CHAINES DE MARKOV. de variables aléatoires définies sur le même espace probabilisé, TPà, valeurs dans un ensemble fini E telles que, pour tout n tout

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1 COURS CHAIES DE MARKOV Défiitio O appelle chaîe de Marov toute suite de variables aléatoires défiies sur le même espace probabilisé, TPà, valeurs das u esemble fii E telles que, pour tout tout i, i,, i E, o a P i P i i i i et pour Si o iterprète la variable comme état le temps, cette défiitio sigifie que le futur (la valeur prise par à l istat ) est idépedat du passé (istats,,, ) O dit que la chaîe est das l état i au temps si l évèemet L esemble E est l esemble des états de la chaîe i est réalisé ; Défiitio E reommat peut- être les élémets de E, o peut oter E,, avec etier supérieur ou égal à Ue chaîe de Marov, i, E, est dite homogèe si P P p i i i, Le réel p i, est la probabilité de trasitio de l état i à l état Cette probabilité e déped pas de l istat : le «mécaisme» de trasitio e chage pas au cours du temps O appelle matrice de trasitio de la chaîe de Marov T M défiie par T p i, i, homogèe la matrice Pour ue telle matrice, tous les coefficiets sot positifs : ce sot des probabilités De plus p P i, i Ue matrice de trasitio a doc tous ses coefficiets positifs et la somme des coefficiets de chaque lige vaut : elle est dite stochastique Ue telle matrice a écessairemet pour valeur propre puisque T Etude d ue chaîe de Marov homogèe Soit ue chaîe de Marov T M défiie par T p i, homogèe dot la matrice de trasitio est la matrice i,

2 Pour tout etier aturel, o veut détermier la loi de otos U le vecteur- lige P,, P Les évéemets,, formet u système complet d évèemets, la formule des probabilités doe :,, P P i i,, P P i P i i,, P P i p U U T i, i Par aalogie avec les suites géométriques, o a :, U U T La loi de e déped que de la matrice de trasitiot et que la loi de Attetio! Das la plupart de suets de cocours, pour détermier la loi de U P P o ote Das ce cas o obtiet (e preat la trasposée du résultat précédet) :, U T U t 4 Etude la loi de à log terme Défiitio : Soit ue variable aléatoire à valeurs das, Sa loi de probabilité lige P,, P O dit que la loi de probabilité est ue loi statioaire de la chaie de Marov matrice de trasitiot si T est détermiée par la matrice qui a pour O peut remarquer qu alors est u vecteur propre de la matrice T associé à la valeur propre Remarque Supposos qu à u istat doé le vecteur récurrece) o a :, U U U vérifieu U T, alors (démostratio par Les suites P,, P sot statioaires à partir de l istat La loi de probabilité de U est ue loi de probabilité statioaire (ou est u état stable) Covergece vers l état stable Supposos que les suites P,, P coverget respectivemet vers L,, L loi L, et la relatio u état stable) U U T doe, par passage à la limite, L L T (la loi limite L est

3 CHAIES DE MARKOV : EERCICES EERCICE : ESSEC T ) Calculs matriciels prélimiaires O cosidère les matrices M et D défiies par : M =, D a) Motrer qu il existe ue matrice carrée P iversible que l o précisera, dot la diagoale pricipale e comporte que des, telle que D P MP c) Expliciter, pour tout ombre etier aturel les matrices D et M ) Etude d'ue marche aléatoire U idividu se déplace sur les trois poits A d'abscisse, A d'abscisse et A d'abscisse selo les règles suivates : o A l'istat iitial, il est au poit d'abscisse o S'il est au poit d'abscisse à l'istat ( ), il est de faço équiprobable e l'u des poits d'abscisses, ou à l'istat + o S'il est au poit d'abscisse à l'istat ( ), il est de faço équiprobable e l'u des poits d'abscisses ou à l'istat + o S'il est au poit d'abscisse à l'istat ( ), il reste au poit d'abscisse à l'istat + Pour tout ombre etier aturel, o désige par la variable aléatoire idiquat l'abscisse du poit où se trouve l'idividu à l'istat a) Détermier ue matrice carrée A d'ordre telle queu AU oùu désige la matrice-coloe P P P d) PréciserU et exprimeru e foctio de E déduire la loi de A etu 5) Etudier la coverge e loi de la suite de variables aléatoires U Utilisatio de Scilab : Pour simuler ue chaîe de Marov, o utilise la foctio grad (, marov, T, ) où T désige la matrice de trasitio et désige l état iitial ATTETIO : A est la trasposée de la matrice de trasitio L esemble des états est, qui correspod aux abscisses, et

4 =iput ('doez u etier aturel') A= [, /, /;, /, /;,, /] =grad (,'marov', A, ) x=sum(==)/ disp(x) y=sum(==)/ disp(y) z=sum(==)/ disp(z) Cette simulatio ous permet de coecturer la covergece e loi de la chaîe de Marov EERCICE : EDHEC O ote B e, e, e la base caoique de IR et o cosidère l'edomorphisme f de IR défii par les égalités suivates: f e e e et f e f e e Partie : étude de f a) Écrire la matrice M de f das la base B e, e, e b) Détermier la dimesio d Im f puis celle de Ker f c) Doer alors ue base de Ker f, puis e déduire ue valeur propre de f aisi que le sous-espace propre associé,, f,,, e déduire les valeurs propres de f aisi d) Détermier les vecteurs f et que les sous-espaces propres associés e) E déduire que f est diagoalisable O pose P =, Q = et I =

5 a) Justifier sas calcul que P est iversible, puis détermier la matrice D diagoale telle que : M = PDP b) Calculer PQ puis e déduire P c) Ecrire, pour tout etier aturel o ul, la matrice M Partie : étude d'ue suite de variables aléatoires Ue ure cotiet boules umérotées de à U tirage cosiste à extraire au hasard ue boule de l'ure puis à la remettre das l'ure pour le tirage suivat O défiit ue suite de variables aléatoires * de la maière suivate : Pour tout etier aturel o ul, est défiie après le ème tirage O procède au er tirage et pred la valeur du uméro de la boule obteue à ce tirage Après le ème * tirage ( ) : Soit a pris la valeur, das ce cas o procède au ( + ) ème tirage et pred la valeur du uméro obteu à ce ( + ) ème tirage Soit a pris ue valeur, différete de, das ce cas o procède égalemet au ( + ) ème tirage et pred la valeur si la boule tirée porte le uméro et la valeur sio Recoaître la loi de O oteu P P P a) Détermier, grâce à la formule des probabilités totales, la matrice A M telle que, pour tout etier aturel o ul, o a : U c) Motrer qu e posat U =, alors, pour tout de, o a : U A U a) Vérifier que A = M + I, puis établir que, pour tout de, o a : A AU b) E déduire les élémets de la première coloe de la matrice A, puis vérifier que la loi de est doée par : *, P ( = ) = ( + ( ) ), P ( = ) = P ( = ) = ( ( ) ) 4 M Motrer que la suite coverge e loi vers ue variable aléatoire dot o doera la loi 4 Simuler la chaîe de Marov

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