Les Tours de Hanoï. Année

Transcription

1 Cet article est rédigé par des élèves. Il pet comporter des oblis et imperfectios, atat qe possible sigalés par os relecters das les otes d éditio. Les Tors de Haoï Aée 5-6 Aters : DBOIS Hgo et ROCQET Bastie, élèves de Termiale S. Établissemet : Lycée Codorcet, Sait-Qeti (). Ecadrés par : Fabie AOSTIN. Chercher : Fabie DRAND, Laboratoire Amiéois de Mathématiqe Fodametale et Appliqée, LAMFA, MR CNRS 75, iversité de Picardie Jles Vere. Itrodctio : Les tors de Haoï fret ivetées par l Amiéois, Édoard Lcas. Il ft l des premiers mathématicies à s itéresser ax jex mathématiqes. Les tors de Haoï est je et problème mathématiqe qi cosiste à déplacer certai ombre d aeax d potea de départ à potea d arrivée. Cepedat, il y a différetes règles à respecter : la première cosiste à e pas déplacer plsiers aeax à la fois. La secode cosiste à e pas placer pls grad aea sr pls petit. Das cet article, os établissos e formle doat le ombre miimal de cops écessaires por résodre le problème pis os proposos algorithme décrivat la soltio optimale. Esite os os itéressos à la fréqece d apparitio de certais movemets.. Descriptio d je : Le je est costité de trois piqets. Sr le premier piqet se trovet aeax, d pls grad a pls petit. Le bt est de positioer tos les aeax sr le troisième piqet, d pls grad a pls petit e respectat les règles sivates : - o e pet predre q sel aea à la fois - o e pet pas mettre pls grad aea sr pls petit. Voici exemple avec aeax. Atelier MATh.e.JEANS Lycée Codorcet St QENTIN aée 5-6 page

2 . Le ombre de cops miimm : Nos premières recherches se sot portées sr le ombre de cop miimm. Aisi os avos p faire qelqes observatios sr les premiers aeax (de à 6). Nos avos trové les résltats ci-dessos : Nombre d aeax Nombre de cops O ote le ombre miimal de cops écessaires por déplacer aeax. Nos remarqos sr ce tablea qe. Nos allos démotrer par récrrece otre cojectre qi est la sivate : -. Soit P la propriété : «-». Atelier MATh.e.JEANS Lycée Codorcet St QENTIN aée 5-6 page

3 Iitialisatio : O a et -. O costate qe P est vraie. Hérédité : Spposos qe P est vraie. Démotros qe P est vraie, c'est-à-dire qe -. E effet, por déplacer aeax, il fat déplacer les pls petits aeax d potea a potea, pis déplacer le pls grad aea d potea a potea, et efi les aeax restat d potea a potea. O a aisi : ( ) Remarqe : O e déplace q e sele fois le grad aea por avoir le ombre de cops miimm car si o le déplace plsiers fois cela os oblige à déplacer plsiers fois les pls petits aeax car por déplacer le pls grad aea il fat déplacer les pls petits aeax sr même potea. Coclsio : - cops por déplacer P est vraie et la propriété est héréditaire doc il fat a mois aeax.. algorithme :.. Notatio des movemets : Afi de créer otre algorithme, il a fall doer e otatio à chaqe movemet aisi o ote : - A : movemet d potea a potea - B : movemet d potea a potea - C : movemet d potea a potea - D : movemet d potea a potea - E : movemet d potea a potea - F : movemet d potea a potea... Descriptio d mot : O repred l exemple avec aeax. Le mot qi doe la soltio est : BAFBCDB - B : de vers - A : de vers - F : de vers - B : de vers - C : de vers - D : de vers - B : de vers. Atelier MATh.e.JEANS Lycée Codorcet St QENTIN aée 5-6 page

4 .. Pricipe de récrrece : Por expliqer à l ordiater commet trover la soltio d problème, os li expliqos le pricipe de récrrece. Por déplacer la totalité des aeax d potea vers le potea, il fat déplacer les - aeax, d potea vers le potea, esite, déplacer l aea restat (c est-à-dire le pls grad), d potea vers le potea, et por fiir déplacer les - aeax d potea vers le potea. Grâce à otre algorithme et otre système de otatio, o est capable de costrire mot représetat la soltio d problème..4. Algorithme à l aide d logiciel de calcl formel : Nos avos tilisés logiciel de calcl formel (Xcas) qi os a aidés à créer algorithme récrsif. algorithme récrsif est algorithme qi résot problème e calclat des soltios d istaces pls petites d même problème. Por expliqer à l ordiater commet trover la soltio d problème, os li expliqos le pricipe de récrrece. Das cet algorithme, désige le ombre d aeax, désige le méro d piqet de départ et j le méro d piqet d arrivée. 4. Qelqes statistiqes : 4.. Étde des fréqeces : O étdie le ombre d apparitios d movemet A (d piqet a piqet ) das les soltios optimales d problème. O observe les résltats sivats où est le ombre d aeax et où le déplacemet idiqé est celi de la pile d aeax etière. Atelier MATh.e.JEANS Lycée Codorcet St QENTIN aée 5-6 page 4

5 déplacemet De vers 7 De vers De vers De vers De vers De vers E regardat les fréqeces d apparitio d movemet A das le je classiqe, o a cojectré qe cette fréqece tedait vers o sivat si le ombre d aeax est pair o impair Fréqece de A d piqet vers le piqet,,4,67,,8,8,7,,4, O ote, i, j le ombre de movemets A tilisés das la soltio optimale por déplacer aeax d piqet i vers le piqet j. Preos la lige qi correspod a je classiqe (déplacer la pile d piqet a piqet ). O observe qe les valers obtees à rag pair se répètet a rag impair sivat. O pet alors choisir de e garder qe les valers obtees a rag impair et o costrit aisi e site ( ) défiie par.,, O observe alors qe sr les premiers termes, o a la relatio sivate : 4 - ( - ). 4.. Démostratio : Spposos qe la relatio : 4 - ( - ) est vraie et cherchos alors l expressio explicite de. O cherche doc e site qi vérifie : et 4 - ( - ). Cherchos e site de la forme v a b qi vérifie la relatio de récrrece. O a alors : v 4 v - ( - ) Û a b( ) 4( a b) - ( - ) v 4 v - ( -) Û a b b 4a 4b - v 4 v - ( -) Û - a b - b - v 4 ( ) v a b - - Û - - b - v v 4 - ( -) Û { { - a b Atelier MATh.e.JEANS Lycée Codorcet St QENTIN aée 5-6 page 5

6 { { a v - 4 v - ( -) Û b v 4 v - a ( - ) Û b. - - O a aisi : v. Si la relatio de récrrece se limitait à 4, la site géométriqe ( w ) défiie par w l 4 coviedrait. Si o pose 4 w v l - o pet costater qe ( ) vérifie la relatio de récrrece vole. E effet : w v 4w 4 v - ( - ) 4 - ( -). Comme o doit assi avoir, o a alors l et doc l. Aisi, o arait. 4. O porrait doc avoir :,, ( - ) Par aillers, le pricipe de récrrece de l algorithme doat les soltios os doe assi : O e dédit doc qe : A B ( ) A A B B A AB B. æ,, ö æ ö æ,, ö æö ç,, ç ç,, ç ç ç ç ç ç. è ç ø è 44 { ø,,,, ç ç ç,, ç,, ç,,,, ç ç ç,, è ø 4444 è,, ø A B Sr le même modèle qe ce qi a été fait pls hat, avec beacop de calcls, o obtiet : æ ö ç ç 4 6 ç. ç ç è ø æ ö ç ç Por tot etier atrel o ote P 4 6 la propriété : «ç. ç ç è ø» Atelier MATh.e.JEANS Lycée Codorcet St QENTIN aée 5-6 page 6

7 O démotre cette propriété par récrrece. Iitialisatio : æ ö æ ö æö æö ç ç ç ç ç - 6 ç - 6 ç ç ç ç ç ç ç ç ç 4 ç ç 4 ç è - ø è - ø è ø è ø Or et correspod à movemet doc P est vraie. Hérédité : O sppose qe P est vraie. O vet démotrer P c est-à-dire qe : ( ) æ ( ) ö æ 4 6 ö ç ( ) ç 4 ç 4 6( ) ç ç ç. ç ( ) 4 7 ç ( ) ç ( ) ç 4 è ø è ø Or o sait qe : A AB B æ ö æ ö æö æö ç ç ç ç ç ç 4 6 ç ç ç ç ç ç ç ç ç 4 ç ç è ø è - ø è ø è ø æ ö æö ç ç ç ç ç ç ç ç è ç ø è ø æ6 4 6 ö æö ç 8 8 ç ç ç ç ç ç ç ç è - ø è ø æ 4 6 ö ç 4 ç ç. ç ç 4 è ø Doc la propriété est bie héréditaire. Atelier MATh.e.JEANS Lycée Codorcet St QENTIN aée 5-6 page 7

8 Coclsio : La propriété est héréditaire et P est vraie, doc P est vraie por tot etier atrel Aisi, o a doc bie :,,. Aisi, comme le ombre total de movemet de la soltio optimal por aeax est -, la fréqece est doée par : f,,. - Cherchos la limite de f.,, f,, f,, O a : lim lim lim ( ) 4 O a : lim. O a assi : lim. 4 - Fialemet, o a : lim f,,. De même, o a : lim f,,. E coclsio, si le ombre d aeax est pair, la fréqece d apparitio d movemet A por déplacer les aeax d piqet vers le piqet ted vers est impair, cette fréqece ted vers. 4 et si le ombre d aeax Atelier MATh.e.JEANS Lycée Codorcet St QENTIN aée 5-6 page 8