Loi normale Échantillonnage et estimation

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1 Loi ormale Échatilloage et estimatio Christophe ROSSIGNOL Aée scolaire 2014/2015 Table des matières 1 Rappels sur la loi biomiale Épreuve de Beroulli Schéma de Beroulli Loi biomiale Loi ormale Courbe «e cloche» Loi ormale Approximatio d ue loi biomiale par ue loi ormale Échatilloage Estimatio Défiitio Utilisatio Échatilloage Prise de décisio Itervalle de cofiace Table des figures 1 U exemple d épreuve de Beroulli U exemple de Schéma de Beroulli Courbes «e cloche» Loi ormale de paramètres µ et σ Itervalle de fluctuatio Liste des tableaux 1 Utilisatio de la calculatrice ou du tableur pour ue loi biomiale Utilisatio de la calculatrice ou du tableur pour ue loi ormale Ce cours est placé sous licece Creative Commos BY-SA 1

2 1 RAPPELS SUR LA LOI BINOMIALE 1 Rappels sur la loi biomiale 1.1 Épreuve de Beroulli Défiitio : O appelle épreuve de Beroulli toute épreuve à deux issues possibles : u succès (oté S) ou u échec (oté S). La probabilité d u succès p = P (S) est appelé paramètre de l épreuve de Beroulli. Exemple : O lace u dé équilibré à six faces, les faces état umérotés de 1 à 6. O cosidère qu il y a u succès lorsque le résultat du lacer est u 6, u échec sio. Il s agit d ue épreuve de Beroulli de paramètre 1 6. O peut la représeter par l arbre de la figure 1. Figure 1: U exemple d épreuve de Beroulli 1.2 Schéma de Beroulli Loi biomiale Défiitio : O appelle schéma de Beroulli l expériece cosistat à répéter fois de maière idépedates la même épreuve de Beroulli de paramètre p. La loi biomiale de paramètres et p est la loi de probabilité de la variable aléatoire X preat preat comme valeurs le ombre de succès (S) obteus au cours des épreuves du schéma de Beroulli. O dit aussi que loi loi de probabilité de la variable aléatoire X suit la loi biomiale de paramètres et p. Exemple : O répète 2 fois de maière idetiques et idépedates l épreuve de Beroulli de l exemple précédet. O ote X la variable aléatoire qui doe le ombre de 6 obteus. X suit la loi biomiale de paramètres 2 et 1 6. Le schéma de Beroulli correspodat est doé sur la figure 2. O a alors : P (X = 0) = P ( S S) = = P (X = 1) = P ( S S ) + ( ) SS = = 5 P (X = 2) = P (SS) = = 1 36 Remarques : = Si X suit la loi biomiale de paramètres et p, X pred les valeurs 0, 1, 2,...,. 2. O peut toujours représeter u schéma de Beroulli par u arbre pour calculer P (X = k). Mais si est grad, cela peut être fastidieux... O peut alors utiliser la calculatrice ou le tableur. Voir tableau 1. Propriété : Soit X ue variable aléatoire suivat la loi biomiale de paramètres et p. L espérace de cette variable aléatoire est E (X) = p. Exercices : Exercices 1, 2 de la feuille polycopiée «Exercices - loi biomiale». 2

3 2 LOI NORMALE Figure 2: U exemple de Schéma de Beroulli Table 1: Utilisatio de la calculatrice ou du tableur pour ue loi biomiale 2 Loi ormale Activité : Exercice 3 de la feuille polycopiée «Exercices - loi biomiale». 2.1 Courbe «e cloche» Le diagramme e bâtos d ue loi biomiale de paramètres et p, lorsque est très grad et que p est proche i de zéro i de 1, peut être approché par ue courbe «e cloche» (voir figure 3). Cette courbe «e cloche» a les propriétés suivates : Propriétés : Courbe «e cloche» C est la courbe représetative d ue foctio défiie sur R. L aire totale comprise etre la courbe «e cloche» et l axe des abscisses vaut 1. Elle déped de deux paramètres ommés µ (mu) et σ (sigma). µ est appelé espérace et σ est appelé écart-type. Elle admet comme axe de symétrie la droite d équatio x = µ (voir figure 3). Plus σ est élevé, plus la courbe est «écrasée» autour de l axe des abscisses (voir figure 3). Remarque : O va défiir, à l aide de ces courbes «e cloche», ue ouvelle loi de probabilité, pour des variables aléatoires preat toutes les valeurs réelles. 3

4 2.2 Loi ormale 2 LOI NORMALE Figure 3: Courbes «e cloche» 2.2 Loi ormale Défiitio : O cosidère ue courbe «e cloche» de paramètres µ et σ et X ue variable aléatoire preat toutes les valeurs réelles. O dit que X suit la loi ormale de paramètres µ et σ si, pour tout ombres a, b, avec a < b : La probabilité P (a X b) que la variable aléatoire pree des valeurs das l itervalle [a ; b] est égale à l aire du domaie compris etre l axe des abscisses, la courbe «e cloche» et les droites verticales d équatios x = a et x = b. (voir figure 4a) La probabilité P (X b) que la variable aléatoire pree des valeurs das l itervalle [b ; + [ est égale à l aire du domaie compris etre l axe des abscisses, la courbe «e cloche» et situé à gauche de la droite verticale d équatio x = b. (voir figure 4b) La probabilité P (X a) que la variable aléatoire pree des valeurs das l itervalle ] ; a] est égale à l aire du domaie compris etre l axe des abscisses, la courbe «e cloche» et situé à droite de la droite verticale d équatio x = a. (voir figure 4c) (a) P (a X b) (b) P (X b) (c) P (X a) Figure 4: Loi ormale de paramètres µ et σ Remarques : 1. La foctio dot la courbe représetative est la courbe «e cloche» est alors appelé foctio de desité. 2. O a alors P (X = a) = P (a X a) = 0 doc P (X > a) = P (X a). Les iégalités peuvet être otées idifféremmet larges ou strictes, cela e chage pas le probabilités. 3. Par u raisoemet graphique simple, o obtiet les propriétés suivates : Propriété : Soit X ue variable aléatoire qui suit la loi ormale de paramètres µ et σ. P (X µ) = P (X µ) = 0, 5 P (X a) = 1 P (X < a) = 1 P (X a) P (a X b) = P (X b) P (X < a) = P (X b) P (X a) Remarque : O utilisera la calculatrice pour détermier des probabilités de variables aléatoires suivat ue loi ormale (voir tableau 2). Exercices : 2, 3 page , 9 page page 139 ; 12 page 140 et 28, 29 page [Itervalle] 1. Utilisatio de la courbe. 2. Utilisatio de la calculatrice. 3. Applicatios. 4

5 3 ÉCHANTILLONNAGE ESTIMATION 2.3 Approximatio d ue loi biomiale par ue loi ormale Propriété : Itervalle de fluctuatio (voir figure 5) Soit X ue variable aléatoire qui suit la loi ormale de paramètres µ et σ. O a alors : P (µ 2σ X µ + 2σ) 0, 95 Figure 5: Itervalle de fluctuatio Remarque : Cela sigifie qu eviro 95 % des valeurs prises par X sot das l itervalle [µ 2σ ; µ + 2σ]. Exercices : 5, 6 page [Itervalle] 2.3 Approximatio d ue loi biomiale par ue loi ormale Si est très grad et que p est proche i de zéro i de 1, la loi biomiale de paramètres et p peut être approchée par la loi ormale de paramètres µ = p et σ = p (1 p). 3 Échatilloage Estimatio 3.1 Défiitio Utilisatio Rappel : O appelle échatillo de taille la série statistique formée des résultats obteus lorsqu o répète fois ue expériece das les mêmes coditios. Les distributios de fréqueces variet d u échatillo à l autre pour la même expériece. C est ce qu o appelle la fluctuatio d échatilloage. Même pour des échatillo de même taille, la distributio de fréqueces peut varier. Lorsque la taille de l échatillo augmete, les distributios de fréqueces ot tedace à se stabiliser. Remarque : Comme o répète das les mêmes coditios ue expériece fois, o peut assimiler cet échatillo à ue loi biomiale de paramètres et p, où p est la proportio du caractère étudié das la populatio totale. La distributio de fréquece de cet échatillo peut alors être assimilée à la loi de fréquece F. Défiitio : Soit X ue variable aléatoire qui suit le loi biomiale de paramètres et p et F = X la fréquece de succès. O dit que l itervalle I est u itervalle de fluctuatio de F au seuil de 95 % si : P (F I ) 0, 95 Remarque : O utilise doc les itervalles de fluctuatio das les deux cas suivats : o coaît la proportio p de présece du caractère das la populatio ; o fait ue hypothèse sur la valeur de cette proportio et o veut valider (ou ivalider) cette hypothèse (o parle alors de prise de décisio). 4. Itervalle de fluctuatio. 5

6 3.2 Échatilloage Prise de décisio RÉFÉRENCES 3.2 Échatilloage Prise de décisio Propriété : Soit u caractère dot la proportio das ue populatio doée est p. O cosidère u échatillo de taille. Si 30, p 5 et (1 p) 5, l itervalle : [ I = p 1 ; p + 1 ] est u itervalle de fluctuatio au seuil de 95 %. O cosidère ue populatio das laquelle o suppose que la proportio d u caractère est p. O observe la fréquece f obs de ce caractère das u échatillo de taille et o cosidère l hypothèse «la proportio de ce caractère das la populatio est p». [ ] O cosidère que les coditios 30, p 5 et (1 p) 5 sot remplies et o ote I = p 1 ; p + 1 l itervalle de fluctuatio au seuil des 95 %. O a alors la règle de décisio suivate : Si f obs I : o cosidère que l hypothèse est pas remise e questio et l o accepte au seuil de risque de 5 % ; Si f obs / I : o rejette l hypothèse au seuil de risque de 5 % (ce qui sigifie que le risque d erreur par rejet à tort de l hypothèse est d eviro 5 %). Exercices : 13, 14 page 140 et 31, 32 page [Itervalle] 3.3 Itervalle de cofiace O cosidère maiteat le cas où la proportio p du caractère das la populatio totale est icoue. O veut estimer p à l aide d u échatillo de taille, et o supposera que les coditios 30, p 5 et (1 p) 5 sot remplies. Défiitio : O observe ue fréquece f obs sur u échatillo de taille. [ O appelle itervalle de cofiace de p au iveau de cofiace de 95 % l itervalle f obs 1 ; f obs + 1 ]. Remarques : Cela sigifie que la proportio icoue a plus de 95 % de chaces de se trouver das cet itervalle. Exercices : 15, 16 page 140 ; 33 page 145 et 34 page [Itervalle] Référeces [Itervalle] Collectio Itervalle, Mathématiques, programme 2013, Term STMG, Natha, , 5, 6 5. Échatilloage, prise de décisio. 6. Itervalle de cofiace. 6

7 RÉFÉRENCES RÉFÉRENCES Table 2: Utilisatio de la calculatrice ou du tableur pour ue loi ormale 7