Chapitre 11 : Suites réelles

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1 PCSI Préparatio des Khôlles Chapitre : Suites réelles Exercice Soit(u ) N ue suite de réels strictemet positifs. O suppose qu il existek R + tel que u + u + k.. Motrer quek< u Motrer quek> u + +. Solutio : Avat tout, remarquos que l o e peut pas coclure sik.. Traduisos u + u + : ε>0, N N,N u + k u ε Pour ε tel que k+ε <, par exemple +k N 0 k ε k u + k+ε. u O a alors pourn 0 + Aisi0 u u N0 ( ) N0 d où kn 0+ u k u k u u u u ε k u N 0+ u u N0 u N0 > 0, il existe u rag N 0 tel que E passat à la limite, o au + 0. >N 0, 0u A( ) oùa( ) N 0 u N0 R +. O a de même avecεtel que k ε>, par exempleε k >0, il existen 0 N tel quen 0 u +. O a alors u d oùu A( ) + +. u u N0 u u u u u N 0+ u N0 Exercice Soit(u ) N ue suite réelle telle que N,u. u. Motrer que +u 0 u + u O suppose que +u 0 et que(u ) + N est borée, motrer queu 0. Est-ce ecore vrai si o + elève l hypothèse(u ) N borée? Solutio :. Pososv u +u, alorsu v v + 0. /7 G H

2 PCSI Préparatio des Khôlles Puisque(u ) N est borée, la suiteε +u aussi. Pososv u +u, alorsu v ε 0 (produit + d ue borée par ue qui ted vers0). Si o elève l hypothèse(u ) N borée, c est faux, predreu par exemple. Exercice 3 Soita Ret(u ) N,(v ) N,(w ) N trois suites réelles vérifiatu +v +w + 3a etu +v +w + 3a. Motrer que ces trois suites coverget vers a. Solutio : PososU u a, V v a etw w a. O sait déjà que Pour coclure, o a U +V +W u +v +w 3a + 0 U +V +W u +v +w a(u +v +w )+3a + 3a a 3a+3a 0 0U U +V +W + 0 U + 0 u a + 0 u + a Par symétrie des rôles, o a aussiv + a etw + a. Exercice type Soitx R, détermier la limite de la suite(u ) N défiie par N, u kx. k Solutio : O a pour k {,,}, e sommat ces iégaités, il viet kx <E(kx)kx aisi x (+) (kx )< k x x(+) + Par le théorème d ecadremet, o au + x. E(kx) k k u x (+) kxx (+) + x Exercice type Soitu +k, quelle est la ature de(u )? k Solutio : O commece par majorer la suite, k {,,}, o a +k +, e sommat ces iégalités, /7 G H

3 PCSI Préparatio des Khôlles il vietu k +k. doc(u ) est majorée. Puis k u + u + k ++k k + +k i i +i +i k k +k (avecik+) +k (+) (+)(+) >0 Si vous avez du mal avec les chagemets d idices : + k ++k k +k La suite(u ) est croissate et majorée, elle coverge (cela e doe pas la limite). Exercice type 3 O défiit la suite(u ) N paru k k motrer queu + +. Solutio : Si, alors > et Sik {,,} alors u k k k k k+ k k 3 k et+k 3 3 Aisiu +. + k k+ k Exercice type 4 Soit(u ) N la suite défiie pour0 paru k0 ( ) k k+, o otev u etw u +. Motrer que les suites (v ) N et(w ) N sot adjacetes. E déduire que(u ) N coverge. A partir de quel rag est-o sûr queu est ue valeur approchée de sa limite à0 près? Solutio : O a v w ( ) ( ) et est positif (doc v w, ce qui + doe ue idée de la mootoie des suites(v ) N et(w ) N, voir so cours...) O motre que(v ) N est décroissate. E effet,v + v +3 + <0. O motre (+3)(+) que(w ) N est croissate, e effetw + w >0. Aisi les deux suites sot (+)(+) bie adjacetes. O e déduit qu elles coverget vers la même limitel. Puisque les suites de rags pairs et impairs de 3/7 G H

4 PCSI Préparatio des Khôlles (u ) N coverget vers la même limitel, o peut affirmer queu + l. De plus, o a pour N,w lv d où 0 v lv w l w v w + Aisi ce qui prouve que 0u l + et0l u + + p N,0 u p l p Pour que0 u p l 0, il suffit d avoir p 0 p00. Exercice type 5 Motrer que les suites défiies pour, par u k k + et v k k sot adjacetes. O otella limite commue, motrer que l. Commet suffit-il de choisirpour queu soit ue valeur approchée de la limite commue à0 près? Solutio : O a u + u ++ + (+3) (+)(+) + + (+3) 4(+)(+) D D 0 oùd + (+3)+ (+)(+) Petite remarque de calcul :4(+)(+)(+)(+4)(+3 )(+3+)(+3). Puis v + v ++ (+) (+) + + O costate que le umérateur dev + v est égal à l opposé du umérateu deu + u lorsqu o remplacepar. Aisiv + v 0. O a doc motré que la suite(u ) est croissate alors que(v ) est décroissate. Efi v u + Les deux suites sot adjacetes. Soit l la leur limite, alors E particulier Puis N,u lv 0l u v u approchée (par défaut) à0 près, il suffit doc d avoir N,u lv u lv Pour queu soit ue valeur + 4/7 G H

5 PCSI Préparatio des Khôlles Pour ifo,l, alors queu 0000, , la covergece est très, très lete! Remarque : Pour 0000, le termev est ue valeur approchée delpar excès car0v lv u. O peut ecore améliorer l approximatio e preat le milieu. E effet, o a u +v l v u ++ + Il suffit doc de predre pour que u +v soit ue valeur approchée de l. L iégalité u +v l v u proviet de (v u )u l0 0v lv u (v u )(u +v ) lv u Somme des iég Exercice type 6 Motrer que pour tout0, l équatiox +x admet ue uique solutiox positive. Motrer que la suite(x ) est covergete et préciser sa limite. Solutio : La foctio f défiie sur [0,+ [ par f (x)x +x est cotiue, strictemet croissate (car par exemple f (x) x +x > 0 si x > 0). Elle réalise doc ue bijectio de [0,+ [ sur f (0), lim f (x) x + [,+ [. Ceci assure l existece et l uicité dex. Puisquef ()>0, o ax ]0,[. La suite est doc borée. De plusf + (x )x + +x etf (x )x +x 0, aisi f + (x )x + x x (x )<0 carx ]0,[ O e déduit quex + >x (carf + est croissate etf + (x )<0f + (x + )). La suite(x ) est doc croissate et majorée, elle coverge. Notoslsa limite. O a x ]0,[ etx x l(x )l(x )l x (les l existet) Puisque(x ) est croissate, o a0<x x < 0<x <l. Supposos que0<l<, alorsl(x ) + etl x + l l, absurde doc x + Remarque : O peut vous poser la questio suivate (après tout c est ce qui a été posé à l oral de Cetrale ) : Détermier u équivalet de x. O pose docx u, o a docl(x )l x l( u ) l(u )+l(+x ). Puisqueu + 0+, o al( u ) u etl(u )+l(+x ) lu carlu + etl(+x ) l, ce qui doe + u lu u lu Mais, o a égalemet l(u ) et puisqueted vers l ifii, o peut passer aul pour obteirl l( l(u )) l(u ). Pour coclure, o a u l( l(u )) o(lu ), e effet l( lu ) lu lv v etv lu + + doc l( lu ) 0 (croissaces comparées) lu + 5/7 G H

6 PCSI Préparatio des Khôlles Ceci prouve quel l(u ) et par coséquet u l l x l l +o Exercice type 7 Etudier la suite(u ) défiie paru 0 ]0,+ [ et N,u + (u + u ). Solutio : C est ue suite récurrete du type u + f(u ). O pose f(x) f(x) x x+ x (x ) x 0. O e déduit que x f(x), l itervalle [,+ [ est stable parf x+ x, alors si x > 0, o a Siu 0, par récurrece sur, o au. Siu 0 ]0,[, alorsf(u 0 )u et par récurrece sur, o au si. O e déduit que,u. Puis,u + u f(u ) u u + u u u 0 u u u La suite est doc décroissate et miorée paràpartir du rag, elle coverge. Soitlsa limite, alorsu + l et + u + (u + ) l+. Doc u + l l l+ l l+ l l0 l l Maisu limu, ce qui imposel. Coclusiou +. 0 l oul Exercice 4 O défiit(u ) N paru 0 >0 etu + u e u. Etudier cette suite. 6/7 G H

7 PCSI Préparatio des Khôlles Solutio : C est ue suite récurrete du type u + f(u ) oùf(x)xe x. Par récurrece immédiate o au >0. Puis u + u u e u u u (e u ). Puisque u > 0, o a e u < 0 ce qui prouve que (u ) N est décroissate miorée par0doc coverge. Soitlsa limite, alorsu + l etu e u l, le passage à la limite + + das l égalitéu + u e u doe lle l l e l 0 l0 oue l l0 Coclusiou 0. + Remarque : O a eu eu u care u u siu 0. Avec Césaro, o e u + u u u u u + déduit que k0 u k+ u k u u 0 + u u + 7/7 G H