La notion d intégrale dans l enseignement des mathématiques au lycée : une étude comparative entre la France et le Vietnam

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1 L notion d intégrle dns l enseignement des mthémtiques u lycée : une étude comprtive entre l Frnce et le Vietnm Cong Khnh Trn Luong To cite this version: Cong Khnh Trn Luong. L notion d intégrle dns l enseignement des mthémtiques u lycée : une étude comprtive entre l Frnce et le Vietnm. Mthémtiques [mth]. Université Joseph-Fourier - Grenole I, 6. Frnçis. <tel-6> HAL Id: tel-6 Sumitted on 5 Dec 6 HAL is multi-disciplinry open ccess rchive for the deposit nd dissemintion of scientific reserch documents, whether they re pulished or not. The documents my come from teching nd reserch institutions in Frnce or rod, or from pulic or privte reserch centers. L rchive ouverte pluridisciplinire HAL, est destinée u dépôt et à l diffusion de documents scientifiques de niveu recherche, puliés ou non, émnnt des étlissements d enseignement et de recherche frnçis ou étrngers, des lortoires pulics ou privés.

2 THÈSE EN CO-TUTELLE Présentée pr TRẦN LƯƠNG CÔNG KHANH Pour otenir les titres de Docteur de l Université Joseph Fourier, Grenole et Docteur du Vietnm Spécilité : DIDACTIQUE DES MATHÉMATIQUES LA NOTION D INTÉGRALE DANS L ENSEIGNEMENT DES MATHÉMATIQUES AU LYCÉE : UNE ÉTUDE COMPARATIVE ENTRE LA FRANCE ET LE VIETNAM Soutenue le 9 Décemre 6 Composition du jury Annie BESSOT Jen-Luc DORIER LÊ VĂN Tiến Iselle BLOCH Mrinn BOSCH ĐOÀN HỮU Hải Colette LABORDE LÊ THỊ Hoài Châu Directrice de thèse Directeur de thèse Directeur de thèse Rpportrice Rpportrice Eminteur Emintrice Emintrice Thèse préprée u sein des équipes Didctique des Mthémtiques (DDM), Lortoire Leiniz IMAG Formtion de Troisième Cycle, Université de Pédgogie de Ho Chi Minh Ville

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4 Remerciements Mon père étit mçon, et m mère pysnne... Les remerciements, prtie l plus «ndonnée» pr les lecteurs moins «curieu», sont pour moi un moment scré pour réfléchir sur l rélistion de m thèse, une venture dns un lyrinthe pour chercher son propre fil d Arine. J dresse mes immenses remerciements à Annie Bessot, qui scrifié l pluprt de son temps à m thèse, du point de déprt u point d rrivée. Rigoureuse, efficce et eigente, elle m toujours encourgé tout u long de trois nnées de thèse, notmment dns les moment les plus difficiles de m vie, lorsque m mère est décédée. Elle régi devnt mes choi et mes propositions de mnière très ouverte, me permettnt insi de mener cette recherche jusqu à son chèvement. Grâce à elle, le trvil difficile de thèse est devenu jour près jour une découverte intéressnte à trvers lquelle j i ppris, pprends et pprendri l méthodologie de recherche et l didctique des mthémtiques. Elle est à l fois m directrice de thèse et m mère spirituelle. Mes profonds remerciements vont ussi à Jen-Luc Dorier qui enrichi mes connissnces tnt didctiques que mthémtiques lors des sénces de trvil. Je tiens à eprimer toute m sincère reconnissnce à Lê Văn Tiến qui m ccordé du temps pour discuter du résumé de l thèse en vietnmien et des dipositives. C est pour moi un honneur qu Iselle Bloch et Mrinn Bosch ient rpporté cette thèse. Leurs remrques clires et encourgentes sont intéressntes et utiles. Qu elles veuillent ien recevoir ici mes chleureu remerciements. Toute m grtitude revient églement à Colette Lorde qui ccepté de présider le jury. Je remercie ussi vivement Đoàn Hữu Hải et Lê Thị Hoài Châu d voir prticipé u jury. J i eu le plisir de prtger vec mes collègues de l équipe DDM des moments gréles et les remercie de m voir toujours encourgé. Merci pour le soutien sns restriction. Je pense fort à Afonso, Alin, Clude, Hương, Jen-Frnçois, Mdeleine, Thành et Trung. Je remercie vivement tous mes mis qui m ont ccompgné de près ou de loin, u cours de ces trois nnées. Je ne vous i peut-être ps tous cités, mis schez que je pense à vous. M reconnissnce v, ien entendu, à l Agence universitire de l Frncophonie et à l région Rhône-Alpes pour m voir octroyé une ourse d étude qui m idé finncièrement à réliser cette thèse. Mes remerciements vont finlement à mon épouse Minh Hạnh et à mes fils Qung Nguyên, Nguyên Kho, qui ont ccepté de se priver de mois pendnt trois ns de m formtion doctorle. Je peu désormis jouer u llon vec Kho, résoudre des eercices de mths vec Nguyên et me promener vec Hạnh. En lisnt cette présente thèse, vous verrez entre les lignes écrites tout mon mour pour vous cr j i pensé, pense et penseri toujours à vous.

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6 Tle des mtières Introduction... I. Outils théoriques et prolémtique... I.. Rpport institutionnel à un svoir comme contrinte du rpport personnel... I.. Préologie mthémtique... I.. Trnsposition didctique... I.4. Ostensif et non-ostensif...4 II. Choi méthodologiques... 5 II.. Recours à une enquête épistémologique pour décrire un «modèle d OM»...6 II.. L nlyse institutionnelle synchronique et dichronique et ses mtériu...6 II.. Recours à des epérimenttions diversifiées et permnentes...7 III. Orgnistion de l thèse... 8 Prtie A. Premiers éléments de l'nlyse institutionnelle comprtive entre l Frnce et le Vietnm sur l ojet de svoir «intégrle»... Chpitre A. Étude des progrmmes et des mnuels u Vietnm de 975 à nos jours...5 I. Étude de progrmmes... 5 I.. Période I.. Période I.. Période II. Étude de mnuels... II.. Période II.. Période II.. Période III. Conclusion de l étude des progrmmes et des mnuels u Vietnm (975 6) 44 III.. Clcul de primitive...44 III.. Clcul de l intégrle définie...45 III.. Clcul d ire...45 III.4. Liens entre ire, primitive, intégrle...45 Chpitre A. Étude des progrmmes et des mnuels en Frnce de 97 à nos jours...47 I. Étude de progrmmes I.. Période I.. Période I.. Période II. Étude de mnuels... 5 II.. Période II.. Période II.. Période III. Conclusion de l étude des progrmmes et des mnuels en Frnce (97 6)... 7 III.. Clcul de primitive...7 III.. Clcul d intégrle (définie)...7 III.. Clcul d ire...7 III.4. Liens entre ire, primitive, intégrle...7 Chpitre A. Conclusion de l étude des progrmmes et des mnuels u Vietnm et en Frnce...7 Prtie B. Approfondissement de l'nlyse institutionnelle comprtive pr l'étude des emens finu, de l'pprêtge du svoir et l'étude épistémologique...77

7 Chpitre B. Bcclurét en Frnce et u Vietnm. Concours d entrée universitire u Vietnm... 8 I. Bcclurét en Frnce...8 I.. Période I.. Période I.. Période I.4. Conclusion pour le cclurét en Frnce... 9 II. Bcclurét u Vietnm...94 II.. Période II.. Période II.. Période II.4. Conclusion pour le cclurét u Vietnm... III. Concours d entrée universitire u Vietnm... III.. Période III.. Période III.. Période III.4. Conclusion pour le concours d entrée universitire u Vietnm... 8 IV. Conclusion...9 Chpitre B. Quelques éléments sur l pprêtge de l notion d intégrle pr les enseignnts frnçis et vietnmiens... I. Anlyse priori du questionnire pour l enseignnt... I.. Liens entre ire, primitive et intégrle (Prtie )... I.. Propriétés de l intégrle jugées l plus fcile ou l plus difficile (Prtie )... I.. Techniques d intégrtion enseignées et ordre de leur difficulté (Prtie )... 5 I.4. Eercice, non routinier dns les deu institutions : solutions possiles (Prtie )... 7 I.5. Eercice, solution géométrique à noter et commenter (Prtie )... I.6. Eercices fciles et difficiles du type «clculer f ( ) d» (Prtie )... II. Anlyse posteriori du questionnire pour enseignnt... II.. Liens entre ire, primitive et intégrle (Prtie )... II.. Propriétés de l intégrle jugées l plus fcile ou l plus difficile (Prtie )... 7 II.. Techniques d intégrtion enseignées et ordre de leur difficulté (Prtie )... 9 II.4. Eercice, non routinier dns les deu institutions : solutions ttendues (Prtie )... II.5. Eercice, solution géométrique à noter et commenter (Prtie )... 4 II.6. Eercices d intégrtion fcile et difficile du type «clculer f ()d» (Prtie )... 6 III. Conclusion...9 Chpitre B. Une enquête épistémologique sur l ojet «intégrle» pour un retour sur l nlyse institutionnelle... 4 I. Chngement de vrile et primitivtion...4 I.. Newton, lien entre le tu de vrition instntnée de l ire en et l ordonnée de l coure en... 4 I.. Leiniz, introduction de yd comme sommtion des ires de rectngles infinitésimu de dimension (y, d)... 44

8 I.. Primitivtion et chngement de vrile près l émergence des notions de fonction et de limite...46 I.4. Retour sur les mnuels u Vietnm et en Frnce : domine de fonctionnement des deu méthodes...48 I.5. Conclusion...5 II. Notion de différentielle et nottion d... 5 II.. Notion de différentielle et nottion d dns les références choisies...5 II.. Notion de différentielle et nottion d dns EMS u Vietnm et en Frnce...56 II.. Conclusion...66 III. Clcul pproché d intégrle III.. Clcul pproché d intégrle dns le svoir svnt...66 III.. Clcul pproché d intégrle dns les trités de référence...7 III.. Clcul pproché d intégrle dns EMS en Frnce et u Vietnm...7 IV. Liens entre ire, primitive et intégrle... 7 V. Orgnistion mthémtique de référence et orgnistion mthémtique à enseigner V.. Un modèle d une orgnistion mthémtique de référence...74 V.. Orgnistion mthémtique à enseigner...76 Chpitre B4. Conclusion de l'nlyse institutionnelle comprtive entre l Frnce et le Vietnm sur l ojet de svoir «intégrle»...8 I. Comprison institutionnelle sur l ojet de svoir «intégrle»... 8 I.. Ressemlnce entre les deu institutions...8 I.. Dissemlnce entre les deu institutions...8 II. Trois éléments spécifiques du svoir à enseigner dns l institution vietnmienne.. 84 II.. Ostensif...84 II.. Ostensif d...85 II.. Contrt institutionnel sur le clcul d ire...85 III. Questions sur l effet des contrintes et conditions sur l OM effectivement enseignée u Vietnm Prtie C. Étude du svoir effectivement enseigné u Vietnm...87 Chpitre C. Anlyse du questionnire pour les élèves vietnmiens : rupture du contrt institutionnel pr rpport u clcul d intégrle et u clcul d ire...89 I. Anlyse priori du questionnire pour les élèves vietnmiens I.. Eercice : clcul de primitive...9 I.. Eercice : Étude de sens de vrition d une fonction et d un encdrement numérique de l intégrle...9 I.. Question : Liens entre ire, primitive et intégrle...97 II. Anlyse posteriori du questionnire pour les élèves vietnmiens II.. Eercice : Clcul de primitive...99 II.. Eercice : Étude de sens de vrition d une fonction et d un encdrement numérique de l intégrle... II.. Question : Liens entre ire, primitive et intégrle... III. Conclusion... 5 Chpitre C. Anlyse des copies du cclurét vietnmien I. Anlyse priori... 8 I.. Eercice : clcul d ire...8 I.. Eercice : clcul d intégrle sépré de l ire... II. Anlyse posteriori... 4

9 II.. Eercice : clcul d ire... 4 II.. Eercice : clcul d intégrle sépré de l ire... 9 III. Conclusion...8 Chpitre C. Oservtions de clsses ordinires u moment des révisions du clcul d intégrle et du clcul d ire... I. Repérge des types de tâches, techniques et technologies ssociées, susceptiles d être proposés dns un moment de révision pour le cclurét... I.. Clcul de primitive... I.. Clcul d intégrle sépré des grndeurs... 4 I.. Clcul d ire: deu types de clculs et trois techniques ssociées... 8 II. L oservtion de deu clsses ordinires u moment des révisions du thème de l intégrtion...4 II.. Clcul de primitive... 4 II.. Clcul d intégrle sépré des grndeurs II.. Clcul d ire... 5 III. Conclusion...57 III.. Clcul de primitive vec ou sns l ostensif III.. Clcul d intégrle sépré des grndeurs III.. Clcul d ire Conclusion... 6 I. Sur l comprison Frnce Vietnm : sence de l rison d être de l notion de l intégrle... 6 I.. L ostensif, élément unificteur des notions de primitive et d intégrle u Vietnm, élément séprteur des notions de primitive et d intégrle en Frnce... 6 I.. L ostensif d et ses trois vlences instrumentle et sémiotique... 6 I.4. Le clcul de primitive sns l ostensif, une rupture de contrt u Vietnm I.5. L différencition entre clcul d ire et clcul intégrle I.6. Le sttut prolémtique de l intervlle d intégrtion u Vietnm II. Limites de notre recherche et perspectives...66 Résumé de l thèse en vietnmien Références iliogrphiques Annees... 9

10 Introduction Introduction L notion d intégrle de Riemnn est d une grnde importnce pour les mthémtiques. L émergence de cette notion, tout d ord implicite dns les clculs d ire et de volume, dû ttendre Cuchy (8) puis Riemnn (854) pour devenir un véritle svoir mthémtique. En effet, l formlistion de cette notion nécessite à l fois celle de fonction et celle de limite. Ceci permet d entrevoir pourquoi son enseignement déute trdivement dns les deu pys concernés, l Frnce et le Vietnm (à l fin du lycée) puis se prolonge u niveu universitire. Or de nomreu trvu sur l enseignement de l Anlyse (comme pr eemple, ceu d Artigue 998, Bloch, Legrnd M. 99, Schneider ) ont mis en vnt les difficultés inhérentes à ce chmp des mthémtiques, qu est l Anlyse et dont un élément centrl est l notion d intégrle. «L théorie de l intégrtion joue en mthémtique un rôle etrêmement importnt. C est une théorie riche et complee.» (Revuz 996, Encyclopædi universlis, corpus, p. 46) Pour Bloch (), «l intégrle de Riemnn, les primitives ; fonctions rtionnelles et leurs primitives ; les fonctions logrithmes et eponentielle ; les fonctions usuelles [ ]» font prtie des «ojets institutionnels prégnnts» de l Anlyse, u moins u niveu des premières nnées d Université : «Selon l clssifiction de Bosch et Nin reprise pr Chuvt (Chuvt 997), il s git d ojets qui ont une forte légitimité épistémologique, ce qui fit qu ils sont présents dns les contenus de l enseignement sous une forme peu ltérée depuis à peu près ns.» (Op. cité, p. 4) Au niveu de l enseignement des mthémtiques u lycée en Frnce, l notion d intégrle mrque son importnce à prtir des nnées 97. «Les frontières de l nlyse enseignée u lycée, sns être immules, sont reltivement stles à trvers les évolutions des progrmmes d près guerre. L dérivtion toujours été u cœur de l nlyse, l intégrtion d ord été plus mrginle, mis est devenue à prtir des nnées 7 une utre question centrle.» (Reisz 997, p. 4) Dns le svoir à enseigner u lycée u Vietnm à prtir de 975, on peut mesurer l importnce de l notion d intégrle pr le temps d enseignement qui lui est conscré ( % des sénces d enseignement de l Anlyse dns l période 6) et pr son intervention permnente dns les sujets du cclurét et du concours d entrée universitire. Au Vietnm, un chngement de progrmme eu lieu en 99 u niveu de l clsse à propos de l intégrle définie : une nouvelle définition de l intégrle pr l formule de Newton-Leiniz été introduite. Dns un trvil prélle (Trn Luong ), nous nous sommes interrogé sur le sens insi donné à l notion d intégrle : nous vons mis en évidence qu il y vit là un véritle prolème d enseignement pour le Vietnm. L comprison vec le système éductif frnçis peut permettre de tirer les leçons des similitudes et des ressemlnces liées à des choi d enseignements différents. En retour, une nlyse scientifique de ces choi peut contriuer à l méliortion de l enseignement de cette notion complee dns les deu systèmes.

11 Introduction Pour conduire cette étude scientifique, nous sommes prti des questions initiles suivntes : Quelles sont les spécificités, en prticulier du point de vue épistémologique, de l notion d intégrle en mthémtiques, dns son enseignement? L enseignement de l notion d intégrle s ppuie-t-elle sur l notion d ire? Étlit-il des liens vec l notion de primitive? Pourquoi et comment le fit-il? Pourquoi ne le fit-il ps? Sur quels utres svoirs s ppuie-t-il? Quelles difficultés rencontrent les enseignnts dns leurs prtiques d enseignement, les élèves dns leur pprentissge? Ces difficultés résultent-elles des choi d enseignement ou sont-elles constitutives de l notion d intégrle? En prticulier, quels rôles et quelles significtions ont les nottions et d du point de vue mthémtique ou du point de vue institutionnel? Pour trviller ces questions qui sont à l origine de notre recherche, nous llons leur ssocier des outils théoriques issus principlement de l théorie de l nthropologie du didctique de Chevllrd (985, 989, 99, 998). I. Outils théoriques et prolémtique I.. Rpport institutionnel à un svoir comme contrinte du rpport personnel L théorie nthropologique du didctique s ppuie sur trois termes primitifs : ojet, individu, institution. Le rpport personnel d un individu X à un ojet de svoir O ne peut être étli que lorsque X entre dns une institution I où O eiste. C est à trvers l étlissement de ce rpport que l personne, couple formé pr un individu X et le système de ses rpports personnels R(X, O), devient un sujet de I. Lorsqu une personne entre dns une institution didctique, son rpport personnel à un ojet de svoir O s étlit (s il n eistit ps uprvnt) ou se modifie (s il eistit déjà) sous l contrinte du rpport institutionnel à cet ojet. «Au cours du temps, le système des rpports personnels de X évolue : des ojets qui n eistent ps pour lui se mettent à eister ; d utres cessent d eister ; pour d utres enfin le rpport personnel de X chnge. Dns cette évolution, l invrint est l individu ; ce qui chnge est l personne.» (Chevllrd 99) «Le prolème centrl en didctique est donc celui de l étude du rpport institutionnel, de ses conditions et de ses effets. L étude du rpport personnel est un prolème prtiquement fondmentl, mis épistémologiquement second, de l didctique.» (Chevllrd 989, p. 9) Du point de vue nthropologique, notre recherche porter insi sur l étude du rpport institutionnel à l ojet de svoir intégrle, conçu comme cdre eplictif des contrintes et conditions pour les rpports personnels des enseignnts et des élèves, dns deu institutions différentes : clsse de Terminle en Frnce, et clsse u Vietnm. A l lumière de ce cdre théorique, nous pouvons à présent reformuler en termes de rpport institutionnel quelques-unes des questions posées u déut :

12 Introduction Quels sont les rpports institutionnels à l ojet de svoir intégrle dns chcune des deu institutions? Quelles sont leurs spécificités et leurs ressemlnces? Comment contrignent-ils et conditionnent-ils les rpports personnels des enseignnts et des élèves? I.. Préologie mthémtique Pour nlyser le rpport institutionnel u ojets de svoir, Chevllrd (998) introduit l notion de préologie mthémtique pour décrire une orgnistion mthémtique OM. Une préologie est constituée du qudruplet [T/τ/θ/Θ] où : - T est un type de tâches, contennt u moins une tâche t, présente dns une institution donnée, - τ est une technique permettnt d ccomplir l tâche t, - θ est une technologie justifint l technique τ, - Θ est une théorie justifint l technologie θ. En termes de préologie mthémtique, nous reformulons de nouveu quelques-unes des questions initiles. Quels types de tâches utour de l ojet de svoir intégrle eistent dns chcune des deu institutions? Quelles techniques ssociées sont enseignées? Lesquelles sont privilégiées? Quels sont les discours technologiques justifint ces techniques? Quels sont les éléments théoriques ssociés à ces discours présents dns chcune des institutions? Comment évoluent temporellement les types de tâches, techniques et technologies? Pourquoi? I.. Trnsposition didctique Nous rppelons rièvement l notion ien connue de trnsposition didctique, qui est u cœur de notre trvil. «Tout svoir S est insi ttché à une institution I u moins, dns lquelle il est mis en jeu pr rpport à un domine de rélité D. Le point essentiel est lors qu un svoir n eiste ps in vcuo dns un vide socil : tout svoir pprît, à un moment donné, dns une société donnée, comme ncré dns une ou des institutions.» (Chevllrd 989) Tout svoir, pour pouvoir vivre, doit se soumettre à un certin nomre de contrintes que nous supposons non identiques d une institution à l utre. Chevllrd postule l eistence d institutions trnspositives qui permettent à un svoir de psser d une institution à une utre : l institution de trnsposition est une institution cchée, non visile que Chevllrd ppelle «noosphère» (985). On prler de trnsposition didctique qund l institution cile est une institution d enseignement. Pour le svoir mthémtique, nous reprenons le terme de svoir svnt pour désigner l référence qui légitime l eistence et l vie d un svoir dns l institution d enseignement. Nous en présenterons les conséquences méthodologiques plus loin.

13 Introduction L trnsposition didctique peut donc se schémtiser en trois chînons : svoir svnt (Institution productrice) Ojet à enseigner (Institution trnspositive) Ojet enseigné (Institution d enseignement) Nous compleifions ce schém en reprennt de Rvel () l notion d pprêtge du svoir : «Nous entendons pr svoir pprêté pr un enseignnt le svoir produit pr celui-ci à l suite de choi mthémtiques et didctiques fits dns une perspective d enseignement du svoir à enseigner. Ce svoir pprêté se situe à l interfce de deu «mondes» : emlémtique de l ctivité de l enseignnt en mont des prtiques en clsse, il est églement le moteur de son ctivité en clsse.» (Op. cité, p. 7) Nous vons donc le schém finl : Svoir svnt Trnsposition didctique interne Svoir à enseigner Svoir «pprêté» (Projet de cours) «Apprêt» du tete du svoir Svoir enseigné En termes de trnsposition didctique, nous revenons sur les questions initiles pour les reformuler et les compléter. Quels sont, dns chcune des deu institutions, les écrts entre : - le svoir svnt intégrle (de Riemnn) et le svoir à enseigner? - le svoir à enseigner et le svoir pprêté? - le svoir pprêté et le svoir enseigné? En prticulier : Quels types de tâches utour de l ojet de svoir intégrle sont présents ou sents dns chcune des deu institutions pr rpport u svoir svnt? Pourquoi? Quelles techniques ssociées sont modifiées? Pourquoi? I.4. Ostensif et non-ostensif L modélistion du svoir mthémtique en termes d ojets et d interreltions entre ojets pose «le prolème de l nture des ojets mthémtiques et celui de leur fonction dns l ctivité mthémtique» (Bosch et Chevllrd 999). Bosch et Chevllrd distinguent deu types d ojets : les ojets ostensifs, les ojets non ostensifs. 4

14 Introduction Un «ojet ostensif du ltin ostendre, montrer, présenter vec insistnce pour nous référer à tout ojet ynt une nture sensile, une certine mtérilité, et qui, de ce fit, cquiert pour le sujet humin une rélité perceptile.» (Op. cité, p. 9) «Les ojets non ostensifs sont lors tous ces ojets qui, comme les idées, les intuitions ou les concepts, eistent institutionnellement u sens où on leur ttriue une eistence sns pourtnt pouvoir être vus, dits, entendus, perçus ou montrés pr eu-mêmes : ils ne peuvent qu être évoqués ou invoqués pr l mnipultion déqute de certins ojets ostensifs ssociés (un mot, une phrse, un grphisme, une écriture, un geste ou tout un long discours).» (Iid.) Dns les usges humins, les ojets ostensifs se distinguent des ojets non ostensifs pr le fit qu ils peuvent être concrètement mnipulés. «L nottion log et le mot logrithme sont des ojets ostensifs. En revnche, l notion de logrithme est un ojet non ostensif qu il n est ps possile de mnipuler u sens précédent. On peut seulement le rendre présente le représenter pr l mnipultion d un certin nomre d ojets ostensifs ssociés, telle l nottion log pr eemple. Dns l pluprt des cs, les ojets institutionnels se verront ssociés à un ojet ostensif privilégié, leur nom, qui en permettr une évoction minimle.» (Iid, p. 9) L dilectique de l ostensif et du non-ostensif se trduit pr : - L ttchement étroit à une institution donnée ; «Ostensifs et non-ostensifs sont toujours des ojets institutionnels dont l eistence ne dépend que très rrement de l ctivité d une seule personne.» (Iid, p. 9) - L co-ctivtion d ojets ostensifs et d ojets non-ostensifs en toute ctivité humine ; «[...] l mise en œuvre d une technique se trduit pr une mnipultion d ostensifs réglée pr des non-ostensifs.» (Iid, p. 9) L vlence instrumentle d un ostensif (ou l instrumentlité d un ostensif) est son fonctionnement comme instrument permettnt d ccomplir une tâche. «[...] un ojet ostensif y est considéré d ord comme un instrument possile de l ctivité humine, c est-à-dire comme une entité qui permet, en ssocition vec d utres, de conformer des techniques permettnt d ccomplir certines tâches, de mener à ien un certin trvil. De là que nous reconnissions à l ojet ostensif ce que nous nommerons une vlence instrumentle, ou instrumentlité, vlence qui eiste ussi ien dns les symoles écrits (en mthémtiques, pr eemple) que dns les mots que l on prononce ou dns les gestes que l on fit» (Iid, p. 7) L vlence sémiotique d un ostensif (ou l sémioticité d un ostensif) est son fonctionnement comme signe. Elle fonctionne en étroite reltion vec s vlence instrumentle. Un ostensif peut perdre son instrumentlité en perdnt s sémioticité. En termes d ostensif, nous complétons les questions initiles pr les suivntes : Quelles sont les vlences instrumentle et sémiotique des ostensifs et d mises en jeu dns chcune des deu institutions? Comment interviennent-elles dns le rpport institutionnel à l notion d intégrle dns les institutions étudiées? II. Choi méthodologiques Nos choi méthodologiques sont guidés pr l étude de l trnsposition didctique. 5

15 Introduction II.. Recours à une enquête épistémologique pour décrire un «modèle d OM» Pour repérer les écrts entre l vie de l ojet de svoir intégrle dns chcune des deu institutions choisies, entre elles et vec le svoir svnt de référence : - dns un premier temps, nous prendrons comme référence un ensemle de types de tâches sur le thème de l intégrle présents u niveu de l Université des deu pys pour conduire une première nlyse institutionnelle et ouvrir un premier chmp de questions sur les OM à enseigner et les prtiques institutionnelles possiles ; - dns un second temps, nous effectuerons une enquête épistémologique centrée sur le chmp des questions posées précédemment, pour outir u descriptions d un modèle d OM (ou OM de référence) et des OM à enseigner dns les deu institutions considérées. Dns l description des OM, nous nous ppuierons sur ce que Bosch, Espinoz et Gscon () proposent à propos de l notion de limite de fonctions. «[ ] une OM de référence, c est-à-dire, un «modèle d OM» [ ] permettr d nlyser les reconstructions possiles proposées dns les progrmmes officiels et dns les mnuels sur les limites de fonctions. Étnt donné que l un des grnds types de tâches didctiques du professeur est l reconstruction de l OM ojet d étude, le premier ps que nous proposons consiste à nlyser le contenu mthémtique officiel dns l enseignement secondire et que le professeur tendr de fire vivre chez ses étudints. Cette nlyse nous permettr de mettre en évidence les contrintes institutionnelles qui sont imputles u contenu mthémtique pour son enseignement et qui, certinement, ffectent son étude dns l clsse.» II.. L nlyse institutionnelle synchronique et dichronique et ses mtériu Les préologies scolires «peuvent être fortement nturlisées, u point de devenir complètement trnsprentes pour les sujets de l institution qui les ssument et les trnsmettent à trvers leurs prtiques institutionnlisées» (Bosch et Gscon, p. ) On peut donc fire l hypothèse que l conscience des crctéristiques épistémologiques d un tel ensemle de préologies échppe u sujets des institutions (ici les clsses terminles de l Enseignement Mthémtique Secondire EMS en Frnce et u Vietnm). Pour tenter de dénturliser notre regrd sur les préologies scolires dns les deu phses décrites précédemment, nous effectuons des nlyses institutionnelles comprtives suivnt deu es : dichronique et synchronique. L comprison synchronique porte principlement sur deu institutions d enseignement : clsse de Terminle en Frnce, et clsse u Vietnm. Mis nous serons mené à évoquer une troisième institution, «l première nnée de l Université vietnmienne», dns l nlyse de son concours d entrée. L rison de ce choi se trouve dns le fit que : - L notion d intégrle est enseignée à l fin du lycée, en clsse de Terminle en Frnce et en clsse u Vietnm ; En nous ppuynt sur l trduction en frnçis effectuée pr Annie Bessot. 6

16 Introduction - Le cclurét vietnmien n ouvrnt ps l ccès à l enseignement supérieur (contrirement à l Frnce), un concours d entrée universitire est orgnisé pour sélectionner les meilleurs cndidts. Les rédcteurs du concours étnt issus de l Université, les types de tâches et les solutions ttendues dns le concours correspondent à des prtiques effectives et stles à l Université. Ce concours pèse institutionnellement sur EMS u Vietnm. Nous fisons référence à Le Vn () en ce qui concerne le choi des mtériu de l nlyse institutionnelle : progrmmes et mnuels. «L trnsposition didctique d un ojet de svoir est crctérisée pr l mise en tete du svoir, donc en première pproimtion, pr l construction des progrmmes et des mnuels. Les progrmmes désignent les ojets de svoir à enseigner, découpent et orgnisent ces ojets selon les cycles ou les niveu scolires. Ils définissent insi les ttentes des responsles de l enseignement (les noosphériens) à propos de ces ojets de svoir. Ils constituent un cdre pour un hypothétique tete de svoir. Les mnuels représentent une mise en tete officielle des svoirs à enseigner, désignés pr les progrmmes.» (Op. cité, p. 4) Les deu institutions considérées étnt les clsses terminles de EMS, nous vons ussi pris en compte les emens finu : ccluréts frnçis et vietnmien, concours d entrée universitire vietnmien. L nlyse synchronique vise donc à : - mettre en évidence et crctériser les productions différentes et similires de l trnsposition didctique du même ojet de svoir intégrle (de Riemnn) dns des institutions différentes ; - questionner les ressemlnces et dissemlnces institutionnelles en termes de conditions et de contrintes ; - initier un répertoire de préologies eistntes et envisger leurs développements possiles. L nlyse dichronique nous permet de mettre en évidence l évolution temporelle d un système, évolution qui outi à son étt ctuel, et pr conséquent, de mieu comprendre cet étt (d équilire). II.. Recours à des epérimenttions diversifiées et permnentes Dns notre recherche, nous ne mettons ps en plce une seule epérimenttion, et ne suivons ps le schém «étude théorique, hypothèses, epérimenttion». Des hypothèses et des questions sont formulées tout le long du processus de notre trvil et nous recourrons à des epérimenttions ou à des oservtions u moments mêmes des formultions pour mettre à l épreuve ces hypothèses ou pporter des éléments de réponses à ces questions. Pour concevoir ces epérimenttions ou ces oservtions, nous n hésiterons ps à suivre le conseil de Cstell et Jullien (99) : «Une vrile importnte de toute epérimenttion est son coût. Et il n est sns doute ps inutile de rppeler qu un coût élevé n est ps à lui seul une grntie de qulité, c est-à-dire qu une epérimenttion d un coût très file peut être tout à fit pronte.» (op. cité, p. 76) 7

17 Introduction Nous mettrons donc en plce un système d epérimenttions diversifiées que nous jugeons pront pr rpport u hypothèses ou u questions de notre recherche : - questionnires uprès d élèves et/ou d enseignnts ; - oservtions nturlistes de clsses ; - entretiens vec enseignnts et responsles de EMS. III. Orgnistion de l thèse L thèse s orgnise en trois prties : A, B et C. L prtie A est conscrée à une première nlyse comprtive entre les clsses terminles de EMS en Frnce et u Vietnm sur l ojet de svoir intégrle, à trvers l étude des progrmmes et de mnuels de chcune des deu institutions durnt trois périodes historiques choisies. Cette nlyse nous permet d outir à nos premières hypothèses et questions sur les ressemlnces et dissemlnces du rpport institutionnel à l notion d intégrle dns chcune des deu institutions. Dns l prtie B, pour pprofondir l'nlyse institutionnelle comprtive, nous effectuons : - une étude des emens finu : ccluréts frnçis et vietnmien, concours d entrée universitire vietnmien ; - une étude de l pprêtge de l notion d intégrle pr les enseignnts frnçis et vietnmiens à trvers un questionnire ; - une enquête épistémologique sur l ojet intégrle. Cette prtie nous permet : - de décrire une OM de référence, - d ffiner l comprison des OM à enseigner reltivement u thème de l intégrtion en Frnce et u Vietnm, - de dégger trois éléments spécifiques du svoir à enseigner dns l institution vietnmienne. - de questionner l effet des contrintes et conditions sur l OM effectivement enseignée u Vietnm. Dns l prtie C, nous étudions le svoir effectivement enseigné u Vietnm pr différentes nlyses : - des réponses d élèves vietnmiens à des tâches en rupture de contrt institutionnel pr rpport u clcul d intégrle et u clcul d ire ; - de copies corrigées du cclurét vietnmien 5 ; - de chroniques résultnt d oservtion nturliste de sénces de clsses, u moment des révisions du clcul d intégrle et du clcul d ire pour le cclurét vietnmien. Ces nlyses conduisent à un ensemle de résultts sur l effet des contrintes et conditions sur l OM effectivement enseignée u Vietnm. Ci-près, nous présentons l structure de notre mnuscrit à l ide d un orgnigrmme. 8

18 Introduction Prtie A Premiers éléments de l'nlyse institutionnelle comprtive entre l Frnce et le Vietnm sur l ojet de svoir «intégrle» Chpitre A Étude des progrmmes et des mnuels u Vietnm de 975 à nos jours Chpitre A Étude des progrmmes et des mnuels en Frnce de 97 à nos jours Chpitre A Conclusion de l étude des progrmmes et des mnuels u Vietnm et en Frnce Prtie B Approfondissement de l'nlyse institutionnelle comprtive pr l'étude des emens finu, de l'pprêtge du svoir et l'étude épistémologique Chpitre B Bcclurét en Frnce et u Vietnm. Concours d entrée universitire u Vietnm Chpitre B Quelques éléments sur l pprêtge de l notion d intégrle pr les enseignnts frnçis et vietnmiens Chpitre B Une enquête épistémologique sur l ojet «intégrle» pour un retour sur l nlyse institutionnelle i Chpitre B4 Conclusion de l'nlyse institutionnelle comprtive entre l Frnce et le Vietnm sur l ojet de svoir «intégrle» Prtie C Étude du svoir effectivement enseigné u Vietnm Chpitre C Anlyse du questionnire pour les élèves vietnmiens : rupture du contrt institutionnel pr rpport u clcul d intégrle et u clcul d ire Chpitre C Anlyse des copies du cclurét vietnmien 5 Chpitre C Oservtions de clsses ordinires u moment des révisions du clcul d intégrle et du clcul d ire 9

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20 Prtie A. Premiers éléments de l'nlyse institutionnelle comprtive entre l Frnce et le Vietnm sur l ojet de svoir «intégrle»

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22 Prtie A - Introduction Cette prtie pour ojectif de mettre en évidence le rpport institutionnel à l ojet de svoir intégrle dns deu institutions d enseignement différentes, l enseignement des mthémtiques dns l clsse u Vietnm et dns l clsse de Terminle en Frnce. Pour cette nlyse, nous prenons comme références initiles les deu mnuels universitires suivnts : - Fikhtengolz G. M. (968), Éléments d nlyse mthémtique, Tome I, Éditions Hyĸ, Moscou, trduction en vietnmien (977), Universités et lycées professionnels, Hnoï. - Lng S. (964), A first cours in clculus, Addison-Wesley, réédition (), Springer. Leur nlyse permet de repérer différents types de tâches concernnt le thème de l intégrle : Bloc. Clcul de primitive T. Clculer f ( ) d Bloc. Clcul d intégrle T. Clculer f ( ) d T. Clculer pproimtivement f ( ) d Bloc. Applictions de l intégrle T4. Clculer l longueur d un rc (dns un pln ou dns l espce) T5. Clculer l ire d une surfce plne T6. Clculer l ire d une surfce de révolution T7. Clculer le volume d un corps T8. Clculer le centre de grvité d une plque homogène T9. Clculer le moment d inertie d une plque homogène T. Clculer le trvil d une force vrile Les types de tâches présents dns ces deu mnuels concernent un même genre de tâches «Clculer». Trois ojets fondmentu sont concernés pr ces clculs : primitive, intégrle et grndeurs. Prmi toutes les grndeurs, nous privilégions l grndeur ire, prce qu elle est présente dns deu hitts, de fçon implicite dns le clcul d intégrle et de fçon eplicite dns les pplictions de l intégrle ; mis ussi pour des risons épistémologiques que nous développerons plus trd. Ce premier constt nous mène à formuler les questions de déprt qui serviront de trme à cette première nlyse institutionnelle : Quels sont les types de tâches présents? Lesquels sont sents? Pourquoi? Quelles sont les techniques de clcul introduites? Lesquelles sont privilégiées? Lesquelles sont sentes? Pourquoi? Quelles pplictions de l intégrle sont présentes? Lesquelles sont sentes? Les pplictions de l intégrle mises en jeu nécessitent-elles d utres connissnces? Lesquelles? Quels sont les liens étlis entre les trois ojets fondmentu du clcul intégrl ire, primitive, intégrle? Pour chercher des éléments des réponses à ces questions, nous concentrerons notre nlyse sur les types de tâches présents dns chque institution, les techniques mises en œuvre, et les technologies qui les justifient.

23 Prtie A - Introduction Dns l étude de progrmmes, nous choisissons des périodes qui mrquent les moments historiques des chngements curriculires dns chque institution. Au Vietnm, ce sont les périodes suivntes : L période de trnsition qui suivi l réunifiction du pys : Pendnt cette période, l enseignement primire et secondire du pys fonctionne selon deu modlités différentes. Dns le Nord, il ne dure que di ns et l notion d intégrle est sente des progrmmes. Dns le Sud, il dure douze ns et l notion d intégrle est introduite dns le progrmme d Anlyse de clsse. Notre nlyse porter donc sur l enseignement des mthémtiques u lycée dns le Sud. L période de l première réforme éductive : 99 L période préprtoire à l deuième réforme éductive qui entrer en vigueur u lycée u mois de septemre 6 : 6 En Frnce : L période de l réforme des mthémtiques modernes : L période de l contre-réforme des mthémtiques modernes : 98. Bien qu il n y it ps de chngement fondmentl à propos de l notion d intégrle, nous distinguerons dns cette période trois épisodes différents : ; ; 994, pr l fçon d introduire l notion d intégrle. L période ctuelle : 6 4

24 Chpitre A Chpitre A. Étude des progrmmes et des mnuels u Vietnm de 975 à nos jours I. Étude de progrmmes I.. Période L notion d intégrle durnt cette période n est enseignée que dns le Sud du pys où le progrmme d Anlyse de clsse s orgnise en qutre chpitres durnt 97 sénces : l réprtition des sénces est donnée dns le tleu suivnt : Chpitres Nomres de sénces Chpitre I. Applictions de l dérivée 4 Chpitre II. Intégrle indéfinie 7 Chpitre III. Intégrle définie Chpitre IV. Applictions du clcul intégrl 7 Totl 97 Tleu. Réprtition des 97 sénces concernnt l Anlyse en clsse (Sud Vietnm) L notion de dérivée est introduite en clsse de fçon très complète, vec l dérivée à droite et à guche, l dérivée d une somme, d un produit, d un quotient de fonctions dérivles, l dérivée de l composée de deu fonctions dérivles, l dérivée de l fonction réciproque d une fonction (qund elle eiste), l dérivée des fonctions puissnces, eponentielles, logrithmiques, trigonométriques et trigonométriques réciproques. À l suite de l notion de dérivée, le progrmme de clsse définit l notion de différentielle comme suit : On définit l différentielle d une fonction f u point reltive à pr l epression df( ) = f ( ). On pplique cette définition à l fonction identique pour démontrer d = et otenir df df( ) = f ()d. On présente l nottion, l significtion géométrique de l différentielle, d l ppliction de l différentielle u clcul pproché, et les règles de différentition. Ce que le progrmme ppelle différentielle d une fonction f u point reltive à est mthémtiquement l imge de pr l fonction différentielle de f u point. Aussi identifie-t il implicitement dns l démonstrtion de l églité d = () l imge de pr l fonction différentielle de l fonction identique à cette fonction elle-même. L intention de l institution n est ps donc d introduire l notion de différentielle comme ppliction linéire mis de préprer l enseignement des techniques d intégrtion, surtout du chngement de vrile. En clsse, les deu thèmes mjeurs de l Anlyse u progrmme sont l dérivée pr ses pplictions à l étude de fonctions et l intégrle. À ce dernier thème, sont conscrés trois chpitres recouvrnt 57 sénces, soit 59 % du temps d enseignement de l Anlyse. Le progrmme prescrit le contenu de ces trois chpitres dns l ordre suivnt : Chpitre II. Intégrle indéfinie. Primitive et intégrle indéfinie. Propriétés de l intégrle indéfinie. Tleu des intégrles indéfinies usuelles 5

25 Chpitre A. Méthodes d intégrtion pour l intégrle indéfinie 4. Intégrtion de certines fonctions Chpitre III. Intégrle définie. Définition de l intégrle définie. Conditions de l intégrilité. Propriétés de l intégrle définie 4. Lien entre intégrle définie et primitive 5. Méthodes d intégrtion pour l intégrle définie Chpitre IV. Applictions du clcul intégrl. Aire d une surfce plne. Volume d un corps géométrique. Volume d un corps de révolution 4. Centre de grvité d une plque homogène 5. Moment d inertie Les sections 4 et 5 du chpitre IV sont hors des épreuves du cclurét. Pour les méthodes d intégrtion, le chngement de vrile et l intégrtion pr prties sont introduits à deu reprises dns le chpitre de l intégrle indéfinie et dns celui de l intégrle définie. Les méthodes d intégrtion selon certins types de fonctions sont étudiées de fçon systémtique et générle pour l intégrle indéfinie : fonctions α + β rtionnelles, fonctions R, m (R est une fonction rtionnelle de deu γ + δ n vriles et α, β, γ, δ, m sont cinq constntes) et fonctions trnscendntes sin, n cos, n sin, n cos, n e, (n nturel). L élève le droit de moiliser les techniques introduites u moment de l intégrle indéfinie pour clculer l intégrle définie de fonctions nlogues. Dns ce progrmme, l intégrle ne sert ps à générer de nouvelles fonctions comme l fonction eponentielle ou l fonction logrithmique, l construction des fonctions élémentires fondmentles étnt chevée en clsse. En revnche, l intégrle pprît comme un outil pour l géométrie et l physique. Un chpitre spécifique est conscré à ce rôle : clcul d ire, clcul de volume (dont le clcul de volume d un corps de révolution en prticulier), centre de grvité d une plque homogène et moment d inertie. Cette orgnistion du progrmme eprime priori l intention de l institution d étlir deu plces égles à l intégrle indéfinie et l intégrle définie et de mettre en vleur les pplictions de l intégrle définie. I.. Période 99 C est durnt cette période que se déroule l première réforme éductive du Vietnm. L enseignement primire et secondire dure douze ns dns le Nord comme dns le Sud mis les progrmmes d enseignement sont légèrement différents selon les régions. Nous continuons à nlyser le progrmme d Anlyse de clsse mis en œuvre dns le Sud. Nous présentons dns le tleu, l orgnistion et l réprtition des sénces du progrmme d Anlyse de clsse. Sont ppelées u Vietnm fonctions élémentires fondmentles les fonctions suivntes : fonctions puissnces, fonctions eponentielles, fonctions logrithmiques, fonctions trigonométriques et fonctions trigonométriques réciproques. L somme, l différence, le produit, le quotient et l fonction composée des fonctions élémentires fondmentles s ppelle fonction élémentire. 6

26 Chpitre A Chpitres Nomres de sénces Chpitre I. Complément u fonctions et limites 9 Chpitre II. Dérivée 9 Chpitre III. Quelques pplictions de l dérivée 8 Contrôle écrit en fin de semestre Chpitre IV. Intégrle 5 Chpitre V. Anlyse comintoire 7 Révision et contrôle écrit en fin d nnée scolire 8 Totl 7 Tleu. Réprtition des 7 sénces concernnt l nlyse en clsse (Vietnm) L notion de dérivée, introduite en clsse dns le progrmme précédent, se retrouve mintennt en clsse, suivie des pplictions à l étude de fonctions. Pour préprer l enseignement de l dérivée, un nouveu chpitre «complément u fonctions et u limites» pprît u déut du progrmme. L Anlyse comintoire est présentée pour l première fois. L notion de différentielle disprît. Pr rpport u progrmme précédent, les thèmes mjeurs ugmentent en nomre : fonction, limite, dérivée, intégrle, et nlyse comintoire. Pr conséquent, l proportion du clcul intégrl dns le progrmme isse considérlement. En effet, l intégrle n occupe plus qu un chpitre de 5 sénces, soit % du temps d enseignement de l Anlyse. Ainsi, le temps d enseignement conscré à l intégrle isse plus de deu fois pr rpport à l période précédente ( % contre 59 %). Les méthodes, les techniques d intégrtion et les pplictions de l intégrle à enseigner serontelles réduites? Lesquelles? Le progrmme prescrit les sections du chpitre Intégrle comme suit : Chpitre IV. Intégrle. Primitive. Intégrle. Méthodes d intégrtion 4. Applictions du clcul intégrl L notion de primitive remplce l notion d intégrle indéfinie et l nottion f ( ) d disprît. C est pourquoi, l notion d intégrle définie devient tout simplement intégrle. En rison de l suppression de l intégrle indéfinie, le chngement de vrile et l intégrtion pr prties sont introduits uniquement pour l intégrle [définie]. Bien que l notion de différentielle ne soit ps définie, le progrmme utorise l introduction des conventions du = u ()d, dv = v ()d dns le ut de simplifier l écriture de l formule d intégrtion pr prties. Aucune section spécifique n est réservée à l étude systémtique et générle de l intégrtion selon certins types de fonctions. En revnche, on essie de présenter à titre d eemple certines intégrles concrètes typiquement choisies dns l section Méthodes d intégrtion. Les pplictions de l intégrle se réduisent u clcul d ire et de volume d un corps de révolution. On n orde ps le clcul d un corps géométrique générl. 7

27 Chpitre A Ainsi, l intégrle indéfinie est supprimée, mis les deu méthodes d intégrtion pour l intégrle [définie] et deu pplictions de l intégrle sont conservées. I.. Période 6 Le ministère de l Éduction et de l Formtion du Vietnm énonce deu directives jugées fondmentles pour le remniement et l fusion des progrmmes de mthémtiques pour l ensemle du pys : () L essentiel des progrmmes d Anlyse de clsse de l période 99 doit rester inchngé. () L chrge de l pprentissge doit être diminuée, c est-à-dire que le niveu de difficulté doit diminuer, en même temps que l on simplifie les contenus trop compliqués jugés inutiles. Le nouveu progrmme d Anlyse de clsse s orgnise en 4 chpitres durnt 7 sénces (tleu ). Chpitres Nomre de sénces Chpitre I. Dérivée Chpitre II. Applictions de l dérivée à l étude de fonctions 6 Révision et emen en fin du er semestre 5 Chpitre III. Primitive et intégrle Chpitre IV. Algère comintoire Prtique de clcul vec l clcultrice Csio f-5a Révision et emen en fin d nnée Totl 7 Tleu. Réprtition des 7 sénces concernnt l Anlyse en clsse (Vietnm) Ainsi, le clcul intégrl est présenté dns le chpitre III, enseigné pendnt sénces, soit % du temps d enseignement de l Anlyse. Le temps d enseignement réservé à ce thème est presque le même que celui de l période 99 ( % contre %). Les sections du chpitre sont identiques à celles du progrmme précédent : Chpitre III. Primitive et intégrle. Primitive. Intégrle. Méthodes d intégrtion 4. Quelques pplictions de l intégrle Pour les méthodes d intégrtion, le chngement de vrile et l intégrtion pr prties sont conservés. Le clcul d ire et le clcul de volume d un corps de révolution le sont ussi. Les seules modifictions concernent les fonctions sur lesquelles porte l intégrtion : - les fonctions trigonométriques réciproques, leurs dérivées et les primitives concernées sont éliminées. - l notion de différentielle est réintroduite, officiellement u service de l intégrtion. À ce propos, le Guide pour l enseignnt écrit : 4. Dérivée d ordre supérieur et 5. Différentielle 8

28 Chpitre A Rien n est prticulier pour ces deu sections cr elles sont réduites u mimum. On suggère de reporter l notion de différentielle u chpitre Primitive et Intégrle prce que cette notion n est utilisée que dns ce chpitre. L enseignnt peut le fire. Ceci n influence rien l logique du progrmme. Le progrmme propose de présenter de fçon très superficielle un eemple simple de df l ppliction de l différentielle u clcul pproché et de supprimer l nottion, l d significtion géométrique de l différentielle et les règles de différentition. Ainsi, l répprition de l notion de différentielle dns le ut de servir u clcul intégrl et l disprition des fonctions trigonométriques réciproques comme fonctions à intégrer mrquent les seules différences entre les progrmmes des deu dernières périodes. Méthodes d intégrtion Applictions Différentielle Chngement de vrile et intégrtion pr prties pour intégrle indéfinie Chngement de vrile et intégrtion pr prties pour intégrle définie Clcul d ire, clcul de volume d un corps géométrique (dont clcul de volume d un corps de révolution) Centre de grvité d une plque homogène, moment d inertie (hors des épreuves du cclurét) Introduction complète de l notion de différentielle dns le chpitre Dérivée en clsse : définition, significtion géométrique, ppliction u clcul pproché et règles de différentition Chngement de vrile et intégrtion pr prties pour intégrle [définie] Clcul d ire, clcul de volume d un corps de révolution Disprition de l notion de différentielle Conventions du = u ()d, dv = v ()d introduites dns Méthodes d intégrtion pour simplifier l formule d intégrtion pr prties Chngement de vrile et intégrtion pr prties pour intégrle [définie] Clcul d ire, clcul de volume d un corps de révolution Réintroduction simplifiée de l notion de différentielle dns le chpitre Dérivée ou dns le chpitre Intégrle : définition, eemple simple sur son ppliction u clcul pproché Tleu 4. Tleu comprtif des progrmmes d Anlyse en clsse (Vietnm) Nous pouvons mintennt répondre en prtie u premières questions posées u déut de l prtie. Le chngement de vrile et l intégrtion pr prties, u fil des trois périodes, sont présents dns les progrmmes comme deu méthodes du clcul d intégrle, indéfinie et définie pour le progrmme , d intégrle [définie] pour les deu utres périodes. Seuls les clculs d ire et de volume d un corps de révolution sont deu pplictions de l intégrle présentes dns tous les progrmmes. Pour tenter de répondre u utres questions, nous llons eminer les mnuels. Dns le progrmme en vigueur, l notion de différentielle est plcée dns le chpitre Dérivée. 9

29 Chpitre A II. Étude de mnuels II.. Période Comme nous l vons noté dns l étude de progrmme correspondnt, le clcul intégrl pendnt cette période n est enseigné que dns le Sud du pys vec comme support un seul mnuel d Anlyse pour toute l région. Pour notre étude, nous nous référerons à l édition 979 du mnuel Anlyse. L intégrle y est présentée en trois chpitres conformément u progrmme : Intégrle indéfinie, Intégrle définie et Applictions du clcul intégrl. Chque chpitre se divise en un certin nomre de sections dont chcune comprend deu prties : Cours, Eercices. Les résultts des eercices proposés sont donnés à l fin du mnuel. II... Anlyse du chpitre Intégrle indéfinie. Prtie Cours Le mnuel note f ( ) d une primitive quelconque de f et il ppelle intégrle indéfinie d une fonction l ensemle de ses primitives qu il note ussi f ( ) d. Il ne distingue cependnt ps primitive et intégrle indéfinie, quoique l première soit une fonction et l deuième, un ensemle. L nottion f ( ) d est donc utilisée de fçon usive dns l prtie Cours pour désigner à l fois une primitive quelconque de f et l intégrle indéfinie de f. Dns l prtie Eercices, cette nottion est toujours prise pour désigner l intégrle indéfinie. Ainsi, le clcul de primitive eiste sous l forme du clcul d intégrle indéfinie f ( ) d. Le mnuel présente le tleu des «intégrles indéfinies» usuelles :