MATHEMATIQUES ET ECONOMIE AU LYCEE

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1 Uiversité de Bourgoge IREM MATHEMATIQUES ET ECONOMIE AU LYCEE Soldes -30% Gagez +5% e 3 as Profitez du meilleur de la Bourse U modèle simple est iexact U modèle complexe est iutilisable Quelques situatios Leurs modèles mathématiques Les limites de ces modèles Jui 00 Groupe Mathématiques-Scieces Ecoomiques et Sociales IREM de Bourgoge

2 Préface Cette troisième brochure du groupe Maths-SES de l'irem de Dijo a pour but, comme les deux précédetes, de proposer des activités ou de doer des idées d'activités liat Mathématiques et Ecoomie Les thèmes étudiés sot issus de problèmes écoomiques doat lieu à modélisatio ou directemet mathématisés Cette brochure s'adresse bie sûr à des classes de SES mais aussi à des classes de S, car les activités mathématiques à support écoomique e sot pas réservées aux seules classe de ES Certais sujets sot d'ailleurs plus spécifiques de S (ou peuvet servir de support de TPE e ère ES ou S) Efi, certais sujets peuvet être pertiets e BTS L'esprit gééral de cette ouvelle publicatio est orieté vers la formatio du citoye ou vers des problèmes o triviaux de la vie courate Par exemple certais sujets ot pour but de doer des outils afi de cotrôler le bie fodé d'iformatios voire de débattre de la validatio d'u modèle Autre spécificité, certais sujets peuvet coduire à des traitemets iformatiques Efi o verra commet la géométrie peut être utile pour traiter u de ces sujets La compositio de cette brochure va permettre de préciser ce qui est écrit ci-dessus Partie I : Modèles et(ou réalités O est ameé à traiter : Du bo usage des mathématiques, où l'o se red compte de l'usage dagereux qui peut être fait de certais modèles (e particulier e statistiques mais pas seulemet) ; c'est là que se pose avec acuité le problème de la validatio ou des limites d'u modèle Des modèles pour produire des ombres au hasard ; quelle cofiace peut-o accorder à ces modèles? O retre ici u peu das la philosophie du hasard Cet article 'est pas issu de l'écoomie, mais c'est ue questio que 'o s'est posée à propos des simulatios d'expérieces aléatoires Partie II : Des foctios pour les scieces Ecoomiques et Sociales Foctio associées (mathématiques et écoomie) ; Mathématiques SVT ; SES : deux situatios pour u même modèle ; o s'est attaché ici à la crédibilité pédagogique de ces situatios Partie III : Autour de la bourse, u peu de fiace Iitiatio à la bourse Activités Partie IV : Mathématiques fiacières Prêts, itérêts, mesualités où l'o peut soit utiliser u programme iformatique mais aussi cotrôler l'exactitude d'u taux ou d'ue mesualité, ou avoir ue idée de l'ordre de gradeur Ce sujet permet de voir l'utilité de certaies applicatios des suites e particulier celles de la forme u + au +b Partie V : L'occasio de faire de la géométrie Quelle est la probabilité que la somme des arrodis de plusieurs ombres soit égale à l'arrodi de la somme de ces ombres? (Suggéré par la coversio frac-euro) O est aisi ameé à détermier des lois de probabilités à partir de volumes détermiés par des sectios plaes de cube

3 Du "bo" usage de l'iformatio chiffrée Quelques thèmes de réflexio pour os élèves de lycée Jea-Marie THOMASSIN, lycée Carot, Dijo Argumeter, élaborer et justifier ses affirmatios, démotrer, costruire u raisoemet solide, logique, sas faille, valider ue cojecture O pourrait aisi citer ecore bie d'autres objectifs de l'eseigemet des mathématiques Pour beaucoup, u travail mathématique (cosidéré par certais à priori comme sas faille : o fait cofiace à so auteur, spécialiste e la matière) apparaît souvet comme u argumet irréfutable (o eted souvet des affirmatios du type "de ombreuses études mathématiques ot prouvé mes affirmatios") C'est imparable, hote à celui qui coteste : s'il 'est pas d'accord, c'est qu'il e compred rie ou, pire, qu'il ose cotester u spécialiste icotestable Pourtat il existe quelques situatios où l'o peut se permettre quelques critiques : il suffit que l'objet mathématique (aturellemet beau et icotestable) soit, comme 'importe quelle autre citatio, sorti de so cotexte ou que l'o oublie ivolotairemet de préciser le champ de l'étude ou le domaie de validité du travail réalisé O coaît de ombreux exemples où u objet, u outil, détourés de ce pour quoi ils ot été coçus, ot servi à d'autres fis ; ue clé à molette, ue maivelle, u gigot, peuvet très bie deveir ue œuvre d'art ou l'arme du crime Comparaisos Quoi de plus aturel et de plus covaiquat que d'utiliser des "chiffres" pour comparer et covaicre Et pourtat, il faut quelquefois être très attetif E voici quelques exemples : Locatio d'u véhicule U loueur de véhicules affiche, e très gros, le sloga "locatio à prix uique" suivi du tarif uique : 9,99 par jour et d'ue * revoyat à u très petit : "voir coditio e agece" E fait, sauf das u cas très précis, il e s'agit là que du motat de la "prise e charge" et il faut ajouter à cette somme le prix de chaque m parcouru et ce derier déped du type de véhicule choisi (e somme, le tarif idiqué est pour 0 m ) U autre loueur préted être le mois cher sur le marché, mais le tarif qu'il idique das sa publicité correspod, e fait, à ue somme fixe augmetée du tarif au m, e somme pour u trajet global de m O coaît de ombreux exercices proposat de rechercher le meilleur choix das ce gere de situatio : le choix se fera, e gééral, e foctio de la distace à parcourir et o sait que le mois cher 'est souvet pas toujours le même Il faut comparer après avoir défii le trajet à parcourir Voici u exercice parmi tat d'autres : Exercice : Avat de déméager, mosieur Autoar étudie la locatio d'ue camioette ; il a cosulté quatre sociétés spécialisées situées à proximité de so domicile actuel Les tarifs proposés sot les suivats : Société A : 9,99 par jour plus 0,99 par m parcouru ; Société B : 4,99 par jour plus,9 par m parcouru ; 3

4 Société C : 49,99 par jour, ilométrage illimité ; Société D : 34,99 par jour plus par m au-delà de 00, les 00 premiers ilomètres état offerts gratuitemet Q : E e cosidérat que le tarif jouralier, quel est le meilleur choix? Q : E e cosidérat que le tarif au m, quel est le meilleur choix? Q3 : E ajoutat les sommes idiquées, quel est le meilleur choix? Q4 : Que peser des méthodes de comparaiso proposées das les questios précédetes? Q5 : Quel sera le meilleur choix si mosieur Autoar estime le trajet à 60 m aller et retour? Q6 : O ote x la distace totale à parcourir das ue jourée ; exprimer chacu des tarifs e foctio de x ; représeter graphiquemet chacue des foctios obteues puis défiir graphiquemet et par le calcul le meilleur choix e foctio de x Le futur locataire du véhicule e devra pas oublier qu'il faut évetuellemet aussi teir compte de frais aexes que certaies des locatios peuvet egedrer (assuraces, rachat de frachises, frais de dossier, frais de lavage, de ettoyage, achat d'u it de déméagemet, carburat, etc) Pour établir ue comparaiso judicieuse, os élèves doivet predre cosciece qu'il faut défiir des critères de comparaiso qui serot les mêmes pour tous et pertiets Quelle est la meilleure équipe? Lors de jeux iter-villes, les équipes de 6 villes se sot affrotées ; chaque épreuve a doé lieu à la remise d'ue médaille d'or, d'ue médaille d'arget et d'ue médaille de broze ; o souhaite classer ces équipes Les résultats sot les suivats : Ville Or Arget Broze A 3 B C 3 D 0 5 E F 0 6 Pour chacu des critères suivats, doer le classemet correspodat et idiquer, selo vous, quel est le "meilleur" classemet et pourquoi Le ombre de médailles d'or Le ombre de médailles d'arget Le ombre de médailles de broze Le ombre total de médailles L'ordre "lexicographique" (Or/arget/broze) Le ombre de poits (3 par médaille d'or, par médaille d'arget, par médaille de broze) L'ordre alphabétique Le ombre de poits (3 par médaille d'or, par médaille d'arget, par médaille de broze avec u bous de 6 poits pour la ville ayat obteu le plus de médailles das la même catégorie) Le ombre de poits (3 par médaille d'or, par médaille d'arget, par médaille de broze et o retrache 3 poits par catégorie sas médaille) Chacu pourra évidemmet imagier d'autres critères 4

5 3 Quelle est la meilleure classe? Quoi de plus aturel que le souhait de comparer les résultats de plusieurs classes, de plusieurs écoles, de plusieurs lycées, de plusieurs auto-écoles? Voici quelques argumets publicitaires pour guider le choix d'ue auto-école : Auto école A+ Jui 008 : 4 lauréats à l'exame du permis de coduire Auto école APrime Jui 008 : 9 lauréats à l'exame du permis de coduire Auto école Alpha Jui 008 : 4 lauréats se sot adressés à ous Auto école Aleph0 35 lauréats depuis javier 008 Auto école Aleph 45 as d'expériece Auto école Bêta Votre permis pour 0 par jour Auto-école Ière 95% de réussite Il s'agit là de quelques exemples où les comparaisos sot difficiles par maque d'iformatio Pour les auto-écoles A+ et Aprime, o e dispose que de doées brutes, or la situatio 'est pas la même si o obtiet 4 réussites e présetat 4 cadidats ou 35 O amèe alors aturellemet les élèves à utiliser les pourcetages pour faire des comparaisos ; mais o sait que, pour avoir u taux de réussite élevé, il suffit souvet de e pas préseter certais cadidats "douteux" Quat à l'argumet "4 lauréats se sot adressés à ous", il a été réellemet utilisé par ue société privée qui, à u cocours, décomptait au ombre de ses succès tous les cadidats qui s'étaiet adressés à elle (au ses littéral) c'est-à-dire avaiet pris au mois u reseigemet (ex les tarifs) chez eux E gééral, l'argumet : "Votre permis pour 0 par jour" omet ue précisio fodametale : la durée de paiemet Quat à la durée (moyee?) écessaire à l'obtetio du permis, elle est e géérale omise O peut facilemet imagier des comparaisos, aturellemet plus polémiques, sur le taux de réussite de classes, d'établissemets scolaires à u exame (quel critère utiliser : u pourcetage brut ou ue formule teat compte du parcours scolaire des cadidats, de l'eviroemet social, de l'échage évetuel d'élèves etre établissemets, de sorties "aticipées" ou "prématurées"?) 4 Le prix du pai Mosieur Dupi est e wee-ed das ue petite statio baléaire où sot établies quatre boulageries ; il a relevé le prix d'ue baguette de pai Voici les résultats de so equête : Boulagerie Avoie Blé Cébo Disette Prix moye Samedi, 0,85 0,9,05 Dimache Fermé 0,9 0,95,09 Calculer le prix moye d'ue baguette de pai das cette statio le samedi Calculer le prix moye d'ue baguette de pai das cette statio le dimache 3 Quelle est l'évolutio du prix moye d'ue baguette et l'évolutio du prix das chacue des boulageries? 5 Evolutio de moyees L'exemple précédet illustre l'ifluece des extrêmes sur le calcul d'ue moyee qui, si la populatio de référece sur laquelle o fait le calcul évolue, peut doc varier das u ses différet de celui des élémets qui la composet Citos quelques exemples cous : Das ue classe, la moyee peut progresser sas qu'aucue ote 'augmete, si certais élèves "bie choisis" sot absets et réciproquemet Das ue classe de 30 élèves, les otes à u devoir se sot réparties comme suit : 5

6 Note Moyee Effectif Quelle est la moyee? Au devoir suivat, les élèves ayat obteu ou 8 ot été absets ; tous les autres ot obteu 0,5 poit de mois ; commet évolue la moyee? Das ue etreprise ou u secteur professioel, le salaire moye peut augmeter sas qu'aucu travailleur e voit so reveu s'améliorer, il suffit que des employés dot les salaires sot les plus bas quittet l'etreprise (départ e retraite, chômage, délocalisatio ou "exteralisatio" de leur activité ) Exemple : "Le fil d'or" est ue etreprise textile disposat de 4 sites : Site Au gai travailleur Au joyeux luro Chic et Choc Le Fil Spécialité Vêtemets de Coceptio et Tabliers, blouses, Articles de ville détete et de commercialisatio vêtemets de travail et de luxe sport d'articles textiles Effectif Salaire mesuel moye Détermier le salaire mesuel moye das la société "Le fil d'or" La société "le fil d'or" décide de se séparer du site "Au gai travailleur" par vete à la cocurrece ; que deviet le salaire moye das la société aisi trasformée? Même questio si, e plus, les travailleurs restat acceptet ue dimiutio "volotaire" de salaire de 50 euros chacu das l'itérêt de la société De maière aalogue, chacu a déjà pu costater que le motat de ses achats 'évolue pas de la même maière que l'idice officiel des prix qui est ue moyee coefficietée calculée sur les prix de produits qui e sot pas toujours ceux que l'ot est ameé à acheter et qui peut itégrer l'effet de soldes dot o 'a pas toujours bééficié 6 Effet de structure Das u lycée e présetat des élèves au baccalauréat que das la filière L et das la filière S i, o a relevé les résultats suivats : Série Réussite Echec Total Garços 4 L Filles 6 8 Garços 80 0 S i Filles 8 Compléter le tableau précédet Détermier le taux de réussite des garços et celui des filles e série L ; les comparer et doer le taux de réussite e série L das l'établissemet 3 Détermier le taux de réussite des garços et celui des filles e série S i ; les comparer et doer le taux de réussite e série S i 4 Détermier le taux de réussite des garços et celui des filles das l'établissemet ; les comparer, expliquer l'écart costaté et doer le taux de réussite global das l'établissemet 6

7 Aisi, ue costatatio faite sur chaque sous-groupe (ici égalité des "chaces" de réussite etre garços et filles das chaque série) peut e pas être vraie sur le groupe complet (le lycée) C'est l'effet de structure lié à la costitutio de chaque sous-groupe E outre, peut-o sas problème, faire des statistiques sur le regroupemet des résultats à u exame des cadidats de deux séries très différetes? C est ue autre questio à se poser 7 Fromage ou dessert A la catie d'u lycée, il y a deux chaîes où les élèves se servet ; chaque ratioaire est affecté à ue seule des deux chaîes Pour résoudre le problème du choix etre le fromage et le dessert, o a décidé que, das la chaîe, o e propose que du fromage (trois variétés différetes) et das la chaîe, o e propose que des desserts ( variétés différetes) ; les autres plats sot idetiques das les deux chaîes de distributio A l'issue du repas, o demade à chaque ratioaire s'il est satisfait de so sort O a regroupé les résultats obteus das le tableau ci-dessous : Chaîe (fromage) Chaîe (dessert) Taux de satisfactio Nombre de satisfaits Secode 40% 8 Première 30% Termiale 60% 84 Total Secode 60% 48 Première 40% 64 Termiale 70% 4 Total Effectif total Pour chaque chaîe, calculer l'effectif total par iveau Détermier le taux de satisfactio parmi les élèves à qui o a proposé du fromage 3 Détermier le taux de satisfactio parmi les élèves à qui o a proposé u dessert 4 Des deux taux précédets, quel est le plus élevé? Peut-o e déduire que les élèves préfèret le fromage? Expliquer le paradoxe apparet : e secode, e première, e termiale, iveau par iveau, le taux de satisfactio est plus élevé quad o propose u dessert et, pourtat, globalemet, il y a iversio de l'ordre 8 Mortalité Sur le site iteret wwwstatistiques-modialescom, o peut trouver, pour chaque pays, les valeurs de divers idicateurs pour l'aée 008 Voici quelques extraits du tableau cocerat le taux mortalité e 008 (e "pour 000") Afghaista 9,56 Afrique du sud,70 Algérie 4,6 Arabie Saoudite,5 Belgique 0,38 Caada 7,6 Chili 5,77 Chie 7,03 Colombie 5,54 Costa Rica 4,34 E A U,3 Equateur 4, USA 8,7 Filade 0 Frace 848 Libye 3,46 Suède 0,4 Tuisie 5,7 Peut-o e déduire que les médecis sot plus efficaces e Arabie Saoudite ou e Libye qu'e Frace, e Belgique ou e Suède? Il y a là aussi u problème de structures différetes des populatios et divers thèmes de réflexio O trouvera aussi sur ce site, des tableaux cocerat l'espérace de vie par pays, l'âge média ou le PIB et u idicateur peu cou dit "Idice de Développemet Humai" qui fait ue moyee arithmétique (?!) etre trois gradeurs totalemet 7

8 différetes : le taux de scolarisatio et d'alphabétisatio, l'espérace de vie et ue quatité calculée à partir du logarithme décimal du PIB 9 Quelques pratiques bacaires a Cartes de crédit Commet comparer des crédits offerts par des orgaismes différets sur des périodes différetes, à des taux évidemmet différets? Les etreprises spécialisées ot appris depuis logtemps à détourer l'attetio de la clietèle et savet mettre e exergue u argumet frappat du type "payer das 3 mois", "acheter à crédit pour seulemet quelques euros de plus", "acheter à crédit et o vous offre u stylo, ue assurace vol ou bris", etc U vedeur de voitures e est même arrivé à l'affirmatio "repartez avec votre voiture euve et u chèque de 3000 " Il est bo de faire réfléchir os élèves sur ces pratiques et de rappeler qu'u outil de comparaiso existe : le TEG ; o pourra alors souvet se redre compte que certaies propositios apparemmet alléchates iduiset u TEG de l'ordre de 9% l'a ou plus, c'est-à-dire à la limite du taux de l'usure Avec u tel taux, ue remise de 0% sur le motat du premier achat fait avec la carte de crédit e ruie pas l'orgaisme prêteur b U placemet Au plus fort d'ue période d'evolée boursière, ue baque a proposé à ses cliets u placemet sur trois as de type SICAV idexé sur le CAC 40 avec u taux d'itérêts miimum auel garati de l'ordre de 4% avec la metio "que le CAC 40 fasse 0% ou plus" ; o faisait compredre aux cliets que, même si la bourse e progressait pas, hypothèse très pessimiste, ils verraiet leur capital augmeter au mois du taux miimum (sas idiquer qu'il y avait aussi u taux maximum ) ; la bourse s'est effodrée et les cliets 'ot pas retrouvé leur capital iitial, ce qui 'est pas cotraire à l'argumet publicitaire utilisé Il y a eu seulemet omissio d'u risque Certaies baques 'hésitet plus désormais à idiquer pour taux d'itérêts, o plus u taux auel, mais celui correspodat à la durée totale du placemet ; des activités de comparaiso sur ce thème serot utiles à os élèves Exemple d'argumet : gager 5% e 5 as (questio à se poser : quel est le taux auel moye équivalet, selo le pricipe des itérêts composés?) "Profiter du meilleur de la bourse", tel était l'argumet d'u placemet sur 3 as idexé sur u paier coteat actios différetes du CAC 40 ; le pricipe cosistait chaque trimestre à predre pour évolutio de référece pour le calcul des itérêts, l'évolutio la meilleure des actios du paier Chaque trimestre, le cliet bééficiait doc, théoriquemet, du meilleur des taux d'évolutio costaté Puis veait le trimestre suivat Ce qu'o évitait de dire au cliet mais qui figurait das les petites liges était que l'actio observée comme la meilleure pour le trimestre et dot l'évolutio a servi de référece, était retirée du paier même si, le trimestre suivat, c'est ecore elle qui est la plus performate Toutes les actios du paier servet doc ue et ue seule fois pour le calcul de l'évolutio 0 Commet choisir? Préférez-vous deux fois plus de café ou u café deux fois mois cher? Préférez-vous 40% de remise sur l'esemble du stoc ou u rabais sur 50% du stoc? Soldes : e démarque Après ue première baisse de 30%, o propose ue deuxième baisse de 0% sur le prix soldé ; obtiet-o aisi ue baisse de 50%? Quelle est la baisse globale? Après ue première baisse de x% (x das [0 ; 50]), détermier le taux t(x) à appliquer pour obteir ue baisse totale de 50% ; étudier la foctio t(x) 8

9 Promotio : 50% de remise sur le deuxième article Par défiitio, le e article est le mois cher des deux Quel est le pourcetage global de remise si les deux articles sot de même valeur? Quel est le pourcetage global de remise sur les deux articles si l'u vaut 60 et l'autre 40? 3 Le premier article vaut 60 et le deuxième x, avec 0<x<60 ; détermier le pourcetage f(x) de remise sur l'esemble des deux articles ; étudier cette foctio Variate : carte de réductio trasport où le cliet a droit à ue remise de 50% sur le prix de chaque trajet pedat 6 mois moyeat l'achat de la carte de réductio au tarif de 50 O ote x le prix iitial de l'esemble de tous les trajets evisagés sur la période et f(x) le taux de réductio réel e teat compte de l'achat de la carte ; détermier, étudier et représeter graphiquemet f 3 Photocopieuse : Pour utiliser ue photocopieuse, il faut payer u aboemet mesuel ; chaque photocopie est esuite facturée, le cliet réglat chaque facture e fi de mois Deux sociétés proposet leurs services : Société A :,5 par mois, les 4 premiers mois d'aboemet sot gratuits (mais pas les photocopies) Société B : par mois, les 6 premiers mois d'aboemet sot gratuits (mais pas les photocopies) Détermier, e foctio de la durée totale prévisible de l'aboemet, le meilleur choix, les photocopies état facturées au même prix das chacue des deux sociétés Toute ressemblace avec certaies pratiques 'état pas forcémet à exclure Il faut doc attirer l'attetio des élèves sur la recherche des bases et référeces utilisées pour les calculs et les comparaisos Les TPE s'y prêtet bie Evolutio Evolutio du prix du ticet de bus (pour quelques cetimes de plus) Das ue ville moyee, o a pu relever les prix successifs du ticet idividuel de bus e quelques aées ( hausses par a, pas toujours aocées à l'avace) : Prix 0,80 0,85 0,90 0,95 Pourcetage de hausse par rapport à la valeur précédete Pourcetage de hausse par rapport à la valeur iitiale Calculer le pourcetage de chaque hausse par rapport à la valeur précédete Calculer le pourcetage de chaque hausse par rapport à la valeur iitiale de 0,80 3 Justifier ou commeter les affirmatios suivates : Toujours plus Ue hausse de quelques cetimes seulemet (pour u meilleur service) Ue hausse costate 9

10 La hausse est e baisse Le pétrole augmet plus vite Ue hausse limitée grâce à l'usage dus gaz aturel 4 Chez mo boulager, la baguette est aussi passée, de la même maière, de 0,80 à 0,85 puis 0,90 et efi 0,95 (argumet utilisé : le prix du blé augmete) Puis-je e déduire que : Prix du ticet de bus et prix de la baguette sot liés par ue très forte corrélatio? Je vais bietôt payer ma baguette? Le prix du blé et le prix du pétrole sot liés? Evolutio d'u reveu Das u quotidie aujourd'hui disparu, o a pu lire le titre suivat : "Reveu agricole : 7,3% e 99" (Source : INSEE) L'article précise que le calcul a été fait par rapport à l'aée précédete Mais il e faut pas séparer cette iformatio des suivates : Les deux aées précédetes ot été très favorables (+6,7% e 989 et +9,3% e 990) L'évolutio est calculée e fracs costats, c'est-à-dire iflatio déduite Il s'agit d'u reveu moye représetat des situatios très différetes et pas toutes aussi favorables L'évolutio de la populatio agricole (il suffit quelque fois d'u classemet différet de certaies catégories parmi les mois favorisées pour faire évoluer favorablemet u idice ) O peut facilemet trouver de très ombreux exemples bâtis sur le même modèle O peut citer, etre autre, l'exemple classique qui réapparaît périodiquemet et cocere l'évolutio de la déliquace, du taux d'occupatio des prisos, du taux d'affaires o élucidées par la police (pour faire baisser ce taux, il suffit d'iciter les victimes de certais "faits divers" à e pas déposer plaite mais à faire ue simple déclaratio eregistrée sur ue "mai courate" suffisate pour les assuraces ) Les activités proposées et les TPE sot l'occasio d'attirer l'attetio de os élèves sur le bo usage des "chiffres" et de maière plus géérale de l'iformatio récoltée O veillera doc à ce que les élèves mettet e pratique quelques pricipes simples : Vérifier chaque iformatio récoltée ; Ne pas se fier à ue seule source d'iformatio, même réputée fiable, les diversifier ; Eviter des argumets du type : "c'est écrit das le joural ou sur Iteret", "o l'a etedu à la télé doc c'est vrai" ; Recouper les iformatios ; Récolter plusieurs poits de vue différets ; Cofroter les opiios ; Coaître la maière d'élaboratio des iformatios chiffrées recueillies et leur champ de validité ; Bie idetifier les différets types d'évolutio 0

11 3 Du bo usage d'ue étude statistique U classique Le /0/003, das u quotidie à diffusio atioale, o peut lire l'iformatio suivate : "l'expériece de dédoublemets de cours préparatoires, mise e place depuis u a das ue ciquataie d'écoles, e doerait que des résultats miimes, selo les évaluatios commuiquées hier E mars, les élèves de CP à effectifs réduits avaiet réussi des épreuves à 65,% e moyee, cotre 64,% pour les élèves de CP "ormaux" Le miistre de l'educatio doit prochaiemet aocer des mesures pour poursuivre sa lutte cotre l'illettrisme" A la lecture du texte, o est aturellemet ameé à se demader si ue telle mesure, aturellemet coûteuse est à maiteir, compte teu de la faible augmetatio du taux de réussite (+,%) Le texte, cité das so itégralité, e précise i le cotexte de la mesure i celui de l'étude statistique dot, à priori, o e mettra pas e doute les résultats chiffrés Il me semblerait écessaire de coaître quelques iformatios supplémetaires : L'expériece est-elle termiée ou est-ce u cotrôle "d'étape"? Que coteait l'évaluatio, quels étaiet ses objectifs (cotrôle de coaissaces, d'aptitudes ormalemet acquises ou mesure du "degré d'acquisitio")? Le taux de réussite de 64,% obteu par les élèves de CP "ormaux" paraît bie faible au ovice que je suis Est-ce ormal? Peut-o espérer, par exemple e fi d'aée, u taux de réussite supérieur au même test? Y a-t-il u lie etre ce taux et le pourcetage d'élèves d'ue trache d'âge ayat le baccalauréat (les deux ombres me semblet voisis)? Le test a-t-il été réalisé sur l'esemble des élèves bééficiat du dispositif ou sur u échatillo (choisi commet)? Commet ot été choisies les écoles ou classes bééficiat du dispositif, par tirage au sort ou e foctio de résultats de tests préalables? Quels étaiet les résultats de chacu des deux groupes avat la mise e place du dispositif? Quel était plus précisémet ce dispositif? E effet, das certaies classes, le dispositif a cosisté à dédoubler 3 heures d'eseigemet hebdomadaires alors que das d'autres la période de dédoublemet était plus importate A-t-o, das l'étude statistique, séparé ces deux groupes? Quel aurait été le résultat du groupe bééficiat du dispositif s'il 'e avait pas bééficié? O peut raisoablemet peser que le taux de réussite aurait été iférieur à celui du groupe dot o pese qu'il 'a pas besoi du dispositif Quel aurait été le résultat de l'autre groupe s'il avait bééficié du dispositif? O trouve ici u exemple classique d'ue utilisatio abusive de la comparaiso des résultats obteus pour ue même étude statistique meée sur deux groupes aux caractères différets O pourrait de la même maière étudier d'autres dispositifs d'aide idividualisée Il y a quelques aées, o utilisait, de la même maière, les statistiques pour réduire le ombre de redoublemets : O cosidère deux cohortes d'élèves d'ue même classe d'âge dot o mesure le taux de réussite au baccalauréat Le premier groupe est costitué d'élèves 'ayat jamais redoublé au cours de leur scolarité, le deuxième e cotiet que des élèves ayat redoublé au mois ue fois O costate esuite que, das le premier groupe, le taux de réussite au Bac est plus élevé que das le secod O e déduit doc tout aturellemet qu'il vaut mieux être das le premier groupe que das le

12 deuxième et doc que le redoublemet 'est pas favorable à la réussite au Bac Il faut doc supprimer les redoublemets O e peut pas comparer les deux groupes aisi costitués car ils e cotieet pas, e termes de réussite au Bac, la même populatio, sauf à cosidérer que les décisios de redoublemet sot prises par tirage au sort, ce qui e semble pas être le cas Das quelle catégorie doit-o placer les élèves ayat échoué au Bac et suivat ue deuxième aée de termiale, sas avoir redoublé au préalable? Si comparer les résultats d'ue étude sur deux groupes peut aturellemet apporter certais eseigemets, il faut teir compte de la maière dot ot été costitués les deux groupes pour doer des coclusios valables Aisi, u chef d'établissemet d'u lycée disposat de 4 classes de ère S avait-il costitué 3 classes avec 35 élèves pour chacue des trois et ue derière classe avec 4 élèves seulemet (mais "bie choisis" ) A la fi de l'aée scolaire, il costata que, sur l'esemble des 05 élèves des trois classes "chargées", le taux de passage e termiale était supérieur à celui de la classe ayat 4 élèves (à cette époque, le passage e termiale était ecore du ressort du coseil de classe) Il e déduit doc tout aturellemet qu'il valait mieux costituer des classes à 35 élèves que des classes à 4, oubliat la maière dot il avait choisi les élèves de la classe à 4 De la même maière, le fait, pour u élève, d'etrer das u lycée ayat u taux de réussite "bo" au Bac e suffit pas pour réussir, il doit e plus fourir u certai travail et faire preuve par lui-même de certaies capacités O e désige pas les lauréats par tirage au sort Le sort de chacu e résulte pas de la simple apparteace passive à u groupe où chacu, idépedammet de so actio, aurait la même probabilité de réussite Il faut se préseter à l'exame, fourir u certai travail Au Bac, o peut aussi se demader s'il est licite de comparer les taux de réussite das des séries différetes, les cotextes (populatios, épreuves, débouchés, ) état aturellemet différets Que peut-o raisoablemet déduire de ces comparaisos ou de moyees diverses calculées sur u esemble comportat des cadidats de séries différetes? Il faudra predre garde à certaies coclusios u peu trop hâtives qui pourraiet être faites Aisi, il est arrivé qu'u observateur, costatat que le taux de réussite était supérieur e série STT qu'e série S, e déduise que les élèves de STT étaiet meilleurs que ceux de S puisqu'ils réussissaiet mieux au BAC et que, pour augmeter le ombre d'élèves e S, il suffisait d'aller les chercher e série STT Remarque : Il a été metioé plus haut, u taux passat de 64,% à 65,% ; la valeur idiquée pour la hausse a été de +,% O a classiquemet, ici deux présetatios possibles de cette variatio : La variatio absolue : 65,-64,, ; le symbole % idiqué est doc impropre ; o utilise alors souvet le terme de "poits" La variatio relative : o compare l'évolutio à la valeur iitiale 64, : ici o a alors ue hausse de,7% du taux de réussite, ce qui est umériquemet supérieur à, Le choix de l'ue ou l'autre des deux versios 'est e gééral pas iocet Quad le taux de chômage passe de 9% à 0% de la populatio active, commet préseter cette évolutio : Hausse de poit du taux de chômage ; % de plus des actifs sot sas travail ; Le taux de chômage augmete de,%? A vous de choisir Les TPE sot ue activité propice pour attirer l'attetio sur l'usage qui peut être fait de certaies affirmatios chiffrées

13 4 Le choix d'u modèle 4 Courbes de régressio L'exemple le plus simple de l'utilisatio des mathématiques pour appuyer u raisoemet ou ue affirmatio est celui de l'utilisatio de résultats issus des statistiques Das ce cas, il e s'agira e gééral pas seulemet de décrire u phéomèe mais aussi de décrire so évolutio e foctio des variatios de tel ou tel paramètre, le plus cou est aturellemet le temps mais o étudie aussi souvet l'évolutio d'ue quatité "variable" e foctio d'ue autre à laquelle elle est liée Ue démarche classique, la trame de ombreux exercices proposés à os élèves peut se décrire, de maière très simplifiée, comme suit : O réalise ue étude statistique à deux variables agrémetée de la costructio du uage des poits ; O recherche ue courbe ou ue droite de régressio traduisat "l'allure du uage et l'évolutio costatée" ; la courbe aisi tracée est e gééral la représetatio graphique d'ue foctio 3 O utilise la foctio aisi costruite pour décrire certaies évolutios prévisibles et faire des prédictios (les plus sérieux idiquerot, avec les coclusios, ue metio du type "si la tedace costatée se maitiet") ; 4 O oublie assez vite l'étude statistique et le uage d'origie pour e coserver que la foctio obteue qui pred alors e quelque sorte u statut de "loi" établie ("par ue étude mathématique") ; les choix faits lors de l'étude statistique ot été oubliés 5 O applique à la foctio aisi costruite divers résultats mathématiques qui iduiset des coclusios sur le phéomèe étudié 6 O oublie le procédé de costructio de la foctio et les choix faits pour e reteir que les coclusios obteues, deveues certitudes, sas préciser les limites du modèle 7 O dégage des prévisios pour l'aveir qui devieet trop vite des certitudes 8 O élabore e loi des propriétés de la foctio étudiée, le cas le plus classique état celui du ses de variatio : o élabore ue relatio y f(x) etre deux "variables" écoomiques ; o costate par exemple que f est croissate et o e déduit aussitôt que si x augmete alors y augmete aussi (et réciproquemet ) ; les plus hoêtes parlerot e termes de "tedaces", mais tous aurot oublié que, f état le résultat d'ue étude statistique et o de la réalité, il 'y a pas ue réelle relatio foctioelle etre x et y ; das u uage statistique (sauf pour les séries chroologiques) plusieurs poits peuvet avoir la même abscisse ce qui est beaucoup plus rare pour la représetatio graphique d'ue foctio Il est doc écessaire de bie faire compredre (et faire savoir à tous) qu'ue courbe de régressio 'est que la simplificatio d'u phéomèe trop complexe et o le phéomèe luimême : o a u outil pour décrire et prévoir, "toute chose égale par ailleurs", des évolutios ou des variatios mais les résultats obteus peuvet se révéler par la suite iexacts, surtout lorsqu'o étudie les évolutios e dehors du champ des valeurs iitiales des variables cosidérées E voici deux exemples cocerat la régressio affie, la plus coue et la plus facile à pratiquer : A partir de la foctio x², il est facile de costruire ue série statistique à deux variables (x,y) où le coefficiet de régressio liéaire dépasse 0,999, les poits ayat doc ue très forte tedace à s'aliger ; pourtat le phéomèe aisi approché 'est pas liéaire ou affie Si, das u certai itervalle, l'approximatio par ue droite peut se justifier, o voit facilemet les erreurs qui peuvet être faites si o s'écarte trop de l'itervalle iitial d'étude O peut gééraliser cet exemple e cosidérat ue courbe et ses tagetes Il est des doées pour lesquelles ue approximatio affie peut ameer à des coclusios maifestemet peu valables : les pourcetages de la catégorie "part d'u tout", par exemple le taux de réussite au baccalauréat, le taux d'équipemet des méages e machie à laver le lige, e machie à sécher le lige, e ordiateur etc Ue étude statistique avec régressio affie peut ameer rapidemet à ue prédictio d'u taux dépassat 00% Das ce cas, o predra sois de se 3

14 demader si effectivemet tous les méages serot équipés, voir suréquipés à la date prévue ou s'il faut chager de modèle Des processus de cotrôle ou de validatio des résultats obteus existet ; même s'ils e sot pas eseigés das os classes, o peut attirer l'attetio sur leur existece, leur écessité et e préseter quelques exemples simples N'oublios pas que former u citoye c'est aussi l'aider à être o u cosommateur mais u utilisateur "raisoable" des outils à sa dispositio ; il doit doc appredre à compredre certaies pratiques 4 Le choix du modèle Das les études statistiques, lors de la costructio d'ue courbe de régressio, o va souvet choisir ue régressio affie : c'est la plus simple, la plus coue, la plus facile à costruire graphiquemet (ue lige droite, c'est facile à costruire et à compredre) et la seule au programme Par le biais de la foctio logarithme épérie, o peut e proposer d'autres e exercice à os élèves : régressios logarithmique, expoetielle ou de type x r O peut aussi explorer les possibilités ouvelles offertes par certaies machies à calcul sophistiquées et par les logiciels spécialisés Il sera alors très profitable de faire costruire les différetes courbes de régressio obteues das u même repère et de faire costater que, das certais cas, les prévisios faites pour l'aveir peuvet varier de maière spectaculaire, ce que l'o faisait aussi jadis e comparat les prévisios obteues par la méthode de régressio des moidres carrés de y e x à celles obteues par la même méthode mais e faisat ue régressio de x e y Plus gééralemet, lorsque l'o dispose de deux "variables" écoomiques quatitatives x et y etre lesquelles o a costaté ou soupçoé u certai lie liat leurs évolutios respectives, o va modéliser cette relatio par ue foctio mathématique Commet choisir? O peut aturellemet utiliser des outils statistiques, mais, parmi les modèles proposés, il faudra choisir et le choix fait peut ameer à des coclusios qui e sot pas liées au phéomèe étudié mais au modèle choisi et (/ou) à certais o dits ou a priori La sélectio 'est pas toujours iocete E voici u exemple Das certais modèles écoomiques, o estime que le taux x du chômage et le taux de l'iflatio y variet e ses iverses O va doc chercher à modéliser cette situatio par ue relatio du type y f(x) où f est ue foctio décroissate Mais commet costruire f? O dispose de ombreuses doées statistiques exploitables ; o choisira u pays et ue période où cette relatio est apparete (ce 'est pas toujours le cas, il y a des périodes "cotre exemple") Le choix fait, il reste à trouver ue foctio Pour des raisos déjà évoquées, o élimie rapidemet les foctios affies Les foctios polyômes sot peu accessibles (e lycée, la résolutio de systèmes est très limitée), difficiles à costruire avec des outils statistiques élémetaires, sas parler des "grades valeurs de x" O pese alors à la foctio iverse ; elle permet facilemet de costruire ue foctio décroissate (pour les valeurs positives de x) O va doc costruire ue relatio du type : xy où sera ue costate positive facile à détermier Plus gééralemet, ce choix implique certaies coséqueces : A chaque x correspod ue seule valeur de y, ce qui, das la réalité est loi d'être le cas ; A chaque y correspod ue seule valeur de x, ce qui, das la réalité est loi d'être le cas ; E raiso de la formule choisie, les ombres x et y sot des réels strictemet positifs ; ce qui élimie d'office le plei emploi (x 0), situatio que beaucoup cosidèret effectivemet comme irréaliste, mais aussi l'iflatio ulle (pas de hausse des prix!) et la déflatio (si, il arrive parfois que les prix baisset : quad il faut vedre et que persoe 'achète ) ; L'existece d'ue relatio du type y f(x) implique que l'o e peut agir que sur ue et ue seule des deux variables, le ses de variatio de f impliquat la variatio de l'autre variable : si f est décroissate, o e peut doc pas à la fois faire baisser le chômage et l'iflatio, iutile que les hommes politiques se fatiguet, c'est aisi mathématiquemet démotré 4

15 L'hypothèse de cotiuité est gééralemet admise : ue légère variatio de x etraîe ue petite variatio de y et réciproquemet, ue légère variatio de y etraîe ue variatio raisoable de x L'hypothèse de dérivabilité est-elle aussi courammet admise O peut faire des remarques aalogues avec des foctios du type y x c (>0 et c réel bie choisi) ou du type y pa x (p>0 et a réel positif bie choisi) Si l'o estime qu'il existe u taux de chômage où l'iflatio est ulle, il faudra modifier le modèle Autres questios à se poser : Peut-o avoir u taux de chômage de 00%? Y-a-t-il ue limite supérieure pour le taux de chômage? Que se passe-t-il si le taux de chômage ted vers cette limite? Que se passe-t-il si le taux de chômage ted vers 0? Das quelles limites varie l'iflatio? 43 Caevas pour u problème Choisir ue série statistique double (x i ; y i ) Faire costruire le uage des poits et observer so allure Détermier ue droite de régressio de y e x (e gééral par la méthode des moidres carrés, mais o peut utiliser ue autre méthode) ; puis faire ue estimatio de y pour ue valeur de x e figurat pas das la série (pour les séries chroologiques ce sera e gééral ue prévisio) 3 Compléter le tableau (x i ; y i ; z i l(x i ) ; v i l(y i )) 4 La droite de régressio de y e z doe ue courbe du type y al(x)+b ; o peut alors utiliser cette ouvelle expressio pour doer ue estimatio de y pour la même valeur de x qu'à la questio et comparer 5 La droite de régressio de v e x doe ue courbe du type l(y) ax+b d'où o tire ue expressio du type y p x ; o peut alors utiliser cette ouvelle expressio pour doer ue estimatio de y pour la même valeur de x qu'à la questio et comparer 6 La droite de régressio de v e z doe ue courbe du type l(y) al(x)+b d'où o tire ue expressio du type y x a ; o peut alors utiliser cette ouvelle expressio pour doer ue estimatio de y pour la même valeur de x qu'à la questio et comparer 7 Costruire toutes les courbes obteues sur le même graphique et comparer etre elles les différetes estimatios obteues O peut aussi explorer les différetes possibilités offertes par les ouvelles machies à calculer et utiliser (avec précautios) le coefficiet de corrélatio liéaire U modèle 'est doc souvet qu'ue simplificatio de la réalité ; il 'est pas la réalité mais, basé sur des costatatios et observatios, il permet d'observer et prévoir ; c'est u outil qui doit le rester avec la cosciece de la maière dot il a été costruit, de ses apports et de ses limites, comme les modélisatios successives e physique Il peut aussi permettre de vérifier si les hypothèses qui ot permis de le costruire sot valables 5

16 Les ombres au hasard Ue applicatio de l arithmétique das le domaie des probabilités et des statistiques via l iformatique Michel PLATHEY, lycée Hippolyte Fotaie, Dijo Das les aées 970, e même temps que les mathématiques dites moderes, sot apparues das l eseigemet des mathématiques, ue brache des mathématiques, appelées probabilités Simultaémet, ue vieille disciplie, l arithmétique, qui ploge ses racies das la plus haute atiquité, à l origie du calcul, disparaît des programmes Depuis, elle a été remise à l hoeur, mais seulemet e Termiale Scietifique, e tat que spécialité De ce fait, so importace est de ouveau recoue das l eseigemet Cette recoaissace viet par exemple, du rôle des ombres premiers das l établissemet des codes secrets à clé révélée, largemet utilisés pour la sécurité sur iteret Actuellemet l eseigemet des statistiques se développe das les classes de collège d abord, puis esuite e lycée Je pese que cette évolutio est boe car les statistiques et les probabilités apparaisset proches du réel, apportat des réposes parfois ituitives, parfois paradoxales à des questios qu o peut se poser sas être etré très avat das l étude de ces domaies, qui, au iveau où o les traite, e demadet que peu de coaissaces préalables Pour eseiger ces matières, o se base sur l idée aturelle qu a l élève de la probabilité d u évèemet Par exemple, la symétrie d u dé cubique parfait etraîe logiquemet que la probabilité de chaque évèemet élémetaire lié au jet de ce dé est de 6 O a e gééral pas de peie esuite à défiir ue foctio probabilité liée à ue expériece aléatoire, dot l uivers cotiet u ombre fii d élémets, comme ue applicatio p : P( Ω) [ 0; ] vérifiat p ( Ω) et ( A B ) ( p( A B) p( A) + p( B)) où Ω est l uivers de l expériece et A et B deux évèemets, c est-à-dire deux sous-esembles de Ω Cepedat, e probabilités, otre ituitio est-elle parfaite? La répose est o et les paradoxes abodet Pour repredre l exemple du jet d u dé cubique symétrique, qui représete le prototype parfait du jeu de hasard, je peux, e tat que joueur, être itéressé à la sortie du «six» si j ai misé ue somme d arget sur ce résultat Et j aurai peut-être à me désoler que le «six» apparaisse pas assez souvet, ce qui me semble u maque de chace aormal D où le questioemet aturel : Est-ce qu ue plus ou mois grade rareté de la sortie du «six» das u jeu avec u dé cubique parfait, est aomale? O peut répodre à cette questio de faço théorique depuis plusieurs poits de vue O peut aussi essayer de faire u grad ombre de simulatios de cette expériece pour essayer d affier otre ituitio Das u exemple célèbre, le Chevalier de Méré, joueur impéitet du XVII e siècle, avait remarqué que, lorsqu o lace 3 dés cubiques parfaits et que l o fait la somme des ombres obteus, o obtiet plus souvet 0 que 9, alors que 0 et 9 se décomposet tous deux de 6 faços différetes e sommes de 3 ombres etiers compris au ses large etre et 6 Cela lui semblait aormal Le Chevalier préseta alors le paradoxe au grad philosophe, physicie et mathématicie 7

17 Blaise Pascal La résolutio par Pascal de ce problème fut alors u acte fodateur de cette ouvelle sciece : le calcul des probabilités Aujourd hui, o peut reposer ce problème à os élèves Mais ceux-ci, pour e pas se trouver e état d ifériorité par rapport à Pascal qui savait que le Chevalier du Méré, e excellet professioel du jeu qu il était, e se trompait certaiemet pas, doivet pouvoir acquérir, e accéléré, la certitude doée par les multiples expérieces du joueur Commet faire? E 970, il était difficile de réaliser des simulatios d expérieces aléatoires O pouvait, bie sûr, faire lacer u dé aux élèves, qui, travaillat par groupes, établissaiet des listes de résultats Cette méthode, bie qu itéressate, est pas facile à mettre e œuvre et demade trop de temps O pouvait aussi, au lieu de réaliser physiquemet les expérieces, utiliser des tables de ombres au hasard, formées e gééral de ombres décimaux compris etre 0 et, avec quatre chiffres après la virgule Pour éviter les répétitios, o preait ces ombres de droite à gauche, de bas e haut, e diagoale, u ombre sur deux, u ombre sur trois, o les troquait, etc Pour simuler le jet d u dé, il faut alors multiplier le décimal obteu par 6, ajouter puis predre la partie etière du résultat L aspect fastidieux et répétitif de l exercice pouvait cepedat aussi fiir par lasser O pouvait aussi créer soi-même ses propres ombres au hasard Voici commet il est possible de faire avec ue petite calculatrice O part d u ombre etier, oté u 0 compris strictemet etre 00 et 49 O le multiplie par 0 et o effectue la divisio euclidiee du résultat par 49 O verra par la suite pourquoi 49 est u choix relativemet bo O obtiet u reste otéu O multiplieu par 0 et o effectue la divisio euclidiee du résultat par 49 O obtiet u autre reste oté u Et o recommece O obtiet alors la suite des restes partiels de la divisio u euclidiee de u0 par 49 Le ombre 0 49 état pas décimal car 49 est u ombre premier, le ombre 0 apparaît pas das la liste des restes partiels De plus, d après le lemme des tiroirs de Dirichlet, il existe deux idices différets, ; l; < l tels queu ul Soit 0 le plus petit etier aturel vérifiat la coditio précédete et soit l 0 le plus petit etier aturel strictemet supérieur à 0 tel queu u 0 l Alors le lemme des tiroirs ecore motre qu o a l La suite ( u ) N est alors périodique de période l0 0 ** Voyos ce qu il e est das ce cas précis O peut faire faire le travail par u tableur (voir feuille de calcul page 7, coloe L) : e cellule L, o écrit par exemple : 00 ; e cellule L, o écrit : MOD (L*00 ; 49) et o calcule les termes successifs de la suite e sélectioat la cellule L3 et e tirat la poigée de recopie vers le bas O obtiet alors, surprise ou o, dès le départ, 48 ombres différets avat de retomber sur00 u48 Puis, e cotiuat, o retrouve la même séquece de 48 ombres etiers La suite obteue est périodique, de période maximale égale à u O pose esuite v 0 E(0 ) ; 0 47, où E est la foctio partie etière défiie sur les 49 réels Cela calcule le ombre décimal compris etre 0 et égal à la trocature à 4 chiffres après la u virgule du ombre 49 (voir coloe M de la feuille de calcul page 3) O obtiet aisi ue suite Lemme des tiroirs de Dirichlet État doés tiroirs et m > objets, alors au mois u des tiroirs doit coteir au mois deux objets La même preuve motre que la suite des décimales du développemet décimal d ue fractio est périodique, la logueur de la période état iférieure au déomiateur 8

18 périodique où la période est costituée par la suite fiie v ; v ;; ) de 48 ombres décimaux apparteat à [ ;[ 9 ( 0 v47 0 ayat 4 chiffres après la virgule Ue telle suite peut-elle être cosidérée comme aléatoire Strictemet parlat, bie sûr que o, car elle est défiie de faço détermiiste d ue part et d autre part, elle est périodique Mais o peut déplacer la questio et se demader si ue telle suite détermiiste peut modéliser de faço adéquate le hasard? La répose ici est ecore o, à cause de la trop petite période de la suite v E utilisat la suite v u certai ombre de fois, les répétitios e maqueraiet pas de se faire remarquer, ce qui détruirait la qualité essetielle d ue suite aléatoire, qui est l imprévisibilité Aisi, cette suite v e peut pas paraître aléatoire Il e reste pas mois vrai, que les termes successifs de la suite v, dévoilés les us après les autres, sot impossibles à devier, même de faço approchée, e l absece d ue coaissace précise du mode de formatio de la suite, tat qu o a pas repéré so caractère périodique Le remède pour pallier à l icovéiet rédhibitoire que je vies de souliger, ayat pour cause la périodicité de la suite u est de redre la période très logue, si logue qu aucue répétitio d utilisatios de cette procédure e puisse jamais veir à bout Das ce but, il e faut pas choisir le ombre 49, mais u ombre beaucoup plus grad J ai fait ce calcul aux coloes N et P de la feuille de calcul page 3 avec les suites u ; u + 0 u (mod ) et 4 4 u v 0 E(0 ) Les logiciels actuels de mathématiques permettet de calculer très rapidemet (additio, multiplicatio, divisio euclidiee) sur des ombres etiers éormes qui dépasset de très loi le ombre d utilisatios qu o peut faire de termes successifs de cette suite Mais o doit rester prudet, et le fait de pouvoir supprimer u icovéiet e sigifie pas qu il y e a pas d autres Avat de traiter ce sujet plus e détail, je voudrais d abord mettre e exergue l importace de disposer à voloté de ombres qui simulet de faço fiable le hasard A ce propos, ue ouvelle otio a fait so etrée il y a quelques aées: c est celle de modélisatio Les travaux persoels ecadrés (TPE) auraiet dû pouvoir doer l occasio aux élèves de réaliser quelques modélisatios simples de quelques phéomèes aturels issus des scieces physiques ou biologiques ou écoomiques ou techologiques ou autres (géographie, histoire, lagues, jeux et sports ) Modéliser ue expériece, c est e réaliser ue théorie que l o met e œuvre esuite sur ordiateur Les coditios réelles d ue expériece cotieet presque toujours ue part d aléatoire qu il e faut pas égliger Les ombres simulat l aléatoire jouerot ici u rôle crucial L obtetio de ombres au hasard est idispesable das la modélisatio de toutes les expérieces où le hasard pourra ou devra jouer u rôle Aisi : Je devrai les utiliser das la classe si je veux modéliser simplemet les résultats d u jeu de pile ou face, ou du jet d u dé, ou d u tirage de boules das ue ure Ces modélisatios sot élémetaires, mais doet certaiemet ue boe image de ce qui se passe das le mode réel Du mois, c est l impressio ituitive que j e ai O pourra aussi modéliser des situatios beaucoup plus compliquées comme la distributio d échatilloage d ue moyee O peut tirer, de faço idépedate, 000 échatillos de taille 00 d ue variable aléatoire de moyee m et d écart typeσ O dressera esuite u histogramme des moyees arithmétiques des valeurs de chaque échatillo O pourra alors costater que cette variable aléatoire, moyee arithmétique de 00 variables aléatoires idépedates de moyee m et d écart typeσ suit approximativemet ue loi ormale de moyee m σ toujours, mais d écart type Cela permet de cocrétiser le théorème de la limite cetrale 0 dot certaies applicatios figuret aux programmes de brevet de techicie supérieur Cette cocrétisatio est impossible sas les ombres au hasard et la puissace de calcul des ordiateurs qui permet de les egedrer