Physique Générale III Correction Séance 4

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1 Professeur László Forró Ludi 18 ovembre 00 Physique Géérale III Correctio Séace 4 Eercice 1 : 1. Evaluatio du teseur des cotraites σ : Etat doé que l o a affaire à ue tractio pure, uiaiale suivat Oz, tous les élémets du teseur σ ij sot uls, ecepté pour i=j=3, c est-à-dire : σ 33 = σ = F/ab D où : σ = σ De plus, la loi de Hooke pour u solide isotrope peut s écrire sous la forme la plus simple : Où : δ = Trε = ε + ε +ε ) σ = λδδ + µε ij ij ij δ = 0 si i j δ = 1 si i=j (c est le symbole dit de Kroecker) ij ij λ, µ sot les coefficiet de Lamé. La costate λ agit sur les variatios de volume local, et la costate µ est reliée au module de cisaillemet. Ces costates sot propres au matériau. Das otre cas : δ = ε(1 υ, et de la loi de Hooke il découle le système : σ11 = 0= λδ + µε11 σ = 0= λδ + µε σ = σ = λδ + µε (1) () (3) 1

2 E additioat membre à membre ces 3 liges, o obtiet : σ = 3λδ + ( + + ) = ( 3 + ) µ ε ε ε λ µ δ O a eprimé de cette faço le teseur des cotraites e foctio des coefficiets de Lamé et de la trace du teseur de déformatio, c est-à-dire la variatio de volume relative.. Calcul des élémets du teseur de déformatios : Das le cas d ue tractio pure uiaiale suivat z le teseur de déformatio s écrit d ue faço géérale : υε 0 0 ε = 0 υε 0, avec la trace correspodate : δ = ( 1 υ)ε 0 0 ε relative. où ν est le coefficiet de poisso du matériau et l ε = la déformatio l λδ De l équatio (1) ou () décrites ci-dessus o obtiet : ε11 = ε = µ σ λδ et de l équatio (3) : ε33 = µ 3. O cherche à eprimer e foctio des coefficiets λ, µ de Lamé : - Le module d Youg E : Par défiitio : σ33 = σ = Eε33 σ µσ D où : E = =, avec : σ = ( 3λ + µ ) δ σ λδ σ λδ µ soit, après calculs : ( 3 + ) E = µ λ µ. λ + µ - Le coefficiet de Poisso ν : E repreat l équatio (1) : Soit après calcul : υ = λ ( λ + µ ) σ = 0= λδ + µε = λ 1 υ ε µυε 11 11

3 4. Cosidéros u pla de l éprouvette parallèle à l ae O et faisat avec le pla Oy u agle θ : O cosidère das u premier temps la partie supérieure (partie grisée). z Θ y Θ π/ Θ ( 0,si θ, cosθ) t 3 O a la relatio : T = σ (voir supplémet de cours à paraître) soit : ( t1, t, t3) = (0,si θ, cos θ) σ Toutes les composates de ce vecteur de cotraite sot ulles, eceptée t 3 : t3 = σ cosθ. E projetat das le pla choisi, c est-à-dire parallèle à O, o obtiet sa composate tagetielle das ce pla, soit : t 3tg sup = σ cosθsiθ π O remarque aisi que : t3tg sup = 0 θ = 0,,... t3tg sup 0 θ différets De plus, e appliquat le même raisoemet à la partie iférieure de l éprouvette, o obtiet ue composate tagetielle : t3tg if =+ σ cosθsiθ (e effet le vecteur ormal au pla de coupe est alors Ce qui doe schématiquemet : ( 0, si θ,cosθ) ). t 3tg-sup t 3tg-if 3

4 Il eiste doc u cisaillemet das le pla coupat l éprouvette. Ceci eplique la propagatio/diffusio des dislocatios à travers le matériau. E effet, ue dislocatio à besoi d ue force de cisaillemet pour pouvoir se propager. Eercice : ω F() +d F(+d) O églige le chagemet de sectio, le problème deviet doc uidimesioel. O pose le repère fié à la barre. O cosidère comme système u volume élémetaire de la barre (etre et +d). Ce morceau de barre est soumis à : Ue force cetrifuge otée : mw. F( ) : force eercée (sur la surface) par le morceau de barre e amot (etre 0 et ), qui «rappelle» le volume élémetaire à sa positio (c est ue force de rappel élastique). F( + d) : force eercée par la masse de la barre e amot (etre et l etrémité libre de la barre) qui tire sur la surface e +d du volume élémetaire. Le bila des forces doe : m F F d ω = ( + ) (1) où : est la distace à l ae tourat à vitesse ω. D autre part, la masse du volume élémetaire s écrit : m = ρ Ad. Ce qui doe das l équatio (1): ou : ρaω d = F( ) F( + d) df( ) ρaω = (1 ) d 4

5 = De plus : F Aσ et : σ = E ε = E du ( ) doc : F( ) = A E du ( ) Doc : l équatio (1 ) deviet : ρ ω = A A E du où est la distace de l ae das u référetiel tourat à vitesse ω. La desité de force volumique état doe par ω, l équatio de l équilibre deviet : du E d = ρ ω Les coditios de bords sot les suivates : du σ () l = E = 0 d u(0) = 0 = l La première coditio sigifie qu il y a pas de forces à l etrémité libre (il y a pas à l etrémité de morceau de barre a aval pour tirer sur la sectio =l). La secode idique qu il y a pas de déplacemet au iveau de la fiatio etre la barre et l ae e rotatio. E itégrat deu fois selo, o obtiet 3 u = + b+ c ρω 6E Les costates b et c sot détermiées avec les coditios de bord et o obtiet fialemet : u ρω 3 6 ρω = + E E l ce qui se représete graphiquemet aisi :.0 L=1 [E/ρω ].u() [u.a.] X[ u.a.] 5