DIDIER AUROUX POLYTECH NICE-SOPHIA MAM5 - OPTION IMAFA

Dimension: px
Commencer à balayer dès la page:

Download "DIDIER AUROUX POLYTECH NICE-SOPHIA MAM5 - OPTION IMAFA 2010-2011"

Transcription

1 MÉTHODES NUMÉRIQUES POUR LE PRICING D OPTIONS DIDIER AUROUX POLYTECH NICE-SOPHIA MAM5 - OPTION IMAFA Table des matières 1 Notatios et équatio de Black-Scholes 2 11 Notatios 2 12 Équatio de Black-Scholes 2 13 Coditios aux limites pour u call 2 14 Coditios aux limites pour u put 3 15 Lie etre l équatio de Black-Scholes et l équatio de la chaleur 3 16 Solutio aalytique 4 2 Schémas umériques pour la résolutio de l équatio de la chaleur 4 21 Discrétisatio et différeces fiies 5 22 Schéma d Euler explicite 6 23 Schéma d Euler implicite 7 24 Schéma de Crak-Nicholso 9 3 Résolutio umérique de l équatio de Black-Scholes 10 1

2 2 DIDIER AUROUX 1 Notatios et équatio de Black-Scholes 11 Notatios Oe ote V la valeur d ue optio (o se limitera aux optios européees das ce cours) O pourra faire la distictio etre u call C et u put P si besoi Ce sot des foctios du temps t, et de la valeur actuelle de l actio sous-jacete S O ote doc V = V (S, t) O otera égalemet : σ la volatilité du prix de l actio ; E le prix d exercice fixé par l optio ; T le temps qui reste à l optio avat so échéace ; r le taux d itérêt 12 Équatio de Black-Scholes C est ue équatio aux dérivées partielles qui permet de calculer la valeur d ue optio européee e foctio du temps et de la valeur de l actio sous-jacete Le modèle est le suivat : (1) V t σ2 S 2 2 V V + rs rv = 0 S2 S C est ue équatio aux dérivées partielles (EDP) d ordre 2, du type parabolique, et il est écessaire de préciser ue coditio iitiale (ou fiale) e temps, et des coditios aux limites e espace 13 Coditios aux limites pour u call Das le cas d u call (optio d achat) pour ue optio européee, o a ue coditio fiale, à l istat t = T correspodat à l échéace de l optio : à t = T, la valeur du call est doée par la formule (2) C(S, T ) = max(s E, 0), S E effet, si S est iférieur au prix d exercice au terme de l optio, il est iitéressat d exercer l optio (sous peie de perdre E S) Das le cas cotraire, le bééfice du call est S E Le domaie d étude e espace (variable S) est théoriquemet [0, + [, et il faut doc fixer les coditios aux limites sur la foctio C Si S = 0, alors le bééfice à terme est forcémet ul Il y a doc aucu itérêt à exercer l optio d achat das ce cas, même s il reste du temps avat so expiratio O a doc la coditio suivate : (3) C(0, t) = 0, t Si au cotraire le prix de l actio augmete cosidérablemet (S + ), il est clair que l optio sera exercée et que le prix d exercice de l optio sera égligeable O a doc la coditio suivate : (4) C(S, t) S, S + L esemble des équatios (1)-(4) peut être résolu afi de détermier la valeur d u optio d achat (call)

3 MÉTHODES NUMÉRIQUES POUR LE PRICING D OPTIONS 3 14 Coditios aux limites pour u put Das le cas d ue optio du type put (optio de vete), la coditio fiale est le bééfice : (5) P (S, T ) = max(e S, 0), S E effet, si S est supérieur au prix d exercice au terme de l optio, il est iitéressat d exercer l optio (sous peie de perdre S E) Das le cas cotraire, le bééfice du put est E S Le domaie d étude e espace (variable S) est toujours [0, + [, et il faut doc fixer les coditios aux limites sur la foctio P Si le prix de l actio augmete cosidérablemet (S + ), il est clair que l optio de vete e sera pas exercée, et doc o a la coditio suivate : (6) P (S, t) 0, S + Si au cotraire, o cosidère le cas d ue actio dot le prix est ul (S = 0), alors le bééfice à terme est forcémet E Il faut teir compte du taux d itérêt r pour e déduire la valeur de P (0, t) sachat qu à l istat T, P (0, T ) = E Das le cas d u taux d itérêt costat, o trouve assez facilemet la coditio suivate e résolvat l équatio (1) das le cas S = 0 : (7) P (0, t) = E e r(t t), t O peut gééraliser cette formule das le cas de taux o costats : P (0, t) = E e R T t r(τ) dτ, t L esemble des équatios (1) et (5-(7) peut être résolu afi de détermier la valeur d ue optio de vete (put) 15 Lie etre l équatio de Black-Scholes et l équatio de la chaleur Preos le cas d ue optio d achat (call), ous allos ous rameer de l équatio de Black-Scholes à l équatio de la chaleur O cosidère doc l équatio C (8) t σ2 S 2 2 C C + rs rc = 0, S2 S avec les coditios aux limites et la coditio fiale C(0, t) = 0 ; C(S, t) S, S + C(S, T ) = max(s E, 0) Das u premier temps, o effectue u chagemet de variable pour supprimer les termes e S et S 2 devat les opérateurs différetiels, reveir e temps croissat (avec ue coditio iitiale) : S = Ee x, t = T τ et C = Ev(x, τ) σ2 (9) O obtiet alors l équatio suivate : avec k = 1 2 r 1 2 v τ = 2 v v + (k 1) x2 x kv, σ2 La coditio iitiale deviet (10) v(x, 0) = max(e x 1, 0),

4 4 DIDIER AUROUX et l itervalle de temps cosidéré est maiteat [0, 1 2 σ2 T ] E se basat sur l équatio caractéristique α 2 + (k 1)α k correspodat à l équatio (9), o fait u chagemet de variable pour supprimer les opérateurs différetiels d ordre 1 et 0 O pose α tel que 0 = 2α+(k 1) et β = α 2 +(k 1)α k, et v(x, τ) = e αx+βτ u(x, τ), ce qui doe u solutio de l équatio de la chaleur suivate : (11) u τ = 2 u x 2, pour τ > 0 (et e fait τ 1 2 σ2 T, délai d expiratio de l optio), et x R Efi, la coditio iitiale est ( ) u(x, 0) = u 0 (x) = max e 1 2 (k+1)x e 1 2 (k 1)x, 0 O voit doc que l équatio de Black-Scholes se ramèe à l équatio de la chaleur, qui est plus facile à résoudre (umériquemet ou aalytiquemet) À partir de la solutio de l équatio de la chaleur, o remote à l équatio de Black-Scholes e faisat les chagemets de variable à l evers 16 Solutio aalytique La solutio de l équatio (11) est doée par (12) u(x, τ) = 1 2 πτ + u 0 (s)e (x s)2 4τ Après remplacemet de u 0 par so expressio, calcul, et chagemets de variables iverses, o obtiet : (13) C(S, t) = S N(d 1 ) E e r(t t) N(d 2 ), avec (14) (15) (16) ds d 1 = log( S E ) + ( r σ2) (T t) σ, T t d 2 = log( S E ) + ( r 1 2 σ2) (T t) σ, T t 1 d N(d) = e 1 2 s2 ds 2π De même, la valeur d ue optio de vete (put) est (17) P (S, t) = E e r(t t) N( d 2 ) S N( d 1 ) 2 Schémas umériques pour la résolutio de l équatio de la chaleur Nous ous itéressos maiteat à la résolutio umérique de l équatio de la chaleur Cette équatio est e effet plus simple que l équatio de Black-Scholes, et ous avos vu qu il était possible de se rameer de l ue à l autre par des chagemets de variable O rappelle l équatio de la chaleur cosidérée ici : (18) u τ = 2 u x 2

5 MÉTHODES NUMÉRIQUES POUR LE PRICING D OPTIONS 5 21 Discrétisatio et différeces fiies La résolutio umérique d ue EDP écessite la discrétisatio du domaie d étude cosidéré, e temps comme e espace O suppose que l itervalle de temps est découpé suivat ue grille avec u ombre fii de poits et d itervalles O va calculer (et cosidérer) la solutio uiquemet e ces istats-là La difficulté cosiste alors à calculer les dérivées (ici, e temps) à partir de ces valeurs discrètes Si o ote δτ l itervalle de temps (supposé costat) de la grille de discrétisatio temporelle, et δx le pas d espace (supposé aussi costat) de la grille de discrétisatio spatiale, o e calculera la solutio qu aux poits x = δx et τ = m δτ Comme vu préc demmet, l itervalle de temps cosidéré est [0; 1 2 σ2 T ] (date d expiratio de l optio) O découpe gééralemet cet itervalle e M itervalles σ 2 T M costats, et doc δτ = 1 2 De même, le domaie d espace que l o cosidère est R Il est évidet qu o e peut pas discrétiser toute la droite réelle, et o se limite doc à u itervalle d espace boré [N δx; N + δx], où N < 0 et N + > 0 sot deux etiers Das la suite, o otera (19) u m = u( δx, m δτ) la valeur de la solutio u au poit de grille ( δx, m δτ) L idice temporel est e haut, et l idice spatial e bas Si o se place à u istat τ doé, et si o suppose qu o coaît la solutio u(x, τ), o souhaite calculer la dérivée temporelle u (x, τ) Supposos que la solutio soit coue aux istats τ δτ et τ + δτ Il existe alors plusieurs schémas aux τ différeces fiies pour approcher la valeur de la dérivée temporelle O remarquera que les mêmes schémas peuvet être utilisés pour les dérivées spatiales 211 Différeces fiies décetrées à droite Ue première approximatio de la dérivée partielle de u est doée par la formule des différeces fiies décetrées à droite : u u(x, τ + δτ) u(x, τ) (20) (x, τ) τ δτ L erreur d approximatio est d ordre 1, e O(δτ) La justificatio de cette approximatio est immédiate e utilisat ue formule de Taylor 212 Différeces fiies décetrées à gauche Ue deuxième approximatio de la dérivée partielle de u est doée par la formule des différeces fiies décetrées à gauche : u u(x, τ) u(x, τ δτ) (21) (x, τ) τ δτ L erreur d approximatio est égalemet d ordre 1, e O(δτ) Das les deux cas, o utilise la valeur au poit courat (τ), et la valeur e u poit voisi (à droite ou à gauche) 213 Différeces fiies cetrées Ue bie meilleure approximatio de la dérivée partielle de u est doée par la formule des différeces fiies cetrées, e utilisat à la fois le poit voisi à gauche et le poit voisi à droite : (22) u τ u(x, τ + δτ) u(x, τ δτ) (x, τ) 2 δτ

6 6 DIDIER AUROUX L erreur d approximatio est désormais d ordre 2, e O(δτ 2 ) (cf formule de Taylor) Cette formule est beaucoup plus précise, puisque l erreur est e δτ 2 au lieu d être e δτ Il est doc pas écessaire de raffier éormémet la grille de discrétisatio e temps (et dimiuer δτ) pour obteir des résultats très précis Par cotre, cela complique légèremet la mise e œuvre iformatique, puisque c est u schèma à trois poits (τ δτ, τ et τ + δτ) et o deux (comme les schémas décetrés précédets) 214 Différeces fiies cetrées pour la dérivée secode E utilisat les mêmes formules, o peut approcher la dérivée secode e espace das l équatio (18) avec la formule suivate : (23) 2 u u(x δx, τ) 2 u(x, τ) + u(x + δx, τ) (x, τ) x2 δx 2 L erreur d approximatio de cette formule est d ordre 2 (e espace), e O(δx 2 ) 22 Schéma d Euler explicite Le schéma d Euler explicite cosiste à utiliser u schéma aux différeces fiies, décetré à droite, pour le calcul de la dérivée temporelle : (24) u m δτ um 1 2 u m + u m +1 δx 2 Aisi, si la solutio est coue à l istat m δτ e tous les poits d espace (et plus particulièremet e ( 1) δx, δx et ( + 1) δx), alors o peut calculer explicitemet la solutio à l istat suivat (m + 1) δτ, au poit δx O peut doc calculer la solutio à l istat τ + δτ explicitemet e foctio de la solutio à l istat τ 221 Iitialisatio et coditios aux limites L iitialisatio du schéma se fait à l istat iitial : u 0 = u 0 ( δx), N N + E ce qui cocere les coditios aux limites, e chaque pas de temps, o utilisera les coditios aux limites e + et : u m N = u (N δx, m δτ), u m N + = u + (N + δx, m δτ), 0 < m M 222 Stabilité E otat (25) α = δτ δx 2, o peut réécrire l équatio (24) sous la forme (26) = α u m 1 + (1 2α) u m + α u m +1 Pour des raisos de stabilité, il est impératif que (27) α 1 2 E effet, si c est le cas, alors tous les poids das l équatio (26) sot positifs, et si o ote U m le maximum de tous les u m pour tous les, et o voit facilemet que (α + (1 2α) + α) U m = U m et doc la solutio à l istat τ + δτ est pas plus grade que celle à l istat τ, ce qui empêche toute divergece ou explosio umérique de la solutio

7 MÉTHODES NUMÉRIQUES POUR LE PRICING D OPTIONS 7 Si la coditio de stabilité est pas vérifiée, alors o peut faire le même calcul mais e preat la valeur absolue des poids : (α + 1 2α + α) U m = (α + (2α 1) + α)u m U m si et seulemet si 4α 1 1, ce qui est équivalet à α 1 2 La coditio (27) est doc ue coditio écessaire et suffisate de stabilité du schéma umérique L erreur d approximatio du schéma umérique est e O(δτ + δx 2 ), comme vu précédemmet Le schéma état stable du momet que δτ 1 2 δx2, il est iutile de raffier excessivemet, et o predra δτ du même ordre que δx 2 (par exemple 0, 4 δx 2 ) L erreur est doc e O(δx 2 ) O choisit doc δx e foctio de la précisio souhaitée, et du temps de calcul dot o dispose, puis o fixe δτ de l ordre de δx 2 23 Schéma d Euler implicite Le schéma d Euler implicite cosiste à utiliser u schéma aux différeces fiies, décetré à gauche, pour le calcul de la dérivée temporelle : u m u m 1 (28) um 1 2 u m + u m +1 δτ δx 2 De faço équivalete, e augmetat m de 1, o obtiet (29) u m δτ um um δx 2 À la différece du schéma d Euler explicite, le calcul de la solutio à l istat (m + 1) δτ est implicite e la solutio à l istat m δτ, puisque la partie droite de l équatio est égalemet icoue O e peut doc pas calculer explicitemet et séparémet, 1 ou um+1 +1 e foctio de um O doit doc résoudre cette équatio d ue maière globale, afi de calculer e même temps tous les, pour tout Comme das le cas précédet, l erreur d approximatio du schéma est e O(δτ + δx 2 ) L utilisatio des coditios aux limites et l iitialisatio du schéma se fot de la même faço que pour le schéma d Euler explicite 231 Réécriture matricielle Comme précédemmet, o ote α = δτ δx 2 O peut doc réécrire (29) sous la forme α 1 + (1 + 2α)um+1 α +1 = um O se fixe u m, o suppose que tous les u m sot cous, et o souhaite calculer tous les O rappelle que N et N sot cous grâce aux coditios aux + limites O peut alors réécrire (29) de la maière suivate : (30) 1 + 2α α 0 0 N α 1 + 2α α 0 +1 u m α N +1 N 0 α 0 0 = u m 0 + α α 1 + 2α u m N + 1 N + 1 α N + O voit apparaître la matrice tridiagoale, avec des 1 + 2α sur la diagoale, et des α sur et sous la diagoale, puis le vecteur d icoues costitué des,

8 8 DIDIER AUROUX et das le secod membre, la partie coue : les u m, aisi que les coditios aux limites N et N + La résolutio du schéma à chaque pas de temps reviet doc à calculer la solutio d u système liéaire de la forme (31) AU m+1 = b m, où A est la matrice tridiagoale, U m+1 cotiet les icoues, et b m est le secod membre, cou O obtiet alors la solutio à l istat τ + δτ (les ) e foctio de la solutio à l istat τ (les u m ) L icovéiet de la méthode d Euler implicite par rapport à la méthode explicite est l apparete difficulté supplémetaire pour la résolutio de ces systèmes liéaires afi de calculer la solutio Toutefois, u avatage certai de la méthode est qu elle est itrisèquemet stable E effet, quelle que soit la valeur du paramètre α > 0, la orme de la matrice A 1 est iférieure à 1, assurat la stabilité du schéma Ue maière a priori simple de résoudre les systèmes liéaires (31) cosiste à iverser la matrice A, e remarquat qu elle est costate au fil des pas de temps Mais l iverse d ue matrice tridiagoale est pleie, ce qui représete u coût de stockage importat, au delà du coût de calcul de la matrice iverse E temps ormal, l iverse d ue matrice de taille N écessite O(N 4 ) opératios Le stockage de l iverse de la matrice représete N 2 élémets, à comparer avec seulemet 3N élémets das la matrice A La résolutio d u système liéaire peut se faire avec la traditioelle méthode du pivot de Gauss, qui cosiste à itérer les opératios sur les liges ou coloes de la matrice pour redre le système triagulaire La résolutio d u système liéaire triagulaire est alors très rapide La matrice état ici tridiagoale, il est plus itéressat d utiliser ue décompositio LU 232 Méthode LU pour la résolutio du système liéaire L idée de la méthode LU cosiste à décomposer la matrice A sous la forme d u produit A = LU, où L est ue matrice triagulaire iférieure (Lower), et U ue matrice triagulaire supérieure (Upper) Cette décompositio existe que sous coditios de rag et de o ullité des mieurs pricipaux de la matrice Das le cas de la matrice A présete, cette décompositio existe, et les matrices L et U ot que deux diagoales o ulles : u 1 α 0 0 l u 2 α L = 0 l 2 1, U = 0 u 3 0, 0 α 0 0 l N u N où les cœfficiets se calculet par récurrece : u 1 = (1 + 2α), u = (1 + 2α) α2 u 1, l = α u Il faut doc O(N) opératios pour calculer les matrices L et U La résolutio du système (31) se fait alors e deux étapes : (32) Lz = b m, UU m+1 = z

9 MÉTHODES NUMÉRIQUES POUR LE PRICING D OPTIONS 9 Chacu de ces deux systèmes liéaires est triagulaire, avec seulemet ue sous- (ou sur-)diagoale o ulle Le premier système se résoud doc rapidemet : la première lige doe directemet z 1 = b m 1 Puis la deuxième lige doe z 2 e foctio de z 1 et b 2 Et aisi de suite De même, o peut résoudre le deuxième système liéaire, mais e partat de la derière lige, qui doe directemet N e foctio de z N Il faut doc O(N) opératios pour résoudre chacu de ces deux systèmes, et doc pour résoudre (31) C est très clairemet l ue des méthodes les plus efficaces pour résoudre u système liéaire tridiagoal, d autat plus que la décompositio LU (ou le calcul des cœfficiets de ces matrices) est fait ue fois pour toutes, la matrice état idépedate du pas de temps cosidéré O voit doc qu avec cette décompositio, le calcul de la solutio à l istat (m + 1) δτ e foctio de la solutio à l istat m δτ est pas particulièremet plus log que das le cas de la méthode d Euler explicite, avec la garatie de la stabilité du schéma e plus Toutefois, la précisio de la méthode est toujours e O(δτ + δx 2 ), ce qui impose u pas de temps δτ très petit si o veut garatir ue certaie précisio à la solutio calculée 24 Schéma de Crak-Nicholso Le schéma de Crak-Nicholso cosiste à utiliser u schéma aux différeces fiies, cetré e espace, afi d accroître la précisio L itérêt du schéma de Crak-Nicholso est qu il permettra de réduire l erreur sur la dérivée temporelle e O(δτ 2 ), au lieu de O(δτ) E pratique, le schéma de Crak-Nicholso reviet à faire la moyee du schéma d Euler explicite et du schéma d Euler implicite : (33) u m δτ 1 2 ( u m 1 2 u m + u m +1 δx 2 + um um δx 2 O peut motrer que l erreur de ce schéma est e O(δτ 2 + δx 2 ), ce qui impose plus des pas de temps particulièremet petits pour garatir la précisio O peut réécrire l équatio (33) sous la forme (34) 1 2 α(um+1 1 2um ) = um α(um 1 2u m + u m +1), où α est toujours doé par (25) Le secod membre est cou, et o obtiet à ouveau ue dépedace implicite des e foctio des u m Comme das le cas du schéma d Euler implicite, e assemblat les équatios (34) pour tous les, o obtiet u système liéaire (35) CU m+1 = b m, ) où C est la matrice tri-diagoale suivate : 1 + α 1 2 α α 1 + α 1 2 α 0 (36) C = α 1 2 α α 1 + α

10 10 DIDIER AUROUX Le secod membre b m est doé par f m N +1 (37) b m = f0 m α f m N + 1 N 0 0 N +, avec f m = (1 α)u m α(um 1 + u m +1) O retrouve ue fois ecore la partie proveat du secod membre qui est cou (solutio à l istat m δτ) et la partie proveat des coditios aux limites (égalemet coues) à l istat (m + 1) δτ O remarque que C(α) = A ( ) α 2 Autremet dit, e cosidérat α 2 au lieu de α das le schéma d Euler implicite, o obtiet la même matrice qu ici O peut doc utiliser la méthode LU précédemmet détaillée, e divisat α par 2, pour résoudre les systèmes liéaires (35) 3 Résolutio umérique de l équatio de Black-Scholes Il est égalemet possible de résoudre directemet l équatio de Black-Scholes (1) sas passer par les précédetes trasformatios et l équatio de la chaleur Parmi les schémas présetés, la faço la plus précise et efficace cosiste à utiliser ue méthode de Crak-Nicholso e temps, et des schémas aux différeces fiies cetrées e espace Ue difficulté supplémetaire apparaît toutefois das le fait que les cœfficiets des dérivées partielles spatiales e sot pas costats (ils dépedet de S), ce qui complique la résolutio des systèmes liéaires (qui restet malgré tout tri-diagoaux)

Dénombrement - Combinatoire Cours

Dénombrement - Combinatoire Cours Déombremet - Combiatoire Cours La combiatoire (ou aalyse combiatoire) étudie commet compter des objets. Elle fourit des méthodes de déombremet particulièremet utiles e probabilité. U des pricipaux exemples

Plus en détail

Informatique TP2 : Calcul numérique d une intégrale CPP 1A

Informatique TP2 : Calcul numérique d une intégrale CPP 1A Iformatique TP : Calcul umérique d ue itégrale CPP 1A Romai Casati, Wafa Johal, Frederic Deveray, Matthieu Moy Avril - jui 014 1 Zéro de foctio O doe le code suivat (vu e cours), qui permet de calculer

Plus en détail

* très facile ** facile *** difficulté moyenne **** difficile ***** très difficile I : Incontournable T : pour travailler et mémoriser le cours

* très facile ** facile *** difficulté moyenne **** difficile ***** très difficile I : Incontournable T : pour travailler et mémoriser le cours Exo7 Logique, esembles et applicatios Exercices de Jea-Louis Rouget Retrouver aussi cette fiche sur wwwmaths-fracefr * très facile ** facile *** difficulté moyee **** difficile ***** très difficile I :

Plus en détail

Mots de longueur donnée à base de P lettres, et fonction génératrice

Mots de longueur donnée à base de P lettres, et fonction génératrice Mots de logueur doée à base de lettres, et foctio géératrice Cosidéros les mots de logueur à base de lettres, avec etier positif. ) Combie existe-t-il de tels mots? La première lettre du mot est l ue des

Plus en détail

SESSION DE 2004 CA/PLP

SESSION DE 2004 CA/PLP SESSION DE 4 CA/PLP CONCOURS EXTERNE Sectio : MATHÉMATIQUES SCIENCES PHYSIQUES COMPOSITION DE MATHÉMATIQUES Durée : 4 heures L usage des calculatrices de poche est autorisø (coformømet au directives de

Plus en détail

Inégalités souvent rencontrées

Inégalités souvent rencontrées Iégalités souvet recotrées Recotres Putam 004 Uiversité de Sherbrooke Jea-Philippe Mori Théorie Certaies iégalités sot deveues célèbres e raiso de leur grade utilité Elles sot aussi souvet au coeur de

Plus en détail

B) CHAÎNES DE SOLIDES

B) CHAÎNES DE SOLIDES Chaîes de solides B) CHAÎNES DE SOLIDES Objectifs Cette théorie a pour but d'aalyser les comportemets statique et ciématique d'u mécaisme à partir d'u modèle défii par le schéma ciématique du mécaisme.

Plus en détail

Correction des exercices sur la nature ondulatoire de la lumière

Correction des exercices sur la nature ondulatoire de la lumière CORRECTION EXERCICES TS /5 CHAPITRE 3 Correctio des exercices sur la ature odulatoire de la lumière Correctio exercice : idice d u verre et réfractio. La radiatio = 530 m est verte et la radiatio = 680

Plus en détail

Estimations et intervalles de confiance

Estimations et intervalles de confiance Estimatios et itervalles de cofiace Estimatios et itervalles de cofiace Résumé Cette vigette itroduit la otio d estimateur et ses propriétés : covergece, biais, erreur quadratique, avat d aborder l estimatio

Plus en détail

Séries entières. Chap. 09 : cours complet.

Séries entières. Chap. 09 : cours complet. Séries etières Chap 9 : cours complet Rayo de covergece et somme d ue série etière Défiitio : série etière réelle ou complee Théorème : lemme d Abel Théorème : itervalle des valeurs positives où ue série

Plus en détail

FONCTION EXPONENTIELLE

FONCTION EXPONENTIELLE FONCTION EXPONENTIELLE I. RAPPELS : METHODE D EULER Si f est ue foctio dérivable e x 0, o sait que f(x 0 + h) a pour approximatio affie f(x 0 ) + f '(x 0 )h O peut doc sur de "petits" itervalles, approcher

Plus en détail

[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 10 juillet 2014 Enoncés 1. Exercice 6 [ 02475 ] [correction] Si n est un entier 2, le rationnel H n =

[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 10 juillet 2014 Enoncés 1. Exercice 6 [ 02475 ] [correction] Si n est un entier 2, le rationnel H n = [http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 1 juillet 14 Eocés 1 Nombres réels Ratioels et irratioels Exercice 1 [ 9 ] [correctio] Motrer que la somme d u ombre ratioel et d u ombre irratioel est u ombre irratioel.

Plus en détail

La classification de données quantitatives avec SPAD

La classification de données quantitatives avec SPAD La classificatio de doées quatitatives avec SPAD SPAD effectue toujours ue ACP de la matrice des doées quatitatives X " p avat de faire la classificatio des idividus. Les méthodes de classificatio s appliquet

Plus en détail

Sciences Po Option Mathématiques

Sciences Po Option Mathématiques Scieces Po Optio Mathématiques Epreue 3 Vrai-Fau Questio FAUX La suite ( u ) état géométrique de raiso différete de, o a classiquemet, pour tout etier aturel : où q est la raiso de la suite ( u ) Ici,

Plus en détail

MA401 : Probabilités TD3

MA401 : Probabilités TD3 MA : Probabilités Exercice Ue compagie aériee étudie la réservatio sur l u de ses vols. Ue place doée est libre le jour d ouverture de la réservatio et so état évolue chaque jour jusqu à la fermeture de

Plus en détail

Séquence 8. Suites arithmétiques et géométriques. Sommaire

Séquence 8. Suites arithmétiques et géométriques. Sommaire Séquece 8 Suites arithmétiques et géométriques Sommaire Pré-requis Suites arithmétiques Suites géométriques Sythèse du cours Exercices d approfodissemet Séquece 8 MA Ced - Académie e lige Pré-requis A

Plus en détail

Limites des Suites numériques

Limites des Suites numériques Chapitre 2 Limites des Suites umériques Termiale S Ce que dit le programme : CONTENUS CAPACITÉS ATTENDUES COMMENTAIRES Limite fiie ou ifiie d ue suite. Limites et comparaiso. Opératios sur les ites. Comportemet

Plus en détail

Promenades aléatoires : vers les chaînes de Markov

Promenades aléatoires : vers les chaînes de Markov AME Dossier : Matrices et suites 545 romeades aléatoires : vers les chaîes de Markov ierre Griho (*) Cet article propose ue mise e perspective de la otio de promeade ou de marche aléatoire itroduite das

Plus en détail

BTS BIOCHIMIE & ANALYSES BIOLOGIQUES 2001

BTS BIOCHIMIE & ANALYSES BIOLOGIQUES 2001 Exercice 1 : ( 12 poits ) Les parties A et B peuvet être traitées idépedammet l ue de l autre. O se propose d étudier l évolutio e foctio du temps des températures d u bai et d u solide plogé das ce bai.

Plus en détail

Comportement d'une suite

Comportement d'une suite Comportemet d'ue suite I) Approche de "ses de variatio et de ite d'ue suite" : 7 Soit la suite ( ) telle que = 5 ( + ) 2 Représetos graphiquemet la suite das u pla mui d' u repère. Il suffit de placer

Plus en détail

La calculatrice est autorisée. Le sujet comporte un total de 5 exercices. ( ) ( ) ( )

La calculatrice est autorisée. Le sujet comporte un total de 5 exercices. ( ) ( ) ( ) Aée 01-013 Mathématiques Décembre 01 Durée : 3 heures BAC blac N 1 La calculatrice est autorisée. Le sujet comporte u total de 5 exercices. Les élèves e suivat pas l eseigemet de spécialité traiterot les

Plus en détail

Exo7. Déterminants. = 4(b + c)(c + a)(a + b). c + a c + b 2c Correction. b + a 2b b + c. Exercice 2 ** X a b c a X c b b c X a c b a X

Exo7. Déterminants. = 4(b + c)(c + a)(a + b). c + a c + b 2c Correction. b + a 2b b + c. Exercice 2 ** X a b c a X c b b c X a c b a X Exo7 Détermiats Exercices de Jea-Louis Rouget Retrouver aussi cette fiche sur wwwmaths-fracefr * très facile ** facile *** difficulté moyee **** difficile ***** très difficile I : Icotourable T : pour

Plus en détail

Exercices - Variables aléatoires discrètes : corrigé. Variables discrètes finies - Exercices pratiques

Exercices - Variables aléatoires discrètes : corrigé. Variables discrètes finies - Exercices pratiques Variables discrètes fiies - Exercices pratiques Exercice - Loi d u dé truqué - L2/ECS -. X pred ses valeurs das {,..., 6}. Par hypothèse, il existe u réel a tel que P (X k) ka. Maiteat, puisque P X est

Plus en détail

Correction CCP maths 1 MP

Correction CCP maths 1 MP mai 4 Avertissemet : Il subsiste certaiemet quelques coquilles... Exercice : ue itégrale double Correctio CCP maths MP Pour calculer cette itégrale, o effectue le chagemet de variable e coordoées polaires

Plus en détail

Entrée à Sciences Po ADMISSION AU COLLÈGE UNIVERSITAIRE 2014 MATHÉMATIQUES durée de l épreuve : 3 h

Entrée à Sciences Po ADMISSION AU COLLÈGE UNIVERSITAIRE 2014 MATHÉMATIQUES durée de l épreuve : 3 h Etrée à Scieces Po ADMISSION AU COLLÈGE UNIVERSITAIRE 2014 MATHÉMATIQUES durée de l épreuve : 3 h A P M E P Les calculatrices sot autorisées Exercice Vrai-Faux 8 poits Pour chacue des affirmatios suivates,

Plus en détail

DEVOIR SURVEILLE DE MATHEMATIQUES 3 heures Probabilités conditionnelles - Suites géométriques - fonctions exponentielles Calculatrice autorisée

DEVOIR SURVEILLE DE MATHEMATIQUES 3 heures Probabilités conditionnelles - Suites géométriques - fonctions exponentielles Calculatrice autorisée DEVOIR SURVEILLE DE MATHEMATIQUES 3 heures Probabilités coditioelles - Suites géométriques - foctios epoetielles Calculatrice autorisée Termiale ES123 Eercice 1 : 5 poits Partie A : Ue agece de locatio

Plus en détail

Agrégation externe de mathématiques, session 2008 Épreuve de modélisation, option A : Probabilités et Statistiques

Agrégation externe de mathématiques, session 2008 Épreuve de modélisation, option A : Probabilités et Statistiques Agrégatio extere de mathématiques, sessio 2008 Épreuve de modélisatio, optio (public 2008) Mots clefs : Loi des grads ombres, espace des polyômes, estimatio o-paramétrique Il est rappelé que le jury exige

Plus en détail

CHAPITRE 2 SÉRIES ENTIÈRES

CHAPITRE 2 SÉRIES ENTIÈRES CHAPITRE 2 SÉRIES ENTIÈRES 2. Séries etières Défiitio 2.. O appelle série etière toute série de foctios ( ) f dot le terme gééral est de la forme f ()=a, où (a ) désige ue suite réelle ou complee et R.

Plus en détail

Correction HEC III 2007

Correction HEC III 2007 HEC III 7 Voie Écoomique Correctio Page Correctio HEC III 7 Voie écoomique La correctio comporte 9 pages. Eercice. Par dé itio est ue valeur propre de t si et seulemet si est ue valeur propre de T: Et

Plus en détail

Université de Provence 2011 2012. Planche 6. Nombres réels. Suites réelles. Nombres réels.

Université de Provence 2011 2012. Planche 6. Nombres réels. Suites réelles. Nombres réels. Uiversité de Provece 011 01 Mathématiques Géérales I Plache 6 Nombres réels Suites réelles Nombres réels Exercice 1 Mettre sous forme irréductible p/q les ratioels suivats (les chiffres souligés se répètet

Plus en détail

Chapitre 4 Lois discrètes

Chapitre 4 Lois discrètes Chapitre 4 Lois discrètes 1. Loi de Beroulli Ue variable aléatoire X est ue variable de Beroulli si elle e pred que les valeurs 0 et 1 avec des probabilités o ulles. P(X = 1) = p, P(X = 0) = 1 p = q, avec

Plus en détail

Remise à Niveau Mathématiques

Remise à Niveau Mathématiques Mathématiques RAN - Calcul et raisoemet Remise à Niveau Mathématiques Première partie : Calcul et raisoemet Exercices Page sur 9 RAN Calcul et raisoemet Ex - Rev 04 Mathématiques RAN - Calcul et raisoemet

Plus en détail

Chapitre 3 : Fonctions d une variable réelle (1)

Chapitre 3 : Fonctions d une variable réelle (1) Uiversités Paris 6 et Paris 7 M1 MEEF Aalyse (UE 3) 2013-2014 Chapitre 3 : Foctios d ue variable réelle (1) 1 Lagage topologique das R Défiitio 1 Soit a u poit de R. U esemble V R est u voisiage de a s

Plus en détail

Les Nombres Parfaits.

Les Nombres Parfaits. Les Nombres Parfaits. Agathe CAGE, Matthieu CABAUSSEL, David LABROUSSE (2 de Lycée MONTAIGNE BORDEAUX) et Alexadre DEVERT, Pierre Damie DESSARPS (TS Lycée SUD MEDOC LETAILLAN MEDOC) La première partie

Plus en détail

ADMISSION AU COLLEGE UNIVERSITAIRE

ADMISSION AU COLLEGE UNIVERSITAIRE ADMISSION AU COLLEGE UNIVERSITAIRE Samedi mars 204 MATHEMATIQUES durée de l'épreuve : 3h - coefficiet 2 Le sujet est uméroté de à 5. L'aexe est à redre avec la copie. L'exercice Vrai-Faux est oté sur 8,

Plus en détail

Fluctuation et estimation

Fluctuation et estimation Fluctuatio et estimatio Table des matières I Idetificatio de la situatio........................................ II Échatilloage, itervalle de fluctuatio asymptotique........................ II. Itervalle

Plus en détail

E(X i ) par linéarité de l espérance.

E(X i ) par linéarité de l espérance. Statistiques appliquées. L3 Iterrogatio Questios de cours. 3 poits 1) Eocer le théorème cetral limite (1 pt). Si (X ) est ue suite de v.a. idépedates et de même loi, admettat des momets d ordre u et deux

Plus en détail

École de technologie supérieure

École de technologie supérieure École de techologie supérieure Mat 165-04 Algèbre liéaire et aalyse vectorielle A-015 Michel Beaudi michel.beaudi@etsmtl.ca Liste d exercices à faire e T.P./Caledrier des évaluatios Itroductio au cours

Plus en détail

La Méthode de Monte Carlo

La Méthode de Monte Carlo La Méthode de Mote Carlo Etiee Pardoux UMR 6632 Laboratoire d Aalyse, Topologie, Probabilités et EA 3781 Evolutio Biologique Uiversité de Provece Etiee Pardoux (LATP) Marseille, 13/09/2006 1 / 33 Cotets

Plus en détail

I. Quitte ou double. Pour n = 1 : C 0 + (2p 1) E (M k ) = C 0 + (2p 1) E (M 1 ) = E (C 1 ) d après le 1. Soit n N tel que E (C n ) = C 0 + (2p 1)

I. Quitte ou double. Pour n = 1 : C 0 + (2p 1) E (M k ) = C 0 + (2p 1) E (M 1 ) = E (C 1 ) d après le 1. Soit n N tel que E (C n ) = C 0 + (2p 1) Corrigé ESSEC III 008 par Pierre Veuillez Das certaies situatios paris sportifs, ivestissemets fiaciers..., o est ameé à miser de l arget de faço répétée sur des paris à espérace favorable. O se propose

Plus en détail

Fiche Diagonalisation des Matrices 2x2

Fiche Diagonalisation des Matrices 2x2 Fiche Diagoalisatio des Matrices x MOSE 1003 4 Septembre 014 Table des matières Motivatio, puissaces d ue matrice 1 Diagoalisatio Vérificatio avec Scilab 3 Puissace 4 Motivatio, puissaces d ue matrice

Plus en détail

Bac Blanc Terminale L - Février 2015 Épreuve de Spécialité Mathématiques (durée 3 heures)

Bac Blanc Terminale L - Février 2015 Épreuve de Spécialité Mathématiques (durée 3 heures) Exercice 1 (5 poits) Bac Blac Termiale L - Février 015 Épreuve de Spécialité Mathématiques (durée 3 heures) Questio 1 : La populatio d'ue ville baisse de 1 % tous les as pedat 10 as. Elle est doc multipliée

Plus en détail

Travaux dirigés G33 Dimensionnement 2 séances Enseignant : Anthony Busson.

Travaux dirigés G33 Dimensionnement 2 séances Enseignant : Anthony Busson. Travaux dirigés G33 Dimesioemet 2 séaces Eseigat : Athoy Busso. Exercice 1 : O cosidère u web switch et 3 serveurs web. Le web switch reçoit les requêtes http proveat des cliets et les répartit de maière

Plus en détail

capital en fin d'année 1 C 0 + T C 0 = C 0 (1 + T) = C 0 r en posant r = 1 + T 2 C 0 r + C 0 r T = C 0 r (1 + T) = C 0 r 2 3 C 0 r 3...

capital en fin d'année 1 C 0 + T C 0 = C 0 (1 + T) = C 0 r en posant r = 1 + T 2 C 0 r + C 0 r T = C 0 r (1 + T) = C 0 r 2 3 C 0 r 3... Applicatios des maths Algèbre fiacière 1. Itérêts composés O place u capital C 0 à u taux auel T a pedat aées. Quelle est la valeur fiale C de ce capital? aée capital e fi d'aée 1 C 0 + T C 0 = C 0 (1

Plus en détail

PROJET DE MONTE CARLO SUJET 1: LE PRICING

PROJET DE MONTE CARLO SUJET 1: LE PRICING LE Age KHOURI Nadie M MMD PROJE DE MONE ARLO SUJE : LE PRIING Selim ZOUGHLAMI QUESION : Supposos d abord que X est u mouvemet browie W t G([ 0, ]) Alors W0 G( 0 ) suit ue loi N(0,0) et doc W 0ps 0 Esuite,

Plus en détail

LES ÉCLIPSES. Éclipser signifie «cacher». Vus depuis la Terre, deux corps célestes peuvent être éclipsés : la Lune et le Soleil.

LES ÉCLIPSES. Éclipser signifie «cacher». Vus depuis la Terre, deux corps célestes peuvent être éclipsés : la Lune et le Soleil. Qu appelle-t-o éclipse? Éclipser sigifie «cacher». Vus depuis la Terre, deu corps célestes peuvet être éclipsés : la Lue et le Soleil. LES ÉCLIPSES Pour qu il ait éclipse, les cetres de la Terre, de la

Plus en détail

Questions pour un champion en ligne

Questions pour un champion en ligne Questios pour u champio e lige Le jeu télévisé QPUC préseté sur FR3 et aimé par Julie Lepers existe aussi e variate «e lige». U jeu «e lige» se déroule aisi : Six iterautes disputet ue première mache dite

Plus en détail

I- Rappel I-1. Types de tirages : Soit un ensemble fini E contenant n éléments. On considère l'épreuve suivante : " tirer p éléments de E ".

I- Rappel I-1. Types de tirages : Soit un ensemble fini E contenant n éléments. On considère l'épreuve suivante :  tirer p éléments de E . Cours de termiales Probabilités sur u esemble fii Mr ABIDI F I- Rappel I- Types de tirages : Soit u esemble fii E coteat élémets O cosidère l'épreuve suivate : " tirer p élémets de E " Type de tirages

Plus en détail

Séries réelles ou complexes

Séries réelles ou complexes 6 Séries réelles ou complexes Comme pour le chapitre 3, les suites cosidérées sot a priori complexes et les résultats classiques sur les foctios cotiues ou dérivables d ue variable réelle sot supposés

Plus en détail

Corrigé du baccalauréat Polynésie 16 juin 2014 STI2D STL spécialité SPCL

Corrigé du baccalauréat Polynésie 16 juin 2014 STI2D STL spécialité SPCL Corrigé du baccalauréat Polyésie 6 jui 4 STID STL spécialité SPCL EXERCICE 4 poits Cet eercice est u questioaire à choi multiples. Pour chacue des questios suivates, ue seule des quatre réposes proposées

Plus en détail

MATHEMATIQUES Terminale Scientifique

MATHEMATIQUES Terminale Scientifique MATHEMATIQUES Termiale Scietifique Fiches PROGRAMME 22 (v24) Sylvie LAMY Agrégée de Mathématiques Dilômée de l École Polytechique Cours Pi e-mail : lescoursi@cours-icom site : htt://wwwcours-icom siège

Plus en détail

Lycée Fénelon Sainte-Marie Préparation Science-Po/Prépa HEC

Lycée Fénelon Sainte-Marie Préparation Science-Po/Prépa HEC Lycée Féelo aite-marie Préparatio ciece-po/prépa HEC Foctios Versio du juillet 05 Eercice d degré : racies et coefficiets O rappelle que si l équatio a + b + c = 0 ( a 0 ) adet deu racies α et β (évetuelleet

Plus en détail

Application «Calculs» Application «Graphiques» Application «Tableur et listes» FR

Application «Calculs» Application «Graphiques» Application «Tableur et listes» FR TI Nspire Documet de Formatio T3 Walloie TI-Nspire Le tout e u des mathématiques Suites umériques La loi de Verhulst Applicatio «Calculs» Applicatio «Graphiques» Applicatio «Tableur et listes» FR Formatios

Plus en détail

Concours PT2004 Maths I-B. partie A

Concours PT2004 Maths I-B. partie A ocours PT2 Maths I-B Même si le suet e l a pas posé o utilisera : 8 2 M r (R) = I r partie a b x y ax + bz. Si = 2 S c d 2 et B = 2 S z t 2 o a B = cx + dz ay + bt cy + dt Les coe ciets de B sot sommes

Plus en détail

Loi binomiale. Niveau : Première S + SUP (Convergence) Prérequis : Variable aléatoire, espérance, variance, théorème limite central, loi de Poisson

Loi binomiale. Niveau : Première S + SUP (Convergence) Prérequis : Variable aléatoire, espérance, variance, théorème limite central, loi de Poisson 4 L E Ç O N Loi biomiale Niveau : Première S + SUP (Covergece) Prérequis : Variable aléatoire, espérace, variace, théorème limite cetral, loi de Poisso 1 Loi de Beroulli Défiitio 41 Loi de Beroulli Soit

Plus en détail

Le rang d une matrice correspond à la dimension de son image, ce qui est égal à la dimension maximale d une sous-matrice extraite inversible.

Le rang d une matrice correspond à la dimension de son image, ce qui est égal à la dimension maximale d une sous-matrice extraite inversible. Uiversité de Geève Sectio de Mathématiques Algèbre I Corrigé 2 Série 7, ex 3 Toutes les affirmatios sot vraies sauf la derière E effet, pour que deux espaces soiet e somme directe, il faut que leur itersectio

Plus en détail

Équations différentielles - Cours no 6 Approximation numérique

Équations différentielles - Cours no 6 Approximation numérique Équatios différetielles - Cours o 6 Approximatio umérique 1 Itroductio De très ombreux problèmes scietifiques sot mis e équatio à l aide d u système d équatios différetielles ẋt) = ft, xt)) voir par exemple

Plus en détail

AVRIL 2012 CONCOURS INGÉNIEURS DES TRAVAUX STATISTIQUES. ITS Voie B Option Économie. MATHÉMATIQUES (Durée de l épreuve : 4 heures)

AVRIL 2012 CONCOURS INGÉNIEURS DES TRAVAUX STATISTIQUES. ITS Voie B Option Économie. MATHÉMATIQUES (Durée de l épreuve : 4 heures) ÉCOLE NATIONALE SUPÉRIEURE DE STATISTIQUE ET D ÉCONOMIE APPLIQUÉE ENSEA ABIDJAN AVRIL 2012 CONCOURS INGÉNIEURS DES TRAVAUX STATISTIQUES ITS Voie B Optio Écoomie MATHÉMATIQUES (Durée de l épreuve : 4 heures)

Plus en détail

AVANT PROPOS. Cet ouvrage pourra intéresser également les enseignants de ce niveau.

AVANT PROPOS. Cet ouvrage pourra intéresser également les enseignants de ce niveau. AVANT PROPOS Cet ouvrage propose aux élèves de classes termiales (fraçais) S (spécialité math) des rappels et des complémets de cours assez complet, aisi que des problèmes et des exercices corrigés. Les

Plus en détail

Chapitre 1: Calcul des intérêts

Chapitre 1: Calcul des intérêts Chapitre 1: Calcul des itérêts Ce chapitre vise à familiariser le lecteur avec les otios suivates : Itérêt Taux d itérêt omial Taux d itérêt périodique Valeur acquise Valeur actuelle Capitalisatio Le lecteur

Plus en détail

1 Programme de l agrégation interne

1 Programme de l agrégation interne Séries umériques Programme de l agrégatio itere Partie 0b : Séries de ombres réels ou complexes Séries à termes positifs La série coverge si et seulemet si la suite des sommes partielles est borée Étude

Plus en détail

Racine nième Corrigés d exercices

Racine nième Corrigés d exercices Racie ième Corrigés d eercices Page 9 : N 8, 8, 8, 86, 88, 89, 9, 9, 9, 97 Page 6 : N, Page 6 : N Page 67 : N 8 Page 6 : N N 8 page 9 6 6 6 6 6 ( ) = = = = = = = = ( ) = = = = = = ( ) 8 = 8 = = = = = =

Plus en détail

Intervalle de fluctuation des fréquences. Estimation CONTENUS CAPACITÉS ATTENDUES COMMENTAIRES. fréquence F n. fréquence obtenue f.

Intervalle de fluctuation des fréquences. Estimation CONTENUS CAPACITÉS ATTENDUES COMMENTAIRES. fréquence F n. fréquence obtenue f. Chapitre 14 Itervalle de fluctuatio des fréqueces. Estimatio Termiale S Ce que dit le programme : CONTENUS CAPACITÉS ATTENDUES COMMENTAIRES Itervalle de fluctuatio Estimatio Itervalle de cofiace (*). Niveau

Plus en détail

20. Algorithmique & Mathématiques

20. Algorithmique & Mathématiques L'éditeur L'éditeur permet à l'utilisateur de saisir les liges de codes d'u programme ou de défiir des foctios. Remarque : O peut saisir directemet des istructios das la cosole Scilab, mais il est plus

Plus en détail

BACCALAURÉAT TECHNOLOGIQUE STG. Spécialités : Mercatique, Comptabilité et Finance d Entreprise, Gestion des systèmes d information.

BACCALAURÉAT TECHNOLOGIQUE STG. Spécialités : Mercatique, Comptabilité et Finance d Entreprise, Gestion des systèmes d information. BACCALAURÉAT TECHNOLOGIQUE STG Spécialités : Mercatique, Comptabilité et Fiace d Etreprise, Gestio des systèmes d iformatio. SESSION 2012 ÉPREUVE DE MATHÉMATIQUES Mercatique, comptabilité et fiace d etreprise

Plus en détail

14 Chapitre 14. Théorème du point fixe

14 Chapitre 14. Théorème du point fixe Chapitre 14 Chapitre 14. Théorème du poit fixe Si l o examie de plus près les méthodes de Lagrage et de Newto, étudiées au chapitre précédet, elles revieet das leur pricipe à remplacer la résolutio de

Plus en détail

Comment utiliser ce que vous POSSÉDEZ pour réduire ce que vous DEVEZ

Comment utiliser ce que vous POSSÉDEZ pour réduire ce que vous DEVEZ Commet utiliser ce que vous POSSÉDEZ pour réduire ce que vous DEVEZ Survol du compte Mauvie U La majorité des Caadies gèret leurs fiaces comme suit : 1. Ils déposet leur reveu et autres actifs à court

Plus en détail

On admet que l ensemble des nombres des réels est inclus dans un ensemble plus grand constitué de nombres complexes.

On admet que l ensemble des nombres des réels est inclus dans un ensemble plus grand constitué de nombres complexes. Chapitre 1 Nombres complexes Le buts du chapitres sot : Cosolider les aquis de termiale, Savoir maipuler les ombres complexes, e particulier la factorisatio par l agle de moitié. Avoir des otios sur le

Plus en détail

UNIVERSITE MONTESQUIEU BORDEAUX IV. Année universitaire 2006-2007. Semestre 2. Prévisions Financières. Travaux Dirigés - Séances n 4

UNIVERSITE MONTESQUIEU BORDEAUX IV. Année universitaire 2006-2007. Semestre 2. Prévisions Financières. Travaux Dirigés - Séances n 4 UNVERSTE MONTESQUEU BORDEAUX V Licece 3 ère aée Ecoomie - Gestio Aée uiversitaire 2006-2007 Semestre 2 Prévisios Fiacières Travaux Dirigés - Séaces 4 «Les Critères Complémetaires des Choix d vestissemet»

Plus en détail

. (b) Si (u n ) est une suite géométrique de raison q, q 1, on obtient : N N, S N = 1 qn+1. n+1 1 S N = 1 1

. (b) Si (u n ) est une suite géométrique de raison q, q 1, on obtient : N N, S N = 1 qn+1. n+1 1 S N = 1 1 Premières propriétés des ombres réels 2 Suites umériques 3 Suites mootoes : à faire 4 Séries umériques 4. Notio de série. Défiitio 4.. Soit (u ) ue suite de ombres réels ou complexes. Pour N N, o ote S

Plus en détail

Codes détecteurs et correcteurs d erreurs

Codes détecteurs et correcteurs d erreurs Codes détecteurs et correcteurs d erreurs Lorsque des doées umériques sot stockées ou trasmises, des perturbatios (par exemple électromagétiques) peuvet les edommager. Les codes détecteurs et correcteurs

Plus en détail

Intérêt simple CHAPITRE. Sommaire

Intérêt simple CHAPITRE. Sommaire HAPTRE térêt simple Sommaire A B D E F G H J K L Notio d itérêt Formule fodametale de l itérêt simple Durée de placemet exprimée e mois Durée de placemet exprimée e jours alculs sur la formule fodametale

Plus en détail

Le montant des intérêts acquis est la différence entre la valeur acquise et le capital placé :

Le montant des intérêts acquis est la différence entre la valeur acquise et le capital placé : http://maths-scieces.fr OPÉRATIONS FINANIÈRES A INTÉRÊTS OMPOSÉS I) Itérêts et valeur acquise Défiitio U capital est placé à itérêts composés lorsque le motat des itérêts produits à la fi de chaque période

Plus en détail

Séquence 5. La fonction logarithme népérien. Sommaire

Séquence 5. La fonction logarithme népérien. Sommaire Séquece 5 La foctio logarithme épérie Objectifs de la séquece Itroduire ue ouvelle foctio : la foctio logarithme épérie. Coaître les propriétés de cette foctio : sa dérivée, ses variatios, sa courbe, sa

Plus en détail

Qu est-ce qu un bon énoncé de bac? Analyse de l exercice de spécialité de TS de Pondichéry 2013 Jacques Lubczanski

Qu est-ce qu un bon énoncé de bac? Analyse de l exercice de spécialité de TS de Pondichéry 2013 Jacques Lubczanski Dossier : Actualité de l Aalyse e Lycée 447 Qu est-ce qu u bo éocé de bac? Aalyse de l exercice de spécialité de TS de Podichéry 2013 Jacques Lubczaski «Podichéry est tombé!» : cela ressemble à l aoce

Plus en détail

Baccalauréat S Nouvelle-Calédonie 7 mars 2014

Baccalauréat S Nouvelle-Calédonie 7 mars 2014 Durée : 4 heures Baccalauréat S Nouvelle-Calédoie 7 mars 2014 A. P. M. E. P. EXERCICE 1 Commu à tous les cadidats 4 poits Cet exercice est u QCM questioaire à choix multiple. Pour chaque questio, ue seule

Plus en détail

UNIVERSITÉ DE SFAX École Supérieure de Commerce

UNIVERSITÉ DE SFAX École Supérieure de Commerce UNIVERSITÉ DE SFAX École Supérieure de Commerce Aée Uiversitaire 2003 / 2004 Auditoire : Troisième Aée Études Supérieures Commerciales & Scieces Comptables DÉCISIONS FINANCIÈRES Note de cours N 3 Première

Plus en détail

Concours de l Iscae. Épreuve Commune de Mathématiques (2015)

Concours de l Iscae. Épreuve Commune de Mathématiques (2015) Mohiieddie Beayad Cocours de l Iscae Épreuve Commue de Mathématiques (5) Voici l éocé de l épreuve commue de Mathématiques du cocours d etrée à l ISCAE de l aée 5, aisi que l itégralité du corrigé. Les

Plus en détail

Convergences 2/2 - le théorème du point fixe - Page 1 sur 9

Convergences 2/2 - le théorème du point fixe - Page 1 sur 9 Au sommaire : Suites extraites Le théorème de Bolzao-Weierstrass La preuve du théorème de Bolzao-Weierstrass3 Foctio K-cotractate4 Le théorème du poit fixe5 La preuve du théorème du poit fixe6 Utilisatios

Plus en détail

Chap. 6 : Les principaux crédits de trésorerie et leur comptabilisation

Chap. 6 : Les principaux crédits de trésorerie et leur comptabilisation Chap. 6 : Les pricipaux crédits de trésorerie et leur comptabilisatio Les etreprises ot souvet besoi de moyes de fiacemet à court terme : elles ot alors recours aux crédits bacaires (découverts bacaires

Plus en détail

Modes propres de vibration ; interprétation ondulatoire

Modes propres de vibration ; interprétation ondulatoire SPECIALITE TS ( PHYSIQUE ) : FICHE CURS 6 1/5 MDES PRPRES DE IBRATI Ce qu'il faut reteir Modes propres de vibratio ; iterprétatio odulatoire 1. Productio d u so à l aide d u istrumet de musique U istrumet

Plus en détail

Modèle de pointage et correction des dérives

Modèle de pointage et correction des dérives Ges de la Lue Observatoire astroomique de Plougastel Tél : 0 98 40 69 73 http://www.gesdelalue.org Modèle de poitage et correctio des dérives 1. Présetatio du problème Le poitage d u astre par u télescope

Plus en détail

STATISTIQUE : ESTIMATION

STATISTIQUE : ESTIMATION STATISTIQUE : ESTIMATION Préparatio à l Agrégatio Bordeaux Aée 202-203 Jea-Jacques Ruch Table des Matières Chapitre I. Estimatio poctuelle 5. Défiitios 5 2. Critères de comparaiso d estimateurs 6 3. Exemples

Plus en détail

Feuille 2 : dérivabilité, théorème de Rolle et des accroissements finis, étude des variations

Feuille 2 : dérivabilité, théorème de Rolle et des accroissements finis, étude des variations UPMC 1M001 Aalyse et algèbre pour les scieces 013-014 Feuille : dérivabilité, théorème de Rolle et des accroissemets fiis, étude des variatios Les eercices sas ( ) sot des applicatios directes du cours.

Plus en détail

Examen final pour Conseiller financier / conseillère financière avec brevet fédéral. Recueil de formules. Auteur: Iwan Brot

Examen final pour Conseiller financier / conseillère financière avec brevet fédéral. Recueil de formules. Auteur: Iwan Brot Exame fial pour Coseiller fiacier / coseillère fiacière avec brevet fédéral Recueil de formules Auteur: Iwa Brot Ce recueil de formules sera mis à dispositio des cadidats, si écessaire. Etat au 1er mars

Plus en détail

TS Intervalle de fluctuation et estimation Cours

TS Intervalle de fluctuation et estimation Cours Aée 2013/2014 TS Itervalle de fluctuatio et estimatio Cours est u etier aturel o ul et p est u réel de l itervalle 0 ; 1. I Itervalle de fluctuatio Cotexte : Das ue populatio, la proportio d idividus présetat

Plus en détail

Devoir de statistiques: CORRIGE

Devoir de statistiques: CORRIGE CPP - la prépa des INP ( ème aée). Bordeaux, 6/04/04. Devoir de statistiques: CORRIGE durée h Doées: O rappelle que si Z suit ue loi N (0, ), o a P(Z.96) 0, 975 et P(Z.65) 0, 95. Exercice. θ et O cosidère

Plus en détail

Examen final pour Conseiller financier / conseillère financière avec brevet fédéral. Recueil de formules. Auteur: Iwan Brot

Examen final pour Conseiller financier / conseillère financière avec brevet fédéral. Recueil de formules. Auteur: Iwan Brot Exame fial pour Coseiller fiacier / coseillère fiacière avec brevet fédéral Recueil de formules Auteur: Iwa Brot Ce recueil de formules est à dispositio olie et sera doé aux cadidats lors des exames oraux

Plus en détail

Exercice I ( non spé ) 1/ u 1 = 3 4. 2 3 u 2 4 + 3 9. 19 4 2/ Soit P la propriété : u n + 4. > 0 pour n 1. P est vraie au rang 1 car u 1

Exercice I ( non spé ) 1/ u 1 = 3 4. 2 3 u 2 4 + 3 9. 19 4 2/ Soit P la propriété : u n + 4. > 0 pour n 1. P est vraie au rang 1 car u 1 Bac blac TS Correctio Exercice I ( Spé ) / émotros par récurrece que 5x y = pour tout etier aturel 5x y = 5 8 = La propriété est doc vraie au rag = Supposos que la propriété est vraie jusqu au rag, o a

Plus en détail

TD1. Dénombrements, opérations sur les ensembles.

TD1. Dénombrements, opérations sur les ensembles. Uiversité Pierre & Marie Curie Licece de Mathématiques L3 UE LM345 Probabilités élémetaires Aée 2014 15 TD1. Déombremets, opératios sur les esembles. 1. Combie de faços y a-t-il de classer 10 persoes à

Plus en détail

Chap. 6 : Les principaux crédits de trésorerie et leur comptabilisation

Chap. 6 : Les principaux crédits de trésorerie et leur comptabilisation 1 / 9 Chap. 6 : Les pricipaux crédits de trésorerie et leur comptabilisatio Le cycle d exploitatio des etreprises (achats stockage productio stockage vetes) peut etraîer des décalages de trésorerie plus

Plus en détail

ECOLE DES HAUTES ETUDES COMMERCIALES E.S.C.P.-E.A.P. ECOLE SUPERIEURE DE COMMERCE DE LYON MATHEMATIQUES II

ECOLE DES HAUTES ETUDES COMMERCIALES E.S.C.P.-E.A.P. ECOLE SUPERIEURE DE COMMERCE DE LYON MATHEMATIQUES II CHAMBRE DE COMMERCE ET D INDUSTRIE DE PARIS DIRECTION DE L ENSEIGNEMENT Directio des Admissios et cocours ECOLE DES HAUTES ETUDES COMMERCIALES E.S.C.P.-E.A.P. ECOLE SUPERIEURE DE COMMERCE DE LYON CONCOURS

Plus en détail

Chapitre 1: Récursivité

Chapitre 1: Récursivité Chapitre 1: Récursivité 1 Rappel : la otio de foctio Cette sectio est u bref rappel de la otio de foctio e iformatique, et so utilisatio e Pytho 11 Défiitio E iformatique, ue foctio est ue routie qui retoure

Plus en détail

1/ ETUDE ASYMPTOTIQUE D'UNE MARCHE ALEATOIRE ENTRE DEUX ETATS

1/ ETUDE ASYMPTOTIQUE D'UNE MARCHE ALEATOIRE ENTRE DEUX ETATS CHAPITRE 4 MATRICES ET SUITES 1/ ETUDE ASYMPTOTIQUE D'UNE MARCHE ALEATOIRE ENTRE DEUX ETATS 11/ Présetatio et modélisatio O cosidère u système ui peut se trouver soit das u état A, soit das u état, et

Plus en détail

On obtient la formule de Pascal en prenant le cardinal :

On obtient la formule de Pascal en prenant le cardinal : Colles du 3 ovembre 014 Solutio de la questio de cours 1. (i) Soit E u esemble de cardial. L esemble (E) peut alors être partitioé comme suit : (E) (E), où (E) est l esemble des parties de E de cardial.

Plus en détail

Organisme de recherche et d information sur la logistique et le transport LES PREVISIONS DES CONSOMMATIONS

Organisme de recherche et d information sur la logistique et le transport LES PREVISIONS DES CONSOMMATIONS LES PREVISIONS DES CONSOMMATIONS Les logiciels utilisés pour la gestio des stocks itègret de ombreuses foctios de calcul. L ue des plus importates est l exécutio des prévisios des cosommatios futures d

Plus en détail

Détermination des champs électriques et magnétiques. statiques par la méthode de séparation de variables

Détermination des champs électriques et magnétiques. statiques par la méthode de séparation de variables Détermiatio es champs électriques et magétiques statiques par la méthoe e séparatio e variables Chapitre III Détermiatio es champs électriques et magétiques statiques par la méthoe e séparatio e variables

Plus en détail

Fiche N 8 : Matrices.

Fiche N 8 : Matrices. Lycée Paul Gaugui CPGE-EC1 Aée 014/015 Fiche N 8 : atrices Gééralités sur les matrices atrices : Défiitios O appelle matrice à liges et p coloes tout tableau rectagulaire de ombres réels à liges et p coloes

Plus en détail

EXERCICES : DÉNOMBREMENT

EXERCICES : DÉNOMBREMENT Chapitre 7 ECE 1 - Grad Nouméa - 015 EXERCICES : DÉNOMBREMENT LISTES / ARRANGEMENTS Exercice 1 : Le code ativol Pour so vélo, Toto possède u ativol a code. Le code est ue successio de trois chiffres compris

Plus en détail

Chapitre 1 : Les notions de base

Chapitre 1 : Les notions de base Chapitre : Les otios de base Itroductio I Comparer des gradeurs A) Les pourcetages B) Taux de variatio, coefficiet multiplicateur, idice C) Importace du ses de la comparaiso ) Raisoemet sur les taux de

Plus en détail