Suites et séries numériques

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1 Maths MP Cours Table des matières Suites et séries umériques Quelques prélimiaires. Les yeux fermés De quoi parle-t-o? Ue série... de questios Rappels sur les suites 3. Défiitio et propriétés opératoires Limites et ordre Théorèmes de covergece Relatios de comparaiso, développemets limités Relatios de récurrece d ordre et Au sujet des suites de Cauchy Séries à termes positifs 3 3. Cas de base : géométriques et de Riema D Alembert et compagie Les théorèmes de comparaiso Sommatio des relatios de comparaiso Comparaisos sommes/itégrales Séries alterées 0 4. Observos la somme LE théorème sur les séries alterées Maipulatio du reste Séries géérales 3 5. Séries absolumet covergetes Espaces l p frotière du programme Produit de Cauchy Développemet décimal d u réel Séries doubles Critère de Cauchy Quid das u espace vectoriel ormé? Trasformatio d Abel Figure diverge

2 Exercice Soiet q C et N. Que vaut q k? k=0 Exercice Repredre l exercice précédet, mais e pesat à distiguer le cas q = d ue part, et e doat d autre part le bo résultat lorsque q. Exercice 3 Soiet q C et N. Que vaut +8 k=5 q k? Exercice 4 Repredre l exercice précédet e pesat... à distiguer le cas q =, et e s iterdisat d utiliser ue évetuelle formule mystérieuse qui parlerait de q k ou bie du ombre de termes das k= la somme... Fait : À partir de cette lige, ue mécoaissace des suites géométriques iduira quelques euis. Quelques prélimiaires. Les yeux fermés Ces exercices de première aée doivet pouvoir être faits de faço propre et efficace : das u cas, il s agit de sommer des suites géométriques ; das l autre, il s agit de comparaisos somme/itégrale. Exercice 5 Motrer que la suite de terme gééral u = k=0 est covergete, et détermier sa limite. k Exercice 6 Motrer que la suite de terme gééral v = est covergete, alors que celle de terme k= k gééral w = est divergete mais possède ue limite. k k=. De quoi parle-t-o? Das l essetiel de ce chapitre, o doera les défiitios et résultats pour les séries réelles e évoquat rapidemet les séries complexes et celles à valeurs das u espace vectoriel de dimesio fiie. À la fi du chapitre, o repredra plus e détail ces deux deriers types de séries. Défiitio Série de réels Ue série de réels est ue suite de la forme s avec s = k=0 u k, où u = u est ue suite réelle. O ote cette série u. Les s sot appelés sommes partielles de la série. Le terme gééral de u est u. O défiit bie etedu de la même faço ue série de complexes, ou plus gééralemet d habitats de E, avec E u espace vectoriel ormé s il doit être questio de covergece, mais les séries formelles ot égalemet leur itérêt propre, e combiatoire/déombremet. Remarque Les séries sot par défiitio des suites a priori d u certai type, mais e fait toute suite peut être vue comme ue série : si v est ue suite, alors v = v 0 + v v 0, v = v 0 + v v 0 + v v, etc... La suite v est doc égale à la série w, avec w 0 = v 0, et w = v v pour tout.

3 Défiitio Covergece, somme d ue série La série u est déclarée covergete lorsque la suite des sommes partielles coverge, c està-dire : il existe l R tel que et est otée u. u k k=0 l. Cette limite l est appelée la somme de la série E cas de covergece, o ote e gééral R := u k u k = série. Il ted bie etedu vers 0. Aisi, l écriture u covergete. k=0 est toujours autorisée, alors que + k=0 u k=+ u k le reste de la e l est que lorsque la série est Exercice 7 Motrer que si la série u est covergete, alors u 0. Motrer égalemet que la réciproque est fausse. Défiitio 3 Grossièreté Ue série u telle que u e ted pas vers 0 sera dite grossièremet divergete. Il faut bie compredre que lorsque la coditio écessaire de covergece «u respectée, il y a plusieurs comportemets possibles pour la série u : covergece ; divergece vers + ; divergece sas existece de limite. Exercice 8 Doer u exemple pour chacu de ces trois comportemets..3 Ue série... de questios 0» est bie Commet détermier si ue série coverge? Commet calculer, le cas échéat, la somme de la série? E cas de covergece, quelle est la vitesse de covergece? E cas de divergece vers +, a-t-o u équivalet simple des sommes partielles? Il y a bie etedu pas de méthode qui permettrait d étudier facilemet importe quelle série, sas quoi d après la remarque, o aurait u algorithme pour étudier la covergece de toute suite, ce qui est u objectif déraisoablemet ambitieux! O verra cepedat ue collectio de méthodes assez robustes, qui s appliquet lorsque le terme gééral de la série possède u équivalet simple et/ou est de sige costat ou alteré. Rappels sur les suites. Défiitio et propriétés opératoires Défiitio 4 Covergece des suites Ue suite réelle u est déclarée covergete vers l R lorsque pour tout ε > 0, il existe u rag au delà duquel o a u l ε : ε > 0, N N; N, u l ε.. Oui, o peut parler de 3

4 Remarques Das le cas d ue suite complexe, o écrit la même chose... e prooçat «module» plutôt que «valeur absolue»! Pour u espace vectoriel, o a besoi d ue orme... et la covergece est e première approximatio liée à cette orme. O laisse au lecteur le soi de rappeler soigeusemet la défiitio de la divergece vers +. Lequel lecteur aura préalablemet rappelé la défiitio précise de «u est majorée», puis ce que sigifie «u est pas majorée», otio bie etedu différete de u +. Bie etedu... Exercice 9 Doer u exemple de suite réelle o majorée, mais e tedat pas vers +. Doer égalemet u exemple de suite tedat vers +, mais qui est pas croissate même au delà d u certai rag. Rappelos quelques faits, qui parlet de CONVERGENCES, et o de la simple valeur de limites : Propriétés : Si u l et u l, alors l = l «uicité de la limite». Si u l, v l et α, β R, alors αu + βv αl + βl. Si u l et v l, alors u v l l. Si u l 0, alors u 0 à partir d u certai rag, et u l Si v est extraite de u c est-à-dire de la forme v = u ϕ, avec ϕ ue applicatio strictemet croissate de N das N et u l R := R {, + }, alors v l. Exercice 0 Prouver ces différets résultats. O pourra das u premier temps utiliser des ecadremets du type l ε u l + ε, mais o réécrira tout avec des valeurs absolues u l ε, pour avoir des preuves égalemet valables sur C. O motrera le lemme bie utile : «si u est borée et v 0, alors u v 0». J allais oublier : Fait : «Coverger à partir d u certai rag» est ue otio grotesque. Corollaire : Ceux qui vot cotiuer d e parler se ferot massacrer. Les deux sectios qui suivet sot spécifiques à R : il y est questio d ordre.. Limites et ordre U moye importat pour localiser ue limite cosiste à «passer à la limite» des iégalités pour lesquelles o sait auparavat que les deux membres de l iégalité coverget. Théorème Passage d iégalités à la limite Si u v pour tout N ou au mois à partir d u certai rag avec de plus u et v l, alors l l. Exercice Motrez moi ça! l Remarques 3 Attetio, les iégalités strictes «peuvet être passées à la limite»... mais elles devieet alors larges : si u > 0 pour tout N et u l, alors l 0. Le «théorème-de-passage-des-iégalités-à-la-limite-mais-seulemet-le-membre-de-droite-parce-quecelui-de-gauche-ça-ous-arrage-pas»... existe pas, e fait. O évitera doc de passer l iégalité u + à la limite mais seulemet à droite parce que etc... pour e déduire u. O sera par cotre capable d obteir de faço covaicate la même coclusio sous l hypothèse u Fait : Si o passe ue iégalité à la limite pour obteir la covergece de l u des deux membres, alors o se fait massacrer e spé comme e sup.. e fait, la covergece est idépedate de la orme, e dimesio fiie 4

5 .3 Théorèmes de covergece Les deux résultats cetraux à coaître sot les suivats : Théorème Gedarmes Si u, v et w sot trois suites telles que u v w à partir d u certai rag, u l R et w l le même!, alors v l. Remarque 4 Le «théorème du gedarme» ous dit que si u v à partir d u certai rag et u Théorème 3 Suites mootoes Soit u est ue suite réelle croissate : si elle est majorée, alors elle coverge ; si elle est pas majorée, alors elle ted vers +. elle possède doc toujours ue limite. Remarque 5 La preuve de ce résultat est très différete de celle du précédet : das la cas majoré, il s agit de prouver l existece d ue limite... qui e ous est pas fourie. Il coviet doc de «devier» quelle sera cette limite. La bore supérieure des termes de la suite est probablemet u bo cadidat. u 0 u u u S Figure Covergece des suites croissates majorées L exercice qui suit est presque faisable e termiale. Il suffit de faire u dessi où o voit l et, formaliser le «à partir d u certai rag», puis être capable de tirer des iformatios de α N0+ Kα N0 et α N0+ Kα N0+... Exercice D Alembert pour les suites Soit u ue suite à valeurs o ulles, telle que u + u l <. Motrer que u 0. Le résultat qui suit est pas au programme, mais costitue u bo exercice : d ue part il écessite ue maipulatio élémetaire et propre des ε, et d autre part le résultat qu il fourit est assez importat das l esprit o reviedra plus tard sur les sommatios d équivalets... Exercice 3 Cesàro Soit u ue suite covergeat vers l R. O a alors : u k l. k= À partir de maiteat, o peut se passer des ε das la quasi totalité des exercices sur les suites..4 Relatios de comparaiso, développemets limités Cet exercice doit être fait les yeux fermés : Exercice 4 Motrer que ted vers ue limite fiie lorsque ted vers +. Fait : Tout le mode a u jour fauté, e pesées ou e actes, sur l exercice précédet. O passe l époge, mais maiteat, o e rigole plus avec ça. 5

6 Défiitio 5 Relatios de comparaisos de suites Soiet u et v deux suites réelles, avec v e s aulat pas au delà d u certai rag. O dit que u est égligeable devat v, et o ote u = ov, ou u << v, lorsque u 0. u est équivalete à v, et o ote u v, lorsque u u est domiée par v, et o ote u = Ov, lorsque v. u v est borée. Remarque 6 O pourra préférer selo le cotexte le poit de vue : «il existe ue suite α telle que u = α v avec α respectivemet...» pour exprimer l équivalece respectivemet... de deux suites. Formellemet, il permet d ailleurs de traiter le cas où les suites s aulet... O ira visiter so cours de première aée pour toutes les propriétés stadards de ces relatios. O gardera e particulier e tête les plus importates : Fait : Sommer les équivalets, c est très mal. E predre les expoetielles, ce est guère mieux. E cas d evie pressate de sommer des équivalets, o passera par des développemets limités... v Exercice 5 Motrer que si u et v, alors u + v 3 Il y a bie etedu beaucoup d autres éormités qu il serait dommage de e pas régulièremet proférer... Exercice 6 Au sujet des équivalets... EXERCICE IMPORTANT Prouver qu au voisiage de 0, e x + x + x x + x3 6 Costater que les deux équivalets sot grotesques. Promettre de e jamais l écrire... Il est essetiel d avoir e tête dès le réveil les relatios etre les foctios usuelles, que ce soit au voisiage de 0 comme de +. Exemples Lorsque t ted vers + : l t << l t << l t 00 << t 0,00 << t << t << t << t 00 <<, 00 t << t. Lorsque t ted vers 0 + : t << t << t 0,000 << << l t 00 l t Bref, e cas de combat 3 «forme idétermiée», ce sot les expoetielles de t qui l emportet 4 sur les puissaces de t qui l emportet sur les puissaces des logarithmes de t. Les développemets limités usuels, et les grads pricipes pour les mettre e œuvre... serot cosultés das le cours de sup. Attetio, ils vot être pratiqués à assez haute dose cette aée e gééral ; das ce chapitre e particulier. Pour travailler au voisiage a R \ {0}, o se ramèera systématiquemet à 0 e écrivat la variable a + u, avec u petit. Fait : Il existe que 0 et +. À la rigueur,. π π Exemple O s itéresse à u = cos + si. O ote tout d abord que u = exp l v, avec v tedat vers. O va doc chercher u développemet limité de la forme v = 3. toujours commecer par regarder si les différets termes e sot pas d accord, bie etedu! 4. au ses : «tedet plus rapidemet vers 0 ou +» 6

7 + K + o/. O doit doc préciser le comportemet de cos e π 3 et si e π. Taylor-Youg ous 6 π doe cos 3 + u = 3 π u + ou et si 6 + u = 3 + u + ou. Par ailleurs, π 3 + = π 3 + = π o/ = π 3 π 9 + o/, 3 et de même : doc π 6 + = π 6 π + o/, doc e composat les développemets limités : 36 cos π 3 + = + π 3 8 π π cos + si π + o/, et si = 6 + π o/, = + π } {{ } /4 + o/. O a alors l v π 3 4 puis lv π 3 équivalet qu o évitera de passer à l expoetielle... 4 π 3 puis lv, doc par cotiuité de la foctio expoetielle : 4 π π cos + si = exp l v 3/ eπ. > limitcos*pi/3*++si*pi/6*+**,=ifiity; Exercice 7 CCP 008 e π 3/4. Soiet deux suites réelles u et v telles que u v. Motrer qu à partir d u certai rag, les deux suites ot même sige.. Quel est le sige de sih ta pour assez grad? Termios par trois exemples complètemet rédigés : ue limite, u développemet limité «brut», et u problème d asymptote. Exemples 3 si u l + u Motrer que e u possède ue limite lorsque u ted vers 0. cos u Numérateur et déomiateur tedet vers 0 ; o va doc chercher u équivalet de l u et de l autre. Puisqu il s agit de différeces, o va passer par des développemets limités. ATTENTION : l exercice est presque termié. La réflexio/phrase précédete est la pierre agulaire du calcul. Faisos semblat de ous faire avoir, e commeçat à l ordre. si u l + u = u + ou u + ou = ou, et ceci e ous doe pas d équivalet. Avos-ous perdu beaucoup de temps? Repreos à l ordre : si u l + u = u + ou u u + ou = u + ou u Pour le déomiateur, à l ordre : e u cos u = + u + ou + ou = u + ou u, 7

8 de sorte que : si u l + u e u cos u u u = u, et doc : si u l + u e u cos u 0. u 0 À reteir : commecer u ordre trop bas e fait pas perdre beaucoup de temps surtout au brouillo. Aller u ordre trop loi coûte toujours du temps, et souvet des erreurs. Coclusio? lcos x Calculer le développemet limité à l ordre 4 e 0 de + x + x Le développemet limité de l cos x commece par u terme d ordre qui sera mis e facteur. Pour le déomiateur, o a doc seulemet besoi d aller à l ordre. O va utiliser l + u = u u + ou avec u x et + αα vα = + αv + v + ov avec α = et v x. D ue part, Par ailleurs : et doc : l cos x = l x + x4 4 + ox4 = x = x x4 + ox4 = x + x4 + x 6 + ox 4 x ox4 + x + x / = x + x x + ox = x 8 x + ox, lcos x + x + x = x = x + x 6 + ox x 8 x + ox + x + 6 x + ox, 8 soit fialemet : lcos x = + x + x x + x3 4 x ox4. Motrer que le graphe de l applicatio f : x x 6 + x 5 + x 4 + x 3 + 3x + 4 l + x possède ue asymptote au voisiage de +. Doer les positios relatives. O a directemet fx x 6 x = x. Plus précisémet comme d habitude, o calcule deux termes au delà de l équivalet, puisqu o souhaite u développemet de la forme fx = ax + b + c x + o/x : x6 + x 5 + x 4 + x 3 + 3x + 4 = x 3 + x + / x + o/x = x 3 + x + x 8 x + o/x.. Par ailleurs : l + x = x 4 x 4 + o/x4 = x x + o/x 8

9 E multipliat ces développemets limités, o obtiet : fx = x 3 + x x + o/x = x + x 8x + o/x = x + 4x + o/x. x x + o/x Aisi, fx x + 4x x + 0, et doc : le graphe de f a pour asymptote la droite d équatio y = x +, et est situé dessous. Si o représete le graphe de f et so asymptote, o peut peser que le premier est situé sur le premier... mais e fait o! Figure 3 Le graphe de f passe bie sous so asymptote... À reteir : pour multiplier des développemets limités, o se ramèe à + +. Si vous savez faire de faço correcte et covaicate, cotiuez. Sio, passez à ma méthode. Je e le redirai pas cet fois. Mais probablemet ue ciquataie tout de même..5 Relatios de récurrece d ordre et Les suites géométriques sot coues depuis quelques aées... Ils s agit de suites vérifiat ue relatio liéaire. Celles vérifiat la relatio affie associée «u + = au + b» s étudiet de faço stadard das la relatio liéaire/affie e cherchat u poit fixe l = al + b équatio qui doit posséder ue solutio dès que a... puis e cosidérat la suite v défiie par v = u l : elle vérifie maiteat la relatio v + = av, ce qui ous permet d avoir v puis u. Quad ue suite vérifie ue relatio liéaire d ordre à coefficiets costats u + = au + + bu, o coaît égalemet so expressio. O rappelle ici seulemet le résultat cours de sup : il est très aturel si o cherche des suites géométriques vérifiat la relatio de récurrece. Théorème 4 Récurreces liéaires d ordre Soit u ue suite complexe vérifiat u + = au + +bu pour tout N avec a C et b C. O cosidère alors l équatio caractéristique ρ = aρ + b C. Si C possède deux racies distictes ρ et ρ, alors il existe deux costates K, K C telles que pour tout N, u = K ρ + K ρ. Si C possède ue racie double ρ 0, alors il existe deux costates K, K C telles que pour tout N, u = K ρ 0 + K ρ 0. Remarque 7 O évitera d appliquer ce type de résultat pour des récurreces de la forme u + = + u + u... 9

10 Exercice 8 Prouver le résultat précédet disos das le cas des racies distictes 5. Éocer esuite u théorème traitat les récurreces liéaires d ordre 3. Le prouver das les cas de trois racies distictes. Exemple 4 La suite de Fiboacci vérifie les coditios iitiales : f 0 = 0, f =, et la relatio de récurrece f + = f + f + pour tout N. L équatio caractéristique ρ = ρ + possède pour racies ϕ = + 5 et ϕ = 5, doc il existe K, K R tels que pour tout N, f = K ϕ + K ϕ. Grâce aux coditios iitiales, o trouve fialemet : N, f = 5 ϕ ϕ. Exercice 9 CCP 009 Soit u telle que u 0 > 0, u > 0, et u + = u u + pour tout N. Détermier la valeur de u. O va maiteat s itéresser aux suites u vérifiat ue relatio de la forme u + = fu, avec f ue foctio de R das R. Si f est pas défiie sur tout R mais seulemet u domaie D, o doit avoir fd D pour être certai que la relatio défiit bie ue suite u. Il est essetiel de maîtriser u cas particulier favorable : lorsque f est croissate. O va se placer sous cette hypothèse, avec f défiie et cotiue sur R. Le schéma d étude est TOUJOURS le même. Fait : Ceux qui e ferot pas comme ça peuvet tout de suite déchirer leur copie : je e corrigerai pas. Il est d ailleurs coseillé de rédiger sur ue copie idépedate, pour éviter les dégâts collatéraux... Voici doc la procédure à suivre : o étudie rapidemet si possible les variatios de f et le sige de fx x ; o représete le graphe de f et les premiers termes de la suite, avec l escalier habituel 6 ; o sigale ce qu o devie sur le comportemet de la suite ; o prouve que tel itervalle est stable seule la croissace de f et les évetuelles relatio fx = x itervieet 7 ; o prouve que tous les termes de la suite sot das tel itervalle sur lequel x fx x garde u sige costat... : récurrece immédiate mais o la rédige si o a peur que le correcteur ait des doutes, ce qui sera fatalemet le cas quad le reste de la rédactio est «flottat». o costate alors que u est mootoe, e utilisat 8 la localisatio de la suite et le sige de fx x ; o ivoque u résultat qui va ous dire que u possède ue limite ; ici, il y a deux possibilités :. Pour prouver que u +, o évite de lacer dès le début le très drôle mais fialemet pas tat que ça 9 «la suite est croissate et o majorée doc ted vers +». O prouve qu ue évetuelle limite fiie vérifierait fl = l trois argumets doivet apparaître das la preuve, et o localise la limite via le passage à la limite de u 0 u qui fourit u 0 l, que l o combie esuite avec x 0 < u 0 avec x 0 le plus gros poit fixe de f pour obteir x 0 < l, ce qui ous doe ue absurdité, et il reste à coclure.. Pour prouver ue covergece vers u poit fixe x 0, o ote l la limite 0 ; o prouve comme plus haut que fl = l : c est gagé s il y a u seul poit fixe. S il y e a plusieurs, o localise à ouveau la limite. o se relit parce qu o sait que la moidre bêtise sera détectée istataémet. 5. Il s agit de résoudre ue ifiité d équatios avec deux icoues K et K. C est a priori u peu difficile. O peut doc faire ue aalyse : si toutes les équatios sot vérifiées, alors les deux premières le sot, ce qui impose la valeur de K et K. Das la sythèse, o fixe K et K aisi. Les deux premières équatios sot alors vérifiées, et la relatio de récurrece ous assure que la troisième le sera, puis la quatrième : ue petite récurrece double ou avec prédécesseurs permet de coclure. 6. E gardat le cerveau braché, pour e pas le faire das le mauvais ses 7. Vous avez parlé de cotiuité? poubelle. Vous avez expliqué que fx +? poubelle x + 8. Vous préférez ue récurrece? poubelle. Vous trouvez ça fasciste de ma part? Oui, et doc? 9. Les statistiques sot formelles : 00% du temps, le «o majorée» sigifie quelque chose du gere «be u, doc u est pas majorée» 0. C est l u des momets de la preuve ou vous avez u petit degré de liberté : la limite peut être otée autremet. Et o, les «be la suite est etre x et x et décroît, doc l = x» e sot pas acceptés : cosidérer plutôt l iégalité x u u 0 et la passer à la limite.... Et o e racote etre et 8 la première fois ; c est u grad résultat sur les suites à bie avoir e tête 0

11 Exemple 5 Soit u défiie par u 0 = π et u + = siu pour tout N. La foctio f = si a u comportemet plutôt bie cou... et vérifie fx x pour tout x 0 résultat classique qu o peut établir dès la classe de termiale avec ue étude de foctio. Sur [0, π/], o la verra plutôt comme ue iégalité de covexité. Il y a même égalité si et seulemet si x = 0. Figure 4 L escalier usuel O va prouver que u est décroissate et ted vers 0. Puisque fr [, ], il y a peu d itervalles stables. Mais I = [0, π/] est tout de même effectivemet stable : si 0 x π, la croissace de f ous assure que 0 = f0 fx fπ/ = π O défiit, pour N, P la propriété «u I». O a u 0 = π, doc P0 est vérifiée. Supposos maiteat P vraie pour N fixé. O a alors u I ; or I est stable par f, doc fu I, c est-à-dire : u + I, ce qui prouve P +. La propriété P est doc vérifiée pour tout N. Pour tout x I, fx x. O les u sot das I, doc vérifiet fu u, c est-à-dire u + u. La suite u est doc décroissate et miorée par 0 d après la localisatio das I, doc coverge vers l R. D ue part, u + l suite extraite et d autre part fu fl par cotiuité de f e l. Puisque u + = fu, l uicité de la limite ous assure que fl = l. Mais sur R, 0 est la seule solutio de cette équatio iégalités strictes fx < x et fx > x pour x > 0 et x < 0, et doc : u 0 Remarque 8 Au sujet des récurreces : No, je e pars pas du pricipe que vous savez les rédiger : c est à vous de m e covaicre. AUCUNE récurrece e peut se faire sas que l o précise soigeusemet ce qu est la propriété au rag, p ou autre chose. Les guillemets autour de ce qu est précisémet P sot même idispesables. Avec le métier, vous compredrez pourquoi. E attedat, vous le faites, épicétout. Quad vous saurez efi rédiger les récurreces d ue faço que je juge satisfaisate, vous costaterez qu écrire les choses soigeusemet est pas beaucoup plus log que de faire importe quoi... Exemple 6 O suppose maiteat : u + = fu, avec 0 ex Les variatios de f sot sas mystère. Pour le sige de ϕ : x fx x, o ote que ϕ est cotiue, strictemet décroissate sur ], l 0], et ϕx +, doc ϕ iduit ue bijectio de ], l 0] sur [ϕl 0, + [. Mais ϕl 0 < 0, x doc il existe u uique x < l 0 tel que ϕx = 0, soit ecore fx = x. Le même travail à droite de l 0 ous assure l existece d u uique x > l 0 tel que fx = x. Les variatios de ϕ permettet de termier l étude du sige de ϕ, et doc de la positio du graphe de f par rapport à la droite d équatio y = x. x x x fx x

12 Figure 5 x 0, et x 3, 58 O voit que trois itervalles vot iterveir : I =], x ], I = [x, x ], et I 3 = [x, + [. La croissace de f ous assure que ces trois itervalles sot stables par f. Par exemple, si x I, alors x x x, doc fx fx fx, mais fx = x et fx = x, doc fx I. Pour I 3, il suffit de oter que si x x, alors x = fx fx et il est pas questio d être plus petit que Si u 0 = x ou u 0 = x, alors u = fu 0 = u 0, puis par récurrece immédiate : u = u 0 pour tout N : la suite est statioaire.. Si u 0 I, la stabilité de I par f ous assure via ue récurrece immédiate que tous les u sot das I. Sur cet itervalle, fx x, doc o a toujours u + = fu u. La suite u est doc croissate, majorée par x, doc admet ue limite l vérifiat fl = l trois argumets usuels..., c est-à-dire ϕl = 0, doc l = x ou x. L iégalité u x passée à la limite ous assure l x, puis l = x. 3. Supposos u 0 ]x, x [ I : I est f-stable, doc tous les u sot das I par récurrece immédiate. Sur cet itervalle, fx x, doc u est décroissate, miorée par x, doc admet ue limite l vérifiat fl = l, c est-à-dire ϕl = 0, doc l = x ou x. L iégalité u u 0 passée à la limite ous assure l u 0 doc l < x, puis l = x. 4. Si u 0 > x, alors u 0 I 3 ; ue récurrece immédiate ous assure que tous les u sot das I 3. Sur cet itervalle, fx x, doc u est croissate. Si elle covergeait, sa limite l vérifierait fl = l. Mais l iégalité u u 0 passée à la limite fourit l u 0 > x > x, doc l e peut être poit fixe de f, ce qui est absurde. Aisi, u est croissate et o covergete, doc ted vers +. Figure 6 Les trois comportemets possibles Remarque 9 Je e coais pas de théorème qui dise «si les u sot das I et coverget vers l, alors l I». Et vous?

13 .6 Au sujet des suites de Cauchy Das la défiitio de la covergece, o a besoi de l existece de l tel que... Parfois, les termes d ue suite se rapprochet les us des autres de faço «suffisammet covaicate» pour pouvoir affirmer que la suite coverge... sas pour autat coaître la limite. Défiitio 6 Suites de Cauchy Ue suite réelle u est dite de Cauchy lorsque : Ou ecore : ε > 0, N N; p, q N, u p u q ε. ε > 0, N N;, r N, N = u u +r ε. La défiitio s éted de faço aturelle aux suites complexes, ou ecore à valeurs das espace vectoriel ormé. Bie etedu 3, toute suite covergete est de Cauchy. La réciproque est vraie pour des suites réelles ou complexes, mais pas ratioelles, par exemple : ue suite de Cauchy costituée de ratioels est pas forcémet covergete si o reste das Q : predre par exemple q = E0 0 Les espaces das lesquels les suites de Cauchy sot toutes covergetes sot appelés «espaces complets» : c est le cas de R ou C. Ce sujet sera brièvemet abordé das le chapitre sur la topologie. 3 Séries à termes positifs Das cette partie, o traite des séries positives. Bie etedu, tous les résultats se traduiset facilemet das le cas de séries égatives. Le poit crucial est que la positivité des u ous assure la croissace de la suite des sommes partielles, doc ces sommes partielles admettet ue limite : fiie, ou +. O s autorise d ailleurs parfois la otatio + u = +. C est à la fois bie pratique quad o compred précisémet ce qu o racote... et dagereux. La plupart du temps, o aura u équivalet à ou domié par quelque chose de simple géométrique, ou de la forme K. Il coviet doc de bie coaître le comportemet des séries géométriques ce α qui est pas trop compliqué... et celui des séries dot le terme gééral est de la forme séries de Riema : u théorème ous permettra de relier le comportemet des séries de termes gééraux équivalets ou domiés l u par l autre. Exercice 0 Motrer que si 0 u v pour tout N et v coverge, alors u aussi. α 3. Cas de base : géométriques et de Riema Exceptioellemet, o peut faire u petit passage das C : c est le seul momet de cette partie où les séries e sot pas forcémet à termes positifs. Théorème 5 Séries géométriques Soit q C. Si q, alors q diverge grossièremet. Si q <, alors q est covergete, avec de plus : 3. efi... vérifiez le tout de même! q = q et =N+ q = qn+ q 3

14 Preuve : Le premier poit est clair. O peut être ajouter que das le cas où q >, o a u équivalet simple de la somme partielle : q k q+ q k=0 Supposos maiteat : q <. Si N N, alors N obtiet bie la secode relatio. k=0 q k = qn+ q N + Par différece, o q Théorème 6 Séries de Riema Soit α > 0. Si α >, alors α coverge. Figure 7 = = Si α =, alors α série harmoique diverge, avec de plus N Si α <, alors α diverge, avec de plus N Preuve : Comparaisos sommes/itégrales. = α N α α = l N. Le résultat suivat est laissé e exercice, mais est vraimet à la frotière du cours... Exercice Soit α >. À l aide d ue comparaiso somme/itégrale, doer u équivalet du reste de α 3. D Alembert et compagie Il arrive que u ait pas d équivalet simple. O peut alors s itéresser au rapport u + u pour peu que u 0!. Si o pese aux suites géométriques, o imagie bie que c est la positio de ce rapport vis-à-vis de qui va arbitrer. Théorème 7 Règle de d Alembert pour les séries Si u est ue série de réels strictemet positifs tels que u + l, alors : u si l < alors u coverge ; si l > alors u diverge grossièremet. 4

15 Preuve : Placer r strictemet etre et l. Pour assez grad, o aura u + u etre l et r. Si l <, cela permet de majorer u à partir d u certai rag par ue suite géométrique de raiso r < puis de majorer les sommes partielles de u par ue série covergete. Das le cas où l >, o peut miorer u à partir d u certai rag par ue suite géométrique de raiso r >. Exemples 7 Pour diverge grossière- Pour met.! , o a u + = + u +!, o a cette fois u + = = u doc + e >, doc! coverge.! Il aura pas échappé au lecteur qu il reste u cas taget. E fait, cette règle échoue si u est équivalet à α Et Duhamel arrive alors sur so cheval blac. Cette fois, o e va plus comparer u à ue suite géométrique, mais à ue suite de la forme v = β, pour laquelle v + ted certes vers, v mais plus précisémet v + = + β = β + o/. C est alors la positio de β par rapport à v qui va décider de la covergece/divergece. Théorème 8 Règle de Duhamel O suppose que u est ue série de réels strictemet positifs tels que u + u si α > alors u coverge ; si α < alors u diverge. = α +o/. Preuve : Comme d habitude cf la règle de d Alembert, mais aussi l exercice, o va placer u réel etre et α : + α est u bo cadidat. Supposos α >. O pred alors β = + α, de sorte que < β < α, et o cosidère γ = u / β : o a γ + + o/. Or β α < 0, doc γ + γ γ disos N 0. O a alors γ N0 décroissate, doc 0 < u N β 0 u N 0 = = + β α à partir d u certai rag,, et le membre de droite β est bie le terme gééral d ue série covergete, ce qui permet de coclure. Le cas α > se traite exactemet de la même faço : il coduit à ue mioratio de u par ue série positive divergete. Exemples 8 Pour u =! 4!, o a u + = = u + o/, doc! 4! diverge. Pour u = e! + o trouve cette fois u + u = = 3 +o/, doc e! est covergete. + Remarque 0 Il existe des «amélioratios» de Duhamel... d u itérêt limité. Sauf comme toujours pour résoudre les exercices dot l objectif est de justifier lesdites amélioratios. 3.3 Les théorèmes de comparaiso Ils ous diset que das le cas des séries à sige costat, deux séries équivaletes ot le même comportemet. 5

16 Théorème 9 Séries de termes équivalets Si u et v sot deux séries à termes positifs, avec u v, alors les deux séries coverget, ou bie les deux séries diverget. Preuve : O suppose d abord u covergete. Le rapport v ted vers, doc est majoré par u pour assez grad, disos N 0. Pour de tels, o a alors : N 0 v k = v k + v k K + u k K + u k. k=0 k=0 k=n } {{ } 0 k=n 0 k=n 0 =K Aisi, v k est croissate et majorée 4, doc covergete. k=0 Par symétrie, o a bie u covergete si et seulemet si v est covergete. Exemple 9 La série si coverge, alors que l + diverge. Remarque Attetio : si o pred u = et v = u +, alors u v, u coverge o le verra das la partie 4 alors que v diverge somme d ue covergete et d ue divergete d après Riema. Exercice St Cyr 009 Doer la ature de la série de terme gééral u = e + Les séries de réels positifs ot le comportemet qu o peut raisoablemet espérer vis-à-vis des autres relatios de comparaisos... Théorème 0 Diverses comparaisos de séries Soiet u et v deux séries à termes positifs. Si u = Ov et v coverge, alors u coverge. Si u = ov et v coverge, alors u coverge. Si u v à partir d u certai rag et v coverge, alors u coverge. Preuve : Les deux deriers éocés... sot coséqueces du premier! Supposos doc u = Ov, avec v covergete. Il existe alors A > 0 et N 0 tels que pour tout k N 0, u k Av k. O obtiet alors comme plus haut pour N 0 : u k = k=0 N 0 k=0 u k } {{ } =K et o coclut à ouveau comme plus haut! + k=n 0 u k K + A k=n 0 v k K + A k=n 0 v k, Exemple 0 Nature de la série e? Mies 009 Moralemet, l expoetielle va redre le terme égligeable devat beaucoup de choses. Par exemple : e 0 c est clair? doc e = o/, doc e coverge. 4. et o a bie pris soi de majorer par ue costate, comme toujours... 6

17 Exercice 3 Pour quels triplets a, b, c R 3 la série a + b + + c + est-elle covergete? 3.4 Sommatio des relatios de comparaiso «O e somme pas deux équivalets. Mais plus, c est parfois autorisé» Attetio, deux séries de termes équivalets... ot pas la même somme! Predre par exemple votre série covergete préférée u, puis défiir v e preat v 0 := u et v := u pour tout N. Les relatios qu o va voir ici permettet de comparer : les sommes partielles e cas de divergece doc des choses tedat vers + ; les restes e cas de covergece doc des choses tedat vers 0. Théorème Sommes partielles et restes pour la égligeabilité Soiet u et v deux séries à termes positifs, avec u = ov. Si v coverge, alors u aussi, et u k = o v k. k> k> Si v diverge, alors u k = o v k. k k Preuve : O échappe pas à u petit ε... Das le premier cas, il y aura u passage d iégalité à la limite. Das le secod, il s agit d ue preuve «à la Cesàro»... Remarque O va avoir besoi das la suite de la versio plus forte où seule v est supposée à termes positifs. Das ce cas, o ote que u est covergete, ce qui etraîe attedre u peu... la covergece de u, et le reste est essetiellemet questio d iégalités triagulaires. Ces résultats sot souvet utilisés das le cadre d équivalets... Théorème Sommes partielles et restes pour l équivalece Soiet u et v deux séries à termes positifs, avec u v. Si v coverge, alors u aussi, et u k v k. k> k> Si v diverge, alors u k v k. k k Preuve : Hum... si u v, o peut écrire u = v +ε, avec ε = u v = ov, et o est vaguemet rameé au théorème précédet... Exemples O obtiet aisi : U équivalet simple commu est d ailleurs k k k + k k + k k k : o peut le voir par ue comparaiso somme/itégrale pour t etre et N, puis e faisat t tedre N vers +, ou grâce à la très tricky décompositio k + k = k sommée etre k + et N, avat u passage à la limite e N... Le «lemme de l escalier» dit que si u + u l R, alors u l fourissat aisi u équivalet de u si l 0. Il peut être vu comme ue coséquece de théorème de Cesàro... mais aussi toujours pour l 0 comme ue sommatio d équivalets pour la la série divergete u + u. 7

18 Exercice 4 Mies 009 Soit α R. O cosidère la suite u défiie par so premier terme u > 0 et la relatio de récurrece u + = u + α u pour tout.. Motrer que u coverge si et seulemet si α >.. O suppose α > et o ote l la limite de u. Doer u équivalet de u l lorsque ted vers Das le cas où α <, doer u équivalet de u lorsque ted vers Comparaisos sommes/itégrales O a déjà vu séries de Riema le bééfice qu o pouvait tirer d ue comparaiso somme/itégrale. Il y a aucu résultat particulier à ce sujet à coaître, mais il faut être capable de rédiger de faço correcte et efficace ce type de comparaisos. Elles vot s appliquer et toujours de la même faço! pour + des sommes partielles fk ou restes fk lorsque f est mootoe, avec : k= k=+ la série f diverge, et f est égligeable devat logarithmique mais pas expoetielle ; la série f coverge, avec f est égligeable devat 0 f typiquemet : f est polyomiale, + O commecera systématiquemet par faire u dessi sur lequel o voit les quatités qui vot être comparées : typiquemet, deux rectagles d aire fk et pas fk ou fk +..., et deux itégrales. Exemple Doer u équivalet de Soit f : t > l t k= l k f. lorsque ted vers + X-ESPCI PC, 00. Cette applicatio est décroissate sur ], + [, si bie qu e fixat k >, o a ft fk pour tout t [k, k + ]. E itégrat cette iégalité sur [k, k + ], o trouve E travaillat sur [k, k] mais avec cette fois k 3, o obtiet de même fk.05, f.37 k k k+ k f. f fk. k- k k+ Figure 8 Toujours le même dessi... E preat 3 et sommat les iégalités pour k [, ] à gauche ou k [3, ] à droite, o trouve : + dt 3, l t l k l + dt l t Il e faut pas espérer «calculer» ces itégrales. Cepedat, ue itégratio par parties fourit : k= dt l t = 8

19 t l t dt l, et doc : t l + l dt + l t + dt l t l k l l + dt l t X Comme l t = o dt dt et que + pourquoi, au fait?, o peut espérer avoir l t l t X + l t = dt o O a alors trois optios : l t O utilise le résultat raisoable... et qui sera au programme plus tard das l aée : «si f et g k= sot deux foctios positives sur R +, avec f = og e + et X o 0 g» ; X 0 g X + +, alors o le reprouve à la mai techique à la Cesàro ; o feite e repassat par les séries! Développos le derier poit de vue : ue comparaiso somme/itégrale de même type que celle vue il y a quelques liges fourit : X 0 R f = 3, + dt l t k= l k l + dt l t et «doc» 5 : k= l k k= l k = o l k k= das ses bottes : dt l t Comme par ailleurs diverge, le théorème ous assure : l dt l t = o Il reste à repredre R et affirmer, droit l k, et doc : k= k= l k l Exemple 3 Motrer : l, puis : l γ R γ, qu o e cherchera pas à k= k k= k «calculer», s appelle la costate d Euler. Soit f : x x Ue comparaiso somme/itégrale fourit : dt + t k= + k dt t Le membre de gauche vaut l + l, et celui de droite : l + = l + l + / l, doc o a bie l. k= k Pour évaluer la différece δ = l, o peut voir δ comme ue somme de série : k Puisque δ k δ k = k ue suite covergete. 5. vous sauriez préciser? k= δ = δ 0 + δ k δ k. k= + l /k, la série k δ k δ k est covergete, doc δ est k= 9

20 Das le cas de covergeces, le pricipe est le même. O ecadre ue somme fiie avat de passer à la limite... Exemple 4 O cherche u équivalet de fx = + x + lorsque x ted vers +. Bie etedu, cette somme est bie défiie pour tout x R. U exercice prélimiaire 6 peut cosister à motrer à la mai e coupat les ε e que fx 0. Pour prouver cette covergece et établir x + u équivalet, o va doc FIXER x, et cosidérer g : t + x + t : o a alors fx = g. La foctio g est décroissate sur R +, doc o a par comparaiso somme/itégrale : N N, N 0 g + gn N N g g + g. I 0 Puisque et efi : N 0 g = x arcta N x N + π, o peut passer I à la limite e N pour obteir : x π x fx π x + x +, + π x + x x Exercice 5 Détermier u équivalet simple de k= l γ. k > asymptsum/k,k=..,; l + γ O 6 4 Séries alterées Défiitio 7 Séries alterées Ue série u est dite alterée lorsque pour tout k, u k est du sige de k. Si c est le sige de k+, ça marche aussi... O peut aussi demader à k u k d être de sige costat, ou bie préférer la coditio u k u k+ 0. Mais o évitera le a-priori-raisoable-mais-e-fait-o «pour tout k, u k+ et u k ot des siges différets» problème des aulatios... L exercice qui suit, «assez proche du cours» cocere les deux résultats clé à coaître sur le sujet... Exercice 6 CCP 008 Soit u ue suite positive, décroissate et de limite ulle.. Motrer que u coverge.. Motrer que + k= k u k u. 6. que le lecteur est ivité à chercher... 0

21 4. Observos la somme Soit u ue série alterée. O ajoute ici l hypothèse : «la suite u est décroissate». O a alors s = u 0 + u u 0 = s 0, et de faço tout aussi claire : s = s + u s. Plus fiemet : s s 0 = u + u = u u 0, doc s s 0. s s 3 s 5 s 4 s s 0 u u u3 u 4 Figure 9 Alteroimets O motre de la même faço que pour tout N, s s et s + s +3. Fialemet : s s 3 s + s s s LE théorème sur les séries alterées Le résultat suivat est souvet malommé «critère spécial des séries alterées»... Théorème 3 Règle de Leibiz Si u est ue série alterée telle que u est décroissate et ted vers 0, alors cette série coverge. Preuve : Comme o l a vu plus haut, les suites extraites des sommes partielles s et s + sot adjacetes décroissate/croissate, avec ue différece tedat vers 0, doc covergete vers ue limite commue. O sait alors que s coverge vers cette limite commue à s et s +. Remarques 3 Le lemme utilisé «si α l et α + l alors α l» se démotre facilemet : o fixe ε > 0. Pour p assez grad, disos p P 0, o a α p l ε et α p+ l ε. O a alors pour tout P 0 + : α l ε distiguer selo la parité de. O peut survivre sas le théorème sur les suites adjacetes, si o est capable de le redémotrer à chaque fois. Ici, o a s + croissate et majorée par s 0 fixer : o a alors s + s s 0 par décroissace de s... doc covergete vers disos l. Même chose pour s, qui coverge doc vers l. Puisque s + = s + u +, o obtiet bie l = l... Attetio, la coditio de décroissace de u est souvet oubliée. Exemple 5 La série harmoique + est covergete. Il e va de même pour toutes les séries de la forme α, dès que α > 0 : ces séries e sot pourtat pas «absolumet covergetes» la série des valeurs absolues diverge quad α. Exercice 7 E utilisat le résultat de l exemple 3, motrer : + = + = l. Exercice 8 Exhiber ue suite alterée u telle que u 0 mais qui e coverge pas.

22 4.3 Maipulatio du reste O a ue première iformatio assez forte sur le reste d ue série alterée vérifiat les hypothèses de la règle de Leibiz : Théorème 4 Reste d ue série alterée Soit u ue série alterée telle que u ted vers 0 e décroissat. Le reste R = est alors du sige de u +, et R u +. + u k k=+ Preuve : Supposos par exemple u positif. O a alors u + + u + 0 par décroissace de u, et +P + + de même u +p+ + u +p+ 0, doc u k 0, puis u k 0 par passage d iégalité à la k=+ k=+ limite : R est bie du sige de u +. Par ailleurs, R = u + + R +, et R + 0, doc : u + R 0. O obtiedrait bie etedu, das le cas où u est égatif : 0 R u +, ce qui prouve bie les résultats aocés. Si o veut des iformatios plus précises sur le reste, o peut regrouper les termes par deux : par décroissace de u, o obtiet alors ue série de termes à siges costats. Pour peu qu o ait u équivalet de ces regroupemets par deux... k+ Exemple 6 Pour la série harmoique : R = est du sige de + et est majoré k=+ k e valeur absolue par Preos par exemple = p. O a + R = p + p + + = + k=p + k + + = k + k=p k + k + Puisque k + k + est le terme d ue série positive covergete, les restes sot équivalets, 4k et ue comparaiso série/itégrale ous doe cet équivalet : R + k=p + 4k dt p 4t = 4t = L équivalet améliore u peu la majoratio iitiale du reste. Pour impair, o peut refaire le même travail... ou bie oter que R p+ = R p p + = 4p p + o/p = 4p + o/p p +, et aisi pour uifier les cas pair/impair : R Exercice 9 Motrer... que la série de terme gééral u = équivalet simple du reste 7 R = + u k. k= est covergete, et doer u 7. Et oui, il y a u décalage volotaire :-

23 5 Séries géérales 5. Séries absolumet covergetes La défiitio qui suit s applique aux séries de réels ou de complexes. E remplaçat les valeurs absolues par des ormes, elle garde du ses das les espaces vectoriels ormés. Défiitio 8 Covergece absolue Ue série u est dite absolumet covergete lorsque la série u est covergete. O a déjà vu des séries qui coverget sas être absolumet covergete : + par exemple. Réciproquemet, das R, C ou les espaces vectoriels ormés de dimesio fiie, la covergece absolue etraîe bie la covergece... ce qui est d ailleurs bie pratique pour établir rapidemet la covergece d ue série. Théorème 5 Absolue covergece Toute série de complexes absolumet covergete est covergete. Preuve : O commece par le cas réel : o peut écrire u = v w, avec v = u + = maxu, 0 et w = u = max u, 0. O a alors v et w qui sot deux séries positives, et leurs sommes partielles sot majorées par u. Ces séries coverget doc, et il e va alors de même pour u. Passos maiteat au cas complexe : O écrit u = x + iy, avec x, y R. O a a maiteat N x N u o a pas utilisé ue mystérieuse 7ème iégalité triagulaire, mais juste le fait que le module d u complexe est plus grad que la valeur absolue de la partie réelle!. O a doc N x + u, doc x est covergete, doc x est absolumet covergete, doc covergete. Le même raisoemet s applique bie etedu à y, et permet de coclure. Exemple 7 Si z C, la série z! d Alembert, ou bie l exercice avec u = z! Défiitio 9 Expoetielle d u complexe Si z C, l expoetielle de z vaut e z = + est absolumet covergete : utiliser par exemple la règle de z! 5. Espaces l p frotière du programme O ote l N l esemble des séries absolumet covergetes. C est bie etedu... u espace vectoriel. Défiitio 0 Espaces l p Soit p. O ote l p N ou l p l esemble des séries complexes u telles que u p est covergete. Exercice 30 Soiet p, q R tels que p < q. Motrer que l p l q. Il est pas si clair que l p costitue u espace! Le poit «peu clair» est la stabilité par somme. E repreat le cours sur la covexité de première aée, o trouve des iégalités qui sot là pour ça : l iégalité de Mikowski ous dit grosso modo que si u, v l p, alors u + v égalemet, avec de plus /p /p /p u + v p u p + v p. 3

24 Ceci ous fourit d ailleurs l iégalité triagulaire pour la orme aturelle sur l p. Défiitio Normes sur l p Si u l p, sa «orme l p» est u p := + /p u p. Le cas de l est assez spécial, puisque est associée à u produit scalaire ou hermitie das le cas complexe. Propositio L applicatio u, v + u v est ue forme biliéaire symétrique défiie positive sur = l espace l des séries réelles de carré sommable. Remarque 4 O ote e gééral l l espace costituée des suites borées de réels ou complexes, selo le cotexte. Il s agit égalemet d u espace vectoriel ormé, pour peu qu o défiisse u = sup u. Nous reviedros plus tard sur le cas de l espaces préhilberties et sur l p e topologie, ous ous itéresseros aux formes liéaires cotiues défiies sur l p, et évetuellemet au caractère complet des espaces l p. 5.3 Produit de Cauchy O essaie ici de doer u ses raisoable au produit de deux séries u et v o écessairemet covergetes, disos u v = w pour qu esuite, si les deux premières séries coverget, alors le produit + + w aussi... avec si possible u v = + w. Exercice 3 Calcule le produit u 0 + u + u + u 3 v 0 + v + v + v 3, et costate qu il e vaut pas toujours u 0 v 0 + u v + u v + u 3 v 3! Défiitio Produit de Cauchy Si u et v sot deux séries, leur produit de Cauchy est la série w telle que pour tout N, w = k=0 u k v k. Lorsqu il y a pas covergece absolue des séries, des choses u peu péibles peuvet se passer. Exemple 8 Soit u =. La série u est covergete, mais la série produit w = + u u diverge. Cet exemple est dû au grad Cauchy lui-même! Pire, o peut trouver 8 des produits covergets de séries covergetes... mais pour lesquels la somme du produit de Cauchy est pas égale au produit des sommes des séries iitiales. Pouah! Comme souvet, la covergece absolue arrage bie os affaires. Théorème 6 Covergece des produits de Cauchy Si u et v sot deux séries absolumet covergetes, alors leur produit de Cauchy + + w égalemet, et u v = + w. 8. pour ce type d obscéités, o pourra cosulter «Cotre-exemples e mathématiques» de Bertrad Hauchecore, chez Ellipses. 4

25 Preuve : O se place sous les hypothèses de l éocé. U petit dessi tout d abord : o va comparer N N P = u v et P = N w les N + termes de P sot présets das P ; il s agit doc de majorer la différece... : Figure 0 Il y a deux zoes symétriques d idices à traiter C est parti! O ote S = u et S = v. O a alors d abord par iégalité triagulaire : N N u v N w N i=n+ Esuite, e deux majoratios simples o obtiet T S T S + j=n+ v j, et il viet alors : N w N + N i j=0 u i v j + } {{ } T + i=n+ + + u v N i=0 N i j=n u i v j } {{ } T u i, et bie etedu de faço symétrique bie etedu, les deux séries du membre de droite sot covergetes puisque absolumet covergetes. Pour coclure, o pourrait traiter les termes impairs... ou ecore motrer que la série + w est absolumet covergete, par exemple grâce à la majoratio e temps s il le faut : N + + w u v Remarque 5 E s y preat plus fiemet, o peut voir que la covergece absolue est requise que pour l ue des deux séries. Exemple 9 Soiet z, z C. Les séries défiissat e z et e z sot absolumet covergetes. O a doc : + z + z + z k z k + = = z k z k.!! k! k!! k k=0 k=0 } {{ } z +z O viet d établir ue formule aussi raisoable que utile : z, z C, e z+z = e z e z. 5

26 5.4 Développemet décimal d u réel O sait déjà que tout réel est limite d ue suite de décimaux : x R, E0 x 0 0. Si o ote, pour x R + : ε 0 x = Ex et pour tout N, ε x = E0 x 0E0 x, alors la ε x est covergete de somme x. C est le développemet décimal de x. 0 série α 0 avec O ote que tous les ε x pour sot das [0, 9]. Réciproquemet, si x = α [0, 9] pour tout N, alors o a α = ε x pour tout N... sauf si x est u ombre décimal, auquel cas ou peut avoir α = 9 à partir d u certai rag o parle alors parfois de développemet impropre. Remarque 6 Tout ce qu o a fait e base 0 reste bie etedu valable e importe quelle base b. 5.5 Séries doubles Il s agit de voir sous quelles coditios o peut «sommer das u ses ou das l autre» ue expressio dépedat de deux etiers. Cocrètemet, o dispose, pour tout p, N, de réels ou complexes u,p, et o souhaiterait avoir : u,p = u,p. p=0 Il faut bie etedu que toutes les sommes e jeu aiet u ses que les séries soiet covergetes, ce qui e fait déjà beaucoup... mais ce est pas suffisat : ici ecore, o trouve des tas de cotre-exemples à la formule précédete, tat au iveau des covergeces l ue des somme coverge mais pas l autre qu au iveau des valeurs les deux sommes coverget... mais ot des valeurs différetes! Théorème 7 Iterversio de sommes p=0 O suppose que pour tout, p N, u,p C. Si pour tout N, la série u,p est absolumet covergete, p N + la série u,p est covergete, p=0 alors : pas trop difficile! pour tout N, la série u,p est covergete, et la série p N + u,p est absolumet covergete, p=0 pour tout p N, la série u,p est absolumet covergete, la série + u,p est absolumet covergete, p N et efi comme espéré : u,p = u,p. p=0 Preuve : Hors programme O peut traiter das u premier temps le cas où les u,p sot des réels positifs. Des majoratios simples essetiellemet, par + + u,p prouvet toutes les covergeces de ces séries à termes positifs. Il reste p=0 à prouver l égalité lors de l iterversio des sommes. Pour cela, o peut travailler das le même esprit p=0 6

27 que pour les produits de Cauchy faire u dessi!, e prouvat que K K p=0 u,p K p=0 u,p. Cette somme vaut égalemet K p=0 K u,p, et ted doc de faço symétrique vers + + p=0 u,p lorsque K ted vers +, ce qui termie la preuve. Das le cas gééral, o prouve les covergeces absolues des diverses séries essetiellemet par iégalité triagulaire. L égalité des deux double sommes se fait comme das le cas positif... mais à ouveau e iégalité-triagularisat. Comme d habitude, c est la covergece absolue qui règle le problème. Attetio, l éocé précédet est pas si souvet utilisé que cela, mais il demeure itéressat : il a u cousi très proche e calcul itégral Fubii, mais surtout das les questios d iterversios séries/itégrales «théorème lili». 5.6 Critère de Cauchy O a vu qu o pouvait prouver la covergece d ue suite sas coaître la valeur de la limite et même das le cas où elle est pas mootoe e prouvat que la suite est de Cauchy. Ceci peut se traduire das le mode des séries qui sot des suites, rappelos le... O obtiet aisi le «critère de Cauchy», qui ous doe ue coditio écessaire et suffisate pour qu ue série à valeurs das R, C ou u espace vectoriel ormé de dimesio fiie, soit covergete. Propositio Ue série de complexes u est covergete si et seulemet si : ε > 0, N N;, p N, N = +p u k ε. k= Il s agit seulemet de traduire le fait que la suite des sommes partielles est de Cauchy. «Nous e feros u usage que très modéré de cet aspect des choses...» 5.7 Quid das u espace vectoriel ormé? Presque tout ce qui a été fait das ce chapitre et qui est pas lié à des questios de sige reste valable das u espace vectoriel mui d ue orme : remplacer toutes les valeurs absolues par des ormes. U cas particulièremet itéressat est à sigaler : il s agit des algèbres ormées. Comme o est das ue algèbre, o a la structure d espace vectoriel... et d aeau produit itere e plus. Mais das de telles algèbres A, o demade e plus à la orme de vérifier ue coditio supplémetaire : ab a b pour tout a, b A. Ue telle coditio iduit alors la majoratio x x. Les algèbres qui ous itéresserot au delà de R et C... sot essetiellemet M K et LE avec E u espace vectoriel de dimesio fiie si possible : de tels espaces sot effectivemet muies de ormes d algèbres. O dispose alors de deux séries «ayat ue certaie importace». Das les deux éocés suivats, désige doc ue orme d algèbre sur M K. Propositio 3 Si A M K, la série est absolumet covergete. Sa somme défiit l expoetielle de A, otée e A. A! Propositio 4 Si A M K vérifie A <, alors la série A est covergete, I A est iversible, et : A = I A. 7

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