Exercices - Variables aléatoires discrètes : corrigé. Variables discrètes finies - Exercices pratiques

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1 Variables discrètes fiies - Exercices pratiques Exercice - Loi d u dé truqué - L2/ECS -. X pred ses valeurs das {,..., 6}. Par hypothèse, il existe u réel a tel que P (X k) ka. Maiteat, puisque P X est ue loi de probabilité, o a : 6 k P (X k) a a /. O a doc : k P (X k) O vérifie aisémet e appliquat la formule que E(X) O a Y k X /k. Y pred doc ses valeurs das {, /2, /, /4, /5, /6}, et la loi est doée par : k / /2 / /4 /5 /6 P (Y k) Le calcul de l espérace est pas plus difficile, et doe : 2 E(Y ) 2 7. Attetio à l erreur suivate : ce est pas parce que Y /X que E(Y ) /E(X)!!!. Exercice 2 - Garagiste - L2/ECS Z est élémet de {0,, 2}. O a : P (Z 2) (les deux voitures sot dispoibles). D autre part, P (Z 0) (les deux voitures sot simultaémet idispoibles). Efi, o obtiet : P (Z ) P (Z 0) P (Z ) Remarquos que Y est à valeurs das {0,, 2}. O calcule sa loi e utilisat la formule des probabilités totales. L évéemet Y 0 se produit si X 0 ou bie si X et Z 0. Ces deux évéemets état disjoits, o a : P (Y 0) P (X 0) + P (X Z 0) P (X 0) + P (X )P (Z 0)

2 (la dispoibilité des voitures état supposée idépedate de l arrivée des cliets). D où : ( ) 2 P (Y 0) 0, + 0, 9 0, 6. 5 De même, l évéemet Y se produit si X et Z ou bie si X 2 et Z. O e déduit : P (Y ) P (X )P (Z ) + P (X 2)P (Z ) 0, 48. Efi, l évéemet Y 2 est réalisé si X 2 et Z 2. Ceci doe : ( ) 4 2 P (Y 2) P (X 2)P (Z 2) 0, 6 0, La marge brute vaut 00Y. La marge brute moyee par jour est e euros : E(00Y ) 00(0 0, 6 + 0, , 84) 74, 4. Exercice - Vaches laitières - L2/ECS -. Y e pred que deux valeurs, / et + /. O a e outre : (Y /) aucue vache est malade d où P (Y /) 0, 85. O e déduit - la loi de Y est ue loi de probabilité - P (Y + /) (0, 85). Le calcul de l espérace doe : E(Y ) 0, ( 0, 85 ) + 0, f est dérivable sur ]0, + [, et f (x) +ax x. f (x) est doc du sige de + ax, ce qui permet de dire que f est croissate sur ]0, /a[, et décroissate esuite. La limite de f e + est, il e est de même e 0. E calculat les valeurs successives de f(), o a f(7) > 0, 07 et f(8) < 0, 0. 7 est doc la plus grade valeur etière pour laquelle f() est positive. E outre, f() < 0 alors que f(2) > 0. L esemble d etiers recherché est doc {2,..., 7}.. O a : E(Y ) < + 0, 85 < 0, 85 > l(0, 85) > l. Par suite, E(Y ) < f() > 0. L étude précédete motre que les etiers pour lesquels f() > 0 est {2,..., 7}. O a itérêt à choisir la deuxième méthode si, et seulemet si, il y a de 2 à 7 vaches das l étable! 2

3 Lois discrètes usuelles Exercice 4 - Avio - L2/Prépa Hec - O ote X la variable aléatoire du ombre de moteurs de A qui tombet e pae, et Y la variable aléatoire du ombre de moteurs de B qui tombet e pae. X suit ue loi biomiale B(4, p). E particulier, o a : P (X 0) + P (X ) ( ) 4 p 0 ( p) D autre part, Y suit ue loi biomiale B(2, p). E particulier, P (Y 0) ( p) 2. ( ) 4 p ( p) 4 ( p) 4 + 4p( p). O a itérêt à predre l avio A si P (X 0) + P (X ) P (Y 0). Ceci doe : p( p) 2 (2 p) 0. Doc, si 0 p < 2/ (cas que l o espère être celui du mode réel), il est préférable de choisir A. Si p 2/, le choix est idifféret, et si p > 2/, il vaut mieux choisir B. Exercice 5 - Pièce de moaie - L2/Prépa Hec -. Soit X le ombre de piles obteus au cours de 0 lacers. X est le ombre de réalisatios de l évéemet "le lacer doe pile" de probabilité costate 0, au cours de 0 lacers idépedats. X suit doc ue loi biomiale de paramètres 0 et p 0,. O e déduit : P (X ) ( 0 ) (0, ) ( 0, ) 0 0, Soit Y le ombre de lacers effectués jusqu à l obtetio de pile pour la première fois. Y est le temps d attete de la première réalisatio de l évéemet "obteir pile" de probabilité costate 0, lors d ue suite de lacers idépedats, doc Y suit ue loi géométrique de paramètre 0,. O e déduit, e appliquat la formule du cours du calcul de l espérace d ue loi géométrique E(Y ) 0, 0. Exercice 6 - Service de dépaage - L2/Prépa Hec -. (a) Soit R l évéemet "le cliet a subi u retard". X est le ombre de réalisatios de l évéemet R de probabilité costate /4 au cours de 4 appels idépedats. Doc X suit ue loi biomiale B(4, /4). E particulier, o a : (b) O cherche P (X ) : E(X) et V (X) 4. ( ) 4 P (X ) P (X 0). 4

4 2. (a) O ote p 0, 25 et q 0, 25. O recoait le schéma théorique d ue variable aléatoire de loi biomiale. O a doc : { ( ) P (Z k Y ) k p k q k si 0 k 0 si k > (b) O a : P (Z k, Y ) P (Y )P (Z k Y ) { e m m ( )! k p k q k si k 0 sio. (c) Il faut réaliser la sommatio! O a, teat compte du fait que les premiers termes sot uls : P (Z k) k P (Z k, Y ) ( ) p k e m q k! k ( ) p k e m q k! (mq)k ( ) p k e m q k! (mq)k e m ( p q mp (mp)k e. k! (mq) ( k)! k 0 ) k k! (mq)k e mq Z suit doc ue loi de Poisso de paramètre m 0, 25. (mq) k ( k)! (mq) ()!. U est le rag de la première réalisatio de l évéémet R de probabilité /4 au cours d ue successio d appels idépedats. Y suit doc la loi géométrique G(/4), c est-à-dire que, pour k, P (U k) 4 ( 4) k. O applique la formule du cours pour obteir l espérace (o o calcule simplemet la somme d ue série géométrique), et o trouve que E(U) 4. Exercice 7 - Le cocierge - L2/Prépa Hec - Notos p k la probabilité que la porte soit ouverte au k-ième essai et V k l évéemet "la porte est pas ouverte après le k-ième essai". O a p k P (V c k V k ) P (V k ) P (V k ), 4

5 la derière formule veat du fait que (V k ) est ue suite décroissate d évéemets. Das chaque cas, o va calculer P (V k ) e utilisat la formule P (V k ) P (V k V k )P (V k ).. Si V k est vraie, au k-ième essai, le cocierge choisit au hasard ue clef parmi les (k ) qui restet. O a doc P (V k ) ( ) P (V k ) k Par ue récurrece aisée, o trouve doc que, pour k, P (V k ) k et P (V k ) 0 si k. O a doc, pour k, k k P (V k ). Le ombre moye d essais vaut doc p k k k. kp k k. 2 k k 2. Cette fois, si V k est vraie, le cocierge tire ue clef parmi les du trousseau, et doc ( P (V k ) ) P (V k ) P (V k ). O obtiet cette fois, pour k 0, puis ( ) k P (V k ), ( ) k ( ) k ( ) k p k. E recoaissat ue loi géométrique de paramètre /, o trouve que le ombre moye d essais écessaires est Fialemet, ce est pas si différet! k kp k. Exercice 8 - Chaîe de fabricatio - Ecricome - 5

6 . Pour u objet pris à la sortie, P (A) 0.6 et P (B) 0.4 Soit D l objet est défectueux. O a P (D A) 0. et P (D B) 0.2 et comme (A, B) est u système complet d évéemets, P (D) P (D A) P (A) + P (D B) P (B) Si l objet est défectueux, la probababilité de l évéemet l objet proviet de la chaîe A est P (A D) que l o calcule par la formule de Bayes : P (A/D) P (A D) P (D) P (D/A) P (A) P (D) O suppose de plus que le ombre d objets produits e ue heure par A est ue variable aléatoire Y qui suit ue loi de Poisso de paramètre λ 20. O cosidère la variable aléatoire X représetat le ombre d objets défectueux produits par la chaîe A e ue heure. (a) O a Y (Ω) N et pour tout etier : P (Y ) λ e λ!. E (Y ) λ 20 et V (Y ) λ 20 (b) Quad Y, X est le ombre d objets défectueux parmi, qui sot défectueux idépedemmet les u des autres avec ue même probabilité 0.. Doc X Y B (, 0.) et P [X k Y ] 0 si k > et P [X k Y ] ( ) k 0. k 0.9 k si k (c) Comme (Y ) N, est u système complet d évéemets o a pour tout etier k : P (X k) 0 P [X k Y ] P (Y ) série covergete dot o calcule la somme partielle e distiguat suivat que k 6

7 ou < k : M P [X k Y ] P (Y ) doc X P (2) Exercice 9 - U problème chiois! - L2 - k 0 M P [X k Y ] P (Y ) k M ( ( 9 k P [X k Y ] P (Y ) ( ) 0. k 0.9 k 20 e 20 k! ) k e 20 M ) k e 20 k! k M k! (0.9 20) k! ( k)!! ( k)! 8 ( ) k e 20 M k 9 k! m! 8m+k m0 ( k e 9) 20 k! 8k e 8 2k e 2 k!. Très clairemet, puisqu il y a u seul efat par couple, P /X. 2. X est le temps d attete du premier succès, avec probabilité de succès égale à /2. O e déduit que X suit ue loi géométrique de paramètre /2. E particulier, P(X k) 2 k.. Par défiitio, o a E(P ) k + k P(P /k) k + k P(X k) k 2 k k. O recoait alors le développemet e série etière de l( x) pris e x /2, et il viet E(P ) l(/2) l(2) 0, 69. C est très déséquilibré et ceci risque de poser rapidemet des problèmes de reouvellemet de géératio. Exercice 0 - Miimum et maximum de deux dés - L2 -. Pour i,..., 6, l évéemet X i est réuio disjoite des trois évéemets suivats : A : U i et U 2 i ; B : U i et U 2 > i ; C : U > i et U 2 i. 7

8 Par idépedace des variables aléatoires U et U 2, o e déduit que P (A) 6, P (B) 6 i 6 et P (C) 6 i 6. Il viet P (X ) /6, P (X 2) 9/6, P (X ) 7/6, P (X 4) 5/6, P (X 5) /6, P (X 6) /6. O e déduit E(X) 9/6. 2. O a X + Y U + U 2 car (U, U 2 ) est ue permutatio de (X, Y ). Il viet E(X + Y ) E(X)+E(Y ) E(U )+E(U 2 ) 7, puisque chaque U i suit ue loi uiforme sur {,..., 6}, so espérace vaut (6 + )/2 7/2. O e déduit E(Y ) 6/6.. O a XY U U 2. O e déduit E(XY ) E(U U 2 ) E(U )E(U 2 ) par idépedace de ces deux variables aléatoires. D où Exercice - Pile ou face - Oral ESCP - Cov(X, Y ) E(XY ) E(X)E(Y ) La variable aléatoire T est le temps d attete du premier pile ; elle suit la loi géométrique de paramètre p, doc d espérace /p. 2. Notos X la variable aléatoire égale à si la partie uméro amèe pile. Les variables X sot des variables aléatoires de Beroulli idépedates de même paramètre p. Soit (i,..., i ) N. L évéemet (A i,..., A i ) s écrit aussi : X X i 0, X i, X i + X i +i 2 0, X i +i 2,..., X i + +i. Doc, e posat q p, o a : P (A i,..., A i ) q i pq i 2 p... q i p. E sommat pour (i,..., i ) parcourat (N ), o a : P (A i ) q i p. (A ) suit bie ue loi géométrique de paramètre p. De plus l expressio ci-dessus prouve que : P (A i,..., A i ) P (A i )... P (A i ), ce qui motre que les variables A,..., A sot idépedates. Variables discrètes ifiies Exercice 2 - Ue certaie variable aléatoire - Oral ESCP - 8

9 . L évéemet X correspod au déroulemet suivat : o a obteu u et u seul pile lors des + premiers tirages, et le + 2-ième tirage doe u face. Il y a doc + choix pour le premier pile. Ceci choisi, l évéemet élémetaire a ue probabilité qui vaut p 2 ( p). O a doc : P (X ) ( + )p 2 ( p). 2. La série défiisat E(X) est évidemmet covergete, et sa sommatio est facile (si elle vous semble difficile, il faut réviser commet faire, par exemple e utilisat les séries etières). O trouve : 2( p) E(X) P (X ). p. Si est fixé, et k {0,..., }, o a clairemet : Par la formule des probabilités totales : P (Y k X ) +. P (Y k) P (Y k X )P (X ) 0 ( + )p 2 ( p) + p( p)k. k O recoait que Y + suit ue loi géométrique de paramètre p. O a doc : E(Y ) p p p. Ceci peut bie sûr se retrouver par u calcul direct. 4. O a : Cette réuio état disjoite, il viet : O a esuite : P (Z h) (Z h) [(Y j) (X h + j)]. j0 P (Y j X h + j)p (X h + j) j0 p 2 ( p) h+j j0 p( p) h. P [(Z h), (Y j)] P (X h + j, Y j) P (Y j X h + j)p (X h + j) p 2 ( p) h+j. Ceci est égal à P [(Z h), (Y j)]. Les variables aléatoires sot idépedates. 9

10 Exercice - Deux fois pile - L2/ECS -. O ote P k (resp. F k ) l évéemet o obtiet pile (resp. face) au k ième lacer. L évéemet (X 2) correspod à : De même, ( ) 2 2 (X 2) P P 2 p. ) 2. Pour (X 4), cela se corse u peu! (X ) F P 2 P p 2 ( 2 (X 4) F F 2 P P 4 P F 2 P P 4 p O s ispire du calcul de p 4 : pour obteir X, o peut : ou bie avoir obteu pile au er lacer (proba 2/). Das ce cas, o a forcémet obteu face au secod lacer (sio X 2), doc avec ecore ue probabilité de 2/. Maiteat, il reste 2 lacers, et le premier "double pile" doit arriver au bout du 2ième. Ceci se produit avec ue probabilité valat p 2. ou bie avoir obteu face au er lacer (proba /). Il reste lacers où il faut obteir le premier double pile au bout du -ième, ce qui se produit avec ue probabilité valat p. D après la formule des probabilités totales, o trouve : p 2 9 p 2 + p.. O a ue classique formule de récurrece liéaire d ordre 2. L équatio caractéristique r 2 r/ + 2/9 a pour solutio 2/ et /. O e déduit fialemet : ( ) 2 p α + β ( ). O détermie α et β e testat sur les premiers termes. O obtiet : ( ) 2 + p Il est bie cou que pour tout q ], [, o a : 0 q ( ). q ( q) 2. O e déduit : E(X) p

11 Exercice 4 - Loi de Pascal - L2 - Il est d abord clair que X pred ses valeurs das {r, r +,..., }. Soit k r. Remarquos que si X k, alors le derier lacer est u pile. Pour les lacers précédets, o a obteu r fois pile, parmi k lacers. Le ombre de tirages correspodat à X k est doc ( k r ). La probabilité de chaque lacer est p r ( p) r k. O e déduit que : ( ) k P (X k) p r ( p) k r. r Exercice 5 - Ragée de spots - Oral ESCP -. Si le spot reste costammet allumé jusqu à l istat, c est qu il y a eu la successio d évéemet A k : "le spot S est éclairé à l istat k". Par la formule des probabilités composées, o trouve que : P (A A ) P (A A... A )... P (A ) Clairemet(!), o a P (X ) /4. D autre part, (X 2) est réalisé, soit si le spot S reste allumé à l istat et le spot S 2 s allume à l istat 2, soit si le spot S s allume à l istat (et S 2 s allumera automatiquemet à l istat 2). Ces deux cas sot disjoits, doc : P (X 2) Soit. S s allume pour la première fois à l istat si et seulemet si : Soit S reste allumé jusqu à l istat, et S 2 s allume à l istat. Soit S reste allumé jusqu à l istat 2, et S s allume à l istat. Soit S reste allumé jusqu à l istat, et S 4 s allume à l istat 2. Ces cas état disjoits, o obtiet :, P (X ) La covergece de la série état évidete, o obtiet : E(X) P (X ) La somme de la série se calcule e utilisat x 0 x /( x) pour x <, e dérivat cette égalité, et e faisat x /4. O obtiet fialemet : E(X) 7. Variables discrètes - Exercices théoriques

12 Exercice 6 - Maximiser l espérace - Oral ESCP -. O a Y (Ω) {,..., }, et par idépedace des variables aléatoires X et X 2 : si k a, P (Y k) P ((X k) (X 2 a)) a. si k > a, P (Y k) P ((X k) (X 2 a)) + P ((X 2 k) (X 2 > a)) a + ( ) 2. O a bie a a + ( a) a Le calcul de l espérace est facile :. O vérifie que : E(Y ) a k a 2 + k a( + ) 2 + ka+ k a 2 + ka+ (a + + )( a) 2 E(X ) + a 2 ( a) E(X ). E(Y ) ( ) (a /2) 2. Aisi, E(Y ) est maximale pour a /2 le plus petit possible : si est pair, c est pour a /2. si est impair, c est pour a ( )/2 ou a ( + )/2. Exercice 7 - Etropie d ue variable aléatoire - L - k. Si X est costate, o a p i pour u i et p j 0 pour j i. O e déduit que H(X) l() Si X est équirépartie, o a p i / pour tout i. O e déduit H(X) i l(/) l(/) l().. Posos f(x) x l(x). Cette foctio est cocave, car sa dérivée secode est f (x) x < 0. O a doc f(p ) + + ( ) f(p p + + p ) f f(/) ce qui se traduit ecore e f(p i ) f(/) l. i i Aisi, o a toujours H(X) l et cette valeur est atteite quad X est équidistribuée. H(X) mesure le désordre egedré par X. Lorsque X e pred qu ue seule valeur, so etropie est ulle (pas de désordre). Lorsque la variable est équidistribuée, le désordre est maximal et l etropie aussi. 2

13 Exercice 8 - Ue autre expressio de l espérace - L2/L/Master Eseigemet -. (a) Pour, o peut écrire : kp (X k) k (P (X > k ) P (X > k)) k k (k + k)p (X > k) P (X > ) + P (X > 0) P (X > k) P (X > ). (b) O a, pour tout etier, kp (X k) P (X > k). La suite des sommes partielles d ue série à termes positifs est majorée. C est que la série coverge. (c) Si X admet ue espérace, la série kp (X k) coverge. Mais : 0 P (X > ) k+ P (X k) k+ kp (X k). Ce derier terme ted vers 0, lorsque ted vers l ifii, comme reste d ue série covergete. Doc : E(X) (d) O utilise le même type d argumet : P (X > k). k 2 P (X k) k 2 (P (X > k ) P (X > k)) (2k + )P (X > k) 2 P (X > ). Si X admet ue variace, X admet u momet d ordre 2, et la série k 2 P (X k) coverge. Mais : 0 2 P (X > ) 2 k+ P (X k) k+ k 2 P (X k). Ce derier terme ted vers 0 lorsque ted vers l ifii, et doc : E(X 2 ) (2k + )P (X > k).

14 2. (a) O a X k si et seulemet si les épreuves ot ameé u résultat iférieur ou égal à k, et o a doc : ( k P (X k) N Quat à la loi de X, o trouve, pour k N : (b) Par la questio précédete : ) ( ) k P (X > k). N P (X k) P (X k) P (X k ) k (k ) N. E(X) N (c) O recoait ici ue somme de Riema de la foctio x x, cotiue sur [0, ]. O a doc, pour N qui ted vers l ifii : N N N ( ) k N 0 ( k N ). x dx +. (d) O a : E(X) N N N ( k N )

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