Table des matières. Outils symboliques pour l'écriture de modèles et l étude de sensibilité des multicorps

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2 Lste des fgures 11 Lste des tableaux 13 Introducton générale 15 Parte 1 Ecrture automatque des équatons du mouvement grâce aux Tenseurs d'inerte Globaux (TIG). Cas des lasons complexes et des pseudo-paramètres Introducton Etat de l art : évoluton du formalsme et du champ d applcaton des TIG Nouveaux champs d applcaton Lasons complexes Pseudo-paramètres (non holonomes) Méthode de mse en équatons Justfcaton de l utlsaton du prncpe de d Alembert Avertssement : dérvées partelles de vecteurs [PFI95] Rappel : forme brute des équatons de Lagrange 29 4

3 1.5 Cas des paramétrages holonomes Expresson de Expressons de OM OM OM = 2 j j Expressons des éléments cnétques et des quanttés d accélératon généralsées Symétres et ant-symétres Introducton du tenseur cnétque Introducton des Tenseurs d Inerte Globaux (TIG) ; sgnfcaton physque Détermnaton récursve des Tenseurs d Inerte Globaux Symboles de Chrstoffel de type Expresson des forces généralsées de pesanteur Valdatons-exemples Descrpton de Denavt-Hartenberg Double-pendule orthogonal Mse en équatons grâce aux TIG, programmée sous Maple Vérfcaton : mse en équatons par la méthode de Lagrange Jont de Cardan Descrpton du mécansme Détermnaton du torseur géométrque de la lason complexe Mse en équatons grâce aux TIG, programmée sous Maple Modèle smplfé Cas des paramétrages non holonomes Exemple 1 : Paramétrage d un corps lbre Théore Expressons détallées Exemple 2 : Paramètres utlsés en Dynamque du Véhcule Théore Expressons détallées pour un modèle smplfé de véhcule Synthèse Résumé Méthode 61 5

4 Parte 2 Etude de sensblté pour les systèmes multcorps. Méthodes drecte et adjonte Introducton Etat de l art Données du problème Termnologe Défntons - Notatons Coordonnées et vtesses généralsées varables d état Paramètre de constructon Modèle dynamque Crtère Contrantes et restrctons Sensblté Hypothèses fondamentales Utlté de l'étude de sensblté aux paramètres Utlsaton drecte de la sensblté Optmsaton Smplfcatons Dvers Mallages par éléments fns Automatque Identfcaton de paramètres Mathématques applquées Les problèmes de tr Les dfférentes méthodes d analyses de sensblté exstantes Les méthodes numérques Dfférences fnes et plans d'expérence Les méthodes de dfférentaton automatque Méthodes analytques et sem-analytques : drecte et adjonte Forme du modèle dynamque de départ - formalsme d état Forme du crtère Condtons ntales sur la sensblté des varables d'état Descrpton de la méthode drecte Descrpton de la méthode de l'état-adjont Détermnaton des matrces et vecteurs dérvés Pstes de résoluton (ntégraton) des systèmes dfférentels Synthèse : crtères de chox de la méthode sem-analytque Adaptaton théorque des méthodes d étude de sensblté aux systèmes multcorps Motvatons Modfcatons concernant les deux méthodes analytques Sensbltés fonctons du temps 97 6

5 Cas non lnéare Matrce de masse étendue dépendant des coordonnées généralsées100 d A Tratement analytque de 101 dx Tratement du système adjont Transformaton du système adjont en système homogène Fonctons et dstrbutons Pont de départ : forme de l équaton (2.3.18) Théorème du saut Ajout de la condton (2.3.19) Concluson Soluton combnason lnéare des solutons pour une base de condtons fnales Equaton de départ, notatons et objectfs 108 λ t Dfférentes fonctons ( ) Idée Forme de la soluton de (2.3.28) 109 Q f (t) Evaluaton de 111 Q (t) Relaton entre et 111 Q f (t) Soluton du système adjont et forme de l ntégrale fnale Concluson : améloratons apportées Synthèse-blan Etudes de cas - comparason des méthodes dans le cas des multcorps Exemples académques : systèmes masse-ressort-amortsseur Prélmnares Avertssement : sensbltés étudées Premers essas Système masse-ressort-amortsseur lnéare Présentaton du système et des sensbltés recherchées Condtons ntales de sensblté Exemple de résultats en "mode formel" Modes numérque et paramétrque Rapdté comparée des deux méthodes pour pluseurs sensbltés Systèmes masse-ressort-amortsseur complexes Comparason de l effcacté des deux méthodes : double-pendule orthogonal Motvatons et objectfs de l étude Caractérstques de l étude Rappel du modèle Crtères et paramètres de constructon Procédure de comparason Résultats et analyse Sensblté de l énerge cnétque Sensblté de l ntégrale de l énerge cnétque Concluson : comparason des deux méthodes pour les multcorps (et la MMC) 133 7

6 2.4.3 Exemple dynamque du véhcule : modèle rouls-lacet-dérve Descrpton du modèle [BROS06] Caractérstques de l étude Forme et tratement des résultats obtenus Les dfférentes valeurs " mesurées" Dscusson : dérvée logarthmque Résultats et analyse pour la vtesse de lacet Résultats et analyse pour l accélératon latérale (crtère non ntégral) Résultats et analyse pour le cap (crtère ntégral) Concluson Concluson 147 Parte 3 Etude de sensblté à l'ade des Tenseurs d'inerte Globaux (TIG) : écrture automatque des systèmes de sensblté et adjont Introducton Dfférentes formes du modèle dynamque Expressons des "éléments de sensblté" en foncton des TIG Expressons des "éléments de sensblté" en foncton des seules dérvées de aj, Γ,jk et Q Calcul de J Calcul de B A Calcul de f Calcul de Calcul de A (qu n ntervent que dans la méthode adjonte) Blan Dérvées de aj, Γ,jk et Q : apparton des dérvées des TIG et des torseurs géométrques Dérvées par rapport aux coordonnées généralsées 159 a jk Calcul de 159 8

7 Calcul de Calcul de Γ,jk q Q l 160 j Dérvées par rapport au paramètre de constructon x 163 a j Calcul de 163 Γ,jk Calcul de 164 pes Q Calcul de Dérvées par rapport au temps Détermnaton des dérvées des TIG et des torseurs géométrques Dérvées par rapport aux coordonnées généralsées Dérvées des TIG : calcul de q Dérvées des torseurs géométrques : calculs ' $(O) $(O) j j de et l l Gj 162 l Dérvées par rapport au paramètre de constructon x Dérvées par rapport au temps Synthèse : algorthme récaptulatf smplfé Valdatons - exemples Double-pendule orthogonal Exemples de paramétrages non holonomes Corps lbre Véhcule smplfé Concluson 180 Concluson générale 183 Références bblographques 189 Nomenclature 197 9

8 Annexes 205 Annexe 1 Ecrture de modèles dynamques par les Tenseurs d'inerte Globaux programmes Maple et applcatons 207 Annexe 1.1 Double-pendule orthogonal 208 Annexe 1.2 Système à jont de Cardan 213 Annexe 1.3 Système smplfé à jont de Cardan 228 Annexe 2 Algorthme des méthodes drecte et adjonte d'étude de sensblté. Cas de la statque. 234 Annexe 3 Méthodes d'étude de sensblté. Programmes Maple applqués au système masse-ressort-amortsseur lnéare. 237 Annexe 3.1 Méthode drecte 238 Annexe 3.2 Méthode de l'état-adjont 244 Annexe 4 Programme Matlab d'étude de sensblté. Notce d'utlsaton du programme prncpal comparason.m 251 Annexe 5 Sensblté de l'énerge cnétque du double-pendule orthogonal et de son ntégrale. Courbes-résultats. 255 Annexe 5.1 Double-pendule orthogonal : tracé des sensbltés de l'énerge cnétque en foncton du temps [PORTE06]. 256 Annexe 5.2 Double-pendule orthogonal : tracé des sensbltés de l'ntégrale de Ec en foncton du temps [PORTE06]. 257 Annexe 6 Modèle rouls-lacet-dérve de véhcule automoble [BROS06]. Sgnfcaton des constantes et valeurs usuelles. 259 Annexe 7 Ecrture de modèles de sensblté par les Tenseurs d'inerte Globaux programmes Maple et applcaton 263 Annexe 7.1 Double-pendule orthogonal 264 Annexe 7.2 Corps lbre 275 Annexe 7.3 Véhcule smplfé

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