TES3 Devoir Surveillé n o 6 le 6 avril Nom :... Prénom :...

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1 Nom : Prénom : Le soin e l rédcion prendron une pr imporne dns l noion des copies. Le suje es à rendre obligoiremen vec l copie. Le brème es donné à ire indicif. Exercice 1 (7 poins). Un resurn propose à s cre deux ypes de desser : un ssorimen de mcrons, choisi pr 50 % des cliens ; une pr de re in, choisie pr 30 % des cliens. 20 % des cliens ne prennen ps de desser e ucun clien ne prend plusieurs dessers. Le resureur remrqué que : prmi les cliens yn pris un ssorimen de mcrons, 80 % prennen un cfé ; prmi les cliens yn pris une pr de re in, 60 % prennen un cfé ; prmi les cliens n yn ps pris de desser, 90 % prennen un cfé. On inerroge u hsrd un clien de ce resurn. On noe p l probbilié ssociée à cee expérience léoire. On noe : M l évènemen : «Le clien prend un ssorimen de mcrons» ; T l évènemen : «Le clien prend une pr de re in» ; P l évènemen : «Le clien ne prend ps de desser» ; C l évènemen : «Le clien prend un cfé» e C l évènemen conrire de C. 1. En uilisn les données de l énoncé, préciser l vleur de p(t ) e celle de P T (C), probbilié de l évènemen C schn que T es rélisé. 2. Dresser un rbre de probbilié décrivn cee siuion. 3.. Exprimer pr une phrse ce que représene l évènemen M C puis clculer p(m C). b. Monrer que p(c) = 0, Quelle es l probbilié que le clien prenne un ssorimen de mcrons schn qu il prend un cfé? (On donner le résul rrondi u cenième). 5. On considère une ble à lquelle qure cliens se son insllés e où ceux-ci choisissen indépendmmen les uns des ures leur desser e le choix du cfé ou non. Clculer l probbilié qu excemen deux d enre eux prennen un cfé. 6. Un ssorimen de mcrons es vendu 6 e, une pr de re in es vendue 7 e, e un cfé es vendu 2 e. Chque clien prend un pl (e un seul) u prix unique de 18 e, ne prend ps plus d un desser ni plus d un cfé.. Quelles son les six vleurs possibles pour l somme ole dépensée pr un clien? b. Compléer le bleu ci-dessous donnn l loi de probbilié de l somme ole dépensée pr un clien : Sommes s i p (s i ) 0,02 0,18... c. Clculer l espérnce mhémique de cee loi e inerpréer ce résul. Pge 1

2 Exercice 2 (6 poins). Prie A : éude d une foncion Soi f l foncion dérivble définie sur l inervlle [0 ; + [ pr : f(x) = e 0,3x. Dns un repère orhogonl, on noe C f l courbe représenive de l foncion f e D l droie d équion y = 7x. On dme que l courbe C f e l droie D se coupen en un seul poin d bscisse x 0 e on donne x 0 9, D C f Clculer f(0) e l vleur rrondie u cenième de f(20). 2. Démonrer que l foncion f es croissne sur l inervlle [0 ; + [. 3.. Clculer l limie de f en +. En déduire que l courbe C f dme une sympoe horizonle u voisinge de + e en donner une équion. b. Monrer que pour ou x pprenn à [0 ; + [, on f(x) < 80. En déduire l posiion relive de l courbe C f pr rppor à l droie d équion y = 80 sur l inervlle [0 ; + [. 4. À l ide du grphique, déerminer, selon les vleurs de x, le signe de 7x f(x) pour x pprenn à l inervlle [0 ; + [. Prie B : inerpréion économique Dns cee prie, oue rce de recherche, même incomplèe, ou d iniiive même non frucueuse, ser prise en compe dns l évluion. Pge 2

3 On uiliser les résuls de l prie A. Une enreprise peu produire chque jour u mximum hermomères de bin pour bébé. On noe x le nombre de cenines de hermomères produis chque jour rvillé, x pprenn à l inervlle [0 ; 20]. On suppose que le coû ol de producion pr jour, exprimé en cenines d euros, es égl à f(x), où f es l foncion définie dns l prie A. 1. Déerminer le monn des «coûs fixes», c es-à-dire le monn des coûs lorsque l qunié produie es nulle. 2. Le coû ol de producion des hermomères peu-il eindre e pr jour? Jusifier. 3. Le prix de vene d un hermomère es fixé à 7 e. L recee journlière, exprimée en cenines d euros, es donc donnée pr R(x) = 7x. Pour quelles producions journlières de hermomères l enreprise rélise--elle un bénéfice? Jusifier. Exercice 3 (3 poins). Une somme C emprunée u ux 1 nnuel, es remboursée en n nnuiés A égles. L formule qui relie C,, n e A es donnée ci-dessous : C = A Monsieur X empruné l somme de e u ux nnuel de 7 %. Il peu effecuer ses remboursemens : pr nnuiés de e ; ou pr nnuiés de e. Dns chcun des deux cs proposés quelle seri (on déiller les clculs) :. l durée de remboursemen du prê ; b. l somme ole versée pr M. X pour rembourser son emprun. 1. Aide (généreuse) : pour un ux de 5 % on = 0,05. Pge 3

4 Corrigés des exercices Corrigé de l exercice p(t ) = 0,30 ; p T (C) = 0, M C es l événemen «le clien choisi l ssorimen de mcrons e prend un cfé». p(m C) = p(m) p M (C) = 0,50 0,80 = 0,40. b. p(c) = p(m C) + p(t C) + p(p C) = 0,40 + 0,30 0,60 + 0,20 0,90 = 0,76. (formule des probbiliés oles : les événemens M, T e P formen une priion de l univers). 4. p C (M) = p(m C) = 0,40 0,53. p(c) 0,76 5. En dressn l rbre des possibiliés (16 brnches), on conse que 6 chemins bouissen à «deux cfés». L probbilié cherchée es donc p = 6 0,76 2 0,24 2 0, Les prix possibles son : pl seul : 18 e ; pl + cfé : 20 e ; pl + mcrons : 24 e ; pl + mcrons + cfé : 26 e ; pl + re : 25 e ; pl + re + cfé : 27 e. b. On obien : Sommes s i p (s i ) 0,02 0,18 0,10 0,12 0,40 0,18 c. E = 18 0, ,18 + = 24,63. Il s gi de l ddiion moyenne d un clien de ce resurn. Corrigé de l exercice 2. Prie A 1. f(0) = 80 = 16 e f(20) 79, Pour x 0 on f (x) = 80 1,2e 0,3x > 0 donc f es croissne sur R (1+4e 0,3x ) lim x + e 0,3x = 0 donc lim x + f(x) = 80. Ainsi l droie d équion y = 80 es sympoe horizonle à C f en +. b. Pour ou x 0 on 4e 0,3x > 0 donc 1 + 4e 0,3x 80 > 1 e donc < 80. Ainsi C 1+4e 0,3x f es en dessous de l sympoe horizonle. 4. 7x f(x) > 0 lorsque l droie D es u dessus de C f c es-à-dire pour x > x 0. De même 7x f(x) < 0 pour x < x 0. Prie B 1. le monn des coûs fixes es f(0) = 16 cenines d euros soi e. 2. C es impossible cr on monré que pour ou x 0 on f(x) < 80 donc les coûs ne dépssen ps e. 3. L enreprise rélise un bénéfice lorsque 7x f(x) > 0 soi pour x > x 0 c es-à-dire pour plus de 902 hermomères produis. Pge 4

5 Corrigé de l exercice 3. Pour des nnuiés de e on : C = , = 0,07, A = e : C = A C A C A = = (1 + ) n = 1 C A ( n ln(1 + ) = ln 1 C ) A ) n = ln ( 1 C A ln(1 + ) En remplçn on obien n = 3. On ur remboursé u ol : = De même vec A = on obien n = 3,86 pour un remboursemen ol de e. Pge 5