CONCOURS INTERNE MATHEMATIQUES

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1 CONCOURS INTERNE Sectio : Mathématiques Scieces Physiques MATHEMATIQUES Durée : 4 heures. Le sujet est costitué de quatre exercices idépedats. Le premier exercice a pour but de tester quelques savoir-faire mathématiques. Le deuxième exercice, de ature pédagogique, a pour objet l étude d ue situatio e géométrie das l espace au iveau du baccalauréat professioel. Le troisième exercice a pour objet d établir la formule de Stirlig. Le quatrième exercice a pour but d étudier quelques propriétés géométriques d ue iversio du pla affie euclidie. La clarté et la précisio des raisoemets, la qualité de la rédactio, iterviedrot pour ue part importate das l appréciatio des copies, aisi que, das la partie cocerée, le savoir-faire pédagogique et l itervetio de méthodes e coformité avec les programmes e vigueur das les lycées professioels. L usage des calculatrices de poche est autorisé (coformémet aux directives de la circulaire du 6 ovembre 999).

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3 Exercice Les questios de cet exercice sot idépedates.. Préciser si la propositio suivate est vraie ou est fausse e justifiat la répose : Pour tout couple (z, z ) de ombres complexes o a : (z + z = 0)! (z = 0 et z = 0).. Soit u ombre etier aturel o ul. Établir ue coditio écessaire et suffisate pour que la somme de etiers cosécutifs soit u multiple de. 3. Soit la suite (u ) défiie par : "# pour tout ombre etier aturel : u+ = 3u +! u, $ #% avec u0 = 0 et u =. Motrer par récurrece que, pour tout ombre etier aturel, u = ". 4. Ue pièce automobile fabriquée e très grade série présete au plus deux défauts codés! et ". Le service chargé du cotrôle de qualité examie u lot de pièces et fait les costats suivats : 90 pièces présetaiet au mois le défaut!, 80 pièces présetaiet au mois le défaut ", 30 pièces présetaiet à la fois le défaut! et le défaut ". O prélève, au hasard, ue de ces pièces. Chaque pièce a la même probabilité d être prélevée. O ote A l évèemet «la pièce prélevée présete au mois le défaut!», et B l évèemet «la pièce prélevée présete au mois le défaut "». a. Quelle est la probabilité que la pièce prélevée e présete aucu défaut? b. Les évèemets A et B sot-ils idépedats? page 3 sur 0

4 Exercice Le thème de cet exercice pédagogique est la géométrie das l espace. Des extraits des programmes de mathématiques se trouvet e aexe pages 9 et 0. Afi de préparer des élèves à leur exame, u professeur leur doe le problème ci-dessous tiré d ue épreuve de baccalauréat professioel. Éocé du problème doé aux élèves Lors d ue expositio d art cotemporai, il est prévu d istaller u paeau triagulaire, das ue salle qui a la forme d u parallélépipède rectagle ABCDEFGH : où AB = 7 m AE = 4 m AD = m!!! L espace est rapporté à u repère orthoormé ( A, i, j, k) représeté e perspective cavalière ci-dessous. Les segmets [AB], [AD] et [AE] ot pour support respectivemet l axe des abscisses, l axe des ordoées et l axe des cotes. Soit I le poit de coordoées ( 7;9;4 ). z 4 E H F G k!! j! A i D y x 7 B Figure C Le paeau de forme triagulaire sera représeté par le triagle ICH. ) Placer le poit I sur la figure. ) Lire et oter les coordoées des poits C, G et H. 3) Tracer le triagle ICH sur la figure. 4) Détermier, d après la figure, les logueurs des segmets [GC], [GI], [GH]. 5) Calculer les coordoées des vecteurs IC, IH, CH. 6) Calculer, e mètres, les logueurs des segmets [IC], [IH], [CH]. Exprimer les résultats à 0,0 près. page 4 sur 0

5 Questios aux cadidats du CAPLP. Doer les résultats des questios 5 et 6 du problème doé aux élèves.. Lors de la correctio e classe et après observatio de la figure, deux élèves itervieet : a. Le premier dit : «Les poits B, I, H me semblet aligés». b. Le deuxième réplique : «Pas du tout, l agle BIH est droit». Pour chaque élève, élaborer ue répose argumetée, qui repère et corrige les évetuelles erreurs. Les réposes fouries doivet être accessibles aux élèves de baccalauréat professioel. 3. Après cette discussio, o pose le problème suivat : existe-t-il u poit J du segmet [FG] tel que la droite (BJ) soit perpediculaire au pla CJH? Détailler les questios permettat aux élèves de répodre à ce problème, puis rédiger le corrigé correspodat. Exercice 3 L objet de cet exercice est d établir la formule de Stirlig qui doe u ordre de gradeur de! lorsque ted vers +!. O rappelle que si ( u ) et ( ) u équivalet à v lorsque ted vers +! si le quotiet v v sot deux suites de ombres réels o uls, o dit que u est ted vers lorsque ted vers +!. Partie A Cette partie porte sur l étude des itégrales de Wallis. Soit I l itégrale défiie, pour tout ombre etier aturel, par :. Calculer I 0 et I.! I =! si x dx.. Justifier que, pour tout ombre etier aturel, I! 0 et I! I Établir la relatio de récurrece suivate valable pour tout ombre etier aturel > : I = ( ) I ". O pourra utiliser ue itégratio par parties. page 5 sur 0

6 4. Motrer que la suite ( I " )! I est costate. Quelle est la valeur de cette costate? 5. Motrer que pour tout ombre etier aturel o ul : 6. E déduire que I, I! et!! I + I " 7. Motrer que, pour tout ombre etier aturel,!. sot équivalets lorsque ted vers +#. I ( )!! =. (! ) Partie B Cette partie porte sur l étude d ue foctio. Soit f la foctio de la variable réelle x défiie sur l itervalle ] " ; [ par :! " + x # % f ( x) = l & ' si x $ 0, + x ) ( x * %, f ( 0) =.. Motrer que la foctio f est paire.. Motrer que la foctio f est cotiue e Prouver que pour tout ombre réel x de l itervalle ] 0 ; [ : 3 x! + x " x + # l % & $ 3 ( ' x ) O admettra pour la suite de l exercice que pour tout ombre réel x de l itervalle ] 0 ; [ : 3 3 x! + l x " x + # % & # x + x $ 3 ( ' x ) 3 ( ' x ) Partie C Cette partie permet d aboutir à la formule de Stirlig. O cosidère la suite de ombres réels de terme gééral u défiie pour tout ombre etier aturel o ul par :! " # $ + % & ' u =! e.. Motrer que, si o pose p = +, o obtiet : l u = f (p). u +. E déduire que pour tout ombre etier aturel o ul : page 6 sur 0

7 puis que : u l, 3!! ( + ) u+ ( + ) u! l! " ( + )( + ) u ( + ) + 3. Soiet les suites (v ) $ et (w ) $ défiies pour tout ombre etier aturel o ul par : v = l (u ) et w = l (u ). ( + ) Motrer que les suites (v ) $ et (w ) $ sot adjacetes. O otera! leur limite commue lorsque ted vers +!. 4. Justifier que! est équivalet à!! " + % # $ & ' e e lorsque ted vers +!. 5. E déduire que e! =!. O pourra utiliser les questios 6 et 7 de la partie A. Exercice 4!!. O ote P le pla rapporté à u repère orthoormé direct ( O, u, v) O ote P* le pla P privé de l origie O et C* l esemble des ombres complexes o uls. À tout poit M du pla P de coordoées (x, y), o associe so affixe z = x + i y. O ote f l applicatio de C * das C * qui à tout ombre complexe z associe le complexe z défii par z ' f ( z) k = =, où k est u ombre réel o ul. z O ote I l applicatio de P* das P* qui à tout poit M d affixe z associe le poit M = I (M) k = =! z d affixe z ' f ( z) L applicatio I est appelée iversio de cetre O et de puissace k. U cercle (ou ue droite) passat par le poit O, mais privé(e) du poit O, sera par la suite égalemet déommé(e) cercle (respectivemet droite). I. Quelques gééralités.. Exprimer la logueur OM e foctio de la logueur OM.!!!"!!!!". Motrer que les poits O, M et M sot aligés et que le produit scalaire OM! OM ' est égal à k. page 7 sur 0

8 3. Détermier, e foctio du ombre réel o ul k, la ature de l esemble des poits M de P* ivariats par l applicatio I. 4. Vérifier que l iversio I est ivolutive, c est-à-dire que I! I = Id, où Id est l applicatio idetité du pla. 5. Détermier l image par l applicatio I du cercle de cetre O et de rayo r > 0. II. Image par l iversio I d u cercle passat par le poit O. Soit C u cercle de cetre % (d affixe! " 0 ) et de rayo r > 0, passat par le poit O. O ote H le poit du cercle C diamétralemet opposé au poit O. O ote H l image du poit H par l iversio I et o ote D la droite passat par le poit H orthogoale à la droite (OH). Soit M u poit du cercle C différet du poit O et du poit H. Soit N le poit d itersectio des droites (OM) et D.. O suppose k < 0. a. Cas particulier. Faire ue figure faisat apparaître le cercle C, les poits H, H, M, N aisi que la droite D, das le cas particulier où! = 4 + 3i et k =! 30. b. Cas gééral avec k < 0. i. Justifier que les triagles OMH et OH N sot semblables. ii. E déduire que le poit N est l image du poit M par l iversio I. iii. Quelle est l image du cercle C par l iversio I?. O suppose k > 0. Quelle est la ature de l image du cercle C par l iversio I? III. Image par l iversio I d u cercle e passat pas par le poit O. Soit C u cercle de cetre % (d affixe #) et de rayo r > 0, e passat pas par le poit O. Soiet M u poit de P * d affixe z et M so image par l iversio I. O ote z l affixe du poit M.. Démotrer que : M C zz z z r " # $! $! = $!!.. E déduire que l image du cercle C par l iversio I est u cercle C e passat pas par le poit O. 3. Justifier que le cercle C est aussi l image du cercle C par ue homothétie de cetre O. page 8 sur 0

9 ANNEXE Extrait des programmes de BEP 5) Étude expérimetale de droites et de plas de l'espace : observatio de solides usuels das le but de préciser des positios relatives et e particulier de mettre e évidece des situatios de parallélisme et d'orthogoalité de deux droites, d'ue droite et d'u pla, de deux plas. 6) Descriptio de solides usuels e utilisat des projectios orthogoales, sectios plaes, développemet. 7) Exemples de calculs de distaces, d'agles, d'aires et de volumes das les cofiguratios usuelles du pla et de l'espace. Les objets usuels étudiés das les classes atérieures (cube, parallélépipède rectagle, prisme droit, pyramide, sphère, cylidre et côe de révolutio) costituet u terrai privilégié pour les activités. L'objectif 'est pas de mettre e place des résultats théoriques mais de familiariser les élèves avec des cofiguratios courates. La recherche de sectios plaes de solides doit se limiter à des cas très simples ; elle permettra de préciser la forme du solide das l'espace et sera le support d'activités umériques. Les élèves serot alors ameés à choisir certaies sectios plaes de solides mais, pour les travaux o ecadrés par le professeur, les "plas de coupe" serot idiqués. Les activités exploiterot cojoitemet des maquettes des objets étudiés et des représetatios de ces objets effectuées, selo les problèmes posés, à mai levée ou à l'aide des istrumets de dessi. Les formules doat les aires et volumes des solides usuels sot admises. Des activités expérimetales dégagerot l'effet d'u agradissemet ou d'ue réductio sur les logueurs, les aires et les volumes. Extrait des programmes de baccalauréat professioel III ACTIVITÉS GÉOMÉTRIQUES Mettat e oeuvre les coaissaces de géométrie ou de trigoométrie du programme de BEP, cette partie e comporte que la rubrique " Champ des activités ". E outre, elles peuvet costituer u support pour les otios ouvelles du programme. Champ des activités Exemples d'étude de problèmes liés à la professio, faisat iterveir das le pla des costructios géométriques de cofiguratios simples, des trasformatios géométriques (symétrie axiale, symétrie cetrale, traslatio) ou coduisat à des calculs simples de distaces, d'agles, d'aires. Exemples d'étude de solides usuels coduisat à l'utilisatio de sectios plaes ou à des calculs de distaces, d'agles, d'aires ou de volumes. Toutes les idicatios utiles doivet être fouries. Toutes les idicatios utiles doivet être fouries. page 9 sur 0

10 VI TRIGONOMÉTRIE, GÉOMÉTRIE, VECTEURS Cette partie du programme permet d'aborder des otios de trigoométrie et de géométrie, otammet vectorielle, du pla et de l'espace, qui dépasse le cadre d'u troc commu. La partie "Géométrie das le pla" costitue u approfodissemet de otios vues e BEP et doe lieu à u champ d'activités ouvelles où l'exploitatio de situatios du domaie professioel est développé avec itérêt. La partie "Géométrie das l'espace" permet d'aborder des otios vectorielles simples et est l'occasio d'activités de recherche et de représetatio débouchat sur l'utilisatio de l'outil vectoriel das l'espace. Géométrie das l'espace a) Repérage d'u poit das l'espace : repères orthoormaux, coordoées cartésiees d'u poit. b) Coordoées d'u vecteur das u repère orthoormal. L'extesio à l'espace de l'expressio des propriétés des vecteurs du pla se fait de faço ituitive. c) Expressio aalytique du produit scalaire de deux vecteurs, orme d'u vecteur das u repère orthoormal. Champ des activités L'extesio à l'espace de l'expressio du produit scalaire et de ses propriétés est admise. Exemples de calculs de distaces, d'agles das des cofiguratios usuelles de l'espace. L'extesio à l'espace de la coditio d'orthogoalité de deux vecteurs se fait ituitivemet. page 0 sur 0