1 ère S Les variables aléatoires

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1 ère S Les varables aléatores I Eemple troductf ) Epérece aléatore cosdérée O lace u dé cubque o truqué O ote le uméro de la face supéreure Pla du chaptre : I Eemple troductf II Défto Vocabulare Coséquece III Lo de probablté IV Idcateurs d ue varable aléatore dscrète V Effet d ue trasformato affe sur ue varable aléatore VI Réalté et modèle VII Appedce : démostrato de la formule de Kœg-Huyges VIII Appedce : focto de répartto d ue varable aléatore ) Règle du jeu S le uméro obteu est égal à, o gage S le uméro obteu est égal à, o perd S le uméro obteu est égal à, 4, 5 ou, o e gage e perd re ) Notatos O ote X le ga algébrque (c est-à-dre postf ou égatf) du joueur e euros X est u ombre réel qu peut predre les valeurs : 0 4 ) Calculs de probabltés O mut l uvers des possbles de la lo d équprobablté P O pose les calculs P X P X P X P "obter le uméro " P X P X P X P X P "obter le uméro " P X 0 P X P X P X P "obter le uméro, 4, 5 ou " 4 P X P X

2 Tableau ) Évéemets élémetares assocés 0 P X Total Pour chaque valeur, l évéemet E : «X pred la valeur» est oté X (évéemet élémetare assocé à ) ) Proprété O peut représeter cette lo de probablté par u dagramme e bâtos (dagramme e bâtos de la lo de probablté) P X X X X Les évéemets X, X costtuet u «système complet d évéemets» de 0 Cela sgfe qu ls sot o vdes, deu à deu dsjots et que leur réuo est égale à III Lo de probablté ) Défto 5 ) Iterprétato Ce tableau déft ue lo de probablté X P ' sur l esemble ' ; ; 0 appelée «lo de probablté» de E assocat à chaque valeur, la probablté p' P X l esemble ' des valeurs prses par X,,,, o déft ue lo de probablté P ' sur, P) X 4 0 ( P ' ) 5 II Défto Vocabulare Coséquece ) Défto Schéma X ) Présetato,P est u espace probablsé Ue varable aléatore réelle est ue focto X défe sur l uvers qu à chaque résultat possble assoce u réel Valeurs possbles de X Probabltés p' p' p' Total p' P X X : 4

3 ) Justfcato,,, 0 p' Les évéemets X X,,, somme de leurs probabltés est égale à O peut écrre P X X formet u système complet d évéemets de doc la P sot p' p' p' p ' p ' p ' 4 ) Notato Cette lo de probablté est otée de P par X) P ' ou plutôt P X (lo de probablté de la varable aléatore X ou lo mage 5 ) Méthode pour détermer la lo de probablté d ue varable aléatore X O déterme l esemble des valeurs prses par X Phrase de rédacto-type : «X pred les valeurs,,» Ce dagramme permet de vsualser la lo de probablté O peut représeter le dagramme e bâtos (ou plutôt le dagrammes e barres) de la lo de probablté de la varable aléatore X O pose les calculs P X P X Précser s l y a équprobablté avat O remplt u tableau (avec les valeurs) P X Total Das u tableau de probabltés, les valeurs e sot pas forcémet doées das l ordre crossat ) Représetato graphque (parfos utlsée) O représete la lo de probablté de la varable aléatore X par u dagramme e bâtos (o suppose que les valeurs sot ragées das l ordre crossat) 5

4 Utlsato de la calculatrce TI 8 avec l eemple du I - retrer les lstes Das la lste L, o met les valeurs de la varable aléatore ( ; ; 0) O remarquera qu l y a pas beso de rager les valeurs das l ordre crossat Das la lste L, o met les probabltés ; ; O met les probabltés correspodat au valeurs lge à lge O tape be /, /, / IV Idcateurs d ue varable aléatore dscrète (Mêmes otatos qu au paragraphe III) ) Espérace mathématque L espérace mathématque de la varable aléatore X est défe par la formule : ou E X P X E X P X (parethèses pour ue melleure lsblté) L 0 L ,7 (O peut repasser e rouge les e dce et das la somme) E X P X P X P X Il s agt de la moyee des valeurs podérée par les probabltés correspodates ) Varace - fare de Y = ou f (graph stats) - chosr : Graph - appuyer sur la touche etrer - clquer sur Aff ou O (calculatrce e aglas ou e fraças ; Aff sgfe «affché») - das Type, sélectoer le graphque avec rectagles accolés Lste X : L Effectfs : (elever le et mettre L) - appuyer sur la touche graphe Par malchace, s la feêtre est mal réglée, o obtet u «carré» de «talle» plus ou mos grade (évetuellemet u pett «carré») Il faut adapter la feêtre Par eemple, pour la lo de probablté de la varable aléatore cosdérée das le I (avec P X P X et P X 0 ), o peut chosr la feêtre suvate : X m X ma 4 Xgrad Y m 0 Y ma Ygrad O obtet pas eactemet le dagramme e bâtos de la lo de probabltés mas plutôt le dagramme à barres (dagramme costtué de rectagles o accolés) La varace de la varable aléatore X est défe par la formule : V X E X P X V X E X P X E X P X E X P X Il s agt de la moyee des carrés des écarts des valeurs par rapport à l espérace podérée par les probabltés correspodates De maère mmédate, o a : V X 0 ) Écart-type L écart-type de la varable aléatore X est défe par la formule : X V X L écart-type est la race carrée de la varace doc la varace est le carré de l écart-type 4 ) Formule de Kœg-Huyges (démotrée au VIII) La varace de la varable aléatore X peut auss se calculer par la formule : V X P X E X 7 8

5 5 ) Eemple (reprse de l eemple du I) Les valeurs prses par X sot,, 0 0 P X Espérace mathématque E X P X X P X P X X E P 4 E X 0 E X 4 Total Avec la formule de Kœg-Huyges V X P X E X 4 V X 0 V X 9 Lorsque l o répète l epérece aléatore u très grad ombre de fos, la varace se rapproche de 9 Écart-type X V X X 9 ) Vocabulare O se place das le cas d u jeu O ote X le ga algébrque du joueur Das la somme, les ombres et se réfèret au dces des valeurs prses par X, que ous avos otées,, Le plus pett dce est Le plus grad dce est Lorsque l o répète l epérece aléatore u très grad ombre de fos, le ga moye est égal à (l s agt d ue lmte comme o le verra e Termale) Varace Avec la défto V X E X P X 4 V X 0 V X 9 L espérace de X est doc la moyee des gas podérés par les probabltés Lorsque E X 0, o dt que le jeu est hoête ou équtable Lorsque E X 0, o dt que le jeu est favorable au (ou à l avatage du) joueur Lorsque E X 0, o dt que le jeu est défavorable au (ou au désavatage du) joueur 7 ) Remarques Pour calculer la varace «à la ma», l est préférable d utlser la formule de Kœg-Huyges Les calculs sot mos fastdeu O démotre asémet que l espérace d ue varable aléatore est toujours comprse etre la plus pette et la plus grade valeur prse par la varable aléatore O démotre asémet que l écart-type d ue varable aléatore est toujours féreur ou égale à la dfférece etre la plus pette et la plus grade valeur prse par la varable aléatore O peut utlser la calculatrce pour calculer l espérace, la varace et l écart-type d ue varable aléatore X O procède de la même maère que pour ue sére statstque «ormale» e remplaçat les effectfs par les probabltés O utlse les lstes 9 0

6 Sur calculatrce TI 8 O appue sur la touche stats O utlse EDIT : Edte O retre pour cela les valeurs das la lste L et les probabltés das la lste L L 0 L ,7 O appue à ouveau sur la touche stats O utlse CALC -VarStats L, L ou : Stats -Var L,L (la vrgule est très mportate) O appue esute sur etrer L espérace correspod à la moyee de la sére statstque L écart-type correspod à l écart-type de la sére statstque D autres paramètres que ous utlseros pas cette aée apparasset égalemet Sur calculatrce TI-8 Plusfr (modèle or) O procède de la même maère sauf pour les calculs Après avor sélectoé CALC, o obtet u écra que l o complète comme sut : -VarStats Lst : L FreqLst : L Calculate O desced sur Calculate pus o appue alors sur etrer Sur calculatrce TI-8 Premum-CE O procède de la même maère sauf pour les calculs Après avor sélectoé CALC, o obtet u écra que l o complète comme sut : -VarStats XLste : L LstFréq : L Calculer O desced sur Calculer pus o appue alors sur etrer Atteto, o obtet L e tapat de et L e tapat de Das otre eemple troductf, O tape be /, /, / O obtet : ( ère lge) : l s agt de l espérace mathématque (moyee) ; 5, (5 e lge) : l s agt de l écart-type Sur la e lge, o lt : = Il s agt de la somme des valeurs Elle est égale à la moyee car la somme des coeffcets vaut Sur la e lge, o lt : ou 00 À quo correspod ce? Il correspod au total des probabltés (qu sot das L) O sat que la somme des probabltés dot toujours être égale à E statstques, lorsque l o retre les effectfs das L, la valeur de correspod à l effectf total de la sére (dem pour les fréqueces dot la somme vaut ) Cela e ous sert pas Cela ous permet juste de vérfer que l o e s est pas trompé e retrat les probabltés La calculatrce e doe pas la varace Néamos, s o e a beso, o peut élever au carré le résultat de l écart-type Atteto cepedat à be garder e tête le fat qu l s agt de valeurs approchées doc o utlsera davatage la calculatrce pour vérfer Avec les lstes, l y a u moye d obter la varace (aller das lstes, pus MATH et sélectoer 8 : varace( ) Pour effacer les lstes, stats > 4 : EffLste > de stats (lstes) > L ou L - o retre les valeurs possbles de X das la lste L (,, 0) ; - o retre les valeurs des probabltés das la lste L (,, )

7 8 ) Iterprétato «cocrète» de l espérace et de la varace d ue varable aléatore Le om «espérace mathématque» est ssu du lagage des jeu L espérace de ga s terprète comme la moyee des gas obteus e répétat le jeu u grad ombre de fos (vor le paragraphe VII) Le jeu est favorable au joueur s so espérace de ga est u ombre strctemet postf, et défavorable au joueur s c est u ombre strctemet égatf Lorsque l espérace est ulle, o dt que le jeu est équtable L écart-type du ga mesure la dsperso des gas autour de cette moyee ; plus l est grad, plus le degré de rsque du jeu est grad L espérace d ue varable aléatore est facle à terpréter L espérace correspod à la moyee «théorque» s o joue u grad ombre de fos Das l eemple du I, o a trouvé que l espérace mathématque de la varable aléatore X correspodat au ga est de C est la moyee des gas possbles podérés par les probabltés O peut terpréter ce résultat e dsat que, s l o joue u très grad ombre de fos, o va obter ue moyee des gas de plus e plus proche de euro ; autremet dt, o perdra euro e moyee s l o joue ue «fté» de fos à ce jeu La varace ou l écart-type est plus dffcle à terpréter La varace ou l écart-type (l u est lé à l autre) mesure la dsperso des valeurs par rapport à l espérace L écart-type fourt ue «fourchette» das laquelle vare la moyee epérmetale Ce pot, lé à la fluctuato d ue moyee, e sera pas développé au veau du lycée Cette aée, ous ous coteteros de calculer la varace ou l écart-type d ue varable aléatore sas chercher à terpréter le résultat E revache, ous ous servros parfos de l écart-type pour comparer des jeu ayat la même espérace de ga 9 ) Utés L espérace et l écart-type sot das la même uté que les valeurs La varace est das l uté des valeurs au carré O écrt pas les utés pour des varables aléatores V Effet d ue trasformato affe sur ue varable aléatore ) Proprété X est ue varable aléatore défe sur u uvers probablsé (, P) a et b sot deu réels (ce sot des coeffcets costats) O a : E ax b ae X b (léarté de l espérace) V ax b a V X ax b a X O otera que les formules de la varace et de l écart-type e dépedet pas de b ) Démostrato O repred les otatos tradtoelles O pose Y ax b P X p p p Total Y pred les valeurs y a b, y a b y a b avec les probabltés p, E Y y P Y y E Y a b p a p bp E Y E Y a p b p (o sépare la somme e deu) E Y a p b p E X (o «sort» ce qu e déped pas de, c est-à-dre que l o utlse la proprété de dstrbutvté pour mettre a et b e facteur das chaque somme ; s l o e vot pas be, o peut auss écrre les sommes e eteso) E Y ae X b V Y y E Y P Y y a b ae X V Y b p Y V a ae X p V Y a E X p V Y a E X p a V X V Y p p 4

8 Y V Y Y a V X Y a V X Y a X Autre démostrato possble pour la varace : V Y E Y E Y O utlse ) Eemple Preos a et b Les formules s écrvet : pus o développe E X E X (léarté de l espérace) 9 V X V X X X 4 ) Le avec les statstques La proprété de léarté de l espérace correspod à la proprété de léarté de la moyee étudée e statstques La proprété sur la varace pour les varables aléatores correspod à la même proprété pour les séres statstques O applque drectemet la proprété (o e refat pas la démostrato) Stuatos-types : O cosdère ue epérece aléatore O ote X le ga algébrque e euros pour u jeu assocé à cette epérece aléatore O suppose que l o a calculé l espérace et la varace de X Stuato : O double tous les gas O ote Y le ouveau ga e euro O a doc : Y X O peut écrre Y X 0 5 Pour coaître l espérace et la varace de Y, o peut applquer drectemet la formule avec a et b 0 sas fare de calculs E Y E X V Y V X O obtet et Stuato : O ajoute à tous les gas O ote Y le ouveau ga e euro O a doc : Y X O peut écrre Y X Pour coaître l espérace et la varace de Y, o peut applquer drectemet la formule avec a et b sas fare de calculs E Y E X V Y V X O obtet et Stuato (stuato hybrde) : O double tous les gas et o ajoute à tous les gas O ote Y le ouveau ga e euro O a doc : Y X Pour coaître l espérace et la varace de Y, o peut applquer drectemet la formule avec a et b sas fare de calculs E Y E X V Y 4V X O obtet et Stuato 4 : O élève tous les gas au carré O ote Y le ouveau ga e euro O a doc : Y X Cette stuato e retre pas das le cadre de la formule Il y a pas de formule correspodat à cette stuato Il faut refare tous les calculs VI Réalté et modèle ) Iterprétato de l espérace, varace et écart-type d ue varable aléatore O cosdère ue epérece aléatore E modélsée par u uvers probablsé (, P) O cosdère ue varable aléatore réelle X défe sur attachée à l epérece aléatore Pour chaque réalsato de l epérece, o peut relever la valeur prse par la varable aléatore X (valeur observée) Chaque valeur déped du hasard Lorsque l o répète fos cette epérece aléatore, o obtet des échatllos de résultats O peut calculer la moyee, la varace et l écart-type de ces échatllos Pour le modèle (, P), la fréquece de chaque résultat ted vers la probablté lorsque le ombre de répéttos augmete Doc, lorsque augmete, la moyee, la varace et l écart-type des échatllos se rapprochet de l espérace, la varace et l écart-type de X

9 Cette remarque permet d terpréter et de porter ue apprécato sur les résultats du calcul des paramètres d ue varable aléatore ) Fluctuato La fluctuato des dfféretes fréqueces des résultats etraîe ue fluctuato de la moyee des échatllos autour de l espérace as que de l écart-type des échatllos autour de l écart-type Nous admettros que la varace et l écart-type servet à étuder la fluctuato de la moyee des échatllos autour de l espérace ) Smulatos de varables aléatores O peut réalser des smulatos de varables aléatores à l ade de tables au hasard ou à l ade d outls (calculatrce ou ordateur) Nous réalseros cette aée e eercces des smulatos de varables aléatores sur tableur et sur calculatrce à l ade de programmes (avec écrture au préalable d algorthmes de smulato) 4 ) Correspodace de termes etre statstques et probabltés statstques probabltés moyee espérace mathématque (vet du vocabulare du XVII e sècle) écart-type et varace écart-type et varace VII Appedce : démostrato de la formule de Kœg-Huyges P X p p p Total () doe (detté remarquable) : V X E X E X p O sépare la somme e sommes V X p p E X p E X S S S O e touche pas à S E revache, das S, o «sort» le et E X qu sot des costates Quat à S, o sort E X qu est ue costate V X p E X p E X p EX p E X E X V X p E X V X VIII Appedce : focto de répartto d ue varable aléatore Das ce paragraphe, ous allos préseter ue focto très mportate attachée à ue varable aléatore Nous allos vor sa défto, appedre à la détermer et à la représeter Nous verros so utlsato das u autre chaptre () E X p ) Défto O cosdère ue varable aléatore X attachée à ue epérece aléatore modélsée par ue probablté P O appelle focto de répartto de X la focto F défe sur par F P X () V X p E X V X E X p Démotros que : F est égale à la probablté que X pree ue valeur féreure ou égale à La défto de la focto F est pas évdete à compredre ; o pourra oter la place de la varable F P X repassée e rouge das le premer et le secod membre de l égalté 7 8

10 La focto de répartto d ue varable aléatore X est tradtoellemet otée F X ou plus smplemet, comme cela est fat das le cours, F ) Eemple (reprse de l eemple du I) Par commodté, o a ordoé les valeurs de X das l ordre crossat S, alors F P X P X P X 0 P X E effet, das ce cas, les valeurs possbles de X féreures ou égales à sot 0,, La focto F est ue focto «e escaler» ou «costate par tervalles» Il est de même pour la focto de répartto d ue varable aléatore dscrète Il faut se souver que : 0 P X Total X pred les valeurs, 0 et (o dt que X est ue varable aléatore dscrète, c est-à-dre qu elle pred u ombre f de valeurs) ; X désge l évéemet «X pred ue valeur féreure ou égale à» O a dt que, das u tableau de probabltés, les valeurs e sot pas forcémet doées das l ordre crossat E revache, l est essetel de les ordoer das l ordre crossat pour détermer la focto de répartto O cherche la focto de répartto F de X F est défe par F P X Calculos par eemple F4, 5 F4, P X 4, P X P X 0 Passos au gééral X peut predre tros valeurs :, 0 et O va dstguer 4 cas suvat les valeurs de S, alors l évéemet X strctemet féreurs à Doc F 0, alors l évéemet X S 0 Doc F P X, alors l évéemet X S 0 Doc F P X P X P X 0 S est l évéemet mpossble pusque X e pred pas de valeurs 5, alors l évéemet X supéreures à Doc F est réalsé que lorsque X pred la valeur est réalsé que lorsque X pred la valeur ou la valeur 0 est l évéemet certa pusque X e pred pas de valeurs strctemet O récaptule l étude : 0, alors F P X 0, l évéemet X S E effet, lorsque que peut predre X est l évéemet mpossble car est la valeur la plus pette S 0, alors F P X P X E effet, das ce cas, la seule valeur possble de X féreure ou égale à est 5 S 0, alors F P X P X P X 0 E effet, das ce cas, les seules valeurs possbles de X féreures ou égales à sot 0 et O peut représeter graphquemet F S, alors S 0 S 0 S F 0, alors F, alors F F, alors 5 9 0

11 J 5 O I F est ue focto costate par tervalles La représetato graphque de F est du même type que celle présetée das l eemple du ) De maère géérale, o peut écrre : F P X 4 ) Pot-méthode tel que Pour détermer ue focto de répartto, o présete les résultats de la même maère que das l eemple du ) e dstguat des cas O doe les valeurs de la focto suvat les tervalles O retedra la rédacto pour ue focto de répartto doée das l eemple du ) 5 ) Proprété La représetato graphque de F est costtuée de deu dem-drotes (l ue ouverte, l autre fermée) et de deu segmets fermés «à gauche» et ouverts «à drote» O prêtera ue atteto etrême au pots d arrêt sur le graphque (l y a pas de pot d arrêt à gauche à drote) La focto F présete tros dscotutés e, 0 et La focto F est crossate ) Cas gééral O cosdère ue varable aléatore X défe sur u espace probablsé, P qu pred les valeurs,, avec O suppose que la lo de probablté de X est doée das le tableau suvat p' p' p' Total La focto de répartto F de X est la focto défe sur par : Éocé : O repred les otatos du ) Sot a et b deu réels quelcoques tels que a b () P a X b P X b P X a Fb Fa () P X a P X a Fa O otera be les égaltés larges ou strctes strct a X b large Das cette proprété (otammet das la formule avec Fb Fa ), les lettres a et b ot pas de rapport avec celles qu ot été trodutes das le paragraphe VI pour l espérace, la varable et l écart-type de ax b S, alors F 0 S, alors F p ' S, alors F p ' p ' S 4, alors F p ' p ' p ' S, alors F p ' p ' p ' Démostrato : égalté () O a : a X b X b \ X a Or X a X b car a b (la barre \ sgfe «prvé de») F F Doc P a X b P X b P X a b a

12 O applque la proprété géérale des probabltés : S A et B sot deu évéemets tels que A B, alors P B \ A P B P A Compéteces Savor établr la lo de probablté d ue varable aléatore B Savor calculer l espérace d ue varable aléatore Savor terpréter l espérace lorsque elle est ulle et lorsque elle est o ulle (comme ga moye lorsque l o répète l epérece aléatore u très grad ombre de fos) A Savor terpréter de maère théorque la varace comme moyee des carrés (mas pas de maère cocrète) égalté () L évéemet cotrare de X a est X a Savor calculer l écart-type d ue varable aléatore (pas de questo sur l terprétato du résultat) Savor utlser les règles sur l effet d ue trasformato affe sur l espérace, la varace et l écart-type D où le résultat 4 ) Appellato aglase La focto de répartto d ue varable aléatore est appelée «cumulatve dstrbuto fucto», e abrégé «cdf» La focto doat la lo de probablté d ue varable aléatore est appelée «probablty dstrbuto fucto» ou «probablty desty dstrbuto», e abrégé «pdf» Ces appellatos sot utlsées sur les calculatrces e aglas Il est pas possble de fare apparaître la représetato graphque de la focto de répartto d ue varable aléatore 4

13 Hstore des sceces Chrstaa Huyges (9-95), grad scetfque holladas, ecellat e mathématques, physque et astroome Il est à l orge de ombreuses avacées et découvertes das chacu de ces domaes Das Systema Saturum, l décrt sa découverte du cquème satellte de Sature Il est u des premers à compredre que la lumère est ue ode E 57, l écrt l u des premers ouvrages sur les probabltés : De ratocs ludo aleae qu sgfe «À propos du calcul das les jeu de hasard» Il y trodut, etre autres, la oto fodametale d espérace mathématque Complémet culturel Voltare a créé sa fortue avec l ade du mathématce La Codame, grâce à ue lotere mal coçue Ils avaet calculé que le motat des gas état supéreur au pr de tous les bllets d u seul trage Ils achetèret doc ces derers Sources : - Savor Iutle ( - Wkpeda Voltare - Passo Lettres ( : artcle «Voltare et les égrers» La Lotere Il egage so arget das la Lotere (créée e 78 et 79) Avec le mathématce La Codame, l crée ue socété, avec des oms fatasstes et achète tous les bllets d u seul trage La Codame avat calculé qu u seul trage (mesuel) rapportat u mllo L opérato état parfatemet légale, je précse! 5

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