Programme de Mathématiques en MPSI FORMULAIRE, DEFINITIONS ET THÉORÈMES 1

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1 MPSI-MP Aée Programme de Mathématiques e MPSI FORMULAIRE, DEFINITIONS ET THÉORÈMES Nombres réels R est u corps commutatif totalemet ordoé, c est à dire u esemble mui de deux lois + et, telles que (R, +) soit u groupe commutatif, (R, +, ) u aeau itègre das lequel tous les élémets o uls sot iversibles. R est mui d ue relatio d ordre total 6 ( x6y y x R + ) compatible avec l additio (x6y x + a6y + a) et la multiplicatio par u réel positif. (x6y et a>0 xa6ya) Soit A R ue partie de R. O dit que A admet ue bore supérieure das R lorsqu il existe a R tel que a soit le plus petit élémet de l esemble des majorats de la partie A,c estàdire x A, x6a et b <a, x A, b < x Lorsqu elle existe, cette bore supérieure est uique. Elle est otée sup(a). O défiit de faço symétrique la otio de bore iférieure. Par exemple, si A = +, N sup(a) =, if(a) =mi(a) = exemple. o vérifie: : oter que A e possède pas de plus grad élémet pour cet O itroduit par commodité l esemble R = R {, + }, afi de pouvoir étedre la otatio sup(a) à toute partie o vide de R : par exemple sup(n) =+ Théorème d existece de la bore supérieure das R Das R, toute partie o vide et majorée admet ue bore supérieure. O peut éocer u résultat aalogue pour les parties o vides et miorées qui admettet ue bore iférieure. I est u itervalle de R I est ue partie covexe de R,c estàdire: (x, y) I, λ [0, ], λx +( λ)y I Exemple I =], 5] Iégalités triagulaires: (x, y) R, x y 6 x + y 6 x + y O obtiet x y 6 x + y à partir de x 0 + y 0 6 x 0 + y 0 e posat x 0 = x + y et y 0 = x de même (x, y) R, x y 6 x + y Cogruece modulo u réel a strictemet positif: Soit a>0:deux réels x et y sot cogrus modulo a ssi y x a.z = {ka, k Z} O motre que tout réel x est cogru modulo a à u seul réel y apparteat à l itervalle [0,a[: x R,! Z,!y [0,a[,x= a + y Seuls les résultats sot éocés, sas démostratios, mais accompagés d exemples. Il e s agit pas d u cours mais plutôt d u recueil de défiitios, qui peut permettre par so caractère abrupt de vérifier que l o a bie compris tel ou tel cocept. lycée Dessaiges

2 Exemple: mod Partie etière d u réel: lorsque a =, l etier relatif est appelé partie etière de x, otée = E(x) et y = x E(x) est parfois appelé la partie fractioaire de x. x R,x x E(x)mod O retiedra: E(x) Z et E(x)6x <E(x)+ Remarque : O retrouve l etier défii plus haut das la cogruece modulo a par x = a + y àl aide de la partie etière : o a e effet = E( x a ) Valeur décimale approchée par défaut d u réel: soit x [0, [ et u etier aturel o ul:!(a,..., a ) {0,,,...,9}, si y = k= a k 0 k, alors y6x <y+0 y est la valeur décimale approchée par défaut de x à 0 près. De plus k {,.., },a k = E(0 k x) 0E(0 k x) par exemple si x = =0, alors a =4,a =,a 3 =4 Isomorphisme du groupe (R, +) das le groupe (R +,.) La foctio expoetielle établit u isomorphisme de groupe de (R, +) das (R +,.), dot l isomorphisme réciproque est la foctio logarithme épérie (x, y) R, exp(x + y) =exp(x) exp(y) (x, y) R +, l(xy) =l(x)+l(y) Attetio, isomorphisme de groupe est u terme qui,isolé, e veut rie dire : il faut bie préciser la structure de groupe (A,..) de départ et la structure de groupe (B,T..) d arrivée ( e fait préciser les lois ) et e pas oublier bie sûr de vérifier le caractére bijectif de l applicatio aisi que le respect des lois,t Suites de ombres réels Ue suitedeombreréelsest ue applicatio de N das R. L esemble des suites de ombres réels est oté R N. O ote u R N ou (u ) N R N. Soit u ue suite de ombres réels u est majorée (resp miorée) ssi M R, N,u 6M (resp u >M) u est borée ssi M R +, N, u 6M ce qui reviet à dire qu elle est à la fois miorée et majorée u est croissate (resp décroissate) si N,u + u >0 (resp u + u 60) O appelle suite extraite de (u ) N toute suite (v ) N =(u ϕ() ) N formée de certais termes de la suite u, extraits à l aide d ue foctio ϕ : N N strictemet croissate. Si u est borée, toutes ses suites extraites le sot. De même si u est mootoe, il e va de même de toutes ses suites extraites. Par exemple, la suite (u =(+( ) )) N est miorée, o majorée, o mootoe. Sa suite extraite ( u + ) obteue pour ϕ() = +est costate égale à 0. lycée Dessaiges

3 . Suites covergetes La suite u R N est covergete vers a R lorque ε > 0, N N, >N, u a 6ε Par exemple la suite u = est covergete vers + Notatio: lim u = a: lim u = a lim u a =0 Remarque : il est équivalet de dire lim u =0ou lim u =0 Ue suite est covergete s il existe u réel a tel que lim u = a Sio elle diverge. Par exemple la suite u =(+( ) ) diverge Toute suite covergete est borée Les suites covergetes formet u sous espace vectoriel de R N. De plus: Si lim u = a et lim v = b alors (λ,µ) R (λu + µv ) N coverge et lim λu + µv = λa + µb Les suites covergetes vers 0 formet u sous espace vectoriel de R N.Deplus Si lim u =0et si v est borée alors + Lorsqu ue suite coverge vers a>0, N N, >N,u > 0 lim v u =0 + Si ue suite (u ) N coverge vers a, toute suite extraite de u coverge vers a.. Suites divergetes vers + (resp - ) La suite u diverge vers + (resp - ) ssi A R, N N, >N, A6u (resp u 6A) Attetio, ue suite qui diverge e diverge pas forcémet vers + ou - comme le motret les exemples u =(+( ) ), v =cos() Si ue suite (u ) N diverge vers +, toute suite extraite de u diverge vers + Les suites obéisset aux règles suivates e ce qui cocere les iégalités Si lim v =0 et si N N, >N, u 6 v alors lim u =0 + + Si lim u =+ et si N N, >N,u 6v alors lim v =+ + + Si lim u = lim w = a et si N,u 6v 6w,alors lim v = a Suites de référeces a, α a < lim a =0, a > lim a =+ α < 0 lim α =0, α > 0 lim α =+.3 Relatios de Comparaiso Etat doée ue suite (v ) de ombres réels o uls, et ue suite (u ) de ombres réels: u est domiée par v lorsque 3 lycée Dessaiges

4 O ote u = O (v ) (grad O ) u est égligeable devat v lorsque: A R +, N, u v 6A ce qui reviet à dire que : Si u ε > 0, N N, >N, lim (u )=0 v O ote u = o (v ) (petit o) La suite u est équivalete à la suite v lorsque u v = ε > 0, N N, N, u v ε v Ou ecore lorsque v e s aulle pas: O ote u v v et a b alors a u lim (u )= v b v et a u Si u = a + b et b = o (a ) alors u a Attetio de e pas ajouter deux équivalets Observer le cotre exemple suivat : + u v 6ε o (v ), ce qui reviet à dire que : b v + et + cepedat est pas équivalet à + Ue erreur très répadue est de croire que si deux suites sot équivaletes et si l ue est croissate à partir d u certai rag l autre aussi : o peut se covaicre du cotraire grâce au cotre-exemple u =, v = +( ) Voici le tableau des Croissaces comparées 0 <a<b a = o(b ) soit lim( a b )=0 <aet α R α = o(a ) soit lim(a α )=0 a < et α R a = o( α ) soit lim(a α )=0 α > 0 et β R (l()) β = o( α ) soit lim( α (l()) β )=0 α < 0 et β R α = o((l()) β ) soit lim( α (l()) β )=0 a R et α R α = o(!) et a = o(!) soit lim( a! )=lim (α! )=0 La hiérarchie est doc la suivate lorsque a> et α > 0, la suite factorielle domie a et α,lasuite a domie α,etlasuite α domie les suites (l()) β Si u v alors u et v sot de même sige à partir d u certai rag..4 Suites usuelles 4 lycée Dessaiges

5 Suites arithmétiques Suites géométriques u + = u + r u = u 0 + r u k = ( p +) u p + u k=p k= k = ( +) u + = qu u = q u 0 q p+ u k = u p q k=p k=0 q k = q+ q si q 6= Suites arithmético-géométriques (q 6= ) u + = qu + r (u + l) =q(u l) avec l = lq + r u = q (u 0 l)+l Exemple: u + =u +et u 0 =. O cherche le poit fixe l de la foctio f(x) =x +qui est ici égal à -, puis u += (u 0 +)soit u = + Sommes usuelles k=0 k=0 k = k 3 = ( ( + )( +) 6 k= k) = ( +) 4 Suites homographiques u + = au + b cu + d ces suites peuvet s étudier e cherchat les solutios l,l de l équatio l = al + b cl + d, puis e se rameat lorsque l 6= l à la suite v = u l, qui vérifie u l ce qui permet d expliciter u v + = l l v Théorème de la limite mootoe : Toute suite croissate de ombres réels qui est majorée est covergete :oaalors lim u =sup { u, N} L éocé subsiste pour les suites décroissates et miorées, et lim u =if { u, N} Théorème des suites adjacetes: Si deux suites u, v vérifiet : u croissate, v décroissate et lim v u = 0,alors N,u 6v et les deux suites u et v coverget vers la même limite l;deplus (, p) N, u 6 l 6 v p 5 lycée Dessaiges

6 Théorème des segmets emboités :SoitI =[u,v ] ue suite d itervalles fermés borés o vides de R, décroissate pour l iclusio ( N,I + I ) :alors N I 6= Cas particulier des suites dichotomiques :silasuitei =[u,v ] vérifie: alors N, I + =[u, u + v l R, N ] ou I + =[ u + v,v ] I = {l} Théorème de Bolzao-Weierstrass :Silasuiteu R N est borée, il existe ue suite extraite de u qui coverge das R. 3 Foctios réelles d ue variable réelle Soit A ue partie de R: ooter A l esemble des foctios de A à valeurs das R. (Remarque: cette otatio a pour origie le cas ou A est u esemble fii A = {x,..,x } de cardial, puisqu alors ue applicatio f de A das R est caractérisée par le -uplet {y = f(x ),..., y = f(x )} R. O retrouve aisi les suites réelles de R N comme applicatios de N das R. C est d ailleurs comme cela qu il faut les voir...) Cet esemble est mui des trois lois usuelles suivates : si f et g sot deux foctios apparteat à R A et si λ R,alors + additio des foctios: x A, (f + g)(x) = f(x)+g(x), produit des foctios: x A, (f g)(x) =f(x)g(x). produit d ue foctio par u scalaire x A, (λ.f)(x) =λf(x) Aisi défiies, ces lois fot de (A, +,,.) ue R algèbre commutative, dot le vecteur ul est la foctio costate égale à 0 otée 0:(x A 0) et l élémet uité est la foctio costate égale à, otée (x A 7 ) Ue foctio f R A est majorée, miorée, borée si (respectivemet) M R +, x A, f(x)6m (majorée) ou M R +, x A, f(x)>m (miorée) M R +, x A, f(x) 6M (borée) L esemble des foctios borées forme ue sous-algèbre de R A f admet e x 0 u maximum absolu sur A (resp miimum absolu sur A) ssi O ote respectivemet x A, f(x)6f(x 0 ) (resp f(x)>f(x 0 )) f(x 0 )=max{f(x),x A} =max x A f(x 0 )=mi{f(x),x A} =mi x A f(x) =max f A f(x) =mi f A f admet e x 0 u maximum local sur A(resp miimum local) ssi α > 0, x A ]x 0 α,x 0 + α[, f(x)6f(x 0 ) (resp f(x)>f(x 0 )) O ote sup(f(x),x A) =sup(f) la bore supérieure d ue foctio défiie sur A: Il s agit d u A élémet de R. Si f est majorée sur A il s agit d u élémet de R Ue foctio est dite croissate (resp strictemet croissate)sura ssi (x, y) A,x6y f(x)6f(y) (resp x<y f(x) <f(y)) Attetio : le caractère cotiu ( o discret ) de R e permet pas, comme pour les suites, de se rameer 6 lycée Dessaiges

7 à comparer l image d u élémet de A avec celle de so successeur ( quel est le successeur d u réel...) O défiit de même les foctios décroissates. Foctios paires, impaires si A est ue partie de R symétrique par rapport à 0, ue foctio f R A est dite paire ssi x A, f( x) =f(x) Elle est dite impaire ssi x A, f( x) = f(x) La parité d ue foctio se réduit géométriquemet au fait que so graphe est symétrique par rapport à la droite x =0, l imparité se traduit par le fait que le graphe est symétrique par rapport au poit O(0, 0). L esemble P A (resp I A ) des foctios paires sur A (resp impaires sur A) est u sous-espace vectoriel de R A. Toute foctio f défiie sur A est somme d ue foctio paire p et d ue foctio impaire i appelées respectivemet les partiespairesetimpairesde f x A, f(x) =p(x)+i(x) avec p(x) = f(x)+f( x) f(x) f( x),i(x) = Cette écriture est uique, ce que l o peut traduire par le fait que les deux sous espaces P A et I A sot e somme directe P A I A = R A O peut remplacer das ces défiitios 0 par u autre réel a, ce qui reviet à remplacer la foctio x 7 f(x) par la foctio x 7 f(x a) E particulier: la symétrie par rapport à la droite x = a se traduit par : x A, f(a x) =f(x + a) ecore équivalet f(x) =f(a x) U cetre de symétrie e A(a, 0) se traduit par x A, f(a x) = f(x + a) ou ecore f(x) =f(a x) Soit T>0. Ue foctio défiie sur ue partie I est dite T périodique si x I,x + T I et x T I et f(x + T )=f(x) O e déduit que (x, k) I Z, f(x + kt) = f(x). La foctio f est alors défiie par sa valeur sur les élémets I [0,T[ grâce à la cogruece modulo T. Par exemple la foctio f(x) =d(x, Z) =if( x, Z) qui doe la distace d u réel x à l esemble Z des etiers relatif est -périodique et paire. O peut recostruire cette foctio e doat sa valeur sur l itervalle I =[0, 0.5] :cette valeur est évidemmet f(x) =x ce qui doe le graphe suivat x lycée Dessaiges

8 Exercice: démotrer que f est défiie sur R par f(x) = x E(x + ) Ue foctio est Lipchitziee de rapport k>0 sur l itervalle I ssi (x, y) I, f(x) f(y) 6k x y 3. Etude locale d ue foctio Ue applicatio f de I das R admet la limite a R lorsque x ted vers x 0 R lorsque V a T a, W x0 T x0, x W x0 I, f(x) V a Notatio: limf(x) =a x x0 Das cette défiitio, si b R, T b désige l esemble des itervalles ouverts voisiages de b défiis comme suit : b R : T b = {]b α,b+ α[, α > 0} b = : T = {],m[,m R} b =+ : T + = {]m, + [,m R} Il faut doc compredre que la défiitio précédete se développe comme 9 défiitios différetes. La défiitio pour a et x 0 réels doe par exemple: ε > 0, α > 0, x ]x 0 α,x 0 + α[ I, f(x) ]a ε,a+ ε[ ou ecore e termes de valeurs absolues ε > 0, α > 0, x x 0 < α et x I f(x) a < ε f est cotiue au poit x 0 R si et seulemet si x 0 I et lim x x0 f(x) =f(x 0 ) ceci se traduit par ε > 0, α > 0, x x 0 < α et x I f(x) f(x 0 ) < ε α s appelle le module de cotiuité locale e x 0, il déped bie etedu à la fois de x 0 et de ε : e clair f(x) est aussi proche que l o veut de f(x 0 ) pourvu que x soit assez proche de x 0 f admet u prologemet par cotiuité e x 0 si a R, lim f(x) =a x x0 la foctio prologée f est égale à f sur I et de plus f(x 0 )=a et x 0 / I f est alors cotiue e x 0 Toute foctio admettat ue limite fiie a e u poit est borée das u voisiage de ce poit. ue foctio qui est borée au voisiage d u poit admet pas forcémet de limite e ce poit comme le prouve l exemple f(x) =si( x ) sur ]0, ] pour x 0 =0 Les foctios obéisset aux propriétés usuelles des limites (voir suites) Si la foctio f est cotiue au poit x 0 et si la suite (u ) N coverge vers x 0, alors la suite (v = f(u )) N coverge vers f(x 0 ) Caractérisatio séquetielle de la cotiuité: Solutio: poser g(x) = x E(x + ). Démotrerquelafoctiog est périodique et vérifie: x [ /, /[,g(x) = x = f(x) 8 lycée Dessaiges

9 f est cotiue au poit x 0 si et seulemet si pour toute suite (u ) N qui coverge vers x 0, alors la suite (v = f(u )) N coverge vers f(x 0 ). Remarque: il peut être parfois utile d utiliser cette caractérisatio de la cotiuité pour démotrer qu ue foctio est cotiue e u poit. Théorème de la limite mootoe: Soit f ue foctio croissate (resp décroissate) sur l itervalle I =]α, β[ R. Alors sif est majorée sur I (resp miorée sur I), elle admet ue limite à gauche l = lim f(x) R e β x β de plus l = lim f(x) =sup(f(x)) respectivemet l = lim f(x)= if (f(x)) x β x I x β x I siolim f(x) =+ respectivemet lim f(x) = x β x β 3. Relatios de comparaisos Soit x 0 R, f et g deux foctios défiies sur u itervalle I coteat ]x 0 r, x 0 [ou ]x 0,x 0 +r[ ou la réuio des deux, o défiit les relatios de comparaisos suivates f est égligeable devat g e x 0 ssi ε > 0, α > 0, x I {x 0 }, x x 0 < α f(x) 6ε g(x) ceci se ote f(x) = o g(x) x x 0 cela reviet, si g e s aule pas localemet au voisiage de x 0, à: lim x x 0 x6=x 0 f(x) g(x) =0 f est domiée par g e x 0 ssi A >0, α > 0, x I {x 0 }, x x 0 < α f(x) 6A g(x) ceci se ote f(x) = O g(x) x x0 celà reviet, si g e s aule pas localemet au voisiage de x 0, à dire que la foctio x 7 f(x) g(x) au voisiage de x 0 f est équivalete à g e x 0 ssi f(x) g(x) = o x x 0 g(x) ceci se ote f(x) g(x) x x0 cela reviet, si g e s aule pas localemet au voisiage de x 0, à: f(x) g(x) = lim x x 0 x6=x 0 Si f(x) x0 g(x) et a(x) x0 b(x) alors a(x)f(x) x0 b(x)g(x) et a(x) f(x) x 0 b(x) g(x) est borée Si f(x) =a(x)+b(x) et b(x) =o( a(x)) alors f(x) b(x) x x0 0 Attetio à e pas ajouter les équivalets (voir suites ), i à tirer des coséqueces sur la mootoie locale d ue foctio à partir d u équivalet. 9 lycée Dessaiges

10 Si f(x) g(x) et si g est positive sur u voisiage de x 0,alorsf est égalemet positive sur u certai x0 voisiage de x 0 (qui est pas forcémet le même ) 3.3 Relatios de comparaisos des foctios usuelles e + α < β e αx = o (e βx ) soit lim )=0 + eβx α R et β R + x α = o (e βx ) soit lim(x e βx )=0 + + α < β x α = o (x β ) + soit lim x α β =0 + α > 0 et β R (l(x)) β = o (x α ) + soit lim x α (l(x)) β =0 + α < β x β =o (x α ) 0 soit lim x β α =0 0 + ( eαx α > 0 et β R (x) α =o 0 (l(x) β ) soit lim 0 x α (l(x)) β =0 O peut reteir de faço simple que les expoetielles domiet toujours sur les puissaces et que les puissaces domiet toujours sur le logarithme (et les puissaces du logarithme) das les problèmes de coflits de limites du type 0, Attetio de bie rester das le cadre d applicatio du théorème : par exemple e pas proposer e l(x) lim =+!!!! x + x sous prétexte que l expoetielle l emporte sur la puissace. E effet ici e l(x) = exp[ l(x) l(x)] = exp[ l(x)( l(x))] 0 x x + f admet u développemet limité à l ordre e x 0 si et seulemet si il existe +réels a 0,..., a,u itervalle ]x 0 α,x 0 + α[ (ou]x 0 α,x 0 [ ou ]x 0,x 0 + α[ )et x ]x 0 α,x 0 + α[, f(x) = Foctio x au voisiage de x =0 x u = k=0 +u = 3.4 Foctio cotiue sur u itervalle k=0 k=0 u k + a k (x x 0 ) k + o u 0 (u ) ( ) k u k + o u 0 (u ) o x x 0 (x x 0 ) Ue foctio f défiie sur l itervalle I est cotiue sur I ssi elle est cotiue e tous les poits de I ( cotiuité à droite ou à gauche s il s agit d ue extrémité de I qui appartiet à I) L image d u itervalle I par ue foctio f cotiue sur I est u itervalle J = f(i) L image d u itervalle fermé boré I =[a, b] par ue foctio cotiue sur I est l itervalle fermé f(i) = [α, β] : ceci reviet à dire que la foctio f est borée et atteit ses bores supérieures et iférieures sur le compact [a, b] Si f est cotiue et strictemet croissate sur l itervalle I =]a, b[,alors J = f(i) =] lim f(x), lim f(x)[ x a + x b et f réalise ue bijectio de I das f(i): 0 lycée Dessaiges

11 De plus la bijectio réciproque f de f est elle même cotiue sur J et de même mootoie que f :so graphe das le p^la rapporté à u repère orthoormé est obteu par la symétrie orthogoale par rapport àlapremièrebissectriceappliquée au graphe de f. O a u éocé aalogue si f est strictemet décroissate Ue foctio f défiie sur I à valeur das R est uiformémet cotiue sur I ssi ε > 0, α > 0, (x, y) I, x y < α f(x) f(y) < ε ceci reviet à dire que o seulemet f est cotiue e tout poit de I, mais que de plus le module de cotiuité locale de f e chaque poit de I e déped que de ε. Par exemple la foctio x 7 x est uiformémet cotiue sur [0, + [ E effet supposos 06y6x et x y < α. O a doc ou bie 06x6α das ce cas x y 6 x6 α ou bie α <xet das ce cas x y x y x y = 6 6 α = α x + y x α Il suffit doc de choisir α = ε qui est doc u module de cotiuité uiforme sur [0, + [ pour cette foctio. Théorème de Heie : Toute foctio cotiue sur u compact y est uiformémet cotiue 4 Nombres complexes 4. Corps des ombres complexes C = {a + ib, (a, b) R } est u corps commutatif,dot R est u sous-corps, lorsqu il est mui des deux lois de compositio iteres: (a + ib)+(c + id) = a + b + i(b + d) (a + ib) (c + id) = ac bd + i(ad + bc) l élémet i vérifie i = Pour z = a + ib C,a=Re(z) et b =Im(z) sot les parties réelles et imagiaires de z. Pour z = a + ib C, z = a ib est le cojugué de z Si l o itroduit la loi de compositio extere : (λ,z) R C λ.z C, C deviet ue R algèbre de dimesio sur le corps R des ombres réels, dot ue base est par exemple (,i). z désige le module de z Pour z = a + ib C, z = a + b >0 zz 0 = z z 0 ; si z 0 z 6=0 = z z 0 z 0 max( Re(z), Im(z) ) z Re(z) + Im(z) Iégalité triagulaire (z,z 0 ) C, z z 0 6 z + z 0 6 z + z 0 Cette iégalité s iterprète e terme de distace : e effet si A, B, C sot trois poits du pla d affixes respectifs a, b, c, e preat z = b a et z 0 = c b, o a doc z + z 0 = c a et l iégalité triagulaire se traduit par AB BC 6AC6AB + BC lycée Dessaiges

12 cas d égalité : z + z 0 = z + z 0 se produit si et seulemet si les deux complexes z, z 0 sot proportioels das u rapport positif ce qui sigifie qu il existe λ R + tel que z 0 = λz ou z =0 O ote U = {z C, z =} l esemble des ombres complexes de module. Noter que z C z, U, ce qui sigifie que tout ombre complexe o ul est proportioel das z u rapport positif à u et u seul élémet de U. (U, ) est u sous groupe du groupe multiplicatif (C, ) Notatio d Euler θ R o pose e iθ =cos(θ)+i si(θ) e iθ = cos θ = eiθ + e iθ, si θ = eiθ e iθ i z U,!θ [0, π[, z = e iθ (θ, θ 0 ) R, e iθ = e iθ0 θ θ 0 0mod(π) (θ, θ 0 ) R, e iθ e iθ0 = e i(θ+θ0 ) Aisi l applicatio Φ : R U θ 7 e iθ est u morphisme surjectif de (R+) das (U, ) dot le oyau est égal à πz Formule de Moivre θ R, Z, (cos θ + i si θ) =cos(θ)+i si(θ) O e déduit e particulier l expressio de cos(θ) et si(θ) e foctio des puissaces de cos(θ) e utilisat la formule du biôme de Newto cos(θ) = E(/) k=0 k E(( )/ si(θ) = si(θ) k=0 ( ) k cos k (θ)( cos (θ)) k = T (cos(θ)) k + ( ) k cos k (θ)( cos (θ)) k T est le ieme polyôme de Tchebichev O e déduit égalemet la liéarisatio de cos (θ) et si (θ) e développat ( eiθ + e iθ ) àl aidedu biôme de Newto et e regroupat deux par deux les termes de la somme obteue cos (θ) = k=0 k cos((k )θ) argumet d u ombre complexe o ul z C,!θ [0, π[, z = z e iθ θ est appelé détermiatio pricipale de l argumet de z arg(zz 0 ) arg(z)+arg(z 0 ) mod(π) Racie ième de l uité N,z = k {0,,.., },z = e L esemble U des racies iemes de l uité das C est u groupe multiplicatif de cardial, egedré par z = e iπ : U = Racie ième d u complexe a = ρe iθ,z,z,..., z avec z = e iπ N,z = ρe iθ k {0,,.., },z = ρ / e Lesimagesdaslepladesracies iémes de a formet u polygôe régulier à sommets, distribués sur ikπ θ+kπ i( ) lycée Dessaiges

13 le cercle de cetre O et de rayo a /. Pour les obteir toutes, il suffit de multiplier l ue d etre elles par tous les élémets de U. 4. Expoetielle complexe Expoetielle complexe z C, e z = e Re(z) e i Im(z) si z = x + iy alors e x+iy = e x (cos(y)+i si(y)) e z = e x et arg(e z )=y E particulier (z,z 0 ) C,e z e z0 = e z+z0 : l expoetielle réalise u morphisme de groupe surjectif de (C, +) das (C, ), dot le oyau est iπz. Ceci sigifie que e z = k Z,z =ikπ Equatio e z = a e z = a = a e i arg(a) z =l( a )+i arg(a)+ikπ avec k quelcoque das Z 4.3 Les complexes e géométrie plae u C : l applicatio z 7 z + u s iterprète comme la traslatio de vecteur u où u admet u pour affixe θ R : l applicatio z 7 e iθ z s iterprète comme la rotatio d agle θ et de cetre 0 λ R : l applicatio z 7 λz s iterprète comme l homothétie de cetre 0 et de rapport λ l applicatio z λe iθ (z z 0 )+z 0 s iterprète comme la similitude directe de cetre A d affixe z 0, de rapport λ et d agle θ. Soiet A, B, M trois poits du pla d affixe respectifs a, b, z: oa z a z b = MA a et arg(z MB z b )= ( MB \,MA) Les quatres poits A, B, C, D sot cocycliques ou aligés ssi arg( c a c b )=arg(d a d b ) mod π 4.4 Trigoométrie A, B, C, D sot cocycliques ou aligés (c a)(d b) (c b)(d a) R cos(x + y) = cos(x)cos(y) si(x)si(y) cos(x y) = cos(x)cos(y)+si(x)si(y) si(x + y) = si(x)cos(y)+ si(y)cos(x) si(x y) = si(x)cos(y) si(y)cos(x) cos(p)+cos(q) = cos( p + q )cos(p q ) cos(p) cos(q) = si( p + q )si(p q ) si(p)+si(q) = si( p + q )cos(p q ) 3 lycée Dessaiges

14 si(p) si(q) = si( p q )cos(p + q ) cos(a)cos(b) = si(a)si(b) = si(a)cos(b) = cos(a + b)+cos(a b) cos(a b) cos(a + b) si(a + b)+si(a b) ta(x + y) = ta(x)+ta(y) ta(x)ta(y) ta(x) ta(y) ta(x y) = +ta(x)ta(y) cos(θ) =cos (θ) si (θ) =cos (θ) = si (θ) si(θ) =si(θ)cos(θ) ta(θ) = ta(θ) ta (θ) +cos(θ) =cos ( θ ) cos(θ) =si ( θ ) e iθ + e iθ0 =cos( θ θ0 )e i θ+θ0 +e iθ =cos( θ θ )ei cette formule s iterprète comme la somme de deux vecteurs uitaires, format aisi la diagoale d u losage qui est aussi sa bissectrice itérieure. arc moitié cos(θ) = t t t, si(θ) =, ta(θ) = +t +t t avec t =ta(θ ) 5 Calcul différetiel 5. Dérivée e u poit, foctio dérivée La foctio f : I R état défiie sur u voisiage de x 0 est dérivable e x 0 si et seulemet si f(x 0 + h) f(x 0 ) f(x) f(x 0 ) l R, lim = l = lim h 0 h x x0 x x 0 Défiitio équivalete (développemet limité d ordre ) l R, x I, f(x) =f(x 0 )+l(x x 0 )+ o (x x 0 ) x x 0 l est le ombre dérivé de f e x 0, oté f 0 (x 0 ) Toute foctio qui est dérivable au poit x 0 est cotiue e x 0 La réciproque est fausse comme le prouve l exemple de la foctio x x e x 0 =0 f est dérivable sur l itervalle I si elle l est e tout poit de I, et à droite ou à gauche e ses évetuelles extrémités si I est fermé f 0 : x I 7 f 0 (x) est alors appelée la foctio dérivée de f 4 lycée Dessaiges

15 Si f est dérivable sur l itervalle I et admet e u poit x 0 itérieur à I u extrémum local, alors f 0 (x 0 )=0 la réciproque est fausse comme le motre le cotre exemple x 7 f(x) =x 3 e 0 D autre part l éocé de ce théorème suppose que x 0 est itérieur à I, et ceci est u poit fodametal, pesez à la foctio x x sur I =[0, ] qui admet so maximum e Composée :sif est dérivable e x 0 et g l est e f(x 0 ) alors gof est dérivable e x 0 et (gof) 0 (x 0 )=f 0 (x 0 ) g 0 (f(x 0 )) Si f est dérivable sur I, de dérivée cotiue e x 0 et si f 0 (x 0 ) 6= 0alors f est localemet bijective d u voisiage de x 0 sur u voisiage de y 0 = f(x 0 ) et sa bijectio réciproque f est dérivable e y 0 : de plus (f ) 0 (y 0 )= f 0 (x 0 ) O peut reteir aussi la formule sous la forme (f ) 0 = f 0 of Opératios (f + g) 0 = f 0 + g 0 (fg) 0 = f 0 g + fg 0 ( f g )0 = f 0 g fg 0 ( g f )0 = f 0 ( f) 0 = f 0 f f (exp(f)) 0 = f 0 exp(f) (f α ) 0 = αf 0 f α l( f ) 0 = f 0 (si(f)) 0 = f 0 cos(f), (cos(f)) 0 = f 0 si(f) f Dérivées d ordre supérieur f est k fois dérivable sur l itervalle I ssi elle est k fois dérivable sur I et si la foctio f (k ) est dérivable sur I : O pose alors f (k) =(f (k ) ) 0 f est de classe C k sur I si elle est k fois dérivable sur I et si sa dérivée f (k) est cotiue sur I. O itroduit aisi u opérateur D dit opérateur de dérivatio sur l esemble des foctios k fois dérivables à valeurs das l esemble des foctios k fois dérivables sur I. Cet opérateur est défii par D(f) =f 0. O ote D k (lire D puissace k) l opérateur DoDoD...oD, k fois, et l o a aisi: D k (f) =f (k) E particulier D i od j (f) =D j od i (f) =D i+j (f) pour toute foctio de classe C i+j sur I L opérateur D aisi que tous les opérateurs D k sot liéaires Formule de Leibiz: si f et g sot de classe C k sur I, fg l est égalemet et D (fg)= k=0 k D k (f)d k (g) Complémet sur la dérivée d ordre d ue composée : et pourquoi bo dieu e parle t o jamais de la dérivée iéme de la composée de deux foctios de classe C, il doit bie y avoir ue formule...oui la voici m D! D(f)(x) D m (f)(x) D q m f(x) q (gof)(x) = m!m!..m q! Dp (g)of(x)...!! q! où cette somme est étedue à toutes les suites d etiers positifs (m i ) i q vérifiat m +m qm q = et où p désige la somme m + m m q = p par exemple si =, = 0+ = + 0 doe les deux suites m =,m =0et m =0,m =d où : (gof) (x) =! 0!! g0 (f(x)) f (x) +!!!0! g (f(x))(f 0 (x)) 5 lycée Dessaiges

16 O compredra que l o évite d e parler... Exercice 3 :calculer(gof) (3) (x) et vérifier que la formule est vraie pour =3 5. Etude globale des foctios dérivables Théorème de Rolle Si f est cotiue sur [a, b] et dérivable sur ]a, b[,etsif(a) =f(b) alors il existe u poit c ]a, b[ tel que f 0 (c) =0 Théorème des accroissemets fiis Si f est cotiue sur [a, b] et dérivable sur ]a, b[, alors il existe u poit c ]a, b[ tel que f 0 (c) = f(b) f(a) b a Iégalité des accroissemets fiis Si f est cotiue sur [a, b] dérivable sur ]a, b[ et si sa dérivée est borée, alors f(b) f(a) 6 b a sup ( f 0 (x) ) x ]a,b[ e otat k = sup ( f 0 (x) ) ceci reviet à dire que f est k lipchitziee sur [a, b] x ]a,b[ Théorème de prologemet de la dérivée Si f est cotiue sur [a, b], dérivable sur ]a, b[, et si f 0 admet ue limite fiie l à droite au poit a,alors f est de classe C sur [a, b[ et f 0 (a) =l Il faut cepedat faire très attetio car le comportemet de la dérivée peut être diverget au poit a bie que la foctio f soit dérivable e a. L exemple le plus simple est la foctio f(x) =x si(/x) ( prologée par cotiuité e 0) qui est dérivable sur R : f 0 (x) =x si cos si x 6= 0et f 0 (0) = 0,et x x cepedat lim f 0 (x) existe pas x x x x x si(/x) sur [ 0.5, 0.5] Zoom sur [ 0., 0.] U théorème qui éoce des coditios suffisates ( et pas forcémet écessaires : e fraçais courat ca suffit mais ce est pas obligatoire ) pour qu ue propriété soit vérifiée doit être aalysé d autat plus soigeusemet afi d éviter de cofodre le écessaire et le suffisat. Travailler sur le écessaire et le suffisat par rapport à ue propriété, c est la situer das le cotexte de la logique mathématique u peu comme o situerait u ombre sur ue droite. 5.3 Foctios covexes La foctio f : I R est covexe sur l itervalle I ssi l ue des propriétés équivaletes suivates est vérifiée: 3 (gof) (3) (x) =g (3) (f(x))(f 0 (x)) 3 +3g () (f(x))f 0 (x)f () (x)+g 0 (f(x))f (3) (x)obteue avec les triplets (m,m,m 3 )=(0, 0, ), (,, 0), (3, 0, 0) 6 lycée Dessaiges

17 a) (x, y) I, λ [0, ],f(λx +( λ)y)6λf(x)+( λ)f(y) b) >, (λ,..., λ ) (R + ), ((x,..,x ) I, i= λ i = f( i= λ ix i )6 i= λ if(x i ) f(x) f(a) c) a I, l applicatio t a : x t a (x) = est croissate sur I {a} x a d) (x, y, z) I 3 f(y) f(x) f(z) f(x) f(z) f(y),x<y <z 6 6 y x z x z y e) la partie A = {(x, y) R,x I,y>f(x)} est ue partie covexe du pla R D u poit de vue géométrique la covexité d ue foctio sur u itervalle I se traduit par le fait que pour tout couple de poits A, B du graphe de f, l arc de courbe _ AB est situé au dessous de la corde AB Si la foctio f est de classe C sur I alors f est covexe sur I f 0 est croissate sur I Das ce cas,le poit de vue géométrique se traduit par le fait que pour tout poit A du graphe de f,l arc de courbe AB _ estsituéaudessusdelatageteea au graphe de f soit a I, x I, f 0 (a)(x a)+f(a)6f(x) Iégalités de covexités pour les foctios usuelles x R +, l(x)6x u ], + [, l( + u)6u x R, +x6e x +x x ], + [, +x Exercice : Démotrer l iégalité 4 x [0, π/4],x ta(x) 4x π 6 Itégratio sur u segmet des foctios à valeurs réelles 6. Foctios cotiues par morceaux Ue foctio f R [a,b] est dite e escalier sur [a, b] ssi il existe ue subdivisio a 0 = a<a <..<a = b de [a, b] telle que pour tout i {,.., }, la restrictio de f à l itervalle ouvert ]a i,a i [ soit costate : o otera λ i = f(x) la valeur de la foctio f sur ]a i,a i [. L esemble Esc([a, b], R) des foctios e escalier sur I est u sous espace vectoriel de R [a,b] Si f est e escalier sur la subdivisio (a 0,a,..., a ) o ote a b f = i= (a i a i )λ i L applicatio f b f est ue forme liéaire sur Esc([a, b], R) a Ue foctio f défiie sur I =[a, b] est cotiue par morceaux sur I s il existe ue subdivisio a 0 = a< a <..<a = b de I telle que f soit cotiue sur chacu des itervalles ouverts ]a i,a i+ [ de la subdivisio, et admette ue limite fiie à gauche et à droite e chacu des poits de la subdivisio 4 la foctio x ta(x) vérifie ta (x) = si(x) cos 3 qui est positif sur l itervalle [0, π/4]. Elle y est doc covexe or la (x) pete de tagete e 0 est =ta 0 (0) et la corde a pour équatio y = 4x π 7 lycée Dessaiges

18 La coditio d existece d ue limite peut aussi s éocer comme suit : la restrictio de f à chacu des itervalles ouverts ]a i,a i+ [ admet u prologemet par cotiuité sur le fermé [a i,a i+ ]. O ote C 0 m([a, b], R) l esemble des foctios cotiues par morceaux sur [a, b]: c est u sous espace vectoriel de R [a,b] Approximatio uiforme d ue foctio de Cm([a, 0 b], R) par ue foctio e escalier Soit f ue foctio cotiue par morceaux sur [a, b], il est possible de l ecadrer par deux foctios e escalier dot la différece excède pas ue valeur ε fixée arbitrairemet ε > 0, (ϕ, ψ) Esc([a, b], R), x [a, b], ϕ(x)6f(x)6ψ(x) et ψ(x) ϕ(x)6ε O peut égalemet formuler cela à l aide d ue bore supérieure: ε > 0, ϕ Esc([a, b], R), sup ( f(x) ϕ(x) ) ε x [a,b] 6. Itégrale d ue foctio cotiue par morceaux Il existe ue applicatio, appelée itégrale au ses de Riemma, défiie sur Cm([a, 0 b], R) à valeurs das R b et otée : f b f telle que a a l applicatio b est liéaire a b f Esc([a, b], R), f = a i= (a i a i )λ i b O ote égalemet f(t)dt,ou f a [a,b] O a les propriétés suivates f>0 b f>0 a f6g b f6 b g a a b f 6 b f a a b c [a, b], f = c f + b f a a c Valeur moyee d ue foctio : Lorsque la foctio f est cotiue par morceaux sur [a, b], si l o pred la moyee arithmétique M = f(a,i ) + i=0 des valeurs de la foctio f aux +poits a,0 = a, a,k = a + k b a,...,a, = b régulièremet distribués sur [a, b], alors cette moyee ted, lorsque ted vers, vers la valeur moyee de f sur [a, b] b f b a a Iégalités de la moyee b f 6(b a)sup f a b a fg 6 sup f [a,b] L itégrale comme produit scalaire b Si f est cotiue sur [a, b] et positive, alors f =0 f =0 a O défiit sur C 0 ([a, b], R) la forme biliéaire symétrique, défiie positive (f g) = a b I a fg b g 8 lycée Dessaiges

19 C est le produit scalaire caoique sur C 0 ([a, b], R) La orme associée, appelée orme N est défiie par Iégalité de Cauchy-Schwarz (f,g) C 0 ([a, b], R), a b fg 6 N (f) = b f a a b b f a g ou ecore (f g) 6N (f)n (g) Il y a égalité das cette iégalité ssi les deux foctios f et g sot proportioelles Somme de Riemma Si f est cotiue sur [a, b],etsi(σ =(a i, ) 06i6 ) N est ue suite de subdivisios de [a, b] telles que le pas π =max (a i, a i, ) de σ tede vers 0 lorsque alors pour toute suite (x i, ) telle que 6i6 N, i {,.}, x i, [a i,,a i, ],oa lim i= (a i, a i, )f(x i, )= i= (a i, a i, )f(x i, ) est appelée somme de Riema de f pour la subdivisio poitée (a i,,x i, ) 06i6 Somme de Riemma équirépartie f C 0 ([a, b], R), b a lim k= a b f f(a + k b a )= Cette formule est aussi coue sous le om de formule des rectagles, o motre que b a k= f(a + k b a ) a b f = O( ) Formule des trapèzes si f est cotiue sur [a, b], e otat a k = a + k b a, la méthode des trapèzes cosiste à approximer la foctio f par la foctio g affie par morceaux sur la subdivisio (a k ) 06k6,valatf(a k ) e a k pour tout etier k I (f) = O obtiet lorsque f est de classe C a b g(t)dt = b a I (f) a b k= f = O( ) [f(a k )+f(a k )] O peut affier l approximatio e utilisat ue foctio g dot la formule sur chacu des segmets [a k,a k+ ] est le polyôme de degré qui vérifie g(a k )=f(a k ), g( a k + a k+ )=f( a k + a k+ ), g(a k+ )=f(a k+ ) La formule des trois iveaux doe alors a k+ f(a k )+4f( a k + a k+ )+f(a k+ ) g(t)dt = a k 6 puis e sommat, o obtiet la formuledesimso: J (f) = b a 6 k= (f(a k )+4f( a k + a k )+f(a k )) a b f 9 lycée Dessaiges

20 O démotre que lorsque f est de classe C 3 J (f) a b f = O( 3 ) Exercice: sur u logiciel de calcul, programmez la formule des rectagles, la formule des trapèzes et la formule de Simso, pour la foctio f(x) =si(x) sur [a, b] =[0, ] et =0. Validez les iégalités e mesurat l erreur Itégratio et dérivatio Soit f C 0 (I,C). F est ue primitive de f sur l 0 itervalle I si et seulemet si F est dérivable sur I et si F 0 = f. Deux primitives de f sur l itervalle I diffèret d ue costate. Soit f C 0 (I,C) et a I : Alors l uique primitive de f qui s aule e a est la foctio x F (x) = f(t)dt E particulier x ( x ( x a v(x) u(x) a f(t)dt) = f(x) f(t)dt) = v 0 (x)f(v(x)) u 0 (x)f(u(x)) Si F est ue primitive de f sur I alors b f(t)dt = F (b) F (a) =[F (x)] b a Itégratio par parties Si f est de classe C aisi que g sur [a, b] b f(t)g 0 (t)dt =[f(x)g(x)] b a a a a b f 0 (t)g(t)dt Chagemet de variable Si f est cotiue sur I et si ϕ est de classe C sur [α, β] à valeurs das I,alors 6.4 Formules de Taylor ϕ(β) ϕ(α) f(t)dt = α β ϕ 0 (u).foϕ(u)du Formule de Taylor-Youg Soit f ue foctio de classe C + sur u itervalle I ouvert coteat a : O a (x a) k x I,f(x) =f(a)+ D k (f)(a)+ o(x a) k! Formule de Taylor avec reste sous forme d ue itégrale Soit f ue foctio de classe C + sur u itervalle I ouvert coteat a : O a (x a) k x I,f(x) =f(a)+ D k (f)(a)+ x (x t) D + (f)(t)dt k!! k= k= a x a 5 Erreurs: rectagles 0.04; trapèzes , Simso lycée Dessaiges

21 Iégalité de Taylor-Lagrage Soit f ue foctio de classe C + sur u itervalle I ouvert coteat a et b : O a f(b) f(a) k= 6.5 Etude des foctios usuelles (b a) k k! D k b a + (f)(a) 6 max ( +)! ( t [a,b] D+ (f)(t) 6.5. Foctios expoetielles, logarithmes, puissaces Foctios expoetielle réelle a R +, x R,a x = e x l a x ax =la.a x Foctios logarithmes réelles x foctios x, 0.5 x, 3 x, 0.3 x a >0,a6=, x >0, log a (x) = l(x) l(a) x log a(x) = x l(a) y = a x x =log a (y) x l(x), log (x), log / (x) Foctios puissaces x >0, α R,x α = e α l(x) x (xα )=αx α lycée Dessaiges

22 Foctios hyperboliques x x, x,x 3,x 0.5,x 0.3,x 0,x 0.5,x,x x R,ch(x) = ex + e x x R,sh(x) = ex e x x R,th(x) = ex e x sh(x) = e x + e x ch(x) ch 0 (x) =sh(x) sh 0 (x) =ch(x) th 0 (x) = th (x) = ch (x) x ch(x),sh(x),th(x) t R, ch (t) sh (t) = Cette formule est à l origie de l appellatio hyperbolique puisque la courbe paramètrée t (ch(t),sh(t)) admet pour support ue des deux braches de l hyperbole équilatère d équatio x y = lycée Dessaiges

23 Foctios circulaires x=ch(t),y=sh(t): brache d hyperbole si,cos,ta cos(x) =Re(e ix ), si(x) =Im(e ix ), ta(x) = si(x) cos(x) cos (x)+si (x) = c est le paramètrage du cercle de cetre 0 et de rayo qui est à l origie de la déomiatio circulaire (cos(x)) = si(x), x x x (ta(x)) = + ta (x) = (si(x)) = cos(x) cos (x) x 4 cos(x): R [, ] x x si(x):r [, ] ta(x): R π + kπ R La foctio cos établit ue bijectio de [0, π] das [, ], la bijectio réciproque est otée arccos 3 lycée Dessaiges

24 x arccos(x): [, ] [0, π] x (arccos(x)) = x x [, ], cos(arccos(x)) = x x [0, π], arccos(cos(x)) = x Remarque: x [π, π], arccos(cos(x)) = π x, x [π, 3π], arccos(cos(x)) = x π La foctio si établit ue bijectio de [ π/, π/] das [, ], la bijectio réciproque est otée arcsi x - arcsi(x): [, ] [ π, π ] x (arcsi(x)) = x x [, ], si(arcsi(x)) = x x [ π/, π/], arcsi(si(x)) = x La foctio ta établit ue bijectio de ] π/, π/[ das ], + [, la bijectio réciproque est otée arcta x (arcta(x)) = +x x R, ta(arcta(x)) = x k Z, x ] π/+kπ, π/+kπ[, arcta(ta(x)) = x kπ x R, arcta(x) + arcta( x )=sige(x)π 4 lycée Dessaiges

25 x Foctio expoetielle complexe x arcta(x) a = x + iy est u complexe et t R. O rappelle que exp(at) =e xt (cos(yt) +i si(yt)). Soit ϕ ue foctio dérivable défiie sur ue partie de R à valeurs das C: ϕ(t) =Re(ϕ(t)) + i Im(ϕ(t). O a alors les deux formules a C, t eat = ae at t eϕ(t) = ϕ 0 (t)e ϕ(t) 6.6 Primitives des foctios usuelles le symbole désige l esemble des primitives de la foctio cosidérée O a précisé sur quels itervalles ces formules sot valables. a C, Z { }, (t a) (t a)+ dt = + C R {a} si <0 et R si 0 + dt =l( t )+C ]0, + [ et ], 0[ t cos(t)dt =sit + C R ta(t)dt = l cos(t) + C R {π/+kπ} P = polyôme et a C : e at P (t)dt = e at Q(t)+C R deg P=deg Q +t a R + : dt = arcta(t)+c R a + t dt = a arcta( t a )+C R si t dt =l(ta(x ) )+C R {kπ} 5 lycée Dessaiges

26 ch(t)dt = sh(t)+ C t dt = +t l( t α R, α 6=, l(t)dt = t l(t) t + C R )+C R {, } t α dt = tα+ α + + C ]0, + [ ]0, + [ si(t)dt = cos(t)+ C R e at dt = eat a + C R dt =arcsi(t)+c ], [ t cos(t) dt =l(ta(x + π 4 ) )+C R {π/+kπ} sh(t)dt = ch(t)+ C R th(t)dt =l( ch(t) )+C R 6.7 Développemets limités des foctios usuelles Les développemets suivats sot au voisiage de 0 f(x 0 + t) =f(x 0 )+ e at = si(t) = k=0 ak tk k! + o t 0(t ) k= f (k) (x 0 ) tk k! + o t 0(t ) t k+ k=0 ( )k (k +)! + o t 0(t + ) tk cos(t) = ( )k k=0 (k)! + o t 0(t + ) ta(t) =t + 3 t3 + O (t 4 ) sh(t) = k=0 t k+ (k +)! + o t 0(t + ) 6 lycée Dessaiges

27 t k ch(t) = k=0 (k)! + o t 0(t + ) th(t) =t 3 t3 + O (t 4 ) ( + t) α =+ k= ( ) k+ α(α )...(α k+) k! t k + o t 0 (t ) l( + t) = k= k t k + o t 0 (t ) l( t) = k= k tk + o t 0 (t ) t = k=0 tk + o t 0 (t ) +t = k=0 ( )k t k + o t 0 (t ) arcta(t) = k=0 ( ) k k + tk+ + o t 0 (t + ) 7 Foctios itégrables ur u itervalle quelcoque Soit f ue foctio cotiue sur l itervalle I de R à valeurs das R +. f est itégrable sur I si et seulemet si il existe u réel M>0 tel que [a, b] I, a b f(t)dt6m Das ce cas o défiit b b f = sup f(t)dt = lim f(t)dt I [a,b] I a a avec =0 [a,b ]=I et N, [a,b ] [a +,b + ] Si f est ue foctio cotiue sur l itervalle I de R à valeurs das R + o itégrable,alors sup [a,b] I a b f(t)dt =+ Il arrive que l o utilise pour les foctios positives la déomiatio : itégrale covergete, itégrale divergete, au lieu de foctio itégrable, foctio o itégrable. C est parfois plus commode car cela permet de parler de la ature d ue itégrale : le théorème suivat justifie cette appellatio. Soit F ue primitive quelcoque de f sur I =[a, c[, f état positive sur [a, c[ : f est itégrable sur [a, c[ F admet ue limite fiie e c et das ce cas f(t)dt = lim [a,c[ b c a b f(t)dt = lim F (b) F (a) b c Itégrabilité de t 7 sur [, + [ tα est itégrable sur [, + [ α > tα Itégrabilité de t 7 t sur ]0, ] α est itégrable sur ]0, ] α < tα 7 lycée Dessaiges

28 Itégrabilité de t 7 sur [c, b[ (b t) α est itégrable sur [c, b[ (b t) α α < Si f et g sot équivaletes au poit b et si f est positive sur [c, b[ alors [c,b[ f(t)dt et g(t)dt sot de [c,b[ même ature Par défiitio, ue foctio f cotiue sur I est itégrable sur I si et seulemet si f l est. 8 Equatios différetielles Soit a ue foctio cotiue sur l itervalle I coteat α. L esemble des solutios de l équatio différetielle liéaire homogèe du premier ordre (H) y 0 (x) a(x)y(x) =0 forme u sous espace vectoriel de R I de dimesio, admettat pour base la foctio x x y(x) =exp a(t)dt la solutio géérale est doc doée par y(x) =λe x α α a(t)dt Si b est ue foctio cotiue sur I, l esemble des solutios de l équatio avec secod membre (E) y 0 a(x)y(x) =b(x) s obtiet e ajoutat à la solutio géérale de (H) ue solutio particulière de (E), que l o peut trouver e faisat varier la costate λ. O obtiet: y(x) = α x b(t)e t α a(u)du dt + µ e x α a(t)dt Soiet a, b, c trois élémets de C. O appelle équatio différetielle liéaire du secod ordre à coefficiets costats l équatio (E) ay (x)+by 0 (x)+cy(x) =0 l équatio caractéristique de (E) (eq) ax + bx + c =0 gère les solutios de (E) sur R à valeurs das C par l itermédiaire de so discrimiat 6= 0;sir,r sot les deux racies complexes de (eq) (E) (λ,µ) C,y(x) =λe r x + µe r x les solutios de E formet aisi u espace vectoriel de dimesio, admettat pour base le couple de foctios (x e r x,x e r x ) =0;sir est la racie double complexe de (eq) alors (E) (λ,µ) C,y(x) =λe rx (λ + µx) les solutios de E formet aisi u espace vectoriel de dimesio, admettat pour base le couple de foctios (x e rx,x xe rx ) Remarque : o retrouve les solutios à valeurs das R e preat la partie réelle des solutios complexes. Par exemple l équatio différetielle y (x) +y 0 (x) +y(x) =0admet pour solutios réelles x 7 Re(λe jx + µe jx ) ou j = e iπ 3 = + i 3 8 lycée Dessaiges

29 O motre alors que les solutios s exprimet sous la forme y(x) =αe 3 x 3 cos( x)+βe x si( x) 9 Notios sur les foctios de deux variables 9. Espace R. Foctios cotiues 9.. Espace R Normes usuelles : Soit x =(x,x ) R N (x) =sup( x, x ) N (x) = x + x N (x) = x + x sot trois exemples de ormes sur R.N est la orme euclidiee. Ces ormes sot équivaletes. N (x)6n (x)6n (x)6n (x) Das la suite o ote N l ue d etre elles Partie borée A R est borée ssi M R +, x A, N(x)6M Boule ouverte (resp fermée) de cetre a et de rayo r pour la orme N B(a, r) = x R,N(x a) <r B 0 (a, r) = x R,N(x a) r Adhérece d ue partie U poit a R est adhéret à A s il est limite d ue suite de poits de A, c est à dire s il existe ue suite (a ) N d élémets de A telle que lim N(a a )=0. L adhérece A de A est l esemble des poit adhérets à A. Par exemple l adhérece de B(a, r) das R est B 0 (a, r). Exercice 6. Démotrer que l adhérece de Q das R est égale à R. Partie ouverte Ue partie de R est ouverte si et seulemet si, lorsqu elle cotiet u poit a elle cotiet au mois ue boule ouverte cetrée e A Exemple A =]0, [ ]0, [ est ue partie ouverte car si a =(a,a ) A,alors B(a, mi(a,a )) A A =]0, [ [0, [ e l est pas car le poit (, 0) A mais aucue boule de cetre (, 0) est icluse das A Partie fermée Ue partie A est fermée lorsque A = A Cela reviet au même de dire que le complémetaire de A est ue partie ouverte Théorème de Bolzao-Wierstrass De toute suite borée de poits de R o peut extraire ue sous suite-covergete. 6 Soit X =(x, y) R.Posos x = E(0 x) 0 Q,y = E(0 y) 0 Q. la suite X =(x,y ) est ue suite de Q qui vérifie N (X X ) 0 doc qui coverge vers X 9 lycée Dessaiges

30 9.. Foctios cotiues Ue foctio défiie sur A R à valeurs das C est lipchitziee sur A si et seulemet si il existe k>0 tel que (x, y) A, f(x) f(y) 6kN(x y) Ue foctio défiie sur A R à valeurs das C est cotiue e a A si et seulemet si ε > 0, α > 0, x A, N(x a) < α f(x) f(a) < ε Il est clair que toute foctio lipchitziee sur A est cotiue e tout poit de A Applicatios partielles e u poit Soit f défiie e a =(a a ). O appelle applicatios partielles f,f au poit a les deux applicatios f (x) = f(x, a ) f (y) = f(a,y) elles revieet à cosidérer ue restrictio de f sur chacue des deux droites passat par a et parallèle aux axes Ox, Oy Défiitio séquetielle de la cotiuité f est cotiue e a si et seulemet si pour tout suite (u ) N de poits de A qui coverge vers a (c est à dire telle que lim N(u a) =0), alors la suite (f(u )) N coverge vers f(a) Toute foctio cotiue sur ue partie A qui est fermée et borée, à valeurs das R,estborée et atteit ses bores La cotiuité das R est ue otio assez délicate. Par exemple, il est écéssaire pour ue foctio f cotiue e a que ses deux applicatios partielles soiet cotiues e a et a mais ce est pas suffisat: ceci proviet du fait qu il existe ue ifiité de directios pour s approcher d u poit das R ( de plus o peut s approcher d u poit sas écéssairemet suivre u directio doée, par exemple e suivat ue spirale qui s eroule autour de ce poit) ceci est pas le cas das R. Par exemple, l applicatio f :(x, y) f(x, y) = xy et f(0, 0) = 0 est cotiue e (0, 0) car x + y f(x, y) f(0, 0) 6x, e effet cela prouve que f(x, y) ted vers f(0, 0) lorsque le couple (x, y) ted vers (0, 0). Das cet exemple les deux applicatios partielles f = f e (0, 0) sot ulles. Cosidéros maiteat l applicatio g :(x, y) g(x, y) = xy et g(0, 0) = 0. Elle est pas cotiue e (0, 0) x + y car lim g(, )= et lim g(, )=, cepedat g = g =0sot toutes deux cotiues e 0 puisqu elles sot ulles. Il peut être parfois commode de passer e coordoées polaires pour prouver la cotiuité d ue applicatio e 0,e posat r = x + y et x = r cos θ,y = r si θ. E effet dire que (x, y) (0, 0) se traduit par r 0. Par exemple das le cas de f et g, o trouve f(x, y) =r cos θ si θ et g(x, y) =cosθ si θ,ce qui permet alors facilemet de retrouver les résultats précédets Exercice 7 :soitf(x, y) = x α y β,f(0, 0) = 0 où α, β, γ sot trois réels positifs. Etudier la cotiuité (x + y ) γ de f 9. Foctios de deux variables: calcul différetiel. Dérivée selo u vecteur h f est ue foctio défiie autour du poit a =(a,a ) R et h =(h,h ) R {0} est u vecteur 7 f(x, y) =r α+β γ cos θ α si θ β. Si α + β γ > 0 alors f(x, y) (x,y) (0,0) 0. Si α + β γ 0,efixat θ=π/4, f(x, y) 9 (x,y) (0,0) 0 30 lycée Dessaiges

31 doé. Il s agit alors de cosidérer l applicatio d ue variable réelle ϕ : t ϕ (t) =f(a + t h ) h h et de regarder si elle est dérivable e 0. O pose alors: f f(a + th) f(a) f(a + th,a + th ) f(a,a ) (a) = lim = lim h t 0 t t 0 t Remarque : o le ote parfois f(a) h Dérivées partielles O dérive selo e,et e vecteurs de la base caoique de R f (a) est oté: f f(a + te ) f(a) (a) =lim e x t 0 t f (a) est oté f e y (a) =lim t 0 f(a + te ) f(a) t =lim t 0 f(a + t, a ) f(a,a ) t =lim t 0 f(a,a + t) f(a,a ) t Développemet limité à l ordre e a Si les dérivées partielles de f existet et sot cotiues sur u voisiage de a =(a,a ) alors f admet au poit a u développemet limité à l ordre doé par l expressio suivate de f(a+h) où h =(h,h ) R f(a + h) = f(a)+df a (h)+o(h) avec df a (h,h ) = f x (a)h + f y (a)h df a est appelé la différetielle e a de f Gradiet de f grad(f)(a) =( f f (a), (a)) R x y ce vecteur doe la directio des plus fortes variatios de la foctio f (grad(f)(a) (h,h )) = f x (a)h + f y (a)h = df a (h,h ) ce qui sigifie d après l iégalité de Cauchy-Schwarz que df a (h,h ) 6N (grad(f)(a))n (h) df a (h,h ) est maximum lorsque h et coliéaire au gradiet de f Par exemple si f(x, y) =x +4y, o trouve grad(f)(a,a )=(a, 8a ). La lige de iveau de f qui passe par le poit (a,a ) est l ellipse d équatio x +4y = a +4a. Si lepoit m(x, y) se déplace das la directio de grad(f)(a,a ), il maximise l accroissemet de f. Sur le graphique qui suit o a représeté deux liges de iveau de l applicatio f(x, y) =x +4y,c est à dire les parties du pla défiies par: f(x, y) =k ou k est ue costate (ici k =5, k =6). Lorsque l o se trouve au poit m(, ) pour k =5, si l o veut augmeter la foctio f le plus possible, il faut se déplacer das la directio doée par grad(f)(, ) = (, 8) idiquée sur la figure. Noter que la directio du gradiet est orthogoale à la directio de la tagete e M à la lige de iveau, ce qui est tout à fait 3 lycée Dessaiges

32 logique puisque l o souhaite s e échapper le plus vite possible. 3 y x deux liges de iveaux de x +4y et gradiet Soit A R,etf R A.fadmet au poit a A u maximum local ssi α > 0, x A B(a, α), f(x)6f(a) Si f est de classe C sur ue partie ouverte A de R et admet e u poit a de A u extrémum local,alors df a =0, ou ce qui reviet au même grad(f)(a) =0 9.3 Dérivées d ordre supérieur f est de classe C k sur la partie A de R ssi elle y est de classe C k et si toutes ses dérivées partielles d ordre k sot de classe C sur A O ote alors pour x i {x, y} k f ( )= k f x x... x k x... x k Par exemple f f x y (a,a )=lim t 0 f y (a,a )=lim t 0 Théorème de Schwarz: Sif est de classe C sur A f x y = f y x 9.4 Champs de vecteurs y (a + t, a ) f y (a,a ) t f y (a,a + t) f y (a,a ) U champ scalaire C das R est ue applicatio de classe C d ue partie A de R à valeurs das R : A R f : (x, y) f(x, y) grad(f)(x, y) =( f f (x, y), (x, y)) x y Exemple: e physique, le potetiel est u champs scalaire. U champ de vecteurs C das R 3 est ue applicatio de classe C d ue partie A de R 3 à valeurs das R 3 : A R f : 3 m =(x, y, z) f(m) =(f (x, y, z),f (x, y, z),f 3 (x, y, z)) Exemple: E physique, le champ de gravité de la terre. t 3 lycée Dessaiges