MAT 452 Analyse Fonctionnelle ( ) Correction exercice 5 / Feuille d exercices n 3

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1 MAT 45 Aalyse Foctioelle (6-7) Correctio exercice 5 / Feuille d exercices 3 Soit H u espace de Hilbert complexe séparable et D u sous-espace quelcoque de H. O se doe u opérateur liéaire A : D H. O appelle ρ(a) := {z C tel que A z : D H est iversible d iverse boré} esemble résolvat de A et σ(a) := C \ ρ(a) le spectre de A. Ici (A z) boré sigifie qu il existe ue costate C telle que x H, (A z) x H C x H (o utilise la orme de H, même si (A z) x D).. Motrer que si σ(a) C, alors le graphe de A doit être fermé. Corrigé. Par cotraposée, o suppose qu il existe z C tel que A z : D H soit iversible d iverse boré. Soit alors (x, y = Ax ) ue suite du graphe de A, qui coverge das H H vers (x, y). O doit motrer que x D et que Ax = y. O a y = Ax = (A z)x + zx de sorte que (A z) (y zx ) = x. Comme (A z) est cotiu par hypothèse, o peut passer à la limite et obteir (A z) (y zx) = x. Puisque (A z) est à image das D, ceci motre bie que x D et il est esuite facile de vérifier que Ax = y, e appliquat A z à gauche. L opérateur de dérivatio A : f f joue u rôle cetral das la théorie des équatios différetielles. O rappelle par ailleurs que ia : f if est l opérateur qui décrit l impulsio e mécaique quatique. Das l itervalle [, ], o s atted à ce que so spectre soit quatifié, doé par σ( ia) = {kπ}. Nous allos voir que c est le cas, mais à coditio de défiir A sur le bo domaie. U mauvais choix coduit iexorablemet à σ(a) = C. Par la questio précédete, c est déjà forcémet le cas si le graphe est pas fermé.. O pred H = L (], [, C), D = C ([, ], C) et A f = f. (a) Motrer que le graphe de A est pas fermé et que σ(a ) = C. (b) O cosidère le sous-espace de L (], [, C) D = { f C ([, ], C) : f L (], [, C) } où f est etedue au ses des distributios sur ], [, et l opérateur B f = f sur D. Motrer que le graphe de B est fermé et que c est la fermeture du graphe de A das H H. (c) Détermier le spectre de B.

2 Corrigé. (a) Le graphe G = {(f, f ) : f D = C ([, ])} de l opérateur A est pas fermé das L (], [) L (], [). Par exemple, la foctio { t pour t /, f(t) = t pour / t, appartiet à L (], [) et sa dérivée (au ses des distributios) est f (t) = ( < t < /) (/ < t < ) qui est aussi das L (], [) mais est pas cotiue. Doc f / C ([, ]) = D et (f, f ) / G. Aisi, si o trouve ue suite f C ([, ]) telle que f f et f f das L (], [), o aura bie motré que G est pas fermé. O peut poser par exemple f () = et pour t /, f (t) = ( ) t pour t +, pour + t, qui est ue foctio cotiue. O a ( ( (f (t) f (t)) dt = t ) + + ) ( ( + t ) ( ) ) dt = O. La covergece uiforme de f f est automatique ue fois que la dérivée coverge. E effet, comme f () = f() =, o a et doc par Cauchy-Schwarz max f f [,] (f f )(x) = (f (t) f (t)) dt, f (t) f (t) dt f f. L (],[) E particulier, o obtiet bie que (f, f ) (f, f ) fortemet das L L mais que la limite est pas das G. Comme le graphe est pas fermé, o déduit de la première questio que σ(a ) = C. E fait, les foctios e ax sot des foctios propres pour tout a C. (b) O ote G = {(f, f ) : f D } le graphe de B et o motre que c est la fermeture de G pour la orme de L (], [) L (], [). Nous allos utiliser le fait que si f L (], [) est telle que sa dérivée au ses des distributios f est doée par ue foctio de L (], [), alors f coïcide presque partout avec ue foctio cotiue et f(t) = f() + t f (s) ds. Pour cela il suffit de calculer la dérivée au ses des distributios de la foctio de droite et de vérifier que c est bie f (exercice). Comme L (], [) L (], [) par Cauchy-Schwarz, la même formule est utilisable das otre cas. Commeços par motrer que G est dese das G. O rappelle que Cc (, ) est dese das L (], [) et o pred doc ue suite ϕ f das L (], [) avec ϕ Cc (, ) et o pose f (x) = f() + ϕ(t) dt C ([, ]). Comme (f f )(x) = (f (t) ϕ (t)) dt, la covergece de f = ϕ das L implique la covergece uiforme de f vers f, et doc la covergece das L (], [). Nous avos aisi motré que tout élémet de G peut être approché par ue suite d élémets de G.

3 doc Il reste à prouver que G est fermé. Si f C o a f(x) = f(x) f(y) = f(y) dy + y f (t) dt y f (t) dt dy. () Par desité de G das G pour la orme L L (e fait même pour la orme max [,] f + f L (],[)), et par cotiuité de tous les termes apparaissat das (), o coclut que cette relatio reste vraie pour f D. Soit doc (f, f ) ue suite de G qui coverge, c est-à-dire telle que f f et f g das L (], [). Nous devos motrer que f est cotiue et que g = f (dérivée au ses des distributios). De la formule () o déduit que max [,] f f p f f p L (],[) + f f p L (],[) f fp L (],[) + f f p L (],[) doc (f ) est de Cauchy das C ([, ]). Elle doit coverger uiformémet vers ue limite f, ce qui implique que f f das L (], [) et doc bie sûr que f = f. E particulier f est cotiue. Par ailleurs, f(t)ϕ (t) dt = lim f (t)ϕ (t) dt = lim f (t)ϕ(t) dt = g(t)ϕ(t) dt pour tout ϕ Cc (, ), qui prouve bie que f = g au ses des distributios, doc que (f, f ) G. E coclusio, puisque G est fermé et que G est dese das cet espace, c est bie la fermeture de G. Remarque : par le théorème du graphe fermé, l opérateur B est cotiu de D das L (], [), lorsque D est mui de la orme f D = f L (],[) + f L (],[) qui est équivalete à la orme f C ([,]) + f L (],[). (c) Le spectre de B est toujours égal à C car les foctios e ax restet des foctios propres. Fermer le graphe a pas vraimet résolu le problème. 3. Notre ituitio que le spectre de l opérateur de dérivatio a u spectre imagiaire pur, doé par les ikπ pour k Z est par aalogie avec les matrices hermitiees. Malheureusemet, l opérateur ib défii à la questio précédete a bie u graphe fermé mais il est pas symétrique. E effet, ue itégratio par parties doe f(t)( ig (t)) dt = if (t)g(t) dt i ( f()g() f()g() ). Pour auler les termes de bord, il faut ajouter ue coditio. Nous allos ajouter l hypothèse que f() = f() et g() = g(), ce qui reviet à travailler avec u système périodique (ue particule quatique sur le cercle uité). O pred doc H = L (], [, C), D = {f C ([, ], C), f() = f()} et A f = f. (a) Motrer que le graphe de A est pas fermé et que σ(a ) = C. (b) O cosidère le sous-espace de L (], [, C) D = { f C ([, ], C) : f L (], [, C), f() = f() } et l opérateur B f = f sur D. Motrer que le graphe de B est fermé et que c est la fermeture du graphe de A. 3

4 (c) Motrer que D est aussi l espace des foctios f C ([, ], C) dot les coefficiets de Fourier c k (f) = f(t)e iπkt dt vérifiet k c k (f) < k πz et exprimer B das la base de Fourier. E déduire le spectre de B. Corrigé. (a) L opérateur A a pas o plus u graphe fermé (la même foctio f que précédemmet coviet), doc σ(a ) = C. (b) E fermat le graphe, o trouve l opérateur B défii sur le domaie D. L argumet est essetiellemet le même qu à la questio précédete, modulo ue petite difficulté : pour motrer que G est dese das G il faut approcher f par ue foctio f vérifiat f (t) dt =, de sorte que f () = f (). Le plus simple est de corriger la foctio de la questio précédete e preat f (t) = ϕ (t) ϕ(t) ϕ (s) ds où ϕ est ue foctio de Cc (, ) quelcoque telle que ϕ(s) ds =. Comme ϕ f fortemet das L (], [), doc das L (], [), o a ϕ(s) ds f (s) ds =, doc le terme additioel ted vers. L argumet est esuite le même que précédemmet. (c) Le spectre de l opérateur B est maiteat égal à {ikπ} ir, doc très différet! E effet, par la théorie des séries de Fourier o peut écrire toute foctio de L (], [) sous la forme f(t) = c k (f) e iπkt où la série coverge das L (], [). Si f D, o a c k (f) = f(t)e iπkt dt = iπk = iπk f (t)e iπkt dt ( ) f() f() iπk }{{} = f (t)e iπkt dt = c k(f ) iπk. Par cotiuité de tous les termes de cette équatio et desité de G das G, o coclut que cette relatio reste vraie pour f D. O voit doc que tous les f D ot ue série de Fourier qui vérifie k c k (f) <. Réciproquemet, si f L (], [) a ue série de Fourier vérifiat cette hypothèse (e plus de c k(f) < ), o e déduit que ( )/ ( ) / c k (f) + k ( ) c k (f) <, + k doc que la série coverge ormalemet. E particulier, f est cotiue et vérifie f() = f() puisque chaque e iπkt satisfait cette relatio. E preat ϕ Cc (], [), o trouve que f, ϕ = f(t)ϕ (t) dt = iπ k c k (f)c k (ϕ) qui motre que la distributio f s idetifie à la foctio dot les coefficiets de Fourier sot les iπkc k (f). Ue telle foctio est bie das L (], [), par Parseval. Aisi, ous avos motré que D est bie l esemble metioé, et égalemet que f (t) = iπkc k (f)e iπkt = (B f)(t), () 4

5 où la série coverge das L (], [). E particulier, o trouve que les e iπkt sot des foctios propres de B et {iπk} σ(b ). Il reste à prouver que B z est iversible d iverse boré si z / {iπk}. Si z / {iπk} o a mi z iπk > car l esemble {iπk} est fermé. O itroduit alors l opérateur (R (z)f) (t) = iπk z c k(f)e iπkt, défii sur tout L (], [). Cet opérateur est boré puisque R (z)f L (],[) = Par ailleurs, cet opérateur est à valeurs das D car E effet la foctio k c k (f) iπk z c k (f) iπk z f L (],[) mi z iπk. k Z C k iπk z c k (f). est uiformémet borée puisque le déomiateur e s aule jamais et qu elle ted vers /(4π ) à l ifii. Il reste à motrer que R (z) est l iverse de B z, ce qui suit de (). Remarque : si o défiit B sur importe quel sous-espace strict dese de D (par exemple des foctios plus régulières) alors le spectre vaut obligatoiremet C, par la questio car le graphe e sera pas fermé. Ceci motre le caractère iévitable de travailler avec des dérivées défiies au ses faible. Les espaces D et D s appellet des espaces de Sobolev. 5