Partie I. Les données qualitatives
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- Damien Falardeau
- il y a 6 ans
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1 Variables qualitatives : aalyse des correspodaces Jea-Marc Lasgouttes L aalyse factorielle des correspodaces But O cherche à décrire la liaiso etre deux variables qualitatives Exemple o peut regarder la répartitio de la couleur des yeux e foctio de la couleur des cheveux Différece avec l ACP l ACP se fait das u cadre différet ; les variables sot quatitatives et doc il est possible de faire des opératios mathématiques sur les valeurs des variables ; par cotre il est e gééral pas possible de compter les idividus qui ot ue caractéristique doée taille 83m) Pourquoi deux variables? le cas de plus de deux variables est l aalyse de correspodace multiples traité plus tard das le cours Partie I Les doées qualitatives Variables qualitatives Soit X ue variable qualitative O dispose d u échatillo de idividus sur lesquels la variable est mesurée Modalités ou catégories) les valeurs que peut predre ue variable qualitative ; si la variable a m modalités valeurs possibles) o ote x i i m ces modalités ou plus simplemet i Effectif le ombre d occurrece de la modalité i das l échatillo ; o le ote i et o a m i i Profil c est l esemble des valeurs i / ; la somme du profil sur les modalités est Tableau de cotigece Soiet X et X 2 deux variables qualitatives à m et m 2 modalités respectivemet décrivat u esemble de idividus Défiitio le tableau de cotigece est ue matrice à m liges et m 2 coloes refermat les effectifs ij d idividus tels que X i et X 2 j 2 m N ij m mm 2 La costitutio de ce tableau est aussi appelé u «tri croisé» Marges et profils Marge e lige c est la somme i m 2 j ij c est-à-dire l effectif total de la modalité i de X O défiit aussi le profil margial des liges i / Marge e coloe c est la somme j m i ij c est-àdire l effectif total de la modalité j de X 2 O défiit aussi le profil margial des coloes j / Deux lectures possibles selo la variable que l o privilégie o peut défiir le tableau des profils-liges ij / i qui représete la fréquece de la modalité j coditioellemet à X i ; la somme de chaque lige est rameée à 00% le tableau des profils-coloes ij / j qui représete la fréquece de la modalité i coditioellemet à X j ; la somme de chaque coloe est rameée à 00% Propriétés des profils Moyee la moyee des profils-liges avec poids correspodat aux profils margiaux des liges) est le profil margial des coloes : m i i ij i j et de même pour les coloes m 2 j j ij j i Idépedace empirique lorsque tous les profils liges sot idetiques il y a idépedace etre X et X 2 puisque la coaissace de X e chage pas la répartitio de X 2 O a pour tout j j 2j 2 m j m et doc ij i j j + + mj + + m j
2 Le χ 2 d écart à l idépedace Défiitio X 2 c est la gradeur suivate aussi otée χ 2 ou m m 2 d 2 ij i j i j i j ) 2 m 2 ij i j i j d 2 0 les variables sot idépedates Bore supérieure m i j 2 m ij i j comme ij i o a i j ij m i ij j j j j et doc d 2 m 2 ) O fait de même pour m et ϕ 2 d2 mim m 2 ) Le χ 2 d écart à l idépedace suite) j j m 2 Dépedace foctioelle si ϕ 2 m 2 alors pour chaque i soit ij i soit ij 0 : il existe ue uique case o ulle par lige X 2 est doc foctioellemet liée à X Dépedace iverse cette relatio e sigifie pas que X est foctioellemet liée à X 2 sauf si m m 2 O peut alors représeter le tableau comme ue matrice diagoale Cotributio au χ 2 c est le terme ij i j i j qui permet de mettre e évidece les associatios sigificatives etre modalités de deux variables Caractère sigificatif du χ 2 Problème à partir de quelle valeur de d 2 doit-o cosidérer que les variables X et X 2 sot dépedates? Méthode o suppose que X et X 2 sot issus de tirages de deux variables aléatoires idépedates O peut alors motrer que d 2 est ue réalisatio d ue variable aléatoire D 2 qui suit ue loi χ 2 m )m 2 ) Défiitio Loi du khi-deux à p degrés de libertés χ 2 p est la loi de la variable p i U i 2 où les U i sot des variables gaussiees réduites idépedates Le test du χ 2 o se fixe u risque d erreur α 00 ou 005 e gééral) et) o calcule la valeur d 2 c telle que P χ 2 m > )m 2 ) d2 c α Si d 2 > d 2 c o cosidère que l évéemet est trop improbable et que doc que l hypothèse origiale d idépedace doit être rejetée O trouvera e gééral ces valeurs das ue table précalculée ) 2 Cas p grad quad p > 30 o cosidère que 2χ 2 p 2p est distribué comme ue variable gaussiee cetrée réduite N0 ) Partie II Géométrie de uages de profils Aalyse des correspodaces de deux variables : les doées Effectifs o a u tableau de cotigece N à m liges et m 2 coloes résultat du croisemet de deux variables qualitatives X et X 2 à m et m 2 modalités respectivemet O ote D et D 2 les matrices diagoales des effectifs margiaux 0 2 D 0 m D m2 Profils le tableau des profils des liges ij / i est doé par D N et celui des profils des coloes ij/ j par ND 2 Représetatio géométrique des profils Nuage de poits les profils-liges formet u uage de m poits de R m2 Chaque poit est affecté d u poids égal à sa fréquece margiale i / et la matrice des poids est doc D Cetre de gravité c est le profil margial des coloes car g l ) D N) D m m 2 Profils-coloes les liges du tableau D 2 N formet u uage de m 2 poits de R m avec matrice de poids D 2 et cetre de gravité g c ) m 2 Cours d aalyse de doées Jea-Marc Lasgouttes aée
3 Commet étudier ces doées Cas idépedat e cas d idépedace empirique o a ij j i et ij j i Les deux uages sot doc réduits à leurs cetres de gravité Dimesio des uages comme les profils sommet à les m profils-liges sot situés das le sous-espace W de dimesio m 2 défii par m 2 j x j et x j 0 ACP l étude de la forme des uages au moye de l aalyse e composates pricipales permettra de redre compte de la structure des écarts à l idépedace La métrique du χ 2 Profils-liges la distace du χ 2 etre les profils-liges e i et e i est défiie par d 2 χ 2 l e i e i ) j j ij ) 2 i j i i ce qui reviet à utiliser la métrique diagoale D 2 Propriété de g l g l m 2 La orme de g l est g l 2 χ 2 l g l D 2 g l Iertie l iertie totale du uage des profils-liges par rapport à g l est I gl m i m i m d2 χ e 2 i g l ) l i j i j i i j j ij ) 2 i j ϕ 2 ) 2 ij j i Cette iertie mesure doc l écart à l idépedace Pourquoi la métrique du χ 2? Podératio la podératio / j permet de doer des importaces comparables aux différetes «variables» Équivalece distributioelle si deux coloes j et j de N ot le même profil il est logique de les regrouper e ue seule d effectif ij + ij ; o a alors quad ij / j ij / j j 2 ij j + 2 ij j i j i ij + ij j + j i 2 j + j La distace etre les profils-lige est doc ichagée Profils-coloes o défiit la distace etre deux profilscoloes e j et e j comme d 2 χ 2 c e j e j ) m i i ij j ij j ) 2 soit ue métrique de matrice D Les propriétés sot les mêmes que les profils liges Partie III L AFC : ue ACP sur u uage de profils ACP des deux uages de profils Commet? exacte tableau de doées métrique poids Il y a deux possibilités qui sot e dualité Profils-liges Profils-coloes X D N X D 2 N M D 2 M D D D Autres doées Cetre de gravité g X D avec Mg et g Mg Matrice de variace-covariace D D2 V X DX gg X g ) DX g ) Vecteurs propres de VM Cetrage g est u facteur pricipal g est vecteur propre de VM associé à la valeur propre 0 car Mg : VMg X g ) DX g ) 0 O a doc X DXMg VMg + gg Mg 0 + g g χ 2 g Autres axes les autres valeurs et vecteurs propres de VM et X DXM sot idetiques car les vecteurs propres sot orthogoaux etre eux X DXMu VMu+gg Mu VMu+g g u χ 2 VMu Cetrage il est iutile ici : o effectue ue ACP o cetrée et o élimie la valeur propre associée à l axe pricipal g et au facteur pricipal Mg Calcul de l ACP O fait d abord le calcul pour les profils-liges Facteurs pricipaux MX DX D D 2 )D N) ils sot vecteurs propres de D O a doc pour chaque axe pricipal k D 2 N D Nu k λ k u k N) D 2 N D N Composates pricipales la composate pricipale associée au facteur u k est a k Xu k D Nu k ; elle est vecteur propre de la matrice D ND 2 N car D ND 2 N a k D ND 2 N D Nu k λ k D Nu k λ k a k Cours d aalyse de doées Jea-Marc Lasgouttes aée
4 o échage les idices et 2 et o tras- Profils-coloes pose N Comparaiso liges-coloes Facteurs pricipaux Composates pricipales ACP profils-liges ACP profils-coloes Vecteurs propres de Vecteurs propres de D 2 N D N D ND 2 N Vecteurs propres de D ND 2 N ormalisés par var a k a k D a k λ k Vecteurs propres de D 2 N D N ormalisés par var b k b k D2 b k λ k Comparaiso les deux aalyses coduiset aux mêmes valeurs propres et les facteurs pricipaux de l ue sot les composates pricipales de l autre à u facteur près) Partie IV Aspects pratiques Iterprétatio des résultats Coordoées des poits Les coordoées des poitsliges et poits-coloes s obtieet e cherchat les vecteurs propres des produits des deux tableaux de profils Ce sot les gradeurs pricipales à obteir Projectio des uages il est possible de projeter les deux uages de poits sur le même représetatios O justifiera plus tard le ses de cette représetatio et so iterprétatio Cercle des corrélatios il a aucu itérêt ici puisque les véritables variables sot qualitatives o) effet de taille comme les composates variables sot cetrées m i i a ik m 2 j jb jk 0) ot sait que les coordoées des a k et b k e peuvet être toutes de même sige ; il y a doc jamais d effet de «taille» Cotributios à l iertie Cotributio des profils-liges O sait que λ k m i i a ik) 2 où a ik est la coordoée du profil-lige i sur la kième composate pricipale de l ACP sur les profilsliges O défiit doc la cotributio de la modalité i à l axe pricipal k comme i a ik) 2 λ k O cosidérera les modalités ayat l ifluece la plus importate typiquemet > α i / α 2 ou 3) comme costitutives des axes ; o regardera aussi le sige de la coordoée Il y a pas ici de modalités sur-représetées puisqu o e peut pas les retirer Cotributio des profils-coloes pour les mêmes raisos la cotributio du de la modalité j de X 2 à l axe k est j b jk) 2 λ k Qualité de la représetatio Profils-liges l AFC est ue ACP et o peut doc mesurer la qualité de la représetatio de la modalité i so profillige) par u sous-espace factoriel La qualité le cos 2 de l agle etre le poit et sa projectio) s écrit ecore pour le pla formé des q premiers axes : q k a ik) 2 m2 k a ik) 2 Comme pour l ACP > 08 sigifie «très bie représeté» et < 05 veut dire «mal représeté» Les valeurs sot souvet doées e 0000è Profils-coloe Le pricipe est le même mais la formule deviet pour la modalité j : q k b jk) 2 m k b jk) 2 Formules de trasitio But o cherche ue relatio etre les vecteurs a k et b k pour éviter de faire deux diagoalisatio de matrice Par exemple si m < m 2 o diagoalisera la matrice D ND 2 N Formules u calcul simple doe les formules suivates b k D 2 N a k soit b jk m ij a ik λk λk j i a k D Nb k soit a ik ij b jk λk λk i j Méthode comme a k est à ue ormalisatio près) le facteur pricipal associé à b k o sait que b k αd 2 N a k Pour détermier α il suffit d écrire que b k D2 b k λ k Décompositio de l iertie Nombre de valeurs propres Comme D ND 2 N est carrée de dimesio m et que D 2 N D N est de dimesio m 2 le ombre de valeurs propres o ulles est mim m 2 ) Mais comme ue des valeurs propres est associée à g) et est pas itéressate : Il y a au plus mim m 2 ) valeurs propres o ulles ϕ 2 et valeurs propres l iertie totale et doc la somme des valeurs propres) est égale à ϕ 2 Doc si si m < m 2 o obtiet ϕ 2 m k λ k Choix du ombre de valeurs propres O se cotete souvet de regarder le premier pla pricipal car la règle de Kaiser λ k > ϕ 2 /m ) s applique mal ; la règle du coude reste valide mais est subjective ; il existe u test sur de la part d iertie o expliquée mais il est u peu compliqué 4 Cours d aalyse de doées Jea-Marc Lasgouttes aée
5 Partie V Aalyse des correspodaces multiples Aalyse des correspodaces multiples But o veut étedre l AFC au cas de p 2 variables X X 2 X p à m m 2 m p modalités Ceci est particulièremet utile pour l exploratio d equêtes où les questios sot à réposes multiples Problème l aalyse des correspodaces utilise ue table de cotigece qui est difficilemet gééralisable au cas p > 2 Méthode o cherche u moye différet d aalyser p > 2 variables et o vérifie que les résultats sot comparables à l AFC pour p 2 Les doées Doées brutes chaque idividu est décrit par les uméros des modalités qu il possède pour chacue des p variables Il est pas possible de faire des calculs sur ce tableau où les valeurs sot arbitraires Tableau disjoctif o remplace la v-ième coloe par m v coloes d idicatrices : o met u zéro das chaque coloe sauf celle correspodat à la modalité de l idividu i qui reçoit Exemple O iterroge 6 persoes sur la couleur de leurs cheveux CB CC et CR pour blod châtai et roux) la couleur de leurs yeux YB YV et YM pour bleu vert et marro) et leur sexe H/F) O a doc trois variables avec respectivemet 3 3 et 2 modalités) mesurées sur 6 idividus Les tableaux brut ci-dessous à gauche) sot équivalets aux tableaux disjoctifs à droite) CB YB H CB YV H CC YB F CC YM H CR YV F CB YB F Tableau disjoctif et tableau de cotigece Tableau disjoctif à la variable X v o associe le tableau disjoctif X v à liges et m v coloes Tableau de cotigece o vérifie facilemet que le tableau de cotigece des variables X v et X w est doé par N vw X vx w Effectifs margiaux la matrice diagoale des effectifs margiaux de la variable X v est doée par D v X vx v Exemple suite) Table de cotigece Cheveux/Yeux et matrice d effectif margiaux de la couleur de cheveux N 2 0 D Tableau disjoctif joit Défiitio c est la matrice X X X 2 X p ) qui possède liges et m + + m p coloes Chaque coloe représete ue catégorie c est-à-dire ue modalité d ue variable Exemple pour l exemple de variables précédetes o a le tableau disjoctif joit suivat X Chaque somme de liges vaut 3 Les sommes de coloes valet ) Le tableau de Burt Défiitio c est u super-tableau de cotigece des variables X X p formé de tableaux de cotigece et de matrices d effectifs margiaux : X X X X 2 X X p B X X 2X X 2X 2 X X px X px p D N 2 N p N 2 D 2 N p D p Exemple Toujours pour les mêmes variables B Partie VI L ACM : ue AFC sur tableau disjoctif Commet utiliser l AFC pour aalyser p variables But o cherche à faire ue représetatio des m + +m p catégories comme poits d u espace de faible dimesio Méthode o fait ue AFC sur le tableau disjoctif joit X X X 2 X p ) Les liges la somme des élémets de chaque lige de X est égale à p Le tableau des profils-liges est doc p X Cours d aalyse de doées Jea-Marc Lasgouttes aée
6 Les coloes la somme des élémets de chaque coloe de X est égale à l effectif margial de la catégorie correspodate Le tableau des profils coloes est doc XD où D est la matrice diagoale par blocs D 0 D 0 D p Les coordoées factorielles des catégories Notatio O ote a k a k a k ) le vecteur à m + + m p composates des coordoées factorielles des catégories sur l axe k Calcul de l AFC sur X comme la matrice des profils liges est p X et celle des profils coloes XD a k est vecteur propre de XD ) p X p D X X p D B Iertie L iterprétatio de la part d iertie expliquée par les valeurs propres est maiteat très différete E particulier les valeurs propres qui étaiet très séparées das l AFC de N le beaucoup mois das celle de X Partie VII Aspects pratiques Formules barycetriques Les coordoées des idividus Soit c k le vecteur à composates des coordoées des idividus sur l axe factoriel associé à la valeur propre µ k D après les résultats sur l AFC o a c k µk p Xa k et doc c ik a jk µk p j catégorie de i et doc l équatio des coordoées des catégories est p D Ba k µ k a k avec la covetio de ormalisatio p a kda k µ k Résolutio das le cas p 2 O ote a k resp b k ) les m premières resp m 2 derières) coordoées de la composate pricipale k et µ k la valeur propre correspodate : 2 D B ak b k 2 I m D N D 2 N I m2 ak O obtiet les équatios { D Nb k 2µ k )a k D 2 N a k 2µ k )b k b k µ k ak b k et doc o retrouve les coordoées des modalités de liges et de coloes das l AFC classique avec λ k 2µ k ) 2 ) : { D 2 N D Nb k 2µ k ) 2 b k D ND 2 N a k 2µ k ) 2 a k Différeces ACM/AFC pour p 2 Nombre de valeurs propres o a a priori m + m 2 2 valeurs propres o ulles ce qui est plus importat que das le cas classique E particulier pour chaque λ k o a deux µ k possibles µ k + λ ak k 2 associée à b k µ k λ k a k 2 associée à b k O e garde doc que les valeurs µ k > 2 O peut motrer qu il y e a mim m 2 ) Les seuls termes o uls das le calcul de Xa k sot les coordoées de la catégorie de chaque variable possédée par l idividu Comme o est est das le cadre de l AFC la variace de c k est toujours var c k c kc k µ k Barycetre des catégories À / µ k près la coordoée d u idividu est égale à la moyee arithmétique simple des coordoées des catégories auxquelles il appartiet Formules barycetriques suite) O a de même la secode formule a k µk D X c k c-à-d a jk µk j i de catégorie j Les seuls termes o uls de X c k sot les coordoées des idividus ayat ue catégorie doée Barycetre des idividus À / µ k près la coordoée d ue catégorie est égale à la moyee arithmétique des coordoées des j idividus de cette catégorie Barycetres et représetatio Représetatio commue Les poits représetatifs des catégories sot barycetres des groupes d idividus O peut doc représeter idividus et catégories das u même pla factoriel Moyees Comme c k est ue variable de moyee ulle la formule de barycetre idique que pour chaque variable X i les coordoées de ses catégories podérés par les effectifs) sot de moyee ulle Aucu cetrage est doc écessaire Échelle pour que les catégories se trouvet visuellemet au barycetre des idividus qui les représetet o peut remplacer a k par α k D X c k µ k a k c ik 6 Cours d aalyse de doées Jea-Marc Lasgouttes aée
7 Propriétés des valeurs propres Valeur propres triviales La valeur propre est associée comme e AFC) à la composate z 0 ) das l espace des idividus Les autres vecteurs propres lui sot orthogoaux et doc de moyee ulle Autres valeurs propres Si > p v m v le rag de X est p v m v p + et le ombre de valeurs propres o trivialemet égales à 0 ou est q p v m v p Somme La somme des valeurs propres o triviales est doc q ) µ k Tr p D B p m v q p p k v La moyee des q valeurs propres vaut /p Sélectio de variables et axes Sélectio des variables o décide souvet de e garder qu u ombre réduit de variables actives et de garder les autres comme variables supplémetaires Sélectio des axes règle courate : garder les axes tels que µ k > /p la moyee des valeurs propres est /p) les axes itéressats sot ceux que l o peut iterpréter e regardat les cotributios des variables actives et les valeurs-tests associées aux variables supplémetaires défiies plus tard) E pratique o se cotete souvet d iterpréter le premier pla pricipal Iertie expliquée Catégories et axes factoriels elle est mois itéressate qu e ACP Si j est l effectif de la catégorie j et a jk sa coordoée sur l axe factoriel k alors Catégorie est j var a k p a jk) 2 µ k j catégories La cotributio de la catégorie j à l axe factoriel j a jk ) 2 p µ k itéressate si elle est supérieure au poids j /p à u facteur près comme e ACP et AFC) Variable la cotributio totale de la variable X v à l axe factoriel est µ k p j modalité de X v j a jk ) 2 Idividus et axes factoriels Cotributio d u idividu elle est égale pour l idividu i à c ik ) 2 µ k Cette cotributio est jugée e la comparat au poids / comme e ACP et AFC Qualité de la représetatio pour le sous-espace formé par les l premier axes la qualité de la représetatio de l idividu i est le cosius carré habituel l k c ik) 2 q k c ik) 2 O défiit de même sur les a jk la qualité de la représetatio d ue catégorie j Cotributio à l iertie totale Soit x j x j i ) le vecteur coloe de X correspodat à ue catégorie j O rappelle que l iertie totale vaut j I g p d2 z j g) p j catégories p m v v où la distace du profil-coloe j au cetre de gravité des profils-coloes g / est d 2 z j g) i p p ) x j 2 i j ) j 2 + j 2 2 j j i x j i 2 j j Cotributio à l iertie totale suite) Cotributio d ue catégorie la catégorie à l iertie est j p d2 z j g) p + 2 2xj i j ) La cotributio absolue de j qui est ue foctio décroissate de l effectif Il faut doc éviter les catégories d effectif trop faible qui d ailleurs se retrouverot das les premiers axes Cotributio d ue variable X v est ) j p j modalité de X v ) La cotributio de la variable m v p Elle est d autat plus grade que le ombre de modalités de X i est élevé Il faut doc éviter les disparités trop grades etre les ombre de modalités quad o a le choix du découpage) La ormalisatio de c k est i c ik) 2 µ k où c ik est la coordoée de l idividu i sur l axe factoriel k associé à la valeur propre µ k Cours d aalyse de doées Jea-Marc Lasgouttes aée
8 Partie VIII Iterprétatio extere Les variables supplémetaires Leur usage est très courat e aalyse des correspodaces multiples Variables quatitatives o calcule «à la mai» leur corrélatio avec les axes factoriels et o les place sur u cercle de corrélatios Si ẑ est ue versio cetrée-réduite de la variable alors corẑ c k ) ẑ i c ik i O peut aussi les découper e classes et les traiter comme des variables qualitatives Variables qualitatives o calcule directemet les coordoées de leurs modalités e utilisat la formule de barycetre des idividus : la coordoée la catégorie supplémetaire ĵ sur l axe pricipal k est aĵk µk ĵ i de catégorie ĵ Valeurs-test pour les variables supplémetaires qualitatives But o cherche à savoir si ue catégorie ĵ d effectif ĵ et de coordoée aĵk sur cet axe est liée à cet axe Idée du calcul si les ĵ idividus d ue catégorie étaiet pris au hasard la moyee de leurs coordoées serait ue variable aléatoire cetrée les c sot de moyee ulle) et de variace µ k ĵ ĵ De plus la moyee des coordoées est égale à µ k aĵk Valeur-test c est la versio cetrée et réduite de la moyee des coordoées aĵk ĵ ĵ Quad ĵ et ĵ sot assez grad e gééral > 30) elle est sigificative si elle est supérieure à 2 ou 3 O e doit pas l utiliser sur les variables actives c ik Partie IX AFC vs ACM Poits commus etre AFC et ACM But Cas p 2 Représetatio Cotributio d ue modalité à u axe Qualité de la représetatio d ue modalité par u sous espace décrire les liaisos etre plusieurs variables qualitatives les coordoées des modalités sot les mêmes pour les deux aalyses toutes les modalités peuvet être représetées sur le même diagramme poids coordoée)2 valeur propre coord sur l axe) 2 cos 2 axes du sous esp θ coord sur l axe) 2 tous les axes Différeces etre AFC et ACM AFC ACM Idividus o oui Doées Poids d ue modalité Nb de val propres Axes à coserver Variables supplémetaires tableau de cotigece profils liges/coloes i profil-lige) j profil-coloe) mim m 2 ) pas de règle Kaiser ; peut-être part d iertie pas vraimet de ses tableau disjoctif tableau de Burt j p p v m v p µ > p qualitatives et quatitatives 8 Cours d aalyse de doées Jea-Marc Lasgouttes aée
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