COMPARAISON d'une SERIE et d'une INTEGRALE

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1 Uiversié de Rees UFR Mhémique Deug 2ème ée - MA5 Alyse COMPARAISON d'ue SERIE e d'ue INTEGRALE Défiiio Soi f ue pplicio coiue pr morceu de [, [ ds È, posiive e décroisse. X Si F(X) = f() d ue limie qud X ed vers, o pose : lim e o di que l'iégrle f() d es covergee. F(X) = f() d O lors : Théorème Soi f ue pplicio coiue pr morceu de [, [ ds È, posiive e décroisse. Alors : + i) Les séries f() d - f() e f() - f() d so covergees. - ii) L série [f()] es covergee si e seuleme si l'iégrle f() d es covergee. iii) De plus, si f() = : les deu suies = k = f(k) - f() d e = k = + f(k) - f() d so djcees. (i) f é décroisse, o :, (*) f() f() d f(-) - e doc f() d - f() f(-) - f(). -

2 L suie (f()) é posiive décroisse es doc covergee, doc l série [f(-) - f()] es covergee, ce qui implique que l série f() d - f() es covergee. - De même, de (*) o dédui que : + < f() - f() d < f() - f( + ) + e doc que l série f() - f() d es covergee. (ii) Il résule de (*) que l'o : + (**) f() d k = f(k) f() + f() d. O e dédui que l série [f()] es covergee si e seuleme si l'iégrle f() d ue limie qud ed vers. O verr ulérieureme que ceci équivu à dire que l'iégrle Ds ces codiios, il résule de (**) que : f() d es covergee. f() d S = = f() f() + f() d e que + f() d R f() d, où R désige le rese d'ordre de l série [f()]. iii) + O - - = f( + ) - f() d d'près (*), e doc l suie ( ) es décroisse. De même, + - = f( + ) - + De plus, comme - = f() d f(), e que ( ) so djcees, e coverge vers u même omre réel. +2 f() d d'près (*), e doc l suie ( ) es croisse. + f() =, les deu suies ( ) e Applicios ) Soi f() = å, å È, [, [. ( + ) X d Comme o ( + ) å = - å + å- - (X + ) pour å X e d ( + ) å = L( + X) pour å = 2

3 o e dédui que l série de Riem å es covergee si e seuleme si å >. 2) Soi f() =, [, [. Il résule du poi (iii) du héorème que les deu suies + = ( + ) e = ( + 2) + coverge vers ue même limie, oée, e ppelée cose d'euler. O doc = () + +, vec lim E priculier, õ () qud ed vers. De plus, il résule des iégliés précédees que, pour ou eier, o : ( + 2) < < ( + ). Pour =, o dédui que ], [. 3

4 Uiversié de Rees UFR Mhémique Deug 2ème ée - MA5 Alyse ETUDE de l CONVERGENCE des SERIES de RIEMANN Soie å È e u = å l série de Riem d'ordre å. Proposiio L série de Riem å es covergee si e seuleme si å >. ) å = 2 : l série u = 2 es covergee cr c'es ue série à ermes e u õ v = ( + ) qud ed vers +& ; l série v = es covergee. ( + ) = - + é covergee puisque l suie 2) å 2 : o, å 2 e doc l série å es covergee pour å 2. 3) å = : l série hrmoique es divergee cr elle e vérifie ps le crière de Cuchy :, S 2 - S = ) å : o, å e doc l série å 2 2. es divergee pour å. 5) < å < 2 : o cosidère l série élescopique v = å- - ( + ) å-. Cee série es à ermes, covergee cr l suie å- es covergee. Pr illeurs, l formule des ccroissemes fiis ppliquée à l focio ò@ f() = -å ere e + doe : v = å - å vec + å - Il e résule que, pour ou, ( + ) å v å - å e doc v å - õ å qud ed vers + &, i.e. : u = å õ å -. v e doc l série u = å es ussi covergee pour < å < 2. 4

5 Uiversié de Rees UFR Mhémique Deug 2ème ée - MA5 Alyse PRODUIT de DEUX SERIES solume CONVERGENTES Soie [u ] e [v ] deu séries. Soi, pour, w = u k v -k. k = L série [w ] es ppelée série produi des séries [u ] e [v ]. O lors : Théorème Si [u ] e [v ] so deu séries solume covergees, l série produi w = k = u k v -k es solume covergee e, si U (resp. V) désige l somme de l série [u ] (resp. [v ] ), l somme W de l série [w ] es égle à W = U. V. Démosrio ) O suppose d'ord les séries [u ] e [v ] à ermes. Soie U, V e W les sommes prielles d'ordre des séries [u ], [v ] e [w ]. O :, W U. V W 2. O e dédui immédieme que l série [w ] es covergee (l suie (W ) es mjorée) e que : lim W = W = U. 2) Soie mie [u ] e [v ] solume covergees. De l'iéglié : w = k = u k v -k k = u k. v -k e de l démosrio ) résule que l série [w ] es solume covergee. Noos A, B e C les sommes prielles d'ordre des séries à ermes, [ u ], [ v ] e [ w ]. O : 5

6 , U. V - W u p v q A. B - C p + q > p q e d'près l démosrio ), A. B - C ed vers qud ed vers ; il e résule que W = U. V. Applicio Soie u == z! e v == z'!, z Â, z' Â. Les séries [u ] e [v ] so solume covergees (règle de d'alemer). L série produi w = k = z pr défiiio, =! u k v -k = k = z k k!. z' -k (-k)! = ep(z), z Â, o oie que : = (z + z')! z, z' Â, ep(z + z') = (ep z) (ep z'). es solume covergee e comme, 6

7 Uiversié de Rees UFR Mhémique Deug 2ème ée - MA5 Alyse SERIES commuiveme CONVERGENTES Défiiio O di qu'ue série [u ] à ermes réels ou complees es commuiveme covergee si, pour oue permuio ß de, l série [u ß() ] es covergee. Théorème Soi [u ] ue série solume covergee. Alors : (i) [u ] es commuiveme covergee. (ii) Pour oue permuio ß de, o : où U désige l somme de l série [u ]. uß(k) = U k = Soi ß ue permuio de e oos U (resp. fi ) l somme prielle d'ordre de l série [u ] (resp. [u ß() ] ). L série [u ] é solume covergee, o : p (*) >, N el que : p q N u k. k = q Posos N' = M( - ß (), - ß (),, - ß (N ) ). Alors, si N', ß() N e doc : U - fi U - U N + U N - fi U - U N + d'près (*). De même, d'près (*), o : U - U N k = N + u k e doc, pour N' : U - fi 2 cqfd. Remrque E fi, o peu morer que, pour ue série [u ] à ermes réels ou complees, les proposiios suives : (i) [u ] es solume covergee (ii) [u ] es commuiveme covergee so équivlees. 7

8 Uiversié de Rees UFR Mhémique Deug 2ème ée - MA5 Alyse CRITERES d' ABEL e des SERIES ALTERNEES Théorème (Ael) Soi [u ] ue série à ermes réels ou complees. O suppose que, pour ou eier, u =. v où : (i) ( ) es ue suie décroisse vec = (ii) l suie (V = v + v + + v ) es orée, i.e. M > elle que :, V M. Alors l série [u =. v ] es covergee. O v morer que l série [u =. v ] vérifie le crière de Cuchy : O : p k = q p u k = k = q p (*) >, N el que : p q N k = q k. v k = q. v q + q+. v q+ + + p. v p u k. = q (V q - V q- ) + q+ (V q+ - V q ) + + p- (V p- - V p-2 ) + p (V p - V p- ) = V q-. q + V q ( q - q+ ) + V q+ ( q+ - q+2 ) + + V p- ( p- - p ) + p V p. E e compe des hypohèses (i) e (ii), il vie : p k = q p i.e. k = q u k M. [ q + ( q - q+ ) + ( q+ - q+2 ) + + ( p- - p ) + p ] u k 2M q. Or l suie ( ) ed vers qud ed vers, doc : d'où (*). >, N el que N Applicios ) Soi u = (-) l série hrmoique lerée. 8

9 u peu s'écrire : u =. v vec = e v = (-). Les hypohèses du héorème so sisfies vec M =. 2) Soi u = eiå, å È e >. O peu écrire : u =. v vec = e v = eiå. Clculos V = v + + v = e iå + + (e iå ). O : V = e iå. - eiå - e iå si eiå, i.e. si å [2π] e V = si å = [2π]. Pr illeurs, pour å [2π], o : V 2 - e iå = si å = M. 2 Pr suie, pour å [2π], l série [u ] es covergee. Remrque Si < e si å [2π], l série u = eiå es covergee, mis o solume covergee. CAS DES SERIES ALTERNEES Défiiio O di qu'ue série [u ] es lerée si pour ou eier, u peu s'écrire : u = (-) u (ou ie, pour ou eier, u = (-) + u ). Eemple : L série hrmoique lerée (-) es ue série lerée. Théorème Soi [u ] ue série lerée. Si : (i) ( u ) es ue suie décroisse (ii) u = lors l série [u ] es covergee. De plus, si R = uk désige le rese de l série [u ], o l'esimio suive : k = + R u +. 9

10 Que l série [u ] soi covergee résule du héorème d'ael précéde e écriv u =. v vec = u e v = (-) (ou (-) + ). Pour élir l'esimio du rese R u + o v cosidérer les sommes prielles U 2 e U 2+ de l série [u ] e, de cee fço, doer ue preuve direce de l covergece de l série [u ]. Supposos que u = (-) u pour ou eier (l preuve seri semlle si u = (-) + u pour ou eier ). Alors U U 2 = u u 2+ e U 2+ - U 2- = - u 2+ + u 2 ; l suie ( u ) é décroisse, o e dédui que l suie (U 2 ) es décroisse e l suie (U 2+ ) croisse. Pr illeurs, U 2+ - U 2 = - u 2+ e, comme lim u =, o e dédui que les deu (U 2 ) e (U 2+ ) so djcees, doc covergees vers u même omre réel U, somme de l série [u ]. De plus, il résule de ce qui précède que, pour ou eier, o : U 2+ U U 2+2 U 2 e doc R 2+ = U - U 2+ U 2+ - U 2+2 = u 2+2 e de même R 2 = U - U 2 U 2 - U 2+ = u 2+ cqfd. Applicio O vu que l série hrmoique lerée (-) es covergee de somme - 2 e, comme cee série sisfi les hypohèses du héorème précéde, o e dédui que, pour ou eier : (-) +.

11 Uiversié de Rees UFR Mhémique Deug 2ème ée - MA5 Alyse EXPONENTIELLE d' u NOMBRE COMPLEXE : ep(z) Défiiio Soi z Â. O désige pr epoeielle du omre complee z, le omre complee, oé ep(z), ou ecore e z, somme de l série solume covergece z! (cf. règle de d'alemer), où o posé! =, c'es-à- dire : z z Â, ep(z) = k k = k!. L série eière z! doc u ryo de covergece de somme ep(z) = ez. L focio epoeielle ep vérifie les propriéés suives : Proposiio (i) z, z' Â, ep(z + z') = ep(z) + ep(z'). (ii) E priculier, e = e, z Â, e z. Pour z = È, ep() es u réel sriceme posiif e l focio ò@ ep() = e : ], [ es ue ijecio coiue sriceme croisse. Pr défiiio, s focio réciproque de ], [ sur È es l focio logrihme ; c'es ussi l primiive de sur ], [ qui s'ule e =. (iii) z Â, ep(z - ) = ep(z) ; ep(z) = e z = e Rez. Il résule de (i) que ep : Â * es u homomorphisme du groupe ddiif (Â, +) ds le groupe muliplicif (Â *,.). O verr plus loi que ce homomorphisme es surjecif. (i) Cee propriéé résule du héorème sur le produi (de Cuchy) de deu séries solume covergees. De plus, o ie e = e, pr suie e z. e -z = e =, ce qui implique que, pour ou z Â, e z. (ii) Soi È. D'près (i), o : e = e /2. e /2 = (e /2 ) 2 > ; isi ep(è) «], [. De plus, si < 2, o (oujours d'près (i)) : e 2 = e + h = e. e h où h = 2 - >

12 e doc, puisque e h h = + k k! >, e < e 2. Pr illeurs, pour >, o :, e!. &. Pr suie : pour ou eier k, lim ( -k e ) = (choisir = k + ). E priculier lim e Comme, pour ou È, e -. e =, il e résule que, pour ou eier k, lim k e - = e priculier lim e - & Soie mie È e h È vec h. O dédui de (i) que : e +h - e = e. (e h - ) h e +. Aisi, l focio ò@ ep() = e : ], [ es coiue sriceme croisse e surjecive. S focio réciproque, oée, : ], È es doc ussi sriceme croisse e vérifie : () = (e ) =. Efi, il résule des propriéés de l somme d'ue série eière que l focio ò@ ep() = k = es dérivle sur È e que, pour ou È :! ep()' = - k =! = ep(). Aisi ò@ : ], È es ussi dérivle de dérivée ; es doc l primiive de sur ], [ qui s'ule e =. (iii) Soi z Â. O : ep(z - N ) = lim k = Pr suie : ep z 2 e z = e Re(z). - k z N z = lim k! k k = k! = ep(z). = ep(z). ep(z) = ep(z + - z ) = ep(2rez) = [ep(rez)] 2 d'près (i), d'où : FONCTIONS TRIGONOMETRIQUES e NOMBRE Soi y È. De ce qui précède, o dédui que (e iy ) = e -iy e doc e iy = e =. L'pplicio y ò@ e iy : U = {z  ; z = } es doc u homomorphisme du groupe ddiif (È, +) ds le groupe muliplicif (U,.) des omres complees de module. 2

13 O v morer qu'e fi ce homomorphisme es surjecif e, plus préciséme, que : Proposiio L'pplicio ƒ : y ò@ ep(iy) = e iy : U = {z  ; z = } es u homomorphisme du groupe ddiif (È, +) sur le groupe muliplicif U des omres complees de module. De plus, so oyu {y È ; e iy = } coïcide vec les muliples eiers d'u ceri omre sriceme posiif, oé 2π. E d'ures ermes {y È ; e iy = } = 2πÁ. Noos, pour y È, e iy = cos y + i si y où cos y = Re(e iy ) e si y = Im(e iy ). O doc, pr défiiio, pour ou y È : cos y = (-) = y 2 (2)! = - y2 2! + + (-) y2 (2)! + si y = (-) = y 2+ (2 + )! = y - y3 3! + + (-) y 2+ (2 + )! + De l relio e iy =, o dédui l'ideié fodmele : y È, cos 2 y + si 2 y =, e de l relio e i(+) = e i. e i, o dédui les formules clssiques d'ddiio des rcs : cos( + ) = cos cos - si si si( + ) = si cos + si cos. Il résule des propriéés usuelles de l somme d'ue série eière que les focios cos e si so dérivles e que l'o : d dy (cos y) = (-) = y 2- (2 - )! = - si y d dy (si y) = = (-) y 2 (2)! = cos y. O v morer que l focio cos s'ule écessireme sur ], [. Pour cel, o remrque d'ord que cos =. De plus, cos é coiu, cos y rese sriceme posiif ds u voisige de. Soi y > el que : y [, y ], cos y >. Soi mie y, < y < y e supposos que : D'près ce qui précède, o peu écrire : y [y, y ], cos y >. 3

14 cos y - cos y = - y si d. y d Or sur l'iervlle [, y ], si y = cos y es sriceme posiif, si es doc sriceme croisse dy sur [, y ] e, comme si =, o doc = si y > ; pr suie si pour [y, y ]. Doc : cos y - cos y = y si d (y - y ) y ce qui implique, puisque cos y >, que : y < cos y + y. O e dédui que, écessireme, cos s'ule sur ], [. Cosidéros Z cos = {y ], +&[ ; cos y = }. O doc : (i) Z cos Ø (ii) si y Z cos, y > y. Pr suie, If Z cos es u omre réel sriceme posiif, oé π 2. L focio cos é coiue sur È, o e dédui que cos π 2 =, e π 2 cosiue le plus pei réel sriceme posiif e lequel cos s'ule. De plus, comme si es sriceme croisse sur, π 2 que si π 2 = e i π 2 2 = cos 2 π 2 + π si2 2 =., si π 2 > e comme cos π 2 =, o e dédui D'où les leu de vriios des focios si e cos sur l'iervlle, π 2 : y π 2 y π 2 cos y + - si y - - si y cos y Aisi, l'pplicio y ò@ e iy = cos y + i si y ppliqueme ijeciveme l'iervlle, π 2 sur l'esemle des omres complees z = u + iv U pour lesquels u e v. Pour y π 2, π, e écriv eiy = e i y - π2. e i π 2 = i. e i y - π 2 (remrquer que e i π 2 = i), o e dédui que y ò@ e iy es ue ijecio ere l'iervlle π, π 2 e l'esemle des omres complees z = u + iv U pour lesquels u e v. E priculier, e iπ = -. 4

15 De même, e cosidér successiveme les iervlles π, 3π 2 [, U es ijecive e e 2iπ =., 3π 2, π l'pplicio y ò@ eiy : De l relio fodmele :, È, e i(+) = e i. e i, o dédui de plus que cee pplicio y ò@ e iy : U es surjecive e périodique de période 2π e que {y È, e iy = } = 2π. Á. ARGUMENT d'u NOMBRE COMPLEXE De ce qui précède, o dédui qu'à ou omre complee de module u U, correspod u omre réel oé rg(u), défii à l'ddiio d'u muliple eier de 2π près el que : e i rg(u) = u. Pr us de lgge, o oe rg u l'u quelcoque de ces réels qui es ppelé rgume du omre complee u U. O ppelle déermiio priciple de rg(u) le omre réel, oé Arg u, ppre à [, 2π[. Arg es doc ue pplicio de U sur [, 2π[ qui vérifie, u U, e i Arg(u) = u. Cee oio d'rgume d'u omre complee s'éed à ou omre complee z de l focio suive : Défiiio Si z  *, o ppelle rgume de z, oé rg(z) u omre réel, défii à u muliple eier de 2π près, défii pr : rg(z) = rg z. De même, o ppelle déermiio priciple de l'rgume de z  *, l'uique omre réel, oé Arg z, ppre à [, 2π[ e vérifi : e i Arg z = z. z z O doc, pour ou z  * : z = z. e i rg(z) = z. e i Arg(z). Coséquece Il résule des défiiios e propriéés précédees que : e z = si e seuleme si z = 2ikπ, k Á. E effe : e z = équivu à e. e iy = si z = + iy e doc : e = e z = Ú =, e iy = Ú y = 2kπ, k Á. 5

16 Uiversié de Rees UFR Mhémique Deug 2ème ée - MA5 Alyse PROPRIETES de l SOMME d'ue SERIE ENTIERE O ur esoi du lemme suiv : Lemme Soi [ z ] ue série eière de ryo de covergece R. Alors l série eière [ z - ] ussi R pour ryo de covergece. Noos R' le ryo de covergece de l série eière [ z - ]. Soi r >. Alors pour eier r, o : r r -. O e dédui que si l suie ( r - ) es orée, lors l suie ( r ) es ussi orée, d'où l'iéglié : R' R. E priculier, si R =, R' = e o ie, ds ce cs, R = R'(= ). Supposos mie R > e soi r < R. Il eise lors el que r < < R e pour : r - = r. r. Puisque < R, l suie ( ) es orée. Pr illeurs, l série [ å ], vec å = r <, es covergee (règle de Cuchy ou de d'alemer), so erme géérl å ed vers, e l suie ( å ) es ussi orée. Il e résule que l suie ( r - ) es orée, quel que soi r < R, doc R R'. Fileme R = R'. Théorème (coiuié) Soi [ z ] ue série eière de ryo de covergece R >. Si S(z) = = es coiue. z désige l somme de cee série eière, l'pplicio z ò@ S(z) : {z  ; z <  Soi z D = {z  ; z < R} e soi r ] z, R[. Pour z < r, o : S(z) - S(z ) = z - z = + & (z - z ) = + & (z - z ). = = = = 6

17 (Les deu séries é solume covergees, doc covergees.) Or z - z = (z - z ) - z --k. z k k = d'où S(z) - S(z ) z - z r -. = D'près le lemme, l série eière [ z ] même ryo de covergece que l série [ z ] e doc l série [ r - ] es covergee, de somme M(r). Il e résule que, pour ou z, z < r, o : S(z) - S(z ) z - z M(r) ce qui implique que lim z S(z) = S(z ) e S es coiue e z. Théorème 2 (dérivilié) Soi [ z ] ue série eière de ryo de covergece R >. Si S(z) = z désige l somme de cee série eière, l'pplicio z ò@ S(z) : {z  ; z <  = es dérivle (pr rppor à l vrile complee z) e vérifie : z, z < R, S'(z) = z -. = E priculier, l'pplicio ò@ S() : ]- R,  es dérivle (pr rppor à l vrile réelle ) e, si < R, S'() = -. = Corollire Soi [ z ] ue série eière de ryo de covergece R >. Alors l'pplicio ò@ S() = : ]-R,  es idéfiime dérivle e, pour ou eier p = e ]-R, R[, o : E priculier, pour ou eier, o : = S (p) () = ( - ) ( - p + ) -p. = p S () ()!. du héorème Soi z D = {z D ; z < R} e soi r ] z, R[. Pour z < r e z z, o : S(z) - S(z ) z - z Pour 2, o d'ue pr : - z - = = = 2 z - z - z - z - z. 7

18 () z - z z - z - z - - = k = z --k z k - - z- z --k z k + z - 2r - k = e d'ure pr : - le polyôme z ò@ z --k k z - z- s'ule pour z = z e peu doc s'écrire (z - z ) P (z, z) où k = P (z, z) es u polyôme de degré - e z, d'où : (2) z - z z - z - z - = z - z P (z, z). Soi >. L série [ r - ] é covergee, puisque r < R, il eise N el que : 2 r - = N + e doc, d'près () : z Â, z < r, = N + z - z - z - z - z. E, d'près (2), o dédui qu'il eise vec < < r - z el que, pour ou eier {2,3,, N 2 }, e z - z - z - z - z. N pour z - z, o i : = 2 Fileme, pour z - z, o : S(z) - S(z ) z - z - z - 2 = ce qui chève l démosrio du héorème. du corollire Il résule du héorème que l focio ò@ S() = : ]-R, Â es dérivle e que, pour ou ]-R, R[ o : S'() = -. E ppliqu le héorème à l série eière [ z - ] qui, d'près le lemme, dme ussi R pour ryo de covergece, o oie que ò@ S'() : ]-R, Â es dérivle e que, pour ]-R, R[ : S "() = (-) Pr récurrece, o dédui que l'pplicio, ò@ S() = dérivle e que, pour ou eier p, o : ]-R, R[, S (p) () = (-) ( - p + ) -p. = p : ]-R, Â es idéfiime 8

19 E priculier, pour ou eier, o : = S() ()!. Eemple L série eière [z ] pour ryo de covergece R = e o : ]-, [, = = - = S(). Pr suie, pour ou eier p e ]-, [ : S (p) () = p! ( - ) p+ = + & (-) ( - p + ) -p = p i.e ]-, [, ( - ) p = + & = p p -p où p désige le coefficie iomil p =! p! ( - p)!. Proposiio (iégrio) Soi [ z ] ue série eière de ryo de covergece R >. Alors l série eière +. z+ ussi R pour ryo de covergece. De plus, si fi() = = +. + désige l somme de l série eière o : ]-R, R[, fi() = S() d où S() désige l somme de l série [ ] pour ]-R, R[, E d'ures ermes, l somme fi() de l série eière +. + primiive sur ]-R, R[ de S qui s'ule e =. es égle, sur ]-R, R[, à l Que R soi le ryo de covergece de l série eière +. z+ résule du lemme. Du héorème résule lors que pour ]-R, R[, fi'() = = S() e, comme fi() =, o dédui que : 9

20 ]-R, R[, fi() = S() d. Eemples E ppliqu cee proposiio à l série eière [ ], o oie que : ]-, [, ( - ) = - + = +. De même, puisque pour ]-, [, + 2 = + & (-) 2, il vie que : = ]-, [, Arcg = (-) 2+ = 2 +. Uiversié de Rees UFR Mhémique Deug 2ème ée - MA5 Alyse RAYON de CONVERGENCE d'ue SERIE ENTIERE Soi [ z ] ue série eière. Noos D = {z  ; l série [ z ] es covergee} ; D es ppelé domie de covergece de l série eière [ z ]. D 'es jmis vide puisque D. De plus o : Lemme (Ael) Si z D, lors pour ou z  vec z < z, l série eière [ z ] es solume covergee, doc covergee. O peu oujours supposer que z. O lors, z = z = z z z. L série [ z ] é covergee, l suie ( z ) es orée (puisqu'elle ed vers lorsque ed vers ) e doc, il eise K > el que :, z K z z. Le omre k = z é sriceme plus pei que, l série [K k ] z es covergee, e doc l série [ z ] es solume covergee. O doc : B(, z ) = {z  ; z < z } «D. Cosidéros lors l'esemle S = {r ; l suie ( r ) es mjorée}. S es o vide puisque S. De plus, si r S, lors ou éléme r' [, r] pprie à S ; S es doc u iervlle de l forme [, R), vec R = Sup S [, ]. 2

21 Défiiio O ppelle ryo de covergece de l série eière [ z ] le omre R = Sup S [, ]. O lors : Proposiio Soi [ z ] ue série eière de ryo de covergece R. Alors : (i) pour z Â, z < R, l série [ z ] es solume covergee ; (ii) pour z Â, z > R, l série [ z ] es divergee, e plus préciséme l suie ( z ) 'es ps orée (e doc e ed ps vers lorsque ed vers ). (i) Soi z  vec z < R, e soi r vec z < r < R. L suie ( r ) es doc mjorée. E écriv,, z = r. z r, o coclu comme pour l preuve du lemme précéde que l série [ z ] es solume covergee. (ii) Soi z  vec z > R. L suie ( z ) e peu êre orée, sio ou réel r z pprie-dri à l'esemle S e doc Sup S z, ce qui es surde. Eemples () Soi l série eière [z ]. Cee série es solume covergee pour z < (série géomérique de riso z ) e divergee pour z (so erme géérl e ed ps vers ). O doc R = e D = B(,) = {z Â, z < }. (2) Soi l série eière z 2. Il es clir que si z, cee série es solume covergee cr : z 2 2. z E pour z >, cee série es divergee cr 2 ed vers qud ed vers. O doc R = e D = B f (,) = {z  ; z }. (3) Soi l série eière z. Pour z < o, : Pour z >, l suie z, e doc l série z coverge solume. z e ed ps vers, l série z es doc divergee. z O e dédui que R =. Pr illeurs, pour z =, l série z = es l série hrmoique doc es divergee e, pour z Â, z = vec z, l série z peu s'écrire e i si z = e i, vec (2π) 2

22 e doc es ue série covergee e uilis le héorème d'ael. O doc : D = {z  ; z, z } CALCUL du RAYON de CONVERGENCE d'ue SERIE ENTIERE Proposiio Soi [ z ] ue série eière. Alors, si égl à R = eise e vu [, ], le ryo R de covergece de l série [ z ] es vec les coeios usuelles = e =. Soi z Â. Comme lim =, o lim z = Pr suie, l règle de Cuchy pour l série à ermes posiifs ou uls [ z ] perme de dire : si z <, l série [ z ] coverge solume, si z >, l série [ z ] diverge (so erme géérl e ed ps vers ). Fileme R =. Remrque Il es prfois plus commode d'éudier l limie de +, ce qui implique ie eedu que pour ssez grd. Ds ces codiios, si + eise e vu, lors le ryo R de covergece de l série eière [ z ] es égl à R =. Ce résul es ou à fi compile vec l proposiio précédee e veru du résul géérl suiv : Lemme Soi (u ) ue suie de omres réels sriceme posiifs. Alors, si u + eise e vu [, ], o : lim u u eise e vu 22

23 u + Supposos d'ord ], [. L suie ed vers ( ) e doc (lemme de Cesro), l u suie - u k+ k = = u k ( (u ) - (u )) ed ussi vers ( ). Il e résule que ( u ) ed vers ( ) e doc que u ed vers. Si mie =, pour ou >, il eise N el que pour N, o i : u +. u. O e dédui que pour N, u -N u N, ce qui implique que, pour N, u N / u N. Comme 2. Pr suie, = pour ou omre réel >, il eise doc N' ( N ) el que : N' lim u O procède de mière logue pour =. u E prique, l suie ( ) ' ps oujours de limie e o e peu ppliquer l proposiio précédee. Touefois, o peu doer ue formule eplicie du ryo de covergece d'ue série eière [ z ] e uilis l oio de limie supérieure d'ue suie. E doée ue suie de omres réels, (u ), mjorée ds È, o cosidère l suie (v ) défiie pr : v = Sup{u k ; k }. Cee suie es décroisse, miorée pr e es doc covergee. Pr défiiio, o ppelle limie supérieure de l suie (u ), e oée (v ) ssociée, i.e. : Sup u = lim lim Sup u, l limie de l Si l suie (u ) 'es ps mjorée, o oe lim Sup u =. O lors le résul (dmis) suiv Proposiio Soi [ z ] ue série eière, so ryo R de covergece es doé pr R = les coveios = e =. Cee relio es ppelée formule d'hdmrd. lim vec Remrque O rouve prfois ds ceris ouvrges ue ure défiiio (équivlee) du ryo de covergece. Soi [ z ] ue série eière e R so ryo de covergece. Cosidéros l'esemle S õ = {r ; l série [ r ] es covergee}. Ce esemle S õ es o vide puisque S õ. De plus, si r S õ, ou omre r pprie à S õ, S õ es doc u iervlle [, R õ ). 23

24 E fi R õ = Sup S õ = R. E effe, si o désige pr S = {r ; l suie ( r ) es mjorée} = [, R), o : () si r S õ, lors r S (l série [ r ] é covergee, so erme géérl ed vers ). Pr suie, R õ R. (2) si r < R, soi el que r < < R e doc S e, e uilis le lemme d'ael, o dédui que l série [ r ] es covergee e doc r S õ. Pr suie, l'iervlle [, R[ «S õ e doc R R õ. Fileme R = R õ. Applicio Soi [ z ] ue série eière de ryo de covergece R. Les séries eières [ z 2 ] e [ z 2+ ] o pour ryos de covergece R. E effe, cosidéros les esemles : S = {r ; l suie ( r ) es mjorée} e S * = {r ; l suie ( r 2 ) es mjorée}. O doc S = [, R) e S * = [, R * ) où R * es le ryo de covergece de l série eière [ z 2 ]. Si r S *, lors r 2 S e doc R *2 R. Si r S, lors r S * e doc R R *. Pr suie, R * = R. Le ryo de covergece de l série eière [ z 2+ ] es ussi R cr, d'ue mière géérle, e reve à l défiiio du ryo de covergece d'ue série eière, si [ z ] pour ryo de covergece, l série eière [ z + ] ussi pour ryo de covergece. Uiversié de Rees UFR Mhémique Deug 2ème ée - MA5 Alyse INTEGRALES GENERALISEES INTRODUCTION Pour l'iégrle de Riem, o s'es limié à cosidérer des focios défiies sur u segme [, ] de È e orées sur ce segme. Soi mie ue focio f défiie sur u iervlle oré [, [, orée sur [, [ e elle que l resricio à ou segme [, ] de [, [ soi Riem-iégrle. O peu cosidérer l focio F : [, [ #@ K : ò@ F() = f() d. O v morer que F() eise e que si fõ es u prologeme quelcoque de f à l'iervlle [, ] 24

25 (i.e : f õ () = f() pour [, [ e f õ () = K ririre), lors f õ es Riem-iégrle sur [, ] e so iégrle f õ () d e déped ps du prologeme f õ choisi. De plus, o : F() = f() d = f õ () d. Soi M el que : [, [, f() M e M = M(M, ). Soi >, e el que : < < e M ( - ) 2. L resricio de f u segme [, ] é Riem-iégrle, il eise ue sudivisio ß de [, ] elle que : S(f [, ], ß ) - s(f [, ], ß ). Aisi, si ß õ es l sudivisio de [, ] défiie pr : ßõ = ß Ù {}, o ur : S( f õ, ß õ ) - s(f, ßõ ) = 2 ce qui prouve que f õ es Riem-iégrle sur [, ]. Pr illeurs, il résule des propriéés de l'iégrle de Riem que f õ () d e déped ps du prologeme f õ choisi de f u segme [, ] : o e chge ps l vleur d'ue iégrle e modifi l focio e u omre fii de pois. E uilis l relio de Chsles, pour ou [, [ o : f õ () d - F() = f õ () d f õ () d M ( - ). O e dédui que lim F() eise e vu f õ () Eemple L focio f() = si, ], ], f() = es Riem-iégrle sur [, ] e si d eise u ses de Riem. INTEGRALE GENERALISEE 25

26 O v eploier cee iroducio pour éedre l oio d'iégrle à des focios o orées sur u iervlle [, [ (resp. ], ]), pouv égler (resp. pouv égler - &). Défiiio Soi I u iervlle (quelcoque) de È ; ue pplicio f : K (È ou Â) es die locleme iégrle sur I si s resricio à ou iervlle fermé oré coeu ds I es iégrle u ses de Riem. Eemple Si f es coiue pr morceu sur I, f es locleme iégrle sur I. Défiiio 2 Soi f ue focio locleme iégrle sur [, [, È e vec È, ou = (resp. sur ], ],, vec È, ou = - &). Pour [, [, o pose : F() = f() d (resp. F() = f() d vec ], ]). Alors, si l focio ò@ F() dme ue limie qud ed vers pr vleurs iférieures (resp. ed vers pr vleurs supérieures), o di que f dme ue iégrle géérlisée sur [, [ (resp. ], ]), oée : O di ussi que l'iégrle f() d : = f() d (resp. f() d es covergee pr =. Si, pr core, cee limie 'eise ps, o di que l'iégrle e = (resp. = ). Plus simpleme, o dir que l'iégrle Eude de quelques eemples f() d). f() d (resp. f() d es covergee, ou divergee. f() d) es divergee E. f() = e -, [, [ F() = e - d = - e - ed vers qud ed vers. Aisi l'iégrle e - d es covergee e vu. E.2 f() = å, å È, ], ] 26

27 d F() = å = - å + ( - -å+ ) si å - si å = Aisi l'iégrle d å es covergee si e seuleme si å <.. E.3 f() = å, å È, [, [ F() = d å = - å + (-å+ - ) si å si å = + Aisi l'iégrle & d å es covergee si e seuleme si å >.. E.4 f() = ( - ) å, å È, ], ] Comme pour l'eemple 2, l'iégrle d ( - ) å es covergee si e seuleme si å <. E.5 f() =, ], ] F() = d = ( - ) = - - ( - ) ed vers - qud ed vers pr vleurs supérieures. Aisi l'iégrle d es covergee e vu -. E.6 f() = ( ) å, å È, [2, [ F() = 2 d ( ) å = 2 ds s å i.e. F() = - å + ( )-å+ - ( 2) -å+ si å ( ) - ( 2) si å =. 27

28 d Aisi l'iégrle å es covergee si e seuleme si å >. 2 ( ) CAS DES FONCTIONS DEFINIES SUR UN INTERVALLE OUVERT ], [, - & < Défiiio Soi f ue focio locleme iégrle sur ], [ à vleurs ds K. O di que l'iégrle de f sur ], [ es covergee si, pour u éléme c ], [, chcue des c iégrles f() d e f() d es covergee e o pose : c c f() d : = f() d + c f() d. Si l'ue u mois des iégrles es divergee. c f() d e c f() d es divergee, o di que l'iégrle f() d O remrque immédieme, grâce à l relio de Chsles pour les focios iégrles u ses de Riem, que cee défiiio e déped ps du poi c ], [. E.7 f() = 2, ]- &, [ + d Alors F() = + 2 = Arcg ue limie qud ed vers. + E doc & d + 2 es covergee, e vu π 2. d De même, G() = + 2 = - Arcg ue limie qud ed vers - & e d + 2 es - & covergee, e vu - - π 2 = π 2. d Aisi l'iégrle -& + 2 es covergee e vu π. E.8 f() = å, å È, ], [ + Il résule des eemples 2 e 3 précédes que l'iégrle & d å es divergee pour ou å È. PROPRIETES DE L'INTEGRALE GENERALISEE Proposiio (Liérié) 28

29 Si f e g o des iégrles covergees sur [, [ (resp. ], ] ou ], [) e si K, lors f + g e. f o ussi ue iégrle covergee sur [, [ (resp. ], ] ou ], [) e o : (f + g)() d = f() d +. f() d =. f() d g() d Remrque Si f() d es covergee e si g() d es divergee, lors (f + g)() d es divergee. Il suffi de voir que, pour [, [ o : (f + g)() d = f() d + g() d e e de fire edre vers pr vleurs iférieures.. f() d =. f() d, Proposiio 2 (Relio d'ordre) Si f e g o des iégrles covergees sur [, [ (resp. ], ] ou ], [) e si [, [, f() g() lors : f() d g() d. Proposiio 3 (Iégrio pr pries) Soie f e g deu focios de clsse C sur [, [ (resp. ], ]). Pour ou [, [, o : f() g'() = f() g() - f() g() - f '() g() d. Alors si lim f() g() eise e si l'iégrle f() g'() d es covergee, es covergee e o : f() g'() d = lim f() g() - f() g() - f '() g() Eemple L'iégrle cos d es covergee cr si ], ] o : f '() g() d cos d = -. si ' d = si - si + si d 29

30 e comme si es covergee e vu - + = e si d. si d = si d eise, o oie que cos d Proposiio 4 (Chgeme de vrile) Soi f ue focio coiue sur [, [ e ƒ ue focio de clsse C sur [å, [ à vleurs ds [, [. Pour ou [å, [ o : å f(ƒ()) ƒ'() d = ƒ() f(s) ds. ƒ() Alors, si l'u des deu memres de cee églié ue limie qud ed vers, l'ure memre ussi e ces limies so égles : å f(ƒ()) ƒ'() d = ƒ() f(s) ds. ƒ() Eemple L'iégrle cos d es covergee cr, si ], ], o : cos d = 2 cos( 2 ) d e, comme ò@ cos 2 : [, È es coiue, o oie que l'iégrle covergee e que : cos d = 2 cos( 2 ) d. cos d es INTEGRALE GENERALISEE D'UNE FONCTION POSITIVE OU NULLE Proposiio Soi f ue focio locleme iégrle sur [, [ (resp. ], ]) e posiive. Pour que l'iégrle de f sur [, [ (resp. ], ]) coverge, il fu e il suffi qu'il eise ue cose M posiive elle que : 3

31 [, [ (resp. ], ]), f() d M (resp. f() d M). E effe, l focio ò@ F() = f() d (resp. f() d) es moooe croisse (resp. décroisse) e doc ue limie qud ed vers (resp. ed vers ) si e seuleme si F es mjorée. Corollire Si f e g so locleme iégrles e posiives sur [, [ (resp. ], ]) e si, pour ou ], [, f() g(), lors : (i) (ii) si si g() d eise, f() d eise e o : f() d 'eise ps, il e es de même de f() d g() d. g() d. E. [, [ = [, [, f() : = e - 2, g() : = e - ). Comme, pour ou [, [, e - 2 e -, e que e - d eise (e vu, e - 2 d eise. O e dédui que, pour ou È, e - 2 X d eise (écrire que e - 2 d = lim - e- X = ) e - 2 X d + e - 2 d E.2 π/2 d L'iégrle si es divergee cr, pour ], π ] 2, π/2 si e d es divergee. d E.3 L'iégrle - 2 d es covergee cr chcue des iégrles - e 2 d - es covergee. Corollire 2 Soie f e g deu focios locleme iégrles e posiives sur [, [ (resp. ], ]). 3

32 S'il eise deu coses sriceme posiives k, k 2 elles que, pour ou ], [ o i : lors pour que l'iégrle k f() g() k 2 f() f() d eise, il fu e il suffi que l'iégrle g() d eise. Corollire 3 Soie f e g deu focios locleme iégrles e posiives sur [, [ (resp. ], ]) e si f() õ g() lorsque ed vers (resp. ed vers ), lors l'iégrle f() d es covergee si e seuleme si l'iégrle g() d es covergee. E. [, [ = [, [, f() : =, g() : = +, > Alors f() g() = e doc, puisque d es covergee si e seuleme si >, l'iégrle d + es covergee si e seuleme si >. E.2 L'iégrle d - 3 es covergee cr - 3 õ 3( - ) qud ed vers. E.3 L'iégrle e d es divergee cr E effe, pour < <, o : d = d l'es. s ds = - ( )2 2 #@ 32

33 CONDITION NECESSAIRE ET SUFFISANTE DE CONVERGENCE D'UNE INTEGRALE GENERALISEE : CRITERE DE CAUCHY Théorème Soi f ue focio locleme iégrle sur [, [ (resp. ], ]). Alors l'iégrle f() d (resp. f() d) es covergee lorsque ed vers (resp. vers ) si e seuleme si, pour ou >, il eise [, [ (resp. ], ]) el que : (*) < ' < " < (resp. < ' < " < ) " ' f() d Si F() = f() d, F dmer ue limie qud ed vers, pr vleurs iférieures, si e seuleme si, pour oue suie ( ) de pois de [, [ covergee vers, l suie (F( )) es covergee (cf. cours de première ée), ce qui es équivle à dire que l suie (F( )) es de Cuchy ds K. Or F( q ) - F( p ) = q f() d. p Pr suie, si ( ) es ue suie de pois de [, [ covergee vers, l codiio (*) implique que l suie (F( )) es de Cuchy, e doc qu'elle es covergee. Réciproqueme, si lim F() eise, e < ou y [, [ o i : F(y) - f() d f() d, pour ou >, il eise [, [ el que, pour 2. Aisi, si o < ' < " <, o ur : c'es-à-dire (*). F(") - F(') = " ' f() d = Eemple L'iégrle si E effe, pour ou eier : å d es divergee pour ou å. (2+)π 2π si d (2+)π å (2 π)-å 2π si d = 2. (2 π) -å 33

34 ce qui coredi le crière de Cuchy. Défiiio Soi f ue focio locleme iégrle sur [, [ (resp. sur ], ]). O di que l'iégrle f() d coverge solume e = si l'iégrle f() d es covergee e =. De même, si f es locleme iégrle sur ], [, o di que l'iégrle de f sur ], [ es solume covergee si l'iégrle de f sur ], [ es covergee (i.e. si pour u éléme c ], [, chcue c des iégrles f() d e f() d es covergee). c Il résule de cee défiiio e du héorème précéde le Corollire Avec les hypohèses du héorème, si l'iégrle f() d (resp. (resp. = ), l'iégrle f() d (resp. f() d) es covergee e = f() d) es covergee e = (resp. = ) e o : f() d f() d. Cel résule de l'iéglié : e de l'iéglié : (resp. f() d " < ' < " <, ' < <, f() d ). f() d f() d " ' f() d f() d 34

35 ETUDE DE QUELQUES EXEMPLES E. L'iégrle. si d es covergee. E effe, ], ],. si, e comme l'iégrle d es covergee ( (- ) d = ( - ) = + ( - )), l'iégrle covergee, doc covergee.. si d es solume E.2 L'iégrle. cos 3/2 d es covergee cr, pour ou :. cos 3/2 3/2 =. 3/2 - M. 3/2 -, < < 2 où M = Sup < (remrquer que = ). E comme d 3/2 - es covergee puisque >, il e résule que l'iégrle &. cos 3/2 d es solume covergee, doc covergee. E.3 Pour ou eier, l'iégrle e - d eise e vu!, cr ò@ e - : [, È es coiue e, e écriv e - = e - /2. e - /2 e e remrqu que e - =, il vie que :, e - c e - /2 vec c = sup e - <. L'iégrle e - /2 é covergee, l'iégrle e - d es ussi covergee. X Soi lors X >, e clculos X e - d. E iégr pr pries, il vie que : e - d = - X e - X X + E fis edre vers, o oie Comme e - d =, o oie que e - d =!. - e - d. e - d = - e - d,. si E.4 L'iégrle å d es covergee si e seuleme si å >. 35

36 E effe, o si déjà que cee iégrle es divergee pour å (crière de Cuchy o sisfi). Pour å >, o :, si å å e, comme d å es covergee pour å >, l'iégrle si å d es solume covergee, doc covergee. Pour < å, cosidéros pour ou X > l'iégrle X si å d. E iégr pr pries, o : X si cos X X å d = cos - X å - å cos å+ d. + Comme précédemme, l'iégrle & cos å+ d es solume covergee puisque å + >, e doc comme lim + cos X X å eise, e vu, o e dédui que l'iégrle & si å d es covergee e que si + & å d = cos - å cos å+ d. si Remrque : Pour å >, l'iégrle å d es covergee si e seuleme si å < 2 cr l'iégrle si å d es covergee si e seuleme si å < 2. si E.5 L'iégrle å d es solume covergee si e seuleme si å >. Compe eu de l'e. 4, si il ous suffi de vérifier que l'iégrle å d es divergee pour å. π si Soi *, e cosidéros F(π) = å d. O : π si - F(π) = å d + k = (k+)π si å d. k π Or (k+)π si (k+)π - π/4 si å d 2 (k+)π - å d π/4 2 k π kπ + π/4 kπ + π/4 d å 2 2. π 2. ((k+)π) å. L série k å k é divergee (puisque å ), il e résule que lim F(π) = e doc X lim F(X) = si å d =. 36

37 E.6 L'iégrle å si d es covergee si e seuleme si å > - 2. E effe, pour < <, o : å si / d = si s å+2 ds s e cee epressio ue limie +, si e seuleme si å + 2 >, i.e. å > -2 (cf. e.4). Uiversié de Rees UFR Mhémique Deug 2ème ée - MA5 Alyse SUITES de FONCTIONS Suies de focios à vleurs ds K (È ou Â) Défiiio E doé u esemle X, o ppelle suie de focios sur X à vleurs ds K l doée, pour ou eier, d'ue pplicio f : K e o oe (f ) cee suie. E priculier, si X, (f ()) es ue suie d'élémes de K. E. f () =, X = È, ou X = [, ] E.2 f (z) = z, X = Â E.3 f () = +, X = È Défiiio (Covergece simple) Soi (f ) ue suie de focios sur u esemle X à vleurs ds K. O di que l suie (f ) coverge simpleme vers f : K si, pour ou X, l suie (f ()) coverge vers f() qud ed vers. O dir ussi, plus simpleme, que l suie (f ) coverge simpleme sur X. E. f () =, [, ] Cee suie coverge simpleme sur [, ] vers f défiie pr f() = si [, [, f() =. E.2 f () = +, È Cee suie coverge simpleme sur È vers l focio epoeielle ep : ò@ e : È. 37

38 Remrque Ds l'eemple, pour ou eier, l focio f : [, È : ò@ focio limie f : [, È 'es ps coiue. es coiue, e ceped l Ceci ous mèe à cosidérer ue oio de covergece plus fore : Défiiio 2 (Covergece uiforme) Soi (f ) ue suie de focios sur X à vleurs ds K. Soi f : K. O di que l suie (f ) coverge uiforméme vers f sur X si o l propriéé suive : (*) >, N el que N, X, f () - f(). O dir ussi, plus simpleme, que l suie (f ) coverge uiforméme sur X. Cee propriéé (*) es équivlee à : (*)' >, N el que N, Sup X f () - f(). Proposiio Soi (f ) ue suie de focios sur X à vleurs ds K e f : K. Si (f ) coverge uiforméme sur X vers f, (f ) coverge simpleme vers f sur X. Cel résule immédieme de (*). E. f () =, [, ], < < Alors (f ) coverge uiforméme vers sur [, ]. E effe, o [, ], f () - vers. Pr core, f () = e doc Sup f () = [,] ed vers qud ed, [, ], e coverge ps uiforméme sur [, ]. E effe, si elle covergei uiforméme sur [, ] vers f, écessireme (proposiio précédee) f seri l focio f() = si [, [ e f() =. E o : Sup f () - f() = [,] L codiio (*)' 'es doc ps sisfie. Sup = =. [,[ E.2 f () = + () 2, È Il es clir que l suie (f ) coverge simpleme sur È vers l focio f : È : ò@. Pr illeurs, Sup f () = È Sup f () [, [ + () 2 - () 2 e, pour évluer cee quié, o éudie les vriios de f, f ' () = ( + () 2 ) 2. 38

39 Il e résule que : Sup f () = f È = 2. Pr suie, l suie (f ) coverge uiforméme sur È vers l focio ulle. si() E.3 f () = + () 2, È Alors (f ) coverge simpleme vers sur È, mis e coverge ps uiforméme sur È vers cr f π 2 = e doc (*)' 'es ps sisfie. + π2 4 E.4 f () = å. e -, [, [, å È L suie (f ) coverge simpleme vers l focio ulle sur [, [ cr si =, f () = pour ou, e si >, å. e - =. Ceped, (f ) coverge uiforméme sur [, [ (vers l focio ) si e seuleme si å <. E effe, o vérifie fcileme que Sup seuleme si å <. f () - = Sup f () = å- e qui ed vers si e O v doer mie ue codiio écessire e suffise de covergece simple e de covergece uiforme sur u esemle X d'ue suie (f ) de focios défiies sur X. Proposiio (Crière de Cuchy) Soi (f ) ue suie de focios sur X à vleurs ds K. Alors : (i) L suie (f ) coverge simpleme sur X si e seuleme si : (**) X, >, N, el que p q N, f p () - f q (). (ii) L suie (f ) coverge uiforméme sur X si e seuleme si : (*)" >, N el que p q N X, f p () - f q (). (i) X, l suie (f ()) es covergee ds K si e seuleme si elle vérifie le crière de Cuchy i.e(**). (ii) Si l suie (f ) coverge uiforméme vers f sur X, o : >, N el que N, X, f () - f() 2 e doc si p q N, o ur : X, f p () - f q (), i.e(*)". Réciproqueme, supposos que l suie (f ) sisfsse (*)". Alors de (*)" o dédui que, pour ou X, l suie (f ()) es de Cuchy ds K, doc covergee, vers f(), qud ed vers. E fis lors edre p vers, ds (*)", il vie que, pour ou eier q N, e pour ou X, f() - f q (), c'es-à-dire (*) e (f ) coverge uiforméme vers f sur X. Théorème (Coiuié) 39

40 Soi (f ) ue suie de focios défiies sur X «K, e à vleurs ds K. O suppose que : (i), f : K es coiue. (ii) L suie (f ) coverge uiforméme vers f sur X. Alors f : K es coiue. Soi X. O, pour ou X : f() - f( ) f() - f () + f () - f ( ) + f ( ) - f( ). Soi >. D'près (ii), N el que : f() - f () e f ( ) - f( ) pour N. Fios = N. D'près (i), ppliqué à f N, il eise, > el que : -, e X f N () - f N ( ). Doc, >,, > el que -,, X f() - f( ) 3. Ce qui prouve que f es coiue e X. E. Repreos l'eemple f () =, [, ]. Comme (f ) coverge simpleme sur [, ] vers l focio discoiue f : [, È défiie pr f() = si [, [ e f() =, il e résule que (f ) e coverge ps uiforméme vers f sur [, ]. E.2 L covergece uiforme sur I d'ue suie de focios f, même de clsse C sur I, e suffi ps pour impliquer que l focio limie f : K soi de clsse C. Cosidéros pr eemple l suie (f ) défiie pr : È, f () = 2 +,. f : È es de clsse C, e coverge uiforméme sur È vers l focio f : È : ò@, o dérivle e =. E effe : È, Théorème 2 (Iégrio) Soi (f ) ue suie de focios défiies sur le segme [, ] de È à vleurs ds K. O suppose que : (i) (ii), f : [, K es coiue. L suie (f ) coverge uiforméme vers f sur [, ]. Alors f : [, K es coiue e o f () d = lim f () d f() d. Que f : [, K soi coiue résule du héorème e, e suppos, o : f () d - f() d = (f () - f()) d f () - f() d ( - ) pour N d'près (*) grâce à (ii). 4

41 Eemple π/2 Soi I = (si ) d. Ici, f () = (si ), [, π/2]. L suie (f ) coverge simpleme sur [, π/2] vers l focio f : [, È défiie pr : f() = si [, π/2] e f(π/2) = =. Cee focio f 'é ps coiue sur [, π/2], l suie (f ) e coverge ps uiforméme vers f sur [, π/2]. O e peu doc ps ppliquer direceme le héorème 2. Ceped, pour ou < å π/2, l suie (f ) coverge uiforméme vers sur [, å], cr : [, å], f () (si å) e lim å) =. Soi lors < < π, e å = π 2-2. O doc, d'près le héorème 2 : Doc, N el que N π 2 - lim π 2-2 Comme pr illeurs pour ou eier : O e dédui que, pour N, o : π (si ) 2-2 d = d =. (si ) d 2. π 2 π 2 π 2-2 (si ) d (si ) d π lim (si ) d =. π 2. d = π =, ce qui prouve que : Théorème 3 (Dérivio) Soi (f ) ue suie de focios défiies sur u iervlle I de È à vleurs ds K. O suppose que : (i), f : K es dérivle. (ii) L suie (f ) coverge simpleme sur I vers f : K. (iii) L suie des dérivées (f ' ) coverge uiforméme sur I vers g : K. Alors f : K es dérivle e, pour ou I, f '() = g(). L covergece uiforme de l suie (f ' ) vers g sur I se rdui pr le crière de Cuchy uiforme : () >, N el que p q N I, f ' p () - f ' q (). E priculier, e fis edre p vers ds cee iéglié, o oie : (') q N, I, g() - f ' q (). E ppliqu l'iéglié des ccroissemes fiis à l focio f p - f q, o oie pour ou I e I : (2) p q N, (f p () - f q ()) - (f p ( ) - f q ( )) -. 4

42 Remrque L'églié des ccroissemes fiis h() - h() = ( - ) h'(c), c ], [, 'es vlle que pour les focios à vleurs réelles. Pr core l'iéglié des ccroissemes fiis h() - h() ( - ) Sup h'() es vlle pour h à [, ] vleurs réelles ou complees (écrire l'églié des ccroissemes fiis pour les pries réelle e imgiire de h). Fis edre p vers ds cee iéglié (2), il résule de l'hypohèse (ii) l'iéglié : (2') q N, I, I, (f() - f q ()) - (f( ) - f q ( )) -. Moros mie que f es dérivle e I e que f '( ) = g( ). O : f() - f( ) - g( ) ( - ) (f() - f q ()) - (f( ) - f q ( )) + f q () - f q ( ) - f ' q ( )( - ) + f ' q ( ) - g( ) -. Fios q : = N e d'près (i), f q é dérivle e, il eise, > el que -, implique : (3) f q () - f q ( ) - f ' q ( )( - ) -., I Pr suie, si I vérifie -,, o dédui de ('), (2') e (3) que : f() - f( ) - g( )( - ) 3 - c'es-à-dire que f es dérivle e e que f '( ) = g( ). Corollire Si de plus u hypohèses (i), (ii), (iii) du héorème 3 o suppose que, f : K es de clsse C, lors f : K es de clsse C e f ' = g. Il résule du héorème de coiuié e de l'hypohèse (iii) que g : K es coiue, d'où le résul. Corollire 2 Soi (f ) ue suie de focios défiies sur u iervlle I de È à vleurs ds K. O suppose que : (i), f : K es dérivle (resp. de clsse C ). (ii) I el que l suie (f ( )) soi covergee. (iii) L suie (f ' ) coverge uiforméme sur I vers g : K. Alors, l suie (f ) coverge simpleme sur I vers ue focio f : K dérivle (resp. de clsse C ) e, pour ou I, f '() = g(). 42

43 De plus, l covergece de l suie (f ) vers f es uiforme sur ou iervlle oré J «I. O commece pr démorer que, pour ou I, l suie (f ()) es covergee. Pour cel, o repred l preuve du héorème 3 ; il résule de l'iéglié (2) que : (2") p q N, f p () - f q () - + f p ( ) - f q ( ). L suie (f ( )) é covergee, elle vérifie le crière de Cuchy e doc l suie (f ()) es ussi ue suie de Cuchy ds K, doc covergee. De plus, il résule de (2") que, pour ou J, iervlle oré de I, o : p,q N, J, f p () - f q () M J + f p ( ) - f q ( ) où M J = Sup J - <. O e dédui que l suie (f ) vérifie le crière de Cuchy uiforme sur l'iervlle J e doc coverge uiforméme vers f (= lim f ) sur J. Que f soi dérivle (resp. de clsse C ) e vérifie, I, f '() = g() résule lors du héorème 3. Eemple Repreos l'eemple f () = 2 +, È. D'près le héorème 3, l suie des dérivées f ' = e peu ps coverger uiforméme sur 2 + È. Ceped, elle coverge uiforméme sur ou iervlle oré J = [, ] e coe ps. E effe, supposos pour simplifier que < <. Comme lim f ' () = pour, o [,], f ' () - = e doc (f ' ) coverge uiforméme sur [, ] vers. 43

44 Uiversié de Rees UFR Mhémique Deug 2ème ée - MA5 Alyse SERIES de FONCTIONS Défiiio E doée ue suie de focios (f ) défiies sur u esemle X e à vleurs ds K, o ppelle série de focios [f ], défiies sur X à vleurs ds K, l suie de focios S = f k. k = Eemple Ue série eière [ z ] es ue série de focios f : z ò@ z sur  à vleurs complees. Défiiio O di qu'ue série de focios [f ] défiies sur u esemle X coverge simpleme sur X si l suie S = f k coverge simpleme sur X, i.e. si X, l série [f k = ()] es covergee. O di ussi que l série de focios [f ] coverge uiforméme sur X si l suie S = f k k = coverge uiforméme sur X. Ue série [f ] qui coverge uiforméme sur X coverge simpleme sur X. E. f (z) = z, z D = {z  ; z < } L série [z ] coverge simpleme sur D vers l focio f :  : z ò@ - z. E.2 f () = ei 2, È, L série [f ] coverge uiforméme sur È. E effe, pour ou È, l série [f ()] es solume covergee puisque f () + doc coverge simpleme sur È vers l focio ò@ S() = & e i = 2. Pr illeurs, pour ou È, o : 2, e e S() - S () = ik k = + k 2 + & k = + k 2. L série 2 é covergee, il e résule que l série [f ] coverge uiforméme vers S 44

45 sur È. E.3 f () = 2 + 2, È, Comme précédemme, puisque pour ou È, f () uiforméme sur È. 2, l série [f ] coverge E.4 f () =, [, [, Il es clir que l série [f ()] coverge si e seuleme si >. Aisi, l série [f ] coverge simpleme sur ], [ e diverge e ou poi [, ]. Proposiio (Crière de Cuchy) Soi [f ] ue série de focios défiies sur X à vleurs ds K. Alors : (i) L série [f ] coverge simpleme sur X si e seuleme si : p X, >, N = N, el que p q N, k = q (ii) L série [f ] coverge uiforméme sur X si e seuleme si : p >, N = N el que p q N X, k = q f k (). f k (). C'es le crière de Cuchy pour l suie de focios S = k = f k. Eemple L série de focios f : ò@ : ], È,, 'es ps uiforméme covergee sur ], + &[. E effe, sio o uri : p >, N el que p q N >, k = q k. Fisos edre vers + ds cee derière iéglié, o uri doc : p k >, N el que p q N k = q ce qui impliqueri que l série hrmoique es covergee, ce qui es fu. Pr core, cee série de focios [f ] coverge uiforméme sur ou iervlle [, [ vec >. E effe, pour p q, o : p k = q k k = q p k. L série k é covergee vérifie le crière de Cuchy ; il e résule que [f ] vérifie le crière de k Cuchy uiforme sur [, [. 45

46 A l différece des suies de focios, o dispose d'ures crières de covergece pour ue série de focios : Défiiio Soi [f ] ue série de focios défiies sur X à vleurs ds K. (i) (ii) O di que l série [f ] coverge solume simpleme sur X si l série [ f ] coverge simpleme sur X. O di que l série [f ] coverge solume uiforméme sur X si l série [ f ] coverge uiforméme sur X. Bie eedu, o l Proposiio Soi [f ] ue série de focios défiies sur X à vleurs ds K. Alors : (i) Si [f ] coverge solume simpleme sur X, l série [f ] coverge simpleme sur X. (ii) Si [f ] coverge solume uiforméme sur X, l série [f ] coverge uiforméme sur X. Cel résule du crière du Cuchy ppliqué à l série [ f ]. Les eemples riés rere préciséme ds le cdre de cee proposiio. E fi, pour morer l covergece (solue) uiforme, o mjoré uiforméme e X le module f () pr le erme géérl d'ue série umérique covergee ; ceci ous codui à ue oio ouvelle de covergece pour ue série de focios. Défiiio Soi [f ] ue série de focios défiies sur X à vleurs ds K. O di que l série [f ] coverge ormleme sur X s'il eise ue série umérique [v ] covergee elle que, pour ou eier : X, f () v. Ue défiiio équivlee cosise à dire que l série [f ] coverge ormleme sur X si e seuleme si l série [ u = Sup X f () ] es covergee. Eemple Ue série eière [ z ] coverge ormleme sur ou disque D = {z  ; z } vec < R où R es le ryo de covergece de l série eière [ z ]. Proposiio Soi [f ] ue série de focios défiies sur X à vleurs ds K. Alors si [f ] coverge ormleme sur X o : (i) [f ] coverge solume uiforméme sur X. (ii) [f ] coverge solume simpleme sur X. 46

47 (iii) [f ] coverge uiforméme sur X. (iv) [f ] coverge simpleme sur X. Cee proposiio es évidee, les implicios réciproques é fusses comme le more les eemples suivs : E. f () = 2 + 2, [, ], >, E doé que [, ], f () 2, l série [f ] coverge ormleme sur [, ]. E.2 f () = 2 + 2, [, [, L série [f ] e coverge ps uiforméme sur [, [ (e doc e coverge ps ormleme sur [, [ ). 2 E effe, o k = 2 + k 2 2 k = 2 + (2) (2) 2, e comme Sup 2 + (2) 2 = 4 (éudier les vriios de l focio g : ò@ 2 + (2) 2 : È), il e résule que : Sup 2 k = 2 + k 2 4 ce qui coredi le crière de Cuchy uiforme sur [, [ pour l série [f ]. E.3 õ f () = (-) 2 + 2, [, ], õ Comme ds l'eemple, l série [f ] coverge ormleme sur [, ]. E.4 õ f () = (-) Comme Sup sur [, [ , [, [, õ f () = Sup = 2 (cf. E.2), l série [f õ ] e coverge ps ormleme õ Ceped, [f ] coverge uiforméme sur [, [. õ E effe, soi [, [. L série f () = (-) es ue série lerée, do le module du erme géérl décroî vers (i.e. 2 + ( + ) e = ). õ O e dédui que l série [f ()] es covergee (elle es même solume covergee) e que so rese õ õ õ R () = S() - S() = O e dédui que : õ f() vérifie : k = + õ õ õ õ R () = S() - S() f+() = 2 + ( + ) 2. 47

48 Sup S õ õ () - S () Sup 2 + ( + ) 2 = 2( + ) õ ce qui prouve que l suie de focios ( S ) coverge uiforméme sur [, [ vers S õ, i.e. que l õ série de focios [f ] coverge uiforméme sur [, [. Ce derier eemple es e fi u cs priculier du héorème suiv : Théorème (Ael uiforme) Soi [f ] ue série de focios sur X à vleurs ds K. O suppose que, pour ou eier, e pour ou X, f () = (). v () où : (i) L suie de focios ( ) es décroisse, i.e. X, + () (). (ii) L suie de focios ( ) coverge uiforméme vers sur X. (iii) L suie (V ) des sommes prielles de l série de focios [v ] es uiforméme orée sur X, i.e. M elle que, X, V () = vk () M. k = Alors l série de focios [f =. v ] es uiforméme covergee sur X. O repred l démosrio du héorème d'ael pour l série umérique [ (). v ()]. O déjà moré que pour p q e X, o (cf. cours "Crières d'ael e séries lerées") : p k = q f k () = p k (). v k () 2M q(). k = q L suie ( ) coverge uiforméme vers sur X, o e dédui que : >, N el que q N X, q () e doc : p >, N el que p q N X, k = q f k () 2M c'es-à-dire que l série [f ] coverge uiforméme sur X. Eemple L série [ f ei () = å ], å >, es uiforméme covergee sur ou iervlle de l forme [2kπ +, 2(k + )π - ], < < 2π. Ue ure pplicio L méhode d'ael dme d'ures vries. E priculier, o le héorème suiv : 48