15 Droites et plans dans l espace

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1 chapire 5 roies e plans dans l espace civiés (page ) TVTÉ Eemple : On résou le sysème formé de [] e [] : y = z = + y z,, + y= + z + y z= + z = + y z 5 + z = z, y = z y = Par subsiuion dans [] : z + z z =, d où : z =, puis = -- e y = -- (S) adme le riple -- ; -- ; pour unique soluion Eemple : L + L : + y = L + L : = où =, y =, z = S il eise des soluions, alors seul le riple (; ; ) peu en êre une Réciproquemen, le riple (; ; ) es bien soluion insi (S) adme le riple (; ; ) pour unique soluion Eemple : Par la méhode de auss, (S) équivau à : y + z = = 5y z= 7 soi y = z = z = insi (S) adme le riple (; ; ) pour unique soluion Travau dirigés (page 5) T a) barycenre de (, ), (, ), (, ), (, ) es aussi celui de (, ), (K, ) (règle d associaivié) insi O = -- K b) Même raisonnemen pour les aures médianes : es siué au rois quars de chacune d elles en paran du somme a) barycenre de (, ), (, ), (, ), (, ) es aussi celui de (, ), (J, ) (règle d associaivié) insi es le milieu de la bimédiane [J] b) Même raisonnemen pour les aures bimédianes d où le résula a) UP = -- équivau à P es le barycenre de 5,,, donc de (, ), (, ) 5 --, 5 -- e même, Q es celui de (, ), (, ) b) es le barycenre de (P, 5), (Q, ) (règle d associaivié), donc (PQ) e même, R es le barycenre de (, ), (, ) e S celui de (, ), (, ), donc es le barycenre de (R, 5), (S, ) ; ainsi (RS) insi (PQ) e (RS) son sécanes en es le milieu de []; on noe J le barycenre de (, ), (, ); es le barycenre de (, ), (J, 7) (nouvelle uilisaion de la règle d associaivié) hap 5 roies e plans dans l espace

2 insi J () e J (); () e () son sécanes en J el que UJ = -- 7 Méhode P m a pour coordonnées --m ; --m ; m où une représenaion paramérique du lieu de P m : R P J Q S X m = --m Y m = --m, m [ ; ] = m Z m e lieu es le segmen d erémiés les poins (; ; ) e -- ; -- ; T On vérifie aisémen que J = e on rerouve que le lieu de P m es [J] a) Lorsque m =, = O b) Lorsque m =, es le barycenre de (O, ), (, ), (, ), (, ) O O + O + O O = z, d où O O + O O =, donc O = Z c) Pour ou réel m de [ ; ], P m O + mp m + mp m mp m = z, d où P m O + mo m m P m = z, soi PO m = me insi PO m = m O, m [; ] Le lieu de m es le segmen [O ] Méhode Pour ou réel m de [; ], d après le héorème d associaivié, P m es le barycenre de (, m), (F, m), (, m), donc P m (F) Par une nouvelle applicaion du héorème d associaivié, P m es le barycenre de (J, m), (, m) soi de (J, m), (, m) myp m J + ( m)op m = z, d où m(yp m J OP m ) + OP m = z, donc OP m mej = z Pour ou H réel m de [ ; ], J F OP m = mej E donc le lieu de P m es le segmen [J] T + y = a) Γ : (immédia) z = b) M(; y; z) V OVM V = insi V : ( m)(m a) + (y n)(n b) + z( c) = Or, m + n =, donc V : (m a) + (n b)y cz + am + bn = a) : ( a) by cz + a = ; J : a + ( b)y cz + b = ; K : a ( + b) y cz b = ( a) by cz = a b) a + ( b)y cz= b a ( + b)y cz = + b où les coordonnées de F m+ a n+ b m a RFV e V a + b n b c c a y= b équivau à a + b z = c d où RFV V =, puisque m + n = ; ainsi pour ou poin V de Γ, F V

3 orrigés des eercices Maîriser le cours (page 8) aracérisaions barycenriques a) = -- b) = -- c) = 5 a) α = 5, β = b) α =, β = c) α =, β = essin : : barycenre de (, 5), (, ); : barycenre de (, ), (, ); : barycenre de (, ), (, 5) essin : : barycenre de (, ), (, ); : barycenre de (, ), (, ); : barycenre de (, ), (, ) a) =, y = b) = --, y = a) α =, β =, γ = b) α =, β =, γ = c) α =, β =, γ = d) α =, β =, γ = 6 orrigé dans le manuel 7 décri le segmen [] après le héorème d associaivié, M es le J barycenre (, ), (, ) M K donc le milieu de [] M = -- E donc M es l image de dans l homohéie h de cenre e de rappor -- Le lieu du poin M es l image de [] par h c es-àdire le «segmen des milieu» [JK] 8 α =, β =, γ = es le barycenre de (, ), (, ), donc λ = 9 a =, b =, c =, d = a) : barycenre de (, ), (, ) avec cenre de gravié de onc es le milieu de [] b) : barycenre de (J, ), (, ), (, ) avec J milieu de []; : barycenre de (K, ), (, ) avec K milieu de [J] insi R = RK onc es le symérique de par rappor à K c) : barycenre de (P, ), (, ), (, 6) avec P barycenre de (, ), (, ); :barycenre de (Q, 6), (, 6) avec Q milieu de [P] onc es le milieu de [Q] P RE = a donc E es le barycenre de (, a), (, a) e même, F es le barycenre de (, a), (, a) a) Soi le barycenre de (, a), (, a), (, a), (, a) après le héorème d associaivié, es le barycenre de (E, ), (F, ) onc = H, milieu de [EF] b) Mais H es aussi barycenre de (, a), (J, a), donc, J e H son alignés a) M + M + M = z; M es l isobarycenre de,, donc M () K J Q M hap 5 roies e plans dans l espace 5

4 b) M + M + M = z; M es le barycenre de (, ), (, ), (, ) donc M () Représenaion paramérique d une droie = a) d : y= +, = b) d : y = +, z = = a) ( ) : y = +, = b) [ ] : y = +, [ ; ] = c) [) : y = +, [ ; + [ = + d) [) : y = +, [ ; + [ + 5 a) (E ) : demi-droie d origine ( ; ; ) dirigée par zu( ; ) b) (E ) : segmen [] avec ( ; ; ) e ( ; ; ) c) (E ) : segmen [ ] avec ( ; ; ) e ( ; ; ) Noe : ce segmen es le symérique de [] par rappor à d) (E ) : demi-droie d origine ( ; ; ) dirigée par le veceur zu( ; ; ) 6 au( ; ; ), (; ; ) d, ( = ), d M( ; 5; ) M 7 orrigé dans le manuel 8 = a) d : y=, z = 9 = + b) d : y =, z = c) d : y=, z = Oui : d = (; zu) avec zu(; ; ) e ( ; ; ); d a pour veceur direceur eu = zu e d, s = --, donc d = d Les droies (J) e () on pour représenaions paramériques = = --s + (J) : y = --, ; () : y =, s z= z= s La résoluion du sysème condui à : s = = insi (J) e () son sécanes au poin K( ; ; ) ans le riangle EH, ij = -- RE soi ij = -- Y insi les poins,,, J son coplanaires e J es un rapèze de bases [] e [J], donc (J) e () son sécanes en un poin K E J H Remarque : (J) e () son conenues respecivemen dans les plans (EH) e (H) sécans suivan la droie (H) donc K apparien aussi à (H) onsidérons l homohéie h de cenre e de rappor elle que H La droie () a pour image sa parallèle passan par H c es-à-dire (H) ; ainsi l image de es à l inersecion de () e (H), c es donc K où ZHK = Z = ZH ; ainsi H es le milieu de [K] d = (; au) avec au(; ; ) e ( ; ; ) d a pour veceur direceur eu = -- au e d,( = ), 6 donc d = d F K 6

5 + (K) : y = --, z= = --s + (FJ) : y= s, s z= s+ + = --s + -- = s n a pas de soluion = s+ onc (K) e (FJ) ne son pas sécanes Or EK( ; ; ) e FJ -- ; ; ne son pas colinéaires, donc (K) e (FJ) ne son pas parallèles onc, J, K, L son non coplanaires ans le riangle, uj = -- R; donc uj = -- RFH insi H (JF) e K (JF) e nersecions de plans e de droies a) in (; ; ) e in (; ; ) ne son pas colinéaires donc e son sécans + d : y= +, d = (; au) avec (; ; ) e au( ; ; ) b) in ( ; ; ) e in (; ; ) ne son pas colinéaires, donc e son sécans = + d : y = + 7, d = (; au) avec (; 7; ) e au( ; ; ) 5 = + -- d :, y = -- a) d e d on même veceur direceur au(; ; ) b) ( ; ; ) d mais d, donc d es sricemen parallèle à d 5 orrigé dans le manuel 6 nersecion : de e de (O; ai) : (; ; ); de e de (O; aj ) : J(; ; ); de e de (O; a) : K(; ; 6) 7 a) (; ; ), an(; ; ) d où an = Puisque an, d e son sécans en = y = z = + + y+ z= = -- = onc (; ; ) y = z = b) au(; ; ), an -- ; -- ; -- d où au an = Puisque au an, d e son sécans en + = y = = onc (; ; ) z = y = + y z= 6 z = 8 a) an(; ; ), au(; ; ); au an = 5 d e son sécans en ( ; ; ) b) an(; ; ), au(; ; 8); au an = d e son parallèles Or (; ; ) d e, donc d = Ø 9 a) d : droie passan par ( ; ; ) e dirigée par au(; ; ); : plan d équaion + y z = de veceur normal an(; ; ) b) au an = e plus, d e, donc d es sricemen parallèle à L ensemble des soluions du sysème es = Ø Par subsiuion des rois premières équaions dans la quarième, =, donc (S) n a pas de soluion a) Un seul poin commun : (; ; ) b) Un seul poin commun : J( 8; ; ) 7 = -- 5 a) Une droie commune d : y = --, 5 7 = b) Une droie commune d : y = --, 5 a) = Ø b) = Ø hap 5 roies e plans dans l espace 7

6 Sysème (S) : e son sricemen parallèles; es sécan à e L ensemble des soluions de (S) es = Ø rn (; ; ) e rn (; 5; ) ne son pas colinéaires, donc e son sécans suivan d = d : 7 y = -----, 7 d = (; ru) avec (; ; ) e ru( ; 7; 7) Pour ou poin M de d, 7 y + z = =, 7 7 donc M ; ainsi d L ensemble des soluions de (S) es consiué des riples -- + avec 7 ; ; l es représené par la droie d commune au rois plans 5 yn ( ; ; ), yn ( ; ; ), yn ( ; ; ) es veceurs normau pris deu à deu ne son pas colinéaires donc, e son sécans deu à deu nersecion de e + d : y= +, d = ( ; zu) avec ( ; ; ) e zu( ; ; ) zu yn = e plus, d e donc d es sricemen parallèle à Ensemble des soluions du sysème : = Ø 6 a) zn( ; ; ) e zn ( ; ; ) ne son pas colinéaires donc e son sécans suivan une droie y+ 5 = b) M( ; y ; z) + y z= = α y = + 5 d où : y = α + 5, α z = z = 5α + 5 a) Vrai! a pour veceur direceur zu( ; ; 5) e pour veceur normal zv(5 ; 5 ; ) d où zu zv = insi // b) Fau! a pour veceur direceur zu ( ; ; ) zu e zv ne son pas colinéaires donc e ne son pas parallèles α = β En oure, le sysème α + 5 = + β 5α + 5 = + β n a pas de soluion donc e son non coplanaires 7 a) : y + z + =, : + y + = Or on ( ; ; ) e un ( ; ; ) ne son pas colinéaires donc e son sécans suivan une droie y+ z+ = z= y b) M( ; y ; z) + y+ = = y d où : y=, c) ( = ) e ( = 5) d) m e m donc () = es conenue dans m : + y + z + 7 =, -- m : m + y + ( m)z + m + = n m (m ; ; m) son els que n m = insi pour ou m, pn -- plan m orhogonal à ( ; ; ) e n m donc il n eise aucun -- Pour m --, = m m En m En m m m + + ( m )( m ) = soi m m m m = m 8 Un veceur direceur de es zu( ; ; ) a pour veceur normal zu e passe par d où : + y z + = = λ y = λ H( ; y ; z) es el que z = + λ + y z+ = λ = = donc insi H( ; ; ) d où H = 6 y = z = Noe : H représene la disance du poin à la droie de l espace pn -- pn -- 8

7 pprendre à chercher (page ) 9 Prouver un alignemen Les ouils : olinéarié de veceurs Propriéés de l isobarycenre éomérie analyique Les objecifs : Prouver un alignemen alculer un coefficien de colinéarié a) après la règle du parallélépipède : T = T + T + TE [] b) es le cenre de gravié de E donc pour ou poin M, TM + UM + UME = RM où, lorsque M =, T + T + TE = Z [] c) après [] e [], T = Z d où l alignemen de, e a) T( ; ; ) es un veceur direceur de la droie () d où = () : y=, b) -- ; -- ; -- c) insi () e = -- Trouver un poin de concours Les ouils : Relaions vecorielles e barycenres arycenre de deu poins e alignemen Règle d associaivié Les objecifs : Éablir des relaions barycenriques Prouver le concours de rois droies a) RP = R donc le poin P es le barycenre de (, ), (, ) b) e même, Q es le barycenre de (, ), (, ); R celui de (, ), (, ); S celui de (, ), (, ) a) Soi le barycenre de (, ), (, ), (, ), (, ) L eisence es assurée car la somme des coefficiens es, donc non nulle b) après le héorème d associaivié, es le barycenre de (P, ), (R, ) mais aussi de (Q, ), (S, ) e de (, ), (J, ) insi (PR), (QS) e (J) concouren en Trouver l inersecion de rois plans Les ouils : pparenance d un poin à un plan d équaion donnée nersecion de plans Sysème linéaire Les objecifs : éfinir l inersecion de rois plans Résoudre un sysème linéaire Soluion a),,, E appariennen à : y = b),,, H appariennen à : y z =, F,, appariennen à : z = c) conien e, d où : = () Soluion y= a) y z= = y= z z= b) insi = d, où d es la droie définie par : d : y=, d = (; zu) avec zu(; ; ) Trouver un lieu dans l espace Les ouils : Relaions vecorielles écomposiion d un veceur sur une base aracérisaion du milieu d un segmen Les objecifs : Éudier un lieu dans l espace aracériser analyiquemen l inérieur d un parallélogramme a) Lorsque M = e M =, = E ; M = e M =, = F ; M = e M =, = ; M = e M =, = H onc E, F,, H son des poins de b) ans les riangles e, EF = -- R e EH = -- E donc EF = EH insi EFH es un parallélogramme a) es le milieu de [MM ] donc E = UEM + OEM Or UEM + OEM = E + OM + E + OM = UM + OM donc E = UEM + OEM = UM + OM [] b) M [] e M [] donc il eise des réels e y dans [ ; ] els que OM = Y e OM = yt c) après [], ZE = E + yr d où ZE = --Y + y --Y soi E = EF + ye avec e y insi es conenu dans l inérieur du parallélogramme EFH a) EJ = aef + be (a [ ; ], b [ ; ] s écri a b EJ = -- E + -- E d où EJ = ae + be hap 5 roies e plans dans l espace 9

8 b) Noons M le poin de [] el que M = ae e M celui de [] el que M = be lors EJ = M + M c) On en dédui que : EJ = EE + EJ + EJM + EE + EJ + EJM soi EJM + EJM = z onc J es le milieu de [MM ] insi l inérieur du parallélogramme EFH es conenu dans Finalemen, le lieu cherché es l inérieur du parallélogramme EFH (fronières comprises) Pour progresser (page ) arycenres es le barycenre de (, ), (, ), (, ), (, ) K es le barycenre de (, ), (, ), (, ), (, ) a) Par uilisaion du héorème d associaivié, es le barycenre de (, ), (J, ), donc,, J son alignés b) Or K es le barycenre de (, ), (, ), e L celui de (, ), (, ), donc es aussi le barycenre de (K, ), (L, ) insi, K, L son alignés Noe : es le milieu de [KL] Les droies (J) e (KL) son sécanes, donc, J, K, L son coplanaires 6 a) P es un parallélogramme, donc : UP = R + T, d où P es le barycenre de (, ), (, ), (, ) b) e même, Q es le barycenre de (, ), (, ), (, ) e R celui de (, ), (, ), (, ) Soi le barycenre de (, ), (, ), (, ), (, ); d après le héorème d associaivié, es le barycenre de (P, ), (, ), mais aussi de (Q, ), (, ) e de (R, ), (, ) insi les droies (P), (Q) e (R) concouren en e es le milieu de [P], [Q] e [R] Remarque : l s agi de rois des diagonales du parallélépipède défini par Z, Z, Z R L Q K J P 5 a) M ; ; , J ; -- ; -- = -- b) (J) : y = --, z = -- c) M (J) avec λ = J es le barycenre de (, ), (, ), (, ) ; d après le héorème d associaivié, M es le barycenre de (, ),(J, ), d où M (J) avec OM = RJ + 7 a) E + T + TE = T (règle du parallélépipède) T T = T T + T T + TE T = + + = b) T TE= T TE + T TE + TE TE = + + = c) T T e T TE donc () (E) T = T + T + UE = E, donc (); de plus, (E), donc es le poin d inersecion de () e (E) e plus, es le poin de [] el que T = -- T a) (E) : + y + z = Noe : Uiliser le résula de l eercice 66 ou du chapire p 85

9 b) an(; ; ), veceur normal à (E), es un veceur direceur de, d où : : y= + +, = -- = -- y= + c) onc J -- ; -- ; -- z= + y = -- + y+ z= z = -- d) La disance de H au plan (E) es : HJ = = Noe : ee disance peu êre obenue à parir de l équaion H + yh + zh de (E) (voir chapire ), d(h; (E)) = = Ensemble de poins 8 orrigé dans le manuel 9 zu = M + (M + Y) (M + ) = R (indépendan de M); zv = ZM, avec milieu de [E] M zu colinéaire à zv ZM colinéaire à zu onc es la droie passan par e dirigée par le veceur T M Γ zv = zu M = -- zu onc Γ es la sphère de cenre, e de rayon : r = -- R 5 es le barycenre de (, ), (, ), (, ) : O + O O = z, donc O = -- R es le barycenre de (, ), (, ), (, ) : P P + P = z, donc P = -- R a) Pour ou réel de [ ; ], ( + )O + O O = z, d où P = R + b) Pour ou [ ; ], f() = ; + f () = ( + ) f () f c) Lorsque décri [ ; ], le coefficien décri l inervalle -- ; -- image de [ ; ] par f insi l ensemble des poins es le segmen [ ] de la droie parallèle à () passan par M OM = PM M = M es le plan médiaeur de [ ] Pour ou poin M, UM UM UM = R T = E où es le milieu de [] M PM = E M = es la sphère de cenre e de rayon R = 5 a) (; ; ) donc = O; (; ; ), plan médiaeur de [ ], a pour équaion z = ;, sphère de cenre O = e de rayon R = = 6, a pour équaion + y + z = 6 z Le sysème = z = équivau à y z + + = 6 + y = onc e son sécans suivan le cercle Γ : + y = siué dans le plan b) Rayon de Γ : r = 5 a) es le barycenre de (, ), (, ), (, ), d où Y O + O = a, donc Y = -- Y b) es le barycenre de (, ), (, ), donc es le milieu de [] e Y = -- E c) U J = uj Y = -- (Z + E) -- E = -- Z; P = R U = -- Y -- E = -- Z insi U J = P donc es le milieu de [J ] d) a) = * b) Pour ou poin P, m OP m = RP + TP + (m ) RP + m UP J hap 5 roies e plans dans l espace

10 m m Si P =, m O m = Z E; m m ainsi a = e b = ---- onc m où es le plan () c) Pour ou m, m OJ m = m ij + m Y m ; or J es le milieu de [] donc ij = -- (Z + Z); m m ainsi m OJ m = ---- (Z + Z) R + m Z = Z ---- (veceur consan) d) Pour ou m, OJ m = ---- Z m Lorsque m décri = *, ---- décri *, donc es la m droie passan par J e dirigée par Z, privée de J Noe : après c), n es aure que la droie (J ), privée de J nersecions d ensembles 5 E a) z b) O(; ; ) e a son els que + y = e -- a a ; -- ; -- y + z =, donc ils appariennen à c) O e son els que z =, donc ils appariennen à insi = (O) + y= z ( S) y+ z= y= z z= L ensemble des soluions es consiué de ous les riples (; ; ) avec L inersecion de,, es donc la droie : y=, O e, donc = (O) O y 5 orrigé dans le manuel 5 -- ; -- ; -- () : + y + z = (voir l eercice 66) zn(; ; ) es un veceur normal à () Or YO = -- zn, donc (O) () y z a) ( ) a pour équaion =, soi : + y + z = 6 (voir l eercice 66) b) Y( ; ; ) d où une représenaion paramérique + de la droie () : y =, c) n (; ; ) veceur normal à ( ) ; Y n = Puisque Y n, () e ( ) son sécans en un poin K; K( ; ; ) = a) e même : () : y= +, () e ( ) son sécans en L(; ; ) b) Y( ; ; ), P ( ; ; ), RKL( ; ; ) son colinéaires, d où le parallélisme des droies (), ( ) e (KL) c) K () ( ); L () ( ), donc les plans disincs () e ( ) son sécans suivan la droie (KL) 55 U( ; ; ) e U( ; ; 5) son non colinéaires donc,, ne son pas alignés a) M (H) UM U e UM U UM U = UM U = y + z + = b) insi M( ; y ; z) (H) y + 5z 7 = y = 6 5 z = 9 + où une représenaion paramérique de (H) : = λ y = 6 5λ, λ z = 9 + λ a) e E( ; ; ) son sur (H) On peu choisir zn = UE d où zn( ; 5 ; ) b) () es le plan de veceur normal zn passan par ( ; ; ) d où () : 5y + z = H projeé orhogonal de sur () es el que = λ λ = y = 6 5λ = d où z = 9 + λ y = 5y + z = z = insi H( ; ; ) Noe : H n es aure que le poin E uilisé en a)

11 56 Y( ; 6 ; ) e Y( ; 5 ; ) son non colinéaires donc,, ne son pas alignés Soi la perpendiculaire au plan () passan par lors M YM Y = YM Y = 6y + = M( ; y ; z) 5y z + = y = -- + z = -- + où une représenaion paramérique de : = y = -- +, z = -- + Le plan () adme pour veceur normal un veceur direceur de, par eemple zn( ; ; ) () es le plan de veceur normal zn passan par ( ; ; ) d où () : + y z + = projeé orhogonal de sur () es el que = y = -- + = d où insi ( ; ; ) z = -- + y = z = + y z + = 57 a) rn ( ; ; ) e rn ( ; ; ) ne son pas colinéaires donc e son sécans y + z 5 = b) M( ; y ; z) + y+ z+ = 5z = y = z + 5 y = 6 + z z y = où une représenaion paramérique de : = 5 y = +, z = adme pour veceur direceur zn( 5 ; ; ) insi es le plan de veceur normal zn passan par ( ; 5 ; ) donc : 5 + y + z + 6 = 58 Y( ; ; ) es un veceur direceur de () e n m (m ; ; m) un veceur normal à m a) () // m Y n m = m = -- b) () m Y e n m colinéaires il eise λ * el que n m = λy il eise λ * el que m = λ = λ insi () m dans le seul cas où m = c) m conien () peu se raduire par : () // m e m La re condiion es assurée dans le seul cas où m = -- ; or donc il n y a pas de soluion herchons une représenaion paramérique de d y+ z = + z= y + z = + z = y= d où y=, z = z = zu( ; ; ) es un veceur direceur de d e zn( ; ; ) un veceur normal à zu e zn ne son pas colinéaires donc d coupe Leur poin d inersecion es el que y= z = + y z= 6 = -- = -- soi insi 9 -- ; -- ; 9 y = -- z = a) a pour veceur direceur Y( ; ; ) = + 8 d où : y =, z = + 8 b) a pour veceur direceur zu( ; ; ) zu e Y ne son pas colinéaires donc e ne son pas parallèles Leur inersecion es définie par le sysème : + 8 = 5 + s = + s e sysème n a pas de soluion + 8 = s donc e son non coplanaires zn zu = a) Le veceur zn( ; ; ) es el que zn Y = onc zn es normal à En oure passe par (8 ; ; 8) d où : y + z = b) Pour ou poin M( 5 + s ; + s ; s) de, la disance de M au plan es ( 5+ s) ( + s) s d(m, ) = = + + (valeur indépendane de M) hap 5 roies e plans dans l espace

12 c) zn( ; ; ) e z( ; ; ) son des veceurs normau au plans e (Oy) ls son non colinéaires donc e (Oy) son sécans suivan une droie d définie par : z = z = soi y + z = y= + où une représenaion paramérique de d : = y=, z = Le cenre Ω de es un poin de la perpendiculaire à, passan par, el que Ω = 6 zn( ; ; ) es un veceur direceur de d où : = + y = +, + 6 Posons Ω( ; y ; z) La condiion Ω = 6 équivau à ( ) + (y ) + (z 6) = 6 soi = où deu poins possibles obenus pour = e = : Ω (6 ; 5 ; ) e Ω ( ; ; 8) déermine deu demi-espaces : y + z < e : y + z > Or O e on vérifie que Ω alors que Ω donc le seul poin qui convien es Ω = Ω Équaion de la sphère : ( 6) + (y 5) + (z ) = 6 = 6 () : y = + 6, z = nersecion de () e (O) : = = y = + 6 = 6 z = y = y = z = onc () e (O) son sécanes en E(6; ; ) = + () : y =, z = nersecion de () e (O) : = + = y = = z = y = 8 = z = onc () e (O) son sécanes en F(; 8; ) Noe : (O) = (O) es définie comme l inersecion de deu plans : y = = ; de même, pour (O) = (Oy) : z = z = y z a) (SEF) : =, soi + y + 6z = 6 8 (voir l eercice 66) b) (; ; ) c) a même veceur normal que (SEF), donc a une équaion du ype + y + 6z + d = ; or P d où d = ; ainsi : + y + 6z = a) nersecion de e (SO) : = + y + 6z = y = = ; y = z = donc O ; ; = Noe : (SO) = (Oz) : y = b) nersecion de (S) e : = -- = y = = ; z = y = + y + 6z = 8 z = -- donc ; ; 8 -- c) nersecion de (S) e : = = -- y = = ; donc (; ; ) z = + y = + y + 6z = z = 5 PO ; ; -- e O ; ; --, donc O es un parallélogramme E 6 ' z O' O S ' ' ru ( ; ; ) e ru ( ; ; ) d où ru ru = donc F y

13 ru r e ru r donc e son conenues dans deu plans perpendiculaires à l ae (O ; r) ; ces deu plans son sricemen parallèles donc = φ = : = s y=, ; : y= s, s z = z = a) Le projeé orhogonal H de M sur es défini H par OMH Zu = H = y H = d où le sysème z H = + y H y = H + y = soi + y H = y H = z H = MH = + y ( z) + + y y = -- ( y) + ( z) O j y = Si, L inersecion es donc l hyperbole d équaion y = conenue dans y = = ou y = Si =, soi insi l inersecion de (E) avec es la réunion des aes (Oy) e z = z = (O) b) Les plans orhogonau à (O ; zi) son du ype y + z = : = (E) es défini par = z = --y soi = L inersecion es donc la droie d équaion z = -- y conenue dans Les plans orhogonau à (O ; zj) son du ype : y = L inersecion de avec (E) es la droie d équaion z = -- conenue dans le plan Résoluions de sysèmes 6 b + c + p = 7, Par hypohèse : b + c + 5p = 8, Par combinaison linéaire L L : 5c + p = 5, i a b c + = a = 6 a + b+ c= 7 d où b = 5 9a + b+ c= c = insi P() = 5 + Le projeé orhogonal K de M sur es défini par K y y d où K = , y K = , z K = OMK Zu = MK = y ( z) + y y = -- ( + y) + ( + z) b) M (E) MH = MK ( y) + ( z) -- = -- ( + y) + ( + z) d où M (E) y + z = [] a) Les plans orhogonau à () son du ype : y + z = z = (E) es défini par 65 Pour ou réel, = α( + ) + β( + ) + γ = α + (α + β) + α + β + γ Par idenificaion des coefficiens α = α = α+ β= soi β = α+ β+ γ = γ = P() = ( + ) 6 Or d après = ( + ) ( + ) + donc P() = ( + ) 8 ( + ) 7 + ( + ) 6 où une primiive sur définie par : () = ( + ) 9 ( + ) ( + ) () es une équaion du ype α + βy + γz + δ = (avec (α ; β ; γ) ( ; ; )) hap 5 roies e plans dans l espace 5

14 Les poins,, appariennen à ce plan d où le αa + δ = sysème : βb + δ = γc + δ = δ δ δ insi α = -- ; β = -- ; γ = --, δ * (car O ()) a b c Lorsque δ =, on obien une équaion du plan y z () sous la forme : = a b c 67 orrigé dans le manuel 68 plan médiaeur de [] passe par ; ; -- milieu de [] e adme Y( ; ; 5) pour veceur normal donc : + y + 5z = soi : y z = y z = a) Le sysème y 6z = 7 adme un unique riple soluion d où E y + = 5 ; ; -- b) E donc E = E ; de même E = E e E = E insi E = E = E = E donc,,, son sur une sphère de cenre E e de rayon r = , y, z désignen respecivemen le nombre de pièces de,,5 e, (, y, z ) --z 9 + y+ z= 9 5 = +,5y +,z = 8 y = 58 --z 5 Or, y, z ne peuven prendre que des valeurs enières posiives, d où les condiions : 5 5 z z muliple de 5 l eise cinq valeurs possibles du paramère z : 5,, 5,, 5 On vérifie que les riples associés son bien soluions, d où cinq combinaisons possibles : (; ; 5), (; 6; ), (6; 8; 5), (9; ; ), (; ; 5) Prendre oues les iniiaives 7 onsidérons le repère orhonormal (O ; ai, aj, r) el que YO = ai, YO = aj, YO = ar a lors -- ; a d où O = -- ; a -- a a a a = Remarque : aures soluions par éude de configuraion son bien sûr possibles O Prouvons d abord l orhogonalié de (O) e () YO Y = -- (YO + YO + YO) (YO YO) = -- ( a + a ) = e de même YO Y = d où (O) () Eploions ensuie le calcul du volume du éraèdre O de deu façons V = -- aire(o) O e V = -- aire() O aire( O) d où l égalié O = O aire( ) a Or aire(o) = ---- e aire() = --a a a = a donc O = es le cenre de gravié de d où Y + Y + Y = Y Or d après la règle du parallélépipède, R + Y + Y = Y donc Y = Y insi les poins, e son alignés e Y = -- Y d où = -- Remarque : Une soluion analyique es possible Le choi du repère orhonormal ( ; R, Y, Y ) es alors judicieu 7 onsidérons le repère orhonormal ( ; ai, aj, r) el que Y = ai, Y = aj, YE = a 6

15 e J son les cenres de gravié de e F d où a -- ; a e J -- ; a ; ; a -- insi ij a a -- ; -- ; a ; en oure, Y(a ; a; ) e -- YE( a ; ; a) d où oj Y = e oj YE = (J) es la perpendiculaire commune à () e (E) a J = = La diagonale d un cube a pour longueur d = a d où J = -- d a a a Remarque : Une soluion élégane fai inervenir une homohéie Noons Ω le milieu de [] e h l homohéie de cenre Ω e de rappor -- Par h :, F J d où oj = -- TF 7 Posons M( ; y ; z) e noons l ensemble des poins M els que YEM Y e YEM Y Y( ; 5 ; ), Y( ; ; ) e YEM( ; y + ; z ) + y z + = d où M + 5y+ z+ 6 = éomériquemen, ce sysème s inerprèe comme l inersecion de deu plans e in ( ; ; ) e in ( ; 5 ; ) ne son pas colinéaires donc e son sécans suivan une droie d insi il eise une droie unique d elle que = d + y = + z + 5y = 6 z = y = = d où d : y = , z = z z 7 L homohéie de cenre qui ransforme en M (de rappor -- ) ransforme en N e en P donc YN = -- Y e YP = -- Y ans le plan () eprimons comme barycenre de, e E = -- (YN + YP) = -- (Y + Y) 8 d où 8E = E + Z + E + E soi 6E + E + E = r insi es le barycenre de (, 6), (, ), (, ) M K N e même, J es le barycenre de (, 6), (, ), (, ) e K celui de (, 6), (, ), (, ) onsidérons alors le poin barycenre de (, 6), (, ), (, ), (, ) après le héorème d associaivié, es le barycenre de (, ), (, 8) mais aussi de (, ), (J, 8) e de (, ), (K, 8) insi les droies (), (J) e (K) son concouranes en 75 (S) es le plan médiaeur de [] e M (S) donc M = M Le riangle M es isocèle donc M se projee orhogonalemen sur () en (milieu de []) e (M) es la bissecrice de mm Posons mm = α l s agi de déerminer el que α soi maimal donc aussi sin α maimal puisque la foncion sin es sricemen croissane sur ; π -- S Or sin α = = M M donc sin α es maimal lorsque la disance M es minimale Enfin M es minimale lorsque M = H où H es le projeé orhogonal de H sur (S) où la configuraion ci-conre dans le riangle recangle S Or TSH = TS donc TSH TS = TS = Mais TSH TS = TS TS = TS = d où on dédui = -- L epression de l aire de S de deu façons condui à H S = S d où H = e finalemen π sin α = = insi α = -- H Finalemen, lm es maimal lorsque = -- e sa π mesure es alors J P hap 5 roies e plans dans l espace 7

16 76 : ( ) + (y ) + (z ) e m : + y + z = m a pour veceur normal zn( ; ; ) insi zn = EO donc m es angen à au poins d inersecion de avec (O) où le sysème : = ± y= soi z= = ( ) ( y ) ( z ) y= + + = z= es plans son angens à respecivemen en ; ; e ; ; m équivau à m = e m équivau à m = + insi m es angen à si e seulemen si m = ± Noe : es «au-dessus» de m lorsque m =, «en dessous» de m lorsque m = + pplicaion : On considère le repère orhonormal (O ; zi, zj, e) el que YO = azi, YO = azj, YO = az après la quesion précédene, la sphère es inscrie dans le éraèdre défini par les plans de base e le plan + Les sommes son O, ( + ; ; ), E( ; + ; ) e F( ; ; + ) onsidérons l homohéie de cenre O qui ransforme en ; elle ransforme E en, F en e la sphère inscrie dans OEF en la sphère inscrie dans O O Le rappor (posiif) d homohéie es = soi O a = insi le cenre Ω de es el que + UOΩ = RO Problèmes (page 9) 77 (M) coupe () en, barycenre de (, β), (, γ) après le héorème d associaivié, M es le barycenre de (, α), (, β + γ), d où : α OM + (β + γ) OM = a β+ γ insi UM = PM e, en considéran les normes : α M β+ γ = M α M γ + α M α+ β e même : = e = M β M γ β+ γ γ + α α+ β onc S = α β γ β α α β γ α α γ β γ = γ β a) f() = + -- sur ]; + [; f () = f () + f + b) Les résulas énoncés découlen immédiaemen du ableau de variaions de f a) S = f α -- + f β La valeur minimale de S β -- + f α γ -- γ (si elle eise) es au moins 6 e cee valeur es aeine uniquemen lorsque α -- β + β γ = -- = -- =, d où le résula γ α b) «S minimale» équivau à «M cenre de gravié de» 78 a) EJ ; ; --, oj, d où ; ; -- 7 J = e J = -- b) uj ZJ = J J cos hj; 9 or, oj ZJ = -- donc cos hj = ; hj, 7 Z(; ; ), d où Z oj = insi () (J) a) (; ; ), (; ; ), J ; ; -- ; (J) a une équaion de ype a + by + cz + d =, où (a; b; c) (; ; ) a+ d= a= d b+ d= d où a b b= d, d * --c d = c = d insi (J) : + y z = b) d(h; (J)) = H + y H z H = = = -- aire(j) d(h; (J)) Or, aire(j) = -- J = , donc = -- 5 a) (H) a une équaion du ype α + βy + γz + d =, où (α; β; γ) (; ; ) 8

17 α + d = α = d β + d = d où β = d, d * β+ γ + d = γ = insi (H) : + y = an(; ; ), veceur normal à (H), dirige d = + où d : y= +, z = -- + = y= + = b) insi J ; ; -- y = z = -- + y = z = -- c) Méhode : calcul direc; ZJJ ( ; ; ) donc JJ = Méhode : uilisaion d une équaion de (H); JJ = J + y J = = + Méhode : uilisaion du volume ; = -- aire(h) JJ donc JJ = ; aire( H) or, aire(h) = donc JJ = 79 a) La secion es un penagone S b) (; ; ), H(; ; ), E(; ; ), F(; ; ) YH = EF e YH TE donc EFH es un recangle ire(efh) = ( ) c) es à l inersecion de (S) e donc ses coordonnées son elles que : = y= z= + + y= d où -- ; -- ; -- ire(fh) = d) ire de la secion : () = ( ) Sur ]; [, () = ( ) -- () a pour veceur normal an(; ; ); a(; ; ) e Y( ; ; ) son non colinéaires e els que an a = e an Y =, donc adme a = ROS e Y pour veceurs direceurs Le cenre de gravié de O es, il apparien au plan : + y = --, d où le résula -- ; -- ; Remarque : Une soluion géomérique peu aussi êre envisagée en uilisan l homohéie de cenre O e de rappor = -- F H O K E es nouveau au bac (page ) 8 zn( ; ; ) es un veceur normal à donc un veceur direceur de d e plus d passe par S( ; ; ) a) e c) ne conviennen pas (veceur direceur) b) ne convien pas (S d) Seule la réponse d) es eace hap 5 roies e plans dans l espace 9

18 L inersecion de d e es définie par le sysème : = = + 8 = y = + d où z = 5 y = y z + = 9 z = Seule la réponse d) es eace La disance du poin S au plan es d(s ; ) = S + y S z S = ( ) Seule la réponse b) es eace d(s ; ) < (rayon de ) donc l inersecion de e de es un H r M cercle e cercle a pour cenre le projeé orhogonal H de S sur le plan S r = = Seule la réponse b) es eace 8 Vrai es le barycenre de ( ; ), ( ; ) e d après le héorème d associaivié es le barycenre de ( ; ), ( ; ), ( ; ) donc,,, son coplanaires a) Vrai rn ( ; ; ) e rn ( ; ; ) ne son pas colinéaires donc e son sécans + y z = y+ z = 9 = d où d :, y = -- 5 z = 5 9 = --z y = --z insi zn( ; ; 5) es un veceur direceur de d e plus e donc d passe par y + z = 5 = b) Vrai + y+ z = 7 y = y+ z= z = c) Fau e d Remarque : z n( ; ; ) e zu( ; ; ) son els que z n z u = donc d // Or es commun donc d