Mathématiques * * * * * * * *Exercice 1

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1 Mathématiques Cité Scolaire Gambetta Il faut avat toutes choses revoir les trois chapitres, aisi que les devoirs pour reveir sur les otios importates et predre cosciece de celles qui poset problème. Le livre propose de ombreux exercices d etraîemet (situés après le cours et ititulés «objectif... Il faut cosolider les bases sur les suites et remédier à certaies difficultés, et s essayer «au type Bac» e probabilité. Coseil : plaifiez votre travail e plusieurs séaces, doc plusieurs jours, et travaillez par thème. La liste d exercices est exhaustive et doée à titre idicatif. Les exercices précédés d ue «*» sot obligatoires et à faire pour la retrée. Aée scolaire Exercices d etraîemet sur le thème des complexes * * * * * * * et * *Exercice Exercice 2 ; z 2i z

2 * Exercice 3 Equatios du secod degré (* la 2 ème et la 3 ème ) Exercices «type bac» sur le thème des probabilités coditioelles et de la loi biomiale * Exercice Das cet exercice, les probabilités serot arrodies au cetième. Partie A U grossiste achète des boîtes de thé vert chez deux fourisseurs. Il achète 80 % de ses boîtes chez le fourisseur A et 20 % chez le fourisseur B. 0 % des boîtes proveat du fourisseur A présetet des traces de pesticides et 20 % de celles proveat du fourisseur B présetet aussi des traces de pesticides. O prélève au hasard ue boîte du stock du grossiste et o cosidère les évèemets suivats : - évèemet A : «la boîte proviet du fourisseur A» ; - évèemet B : «la boîte proviet du fourisseur B» ; - évèemet S : «la boîte présete des traces de pesticides».. Traduire l éocé sous forme d u arbre podéré. 2. a. Quelle est la probabilité de l évéemet B S? b. Justifier que la probabilité que la boîte prélevée e présete aucue trace de pesticides est égale à 0, O costate que la boîte prélevée présete des traces de pesticides. Quelle est la probabilité que cette boîte proviee du fourisseur B? Partie B Le gérat d u salo de thé achète 0 boîtes chez le grossiste précédet. O suppose que le stock de ce derier est suffisammet importat pour modéliser cette situatio par u tirage aléatoire de 0 boîtes avec remise. O cosidère la variable aléatoire X qui associe à ce prélèvemet de 0 boîtes, le ombre de boîtes sas traces de pesticides.. Justifier que la variable aléatoire X suit ue loi biomiale dot o précisera les paramètres. 2. Calculer la probabilité que les 0 boîtes soiet sas trace de pesticides. 3. Calculer la probabilité qu au mois 8 boîtes e présetet aucue trace de pesticides.

3 Exercice 2 Les 300 persoes travaillat das u immeuble de bureaux de trois iveaux ot répodu aux deux questios suivates : «À quel iveau est votre bureau?» «Emprutez-vous l asceseur ou l escalier pour vous y redre?» Voici les réposes : 225 persoes utiliset l asceseur et, parmi celles-ci, 50 vot au er iveau, 75 vot au 2 e iveau et 00 vot au 3 e iveau. Les autres persoes utiliset l escalier et, parmi celles-ci, u tiers va au 2 e iveau, les autres vot au er iveau. O choisit au hasard ue persoe de cette populatio. O pourra cosidérer les évèemets suivats : N : «La persoe va au premier iveau.» N2 : «La persoe va au deuxième iveau.» N3 : «La persoe va au troisième iveau.» E : «La persoe emprute l escalier.». Traduire l éocé à l aide d u arbre podéré. 2. a. Motrer que la probabilité que la persoe aille au 2 e iveau par l escalier est égale à 2. b. Motrer que les évèemets N, N2 et N3 sot équiprobables. c. Détermier la probabilité que la persoe emprute l escalier sachat qu elle va au 2 e iveau. 3. O iterroge désormais 20 persoes de cette populatio. O suppose que leurs réposes sot idépedates les ues des autres. O appelle X la variable aléatoire qui, aux 20 persoes iterrogées, associe le ombre de persoes allat au 2 e iveau. a. Détermier la loi de probabilité de la variable aléatoire X. b. Détermier, à 0 4 près, la probabilité que 5 persoes exactemet aillet au 2 e iveau. c. E moyee sur les 20 persoes, combie vot au 2 e iveau? 4. Soit u etier iférieur ou égal à 300. O iterroge désormais persoes de cette populatio. O suppose que leurs réposes sot idépedates les ues des autres. Détermier le plus petit etier strictemet positif tel que la probabilité de l évèemet «au mois u persoe va au 2 e iveau» soit supérieure ou égale à 0,99. Exercice sur le thème des suites *Exercice guidé 92 p 46 du livre, Exercice 95 p 47 du livre, *Exercice (raisoer par récurrece, suite récurrete, thm de covergece) O cosidère la suite u défiie pour tout de IN par : 4u 2 u0 3 et u. u 4x 2. Soit f la foctio défiie sur ; par f x et Cf sa représetatio graphique. x La figure ci-dessous représete la courbe Cf aisi que la droite d équatio y = x. Costruire sur l axe des abscisses les quatre premiers termes de la suite et émettre ue cojecture sur le comportemet de cette suite (variatios, bores, limites ).

4 y C f x 2. Etudier les variatios de f sur ;. 3. Démotrer par récurrece que, pour tout etier aturel, u.(utiliser les variatios de la foctio f) 4. Démotrer par récurrece que la suite u est décroissate.(utiliser les variatios de la foctio f) 5. E déduire que u coverge et détermier sa limite *Exercice (suite récurrete, suite auxiliaire, formules de somme des termes) u est la suite défiie pour tout de par : u0 et u 0,2u 0,6.. a. Démotrer que la suite v défiie par v u 0,75 est géométrique. b. E déduire la limite de la suite v. 2. a. Détermier u e foctio de. b. E déduire, e foctio de, l expressio de S u0 u... u. 3. Quelle est la limite de la suite S? Exercice (suite récurrete, thm de covergece,suite auxiliaire, formules de somme des termes) Soit la suite umérique u défiie sur N par : u0 = 2 et pour tout etier aturel, 2 u u a. Calculer u, u2, u3 et u4. O pourra e doer des valeurs approchées à 0 2 près. b. Formuler ue cojecture sur le ses de variatio de cette suite. 2. a. Démotrer que pour tout etier aturel, u 3. b. Démotrer que pour tout etier aturel, u u 3 u 3. c. E déduire ue validatio de la cojecture précédete. v la suite défiie sur N par v u. 3. O désige par a. Démotrer que la suite v est ue suite géométrique de raiso 2 3.

5 b. E déduire que pour tout etier aturel, c. Détermier la limite de la suite u. 4. Pour tout etier aturel o ul, o pose : k S k 0... et T 2 k 0 S u u u u a. Exprimer S e foctio de. b. Détermier la limite de la suite T. u

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