Chapitre 2 Suites bornées, théorèmes d Ascoli et de Weierstrass
|
|
- Mathilde Lachapelle
- il y a 6 ans
- Total affichages :
Transcription
1 Uiversité de Bourgoge Départemet de Mathématiques Licece de Mathématiques Résumé du cours Complémets d Aalyse Chapitre 2 Suites borées, théorèmes d Ascoli et de Weierstrass. Suites simplemet borées de foctios Vous coaissez le théorème de Bolzao-Weierstrass qui dit que de toute suite u ) borée de ombres réels ou de vecteurs de R d ), o peut extraire ue sous-suite u k ) covergete. Ceci est plus vrai pour ue suite de foctios f ). Pour de telles suites, il y a d ailleurs plusieurs otios de suites borées. Défiitio Suite simplemet borée de foctios) Soit f ) ue suite de foctios d u espace métrique E vers R ou R d ). O dit que la suite f ) est simplemet borée si pour tout x de E, l esemble {f x), =, 2,...} est boré das R ou R d ). Ou bie s il existe ue foctio ϕ de E vers R telle que: N, x E, f x) ϕx) ou f x) ϕx)). Ue suite simplemet borée de foctios peut e coteir aucue sous-suite covergete simplemet). Cepedat si E est fii, par exemple E = {x,..., x d }, la doée d ue foctio f de E vers R est la doée de d ombres réels, doc d u vecteur A de R d : A = a, a 2,..., a d ) = fx ), fx 2 ),..., fx d )), doc ue suite borée de foctios de E vers R est rie d autre qu ue suite de vecteurs de R d, elle cotiet ue sous-suite covergete simplemet). Cela se gééralise au cas d u esemble E déombrable. Propositio Procédé diagoal) Soit E = {x, x 2,..., x p,...} u esemble déombrable et f ) ue suite de foctios de E vers R ou R d ). O suppose que la suite f ) est simplemet borée. Alors il existe ue sous-suite f k ) extraite de f ) et simplemet covergete. O la fait das le cas de R, le cas gééral est tout à fait semblable. O regarde la suite de ombres réels f x )). Elle est borée, o peut e extraire ue sous-suite covergete. O ote les idices de cette sous-suite, 2,..., k,.... O a doc: k, k < k+) et lim f k x ) = a. O recommece cette costructio pour la suite de ombres f k x 2 )). Elle est borée, o peut e extraire ue sous-suite d idices 2, 22,..., 2k,... qui coverge. O a doc k, 2k < 2k+) et lim f 2k x ) = a, lim f 2k x 2 ) = a 2.
2 Remarquos que lorsqu o extrait ue sous-suite d idice k d ue suite d idices k, o a par costructio: k k k. E effet et si k k, alors k + ) k + k+ ). Ici ceci s écrit: k 2k k. E particulier, < 2 22 doc < 22. Supposos maiteat que l o ait poursuivi cette opératio d extractio successive de sous-suites jusqu à l ordre p, c est à dire que l o ait trouvé ue suite d idices p, p2,..., pk,... telle que: k, pk < pk+) et lim f pk x ) = a, lim f pk x 2 ) = a 2,..., lim f pk x p ) = a p. Et qu e procédat aisi, o ait < 22 <... < pp. O cosidère alors la suite de ombres f pk x p+ ) ). Elle est borée, o peut e extraire ue sous-suite d idices p+), p+)2,..., p+)k,... qui coverge. O a doc: k, p+)k < p+)k+) et lim f p+)k x ) = a,..., lim f p+)k x p+ ) = a p+. Et pour la même raiso que ci-dessus, p+)p+) > p+)p pp. Mais alors l applicatio j jj est strictemet croissate de N das N, la suite de foctios f jj ) est doc extraite de la suite f ). O peut même dire u peu plus: pour tout p, la suite f pp, f p+)p+),..., f p+k)p+k),...) est extraite de la suite f p, f p2,..., f pk,...). O a doc: lim f jj x p ) = lim f pk x p ) = a p. j Autremet dit, la suite f jj ) est simplemet covergete sur E. 2. Suites uiformémet borées de foctios Comme o a vu que ce sot les limites uiformes de foctios qui préservet les cotiuités, o examie maiteat la otio de suites uiformémet borées. Défiitio Suite uiformémet borée de foctios) O dit qu ue suite de foctios f ) d u espace métrique E das R ou R d ) est uiformémet borée s il existe u ombre M tel que: N, x E, f x) M ou f x) M). Il est équivalet de dire que la suite des ormes f est borée par M ou bie que les foctios f sot toutes das ue boule B, M) de l espace ormé BE, R d ), ) des foctios borées sur E. La situatio est cepedat pas vraimet meilleure, même si E est u espace compact et chaque foctio f cotiue. Par exemple les suites de foctios: f x) = x, ou g x) = 2 + x si x [, 2 + ] 2 + x 2 + ) 2 si x [ 2 +, 2 ] si x [ 2, ]
3 cotiues sur E = [, ] sot uiformémet borées par et pourtat elles e cotieet pas de sous-suites uiformémet covergetes. Si f k ) était ue telle sous-suite, si lim f k = f uiformémet, alors, pour tout x de [,], f k x) ted vers fx) doc fx) = si x [, [ et f) =, mais f est limite uiforme d ue suite de foctios cotiues sur [,], elle est doc cotiue sur [, ] ce qui est absurde. De même si o calcule g p g q, si p < q, o a ) g q 2 p+ =, g p 2 p+ ) = et doc g p g q =. Doc aucue suite extraite de g ) est de Cauchy, doc aucue est covergete. O peut voir ceci d u peu plus haut : das u espace ormé de dimesio fiie das R d ), les boules fermées B.R) sot compactes, das l espace ormé C[, ], R), ) des foctios cotiues sur [, ], la boule uité B.) est pas compacte il e est doc de même pour toute boule B.R)). O peut aussi regarder d u peu plus près les suites de foctios cotiues sur u compact qui coverget uiformémet: elles sot o seulemet borées mais aussi équicotiues. Défiitio Suite équicotiue de foctios) Ue suite de foctios f ) d u espace métrique E vers R ou R d ) est dite équicotiue si elle vérifie la coditio: ε >, α > tel que N, x E, y E, dx, y) < α = f x) f y) < ε ou ε >, α > tel que N, x E, y E, dx, y) < α = f x) f y) < ε). Cette défiitio veut dire que le α qui apparaît das la défiitio de la cotiuité uiforme des foctios f e déped e fait pas de. Remarquez aussi que l équicotiuité est ue propriété de la suite de foctios, pas de chaque foctio f. Si la suite f ) est équicotiue, chaque foctio f est uiformémet cotiue mais la réciproque est pas vraie, il existe des suites o équicotiues de foctios uiformémet cotiues. Par exemple la suite de foctio f x) = si x ) est équicotiue sur R utilisez les accroissemets fiis) mais la suite f x) = six) est pas équicotiue sur [, π] dessiez cette suite pour le voir). Propositio Ue suite uiformémet covergete est équicotiue) Soit f ) ue suite de foctios cotiues sur l espace métrique compact K et à valeurs das R ou R d ). O suppose que la suite f ) coverge uiformémet vers ue foctio f sur K. Alors la suite f ) est équicotiue. Comme f est la limite uiforme d ue suite de foctios cotiues, f est cotiue sur K. Comme K est compact, f est uiformémet cotiue: ε >, β > tel que x K, y K, dx, y) < β = fx) fy) < ε 3. D autre part f ted uiformémet vers f. Pour le même ε, il existe N tel que f f < ε 3 dépasse N: N, x K, N, > N = f x) fx) < ε 3. dès que 3
4 Doc pour tout x et y de K, pour tout de N, > N et dx, y) < β = f x) f y) f x) fx) + fx) fy) + fy) f y) < ε 3 + ε 3 + ε 3 = ε. Il reste à regarder les foctios f, f 2,..., f N pour lesquelles o a pas d estimatios. O écrit pour chacue d elles qu elle est uiformémet cotiue sur K: toujours pour le même ε, β tel que x K, y K, dx, y) < β = f x) f y) < ε, β 2 tel que x K, y K, dx, y) < β 2 = f 2 x) f 2 y) < ε,... β N tel que x K, y K, dx, y) < β N = f N x) f N y) < ε. Doc si α = Mi{β, β 2,..., β N, β}, o aura: ε >, α > tel que N, x K, y K, dx, y) < α = f x) f y) < ε, c est-à-dire : la suite f ) est équicotiue sur K. 3. Le théorème d Ascoli Ce théorème dit pratiquemet que la réciproque de la propositio précédete est vraie. Prouvos d abord: Lemme U espace métrique compact est sépaprable) Soit K u espace métrique compact. Alors il existe ue partie déombrable D das K tel que D = K o dit que K est séparable). Pour chaque etier >, o peut écrire: K = Doc o peut trouver x,..., x p das K tel que: x K B x, ) K = B x, ) B x 2, )... B x p, ). O cosidère alors tous les cetres des boules aisi costruites. Il y e a u ombre fii pour chaque =, 2,..., ils formet doc u esemble déombrable D. Maiteat si y est u élémet quelcoque de K et si ε est u ombre positif quelcoque, il existe tel que < ε, il existe u x k tel que y appartiee à B x k, ). O a doc: D est dese das K. x k D et dy, x k ) < < ε ou By, ε) D. Théorème d Ascoli Ue suite équicotiue de foctios cotiet ue sous-suite covergete) Soit K u espace métrique compact et f ) ue suite de foctios qui est à la fois équicotiue et simplemet borée. Alors:. f ) est uiformémet borée 2. f ) cotiet ue sous-suite f k ) qui coverge uiformémet. 4
5 . La suite état équicotiue, o a: ε >, α > tel que N, x K, y K, dx, y) < α = f x) f y) < ε. O recouvre K par les boules de rayo α: K = x K B x, α) Doc o peut trouver x, x 2,..., x p das K tels que: K = B x, α) B x 2, α)... B x p, α). Maiteat la suite f ) est simplemet borée, doc e chaque poit x k k =, 2,..., p): M k = sup{f x k ), =, 2,...} <. Posos M = max{m, M 2,..., M p }. Alors pour chaque x de K, il existe k tel que x appartiee à Bx k, α), doc dx, x k ) < α, doc, pour tout, f x) f x) fx) + fx k ) < ε + M k ε + M. C est à dire : f ) est uiformémet borée. 2. Soit maiteat D u esemble déombrable partout dese das K. O peut doc trouver ue sous-suite f k ) qui coverge simplemet sur D par le procédé diagoal. O repred alors la costructio de. E particulier o garde otre ε > et otre α >. Mais o e travaille qu avec des poits de D: puisque pour chaque poit y de E et pour chaque α >, il y a u poit x de D tel que dy, x) < α, o a: K = B x, α) x D Doc o peut trouver x, x 2,..., x p das D tels que: K = B x, α) B x 2, α)... B x p, α). Maiteat, pour chaque j =,..., p, la suite f k x j )) coverge, elle est doc de Cauchy: j =, 2,..., p, N j tel que { k, k > Nj k k > N j = f k x j ) f k x j ) < ε. O pred N = max{n,..., N p } et o cosidère u poit y quelcoque de K. y appartiet à ue boule Bx j, α), doc o a: { k, k > N k k > N = f k y) f k y) f k y) f k x j ) + f k x j ) f k x j ) + f k x j ) f k y) < 3ε. Doc f k ) vérifie le critère de Cauchy uiforme, elle coverge uiformémet sur K. 4.Le théorème de Stoe-Weierstrass Nous e démotreros que le théorème de Weierstrass, ous e feros qu éocer la versio de Stoe. Le théorème d Ascoli ous a idiqué quelles sot les parties de C[, ]) qui sot compactes pour la orme de la covergece uiforme. Celui de Weierstrass ous doe des parties deses formées de foctios très sympathiques: les foctios polyômes. 5
6 Dire que les foctios polyômes formet ue partie partout dese de C[, ]) reviet à dire que pour chaque foctio cotiue f, o peut trouver ue foctio polyôme P telle que f P < ε. O dit que la foctio P approche uiformémet f à mois de ε ou est ue approximatio uiforme de f à mois de ε). Théorème de Weierstrass Approximatio uiforme d ue foctio cotiue par u polyôme) Toute foctio complexe et cotiue sur [a, b] est limite uiforme sur [a, b] d ue suite P ) de foctios polyômes. Si f est réelle, o peut choisir les P à coefficiets réels. Quitte à chager de variable e posat x = a + tb a), o peut supposer que [a, b] = [.]. O peut se coteter aussi d approcher les foctios cotiues g telles que g) = g) =, puisque si o sait approcher les foctios de ce type, o pose: gx) = fx) f) x [f) f)], si g est limite uiforme de la suite de polyômes R, f sera la limite uiforme de la suite de polyômes P x) = R x) + f) + x [f) f)]. Suppososs doc que f est cotiue sur [, ] et que f) = f) =. O pose maiteat Q x) = a x 2 ), e choisissat a de telle faço que Q x) dx =. E fait, o peut estimer la croissace des a : x 2 ) dx = 2 2 x 2 ) dx 4 3 >. x 2 ) dx 2 x 2 ) dx Doc a <, pour tout et pour chaque α >, pour tout x de [α, ], Q x) < α 2 ). Prologeos f à R tout etier e posat fx) = si x appartiet pas à [, ]. f est cotiue et même uiformémet cotiue motrez-le) sur R. O pose: P x) = fx + t)q t) dt = x x fx + t)q t) dt = ft)q t x) dt. E développat le polyôme x Q t x), o voit doc que P x) est ue foctio polyôme à coefficiets réels si f est réelle). Posos maiteat M = f. Soit ε >, il existe α > tel que x y < α implique fx) fy) < ε 2. O a alors: P x) fx) = fx + t) fx)) Q t) dt 4M α 2 ) + ε 2. 2M fx + t) fx) Q t) dt α Q t) dt + ε 2 6 α α Q t) dt + 2M α Q t) dt
7 Comme α 2 ) ted vers plus vite que, o a Ou: lim α 2 ) =, N tel que > N = α 2 ) < ε 2. ε >, N tel que N, > N = f P < ε. C est ce qu il fallait démotrer. Fialemet Stoe a motré que la otio importate était celle d algèbre de foctios qui séparait les poits de l espace de départ. Soit K u espace métrique compact. O cosidère l espace C des foctios réelles resp. complexes) cotiues sur K, o muit C de la orme de la covergece uiforme. C est u espace de Baach. Soit A ue partie de C. O dit que A est ue algèbre si c est u sous espace vectoriel réel resp. complexe) et si pour tout couple f, g d élémets de A, fg appartiet aussi à A. O dit que A e s aule pas sur K s il existe ue foctio f apparteat à A qui e s aule pas sur K. par exemple c est le cas si la foctio costate appartiet à A) O dit que A sépare les poits de K si pour tout couple de poits x, x 2 de K, il existe ue foctio f de A telle que fx ) fx 2 ). Théorème de Stoe-Weierstrass Approximatio uiforme géérale) Soit K u espace métrique compact, soit C l espace de Baach des foctios réelles resp. complexes) cotiues sur K, mui de la orme. Soit A ue partie de C qui est ue algèbre, qui e s aule pas sur K, qui sépare les poits de K et, das le cas complexe, qui vérifie f appartiet à A pour toute foctio f de A. Alors A est partout dese das C, o peut approcher uiformémet toute foctio cotiue par ue foctio de A à mois de ε. Par exemple les foctios polyômes sur [a, b] ou sur tout compact K de R d formet ue algèbre e s aulat pas et qui sépare les poits doc le théorème de Stoe-Weierstrass gééralise celui de Weierstrass. De même, les polyômes trigoométriques, c est-à-dire les foctios de la forme: P e ix ) = N = N a e ix formet ue algèbre complexe uitaire, séparat les poits, stable par cojugaiso de foctios cotiues sur le cercle uité. O peut approcher uiformémet toute foctio cotiue sur ce cercle ou ce qui reviet au même toute foctio 2π-périodique) par u tel polyôme à mois de ε. 7
Chapitre 3 : Fonctions d une variable réelle (1)
Uiversités Paris 6 et Paris 7 M1 MEEF Aalyse (UE 3) 2013-2014 Chapitre 3 : Foctios d ue variable réelle (1) 1 Lagage topologique das R Défiitio 1 Soit a u poit de R. U esemble V R est u voisiage de a s
Plus en détail. (b) Si (u n ) est une suite géométrique de raison q, q 1, on obtient : N N, S N = 1 qn+1. n+1 1 S N = 1 1
Premières propriétés des ombres réels 2 Suites umériques 3 Suites mootoes : à faire 4 Séries umériques 4. Notio de série. Défiitio 4.. Soit (u ) ue suite de ombres réels ou complexes. Pour N N, o ote S
Plus en détailCHAPITRE 2 SÉRIES ENTIÈRES
CHAPITRE 2 SÉRIES ENTIÈRES 2. Séries etières Défiitio 2.. O appelle série etière toute série de foctios ( ) f dot le terme gééral est de la forme f ()=a, où (a ) désige ue suite réelle ou complee et R.
Plus en détailEtude de la fonction ζ de Riemann
Etude de la foctio ζ de Riema ) Défiitio Pour x réel doé, la série de terme gééral,, coverge si et seulemet si x >. x La foctio zeta de Riema est la foctio défiie sur ], [ par : ( x > ), = x. Remarque.
Plus en détail1 Mesure et intégrale
1 Mesure et itégrale 1.1 Tribu boréliee et foctios mesurables Soit =[a, b] u itervalle (le cas où b = ou a = est pas exclu) et F ue famille de sous-esembles de. OditqueF est ue tribu sur si les coditios
Plus en détail* très facile ** facile *** difficulté moyenne **** difficile ***** très difficile I : Incontournable
Exo7 Topologie Exercices de Jea-Louis Rouget Retrouver aussi cette fiche sur wwwmaths-fracefr * très facile ** facile *** difficulté moyee **** difficile ***** très difficile I : Icotourable Exercice **
Plus en détailSéries réelles ou complexes
6 Séries réelles ou complexes Comme pour le chapitre 3, les suites cosidérées sot a priori complexes et les résultats classiques sur les foctios cotiues ou dérivables d ue variable réelle sot supposés
Plus en détailLimites des Suites numériques
Chapitre 2 Limites des Suites umériques Termiale S Ce que dit le programme : CONTENUS CAPACITÉS ATTENDUES COMMENTAIRES Limite fiie ou ifiie d ue suite. Limites et comparaiso. Opératios sur les ites. Comportemet
Plus en détail* très facile ** facile *** difficulté moyenne **** difficile ***** très difficile I : Incontournable
Eo7 Séries etières Eercices de Jea-Louis Rouget Retrouver aussi cette fiche sur wwwmaths-fracefr * très facile ** facile *** difficulté moyee **** difficile ***** très difficile I : Icotourable Eercice
Plus en détailConvergences 2/2 - le théorème du point fixe - Page 1 sur 9
Au sommaire : Suites extraites Le théorème de Bolzao-Weierstrass La preuve du théorème de Bolzao-Weierstrass3 Foctio K-cotractate4 Le théorème du poit fixe5 La preuve du théorème du poit fixe6 Utilisatios
Plus en détailIntégration et probabilités ENS Paris, 2012-2013. TD (20)13 Lois des grands nombres, théorème central limite. Corrigé :
Itégratio et probabilités EN Paris, 202-203 TD 203 Lois des grads ombres, théorème cetral limite. Corrigé Lois des grads ombres Exercice. Calculer e cet leços Détermier les limites suivates : x +... +
Plus en détail[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 10 juillet 2014 Enoncés 1. Exercice 6 [ 02475 ] [correction] Si n est un entier 2, le rationnel H n =
[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 1 juillet 14 Eocés 1 Nombres réels Ratioels et irratioels Exercice 1 [ 9 ] [correctio] Motrer que la somme d u ombre ratioel et d u ombre irratioel est u ombre irratioel.
Plus en détail14 Chapitre 14. Théorème du point fixe
Chapitre 14 Chapitre 14. Théorème du poit fixe Si l o examie de plus près les méthodes de Lagrage et de Newto, étudiées au chapitre précédet, elles revieet das leur pricipe à remplacer la résolutio de
Plus en détailSuites et séries de fonctions
[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 3 avril 5 Eocés Suites et séries de foctios Propriétés de la limite d ue suite de foctios Eercice [ 868 ] [correctio] Etablir que la limite simple d ue suite de
Plus en détailExercice I ( non spé ) 1/ u 1 = 3 4. 2 3 u 2 4 + 3 9. 19 4 2/ Soit P la propriété : u n + 4. > 0 pour n 1. P est vraie au rang 1 car u 1
Bac blac TS Correctio Exercice I ( Spé ) / émotros par récurrece que 5x y = pour tout etier aturel 5x y = 5 8 = La propriété est doc vraie au rag = Supposos que la propriété est vraie jusqu au rag, o a
Plus en détailExo7. Déterminants. = 4(b + c)(c + a)(a + b). c + a c + b 2c Correction. b + a 2b b + c. Exercice 2 ** X a b c a X c b b c X a c b a X
Exo7 Détermiats Exercices de Jea-Louis Rouget Retrouver aussi cette fiche sur wwwmaths-fracefr * très facile ** facile *** difficulté moyee **** difficile ***** très difficile I : Icotourable T : pour
Plus en détailComportement d'une suite
Comportemet d'ue suite I) Approche de "ses de variatio et de ite d'ue suite" : 7 Soit la suite ( ) telle que = 5 ( + ) 2 Représetos graphiquemet la suite das u pla mui d' u repère. Il suffit de placer
Plus en détailProcessus et martingales en temps continu
Chapitre 3 Processus et martigales e temps cotiu 1 Quelques rappels sur les martigales e temps discret (voir [4]) O cosidère u espace filtré (Ω, F, (F ) 0, IP). O ote F = 0 F. Défiitio 1.1 Ue suite de
Plus en détailSéquence 5. La fonction logarithme népérien. Sommaire
Séquece 5 La foctio logarithme épérie Objectifs de la séquece Itroduire ue ouvelle foctio : la foctio logarithme épérie. Coaître les propriétés de cette foctio : sa dérivée, ses variatios, sa courbe, sa
Plus en détail4 Approximation des fonctions
4 Approximatio des foctios Ue foctio f arbitraire défiie sur u itervalle I et à valeur das IR peut être représetée par so graphe, ou de maière équivalete par la doée de l esemble de ses valeurs f(t) pour
Plus en détailx +1 + ln. Donner la valeur exacte affichée par cet algorithme lorsque l utilisateur entre la valeur n =3.
EXERCICE 3 (6 poits ) (Commu à tous les cadidats) Il est possible de traiter la partie C sas avoir traité la partie B Partie A O désige par f la foctio défiie sur l itervalle [, + [ par Détermier la limite
Plus en détailLes Nombres Parfaits.
Les Nombres Parfaits. Agathe CAGE, Matthieu CABAUSSEL, David LABROUSSE (2 de Lycée MONTAIGNE BORDEAUX) et Alexadre DEVERT, Pierre Damie DESSARPS (TS Lycée SUD MEDOC LETAILLAN MEDOC) La première partie
Plus en détailIntroduction : Mesures et espaces de probabilités
Itroductio : Mesures et espaces de probabilités Référeces : Poly cédric Berardi et Jea Michel Morel. J.-F. Le Gall, Itégratio, Probabilités et Processus Aléatoire J.-Y. Ouvrard, Probabilités 2, maîtrise-agrégatio,
Plus en détailSTATISTIQUE : TESTS D HYPOTHESES
STATISTIQUE : TESTS D HYPOTHESES Préparatio à l Agrégatio Bordeaux Aée 203-204 Jea-Jacques Ruch Table des Matières Chapitre I. Gééralités sur les tests 5. Itroductio 5 2. Pricipe des tests 6 2.a. Méthodologie
Plus en détailDénombrement. Introduction. 1 Cardinaux d'ensembles nis. ECE3 Lycée Carnot. 12 novembre 2010. 1.1 Quelques dénitions
Déombremet ECE3 Lycée Carot 12 ovembre 2010 Itroductio La combiatoire, sciece du déombremet, sert comme so om l'idique à compter. Il e s'agit bie etedu pas de reveir au stade du CP et d'appredre à compter
Plus en détailGroupe orthogonal d'un espace vectoriel euclidien de dimension 2, de dimension 3
1 Groupe orthogoal d'u espace vectoriel euclidie de dimesio, de dimesio Voir le chapitre 19 pour l'étude des espaces euclidies et des isométries. État doé u espace euclidie E de dimesio 1, o rappelle que
Plus en détailFEUILLE D EXERCICES 17 - PROBABILITÉS SUR UN UNIVERS FINI
FEUILLE D EXERCICES 7 - PROBABILITÉS SUR UN UNIVERS FINI Exercice - Lacer de dés O lace deux dés à 6 faces équilibrés. Calculer la probabilité d obteir : u double ; ue somme des deux dés égale à 8 ; ue
Plus en détailStatistique descriptive bidimensionnelle
1 Statistique descriptive bidimesioelle Statistique descriptive bidimesioelle Résumé Liaisos etre variables quatitatives (corrélatio et uages de poits), qualitatives (cotigece, mosaïque) et de types différets
Plus en détailAmphi 3: Espaces complets - Applications linéaires continues
Amphi 3: Espaces complets - Applications linéaires continues Département de Mathématiques École polytechnique Remise en forme mathématique 2013 Suite de Cauchy Soit (X, d) un espace métrique. Une suite
Plus en détail16.1 Convergence simple et convergence uniforme. une suite de fonctions de I dans R ou C.
16 Suites de foctios Suf précisio cotrire, I est u itervlle réel o réduit à u poit et les foctios cosidérées sot défiies sur I à vleurs réelles ou complexes. 16.1 Covergece simple et covergece uiforme
Plus en détailPolynésie Septembre 2002 - Exercice On peut traiter la question 4 sans avoir traité les questions précédentes.
Polyésie Septembre 2 - Exercice O peut traiter la questio 4 sas avoir traité les questios précédetes Pour u achat immobilier, lorsqu ue persoe emprute ue somme de 50 000 euros, remboursable par mesualités
Plus en détailSTATISTIQUE AVANCÉE : MÉTHODES
STATISTIQUE AVANCÉE : MÉTHODES NON-PAAMÉTIQUES Ecole Cetrale de Paris Arak S. DALALYAN Table des matières 1 Itroductio 5 2 Modèle de desité 7 2.1 Estimatio par istogrammes............................
Plus en détailBaccalauréat S Asie 19 juin 2014 Corrigé
Bcclurét S Asie 9 jui 24 Corrigé A. P. M. E. P. Exercice Commu à tous les cdidts 4 poits Questio - c. O peut élimier rpidemet les réposes. et d. cr les vecteurs directeurs des droites proposées e sot ps
Plus en détailDénombrement. Chapitre 1. 1.1 Enoncés des exercices
Chapitre 1 Déombremet 1.1 Eocés des exercices Exercice 1 L acie système d immatriculatio fraçais était le suivat : chaque plaque avait 4 chiffres, suivis de 2 lettres, puis des 2 uméros du départemet.
Plus en détailCours de Statistiques inférentielles
Licece 2-S4 SI-MASS Aée 2015 Cours de Statistiques iféretielles Pierre DUSART 2 Chapitre 1 Lois statistiques 1.1 Itroductio Nous allos voir que si ue variable aléatoire suit ue certaie loi, alors ses réalisatios
Plus en détailCours 5 : ESTIMATION PONCTUELLE
Cours 5 : ESTIMATION PONCTUELLE A- Gééralités B- Précisio d u estimateur C- Exhaustivité D- iformatio E-estimateur sas biais de variace miimale, estimateur efficace F- Quelques méthode s d estimatio A-
Plus en détailII LES PROPRIETES DES ESTIMATEURS MCO 1. Rappel : M1 LA REGRESSION : HYPOTHESES ET TESTS Avril 2009
M LA REGRESSION : HYPOTHESES ET TESTS Avril 009 I LES HYPOTHESES DE LA MCO. Hypothèses sur la variable explicative a. est o stochastique. b. a des valeurs xes das les différets échatillos. c. Quad ted
Plus en détailSÉRIES STATISTIQUES À DEUX VARIABLES
1 ) POSITION DU PROBLÈME - VOCABULAIRE A ) DÉFINITION SÉRIES STATISTIQUES À DEUX VARIABLES O cosidère deux variables statistiques umériques x et y observées sur ue même populatio de idividus. O ote x 1
Plus en détailProbabilités et statistique pour le CAPES
Probabilités et statistique pour le CAPES Béatrice de Tilière Frédérique Petit 2 3 jui 205. Uiversité Pierre et Marie Curie 2. Uiversité Pierre et Marie Curie 2 Table des matières Modélisatio de phéomèes
Plus en détailDes résultats d irrationalité pour deux fonctions particulières
Collect. Math. 5, 00, 0 c 00 Uiversitat de Barceloa Des résultats d irratioalité pour deux foctios particulières Richard Choulet 7, Rue du 4 Août, 40 Aveay, Frace E-mail: richardchoulet@waadoo.fr Received
Plus en détailConsolidation. C r é e r un nouveau classeur. Créer un groupe de travail. Saisir des données dans un groupe
Cosolidatio La société THEOS, qui commercialise des vis, exerce so activité das trois villes : Paris, Nacy et Nice. Le directeur de la société souhaite cosolider les résultats de ses vetes par ville das
Plus en détailEXERCICES : DÉNOMBREMENT
Chapitre 7 ECE 1 - Grad Nouméa - 015 EXERCICES : DÉNOMBREMENT LISTES / ARRANGEMENTS Exercice 1 : Le code ativol Pour so vélo, Toto possède u ativol a code. Le code est ue successio de trois chiffres compris
Plus en détailChapitre 3 : Transistor bipolaire à jonction
Chapitre 3 : Trasistor bipolaire à joctio ELEN075 : Electroique Aalogique ELEN075 : Electroique Aalogique / Trasistor bipolaire U aperçu du chapitre 1. Itroductio 2. Trasistor p e mode actif ormal 3. Courats
Plus en détailProcessus géométrique généralisé et applications en fiabilité
Processus géométrique gééralisé et applicatios e fiabilité Lauret Bordes 1 & Sophie Mercier 2 1,2 Uiversité de Pau et des Pays de l Adour Laboratoire de Mathématiques et de leurs Applicatios - Pau UMR
Plus en détailSolutions particulières d une équation différentielle...
Solutios particulières d ue équatio différetielle......du premier ordre à coefficiets costats O cherche ue solutio particulière de y + ay = f, où a est ue costate réelle et f ue foctio, appelée le secod
Plus en détailLES ÉCLIPSES. Éclipser signifie «cacher». Vus depuis la Terre, deux corps célestes peuvent être éclipsés : la Lune et le Soleil.
Qu appelle-t-o éclipse? Éclipser sigifie «cacher». Vus depuis la Terre, deu corps célestes peuvet être éclipsés : la Lue et le Soleil. LES ÉCLIPSES Pour qu il ait éclipse, les cetres de la Terre, de la
Plus en détail55 - EXEMPLES D UTILISATION DU TABLEUR.
55 - EXEMPLES D UTILISATION DU TABLEUR. CHANTAL MENINI 1. U pla possible Les exemples qui vot suivre sot des pistes possibles et e aucu cas ue présetatio exhaustive. De même je ai pas fait ue étude systématique
Plus en détailDeuxième partie : LES CONTRATS D ASSURANCE VIE CLASSIQUES
DEUXIEME PARTIE Deuième partie : LES CONTRATS D ASSURANCE VIE CLASSIQUES Chapitre. L assurace de capital différé Chapitre 2. Les opératios de retes Chapitre 3. Les assuraces décès Chapitre 4. Les assuraces
Plus en détailLE PRINCIPE DU RAISONNEMENT PAR RÉCURRENCE
LE PRINCIPE DU RAISONNEMENT PAR RÉCURRENCE. Exemple troductf (Les élèves qu coasset déà be le prcpe peuvet sauter ce paragraphe) Cosdéros la sute (u ), défe pour tout, par : u u u 0 0 Cette sute est défe
Plus en détailPROMENADE ALÉATOIRE : Chaînes de Markov et martingales
PROMENADE ALÉATOIRE : Chaîes de Markov et martigales Thierry Bodieau École Polytechique Paris Départemet de Mathématiques Appliquées thierry.bodieau@polytechique.edu Novembre 2013 2 Table des matières
Plus en détail20. Algorithmique & Mathématiques
L'éditeur L'éditeur permet à l'utilisateur de saisir les liges de codes d'u programme ou de défiir des foctios. Remarque : O peut saisir directemet des istructios das la cosole Scilab, mais il est plus
Plus en détailExercices de mathématiques
MP MP* Thierry DugarDi Marc rezzouk Exercices de mathématiques Cetrale-Supélec, Mies-Pots, École Polytechique et ENS Coceptio et créatio de couverture : Atelier 3+ Duod, 205 5 rue Laromiguière, 75005 Paris
Plus en détailChaînes de Markov. Arthur Charpentier
Chaîes de Markov Arthur Charpetier École Natioale de la Statistique et d Aalyse de l Iformatio - otes de cours à usage exclusif des étudiats de l ENSAI - - e pas diffuser, e pas citer - Quelques motivatios.
Plus en détailDETERMINANTS. a b et a'
2003 - Gérard Lavau - http://perso.waadoo.fr/lavau/idex.htm Vous avez toute liberté pour télécharger, imprimer, photocopier ce cours et le diffuser gratuitemet. Toute diffusio à titre oéreux ou utilisatio
Plus en détail2 ième partie : MATHÉMATIQUES FINANCIÈRES
2 ième partie : MATHÉMATIQUES FINANCIÈRES 1. Défiitios L'itérêt est l'idemité que doe au propriétaire d'ue somme d'arget celui qui e a joui pedat u certai temps. Divers élémets itervieet das le calcul
Plus en détailContinuité en un point
DOCUMENT 4 Continuité en un point En général, D f désigne l ensemble de définition de la fonction f et on supposera toujours que cet ensemble est inclus dans R. Toutes les fonctions considérées sont à
Plus en détailModule 3 : Inversion de matrices
Math Stat Module : Iversio de matrices M Module : Iversio de matrices Uité. Défiitio O e défiira l iverse d ue matrice que si est carrée. O appelle iverse de la matrice carrée toute matrice B telle que
Plus en détailLa spirale de Théodore bis, et la suite «somme=produit».
Etde d e vrite de l spirle de Théodore, dot issce à e site dot les sommes prtielles sot égles x prodits prtiels. Mots clés : spirle de Théodore, théorème de Pythgore, site, série, polyôme. L spirle de
Plus en détailSéries numériques. Chap. 02 : cours complet.
Séris méris Cha : cors comlt Séris d réls t d comlxs Défiitio : séri d réls o d comlxs Défiitio : séri corgt o dirgt Rmar : iflc ds rmirs trms d séri sr la corgc Théorèm : coditio écssair d corgc Théorèm
Plus en détailStatistique Numérique et Analyse des Données
Statistique Numérique et Aalyse des Doées Arak DALALYAN Septembre 2011 Table des matières 1 Élémets de statistique descriptive 9 1.1 Répartitio d ue série umérique uidimesioelle.............. 9 1.2 Statistiques
Plus en détailUV SQ 20. Automne 2006. Responsable d Rémy Garandel ( m.-el. remy.garandel@utbm.fr ) page 1
UV SQ 0 Probabilités Statistiques UV SQ 0 Autome 006 Resposable d Rémy Garadel ( m.-el. remy.garadel@utbm.fr ) page SQ-0 Probabilités - Statistiques Bibliographie: Titre Auteur(s) Editios Localisatio Niveau
Plus en détailcapital en fin d'année 1 C 0 + T C 0 = C 0 (1 + T) = C 0 r en posant r = 1 + T 2 C 0 r + C 0 r T = C 0 r (1 + T) = C 0 r 2 3 C 0 r 3...
Applicatios des maths Algèbre fiacière 1. Itérêts composés O place u capital C 0 à u taux auel T a pedat aées. Quelle est la valeur fiale C de ce capital? aée capital e fi d'aée 1 C 0 + T C 0 = C 0 (1
Plus en détailIntégration et probabilités TD1 Espaces mesurés Corrigé
Intégration et probabilités TD1 Espaces mesurés Corrigé 2012-2013 1 Petites questions 1 Est-ce que l ensemble des ouverts de R est une tribu? Réponse : Non, car le complémentaire de ], 0[ n est pas ouvert.
Plus en détailTRANSFERT DE CHARGE DANS UN RÉSEAU DE PROCESSEURS TOTALEMENT CONNECTÉS (*) par Maryse BÉGUIN ( 1 )
RAIRO Operatios Research RAIRO Oper. Res. 34 (2000) 99-129 TRANSFERT DE CHARGE DANS UN RÉSEAU DE PROCESSEURS TOTALEMENT CONNECTÉS (*) par Maryse BÉGUIN ( 1 ) Commuiqué par Berard LEMAIRE Résumé. L étude
Plus en détailFonctions de plusieurs variables, intégrales multiples, et intégrales dépendant d un paramètre
IUFM du Limousin 2009-10 PLC1 Mathématiques S. Vinatier Rappels de cours Fonctions de plusieurs variables, intégrales multiples, et intégrales dépendant d un paramètre 1 Fonctions de plusieurs variables
Plus en détailFONCTIONS DE PLUSIEURS VARIABLES (Outils Mathématiques 4)
FONCTIONS DE PLUSIEURS VARIABLES (Outils Mathématiques 4) Bernard Le Stum Université de Rennes 1 Version du 13 mars 2009 Table des matières 1 Fonctions partielles, courbes de niveau 1 2 Limites et continuité
Plus en détailUNIVERSITE MONTESQUIEU BORDEAUX IV. Année universitaire 2006-2007. Semestre 2. Prévisions Financières. Travaux Dirigés - Séances n 4
UNVERSTE MONTESQUEU BORDEAUX V Licece 3 ère aée Ecoomie - Gestio Aée uiversitaire 2006-2007 Semestre 2 Prévisios Fiacières Travaux Dirigés - Séaces 4 «Les Critères Complémetaires des Choix d vestissemet»
Plus en détailUniversité de Bordeaux - Master MIMSE - 2ème année. Scoring. Marie Chavent http://www.math.u-bordeaux.fr/ machaven/ 2014-2015
Uiversité de Bordeaux - Master MIMSE - 2ème aée Scorig Marie Chavet http://www.math.u-bordeaux.fr/ machave/ 2014-2015 1 Itroductio L idée géérale est d affecter ue ote (u score) global à u idividu à partir
Plus en détailUn nouvel opérateur de fusion adaptatif. A new adaptive operator of fusion. 1. introduction
A ew adaptive operator of fusio par Fraçois DELMOTTE LAMIH, Uiversité de Valeciees et du Haiaut-Cambrésis, Le Mot Houy, BP 3, 5933 Valeciees CEDEX 9 fdelmott@flore.uiv-valeciees.fr résumé et mots clés
Plus en détailLa France, à l écoute des entreprises innovantes, propose le meilleur crédit d impôt recherche d Europe
1/5 Trois objectifs poursuivis par le gouveremet : > améliorer la compétitivité fiscale de la Frace > péreiser les activités de R&D > faire de la Frace u territoire attractif pour l iovatio Les icitatios
Plus en détail3 Approximation de solutions d équations
3 Approximation de solutions d équations Une équation scalaire a la forme générale f(x) =0où f est une fonction de IR dans IR. Un système de n équations à n inconnues peut aussi se mettre sous une telle
Plus en détailMUTUELLE D&O MUTUELLE D&O. Copilote de votre santé. AGECFA-Voyageurs CARCEPT CARCEPT-Prévoyance CRC CRIS CRPB-AFB
MUTUELLE D&O MUTUELLE D&O Copilote de votre saté AGECFA-Voyageurs CARCEPT CARCEPT-Prévoyace CRC CRIS CRPB-AFB DOMISSIMO-Assuraces DOMISSIMO-Services FONGECFA-Trasport IPRIAC MUTUELLE D&O OREPA-Prévoyace
Plus en détailContribution à la théorie des entiers friables
UFR STMIA École Doctorale IAE + M Uiversité Heri Poicaré - Nacy I DFD Mathématiques THÈSE présetée pour l obtetio du titre de Docteur de l Uiversité Heri Poicaré, Nacy-I e Mathématiques par Bruo MARTIN
Plus en détailStatistiques appliquées à la gestion Cours d analyse de donnés Master 1
Aalyse des doées Statistiques appliquées à la gestio Cours d aalyse de doés Master F. SEYTE : Maître de coféreces HDR e scieces écoomiques Uiversité de Motpellier I M. TERRAZA : Professeur de scieces écoomiques
Plus en détailIntégrales dépendant d un paramètre
[hp://mp.cpgedupuydelome.fr] édié le 3 avril 5 Eocés Iégrales dépeda d u paramère Covergece domiée Exercice [ 9 ] [correcio] Calculer les limies des suies do les ermes gééraux so les suivas : a) u = π/4
Plus en détailImage d un intervalle par une fonction continue
DOCUMENT 27 Image d un intervalle par une fonction continue La continuité d une fonction en un point est une propriété locale : une fonction est continue en un point x 0 si et seulement si sa restriction
Plus en détailInitiation à l analyse factorielle des correspondances
Fiche TD avec le logiciel : tdr620b Iitiatio à l aalyse factorielle des correspodaces A.B. Dufour & M. Royer & J.R. Lobry Das cette fiche, o étudie l Aalyse Factorielle des Correspodaces. Cette techique
Plus en détail3.1 Différences entre ESX 3.5 et ESXi 3.5 au niveau du réseau. Solution Cette section récapitule les différences entre les deux versions.
3 Réseau Le réseau costitue u aspect essetiel d u eviroemet virtuel ESX. Il est doc importat de compredre la techologie, y compris ses différets composats et leur coopératio. Das ce chapitre, ous étudios
Plus en détailLa tarification hospitalière : de l enveloppe globale à la concurrence par comparaison
ANNALES D ÉCONOMIE ET DE STATISTIQUE. N 58 2000 La tarificatio hospitalière : de l eveloppe globale à la cocurrece par comparaiso Michel MOUGEOT * RÉSUMÉ. Cet article cosidère différetes politiques de
Plus en détailExercices - Fonctions de plusieurs variables : corrigé. Pour commencer
Pour commencer Exercice 1 - Ensembles de définition - Première année - 1. Le logarithme est défini si x + y > 0. On trouve donc le demi-plan supérieur délimité par la droite d équation x + y = 0.. 1 xy
Plus en détailTempêtes : Etude des dépendances entre les branches Automobile et Incendie à l aide de la théorie des copulas Topic 1 Risk evaluation
Tempêtes : Etude des dépedaces etre les braches Automobile et Icedie à l aide de la théorie des copulas Topic Risk evaluatio Belguise Olivier Charles Levi ACM Guy Carpeter 34 rue du Wacke 47/53 rue Raspail
Plus en détailSommaire Chapitre 1 - L interface de Windows 7 9
Sommaire Chapitre 1 - L iterface de Widows 7 9 1.1. Utiliser le meu Démarrer et la barre des tâches de Widows 7...11 Démarrer et arrêter des programmes...15 Épigler u programme das la barre des tâches...18
Plus en détailChap. 5 : Les intérêts (Les calculs financiers)
Chap. 5 : Les itérêts (Les calculs fiaciers) Das u cotrat de prêt, le prêteur met à la dispositio de l empruteur, à u taux d itérêt doé, ue somme d arget (le capital) qu il devra rembourser à ue certaie
Plus en détailEtude Spéciale SCORING : UN GRAND PAS EN AVANT POUR LE MICROCRÉDIT?
Etude Spéciale o. 7 Javier 2003 SCORING : UN GRAND PAS EN AVANT POUR LE MICROCRÉDIT? MARK SCHNEIDER Le CGAP vous ivite à lui faire part de vos commetaires, de vos rapports et de toute demade d evoid autres
Plus en détailINTRODUCTION AUX MATRICES ALÉATOIRES. par. Djalil Chafaï
INTRODUCTION AUX MATRICES ALÉATOIRES par Djalil Chafaï Résumé. E cocevat les mathématiques comme u graphe, où chaque sommet est u domaie, la théorie des probabilités et l algèbre liéaire figuret parmi
Plus en détailCours Fonctions de deux variables
Cours Fonctions de deux variables par Pierre Veuillez 1 Support théorique 1.1 Représentation Plan et espace : Grâce à un repère cartésien ( ) O, i, j du plan, les couples (x, y) de R 2 peuvent être représenté
Plus en détailRECHERCHE DE CLIENTS simplifiée
RECHERCHE DE CLIENTS simplifiée Nous ous occupos d accroître votre clietèle avec le compte Avatage d etreprise Pour trouver des cliets potetiels grâce à u simple compte bacaire Vous cherchez des idées
Plus en détailExamen final pour Conseiller financier / conseillère financière avec brevet fédéral. Recueil de formules. Auteur: Iwan Brot
Exame fial pour Coseiller fiacier / coseillère fiacière avec brevet fédéral Recueil de formules Auteur: Iwa Brot Ce recueil de formules sera mis à dispositio des cadidats, si écessaire. Etat au 1er mars
Plus en détailDe même, le périmètre P d un cercle de rayon 1 vaut P = 2π (par définition de π). Mais, on peut démontrer (difficilement!) que
Introduction. On suppose connus les ensembles N (des entiers naturels), Z des entiers relatifs et Q (des nombres rationnels). On s est rendu compte, depuis l antiquité, que l on ne peut pas tout mesurer
Plus en détailCours3. Applications continues et homéomorphismes. 1 Rappel sur les images réciproques
Université de Provence Topologie 2 Cours3. Applications continues et homéomorphismes 1 Rappel sur les images réciproques Soit une application f d un ensemble X vers un ensemble Y et soit une partie P de
Plus en détailTerminale S. Terminale S 1 F. Laroche
Termiale S Exercices. Rappels et exercices de base 3.. QCM (P. Egel) 3.. QCM, Atilles 005 4. 3. QCM, Liba 009, 3 poits 4. 4. QCM, C. étragers 007. 5. QCM, Frace 007 5 6. 6. QCM, N. Calédoie 007 7. 7. QCM
Plus en détailCommun à tous les candidats
EXERCICE 3 (9 points ) Commun à tous les candidats On s intéresse à des courbes servant de modèle à la distribution de la masse salariale d une entreprise. Les fonctions f associées définies sur l intervalle
Plus en détailIntégration et probabilités TD1 Espaces mesurés
Intégration et probabilités TD1 Espaces mesurés 2012-2013 1 Petites questions 1) Est-ce que l ensemble des ouverts de R est une tribu? 2) Si F et G sont deux tribus, est-ce que F G est toujours une tribu?
Plus en détailUniversité Victor Segalen Bordeaux 2 Institut de Santé Publique, d Épidémiologie et de Développement (ISPED) Campus Numérique SEME
Uiversité Victor Segale Bordeaux Istitut de Saté Publique, d Épidémiologie et de Développemet (ISPED) Campus Numérique SEME MODULE Pricipaux outils e statistique Versio du 8 août 008 Écrit par : Relu par
Plus en détailRégulation analogique industrielle ESTF- G.Thermique
Chapitre 5 Stabilité, Rapidité, Précisio et Réglage Stabilité. Défiitio Coditio de stabilité. Critères de stabilité.. Critères algébriques.. Critère graphique ou de revers das le pla de Nyquist Rapidité
Plus en détailUNIVERSITÉ DE SFAX École Supérieure de Commerce
UNIVERSITÉ DE SFAX École Supérieure de Commerce Aée Uiversitaire 2003 / 2004 Auditoire : Troisième Aée Études Supérieures Commerciales & Scieces Comptables DÉCISIONS FINANCIÈRES Note de cours N 3 Première
Plus en détailThéorème du point fixe - Théorème de l inversion locale
Chapitre 7 Théorème du point fixe - Théorème de l inversion locale Dans ce chapitre et le suivant, on montre deux applications importantes de la notion de différentiabilité : le théorème de l inversion
Plus en détailContinuité d une fonction de plusieurs variables
Chapitre 2 Continuité d une fonction de plusieurs variables Maintenant qu on a défini la notion de limite pour des suites dans R n, la notion de continuité s étend sans problème à des fonctions de plusieurs
Plus en détailChapitre 2 SONDAGE ALEATOIRE SIMPLE OU A PROBABILITES EGALES. 2.1 DEFINITIONS 2.2 SONDAGE ALEATOIRE SIMPLE SANS REMISE (PESR) 2.2.
Chapitre 2 SONDAGE ALEATOIRE SIMPLE OU A PROBABILITES EGALES PLAN DU CHAPITRE 2 2.1 DEFINITIONS 2.2 SONDAGE ALEATOIRE SIMPLE SANS REMISE (PESR) 2.2.1 Pla de sodage 2.2.2 Probabilités d iclusio 2.3 SONDAGE
Plus en détailc. Calcul pour une évolution d une proportion entre deux années non consécutives
Calcul des itervalles de cofiace our les EPCV 996-004 - Cas d u ourcetage ou d ue évolutio e oit das la oulatio totale des méages - Cas d u ourcetage ou d ue évolutio das ue sous oulatio das les méages
Plus en détail