Calculs d incertitudes

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1 Cluls d inertitudes Déinitions - Erreur solue - Inertitude solue Soit l vleur doptée près mesure de l grndeur A. On ppelle erreur solue l diérene entre l vleur vrie n et l vleur mesurée : Erreur solue = n On ne l onnît ps puisquon ne onnît ps n (dns le s générl on ne peut même ps déterminer son signe) mis on peut en onnître une limite supérieure. quntité positive pr déinition, ppelée inertitude solue : Inertitude solue = limite supérieure de lerreur solue = Linertitude solue est un nomre positi qui sexprime dns l même unité que l grndeur mesurée. On lérir sous l orme dun hire multiplié pr une puissne de 0. Comme il sgit dune limite supérieure on rrondir toujours à l vleur supérieure. Exemple : on érir = et non = L onnissne de linertitude solue présente un intérêt : elle permet l lolistion dns un domine déterminé de l vrie vleur n. Si est l vleur doptée près mesure et linertitude solue de l mesure, lors l vrie vleur n est telle que - n. On érit ussi n = ± Elle it onnître en même temps le nomre de hires déimux que lon peut onsidérer omme exts dns le résultt. Exminons lexemple suivnt : soit =,52348 l vleur trouvée, = linertitude solue ; nous pouvons lors dire que l vrie vleur n est omprise entre,5238 et, Comme il y vrition sur l 4ème déimle il est évident que les déimles suivntes nont uune signiition et que les trois premières sont extes. On érir don : n =,5234 ± 0,0003. Dune mnière générle lordre déiml du dernier hire signiiti doit orrespondre à elui de linertitude solue. 2 - Erreur reltive - Inertitude reltive Le rpport de lerreur solue à l vleur mesurée sppelle lerreur reltive : Erreur solue Erreur reltive = = Vleur mesurée n Comme lerreur solue, lerreur reltive ne peut être onnue, mis on peut en déterminer une limite supérieure, positive, que lon ppelle linertitude reltive : inertitude solue Inertitude reltive = limite supérieur de l erreur reltive = = vleur mesurée Linertitude reltive est don un nomre sns dimension que lon érir en suivnt les mêmes règles que pour linertitude solue. Linertitude reltive it onnître l préision de l mesure. Dire que lon mesuré une longueur ve une inertitude solue de mm est intéressnt pour ixer le nomre de hires déimux que lon doit epter dns le résultt, mis nindique ps si l mesure est

2 ien ite. Supposons que l longueur mesurée soit de m ; linertitude reltive est lors de 0-3 ; mis si l longueur mesurée est de 0 m linertitude reltive nest plus que de 0-4 ; à mesurer est meilleur. 2 - CLASSIFICATION DES ERREURS L çon l plus simple de lsser les erreurs est de le ire dprès leur origine ; ppreil de mesure, tehnique expérimentle, expérimentteur. Une nlyse soignée de l mnipultion permet den déeler l plus grnde prtie. Selon les possiilités que nous vons de les éliminer, il existe deux grnds types derreurs : les erreurs identelles et les erreurs systémtiques. Signlons deux erreurs qui ont une ple un peu à prt : Erreur solue de leture Dns les ppreils de mesure à leture direte il existe une erreur solue de leture qui dépend de l grdution. Selon lintervlle qui sépre deux trits onséutis et les onditions demploi on peut ppréier une plus ou moins ile rtion de division : ette rtion minimum ppréile est lerreur solue de leture. Exemple : pour une urette grduée, lintervlle qui sépre deux trits onséutis orrespond à un volume de /20 ml. Lerreur solue de leture d un volume à l urette est don de 0,05 ml. Erreurs dues à lexpérimentteur Elles dépendent de son hileté et de son ttention, et devront don diminuer ve son expériene. Lexpérimentteur peut se tromper dns l mnipultion proprement dite ou dns l leture dune grdution. Une erreur réquente et importnte est lerreur de prllxe. L igure suivnte illustre ette erreur dns le s de l mesure dun volume à l pipette : Muvis Bon 2

3 ) - Erreurs identelles ou ortuites Dûes u hsrd, elles sont essentiellement vriles en grndeur et en sens. Elles sont diiiles à déeler. On les élimine en grnde prtie en prennt l moyenne rithmétique dun grnd nomre de résultts. Lorsquon it insi un grnd nomre de mesures de l même grndeur dns des onditions identiques les erreurs les plus nomreuses sont les plus petites en vleur solue. Soient, 2,..., m, les résultts dun grnd nomre m de mesures de l grndeur A. On prend lors omme vleur de ette grndeur : 2... m = m Si m est grnd, les petites erreurs se ompensent sensilement et si quelques erreurs plus grnde ne sont ps ompensées, elles sont u moins divisées pr un nomre m grnd. tend vers l vleur exte n lorsque m tend vers linini. Comme m est un nomre ini, est onsidéré omme l vleur l plus prole de n. Les quntités l -, 2 -,..., m - sppellent les erreurs pprentes. Leur somme lgérique est rigoureusement nulle. En eet : m ( i ) = m i= i= i m L moyenne rithmétique de leurs vleurs solues ne lest nturellement ps ; est e que lon ppelle lerreur moyenne : m e= i m i= On dmettr lors omme inertitude solue l vleur solue de l diérene entre et le résultt i le plus éloigné de : = mx i Elles omprennent en prtiulier les erreurs de onstrution et détlonnge des ppreils et portent lors le nom de tolérne. Les rints indiquent en générl ette tolérne. ) Erreurs systémtiques Elles sont liées à un déut ondmentl de lppreil ou de l méthode de mesure. Elles sont très sensilement les mêmes lorsquon opère dns des onditions identiques et l répétition des mesures ne peut les déeler. On ne peut que herher à les éliminer pr une rélistion et un réglge soignés des ppreils et pr l ritique des méthodes expérimentles. Nous les donnons ii pour des mtériels dutilistion ournte : Pipettes 2 trits(*) Cpité [ml] Tolérne [ml] 0 0, , , ,08 5 0,04 * : les pipettes sont étlonnées pour délivrer à 20 C ** : les ioles jugées sont étlonnées pour ontenir à 20 C. 3

4 Fioles jugées(**) Clsse A Clsse B Cpité [ml] Tolérne [ml] 5 0,02 0 0, , ,05 0,0 00 0,08 0, ,2 0, ,20 0, , ,50 Burettes de lsse A Cpité [ml] Tolérne [ml] 5 0,0 0 0, , , ,20 4

5 Erreurs létoires (ou indéterminées) Ces erreurs pprissent lorsque l mesure est poussé à son mximum de sensiilité. Ce type d erreur est usé pr de nomreux prmètres inontrôlles. Ces erreurs sont générlement petites et indétetles individuellement mis leur eet umulti est oservle. En renouvelnt de nomreuses ois l mesure dns les même onditions entrîne une distriution sttistique selon une loi normle, entrée sur l vleur moyenne (x) et dont l ért-type quntiie l préision. Lorsque l mesure est répétée environ 20 à 30 ois, l oure de distriution (s) otenue s pprohe ien de elle d une loi normle. x = N i= N x i et s = N i= ( x ) 2 i x N Annexe Approximtion du résultt d une mesure direte Clul d erreurs Dns l pluprt des s l détermintion dune grndeur X se it pr mesure indirete, est-àdire pr lintermédiire de grndeurs uxiliires,,,... indépendntes dont l mesure direte permet de déinir l grndeur X pr une reltion : X = (,,,... ) Nous vons vu que les grndeurs,,, sont sujettes à des erreurs diverses dont on peut évluer les limites supérieures ou inertitudes,,,... Notre prolème est lors de déterminer X (ou X/X). Les erreurs solues sont toujours très petites qund les mesures sont ites dns de onnes onditions, de sorte quon peut les ssimiler à de petites vritions X de l grndeur mesurée et inlement ppliquer u lul derreur les règles du lul diérentiel. On ur insi une erreur solue de l orme : dx = d d d... où,,, sont le dérivées prtielles de X pr rpport à,,,... tritées omme vriles indépendntes. Lerreur reltive ser don de l orme : dx = d d d... X dx X = d d d... Pour psser ux inertitudes (limites supérieures des erreurs) on rempler les erreurs solues pr les inertitudes solues et on prendr l vleur solue des oeiients 5

6 X = = X X Cs prtiuliers importnts ) Inertitude solue sur une somme ou une diérene. Si X est relié ux grndeurs uxiliires,,, pr une reltion simple telle que X = nous vons : = = = dx = d d- d X = doù l règle : Linertitude solue sur une somme ou une diérene est l somme des inertitudes solues sur hque terme. Exemple. Applition à l molrité Si l mole de soluté orrespond à v moles déléments tis l molrité M de l solution est donnée pr molrité= normlité υ M = N où ν est une onstnte υ lors: M = N et υ M M = N N Linertitude reltive sur l molrité est égle à linertitude sur l normlité. De l même çon, en supposnt que l msse molire est donnée ve une préision telle que linertitude sur ette msse soit négligele linertitude reltive sur le titre mssique déini pr titre mssique= molrité msse molire lors : T T m = M M m 2) Inertitude reltive sur u produit ou un quotient. Si l reltion entre X et les grndeurs uxiliires est de l orme : X = doù = = = = = = 2 6

7 Nous vons don : dx = d d d X et X X = Linertitude reltive sur un produit ou un quotient dont les termes sont indépendnts est l somme des erreurs reltives sur hun des termes. Exemple :Conentrtion dune solution titrée pr volumétrie Lorsque V ml de l solution de onentrtion inonnue C sont neutrlisés pr V 2 ml dune solution titrnte de onentrtion C 2 on : C = C V V 2 Linertitude reltive sur onentrtion est don donnée pr : 2 2 C C = C C 2 V V V V 2 Si l solution titrnte est ournie, on proposer que s onentrtion est donnée ve une préision suisnte pour que soit négligele et on ppliquer lors : C C2 2 2 C C = V V V V 2 Remrque : Nous pouvons otenir diretement e résultt de l çon suivnte : - prenons le logrithme nturel de l ontion X ln (X) = ln ln - ln - l dérivée de ln X est : dx = d d d X - pssons ux inertitudes X X = Ainsi dns le s dune puissne entière X = n ( X ) = ln( n) = n ln( ) ln dx = n d X P( ) Q( ) 3) Cs dune reltion du type : X = R où P, Q et R sont des ontions respetivement de, et, vriles indépendntes. Pr pplition de règle préédente : Log X = Log P Log Q - Log R dx X ( ) 2 ( ) ( ) dp dq dr = P Q R 7

8 doù en pssnt ux inertitudes dx X ( ) ( ) ( ) P Q R = d d P Q R d ( ) ( ) ( ) P Q R X X = P Q R Cs des erreurs liées. reltion du type (,, ) Q(,, ) R(,, ) P X = Nous devons lors suivre l démrhe suivnte : - nous prenons e logrithme nturel de X et s dérivée logrithmique Log X = Log P (,,,) Log Q (,,,) - Log R (,,,) dx X (,, ) (,, ) (,, ) (,, ) (,, ) (,, ) dp dq dr = P Q R - nous exprimons les diérentielles de hune des ontions P, Q et R dx = ( d d d) d d d ( d d d) X P P P P Q Q Q Q R R R R - nous regroupons les termes orrespondnt à hque vrile indépendnte,, dx P Q R Q Q d P R d P R = d X P Q R P Q R P Q R - lors seulement nous pssons ux inertitudes en remplçnt dx, d, d, d pr X,,, respetivement et les oeiients pr leurs vleurs solues : X X = P P Q Q R R P P Q Q R R P P Q Q R R 8

9 Les modes de représenttion des résultts lulés Un résultt numérique est inutilisle si lon n uune idée de son degré dextitude. Cest pourquoi il est toujours essentiel destimer u mieux l iilité de ses résultts. Une des meilleures mnières dévluer ette iilité onsiste à donner les limites de onine à 90 ou 95%. Une utre méthode onsiste à donner lért-type solu ou le oeiient de vrition des données. Dns e s, il est onseillé dindiquer le nomre de données qui ont été utilisées pour otenir lért-type de sorte que lutilisteur des données puisse estimer s iilité. Enin, un inditeur moins stisisnt mis plus ournt de l qulité des données est le nomre de hires signiitis. L onvention des hires signiitis Une mnière simple dindiquer le degré dinertitude ssoié à une mesure expérimentle est drrondir le résultt pour quil ne ontienne que des hires signiitis. Pr déinition, les hires signiitis dun nomre sont tous les hires dont on est sûr insi que le premier hire qui présente quelque inertitude. Pr exemple, si lon exmine l urette de 50 ml représentée sur i-ontre, on voit demlée que le niveu du liquide se situe entre 30,2 et 30,3 ml. II est possile destimer l position du liquide entre les grdutions à ±0,02 ml. Ainsi, selon l onvention des hires signiitis, l vleur du volume délivré doit sérire 30,24 ml, e qui omporte qutre hires signiitis. Dns et exemple, les trois premiers hires sont ertins et le dernier (4) est douteux. Un zéro peut être signiiti ou non, selon s position dns un nomre. Un zéro entouré dutres hires (omme dns 30,24 ml) est toujours signiiti pre quil est lu diretement et ve ertitude sur une éhelle ou un drn dinstrument. Pr ontre, les zéros qui ne servent quà loliser l position de l virgule ne sont ps signiitis. Si lon érit 0,03024 l u lieu de 30,24 ml, le nomre de hires signiitis est le même. L seule ontion du zéro à guhe du 3 est dindiquer l position de l virgule, il nest don ps signiiti. Les zéros à t in dun nomre peuvent être signiitis ou non. Pr exemple, si lon érit que le volume dun eher est de 2,0 litres, l présene du 0 indique que le volume est onnu u déilitre près. Le 2 et le 0 sont don des hires signiitis. Si pour le même volume on érit 2000 ml, l sitution est moins lire. Les deux derniers zéros ne sont ps signiitis puisque linertitude est toujours dun déilitre, don dune entine de millilitres. Pour respeter l onvention des hires signiitis dns e s, il est préérle dutiliser l nottion sientiique et dérire que le volume est de 2,0 0 3 ml. Une limittion évidente à lutilistion des hires signiitis omme ppréition de l iilité des données réside dns son miguïté. Les hires signiitis dns les luls numériques L détermintion du nomre pproprié de hires signiitis dns le résultt de ominisons lgériques de plusieurs nomres requiert ertines préutions. Sommes et diérenes Pour lddition et l soustrtion, on peut trouver le nomre de hires signiitis u 9

10 premier regrd. Ainsi, dns lexpression : 3,4 0,020 7,3 = 0,73 = 0,7 l deuxième et l troisième déimles ne peuvent ps être signiitives r linertitude sur 3,4 se situe u niveu de l première déimle. Notez que le résultt omporte trois hires signiitis lors que deux des termes de l somme nont que deux hires signiitis. Pour une ddition ou une soustrtion, le «millon ile» est le nomre omptnt le plus petit nomre de déimles. Produits et quotients Pour l multiplition et l division, on utilise prois l règle empirique qui onsiste à rrondir l réponse en lui onservnt le même nomre de hires signiitis que le terme qui, dns le lul, le plus petit nomre de hires signiitis. Mlheureusement, ette méthode onduit souvent à un rrondi inorret. Pr exemple, onsidérons les deux opértions (24 4,52)/00,0 =,08 et (24 4,02)/00,0 = 0965 Selon ette règle, le premier résultt devrit être rrondi à, et le seond à 0,96. Cependnt, si lon dmet une unité dinertitude sur le dernier hire de hque nomre dns le premier quotient, les inertitudes reltives ssoiées à hun de es nomres vlent /24, /452 et /000. Puisque l première inertitude reltive est euoup plus grnde que les deux utres, linertitude reltive sur le résultt vut ussi /24 ; linertitude solue est don égle à :,08 /24 = 0,045 = 0,04 Selon le même risonnement, linertitude solue sur le deuxième résultt est donnée pr : 0,965 /24 = 0,040 = 0,04 Cest pourquoi le premier résultt doit être rrondi à,08, don à trois hires signiitis, tndis que le seond, rrondi à 0,96, ne doit en omporter que deux. Remrque : Pour dditionner ou soustrire des nomres en nottion sientiique, exprimez-les dns l même puissne de dix. Pr exemple : 2, = 2, , = 0, , = - 0, , = 2, Le «millon ile» pour une multiplition ou une division est le nomre de hires signiitis du nomre qui en ompte le moins. Utilisez ette règle empirique ve ironspetion. Logrithmes et exponentielles Il ut être prtiulièrement prudent lorsquon rrondit les résultts de luls omprennt des logrithmes. Les règles suivntes sppliquent à l pluprt des situtions :. Pour le logrithme dun nomre, on onserve utnt de hires à droite de l virgule quil y de hires signiitis dns le nomre de déprt. 0

11 2. Pour lexponentielle dun nomre, on onserve utnt de hires quil y de hires à droite de l virgule dns le nomre de déprt. Exemple : log (9, ) = 4,98 Arrondissez les résultts suivnts en ne grdnt que les hires signiitis. log 6, = - 4, ,5 = 3, Selon l règle, on onserve 4 hires à droite de l virgule log 6, = - 4,228 Selon l règle 2, on ne peut onserver quun seul hire signiiti 0 2,5 = Comment rrondir les vleurs numériques Avnt dérire les résultts lulés lors dune série dnlyses himiques, il ut les rrondir de mnière judiieuse. Pr exemple, onsidérons lensemle des résultts : 6,60, 6,46, 6,55 et 6,6. Leur moyenne vut 6,555 et lért-type 0,069. L vleur rrondie de l moyenne doit-elle sérire 6,55 ou 6,56? Lorsquon rrondit un 5, il est onseillé de toujours rrondir u nomre pir le plus prohe. De ette mnière, on élimine toute tendne à rrondir dns une diretion privilégiée. En dutres termes, dns nimporte quelle sitution, on l même proilité que le nomre pir le plus prohe soit plus élevé ou moins élevé. Pr onséquent, on peut hoisir de donner omme résultt 6,56±0,07. Si lon des risons de douter de l iilité de lért-type estimé, on peut érire que le résultt vut 6,6 ±0,. Comment rrondir les résultts des luls himiques Tout u long de et ouvrge et de ien dutres, le leteur ser mené à eetuer des luls à lide de données dont l préision nest indiquée que pr leurs hires signiitis. Dns es ironstnes, il ut ire des hypothèses rélistes onernnt linertitude liée à hque nomre, estimer ensuite limpréision du résultt à lide des tehniques de lul de l érttype, et enin rrondir le résultt pour quil ne ontienne que des hires signiitis. Il est prtiulièrement importnt de reporter les opértions drrondi jusquà e que le lul soit omplètement terminé. Il ut onserver u moins un hire de plus que les hires signiitis pendnt tous les luls intermédiires in déviter les erreurs drrondi. Ce hire supplémentire est prois ppelé hire de "séurité". Les lultries modernes onservent en générl plusieurs hires supplémentires qui ne sont ps signiitis, et lutilisteur doit rrondir orretement le résultt inl en ne grdnt que les hires signiitis. Si vous rrondissez un nomre qui se termine pr 5, il ut toujours que votre résultt se termine pr un hire pir.

12 Préision et Extitude Il existe souvent une onusion entre es deux notions. C est pourquoi nous donnons ii leur déinitions. L igure i-dessous donne une idée de l diérene entre es deux notions. Préision : C est le degré de proximité que l on oserve entre diverses mesures qui ont été otenues extement de l même mnière. Extitude : C est l proximité entre un résultt et s vleur réelle ou présumée telle. Le shém i-dessous donne une imge de l diérene entre es deux notions. Ps ext, ps préis Ps ext mis préis Ext, ps préis Ext et préis 2