Exercices sur les suites de fonctions

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1 ercices sur les suites de foctios océs ercice Étudier la covergece simple et uiforme des suites de foctios de R das R suivates : f ) = ), g ) = si, ϕ ) = e si, ψ ) = e cos. ercice 2 Étudier la covergece simple et uiforme des suites de foctios suivates : f ) =, sur [, [ ; g ) = 2 e, sur [, [ ; ϕ ) = / 2 + ), sur R ; ψ ) = e /, sur [, [. ercice 3 tudier la covergece uiforme sur R + de la suite f ) déie par { } f ) = mi,. ercice 4 Soiet u esemble, f ) ue suite de foctios de das K et f K. Soit {,..., m } ue famille de sous-esembles telle que = m j= j. Motrer que si la suite f ) coverge uiformémet vers f sur chaque j, alors elle coverge uiformémet vers f sur. ercice 5 Soit f ) = / + e ), R. ) Motrer que f ) coverge uiformémet sur R et calculer la limite. 2) Comparer lim f ) d et f) d. 3) f ) est-elle uiformémet covergete sur u itervalle [ a, a] avec a >? ercice 6 O rappelle que toute foctio polyomiale borée est écessairemet costate. Soit P ) ue suite de foctios polyomiales réelles covergeat uiformémet sur R vers ue foctio f. Motrer que f est ue foctio polyomiale. ercice 7 Soit f ) ue suite de foctios cotiues sur [a, b]. O pose que i) f ) coverge simplemet vers la foctio ulle ; ii) pour tout [a, b], la suite réelle f )) est décroissate. O souhaite motrer que la covergece de la suite est e fait uiforme. ) Motrer que f ted vers ue limite lorsque. 2) Motrer que, pour tout N, il eiste [a, b] tel que f = f ).

2 3) observat que, pour tout m, f ) f m ), motrer que f lorsque. Coclure. ercice 8 Soit f : R R ue foctio de classe C. Pour tout N, o pose : u ) = f + ) ) f). Motrer que la suite de foctios u ) coverge simplemet vers ue foctio à préciser. Motrer que la covergece est uiforme sur tout itervalle compact de R. 2 Solutios Solutio de l'eercice Pour tout R, /) lorsque. Doc f ) coverge simplemet vers la foctio f) = sur R. La covergece 'est pas uiforme sur R, car f ) f) = = lorsque. R R revache, la covergece est uiforme sur tout sous-esemble A boré de R. eet, soit M > tel que A [ M, M]. Alors, f ) f) = A A M lorsque. Pour tout R, si lorsque. Doc g ) coverge simplemet vers la foctio g) = sur R. La covergece est uiforme sur R car si g ) g) = = lorsque. R R Pour tout R, e si) lorsque. Doc ϕ ) coverge simplemet vers la foctio ulle sur R. Nous allos motrer que la covergece 'est pas uiforme sur R. Pour cela, étudios la foctio sur R +. C'est susat puisque la foctio est impaire. Pour tout >, la dérivée de e si) est la foctio e cos si ) Le premier zéro de la dérivée sur R + se produit e = π/4), et il est facile de voir qu'il s'agit d'u maimum local de la foctio e si). Or, ep π ) si π ) = ep π ) si π = 2 ep π ) lorsque. 4 O motrerait e revache que, pour tout δ >, la covergece est uiforme sur ], δ[ ]δ, [. Pour tout R, ψ ) lorsque et ψ ) = pour tout N. Doc ψ ) coverge simplemet vers la foctio { si =, ψ) = sio. La covergece e peut pas être uiforme car ψ 'est pas cotiue alors que les ψ sot toutes cotiues sur R. 2

3 Solutio de l'eercice 2 Pour tout [, [, lorsque. Doc la suite f ) covergece simplemet vers la foctio ulle sur [, [. Or, [,[ = [,[ =, ce qui motre que la covergece 'est pas uiforme sur [, [. Pour tout R, 2 e lorsque. Doc la suite g ) covergece simplemet vers la foctio ulle sur R +. Or, 2 e = 2 e ) = R + R + e. eet, la dérivée de la foctio 2 e est la foctio 2 e ) ; o e déduit les variatios de g ), et e particulier le fait que g ) = 2 e atteit so maimum e = /, d'où le résultat aocé. Il s'esuit que la covergece 'est pas uiforme sur R +. Pour tout R, / 2 + ) lorsque. Doc la suite ϕ ) coverge simplemet vers la foctio ulle sur R. La foctio ϕ ) état impaire, o a : R 2 + = R = ϕ ). R + Or, ϕ ) = ) 2, qui s'aule pour = ±. O e déduit que aisémet que ϕ ) = ϕ ) = lorsque, R + 2 de sorte que la covergece est uiforme sur R. Pour tout R +, e / lorsque. Doc la suite ψ ) coverge simplemet vers la foctio ψ) = sur R +. Or, ψ ) ψ) = R + R + e / = e / ). R + La dérivée de la foctio e / ) est la foctio e / +/), qui est strictemet positive sur R +. Aisi, e / ) est strictemet croissate sur R +, ce qui motre que e / ) = lim e / ) =. R + O e déduit que la covergece 'est pas uiforme. Solutio de l'eercice 3 Pour tout > é, le rag N := / )+, où ) désige la foctio partie etière, est tel que { } N = mi, =. 3

4 Aisi, la limite simple de f ) est la foctio f déie sur R + par f) = /. La covergece 'est pas uiforme car ) f ) f) = f ) f) = =. R + ],/ 2 [ ],/ 2 [ Solutio de l'eercice 4 O a, pour tout j {,..., m}, f f lorsque. j Or, o a toujours, pour ue foctio φ quelcoque, { φ = φ,..., φ m eet, d'ue part pour tout j, j φ φ, de sorte que }. ) { } φ φ,..., φ, 2) m et d'autre part, par déitio du, o peut trouver ue suite k ) à valeurs das telle que φ k ) φ lorsque k, et comme les j sot e ombre i, il y a au mois u sous-esemble, disos j, qui cotiet ue iité de termes de la suite ; o a doc ue suite etraite kj ) j de k ) à valeurs das j, et l'o a alors φ kj ) φ lorsque j, ce qui motre que j φ = φ, et que l'iégalité 2) est e fait ue égalité. Maiteat, os ε >. Pour chaque j {,..., m}, o trouve N j tel que posat N = ma{n,..., N m }, o voit que k N j = j f f < ε. k N = f f < ε e vertu de ). Comme ε était arbitraire, ceci motre que f f lorsque. Isistos sur l'importace de la itude du ombre m de sous-esembles recouvrat. Sas cette itude, le rag N est suceptible d'être rejeté vers l'ii! O ote ecore que si le résultat démotré était vrai pour u recouvremet ii de, alors la covergece simple impliquerait la covergece uiforme! Solutio de l'eercice 5 ) Si >, f ) lorsque. Si <, f ) lorsque. Comme f ) = pour tout, o voit que la suite f ) coverge simplemet vers la foctio f déie par { si <, f) = si. tudios la covergece uiforme. Tout d'abord, { } f ) f) = ma R < + e, + e. 4

5 O a : < + e = < ) )) )) e + e = ) < + e = u< e u u + e u où l'o a fait le chagemet de variable u =. Le calcul du remum de la foctio h déie par hu) = ue u )/ + e u ), u R semble dicile : o e trouve pas de solutio eplicite. Mais o remarque que lim hu) = = lim hu). u u Comme h est cotiue et positive), elle est écessairemet borée érieuremet et atteit sa bore érieure). Posos M = ma u< hu). Alors, < + e = M lorsque, ce qui motre que la covergece est uiforme sur R. De même, u + e = u + e u avec le même chagemet de variable que précédemmet, et la foctio g déie sur R + par gu) = u/ + e u ) est cotiu sur R + et satisfait g) = = lim u gu). lle est doc borée érieuremet et atteit sa bore érieure). Posos M = ma u gu). Alors, + e = M lorsque. La covergece est doc uiforme sur R + aussi. O déduit e de l'eercice 4 la covergece uiforme sur R tout etier. 2) Attetio, l'itervalle sur lequel o travaille 'est pas boré, et l'o e peut pas s'appuyer sur u théorème du cours. Avec le chagemet de variable u =, o a : f ) d = + e d = 2 ), u + e u du. La valeur eacte de la derière itégrale semble dicile à obteir. Mais o remarque que l'o peut majorer cette valeur : u + e u du ue u du = [ ue u] + où l'o a eectué ue itégratio par partie. Aisi, f ) d 2 lorsque, et la limite de l'itégrale est ègale à l'itégrale de la limite. e u du = [ e u] =, ) 5

6 3) O a : f ) = + e e + e ) 2. Il est facile de voir, e séparat les cas <, = et >, que f ) coverge simplemet vers la foctio g déie par { si <, g) = si. Soiet maiteat a > et I = [ a, a]. Toutes les foctios f sot cotiues sur I. Supposos, e vue d'obteir ue cotradictio, que la suite f ) coverge uiformémet vers g sur I. Alors g devrait être cotiue sur I, ce qui 'est pas le cas. Doc la suite f ) e coverge pas uiformémet vers g sur I. Solutio de l'eercice 6 Fios ε =. Il eiste u rag N N tel que, P ) f). R Aisi, pour tout N, le polyôme P P N est boré, doc costat. eet, d'après l'iégalité triagulaire est les propriétés du remum, R P ) P N ) R P ) f) + f) P N ) 2. R Puisque la suite P ) coverge uiformémet vers f sur R, la suite P P N ) N coverge uiformémet vers f P N sur R. Mais pour tout N, le polyôme P P N est costat. Il est clair que la limite uiforme d'ue suite de foctios costates est costate, ce qui motre que la foctio f P N est costate, autremet dit, que f = P N + C, où C est ue costate réelle. Aisi, f est bie ue foctio polyomiale. Solutio de l'eercice 7 ) La suite f est clairemet décroissate, et elle est miorée par zéro. lle est doc covergete. 2) La foctio f état cotiue sur [a, b], il e est de même de la foctio f, qui de ce fait est borée sur [a, b] et y atteit ses bores. Doc, [a, b] : f ) = f ). [a,b] Or, la foctio f est à valeurs positives puisque, d'après les hypothèses, pour tout [a, b], la suite umérique f )) est décroissate et ted vers zéro. O peut doc écrire e fait : [a, b] : f ) = f ). [a,b] 3) Puisque la suite ) est borée, o peut etraire ue sous-suite k ) k qui coverge, vers u poit [a, b]. Rappelos que, si m k, f k = f k ) = f k k ) f m k ). [a,b] faisat tedre k vers l'ii, ous obteos l'iégalité lim f f m ). 6

7 faisat maiteat tedre m vers l'ii, ous obteos lim f, ce qui motre que f lorsque. Il s'esuit que f ) coverge uiformémet vers la foctio ulle sur [a, b]. Solutio de l'eercice 8 Il est facile de voir que, pour tout R, u ) f ). Autremet dit, u ) coverge simplemet vers f sur R. Soit [a, b] u itervalle compact de R, et motros que la covergece est uiforme sur cet itervalle. Remarquos que f + ) f) = +/ f t) dt, de sorte que u ) f ) = +/ f t) f ) ) dt. Rappelos qu'ue foctio cotiue sur u itervalle compact est uiformémet cotiue sur cet itervalle. Puisque f est de classe C, sa dérivée f est cotiue. lle est doc uiformémet cotiue sur l'itervalle compact [a, b + ]. Aisi, e at ε >, il eiste δ > tel que, y [a, b + ], [ y δ = f ) f y) ε ]. Or, pour susammet grad, / δ et doc, pour tout [a, b], u ) f ) +/ f t) f ) dt ε. Puisque ε peut être choisi arbitrairemet petit, ceci motre que la covergece de u ) vers f est uiforme sur l'itervalle [a, b]. 7