) = AC et ϕ f ( AC) = AB Pour toute applicatio f X T, l image par f de l isobarycetre G = bar((a, B, C), (,, )) du triagle T est égale à bar((f(a),f(b),f(c), (,, )) = G La traslatio de vecteur x est ue applicatio affie de E dot l edomorphisme associé est Id E O appelle homothétie de cetre Ω et de rapport k l applicatio affie f = h Ω,k défiie par Ωf(M) =k ΩM so edomorphisme associé est égal à k.id E si k 6=, Ω est l uique poit fixe de f : o le retrouve e résolvat l équatio f(m) =M si k =, f est l idetité de E Iversemet si f est ue applicatio affie d edomorphisme associé k.id avec k 6= alors f est ue homothétie de rapport k. Projectio affie :SoitF et F 0 deux sous espaces supplémetaires de E et A u poit de E.Soit d autre part W = A + F. Puisque F F 0 = E, les deux sous espaces M + F 0 et A + F se coupet e u uique poit oté p(m) M E, {p(m)} =(M + F 0 ) (A + F ) O appelle projectio sur W parallèlemet à F 0 l applicatio p aisi défiie L edomorphisme associé à la projectio p est la projectio sur F parallèlemet à F 0 Exemple das R 3 : détermier les coordoées de la projectio du poit M 0 (x 0,y 0,z 0 ) sur la droite = A + vect(e e + e 3 ) où A = 0 parallèlemet au pla Π d équatio X + Y + Z =0 O cherche l itersectio de la droite avec le pla Π 0 = M 0 + Π qui passe par M 0 et qui est dirigé par Π. L équatio cartésiee de Π 0 das le repère R =( 0,e,e,e 3 ) est X + Y + Z = x 0 + y 0 + z 0 p(m 0 ) λ R, λ + Ap(M 0 )=λ(e e + e 3 ) p(m 0 )= λ +. λ Doc p(m 0 ) Π 0 λ +=x 0 + y 0 + z 0,d ou p(m 0 )= x 0 + y 0 + z 0 (x 0 + y 0 + z 0 )+3 (x 0 + y 0 + z 0 ) Symétrie affie :SoitF et F 0 deux sous espaces supplémetaires de E et A u poit de E.Soit d autre part W = A + F.O appelle symétrie par rapport à W parallélémet à F 0 l applicatio qui à tout poit M de E associe l uique poit s(m) tel que le milieu I de (M,s(M)) appartiee à W et que la vecteur Ms(M) appartiee à F 0. O motre alors que p(m)s(m) = p(m)m L edomorphisme associé à s est la symétrie vectorielle par rapport à F parallèlemet à F 0 Exemple: das l exemple précédet la symétrie de base et de directio Π est défiie si M =(x, y, z) 8 l applicatio f doée e exemple est e fait la symétrie affie par rapport à la droite (AG) de directio la droite (BC). 7 lycée Dessaiges

72 et s(m) =(x 0,y 0,z 0 ) o devra résoudre le système x + x 0 = λ +, y + y0 = λ +, z + z0 = λ,x 0 x + y 0 y + z 0 z =0 ce qui fourit : λ +=x + y + z doc x 0 = x +y +z s(m) = y 0 = x 3y z +6 z 0 =x +y + z 4 Autre exemple : cherchos la forme aalytique des 6 trasformatios X T = {f,f,f 3,f 4,f 5,f 6 } laissat le triagle A(, 0); B(, ), C(0, ) globalemet ivariat G = bar((a, B, C), (,, )) = (, ) est ivariat par ces 6 applicatios GA = e et GB = e d ou si f X T ϕ f(ga) = Gf(A) et ϕ f(gb) = Gf(B) O e déduit ϕ f ( e ) et ϕ f ( e ) et la matrice de ϕ f das la base caoique par exemple cherchos la symétrie affie f par rapport à la droite (GC) parallélemet à ( BA) f(a) = B,f(B) = A, f(c) = C ϕ f ( GA) = GB et ϕ f ( GB) = GA doc mat(ϕ f ) = 0 0 doc la forme aalytique de f est doée par M(x, y) M 0 (x 0 = y + a, x + b) puisque f(g) =G o e déduit que a =et b = M(x, y) M 0 (x 0 = y +, x +) Soit f ue applicatio affie de E das lui même et A E. Il existe ue uique applicatio affie u laissat le poit A ivariat et ue uique traslatio t telle que tou = f Ue applicatio affie f de E das E est appelée trasformatio lorsque f est bijective. O ote GA(E) l esemble des trasformatios affies de E. f est ue trasformatio de E ssi so edomorphisme associé est u automorphisme de E f GA(E) ϕ f GL(E) si f GA(E),alors f GA(E) et ϕ f =(ϕ f ) E particulier les traslatios et les homothéties de rapport o ul sot des trasformatios de E. Affiité de base W et de directio F 0 O se doe F et F 0 deux sous espaces supplémetaires de E et W u sous espace affie dirigé par F. Soit d autre part λ R. O appelle affiité de base W de directio F 0 et de rapport λ l applicatio a : M M 0 telle que si p désige la projectio sur W parallélémet à F 0,alors p(m)a(m) =λp(m)m Si λ =0o retrouve la projectio p : a = p Si λ =o obtiet Id E : a = Id E Si λ =, o obtiet la symétrie de base W et de directio F 0 Groupe des traslatios Soit T l esemble des traslatios de E. T est u sous-groupe commutatif de GA(E) f T ϕ f = Id L applicatio Φ : t u ot v = t u + v ; (t u ) = t u E GA(E) est u isomorphisme de (E,+) das (GA(E),o) u 7 t u Groupe des homothéties-traslatios Soit HT l esemble des trasformatios affies qui sot soit des traslatios, soit des homothéties de 7 lycée Dessaiges

73 rapport o ul. f HT k R, ϕ f = k.id Lorsque l o compose deux homothéties h Ω,k,h Ω 0,k 0de rapports k, k0 o uls, o a deux cas qui se présetet kk 0 6= : h Ω,k oh Ω 0,k 0 = h Ω,kk 0 kk 0 = : h Ω,k oh Ω 0,k 0 = t u das la formule précédete, Ω est obteu e détermiat l uique poit fixe de h Ω,k oh Ω 0,k 0,et u vérifie: u = Mh Ω,k oh Ω 0,k 0(M) ou M est u poit quelcoque de E Lorsque l o compose ue homothétie h Ω,k et ue traslatio t v o obtiet quelque soit l ordre de compositio ue homothétie de rapport k h Ω,k ot v = h Ω,k t v oh Ω,k = h Ω,k Ω (resp Ω ) est l uique poit fixe de h Ω,k ot v (resp t v oh Ω,k ) (h Ω,k ) = h Ω,/k Ces diverses propriétés permettet de prouver que HT est u sous-groupe de (GA(E),o), e gééral o commutatif Exemple : caractériser le poit Ω, cetre de l homothétie h Ω,k oh Ω 0,k 0 h Ω,k oh Ω 0,k 0(Ω ) = Ω posos M = h Ω 0,k 0(Ω ), o a doc Ω =h Ω,k(M) d où Ω 0 M = k 0 Ω 0 Ω et ΩΩ =k ΩM doc k 0 Ω 0 Ω = Ω 0 Ω + ΩM = Ω 0 Ω + ΩΩ et fialmet (k 0 k k ) ΩΩ =( k 0 ) Ω 0 Ω soit ΩΩ = k( k0 ) ΩΩ 0 kk 0 U repère cartésie d u espace affie E est u couple R =(0, B) formé d u poit 0 E et d ue base B =( e,.., e ) de E. SiM E est u poit de E, les coordoées de M das le repère R sot les rtéels défiis par : OM = x i ei i= O appelle repère cartésie caoique de R le repère (0, ( e,.., e )) où 0 = (0,..,0) et e i est le i ieme vecteur de base caoique de R Expressio d ue applicatio affie. Soit f ue applicatio affie de R das R m, d applicatio liéaire associée ϕ f. Si A =(a i,j ) i m est j m la matrice de ϕ f relativemet au bases caoiques, la relatio f(m) =f(o)+ϕ f ( OM) permet d obteir les coordoées de f(m) sous la forme x 0 = j= a,jx j + b x 0 = j= a,jx j + b... x 0 m = j= a m,jx j + b m Equatios cartésiees de droites du pla Soit D = A + vect( u ) ue droite de R avec A(x A,y A ) et u (x u,y u ) doés par leurs corrdoées das le repère caoique. O obtiet ue équatio cartésiee de D e écrivat : M D det( AM, u )= 0 x x A x u =0 y y A y u Ue telle équatio se présete sous la forme ax + by + c =0avec (a, b) 6= (0, 0) w =( b, a) est u vecteur directeur de D u =(a, b) est u vecteur ormal à D (voir produit scalaire) 73 lycée Dessaiges

74 Parallèlisme de deux droites les droites D et D 0 d équatios respectives ax + by + c =0et a 0 x + b 0 y + c 0 =0 sot parallèles ssi leurs vecteurs ormaux ( ou directeurs, cela reviet au même ) sot coliéaires soit a a 0 b b 0 =0=ab 0 ba 0 Equatios cartésiees de plas de l espace Soit P = A + vect( u, v )) u pla de R 3 avec A(x A,y A,z A ) et u (x u,y u,z u ), v (x v,y v,z v ) doés par leurs cordoées das le repère caoique. O obtiet ue équatio cartésiee de P e écrivat : M P det( AM, u,v)=0 x x A x u x v y y A y u y v =0 z z A z u z v Ue telle équatio se présete sous la forme ax + by + cz + d =0 si a 6= 0, w =( b, a, 0) et w 0 =( c, 0,a) sot deux vecteurs directeurs libres de P Parallèlisme de deux plas les plas P et P 0 d équatios respectives ax + by + cz + d =0et a 0 x + b 0 y + c 0 z + d 0 =0sot parallèles ssi leurs vecteurs ormaux sot coliéaires soit a b c a 0 b 0 c 0 = 0 Défiitio d ue droite de l espace par deux équatios Soiet P, P 0 deux plas de R 3 o parallèles. P P 0 = D est doc ue droite qui est etièremet caractérisée par le système formé de deux équatios cartésiees de P et P 0 ax + by + cz + d =0 a 0 x + b 0 y + c 0 z + d 0 =0 Iversemet u tel système défiit bie ue droite lorsque les deux plas P, P 0 défiis par les équatios du système e sot pas parallèles x + y + z +=0 Exemple: x y +z =0 défiit ue droite D de R3, que l o peut caractériser e résolvat ce système par rapport aux icoues pricipales x, y. z sera alors pris comme paramètre: x = 3 z,y = + z O voit doc que le poit A(0,, 0) appartiet à D et que le vecteur u ( 3,, ) est u vecteur directeur de D. Doc D = A + vect( u ) Equatios paramètriques d u sous espace affie de R Soit W = A+F u sous espace affie de E =R où A(a,..,a ) est u poit de R et F = vect( f,.., f p ) u sous-espace vectoriel de R de dimesio p. Les coordoées de A et des vecteurs f i sot doées das le repère caoique : j {,.., p}, f j =(f i,j ) i O appelle système d équatios paramètriques de W le système obteu e écrivat que le poit M(x,.., x ) de E appartiet à W c est à dire vérifie AM Vect(f,..,f p ), ce qui reviet à dire qu il existe (λ,.., λ p ) 74 lycée Dessaiges

75 R p tels que AM = p j= λ j fj x = p j= λ jf,j + a x = p j= λ jf,j + a... x = p j= λ jf,j + a Ue telle équatio pemet de retrouver très facilemet le sous espace W à l aide du poit A et des vecteurs directeurs Equatio paramètrique d ue droite du pla R A(x A,y A ) et u =(x u,y u ).SoitD la droite D = A + vect( u ) x = λx M(x, y) D λ R, u + x A y = λy u + y A par exemple les équatio t R + x = t +3, défiisset la demi droite passat par le poit A(3, ) y = t + dirigée par le vecteur u (, ), (demi-droite seulemet car t 0) Equatio paramètrique d ue droite de l espace R 3 A(x A,y A,z A ) et u =(x u,y u,z u ).SoitD la droite D = A + vect( u ) M(x, y, z) D λ R, x = λx u + x A y = λy u + y A z = λz u + z A par exemple le système de dux équatios x = 3 z et y = + z peut se réécrire x = 3 z y = + z z = z ce qui caractérise la droite passat par A(0,, 0) dirigée par u ( 3,, ) Equatio paramètrique d u pla de R 3 A(x A,y A,z A ) et u =(x u,y u,z u ), v =(x v,y v,z v ) Soit P le pla P = A + vect( u, v ) x = λx u + µx v + x A M(x, y, z) P (λ,µ) R, y = λy u ++µy v + y A z = λz u + µz v + z A Exemple : Détermier l itersectio du pla P passat par les trois poits A(, 0, 0),B(0,, 0),C(0, 0, ) et de la surface S d équatio xy = z P = A + vect( AB, AC) admet pour équatio paramètrique x = λ + µ + (λ,µ) R, y = λ z = µ d où M P S (λ + µ +)( λ) =µ M P S λ + λ( + µ)+µ =0 M P S λ = ou λ = µ λ = fourit µ R x = µ y = z = µ soit la droite passat par B(0,, 0) dirigée par u(, 0, ) 75 lycée Dessaiges

76 λ = µ Doc fourit µ R x = y = µ z = µ soit la droite passat par A(, 0, 0) dirigée par v(0,, ) P S = 3 Espaces vectoriels euclidies 3. Produit scalaire Soit E u espace vectoriel sur R. O appelle produit scalaire sur E toute forme biliéaire symétrique défiie positive sur E c est à dire toute applicatio ϕ de E à valeurs das R :(x, y) ϕ(x, y) telle que ϕ soit liéaire par rapport à x ( lorsque y est fixé), soit liéaire par rapport à y (lorsque x,est fixé), vérifie (x, y) E, ϕ(x, y) =ϕ(y, x) et de plus x E {0 E }, 0 < ϕ(x, x) O ote ϕ(x, y) =(x y) ou x. y das le cas d u produit scalaire utilisé e géomètrie Produits scalaires usuels das R : le produit scalaire caoique das C 0 ([a, b], R) Norme euclidiee d u vecteur (x y) = (f g) = a b i= x i y i f(t)g(t)dt kxk = (x x) kxk = 0 x =0 E kλ.xk = λ kxk Iégalité de Cauchy-Schwarz (x, y) E, (x y) kxkkyk Il y a égalité das cette iégalité si et seulemet si les deux vecturs x et y sot coliéaires coséqueces sur les produits scalaires usuels: a b i= x i y i f(t)g(t)dt i= a b x i i= f (t)dt y i a b g (t)dt Distace associée à la orme euclidiee (x, y) E,d(x, y) =ky xk = d(y, x) Iégalité triagulaire coséquece (x, y) E, kx + yk kxk + kyk kxk kyk kx + yk 76 lycée Dessaiges

77 (eeffetkxk=k y + x + yk k yk+kx + yk ) (x, y, z) E 3,d(x, z) d(x, y)+d(y, z) Vecteurs uitaires u est dit uitaire lorsque kuk =. Si u est u vecteur quelcoque o ul il existe exactemet deux vecteurs uitaires qui sot coliéaires à u:.u et kuk kuk.u Vecteurs orthogoaux Soiet (u, v) E.O dit que u et v sot orthogoaux ssi leur produit scalaire est ul (u v) =0 Sous espaces-vectoriels orthogoaux Soiet F et G deux sous-espaces vectoriels de E. F et G sot dits orthogoaux lorsque tout vecteur de F est orthogoal à tout vecteur de G F G (x, y) F G, (x y) =0 Orthogoal d u sous-espace vectoriel Soit F u sous-espace vectoriel de E. O appelle orthogoal de F l esemble oté F des vecteurs de E qui sot orthogoaux à tous les vecteurs de F, x F y F, (x y) =0 L orthogoal de F est u sous espace vectoriel de E, qui est ortogoal à F.Deplus F F = {0 E } Famille orthogoale fiie Ue famille fiie (a i ) i est orthogoale si elle est costituée de vecteurs o uls et deux à deux orthogoaux (i, j) {,..,},i6= j (a i a j )=0 Toute famille orthoogoale fiie est libre Famille orthoormale fiie Ue famille fiie (a i ) i est orthoormale si elle est costituée de vecteurs deux à deux orthogoaux et uitaires (i, j) {,..,}, (a i a j )=δ i,j Toute famille orthoormale fiie est libre Relatio de Pythagore pour ue famille orthogoale fiie si (a i ) i est ue famille orthogoale fiie alors Relatios etre produit scalaire et orme 3. Espace Euclidie i= a i = i= ka i k kx + yk = kxk + kyk +(x y) kx yk = kxk + kyk (x y) kx + yk + kx yk = (kxk + kyk ) :idetité du parallèlogramme kx + yk kx yk = 4(x y) :idetité de polarisatio U espace Euclidie est u espace vectoriel réel de dimesio fiie mui d u produit scalaire Das u espace euclidie il existe des bases orthoormales. E particulier si (e i ) i est ue base de E, 77 lycée Dessaiges

78 il existe ue base (f i ) i orthoormale telle que i {,..,},vect(e,..,e i )=vect(f,.., f i ) Le procédé appliqué pour obteir cette base est appelé procédé d orthoormalisatio de Schmidt. Il cosiste à poser f = ke k.e, puis u = e + λ.f et calculer λ de telle sorte que (u f )=0: o trouve λ = (e f ) O obtiet alors u vecteur u orthogoal à f et o pose f = ku k.u O déclare esuite u 3 = e 3 +λf +µf et l o calcule λ,µde telle sorte que (u 3 f )=(u 3 f )=0:o trouve λ = (e 3 f ) et µ = (e 3 f ). O obtiet alors u vecteur u 3 orthogoal à la fois à f et à f : o pose f 3 = ku 3 k.u 3 O costruit aisi par récurrece fiie la suite des vecteurs f i e posat à l étape i u i = e i + λ i f i λ f où les vecteurs f,..,f i sot calculés précédemmet. Il suffit d ajuster les coefficiets λ j de telle sorte que u i soit orthogoal à chacu des f j pour tout j tel que j i : o trouve λ j = (e i f j ). Esuite il e reste plus qu à ormer le vecteur u i Expressio des coordoées d u vecteurs das ue base orthoormale Soit (f i ) i ue base orthoormale de E: Oa x E,x = i= (f i x).f i Expressio du produit scalaire das ue base orthoormale si (e i ) i est ue base orthoormale de E alors e posat x = i= x ie i et y = i= y ie i (x y) = kxk = d(x, y) = i= i= i= x i x i y i (y i x i ) Suppémetaire orthogoal L orthogoal d u sous espace vectoriel F est u suppémetaire de F appelé supplémetaire orthogoal et oté F F F = E dim(f ) = dim(e) dim(f ) Projecteurs orthogoaux Soit p u projecteur de E. O dit que p est u projecteur orthogoal lorsque Im(p) =ker(p). u tel projecteur vérifie pop = p (x, y) E, (p(x) y) =(x p(y)) 78 lycée Dessaiges

79 Exercice 9 : O se doe deux sous espaces suppémetaires F et G das E o écéssairemet orthogoaux. Soit p la projectio sur F parallèlemet à G. O suppose que x E, kp(x)k kxk Soit x (ker p). Démotrer que kp(x)k = kxk + kp(x) xk. E déduire que G = F et que p est u projecteur orthogoal. Projectio orthogoale sur u sous-espace vectoriel Soit F u sous-espace vectoriel de E. O appelle projectio orthogoale p F sur F la projectio sur F (Im(p F )=F ) parallèlemet à la directio F (ker(p F )=F ) x = p F (x)+p F (x) avec p F (x) F et p F (x) F kxk = kp F (x)k + p F (x) Exercice 30 : R 3 état mui du produit scalaire caoique, détermier la matrice das la base caoique de la projectio orthogoale sur le pla F d équatio x + y + z =0 Expressio de la projectio sur u sous espace mui d ue base orthoormale Soit F u sous espace vectoriel de E et (f i ) i p ue base orthoormée de F. Alors si p F désige la projectio orthogoale sur F o a x E, p F (x) = kp F (x)k = p i= (f i x) p i= (f i x).f i e particulier si dim(f )=:supposos F = vect(u) où u est u vecteur uitaire. Alors x E,p F (x) =(x u).u Exemple : das R 3, la projectio orthogoale sur le pla F d équatio x + y + z =0peut s obteir e cosidérat la base orthoormée de F : f =(/, /, 0), f =(/ 6, / 6, / 6). o a alors si x =(x,x,x 3 ),p F (x) = x x f + x + x x 3 f. 6 Distace d u poit à u sous espace vectoriel. Soit F u sous espace vectoriel de E. Pour tout vecteur x E o appelle distace de x à F le réel d(x, F )=if{d(x, y),y F } Cette distace est atteite pour y = p F (x) et vaut d(x, F ) = kx p F (x)k d(x, F ) = kxk kp F (x)k si (f i ) i p est ue base orthoormale de F,alors d(x, F ) = kxk p i= (f i x) 9 O écrit p(x) =p(x) x+x et o remarque que (x p(x) x) =0puisque p(x) x ker p et x ker p.o applique alors le théorème de pythagore pour obteir l égalité kp(x)k = kxk +kp(x) xk. Esuite puisque kp(x)k kxk o e déduit que kp(x) xk =0et doc que x = p(x) Im p. Ceci prouve que ker p Im p. or dim ker p =dime dim ker p =dimimp. d ou ker p =Imp. 30 u vecteur ormal à F est (,, ), ue base de F est ( (,, 0),(, 0, )). O a doc p(e )+p(e )+p(e 3 )=0, p(e ) p(e )=e e,p(e ) p(e 3 )=e e 3 d ou e résolvat p(e )= 3 (e e e 3 ),p(e )= 3 ( e +e e 3 )p(e 3 )= 3 ( e e +e 3 )doc M = /3 /3 /3 /3 /3 /3 /3 /3 /3 79 lycée Dessaiges

80 3.3 Automorphismes orthogoaux Automorphisme orthogoal Soit f u automorphisme de l espace vectoriel euclidie E. f est u automophisme orthogoal si et seulemet si f coserve le produit scalaire (x, y) E, (f(x) f(y)) = (x y) Il est équivalet de dire que f coserve la orme x E,kf(x)k = kxk Il est équivalet de dire que f trasforme ue base orthoormale (e i ) i de E e ue base orthoormale (f(e i )) i de E. Groupe orthogoal O(E) l esemble des automorphismes orthogoaux forme u sous groupe du groupe liéaire (GL(E),o),appelé groupe orthogoal et oté O(E). E d autres termes, la composée de deux automorphismes orthogoaux est u aotomiophisme orthogoal. L iverse d u automorphisme orthogoal est u automorphisme orthogoal. Symétrie orthogoale Soit F u sous espace vectoriel de E et p F la projectio orthogoale sur F. O appelle symétrie orthogoale par raport à F l applicatio s F = p F Id s F O(E) si x = x F + x F avec (x F,x F ) F F, alors s(x) =x F x F Symétrie orthogoale par rapport à ue droite, ou demi-tour Soit D = vect(u) ou u est u vecteur uitaire. La symétrie orthogoale par rapport à D est défiie par s D (x) =(x u).u x elle laisse tous les vecteurs de D ivariats et trasforme les vecteurs de D (qui est u hyperpla) e leurs opposés. O l appelle aussi le demi-tour d axe D Réflexio d hyperpla P si dim(p )=dim(e), P est u hyperpla de E. La symétrie orthogoale par rapport à P s appelle ue réflexio: elle laisse tous les vecteurs de P ivariats et trasforme les vecteurs de D (qui est ue droite) e leurs opposés. E otat u u vecteur uitaire ormal à F, c est à dire tel que F Vect(u) =E et kuk =o a s P (x) =x (x u).u Echage dce deux vecteurs uitaires par ue réflexio Etat doé deux vecteurs uitaire a et b diticts, il existe ue et ue seule reflexio s qui trasforme a e b.elle a pour hyperpla (vect(b a)) Matrices orthogoales Soit u etier aturel et M M (R). la matrice M est orthogoale si et esulemet si l edomorphisme f de R caoiquemet associé à M est u automorphisme orthogoal. O ote O (R) l esemble des matrices orthogoales. O (R) est u sous-groupe de (GL (R), ) Caractérisatio des matrices orthogoales Soit M M (R). La matrice M est orthogoale ssi les coloes de M formet ue base orthoormale de R de M. Ceci reviet à dire que t M M = M t M = I Chagemet de base orthoormale ou ecore : M = t M 80 lycée Dessaiges

81 Soiet B, B 0 deux bases orthoormaes de R. la matrice de passage de B à B 0 est orthogoale. Réciproquemet si B est ue base ortho,ormale et si la matrice de passage de B à B 0 est orthogoale, almors B 0 est ue base orthoormale. Détermiat d ue matrice orthogoale M O (R) det(m) =ou det(m) = f O(E) det(f) =ou det(f) = Bases orthoormales directes de R La base B est appelée base orthoormale directe de R lorsque la matrice de passage de la base caoique B 0 de R à B a pour détermiat.das le cas cotraire, B est dite rétrograde. Détermiat d ue réflexio det(s P )= Groupe spécial orthogoal. Par défiitio, f L(E) est ue rotatio ssi f O(E) et det(f) =(attetio de e pas reteir quee la deuxième coditio det f =, qui caractérise o pas les rotatios mais les automorphismes de coservat l aire algèbrique. SO(E) = {f O(E), det(f) =} SO (R) = {M O (R), det(m) =} si f L(E), f SO(E) est u sous groupe de (O(E),o) SO (R) est u sous groupe de (O (R), ) Caractérisatio des rotatios U edomorphisme f de E est ue rotatio ssi il trasforme ue base orthoormée directe e ue base orthoormée directe. Produit mixte de vecteurs Soiet (a i ) i uefamille de vecteurs de R.o applelle produit mixte des vecteurs a i de détermiat de la famille (a i ) i das ue base orthoormale directe quelcoque B [x,..., x ]=det (a,..,a ) B si = [x,x ] représete l aire du parallèlogramme OACB avec OA = x, OB = x,et OC = x + x si =3 [x,x,x 3 ] représete le volume du parallélépipède OABCDEFG avec OA = x et OB = x, OC = x 3 et OG = x + x + x 3 f L(E), [f(x ),..., f(x )] = det(f) [x,..., x ] E particulier si =, ue applicatio liéaire multiplie ue aire (ou u volume si =3) par la valeur absolue de so détermiat. Il existe par exemple des applixcatios qui e sot pas des automorphismes orthogoaux et qui coservet les aires e dimesio : tel est le cas de l edomorphisme f dematricedaslabase caoique. Sur le shéma qui suit o a porté les poits A(0, 0),B(0, ),C(, ),D(, ),E(, 0) 0 et leurs images par f : l aire de la partie A est coservée. 8 lycée Dessaiges

82 x 3 Les automorphismes orthogoaux coservet bie etedu les aires ou les volumes, mais ce e sot pas les seuls! Produit vectoriel soiet u, v deux vecteurs de R 3. le produit vectoriel de u par v est l uique vecteur u v de R 3 qui vérifie x R 3, det(u, v, x) =(u v x) si les coordoées de u et v sot doées das la base caoique par u = u u u 3 et v = v v v 3,alors u v = u v u 3 v 3 u v u 3 v 3 u v u v = (u v u) =(u v v) =0 u v 3 u 3 v u v 3 + u 3 v u v u v 3.4 Automorphismes orthogoaux du pla Descriptio de O(R ) das le pla tout automorphisme orthogoal est soit ue reflexio, soit le produit de deux réflexios, c est à dire ue rotatio. Matrice das ue base orthoormée directe de la rotatio d agle θ la rotatio d agle θ est l automorphisme r θ de SO(R ) qui trasforme e =(, 0) e r θ (e )=(cosθ, si θ). Sa matrice das la base caoique B est cos θ si θ M B (r θ )= si θ cos θ Mesure de l agle orieté de deux vecteurs o uls soiet u, v deux vecteurs o uls. O appelle mesure de l agle (u, [ v) l uique réel θ modulo π tel que r θ ( u kuk )= v kvk O a alors, e otat θ = mes( (u, [ v)), les formules suivates: (u v) = kuk kvk cos θ [u, v] = kukkvk si θ x R, (u, \ rθ (u)) = θ +kπ remarque : par commodité o cofod souvet l agle (u, [ v) et sa mesure mes( (u, [ v)) 8 lycée Dessaiges

83 Matrice d ue réflexio soit s u la réflexio par rapport à la droite D = vect(u), pour u =cos( θ ).e +si( θ ).e. Alors s u (u) =cos(θ).e +si(θ).e et la matrice de s das la base caoique est doée par cos θ si θ M B (s) = si θ cos θ Composée de deux réflexios u et v état deux vecteurs uitaires, tels que θ = [ (u, v) o a alors s v os u = r θ 3.5 Automorphismes orthogoaux de l espace Agle de deux vecteurs de R 3 Soiet u et v deux vecteurs uitaires o coliéaires de R 3.Opose w = u v ku vk et u = u, v = w u La famille (u,v,w ) est ue base orthoormale de R 3.Leplavect(u, v) =vect(u,v ) est aisi orieté par le choix de la base orthoormale (u,v ), l orietatio correspodate de la droite vect(w) état alors doée par le vecteur u v. O appelle mesure de l agle de u et v la mesure de cet agle (u, [ v) pour cette orietatioduplavect(u, v). Attetio: il existe deux faços d orieter le pla vect(u, v), chacue de ces deux orietatios état associée à ue orietatio de la droite vect(w). Orieter le pla vect(u, v) reviet doc à choisir ue orietatio de l axe vec(u v) (paru v ou u v) Plus gééralemet o défiit l agle de deux vecteurs quelcoques x, y à l aide des vecteurs uitaires associés : e otat θ ue mesure de (x, [ y),oa: (x y) = kxk kyk cos θ kx yk = kxkkyk si θ Défiitio d ue rotatio par so axe et so agle Soit w u vecteur uitaire et θ R.Soitu u vecteur uitaire orthogoal à w et v = w u. La famille B =(u, v, w) st ue base orthoormale directe de R 3. O appelle rotatio d axe D = vect(w) et d agle θ l élémet r w,θ de SO(R 3 ) défii par cos θ si θ 0 mat B (r w,θ )= si θ cos θ Iversemet soit r ue rotatio différete de Id. L esemble des vecteurs ivariats par r est ue droite vectorielle vect(a)(a uitaire). De plus si b est u vecteur quelcoque o ul de (vect(a)), e otat θ l agle (b, \ r(b)) lorsque vect(a) est orietée par le choix du vecteur a, alors r est la rotatio d axe vect(a) et d agle θ : r = r a,θ : pour tout vecteur x de (vect(a)) oalaformule r(x) =cosθ.x +siθ.a x Plus gééralemet si x est u vecteur quelcoque de R 3, e décomposat le vecteur x par projectios selo vect(a) et (vect(a)),oa: x = (x a).a +(x (x a).a) avec x 0 =(x (x a).a) (vect(a)) r a,θ (x) = (x a).a +cosθ.x 0 +siθ.a x 0 La trace de la matrice de la rotatio r a,θ das ue base orthoormée directe est égale à tr(r) =cosθ + Exemple : détermier la matrice M das la base caoique de la rotatio d agle π/ et d axe orieté par e + e + e 3 83 lycée Dessaiges

84 ici a = 3 (,, ).Six =(x,x,x 3 ), avec les otatios précédetes avec (x a).a = x + x + x 3 3 x =(x a).a + x 0 (,, ) et x 0 =( x x x 3 3, x +x x 3 3 r a,θ (x) = x + x + x 3 (,, ) + a x 0 3 r a,θ (x) = x + x + x 3 (,, ) + ( x + x 3,x x 3, x + x ) 3 3 /3 ( 3)/3 (+ 3)/3 M = ( + 3)/3 /3 ( 3)/3 ( 3)/3 (+ 3)/3 /3 Caractérisatios des automorphismes de l espace par leurs vecteurs ivariats Soit f O(E) et F le sous-espace vectoriel des vecteurs ivaraits par f F =ker(f Id E ) dim(f )=3:dascecasf = Id E dim(f )=:dascecasf est la réflexio s F par rapport à F dim(f )=:dascecasf est ue rotatio d axe F dim(f )=0:dascecas f est ue rotatio, o dit que f est ue ati-rotatio, x x +x 3 ) 3 Exemple : quelle est la ature de l edomorphisme f de R 3 de matrice A = O remarque que A est ue matrice orthogoale puisque ses vecteurs coloes formet ue base orthoormale: de plus 7 rotatio f d axe 6 3 dot les équatios sot : = ker(f Id E ) x y 3z =0 3x y +z =0 x 3y z =0 doc cette base est directe : A représete aisi ue x = z y = z z = z l axe de la rotatio est doc F = vect(e + e e 3 ); o choisit alors de l orieter par le vecteur w = 3 (,, ) L agle θ vérifie cosθ +=tr(a) = 8 soit cos θ = 7 4 Pour trouver la valeur de θ, choisissos u vecteur uitaire de F u = (,, 0) et so image f( u )= 7 (8, 3, 5) O a u f( u )= 4 ( 5, 5, 5) = si θ. w doc si θ = fialemet θ = ar cos( ) pour cett orietatio de l axe F 4 4 Géomètrie euclidiee du pla et de l espace 84 lycée Dessaiges

85 4. Distaces, agles sous espaces affies orthogoaux, projectios orthogoales Deux sous espaces affies W = A + F et W 0 = A 0 + F 0 de l espace affie euclidie E sot orthogoaux lorsque les sous-espaces vectoriels F, F 0 qui les diriget sot orthogoaux. si F 0 = F o appelle projectio orthogoale sur W la projectio p W sur W parallélemet à F. elle est défiie par p w (M) =M 0 M 0 W et MM 0 F par exemple la projectio orthogoale sur le pla Π de R 3 d équatio cartésiee x y + z +=0 est l applicatio qui au poit M(x, y, z) associe le poit M 0 (x 0,y 0,z 0 ) tel que soit o obtiet λ = x + y z 3 M 0 Π et MM 0 Π = vect(e e + e 3 ) x 0 y 0 + z 0 +=0 λ R,x 0 x = λ,y 0 y = λ,z 0 z = λ et M 0 ( +x + y z, 3 +x +y + z, 3 x + y +z ) 3 Distace d u poit du pla à ue droite Soit D = A + vect( u ) ue droite du pla affie euclidie E où A est u poit et u u vecteur directeur de D. la distace d u poit M de E à D estégaleàladistacedem à la projectio orthogoale de M sur D. O l obtiet par la formule det( AM, u ) d(m,d) = u si D a pour équatio cartésiee das u repère orthoormé ax + by + c =0 alors la distace de M(x M,y M ) à D est doée par d(m,d) = ax M + by M + c a + b Distace d u poit de l espace à ue droitesoit D = A + vect( u ) ue droite du pla affie euclidie E où A est u poit et u u vecteur directeur de D. La distace d u poit M de E à D est égale à la distace de M à la projectio orthogoale de M sur D. O l obtiet par la formule det( AM, u ) d(m,d) = u si D a pour équatio cartésiee das u repère orthoormé ax + by + c =0 alors la distace de M(x M,y M ) à D est doée par d(m,d) = ax M + by M + c a + b Exercice: Détermier et recoaitre le lieu Γ des poits M(x, y) dot la distace à la droite d équatio x + y +=0est égale à la distace à l origie x + y + d(m,d) =, d(m,o) = x + y d ou M(x, y) Γ (x + y +) =(x + y ) d après le cours sur les coiques, o recoait la défiitio MF =qui caractérise la parabole de MH foyer O de directice D 85 lycée Dessaiges

86 3 y x parabole Γ Distace d u poit de l espace à ue droite Soit D = A+vect( u ) ue droite de l espac affie euclidie E où A.est u poit et u u vecteur directeur de D. La distace d u poit M de E à D est égale à la distace de M à la projectio orthogoale de M sur D. O l obtiet par la formule AM u d(m,d) = u Exercice: détermier l équatio cartésiee du cylidre droit de rayo,d axe la droite passat par O et dirigée par u = e + e + e 3. Il s agit du lieu des poits de l espace dot la distace à la droite est égale à d(m,d) = (y z) +(x z) +(x y) 3 = x + y + z = 3 + xy + xz + yz Distace d u poit à u pla de l espace Soit P = A+vect( u, v ) u pla de l espace affie euclidie E où A est u poit et u,vdeux vecteurs directeurs de P. La distace d u poit M de E à P estégaleàladistacedem à la projectio orthogoale de M sur P. O l obtiet e mesurat la projectio orthogoale de AM sur la ormale au pla P, dirigée par u v : d(m,p) = ( AM u v ) u v Lieu des poits tels que ( AM u )=k ou liges de iveau de M ( AM u ) Soit A u poit du pla et u u vecteur o ul de E. L esemble des poits M tels que ( AM u )=k est u sous espace affie de E dirigé par (vect( u )),dedimesiodim(e),(c est u hyperpla affie) et passat par le poit H de la droite A + vect( u ) tel que AH = 4. Isomètries du pla, de l espace k kuk u O appelle isomètrie affie toute trasformatio f de E qui coserve les distaces (M,N) E,d(f(M),f(N)) = d(m,n) Ue telle applicatio est caractérisée par le fait que so edomorphisme associé est u automorphisme orthogoal. O ote Is(E) l esmble de isomètries de E f Is(E) ϕ f O(E) 86 lycée Dessaiges

87 L esemble des isomètries de E forme u sous groupe de (GA(E),o) Déplacemet U déplacemet est ue isomètrie de E dot l edomorphisme associé est ue rotatio. L esemble des déplacemets est oté Is + (E).. Is + (E) est u sous groupe de (Is(E),o) f Is + (E) ϕ f SO(E) O appelle atidéplacemet toute isomètrie qui est pas u déplacemet Réflexio affie Soit A u poit de E et u u vecteur o ul de E. Si W = A +(vect( u )) o appelle réflexio par rapport à W l applicatio s W qui au poit M de E associelepoitm 0 tel que, I M état le milieu de (M,M 0 ), I M W et MM 0 vect( u ) soit: ( AI M u )=0et λ R, MM 0 = λ u la réflexio par rapport à W est u atidéplacemet dot l automorphisme associé est la réflexio vectorielle par rapport à (vect( u )). D autre part s W os W = Id E Par exemple das R 3, la réflexio de pla Π d équatio x y + z +=0est l applicatio qui au poit M(x, y, z) associe le poit M 0 (x 0,y 0,z 0 ) tel que si I =( x + x0, y + y0 I Π et MM 0 Π = vect(e e + e 3 ), z + z0 ) soit x + x 0 y y 0 + z + z 0 +=0 λ R,x 0 x = λ,y 0 y = λ,z 0 z = λ x +y z o obtiet λ = et 3 M 0 +x +y z +x + y +z x +y + z (,, ) Echage de deux poits par ue réflexio affie Soiet (A, B) deux poits de E. Il existe ue uique réflexio de E qui trasforme A e B. Cette réflexio se fait par rapport au sous-espace affie W = I M +(vect( AB)), I M état le milieu de [A, B] Rotatio affie Ue rotatio f de E est u déplacemet admettat au mois u poit fixe Ω. si dim(e) =, lorsque f 6= Id E, ce poit Ω est uique et s appelle le cetre de la rotatio.larotatio r Ω,θ de cetre Ω et d agle θ est doc caractérisée, si l o ote M 0 = r Ω,θ (M), par M E, ( ΩM, ΩM 0 )=θ et ΩM = ΩM 0 si dim(e) =3, lorsque f 6= Id E l esemble des poits ivariats de f est la droite passat par Ω et admettat pour directio la droite vectorielle formée des vecteurs ivariats de l edomorphisme ϕ f. Cette droite est l axe de la rotatio. La rotatio r,θ d axe orieté et d agle θ est caractérisée, e otat H = p (M) le projeté orthogoal du poit M sur et M 0 = r Ω,θ (M) M 0 H +, HM 0 = \ HM et ( HM,HM 0 )=θ 4.3 Similitudes plaes Ue similitude de R de rapport k est ue trasformatio affie f de E qui multiplie les distaces par u rapport k 6= 0 (M,N) E,d(f(M),f(N)) = k.d(m,n) 87 lycée Dessaiges

88 l edomorphisme ϕ f associé à f est le produit de k par u automorphisme orhogoal de E ϕ f = k.u et u O(E) Si u SO(E) (c est à dire est ue rotatio plae) alors f est ue similitude directe Ue similitude s de R de rapport k est la composée d ue isomètrie u (rotatio plae ou réflexio plae ) et d ue homothétie h de rapport k : s = hou si u est ue rotatio, la matrice de l edomorphisme associé à s est k 0 cos θ si θ k cos θ k si θ = 0 k si θ cos θ k si θ k cos θ ces matrices caractériset les similitudes directes si u est ue réflexio, la matrice de l edomorphisme associé à s est k 0 cos θ si θ k cos θ k si θ = 0 k si θ cos θ k si θ k cos θ ces matrices caractériset les similitudes idirectes si k 6=, la similitude f possède u uique poit fixe Ω appelé cetre. = a b b a = a b b a Lorsque la similitude est directe, elle est caractérisée par so cetre Ω, so agle θ et so rapport k. Elle s écrit s = h Ω,k or Ω,θ Ecriture complexe d ue similitude directe Soit s la similitude directe de cetre cetre Ω, d agle θ et de rapport k. Eotatω l affixe du poit Ω, z M l affixe du poit M et z M 0 l affixe du poit M 0 = s(m) o a z 0 = ke iθ (z w)+w 4.4 Cercles et sphères Soit D ue droite du pla et C le cercle de cetre A et de rayo r>0. si d(a, D) >r, D C = si d(a, D) <r, D C est costitué de deux poits disticts si d(a, D) =r, D C = {p D (A)} Soit P u pla de E et S la sphère de cetre A et de rayo r>0 si d(a, P ) >r, P S = si d(a, P ) <r, P S est u cercle de P si d(a, P )=r, D C = {p D (A)} Equatio cartésiee du cercle de cetre A et de rayo r (x x A ) +(y y A ) = r Equatio cartésiee de la sphère de cetre A et de rayo r (x x A ) +(y y A ) +(z z A ) = r Caractérisatio d u cercle où d ue sphère par u dimaètre das le pla le cercle C de diamètre [A, B] est caractérisé par: M C MA. MB =0 das l espace, la sphère S de diamètre [A, B] est caractéerisée par M S MA. MB =0 4.5 Coiques 88 lycée Dessaiges

89 Liges de iveau de MF MH Soit D ue droite du pla, F u poit qui appartiet pas à D et e u réel strictemet positif. O appelle coique de foyer F, de directrice D,et d excetricité e, le lieu Γ e,f,d des poits du pla tels que MF MH = e ou H = p D (M) est le projeté orthogoal de M sur la droite D Γ e,f,d = M E, MF MH = e lorsque e<, Γ e,f,d est ue ellipse, losrque e =il s agit d ue parabole,etsie> c est ue hyperbole. L ellipse x a +y b = a>b>0. Γ admet pour excetricité e = c a, pour foyers F,(±c, 0) pour excetricité c = a b,et pour directrice D, : x = ± a c. O remarque que F M + F M =a, cette relatio caractérisat par ailleurs complètemet Γ c est la défiitio bifocale,à l origie de la méthode dite du jardiier pour tracer l ellipse Paramètrage de l ellipse : x = a cos(t),y = b si(t),t [0, π] Exemple: x 4 + y = a =, b =, c = 3, F(± 3, 0), D : x = ± 4 3 y x - - L hyperbole x a y b = Γ admet pour excetricité e = c a, pour foyers F (±c, 0) pour c = a + b,et pour directrice D, : x = ±, les asymptotes, 0 : y = ± b a x Paramètrage de l hyperbole : x = a.ch(t), y = b.sh(t), t [0, π] Exemple: x 4 y = a =, b =, c = 5, F(± 5, 0), D : x = ± 4,asymptotes y = ± x 5 89 lycée Dessaiges

90 4 y x O ote que F M F M =a, relatio qui caractérise par ailleurs complètemet Γ La parabole y =px Γ admet pour excetricité e =, pour foyer uique F ( p, 0), pour directrice uique D : x = p Paramètragedelaparabolex = t p,y = t Exemple : y = x p =, F =(, 0 ), D : x = 3 y x Courbes du pla 5. courbe défiie par ue représetatio cartésiee Soit E u pla affie euclidie et R =(O, i, j ) u repère orthoormal de E. Soiet d autre part I u itervalle de R et ϕ, ψ deux foctios de classe C k sur I,aveck L applicatio f : I E t 7 OM(t) où le poit M(t) E est défii par OM(t) =ϕ(t) i + ψ(t) j = f(t) défiit u arc paramétré Γ de classe C k ( e fait l arc Γ est le couple (I,f) ) Le poit M 0 = M(t 0 ) est dit régulier sur Γ lorsque df dt (t 0)=ϕ 0 (t 0 ) i + ψ 0 (t 0 ) j 6= 0 Das le cas cotraire, M 0 est u poit sigulier 90 lycée Dessaiges

91 df La Tagete à Γ e u poit régulier M 0 est la droite passat par M 0 et digée par dt (t 0) df tagete au poit M(t 0 ): = M(t 0 )+vect( dt (t 0)) La Demi-tagete à droite (resp à gauche) e u poit sigulier M 0 de Γest défiie comme la droite passat par M 0 et dirigée par M(t 0 )M(t 0 + h) u = lim h 0 + (resp0 ) M(t 0 )M(t 0 + h) demi-tagete au poit M(t 0 ): = M(t 0 )+vect( u ) Exemple ; x(t) = t t +,y(t) = t t + x 0 (t) = est du sige de t t (t+) y 0 (t) = t(t+) est du sige de t(t +) (t+) si t 6= 0, f 0 (t) 6= 0 :seul le poit M(0) = A(, 0) est sigulier t x 0 (t) x(t)... & 3 & + & % y(t) % 4 & + & 0 % + y 0 (t) asymptotes : pour t pour t ( t t +, t t + ) x =est asymptote verticale y(t) lim t x(t) = et la droite d équatio lim t y(t)+ x(t) = t + lim t t t + y = x 3 est asymptote à Γ pour t tagete au poit sigulier M(0) = A(, 0) = 3 9 lycée Dessaiges

92 M(0)M(h) = doc h e + h + lim h 0 + h h +. e doc h4 +4h M(0)M(h) = h + M(t 0 )M(t 0 + h) M(t 0 )M(t 0 + h) =. e, lim h 0 l axe ( 0x) est doc taget à la courbe Γ au poit A. 5. Courbe défiie par ue représetatio implicite h 0 h M(t 0 )M(t 0 + h) M(t 0 )M(t 0 + h) =. e Soit F :(x, y) F (x, y) ue applicatio de classe C k défiie sur u ouvert U de R,dotlegradiet grad(f )(x, y) = ( F F (x, y), (x, y)) x y est o ul e tout poit de U L esemble Γ = {M(x, y), (x, y) U et F (x, y) =0} est ue partie du pla appelée courbe implicite d équatio F (x, y) =0 E tout poit M 0 Γ la ormale N à Γ est la droite passat par M 0 et dirigée par le vecteur grad(f )(M 0 ) : N = M 0 + vect( grad(f )(M 0 )) La tagete T à Γ au poit M(x 0,y 0 ) a pour équatio: (x x 0 ) F x (M 0)+(y y 0 ) F y (M 0)=0 par exemple cosidéros l ellipse d équatio x + y =0au poit M 0 =(, ) grad(f )(M 0 )= (, ): la ormale est dirigée par (, ) et la tagete a pour équatio cartésiee (x ) + (y ) = 0 4 y x Courbe défiie par ue équatio polaire Repère polaire Soit θ R. O appelle repère polaire d agle θ le repère (O, u (θ), v (θ)) avec u (θ) =cosθ. e + si θ. e et v (θ) = si θ. e +cosθ. e u(θ) = v(θ) v (θ) et = u (θ) θ θ 9 lycée Dessaiges

93 Equatio polaire d u arc Soiet ρ et θ deux foctios de classe C k sur l itervalle I. O cosidère le poit P (t) défii pour toutes les valeurs t I par OP(t) =ρ(t). u (θ(t)) () lorsque la foctio θ est bijective de I das J, e posat θ = θ(t), P (t) =M(θ) et r(θ) =ρ(θ (θ)) l équatio () est équivalete à θ J et OM(θ) =r(θ). u (θ) () l équatio () est ue équatio polaire de l arc Γ = {P (t),t I} = {M(θ), θ J} Tagete à Γ e u poit différet de l origie O La tagete à Γ au poit M(θ 0 ) 6= O est dirigée par le vecteur o ul M θ (θ 0)=r 0 (θ 0 ). u (θ 0 )+r(θ 0 ). v (θ 0 ) \ E otat V = (u(θ 0 ), M θ (θ 0)) ta(v )= r(θ 0) r 0 (θ 0 ) cette valeur permet de récupérer l agle V et aisi de tracer la tagete à Γ Tagete à Γ e O = M(θ 0 ) La tagete à Γ au poit M(θ 0 )=O est dirigée par le vecteur u (θ 0 ) symétries de Γ r( t) =r(t) symétrie par rapport à l axe (Ox) :M( t) =s Ox (M(t)) r( t) = r(t) symétrie par rapport à l axe (Oy) :M( t) =s Oy (M(t)) r(π t) =r(t) symétrie par rapport à l axe (Oy) :M(π t) =s Oy (M(t)) r(π t) = r(t) symétrie par rapport à l axe (Ox) :M(π t) =s Ox (M(t)) r(π + t) =r(t) symétrie par rapport au poit O : OM(t + π) = OM(t) r(π + t) = r(t) o retrouve le même poit!: M(t + π) =M(t) exemple : r(θ) =si(θ): O étudie le poit M défii par OM(θ) =si(θ). u (θ) r(θ +π) =r(θ) : l étude se fait sur u itervalle de logueur π r(θ + π) =r(θ): la courbe présete ue symétrie par rapport à O. r( θ) = r(θ): la courbe présete ue symétrie d axe Oy si l o étudie Γ sur u l itervalle [0, π/], e procédat à la symétrie s Oy et la symétrie cetrale s O o récupère la courbe e etier : M r 0 (θ) =cos(θ): θ =cos(θ) u (θ)+si(θ). v (θ) o a doc ta(v )= si(θ) cos(θ) θ 0.. π/4...π/ r 0 (θ) + 0 r(θ) 0 % & 0 ta(v ) la tagete au poit M(π/4) est doc caractérisée par V = π/ puisque r(0) = r(π/) = 0, la tagete au poit M(0) = O de Γ est la droite (Ox) =O + vect( u (0)) 93 lycée Dessaiges

94 et la tagete au poit M(π/) = O est la droite (Oy) =O + vect( u (π/)) r(θ) =si(θ) 6 Propriétés mètriques des courbes plaes paramètrées Abscisse curvilige Soit Γ l arc paramètré pla défii par la foctio f de classe C k : t I f(t) = OM(t) Lorsque Γ e cotiet aucu poit siguliers,la foctio t f 0 (t) est strictemet positive sur I L abscisse curvilige sur Γ avec origie e t 0 I est l applicatio s défiie par: t s : t I s(t) = f 0 (u) du ds dt = f 0 (t) La logueur de l arc Γ etre les paramètres t = t 0 et t = t est doée par t L = f 0 (u) du t 0 E particulier l abscisse curvilige sur Γ avec origie e t 0 représete la logueur algèbrique de la partie de l arc Γ comprise etre les valeurs t 0 et t du paramètre si l arc est doé e coodoées cartésiees M(t) =(x(t),y(t)) alors L = x 0 (u)+y 0 (u)du t 0 Si l arc Γ est doé e coordoées polaires OM(θ) =r(θ). u(θ) L = t θ 0 θ t 0 r (θ)+r 0 (θ)dθ L abscisse curvilige s défiit u ouveau paramètrage de l arc Γ, appelé paramètrage ormal. O le ote s M(s). Avec ce ouveau paramètre s, le vecteur dérivé est uitaire ( la vitesse du poit M est costate par rapport au paramètre s ) M = s exemple : OM(t) =cos(t).e +(t si(t)).e ds dt = si t +( cos t) = cost= si( t ) 94 lycée Dessaiges

95 E preat l origie e t =0, au poit A(, 0), o a doc s(t) = 0 t si( u )du =4 4cos(t ) _ s(t) représete la logueur de l arc AM (t) voici la courbe correspodate appelée cycloïde (ici à l evers, cette courbe est celle décrite par u poit lié à la circoférece d u cercle qui roule sas glisser sur u axe ) cycloïde exemple : OM(θ) =(+cos(θ)). u(θ) r 0 (θ) = si θ ds dθ = +cosθ= cos( θ ) E preat l origie e θ =0au poit A(, 0) o obtiet voici la courbe correspodate s(θ) = 0 θ cos( u ) du =4si(θ ) cardioïde Repère de Freet Le vecteur dm T = est u vecteur uitaire taget au poit M(t) à l arc Γ; o le omme le premier ds vecteur de Freet. le vecteur uitaire ormal à T, tel que la base ( T, N ) soit orthoormale directe est appelé secod vecteur de Freet le repère (M(t), T, N ) est le repère de Freet Le vecteur T peut s écrire T =cos(α(t)). e +si(α(t)). e où la foctio α est ue foctio de classe C k. α(t) représete l agle ( e \, T ). 95 lycée Dessaiges

96 Das ce cas le vecteur N s écrit N = si(α(t)). e +cos(α(t)). e Si M(x, y) est le poit courat de Γ alors dx ds =cos(α(t)), Courbure d u arc La courbure de l arc Γ au poit M(t) est le réel O a les deux formules de Freet γ = dα ds dy ds =si(α(t)) dt = γ. N ds dn = γ. T ds Rayo de courbure Le rayo de courbure e M(t) est l iverse de la courbure e M(t) R = γ exemple : cherchos le rayo de courbure e u poit de la cardioïde r =+cosθ O a T = dm ds = dθ ds dm dθ = cos( θ ( si(θ). u(θ)+(+cos(θ)). v(θ)) ) θ T = si( ) u(θ)+cos( θ ) v(θ) =cos( θ + π ). u(θ)+si( θ + π ) v(θ) θ + π T = cos(θ + ). e +si(θ + θ + π ). e Doc γ = dα ds =dα dθ dθ ds = 3 4cos( θ ) α(t) = 3θ + π 4cos( θ R = ) 3 ce rayo correspod à celui du cercle taget à Γ qui représete localemet la meilleure approximatio de cet arc. Par exemple au poit M(0) = A(, 0), ce cercle a pour rayo 4 3 etilestcetrésurl axeoxau poit Ω( 3, 0) de même au poit M(π/) = B(0, ), le rayo de courbure est égal à,le vecteur ormal est 3 N = e + e. Le cetre cercle a pour rayo 4 3 et il est cetré au poit Ω0 ( 3, 3 ) 96 lycée Dessaiges

97 y x.5 - cardioïde et cercles de courbure 97 lycée Dessaiges

98 Nombres Réels Suites de ombres réels - Suites covergetes - Suites divergetes vers ± -3 Relatios de comparaiso -4 Suites usuelles 3 Foctios réelles d ue vaeriable réelle 3- Etude locale 3- Table des Matières 98 lycée Dessaiges