Deuxième composition

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1 CONCOURS DE RECRUTEMENT AU PROFESSORAT DE L'ENSEIGNEMENT DU SECOND DEGRE AGRICOLE CAPESA SESSION 009 Cocours : Sectio : EXTERNE Mathématiques DEUXIÈME ÉPREUVE ÉCRITE D ADMISSIBILITÉ Deuième compositio (Coefficiet,5 : - Durée : 5 heures) La qualité e la réactio, la clarté et la précisio es raisoemets itervierot pour ue part importate as l appréciatio es copies L usage es calculatrices e poche est autorisé, à coitio qu elles soiet à foctioemet autoome et qu il e soit pas fait usage imprimate Le sujet comporte si pages L éocé compre eu parties MATH-Etere Sujet_009 /6

2 Ce problème a pour objet l étue e quelques propriétés es polyômes e Legere et e Lagrage Das la suite, o otera iifféremmet f ou f la érivée -ième ue foctio f et l o f() t ( acceptera l abus e otatio cosistat à écrire sous la forme f () t et f ) () t sous la forme ( f( t )) Par ailleurs, o otera e la même faço u polyôme et sa foctio polyomiale associée E ésige l espace eucliie es foctios cotiues sur l itervalle [ ; ] mui u prouit scalaire () () f g f t g t Pour tout etier aturel, R [ ] au plus égal à aisi que u polyôme ul Par covetio, pour etier aturel, o ote Pour tout etier aturel, o éfiit la foctio t ésige l esemble formé es polyômes éfiis sur IR e egré t, la foctio polyôme P sur IR par ( t) 0 t t P et pour, - Partie I a Vérifier que P () t! () ( t ) P t 3t t et P () t b Vérifier que P est u polyôme e egré c Démotrer que le coefficiet omiat e P est égal à Démotrer que () P! (! ) O rappelle la formule ite e Leibiz : si u et v sot eu foctios e la variable t, fois érivables sur u itervalle I, alors pour tout t e I : ( ) u() t v() t u () t v () t e Vérifier que la foctio érivée ue foctio paire et érivable est impaire f Étuier la parité e 0 P et e éuire que P ( ) /6

3 - a état u etier aturel iférieur ou égal à, soit f ue foctio e E, fois érivable et à érivée -ième cotiue Démotrer que ( ) ( ) ( ) () f P f t t! b Démotrer que pour tous ombres etiers aturels et m isticts, P et P m sot orthogoau E éuire que pour tout ombre etier aturel m, ( P, P,, P m ) orthogoale e l espace vectoriel R m [ t] 0 costitue ue base c Démotrer que pour tout ombre etier aturel o ul, P est orthogoal au polyômes t pour 0 < 3- Pour tout ombre etier supérieur ou égal à, émotrer que le polyôme éfii par ( ) t P ( t) ( + ) P ( t) + + est e egré iférieur ou égal puis que ce polyôme est orthogoal au polyômes t pour 0 E éuire que ce polyôme est combiaiso liéaire es polyômes P et P, puis émotrer que pour tout ombre etier supérieur ou égal à, la suite ( ()) relatio e récurrece ( ) t P ( t) ( ) P ( t) P ( t) O pourra utiliser - et -f + P t N () vérifie la 4-! a Démotrer que t P() t ( P P)! + b Démotrer que, pour tout supérieur ou égal à, ( P P) ( P P ) O pourra utiliser la relatio e récurrece () E éuire que, pour tout, ( P P ) + 5- Soit le polyôme G éfii par G() t ( t ) ( P() t ) a Préciser, pour o ul, le egré u polyôme G et émotrer que pour 0 <, G est orthogoal au polyômes t Pour 0, o pourra utiliser eu itégratios par parties successives et le résultat e la questio -c 3/6

4 b Détermier le coefficiet omiat u polyôme G e foctio u coefficiet omiat u polyôme P c E éuire que le polyôme P est solutio sur IR e l équatio ifféretielle : ( t ) y" t y' + ( + ) y 0 ( E ) 6- Cette questio a pour objet e étermier les foctios solutios sur [ ; ] e l équatio ( E ) Pour, o appelle solutio e ( ) E sur ] ; [ toute foctio e classe itervalle vérifiat ( E ) O ote S le IR -espace vectoriel e ces solutios a Justifier qu il eiste eu foctios e S, otées y et y, vérifiat : y 0 y 0 0, y 0 0 y 0 et format ue base e S C sur cet b O ote y() t α t ue foctio éveloppable e série etière, e rayo e 0 covergece o ul i) Motrer que : y 0, ( )( ) α ( ) ( ) S ( α ) ii) Motrer que, selo la parité e, ue es eu foctios y ou y est polyomiale e egré et que l autre est éveloppable e série etière e rayo e covergece O pourra remarquer, e oat à la valeur, que α + 0 iii) E éuire que toute solutio e ( E ) sur ] ; [ est éveloppable e série etière c E otat les éveloppemets e série etière e y et y : y t u t + () et () 0 y t v t, motrer que : 0 v si est pair, pour > 0, + + O v et e éuire la ature e la série v 0 u si est impair, pour > 0, + + O u et e éuire la ature e la série u 0 Soit y ue foctio cotiue sur [ ; ], y S Motrer que si est pair, il eiste α IR tel que y α y et que si est impair, il eiste β IR tel que y β y O pourra utiliser sas justificatio que, selo la parité e, la limite e e y ou celle e y est ifiie e Coclure e motrat que les solutios e ( E ) sur [ ; ] formet u sous espace vectoriel e imesio es foctios e [ ; ] as [ ; ] et que celui-ci est egeré par P 4/6

5 Partie II Cette partie est assez largemet iépeate e la partie I, ot o eploitera cepeat le résultat émotré à la questio c - a Doer u éocé u théorème e Rolle b Soit et eu ombres etiers aturels tel que < Démotrer que le polyôme P éfii par P () t ( t ) racies orre amet et comme et racies simples istictes eu à eu as l itervalle ] ; [ c E éuire que pour, le polyôme P amet racies otées que < a < a < < a < a, a,, a telles - a Vérifier que pour tout etier aturel et tout réel e l itervalle [ ; ], o peut P ( t) P ( ) prologer par cotiuité la foctio t sur l itervalle [ ; ] t Pour tout etier aturel et tout réel, o ésige par Q la foctio éfiie sur IR par : P t P t Q b Démotrer que pour supérieur à, Q est ue foctio polyôme e egré et que pour tout, la suite ( ) Q vérifie les coitios iitiales : Q 0( ) 0 et Q( ) N c Démotrer que la suite ( ) ( ) P N Q N établie à la questio 3 e la partie I vérifie la même relatio e récurrece que la suite 3- est u ombre etier aturel o ul fié O ote a, a,, a les zéros e P tels que < a < a < < a < Pour tout ombre etier i compris etre et, soit L i le polyôme éfii par i () L t t aj a j i a j j i a Pour tout ombre etier i compris etre et et pour tout ombre etier compris etre et, étermier L i( a ) O istiguera le cas où i b Démotrer que ( L,, ) costitue ue base e l espace vectoriel R [ t ] L 5/6

6 c E éuire la écompositio e tout polyôme e R [ t ] as cette base Démotrer qu il eiste ue suite ( λ,,λ ) e ombres réels et ue seule telle que pour tout polyôme P e R [ t ], Pt () λi Pa ( i) i e Démotrer que pour tout polyôme P e [ X ] R effectuera la ivisio eucliiee e P par P, Pt () λi Pa ( i) f Démotrer que λi puis que les λi sot strictemet positifs i O pourra prere es polyômes P particuliers i O 4- Q est le polyôme éfii à la questio Démotrer que pour tout ombre réel strictemet supérieur à, Q ( ) P ( ) 5- est u ombre etier aturel o ul a Démotrer que pour tout ombre réel strictemet supérieur à, ( ) t λi ai Q t a i i P b E éuire que pour tout ombre réel strictemet supérieur à, Q + λi ai t l P a i i t c α est u ombre strictemet positif Démotrer que pour tout ombre réel tel que + α, Q ( ) + 3 l P α + α Q O pose pour tout ombre etier aturel o ul, U P λi a i i Démotrer que la suite ( U ) coverge uiformémet sur l itervalle [ +, + [ α 6/6