Cours de théorie des probabilités avec exercices corrigés et devoirs

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1 Cours de théorie des probabilités avec exercices corrigés et devoirs Licece de mathématiques, 3 ième aée Bruo Saussereau Aée uiversitaire Bruo Saussereau, Laboratoire de Mathématiques de, UF Scieces & Techiques, 6, route de Gray, cedex, Frace. Courriel : [email protected]

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3 Présetatio du cours i Présetatio du cours Ce cours correspod à l uité d eseigemet de théorie des probabilités dispesée das le cadre du semestre 5 de l eseigemet à distace de la Licece de Mathématiques. La diffusio de ce cours est strictemet limitée aux étudiats régulièremet iscrits à l uité d eseigemet correspodate du Cetre de Télé-eseigemet Uiversitaire. Public visé Cet eseigemet par correspodace s adresse e priorité aux étudiats désireux de poursuivre des études de Master e vue de la recherche, de passer le cocours de l agrégatio extere de mathématiques ou à ceux qui se destiet à des études de mathématiques appliquées e vue de deveir igéieurs-mathématicies. Pré-requis et révisios Ce cours e suppose aucu pré-requis sur le formalisme des probabilités. Tout le formalisme et le vocabulaire des probabilités est défii et itroduit au fur et à mesure des besois. Il suppose juste ue sesibilisatio aux phéomèes aléatoires et à leur étude élémetaire telle qu elle est eseigée depuis quelques aées au lycée et das le semestre 4 de la Licece. Pour ue rapide mise à iveau sur l approche élémetaire des probabilités o peut se reporter aux deux ouvrages classiques [] et [2]. Certais des exercices proposés das cette uité sot ispirés de ces deux ouvrages moyeat quelques adaptatios de vocabulaire dues au formalisme itroduit das le cours. E revache ce cours suppose cous les cocepts classiques de la théorie de la mesure et de l itégratio, dite itégrale de Lebesgue. Ces cocepts serot souvet rappelés das ce cours de faço à redre sa lecture autoome. Ces résultats serot éocés sous leur versio la plus utile pour les applicatios e probabilités, ils serot admis et e ferot doc pas l objet d ue démostratio sauf cas particuliers. Pour leur versio géérale et leurs démostratios, o pourra se reporter à l ouvrage [8]. Outre ces résultats spécifiques, le cours écessitera la coaissace de résultats et de techiques classiques de mathématiques géérales. C est doc l occasio, dès maiteat, de réviser égalemet ces otios mathématiques idispesables qui serot supposées coues. A cet effet, o pourra se reporter à u cours classique de mathématiques géérales, par exemple [], largemet suffisat pour revoir ces otios. Il s agit e particulier de bie coaître

4 ii Théorie des probabilités, Bruo Saussereau, , versio 0/0/204. les otios et résultats élémetaires de la théorie des esembles : esembles, parties d u esemble, iclusio, apparteace, partitio d u esemble, itersectio et réuio de plusieurs sous-esembles, différece de deux sous-esembles, complémetaire d u sousesemble, applicatios, bijectios, image-réciproque d ue applicatio, opératios sur les applicatios, compositio de deux applicatios, les élémets de théorie de la mesure et de l itégrale de Lebesgue 3. le calcul des sommes de séries : série géométrique, série expoetielle, dérivatio des séries etières, quelques élémets d algèbre géérale et multiliéaire e dimesio fiie : biôme de Newto, ombre de combiaisos, espaces vectoriels, produit scalaire euclidie, orme euclidiee, calcul matriciel, trasposé d ue matrice, opératios élémetaires sur les matrices, diagoalisatio d ue matrice symétrique,... Coseils de travail Le cours propremet dit compredra des défiitios, des propositios (théorèmes, lemmes, formules,...), des démostratios, des exemples et des exercices corrigés. Les démostratios doivet être coues, elles sot exigibles lors des épreuves d évaluatio. Les démostratios développées das le cours sot choisies e foctio de l itérêt pédagogique du raisoemet qu elles mettet e oeuvre. Il faut les étudier, crayo e mai, essayer de les refaire e mettat e évidece les deux ou trois axes de la démostratio qu il coviet de reteir pour être capable de la restituer sas documet. C est à ce critère que vous pourrez mesurer si vous avez compris quelque chose. Il est coseillé aussi de bie mettre e évidece das ces démostratios, e les éoçat complètemet et e vérifiat que leurs hypothèses de validité sot satisfaites, les résultats atérieurs sur lesquels elles preet appui. Certaies démostratio serot détaillées, d autres serot volotairemet plus succictes afi de vous etraîer à détailler par vous-même les passages rapides de la démostratio. Les exemples du cours servet à illustrer ue défiitio sur u cas particulier ou à motrer ue applicatio cocrète d ue propositio. Leur rédactio est aussi parfois volotairemet succicte. Il coviet alors d e détailler les calculs, de vérifier les résultats aocés, et d essayer de oter les astuces ou techiques utilisées et trasposables das d autres situatios, évetuellemet moyeat certaies adaptatios. Ce qui est dit pour les exemples est aussi valable pour tous les exercices proposés e auto-correctio et leurs corrigés. Les exercices sot divisés e deux catégories :. Les exercices de la première catégorie sot les exercices isérés das le texte du cours propremet dit. Ils sot assez simples et sot coçus comme des applicatios directes du cours et de ce qui viet d être vu. 2. Les exercices de la secode catégorie, dits de révisio, sot placés e fi de chaque chapitre à partir du chapitre III. Ils sot, quat à eux, de difficultés variables et fot appel aux diverses otios mises e place das les chapitres atérieurs y compris le chapitre étudié.

5 Présetatio du cours iii Vous devez essayer de chercher à résoudre le maximum d exercices, e vous aidat du cours. Pour les exercices que vous e savez pas résoudre ou que vous avez pas pu chercher, par exemple par maque de temps, il faut au mois étudier leurs solutios e vous reportat au chapitre VIII. Ce qui a été dit, plus haut, pour l étude des démostratios s applique égalemet pour étudier la correctio d u exercice. Ecore ue fois, après avoir étudié ue démostratio ou la solutio d u exercice, vous devez être capable de refaire cette démostratio ou cet exercice, sas regarder le cours, trois ou quatre jours plus tard. C est là u bo test pour savoir si vous avez compris la démostratio ou la solutio de l exercice. Il e faut pas hésiter à réviser les chapitres déjà travaillés c est-à-dire à reveir plusieurs fois, après de logs itervalles de temps, sur les démostratios ou exercices étudiés auparavat. Trois devoirs à rédiger et à retourer à la correctio sot proposés das le cadre de cet eseigemet afi de vous permettre de tester vos coaissaces et de vous iciter à u travail régulier. Ces devoirs permettet aussi de motrer au correcteur que vous avez compris le cours, que vous coaissez les résultats vus e cours et les hypothèses qui les commadet, et que vous savez les mobiliser pour répodre à ue questio ou démotrer u résultat ouveau. Il est doc recommader de tout mettre e œuvre pour atteidre cet objectif. Il est bo de porter so attetio, e particulier, sur les coseils suivats : U devoir de mathématiques est u devoir de fraçais qui traite de mathématiques, c est doc avat tout u texte de fraçais. Il doit doc être rédigée de faço correcte e fraçais. Les hypothèses spécifiques justifiat l utilisatio de chaque théorème doivet être correctemet explicitées et le résultat du cours utilisé doit être clairemet idetifié voire explicitemet éocé. Les résultats itermédiaires et les coclusios obteues doivet être mis e évidece. Les otatios utilisées ou itroduites, surtout si elles sot ouvelles par rapport au cours, doivet être clairemet aocées. La rédactio du cours peut être cosidérée comme u guide de rédactio d u texte mathématique. Les épreuves d exame comporterot des exercices et des questios portat sur l esemble du cours. Elles peuvet égalemet compredre des questios de cours propremet dites : éocer u ou plusieurs résultats du cours, refaire ue ou plusieurs démostratios vues e cours, traiter u exemple ou u exercice corrigé proposés das les documets fouris das le cadre de cette uité d eseigemet. La table de la loi ormale stadard de l aexe B (sas les explicatios sur so utilisatio), aisi que le formulaire de l aexe A, serot dispoibles avec les sujets lors des épreuves d évaluatio. Lors de ces épreuves, l utilisatio d ue calculatrice est autorisée. Certaies propositios du cours coceret des résultats metioés "hors programme". Ils sot simplemet doés das u but de culture mathématique, mais e ferot doc pas l objet d évaluatio et leur coaissace est pas exigible das les évaluatios. Souvet ils apportet des complémets ou des précisios sur u résultat ou ue remarque qui vieet d être faits. Efi, il est évidet que l appréciatio d ue copie par le correcteur, que ce soit celle d u devoir ou d ue épreuve d exame, accordera ue place importate à la rédactio, à la clarté des justificatios et de l argumetatio aisi qu à la présetatio globale de la copie. Ue copie illisible ou mal rédigée pourra e pas être corrigée et sera sactioée e coséquece.

6 iv Théorie des probabilités, Bruo Saussereau, , versio 0/0/204 Aexes Ce documet compred ciq aexes :. L aexe A, page 205, est u rappel des pricipales relatios mathématiques utilisées das les calculs de probabilités et des lois de probabilités classiques à coaître. Ce formulaire sera dispoible lors des épreuves de cotrôles ou d exames. 2. L aexe B, page 2, explique l usage de la table statistique de la loi ormale cetréeréduite reproduite e fi de l aexe. La table de la loi ormale stadard, sas les explicatios qui l accompaget, sera dispoible lors des épreuves d exame. 3. L aexe C, page 25, compred les sujets des trois devoirs qui devrot être evoyés à la correctio et précise les dates de ces trois evois. Les corrigés de ces devoirs serot retourés avec la copie corrigée. Bibliographie Pour le cours, et surtout pour apporter des complémets à ce cours, o pourra utiliser avec profit le livre de [4]. Pour les exercices o pourra se reporter à [2] pour ceux relevat de la théorie de la mesure de de l itégratio, et à [3] où o trouvera des exercices supplémetaires cocerat la théorie des probabilités. Pour ue justificatio du choix du formalisme et de sa sigificatio e tat que modèle de la "réalité", o pourra cosulter avec profit e première lecture le chapitre I de [5] et [7] puis, e secode lecture, [4] pages 93 et 32, et [3] page 56. Ue approche historique et épistémologique e liaiso avec les questios d eseigemet des cocepts probabilistes peut être trouvée das [6]. Caledrier de travail Le cours lui-même est divisé e sept chapitres auxquels s ajoute u huitième chapitre regroupat les correctios des exercices proposés das les chapitres précédets. Les trois premiers chapitres sot pricipalemet destiés à mettre e place le formalisme des probabilités e trascrivat das le lagage des probabilités les otios de théorie de la mesure et de l itégratio vues das l uité correspodate : tribu, applicatio mesurable, mesure, image d ue mesure, règles d itégratio, théorèmes de Lebesgue,... etc. Normalemet ces otios ot été vues das l uité d itégratio qui est coseillée pour suivre cet eseigemet de probabilité. Elles doivet être étudiées assez rapidemet de faço à faire porter votre travail sur les autres chapitres. Das ces trois premiers chapitres la otio de loi de probabilité, le théorème du trasfert, la otio de foctio caractéristique et les critères d idetificatio des lois, doivet être bie assimilés et maîtrisés. Les cocepts vraimet ouveaux et propres à la théorie des probabilités : idépedace, vecteurs gaussies, covergeces, théorèmes-limites,... etc, sot vues das les quatre deriers chapitres et costituet le oyau de l uité de probabilités.

7 Présetatio du cours v Il faut cosacrer e gros u tiers du temps de travail de l uité à l étude des chapitres, 2 et 3. U tiers du temps aux chapitres 4 et 5, et u tiers du temps aux chapitres 6 et 7. Vous avez à rédiger trois devoirs à evoyer pour correctio à l adresse suivate : Bruo Saussereau, Laboratoire de Mathématiques de, UF des Scieces et Techiques, 6, route de Gray, cedex, Frace.. Le devoir, dot le texte se trouve e aexe C, page 26, porte sur les chapitres I, II et III. Il doit être evoyé au plus tard pour le 2 février Le devoir 2, dot le texte se trouve e aexe C, page 28, porte pricipalemet sur le chapitre IV et V mais pourra bie sûr faire appel à des résultats des chapitres précédets. Il doit être evoyé au plus tard pour le 28 mars Le devoir 3, dot le texte se trouve e aexe C, page 220, porte pricipalemet sur les chapitres VI et VII, mais pourra bie sûr faire appel à des résultats des chapitres précédets. Il doit être evoyé au plus tard pour le 8 avril 204. Le caledrier ci-dessus est doé à titre idicatif. Bie etedu, j accepterai de corriger vos devoirs à importe quel momet. Cepedat je vous coseille d essayer de travailler régulièremet et de suivre ce caledrier. emarque fiale Comme pour tout documet, des erreurs ou des coquilles peuvet s être glissées lors de sa rédactio, merci de me sigaler celles que vous pourriez relever. Plus gééralemet, si vous avez des remarques sur le documet, hésitez pas à m e faire part., le 0 javier 204, Bruo Saussereau

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9 Table des matières. Présetatio du cours Notatios i xi Modèles probabilistes. Prélimiaires Tribu sur u esemble Mesures et probabilités Mesure Probabilités et évéemets Propriétés élémetaires des probabilités Foctios de répartitio Loi d u vecteur aléatoire 9 2. emarques sur la modélisatio de l aléatoire Cas discret Cas cotiu Pricipe de modélisatio Applicatios mesurables Loi d ue variable aléatoire Variables aléatoires Loi d ue variable aléatoire Momets d u vecteur aléatoire appels sur l itégratio des applicatios mesurables Itégratio des foctios positives Itégratio des foctios umériques Itégratio des foctios vectorielles Propriétés de l itégrale Espaces de Lebesgue d ordre p Théorème du trasfert et momets d ue v.a Théorème du trasfert et idetificatio de lois Momets d ue variable aléatoire Foctio caractéristique et loi d ue v.a Exercices de révisio sur les chapitres I à III

10 viii Théorie des probabilités, Bruo Saussereau, , versio 0/0/204 4 Idépedace stochastique 6 4. Itégratio sur +p Idépedace de vecteurs aléatoires, d évéemets, de tribus Idépedace de vecteurs aléatoires Critères d idépedace de vecteurs aléatoires Idépedace d évéemets, de tribus Tribu et évéemets asymptotiques Somme de v.a.r. idépedates Exercices de révisio sur les chapitres I à IV Vecteurs aléatoires gaussies Vecteur gaussie Loi d u vecteur gaussie Exercices de révisio sur les chapitres I à V Lois des grads ombres et covergeces de v.a.r Covergece e probabilité d ue suite de v.a.r Loi faible des grads ombres Covergece e probabilité Covergece presque-sûre d ue suite de v.a.r Loi forte des grads ombres Covergece presque-sûre Covergece das L p (Ω, F, P) où p [, + ] Comparaiso des covergeces das L 0 (Ω, F, P) Exercices de révisio sur les chapitres I à VI Théorème-limite cetral et covergece de lois Théorème-limite cetral (TLC) Éocé du théorème-limite cetral (TLC) Cas particuliers du théorème-limite cetral (TLC) Correctio de cotiuité Covergece d ue suite de probabilités, covergece e loi Exercices de révisio sur les chapitres I à VII Corrigés des exercices Corrigés des exercices du chapitre I Corrigés des exercices du chapitre II Corrigés des exercices du chapitre III Corrigés des exercices du chapitre IV Corrigés des exercices du chapitre V Corrigés des exercices du chapitre VI Corrigés des exercices du chapitre VII A Formulaire 205 A. appels de otatios A.2 Quelques relatios à coaître e probabilités A.3 Probabilités usuelles discrètes A.4 Probabilités usuelles à desité

11 Table des matières. ix B Table de la loi ormale stadard 2 B. Calculs avec des v.a.r. ormales cetrées-réduites B.2 Calculs avec des v.a.r. ormales de paramètres quelcoques C Devoirs à evoyer à la correctio 25 C. Devoir à revoyer le 2 février 204 au plus tard C.2 Devoir 2 à revoyer le 28 mars 204 au plus tard C.3 Devoir 3 à revoyer le 8 avril 204 au plus tard Bibliographie. 22

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13 Notatios xi Notatios Nous répertorios ici quelques otatios géérales qui serot utilisées das l esemble du cours. O ote de faço classique respectivemet par les lettres, N, Z, Q,, C, les esembles des ombres etiers aturels, relatifs, ratioels, réels, complexes. Les lettres P et E serot itroduites das le cours mais e devrot pas être cofodues avec les otatios d esembles de ombres. O pose := {+, }. O éted l ordre usuel de à e posat, pour tout x, < x < +. O prologe les opératios classiques sur de la faço suivate : pour tout x {+ }, x + (+ ) = +, x ( ) = + ; pour tout x { }, x + ( ) =, x (+ ) =. O remarquera que (+ ) + ( ) et (+ ) (+ ) e sot pas défiis. O suppose coues les otatios classiques de la théorie élémetaire des esembles : itersectio, réuio, différece de deux esembles \, esemble vide Ø, passage au complémetaire ou plus fréquemmet c, iclusio (au ses large). Le symbole de Halmos,, désigera la fi d ue démostratio. Le symbole := sigifie "est égal par défiitio". Il idique que le membre de gauche de := est ue otatio pour le membre de droite. Chaque propositio, exemple, exercice, est umérotée par deux ombres séparés par u poit. Par exemple "propositio 5.2" désige la propositio 2 du chapitre 5.

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15 Chapitre. Modèles probabilistes Chapitre Modèles probabilistes Le formalisme de la théorie des probabilités utilise les outils de la théorie de la mesure e adoptat u vocabulaire spécifique aux probabilités.. Prélimiaires Certaies défiitios et otatios de la théorie élémetaire des esembles serot costammet utilisées das la suite. Afi d éviter toute ambiguïté ous les rappelos rapidemet das ce paragraphe. Défiitio.. Das ce cours u esemble sera dit déombrable s il est e bijectio avec ue partie (fiie ou ifiie) de N. (Attetio : das certais ouvrages, u tel esemble est dit au-plus-déombrable, le qualificatif déombrable désigat alors les esembles possédat u ombre fii d élémets.) Si A et B sot deux parties d u esemble E, o ote A c := {x E / x A}, ou aussi E A si o souhaite préciser l esemble de référece E, le complémetaire de A das E et A \ B := A B c = {x A / x B}. Défiitio.2. Soit f ue applicatio d u esemble E das u esemble F. Si A est ue partie de F, l image-réciproque de A par f est l esemble, oté par les probabilistes {f A}, défii par {f A} := {x E / f (x) A}. L esemble {f A} est doc ue partie de E. Exemples.. Si f et g sot deux applicatios de E das et a u réel, {f = g} := {x E / f (x) = g(x)}, {f g} := {x E / f (x) g(x)}, {f = a} := {x E / f (x) = a}.

16 2 Théorie des probabilités, Bruo Saussereau, , versio 0/0/204 E vue de la propositio suivate, rappelos que si (A i ) I est ue famille quelcoque de parties d u esemble F, i I A i désige la partie de F costituée des élémets x de F tels qu il existe au mois u idice k I, x A k. De même, bigcap i I A i désige la partie de F costituée des élémets x de F tels que, pour tout idice k I, x A k. Voici quelques propriétés classiques de l image-réciproque : Propositio.. Avec les otatios itroduites ci-dessus,. {f Ø} := {x E / f (x) Ø} = Ø. 2. Si A et B sot des parties de F avec A B alors, {f A} {f B}. 3. Si (A i ) I est ue famille quelcoque de parties de F, { f } A i = { {f A i } et f } A i = {f A i }. i I i I i I i I 4. {f A} c = E \ {f A} = {f F \ A} = {f A c }. O fera attetio à l ambiguïté de la otatio c pour le complémetaire d u esemble das l assertio 4 de cette propositio : {f A} c sigifie E {f A} et {f A c } sigifie {f F A}. Exercice.. (Corrigé de l exercice : page 45) Démotrer la propositio précédete. Défiitio.3. L idicatrice d ue partie A de E est l applicatio, otée l A, de E das défiie, pour tout x E, par l A (x) := 0 si x A et l A (x) := si x A. Exercice.2. (Corrigé de l exercice : page 45) Soiet A, B et C trois parties d u esemble Ω.. Écrire l A B et l A B e foctio de l A et l B lorsque : (a) A et B sot disjoits ( i.e. A B = Ø). (b) A et B sot quelcoques. 2. Exprimer, e foctio des idicatrices de A, B et C, les idicatrices des esembles suivats : A c, A \ B, A B C. Exercice.3. (Corrigé de l exercice : page 46) epréseter graphiquemet les foctios défiies sur :. l [,+ [ l [0,].

17 Chapitre. Modèles probabilistes ( + )l [,+[. Efi, rappelos que, si f et g sot deux applicatios d u esemble E das, la otatio f g sigifie que, pour tout x E, f (x) g(x)..2 Tribu sur u esemble Défiitio.4. Ue famille A de parties d u esemble E est appelée ue tribu sur E, (ou das certais ouvrages ue σ-algèbre sur E ), si elle vérifie les trois axiomes suivats :. E A, 2. Si A A, alors A c A, 3. Si (A ) N est ue suite d élémets de A, alors N A A. Défiitio.5. Le couple (E, A) s appelle u espace mesurable et les élémets de A sot appelés les parties mesurables de E relativemet à la tribu A ou parties A-mesurables de E O otera bie que A est u esemble costitué de parties de E et doc ue partie de P(E), l esemble de toutes les parties de E. Exemples.2. les familles de parties de E, {Ø, E} et P(E), sot des tribus sur E appelées tribus triviales de E. O peut doc défiir au mois ue tribu sur tout esemble E. Exercice.4. (Corrigé de l exercice : page 47) Soiet u etier strictemet positif et (A, A 2,, A ) ue partitio de E, i.e. ue suite de parties o vides de E, deux à deux disjoites, dot la réuio est égale à E. Soit A la famille des réuios qu o peut fabriquer à partir de toutes les sous-familles de la suite (A, A 2,, A ), c est-à-dire la famille des parties de E de la forme i K A i où K parcourt l esemble des parties de {, 2,, }. Motrer que la famille A est ue tribu sur E. Pour ue gééralisatio de ce résultat, o pourra cosulter [2] exercice I-7 questio 2. Exercice.5. (Corrigé de l exercice : page 47) Motrer que l itersectio d ue famille quelcoque de tribus est ue tribu. E est-il de même pour la réuio? La propositio suivate doe u procédé de costructio de parties mesurables à partir d autres élémets de la tribu :

18 4 Théorie des probabilités, Bruo Saussereau, , versio 0/0/204 Propositio.2. Soit A ue tribu sur E.. Ø A. 2. Si (A i ) i I, où I N, est ue suite (fiie ou ifiie) d élémets de A, alors A i A. i I A i A et i I Démostratio : Ø = E c, o coclut par les axiomes et 2 de la défiitio des tribus. O pose A i := A i pour tout etier i I et A i := Ø pour tout etier i N \ I. O applique le résultat précédet et l axiome 3 de la défiitio pour motrer que i I A i = N A A. Pour motrer i I A i A, o remarque que ( A i = O utilise alors le résultat précédet et l axiome 2. i I i I A c i ) c Exercice.6. (Corrigé de l exercice : page 48) Motrer que si A et B sot deux parties mesurables de E relativemet à la tribu A, alors A \ B A. Pour des raisos techiques qui serot précisées plus loi, lorsqu o travaille sur E := ou plus gééralemet E := d avec d N, il est pas possible d utiliser la tribu P() ou P( d ) car elle est trop "grosse". Pour des explicatios plus détaillées cosulter l aexe??, page??. O doit doc défiir ue tribu plus "petite" (au ses de l iclusio des esembles) mais suffisammet riche e élémets pour coteir au mois les esembles utilisés das les applicatios pratiques de la théorie des probabilités, comme les itervalles de ou les pavés de d, et leurs réuios ou itersectios déombrables. Pour cela o défiit la tribu boréliee ou tribu de Borel de otée B(). C est la plus petite des tribus sur coteat tous les itervalles de la forme ]a, b], où a et b sot des réels tels que a < b. Cette derière phrase sigifie que si A est ue tribu sur coteat tous les itervalles de la forme ]a, b], où a et b sot des réels tels que a < b, alors tout élémet de la tribu B() est u élémet de la tribu A. Plus gééralemet, Défiitio.6. La tribu boréliee ou tribu de Borel de d,, otée B( d ), est la plus petite des tribus sur d coteat tous les pavés de d i.e. les parties de la forme ]a, b ] ]a 2, b 2 ] ]a d, b d ] où, pour tout etier i d, a i et b i sot des réels tels que a i < b i. O peut de même défiir la tribu boréliee sur B() :

19 Chapitre. Modèles probabilistes 5 Défiitio.7. La tribu boréliee sur, otée B(), est la plus petite des tribus sur coteat tous les itervalles de la forme ]a, b], où a et b sot des réels tels que a < b, et les itervalles ]a, + ] où a. Défiitio.8. Les élémets des tribus B(), resp. B( d ), sot appelés borélies de, resp. d. Exercice.7. (Corrigé de l exercice : page 48) Prouver l existece de la tribu de Borel de. Pour cela, motrer que B() est l itersectio de la famille (o vide car la tribu P() e fait partie) des tribus coteat tous les itervalles de la forme ]a, b] où a et b sot des réels tels que a < b. Plus gééralemet : Défiitio.9. Soit C ue famille de partie d u esemble E. O appelle tribu egedrée par C sur E, et o ote σ( C), la plus petite tribu (au ses de l iclusio) défiie sur E coteat la famille C. O vérifiera aisémet que la tribu σ( C) est l itersectio de toutes les tribus sur E qui cotieet C. Exemples.3. O motre e théorie de la mesure que la tribu boréliee de d famille costituée des parties ouvertes de d. est egedrée par la Exercice.8. (Corrigé de l exercice : page 48) Soiet u etier strictemet positif et (A, A 2,, A ) ue partitio de E. Motrer que la tribu costruite das l exercice.4 est la tribu sur E egedrée par la famille (A, A 2,, A ). Das la suite du cours les esembles et d serot toujours supposés muis de leurs tribus boréliees. La propositio suivate doe des exemples de borélies de. Pratiquemet ceux-ci correspodet à la plupart des esembles qui serot maipulés das la suite : Propositio.3.. Tout sigleto de est u borélie. 2. Toute partie déombrable de est u borélie. 3. Tous les itervalles de, quelle que soit leur forme, sot des borélies de. 4. Toutes les réuios déombrables ou itersectios déombrables d itervalles de, ou plus gééralemet de borélies, sot des borélies. Démostratio : Pour le sigleto, o remarque que si a, o peut écrire + {a} = ]a k ], a. k=

20 6 Théorie des probabilités, Bruo Saussereau, , versio 0/0/204 O coclut alors avec la propositio.2 de la page 4. Pour l assertio 2, o utilise l axiome 3 de la défiitio des tribus. Pour démotrer 3, o motre que tout itervalle peut être écrit comme réuio ou itersectio déombrable d itervalles de la forme ]a, b] ou de sigletos. Par exemple [a, b] =]a, b] {a} ce qui prouve que tout itervalle fermé boré est borélie. Autres exemples : ]a, b[=]a, b] \ {b} ou ecore ]a, b[= + k= ] a, b ], ], b] = k + k> b ] k, b]. O otera que si toute réuio déombrable ou itersectio déombrable d itervalles de est u borélie, cela e sigifie pas pour autat que tous les borélies de sot de cette forme. De plus o motre que B( d ) est strictemet icluse das l esemble des parties de d. Il existe doc des parties de d qui e sot pas mesurables pour la tribu de Borel. Mais das la pratique, tous les esembles que ous seros ameés à utiliser das d serot e fait des borélies..3 Mesures et probabilités.3. Mesure Défiitio.0. Soit (E, A) u espace mesurable. Ue mesure sur (E, A) est ue applicatio µ de A das [0, + ] vérifiat les axiomes :. µ(ø) = 0, 2. σ-additivité : pour toute suite (A ) N d élémets de A deux à deux disjoits ( + ) µ A k = k=0 + k=0 µ(a k ). Le triplet (E, A, µ) s appelle u espace mesuré. La σ-additivité etraîe la simple-additivité ( i.e. pour toute suite fiie A,, A d élémets + ) + de A deux à deux disjoits µ A k = µ(a k ). Mais la réciproque est fausse, c est-à-dire k=0 k=0 qu il e suffit pas que le deuxième axiome de la défiitio précédete soit vrai pour les suites fiies deux à deux disjoites pour qu il le soit pour les suites ifiies deux à deux disjoites. U cotre-exemple est proposé das l exercice suivat. Exercice.9. (Corrigé de l exercice : page 48) O cosidère l applicatio µ de P(N) das [0, + ] défiie, pour tout A N, par µ(a) := (avec la covetio = + ) si A est fii, µ(a) = + si A est ifii, 2 0 A et µ(ø) = 0. Motrer que

21 Chapitre. Modèles probabilistes 7. µ est simplemet-additive sur ( N, i.e. pour toute suite fiie A,, A de parties de ) N, deux à deux disjoites, µ A k = µ(a k ). 2. µ est pas σ-additive sur N. k= O admettra qu il existe ue uique mesure sur ( d, B( d )), otée λ (d) et appelée mesure de Lebesgue sur d, telle que, pour tout pavé de la forme ]a, b ] ]a 2, b 2 ] ]a d, b d ] où pour tout etier i d, les réels a i et b i vérifiet a i < b i, λ (d) (]a, b ] ]a 2, b 2 ] ]a d, b d ]) = (b a )(b 2 a 2 ) (b d a d ). La mesure de Lebesgue éted doc les otios de mesure de logueur (cas d = ), mesure d aire (cas d = 2), mesure de volume (cas d = 3) à toutes les parties de d qui sot des borélies. Das le cas d = o otera, pour simplifier, λ := λ (). O motre que λ (d) ( d) = +. O dit que la mesure de Lebesgue est ue mesure o fiie cotrairemet aux probabilités que ous allos défiir ci-dessous et qui sot des cas particuliers de mesures fiies. Exercice.0. (Corrigé de l exercice : page 49) Vérifier que = k Z]k, k + ] et e déduire que λ () = + e appliquat l axiome de σ-additivité de la mesure de Lebesgue..3.2 Probabilités et évéemets Défiitio.. Ue probabilité sur (E, A) est ue mesure µ sur (E, A) telle que µ(e) =. Le triplet (E, A, µ) s appelle alors u espace de probabilité, les parties mesurables s appellet les évéemets relatifs à µ. E est l évéemet certai, Ø est l évéemet impossible. Deux évéemets disjoits sot dits icompatibles. Doréavat, sauf idicatio cotraire, (E, A, µ) désigera u espace de probabilité. Défiitio.2. Ue partie A de E est dite égligeable pour µ, s il existe u évéemet B tel que A B avec µ(b) = 0. Ue propriété P(x), dépedat de l élémet x E, est dite µ-presque-sûre (e abrégé µ-p.s.) si l esemble des x E pour lesquels la propriété P(x) est pas vérifiée est égligeable pour µ. Défiitio.3. Deux évéemets A et B sot dits µ-presque-sûremet égaux si l évéemet (A\B) (B \A) est égligeable pour µ. U évéemet égligeable pour µ est µ-presque-sûremet vide, c est-à-dire µ-presque-sûremet impossible. k=

22 8 Théorie des probabilités, Bruo Saussereau, , versio 0/0/204 Exemples.4. ) Doos u premier exemple de probabilité sur E := d. Comme coveu o souseted A := B( d ). Soit a d fixé, o ote δ a l applicatio de B( d ) das {0, } défiie, pour tout borélie A, par δ a (A) = l A (a) c-à-d δ a (A) = si a A et δ a (A) = 0 sio. δ a est ue probabilité sur ( d, B( d ) ) appelée probabilité de Dirac au poit a sur d. O vérifie aisémet que toute partie de d e coteat pas a est égligeable pour δ a. Le sigleto {a} est u évéemet δ a -presque-sûremet égal à l évéemet certai d. 2) D après le résultat de l exercice.0, la mesure de Lebesgue est pas ue probabilité sur d. Exercice.. (Corrigé de l exercice : page 49) Vérifier que δ a, où a est u réel, est bie ue probabilité sur. Doos sous forme de propositio u exemple géérateur de mesures et e particulier de probabilités : Propositio.4. Soiet (µ k ) N ue suite de mesures sur (E, A) et (α k ) N ue suite de réels positifs. Alors l applicatio est ue mesure sur (E, A) otée µ : A A µ(a) := µ := + k=0 α k µ k. + k=0 α k µ k (A) Démostratio : O vérifie aisémet que µ(ø) = 0. La σ-additivité de µ découle immédiatemet du lemme suivat sur l iterversio des idices, souvet utile das les calculs : Si (a i,j ) (i,j) N 2 est ue suite-double de réels positifs, alors + + i=0 j=0 a i,j = + + j=0 i=0 a i,j. Cette somme peut être évetuellemet ifiie. Pour ue démostratio du lemme se reporter à [] tome 2, p O otera que si les mesures µ k mesure + k=0 α k µ k est ue probabilité sur (E, A). sot des probabilités sur (E, A) et si + α k k=0 =, alors la Exemples.5. Appliqué au cas particulier où les probabilités µ k sot les probabilités sur de Dirac au poit k N, le procédé précédet permet de costruire d autres exemples classiques de probabilités. Si N, α ]0, + [, p ]0, [ et q := p, o défiit :

23 Chapitre. Modèles probabilistes 9. la probabilité biomiale de paramètres et p : B(, p) := C k p k q k δ k. k=0 2. la probabilité de Poisso de paramètre α : α αk P(α) := e k! δ k. k=0 3. la probabilité géométrique de paramètre p : G(p) := + k= pq k δ k. 4. la probabilité uiforme-discrète de paramètre ou équiprobabilité sur {, 2,, } : U() := δ k. La probabilité B(, p) est appelée probabilité de Beroulli de paramètre p simplemet B(p). k= et se ote Exercice.2. (Corrigé de l exercice : page 49) Vérifier que les probabilités itroduites das l exemple précédet sot bie des probabilités costruites suivat le procédé de la propositio.4. Exercice.3. (Corrigé de l exercice : page 49) ) Expliciter les expressios aalytiques, pour tout i N, de B(, p)({i}) et P(α) ({i}). 2) Expliciter et calculer P( 0 ) ({, 3, 5, 7}) et B(7, 3 ) ({0, 3, 5}). 0 Défiitio.4. Ue probabilité µ sur d est dite discrète et portée par l esemble F si elle peut s écrire sous la forme µ = p δ a où (p ) N est ue suite de réels positifs ou uls, (a ) N est ue suite N de vecteurs de d et F désige l esemble des a d pour lesquels p > 0. Exemples.6. Les probabilités biomiale B(, p), de Poisso P(α), de Dirac δ a sot discrètes et portées respectivemet par les esembles {0,,, }, N, {a}. Il e faut pas croire que toutes les probabilités soiet discrètes. Par exemple o admettra qu il existe ue uique probabilité sur, otée N (0, ) et appelée probabilité de Gauss-Laplace stadard, ou probabilité ormale stadard, telle que pour tout x, N (0, ) (], x]) = 2π x e 2 t2 dt.

24 0 Théorie des probabilités, Bruo Saussereau, , versio 0/0/204 O verra u peu plus loi que cette probabilité e peut pas s écrire sous la forme d ue combiaiso liéaire de probabilités de Dirac et est doc pas discrète. emarquos que le ombre réel N (0, ) (], x]) représete la mesure de l aire délimitée par l axe des abscisses t, la courbe d équatio y = 2π e 2 t2, et la droite d équatio t = x. O dira pour simplifier qu il s agit de la mesure de l aire sous la courbe d équatio y = 2π e 2 t2, comprise etre et x. O peut gééraliser u peu la costructio précédete. Défiitio.5. Nous appelleros desité de probabilité sur toute applicatio ρ positive de das [0, + ], cotiue sur, sauf évetuellemet e u ombre fii de poits où la courbe présete des sauts fiis, telle que + ρ(t)dt =. O motre alors qu il existe ue uique probabilité µ sur telle que, pour tout x, µ (], x]) = x ρ(t)dt. O dit que µ est ue probabilité à desité sur. O écrit µ = ρ λ pour exprimer que µ admet ρ pour desité. Nous gééraliseros de faço défiitive la défiitio de desité d ue probabilité sur d au chapitre III par la défiitio 3.2, page 35. Comme précédemmet, le réel µ (], x]) représete la mesure de l aire sous la courbe d équatio y = ρ(t), comprise etre et x. O peut de faço plus géérale défiir des mesures à desité, qui e sot plus écessairemet des probabilités, e remplaçat das la défiitio de la desité ci-dessus, la coditio + ρ(t)dt = par la coditio plus faible + ρ(t)dt < +. L existece des mesures à desité résulte d u théorème de prologemet assez techique que ous éoceros pas. Nous ous coteteros d admettre l existece de telles mesures. Exemples.7.. La probabilité de Gauss-Laplace stadard vue plus haut admet la desité ρ défiie sur par ρ(t) := e 2 t2. 2π 2. L applicatio ρ := b a l [a,b], avec a < b, est la desité d ue probabilité sur appelée probabilité uiforme-cotiue sur [a, b] et otée U([a, b]). 3. L applicatio ρ, défiie sur par ρ(t) := αe αt l ]0,+ [ (t), est la desité d ue probabilité sur appelée probabilité expoetielle de paramètre α > 0 et otée E(α).

25 Chapitre. Modèles probabilistes O pourrait se demader pourquoi o e défiit pas les mesures comme des applicatios µ σ-additives de l esemble des parties de E das [0, + ] avec µ(ø) = 0. Cela reviedrait à predre toujours A := P(E) et éviterait le recours à la otio de tribu. E fait, o motre que certaies probabilités, comme celle de Gauss défiie plus haut, e peuvet pas être défiies pour toutes les parties de. Plus précisémet, o motre que, toujours das le cas de E :=, les seules probabilités qui satisferaiet à cette ouvelle défiitio seraiet les probabilités discrètes. Malheureusemet cette famille est pas assez riche pour permettre de modéliser grad ombre des situatios aléatoires qui se présetet das les applicatios cocrètes de la théorie. Pour plus de développemets se reporter à l aexe??, page??, de ce cours..3.3 Propriétés élémetaires des probabilités (E, A, µ) désige u espace de probabilité. Propositio.5.. Pour tout A, B A tel que A B, µ(a) µ(b). E particulier pour tout A A, µ(a). 2. Pour tout A, B A, µ(b \ A) = µ(b) µ(a B). E particulier si A B, µ(b \ A) = µ(b) µ(a). 3. Pour tout A, B A, µ(a B) = µ(a) + µ(b) µ(a B). 4. Pour tout A A, µ(a c ) = µ(a). Démostratio : ) O remarque que B = (B \ A) A car A B. De plus (B \ A) A = Ø. D où µ(b) = µ(a) + µ(b \ A) µ(a) l égalité résultat de ce que l uio est disjoite. O coclut par l axiome 2 des mesures. Pour la deuxième partie predre B = E. 2) résulte de l égalité esembliste (B \ A) (A B) = B avec (B \ A) (A B) = Ø. Pour la deuxième partie remarquer que si A B, A B = A. 3) résulte de A B = (A \ B) B où l uio est disjoite. 4) résulte de A c = E \ A avec A E. Pour démotrer l iégalité de Boferroi ous auros besoi du résultat esembliste suivat laissé e exercice : Propositio.6. Soit (A ) N ue suite de parties d u esemble E. Posos B 0 := A 0 et, pour tout etier k, B k := A k \(A 0 A A k ). Alors, pour tout etier 0, B A et la suite (B ) N est formée de parties deux à deux disjoites vérifiat, pour tout etier aturel, B k = A k, et + k=0 B k = + k=0 A k. k=0 k=0 Exercice.4. (Corrigé de l exercice : page 50) Démotrer la propositio.6. Ce résultat est souvet utile pour se rameer à des familles de parties deux à deux disjoites car, du fait de l axiome de σ-additivité, il est beaucoup plus facile de maipuler des réuios

26 2 Théorie des probabilités, Bruo Saussereau, , versio 0/0/204 de parties de E deux à deux disjoites. Voici ue illustratio de cette remarque das la démostratio ci-dessous de l iégalité de Boferroi. Propositio.7. Iégalité de Boferroi ou propriété de sous-additivité Pour toute suite (A ) N d élémets de A, ( + ) µ A k k=0 + k=0 µ(a k ). E coséquece, ue réuio déombrable d évéemets égligeables pour µ est égligeable. Démostratio : O applique la σ-additivité des mesures à la suite (B ) N de la propositio.6 et o utilise les propriétés élémetaires des probabilités éocées das la propositio.5. La formule de Poicaré ci-dessous, qu o admettra, gééralise au cas de évéemets la relatio 3) de la propositio.5, page, établie pour deux évéemets (la démostratio peut se faire par récurrece sur l etier, ue autre démostratio utilisat les propriété de l itégrale sera proposée au chapitre III das l exemple 3.9, page 37). Propositio.8. Formule de Poicaré Pour toute suite (A, A 2,, A ) d élémets de A, ( k= ) ( ) k= µ A k = ( ) k+ µ (A i A i2 A ik ). k= k= i <i 2 < <i k Propositio.9. Théorème de cotiuité mootoe. Pour toute suite (A ) N d élémets de A, croissate ( au ses de l iclusio, (µ(a )) N est + ) ue suite réelle croissate covergeat vers µ A k c-à-d µ ( + k=0 k=0 A k ) = lim + µ(a ). 2. Pour toute suite (A ) N d élémets de A, décroissate au ses ( de l iclusio, la suite + ) (µ(a )) N est ue suite réelle décroissate covergeat vers µ A k c-à-d µ ( + k=0 A k ) = lim + µ(a ). k=0 Démostratio : ) Soit (A ) N suite croissate d élémets de A. Utilisos la suite costruite das la propositio.6. Comme la suite (A ) N est croissate, pour tout etier,

27 Chapitre. Modèles probabilistes 3 B = A \ A et B 0 = A 0. (B ) N est ue suite d élémets de A deux à deux disjoits avec + k=0 A k = + k=0 ( + ) µ A k k=0 B k. Il viet ( + ) = µ B k = k=0 + k=0 µ(b k ) = µ(a 0 ) + + k= k= = µ(a 0 ) + lim (µ(a k ) µ(a k )) = lim µ(a ). k= D où la première partie. 2) Comme µ est ue probabilité, ( + ) ( + µ A k = µ k=0 k=0 A c k ). (µ(a k ) µ(a k )) Or (A c ) N est ( ue suite croissate d élémets de A. D après la première partie de la démostratio, µ = lim µ(a c + ) ). Par suite k=0 A c k D où la deuxième partie. ( + ) µ A k = lim ( µ(a c )) = lim µ(a ). k=0.4 Foctios de répartitio La possibilité de défiir ue probabilité sur ue tribu à partir de la coaissace des valeurs de cette mesure sur ue sous-famille de la tribu, résulte d u théorème de prologemet assez techique que ous éoceros pas. E revache, il est souvet utile de motrer qu il existe ue uique probabilité sur la tribu qui pred des valeurs seulemet coues sur ue sous-famille de la tribu. L uicité das le cas des probabilités résulte d u théorème, appelé théorème d uicité, qui découle lui-même du théorème des classes mootoes qu o admettra, dot il est utile de coaître l éocé. Commeços tout d abord par doer deux défiitios : Défiitio.6. Ue famille M de parties de E est appelée ue classe mootoe sur E si elle vérifie les trois axiomes suivats :. E M. 2. Si A M et B M avec B A, alors A \ B M. 3. Si (A ) N est ue suite croissate au ses de l iclusio d élémets de la famille M, alors + =0 A M.

28 4 Théorie des probabilités, Bruo Saussereau, , versio 0/0/204 De faço aalogue à la défiitio correspodate pour les tribus, si J est ue famille de parties de E, o appellera classe mootoe egedrée par J la plus petite classe mootoe sur E coteat tous les élémets de la famille J. O vérifie aisémet que la classe mootoe egedrée par J est l itersectio de toutes les classes mootoes sur E coteat tous les élémets de la famille J. Moyeat ces deux défiitios le théorème des classes mootoes s éoce : Propositio.0. Théorème des classes mootoes (admis) Soit J ue famille, stable par itersectios fiies, de parties d u esemble E, alors la classe mootoe egedrée par J coïcide avec la tribu egedrée par J. Ue applicatio importate de ce théorème est le théorème d uicité sur les probabilités : Propositio.. Théorème d uicité pour les probabilités Soit C ue famille, stable par itersectios fiies, de parties d u esemble E. Soit A la tribu egedrée par C, i.e. A = σ( C). Si µ et ν sot deux probabilités défiies sur l espace (E, A) telles que, pour tout A C, µ(a) = ν(a), alors, pour tout A A, µ(a) = ν(a), i.e. µ = ν. Démostratio : Notos H la famille des évéemets A A tels que µ(a) = ν(a). D après l item de la propositio.9, o vérifie aisémet que H est ue classe mootoe qui cotiet la famille C. Doc H cotiet la classe mootoe egedrée par C. Comme, par hypothèse C est stable par itersectios fiies, d après le théorème des classes mootoes, la classe mootoe egedrée par C coïcide avec la tribu egedrée par C, c est-à-dire A. Fialemet, pour tout A A H, µ(a) = ν(a). Ce résultat motre que pour prouver que deux probabilités sot égales, il suffit de mettre e évidece qu elles coïcidet sur ue famille egedrat la tribu, stable par itersectios fiies. Cette remarque justifie la défiitio suivate : Défiitio.7. Ue famille de parties d u esemble o vide E stable par itersectios fiies est appelée u π-système de parties de E. Par exemple, si ous preos E =, la famille C de tous les itervalles de de la forme ], x] où x parcourt, est u π-système de parties de. De plus C egedre la tribu boréliee de car, pour tout réel a et b avec a < b, ]a, b] =], b]\], a]. Le théorème d uicité. appliqué à C et mui de la tribu de Borel deviet alors : Propositio.2. Lemme d uicité pour les probabilités sur Soiet µ et ν deux probabilités sur. Si pour tout x µ(], x]) = ν(], x]), alors µ = ν. Ce résultat a pour coséquece que pour idetifier ue probabilité µ sur, il suffit d idetifier l applicatio F µ de das [0, ], défiie, pour tout x, par F µ (x) := µ(], x]).

29 Chapitre. Modèles probabilistes 5 Défiitio.8. O dit que F µ est la foctio de répartitio de la probabilité µ, e abrégé f.r.. Avec ces otatios o peut éocer autremet le lemme d uicité pour les probabilités sur : Propositio.3. Deux probabilités sur sot idetiques si, et seulemet si, elles ot la même foctio de répartitio. Exemples.8. ) La f.r. de δ a, où a, est l [a,+ [. 2) La f.r. de B(p) est pl [,+ [ + ( p)l [0,+ [. 3) La f.r. de 4 δ N (0, ) est 4 l [0,+ [+ 3 4 F où F désige la f.r. de la probabilité N (0, ). Les valeurs de la foctio de répartitio de la probabilité N (0, ) sot "tabulées". O trouvera la tables des valeurs de la foctio de répartitio de la probabilité ormale stadard, appelée commuémet table de la loi ormale cetrée-réduite, avec u mode d emploi das l aexe B, page 2, de ce cours. A titre d etraîemet, o pourra égalemet chercher à exprimer les foctios de répartitio des probabilités E(α) et U([a, b]) (O trouvera leur expressio das le formulaire reproduit e aexe A, page 205. Exercice.5. (Corrigé de l exercice : page 50) Soit F l applicatio de das défiie, pour tout réel x, par F (x) := 2 e x si x 0, et F (x) := 2 ex si x 0. Motrer que F est la foctio de répartitio d ue probabilité à desité qu o détermiera. Propositio.4. Soit µ ue probabilité sur de foctio de répartitio F. Alors. F est croissate sur et admet des limites à droite e tout poit de { } et à gauche e tout poit de {+ }. De plus F est cotiue-à-droite sur, lim F (x) = 0 et lim x F (x) =. x + 2. Pour tous réels a, b avec a < b : (a) µ(]a, b]) = F (b) F (a) et µ(], a[) = F (a ) où F (a ) désige la limite-àgauche de F au poit a. (b) µ({a}) = F (a) F (a ). (c) F est cotiue e a si, et seulemet si, µ({a}) = 0. Démostratio : ) Soiet x, y des réels vérifiat x y. Comme ], x] ], y] il viet F (x) = µ(], x]) µ(], y]) = F (y). Doc F est croissate sur.

30 6 Théorie des probabilités, Bruo Saussereau, , versio 0/0/204 Pour motrer que F admet ue limite-à-gauche, cosidéros u poit a de {+ } et posos l := sup F (x). l est das puisque F est borée par. Soit ε > 0, il existe x 0 < a tel que x<a l F (x 0 ) > l ε. Doc, pour tout x ]x 0, a[, l F (x) F (x 0 ) > l ε c-à-d F (x) l < ε, ce qui doe l existece de la limite-à-gauche e a pour F. O motre de même l existece d ue limite-à-droite F (a+) := if F (x). x>a La suite d itervalles (], a + ) + ] est décroissate et ], a + ] =], a], doc N k=0 par le théorème de cotiuité mootoe.9 de la page 2 µ (], a]) = lim µ (], a + ) ] ( c-à-d F (a) = lim F a + ) = F (a+) car la limite-à-droite existe au poit a. F est doc cotiue-à-droite e tout poit de. La suite d itervalles (], ]) N est décroissate et est croissate et + =0 + =0 ], ] = Ø. La suite (], ]) N ], ] =. Par applicatio du théorème de cotiuité mootoe à ces deux derières suites, o obtiet les valeurs des limites de F e et +. 2-a) µ(]a, b]) = µ(], b]) µ(], a]) car ]a, b] =], b]\], a]. D où le premier résultat. Comme ], a[= ], a ] et que F admet ue limite-à-gauche e a d après la première partie, µ(], a[) = lim µ(], a ( + ]) = lim F a ) = lim F (x) = F (a ). + x a,x<a ce qui doe le secod résultat. 2-b) O peut écrire {a} =], a]\], a[. Par suite, µ({a}) = µ(], a]) µ(], a[) = F (a) F (a ). 2-c) F est cotiue e a si, et seulemet si, F (a) = F (a ) c-à-d µ({a}) = 0, d après 2-b. Exercice.6. (Corrigé de l exercice : page 50) Motrer que, pour tout réel x, N (0, ) ({x}) = 0 et e déduire que la probabilité N (0, ) e peut pas s écrire comme combiaiso liéaire de probabilités de Dirac. Exercice.7. (Corrigé de l exercice : page 50). Motrer que si µ est ue probabilité admettat ue desité sur, alors pour tout réel a, µ({a}) = 0, c est-à-dire tout sigleto est égligeable pour µ. O dit das ce cas que la probabilité µ est diffuse sur. 2. Avec les otatios de la propositio précédete, motrer que pour tous réels a, b vérifiat a < b, µ(]a, b[) = F (b ) F (a) et µ([a, b[) = F (b ) F (a ).

31 Chapitre. Modèles probabilistes 7 Exercice.8. (Corrigé de l exercice : page 5) Calculer U([0, ]) ([ 6, 43 ) ], U([0, ]) (Q), E(2) ({π} [ 92 ), 7]. O admettra le résultat suivat, réciproque de l item de la propositio.4, qui prouve qu il y a bijectio etre l esemble des probabilités sur et l esemble des foctios sur, croissates, cotiues-à-droite sur, telles que F (x) = 0 et lim F (x) = (cf. [3] exercice I-6) : lim x x + Propositio.5. Si F est ue applicatio croissate de das [0, ], cotiue-à-droite sur avec lim F (x) = 0 et lim x F (x) =, x + alors il existe ue uique probabilité sur dot F est la foctio de répartitio. Exercice.9. (Corrigé de l exercice : page 5) Doer ue représetatio graphique de l applicatio F : t F (t) = 4 (t + 2)l [,0[ ],2[(t) l [0,](t) + l [2,+ [ (t), et motrer que F est la foctio de répartitio d ue probabilité à desité qu o précisera.

32 8 Théorie des probabilités, Bruo Saussereau, , versio 0/0/204

33 Chapitre 2. Loi d u vecteur aléatoire 9 Chapitre 2 Loi d u vecteur aléatoire 2. emarques sur la modélisatio de l aléatoire Le but de ce premier paragraphe est de fourir quelques élémets de réflexio sur la modélisatio mathématique de phéomèes aléatoires. Pour ue aalyse plus approfodie sur l itérêt d itroduire la otio de variable aléatoire et de loi de probabilité, o pourra cosulter l aexe??, page??. Cosidéros les deux situatios suivates : 2.. Cas discret Ue persoe s itéresse à la somme des valeurs obteues das le lacer simultaé de deux dés équilibrés. O modélisera l esemble des issues possibles de cette expériece aléatoire par Ω := {(i, j) N 2 / i, j 6}. Les évéemets peuvet être modélisés par des parties de Ω. O peut predre comme tribu des évéemets l esemble P(Ω) de toutes les parties de Ω. Les dés état équilibrés, o choisira pour probabilité P sur (Ω, P(Ω)) l équiprobabilité sur Ω i.e. pour tout (i, j) Ω, P({(i, j)}) = 36 ou ecore P = δ (i,j). 36 i,j 6 Le triplet (Ω, P(Ω), P) représete le modèle mathématique permettat de traiter la situatio. Cepedat comme o s itéresse plutôt à la somme des valeurs obteues, l évéemet "La somme des valeurs obteues appartiet à A", où A est u borélie de, se modélise par la partie e A de Ω formée des couples (i, j) tels que i + j A. O peut aussi écrire l évéemet e A grâce au lagage des applicatios e otat X l applicatio de Ω das qui, à tout ω = (i, j), associe X (ω) = i + j et e remarquat que e A = {ω Ω/X (ω) A} = {X A} c-à-d que e A est l image-réciproque de A par l applicatio X. O remarque efi que ce qui est importat pour otre étude du phéomèe c est de coaître la valeur de P(e A ) = P(X A) pour tout borélie A de.

34 20 Théorie des probabilités, Bruo Saussereau, , versio 0/0/ Cas cotiu Evisageos maiteat le cas d u igéieur hydraulicie qui s itéresse aux risques d iodatio par u fleuve das l itetio de costruire ue digue protectrice. Pour cela il va cosidérer l évolutio de la hauteur du iveau de l eau sur l aée. Cela reviet à cosidérer la hauteur sur ue aée comme ue applicatio cotiue de [0, ] das +. L esemble des issues possibles de ce phéomèe aléatoire peut être modélisé par Ω := C([0, ], + ) esemble des applicatios cotiues de [0, ] das +. Comme pour, et cotrairemet à ce qu o a fait pour le cas précédet, il est pas possible de predre P(Ω) comme tribu sur Ω. O cosidérera ue tribu F plus petite qu o e précise pas pour l istat. De même o e précisera pas la probabilité P défiie sur F. O verra plus loi qu au fod ce est pas écessaire, seule l existece du triplet (Ω, F, P) devat être assurée. E fait l igéieur s itéressera surtout aux évéemets de la forme "La hauteur maximale du iveau du fleuve sur ue aée appartiet à A" où A est u itervalle de. Cet évéemet se modélise par la partie e A de Ω formée des foctios ω C([0, ], + ) telles que sup 0 t ω(t) A. O peut aussi écrire l évéemet e A grâce au lagage des applicatios e otat X l applicatio de Ω das qui à tout ω associe X (ω) = sup 0 t ω(t) et e remarquat que e A = {ω Ω/X (ω) A} = {X A} c-à-d que e A est l image-réciproque de A par l applicatio X. Pour que l expressio P(X A) ait u ses, il faudra s assurer (ou imposer) plus gééralemet que, pour tout borélie A de, l image-réciproque de A par l applicatio X soit u élémet de F. Car, comme das la situatio précédete, c est la valeur de P(X A) qui itéressera l igéieur, c-à-d l applicatio P X : A F P(X A). P X est ue probabilité sur doc u objet mathématique beaucoup plus facile à maipuler qu ue probabilité sur ue tribu de C([0, ], + ) Pricipe de modélisatio E coclusio de ces deux exemples o otera que, e pratique, modéliser mathématiquemet u phéomèe aléatoire reviet à itroduire :. u triplet (Ω, F, P), sas e préciser davatage les termes, comme u espace de probabilité abstrait, 2. ue applicatio X : Ω d telle que, pour tout borélie A de d, l image-réciproque de A par l applicatio X soit u élémet de F. C est alors l applicatio P X : A F P(X A) qui sera l objet importat du modèle, celui qui traduira mathématiquemet le problème particulier qui itéresse l igéieur au sei de la situatio aléatoire globale. Das la suite de l ouvrage le triplet (Ω, F, P) désigera u espace de probabilité pris comme référece et quelquefois appelé espace de base. Les esembles mesurables relativemet à F serot appelés évéemets de Ω.

35 Chapitre 2. Loi d u vecteur aléatoire 2.2 Applicatios mesurables 2 Défiitio 2.. Soiet (E, A) et (F, B) deux espaces mesurables, ue applicatio f de E das F est dite ( A, B)-mesurable si, pour tout B B, {f B} A. Das les cas où (E, A) est quelcoque et (F, B) := ( k, B( k )), o dit simplemet A-mesurable au lieu de ( A, B( k ))-mesurable. Ue applicatio A-mesurable à valeurs das est ue applicatio ( A, B())-mesurable. La propositio suivate doe u premier exemple d applicatios mesurables : Propositio 2.. Soit A ue partie de E. Alors l A est A-mesurable si, et seulemet si, A A. Démostratio : O remarque que si B est u borélie de, l image réciproque de B par l A est l u des esembles Ø, A, A c, ou E. Ce qui prouve par défiitio de la mesurabilité que l A est A-mesurable si, et seulemet si, A est A-mesurable. Défiitio 2.2. Das les cas où (E, A) := (, B( )) et (F, B) := ( k, B( k )) o dit que f est boréliee pour exprimer qu elle est ( B( ), B( k ))-mesurable. La propositio suivate doe des classes importates de foctios boréliees qui correspodet à la plupart des cas qu o cosidérera par la suite. Pour ue démostratio d ue partie de la propositio o pourra cosulter [2] exercice I-0. Propositio 2.2. (admis) Toute applicatio cotiue de das k est boréliee. Toute applicatio mootoe de das est boréliee. Toute dérivée d ue applicatio dérivable de das est boréliee. Exercice 2.. (Corrigé de l exercice : page 52) Soit f ue applicatio boréliee de k das d et ϕ ue applicatio A-mesurable de E das k. Motrer que l applicatio f ϕ est ue applicatio A-mesurable de E das d. Comme pour la otio d esemble mesurable, les applicatios mesurables correspodet aux applicatios sur lesquelles la théorie de la mesure permet de dire quelque chose d itéressat. O doit s attedre à ce que toutes les applicatios qu o est ameé à maipuler das la pratique soiet mesurables. Itroduisos la otatio suivate qui est utile pour étedre ue propriété, vraie pour la classe des foctios positives, à la classe des foctios de sige quelcoque : Défiitio 2.3. Si f est ue applicatio d u esemble E das otos f + := sup(f, 0) et f := sup( f, 0). Les applicatios f + et f sot appelées respectivemet la partie positive et la partie égative de f.

36 22 Théorie des probabilités, Bruo Saussereau, , versio 0/0/204 O vérifie aisémet que ce sot des applicatios à valeurs das [0, + ] telles que f = f + +f et f = f + f. Exemples 2.. Supposos E :=, si f (x) = x, f + (x) = xl [0,+ [ (x) et f (x) = xl ],0] (x). Grosso modo les opératios classiques sur les applicatios mesurables coservet la mesurabilité. Plus précisémet, o admettra : Propositio Si f et g sot des applicatios A-mesurables d u esemble E das d et α u réel, alors αf, f, g, f + g, f sot des applicatios A-mesurables, où, et désiget respectivemet les produit scalaire et orme usuels de d. 2. Si f et g sot des applicatios A-mesurables d u esemble E das, alors f +, f sot des applicatios A-mesurables. 3. Si (f ) N est ue suite d applicatios A-mesurables d u esemble E das, Alors sup N (f ), if N (f ) sot des applicatios A-mesurables. 4. Si (f ) N est ue suite d applicatios A-mesurables d u esemble E das d covergeat simplemet vers ue applicatio f, alors sa limite f est A-mesurable. Défiitio 2.4. Ue applicatio A-mesurable f est dite étagée sur E e pred qu u ombre fii de valeurs distictes. si elle est à valeurs das et si elle Si o ote α, α 2,, α les valeurs deux à deux distictes d ue applicatio étagée f et si o pose, pour tout etier k vérifiat k, A k := {x E / f (x) = α k }, alors f s écrit sous la forme f = α k l Ak. k= Cette écriture s appelle la décompositio caoique de f. O vérifie aisémet que la décompositio caoique d ue applicatio étagée est uique. L itérêt de cette défiitio réside das la propositio suivate. Pour la démostratio o pourra cosulter [2] exercice I-3. Propositio 2.4. Lemme fodametal (admis) Toute applicatio A-mesurable de E das [0, + ] est la limite d ue suite croissate d applicatios A-mesurables étagées et positives. Ce lemme est à la base d ue techique de démostratio utilisée e probabilités lorsqu o veut motrer que les applicatios A-mesurables possèdet ue certaie propriété P. Pour cela, o motre que les idicatrices l A, où A A, vérifiet P, puis o motre qu il e est de même pour les applicatios A-mesurables de la forme α i l Ai où α i + et A i A, i. i=

37 Chapitre 2. Loi d u vecteur aléatoire 23 O motre esuite, e utilisat le lemme fodametal, que la propriété P est ecore vérifiée par les applicatios A-mesurables positives, puis par les applicatios A-mesurables quelcoques f e remarquat que f = f + f où f + := sup(f, 0) et f := sup( f, 0) sot des applicatios A-mesurables positives. Cette techique de démostratio est souvet appelée "techique des foctios étagées". 2.3 Loi d ue variable aléatoire 2.3. Variables aléatoires Parallèlemet aux défiitios itroduites ci-dessus, ue termiologie différete est utilisée e probabilité pour les applicatios mesurables das le cas où (E, A) est l espace mesurable de base (Ω, F). Défiitio 2.5. Si (E, A) := (Ω, F) et (F, B) = ( d, B( d )), ue applicatio ( F, B( d ))-mesurable s appelle u vecteur aléatoire, ou variable aléatoire vectorielle, de dimesio d. U vecteur aléatoire de dimesio d = s appelle aussi ue variable aléatoire réelle e abrégé v.a.r.. O peut être quelquefois ameé à cosidérer des variables aléatoires à valeurs das, ce sot les applicatios ( F, B())-mesurables de Ω das. Les variables aléatoires sot traditioellemet otées par des lettres majuscules X, Y,... La propositio suivate est l éocé avec u vocabulaire différet du résultat de l exercice 2. de la page 2 sur la compositio des applicatios mesurables. Propositio 2.5. Si f est ue applicatio boréliee de k das d et X u vecteur aléatoire de dimesio k, alors l applicatio f X est u vecteur aléatoire de dimesio d. Démostratio : Il suffit pour cela de remarquer que si B est u borélie de d, alors l imageréciproque de B par f X est (f X ) (B) = X [(f (B)] et d appliquer esuite la défiitio de la mesurabilité de f et X. O otera das la suite par abus f (X ) au lieu de f X. Par exemple, o écrira e X pour exprimer l applicatio composée de l applicatio expoetielle et de la variable aléatoire réelle X. Propositio 2.6. X = (X, X 2,, X d ) u vecteur aléatoire de dimesio k si, et seulemet si, pour tout i =, 2,, d, X i est ue variable aléatoire réelle. Démostratio : La démostratio est ue coséquece directe de la propositio 2.5 où o pred pour f les projectios de d sur.

38 24 Théorie des probabilités, Bruo Saussereau, , versio 0/0/204 Deux vecteurs aléatoires X et Y de dimesio d sot égaux presque-sûremet si, et seulemet si, P(X Y ) = 0. L égalité presque-sûre est ue relatio d équivalece sur l esemble des vecteurs aléatoires de dimesio d Loi d ue variable aléatoire Propositio 2.7. Soit X u vecteur aléatoire de dimesio d. L applicatio est ue probabilité sur d. P X : B B( d ) P X (B) := P ({X B}) [0, ] Démostratio : O rappelle la otatio {X B} := {ω Ω / X (ω) B} et o otera que {X B} F, ce qui doe bie u ses à P({X B}). Soit B B( d ), P X (B) = P({X B}) [0, ]. De plus, comme {X d } = Ω, P X ( d ) = P({X d }) = P(Ω) =. Soit (A ) N ue suite deux à deux disjoite de borélies de d, alors { X } A k = {X A k } k N k N l uio du secod membre état deux à deux disjoite. Par suite ( ) ( P X A k = P X ) ( ) A k = P {X A k } k N k N k N = P(X A k ) = P X (A k ) k N k N d où la σ-additivité de P X. Défiitio 2.6. La probabilité P X est appelée la loi de probabilité relativemet à P du vecteur aléatoire X ou plus simplemet la loi de X. O otera que cette loi déped de X mais aussi de la probabilité P de l espace de probabilité de base. O admettra le résultat théorique suivat démotré das [3] exercice I-6 : Propositio 2.8. Si µ est ue probabilité sur, alors il existe u espace de probabilité de base (Ω, F, P) et ue variable aléatoire réelle X sur cet espace telle que P X = µ. Exemples 2.2. Soit X ue variable aléatoire réelle de loi N (0, ) (o otera qu ue telle affirmatio a u ses d après la propositio précédete). Détermios la loi de la variable aléatoire réelle Y := X 2.

39 Chapitre 2. Loi d u vecteur aléatoire 25 Pour cela il suffit d idetifier la foctio de répartitio F Y de la variable aléatoire réelle Y i.e. la f.r. de la probabilité P Y. Soit y, F Y (y) = P Y (], y]) = P(Y ], y]) = P(Y y). emarquos que, si y < 0, {Y y} = {X 2 y} = Ø et, si y 0, Par suite si y < 0, F Y (y) = 0, et si y 0, {Y y} = {X 2 y} = { y X y}. F Y (y) = P( y X y) = P X ([ y, y]) = F X ( y) F X ( y) = y y 2π e 2 t2 dt = y 0 2πx e x 2 dx. O otera qu o a utilisé das la troisième égalité la cotiuité (à gauche) de F X. Le résultat précédet motre que la f.r. de P Y peut s écrire F Y (y) = P Y (], y]) = y ρ(x)dx avec ρ(x) := 2πx e x 2 l]0,+ [ (x). La loi de Y, P Y, est la probabilité sur admettat ρ pour desité. Elle appartiet à la famille des lois gamma, voir la défiitio das le formulaire de l aexe A, page 205. O la ote γ( 2, 2 ). Exercice 2.2. (Corrigé de l exercice : page 52) Soit X ue variable aléatoire réelle de loi N (0, ). E utilisat ue démarche aalogue à celle adoptée das l exemple précédet, motrer que la loi de la variable aléatoire réelle Y := e X admet pour desité la foctio ρ défiie sur par ρ(x) := x 2π exp O dit que Y suit la loi Log-ormale stadard. ( 2 (l x)2 ) l ]0,+ [ (x). Exercice 2.3. (Corrigé de l exercice : page 53) O cosidère ue variable aléatoire réelle X dot la foctio de répartitio est doée par F X (t) := 2 [ e t l ],0] (t) + (2 e t )l ]0,+ [ (t) ]. Détermier la loi de la variable aléatoire réelle Y = X. Défiitio 2.7. Soiet m et σ > 0. Nous appelleros loi de Gauss-Laplace de paramètres m et σ 2, et oteros N (m, σ 2 ), la probabilité sur admettat pour desité la foctio ρ défiie sur, pour tout réel x, par ρ(x) := ( σ 2π exp ) (x m)2. 2σ 2

40 26 Théorie des probabilités, Bruo Saussereau, , versio 0/0/204 Le résultat suivat est souvet utile das les calculs pratiques e permettat de se rameer à des variables de loi de Gauss-Laplace stadard : Propositio 2.9. Procédé de stadardisatio Avec les otatios précédetes, ue variable aléatoire réelle X suit la loi N (m, σ 2 ) si, et seulemet si, la variable aléatoire réelle Z := X m suit la loi N (0, ). σ Exercice 2.4. (Corrigé de l exercice : page 53) Démotrer le résultat précédet. Défiitio 2.8. Ue v.a. X à valeurs das d est dite discrète si sa loi est discrète. Les variables aléatoires réelles discrètes costituet ue famille de v.a.r importate das les applicatios des probabilités, ue autre classe de v.a.r. très importate aussi est celle des v.a.r. à desité. Défiitio 2.9. Ue variable aléatoire réelle est dite à desité (ou absolumet cotiue) sur si sa loi est à desité sur. Exemples 2.3. ) Les variables aléatoires réelles de Poisso, de Beroulli, biomiale, hypergéométrique, géométrique, uiforme-discrète sot des exemples de v.a.r. discrètes. 2) Les v.a.r. de Gauss-Laplace, expoetielle, uiforme sur u itervalle de sot des exemples de v.a.r. à desité sur. Pour les défiitios des lois usuelles (discrètes ou à desité), o pourra se reporter au formulaire de l aexe A, page 205, de ce cours. Exercice 2.5. (Corrigé de l exercice : page 53) Motrer que si X est ue variable aléatoire réelle de loi P X := N p δ où (p ) N est ue suite de réels positifs ou uls, alors p = P(X = ) pour tout N. O otera qu o peut avoir affaire à des probabilités qui e sot i discrètes i à desité. Par exemple, o peut avoir des probabilités µ défiies sur, telles µ = µ +µ 2 où µ est ue mesure à desité (mais pas ue probabilité) et µ 2 ue mesure discrète (mais pas ue probabilité), c està-dire qu il existe ue applicatio f (par exemple positive et cotiue sur ), et ue suite de réels positifs (α ) N, avec + f (t) dt + + =0 α =, telle que, pour tout itervalle ]a, b[ de, µ(]a, b[) = b a f (t) dt + + =0 α δ (]a, b[).

41 Chapitre 2. Loi d u vecteur aléatoire 27 Das ce cas µ (]a, b[) = α δ (]a, b[). Comme o a pas écessairemet + b a f (t) dt = et f (t) dt et µ 2 (]a, b[) = + =0 + =0 α =, les mesures µ et µ 2 e sot pas des probabilités. Les variables aléatoires réelles discrètes sot les variables aléatoires réelles à valeurs presquesûremet das u esemble déombrable. De faço précise : Propositio 2.0. U vecteur aléatoire X de dimesio d est discret si, et seulemet si, il existe ue partie D := {e k, k K N} de d telle que P(X D) =. Das ce cas la loi du vecteur aléatoire X s écrit P X = k K P (X = e k ) δ ek. Démostratio : Soit X ue v.a. telle qu il existe ue partie déombrable D de d X D := {e k, k K N} presque-sûremet i.e. P(X D) =. Soit A u borélie de d, o a P X (A) = P X (A D) = P(X A D). Comme {X A D} = x A D {X = x} avec et que l uio est mutuellemet disjoite, o peut écrire P X (A) = x A D P(X = x) = x D P(X = x)l A (x) = x D P(X = x)δ x (A) = k K La v.a. X est doc discrète et sa loi est P X = k K P (X = e k ) δ ek. P (X = e k ) δ ek (A). éciproquemet soit X ue v.a. de loi µ = K p δ e où (p ) K est ue suite (fiie ou ifiie) de réels strictemet positifs avec K N, et (e ) K ue suite (fiie ou ifiie) d élémets de d. Preat D := {e / K}, o a P(X D) = et, pour tout K, P(X = e ) = p. O dit aussi das ce cas que la loi de X est portée par D, ou ecore que X a ses valeurs presque-sûremet das D, pour exprimer P(X D) =. O otera que D est ue partie déombrable (fiie ou ifiie) de d. Ce résultat ramèe alors la détermiatio de la loi d ue variable aléatoire réelle discrète au calcul des coefficiets P(X = a k ) qui itervieet das so écriture. Il explique aussi le choix de certais auteurs de mauels scolaires de défiir la loi d ue variable aléatoire réelle à valeurs das N comme état l applicatio N P(X = ). E fait cette défiitio est pas judicieuse car elle e se gééralise pas au cas des variable aléatoire réelle à desité. E effet, pour ue variable aléatoire réelle à desité, pour tout réel x, P(X = x) = P X ({x}) = 0 d après ce qui a été vu au premier chapitre. Par suite l applicatio x P(X = x) est l applicatio-ulle pour toute variable aléatoire réelle X admettat u desité, ce qui e présete plus d itérêt. La propositio précédete sera otammet appliquée das le cas où les variable aléatoire réelle sot etières i.e. preet leurs valeurs das N ou Z.

42 28 Théorie des probabilités, Bruo Saussereau, , versio 0/0/204 Propositio 2.. Toute variable aléatoire réelle X à valeurs das N, resp. Z, est discrète. Sa loi s écrit alors P X = k N P(X = k)δ k, resp. P X = k Z P(X = k)δ k. Démostratio : Predre D = N (resp. D = Z). Exercice 2.6. (Corrigé de l exercice : page 54) Soit X ue variable aléatoire dot la foctio de répartitio F est défiie pour tout ombre réel x, par F (x) = 0 si x < et, si x, par F (x) = où est l uique etier ( + ) strictemet positif (dépedat de x) tel que x < +.. Doer ue représetatio graphique de la foctio F et expliquer brièvemet pourquoi c est bie ue foctio de répartitio. 2. Calculer, pour tout etier aturel, P(X = ). 3. Calculer l espérace de la variable aléatoire X. 4. Que peut-o dire de la variace de la variable aléatoire X? Travail coseillé : Étudier das [], pages 47 à 7, l iterprétatio probabiliste à l aide de tirages das ue ure, des variable aléatoire réelle de lois de Beroulli, biomiale, géométrique, de Pascal, biomiale-égative, hypergéométrique.

43 Chapitre 3. Momets d u vecteur aléatoire 29 Chapitre 3 Momets d u vecteur aléatoire 3. appels sur l itégratio des applicatios mesurables (E, A, µ) désige u espace mesuré quelcoque. 3.. Itégratio des foctios positives Notos M + (E, A) l esemble des applicatios A-mesurables (positives) d u esemble E das [0, + ]. La première propositio de ce chapitre est fodametale pour la suite. Elle affirme l existece et l uicité d u opérateur d itégratio, qu o otera E µ, défii sur M + (E, A). Cet opérateur est costruit d après le procédé suivat : Das u premier temps, o défiit cet opérateur sur l esemble E + des applicatios A- mesurables étagées et positives de E das +. Pour cela, si ϕ E + o cosidère sa décompositio caoique ϕ = α k l Ak où α 0, α 2 0,, α 0 sot les valeurs deux k= à deux distictes de ϕ et, pour tout etier k vérifiat k, A k := {x E / f (x) = α k }. emarquos que A k A. O pose alors, avec la covetio 0 (+ ) := 0, E µ (ϕ) := α k µ(a k ). k= O remarquera que, par sa défiitio, E µ (ϕ) est u ombre positif évetuellemet ifii (par exemple si u des µ(a k ) est ifii avec α k > 0) c-à-d E µ (ϕ) [0, + ]. Das u deuxième temps, o prologe cet opérateur aux applicatios de M + (E, A) e posat, pour tout f M + (E, A), E µ (f ) := sup { E µ (ϕ) / ϕ E + et ϕ f }. Pour ue démostratio détaillée, o se reportera à [8], pages 79 à 85. O remarquera ecore que, par sa défiitio, E µ (f ) est u ombre positif évetuellemet ifii c-à-d E µ (f ) [0, + ].

44 30 Théorie des probabilités, Bruo Saussereau, , versio 0/0/204 Exemples 3.. Cosidéros E = et A = B() et µ la mesure de Lebesgue sur i.e. µ = λ. Soit ϕ = α k l ]ak,a k ] où a 0 < a < a 2 < < a est u suite strictemet croissate de + k= réels, les réels α, α 2,, α état pas écessairemet deux à deux disticts. O dit que ϕ est ue foctio e escalier sur. Alors E λ (ϕ) := α k λ (]a k, a k ]) = k= α k (a k a k ). Das ce cas, E λ (ϕ) représete la mesure de l aire située sous la courbe représetative de ϕ. O otera qu ue foctio e escalier est boréliee et étagée sur mais que, par exemple, l Q est boréliee et étagée sur sas être e escalier. La propositio suivate caractérise l opérateur E µ par trois propriétés fodametales (pour la démostratio voir [8], page 84). Propositio 3.. Théorème fodametal de l itégratio par rapport à ue mesure (admis). Si µ est ue mesure sur (E, A), il existe ue applicatio otée E µ, et ue seule, de M + (E, A) das [0, + ] possédat les trois propriétés suivates : (a) Pour tout A A, E µ (l A ) = µ(a). (b) Pour tous f et g apparteat à M + (E, A) et tout réel α 0. k= E µ (f + g) = E µ (f ) + E µ (g) et E µ (αf ) = αe µ (f ), avec la covetio 0 (+ ) := 0. (c) Propriété de covergece mootoe de Beppo-Lévi Pour toute suite croissate (f ) N d élémets de M + (E, A), lim + E µ(f ) = E µ ( ) lim f Soiet f et g deux élémets de M + (E, A). Si f g, alors E µ (f ) E µ (g). O otera bie qu o peut avoir E µ (f ) = + et qu o e parle das cette propositio que d applicatios mesurables et positives. Celles de sige quelcoque serot cosidérées plus loi. O trouve, suivat les ouvrages ou les usages, différetes otatios pour E µ (f ) : E µ (f ) = f dµ = f (x)dµ(x) = f (x)µ(dx). E E E µ s appelle l opérateur d itégratio sur E suivat µ. E µ (f ) s appelle l itégrale de f sur E suivat µ. E

45 Chapitre 3. Momets d u vecteur aléatoire 3 La propositio précédete est u théorème d existece et d uicité mais e permet pas d expliciter directemet le ombre E µ (f ) si ce est das des cas simples. Par exemple : Exemples 3.2. ) Si f est l applicatio f = de A et (a, a 2,, a ) ue famille de réels positifs, alors a i l Ai, où (A, A 2,, A ) est ue famille fiie d élémets i= E µ (f ) = a i µ(a i ). i= 2) Si µ := δ 0 + δ 5 + λ et f := πl [0, 3 ] + l [6,0] + 3l {5}, alors f dµ = 4 3 π + 7. Exercice 3.. (Corrigé de l exercice : page 55) Vérifier les affirmatios de l exemple précédet. Les propositios admises suivates doet quelques "règles d itégratio" suivat la mesure cosidérée. Ces règles serot suffisates pour la suite et serot costammet utilisées. Elles diffèret bie sûr e foctio des mesures utilisées. Commeços par le cas de la mesure de Lebesgue sur. Le cas de la mesure de Lebesgue sur d avec d 2 sera traité au chapitre suivat. Propositio 3.2. Cas de la mesure de Lebesgue sur pour les foctios positives (admis) O suppose E :=, A := B(), µ := λ où λ désige la mesure de Lebesgue sur. Si f est ue applicatio boréliee de das [0, + ] itégrable au ses de iema sur tout itervalle fermé boré de, alors so itégrale sur suivat λ est égale à so itégrale gééralisée au ses de iema c-à-d + E µ (f ) = f (t) dλ(t) = f (t)dt. Exemples 3.3. e x l [0,+ [ (x)dλ(x) = 0 + e x dx = et x 2 l [0,+ [ (x)dλ(x) = +. Propositio 3.3. Cas de la mesure de Dirac sur d (admis) O suppose E := d, A := B( d ), µ := δ a où a d. Si f est ue applicatio boréliee de d das [0, + ], alors E µ (f ) = f (t) dµ(t) = f (a). d La propositio qui suit gééralise la précédete :

46 32 Théorie des probabilités, Bruo Saussereau, , versio 0/0/204 Propositio 3.4. Cas des mesures discrètes sur d (admis) O suppose E := d, A := B( d ), µ := + i=0 α i δ ai et (α k ) N ue suite de réels positifs ou uls. Si f est ue applicatio boréliee de d das [0, + ], alors E µ (f ) = f (t) dµ(t) = d où (a k ) N est ue suite de vecteurs de d + i=0 α i f (a i ). Exemples 3.4. Soiet µ = P(α) := + k=0 α αk e k! δ k la probabilité de Poisso sur où α > 0. i) Si f est ue applicatio boréliee de das [0, + ], alors E µ (f ) = + k=0 α αk e k! f (k) ii) x(x )l [,+ [ (x)dµ(x) = + k=2 α αk e k! k(k ) = α2. Exemples 3.5. Soit (u ) N ue suite de réels positifs ou uls. Cosidéros l applicatio f := + k=0 u k l {k} et la mesure µ := + i=0 δ i. O vérifie aisémet que E µ (f ) = + k=0 u k. Ce derier exemple motre que la théorie des séries à termes réels positifs peut être cosidérée comme ue théorie de l itégratio suivat la mesure sur dite de déombremet µ := + i=0 δ i. La théorie de l itégratio permet aisi d uifier das u même formalisme l étude des probabilités discrètes, qui fot iterveir des séries das les calculs, et celle des probabilités à desité où pratiquemet itervieet des itégrales de iema classiques. La propositio suivate ramèe le calcul d itégrales suivat les mesures à desité au calcul d ue itégrale de Lebesgue sur qu o effectue alors par applicatio de la propositio 3.2.

47 Chapitre 3. Momets d u vecteur aléatoire 33 Propositio 3.5. Cas des mesures à desité sur (admis) O suppose E :=, A := B(), µ ue mesure admettat ue desité ρ sur. Si f est ue applicatio boréliee de das [0, + ], alors, E µ (f ) = f (t) dµ(t) = f (t)ρ(t) dλ(t) = E λ (f ρ). Exemples 3.6. Soit µ := N (0, ), x 2 dµ(x) = itégrale suivat la mesure de Lebesgue. D où x 2 e 2 x2 dλ(x) = 2π c-à-d x 2 dµ(x) =. x 2 2π e 2 x2 dλ(x). O est rameé au calcul d ue + x 2 2π e 2 x2 dx =, Exercice 3.2. (Corrigé de l exercice : page 55). Soiet µ et ν deux mesures sur (E, A). A l aide du théorème fodametal de l itégratio motrer que, pour tout f M + (E, A), E µ+ν (f ) = E µ (f ) + E ν (f ). 2. Soiet α > 0, µ la mesure sur de desité ρ défiie par ρ(x) := αe αx l [0,] (x) et ν := e α δ. Motrer que e αx d(µ + ν)(x) = α Soiet α > 0, µ la mesure sur de desité ρ défiie par ρ(x) := e αx l [,] (x) et + α k ν := k! δ k. Calculer e αx d(µ + ν)(x) et l d(µ + ν). k=0 La mesure µ + ν est-elle ue probabilité? 3..2 Itégratio des foctios umériques Soit f ue applicatio A-mesurable de E das [, + ]. Les applicatios f + := sup(f, 0) et f := sup( f, 0) sot des applicatios A-mesurables de E das [0, + ]. D après ce qui précède les quatités E µ (f + ) et E µ (f ) sot des élémets de [0, + ] évetuellemet ifiies. La différece E µ (f + ) E µ (f ) aura u ses si E µ (f + ) et E µ (f ) sot toutes les deux fiies. O pourra alors poser E µ (f ) := E µ (f + ) E µ (f ), d où les défiitios : Défiitio 3.. Ue applicatio f de E das [, + ] est dite itégrable sur E suivat µ ou plus simplemet µ-itégrable si elle est A-mesurable et si les quatités E µ (f + ) et E µ (f ) sot toutes les deux fiies. Das ce cas o appelle itégrale de f sur E suivat µ le réel E µ (f ) := E µ (f + ) E µ (f ).

48 34 Théorie des probabilités, Bruo Saussereau, , versio 0/0/204 O remarquera que E µ (f ). O utilise aussi les mêmes otatios que celles déjà vues das le cas des foctios positives pour E µ (f ). Propositio 3.6. Soit f ue applicatio A-mesurable de E das [, + ]. Alors f est itégrable si, et seulemet si, E µ ( f ) est fii. Démostratio : f = f + + f est ue applicatio A-mesurable positive et, d après l item de la propositio 3., E µ ( f ) = E µ (f + ) + E µ (f ). Par suite, f est itégrable si, et seulemet si, E µ (f + ) et E µ (f ) sot toutes les deux fiies c-à-d si, et seulemet si, E µ ( f ) = E µ (f + ) + E µ (f ) est fii. Exemples 3.7. ) Soit µ := N (0, ), xdµ(x) = 0. E effet, f + (x) = xl [0,+ [ (x) et f (x) = xl ],0] (x). O vérifie les deux suites d égalités et f + (x)dµ(x) = f (x)dµ(x) = = xl [0,+ [ (x)dµ(x) = + te 2 t2 dt < + 2π xl ],0] (x)dµ(x) = 2π 0 + te 2 t2 dt < +, 2π 0 0 te 2 t2 dt e vertu de la covergece de la derière itégrale (gééraliséeau ses de iema). D après la défiitio de l itégrale xdµ(x) := f + (x)dµ(x) f (x)dµ(x) = 0. 2) Soit µ := δ a où a. Les applicatios boréliees de das [, + ] itégrables suivat δ a sot celles qui preet ue valeur fiie au poit a. E effet, f est δ a -itégrable si, et seulemet si, E δa ( f ) = f (a) < + c-à-d si, et seulemet si, f (a). Exercice 3.3. (Corrigé de l exercice : page 56) Soit µ := + i=0 α i δ ai où, pour tout i N, a i d et (α k ) N est ue suite de réels positifs. Motrer que les applicatios boréliees f de d das [, + ] itégrables suivat µ sot celles pour lesquelles la série umérique + i=0 α i f (a i ) est absolumet covergete. Les règles d itégratio des foctios de sige quelcoque itégrables sot les mêmes que celles pour les foctios positives vues das le cas des mesures discrètes ou à desité. O peut démotrer cela e écrivat les foctios comme différece de leur partie positive et de leur partie égative. Par cotre das le cas de la mesure de Lebesgue sur la propositio 3.2 deviet fausse pour les foctios qui e sot pas de sige costat. Das ce cas o utilise si possible la propositio suivate :

49 Chapitre 3. Momets d u vecteur aléatoire 35 Propositio 3.7. Cas de la mesure de Lebesgue sur pour les foctios réelles (admis) O suppose E :=, A := B(), µ := λ où λ désige la mesure de Lebesgue sur.. Si f est ue applicatio boréliee de das ulle e dehors d u itervalle fermé boré [a, b] et itégrable au ses de iema sur [a, b], alors so itégrale sur suivat λ est égale à so itégrale au ses de iema sur [a, b], c-à-d E µ (f ) = f (t) dλ(t) = b a f (t)dt. 2. Si f est ue applicatio boréliee de das itégrable au ses de iema sur tout itervalle fermé boré de et telle que + f (t) dt < +, alors so itégrale sur suivat λ est égale à so itégrale gééralisée au ses de iema c-à-d + E µ (f ) = f (t) dλ(t) = f (t)dt. Le théorème précédet s applique e particulier lorsque f est cotiue ou mootoe sur u ombre fii d itervalles de et ulle e dehors de la réuio de ces itervalles. Nous sommes e mesure maiteat d étedre la défiitio des probabilités à desité, cosidérées jusqu à préset uiquemet sur, au cas des probabilités sur les espaces d avec d. Cette défiitio sera e particulier utile das les chapitres IV et V. Défiitio 3.2. O appelle desité de probabilité sur d toute applicatio boréliee positive ρ de d das [0, + ] vérifiat d ρdλ (d) =. La propositio suivate (admise) motre que la règle d itégratio suivat ue mesure de probabilité à desité est tout à fait aalogue à celle déjà vue pour les foctios positives. Propositio 3.8. Soit ρ ue desité de probabilité sur d.. L applicatio ν : A B( d ) ν(a) := l A ρdλ (d) [0, ] d est ue probabilité sur d. O dit que ν admet ρ pour desité sur d et o ote ν = ρ λ (d). 2. Si f est ue applicatio de d das boréliee positive, resp. itégrable suivat ν, alors l applicatio f ρ est boréliee positive, resp. itégrable suivat λ (d), et E ν (f ) = f (t) dν(t) = d f (t)ρ(t)dλ (d) (t). d

50 36 Théorie des probabilités, Bruo Saussereau, , versio 0/0/204 Exercice 3.4. (Corrigé de l exercice : page 66) Démotrer la première partie de la propositio précédete. O remarquera que les défiitios.5, page 0, de desité et de probabilité à desité itroduites au chapitre I sot bie des cas particuliers de la défiitio doée ci-dessus Itégratio des foctios vectorielles Soit f ue applicatio A-mesurable de E das d. Das la base caoique de d, f admet les composates f, f 2,, f d, où, pour tout etier k d, f k est ue applicatio A-mesurable de E das. O écrira f := (f, f 2,, f d ). Défiitio 3.3. O dit que f est itégrable sur E suivat µ si toutes les applicatios-composates f, f 2,, f d sot itégrables sur E suivat µ. Das ce cas o appelle itégrale de f sur E suivat µ le vecteur de d de composates das la base caoique E µ (f ), E µ (f 2 ),, E µ (f d ), et o ote E µ (f ) := (E µ (f ), E µ (f 2 ),, E µ (f d )). Exercice 3.5. (Corrigé de l exercice : page 56) Motrer que f := (f, f 2,, f d ) est itégrable suivat µ si, et seulemet si, E µ ( f ) < + où désige la orme usuelle de d. U cas particulier itéressat pour la suite est le cas où f est à valeurs das le pla complexe C qu o idetifie à 2. O écrit alors f := f + if 2 idetifié à f := (f, f 2 ) et o pose E µ (f ) := E µ (f ) + ie µ (f 2 ). A titre d exemple, développos ue applicatio de la otio de foctio vectorielle µ-itégrable. Soiet E :=, µ ue probabilité sur et f l applicatio défiie sur à valeurs das C, par f (x) := exp (i x, u ) où u est u vecteur fixé de,, et les produit scalaire et orme usuels de. Alors f (x) := cos x, u et f 2 (x) := si x, u. D où, pour k = ou 2, E µ ( f k ) = f k dµ l dµ = µ ( ) =. f et f 2 sot doc µ-itégrables, par défiitio il e est de même de f. O peut doc défiir E µ (f ) C pour tout vecteur u de. Défiitio 3.4. L applicatio Φ µ : u Φ µ (u) := exp (i x, u ) dµ(x) s appelle la foctio caractéristique de µ, e abrégé f.c.. Si X est u vecteur aléatoire, o appelle foctio caractéristique de X, et o ote Φ X, la f.c. de la loi de X.

51 Chapitre 3. Momets d u vecteur aléatoire 37 Exemples 3.8. Si µ est la probabilité de Beroulli de paramètres p. Φ µ (t) = e itx d(pδ + ( p)δ 0 )(x) = pe it + ( p) d après les règles d itégratio par rapport à ue mesure de Dirac. Exercice 3.6. (Corrigé de l exercice : page 56) Expliciter les foctios caractéristiques des probabilités de Dirac, biomiale, de Poisso. O motrera das l exercice 3.20, page 60, que la foctio caractéristique de la probabilité ormale N (m, σ 2 ) est défiie sur, pour tout réel t, par Φ(t) := exp(imt 2 t2 σ 2 ). Plus gééralemet, o trouvera la liste des foctios caractéristiques des probabilités usuelles sur das le formulaire doé das l aexe A, page 205, de ce cours Propriétés de l itégrale L itégrale d ue foctio suivat ue mesure µ possède toutes les propriétés des itégrales classiques vues e premier cycle uiversitaire, o admettra : Propositio 3.9. Soiet f et g deux applicatios de E das d itégrables suivat µ, a et b deux réels, alors. E µ (af + bg) = ae µ (f ) + be µ (g). 2. E µ (f ) E µ ( f ) où est la orme euclidiee sur d. 3. Si de plus d = et f g, alors E µ (f ) E µ (g). Exemples 3.9. Comme l idicatrice de A A 2 A, où A, A 2,, A, sot des parties de E, est doée par l A A 2 A = ( l A )( l A2 ) ( l A ), e développat le secod membre de cette égalité et e utilisat les propriétés )a du théorème fodametal de l itégratio et ) de la propositio précédete, o obtiet aisémet ue autre démostratio de la formule de Poicaré.8, page 2, éocée das le premier chapitre. Les éocés de théorèmes permettat d itervertir les symboles E µ et lim sot particulièremet simples das cette théorie de l itégratio. Commeços par rappeler (cf. [8], page 82) + : Propositio 3.0. Théorème de covergece mootoe de Beppo-Lévi (admis) Pour toute suite croissate (f ) N d applicatios A-mesurables positives, ( ) E µ lim f = lim E µ(f ). + +

52 38 Théorie des probabilités, Bruo Saussereau, , versio 0/0/204 Ce résultat a pour corollaire : Propositio 3.. Théorème d iterversio de E µ et 0 Pour toute suite (f ) N d applicatios A-mesurables positives, ( ) E µ f = =0 E µ (f ). =0 Démostratio : Posos, pour tout etier, g := f k. O applique alors le théorème de Beppo-Lévi à la suite croissate d applicatios A-mesurables positives (g ) N. O e déduit aussi la propositio suivate (cf.[8], page 83) : Propositio 3.2. Lemme de Fatou Si (f ) N est ue suite d applicatios A-mesurables positives, alors ) E µ (lim if + f k=0 lim if + E µ(f ). Notos que ces trois résultats précédets sot faux si les foctios f e sot plus supposées positives. Termios par u théorème valable pour les foctios (à valeurs réelles) de sige quelcoque à la coditio d être itégrables (cf. [8], page 02). Ce théorème aisi que celui de Beppo-Lévi sot des théorèmes fodametaux de la théorie de l itégratio. Ce sot pricipalemet ces résultats qui fot la supériorité de la théorie de Lebesgue sur celle de iema vue e premier cycle uiversitaire. Propositio 3.3. Théorème de covergece domiée de Lebesgue (admis) Si (f ) N est ue suite d applicatios A-mesurables covergeat presque-partout vers ue applicatio A-mesurable f et s il existe ue applicatio itégrable ϕ telle que, pour tout k N, f k ϕ, alors f est itégrable et E µ (f ) = lim E µ(f ) Espaces de Lebesgue d ordre p Pour les démostratios et éocés plus gééraux de ce paragraphe, o pourra se reporter à [8], pages 49 à 56. Soit (E, A, µ) u espace de probabilité. Soit p <, si f est ue applicatio de E das, A-mesurable, défiie et fiie µ-presque sûremet, o posera f p = [E ( f p )] p si l applicatio

53 Chapitre 3. Momets d u vecteur aléatoire 39 f p est itégrable pour µ, et f p = + sio. O ote L p (E, A, µ) l esemble des applicatios f de E das, A-mesurables, défiies et fiies µ-presque sûremet, telles que f p < +. L p (E, A, µ) est u espace vectoriel, et f p est ue semi-orme sur cet espace. O ote alors L p (E, A, µ) l espace des classes d équivalece des applicatios A-mesurables de L p (E, A, µ) pour l égalité µ-presque-sûre. E particulier, l espace L (E, A, µ) est costitué des classes d équivalece des applicatios de E das, A-mesurables, défiies et fiies µ-presque sûremet, itégrables pour µ, égales µ- presque sûremet. O défiit égalemet f = sup {α / µ[ f α] > 0}, et L (E, A, µ) comme l esemble des classes d équivalece, pour l égalité µ-presque-sûre, des applicatios de E das, A- mesurables, défiies et fiies µ-presque sûremet, telles que f < +. Défiitio 3.5. Les espaces L p (E, A, µ) pour tout réel p tel que p sot appelés les espaces de Lebesgue d ordre p. Moyeat ces défiitios, o rappelle le résultat suivat sur les espaces de Lebesgue : Propositio 3.4. Soit (E, A, µ) u espace de probabilité,. Pour tout réel p tel que p, la semi-orme p iduit ue orme sur l espace de Lebesgue L p (E, A, µ), ecore otée p. 2. Pour tout réel p tel que p, l espace de Lebesgue L p (E, A, µ) mui de la orme p est u espace de Baach. 3. Pour tout p et q tels que p < q, o a la suite des iégalités et la suite d iclusios p < q, L (E, A, µ) L q (E, A, µ) L p (E, A, µ) L (E, A, µ). 4. Si p et q sot tels que p, q avec p + q =, alors, pour tout f Lp (E, A, µ) et g L q (E, A, µ), l applicatio f g L (E, A, µ) et o a f g f p g q. emarque : L iégalité de l item 4 s appelle l iégalité de Hölder. Pour le cas particulier, p = q = 2, cette iégalité se ramèe à l iégalité de Schwarz car l espace L 2 (E, A, µ), mui du produit scalaire < f, g >= E(f g) est u espace de Hilbert. L item 3 de la propositio précédete est plus vrai dès que µ est plus ue mesure fiie. Désormais das la suite du cours, les foctios utilisées serot souvet défiies seulemet presque-partout. Nous écriros par abus, f L q (E, A, µ) pour exprimer que f est ue applicatio de E das, A-mesurable, défiie et fiie µ-presque sûremet, et que sa classe d équivalece pour l égalité presque-partout est das L q (E, A, µ).

54 40 Théorie des probabilités, Bruo Saussereau, , versio 0/0/ Théorème du trasfert et momets d ue v.a. (Ω, F, P) désige l espace de probabilité de base. Les variables aléatoires utilisées serot souvet défiies seulemet presque-sûremet. E appliquat aux variables aléatoires la covetio d écriture de la fi du paragraphe précédet, ous écriros par abus, X L p (Ω, F, P) pour exprimer que X est ue variable aléatoire défiie et fiie presque-sûremet sur Ω et que sa classe d équivalece pour l égalité presque-sûre est das L p (Ω, F, P). Suivat l usage o otera doréavat, sauf cas exceptioels, l opérateur d itégratio (sur l espace de probabilité de base) E au lieu de E P. O appelle E l espérace mathématique suivat P ou, plus simplemet s il y a pas de risque de cofusio, espérace. Aisi si X est ue variable aléatoire positive, resp. vectorielle itégrable, o utilisera idifféremmet les otatios E(X ) ou X (ω)dp(ω) ou X dp pour désiger E P (X ). Ω Ω Si h est ue applicatio de d das et X u vecteur aléatoire de dimesio d, o rappelle la otatio abusive déjà itroduite h(x ) := h X Théorème du trasfert et idetificatio de lois Le théorème du trasfert est d u usage costat e probabilité. Doos-e deux versios, ue pour les foctios positives (c est la plus utile), l autre pour les foctios vectorielles itégrables. Propositio 3.5. Théorème du trasfert (cas positif) Soiet h ue applicatio boréliee positive de d das [0, + ] et X u vecteur aléatoire de dimesio d, alors E[h(X )] = hdp X = E PX (h) d qu o écrit égalemet sous la forme : h(ω)dp X (ω) = h(x)dp X (x). Ω d Démostratio : Cette propositio se démotre à l aide de la techique des foctios étagées.

55 Chapitre 3. Momets d u vecteur aléatoire 4 Propositio 3.6. Théorème du trasfert (cas vectoriel) (admis) Soiet h ue applicatio boréliee de d das et X u vecteur aléatoire de dimesio d. Alors h est itégrable sur d suivat P X si, et seulemet si, h(x ) est itégrable sur Ω suivat P, et das ce cas E[h(X )] = hdp X = E PX (h) d qu o écrit égalemet sous la forme : h(ω)dp X (ω) = h(x)dp X (x). Ω d Exemples 3.0. Soiet X u vecteur aléatoire de dimesio d et Φ X sa foctio caractéristique. Par applicatio du théorème du trasfert (cas vectoriel) o obtiet, pour tout élémet u de d, Φ X (u) := exp (i x, u ) dp X (x) = E [exp (i X, u )]. d Exemples 3.. Soit X ue variable aléatoire réelle de loi N (0, ) i.e. P X = N (0, ). Calculos E(X 2 ). Doos deux méthodes. Première méthode : E(X 2 ) est de la forme E[h(X )] avec h(t) := t 2. O applique le théorème du trasfert (cas positif), o remarque que h est cotiue doc boréliee. O doit doc calculer à l aide d ue itégratio par parties, E(X 2 ) = t 2 dp X (t) = t 2 e 2 t2 dt =. 2π Deuxième méthode : O a vu au chapitre II das l exemple 2.2, page 24, que la variable aléatoire réelle Y := X 2 suit la loi γ(, ) de desité 2 2 ρ(x) := 2πx e x 2 l]0,+ [ (x). O cherche à calculer E(X 2 ) = E(Y ) = = + tdp Y (t) = x 2π e x 2 l]0,+ [ (x)dx = x e x 2 l]0,+ [ (x)dλ(x) 2πx + x e x 2 dx =. 2π Das ces calculs ous avos utilisé les règles d itégratio suivat ue mesure à desité et ue mesure de Lebesgue, puis effectué u chagemet de variable pour calculer l itégrale gééralisée fiale. 0

56 42 Théorie des probabilités, Bruo Saussereau, , versio 0/0/204 Exercice 3.7. (Corrigé de l exercice : page 57) Soit X ue variable aléatoire réelle de loi N (0, ). a) Calculer de deux faços différetes E(e X ). b) Motrer que X 3 est itégrable (suivat la mesure P) et calculer E(X 3 ). Le théorème du trasfert permet d établir u critère d idetificatio des lois utilisat les foctios boréliees positives : Propositio 3.7. Critère des foctios boréliees positives Soiet X u vecteur aléatoire de dimesio d et µ ue probabilité sur d. Alors le vecteur aléatoire X a pour loi µ si, et seulemet si, pour toute applicatio boréliee positive h de d das [0, + ], E[h(X )] = hdµ, d qui peut aussi s écrire h(x )dp = Ω h(x)dµ(x). d Démostratio : C.N. - Si P X = µ, d après le théorème du trasfert, pour toute applicatio boréliee positive h de d das [0, + ], E[h(X )] = hdp X = hdµ. d d C.S. - Supposos que, pour toute applicatio boréliee positive h de d das [0, + ], E[h(X )] = hdµ. Alors, comme pour tout B B( d ) h := l B est ue applicatio boréliee d positive de d das [0, + ], par hypothèse d ue part E[h(X )] = E[l B (X )] = E µ (l B ) = µ(b), et par le théorème de trasfert d autre part E[h(X )] = E[l B (X )] = l B dp X = P X (B). d D où, pour tout B B( d ), P X (B) = µ(b) ce qui sigifie que P X = µ. Exemples 3.2. Soit X u vecteur aléatoire de dimesio 2 de loi P X := k,l 2 k+l δ (k,l). O ote X, X 2 les composates de X das la base caoique de 2. Détermios la loi de la variable aléatoire réelle Y := sup(x, X 2 ). Pour cela otos A := {(x, y) 2 / x < y}. Soit h ue applicatio boréliee de das [0, + ]. E remarquat que, pour tout (x, y) 2, h(sup(x, y)) = h(y)l A (x, y) + h(x)l A c(x, y), il viet

57 Chapitre 3. Momets d u vecteur aléatoire E[h(Y )] = E[h(sup(X, X 2 ))] = h(sup(x, y))dp X (x, y) 2 = h(y)l A (x, y)dp X (x, y) + h(x)l A c(x, y)dp X (x, y) = 2 h(j)l A(i, j) + i+j 2 h(i)l i+j Ac(i, j) = = i= j= j + j= i= + j= + 2 h(j) + + i+j i= ( 2 j 2 j (2 32 i ) ) h(j) + i= j= + j= i h(i) 2i+j i= ( 2 ) + h(i) = 2 i i i= (2 32 ) h(i) 2 i i = h(z)dδ 2 i i (z). i= O otera que, pour obteir le premier terme de la quatrième égalité, il a été fait usage du lemme de permutatio des symboles et pour ue suite-double de réels positifs. i j + O a doc E[h(Y )] = hdµ avec µ := (2 32 ) δ 2 i i i, ce qui prouve que µ est la loi i= de la variable aléatoire réelle Y. O pourra se reporter à [3] exercice I-4 questio 2 pour trouver ue autre démostratio utilisat la remarque suivat la propositio 2.0, page 27, sur le calcul de lois de variable aléatoire réelle discrètes. U autre critère fait iterveir plus particulièremet les foctios cotiues positives à support compact (qui formet ue sous-classe des foctios boréliees positives). Propositio 3.8. Critère des foctios à support compact Soiet X u vecteur aléatoire de dimesio d et µ ue probabilité sur d. Alors le vecteur aléatoire X a pour loi µ si, et seulemet si, pour toute applicatio positive h de d das [0, + ], cotiue et à support compact, E[h(X )] = hdµ. d Ce qui peut aussi s écrire avec la otatio des opérateurs d itégratio E P [h(x )] = E µ (h). 43 Démostratio : - C.N. Supposos que P X = µ. Si f est ue foctio cotiue positive à support compact, elle est e particulier ue foctio positive boréliee. Doc d après le critère des foctios positives boréliees vu précédemmet, o a E[f (X )] = f dµ. d - C.S. éciproquemet, supposos que, pour toute applicatio positive h de d das [0, + ], cotiue et à support compact, E[h(X )] = hdµ. Soit A ue partie ouverte de d. D après d ue résultat d aalyse foctioelle, il existe ue suite croissate (f ) N de foctios positives,

58 44 Théorie des probabilités, Bruo Saussereau, , versio 0/0/204 cotiues et à support compact sur d qui coverge vers la foctio idicatrice de A. O a d ue part µ(a) = d A dµ et P X (A) = E(l A ), et d autre part, par le théorème de covergece mootoe de Beppo-Lévi, o obtiet : A dµ = ( lim f ) dµ = lim f dµ = d d + + d lim E(f (X )) = lim f dp X = ( lim f ) dp X = l A dp X. Par suite, pour tout + + d d + d ouvert A de d, µ(a) = P X (A). Les probabilités µ et P X coïcidet sur ue famille de parties de d stable par itersectio fiie (π-système) qui egedre la tribu boréliee de d, doc elles sot égales e vertu du théorème d uicité. de la page 4. Les deux critères des foctios positives exprimet qu u vecteur aléatoire X, de dimesio d, a pour loi la probabilité µsi, et seulemet si, la relatio E P [h(x )] = E µ (h) est vérifiée pour tout foctio h de la famille C des applicatios boréliees positives défiies sur d (ou de de la famille C des applicatios cotiues positives à support compact sur d ). Le critère d idetificatio de lois utilisat les foctios de répartitio (lemme d uicité) peut aussi s éocer sous cette forme. Aisi, ces trois critères peuvet se formuler e u seul éocé : Propositio 3.9. Critères d idetificatio de lois Soiet X u vecteur aléatoire de dimesio d et µ ue probabilité sur d. Alors le vecteur aléatoire X a pour loi µ si, et seulemet si, la relatio E P [h(x )] = E µ (h) est vérifiée pour tous les élémets h d u des esembles C suivats :. Si d, C est l esemble des applicatios boréliees de d das [0, + ]. 2. Si d, C est l esemble des applicatios positives cotiues et à support compact de d das [0, + ]. 3. Si d =, C est l esemble des idicatrices l ],u] lorsque u parcourt. Démostratio : ) A déjà été vu das la propositio ) A déjà été vu das la propositio ) O se limite au cas d =. O remarque que, pour tout u, P X (], u]) = E ( l ],u] (X ) ) et µ (], u]) = E µ (l ],u] ). O coclut par le lemme d uicité.2, page 4. Exercice 3.8. (Corrigé de l exercice : page 58) Avec les otatios de l exemple précédet 3.2, motrer que E(X ) = (2, 2) et que la loi de la variable aléatoire réelle Z := X + X 2 est P Z = + i= i 2 i δ i.

59 Chapitre 3. Momets d u vecteur aléatoire Momets d ue variable aléatoire Défiitio 3.6. Soit X est ue v.a.r. sur (Ω, F, P). O appelle espérace mathématique de X suivat P ou quelquefois moyee de X, et o ote E(X ), la quatité (si elle est défiie) E(X ) = X dp. Ω Plus gééralemet si p N, o appelle momet d ordre p de X, resp. momet cetré d ordre p de X, le ombre réel (s il est défii) m p := E(X p ), resp. m p := E [(X m ) p ]. Défiitio 3.7. Le momet cetré d ordre 2 s appelle aussi la variace de X et se ote Var(X ). Sa racie carrée positive s appelle l écart-type de X et se ote σ X. Si X et Y sot deux v.a.r. o appelle covariace de X et Y, le réel (s il est défii) Cov(X, Y ) := E([X E(X )][Y E(Y )]). La propositio suivate doe ue coditio suffisate d existece des momets d ue v.a.r.. Propositio Existece des momets de v.a.r.. Soit X ue v.a.r. telle qu il existe u etier aturel o ul p vérifiat E( X p ) < +, i.e. X L p (Ω, F, P). Alors, pour tout etier k vérifiat k p, les momets d ordre k, m k := E(X k ) et m k := E [ (X m ) k], existet das. 2. Si X et Y sot deux variables aléatoires réelles vérifiat E(X 2 ) < + et E(Y 2 ) < +, i.e. X et Y sot das L 2 (Ω, F, P), alors la covariace de X et Y, Cov(X, Y ), existe das. Démostratio : ) Pour tout k p, X k + X p. D où E( X k ) + E( X p ) < +, ce qui prouve que la variable aléatoire réelle X k est itégrable et doc que E(X k ) est bie défii das. De même, X m k ( m + X ) k. E développat le secod membre, e preat l espérace de l expressio et e utilisat le résultat démotré juste avat, o obtiet que E( X m k ) < +. Par suite E [ (X m ) k] est bie défii das. 2) Si X et Y sot de carré itégrable, d après l iégalité X Y X 2 +Y 2 déduite du développemet de ( X Y ) 2 0, o obtiet E( X Y ) E(X 2 ) + E(Y 2 ) < +. La variable aléatoire réelle X Y est doc itégrable aisi que la variable aléatoire réelle Z := [X E(X )][Y E(Y )], ce qui doe bie u ses à la covariace de X et de Y. Par applicatio du théorème de trasfert il viet aisémet :

60 46 Théorie des probabilités, Bruo Saussereau, , versio 0/0/204 Propositio 3.2. Sous les coditios d existece des différets momets, m := E(X ) = X (ω)dp(ω) = xdp X (x). Ω σx 2 := (X (ω) m ) 2 dp(ω) = (x m ) 2 dp X (x). Ω m p := X p (ω)dp(ω) = x p dp X (x). Ω m p := (X (ω) m ) p dp(ω) = (x m ) p dp X (x). Ω Par commodité o pose la défiitio suivate : Défiitio 3.8. Ue variable aléatoire réelle X est dite de carré itégrable X L 2 (Ω, F, P). si E(X 2 ) < +, i.e. Exemples 3.3. Soit X ue variable aléatoire ormale stadard. Le calcul développé das l exemple 3.7, page 34, prouve que E(X ) = 0 et celui développé das l exemple 3.6, page 33, que V ar(x ) =. Plus gééralemet, o vérifie aisémet par u calcul élémetaire que, si X est ue variable de loi ormale N (m, σ 2 ), alors E(X ) = m et Var(X ) = σ 2. Propositio Formules de Köig-Huyges Soiet X et Y deux variable aléatoire réelle de carré itégrable. Alors. Var(X ) = Cov(X, X ) = E(X 2 ) [E(X )] Cov(X, Y ) = E(X Y ) E(X )E(Y ). Exercice 3.9. (Corrigé de l exercice : page 58) Vérifier les formules de Köig-Huyges. O vérifie aisémet qu o retrouve les défiitios classiques de l espérace pour les v.a.r. discrètes ou à desité comme l idique le résultat suivat :

61 Chapitre 3. Momets d u vecteur aléatoire 47 Propositio Si X est ue variable aléatoire réelle itégrable discrète de loi P X := + k=0 P(X = a k )δ ak, alors E(X ) = + k=0 a k P(X = a k ). 2. Si X est ue variable aléatoire réelle itégrable à desité ρ cotiue sur, alors E(X ) = + tρ(t)dt. O trouvera la liste des valeurs de l espérace et de la variace des v.a.r. de lois usuelles das le formulaire de l aexe A, page 205, de ce cours. Exercice 3.0. (Corrigé de l exercice : page 59) Soit X ue variable aléatoire réelle suivat la loi de ayleigh de desité défiie sur par ρ(x) := xe x2 2 l +(x). Motrer que, pour tout etier k, E ( X 2k ) = (2k)! π 2 k k! 2 et E ( X 2k) = 2 k k!. Expliciter l espérace et la variace de la variable aléatoire réelle X. Défiitio 3.9. Soit X u vecteur aléatoire de dimesio d de composates X, X 2,..., X d itégrables suivat P. O appelle espérace de X suivat P, et o ote E(X ), le vecteur de d, E(X ) := (E(X ), E(X 2 ),..., E(X d )). Si X est ue v.a. à valeurs matricielles, o appelle espérace de X, matrice dot les coefficiets sot les espéraces de ceux de X. et o ote E(X ), la Défiitio 3.0. Ue variable aléatoire vectorielle ou matricielle d espérace ulle est dite cetrée. Ue variable aléatoire réelle de carré itégrable et de variace égale à est dite réduite. Exercice 3.. (Corrigé de l exercice : page 59) Motrer que les variable aléatoire réelle X, X 2,, X d seulemet si, E( X 2 ) < + où X := (X, X 2,, X d ). sot de carré itégrable si, et

62 48 Théorie des probabilités, Bruo Saussereau, , versio 0/0/204 Défiitio 3.. Soit X u vecteur aléatoire de dimesio d de composates X, X 2,..., X d de carré itégrable sur Ω. O appelle matrice de dispersio de X ou matrice des covariaces de X, et o la ote D X, l espérace de la matrice carrée aléatoire [X E(X )][X E(X )] d ordre d où désige l opératio de traspositio des matrices, c est-à-dire D X = E ([X E(X )][X E(X )] ). La termiologie est justifiée par la troisième assertio de la propositio suivate : Propositio Si X est u vecteur aléatoire de dimesio d tel que E( X 2 ) < + et M ue matrice (détermiiste) à coefficiets réels à c liges et d coloes, alors. Le coefficiet d idice (i, j) de D X est la covariace Cov(X i, X j ) des v.a.r. X i et X j. Les élémets diagoaux de D X sot les variaces des composates de X. 2. D [X E(X )] = D X, E(MX ) = ME(X ), D MX = MD X M. 3. D X est ue matrice symétrique. D X est de type positif i.e., pour tout u d, u D X u 0. E particulier, D X est ue matrice diagoalisable sur dot les valeurs propres sot des réels positifs ou uls. Exemples 3.4. Soit X u vecteur aléatoire de dimesio 2 de loi P X := k,l 2 k+l δ (k,l). Notos X, X 2 les composates de X das la base caoique de 2. Par défiitio E(X ) = (E(X ), E(X 2 )) et d après la propositio précédete, D X = ( Var(X ) Cov(X, X 2 ) Cov(X, X 2 ) Var(X 2 ) E calculat E(X ) = E(X 2 ) = 2 puis E(X 2 ) = E(X2 2 ) = 6 et Cov(X, X 2 ) = 0 o obtiet, par applicatio de la formule de Köig-Huyges, ( ) 2 0 E(X ) = (2, 2) et D X =. 0 2 ). Exercice 3.2. (Corrigé de l exercice : page 59) Démotrer la propositio 3.24, page 48. Exercice 3.3. (Corrigé de l exercice : page 60) Soiet X et Y deux variables aléatoires réelles telles que E(X 2 ) < + et E(Y 2 ) < +.

63 Chapitre 3. Momets d u vecteur aléatoire 49. Motrer que Y X X 2 + Y 2. E déduire que les variables aléatoires réelles X, Y et X Y sot itégrables suivat P. 2. E étudiat le sige de l expressio E [(X + αy ) 2 ] pour tout α, prouver l iégalité de Cauchy-Schwarz : E(X Y ) E(X 2 ) E(Y 2 ). E doer ue iterprétatio géométrique. Exercice 3.4. (Corrigé de l exercice : page 60) Soit X := (X, X 2,, X ) u vecteur aléatoire tel que E( X 2 ) < +.. Motrer que la variable aléatoire réelle Y := X k est de carré itégrable. 2. Démotrer la relatio ( ) Var X k = k= k= Var(X k ) + 2 k= i<j Cov(X i, X j ). 3.3 Foctio caractéristique et loi d ue v.a. Das le sous-paragraphe 3 du paragraphe, ous avos itroduit la otio de foctio caractéristique. O rappelle que : Défiitio 3.2. Si µ est ue probabilité sur d, l applicatio Φ µ : u d Φ µ (u) := exp (i x, u ) dµ(x) C, d s appelle la foctio caractéristique de µ, (e abrégé f.c.). Si X est u vecteur aléatoire de dimesio d, la foctio caractéristique de X est l applicatio de d das C défiie, pour tout vecteur u de d, par Φ X (u) := exp (i x, u ) dp X (x) = E (exp (i X, u )). d Doos quelques propriétés classiques des foctios caractéristiques : Propositio Φ(0) = 2. Pour tout u d, Φ( u) = Φ(u) et Φ(u). Ue foctio caractéristique est doc ue applicatio borée sur d. 3. La foctio caractéristique Φ d u vecteur aléatoire X de dimesio d est ue foctio uiformémet cotiue sur d. E particulier, ue foctio caractéristique Φ est cotiue e Si µ et ν sot deux probabilités sur d, alors Φ µ dν = Φ ν dµ. d d

64 50 Théorie des probabilités, Bruo Saussereau, , versio 0/0/204 Démostratio : Φ(0) = est immédiat à vérifier. Pour tout u d, Φ( u) = Φ(u) est immédiat à vérifier. Pour tout vecteur u de d, Φ X (u) = exp (i x, u ) dp X (x) exp (i x, u ) dp X (x) dp X (x) =, doc d d d Φ X est borée sur d. Pour tous vecteurs u et v de d, Φ X (u) Φ X (v) exp (i x, u ) exp (i x, v ) dp X (x). d Or, pour tout réel t, e it = t 0 ie ix dx, d où e it if(2, t ). Par suite, pour tous vecteurs u et v de d, par applicatio de l iégalité de Cauchy-Schwarz, il viet exp (i x, u ) exp (i x, v ) exp [i ( x, u x, v )] = exp (i x, u v ) if(2, x, u v ) if(2, x u v ). D où, pour tous vecteurs u et v de d, Φ X (u) Φ X (v) if(2, x u v )dp X (x). E parti- d culier, pour tout etier aturel o ul, et pour tous vecteurs u et v de d, tels que u v (, o a Φ X (u) Φ X (v) if 2, x ) ( ( dp X (x). La suite de foctios if 2, x )) est d N domiée par la foctio costate qui vaut 2 sur d, et coverge vers ( la foctio-ulle sur d. Par le théorème de covergece domiée de Lebesgue, lim if 2, x ) dp X (x) = 0. + ( d Soit ε > 0 doé, o peut doc trouver u etier tel que if 2, x ) dp X (x) ε. Par d suite, pour tout ε > 0, il existe η (predre η = ) tel que, pour tous vecteurs u et v de d, u v η implique Φ X (u) Φ X (v) ε, ce qui prouve l uiforme cotiuité de la foctio caractéristique. Pour prouver que Φ µ dν = Φ ν dµ, il suffit d appliquer le théorème de Fubii vu e d d théorie de la mesure et de l itégratio et rappelé das le chapitre suivat, propositio 4.3, page 63. La foctio caractéristique présete plusieurs poits d itérêt :. pour idetifier la loi d u vecteur aléatoire, 2. pour calculer les momets d ue variable aléatoire, 3. pour étudier l idépedace d ue suite de v.a.r.. Nous allos ous itéresser das ce paragraphe aux deux premiers poits. Le derier sera traité au chapitre IV. Commeços par le premier poit, qui est dû au résultat suivat : Propositio Théorème d ijectivité des f.c. Deux probabilités sur d sot idetiques si, et seulemet si, elles ot la même foctio caractéristique.

65 Chapitre 3. Momets d u vecteur aléatoire 5 Démostratio : E préambule à la démostratio, motros que, pour tout réel a > 0, I (x y) = e i<u,y x> e a( u + u 2 + u d ) dλ (d) 2 d a d (u) = k=d d k= (a2 + (y k x k ) 2 ). E effet, e itégrat séparémet sur ], 0], puis sur [0, + [, o obtiet K(x) = e itx e a t dλ(t) = 0 e itx e at dt e itx e at dt = a ix + a + ix = 2a a 2 + x 2. Par suite, I (x y) = e i[u (y x )+u 2 (y 2 x 2 )+ +u d (y d x d )] a( u + u 2 + u d ) dλ (d) (u) ou ecore d k=d I (x y) = e i[u k(y k x k ) a u k dλ (d) (u). d k= Par le théorème de Fubii (so éocé est rappelé das le prochai chapitre, propositio 4.3, page 63), compte teu de ce que la foctio à itégrer est à variables séparées, il viet k=d k=d k=d I (x y) = e i[u k(y k x k ) a u k 2a dλ(u k ) = K(y k x k ) = a 2 + (y k x k ), d où 2 k= 2 d a d I (x y) = k=d k= (a2 + (y k x k ) 2 ). Motros maiteat que : d 2 d a d J µ (x) = k=d k= (a2 + (y k x k ) 2 ) dµ(y) = e i<u,x> e a( u + u 2 + u d ) Φ µ (u) dλ (d) (u). d E effet, e utilisat le résultat précédet ( et e reportat das l itégrale à) calculer, o a J µ (x) = I (x y) dµ(y) = e i<u,y x> e a( u + u 2 + u d ) dλ (d) (u) dµ(y). Par d d d applicatio du théorème de Fubii aux mesures λ (d) et µ (vérifier que les hypothèses du théorème sot bie satisfaites), cette itégrale peut s écrire : ( ) J µ (x) = e i<u, x> e a( u + u 2 + u d ) e i<u,y> dµ(y) dλ (d) (u), d d ou ecore, par défiitio de la foctio caractéristique de µ, J µ (x) = e i<u,x> e a( u + u 2 + u d ) Φ µ (u) dλ (d) (u). d Soit f ue foctio de d das, cotiue et à support compact. Calculos H µ (a) = f (x)j µ (x) dλ (d) (x). d [ ] 2 d a d O a H µ (a) = f (x) k=d d d k= (a2 + (y k x k ) 2 ) dµ(y) dλ (d) (x). Par le théorème de Fubii, H µ (a) = f (x) k=d [ ] 2 d a d d d k= (a2 + (y k x k ) 2 ) dλ(d) (x) dµ(y). Notos G a (y) l itégrale k= k=

66 52 Théorie des probabilités, Bruo Saussereau, , versio 0/0/204 etre crochets. Elle peut s écrire, après le chagemet de variables das d, (u, u 2,, u d ) = (y x, y 2 x 2,, y d x d ), ou u = y x, dot le jacobie est de valeur absolue égale à, 2 d a d 2 d a d G a (y) = f (x) k=d d k= (a2 + (y k x k ) 2 ) dλ(d) (x) = f (y u) k=d d k= (a2 + (u k ) 2 ) dλ(d) (u). Par suite, H µ (a) = G a (y) dµ(y). d Étudios maiteat, pour tout vecteur y d, la limite lim G a (y). a 0 Pour tout vecteur y d 2 d a d, G a (y) = f (y u) k=d d k= (a2 + (u k ) 2 ) dλ(d) (u). Par le chagemet de variables das d, (x, x 2,, x d ) = ( u a, u 2 a,, u d ), qu o peut écrire de faço plus a sythétique, x = a u, dot le jacobie est de valeur absolue égale à ad, l itégrale deviet G a (y) = = 2 d a d f (y ax) k=d d k= (a2 + (ax k ) 2 ) ad dλ (d) (x) 2 d f (y ax) k=d d k= ( + x k 2) dλ(d) (x). Comme f est cotiue à support compact, elle est borée par u réel M. La famille, idexée par 2 d 2d a, des foctios x f (y ax) k=d k= ( + x est domiée par la foctio x M k 2 ) k=d k= ( + x k 2) itégrable sur d pour la mesure de Lebesgue. E effet, par le théorème de Fubii, d M 2 d k=d k= ( + x 2 k ) dλ(d) (x) = M2 d ( + 2 d ) d + t dt = M2 ( d [Arcta(x)] + d ) = M2 d π d, 2 ce qui prouve que la foctio x M k=d k= ( + x k 2) est itégrable sur d. Par suite e faisat tedre a vers 0, e vertu du théorème de covergece domiée, l itégrale 2 d G a (y) = f (y ax) k=d d k= ( + x k 2) dλ(d) (x) ted vers l itégrale d f (y) 2 d d 2 d k=d k= ( + x k 2) dλ(d) (x) = f (y) k=d k= ( + x k 2) dλ(d) (x) = 2 d π d f (y), d après le calcul qui viet d être fait plus haut, c est-à-dire lim a 0 G a (y) = 2 d π d f (y). Nous pouvos maiteat e déduire la limite de l itégrale H µ (a) lorsque a ted vers 0. E effet, pour tout réel a et tout y d, 2 d a d G a (y) f (y ax) k=d d k= (a2 + (ax k ) 2 ) ad dλ (d) (x) d 2 d a d M k=d k= (a2 + (ax k ) 2 ) ad dλ (d) (x) = M2 d π d. La famille de foctios G a idexées par a, est doc domiée par la costate M2 d π d itégrable par rapport à la mesure de probabilité µ. Par le théorème de covergece domiée de Lebesgue,

67 Chapitre 3. Momets d u vecteur aléatoire il viet lim H µ (a) = lim G a (y) dµ(y) = 2 d π d f (y) dµ(y). a 0 d a 0 d Pour coclure, rassemblos les résultats précédets, e teat compte que µ et ν sot deux probabilités sur d ayat la même foctio caractéristique Φ µ = Φ ν. O remarque alors que J µ (x) = J ν (x) et, par suite, pour tout réel a > 0, H µ (a) = H ν (a). O e déduit alors, e faisat tedre a vers 0, que lim H µ (a) = lim H ν (a), c est-à-dire que a 0 a 0 2 d π d f (y) dµ(y) = 2 d π d f (y) dν(y), et fialemet f (y) dµ(y) = f (y) dν(y), d d d d pour toute foctio f de d das, cotiue et à support compact. Par le critère des foctios à support compact (propositio 3.8, page 43), o e coclut µ = ν. Le théorème d ijectivité s éoce alors avec les vecteurs aléatoires : Propositio Critère d idetificatio de lois par les f.c. Deux vecteurs aléatoires sur d ot la même loi si, et seulemet si, ils ot la même foctio caractéristique. Nous pouvos maiteat regrouper tous les critères d idetificatio de lois vus jusqu à préset sous ue formulatio uique qui complète la propositio 3.9, page 44 : Propositio Critères d idetificatio de lois Soiet X u vecteur aléatoire de dimesio d et µ ue probabilité sur d. Alors le vecteur aléatoire X a pour loi µ si, et seulemet si, la relatio E[h(X )] = h(t) dµ(t) d est vérifiée pour tous les élémets h d u des esembles C suivats :. Si d, C est l esemble des applicatios boréliees de d das [0, + ]. 2. Si d, C est l esemble des applicatios positives cotiues et à support compact de d das [0, + ]. 3. Si d, C est l esemble des applicatios 53 h u : x d h u (x) = exp(i u, x ) C lorsque u parcourt d. 4. Si d =, C est l esemble des idicatrices l ],u] lorsque u parcourt. Démostratio : Il suffit de prouver l item 3, les autres ayat déjà été vus das le théorème 3.9 de la page 44. O remarque que, pour tout u d, Φ X (u) = E (exp(i u, X )) = E (h u (X )) et Φ µ (u) = E µ (h u ) O coclut par le théorème d ijectivité Défiitio 3.3. Les familles de foctios qui apparaisset das les différets item de la propositio précédete sot souvet appelées familles de foctios-test. Das le cas où d =, les formules d iversio doées ci-dessous préciset le lie etre la

68 54 Théorie des probabilités, Bruo Saussereau, , versio 0/0/204 probabilité et sa foctio caractéristique. Elles permettet de retrouver la probabilité à partir de sa f.c. : Propositio Formules d iversio ou de réciprocité de Perro-Stieltjès Si µ est ue probabilité sur de f.c. Φ, a et b deux ( réels tels que a < b, alors : ) e ita e itb. La suite d itégrales au ses de iema Φ(t)dt est covergete das et lim Φ(t)dt = µ(]a, b[) + µ({a, b}). 2π it N e ita e itb + 2π it 2 ( ) 2. La suite d itégrales au ses de iema e ita Φ(t)dt est covergete das 2 et lim + 2 e ita Φ(t)dt = µ({a}). Idicatios pour la démostratio (laissée e exercice o corrigé). Vérifier que les itégrales qui itervieet das la propositio peuvet bie être prises au ses de iema car les foctios complexes à itégrer sot cotiues (ou prologeables par + si t cotiuité) sur [, ]. O rappelle que dt = π. t Premier item : Justifier qu o peut appliquer le théorème de Fubii pour obteir : I := e ita e itb Φ(t)dt = it u { si(t(x a)) dt t N } si(t(x b)) dt dµ(x). t si t Posos, pour tout u, S(u) := dt et sg(u) := u si u 0 avec sg(0) := 0. 0 t u si tu Motrer que, pour tout u, dt = 2sg(u)S( u ) et que I = f dµ où, pour t tout x, f (x) := 2sg(x a)s( x a ) 2sg(x b)s( x b ). Motrer que la suite (f ) N coverge vers πl {a,b} + 2πl ]a,b[ et qu il existe M > 0 tel que, pour tout N, f M. Coclure à l aide du théorème de covergece domiée. Secod item : Utiliser ue démarche aalogue. Das le cas où la f.c. est itégrable au ses de Lebesgue sur, o peut préciser la coaissace de µ : Propositio Soit µ ue probabilité sur de f.c. Φ. Si Φ est itégrable au ses de Lebesgue sur, alors µ admet ue desité f par rapport à la mesure de Lebesgue sur. L applicatio f est ue foctio à valeurs réelles, positive, borée, cotiue sur et, pour tout x, f (x) s exprime à l aide de l itégrale gééralisée au ses de iema f (x) = + e itx Φ(t)dt. 2π Démostratio : emarquos que, pour tous réels a et b avec a < b, e ita e itb it = b b e itx dλ(x) e itx dλ(x) b a. a a

69 Par suite, + Chapitre 3. Momets d u vecteur aléatoire 55 e ita e itb Φ(t) dt b a Φ(t) dt. Comme Φ est supposée i- it tégrable au ses de Lebesgue, o a Φ(t) dt < +, ce qui prouve que l itégrale e ita e itb Φ(t) dt est absolumet covergete. O a doc d après la propositio 3.7, it page 35, lim + e ita e itb Φ(t) dt = it + e ita e itb Φ(t) dt = it D après le premier item de la propositio 3.29, ous pouvos doc écrire µ(]a, b[) + µ({a, b}) = 2 2π e ita e itb Φ(t)dλ(t). it e ita e itb Φ(t)dλ(t). it O a alors, pour tous réels a et b avec a < b, 2 µ({a}) µ(]a, b[) + e ita e itb µ({a, b}) = Φ(t)dλ(t) 2 2π it e ita e itb Φ(t) 2π it dλ(t) b a Φ(t) dλ(t) = C b a, 2π où C = Φ(t) dλ(t) est ue costate fiie car Φ est itégrable au ses de Lebesgue. 2π Fixos a, e faisat tedre b vers a, das l iégalité précédete, o e déduit que la mesure µ est diffuse sur, c est-à-dire que µ({x}) = 0, pour tout réel x. E reveat à la première formule d iversio de la propositio 3.29, o obtiet alors e teat compte de la remarque précédete et du théorème de Fubii, pour tous réels a et b avec a < b, µ(]a, b[) = e ita e itb Φ(t) dλ(t) = ( ) e itx dλ(x) Φ(t) dλ(t) 2π it 2π [a,b] ( ) = e itx Φ(t) dλ(t) dλ(x) = f (x) dλ(x) [a,b] 2π [a,b] où o a posé, pour tout réel x, f (x) = e itx Φ(t) dλ(t). 2π O vérifie aisémet à l aide du théorème de covergece domiée que f est ue foctio cotiue. De plus f est borée sur. Comme, pour tout réel t, Φ( t) = Φ(t), o e déduit e preat le cojugué de l itégrale suivi d u chagemet de variable élémetaire que, pour tout réel x, f (x) = f (x), ce quiprouve que f est ue foctio à valeurs réelles. Pour tous réels a et b avec a < b, µ(]a, b[) = f (x) dλ(x) 0 et f est cotiue, o e déduit que f est [a,b] positive et que c est bie ue desité de probabilité sur. Comme la foctio sous l itégrale t e itx Φ(t) est elle-même cotiue et borée et itégrable au ses de Lebesgue, l itégrale au ses de Lebesgue e itx Φ(t) dλ(t) peut s écrire sous la forme d ue itégrale gééralisée au ses de iema (cf. propositio 3.7, page 2π 35).

70 56 Théorie des probabilités, Bruo Saussereau, , versio 0/0/204 La probabilité µ coïcide doc avec la probabilité de desité f sur la famille C des itervalles ouverts de. O vérifie aisémet que C est u π-système qui egedre la tribu boréliee de. O coclut alors par le théorème d uicité pour les probabilités (cf. propositio., page 4) que µ est la probabilité de desité f. La réciproque de ce résultat est fausse. E effet o vérifie aisémet que la loi expoetielle de paramètre sur fourit u cotre-exemple. Cepedat, sous certaies hypothèses, o peut avoir des reseigemets sur le comportemet à l ifii de la foctio caractéristique Φ, comme le prouve la propositio suivate : Propositio 3.3. Soit µ ue probabilité sur de f.c. Φ. O suppose que µ admet ue desité f de classe C telle que, pour tout etier 0 k, la dérivée f (k) d ordre k de f soit itégrable au ses de Lebesgue sur (o pose f (0) := f ). Alors lim u + u Φ(u) = 0. Idicatios pour la démostratio (laissée e exercice o corrigé) : Soit k u etier, k. Prouver la relatio, pour tout x : f (k ) (x) = x 0 f (k) (u)du + f (k ) (0). E déduire que lim f (k ) (u) = 0. u + Par ue itégratio par parties, motrer que, pour tout u 0, + e iux f (k ) (x)dx = i u + e iux f (k) (x)dx. ( ) i + E déduire que Φ(u) = e iux f () (x)dx. Coclure. u ( Avec les otatios de Ladau, le résultat démotré peut s écrire Φ(u) = o u ) au voisiage de +. E fait, si f a ses dérivées premières qui existet et sot itégrables au ses de Lebesgue sur, e utilisat ( ) le lemme de iema-lebesgue (cf [4], exercice VI-30), o démotre que Φ(u) = o au voisiage de +. u Passos maiteat au secod poit d itérêt de la otio de f.c.. Les propositios ci-dessous, 3.33, 3.34 et 3.35, doet u procédé de calcul des momets d ue variable aléatoire réelle à l aide de sa foctio caractéristique. Ces résultats se démotret e utilisat le théorème de dérivatio sous le sige vu e théorie de l itégratio, que ous rappelos sas le démotrer das le cas particulier qui ous itéresse (cf. [8], page 05) :

71 Chapitre 3. Momets d u vecteur aléatoire 57 Propositio Théorème de dérivatio sous le sige Soit (E, E, µ) u espace de probabilité, f ue applicatio de E das (ou C). Si f vérifie les trois hypothèses suivates :. pour µ-presque-tout x E, t f (x, t) est dérivable sur, 2. pour tout t, x E f (x, t) est itégrable par rapport à µ, 3. il existe ue applicatio g, itégrable par rapport à µ, telle que, pour µ-presque-tout x E et pour tout t, f (x, t) t g(x), alors,. L applicatio F : t F (t) := f (x, t)dµ(x) est dérivable sur, 2. Pour tout t, x E f (x, t) est itégrable par rapport à µ, t 3. Pour tout t, F f (t) = (x, t)dµ(x). t E E E appliquat ce résultat à l applicatio (x, u) exp (i x, u ), et e raisoat par récurrece, o obtiet : Propositio Si X est ue variable aléatoire réelle telle que E( X ) < +, i.e. X L (Ω, F, P), où est u etier aturel o ul, alors la foctio caractéristique Φ X de X est cotiûmet dérivable jusqu à l ordre et o a, pour tout réel u : Φ () X (u) = i x e iux dp X (x) = i E ( X e ) iux. E particulier Φ () X (0) = i x dp X (x) = i E (X ). Pour les vecteurs aléatoires, ous avos e particulier : Propositio Si X = (X, X 2,, X d ) est u vecteur aléatoire de dimesio d tel que E( X 2 ) < +, i.e. X L 2 (Ω, F, P), où d est u etier aturel o ul, alors, pour tout k =, 2,, d et j =, 2,, d o a E(X k ) = i Φ X u k (0) et E(X k X j ) = 2 Φ X u k u j (0). Pour le calcul des momets d ue variable aléatoire réelle, la propositio suivate est parfois utile :

72 58 Théorie des probabilités, Bruo Saussereau, , versio 0/0/204 Propositio Soiet X ue variable aléatoire réelle et u etier aturel tels que la f.c. de X, Φ X, soit dérivable e 0 à l ordre. Alors. E(X 2p ) < + où 2p est le plus grad etier pair iférieur à. E particulier, X admet des momets jusqu à l ordre 2p. 2. De plus, si le développemet limité de Φ X au voisiage de 0 à l ordre s écrit k= Φ X (u) = + a k u k + o(u ) alors, pour tout k 2p, E(X k ) = ( i) k a k k!. k= Idicatios pour la démostratio (laissée e exercice o corrigé) : Supposos que Φ X soit -fois dérivable e 0. Faisos u raisoemet par récurrece fiie sur k tel que 2k, e preat pour propriété de récurrece à l ordre k, ( P k ) : "M 2k < +." Motros d abord ( P ). Pour simplifier otos f la partie-réelle de Φ X et g sa partie-imagiaire. Motrer que g est impaire et f paire. E déduire Φ (2) X (0) = f (2) (0). Motrer que la suite de foctios (2 2 ( f ( ) )) coverge das vers f (0). E appliquat le lemme de Fatou (propositio N 3.2, page 38) à la suite de foctios (2 2 ( cos x ) ), prouver que M 2 f (0) < +. Motros l hérédité de la propriété. Supposos ( P k ), pour u etier aturel k tel que 2k, et motros ( P k ) : Notos h la partie-réelle de Φ (2k 2) X. Motrer que h(t) = ( ) k x 2k 2 cos(tx)dp X (x) et que h (0) = Φ (2k) X (0). E déduire, e utilisat la covergece de la suite de foctios (2 2 ( h( ) )), que lim + ( )k 2 N 2 x 2k 2 ( cos x )dp X (x) = Φ (2k) X (0). E appliquat le lemme de Fatou, prouver que M 2k ( ) k Φ (2k) X (0) < +. Appliquer le théorème de récurrece fiie sur k pour coclure. La deuxième partie résulte de la propositio 3.33 précédete. N O otera que la coaissace des momets e détermie pas e gééral la probabilité µ (cf. [4], page 89, exemple.). Cepedat, sous certaies hypothèses, la coaissace des momets détermie la probabilité µ. C est le cas otammet das le cas précisé par le résultat suivat : Propositio Soit µ ue probabilité sur de f.c. Φ. Supposos qu il existe u réel α > 0 tel que, pour tout etier aturel, x dµ(x) α. Alors la f.c. Φ est développable e série etière sur au vosiage de 0. Idicatios pour la démostratio (laissée e exercice o corrigé) : Justifier l applicatio de la formule de Taylor-Lagrage à l ordre dot o majorera le reste pour prouver que la f.c. est développable e série etière e 0 de rayo de covergece +. Coclure. Ue coséquece immédiate de ce résultat est :

73 Chapitre 3. Momets d u vecteur aléatoire 59 Propositio Soit µ ue probabilité sur. Supposos qu il existe u réel α > 0 tel que, pour tout etier aturel, x dµ(x) α. Si ν est ue probabilité sur ayat les mêmes momets que µ, alors µ = ν. Démostratio : D après la propositio 3.36, les f.c. de µ et ν sot développables chacues e série etière. Comme, d après la propositio 3.35, les coefficiets des ces deux séries etières sot complètemet détermiés par les momets des probabilités µ et ν, et comme ces deux probabilités ot les mêmes momets par hypothèse, o e déduit que les deux séries etières sot idetiques et par suite que leurs f.c., qui sot respectivemet égales aux sommes de ces deux séries, sot égales. O coclut par le théorème d ijectivité des f.c Exercices de révisio sur les chapitres I à III Exercice 3.5. (Corrigé de l exercice : page 6) Soit X ue v.a.r. de loi N (0, ). Pour tout réel a > 0, o pose X a := X l { X a} X l { X >a}.. Vérifier que, pour tout réel a > 0 et toute applicatio h de das, h(x a ) = h(x )l [0,a] ( X ) + h( X )l ]a,+ [ ( X ). 2. E déduire que, pour tout réel positif a > 0, la v.a.r. X a suit la loi ormale réduite cetrée. Exercice 3.6. (Corrigé de l exercice : page 62) Soit X ue variable aléatoire de desité f défiie pour tout ombre réel x, par a si e x < f (x) = x + a si x < 0 0 sio où a est u ombre réel.. Calculer a et détermier la foctio de répartitio F de X. 2. Calculer l espérace de la variable aléatoire X. Exercice 3.7. (Corrigé de l exercice : page 62) Soit X ue variable aléatoire ormale cetrée réduite. Préciser, das chacu des cas cidessous, la loi de probabilité de la variable aléatoire Y défiie e foctio de X. Y = X Y = F (X ) où F est la foctio de répartitio de la variable X.

74 60 Théorie des probabilités, Bruo Saussereau, , versio 0/0/204 Exercice 3.8. (Corrigé de l exercice : page 63) Soit α u paramètre réel strictemet positif et f l applicatio défiie sur par { f (x) = 2 αe αx si x 0 2 αeαx si x 0. Vérifier que f est bie ue desité de probabilité. 2. Soit X ue variable aléatoire réelle de desité f, quelle est la loi de la variable aléatoire Y = X? E déduire la variace de la variable X. Exercice 3.9. (Corrigé de l exercice : page 63) Soit X ue variable aléatoire réelle uiforme cotiue sur [0, ]. Motrer que la relatio Y = l( X ), où α est u paramètre réel strictemet positif, défiit presque-sûremet α ue variable aléatoire réelle. Quelle est la loi de la variable aléatoire Y? Exercice (Corrigé de l exercice : page 63) Soit X ue v.a.r. ormale de loi N (m, σ 2 ), où m et σ sot des réels avec σ > 0.. Motrer que la foctio caractéristique de X peut s exprimer à l aide de la foctio caractéristique Φ de la loi de Gauss-Laplace stadard N (0, ). 2. E utilisat le théorème 3.32, page 57, de dérivatio sous le sige, motrer que Φ est ue solutio particulière de l équatio différetielle du premier ordre y (t) + ty(t) = 0. E déduire l expressio aalytique de la foctio Φ, puis celle de la foctio caractéristique de la variable X. Exercice 3.2. (Corrigé de l exercice : page 64). Motrer que si X et Y sot deux v.a.r. presque-sûremet égales, alors elles ot la même loi. Motrer que la réciproque est fausse. 2. Soiet X et Y deux v.a.r. de même loi, g ue applicatio boréliee de das. Motrer que les v.a.r. g(x ) et g(y ) ot la même loi. Soit Z ue autre v.a.r., motrer que les v.a.r. X Z et Y Z ot pas écessairemet la même loi. Exercice (Corrigé de l exercice : page 65) Calculer la foctio caractéristique des variables aléatoire suivates (pour les défiitios se reporter au formulaire de l aexe A, page 205) :. X suit ue loi géométrique G(p). 2. Y suit ue loi uiforme U([a, b]). 3. Z suit ue loi expoetielle E(α). Exercice (Corrigé de l exercice : page 65) Soit µ ue mesure de probabilité sur et D ue partie partout dese das (i.e. l adhérece de D est égale à ) telle que, pour tout t D, F µ (t) {0, }. Motrer qu il existe a tel que µ = δ a.

75 Chapitre 4. Idépedace stochastique 6 Chapitre 4 Idépedace stochastique Das la suite, si A et B sot respectivemet des parties de et p, o posera avec u léger abus, A B := {(x,, x +p ) +p /(x,, x ) A et (x +,, x +p ) B}, c-à-d A B := (A p ) ( B). De même, si a := (a,, a ) et b := (b,, b p ) p, o otera (a, b) := (a,, a, b,, b p ) cosidéré comme élémet de +p. O dit que (a, b) est obteu par cocatéatio de a et b. 4. Itégratio sur +p Pour itroduire la problématique de l itégratio sur +p, commeços par cosidérer les deux situatios suivates : ) Soiet a := (a,, a ) et b := (b,, b p ) p. O remarque qu avec les otatios précisées e prélimiaires o peut écrire, pour tous borélies A et B respectivemet de et p, δ (a,b) (A B) = l A B (a, b) = l A (a)l B (b) = δ a (A)δ b (B). 2) De même, cosidéros la mesure de Lebesgue sur 2. Par défiitio pour tous réels a, b, c, d, avec a < b et c < d, λ (2) (]a, b] ]c, d]) = λ(]a, b])λ(]c, d]) où λ désige la mesure de Lebesgue sur. Plus gééralemet o motre que, pour tous borélies A et B de, λ (2) (A B) = λ(a)λ(b). Gééralisos ces situatios e cosidérat le problème suivat : État doé deux mesures µ et ν respectivemet sur et p, existe-t-il ue mesure α sur +p telle que, pour tous borélies A et B respectivemet de et p, α(a B) = µ(a)ν(b)? Si oui, y a-t-il uicité de la mesure α? O motre que das le cas où µ et ν sot des probabilités la répose est positive. Das le cas des mesures plus géérales ce est plus écessairemet vrai, cepedat c est ecore vrai pour les mesures de Lebesgue. Plus précisémet, o admettra le résultat suivat : Propositio 4.. Soit µ (respectivemet ν) ue probabilité ou la mesure de Lebesgue sur (respectivemet sur p ) alors il existe ue uique mesure sur +p, otée µ ν, telle que, pour tous borélies A et B respectivemet de et p, µ ν(a B) = µ(a)ν(b).

76 62 Théorie des probabilités, Bruo Saussereau, , versio 0/0/204 Défiitio 4.. O dit que µ ν est le produit des mesures µ et ν. O dit aussi que µ ν est ue mesure-produit sur +p. O otera que toutes les mesures sur +p e sot pas écessairemet des mesures-produit. Exemples 4.. O admettra que, pour tous etiers et p, λ (+p) = λ () λ (p). E particulier o utilisera souvet la relatio λ (2) = λ λ. Le théorème suivat, éocé sous la forme la plus utilisée das ce cours, est u cas particulier du théorème de Toelli vu e théorie de la mesure et de l itégratio. Il doe u procédé de calcul des itégrales sur +p. Il permettra par u procédé de récurrece d e déduire ue méthode de calcul des itégrales sur d. Propositio 4.2. Théorème de Toelli (admis) Soiet µ ue probabilité ou la mesure de Lebesgue sur, ν ue probabilité ou la mesure de Lebesgue sur p et f ue applicatio boréliee positive de +p das [0, + ], alors. Pour tous y p et x, les applicatios partielles u f (u, y) [0, + ] et v p f (x, v) [0, + ] sot boréliees positives. 2. Les applicatios x f (x, v)dν(v) [0, + ] et y p p f (u, y)dν(u) [0, + ] sot boréliees positives, 3. O a les égalités +p f d(µ ν) = = p ( ) f (x, y)dµ(x) dν(y) ( ) f (x, y)dν(y) dµ(x). p Le théorème de Toelli permet e pratique de rameer le calcul d ue itégrale multiple, i.e. sur d, au calcul d ue successio de d itégrales simples, i.e. sur, pour lesquelles o peut appliquer séparémet les règles d itégratio déjà vues au chapitre III. Ce résultat est ecore vrai pour les applicatios f de sige quelcoque à coditio qu elles soiet supposées itégrables sur +p suivat la mesure-produit µ ν. Il est alors cou sous le om de théorème de Fubii :

77 Chapitre 4. Idépedace stochastique 63 Propositio 4.3. Théorème de Fubii Soiet µ ue probabilité ou la mesure de Lebesgue sur, ν ue probabilité ou la mesure de Lebesgue sur p et f ue applicatio (µ ν)-itégrable de +p das, alors,. Pour µ-presque-tout x, l applicatio y p f (x, y) est ν-itégrable, et, pour ν-presque-tout y p, l applicatio x f (x, y) est µ-itégrable. 2. L applicatio y p f (x, y)dµ(x) est défiie ν-presque-partout et ν- itégrable, et l applicatio x f (x, y)dν(y) est défiie µ-presque-partout p et µ-itégrable. 3. L itégrale de f par rapport à la mesure-produit [ µ ν est ] doée par : f d(µ ν) = f (x, y)dν(y) dµ(x) +p [ p ] = f (x, y)dµ(x) dν(y). p D autres otatios sot utilisées das les ouvrages pour oter ue itégrale suivat ue mesureproduit. O trouvera idifféremmet f d(µ ν) = f (x, y) d(µ ν)(x, y) = f (x, y) dµ(x) dν(y) +p +p +p = f (x, y) dµ(x)dν(y). +p Exemples 4.2. Cosidéros l applicatio f défiie sur 2 par f (x, y) := l ]0,+ [ (x)l ]a,b[ (y)e xy où a et b sot des réels tels que 0 < a < b. C est ue foctio boréliee positive sur 2. Appliquos le théorème de Toelli à f et à la mesure λ (2) = λ λ, ( ) f dλ (2) = l ]0,+ [ (x) l ]a,b[ (y)e xy dλ(y) dλ(x) 2 ( ) = l ]a,b[ (y) l ]0,+ [ (x)e xy dλ(x) dλ(y). Ce qui doe e utilisat la règle d itégratio suivat la mesure de Lebesgue sur des foctios boréliees positives, + f dλ (2) e ax e bx = dx 2 0 x = l ]a,b[ (y) y dλ(y) = b a dy = l y ( ) b. a O a aisi par la même occasio établi la valeur de l itégrale gééralisée au ses de iema + ( ) e ax e bx b dx = l. x a 0

78 64 Théorie des probabilités, Bruo Saussereau, , versio 0/0/204 Pour compléter les techiques d itégratio suivat la mesure de Lebesgue sur d, le théorème suivat, dit de chagemet de variable, est très utile. appelos qu u difféomorphisme F de classe C d u ouvert U sur u ouvert V de d est ue applicatio bijective, différetiable de U sur V telle que F soit différetiable avec les applicatios différetielles de F et F cotiues. De plus si f,, f d sot les applicatioscomposates de F, o appelle jacobie de F au poit u U le détermiat de la matrice carré d ordre d de coefficiet gééral j f i (u) où j f i (u) désige la dérivée-partielle de l applicatio f i par rapport à la j ième variable calculée au poit u U. Propositio 4.4. Théorème de chagemet de variable das d (admis) Soiet T u difféomorphisme de classe C d u ouvert U sur u ouvert V de d et f ue applicatio boréliee de d das. Notos J(v) le jacobie de T au poit v V.. Si f est à valeurs das [0, + ], alors x d l V (x)f (T (x)) J(x) est ue applicatio boréliee positive. 2. Si l applicatio x d l U (x)f (x) est λ (d) -itégrable sur d, alors l applicatio x d l V (x)f (T (x)) J(x) est λ (d) -itégrable sur d. De plus, das les deux cas ci-dessus l U (u)f (u)dλ (d) (u) = l V (v)f ( T (v) ) J(v) dλ (d) (v), d d qu o écrit ecore : U f (u)dλ (d) (u) = V f ( T (v) ) J(v) dλ (d) (v). O dit alors qu o a effectué le chagemet de variable v := T (u) où v désige le vecteur des "ouvelles" variables et u celui des "aciees". O remarquera surtout que le jacobie utilisé est celui de la trasformatio exprimat les "aciees" variables e foctio des "ouvelles" c-à-d de T. Illustros par u exemple l utilisatio des théorèmes de Toelli et de chagemet de variable. Exemples 4.3. Motros que I := l ]0,+ [ 2(x, y)e (x2 +y 2) dλ (2) (x, y) = π 4. 2 E effet, ici U :=]0, + [ 2, u := (x, y). Cosidéros le chagemet de variable x = r cos θ

79 Chapitre 4. Idépedace stochastique 65 et y = r si θ où v := (r, θ) V :=]0, + [ ]0, π [. Comme J(v) = r, il viet 2 I = l ]0,+ [ ]0, π 2 2 [ (r, θ)e r 2 rdλ (2) (r, θ) ( ) = l ]0,+ [ (r)e r 2 r l ]0, π 2 [ (θ)dλ(θ) dλ(r) ( ) ( ) ( + ) π = l ]0,+ [ (r)e r 2 rdλ(r) l ]0, π 2 [ (θ)dλ(θ) = e r 2 rdr 0 2 = π 4. Das le calcul précédet o a utilisé le théorème de Toelli et la règle d itégratio suivat la mesure de Lebesgue sur. Exercice 4.. (Corrigé de l exercice : page 65) ) Déduire du résultat de l exemple précédet les deux relatios + 0 e x2 dx = + π et e 2 x2 dx =. 2 2π 2) E remarquat que x 2 + 2xy + 2y 2 = (x + y) 2 + y 2, déduire de la questio précédete que e (x2 +2xy+2y 2) dλ (2) (x, y) = π. 2 Le théorème de Fubii ou de Toelli sot e particulier très utiles das les calculs faisat iterveir des probabilités à desité défiies sur d. Doos u exemple d utilisatio de la propositio 3.8, page 35, das le calcul de lois de probabilité sur 2. Exemples 4.4. Soit (X, Y ) u vecteur aléatoire de 2 dot la loi admet pour desité la foctio défiie sur 2 ρ := 2 l où := {(x, y) 2 / x + y }. Cherchos la loi de la variable aléatoire réelle X. Soit A u borélie de. Calculos P X (A). Par défiitio de la otio de loi et comme {X A} = {(X, Y ) A }, P X (A) = P(X A) = P ((X, Y ) A ) = P (X,Y ) (A ) = l A (x)l (y)dp (X,Y ) (x, y). 2 D après la règle d itégratio des mesures à desité sur 2 puis par applicatio du théorème de Toelli à λ (2) = λ λ, l A (x)l (y)dp (X,Y ) (x, y) = l A (x)l (y) 2 2 l (x, y)dλ (2) (x, y) 2 ( ) = l A (x) 2 l (x, y)dλ(y) dλ(x) = l A (x)χ(x)dλ(x) où o a posé après le calcul de l itégrale χ(x) := 2 l (x, y)dλ(y) = ( x )l [,] (x).

80 66 Théorie des probabilités, Bruo Saussereau, , versio 0/0/204 Ce qui prouve que la variable aléatoire réelle X a pour loi la probabilité défiie sur par la desité χ. O trouve par symétrie des rôles joués par X et Y que Y a même loi que X (cela e sigifie pas que X = Y!). Exercice 4.2. (Corrigé de l exercice : page 66) Citer u exemple simple de variables aléatoires réelles X et Y distictes et de même loi. E fait o viet de motrer, sur u cas particulier, le résultat importat ci-dessous qui affirme que si u vecteur aléatoire admet ue desité, alors ses composates sot des variables aléatoires réelles à desité. La réciproque est fausse e gééral comme le motre le cotre-exemple proposé das l exercice 4.4 ci-dessous. Plus précisémet : Propositio 4.5. Si X := (X,, X d ) est u vecteur aléatoire de desité ρ sur d, alors, pour tout etier k d, la v.a.r. X k admet pour desité l applicatio χ k défiie sur par χ k (t) := ρ(x,, x k, t, x k+,, x d )dλ (d ) (x,, x k, x k+,, x d ). d La réciproque est fausse. Exercice 4.3. (Corrigé de l exercice : page 66) Démotrer cette propositio pour d = 3 e adaptat la démarche développée das l exemple précédet das lequel o avait d = 2. Exercice 4.4. (Corrigé de l exercice : page 67) Soit X ue variable aléatoire réelle de loi ormale stadard N (0, ). O pose := {(x, y) 2, y = x}, Prouver que P (X,X ) ( ) =. E supposat que le vecteur aléatoire (X, X ), admette ue desité sur 2, prouver que, sous cette hypothèse, P (X,X ) ( ) = 0. E déduire que le vecteur aléatoire (X, X ) de dimesio 2 admet pas de desité sur 2 et que la réciproque de la propositio 4.5 est fausse. 4.2 Idépedace de vecteurs aléatoires, d évéemets, de tribus 4.2. Idépedace de vecteurs aléatoires Exemples 4.5. eveos à l exemple 4.4 de la page 65 pour motrer que, das ce cas, P (X,Y ) P X P Y. E effet, cosidéros le borélie de 2, G :=], [ ], [, et comparos P 2 2 (X,Y )(G) avec P X P Y (G). Il viet d ue part, P (X,Y ) (G) = 2 l G (x, y)dp (X,Y ) (x, y) = 2 l G (x, y) 2 l (x, y)dλ (2) (x, y) = 0

81 Chapitre 4. Idépedace stochastique 67 car l G l est l applicatio ulle sur 2, et d autre part, ( P X P Y (G) = P X ] ) ( 2, [ P Y ] ) 2, [. Or P X ( ] 2, [ ) = l ],[dp X = ( x )l [,] (x)l 2 ],[(x)dλ(x) = ( x)dx = 2 8. Ce qui motre que 0 = P (X,Y ) (G) P X P Y (G) = ( 8 )2 et prouve que le produit des lois de X et Y, qui est ue probabilité sur 2, est pas égal à la loi du vecteur (X, Y ) i.e. P (X,Y ) P X P Y. Les situatios pour lesquelles o aura l égalité serot celles où o dira qu il y a idépedace des variables suivat la défiitio : Défiitio 4.2. Ue suite fiie de vecteurs aléatoires (X,, X ), de dimesios quelcoques (évetuellemet distictes), est dite idépedate (relativemet à P) si P (X,,X ) = P X P X2 P X. 2 O dit aussi, par abus, que les vecteurs aléatoires X,, X sot idépedats. Il s agit là d u abus car l idépedace est ue propriété de la suite (X,, X ) et o de chacue des variables aléatoires réelles X k. Défiitio 4.3. La loi du vecteur aléatoire cocatéé X := (X,, X ) est dite aussi loi cojoite des vecteurs X,, X. Pour tout etier k =,,, la loi du vecteur aléatoire X k s appelle alors la loi margiale de X de rag k. Exemples 4.6. Avec cette termiologie, o peut éocer le résultat de l exemple 4.5 précédet e exprimat que le couple de variables aléatoires réelles (X, Y ) est pas idépedat. Das le chapitre sur les covergeces de suite de variables aléatoires réelles o aura besoi de la défiitio suivate : Défiitio 4.4. Ue suite ifiie (X k ) N de vecteurs aléatoires est dite idépedate (relativemet à P) si toute sous-famille fiie est idépedate relativemet à P. O motre que si (µ k ) k I, où I N, est ue suite (fiie ou ifiie) de probabilités sur, o peut toujours costruire u espace de probabilité (Ω, F, P) et ue suite idépedate (X k ) k I de variables aléatoires réelles défiies sur (Ω, F, P) telle que, pour tout k I, µ k soit la loi de la variable aléatoire réelle X k. O peut vérifier aisémet qu ue suite ifiie de vecteurs aléatoires (X k ) N est idépedate si, et seulemet si, pour tout etier N, la suite fiie (X 0,, X ) est idépedate.

82 68 Théorie des probabilités, Bruo Saussereau, , versio 0/0/204 Exercice 4.5. (Corrigé de l exercice : page 67) Soit (U, V ) u couple idépedat de variables aléatoires réelles dot la loi de chaque composate est la loi uiforme U([0, ]) de desité l [0,]. O défiit les variables aléatoires X := 2 l U cos(2πv ) et Y := 2 l U si(2πv ).. Motrer que le vecteur aléatoire (X, Y ) de dimesio 2 admet pour desité l applicatio défiie sur 2 par ρ(x, y) := 2. O dit qu il suit ue loi ormale de dimesio 2. chapitre suivat. x 2 +y 2 2π e Les vecteurs de ce type serot étudiés plus e détail au 2. Motrer que les variables aléatoires réelles X et Y ot toutes les deux pour loi N (0, ). 3. Déduire des questios précédetes que le couple de variables aléatoires réelles (X, Y ) est idépedat Critères d idépedace de vecteurs aléatoires Les propositios qui suivet ot pour but de doer des critères permettat de recoaître si ue suite fiie de vecteurs aléatoires est idépedate. Propositio 4.6. Soit (X,, X ) ue suite de vecteurs aléatoires de dimesios respectives d,, d. Les assertios suivates sot équivaletes :. La suite (X,, X ) est idépedate. 2. Pour tout etier k et tout borélie B k de d k, P (X,,X )(B B 2 B ) = P X (B )P X2 (B 2 ) P X (B ). 3. Pour tout etier k et tout borélie B k de d k, P [X,, X ) B B ] = P(X B ) P(X B ). 4. Pour tout etier k et tout borélie B k de d k, P [{X B } {X B }] = P(X B ) P(X B ). Démostratio : "() implique (2)" résulte de la défiitio des produits de lois. "(2) implique (3)" résulte de la défiitio de la otio de loi et des otatios. "(3) implique (4)" résulte de la relatio esembliste immédiate à vérifier : {(X,, X ) B B } = {X B } {X 2 B 2 } {X B }. L implicatio " (4) implique () " résulte de ce que la probabilité P (X,,X ) vérifie la propriété caractéristique des mesures-produits : Pour tout etier k et tout borélie B k de d k, P (X,,X )(B B 2 B ) = P X (B )P X2 (B 2 ) P X (B ). Par uicité de la mesure-produit, o e déduit que P (X,,X ) = P X P X2 P X. Ce qui prouve ().

83 Chapitre 4. Idépedace stochastique 69 Das les cas où o maipule des variables aléatoires réelles discrètes la propositio précédete a pour corollaire le critère d idépedace ci-dessous. Pour simplifier o supposera que les variables aléatoires réelles sot portées par N mais le résultat se gééralise aux variables aléatoires réelles portées par u esemble déombrable quelcoque de, otammet Z. Propositio 4.7. Critère des v.a.r. discrètes Soit (X,, X ) ue suite de variables aléatoires réelles discrètes portées par N, alors la suite (X,, X ) est idépedate si, et seulemet si, pour tout (k,, k ) N, P ({X = k } {X = k }) = P(X = k ) P(X = k ). Démostratio : La coditio écessaire résulte de l implicatio "() implique (4)" de la propositio précédete où o a pris B i := {k i }, i =,,, qui sot bie des borélies de. La coditio suffisate résulte du fait que P (X,,X ) est ue probabilité discrète sur, elle est doc etièremet détermiée par la coaissace des ombres qui sot, par hypothèse, égaux à P (X,,X )({k } {k 2 } {k }) P(X = k )P(X 2 = k 2 ) P(X = k ). De même o vérifie que P X P X est ue probabilités portée par N doc discrète. Elle est doc etièremet détermiée par la coaissace des ombres Par suite P X P X ({k } {k 2 } {k }) = P(X = k )P(X 2 = k 2 ) P(X = k ). P (X,,X ) = P X P X. Ce qui prouve l idépedace de la suite (X,, X ). Exemples 4.7. epreos les otatios de l exemple 3.2, page 42. X := (X, X 2 ) est u vecteur aléatoire de dimesio 2 de loi P X := 2 δ (k,l). k+l Par suite, pour tous k N et l N, k,l P[{X = k} {X 2 = l}] = 2 k+l et P(X = k) = P(X 2 = k) = 2 k. Ce qui motre que, pour tous k N et l N, P[{X = k} {X 2 = l}] = P(X = k)p(x 2 = l) et prouve aisi l idépedace de la suite de variables aléatoires réelles (X, X 2 ).

84 70 Théorie des probabilités, Bruo Saussereau, , versio 0/0/204 O viet d établir u critère d idépedace pour ue grade famille de probabilités, celle des probabilités discrètes, doos maiteat u critère pour ue autre grade famille de probabilités, celle des probabilités à desité. Propositio 4.8. Critère des v.a.r. à desité. Si (X,, X ) est ue suite idépedate de variables aléatoires réelles telle que, pour tout k =,,, la variable aléatoire réelle X k soit de desité ρ k sur, alors le vecteur aléatoire X := (X,, X ) de dimesio admet pour desité sur l applicatio ρ : (x,, x ) ρ(x,, x ) := ρ (x )ρ 2 (x 2 ) ρ (x ) [0, + ]. 2. éciproquemet, si X := (X,, X ) est u vecteur aléatoire de dimesio admettat pour desité sur ue applicatio ρ défiie par ue relatio de la forme ρ(x,, x ) := g (x )g 2 (x 2 ) g (x ), où, pour tout k =,,, g k est ue applicatio boréliee positive de das [0, + ], alors la suite de variables aléatoires réelles (X,, X ) est idépedate et, pour tout k =,,, la variable aléatoire réelle X k admet pour desité sur l applicatio χ k : t χ k (t) := g k(t) g kdλ [0, + ]. Démostratio : Pour simplifier les otatios, faisos la démostratio das le cas = 3. ) Soiet (X, Y, Z) ue suite idépedate de variables aléatoires réelles et h ue applicatio boréliee positive de 3 das [0, + ]. Par le théorème du trasfert, l idépedace de la suite (X, Y, Z) i.e. P (X,Y,Z) = P X P Y P Z, puis e appliquat le théorème de Toelli à P X P Y P Z, la défiitio des lois à desité et à ouveau le théorème de Toelli e ses iverse à λ λ λ = λ (3), il viet successivemet E[h(X, Y, Z)] = = = = h(u, v, w)dp X P Y P Z (u, v, w) 3 ( ( ) ) h(u, v, w)dp X (u) dp Y (v) dp Z (w) ( ( ) ) h(u, v, w)ρ (u)dλ(u) ρ 2 (v)dλ(v) ρ 3 (w)dλ(w) h(u, v, w)ρ (u)ρ 2 (v)ρ 3 (w)dλ (3) (u, v, w). 3 Ce qui prouve que la loi du vecteur aléatoire (X, Y, Z) admet pour desité sur 3 l applicatio ρ défiie par ρ(u, v, w) := ρ (u)ρ 2 (v)ρ 3 (w). 2) Supposos que le vecteur aléatoire (X, Y, Z) admette pour desité sur 3 l applicatio ρ défiie par ρ(u, v, w) := g (u)g 2 (v)g 3 (w). Commeços par étudier la loi de la première composate X. D après la propositio 4.5, la variable aléatoire réelle X admet pour desité sur l applicatio χ défiie par χ (t) := ρ(t, u, v)dλ (2) (u, v). Par applicatio du théorème de Toelli à 2

85 Chapitre 4. Idépedace stochastique 7 λ (2) = λ λ, il viet χ (t) = g (t)g 2 (u)g 3 (v)dλ (2) (u, v) = g (t) 2 ( ) ( ) = g (t) g 2 dλ g 3 dλ car, comme ρ est ue desité de probabilité, = ρ(t, u, v)dλ (3) (t, u, v) = 3 = = g (t) g dλ, ( ) g 2 (u) g 3 (v)dλ(v) dλ(u) g (t)g 2 (u)g 3 (v)dλ (3) (t, u, v) ( 3 ) ( ) ( ) g dλ g 2 dλ g 3 dλ. O otera que cela implique e particulier que g dλ 0. O trouve de la même maière u résultat aalogue pour Y et Z. Motros l idépedace de la suite (X, Y, Z). Soiet A, B, C des borélies de. E otat que, pour tout ω Ω, l {(X,Y,Z) A B C} (ω) = l {X A} {Y B} {Z C} (ω) = l {X A} (ω)l {Y B} (ω)l {Z C} (ω) et l {X A} (ω) = l A (X (ω)), e utilisat les propriétés de l opérateur d itégratio doée das la propositio 3., page 30, puis e appliquat les théorèmes du trasfert et de Toelli, il viet P (X,Y,Z) (A B C) = E[l {(X,Y,Z) A B C} ] = E[l A (X )l B (Y )l C (Z)] = l A (x)l B (y)l C (z)g (x)g 2 (y)g 3 (z)dλ (3) (x, y, z, ) ( 3 ) ( ) ( ) = l A g dλ l B g 2 dλ l C g 3 dλ. De plus, comme les variables aléatoires réelles X, Y, et Z ot pour desités respectives χ, χ 2, et χ 3, ( ) ( ) ( ) P X (A)P Y (B)P Z (C) = l A χ dλ l B χ 2 dλ l C χ 3 dλ ( = l A (t) g ) ( (t) g dλ dλ(t) l B (t) g ) ( 2(t) g 2dλ dλ(t) l C (t) g ) 3(t) g 3dλ dλ(t) ( ) ( ) ( ) = l A g dλ l B g 2 dλ l C g 3 dλ, toujours e vertu de ( ) ( ) ( ) g dλ g 2 dλ g 3 dλ =. Ce qui motre que, pour tous borélies A, B, C de, P (X,Y,Z) (A B C) = P X (A)P Y (B)P Z (C) et prouve aisi l idépedace de la suite de variables aléatoires réelles (X, Y, Z).

86 72 Théorie des probabilités, Bruo Saussereau, , versio 0/0/204 Doos u autre éocé, beaucoup plus utile das la pratique, du critère d idépedace des variable aléatoire réelle à desité : Propositio 4.9. Soit (X,, X ) ue suite de variables aléatoires réelles telle que, pour tout k =,,, la variable aléatoire réelle X k soit de desité ρ k sur. Alors la suite de variables aléatoires réelles (X,, X ) est idépedate si, et seulemet si, le vecteur aléatoire X := (X,, X ) de dimesio admet pour desité sur l applicatio ρ : (x,, x ) ρ(x,, x ) := ρ (x )ρ 2 (x 2 ) ρ (x ) [0, + ]. Démostratio : La coditio écessaire est l assertio ) de la propositio 4.8 précédete et la coditio suffisate résulte de l assertio 2) avec, pour tout k =,,, g k := ρ k e remarquat que, par hypothèse, ρ kdλ =.. Exemples 4.8. ) epreos les otatios de l exercice 4.5, page 68. O y établit que le vecteur aléatoire (X, Y ) de dimesio 2 admet pour desité sur 2 l applicatio ρ(x, y) := 2 et x 2 +y 2 2π e que les variables aléatoires réelles X et Y suivet la même loi N (0, ). Leurs desités ρ X et ρ Y sur sot défiies sur par ρ X (t) = ρ Y (t) = e t2 2 et vérifiet la rela- 2π tio ρ(x, y) = ρ X (x)ρ Y (y), ce qui prouve l idépedace de la suite de variables aléatoires réelles (X, Y ) e vertu de la propositio précédete. 2) Das l exemple 4.4, page 65, o vérifie aisémet que ρ(x, y) χ(x)χ(y), ce qui est ue autre faço de prouver que la suite de variables aléatoires réelles (X, Y ) est pas idépedate. Doos u critère valable pour des vecteurs aléatoires gééraux sas hypothèses sur le type de loi qu ils satisfot. Propositio 4.0. Critère des foctios positives Soit (X,, X ) ue suite de vecteurs aléatoires de dimesios respectives d,, d. Alors, la suite (X,, X ) est idépedate si, et seulemet si, pour tout etier k et toute applicatio boréliee positive f k de d k das [0, + ], E [f (X )f 2 (X 2 ) f (X )] = E [f (X )] E [f 2 (X 2 )] E [f (X )]. Démostratio : Faisos la démostratio pour = 2. - C.N. Par applicatio des théorèmes du trasfert et de Toelli où o utilise l idépedace

87 Chapitre 4. Idépedace stochastique 73 e écrivat P (X,X 2 ) = P X P X2, il viet E [f (X )f 2 (X 2 )] = = ( = d +d 2 d f (x)f 2 (y)dp (X,X 2 )(x, y) ( ) f (x) f 2 (y)dp X2 (y) dp X (x) d 2 ) ( ) f dp X f 2 dp X2 d d 2 = E [f (X )] E [f 2 (X 2 )]. - C.S. Il suffit de predre f := l A et f 2 := l B où A et B sot des borélies respectivemet de d et d 2. E explicitat la relatio de l hypothèse o obtiet ce qui prouve que P (X,X 2 ) = P X P X2. E [l A (X )l B (X 2 )] = E [l A (X )] E [l B (X 2 )] P[(X, X 2 ) A B] = P[X A]P[X 2 B], A titre d exemple d utilisatio de cette propositio, doos u corollaire très utile das les calculs faisat iterveir des variables aléatoires réelles idépedates et itégrables : Propositio 4.. Soit (X,, X ) ue suite de variables aléatoires réelles itégrables. Si la suite (X,, X ) est idépedate, alors la variable aléatoire réelle produit X X 2 X est itégrable et La réciproque est fausse. E[X X 2 X ] = E(X )E(X 2 ) E(X ). Démostratio : Faisos-la pour deux variables aléatoires réelles X et Y idépedates et itégrables i.e. E( Y ) < + et E( X ) < +. O peut écrire E( X Y ) = E( X Y ) = E( X )E( Y ) < +, où o a appliqué, das la deuxième égalité, la propositio 4.0 avec les foctios positives x x grâce à l idépedace de (X, Y ). O a doc prouvé que la variable aléatoire réelle X Y est itégrable. Motros la deuxième relatio. emarquos qu e itroduisat les parties positives et égatives des v.a.r., o peut écrire X Y = (X + X )(Y + Y ) = X + Y + + X Y X Y + X + Y qui doe, e preat les espéraces de chaque membres de l égalité précédete et e appliquat la propositio 4.0 aux foctios boréliees positives x x + et x x, E(X Y ) = E[X + Y + ] + E[X Y ] E[X Y + ] E[X + Y ] = E(X + )E(Y + ) + E(X )E(Y ) E(X )E(Y + ) E(X + )E(Y ) = E(X )E(Y ).

88 74 Théorie des probabilités, Bruo Saussereau, , versio 0/0/204 d où la relatio cherchée. L exercice suivat propose u cotre-exemple prouvat que la réciproque de la propositio précédete 4. est fausse. Cet exercice est souvet à la base de ombreux cotre-exemples cocerat l idépedace des variables aléatoires. Exercice 4.6. (Corrigé de l exercice : page 68) Soiet X ue variable aléatoire réelle de loi N (0, ) et ε ue variable aléatoire réelle idépedate de X de loi 2 (δ + δ ). Motrer que la variable aléatoire réelle Y := εx est de loi N (0, ). Prouver que les v.a.r. X, Y vérifiet la relatio E(X Y ) = E(X )E(Y ) mais que le couple (X, Y ) est pas idépedat (pour cela o calculera E(X 2 Y 2 ) et o utilisera la propositio 4.0). Propositio 4.2. Critère des foctios borée Soit (X,, X ) ue suite de vecteurs aléatoires de dimesios respectives d,, d. Alors, la suite (X,, X ) est idépedate si, et seulemet si, pour tout etier k et toute applicatio boréliee borée f k de d k das [0, + ], E [f (X )f 2 (X 2 ) f (X )] = E [f (X )] E [f 2 (X 2 )] E [f (X )]. Démostratio : Faisos la démostratio pour = 2. - C.N. Par applicatio des théorèmes du trasfert et de Fubii (car les foctios boréliees borées sot itégrables) où o utilise l idépedace e écrivat P (X,X 2 ) = P X P X2, il viet E [f (X )f 2 (X 2 )] = f (x)f 2 (y)dp (X,X 2 )(x, y) d +d 2 ( ) = f (x) f 2 (y)dp X2 (y) dp X (x) d d 2 ( ) ( ) = f dp X f 2 dp X2 d d 2 = E [f (X )] E [f 2 (X 2 )]. - C.S. Il suffit de predre f := l A et f 2 := l B où A et B sot des borélies respectivemet de d et d 2. E explicitat la relatio de l hypothèse o obtiet ce qui prouve que P (X,X 2 ) = P X P X2. E [l A (X )l B (X 2 )] = E [l A (X )] E [l B (X 2 )] P[(X, X 2 ) A B] = P[X A]P[X 2 B], Exercice 4.7. (Corrigé de l exercice : page 69) Soit (X, Y ) u couple idépedat de variables aléatoires réelles de même loi N (m, σ 2 ), motrer que E [(X + Y ) 2 ] = 4m 2 + 2σ 2.

89 Chapitre 4. Idépedace stochastique 75 Comme corollaire de la propositio 4., Propositio 4.3. Soit X := (X, X 2,..., X d ) u vecteur aléatoire de carré itégrable de dimesio d. Si la suite de variables aléatoires réelles (X, X 2,..., X d ) est idépedate, alors la matrice de dispersio de X est diagoale. La réciproque est fausse. Démostratio : La propositio 4. etraîe que, pour tout couple d etiers (i, j) avec i j, Cov(X i, X j ) = 0. O coclut e utilisat l assertio 3) de la propositio 3.24, page 48. Doos u procédé simple de costructio de suites idépedates de vecteurs aléatoires à partir de deux foctios de v.a.r.. Ce procédé peut se gééraliser à u ombre quelcoque de foctios. Propositio 4.4. Idépedace de foctios de v.a.r. Si (X,, X, Y,, Y p ) est ue suite idépedate de v.a.r., alors, pour toutes applicatios boréliees ϕ de das d et ψ de p das d 2, le couple de vecteurs aléatoires (ϕ(x,, X ), ψ(y,, Y p )) est idépedat. Démostratio : Cosidéros les vecteurs aléatoires X := (X,, X ) et Y := (Y,, Y p ). Commeços par motrer que le couple de vecteurs aléatoires (X, Y ) est idépedat. Comme (X,, X, Y,, Y p ) est ue suite idépedate, pour tous borélies de, A,, A, il viet P X [A A ] = P (X,,X )[A A ] = P (X,,X,Y,,Y p)[a A p ] = P X (A ) P X (A ). Ce qui prouve que P X = P (X,,X ) = P X P X, et par suite P (X,Y ) = P (X,,X,Y,,Y p) = P X P X P Y P Yp = P X P Y. Le couple de vecteurs aléatoires (X, Y ) est doc idépedat. Cosidéros maiteat deux applicatios boréliees positives f et f 2 défiies respectivemet sur d et d 2. Comme f ϕ et f 2 ψ sot des foctios boréliees positives, e appliquat la coditio écessaire du critère des foctios positives à ces foctios et à la suite idépedate (X, Y ), il viet E[f (ϕ(x ))f 2 (ψ(y ))] = E[f (ϕ(x ))]E[f 2 (ψ(y ))]. O applique alors la coditio suffisate du critère des foctios positives aux foctios f, f 2 et à la suite (ϕ(x ), ψ(y )) pour coclure qu elle est idépedate. O pourra vérifier que si u couple de vecteurs aléatoires (X, Y ) de dimesios respectives d et k est idépedat avec X := (X,, X d ) et Y := (Y,, Y k ) alors, pour tout (i, j) avec

90 76 Théorie des probabilités, Bruo Saussereau, , versio 0/0/204 i d et j k, le couple de v.a.r. (X i, Y j ) est idépedat. Doos u cas particulier de la propositio précédete, très utilisé e pratique : Propositio 4.5. Idépedace de foctios de v.a.r. (cas usuel) Si (X,, X ) est ue suite idépedate de v.a.r., alors, pour toute suite d applicatios boréliees (f,, f ) de das, la suite de variables aléatoires réelles (f (X ),, f (X )) est idépedate. Termios par u critère d idépedace, simple d applicatio, utilisat les foctios caractéristiques : Propositio 4.6. Critère d idépedace par les f.c. Soit (X,, X ) ue suite de vecteurs aléatoires de dimesios respectives d,, d. Alors, la suite (X,, X ) est idépedate si, et seulemet si, pour tout u d, u d, Φ (X,,X )(u,, u ) = Φ X (u ) Φ X (u ) [ ( )] i.e. E exp i < u k, X k > = E ( e ) i<u,x > E ( e i<u,x>). k= Démostratio : - C.N. Supposos que les vecteurs aléatoires (X,, X ) sot idépedats. Alors, pour tout u d,, u d, Φ (X,,X )(u,, u ) = E ( e i[<u,x >+<u 2,X 2 >+ +<u,x >] ) = E ( k= e i<u k,x k > D après la propriété 4.2, page 74, appliquée aux foctios boréliees borées e i<u,x >, e i<u 2,x 2 >,, e i<u,x>, o a k= Φ (X,,X )(u,, u ) = E ( e ) i<u k,x k > = Φ X (u ) Φ X (u ). k= - C.S. Soit u d,, u d, et u = (u, u 2,, u ) d +d 2 + +d. Soit X = (X, X 2,, X ) u vecteur aléatoire de dimesio d + d d de loi P X, la coditio Φ (X,,X )(u,, u ) = Φ X (u ) Φ X (u ) s écrit, e appliquat le théorème du trasfert et celui de Fubii, e i<u,x> dp (X,,X )(x) = e i<u,x> d[p X P X2 P X ](x). d +d 2 + +d d +d 2 + +d Ce qui prouve que les probabilités P X P X2 P X et P (X,,X ) ot les mêmes foctios caractéristiques, doc sot égales e vertu du critère d idetificatio des lois par les foctios caractéristiques. k= ).

91 Chapitre 4. Idépedace stochastique Idépedace d évéemets, de tribus O se doe comme référece u espace de probabilité (Ω, F, P). Les résultats précédets icitet à élargir la otio d idépedace aux famille d évéemets (A i ) I et aux familles ( F i ) I de sous-tribus de F, où I est u esemble quelcoque. Défiitio 4.5. Ue famille quelcoque (A i ) I d évéemets, est dite (mutuellemet) idépedate pour P si, pour toute sous-famille fiie (A i ) K, K I et K fii, o a : ( ) P A i = P(A i ). i K i K Défiitio 4.6. Ue famille quelcoque ( F i ) I de sous-tribus de F, est dite (mutuellemet) idépedate pour P si toute famille d évéemets (A i ) I avec A i F i, pour tout i I, est idépedate pour P. O dit aussi plus fréquemmet, et par abus de lagage, que les évéemets (A i ) I, sot idépedats (resp. les tribus ( F i ) I, sot idépedates). O remarquera bie que la otio d idépedace déped de la probabilité P choisie sur (Ω, F). De plus si l idépedace mutuelle d ue famille d évéemets etraîe leur idépedace deux à deux, il faut oter que la réciproque est fausse (cf. [4] ex. 3- à 3-3). La preuve de l idépedace de tribus peut s établir e cosidérat des π-systèmes de géérateurs d après la propositio : Propositio 4.7. Soiet C et D deux familles d évéemets stables par itersectio fiie (π-systèmes). Si, pour tout (A, B) C D, les évéemets A et B sot idépedats, alors les sous-tribus egedrées respectivemet par C et D sot idépedates. Démostratio : Il suffit de motrer que, pour tout (A, B) σ( C) σ( D), P(A B) = P(A)P(B). Motros d abord que, pour tout B D et pour tout A σ( C), o a P(A B) = P(A)P(B). Soit B D fixé. Si P(B) = 0, alors pour tout A σ( C), A B B et par suite P(A B) P(B) = 0. Doc, das ce cas, pour tout A σ( C), o a bie P(A B) = 0 = P(A)P(B). P(A B) Si P(B) > 0, Cosidéros l applicatio A σ( C) P B (A) = [0, ]. O vérifie P(B) aisémet que c est ue probabilité sur (Ω, σ( C)). De plus la probabilité P B, coïcide avec la probabilité P sur le π-système C, car e vertu de l hypothèse, pour tout (A, B) C D, les évéemets A et B sot idépedats, o a bie P(A B) = P(A)P(B), c est-à-dire P B (A) = P(A). Doc d après le théorème d uicité pour les probabilités (cf. propositio., page 4) o e déduit que la probabilité P B coïcide avec la probabilité P sur la tribu σ( C) egedrée par le π-système C c est-à-dire que, pour tout A σ( C), P B (A) = P(A), ou ecore

92 78 Théorie des probabilités, Bruo Saussereau, , versio 0/0/204 P(A B) pour tout A σ( C), = P(A), ou P(A B) = P(A)P(B). P(B) E résumé, o a bie motré que, pour tout B D et pour tout A σ( C), o a P(A B) = P(A)P(B). Motros maiteat que, pour tout B σ( D) et pour tout A σ( C), o a P(A B) = P(A)P(B). Utilisos la même démarche. Soit A σ( C) fixé. Si P(A) = 0, alors pour tout B σ( D), A B A et par suite P(A B) P(A) = 0. Doc, das ce cas, pour tout B σ( D), o a bie P(A B) = 0 = P(A)P(B). P(A B) Si P(A) > 0, cosidéros l applicatio B σ( D) P A (B) = [0, ]. O vérifie P(A) de même que c est ue probabilité sur (Ω, σ( D)). De plus la probabilité P A, coïcide avec la probabilité P sur le π-système D, car e vertu de l hypothèse, pour tout (A, B) C D, les évéemets A et B sot idépedats, o a P(A B) = P(A)P(B). Doc d après le théorème d uicité pour les probabilités (cf. propositio., page 4) o e déduit que la probabilité P A coïcide avec la probabilité P sur la tribu σ( D) egedrée par le π-système D c est-à-dire que, P(A B) pour tout B σ( D), P A (B) = P(B), ou ecore pour tout B σ( D), = P(B), ou P(A) P(A B) = P(A)P(B). Fialemet, o a bie motré que, pour tout B σ( D) et pour tout A σ( C), o a P(A B) = P(A)P(B). E utilisat la même démarche, o peut établir u critère d idépedace des vecteurs aléatoires, qui prouve que das le critère 4.6, page 68, o peut se limiter qu à certais borélies de d : Propositio 4.8. Ue suite (X,, X ) de vecteurs aléatoires de dimesios respectives d,, d, est idépedate si, et seulemet si, [ k= ] k= P {X k A k } = P(X k A k ), k= pour tous A k C k, où, pour tous k =, 2,,, C k est u π-système egedrat la tribu boréliee B( d k ). [ k= ] Démostratio : Pour la démostratio remarquer que la relatio P {X k A k } = k= k= P(X k A k ), peut s écrire ecore P (X,,X )(A A ) = P Xk (A k ). O motre k= la propositio pour = 2 e raisoat comme das la propositio 4.7, puis o gééralise par récurrece au cas quelcoque. E particulier, la propositio précédete 4.7 a pour corollaire le théorème : Propositio 4.9. Soit ( F i ) I ue famille idépedate de sous-tribus de F. Si K et J sot deux parties disjoites k= k= k= et o vides de I, alors les tribus egedrées respectivemet par les familles i J F i et i K F i sot idépedates.

93 Chapitre 4. Idépedace stochastique 79 Démostratio : Notos C J la famille des itersectios de familles fiies d évéemets de F i. i J U élémet de C J est de la forme A i où J est ue partie fiie de J et, pour tout i J, i J A i F i. O défiit de même C K la famille des itersectios de familles fiies d évéemets de F i. i K U élémet de C K est de la forme A i où K est ue partie fiie de K et, pour tout i K, i K A i F i. ( ) ( ) O a σ( C J ) = σ F i et σ( C K ) = σ F i. i J i K E effet, e cosidérat les familles à u seul élémet, o a facilemet l iclusio F i C J, ( ) i J d où l iclusio des tribus egedrées correspodates σ F i σ( C J ). éciproque- i J ( ) met, par la stabilité de l itersectio fiie das les tribus, o a C J σ F i, et ( ) i J par suite σ( C J ) σ F i. D où l égalité. O motre de la même faço la relatio σ( C K ) = σ ( i K i J F i ). De plus, o vérifie aisémet que les familles C J et C K sot des π- systèmes. Motros que, pour tout (A, B) C J C K, les évéemets A et B sot idépedats. E effet, soit A C J et B C K. Alors A = A i où J est ue partie fiie de J et, pour i J tout i J, A i F i, et B = A i où K est ue partie fiie de K et, pour tout i K, i K A i F i. Par suite, comme J K = Ø, o a J K = Ø, et A B = A i. Il viet alors, ( ) i J K P(A B) = P A i = P (A i ), car la suite ( F i ) I est ue famille idépedate de i J K i J K sous-tribus de F. Par la commutativité et l associativité du produit, et puis par l idépedace des sous-tribus, o peut alors écrire P (A i ) = P (A i ) P (A i ) = P(A) P(B). i J K i J i K Ce qui prouve que, pour tout (A, B) C J C K, les évéemets A et B sot idépedats. O peut alors appliquer la propositio 4.7 aux π-systèmes C J et C K pour obteir le résultat recherché. Comme corollaire, ous avos u résultat similaire avec les évéemets : Propositio Soit (A i ) I ue famille idépedate d évéemets de F. Si K et J sot deux parties disjoites et o vides de I, alors les tribus egedrées σ ((A i ) i J ) et σ ((A i ) i K ) sot idépedates.

94 80 Théorie des probabilités, Bruo Saussereau, , versio 0/0/204 Démostratio : Il suffit d appliquer la propositio 4.9 à la famille des sous-tribus (σ(a i )) I de F, et de remarquer que σ ((A i ) i J ) (resp. σ ((A i ) i K )) est aussi la tribu egedrée par la famille σ (A i ) (resp. σ (A i )). i J i K O peut vérifier facilemet que : Propositio 4.2. Si la famille d évéemets (A i ) I est idépedate, il e est de même de la famille d évéemets (B i ) I où, pour tout i I, B i := A i ou B i := A c i. Défiitio 4.7. Si X est u vecteur aléatoire de dimesio d, o ote σ(x ) la plus petite sous-tribu de F redat mesurable l applicatio X. σ(x ) s appelle la tribu egedrée par la variable X. O vérifie facilemet que σ(x ) est l esemble des images-réciproques de tous les borélies de d. (cf. aussi exercice 4.20, page 93, pour ue gééralisatio) Exemples 4.9. Si A est u évéemet de F, σ(l A ) = σ(a) = {Ø, A, A c, Ω}. Avec ces otatios, le lie etre la otio d idépedace pour les évéemets, celle pour les vecteurs aléatoires et celle pour les tribus est mis e évidece par les propositios suivates dot les démostratios sot élémetaires et laissées e exercice : Propositio Ue famille quelcoque (X i ) I de vecteurs aléatoires X i de dimesio d i, i I, est idépedate si, et seulemet si, la famille de sous-tribus (σ(x i )) I est idépedate. Propositio La famille d évéemets (A i ) I (σ(a i )) I est idépedate. est idépedate si, et seulemet si, la famille des sous-tribus Propositio La famille d évéemets (A i ) I est idépedate si, et seulemet si, la famille des v.a.r. (l Ai ) I est idépedate. Propositio Si A et B sot deux sous-tribus de F idépedates, X et Y deux vecteurs aléatoires respectivemet A-mesurable et B-mesurable, alors les vecteurs aléatoires X et Y sot idépedats. 4.3 Tribu et évéemets asymptotiques Soit (Ω, F, P) u espace de probabilité et (A ) N ue suite d évéemets de F. Pour tout N, otos A la tribu egedrée par la suite d évéemets (A k ) k i.e. A := σ(a, A +,..., A +k,...).

95 Chapitre 4. Idépedace stochastique 8 Défiitio 4.8. U évéemet A de F est dit évéemet asymptotique (relativemet à la suite d évéemets (A ) N ) si A est mesurable par rapport à toutes les tribus de la suite ( A ) N. Cela équivaut à dire que A est mesurable par rapport à la tribu A appelée tribu asymptotique relative à la suite d évéemets (A ) N. La loi du Tout ou ie de Kolmogorov doe des iformatios sur la valeur de la probabilité d u évéemet asymptotique relativemet à ue suite idépedate d évéemets (A ) N : Propositio Loi du Tout ou ie ou du Zéro-U de Kolmogorov Soit (A ) N ue suite idépedate d évéemets. Si A est u évéemet asymptotique relativemet à la suite d évéemets (A ) N, alors P(A) = 0 ou P(A) =. Démostratio : O ote, pour tout etier aturel, A := σ(a, A +,, A +k, ), et A := σ(a 0, A, A 2,, A ). O ote A la tribu asymptotique A. L idée de la démostratio est de motrer que la tribu asymptotique A est idépedate d ellemême. Motros que, pour tout etier aturel, A + = σ(a +, A +2,, A +k, ), et A := σ(a 0, A, A 2,, A ) sot des tribus idépedates. Pour cela il suffit d appliquer la propositio 4.20, e repreat ses otatios, au cas où I = N avec J = {0,,, } et K = { +, + 2,, + k, }. Motros que, pour tout A A et pour tout B A 0, o a P(A B) = P(A)P(B) (ce qui exprime que la tribu asymptotique A est idépedate de la tribu A 0 := σ(a 0, A, A 2,, A k, ).) emarquos tout d abord que, suivat ue démarche déjà utilisée das la démostratio de la propositio 4.9, A 0 est égalemet egedrée par le π-système C costitué des itersectios de la forme i I B i où I est ue partie fiie de N avec, pour tout i I, B i σ(a i ). Doc A 0 = σ( C). Il reste à motrer que, pour tout A A et pour tout B A 0, o a P(A B) = P(A)P(B). aisoos comme das la démostratio de la propositio 4.8. Soit A A fixé. Si P(A) = 0, alors pour tout B A 0, A B A et par suite P(A B) P(A) = 0. Doc, das ce cas, pour tout B A 0, o a bie P(A B) = 0 = P(A)P(B). Si P(A) > 0, cosidéros l applicatio B A 0 P A (B) = =0 =0 P(A B) P(A) [0, ]. C est ue probabilité sur (Ω, A 0 ). La probabilité P A, coïcide avec la probabilité P sur le π-système C. E effet, soit B C, alors B = i I B i où I est ue partie fiie de N avec, pour tout i I, B i σ(a i ). Posos 0 = max(i ), alors B A 0 = σ(a 0, A, A 2,, A 0 ). mais A A A 0 +. Comme d après le premier poit de la démostratio, les tribus A 0 + et A 0 sot idépedates, o a P(A B) = P(A)P(B), c est-à-dire P A (B) = P(B). Doc d après le théorème d uicité pour les probabilités (cf. propositio., page 4) o e déduit que la probabilité P A coïcide avec la probabilité P sur la tribu A 0 = σ( C) egedrée

96 82 Théorie des probabilités, Bruo Saussereau, , versio 0/0/204 par le π-système C c est-à-dire que, pour tout B A 0 = σ( C), P A (B) = P(B), ou ecore P(A B) pour tout B A 0 = σ( C), = P(B), et par suite P(A B) = P(A)P(B). P(A) Fialemet, o a bie motré que, pour tout B A 0 et pour tout A A, o a P(A B) = P(A)P(B). Soit A u évéemet asymptotique relativemet à la suite idépedate d évéemets (A ) N, i.e. A A. Comme A A 0, o peut appliquer alors le résultat du poit précédet à A A et à B = A A 0, ce qui doe P(A A) = P(A)P(A), ou ecore P(A) = [P(A)] 2, ce qui implique que P(A) e peut predre que la valeur 0 ou la valeur. Doos deux exemples importats d évéemets asymptotiques : Si (A ) N est ue suite d évéemets, o otera lim sup A l esemble des ω Ω tels que { N / ω A } est ifii. E coséquece, l évéemet lim sup A est réalisé si, et seulemet si, ue ifiité d évéemets de la suite (A ) N sot réalisés. Si (A ) N est ue suite d évéemets, o otera lim if A l esemble des ω Ω tels que { N / ω A } est fii. E coséquece, l évéemet lim if A est réalisé si, et seulemet si, tous les évéemets de la suite (A ) N, sauf évetuellemet u ombre fii d etre eux, sot réalisés. La propositio suivate affirme que les évéemets lim sup(a ) et lim if(a ) sot bie des évéemets asymptotiques : Propositio Si (A ) N est ue suite d évéemets, alors. lim if A lim sup ( A. ) 2. lim sup A = A k. 3. lim if A = p=0 k=p ( ) A k. p=0 k=p 4. lim sup A et lim if A sot des évéemets asymptotiques relativemet à la suite d évéemets (A ) N. k=p Démostratio : Les propriétés ), 2) et 3) résultet directemet des défiitios de lim sup A et lim if A. Motros la propriété 4) pour l évéemet lim sup A. Le raisoemet est aalogue pour lim if A. Posos, pour tout etier aturel p, B p = A k. La suite (B ) N est ue suite décroissate pour l iclusio. Par suite, pour tout etier aturel p, B k = k=0 B k. La suite des tribus ( A := σ(a, A +,..., A +k,...)) N est ue suite décroissate, doc pour tout etier aturel p et pour tout etier aturel k p, B k A k A p, ce qui implique que, pour tout etier aturel p, B k A p. Par suite, pour tout etier aturel p, lim sup A = B k = B k A p. Ce k=p k=p k=0 k=p

97 Chapitre 4. Idépedace stochastique 83 qui prouve que lim sup A p=0 A p. E combiat l item 4) de la propositio 4.27 précédete et la loi du Tout ou ie, o obtiet aisémet le corollaire suivat : Propositio Si (A ) N est ue suite idépedate d évéemets, alors. P(lim sup A ) = 0 ou P(lim sup A ) =. 2. P(lim if A ) = 0 ou P(lim if A ) =. Le lemme suivat doe des coditios suffisates permettat de préciser laquelle des deux valeurs possibles est la boe : Propositio Lemme de Borel-Catelli. Soit (A ) N ue suite d évéemets (o écessairemet idépedate). Si la série P(A ) de terme gééral positif P(A ) coverge das, alors P(lim sup A ) = 0, c est-à-dire presque-sûremet seul u ombre fii des évéemets A est réalisé. 2. Soit (A ) N ue suite d évéemets idépedate. Si la série P(A ) de terme gééral positif P(A ) diverge das, alors P(lim sup A ) =, c est-à-dire presque-sûremet u ombre ifii des évéemets A est réalisé. Démostratio :. Posos, pour tout etier aturel m, B m = k=+ k=m A k. La suite esembliste (B m ) N est ue suite décroissate (au ses de l iclusio). D après le théorème de cotiuité mootoe des probabilités (cf. propositio.9, page 2), P(lim sup A ) = lim P(B m). m + Or P(B m ) = P + k=m lim ( k=+ k=m A k ) k=+ k=m P(A k ), e vertu de l iégalité de Boferroi. Mais P(A k ) est le reste de rag m de la série P(A ) covergete par hypothèse, doc + m + k=m fallait démotrer. P(A k ) = 0, et par suite lim P(B m) = 0. Doc P(lim sup A ) = 0, ce qu il m + 2. Posos, pour simplifier les écritures, A = lim sup A. Comme A = il viet e passat au complémetaire, A c = etier aturel p, B c p = k=+ k=p est croissate. O peut aussi écrire B c p = p=+ p=0 ( k=+ k=p A c k ) p=+ p=0 A c k. Notos que la suite esembliste (B c p ) N m=+ m=p ( k=m k=p A c k ) ( k=+ k=p A k ). Posos, pour tout,. Doc, pour tout etier aturel

98 84 Théorie des probabilités, Bruo Saussereau, , versio 0/0/204 [ m=+ ( k=m )] ( k=m ) p, P(Bp c ) = P. Comme la suite esembliste m=p k=p A c k décroissate, par le théorème de cotiuité mootoe des probabilités, il viet P(Bp c ) = ( k=m ) lim P A c k. Comme la suite des évéemets (A ) N est idépedate, il e est de m + k=p même de la suite des évéemets (A c ) N (cf. ( propositio 4.2, page 80). Par suite, pour k=m ) k=m tout etier aturel p, P(Bp c ) = lim P A c k = lim P (A c k). Doc fiale- m + m + met P(B c p ) = k=m lim m + k=p k=p k=p k=p A c k m N ( P(A k )). La série l( P(A )) a so terme gééral égatif qui vérifie, pour tout etier aturel, l( P(A )) P(A ). Comme, par hypothèse, la série P(A ) de terme gééral positif P(A ) diverge das, la série l( P(A )) de terme gééral égatif l( P(A )) diverge vers, et doc, pour tout etier aturel, k=m lim m + k=p ( p=+ P(B c p ) = 0, et par suite P(A c ) = P est ( P(A k )) = 0. D où, pour tout etier aturel p, p=0 B c p ) = lim p + P(B c p ) = 0, par le théorème de cotiuité mootoe appliqué à la suite croissate (B c p ) N. Fialemet P(A) =. O otera que si l hypothèse d idépedace est pas utile das l item ) du lemme de Borel- Catelli, elle est par cotre écessaire das l item 2) car, sas cette hypothèse, o peut costruire des cotre-exemples où P(lim sup A ) = 0 avec la série de terme gééral P(A ) divergete. E effet, cosidéros l exemple suivat : Exemples 4.0. Soit l espace de probabilité (, B(), λ) où λ désige la mesure de Lebesgue sur. Posos, pour tout etier aturel, A =]0, ]. Alors o vérifie aisémet que lim sup A + = Ø, d où P(lim sup A ) = 0, mais, pour tout etier aturel, P(A ) =, ce qui etraîe que la + série P(A ) à terme gééral positif diverge. Ici la suite d évéemets (A ) N est pas idépedate car par exemple P(A A 2 ) = P(A 2 ) = 3 alors que P(A ) P(A 2 ) = 2 3 = 6 P(A A 2 ). 4.4 Somme de v.a.r. idépedates Démotros d abord u importat corollaire de l exercice 3.4, page 49 :

99 Chapitre 4. Idépedace stochastique 85 Propositio Si (X, X 2,, X ) est ue suite idépedate de variables aléatoires réelles de carré itégrable, alors ( ) 2 ( ) E X k < + et Var X k = Var(X k ). k= k= k= La réciproque est fausse. Démostratio : Motros l itégrabilité. O effectue les majoratios ( ) 2 ( 2 X k X k ) = k= k= X k X k X l. k= k<l Mais X k X l 2 ( X k 2 + X l 2 ), d où X k X k X l K k= k<l X k 2 k= où K est ue costate. Par suite, grâce aux hypothèses d itégrabilité sur les variables aléatoires réelles ( ) 2 ( ) E X k KE X k 2 = K E ( X k 2) < +. k= O vérifie aisémet que k= k= ( ) Var X k = k= Var(X k ) + 2 Cov(X i, X j ) k= i<j et o coclut e remarquat que, par idépedace des v.a.r., Cov(X i, X j ) = 0 pour tout couple d etiers (i, j) tel que i j. Exercice 4.8. (Corrigé de l exercice : page 69) Trouver, parmi les exercices ou exemples déjà proposés, u cotre-exemple prouvat que la réciproque de l implicatio précédete est fausse. O peut gééraliser la propositio 4.30 aux vecteurs aléatoires e motrat que, si (X, Y ) est u couple idépedat de vecteurs aléatoires de dimesio d et de carré itégrable, alors D X +Y = D X + D Y, où D X désige la matrice de dispersio de X. Nous allos maiteat doer quelques résultats sur la somme de v.a.r. idépedates suivat des lois classiques. Auparavat éoços u corollaire du critère des foctios caractéristiques qui sera commode das la recherche des lois de sommes de variables aléatoires réelles idépedates.

100 86 Théorie des probabilités, Bruo Saussereau, , versio 0/0/204 Propositio 4.3. Si (X, X 2,, X ) est ue suite idépedate de v.a.r., alors, pour tout u, La réciproque est fausse. Φ X + +X (u) = Φ X (u) Φ X (u) [ ( )] i.e. E exp iu X k = E ( e ) iux E ( e iux). k= Démostratio : Il suffit de predre u := u = u 2 = = u das la coditio écessaire du critère des foctios caractéristiques. Exercice 4.9. (Corrigé de l exercice : page 69) Pour prouver que la réciproque est fausse, costruire u cotre-exemple e cosidérat les deux variables aléatoires réelles X et Y := X où X est ue variable aléatoire réelle de Cauchy de paramètre i.e. de desité ρ défiie sur par ρ(x) := dot la π( + x 2 ) foctio caractéristique Φ est défiie sur par Φ(t) := e t. Pour motrer que (X, Y ) est o idépedat, o cosidérera le borélie A = [, ] et o calculera P (X,Y ) (A A c ) qu o comparera au produit P X (A)P Y (A c ). A titre d applicatio de la propositio précédete, voici u résultat qui sera fodametal das le chapitre sur les vecteurs gaussies. Propositio Stabilité des lois ormales Si (X, X 2,, X p ) est ue suite idépedate de v.a.r. ormales de lois respectives N (m, σ 2 ),, N (m p, σ 2 p), alors la v.a.r. S p := X + + X p est ue v.a.r. ormale d espérace m + + m p et de variace σ σ 2 p. Démostratio : O applique le résultat précédet 4.3 e otat que la foctio caractéristique d ue variable aléatoire réelle X de loi N (m, σ 2 ) est Φ X (t) = exp(imt 2 t2 σ 2 ). O applique esuite le théorème d ijectivité 3.26 e remarquat que la foctio caractéristique de la variable aléatoire réelle S p est celle de la loi N (m + + m p, σ σ 2 p). Citos, à titre d exemple, u autre résultat fodametal dot la démostratio est laissée e exercice : Propositio Si (X, X 2,, X ) est ue suite idépedate de variables aléatoires réelles de Beroulli de même paramètre p ]0, [, alors la variable aléatoire réelle S := X + + X suit la loi biomiale B(, p). Exercice 4.0. (Corrigé de l exercice : page 69) Démotrer la propositio précédete. Exercice 4.. (Corrigé de l exercice : page 69) Soit (X,, X ) ue suite idépedate de variables aléatoires réelles de même desité

101 Chapitre 4. Idépedace stochastique 87 ρ défiie sur par ρ(x) := αe αx l [0,+ [ (x) où α > 0. Pour tout ω Ω, o rage les ombres réels X (ω),, X (ω) das l ordre décroissat et o ote X (k) (ω) le k ième de ces ombres aisi ragés où k =,,.. Vérifier que X () = max(x,, X ) et calculer sa foctio de répartitio. 2. Que représete la variable aléatoire réelle X ()? Calculer sa foctio de répartitio. 3. Soit t > 0. Pour tout k =,,, o pose Y k := l ]t,+ [ (X k ). (a) Prouver que la loi de la variable aléatoire réelle Y k est P Yk = e αt δ +( e αt )δ 0. Quelle est la loi de la variable aléatoire réelle Y + Y Y? (b) Comparer les évéemets {X (k) t} et {Y + Y Y k }. 4. Détermier, pour tout k =,,, la foctio de répartitio de la variable aléatoire réelle X (k). Das certais cas o peut directemet calculer la loi de la variable aléatoire réelle "somme". E voici deux exemples éocés sous forme de propositios 4.34 et 4.36, la démostratio de la secode propositio 4.36 est laissée e exercice. Propositio Stabilité des lois biomiales Si (X, Y ) est u couple idépedat de variables aléatoires réelles de lois biomiales respectives B(, p) et B(m, p) de même paramètre p ]0, [, alors la variable aléatoire réelle X + Y suit la loi biomiale B( + m, p). Démostratio : Das ce qui suit o adoptera la covetio d écriture : C j := 0 pour tout etier j > ou j < 0. X et Y sot des lois discrètes portées respectivemet par {0,,, } et {0,,, m}. La loi de la variable aléatoire réelle X + Y sera aussi discrète et portée par {0,,, + m}. D après la propositio 2.0, page 27, il suffit de calculer, pour tout etier 0 k + m, le ombre P(X + Y = k). Par l égalité esembliste facile à vérifier {X + Y = k} = j=k j=0 ({X = j} {Y = k j}) et comme l uio est deux à deux disjoite il viet, e appliquat le critère d idépedace des variables aléatoires réelles discrètes au couple (X, Y ), P(X + Y = k) = j=k j=k P(X = j)p(y = k j) = CC j m k j p k ( p) +m k j=0 = C k +mp k ( p) +m k. La derière égalité du calcul précédet résulte de la formule de Vadermode rappelée ci-dessous (propositio 4.35). La loi de la variable aléatoire réelle X + Y s écrit alors j=0 +m P X +Y = C+mp k k ( p) +m k δ k. k=0 O recoaît la loi biomiale B( + m, p).

102 88 Théorie des probabilités, Bruo Saussereau, , versio 0/0/204 Propositio Formule de Vadermode Soiet et m deux etiers aturels o uls. Pour tout etier aturel k vérifiat 0 k +m, o a j=k j=0 C j C k j m = C k +m, avec la covetio habituelle sur les C i (cf. formulaire de l aexe A, page 205) Démostratio : Il suffit de développer de deux maières différetes l égalité ( + X ) +m = ( + X ) ( + X ) m et d égaler le coefficiet de X k des deux expressios, où 0 k + m. Propositio Stabilité des lois de Poisso Si (X, Y ) est u couple idépedat de variables aléatoires réelles de lois de Poisso respectives P(α) et P(β), où les réels α et β sot strictemet positifs, alors la variable aléatoire réelle X + Y suit la loi de Poisso P(α + β). Exercice 4.2. (Corrigé de l exercice : page 70) Doer deux démostratios de la propositio précédete, l ue directe e s ispirat de la démostratio pour le cas des variables biomiales et l autre e utilisat les foctios caractéristiques. Voici quelques résultats plus gééraux sur les sommes de variables aléatoires réelles idépedates. Plus que de reteir des formules, Il faut surtout être capable de refaire directemet les calculs das chaque cas particulier. Das la propositio suivate la otatio désige le produit de covolutio foctios f et g positives boréliees de das défii comme l applicatio de deux f g : x f g(x) := f (x u)g(u)dλ(u) [0, + ]. Propositio Soit (X, Y ) u couple idépedat de variables aléatoires réelles admettat pour desités respectives ρ X et ρ Y, alors la variable aléatoire réelle X + Y, admet pour desité l applicatio ρ X +Y := ρ X ρ Y. Démostratio : Soit h ue applicatio positive boréliee défiie sur. Par les théorèmes de

103 Chapitre 4. Idépedace stochastique 89 trasfert, de Toelli et l idépedace de (X, Y ), il viet E[h(X + Y )] = = = = = h(x + y)dp (X,Y ) (x, y) = 2 ( ) h(x + y)dp X P Y (x, y) 2 h(x + y)dp X (x) dp Y (y) ( ) h(x + y)ρ X (x)dλ(x) ρ Y (y)dλ(y) h(x + y)ρ X (x)ρ Y (y)dλ λ(x, y) 2 h(x + y)ρ X (x)ρ Y (y)dλ (2) (x, y) 2 Effectuos le chagemet de variables, (u, v) := (x + y, x). Le jacobie de l applicatio iverse e (u, v) est J(u, v) = d où, par applicatio du théorème de chagemet de variable à la derière itégrale précédete, E[h(X + Y )] = = = h(u)ρ X (v)ρ Y (u v)dλ (2) (u, v) 2 ( ) h(u) ρ X (v)ρ Y (u v)dλ(v) dλ(u) h(u)(ρ X ρ Y )(u)dλ (d) (u), d ce qui prouve que ρ X ρ Y est bie la desité de X + Y. Exemples 4.. Soit (X, Y ) u couple idépedat de v.a.r.. O suppose que la variable aléatoire réelle X suit la loi uiforme U([0, ]) défiie par la desité ρ X := l [0,] et Y suit la loi expoetielle de paramètre de desité ρ Y défiie sur par ρ Y (t) := l [0,+ [ (t)e t. La desité de la variable aléatoire réelle X +Y est défiie sur par ρ X +Y (t) := + l [0,] (t x)l [0,+ [ (x)e x dx. Ce qui après le calcul de l itégrale doe ρ X +Y (t) = ( e t) l [0,] (t) + e t (e )l ],+ [ (t). Propositio Soit (X, Y ) u couple idépedat de v.a.r.. O suppose que X admet ue desité ρ X et que Y est ue variable discrète portée par N de loi Z := X + Y admet pour desité l applicatio + k=0 p k δ k. Alors la variable aléatoire réelle ρ X +Y : x ρ X +Y (x) := + k=0 p k ρ X (x k) [0, + ].

104 90 Théorie des probabilités, Bruo Saussereau, , versio 0/0/204 Démostratio : Soit h ue applicatio de das boréliee positive. E utilisat le théorème du trasfert puis l idépedace de (X, Y ) avec le théorème de Toelli, il viet E[h(X + Y )] = h(x + y)dp (X,Y ) (x, y) = 2 ( ) h(x + y)d(p X P Y )(x, y) 2 = h(x + y)dp X (x) dp Y (y) ( ) ( + ) = h(x + y)ρ X (x)dλ(x) d p k δ k (y) k=0 + = p k h(x + k)ρ X (x)dλ(x). Appliquos alors à k=0 h(x + k)ρ X (x)dλ(x) le chagemet de variable défii sur, pour k N fixé, par u := x + k. Il viet h(x + k)ρ X (x)dλ(x) = Par suite, reveat aux égalités précédetes, E[h(X + Y )] = = + k=0 p k h(x + k)ρ X (x)dλ(x) = ( + ) p k ρ X (u k) h(u)dλ(u) k=0 h(u)ρ X (u k)dλ(u). + k=0 p k h(u)ρ X (u k)dλ(u) La derière égalité se justifie par la propriété de Beppo-Lévi vue au chapitre III. D où le résultat. Exemples 4.2. Soit (X, Y ) u couple idépedat de v.a.r.. O suppose que la v.a.r. X suit la loi de Gauss-Laplace N (0, ), et Y suit la loi de Poisso de paramètre α > 0. Alors la desité de la v.a.r. X + Y est défiie sur par ρ X +Y (t) := + k=0 e α α ( k k! 2π exp 2 ) (t k)2 = e α + 2π k=0 α ( k k! exp 2 ) (t k) Exercices de révisio sur les chapitres I à IV Exercice 4.3. (Corrigé de l exercice : page 7) Soiet A et B deux v.a.r. idépedates de loi uiforme U([0, ]). Quelle est la probabilité que le polyôme x 2 2Ax + B ait :. deux racies réelles distictes, 2. deux racies complexes et o réelles,

105 Chapitre 4. Idépedace stochastique 9 3. ue racie double. 4. Traiter les questios précédetes e utilisat la loi de la v.a.r. := A 2 B. Exercice 4.4. (Corrigé de l exercice : page 72) O cosidère ue variable aléatoire (X, Y ) à valeurs das 2 dot la loi P (X,Y ) admet la desité f (x, y) := α( x 2 )l [0,] (x)ye 3y l ]0,+ [ (y), où α est u réel, par rapport à la mesure de Lebesgue λ (2) sur 2.. Détermier la valeur du réel α. 2. Détermier les lois margiales du couple (X, Y ). 3. Calculer P(0 < X 2, Y ). 4. Calculer la matrice de dispersio D de (X, Y ). Exercice 4.5. (Corrigé de l exercice : page 74) Soiet et m deux etiers aturels o uls, X et Y deux variables aléatoires réelles idépedates. O suppose que la variable aléatoire réelle X est biomiale de paramètres et 2, et que la variable aléatoire réelle Y est biomiale de paramètres m et 2. Calculer la probabilité que X = Y. Exercice 4.6. (Corrigé de l exercice : page 74) Soit (X k ) k N ue suite idépedate de v.a.r. de Beroulli toutes de même paramètre 0 < p <. Soit u etier r, o défiit deux ouvelles v.a.r., e posat pour tout ω Ω, τ r (ω) := if{ N /X (ω) + X 2 (ω) X (ω) = r} et θ r (ω) := if{ N /X (ω) + X 2 (ω) X +r (ω) = r} avec la covetio if Ø := +.. Motrer, pour tout x ]0, [, la relatio + k=r C r k x k r+ = ( x) r. 2. Motrer que la variable aléatoire réelle τ r est ue variable aléatoire réelle discrète de loi (dite loi de Pascal de paramètres r et p ) P(r, p) := + k=r C r k pr ( p) k r δ k. Vérifier que P(τ r = + ) = Motrer que la variable aléatoire réelle θ r est ue variable aléatoire réelle discrète de loi (dite loi biomiale-égative de paramètres r et p ) I(r, p) := Vérifier que P(θ r = + ) = 0. + k=0 C r k+r pr ( p) k δ k.

106 92 Théorie des probabilités, Bruo Saussereau, , versio 0/0/ Doer ue iterprétatio des variables aléatoires réelles τ r et θ r e terme de jeu de Pile-ou-Face. 5. Motrer qu u des deux modèles précédets permet de formaliser le problème dit des boîtes d allumettes de Stepha Baach : U fumeur a das chacue de ses deux poches ue boîte coteat au départ N allumettes. Chaque fois qu il désire fumer ue cigarette, il choisit ue poche au hasard. Quelle est la probabilité que, le fumeur se redat compte pour la première fois qu ue boîte est vide, l autre boîte cotiee k allumettes où k est u etier aturel iférieur ou égal à N? Exercice 4.7. (Corrigé de l exercice : page 76) O cosidère ue v.a.r. réelle positive X de foctio de répartitio F X.. Pour tout etier aturel o ul, e cosidérat sur l espace mesuré (Ω +, F B( + ), P λ), où λ est la mesure de Lebesgue, la foctio à valeurs réelles défiie par H(ω, t) := t l ]t,+ [ (X (ω)), motrer que E[X ] = + 0 t P(X > t)dt = + 0 t ( F X (t))dt. 2. Motrer par u exemple que l hypothèse X positive est écessaire. 3. E utilisat le résultat de la première questio, calculer l espérace et la variace des variables aléatoires suivates : (a) X de foctio de répartitio F X (t) := tl [0,] (t) + l ],+ [ (t). (b) Y de foctio de répartitio F Y (t) := ( e αt )l [0,+ [ (t) où α > 0. (c) Z de foctio de répartitio F Z (t) := + =0 α α e! l [,+ ](t) Exercice 4.8. (Corrigé de l exercice : page 77) O cosidère (X ) N ue suite idépedate de v.a.r. de même loi de Beroulli B(p) défiies sur u même espace de Probabilité (Ω, F, P). Pour ω Ω o défiit T (ω) := if{ N / X (ω) = } avec la covetio if Ø = +. Motrer que T est ue v.a. à valeurs das N, détermier sa loi et calculer so espérace. Exercice 4.9. (Corrigé de l exercice : page 78) Le but de cet exercice est de motrer qu il existe pas de probabilité P sur l espace (N, P(N ) telle que, pour tout, P(N ) = où N = {k, k N }. Supposos qu ue telle probabilité existe. Soit (p k ) N la suite des ombres etiers premiers ragés e ordre croissat.. Par u raisoemet simple motrer que P(lim sup(p k N )) = 0. k 2. Motrer que la suite (p k N ) N est idépedate. E déduire, e utilisat le fait que la série = +, ue autre valeur de P(lim sup(p k N )). Coclure que la probabilité p k k k P existe pas.

107 Chapitre 4. Idépedace stochastique 93 Exercice (Corrigé de l exercice : page 78) Soit (X i ) I ue famille quelcoque de v.a.r. sur u même espace de probabilité (Ω, F, P). O ote σ(x i, i I ) la plus petite (au ses de l iclusio) des sous-tribus A de F telles que, pour tout i I, X i est A-mesurable (Cette défiitio est ue gééralisatio, au cas de plusieurs v.a.r., de la défiitio 4.7, page 80). Justifier l existece de σ(x i, i I ). 2. Soit C la famille des itersectios fiies d évéemets de la forme {X i B} où i I et B B(). Motrer que σ(x i, i I ) est la tribu sur Ω egedrée par C. 3. O suppose que la famille de v.a.r. (X i ) I est idépedate. Motrer que, si J et K sot deux parties disjoites et o vides de I, alors les tribus σ(x i, i J) et σ(x i, i K) sot idépedates. Exercice 4.2. (Corrigé de l exercice : page 79) Détermier la loi d ue somme de variables aléatoires idépedates das les cas suivats :. Y := X + X 2 où X suit ue loi gamma γ(a, α) et X 2 ue loi gamma γ(b, α). 2. Z := X X où, pour tout k =,...,, X k suit la loi expoetielle E(α). Exercice (Corrigé de l exercice : page 79) O cosidère (X j ) j ue suite idépedate de v.a.r. de même loi sur u même espace de probabilité (Ω, F, P), et doc de même foctio caractéristique Φ. Soit Y ue v.a.r. discrète à valeurs das N et idépedate de la suite (X j ) j. E utilisat la foctio défiie sur ], [ par ψ(t) := t P(Y = ), détermier la foctio caractéristique Φ Z de la v.a.r. Z défiie, pour presque tout ω Ω, par Z(ω) := j=y (ω) j= X j (ω). Exercice (Corrigé de l exercice : page 80) Soiet X et Y deux v.a.r. à valeurs das N, idépedates et de même loi sur u espace de probabilité (Ω, F, P). O défiit les v.a.r. D := X Y et M := mi(x, Y ).. O suppose que X et Y suivet la loi géométrique de paramètre p ]0, [ i.e. P X = P Y := pq k δ k où q := p. k= (a) Motrer que, pour tout (i, j) Z N, { {X = i + j} {Y = j} si i 0, {D = i} {M = j} = {X = j} {Y = j i} si i < 0, et e déduire que P(D = i) = p2 q 2 q i et P(M = j) = p q 2 q2j (q + ). (b) Démotrer que les v.a.r. D et M sot idépedates.

108 94 Théorie des probabilités, Bruo Saussereau, , versio 0/0/ éciproquemet, o suppose que les v.a.r. D et M sot idépedates, motrer que, pour tout etier, P [(X = + ) (Y = )] P [(X = ) (Y = )] = P(X = + ) P(X = ) = P(D = ) P(D = 0). E déduire que les v.a.r. X et Y suivet ue loi géométrique dot o détermiera le paramètre. Exercice (Corrigé de l exercice : page 8) Soit X et Y deux variables aléatoires uiformes sur l itervalle [0, α] où α est u réel strictemet positif. O suppose que les variables X et Y sot idépedates. O pose Z = sup(x, Y ) if(x, Y ) et T = if(x, Y ). Détermier les lois des variables Z et T. sup(x, Y )

109 Chapitre 5. Vecteurs aléatoires gaussies 95 Chapitre 5 Vecteurs aléatoires gaussies appelos que, si m et σ sot des réels avec σ > 0, N (m, σ 2 ) désige la mesure de probabilité sur admettat la desité ρ défiie sur par ρ(x) := ) ( σ 2π exp (x m)2. 2σ 2 Afi de simplifier les éocés des théorèmes sur les vecteurs gaussies, o est ameé à cosidérer la probabilité de Dirac au poit m comme u cas, dit dégééré, de loi gaussiee et par suite o pose N (m, 0) := δ m. Das la suite, M désigera la matrice-trasposée, det(m) le détermiat de la matrice M,, et le produit-scalaire et la orme usuels de d où d N. Sauf précisio cotraire, les vecteurs de d serot repérés par leurs composates das la base caoique de d. La base caoique de d est le système de vecteurs (e, e 2,..., e d ) où, pour tout i =,, d, e i est le d-uplet dot tous les termes preet la valeur 0 sauf le terme de rag i qui pred la valeur. 5. Vecteur gaussie Défiitio 5.. Ue variable aléatoire réelle de loi N (m, σ 2 ), où m est u réel et σ u réel positif ou ul, est dite gaussiee. E clair, ue variable aléatoire réelle gaussiee (de loi N (m, σ 2 )) est soit ue variable aléatoire réelle ormale d espérace m et de variace σ 2 > 0, soit ue variable aléatoire réelle de Dirac au poit m (costate détermiiste égale à m, c est le cas où σ 2 = 0). Défiitio 5.2. Soiet X u vecteur aléatoire de dimesio d et (X, X 2,..., X d ) ses composates das la base caoique de d. O dit que X est u vecteur (aléatoire) gaussie de dimesio d si, pour tous réels a, a 2,..., a d, la variable aléatoire réelle a X + a 2 X a d X d est ue variable aléatoire réelle gaussiee.

110 96 Théorie des probabilités, Bruo Saussereau, , versio 0/0/204 Exemples 5.. Ue variable aléatoire réelle gaussiee est u vecteur gaussie de dimesio. Compte teu que, das u chagemet de base das d, les composates das ue ouvelle base sot des combiaisos liéaires des composates das l aciee base, la propriété d être gaussie pour u vecteur e déped pas de la base choisie pour exprimer les composates du vecteurs. La propositio suivate est u corollaire immédiat, dot la démostratio est laissée e exercice, de la défiitio. Propositio 5.. Soit (X, X 2,..., X d ) ue suite de v.a.r.. Si le vecteur aléatoire X := (X, X 2,..., X d ) est u vecteur gaussie de dimesio d alors, pour tout k =, 2,..., d, X k est ue variable aléatoire réelle gaussiee. La réciproque est fausse. Exemples 5.2. epreos les hypothèses et otatios de l exercice 4.6, page 74. O vérifie facilemet que P(X +Y = 0) =, et doc que la variable aléatoire réelle X +Y est pas ue v.a.r. gaussiee, sio comme X + Y est pas ue variable détermiiste (i.e. de loi ue probabilité de 2 Dirac), cela veut dire que X + Y serait ue v.a.r. ormale et o aurait P(X + Y = 0) = 0. Le vecteur aléatoire (X, Y ) est doc pas gaussie (sio X + Y serait ue v.a.r. gaussiee) alors que ses composates sot des v.a.r. gaussiees, ce qui doe u cotre-exemple à la réciproque de la propositio 5. précédete. E revache si o rajoute ue hypothèse d idépedace sur la suite des composates du vecteur X, o obtiet u procédé simple de costructio de vecteurs gaussies de dimesios d 2 grâce à la propositio : Propositio 5.2. Soit (X, X 2,..., X d ) ue suite idépedate de v.a.r.. Le vecteur aléatoire X := (X, X 2,..., X d ) est u vecteur gaussie de dimesio d si, et seulemet si, pour tout k =, 2,..., d, X k est ue variable aléatoire réelle gaussiee. Démostratio : La coditio écessaire résulte de la défiitio des vecteurs gaussies et utilise pas l hypothèse d idépedace. C est u cas particulier de la propositio précédete. La coditio suffisate résulte de ce que, si (X, X 2,..., X d ) est ue suite idépedate de v.a.r., alors pour tous réels a, a 2,..., a d, la suite (a X, a 2 X 2,..., a d X d ) est idépedate. De plus si la variable aléatoire réelle X k a pour loi N (m k, σk 2), la variable aléatoire réelle a kx k a pour loi N (a k m k, ak 2σ2 k ). D après la propositio 4.32, page 86, la variable aléatoire réelle a X + a 2 X a d X d est alors ue variable aléatoire réelle gaussiee comme somme de variables aléatoires réelles gaussiees idépedates. La propositio 5. a aussi pour coséquece que si X = (X, X 2,..., X d ) est u vecteur gaussie de dimesio d, alors, pour tout k =, 2,..., d, X k est ue variable aléatoire réelle de carré itégrable car de loi gaussiee. Par suite o peut défiir l espérace m := E(X ) et la matrice de dispersio D X := E ([X E(X )][X E(X )] ) du vecteur gaussie X. L espérace m est

111 Chapitre 5. Vecteurs aléatoires gaussies 97 u vecteur de d et D X est ue matrice carrée d ordre d à coefficiets réels, symétrique et de type positif d après la propositio 3.24, page 48, sur les propriétés des matrices de dispersio. Exercice 5.. (Corrigé de l exercice : page 83) Soit (U k ) N ue suite idépedate de variable aléatoire réelle de même loi ormale cetrée et de variace σ 2 > 0. Pour tout θ, o défiit la suite (X k ) N où X k = θu k + U k, pour tout etier k 2, et X = U. Motrer que, pour tout N, X := (X, X 2,, X ) est u vecteur gaussie. L espérace et la matrice de dispersio détermiet complètemet la foctio caractéristique d u vecteur gaussie comme le motre le résultat suivat : Propositio 5.3. Soit X u vecteur aléatoire de dimesio d admettat ue espérace m := (m,, m d ) d et ue matrice de dispersio D. Alors X est u vecteur gaussie si, et seulemet si, sa foctio caractéristique Φ X est doée, pour tout u d, par Φ X (u) = exp (i u, m 2 ) ( u, Du ou Φ X (u) = exp iu m ) 2 u Du. Démostratio : Motros la coditio écessaire. Posos X := (X,, X d ), u := (u,, u d ) et Y := u X + + u d X d. Comme X est u vecteur gaussie, la variable aléatoire réelle Y est de loi gaussiee i.e. P Y = N (m Y, σy 2 ). De plus et m Y := E(Y ) = u E(X ) + + u d E(X d ) = u m + + u d m d = u, m = u m, σy 2 = E[(Y m Y ) 2 ] = E [(u (X m ) + + u d (X d m d )) 2] = u i u j E [(X i m i )(X j m j )] i,j d = i,j d Comme pour tout u d, u i u j Cov(X i, X j ) = u, Du = u Du. Φ X (u) = E ( e i(u X + +u d X d ) ) = E ( e iy ) = Φ Y () et que Φ Y () = exp ( ) im Y 2 σ2 Y, o obtiet ΦX (u) = exp ( i u, m u, Du ). 2 Motros la coditio suffisate. Soit X := (X,, X d ) u vecteur aléatoire quelcoque de foctio caractéristique défiie sur d par Φ X (u) = exp (i u, m 2 ) u, Du. Soit Y := a X + + a d X d ue combiaiso liéaire des composates de X. E cosidérat la foctio caractéristique de Y, il viet, pour tout réel t, Φ Y (t) = E ( e iy t) = E ( e ) i(ta X + +ta d X d ) = Φ X (a t,, a d t) ( = exp it a, m ) 2 t2 a, Da

112 98 Théorie des probabilités, Bruo Saussereau, , versio 0/0/204 où o a posé a := (a,, a d ). Ce qui prouve que, pour tout -uplet de réels (a,, a d ), la variable aléatoire réelle a X + + a d X d est ue variable aléatoire réelle gaussiee de loi N ( a, m, a, Da ). X est bie u vecteur gaussie. 5.2 Loi d u vecteur gaussie La derière propositio 5. a pour coséquece que la loi d u vecteur gaussie X de dimesio d est etièremet détermiée par la coaissace des deux paramètres que sot l espérace m et la matrice de dispersio D du vecteur gaussie X. L existece de vecteurs gaussies d espérace m et de matrice de dispersio D doées a priori est affirmée par le résultat suivat que ous admettros (pour la démostratio cosulter [3] exercice VII-) : Propositio 5.4. Si m d et D est ue matrice carrée d ordre d à coefficiets réels, symétrique et de type positif, il existe u espace de probabilité (Ω, F, P) et u vecteur gaussie de dimesio d sur (Ω, F, P) d espérace m et de matrice de dispersio D. Les résultats précédets autoriset la défiitio suivate : Défiitio 5.3. O appelle loi de Gauss-Laplace ou loi ormale sur d de paramètres m et D la loi de probabilité d u vecteur gaussie de dimesio d d espérace m et de matrice de dispersio D. Das ce cas o ote N d (m, D) cette probabilité. La propositio ci-dessous sera souvet utilisée pour prouver que certais vecteurs sot gaussies : Propositio 5.5. Si X est u vecteur gaussie de dimesio d, A ue matrice rectagulaire k d à coefficiets réels et b u vecteur de dimesio k, alors le vecteur aléatoire Y := AX + b est u vecteur gaussie de dimesio k. De plus si N d (m, D) est la loi de X, la loi de Y est N k (Am + b, ADA ), Démostratio : Il suffit de remarquer que les composates de AX sot des combiaisos liéaires des composates de X. Doc toute combiaiso liéaire des composates de Y est ue combiaiso liéaire des composates de X (qui est ue v.a.r. gaussiee car X est supposé gaussie) à laquelle o ajoute ue costate, dot la somme est ecore ue v.a.r. gaussiee. Y suit doc ue loi ormale de dimesio k. Il reste à e préciser les paramètres : espérace et matrice de dispersio. O applique alors l item 2 de la propositio 3.24, page 48, pour préciser les paramètres de la loi ormale de dimmesio k. Exercice 5.2. (Corrigé de l exercice : page 83) E repreat les hypothèses et otatios de l exercice 5.,. Motrer que le vecteur gaussie X admet ue desité sur qu o explicitera.

113 Chapitre 5. Vecteurs aléatoires gaussies Motrer que le vecteur gaussie X est cetré de matrice de dispersio D X = [d i,j ] i,j où d, = σ 2 d i,i = σ 2 (θ 2 + ) pour i = 2,,, d j+,j = d j,j+ = θσ 2 pour j =,,, d i,j = 0 das les autres cas. La forme de la foctio caractéristique d u vecteur gaussie permet d établir u critère importat d idépedace des composates d u vecteur gaussie. Propositio 5.6. Soit X := (X, X 2,..., X d ) u vecteur gaussie de dimesio d. Alors la suite de variables aléatoires réelles (X, X 2,..., X d ) est idépedate si, et seulemet si, la matrice de dispersio de X est diagoale. Démostratio : La coditio écessaire résulte de la propositio 4.3, page 75. Pour la coditio suffisate, e vertu du critère d idépedace 4.6, page 76, utilisat les foctios caractéristiques, il suffit de motrer que si la matrice de dispersio est diagoale, alors pour tout (u,, u d ) d, Φ X (u,, u ) = Φ X (u ) Φ Xd (u d ). Or, e utilisat la propositio 5.3 pour obteir la première des deux égalités suivates, Φ X (u,, u ) = exp ( i d u k E(X k ) 2 k= ) d ukvar(x 2 k ) = Φ X (u ) Φ Xd (u d ), k= car, pour tout etier k, la variable aléatoire réelle X k est gaussiee et ( Φ Xk (u k ) = exp iu k E(X k ) ) 2 u2 kvar(x k ). O peut doer u éocé plus gééral de cette propositio. Pour cela itroduisos ue défiitio. Défiitio 5.4. Deux vecteurs aléatoires X et Y de dimesios quelcoques serot dits o-corrélés matrice d itercorrélatio est égale à la matrice-ulle. I X,Y := E ([X E(X )][Y E(Y )] ) si la O peut vérifier facilemet, e explicitat les coefficiets des matrices, que :

114 00 Théorie des probabilités, Bruo Saussereau, , versio 0/0/204 Propositio 5.7. Si X et Y sot deux vecteurs aléatoires de dimesios respectives d et k, D Z la matrice de dispersio du vecteur cocatéé Z := (X, Y ) de dimesio d + k, D X et D Y les matrices de dispersio de X et Y, alors :. La matrice d itercorrélatio I X,Y est ue matrice rectagulaire à d liges et k coloes dot le coefficiet gééral d idice (i, j), où i d et j k, est Cov(X i, Y j ). 2. I Y,X = IX,Y, D X = I X,X et D Z est la matrice par blocs ( DX I D Z = X,Y I Y,X D Y ). D où ue versio plus géérale de la propositio 5.6 : Propositio 5.8. Soiet X := (X, X 2,..., X d ) u vecteur aléatoire de dimesio d et Y := (Y, Y 2,..., Y k ) u vecteur aléatoire de dimesio k. Supposos que le vecteur cocatéé Z := (X, X 2,..., X d, Y, Y 2,..., Y k ) soit gaussie de dimesio d + k. Alors le couple de vecteurs aléatoires (X, Y ) est idépedat si, et seulemet si, les vecteurs X et Y sot o-corrélés. Démostratio : La coditio écessaire résulte du fait que, si le couple de vecteurs aléatoires (X, Y ) est idépedat, alors, pour tout (i, j) avec i d et j k, le couple de variable aléatoire réelle (X i, Y j ) est idépedat et par suite le coefficiet gééral de la matrice d itercorrélatio Cov(X i, Y j ) = 0. ( éciproquemet, ) si I X,Y = 0, alors, d après la propositio 5.7, I Y,X = 0, et D Z = DX 0 où Z est le vecteur cocatéé (X, Y ). O vérifie alors que, pour tout vecteur 0 D Y w := (u,, u d, v,, v k ) d+k, si o cosidère les vecteurs u := (u,, u d ), v := (v,, v k ), m X := E(X ) et m Y := E(Y ), w D Z w = u D X u + v D Y v et w E(Z) = u m X + v m Y. La foctio caractéristique du vecteur Z est alors défiie sur d+k par ( Φ Z (u,, u d, v,, v k ) = exp (iu m X + iv m Y ) exp 2 u D X u ) 2 v D Y v = Φ X (u,, u d )Φ Y (v,, v k ). O coclut e appliquat le critère d idépedace utilisat les foctios caractéristiques. O otera la écessité pour le vecteur Z = (X, X 2,..., X d, Y, Y 2,..., Y k ) d être gaussie a priori. Cette hypothèse implique que les vecteurs X et Y sot gaussies, mais o predra garde qu il e suffit pas que les vecteurs X et Y soiet gaussies pour que le vecteur cocatéé (X, X 2,..., X d, Y, Y 2,..., Y k ) soit gaussie. L exercice 4.6, page 74, fourit ecore u cotre-exemple prouvat que la propositio deviet fausse si o e suppose plus a priori que le vecteur (X, X 2,..., X d, Y, Y 2,..., Y k ) est gaussie. O vérifie facilemet que la propositio 5.6 est bie u cas particulier de la propositio 5.8.

115 Chapitre 5. Vecteurs aléatoires gaussies 0 Exercice 5.3. (Corrigé de l exercice : page 84) O repred les otatios, hypothèses et résultats de l exercice 3.5, page 59.. Existe-t-il u réel strictemet positif a tel que (X, X a ) soit o-corrélé? 2. Existe-t-il u réel strictemet positif a tel que (X, X a ) soit u vecteur gaussie? 3. Existe-t-il u réel strictemet positif a tel que (X, X a ) soit u couple idépedat? Termios par u résultat précisat la forme de la loi ormale das le cas où D est ue matrice iversible, ce qui a pour coséquece que D est ue matrice défiie-positive. La loi de Gauss s explicite alors facilemet : Propositio 5.9. Soiet m d et D ue matrice carrée d ordre d à coefficiets réels, symétrique et de type positif. Si D est iversible, alors la probabilité N d (m, D) admet la desité ρ sur d ρ : x d ρ(x) := ( (2π)d det(d) exp ) 2 (x m) D (x m). Démostratio : Soit X u vecteur gaussie de loi N d (m, D) où m d et D ue matrice carrée d ordre d à coefficiets réels, symétrique, positive et iversible. Comme D est symétrique réelle, il existe alors ue matrice A d ordre d orthogoale telle que ADA = où est ue matrice diagoale. Les élémets diagoaux de sot strictemet positifs car D est positive et iversible. Notos σ, 2, σd 2 les élémets diagoaux de. Cosidéros le vecteur aléatoire Z := A(X m). D après la propositio5.5, Z est u vecteur gaussie de dimesio d de loi N d (0, ). Soiet (Z,, Z d ) les composates de Z. Comme la matrice de dispersio de Z,, est diagoale, la suite de variable aléatoire réelle (Z,, Z d ) est idépedate et, pour tout etier k d, la loi de Z k est N (0, σk 2 ) d après la propositio 4.5, page 66. La variable aléatoire réelle Z k a doc pour desité l applicatio f k défiie sur par f k (t) := 2πσ 2 k exp ( t2 Par suite, d après la propositio 4.9, page 72, Z admet pour desité l applicatio défiie sur d par ( ) ( ) d f (t,, t d ) = f (t ) f d (t d ) = exp d tk 2. 2π σ 2 σd 2 2 σk 2 Comme σ 2 σd 2 = det(d) et d k= t 2 σk 2 k = t t, où t := (t,, t d ), o obtiet ( ) d ( f (t) = f (t,, t d ) = exp ) 2π det(d) 2 t t. 2σ 2 k ). k= Motros que la loi de X admet ue desité. Soit h ue applicatio boréliee positive de d das [0, + ]. Comme X = A Z + m, e appliquat le théorème du trasfert à Z, E[h(X )] = h(a z + m)dp Z (z) = d h(a z + m)f (z)dλ (d) (z). d

116 02 Théorie des probabilités, Bruo Saussereau, , versio 0/0/204 Effectuos le chagemet de variable das d, z d x := A z + m dot le jacobie de la trasformatio x d z = A(x m) est det(a). emarquos que, A état orthogoale, det(a) = et appliquos le théorème de chagemet de variable. Il viet E[h(X )] = h(x)f (A(x m))dλ (d) (x). d Le vecteur X admet doc la desité défiie sur d par ρ(x) := f (A(x m)). Par suite, ( ) d ( ρ(x) = exp ) 2π det(d) 2 (x m) A A(x m) = d où le résultat cherché. ( ) d ( exp ) 2π det(d) 2 (x m) D (x m), O admettra que si la matrice D est pas iversible, la loi de Gauss a pas de desité par rapport à la mesure de Lebesgue sur d car o motre qu elle est portée par u sous-espace affie de d de dimesio strictemet iférieure à d. Défiitio 5.5. Si la matrice D est iversible, o dira que la loi de Gauss (ou le vecteur gaussie) N d (m, D) est o-dégéérée. Das le cas cotraire o dira qu elle est dégéérée. Exemples 5.3. ) Ue variable aléatoire réelle gaussiee est o-dégéérée si, et seulemet si, sa loi est ue loi ormale de variace o ulle. Doc ue variable aléatoire réelle gaussiee dégéérée est ue variable de loi δ m où m est u réel quelcoque. 2) Soit (X, Y ) u couple de variables aléatoires réelles admettat pour desité l applicatio ( 3 défiie sur 2 par ρ(x, y) := 4π exp ) 2 (x 2 xy + y 2 ). O vérifie alors que x 2 xy + y 2 = ( x y ) ( ) ( ) /2 x = ( x y ) ( ) x D /2 y y ( ) 4/3 2/3 où D := est la matrice de dispersio du vecteur (X, Y ). O e déduit que 2/3 4/3 (X, Y ) est u vecteur gaussie de loi N 2 (0, D). O peut aussi affirmer que X et Y suivet la loi N (0, 4 ) et, puisque D est pas diagoale, que le couple de variables aléatoires 3 réelles (X, Y ) est pas idépedat. Exercice 5.4. (Corrigé de l exercice : page 85) Soit X u vecteur aléatoire de dimesio 3. O suppose que la loi de X est N 3 (0, Γ ) où 3 0 Γ := 3 0. Trouver ue matrice A carrée d ordre 3 telle que les composates du vecteur AX soiet idépedates et o dégéérées.

117 Chapitre 5. Vecteurs aléatoires gaussies 5.3 Exercices de révisio sur les chapitres I à V 03 Exercice 5.5. (Corrigé de l exercice : page 85) Soiet X u vecteur aléatoire de dimesio 2, de loi N 2 (0, I ) où 0 désige le vecteur ul de 2 et I la matrice-idetité d ordre 2. Soit A ue matrice orthogoale d ordre 2 à coefficiets réels. Détermier la loi du vecteur aléatoire de dimesio 2 défii par U := AX. Exercice 5.6. (Corrigé de l exercice : page 85) Soit (X, Y ) u couple de variables aléatoires réelles de loi P (X,Y ) = ( ) αe 2 (x2 xy+y 2 ) λ (2) où λ (2) est la mesure de Lebesgue sur 2. Détermier la costate α et la matrice de dispersio du couple (X, Y ). Préciser les lois respectives des variables aléatoires réelles X et Y. Le couple de variables aléatoires réelles (X, Y ) est-il idépedat? Exercice 5.7. (Corrigé de l exercice : page 86) Soit X ue variable aléatoire réelle de loi N (0, ). O pose Y = X l [0,π] ( X ) X l ]π,+ [ ( X ).. Vérifier que, pour toute applicatio h de das, h(y ) = h(x )l [0,π] ( X ) + h( X )l ]π,+ [ ( X ). 2. Motrer que la variable aléatoire réelle Y suit la loi ormale réduite cetrée. 3. Le vecteur aléatoire (X, Y ) est-il gaussie? 4. Le couple de variable aléatoire réelle (X, Y ) est-il idépedat? Exercice 5.8. (Corrigé de l exercice : page 87) Soiet X, Y, Z trois variables aléatoires réelles idépedates de même loi N (0, ).. Détermier les lois respectives des variables aléatoires réelles U := X + Y + Z, V := 2X Y Z et W := Y Z. 2. Motrer que les variables aléatoires réelles X Y, Y Z et Z X sot chacues idépedates de la v.a.r. U. 3. Le vecteur aléatoire de dimesio 3, (U, V, W ), est-il gaussie? Préciser sa loi. 4. Le triplet de variables aléatoires réelles (U, V, W ) est-il idépedat? 5. O ote ϕ la foctio caractéristique de X 2 [o admettra que, pour tout réel x, ϕ(x) = ( 2ix) 2 ]. O pose T := (X Y ) 2 + (Y Z) 2 + (Z X ) 2. Vérifier, pour tout (x, y, z) 3, l égalité ( (x y) 2 + (y z) 2 + (z x) 2 = 2 x ) 2 2 (y + z) (y z)2, et exprimer la foctio caractéristique Φ (U,T ) du vecteur aléatoire (U, T ) à l aide de ϕ. E déduire l expressio de Φ (U,T ) (u, t) e foctio de u et t.

118 04 Théorie des probabilités, Bruo Saussereau, , versio 0/0/204 Exercice 5.9. (Corrigé de l exercice : page 88) Théorème de Fisher-Cochra Soit N et (X,, X ) ue suite idépedate de v.a.r. toutes de même loi N (0, ). O défiit respectivemet les v.a.r. moyee empirique et variace empirique par X := X + + X et S 2 := (X k X ) 2. k=. Motrer que la v.a.r. X 2 suit la loi γ(, ) aussi appelée loi du Khi-deux à degré 2 2 de liberté et otée χ 2 (). 2. E utilisat la foctio caractéristique des lois Gamma, e déduire que la loi de la v.a.r. k= Xk 2 est γ(, ) aussi appelée loi du Khi-deux à degrés de liberté otée 2 2 χ 2 (). 3. Motrer qu il existe ue matrice orthogoale C de la forme c, c,2 c, c 2, c 2,2 c 2, C = c, c,2 c, 4. Détermier la loi du vecteur aléatoire Y := CX. 5. Calculer Y et Yk 2 à l aide de X,, X. E déduire que X = Y et k= k= S 2 = Yk Démotrer le théorème de Fisher-Cochra : Soit (X,, X ) ue suite idépedate de v.a.r. de même loi N (0, ). Alors (X, S 2 ) est idépedat, X suit la loi N (0, ) et ( )S 2 suit la loi χ 2 ( ). Exercice 5.0. (Corrigé de l exercice : page 89) Soit (ε i ) i ue suite idépedate de v.a.r. de même loi N (0, ) et X 0 ue v.a.r. idépedate de la suite (ε i ) i et de loi P X0 = N (m, σ 2 ). O défiit la suite de v.a.r. (X ) de la faço suivate : X := l (X 0,..., X ) + b ε où (b ) est ue suite de réels et (l ) ue suite de formes liéaires sur. Motrer que, pour tout, il existe ue forme liéaire L sur + telle que X = L (X 0, ε,, ε ) et e déduire que le vecteur (X 0,..., X ) est gaussie.

119 Chapitre 6. Lois des grads ombres et covergeces de v.a.r. 05 Chapitre 6 Lois des grads ombres et covergeces de v.a.r. Das ce chapitre, sauf idicatio cotraire, toutes les variables aléatoires cosidérées serot réelles et défiies sur u même espace de probabilité (Ω, F, P). La plupart des résultats et défiitios de ce chapitre sot ue traductio e lagage probabiliste de ceux vus e théorie de la mesure (cf. [2] chapitre V). Ils peuvet s étedre aux v.a. à valeurs das d e preat pour la orme euclidiee de d. Les espaces L p (Ω, F, P) et L p (Ω, F, P) ot été itroduits e théorie de la mesure pour p [, + ]. O rappelle que, pour tout < p < q < +, L L q L p L et L p L q. De plus p L p L et p L p L (cf. [2] p. 67 ex IV-8 et IV-). O ote L 0 (Ω, F, P) ou plus simplemet L 0, l esemble des classes d équivalece, pour l égalité P-presque-sûre, des v.a. à valeurs das sur (Ω, F, P), défiies et fiies P-presque-sûremet. O otera e cas de écessité X la classe d équivalece P-presque-sûre de la v.a. X. O a, pour tout p [, + ], L p L 0. ( X ) N désigera ue suite d élémets de L 0 et X u élémet de L 0. Das ce chapitre, ous allos passer e revue ces différets modes de covergece iitialemet étudiés das le cours de théorie de la mesure e les appliquat au cas particulier où la mesure est ue probabilité. 6. Covergece e probabilité d ue suite de v.a.r. 6.. Loi faible des grads ombres Commeços par démotrer deux iégalités souvet utilisées e probabilité :

120 06 Théorie des probabilités, Bruo Saussereau, , versio 0/0/204 Propositio 6.. Iégalité de Markov Soiet X ue variable aléatoire réelle et ϕ ue applicatio boréliee de das [0, + ], alors pour tout réel a > 0, E[ϕ(X )] P [ϕ(x ) a]. a Démostratio : Posos A := {ϕ(x ) a}. Puisque ϕ est positive, o peut écrire : E[ϕ(X )] = E[ϕ(X )l A ] + E[ϕ(X )l A c] E[ϕ(X )l A ] ae(l A ) = ap(a). Propositio 6.2. Iégalité de Bieaymé-Tchébycheff Soit X ue v.a.r. telle que E(X 2 ) < +. Alors pour tout réel α > 0, P [ X E(X ) α] Var(X ). α2 Démostratio : O applique l iégalité de Markov avec ϕ(t) := [t E(X )] 2 et a := α 2. Très utile e théorie, l iégalité de Bieaymé-Tchébycheff peut être parfois trop grossière pour apporter des iformatios utiles das la pratique. Das ce cas o établit d autres majoratios plus appropriées à la situatio étudiée. A titre d exemple, o pourra étudier l exercice 6.2. Exemples 6.. ) Si X est ue variable aléatoire réelle de loi biomiale B(0, ) alors E(X ) = 5 et 2 Var(X ) = 5. U calcul direct doe l estimatio 2 P ( X 5 4) = ( ) ( ) 0 C0 0 + C0 + C0 9 + C0 0 0, 02, 2 alors que l iégalité de Bieaymé-Tchébycheff doe la majoratio P ( X 5 4) 2, 5 0, ) Si X est ue variable aléatoire réelle de carré itégrable de variace σ 2, l iégalité de Bieaymé-Tchébycheff deviet P ( X m σ), alors que das le cas d ue variable aléatoire réelle gaussiee de loi N (m, σ 2 ) + P ( X m σ) = 2 = 2 σ + et par suite P (m σ < X < m + σ) 0, ( σ 2π exp x 2 2σ 2 exp ( t2 2π 2 ) dx ) dt 0, 374,

121 Chapitre 6. Lois des grads ombres et covergeces de v.a.r. 07 Exercice 6.. (Corrigé de l exercice : page 90) ègle des trois "sigmas" Soit X ue v.a.r. telle que E(X 2 ) < + de variace σ 2 et de moyee m. a) Motrer que P (m 3σ < X < m + 3σ) 8 9 et P (m 2σ < X < m + 2σ) 3 4. b) Comparer les valeurs obteues das la questio précédete avec celles doées par le calcul das le cas où X est ue variable aléatoire réelle de loi N (m, σ 2 ). Exercice 6.2. (Corrigé de l exercice : page 90). O cosidère ue variable aléatoire réelle X de carré itégrable, cetrée et de variace σ 2. A l aide de l iégalité de Cauchy-Schwarz de l exercice 3.3, page 48, motrer que, pour tout réel a > 0, E déduire que a E [ (a X )l ],a] (X ) ] P(X a) σ 2 + a 2. P(X > a) σ2 σ 2 + a Ue usie fabrique chaque semaie u ombre aléatoire Y d objets. O suppose E[Y ] = 00 et Var(Y ) = 400. Trouver à l aide de la questio précédete u majorat de la probabilité que la productio hebdomadaire dépasse 20. Comparer ce résultat avec celui obteu par applicatio de l iégalité de Bieaymé-Tchébycheff. Défiitio 6.. Ue suite (X ) N de variables aléatoires réelles est dite idetiquemet-distribuée, e abrégé i.d., si toutes les variables aléatoires réelles de la suite ot la même loi. Ue suite i.i.d. de variables aléatoires réelles est ue suite idépedate et idetiquemet distribuée de v.a.r.. Défiitio 6.2. Si (X ) N est ue suite de variables aléatoires réelles pour tout etier, o appelle moyee empirique d ordre associée à la suite (X ) N, et o ote X () ou plus simplemet X, la v.a.r. défiie par X () := X + + X. La démostratio de la propositio suivate est immédiate et laissée e exercice. Propositio 6.3. Si (X ) N est ue suite idépedate et idetiquemet distribuée de variables aléatoires réelles de carré itégrable, d espérace m et de variace σ 2, alors ( ) ( ) X + + X X + + X E = m et Var = σ2.

122 08 Théorie des probabilités, Bruo Saussereau, , versio 0/0/204 Ue applicatio de l iégalité de Bieaymé-Tchébycheff dot le résultat est historiquemet célèbre est : Propositio 6.4. Théorème de Beroulli Soit (X ) N ue suite idépedate et idetiquemet distribuée de variables aléatoires réelles de Beroulli de paramètre p ]0, [ i.e. de loi B(, p). Alors, pour tout réel a > 0 et tout etier, ( X + + X P ) p a 4a 2. Démostratio : O applique l iégalité de Bieaymé-Tchébycheff à la variable aléatoire réelle X () et o utilise la propositio précédete pour obteir la majoratio ( ) X + + X P m a Var(X 0). a 2 Comme les variable aléatoire réelle sot de Beroulli E(X 0 ) = m = p et Var(X 0 ) = p( p). O coclut e vérifiat que, pour tout p ]0, [, p( p) 4. Exemples 6.2. Das so Essai d arithmétique morale paru e 777, Buffo relate l expériece qui cosiste à lacer 4040 fois ue pièce de moaie. Das la réalisatio ω 0 de cette expériece Buffo obtiet 2049 fois "Pile". Si o ote X k l applicatio qui à chaque réalisatio associe le ombre si la pièce tombe sur "Pile" lors du k ième lacer et 0 sio, la variable aléatoire réelle X k est ue variable aléatoire réelle de Beroulli de paramètre p icou. O modélise cette situatio e représetat les lacers successifs idépedats par ue suite i.i.d. de variable aléatoire réelle de Beroulli. O est doc das les coditios du théorème de Beroulli. Avec les otatios itroduites précédemmet, pour l observatio ω 0 de Buffo, o peut écrire X (4040) (ω 0 ) = , Choisissos a tel que 0, 05. Par exemple preos a = 0, D après le 4a théorème de Beroulli, P ( ω Ω / X (4040) (ω) p 0, 0352 ) 0, 05. La probabilité que la réalisatio ω 0 de cette expériece satisfasse l évéemet {ω Ω / X (4040) (ω) p 0, 0352} est iférieure à 0, 05. Autremet dit, la probabilité que le paramètre p vérifie la coditio X (4040) (ω 0 ) p 0, 0352, c-à-d approximativemet 0, 507 p 0, 0352, est iférieure à 0, 05. Par suite, o peut affirmer, avec ue probabilité supérieure à 0, 95, que l ecadremet de p obteu lors de l observatio ω 0, i.e. 0, 478 p 0, 5422, est correct. L itervalle [0, 478; 0, 5422] est dit itervalle de cofiace pour p de iveau de cofiace 0, 95.

123 Chapitre 6. Lois des grads ombres et covergeces de v.a.r. 09 La techique de détermiatio des itervalles de cofiace pour des paramètres à estimer relève du domaie de la statistique iféretielle et sera développée das l uité d eseigemet de Statistique. Exercice 6.3. (Corrigé de l exercice : page 9) O cherche à mesurer ue gradeur physique e faisat N mesures idépedates. Toutes ces mesures sot etachées d erreur et doet doc des résultats aléatoires dot l espérace commue m est la "vraie" valeur de la gradeur à mesurer. Ces mesures sot supposées idetiquemet distribuées. Sachat que la variace de chacue d elles est 0, 25, o veut obteir u résultat qui soit éloigé de mois de 0, 05 de la "vraie" valeur m avec ue probabilité de 0, 99. Quelle valeur choisir pour N? E fait la majoratio du théorème de Beroulli peut être améliorée pour motrer que la covergece vers 0 du secod membre est de type expoetiel. C est ce résultat, doé à titre d iformatio, qu éoce le cas particulier suivat du théorème des grades déviatios (admis et hors programme, pour la démostratio voir [3] exercice IV-3) : Propositio 6.5. Théorème des grades déviatios pour les v.a.r. de Beroulli (Hors programme) Si (X ) N est ue suite idépedate de v.a.r. de Beroulli de même paramètre p ]0, [, alors pour tout ε > 0, il existe ue costate C ε > 0 telle que pour tout N, ( ) X + X X P p ε 2 exp ( C ε ). Éoços ue coséquece plus faible de l iégalité de Bieaymé-Tchébycheff : Propositio 6.6. Loi faible des grads ombres ( er éocé) Si (X ) N est ue suite idépedate et idetiquemet distribuée de variables aléatoires réelles de carré itégrable et d espérace m, alors, pour tout réel a > 0, ( ) lim P X + + X m + a = 0. Démostratio : O applique l iégalité de Bieaymé-Tchébycheff comme das la démostratio du théorème de Beroulli pour obteir ( ) X + + X P m a Var(X 0). a 2 Ce qui doe le résultat par passage à la limite Covergece e probabilité L éocé de la loi faible des grads ombres suggère alors la défiitio suivate :

124 0 Théorie des probabilités, Bruo Saussereau, , versio 0/0/204 Défiitio 6.3. O dit qu ue suite de variables aléatoires réelles (X ) N coverge e probabilité vers ue variable aléatoire réelle Y si, pour tout réel a > 0, lim P ( X Y a) = 0. + O retrouve ici la traductio de la "covergece e mesure" das le cas où la mesure est ue probabilité. Avec cette ouvelle défiitio, la loi faible s éoce : Propositio 6.7. Loi faible des grads ombres (2 ième éocé) Si (X ) N est ue suite idépedate et idetiquemet distribuée de variables aléatoires réelles ( de carré itégrable ) et d espérace m, alors la suite des moyees empiriques X + X X coverge e probabilité vers la variable aléatoire réelle costate m. N Exemples 6.3. Si, pour tout etier, X est ue variable aléatoire réelle de loi + δ + + δ, alors la suite (X ) N coverge e probabilité vers la variable aléatoire réelle costate 0. E effet, soit a > 0 et u etier tel que > a >. Comme la variable aléatoire réelle X est discrète portée par l esemble {, }, P( X a) = P(X = ) = +. Ce qui prouve le résultat e faisat tedre vers +. Exercice 6.4. (Corrigé de l exercice : page 9) Motrer que si, pour tout etier, X est ue variable aléatoire réelle de desité l [0, ] alors la suite (X ) N coverge e probabilité vers la variable aléatoire réelle costate 0. La limite d ue suite de variables aléatoires réelles covergeat e probabilité est "presquesûremet" uique comme l éoce de faço précise le résultat suivat : Propositio 6.8. Si (X ) N est ue suite de variables aléatoires réelles covergeat e probabilité vers les variables aléatoires réelles X et Y, alors les variables aléatoires réelles X et Y sot égales presquesûremet, i.e. P(X Y ) = 0. Démostratio : Avec les otatios du théorème o peut écrire, pour tout etier aturel, X Y X X + X Y. Soit a > 0 u réel, o vérifie l iclusio etre évéemets { X Y a} { X X a } { X Y a }. 2 2

125 Chapitre 6. Lois des grads ombres et covergeces de v.a.r. Par suite, pour tout a > 0, P( X Y a) P ( X X a ) ( + P X Y a ) 2 2 et e passat à la limite das le secod membre de l iégalité précédete, o trouve par défiitio de la covergece e probabilité, que, pour tout réel a > 0, P( X Y a) = 0. Or {X Y } = { X Y > 0} = { X Y }. D où P(X Y ) ( P X Y ) = 0. La propositio précédete etraîe que la covergece e probabilité iduit ue covergece das l espace L 0 défiie de la faço suivate : Défiitio 6.4. O dit que ( X ) N coverge e probabilité vers X si, pour tout δ > 0, lim P( X X + δ) = 0. P O ote alors ( X ) N X ou X = P-lim ( X ). O motre (cf. [2] p. 86 ex V-9), et ous l admettros, le résultat suivat : Propositio 6.9. (Hors programme) L applicatio : ( X, Ŷ ) L0 L 0 ( X, Ŷ ) := if{δ > 0, P( X Y δ) δ} défiit ue métrique sur L 0 appelée métrique de Ky-Fa. De plus (L 0, ) est complet et ( X ) N coverge e probabilité vers X si, et seulemet si, lim ( X, X ) = 0. La propositio suivate permet d effectuer des calculs sur les limites e probabilité. Propositio 6.0. Soiet f ue applicatio cotiue de 2 das, (X ) N et (Y ) N deux suites de variables aléatoires réelles covergeat e probabilité respectivemet vers les variables aléatoires réelles X et Y, alors la suite de variables aléatoires réelles (f (X, Y )) N coverge e probabilité vers la variable aléatoire réelle f (X, Y ). Démostratio : Nous allos démotrer cette propositio das le cadre plus restrictif des applicatios f uiformémet cotiues sur 2. O admettra le résultat pour les foctios seulemet cotiues. Comme f est uiformémet cotiues sur 2, pour tout réel ε > 0, il existe u réel η > 0 (dépedat de ε), tel que, pour tout (x, y) 2 et (x, y ) 2, x x + y y < η implique f (x, y) f (x, y ) < ε. Soit ε > 0 fixé. Pour tout etier aturel, o a alors { f (X, Y ) f (X, Y ) ε} { X X + Y Y η} { X X η 2 } { Y Y η 2 }.

126 2 Théorie des probabilités, Bruo Saussereau, , versio 0/0/204 D où, e faisat tedre vers +, lim P ( f (X, Y ) f (X, Y ) ε) = 0, ce qui prouve + que la suite de variables aléatoires réelles (f (X, Y )) N coverge e probabilité vers la variable aléatoire réelle f (X, Y ). O admettra égalemet que cette propositio deviet fausse si l applicatio f est plus supposée cotiue. U corollaire immédiat, et très utilisé e pratique, de la propositio précédete est : Propositio 6.. Si (X ) N et (Y ) N sot deux suites de variables aléatoires réelles covergeat e probabilité respectivemet vers les variables aléatoires réelles X et Y, alors les suites de variables aléatoires réelles (X + Y ) N et (X Y ) N coverget e probabilité respectivemet vers les v.a.r. X + Y et X Y. Exercice 6.5. (Corrigé de l exercice : page 9) Trouver, parmi les exercices ou exemples déjà proposés das ce cours, u cotre-exemple prouvat que si la suite de variables aléatoires réelles (X ) N coverge e probabilité vers la variable aléatoire réelle X, cela etraîe pas écessairemet que la suite des espéraces (si elles existet) (E(X )) N coverge vers le réel E(X ) (s il existe). 6.2 Covergece presque-sûre d ue suite de v.a.r Loi forte des grads ombres La propositio suivate, difficile à démotrer, a ue grade importace de par sa sigificatio probabiliste. Nous e doeros ue démostratio plus loi (cf. propositio 6.9, page 7) das le cas des variables aléatoires de carré itégrable. C est e partie grâce à ce théorème que le formalisme des probabilités trouve sa cohérece. Propositio 6.2. Loi forte des grads ombres de Kolmogorov ( er éocé) (admis) Si (X ) N est ue suite idépedate et idetiquemet distribuée de variables aléatoires réelles ( itégrables et d espérace ) m, alors l esemble des ω Ω tels que la suite X (ω) + X 2 (ω) X (ω) e coverge pas vers m est u évéemet de probabilité N ulle. Doos ue iterprétatio ituitive de la loi forte des grads ombres. Cosidéros u évéemet A de probabilité icoue p relatif à ue situatio aléatoire. épétos u grad ombre de fois l expériece relative à cette situatio aléatoire et otos X k l applicatio qui à chaque essai associe le ombre si l évéemet A est réalisé lors de la k ième expériece et 0 sio. La variable aléatoire réelle X k est ue variable aléatoire réelle de Beroulli de paramètre p icou. O modélise cette situatio e cosidérat les essais successifs idépedats par ue suite i.i.d. de variables aléatoires réelles de Beroulli. O est doc das les coditios d applicatio de la loi forte de Kolmogorov. Cette loi sigifie que presque-sûremet, pour assez grad, la moyee empirique des variables aléatoires réelles X k, c est-à-dire la fréquece de réalisatio de l évéemet A, est ue boe approximatio de la probabilité de A.

127 Chapitre 6. Lois des grads ombres et covergeces de v.a.r Covergece presque-sûre O peut éocer la loi forte sous sa forme classique e itroduisat u autre mode de covergece pour les suites de variables aléatoires. Auparavat remarquos que : Propositio 6.3. Si (X ) N est ue suite de variables aléatoires réelles et Y ue v.a.r., alors l esemble Y des ω Ω tels que la suite réelle (X (ω)) N e coverge pas vers Y (ω) est u évéemet de l espace de probabilité (Ω, F, P), i.e. Y F. Démostratio : Vérifios au préalable que Y = = k=0 l=k { X l Y > }. E effet e preat la cotraposée de la défiitio de la covergece de la suite réelle (X (ω)) N vers Y (ω) : ω Y si, et seulemet si, il existe u etier tel que, pour tout etier aturel k, il existe u etier l k avec X l (ω) Y (ω) >. O coclut alors e utilisat la mesurabilité des variables aléatoires réelles X i et Y aisi que la stabilité des tribus pour les opératios de réuio et d itersectio déombrables (cf. Chapitre I). O peut alors doer la défiitio suivate : Défiitio 6.5. O dit qu ue suite de variables aléatoires réelles (X ) N coverge presque-sûremet vers ue variable aléatoire réelle Y si P( Y ) = 0. Cette défiitio est la traductio e lagage probabiliste de la défiitio de la "covergece presque-partout" défiie e théorie de la mesure. Exemples 6.4. Soiet Ω :=, F := B() et P la probabilité sur de desité l [0,]. Pour tout etier, cosidéros la variable aléatoire réelle X := π+l [0, ]. Alors la suite (X ) N coverge presque-sûremet vers la variable aléatoire réelle costate Y := π. E effet, o vérifie aisémet que Y = {0} car lim X (0) = + et, pour tout ω Ω \ {0}, lim X (ω) = π. De plus P({0}) = 0, d où le résultat. Doos quelques propriétés de la covergece presque-sûre. La limite d ue suite de variables aléatoires réelles covergeat presque-sûremet est "uique" das le ses suivat : Propositio 6.4. Si (X ) N est ue suite de variable aléatoire réelle covergeat presque-sûremet vers les variables aléatoires réelles X et Y, alors les variables aléatoires réelles X et Y sot égales presquesûremet, i.e. P(X Y ) = 0. Démostratio : Avec les otatios itroduites ci-dessus o peut écrire {X Y } X Y,

128 4 Théorie des probabilités, Bruo Saussereau, , versio 0/0/204 et par suite P(X Y ) P( X ) + P( Y ) = 0. La propositio précédete etraîe que la covergece presque-sûre iduit ue covergece das l espace L 0 défiie de la faço suivate : Défiitio 6.6. O dit que ( X ) N coverge P-presque-sûremet (ou plus simplemet presque-sûremet, ou e abrégé p.s.,) vers X, si l esemble des ω Ω tels que (X (ω)) N e coverge pas das vers X (ω) est P-égligeable. P p.s. O ote alors ( X ) N X ou X = p.s.-lim ( X ). E gééral il existe pas de métrique d sur L 0 telle que, pour toute suite ( X ) N d élémets de L 0 et X L 0, o ait : lim d( X, X ) = 0 si, et seulemet si, ( X ) N coverge P-presque-sûremet + vers X. O peut motrer qu il existe ue topologie associée à la covergece presque-sûre si, et seulemet si, la probabilité P est discrète (cf. [2] p. 86 ex V-0). La propositio suivate permet d effectuer des calculs sur les limites presque-sûres. Propositio 6.5. Soit f ue applicatio cotiue de 2 das, (X ) N et (Y ) N deux suites de variables aléatoires réelles covergeat presque-sûremet respectivemet vers les variables aléatoires réelles X et Y, alors la suite de variables aléatoires réelles (f (X, Y )) N coverge presque-sûremet vers la variable aléatoire réelle f (X, Y ). Cette propositio deviet fausse si l applicatio f est plus supposée cotiue (cf. [4] ex 4-). U corollaire immédiat de la propositio précédete est : Propositio 6.6. Si (X ) N et (Y ) N sot deux suites de variables aléatoires réelles covergeat presque-sûremet respectivemet vers les variables aléatoires réelles X et Y, alors les suites de variables aléatoires réelles (X + Y ) N et (X Y ) N coverget presque-sûremet respectivemet vers les variables aléatoires réelles X + Y et X Y. Exercice 6.6. (Corrigé de l exercice : page 92) Démotrer les propositios 6.5 et 6.6. L iégalité de Tchébycheff est utile das l étude des questios de covergece e probabilité. Le lemme de Borel-Catelli, quat à lui, est souvet utilisé das les questios de covergece p.s. grâce à la propositio suivate :

129 Chapitre 6. Lois des grads ombres et covergeces de v.a.r. 5 Propositio La suite (X ) N coverge p.s. vers la v.a.r. X si, et seulemet si, pour tout ε > 0, P(lim sup{ X X ε}) = Si pour tout ε > 0, la série P({ X X ε}) coverge das, alors la suite (X ) N coverge p.s. vers la v.a.r. X. 3. Si la suite d évéemets ({ X X ε}) N est idépedate, alors la suite (X ) N coverge p.s. vers la v.a.r. X si, et seulemet si, pour tout ε > 0, la série P({ X X ε}) coverge das. Démostratio de 6.7 :. (X (ω)) N coverge vers X (ω) si, et seulemet si, pour tout ε > 0, il existe u etier aturel N tel que, pour tout N, > N implique X (ω) X (ω) ε. E preat la égatio, (X (ω)) N e coverge pas vers X (ω) si, et seulemet si, il existe ε > 0, tel que, pour tout etier aturel N, il existe N, vérifiat > N et X (ω) X (ω) > ε. La derière partie de la phrase peut aussi s éocer : il existe ε > 0, tel que ω appartiee à ue ifiité d évéemets de la suite ({ X X > ε}) N ; ou ecore par défiitio de la limite-supérieure d ue suite d évéemets : il existe ε > 0, tel que ω lim sup{ X X > ε}. Par suite, {ω Ω/(X (ω)) N e coverge pas vers X (ω)} = lim sup{ X X > ε}. ε ]0, [ E remarquat que (X (ω)) N coverge vers X (ω) si, et seulemet si, pour tout p N, il existe u etier aturel N tel que, pour tout N, > N implique X (ω) X (ω) p, et e raisoat comme précédemmet o obtiet l égalité {ω Ω/(X (ω)) N e coverge pas vers X (ω)} = Si la suite (X ) N coverge presque-sûremet vers X, alors Comme, pour tout ε > 0, lim sup p N P ({(X ) N e coverge pas vers X }) = 0. { X X > p }. lim sup{ X X > ε} {ω Ω/(X (ω)) N e coverge pas vers X (ω)} o e déduit que, pour tout ε > 0, P (lim sup{ X X > ε}) = 0. éciproquemet, supposos que, pour tout ε > 0, P (lim sup{ X X > ε}) = 0, alors ( ) P lim sup{ X X > p } P (lim sup{ X X > p ) } = 0. p N p N D après la première partie o obtiet P ({(X ) N e coverge pas vers X }) = 0 c est-à-dire que (X ) N coverge presque-sûremet vers X.

130 6 Théorie des probabilités, Bruo Saussereau, , versio 0/0/ Compte teu de l item ) qu o viet de démotrer, le résultat des item 2) et 3) de la propositio est ue coséquece immédiate du lemme de Borel-Catelli. O remarquera que das le troisième item l idépedace est ue hypothèse essetielle ; o trouvera u cotre-exemple das ([4] ex 4-4). Le premier item soulige le lie existat etre les covergeces p.s. et e probabilité e s éoçat : Propositio 6.8. La suite (X ) N coverge presque-sûremet vers X si, et seulemet si, la suite (M ) N, défiie pour tout N par M := sup X k X, coverge e probabilité vers 0. k Démostratio : Soit ε > 0, lim sup{ X X ε} = le théorème de covergece mootoe des probabilités, o obtiet De plus, ( ) { X k X ε}. E utilisat =0 k= ( ) P(lim sup{ X X ε}) = lim P { X k X ε}. + { X k X ε} = {sup X k X ε}. O coclut alors e vertu du premier k= k item de la propositio 6.7 : (X ) N coverge p.s. vers la v.a.r. X si, et seulemet si, pour tout ε > 0, P(lim sup{ X X ε}) = 0, ou ecore (X ) N coverge p.s. vers la v.a.r. X ( ) si, et seulemet si, pour tout ε > 0, lim P sup X k X ε = 0, ou ecore (X ) N coverge p.s. vers la v.a.r. X si, et seulemet si, pour tout ε > 0, lim P (M ε}) = 0, où o a + k + posé M = sup X k X. Ce qui traduit la covergece e probabilité vers 0 de la suite (M ) N. k k= Exercice 6.7. (Corrigé de l exercice : page 92) Soit (X ) N ue suite i.i.d. de variables aléatoires réelles de carré itégrable, de variace σ 2. O ote, pour tout etier 2, S 2 := ( ) 2 Xk X (), la variace empirique d ordre de la suite (X ) N. Motrer que S 2 = k= k= Xk 2 ( ) 2 X () (Formule de Steier) et e déduire que la suite de variables aléatoires réelles (S 2 ) N coverge presque-sûremet vers σ 2. Avec la otio de covergece presque-sûre, la loi forte de Kolmogorov s éoce :

131 Chapitre 6. Lois des grads ombres et covergeces de v.a.r. 7 Propositio 6.9. Loi forte des grads ombres de Kolmogorov (2 ième éocé) Si (X ) N est ue suite idépedate et idetiquemet distribuée de variables ( aléatoires réelles ) X + X X itégrables et d espérace m, alors la suite des moyees empiriques N coverge presque-sûremet vers la variable aléatoire réelle costate m. Démostratio : Coformémet au programme de l uité, o e fera la démostratio de ce théorème que das le cadre plus restreit des variables de carré itégrable seulemet. emarquos qu e posat, pour tout etier aturel, Y = X m, o peut se rameer, sas perte de gééralité, à e faire la démostratio que das le cas d ue suite de variables aléatoires cetrées. O otera σ 2 la variace commue des variables X. Soit (X ) N ue suite idépedate et idetiquemet distribuée de variables aléatoires réelles cetrées de carré itégrable. ( Pour ) tout etier aturel o ul, posos S = X +X 2 + +X. S 2 Motros que la suite coverge presque-sûremet vers 0. 2 N E effet, pour tout ε > 0, ous avos, ( par ) applicatio de l iégalité de Bieaymé-Tchebychev, S 2 e teat compte de l égalité V ar = σ2 (vérifier le calcul), 2 2 ( ) S 2 2 ( ) S 2 V ar P 2 ε = σ2 ε 2 2 ε. 2 Ce qui prouve que la série umérique à termes positifs ( ) S 2 P 2 ε est covergete, car so terme gééral est majorée par le terme gééral d ue série de iema ( covergete. ) O S 2 coclut alors, e appliquat l item 2) de la propositio 6.7, que la suite coverge presque-sûremet vers 0. Pour tout etier aturel o ul, otos p la partie etière de, i.e. p est l uique etier aturel vérifiat la double iégalité p ( ) Sp 2 < p +. Motros que la suite N coverge presque-sûremet vers 0. De la double iégalité, o obtiet < p, puis, e élevat au carré, 2 + < p 2 p 2, ce qui implique lim + = et p2 2. Comme, d après ce qui viet d être ( ) ( ) S 2 Sp 2 vu, la suite coverge presque-sûremet vers 0, la suite coverge aussi 2 p 2 N presque-sûremet vers 0. De la relatio, pour tout etier aturel o ul, S p 2 = Sp2 p2 p 2, o ( ) Sp 2 peut coclure, e passat à la limite presque-sûre, que coverge presque-sûremet N vers 0. Pour coclure la démostratio du théorème, utilisos à ouveau l iégalité de Bieaymé- Tchebychev. ( Pour tout ε > 0, S P S ) p2 ε = P ( ) Xp X p X ε 2 N N ( p2 )σ 2 2 σ 2 2 ε 2 2 ε, 2

132 8 Théorie des probabilités, Bruo Saussereau, , versio 0/0/204 car o a vu que p 2 2. Ce qui prouve que la série umérique à termes positifs ( S P S ) p2 ε est covergete, car so terme gééral est majorée par le terme gééral d ue série de iema( covergete. Toujours e appliquat l item 2) de la propositio 6.7, o e coclut que S S ) p2 coverge presque-sûremet vers 0. Doc e N 2 teat compte des résultats démotrés das les deux poits précédets, et de l iégalité triagulaire S S S p2 + S p 2, vraie pour tout etier aturel o ul, o e coclut que ( ) S coverge aussi presque-sûremet vers 0. N E fait la réciproque de 6.9 est aussi vraie. Pour cela o se reportera ( à l exercice 6.2, page ) X + X X 22, qui motre que si la v.a.r. X est pas itégrable, alors la suite N e peut pas coverger presque-sûremet das. Par cotraposée, o obtiet justemet la réciproque de la propositio 6.9. O otera que des coditios suffisates d existece de loi forte peuvet être démotrées sas l hypothèse de l idetité des lois ou de l idépedace mutuelle de la suite de v.a.r.. Par exemple o motre, et o les admettra, les deux propositios 6.20 et 6.2 (hors programme) suivates : Propositio Loi forte des grads ombres pour des v.a.r. uiformémet borées (Hors programme) Si (X ) N est ue suite idépedate de v.a.r., cetrées et telles qu il existe M > 0 vérifiat, ( pour tous ) N et ω Ω, X (ω) M, alors la suite des moyees empiriques X + X X coverge presque-sûremet vers 0. N Propositio 6.2. Loi forte des grads ombres pour des v.a.r. deux à deux idépedates (Hors programme) Si (X ) N est ue suite de v.a.r. itégrables, deux à deux ( idépedates, de) même loi et X + X X d espérace m, alors la suite des moyees empiriques coverge N presque-sûremet vers m. 6.3 Covergece das L p (Ω, F, P) où p [, + ] La topologie d espace vectoriel ormé de L p permet de défiir u autre mode de covergece pour les suites d élémets de L 0 qui sot das L p.

133 Chapitre 6. Lois des grads ombres et covergeces de v.a.r. 9 Défiitio 6.7. Si p [, + ], o dit que la suite de v.a.r. (X ) N coverge e moyee d ordre p vers la v.a.r. X ou plus simplemet coverge das L p vers la v.a.r. X si X L p et pour tout N, X L p avec lim X X L p = 0. Si p = 2 o parle aussi de covergece e moyee quadratique. L O ote alors (X ) p N X ou X = L p -lim (X ). O e cofodra pas la covergece das L p avec la covergece de la suite des espéraces mathématiques. Plus précisémet : Propositio Si la suite (X ) N coverge das L p vers la v.a.r. X, alors la suite des espéraces (E(X )) N coverge das vers E(X ). La réciproque est fausse. Cocerat la réciproque o a cepedat le résultat suivat : Propositio Si la suite (X ) N coverge p.s. vers la v.a.r. X et si, pour tout etier aturel, X 0, alors (X ) N coverge das L vers la v.a.r. X si, et seulemet si, (E(X )) N coverge das vers E(X ). 6.4 Comparaiso des covergeces das L 0 (Ω, F, P) Il existe des relatios etre les différets modes de covergece de suites de variables aléatoires. Ces relatios sot la traductio e lagage probabiliste des relatios etre les modes de covergece vus e théorie de la mesure. appelos-les pour mémoire : La covergece presque-sûre est plus forte que la covergece e probabilité comme le précise la propositio : Propositio Si (X ) N est ue suite de variables aléatoires réelles covergeat presque-sûremet vers la variable aléatoire réelle Y, alors la suite (X ) N coverge e probabilité vers la variable aléatoire réelle Y. La réciproque est fausse. Démostratio : E partat de la défiitio de la covergece des suites, o vérifie d abord que, pour tout réel a > 0, { X Y a} Y. m N m O observe de plus que P( Y ) = 0 et que, par le théorème de covergece mootoe de Beppo-Lévi, P ( m N m ) { X Y a} = lim m + P ( ) { X Y a}. m

134 20 Théorie des probabilités, Bruo Saussereau, , versio 0/0/204 Comme, pour tout etier m, o obtiet 0 P( Y ) P ( ) P { X Y a} P ({ X m Y a}), m ( m N m ) { X Y a} lim P ({ X m Y a}) 0. m + Ce qui etraîe que lim P( X m Y a) = 0 c-à-d que la suite de variables aléatoires m + réelles (X ) N coverge e probabilité vers la variable aléatoire réelle Y. Ce derier résultat est plus vrai si la mesure est pas fiie ([2] p. 85 ex V-8). Quat à la réciproque, elle est pas vraie, la covergece e probabilité etraîe pas la covergece presque-sûre (cf. [4] ex 4-3). Cepedat o a les résultats suivats : Propositio Si (X ) N coverge e probabilité vers X, alors il existe ue sous-suite covergeat presquesûremet vers X. Le résultat suivat motre à quelle coditio les otios de covergeces e probabilité et presque-sûre coïcidet (cf. [2] p. 86 ex V-0) : Propositio Les otios de covergeces e probabilité et presque-sûre coïcidet si, et seulemet si, la probabilité P est discrète. Teat compte de ce que les variables aléatoires réelles de carré itégrable sot itégrables d après la propositio 3.20, page 45, la loi faible des grads ombres apparaît aisi comme ue coséquece immédiate de la loi forte de Kolmogorov. Propositio Si < p < q < + et si la suite (X ) N coverge das L q vers la v.a.r. X, alors la suite (X ) N coverge das L p vers la v.a.r. X. La réciproque est fausse (cf. [4] ex 4-5). La topologie de L q cotiet la topologie iduite sur L q par celle de L p, mais o a pas l égalité des topologies. Cocerat le lie etre les covergeces presque-sûre et das L p, e gééral la covergece presque-sûre d ue suite de v.a. de L p etraîe pas la covergece de cette suite das L p (cf. [4] ex 4-8). Cepedat o a les deux résultats suivats : Propositio Si (X ) N est domiée das L p, p < +, et coverge presque-sûremet vers X, alors elle coverge das L p vers X. La réciproque de cette propositio est fausse, la covergece das L p covergece presque-sûre (cf. [4] ex 4-7, [2] p. 83 ex V--(3)), mais : etraîe pas la

135 Chapitre 6. Lois des grads ombres et covergeces de v.a.r. 2 Propositio Si (X ) N coverge das L p vers X, p < +, alors il existe ue sous-suite covergeat presque-sûremet vers X. Cocerat le lie etre les covergeces das L p et e probabilité, o a : Propositio Si (X ) N coverge das L p vers X, p < +, alors elle coverge e probabilité vers X. La réciproque est fausse, la covergece e probabilité etraîe pas la covergece das L p (cf. [4] ex 4-6, [2] p. 83 ex V--(5)). 6.5 Exercices de révisio sur les chapitres I à VI Exercice 6.8. (Corrigé de l exercice : page 92) Soiet (X ) ue suite de v.a.r. de carré itégrable o corrélées. O suppose qu il existe u réel µ et u réel positif C tels que, pour tout, E[X ] = µ et Var(X ) C. Motrer que la suite ( ) X + + X coverge vers µ das L 2 et e probabilité. Exercice 6.9. (Corrigé de l exercice : page 93) Théorème de Mote-Carlo Soit f ue applicatio de [0, ] das de carré itégrable au ses de Lebesgue sur [0, ]. O cosidère ue suite idépedate (U ) N de v.a.r. de loi uiforme sur [0, ]. Démotrer directemet et sas utiliser la loi des grads ombres que la suite des moyees empiriques associée à la suite de v.a.r. (f (U )) N coverge e probabilité vers l itégrale au ses de Lebesgue [0,] f dλ. Exercice 6.0. (Corrigé de l exercice : page 93) A l aide de la loi forte des grads ombres et e cosidérat ue suite idépedate de v.a.r. (X i ) i de même loi uiforme U([0, ]), calculer lim + f ( x + + x [0,] )dλ () (x,, x ), où λ () est la mesure de Lebesgue das et f ue applicatio cotiue borée de das. Exercice 6.. (Corrigé de l exercice : page 94) Théorème de Weierstrass Soiet f ue applicatio cotiue de [0, ] das et x [0, ]. Pour tout N, otos S ue v.a.r. biomiale de loi B(, x).

136 22 Théorie des probabilités, Bruo Saussereau, , versio 0/0/204. Motrer que p (x) := E[f ( S )] est u polyôme e x appelé polyôme de Berstei de f. 2. E utilisat l uiforme cotiuité de f sur [0, ] motrer que, pour tout ε > 0, il existe δ > 0 tel que, pour tout N et tout x [0, ], p (x) f (x) E[ f ( S ) f (x) ] ( εp ) S x < δ ( + 2P ) S x δ sup f (x). 0 x E déduire que, pour tout ε > 0, il existe δ > 0 tel que, pour tout N et tout x [0, ], x( x) p (x) f (x) ε + 2 sup f (x). δ 2 0 x 3. Démotrer le théorème de Weierstrass : Toute applicatio cotiue de [0, ] das est limite uiforme sur [0, ] d ue suite de polyômes. Exercice 6.2. (Corrigé de l exercice : page 95) Pour la première questio de cet exercice, o pourra utiliser le résultat de l exercice 4.7, page 92.. Soit X ue v.a.r., motrer que E( X ) 0 P( X ). 2. Soit (X ) N ue suite idépedate de v.a.r. de même loi. O pose, pour tout N, S := X + X X. E utilisat la relatio Motrer que S S + + = S ( + ) X + +, {( S ) N coverge das } [lim sup{ X }] c O suppose de plus que X est pas itégrable. A l aide du lemme de Borel-Catelli, motrer que la suite de v.a.r. ( S ) N e coverge pas presque-sûremet das. Exercice 6.3. (Corrigé de l exercice : page 96) Soit (X ) N ue suite idépedate de v.a.r. itégrables, de même loi et d espérace m 0. O ote, pour tout etier, S := X + X X. Soit I u itervalle boré de.. Motrer l iclusio {( ) S N } ( c coverge vers m lim sup{s I }). 2. E déduire que presque-sûremet seulemet u ombre fii des évéemets {S I } sot réalisés.

137 Chapitre 7. Théorème-limite cetral et covergece de lois 23 Chapitre 7 Théorème-limite cetral et covergece de lois Das ce chapitre, sauf idicatio cotraire, toutes les variables aléatoires cosidérées serot réelles et défiies sur u même espace de probabilité (Ω, F, P). O otera M (), ou plus simplemet M, l esemble des mesures de probabilité sur. O se propose de muir cet esemble d ue structure topologique appelée topologie de la covergece étroite. La otatio C b ( d ) désigera l espace foctioel des applicatios, appelées foctios-test, cotiues et borées de d das. 7. Théorème-limite cetral (TLC) 7.. Éocé du théorème-limite cetral (TLC) Pour itroduire l éocé du TLC, commeços par ue propositio élémetaire très utilisée e statistique iféretielle. Propositio 7.. Si (X ) N est ue suite idépedate et idetiquemet distribuée (i.i.d.) de variables aléatoires réelles gaussiees d espérace m et de variace σ 2 > 0, alors, pour tout etier > 0, la variable aléatoire réelle X + + X m est ue variable aléatoire ormale cetrée de variace σ2. Démostratio : Soit N fixé. Comme (X,, X ) est ue suite idépedate de variables aléatoires réelles gaussiees, la somme X + +X est ue variable aléatoire réelle gaussiee de loi N (m, σ 2 ). Par suite la v.a.r. X + + X m est de loi N (0, σ2 ).

138 24 Théorie des probabilités, Bruo Saussereau, , versio 0/0/204 E particulier, pour tout x, o peut écrire avec les otatios de la propositio précédete, ( ) X + + X σ 2 P m x = 2π x O peut aussi éocer la propositio précédete sous la forme : e u2 2 du. Propositio 7.2. Si (X ) N est ue suite idépedate et idetiquemet distribuée de variables aléatoires réelles gaussiees d espérace m et de variace σ 2 > 0, alors, pour tout etier > 0, la variable aléatoire réelle S := X + + X est ue variable aléatoire ormale d espérace m et de variace σ 2. Si, das les hypothèses de la propositio 7., o supprime la coaissace a priori de la loi commue des v.a.r., le résultat précédet deviet seulemet "asymptotiquemet" vrai au ses précisé das l éocé du théorème suivat, cou sous le om de Théorème-limite cetral ou e abrégé TLC, très importat e statistique iféretielle. Vu so importace, ous doeros das ce chapitre plusieurs éocés équivalets de ce résultat que ous démotreros à la page 38 après avoir étudié la otio de covergece étroite d ue suite de probabilités. Propositio 7.3. Théorème-limite cetral (versio "moyee empirique") Si (X ) N est ue suite idépedate et idetiquemet distribuée de variables aléatoires réelles de carré itégrable d espérace m et de variace σ 2 > 0, alors, pour tout x, ( ) lim P X + + X σ 2 m x + = 2π x e t2 2 dt. La loi forte des grads ombres affirme que presque-sûremet, pour assez grad, la moyee empirique X + + X est proche de m. Le théorème-limite cetral quat à lui, doe des reseigemets, pour "assez grad", sur la loi approximative de l erreur X + + X m commise e preat X + + X comme estimatio de m. D u poit de vue pratique, si (X ) N est ue suite idépedate et idetiquemet distribuée de variables aléatoires réelles de carré itégrable d espérace m et de variace σ 2 > 0, alors, pour tout etier aturel assez grad et pour tout x, ( ) X + + X P m x x σ 2 2π σ c-à-d avec le chagemet de variable u := t 2, ( ) X + + X P m x 2π σ2 e t2 2 dt x e u 2 2 σ2 du.

139 Chapitre 7. Théorème-limite cetral et covergece de lois 25 O peut dire qu asymptotiquemet, i.e. pour tout etier assez grad, l erreur X + + X m suit la loi ormale N (0, σ2 ) ou ecore que la moyee empirique X + + X suit approximativemet la loi N (m, σ2 ). Cela sigifie qu asymptotiquemet la v.a.r. S = X + + X peut être approximée par ue variable aléatoire ormale d espérace m et de variace σ 2. O peut alors doer ue autre forme équivalete du TLC qui porte sur la somme de v.a.r i.i.d. : Propositio 7.4. Théorème-limite cetral (versio "somme de v.a.r.") Si (X ) N est ue suite idépedate et idetiquemet distribuée de variables aléatoires réelles de carré itégrable, d espérace m et de variace σ 2 > 0, alors, pour tout réel x, ( lim P S m + ) x = σ 2π x e t2 2σ 2 dt. O peut aussi exprimer le TCL sous ue forme plus ituitive, calquée sur l éocé de la propositio 7.2 mais cette fois sas l hypothèse de ormalité des variables, ce qui coduit à u résultat aalogue vrai seulemet asymptotiquemet sur, au lieu de l être pour tout. C est d ailleurs souvet sous cette derière forme que le TLC est éocé et utilisé das les applicatios pratiques e statistique. Propositio 7.5. Approximatio d ue somme de v.a.r. par la loi ormale Si (X ) N est ue suite idépedate et idetiquemet distribuée de variables aléatoires réelles de carré itégrable, d espérace m et de variace σ 2 > 0, alors, pour tout etier aturel suffisammet grad (e pratique 30), la variable aléatoire réelle S := X + + X se comporte approximativemet comme ue variable aléatoire ormale d espérace m et de variace σ 2. Exemples 7.. Cosidéros ue suite i.i.d. (X ) N de variables aléatoires réelles de loi uiforme sur l itervalle [, ]. Posos S := 365 X 2 2 k. Alors P( S 5) 0, 99. k= E effet, e gardat les mêmes otatios que plus haut, u calcul d espérace et de variace pour la variable aléatoire réelle X de loi uiforme sur l itervalle [, ] o obtiet, 2 2 m = E(X ) = 0 et σ 2 = Var(X ) =. Par suite E(S) = 0 et, e vertu de l idetité 2 des lois et de l idépedace de la suite (X ) N, Var(S) = Var ( 365 ) 365 X k = Var(X k ) = k= Comme d après ce qui a été écrit plus haut, S est pratiquemet ue variable aléatoire réelle ormale car peut être cosidéré comme grad, o e déduit que la loi de S est pratiquemet N (0, 365). Cela sigifie aussi que la variable aléatoire réelle 2 S est k=

140 26 Théorie des probabilités, Bruo Saussereau, , versio 0/0/204 pratiquemet de loi N (0, ). Par suite comme 5 2, 72, ( 2 ) P( S 5) = P 365 S 2 5 = 365 2,72 2,72 2π e t2 2 dt. E utilisat la table de la loi ormale cetrée réduite de l aexe B, page 2, o trouve P( S 5) 0, 99. Comparos ce résultat à ce que doerait l iégalité de Bieaymé-Tchébychev. Par applicatio de cette iégalité, c-à-d P( S 5) 0, 865. P( S > 5) = P( S E(S) > 5) Var(S) 5 2 0, 35, O voit qu u des itérêts du TLC est de permettre d approximer la loi d ue variable aléatoire réelle das des situatios où le calcul exact de cette loi serait pratiquemet très compliqué, voire impossible Cas particuliers du théorème-limite cetral (TLC) Appliquos le TLC à des cas particuliers. Voici u corollaire du théorème-limite cetral historiquemet importat. Propositio 7.6. Approximatio d ue loi biomiale par ue loi ormale (Théorème de De Moivre- Laplace) Si p ]0, [ et, pour tout etier, Z est ue variable aléatoire réelle de loi biomiale B(, p), alors pour tout réel x lim P + ( ) Z p x p( p) = 2π x e t2 2 dt. Démostratio : D après la propositio 4.33, page 86, la variable aléatoire réelle Z p p( p) a même loi que la variable aléatoire réelle Y := X + + X p p( p) où (X ) N est ue suite idépedate et idetiquemet distribuée de variables aléatoires réelles de Beroulli de loi B(p). De plus avec les otatios habituelles, m = E(X 0 ) = p, σ 2 = Var(X 0 ) = p( p). O applique alors le théorème-limite cetral (versio "moyee empirique", cf. propositio 7.3)

141 Chapitre 7. Théorème-limite cetral et covergece de lois 27 à la suite (X ) N. Le théorème de De Moivre-Laplace exprime que das la pratique, pour assez grad, ue variable aléatoire réelle X biomiale de taille peut être approximée par ue variable aléatoire réelle ormale X. Plus précisémet, si a et b sot des réels avec a < b, alors P (a < X b) = P ( a p p( p) < X p p( p) ) b p. p( p) D où pour u etier assez grad, P (a < X b) 2π c-à-d avec le chagemet de variable t = P (a < X b) b 2πp( p) b p p( p) a p p( p) u p p( p), a exp ( e t 2 2 dt (u p)2 2p( p) ) du = P (a < X b) où X est ue variable aléatoire réelle ormale d espérace p et de variace p( p). E coclusio, o peut dire qu asymptotiquemet, i.e. pour assez grad, la v.a.r. X biomiale B(, p), peut être approximée par ue variable aléatoire ormale X d espérace p et de variace p( p). Das la pratique cette approximatio est cosidérée satisfaisate si 20 et p 2. Exercice 7.. (Corrigé de l exercice : page 96) U ciéma comporte deux salles coteat chacue places. N persoes se présetet à l etrée de ce ciéma. O admet que les choix des spectateurs sot idépedats les us des autres et qu u spectateur quelcoque a ue chace sur deux d aller das la première salle.. Quelle est la probabilité P que tous les spectateurs e puisset pas voir le film qu ils ot choisi? 2. Commet le costructeur aurait-il dû choisir si o sait que N = 000 et si o veut que P 0, 0? O peut faire, pour les variables aléatoires réelles de Poisso, u raisoemet aalogue à celui fait pour les variables biomiales pour obteir la propositio suivate : Propositio 7.7. Approximatio d ue loi de Poisso par ue loi ormale Soiet u réel α > 0 et, pour tout etier, Z ue variable aléatoire réelle de loi de Poisso P(α), alors pour tout réel x, ( lim P Z α + α ) x = x e t2 2 dt. 2π

142 28 Théorie des probabilités, Bruo Saussereau, , versio 0/0/204 Démostratio : La démostratio de cette propositio se calque facilemet sur celle du théorème de De Moivre-Laplace. Ue coséquece de la propositio 7.7 est que, pour u réel β assez grad, ue variable aléatoire réelle X de Poisso P(β) peut être approximée par ue variable aléatoire réelle X ormale N (β, β). Das la pratique cette approximatio est cosidérée satisfaisate si β Correctio de cotiuité Preos le cas de l approximatio d ue variable aléatoire réelle X biomiale B(, p), par ue variable aléatoire réelle X ormale N [p, p( p)]. Si o remplace "brutalemet" X par X das les calculs, o aura, pour tout etier 0 k, P(X = k) P(X = k) = 0 car X état ue variable aléatoire réelle à desité, P(X = x) = 0 pour tout réel x. Ce qui a aucu itérêt. E gééral pour éviter cet icovéiet, quad o veut approximer das u calcul pratique ue variable aléatoire réelle X discrète portée par N par ue variable aléatoire réelle X admettat ue desité ρ sur de foctio de répartitio F, o effectue ue correctio appelée correctio de cotiuité. Les correctios de cotiuité sot doées par :. Pour tout etier 0 k, o approxime P(X = k) de la faço suivate : ( P(X = k) = P k 2 X k + ) ( P k 2 2 X k + ) 2 c est-à-dire P(X = k) k+ 2 k 2 ρ(t)dλ(t) = F ( k + ) ( F k ) Plus gééralemet, si a et b sot des réels avec a < b, o approxime P(a < X < b) de la faço suivate (mêmes écritures avec les iégalités larges) : ( P(a < X < b) = P a 2 X b + ) ( P a 2 2 X b + ) 2 c est-à-dire P(a < X < b) b+ 2 a 2 ρ(t)dλ(t) = F ( b + ) ( F a ) O écrit, pour tout réel b, (mêmes écritures avec les iégalités larges) : ( P(X < b) = P X b + ) ( P X b + ) b+ 2 = ρ(t)dλ(t) = F O écrit, pour tout réel a, (mêmes écritures avec les iégalités larges) : P(a < X ) = P (a 2 ) X P (a 2 ) + X = ρ(t)dλ(t) = F a 2 ( b + ). 2 ( a ). 2

143 Chapitre 7. Théorème-limite cetral et covergece de lois 7.2 Covergece d ue suite de probabilités, covergece e loi L importace du théorème-limite cetral coduit à itroduire ue otio de covergece das l esemble M () des probabilités sur. Auparavat disos qu u réel x est poit de cotiuité, resp. poit de discotiuité, d ue applicatio f de das si l applicatio f est cotiue e x, resp. discotiue e x. Défiitio 7.. Soiet (µ ) N ue suite de probabilités sur et µ ue probabilité sur. O dit que la suite de probabilités (µ ) N coverge étroitemet vers la probabilité µ, si, pour tout poit de cotiuité x de la foctio de répartitio F µ de µ, la suite réelle (F µ (x)) N coverge vers le réel F µ (x). O remarquera qu o exige pas que la suite de réels (F µ (x)) N coverge vers F µ (x) aux poits x où la foctio de répartitio F µ de µ est pas cotiue. Il se peut qu il y ait pas covergece e certais poits de discotiuité. O otera le résultat suivat d aalyse, coséquece de la mootoie de la foctio de répartitio : Propositio 7.8. L esemble des poits de discotiuité d ue foctio de répartitio, est déombrable. Démostratio : O rappelle qu o a vu das le premier chapitre, propositio.4, page 5, que la foctio de répartitio de µ est pas cotiue e u poit x si, et seulemet si, µ({x}) > 0. O e déduit doc que l esemble des discotiuités de F µ est égal à + k= { x / µ({x}) > }. k Mais, pour tout etier k, {x /µ({x}) > } cotiet au plus k élémets. Par suite k l esemble des discotiuités de la foctio de répartitio d ue probabilité est ue réuio déombrable d esembles déombrables, doc est u esemble déombrable. O predra garde que, si ue suite de foctios de répartitio de probabilités coverge, sa limite est pas écessairemet la foctio de répartitio d ue probabilité, comme le motre l exercice 7.2 ci-dessous. E revache, o admettra que : Propositio 7.9. La limite, si elle existe, d ue suite de foctios de répartitio est ue applicatio de das [0, ] cotiue à droite et croissate. 29 Exercice 7.2. (Corrigé de l exercice : page 97) E cosidérat la suite de probabilités de Dirac au poit sur, (δ ) N, motrer que la limite, si elle existe, d ue suite de foctios de répartitio est pas écessairemet ue foctio de répartitio et qu o peut avoir la covergece simple de la suite (F µ ) N sas

144 30 Théorie des probabilités, Bruo Saussereau, , versio 0/0/204 que la suite (µ ) N coverge. Défiitio 7.2. Si (X ) N est ue suite de variables aléatoires réelles et X ue v.a.r., o dit que la suite (X ) N coverge e loi vers la variable aléatoire réelle X pour exprimer que la suite (P X ) N des lois des variables aléatoires réelles X coverge vers la loi P X de la variable aléatoire réelle X. O predra garde que cette derière termiologie est très dagereuse car ue suite de variables aléatoires réelles (X ) N peut coverger e loi vers des variables aléatoires réelles différetes. Tout ce qu o peut affirmer a priori c est que toutes ces variables aléatoires réelles aurot alors la même loi, comme le précise le résultat qui suit : Propositio 7.0. Si ue suite de probabilités sur, (µ ) N, coverge étroitemet vers deux probabilités sur, µ et ν, alors µ = ν. Démostratio : Notos C(F µ ), resp. C(F ν ), l esemble des poits de cotiuité de la foctio de répartitio de µ, resp. ν. Comme l esemble des discotiuités de la foctio de répartitio d ue probabilité est u esemble déombrable (cf. propositio 7.8), l esemble des poits de cotiuité commus à F µ et F ν, i.e. C(F µ ) C(F ν ), est dese das comme complémetaire d u esemble déombrable. Pour tout x C(F µ ) C(F ν ), F µ (x) = lim F µ (x) = F ν (x) car la suite (µ ) N, coverge à la fois vers les deux probabilités µ et ν. F µ et F ν état cotiues à droite sur, o e coclut que F µ = F ν et par suite µ = ν. O admettra qu o peut muir l esemble M () d ue structure d espace métrique dot la topologie associée est celle de la covergece étroite (cf. [3], exercice V-7). Précisémet : Propositio 7.. (Hors programme). L applicatio d de M M das + défiie par d(µ, ν) := if {ε > 0; x, F µ (x ε) ε F ν (x) F µ (x + ε) + ε}, où F µ et F ν désiget les foctios de répartitio respectivemet de µ et ν, défiit ue métrique, dite métrique de Lévy, sur M (). 2. La suite (µ ) N de probabilités coverge étroitemet vers la probabilité µ si, et seulemet si, la suite réelle (d(µ, µ)) N coverge vers De plus, pour tout couple de v.a.r. (X, Y ), o a d(p X, P Y ) ( X, Ŷ ), où désige la métrique de Ky-Fa (cf. propositio 6.9, page ). E utilisat la termiologie (abusive) de la covergece e loi et la versio "somme de v.a.r." du TLC, o vérifie aisémet qu o peut éocer le TLC e termes de covergece e loi. Cet éocé eglobe le cas où σ 2 = 0 et se gééralise au cas où les variables aléatoires sot vectorielles (cf. propositio 7.25, page 38) :

145 Chapitre 7. Théorème-limite cetral et covergece de lois 3 Propositio 7.2. Théorème-limite cetral (versio réelle) Soiet (X ) N ue suite idépedate et idetiquemet distribuée de variables aléatoires réelles de carré itégrable (i.e. E( X 0 2 ) < + ), d espérace m et de variace σ 2. O pose, pour tout etier ( aturel o ul, S = X + X X. Alors, la suite de variables aléatoires S m réelles coverge e loi vers ue variable aléatoire gaussiee cetrée de variace )N σ 2. Exercice 7.3. (Corrigé de l exercice : page 97) Soit (X ) ue suite idépedate de variables aléatoires réelles de même loi de Poisso k= P(). Pour, o pose S := X k. Préciser la loi de S et calculer la limite de la k= suite réelle ( e k= k=0 ) k. k! Das le cas où la suite de probabilités est composée de probabilités discrètes portées par N, o utilise le critère de covergece suivat : Propositio 7.3. Critère de covergece pour les probabilités discrètes Soiet, pour tout N, µ et µ des probabilités discrètes portées par N. Alors la suite (µ ) N coverge vers µ si, et seulemet si, pour tout k N, la suite de réels (µ ({k})) N coverge vers µ({k}). Démostratio : Motros la coditio écessaire. Comme µ est ue probabilité discrète portée par N, sa foctio de répartitio est défiie sur par F µ (x) = + k=0 µ({k})l [k,+ [ (x). O a ue écriture aalogue pour les foctios de répartitio des probabilités µ. L esemble des poits de discotiuité de F µ est iclus das N. Par suite, pour tout etier k, k + et k 2 2 sot des poits de cotiuité de F µ et F µ. Comme µ({k}) = F µ (k + ) F 2 µ(k ), il viet 2 e utilisat le fait que, pour tout poit de cotiuité x de F µ, F µ (x) = lim F µ (x), ( µ({k}) = lim F µ k + ) ( lim F µ k ) 2 2 [ ( = lim F µ k + ) ( F µ k )] 2 2 = lim µ ({k}). La coditio suffisate est immédiate d après l écriture des foctios de répartitio de µ et µ. O otera que le critère précédet deviet faux si les probabilités sot portées par ue partie déombrable D de dot les poits e sot pas tous topologiquemet isolés. O rappelle qu u

146 32 Théorie des probabilités, Bruo Saussereau, , versio 0/0/204 poit x D est dit topologiquemet isolé s il existe u itervalle de la forme ]x ε, x + ε[, avec ε > 0, e coteat pas d autre poit de D que x lui-même. O peut costruire u cotre-exemple e cosidérat, pour tout etier, les probabilités µ := δ et predre µ := δ 0. Doos comme exemple d applicatio aux lois classiques du critère des probabilités discrètes le résultat suivat : Propositio 7.4. Soit α ]0, + [. Si (p ) N est ue suite de réels de ]0, [ telle que lim (p ) = α, alors la suite de probabilités ( B(, p )) N coverge vers P(α). Démostratio : Fixos k N, par défiitio de la probabilité biomiale B(, p )({k}) = C k p k ( p ) k = ( )...( k + ) p k k! ( p ) k. Au voisiage de +, k est u équivalet de ( )...( k + ) et B(, p )({k}) admet pour équivalet (p ) k ( p ) k. k! De plus, toujours au voisiage de +, l( p ) k = ( k) l( p ) ( k)( p ) k ( α) α, par suite lim ( p ) k = e α. Par passage à la limite o obtiet doc et par équivalece lim + (p ) k k! ( p ) k = αk k! e α lim B(, p )({k}) = αk + k! e α = P(α)({k}), pour tout etier k, ce qui doe le résultat cherché. Das les calculs pratiques ce résultat est utilisé de la faço suivate : si 30, p 0, p 0, o assimile ue variable biomiale de loi B(, p) à ue variable de Poisso de paramètre p. Exercice 7.4. (Corrigé de l exercice : page 98) U fabriquat produit des trasistors dot u pour cet sot défectueux. Il les esache par paquets de 00 et les garatit à 98 pour cet. Quelle est la probabilité que cette garatie tombe e défaut? Doos, toujours à titre d exemple, ue approximatio de la loi hypergéométrique.

147 Chapitre 7. Théorème-limite cetral et covergece de lois 33 Défiitio 7.3. O appelle loi hypergéométrique de paramètres N,, p, la probabilité sur défiie par H(N,, p) := k=0 CNp k C k Nq δ CN k, où N, N N, p ]0, [ tels que Np N, et q := p. O trouvera la valeur de l espérace et de la variace de la loi hypergéométrique das le formulaire de l aexe A, page 205. Propositio 7.5. Soiet N et p ]0, [. Notos S := {N N / Np N}. Alors la suite de probabilités ( H(N,, p)) N S coverge étroitemet vers B(, p). Exercice 7.5. (Corrigé de l exercice : page 98) Démotrer la propositio 7.5 précédete. Das les calculs pratiques ce résultat est utilisé de la faço suivate : si N > 0, o assimile ue variable hypergéométrique de loi H(N,, p) à ue variable biomiale de loi B(, p). O otera aussi qu ue suite de probabilités discrètes peut coverger vers ue probabilité odiscrète comme le prouve le théorème de De Moivre-Laplace. Das les cas gééraux, o dispose de critères de covergece étroite utilisat des familles de foctios-test, par exemple le critère suivat (pour ue démostratio, o pourra se reporter à [4], page 78) : Propositio 7.6. Critère de covergece étroite par les foctios cotiues borées Soiet (µ ) N ue suite de probabilités sur et µ ue probabilité sur. La suite de probabilités (µ ) N coverge étroitemet vers la probabilité µ si, et seulemet si, pour tout f C b (), la suite de réels ( f dµ ) N coverge das vers f dµ. Éocé e terme de covergece e loi de v.a.r. cette derière propositio deviet, par applicatio du théorème du trasfert : Propositio 7.7. Critère de covergece e loi par les foctios cotiues borées Soiet (X ) N ue suite de v.a.r. et X ue v.a.r.. La suite de v.a.r. (X ) N coverge e loi vers la v.a.r. X si, et seulemet si, pour tout f C b (), la suite de réels (E(f (X )) N coverge das vers E(f (X )). A titre d applicatio de ce résultat, prouvos la propositio suivate :

148 34 Théorie des probabilités, Bruo Saussereau, , versio 0/0/204 Propositio 7.8. Soit (X ) N ue suite de v.a.r. et f ue applicatio cotiue de das. Si la suite de v.a.r. (X ) N coverge e loi vers ue v.a.r. X, alors la suite de v.a.r. (f (X )) N coverge e loi vers f (X ). Démostratio : O remarque tout d abord que, pour tout N, l applicatio f (X ) de Ω das est bie ue variable aléatoire puisqu elle est la composée de l applicatio X qui est ( F, B())-mesurable et de l applicatio f qui est cotiue doc ( B(), B())- mesurable. Si ϕ est ue applicatio de das cotiue borée alors ϕ f est égalemet cotiue borée. L hypothèse de covergece e loi de la suite (X ) N vers X etraîe, compte teu de la propositio 7.6 appliquée à ϕ f et du théorème de trasfert, lim E[ϕ f (X )] = lim ϕ f (x)dp X = ϕ f (x)dp X = E[ϕ f (X )] que l o peut écrire lim E[ϕ(f (X ))] = E[ϕ(f (X ))]. Ceci état valable pour toute applicatio cotiue borée ϕ, o coclut que la suite (f (X )) N coverge e loi vers f (X ). Il peut être utile d avoir des critères utilisat d autres familles de foctios-test, comme par exemple celle des foctios cotiues à support compact ou celle des foctios cotiues ulles à l ifii : Propositio 7.9. Critère de covergece étroite par les foctios cotiues à support compact Soiet (µ ) N ue suite de probabilités sur d et µ ue probabilité sur d. La suite de probabilités (µ ) N coverge étroitemet vers la probabilité µ si, et seulemet si, pour toute foctio f de d das, cotiue et à support compact sur d, la suite de réels ( f dµ ) N coverge das d vers f dµ. Démostratio : Faisos la démostratio das le cas où d =. O admettra le résultat pour d >. C.N. - Si la suite (µ ) N de probabilités coverge étroitemet vers la probabilité µ, alors, d après la propositio 7.6, pour tout f C b (), la suite de réels ( f dµ ) N coverge das vers f dµ. Comme les foctios cotiues à support compact sot borées, o a bie que, pour toute foctio f cotiue et à support compact sur, la suite de réels ( f dµ ) N coverge das vers f dµ. C.S. - ( O suppose ) que, pour toute foctio f cotiue et à support compact sur, la suite de réels f dµ coverge das vers f dµ. N Cosidéros, pour tout etier aturel o ul k, la foctio ϕ k, défiie, pour tout réel x, par 0, si x < (k + ) ou x > k + ;, si k x k ; ϕ(x) = x + k +, si k x k + ; x + k +, si (k + ) x k.

149 Chapitre 7. Théorème-limite cetral et covergece de lois 35 Pour tout etier aturel o ul k, la foctio ϕ k, est ue foctio cotiue à support compact telle que 0 ϕ k et la suite de foctios (ϕ k ) N coverge simplemet sur vers la foctio costate égale à. Doc, la suite ( ϕ k ) N coverge simplemet sur vers la foctio ulle et cette suite de foctios est domiée par la foctio µ-itégrable l, car µ est par hypothèse ueprobabilité. Doc par le théorème de covergece domiée, o obtiet lim ( ϕ k )dµ = lim ( ϕ k)dµ = 0. k k Soit h ue foctio cotiue, borée sur par M. O a, pour tout etier aturel o ul k, et tout etier aturel, hdµ hdµ (h hϕ k )dµ + hϕ k dµ hϕ k dµ + (hϕ k h)dµ M ( ϕ k )dµ + hϕ k dµ hϕ k dµ + M ( ϕ k )dµ, M ( ϕ k )dµ + M ( ϕ k )dµ ( ϕ k )dµ + + hϕ k dµ hϕ k dµ + M ( ϕ k )dµ, M ( ϕ k )dµ + M ϕ k dµ ϕ k dµ + + hϕ k dµ hϕ k dµ + M ( ϕ k )dµ, car ( ϕ k )dµ ( ϕ k )dµ = ϕ k dµ ϕ k dµ, puisque, µ et µ état des probabilités, ldµ = ldµ =. Or les foctios ϕ k et hϕ k sot cotiues à support compact. Comme, par ( hypothèse, ) pour toute foctio f cotiue et à support compact sur, la suite de réels f dµ coverge das vers f dµ, o a, pour tout etier k fixé, N lim ϕ k dµ = ϕ k dµ, ou ecore lim ϕ k dµ ϕ k dµ = 0. Pour la même raiso, pour tout etier k fixé, lim (hϕ k )dµ hϕ k dµ = 0. Soit ε > 0 doé. Alors, à coditio de choisir et fixer k suffisammet grad, puis de predre suffisammet grad, o pourra avoir hdµ hdµ ε. Ce qui prouve que, pour tout h C b (), la suite de réels ( hdµ ) N coverge das vers hdµ, et doc que la suite de probabilités (µ ) N coverge étroitemet vers la probabilité µ. O peut remplacer das la propositio précédete les foctios cotiues à support compact par les foctios cotiues "ulles à l ifii". Défiitio 7.4. Ue applicatio f de d das est dite ulle à l ifii si, pour tout ε > 0, il existe u compact K d tel que, pour tout x K c, f (x) ε. O ote souvet C 0 ( d ) l esemble des applicatios de d das cotiues et ulles à l ifii.

150 36 Théorie des probabilités, Bruo Saussereau, , versio 0/0/204 O obtiet alors le critère suivat : Propositio Critère de covergece étroite par les foctios cotiues ulles à l ifii Soiet (µ ) N ue suite de probabilités sur d et µ ue probabilité sur d. La suite de probabilités (µ ) N coverge étroitemet vers la probabilité µ si, et seulemetsi, pour toute foctio f de d das, cotiue sur d et ulle à l ifii, la suite de réels ( f dµ ) N coverge das d vers f dµ. Démostratio : aisoos toujours e dimesio d =. O peut repredre mot pour mot la démostratio de la propositio 7.9 e remplaçat l expressio "à support compact" par "ulle à l ifii", car o vérifie e repreat ses otatios que, pour tout k, les foctios ϕ k et hϕ k sot cotiues et ulles à l ifii. Das le cas des probabilités à desité o dispose de la coditio suffisate (mais o écessaire) de covergece étroite suivate : Propositio 7.2. Théorème de Scheffé Soiet, pour tout N, µ et µ des probabilités absolumet cotiues sur de desités respectives f et f par rapport à la mesure de Lebesgue λ. Si la suite des desités (f ) N coverge λ-presque-partout vers la desité f, alors la suite de probabilités (µ ) N coverge étroitemet vers µ. La réciproque est fausse. Démostratio : Comme f et f sot des desités, pour tout N, (f f )dλ = 0. Doc (f f ) + dλ = f ) (f dλ = 2 f f dλ où o utilise que, pour tout x, x = x + x et x = x + + x. La suite ((f f ) + ) N est domiée par f et coverge λ-presque-partout vers 0 car l applicatio x ( x + est cotiue. ) D après le théorème de covergece domiée de Lebesgue, o e déduit que (f f ) + dλ ( ) N coverge vers 0 et par suite f f dλ coverge égalemet vers 0. Efi comme, pour N ( ) tout t, (f f )dλ f f dλ, la suite (f f )dλ ted vers 0 ],t] ],t] N quad ted vers l ifii. O a motré que, pour tout t, la suite (F (t)) N coverge vers F (t) où F est la foctio de répartitio de µ et F celle de µ. D où la covergece étroite de (µ ) N vers µ. La réciproque est fausse comme le prouve l exercice suivat : Exercice 7.6. (Corrigé de l exercice : page 98) E cosidérat, pour tout etier, les applicatios défiies, pour tout réel x, par

151 Chapitre 7. Théorème-limite cetral et covergece de lois 37 f (x) := [ cos(2πx)]l [0,] (x), motrer qu il existe ue suite de probabilités qui coverge étroitemet vers ue probabilité µ sas que la suite des desités associées coverge λ-presque-partout vers la desité de µ. Les foctios caractéristiques (f.c.) sot aussi u outil extrêmemet commode das l étude des covergeces étroites, grâce au résultat suivat qu o admettra (o pourra e trouver ue démostratio das [4], pages 79-8) : Propositio Théorème de cotiuité de Paul Lévy Soit (µ ) N ue suite de probabilités sur d. La suite des f.c. (Φ µ ) N coverge simplemet sur d vers ue applicatio ϕ de d das C cotiue e 0 si, et seulemet si, il existe ue probabilité µ sur d, de foctio caractéristique Φ µ = ϕ, telle que la suite (µ ) N coverge étroitemet vers µ. L hypothèse de la cotiuité de ϕ e 0 est essetielle. Das la propositio 7.22, le fait que (µ ) N coverge vers ue limite µ qui est ue probabilité fait partie du résultat de la propositio, cotrairemet à la propositio 7.23 qui suit, où le fait que µ soit ue probabilité fait partie des hypothèses de la propositio. Le théorème de cotiuité de Lévy a pour corollaire u critère pratique de covergece étroite utilisat les foctios caractéristiques. Propositio Critère de covergece étroite par les f.c. Soiet (µ ) N ue suite de probabilités sur d et µ ue probabilité sur d. La suite de probabilités (µ ) N coverge étroitemet vers la probabilité µ si, et seulemet si, la suite des f.c. (Φ µ ) N coverge simplemet sur d vers la f.c. Φ µ. ou ecore, éocé avec les v.a.r. : Propositio Critère de covergece e loi par les f.c. Soiet (X ) N ue suite de v.a.r. et X ue v.a.r.. La suite (X ) N coverge e loi vers X si, et seulemet si, la suite des f.c. (Φ X ) N coverge simplemet sur vers la f.c. Φ X. Démostratio : C.N. - Supposos que (µ ) N coverge étroitemet vers la probabilité µ. Les foctios e u : x d e i<x,u> C, où u d, sot cotiues et borées sur d. Par applicatio du critère de covergece étroite par les foctios cotiues et borées (propositio 7.6) appliqué aux parties réelles et imagiaires ( des foctios e) u, o e coclut que, pour tout u d, la suite de ombres complexes e i<x,u> dµ (x) coverge das C vers d N e i<x,u> dµ(x), doc la suite des f.c. (Φ µ ) N coverge simplemet sur d vers la f.c. Φ µ. d C.S. - Supposos que la suite des f.c. (Φ µ ) N coverge simplemet sur d vers la f.c. Φ µ. Preos, avec les otatios du théorème de cotiuité de Lévy, ϕ = Φ µ. Alors, la suite des f.c. (Φ µ ) N coverge simplemet sur d vers ue applicatio ϕ de d das C cotiue e 0. Par le théorème de cotiuité de Lévy, o e coclut qu il existe ue probabilité ν sur d, de foctio caractéristique Φ ν = ϕ, et que la suite (µ ) N coverge étroitemet vers ν. Comme

152 38 Théorie des probabilités, Bruo Saussereau, , versio 0/0/204 Φ ν = ϕ = Φ µ, o coclut par le théorème d ijectivité des f.c. que µ = ν, et que la suite (µ ) N coverge bie étroitemet vers µ. Exemples 7.2. Si (a ) N et (σ ) N sot deux suites réelles covergeat respectivemet vers les réels a et σ, alors la suite de probabilités ( N (a, σ 2 )) N coverge étroitemet vers la probabilité N (a, σ 2 ). Exercice 7.7. (Corrigé de l exercice : page 99) Démotrer l affirmatio de l exemple 7.2 précédet. Pour cela utiliser la foctio caractéristique de la loi N (a, σ 2 ), faire tedre vers l ifii et coclure e appliquat le critère des foctios caractéristiques pour la covergece étroite des probabilités. Utilisos le critère de covergece étroite par les f.c. pour doer ue démostratio du théorème-limite cetral que ous éoços maiteat das le cadre vectoriel qui gééralise l éocé doé das la propositio 7.2 e dimesio d = : Propositio Théorème-limite cetral (versio vectorielle) Soiet (X ) N ue suite idépedate et idetiquemet distribuée de vecteurs aléatoires réels de dimesio d, de carré itégrable (i.e. E( X 0 2 ) < + ), d espérace m d et de matrice de dispersio D. O pose, pour tout etier aturel ( o ul, S = X + X X. S m Alors, la suite des lois des vecteurs aléatoires coverge étroitemet vers la loi )N gaussiee de dimesio d, N d (0, D). Démostratio : Nous allos démotrer le TLC das le cas d =. Soit (X ) N ue suite idépedate et idetiquemet distribuée de variables aléatoires réelles de carré itégrable, d espérace m et de variace σ 2. Cosidéros d abord le cas σ 2 = 0. Les v.a.r. sot alors détermiistes et égales à la costate m. Das ce cas, pour tout etier o ul, S = m et S m = 0. La suite des v.a.r. ( S m est la suite statioaire ulle. Elle coverge étroitemet vers la loi gaussiee )N dégéérée de dimesio N (0, 0) = δ 0. Ce qui prouve le théorème das le cas σ 2 = 0. Plaços-ous maiteat das le cas σ 2 > 0. Soit Φ la foctio caractéristique de la v.a.r. X m. D après la propositio 3.33, page 57, comme les variables sot de carré itégrable, la f.c. Φ est de classe C 2. De plus, o a Φ(0) =, Φ (0) = E(X m) = 0 et Φ (0) = i 2 E[(X m) 2 ] = Var(X ) = σ 2. La foctio Φ admet u développemet limité e 0 à l ordre 2 doé, pour tout réel t, par Φ(t) = σ2 2 t2 + t 2 ε(t) avec lim ε(t) = 0. Doc, la foctio caractéristique de la v.a.r. S m est l applicatio Φ t 0 défiie, pour tout réel t, par S m i< Φ (t) = E [e ],t> = E [e ] i<s m, > = E [e ] i< k= k= X k, >.

153 Chapitre 7. Théorème-limite cetral et covergece de lois ( )] t, ou ecore Φ (t) = D où Φ (t) = E [e ] [ i<x, > = Φ Il e reste plus qu à motrer que, pour tout réel t, lim Φ (t) = e σ + E effet, d après la formule du biôme de Newto, [ σ2 2 t2 + t2 ε 2 t 2 2. ( t )]. 39 ( )] [ σ2 2 t2 + t2 t ε k= = k=0 C k t 2k k ( )] k [ σ2 t 2 + ε. Cosidéros la série umérique k u k () de terme gééral : u k () = 0 si k >, et u k () = C k t 2k k ( )] k [ σ2 t 2 + ε si 0 k. Pour tout réel t fixé, il existe ue costate M telle que, pour tout etier aturel o ul, u k () M k. Doc la série k! u k () coverge ormalemet. O peut doc itervertir les symboles lim et +, o obtiet lim u k () = lim u σ 2 t 2k + k k= k() = = e σ2 t 2 2. Doc la suite des foctios + + 2(k!) k=0 k=0 k=0 caractéristiques des v.a.r. S m coverge vers la foctio caractéristique de la loi ormale cetrée de variace σ 2. Ce qui prouve, e vertu du critère de covergece e loi par les foctios caractéristiques (propositio 7.24, page 37) que la suite des v.a.r. S m coverge e loi vers ue v.a.r. ormale cetrée de variace σ 2. Pour compléter l étude des lies, commecée au chapitre précédet, etre les divers modes de covergeces, sigalos le résultat suivat qui prouve que la covergece e probabilité, et a fortiori la covergece presque-sûre, d ue suite de variables aléatoires réelles implique la covergece de la suite des lois de ces v.a.r. : Propositio Si (X ) N est ue suite de variables aléatoires réelles covergeat e probabilité vers la variable aléatoire réelle Y, alors la suite des lois (P X ) N coverge vers la loi P Y de la variable aléatoire réelle Y. La réciproque est fausse. Démostratio : Soit h ue foctio umérique positive défiie sur d, cotiue et à support compact. La foctio h est doc uiformémet cotiue sur d. Fixos ε > 0. Il existe doc u réel η ε > 0, tel que, pour tout x, y d, x y η ε implique h(x) h(y) ε. Comme la suite (X ) N coverge e probabilité vers la variable aléatoire réelle Y, il existe u etier aturel N ε tel que, pour tout etier N ε, P( X Y > η ε ) ε. Alors, pour tout etier aturel N ε, o a

154 40 Théorie des probabilités, Bruo Saussereau, , versio 0/0/204 E[h(X ) h(y )] E [ h(x ) h(y ) ] = E [ [ ] h(x ) h(y ) l { X Y η ε}] + E h(x ) h(y ) l { X Y >η ε} εe [ l { X Y η ε}] + 2 h E [ ] l { X Y >η ε} εe [ l { X Y η ε}] + 2 h P( X Y > η ε ) ε + 2 h ε = ( + 2 h )ε. Ce qui prouve que lim E [h(x )] = E [h(y )], pour toute foctio umérique h positive défiie sur d, cotiue et à support compact. O coclut alors e vertu du critère de covergece étroite par les foctios cotiues à support compact. La covergece des lois d ue suite de variables aléatoires réelles implique pas écessairemet la covergece e probabilité de la suite de v.a.r., cepedat cette coclusio deviet vraie si la suite des lois coverge vers ue probabilité de Dirac : Propositio Si (X ) N est ue suite de variables aléatoires réelles sur u même espace de probabilité (Ω, F, P) telle que la suite des lois (P X ) N coverge vers la probabilité de Dirac δ a où a est u réel, alors la suite de variables aléatoires réelles (X ) N coverge e probabilité vers la variable aléatoire réelle costate a. ésultat qu o peut aussi éocer : Propositio Ue suite de v.a.r. (X ) N coverge e loi vers ue costate a si, et seulemet si, elle coverge e probabilité vers a. Démostratio : Soit ε > 0 et f ε l applicatio de das défiie par f ε (x) := l ]a ε,a+ε[ c(x) + ε x a l ]a ε,a+ε[(x). f ε est cotiue borée doc la suite (E[f ε (X )]) coverge vers E[f ε (a)] = 0, d après la propositio 7.7. Comme P( X a ε) = E[l ]a ε,a+ε[ c(x )] E[f ε (X )], o coclut que la suite (X ) coverge e probabilité vers a. O remarque que, lorsque la limite est ue v.a.r. presque-sûremet costate, il y a équivalece etre la covergece e loi et la covergece e probabilité. Notos que, das le cas gééral, o e peut pas effectuer d opératios élémetaires sur les limites-e-loi. Cepedat o admettra (pour ue démostratio de la première assertio o pourra se reporter à l exercice 7.0, page 42) : Propositio Théorème de Slutsky Soiet (X ) N ue suite de v.a.r. covergeat e loi vers ue v.a.r. X et (Y ) N ue suite de v.a.r. covergeat e loi vers 0, alors. la suite de v.a.r. (X + Y ) N coverge e loi vers X, 2. la suite de v.a.r. (X Y ) N coverge e loi (et aussi e probabilité) vers 0.

155 Chapitre 7. Théorème-limite cetral et covergece de lois 4 Pour termier citos pour iformatio deux théorèmes-limites particulièremet importats portat sur la covergece de lois, (que ous admettros et qui sot hors programme) : Propositio Loi des évéemets rares (Hors programme) Soiet (X () k ) (k,) N 2 ue suite de v.a.r. idépedates à valeurs das N. O pose p () k := P(X () k = ) et ɛ () k. lim (p () + p () 2. lim (max(p () := P(X () k p (), p() 2 2). O suppose de plus que,..., p() )) = 0, 3. lim (ɛ () + ɛ () ɛ () ) = 0. ) = α ]0, + [, Alors la suite de v.a.r. (X () + X () X () ) N coverge e loi vers ue v.a.r. de loi P(α). E remarquat qu ue v.a.r. de loi biomiale B(, p) a même loi que la somme de v.a.r. idépedates de loi B(p), la propositio 7.4 est u cas particulier de la loi des évéemets rares (cf. [3], exercice V-6). Notos que les théorèmes-limites jouet u rôle théorique importat e statistique das la vérificatio des modèles probabilistes de phéomèes aléatoires. E particulier celui-ci (cf. [3], problème V-) : Propositio 7.3. Théorème fodametal de la statistique (Hors programme) Soit (X ) N ue suite de v.a.r. idépedates et de même loi. Alors, pour P-presque-tout ω Ω, la suite des lois empiriques de (X, X 2,..., X ) ( ) k= δ Xk (ω) coverge étroitemet vers la loi de X. k= N 7.3 Exercices de révisio sur les chapitres I à VII Exercice 7.8. (Corrigé de l exercice : page 99) Étudier la covergece étroite de la suite de probabilités (µ ) de desités respectives (f ) où, pour tout, f est défiie par f (x) := x l [0,] (x). Exercice 7.9. (Corrigé de l exercice : page 99) Soit (X ) ue suite idépedate de v.a.r. de même loi de Cauchy C() (Pour la défiitio, cf. formulaire de l aexe A, page 205). Pour tout, o pose S := X k. k= ( ) ( k= ) Étudier les covergeces e probabilité et e loi des suites de v.a.r. S, S

156 42 Théorie des probabilités, Bruo Saussereau, , versio 0/0/204 ( ) et S 2. Exercice 7.0. (Corrigé de l exercice : page 200) Le but de cet exercice est de prouver l item du Théorème de Slutsky (cf. propositio 7.29, page 40). Soiet X ue v.a.r., (X ) N et (Y ) N deux suites de v.a.r... Motrer que, pour tous t, α > 0, et N, Φ X+Y (t) Φ X (t) 2P( Y > α) + E [ l ],α] ( Y ) e ity ] où Φ Z désige la foctio caractéristique de la v.a.r. Z. 2. Démotrer le théorème de Slutsky : Si (X ) N coverge e loi vers X et (Y ) N coverge e loi vers 0, alors la suite (X + Y ) N coverge e loi vers X. 3. A l aide d u exemple, motrer que l o a pas écessairemet (X X ) N qui coverge e loi vers 0. Exercice 7.. (Corrigé de l exercice : page 200) Soit (U k ) N ue suite idépedate de v.a.r. de loi ormale cetrée et de variace σ 2 > 0. Pour tout θ, o défiit la suite (X k ) N par la relatio de récurrece X = θx + U, pour tout, avec X 0 = 0.. Détermier, pour tout N, la loi de la v.a.r. X. 2. Étudier la covergece e loi de la suite de v.a.r. (X k ) N. Exercice 7.2. (Corrigé de l exercice : page 20) Soiet X ue v.a.r. et (X ) N ue suite de v.a.r.. O suppose que, pour tout N, P X := δ x où x.. Si P X = δ x, où x, motrer que la suite (X ) N coverge e loi vers X si et seulemet si la suite de réels (x ) N coverge vers x. 2. Motrer que si la suite (X ) N coverge e loi vers X, alors il existe x tel que P X = δ x. O pourra utiliser le résultat de l exercice 3.23, page 60. Exercice 7.3. (Corrigé de l exercice : page 20) Das cet exercice o se propose de démotrer la réciproque du résultat de l exercice 7.7, page 38. Soit (µ ) N ue suite de probabilités de Gauss où, pour tout N, µ := N (a, σ). 2 O suppose que cette suite coverge étroitemet vers ue probabilité µ. O se propose de motrer qu alors les suites réelles (a ) N et (σ) 2 N coverget respectivemet vers les réels a et σ 2 et que µ = N (a, σ 2 ) (avec la covetio N (a, 0) = δ a ).. E utilisat les foctios caractéristiques, motrer que la suite (σ) 2 N est borée et qu elle admet ue seule valeur d adhérece das. E déduire qu elle coverge das, o otera σ 2 sa limite.

157 Chapitre 7. Théorème-limite cetral et covergece de lois A l aide du théorème de cotiuité de Lévy, motrer que la suite (δ a ) N coverge étroitemet vers la probabilité de Dirac e u poit a. E déduire que la suite (a ) N coverge vers a et que µ = N (a, σ 2 ).

158 44 Théorie des probabilités, Bruo Saussereau, , versio 0/0/204

159 Chapitre 8. Corrigés des exercices 45 Chapitre 8 Corrigés des exercices 8. Corrigés des exercices du chapitre I Corrigé de l exercice., page 2. S il existe x {f Ø}, alors f (x) appartiet à Ø ce qui est absurde. Doc {f Ø} = Ø. 2. Soit x {f A}, alors f (x) A et comme A B, f (x) B et doc x {f B}. O a doc motrer que tout élémet x de l esemble {f A} est aussi das {f B} ce qui sigifie que {f A} {f B}. 3. O va raisoer par équivalece. O a x {f i I A i } f (x) i I A i i 0 ; f (x) A i0 i 0 ; x {f A i0 } D où l égalité. De même o écrit x i I {f A i }. x {f i I A i } f (x) i I A i i ; f (x) A i i ; x {f A i } x i I {f A i }. 4. O procède ecore par équivalece : x {f A} c x / {f A} f (x) / A f (x) A c x {f A c }. Corrigé de l exercice.2, page 2. Das les deux cas (a) et (b) o a l A B = l A.l B. Par cotre l A B s exprime différemmet suivat que A et B sot disjoits ou o. O peut vérifier cela e étudiat toutes les valeurs prises par ces foctios l A (x) l B (x) l A (x).l B (x) l A B (x) cas (a) l A B cas (b) x (A B) c x A B c 0 0 x A c B 0 0 x A B 0 Si vous êtes pas sûr de vous lors de l écriture d ue équivalece, vérifiez rapidemet les deux implicatios pour vous e persuader.

160 46 Théorie des probabilités, Bruo Saussereau, , versio 0/0/204 Aisi das le cas (a) : l A B = l A + l B et das le cas (b) : l A B = l A + l B l A.l B. 2. O a trivialemet l A c = l A et l A\B = l A B c = l A.l B c = l A ( l B ). O remarque que si B A, l A.l B = l B et das ce cas l A\B = l A l B. Efi l A B C = l (A B) C = l A B + l C l C l A B. O développe de même l idicatrice de A B et o obtiet : Corrigé de l exercice.3, page 2 l A B C = l A + l B + l C (l A l B + l B l C + l C l A ) + (l A l B l C ). eprésetatio graphique de la foctio 0 l [,+ [ : eprésetatio graphique de la foctio 0 l [0,] : + 3. eprésetatio graphique de la foctio 0( + )l [,+[ :

161 Chapitre 8. Corrigés des exercices Corrigé de l exercice.4, page 3 Cet exercice est pas difficile mais demade de la rigueur lors de sa rédactio. Il faut démotrer les trois axiomes qui ferot de A ue tribu. i) Tout d abord E A car E = A A par défiitio d ue partitio. Doc E s écrit bie comme i I A i e choisissat I = {,..., }. ii) Soit B A. Motros que B c A. O a : B A I {,..., } ; B = i I A i et comme les A,..., A formet ue partitio de E o a B c = j J A j où J est le complémetaire de I das {,..., }. Doc B c A. iii) Soit maiteat (B k ) k N ue suite d élémets de A. Pour tout k N, il existe u sousesemble I k {,..., } tel que B k = i Ik A i. Par suite k N B k = k N ( i Ik A i ) = j J A j où J = k N I k {,..., }. Aisi k N B k est bie la réuio d ue sous-famille des A,..., A et doc k N B k A. Corrigé de l exercice.5, page 3 ) O commece par cosidérer ue famille quelcoque (fiie ou ifiie) de tribu : (A i ) i I. O cosidère B la famille des parties de E commues à toutes les tribus A i pour i I. O dit que B est l itersectio des tribus A i et o écrit B = i I A i. O va motrer que B est elle-même ue tribu. E A i pour tout i car les A i sot des tribus et doc E B. Soit A B. Alors A A i pour tout i et doc A c A i pour tout i. Doc pour tout A B. Soit (A k ) k N ue suite d élémets de B. O a k N, i I, A k A i. Doc comme A i est ue tribu, pour tout i I, k N A k A i. Par suite k N A k B. Aisi B est ue tribu sur E. 2) Prouvos par u cotre-exemple que la réuio d ue famille de tribu sur E est pas écessairemet ue tribu sur E. E effet preos E =, A = {} et B = {2} deux parties de E. O vérifie facilemet que la famille à quatre élémets = {Ø,A,A c,e} est ue tribu sur E. Il

162 48 Théorie des probabilités, Bruo Saussereau, , versio 0/0/204 e est de même pour la famille B = {Ø,B,B c,e}. Cosidéros la réuio C = B. O a C = {Ø,A,A c,b,b c,e}. Ce est pas ue tribu car o a pas A B C. Corrigé de l exercice.6, page 4 A et B mesurables relativemet à la tribu A sigifie juste que A A et B A. Comme A est ue tribu, B c A et doc A \ B = A B c est l itersectio de deux élémets de la tribu A et doc c est aussi u élémet de A. Doc A \ B est mesurable par rapport à A. Corrigé de l exercice.7, page 5 O ote F la famille des tribus sur coteat tous les itervalles de la forme ]a, b] où a et b sot des réels tels que a < b. Notos B la tribu obteue par itersectio de toutes les tribus de la famille F. B est ue tribu d après le résultat de l exercice.5. O remarque qu o a : B est ue tribu, B cotiet tous les itervalles de la forme ]a, b] où a et b sot des réels tels que a < b. B appartiet doc à la famille F défiie plus haut. B est la plus petite, au ses de l iclusio, des tribus de la famille F. Cela sigifie que si A est ue tribu sur apparteat à la famille F, alors B A, car B, qui est l itersectio des tribus de la famille F, est coteue das toutes les tribus de la famille F et e particulier das la tribu A. Des trois poits ci-dessus, o déduit que B = B() est la tribu de Borel sur. Corrigé de l exercice.8, page 5 Il faut motrer que si B est ue tribu coteat les parties A,..., A, alors A B. Soit B ue telle tribu. Par défiitio et propriétés des tribus, elle cotiet toutes les réuios des sous-familles de A,..., A c est-à-dire que pour tout sous-esemble I de {,..., }, i I A i B. Doc B cotiet tous les élémets de A et o a doc bie A B. Corrigé de l exercice.9, page 6. Soit A,..., A ue suite fiie de parties de N deux à deux disjoites. Deux cas se présetet : Premier cas : 0 A i. Alors µ( A i) = + et u A io µ(a i) = + car il existe µ(a i). coteat 0 et doc de mesure ifiie. Doc µ( A i) = Secod cas : 0 A i. Alors si A i est fii, tous les A i sot fiis et µ( A i ) = k i A i k 2 = ( k A i k 2 ) = µ(a i ). Si A i est ifii, alors il existe u A io ifii et o a µ( A i) = + = µ(a i). L applicatio µ est doc additive. 2. Cepedat que µ est pas σ-additive (et doc ce est pas ue mesure). E effet, cosidéros N, µ(n ) = + et N = + {k}. Comme la suite ({k}) N est formée de parties deux à deux disjoites o a k µ({k}) = k ( ) µ {k} µ ({k}). k k k 2 < +. Aisi

163 Chapitre 8. Corrigés des exercices 49 E coséquece, l applicatio µ est pas σ-additive bie qu elle soit additive. Corrigé de l exercice.0, page 7 O vérifie aisémet que = k Z ]k, k +]. Les itervalles ]k,k +] sot des borélies disjoits deux à deux. Par σ-additivité de la mesure de Lebesgue λ sur, o obtiet ( ) λ() = λ ]k, k + ] = k Z k=+ k= λ ( ]k,k + ] ). Or pour tout k Z, λ(]k,k + ]) = (la logueur de l itervalle ]k,k + ]), d où λ() = + k= = +. Corrigé de l exercice., page 8 O peut remarquer tout d abord que si A est u borélie alors δ a (A) = l {a} (A). Vérifios que δ a est ue mesure sur,b()). C est bie ue applicatio positive de B() das [0, + ]. O a δ a (Ø) = 0. Soit (A ) N ue suite de borélies deux à deux disjoits. Deux cas se présetet. Tout d abord si a N A alors il existe u uique 0 (les A sot disjoits deux à deux) tel que a A 0 et doc δ a ( N A ) = et δ a (A ) = δ a (A 0 ) δ a (A } {{ 0 ) + δ } a (A 0 ) + } {{ } k= 0 + δ a(a k ), } {{ } =0 = =0 =0 d où l égalité δ a ( N A ) = N δ a(a ). Si maiteat a / N A, alors N ; a / A et par suite δ a ( N A ) = 0 et N δ a(a ) = 0 doc o a ecore l égalité. Aisi δ a est ue mesure et comme δ a () =, c est aussi ue probabilité. Corrigé de l exercice.2, page 9 Avec les otatios de la propositio.4, page 8, il suffit de predre µ k = δ k, pour tout k N et, suivat le cas,. pour la probabilité biomiale : α k = C k p k ( p) k pour 0 k α k = 0 pour k +. α αk 2. pour la probabilité de Poisso : α k = e, pour tout k N. k! 3. pour la probabilité géométrique : α 0 = 0, et α k = p( p) k pour k. 4. pour la probabilité uiforme-discrète : α k = pour k α 0 = 0 et α k = 0 pour k +. Corrigé de l exercice.3, page 9 ) B(; p)({i}) = k=0 C k p k ( p) k δ k ({i}) où δ k ({i}) = si i = k et 0 sio. O a doc B(; p)({i}) = Cp i i ( p) i.

164 50 Théorie des probabilités, Bruo Saussereau, , versio 0/0/204 α αi De même pour la loi de Poisso o trouve P(α)({i}) = e. i! 2) O a par l additivité des probabilités pour les esembles deux à deux disjoits : P(/0)({, 3, 5, 7}) = P(/0)({}) + P(/0)({3}) + P(/0)({5}) + P(/0)({7}). O trouve doc [ (0, ) P(/0)({, 3, 5, 7}) = e 0, +! De même o trouve B(7; 0.3)({0, 3, 5} (0, )3 3! + (0, )5 5! 0, , , ] (0, )7 7! Corrigé de l exercice.4, page Le fait que, pour tout etier aturel, B A est évidet. Pour motrer que les B sot disjoits deux à deux, supposos que B B m Ø pour m. O peut cosidérer que < m. Soit x B B m. Comme x B m, x / A 0 A... A m doc x / A car m. Doc x / B car B A. Aisi x / B B m et il y a doc cotradictio. Doc par l absurde, B B m = Ø. Comme B A, =0B =0A. Motros l iclusio iverse. Soit x =0A, il existe 0 tel que x A 0 et pour tout k < 0, x / A k (cet idice 0 peut être 0), doc x B 0 et aisi x =0B. O viet de motrer l iclusio =0A =0B et o e déduit doc l égalité souhaitée. Soit K u etier aturel. Comme B A, =K =0 B =K =0 A. Motros l iclusio iverse. Soit x =K =0 A, il existe 0 tel que x A 0 et pour tout k < 0, x / A k (cet idice 0 peut être 0), doc x B 0 et aisi x =0 =K B. O viet de motrer l iclusio =K =0 A =K =0 B et o e déduit doc l égalité souhaitée. Corrigé de l exercice.5, page 5 O doit trouver ue foctio f de das itégrable telle que F (x) = x f (t)dt. Comme F est dérivable à dérivée cotiue sur, il suffit de predre f = F c est-à-dire { f (x) = 2 e+x, si x 0 ; 2 e x, si x 0. Aisi F est la foctio de répartitio d ue probabilité à desité f défiie par f (x) = 2 e x. Corrigé de l exercice.6, page 6 La f.r. de N (0; ) est l applicatio Φ de das [0,] défiie par Φ(x) = x 2π e t2 2 dt c est doc ue applicatio cotiue sur. Par suite d après la propositio.4 2.(c), page 5, o e déduit que pour tout réel x, N (0; )({x}) = 0. Supposos maiteat que N (0; ) = k=0 p kδ αk où (p k ) k N est ue suite de réels positifs telle que k=0 p k = et (α k ) k N est ue suite de ombres réels, deux à deux disticts. O a alors, pour tout etier aturel k, N (0; )({α k }) = p k = 0 ; ce qui cotredit le fait que k=0 p k =. Doc N (0; ) est pas ue probabilité discrète. Corrigé de l exercice.7, page 6

165 Chapitre 8. Corrigés des exercices 5. Cela résulte de la cotiuité de la foctio de répartitio x x ρ(t)dt et de la propositio.4, 2.(c), page O a µ(]a,b[) = µ(]a,b]) µ({b}) = (F (b) F (a)) (F (b) F (b )) = F (b ) F (a). De même µ([a,b[) = µ(]a,b[) + µ({a}) = (F (b ) F (a)) + (F (a) F (a )) = F (b ) F (a ). Corrigé de l exercice.8, page 7 La foctio de répartitio F de U([0,]) est cotiue sur et est doée par 0, si x < 0 ; F (x) = x, si 0 x ;, si x >. O a doc U([0,])([/6,4/3]) = F (4/3) F (/6 ) = F (4/3) F (/6) = /6 = 5/6. Comme Q = q Q {q} (uio de sigletos disjoits deux à deux), o a par cotiuité de la f.r., U([0,])(Q) = U([0,])({q}) = 0. } {{ } q Q =0 La foctio de répartitio de E(2) est cotiue et est doée par { 0, si x < 0 ; F (x) = e 2x, si x 0. Doc E(2)({π}) = 0 et E(2)({π} [9/2,7]) = E(2)({π})+E(2)([9/2,7]) = 0+F (7) F (9/2) = e 9 e 4. Corrigé de l exercice.9, page 7 La représetatio graphique de F est : 3/4 /2 / O peut écrire F de la maière (mois sythétique mais plus lisible) suivate : 0, si x < ; x+2, si x < 0 ou x 2 ; F (x) = 4 3, si 0 x ; 4, si x 2.

166 52 Théorie des probabilités, Bruo Saussereau, , versio 0/0/204 La foctio F présete des sauts ce qui est révélateur de la présece de Dirac das l expressio de la probabilité. Par ailleurs, F est bie ue foctio de répartitio car elle est croissate, cotiue à droite et lim x F (x) = 0 et lim x + F (x) =. La mesure µ sera la somme d ue mesure à desité et d ue variable discrète. A priori o e dispose pas de résultat das le cours pour cojecturer ce fait mais e pratique (e refaisat d autres exercices de ce type) la méthode décrite ci-après permet de coclure. O peut cosidérer que pour tout x, F (x) = F (x) + F 2 (x) où 0, si x < ; x+, si x < 0 ; 4 F (x) =, si 0 x ; 4 x, si x 2 ; 4, si x 2. et 2 0, si x < ; F 2 (x) =, si x < 0 ;. 4, si x 0. 2 O remarque que F est cotiue et F 2 permet de predre e compte les sauts. O peut écrire F (x) = x f (t)dt où f (t) = {, 4 si t < 0 ou t 2 ; 0, sio.. Aisi F (x) = µ (],x]) où µ est la mesure de desité f. Pour F 2 o écrit F 2 (x) = 4 l [,+ [(x) + 4 l [0,+ [(x) = 4 δ (],x]) + 4 δ 0(,x]) = µ 2 (],x]) où µ 2 = 4 δ + 4 δ 0. Fialemet F est la foctio de répartitio de la probabilité µ = µ + µ 2. O remarquera que µ et µ 2 e sot pas elles-mêmes des probabilités. 8.2 Corrigés des exercices du chapitre II Corrigé de l exercice 2., page 2 Il suffit de vérifier que B B( d ), (f ϕ) (B) A. Or (f ϕ) (B) = ϕ (f (B)), comme f est boréliee, f (B) B( k ) et comme ϕ est A mesurable, ϕ (f (B)) A d où le résultat. Corrigé de l exercice 2.2, page 25 Soit F X et F Y les f.r. de X et Y respectivemet. Soit t. Si t 0, comme ω Ω, Y (ω) = e X (ω) > 0 o e déduit que F Y (t) = P(Y t) = P(Ø) = 0.

167 Chapitre 8. Corrigés des exercices 53 Supposos maiteat que t > 0. O rappelle que X état ue v.a.r. de loi N (0; ), F X (x) = (/ 2π) x e u2 /2 du. O a doc F Y (t) = P(Y t) = P(e X t) = P(X l t) = F X (l t) = 2π l t e u2 /2 du et e faisat le chagemet de variable u = l x (e remarquat que < u l t 0 < x < t) o obtiet F Y (t) = 2π t 0 e (l x)2 /2 Il reste à faire apparaître ue desité ce qui reviet à écrire F Y (t) sous forme d ue itégrale etre et t : où o a posé d où le résultat cherché. F Y (t) = t x ρ(x)dx ρ(x) = 2πx e 2 (l x)2 l ]0,+ [ (x) Corrigé de l exercice 2.3, page 25 Détermios la foctio de répartitio de la v.a.r. Y. { 0 si t < 0 F Y (t) = P(Y t) = P( t X t) si t 0 Puisque F X est cotiue, o peut écrire P( t X t) = F X (t) F X ( t) = 2 (2 e t ) 2 e t = e t. O recoaît la foctio de répartitiod ue v.a. de loi expoetielle E(). Corrigé de l exercice 2.4, page 26 O écrit les équivaleces suivates : Y = σx + m suit ue loi N (m; σ 2 ) t ; P(Y t) = e (x m)2 2σ 2 dx 2πσ ( t ; P X t m ) t = e (x m)2 2σ σ 2 dx 2πσ x x ; P (X x) = e v2 2σ 2 dv, 2π où o a d abord posé x = (t m)/σ puis fait le chagemet de variable v = (u m)/σ. Corrigé de l exercice 2.5, page 26 Soit X ue variable aléatoire réelle de loi P X := k N p k δ k. dx. t

168 54 Théorie des probabilités, Bruo Saussereau, , versio 0/0/204 Fixos N, il viet P X ({}) := k N p k δ k ({}). Or δ k ({}) = 0, si k et δ ({}) =. Par suite k N p kδ k ({}) = p et P X ({}) = p. D où le résultat cherché. Corrigé de l exercice 2.6, page 28. Le graphe de F est ue foctio e escalier, croissate et cotiue à droite, présetat des sauts de discotiuité de première espèce e tout poit d abscisse, la hauteur du saut état égale à P(X = ). 2. F est ue foctio de répartitio car elle est défiie sur à valeurs das [0, ], croissate, cotiue à droite e tout poit, avec lim x F (x) = 0 et lim x + F (x) =. 3. Soit > u etier aturel. D après le cours, pour tout réel x, P(X = x) est égal à la valeur du saut de F au poit d abscisse x. C est-à-dire ( ) ( ) 2 P(X = ) = F () F ( ) = = ( + ) ( ) ( 2 ). O a de même P(X = 0) = 0 et P(X = ) = Par défiitio, comme X est ue variable discrète à valeurs das N, E(X ) := P(X = ) = E(X ) = ( )( + ) =2 E(X ) = 2 + ( ) + =2 E(X ) = ( 2 + ) ( ) ( ) ( ) + + E(X ) = = Calculos la variace de X. Vérifios auparavat que la variable X est de carré itégrable, c est-à-dire que E(X 2 ) est u réel fii. Or, par défiitio des momets d ordre 2, et suivat u calcul aalogue au précédet, il viet : E(X 2 ) = 2 P(X = ) = ( )( + ). = =2 La série à terme gééral réel positif =2 2 ( )( + ) e coverge pas. E effet, so terme gééral est équivalet à, terme gééral d ue série divergete (série harmoique).

169 Chapitre 8. Corrigés des exercices 55 D après le critère de l équivalece pour les séries à terme gééral positif, la série 2 diverge. Doc la variable aléatoire X admet pas de variace. ( )( + ) =2 8.3 Corrigés des exercices du chapitre III Corrigé de l exercice 3., page 3. D après la coclusio.(b) de la propositio 3., page 30, E µ (f ) = i= a ie µ (l Ai ). Or d après.(a) de cette même propositio, E µ (l Ai ) = µ(a i ) et doc E µ (f ) = i= a iµ(l Ai ). 2. D après ce qui viet d être vu, E µ (f ) = πµ([0,/3]) + µ([6,0] + 3µ({5}). Mais De même Par suite E µ (f ) = 4 3 π + 7. µ([0,/3]) = δ 0 ([0,/3]) + δ } {{ } 5 ([0,/3]) + λ([0,/3]) = 4/3. } {{ } } {{ } = =0 =/3 0 µ([6,0]) = δ 0 ([6,0]) + δ } {{ } 5 ([6,0]) } {{ } =0 =0 µ({5}) = δ 0 ({5}) + δ } {{ } 5 ({5}) } {{ } =0 = + λ([6,0]) = 4 et } {{ } =0 6 + λ({5}) =. } {{ } =0 Corrigé de l exercice 3.2, page 33. O itroduit l applicatio Ĩ : M+ [0, ] défiie pour f M + (E, A) par Ĩ (f ) = E µ (f ) + E ν (f ). O motre aisémet que Ĩ vérifie les coditios.(a), (b) et.(c) de la propositio 3., page 30, c est-à-dire : (a) Pour tout A A, Ĩ (l A) = (µ + ν)(a). (b) Pour tous f et g apparteat à M + (E, A) et tout réel α 0. Ĩ (f + g) = Ĩ (f ) + Ĩ (g) et Ĩ (αf ) = αĩ (f ). (c) Pour toute suite croissate (f ) N d élémets de M + (E, A), ( ). lim Ĩ (f ) = Ĩ + lim + f O coclut alors par l uicité de l opérateur que Ĩ = E µ+ν, c est-à-dire que pour tout f M + (E, A), Ĩ (f ) = E µ+ν(f ) ou ecore E µ (f ) + E ν (f ) = E µ+ν (f ). 2. D après la questio précédete, E µ (f ) + E ν (f ) = E µ+ν (f ) or E µ (f ) = E λ (ρf ) d après la propositio 3., page 30, = = + 0 ρ(x)f (x)dx d après la propositio 3.2, page 3, αe αx e αx dx = α, et E ν (f ) = e α f () d après la propositio 3.4, page 32, = e α e α =.

170 56 Théorie des probabilités, Bruo Saussereau, , versio 0/0/204 Fialemet E µ+ν (f ) = α U raisoemet aalogue coduit à : E µ (f ) = E ν (f ) = k=0 e αx e αx dx = 2 α k k! f (k) = k=0 α k k! eαk = (αe α ) k k=0 k! = exp(αe α ). Par suite E µ+ν (f ) = 2 + exp(αe α ). De même E µ+ν (l ) = E µ (l ) + E ν (l ) = doc µ + ν est pas ue probabilité. e αx dx + k=0 α k k! = eα e α + e α > α Corrigé de l exercice 3.3, page 34 L applicatio boréliee f est itégrable suivat µ si, et seulemet si, E µ ( f ) < +. Or d après la propositio 3.4, page 32, E µ ( f ) = α i f (a i ) = i=0 α i f (a i ). i=0 Aisi f sera itégrable par rapport à µ = i=0 α iδ i si, et seulemet si, la série umérique à termes positifs i=0 α i f (a i ) est covergete ce qui est équivalet à l absolue covergece de la série umérique i=0 α if (a i ). Corrigé de l exercice 3.5, page 36 Soit x = (x,..., x d ) d, x = x x d 2. L applicatio f sera itégrable pour µ si, et seulemet si, E µ ( f ) <, c-à-d E µ ( f f d 2 ) <. Or pour tout i =,..., d o a f i f f d 2 f f d. D où par la croissace de l opérateur E µ pour les foctios positives (propositio 3., assertio 2, page 30), d E µ ( f i ) E µ ( f ) E µ ( f i ) et par suite E µ ( f ) < + i =,..., d ; E µ ( f i ) < +. Corrigé de l exercice 3.6, page 37. Cas où µ est la probabilité de Dirac sur au poit a. Φ µ (t) = eitx d(δ a )(x) = e iat. 2. Cas où µ est la probabilité biomiale de paramètres et p. Φ µ (t) = eitx k=0 C p p k ( p) k dδ k (x) = k=0 C p (pe it ) k ( p) k. Ce qui doe avec la formule du biôme de Newto : φ µ (t) = ( p + pe it ). i=

171 Chapitre 8. Corrigés des exercices Cas où µ est la probabilité de Poisso de paramètres α > 0. Φ µ (t) = eitx + k=0 e α (αe it ) k dδ k! k (x) = e α(eit ). Corrigé de l exercice 3.7, page 42. Méthode ) : o applique le théorème de trasfert (cas positif) à la foctio h défiie par h(x) = e x. E otat µ = P X = N (0; ) o a (d après les règles d itégratio) E(e X ) = E µ (h) = e x dp X (x) = e x 2π e x2 /2 dλ(x) = Or x x 2 /2 = (x ) 2 /2 + /2 d où e + E(e X ) = e 2 (x )2 dx = e. 2π + 2π e x x2 /2 dx. Méthode 2) : O a vu au chapitre II, exercice 2.3, page 22, que la v.a.r. Y = e X est ue v.a.r.à desité ρ doée par ρ(x) := ( x 2π exp 2 ) (l x)2 l ]0,+ [ (x). O a alors E(e X ) = E(Y ) = E µ (f ) où f (y) = y et µ est la probabilité de desité ρ. Aisi + E(e X y ) = yρ(y)dλ(y) = ( y 2π exp 2 ) (l y)2 l ]0,+ [ (y) = e 2 (l y)2 dy = 2π 0 + 2π e u2 /2 e u du où o a effectué le chagemet de variables u = l y. D où E(e X ) = + 2π e u u2 /2 du et o est rameé à la même itégrale que das la première méthode. 2. E effectuat le chagemet de variable u = x 2 et e faisat ue itégratio par parties o écrit E( X 3 ) = + x 3 e x2 /2 dx = 2 + x 3 e x2 /2 dx 2π 2π = 2 + u ue u/2 du 2π 0 2 u [ ] = ( 2u)e u/2 + ( 2)e u/2 du, 2π 0 2π 0 } {{ } } {{ } =0 d où E( X 3 ) = 4/ 2π < doc X 3 est itégrable. Calculos E(X 3 ) : 0 =4/ 2π E(X 3 ) = + x 3 e x2 /2 dx = 0 2π car la foctio x x 3 e x2 /2 est impaire sur.

172 58 Théorie des probabilités, Bruo Saussereau, , versio 0/0/204 Corrigé de l exercice 3.8, page 44 O motre que E(X ) = (2;2). O sait que si X = (X,X 2 ), E(X ) = (E(X ),E(X 2 )). Or E(X ) = E(h(X )) = h(x, y)dp X (x, y) où o a posé h foctio de défiie 2 par h(x, y) = x. D où E(X ) = 2 h(x, y)d ( k,l= ) δ 2 k+l (k,l) (x, y) = k= l= h(k, l) = 2 k+l } {{ } =k k= l= k 2 k+l. Par suite E(X ) = k= ( ) k 2 k 2 l l= } {{ } = = k k= ( ) k 2 et comme e dérivat terme à terme ue série géométrique o motre facilemet que x kx k x = (x ) pour 0 < x <, o déduit que E(X /2 ) = = 2. O 2 ( /2) 2 k= raisoe de même pour motrer que E(X 2 ) = 2. O détermie la loi de la v.a.r. Z = X + X 2. O applique le critère d idetificatio des lois par les foctios boréliees positives. Soit h de [0, ] boréliee. E posat ϕ(x, y) = h(x + y) (qui est boréliee positive car h l est), o a E(h(Z)) = E(h(X + X 2 )) = E(ϕ(Z)). Par le théorème du trasfert, E(h(Z)) = ϕ(x, y)dp X (x, y) = 2 = 2 h(k + l) = k+l k= l= h(x + y)d ( k,l= 2 i=2 (k,l)/k+l=i 2 i h(i). Or il existe i couples (k, l) tels que k + l = i avec k et l doc (i ) h(i)/2 i. D où ) δ 2 k+l (k,l) (x, y) (k,l)/k+l=i 2 i h(i) = E(h(Z)) = i=2 i h(i) = h(x)dµ(x) 2 i avec µ = i=2 i 2 i δ i = i= Corrigé de l exercice 3.9, page 46 i 2 i δ i car i = 0 pour i =.. O a V ar(x ) = E((X E(x) 2 ) = Cov(X, X ). E posat E(X ) = m : V ar(x ) = E(X m) 2 = E(X 2 2mX + m 2 ) = E(X 2 ) 2mE(X ) + m 2 E(X 2 ) 2m 2 + m 2 = E(X 2 ) m 2 = E(X 2 ) (E(X )) 2.

173 Chapitre 8. Corrigés des exercices O pose m X = E(X ) et m Y = E(Y ) et o a : Cov(X, Y ) = E((X m X )(Y m Y )) = E(X Y ) m X E(Y ) m Y E(X ) + m X m Y = E(X Y ) E(X )m Y m Y E(X ) + m X m Y = E(X Y ) m X m Y = E(X Y ) E(X )E(Y ). Corrigé de l exercice 3.0, page 47 O peut vérifier que ρ est bie ue desité de probabilité sur. E particulier o a doc + 0 xe x2 /2 dx =. O remarque que X est ue v.a.r. positive (presque-sûremet) c est-àdire P(X < 0) = 0 ou ecore P(X = 0) =. O peut doc faire les calculs comme si X est à valeurs das [0, + ]. Soit r u etier aturel strictemet positif, par le théorème de trasfert : E(X r ) = x r dp X (x) = x r+ e x2 /2 l +(x)dλ(x) = 0 x r+ e x2 /2 dx. Par des techiques d itégratio par parties successives, o recherche ue relatio de récurrece sur l etier r 2 : 0 x r+ e x2 /2 dx = r 0 x r e x2 /2 dx c est-à-dire E(X r ) = re(x r 2 ). E distiguat les cas où r = 2k et r = 2k, et e teat compte que e x2 /2 dx = π/2, o trouve les relatios demadées. E particulier 0 E(X ) = π/2 et E(X 2 ) = 2 d où V ar(x ) = 2 π/2. Corrigé de l exercice 3., page 47 Supposos tout d abord que pour tout i, E(Xi 2 ) <. Alors comme X 2 E( X 2 ) = d i= E(X i 2 ) <. éciproquemet, si E( X 2 ) < alors E(Xi 2 ) < car Xi 2 X 2. = d i= X 2 i, Corrigé de l exercice 3.2, page 48 Notos X,..., X d les composates de X das la base caoique de d, M la matrice [a ij ] i c, j d. Le vecteur MX de c a pour composate ((MX ),..., (MX ) c ) où pour i =,..., c, (MX ) i = d j= a ijx j. Le vecteur Y = X E(X ) d a pour composate Y i = X i E(X i ) d où E(Y i ) = 0. Aisi Y = Y E(Y ) = X E(X ) et par suite D Y = E ((Y E(Y ))(Y E(Y )) t ) = E ((X E(X ))(X E(X )) t ) = D X d où ue première assertio du poit 2) de la propositio 3.24, page 48. Le vecteur E(MX ) a pour composates d j= a ije(x j ) pour i =,..., c. Ce sot aussi les composates de M E(X ). D où l égalité E(MX ) = ME(X ). Le terme (i, j de la matrice D X est E[(X i E(X i ))(X j E(X j ))] = Cov(X i,x j ), ce qui prouve aussi que D X est symétrique car Cov(X i,x j ) = Cov(x j,x i ). Par ailleurs, les élémets diagoaux de D X sot Cov(X i,x i ) = V ar(x i ) pour i =,..., d.

174 60 Théorie des probabilités, Bruo Saussereau, , versio 0/0/204 Motros que D MX = MD X M t. Soit i, j =,..., c, le coefficiet (i, j) de D MX est Cov ( ) (MX ) i,(mx ) j = E[(MX )i (MX ) j ] E[(MX ) i ]E[(MX ) j ] [ d ] [ d d ] [ d ] = E a ik X k a jl X l E a ik X k E a jl X l = = d k= d k= k= l= l= k= d [ ] a ik a jl E(X k X l ) E(X k )E(X l ) } {{ } =Cov(X k,x l ) d a ik Cov(X k,x l )a jl l= = coefficiet (i, j) de la matrice MD X M t (matrice carrée d ordre c) l= d où l égalité cherchée. Motros que d x est positive. Soit U = (u,..., u d ) t d (U est aussi ue matrice coloe). O a D U t X = U t D X (U t ) t = U t D X U. Or U t X = d j= u jx j et D U t X représete la variace de cette v.a.r.. Aisi U t D X U 0 pour tout vecteur U (ou matrice uicoloe). Le reste des propriétés de la matrice D X se déduiset de la théorie de la diagoalisatio des matrices symétriques, de type positif. Corrigé de l exercice 3.3, page 48. Les équivaleces suivates doet : ( X Y ) 2 0 X 2 + Y 2 2 X Y 0 X 2 + Y 2 2 X Y X Y. O e déduit que E( X Y ) E(X 2 ) + E(Y 2 ) <, aisi la v.a.r. X Y est itégrable. E choisissat Y = l Ω (c est la variable aléatoire costate égale à ), o a X Y = X X 2 + l Ω d où E( X ) E(X 2 ) + E(l Ω ) = E(X 2 ) + <. O procède de même pour Y. 2. Pour tout α, 0 E((X + αy ) 2 ) = α 2 E(Y 2 ) + 2αE(X Y ) + E(X 2 ). Nous avos u polyôme e α de degré deux qui est positif. Il e peut doc pas avoir de racies réelles distictes et so discrimiat est doc égatif ou ul, c est-à-dire ( E(X Y ) ) 2 E(Y 2 )E(X 2 ) 0 d où le résultat. Corrigé de l exercice 3.4, page 49

175 Chapitre 8. Corrigés des exercices 6. Pour tout i =,...,, X i est de carré itégrable car E( X 2 ) <. O a Y 2 = Xi 2 + X i X j E(Y 2 ) i= i= i j X 2 i + i= i j E(X 2 i ) } {{ } < car X i itégrables X i X j ce qui etraîe + i j E( X i X j ) } {{ } < d après l exercice 3.3, page48 d où E(Y 2 ) < ce qui prouve que k= X i est de carré itégrable. 2. O a : ( ) 2 V ar(y ) = E[(Y E(Y )) 2 ] = E (X i E(X i )) = i= E[(X i E(X i )) 2 ] + } {{ } =V ar(x i ) i= i j d où le résultat e remarquat que E[(X i E(X i ))(X j E(X j ))] = 2 i j car Cov(X i, X j ) = Cov(X j, X i ). Corrigé de l exercice 3.5, page 59 E[(X i E(X i ))(X j E(X j ))], } {{ } =Cov(X i,x j ) i<j E[(X i E(X i ))(X j E(X j ))]. Pour vérifier la relatio, o étudie la valeur de chacu des deux membres de l égalité pour ω tel que X (ω) > a, puis pour ω tel que X (ω) a. O costate alors que les deux membres coïcidet das chaque cas. 2. emarquos que X et X ot la même loi. E effet l étude des foctios caractéristiques doe Φ X (t) = E[e itx ] = Φ X ( t) = e 2 t2 = Φ X (t). Soiet h ue applicatio boréliee positive de das, a u réel strictemet positif, de la relatio, o obtiet, e passat à l espérace, h(x a ) = h(x )l [0,a] ( X ) + h( X )l ]a,+ [ ( X ) E[h(X a )] = E[h(X )l [0,a] ( X )] + E[h( X )l ]a,+ [ ( X )]. E remarquat que X et X ot la même loi et e utilisat le théorème du trasfert, il viet E[h( X )l ]a,+ [ ( X )] = E[h(X )l ]a,+ [ ( X )]. Ce qui, e reportat das le deuxième membre de l égalité précédete, doe E[h(X a )] = E[h(X )], pour toute applicatio boréliee positive de das. Ce qui prouve que X a suit la même loi que X c est-à-dire N (0, ).,

176 62 Théorie des probabilités, Bruo Saussereau, , versio 0/0/204 Corrigé de l exercice 3.6, page 59. Le réel a est détermiée par la cotraite + f (x)dx = qui s exprime ici par e a x dx + 0 (x + a)dx = 0 et u rapide calcul doe a = /4. La foctio de répartitio de X est défiie pour x par F (x) = x f (t)dt. O a : Si x e, F (x) = 0. Si e < x <, F (x) = x f (t)dt = x /(4t)dt = (/4) l( x) + /4. e e Si x < 0, F (x) = /(4t)dt + x (t + 5/4)dt = x 2 /2 + 5x/4 +. e Si x 0, F (x) = x f (t)dt = 0 f (t)dt =. e D où F est défiie par 2. Pour calculer E(X ) o écrit que E(X ) = + 0 si x e ; (/4) l( x) + /4, si e < x ; F (x) = x 2 /2 + 5x/4 +, si < x 0 ;, si x 0. xf (x)dx = Corrigé de l exercice 3.7, page 59. Écrivos la foctio de répartitio de Y = X 3. Soit y, e F Y (y) = P(Y y) = P(X 3 y) = P(X y /3 ) = = y e z2/3 /2 2π 3 z 2/3 dz, } {{ } :=f (z) x 0 4x dx + (x 2 + 5x/4)dx = (6e + )/24. y /3 2π e t2 /2 dt où o a effectué le chagemet de variables t = z /3. Par suite F Y (y) = y f (z)dz et X 3 est ue v.a.r. à de desité f doée ci-dessus. 2. La foctio de répartitio de la loi ormale cetrée réduite est ue applicatio cotiue, strictemet croissate doc bijective de sur ]0,[. Aisi F existe bie et o peut écrire pour tout y ]0,[ P(Y y) = P(F (X ) y) = P(X F (y)) = F (F (y)) = y. Comme F pred ses valeurs das l itervalle ]0,[, l esemble {F (X ) y} = Ø dès que y 0 et doc F Y (y) = P(F (X ) y) = 0 quad y 0. Pour la même raiso, {F (X ) y} = Ω dès que y et das ce cas F Y (y) = P(Ω) =. E coclusio o a 0, si y 0 ; F Y (y) = y, si 0 < y < ;, si y. doc Y est ue v.a.r. uiforme sur [0,].

177 Chapitre 8. Corrigés des exercices 63 Corrigé de l exercice 3.8, page 60. L applicatio f est bie positive, cotiue sur et o a + f (t)dt = αe αu du = La v.a.r. Y = X e pred que des valeurs positives. O procède comme das l exercice 3.7, page 59,. Soit y +, F Y (y) = P(Y y) = P( X y) = P( y X y) = = y 0 αe αt dt = e αy. y y f (t)dt Si maiteat y < 0, {T y} = { X y} = Ø et doc F Y (y) = P(Ø) = 0. Fialemet, F Y (y) = ( e αy )l +(y) et doc Y est ue v.a.r. expoetielle de paramètre α > 0. D après le formulaire de l aexe A, page 205, o sait que E(Y ) = /α et V ar(y ) = /α 2. Par la formule de Köig (propositio 3.22, page 46), E(Y 2 ) = V ar(y )+(E(Y )) 2 = 2/α 2. Or Y 2 = X 2 et doc E(X 2 ) = 2/α 2. O vérifie que E(X ) = 0 et o coclut que V ar(x ) = E(X 2 ) = 2/α 2. Corrigé de l exercice 3.9, page 60 emarquos que si ω Ω est tel que X (ω) =, alors Y (ω) est pas défiie. Mais comme P({X = }) = 0, la probabilité que Y soit défiie est. O remarque que Y pred ses valeurs das +. Soit y > 0, F Y (y) = P(Y y) = P(X e αy ) = e αy car 0 e αy et x suit ue loi uiforme sur [0,]. Comme pour y 0, P(Y y) = 0 o recoaît que Y suit la loi expoetielle de paramètre α > 0. Corrigé de l exercice 3.20, page 60 Si o cosidère la v.a. Y := X m alors Y suit la loi ormale N (0, ), d après le théorème σ de stadardisatio. D où, pour tout réel u, Φ X (u) = E[e iu(σy +m) ] = e ium Φ(σu) avec Φ(t) = E(e iy t ) = e ixt dp Y (x) = e x2 2 e ixt dλ(x). 2π Pour calculer cette itégrale, o va motrer que Φ vérifie ue équatio différetielle. Φ(t) = e x2 2 (cos(tx) + i si(tx))dλ(x) 2π = e x2 2 cos(tx)dλ(x). 2π Comme xe x2 2 cos(tx) x e x2 2 et que cette derière foctio est itégrable sur pour la mesure de Lebesgue, par le théorème de dérivatio sous le sige de la théorie de Lebesgue, o e déduit que Φ est dérivable et que Φ (t) = xe x2 2 si(tx)dλ(x) 2π = [ ] + e x2 2 si(tx) 2π = tφ(t). 2π te x2 2 cos(tx)dλ(x)

178 64 Théorie des probabilités, Bruo Saussereau, , versio 0/0/204 Car e x2 2 si(tx)dλ(x) = 0 comme itégrale par rapport à la mesure de Lebesgue, sur u itervalle cetré e 0 d ue foctio impaire. Comme Φ est ue f.c., elle pred écessairemet la valeur au poit 0. Doc Φ est la solutio particulière de l équatio différetielle y + ty = 0 telle que y(0) =. La solutio particulière de cette équatio différetielle qui pred la valeur e 0 est Φ(t) = e t2 2. Par suite, e reveat ) au début du corrigé Φ X (u) = E[e iu(σy +m) ] = e ium Φ(σu) = e ium e σ2 u 2 2 = exp (ium σ2 u 2. 2 Corrigé de l exercice 3.2, page 60. Soit A u évéemet. O a P(X A) = E(l A (X )) et P(Y A) = E(l A (Y )). Comme X = Y presque-sûremet, o a l A (X ) = l A (Y ) presque-sûremet. Par suite P(X A) = P(Y A), c-à-d P X = P Y. La réciproque est fausse. Pour motrer cela doos deux cotre-exemples, u das le cas discret, u das le cas o discret. Pour le cas discret, cosidéros le jeu de Pile-ou-Face modélisé de la faço suivate : Ω := {P, F }, F := P({P, F }), P est défiie sur F à partir de P({F }) = P({P}) =, 2 cosidéros les v.a.r. X := l A et Y := l A c. O vérifie aisémet que ces deux v.a.r. ot pour loi (δ δ ) (il s agit d ue loi de Beroulli), cepedat ces v.a.r. e sot pas presque-sûremet égales. Pour le cas o discret, cosidéros ue v.a.r. X de loi N (0, ) et posos Y := X. O a alors, e utilisat le théorème du trasfert, P(Y A) = E(l A ( X )) = l A ( X )dp = l A ( x)dp X (x) + = l A ( x) exp( x 2 2π 2 )dx = = P(X A). Ω + l A (t) exp( t2 2π 2 )dt X et Y ot doc la même loi, bie qu elles e soiet pas presque-sûremet-égales car P(X = Y ) = P(X = X ) = P(X = 0) = Soit h ue applicatio positive boréliee de das. E[h(g(X ))] = = Ω h(g(x ))dp = h(g(x))dp X (x) h(g(x))dp Y (x) = h(g(y ))dp = E[h(g(Y ))], d où le résultat cherché. O peut aussi remarquer que h g est ue applicatio positive boréliee de das. O applique alors l équivalece P X = P Y si, et seulemet si, pour toute applicatio k positive boréliee de das, E(k(X )) = E(k(Y )) avec k = h g. Motros par u cotre-exemple qu o peut avoir P X = P Y et P X Z P Y Z. Cosidéros le jeu de Pile-ou-Face précédet et avec les otatios précédetes posos Z = X. O a alors X Z = X 2 = X et Y Z = Y X = 0. Par suite P X = P X Z P Y Z = δ 0 bie que P X = P Y. Ω

179 Chapitre 8. Corrigés des exercices 65 Corrigé de l exercice 3.22, page 60 D ue faço géérale, par le théorème du trasfert, o a Φ X (t) = E[e itx ] =. Φ X (t) = + e itx pq k dδ k (x) = k= + k= pq k e itk = peit qe it. 2. Φ Y (t) = e itx l [a,b] (x)dλ(x) = e ita e itb. b a b a it [ 3. Φ Z (t) = e itx αe αx l [0,+ [ (x)dα () α (x) = it α e(it α)x ] + 0 = α α it. e itx dp X (x). Corrigé de l exercice 3.23, page 60 Motros que, pour tout t, F µ (t) {0, }. E effet, par desité de D das si t, il existe ue suite décroissate (t ) N de réels de D covergeat vers t. Par cotiuité à droite de la foctio de répartitio F µ, la suite (F µ (t )) N coverge vers F µ (t). Comme pour tout N F µ (t ) {0, }, par passage à la limite F µ (t) {0, }. Cosidéros a := if{t /F µ (t) = }. O e peut pas avoir a = + sio, pour tout t, F µ (t) = 0, ce qui cotredirait le fait que lim F µ(t) =. De même o e peut pas t + avoir a = sio, pour tout t, F µ (t) =, ce qui cotredirait le fait que lim t F µ(t) = 0. a est doc u réel et la cotiuité à droite de F µ implique que F µ (a) =. Efi la propriété de croissace des foctios de répartitio implique que F µ = l [a,+ [, c est-à-dire que µ est la mesure de Dirac au poit a. Ce résultat s applique e particulier à l esemble D des poits où la foctio de répartitio est cotiue, puisque so complémetaire das est u esemble déombrable. 8.4 Corrigés des exercices du chapitre IV Corrigé de l exercice 4., page 65. E posat f (x, y) = l ]0, [ (x)l ]0, [ (y)e x2 e y 2 = h(x) g(y) avec h(x) = l ]0, [ (x)e x2 et g(y) = l ]0, [ (y)e y 2, et e utilisat l exemple 4.3, page 64, o a ( f (x, y)dλ (2) (x, y) = g(y) 2 [ ] [ ] = g(y)dλ(y) h(x)dλ(x) [ ] [ ] = e y 2 dy e x2 dx. π 4 = 0 0 h(x)dλ(x) ) dλ(y) Comme les deux itégrales ci-dessus sot égales, o obtiet e x2 dx = π/2. L autre 0 égalité est immédiate après u chagemet de variable. 2. D après la remarque de l éocé, e (x2 +2xy+2y 2) dλ (2) (x, y) = e (x+y)2 +y 2 dλ (2) (x, y) 2 2 Effectuos le chagemet de variables T de classe C défii par T : (x, y) 2 T (x, y) = (u, v) 2 avec u = x + y et v = y. Le jacobie de T au poit (u, v)

180 66 Théorie des probabilités, Bruo Saussereau, , versio 0/0/204 vaut. Le théorème de chagemet de variable doe : e (x+y)2 +y 2 dλ (2) (x, y) = e (u2 +v 2) dλ (2) (u, v) 2 [ 2 ] [ = e u2 dλ(u) = ( + e x2 dx) 2 = e v 2 dλ(v) ( ] 2 ( ) 2 π e dx) x2 = 4 = π, 2 où l o a utilisé le théorème de Toelli et le résultat de la première questio. Corrigé de l exercice 3.4, page 36 Vérifios que ν est ue probabilité sur B( d ) que l o otera B das cette correctio. L applicatio l A ρ est boréliee et positive pour tout A B doc ν(a) [0, ]. La foctio l Ø est la foctio-ulle sur d doc ν(ø) = d l Ø ρdλ (d) = 0. Par défiitio de la desité ρ, ν( d ) = l d d ρdλ (d) = ρdλ (d) =. d Il reste à motrer la σ-additivité. Soit (A k ) k N ue suite d élémets de B deux à deux disjoits. Alors si o ote A = k= A k, l A = k=0 l A k car les A k sot deux à deux disjoits. O a alors e utilisat le théorème de Beppo-Levi ν(a) = l A ρdλ (d) = ρ dλ (d) = l Ak ρdλ (d) = ν(a k ), d d d ce qui doe la σ-additivité. ν est doc bie ue mesure de probabilité. k=0 Corrigé de l exercice 4.2, page 66 Cosidéros u dé équilibré à 6 faces. O lace le dé deux fois de suite. Soit X le résultat obteu au premier lacer et Y celui obteu au secod. Les v.a.r. X et Y ot la même loi. E effet elles sot à valeurs das {, 2, 3, 4, 5, 6} et pour k =,..., 6, P(X = k) = P(Y = k) = /6, c est-à-dire que P X = P Y. E revache, X Y car l égalité sigifierait que, à chaque double lacer, le résultat du secod lacer est toujours le même que celui du premier lacer ce qui est faux. Corrigé de l exercice 4.3, page 66 Soit (X, Y, Z) u vecteur aléatoire de desité ρ sur 3. Cherchos la loi de Y (ce serait la même chose pour X et Z). Soit A u borélie de, {Y A} = {(X, Y, Z) A } d où P Y (A) = P(Y A) = P ( (X, Y, Z) A ) = P (X,Y,Z) ( A ) = l (x)l A (y)l (z)dp (X,Y,Z) (x, y, z) 3 et par applicatio des règles d itégratio des mesures à desité (propositio 3.8, page 35,) et du théorème de Toelli, o obtiet comme das l exemple 4.4, page 65, que ( ) P Y (A) = l A (y) l (x)l (z)ρ(x, y, z)dλ (2) (x, z) dλ(x) = l A (y)χ(y)dλ(y) } 2 {{ } :=χ(y) k=0 k=0

181 Chapitre 8. Corrigés des exercices 67 ce qui prouve que la v.a.r. Y admet pour desité la foctio χ défiie ci-dessus. Corrigé de l exercice 4., page 66 Tout d abord, comme l évéemet {(X, X ) } est certai, o a P((X, X ) ) =. Supposos que ρ soit ue desité pour le vecteur (X, X ). U autre calcul doerait alors : P((X, X ) ) = P (X,X ) ( ) = l (x, y)ρ(x, y)dλ (2) (x, y) 2 = l (x, y)ρ(x, x)dλ (2) (x, y) 2 ( ) = ρ(x, x) l (x, y)dλ(y) dλ(x). Or l (x, y)dλ(y) = l {x}(y)dλ(y) = λ({x}) = 0 pour tout x. Par suite P((X, X ) ) = 0 ce qui cotredit le premier calcul et fourit aisi u cotre-exemple pour la réciproque de la propositio 4.5, page 66. Corrigé de l exercice 4.5, page 68. Soit h ue applicatio boréliee positive de 2 das +. E utilisat successivemet le théorème du trasfert, l idépedace de U et V, les règles d itégratio par rapport à des mesures à desité, o obtiet : E(h(X, Y )) = E (h ( 2 l U cos(2πv ), 2 l U si(2πv ) )) = h ( 2 l u cos(2πv), 2 l u si(2πv) ) dp (U,V ) (u, v) 2 = h ( 2 l u cos(2πv), 2 l u si(2πv) ) dp U dp V (u, v) 2 = h ( 2 l u cos(2πv), 2 l u si(2πv) ) l ]0,[ (u)l ]0,[ (v)dλ (2) (u, v). 2 Effectuos le chagemet de variable T : ]0,[ 2 2 défii pour (u, v) 2 par { x = 2 l u cos(2πv) y = 2 l u si(2πv) { u = exp( (x 2 + y 2 )/2) v = arcta(y/x). 2π Le jacobie de T est J T = det ( xe x2 +y 2 2 ye x2 +y 2 2 2π y x 2 +y 2 2π x x 2 +y 2 ) = x 2 +y 2 2π e 2. O obtiet par le théorème de chagemet de variable : E ( h(x, Y ) ) = h(x, y) x 2 +y 2 2π e 2 dλ (2) (x, y), 2 et doc la v.a. (X, Y ) admet bie la desité ρ aocée.

182 68 Théorie des probabilités, Bruo Saussereau, , versio 0/0/ Pour trouver la loi de la v.a.r. X (idem pour Y ), o applique la propositio 4.5, page 66, qui ous permet d affirmer que X est ue v.a.r. de desité ρ X défiie par ρ X (x) = ρ(x, y)dλ(y) = /2 2π e x2 e y 2 /2 dy = /2 2π e x2 e y 2 /2 dy = e x2 /2, } {{ } 2π = 2π doc X est ue v.a.r. ormale cetrée réduite (idem pour Y ). 3. Pour tout A, B borélies de P (X,Y ) (A B) = l A (x)l B (y) x 2 +y 2 2π e 2 dλ (2) (x, y) ( 2 ) ( ) = l A (x) e x2 /2 dλ(x) l B (y) e y 2 /2 dλ(y) 2π 2π = P X (A) P Y (B) et ceci pour tout borélies A et B ce qui prouve que P (X,Y ) = P X P Y et doc (X, Y ) est u couple idépedat. Corrigé de l exercice 4.6, page 74 Étudios la foctio de répartitio de la v.a.r. Y. Pour tout y, F Y (y) = P(Y y). O peut exprimer l évéemet {Y y} e foctio des v.a.r. ε et X : {Y y} = [{ε = } {X t}] [{ε = } {X y}] Comme (ε, X ) idépedats, les évéemets {ε = } et {X y} sot idépedats (il e est de même pour {ε = } et {X }). Les évéemets etre crochets état disjoits, o obtiet : F Y (y) = P(ε = ) P(X y) + P(ε = ) P(X y) = 2 y 2π e x2 /2 dx + 2 et doc Y est ue v.a.r. de loi N (0; ). + y 2π e x2 /2 dx = Pour motrer que X et Y sot o-corrélés, il suffit de calculer y E[(X E[X ])(Y E[Y ])] = E[εX 2 ] = E[ε]E[X 2 ] = 0 2π e x2 /2 dx du fait que (X, ε) est idépedat et que ε est cetrée. Si (X, Y ) était idépedat, alors (X 2, Y 2 ) le serait aussi et o aurait Cepedat, du fait que Y 2 = X 2, E[X 2 Y 2 ] = E[X 2 ]E[Y 2 ]. E[X 2 Y 2 ] = E[X 2 ]E[Y 2 ] = (E[X 2 ]) 2 =.

183 Chapitre 8. Corrigés des exercices 69 Mais, par ailleurs, E[X 2 Y 2 ] = E[X 4 ] = 2π x 4 e 2 x2 dλ () (x) = 3, où la derière itégrale est calculée par ue itégratio par parties ; ce qui motre ue cotradictio. Le couple de v.a.r. (X, Y ) est doc pas idépedat. Corrigé de l exercice 4.7, page 74 D après les formules de Köig-Huyges (Propositio 3.22, page 46), V ar(x ) = E(X 2 ) (E(X )) 2. D où E(X 2 ) = V ar(x ) + (E(X )) 2 = σ 2 + m 2 (idem pour Y ). Par idépedace de (X, Y ), E(X Y ) = E(X )E(Y ) et doc o a E((X + Y ) 2 ) = E(X 2 + 2X Y + Y 2 ) = E(X 2 ) + 2E(X Y ) + E(Y 2 ) == E(X 2 ) + 2E(X )E(Y ) + E(Y 2 ) = 4m 2 + 2σ 2. Corrigé de l exercice 4.8, page 85 O repred les otatios de l exercice 4.6, page 74. O a bie que (X, Y ) e soit pas idépedat. V ar(x + Y ) = V ar(x ) + 2 Cov(X, Y ) +V ar(y ) } {{ } =0 = V ar(x ) + V ar(y ) Corrigé de l exercice 4.9, page 86 O a Φ X +Y (t) = Φ 2X (t) = E[e 2itX ] = e 2 t = (e t ) 2 = (Φ X (t)) 2 = Φ X (t) Φ Y (t). Pour motrer que (X, Y ) est o idépedat, o pred (comme le recommade l éocé) A = [, ] et o calcule P X (A) = π + x dx = 2 π [arcta(x)] = ( π π 4 + π ) = 4 2. O a alors P (X,Y ) (A A c ) = P((X, X ) A A c ) = 0 et P(A) P(A c ) = P(A)( P(A)) = /4 0. Doc X et Y e sot pas idépedats. Corrigé de l exercice 4.0, page 86 Si X k est ue v.a.r. de Beroulli de paramètre p ]0,[, sa foctio caractéristique est Φ Xk (t) = pe it + ( p). Par idépedace de X,..., X o a Φ S (t) = Φ X (t)... Φ X (t) = [ pe it + ( p) ] et o recoaît la foctio caractéristique d ue loi B(; p). Doc S est ue v.a.r. B(; p). Corrigé de l exercice 4., page 86

184 70 Théorie des probabilités, Bruo Saussereau, , versio 0/0/204. Pour tout ω Ω, X () (ω) = max(x (ω),..., X (ω)) car c est le premier ombre das la suite X (ω),..., X (ω) réordoés de faço croissate. Soit x, F X() (x) = P(X () x) or {max(x,..., X ) x} = k= {X k x} et par idépedace de X,..., X o déduit que F x() (x) = P ( k={x k x}) = P(X k x) = ( F (x) ) où F est la foctio de répartitio des v.a.r. X i, c est à dire que F (x) = ( e αx )l ]0, [ (x). D où F X() (x) = ( e αx ) l ]0, [ (x). 2. O vérifie de même que X () = mi(x,..., X ). Soit x, {X () x} = {X () > x} c = k= {X k > x}. Par suite k= F X() (x) = P(X () > x) = P ( k={x k > x}) = = ( P(X k x)) = k= = ( e αx )l ]0, [ (x). P(X k > x) k= [ F (x)] = [ F (x)] 3. (a) La v.a.r. Y k e pred que deux valeurs, 0 et. C est doc ue v.a.r. de Beroulli de paramètre p = P(Y k = ) = P(X k > t) = P(X k t) = F (t) = ( e αt ) d où p = e αt et doc P Yk = e αt δ + ( e αt )δ 0, pour k =,...,. Par suite Y Y est ue somme de v.a.r. de Beroulli de même paramètre p. Ces v.a.r. sot idépedates car elles sot de la formes f (X ),..., f (X ) avec f k = l ]t, [ (o utilise la propositio 4.5, page 76). La v.a.r. Y Y est doc ue v.a.r. de loi B(; p). (b) O remarque que Y k = sigifie que X k est strictemet supérieur à t. Aisi Y Y k est égal au ombre de v.a.r. X i qui sot strictemet supérieure à t. Ceci etraîe que {Y Y k } = {X (k) t}. 4. Soit t, d après ce qui précède o a : k F X(k) (t) = P(X (k) t) = P(Y Y k ) = Cp j j ( p) j k = Ce j jαt ( e αt ) j. j=0 k= j=0 Corrigé de l exercice 4.2, page 88 O fait la preuve du deuxième poit (l autre preuve est idetique, à quelques améagemets évidets prés, à celle utilisée das la démostratio de la propositio 4.34, page 87). O a Φ X (t) = exp[α(e it )] et Φ Y (t) = [β(e it )]. Comme (X, Y ) idépedat, la foctio caractéristique de X + Y est doée pour tout t par Φ X +Y (t) = Φ X (t) Φ Y (t) = exp[(α + β)(e it )]

185 Chapitre 8. Corrigés des exercices 7 et aisi Φ X +Y est la foctio caractéristique d ue loi de Poisso de paramètre α + β. Corrigé de l exercice 4.3, page 90 Pour ω Ω doé, le polyôme x 2 2A(ω)x + B(ω) admet :. deux racies réelles distictes si, et seulemet si, A 2 (ω) B(ω) > 0. E utilisat le théorème de trasfert, l idépedace du couple de v.a.r. (A, B), le théorème de Toelli, aisi que le passage de l itégrale de Lebesgue à celle de iema, il viet P(A 2 B > 0) = E[l ]0,+ [ (A 2 B)] = l ]0,+ [ (x 2 y)dp (A,B) (x, y) 2 ( ) = l ]0,+ [ (x 2 y)l [0,] (x)l [0,] (y)dλ(y) dλ(x) ( ) = l [0,] (x) l ]0,+ [ (x 2 y)l [0,] (y)dλ(y) dλ(x) ( ) x 2 = 0 0 dy dx = 0 x 2 dx = deux racies complexes et o réelles distictes si, et seulemet si, A 2 (ω) B(ω) < 0. E meat le calcul de faço aalogue au cas précédet, il viet P(A 2 B < 0) = E[l ],0[ (A 2 B)] = l ],0[ (x 2 y)dp (A,B) (x, y) 2 ( ) = l ],0[ (x 2 y)l [0,] (x)l [0,] (y)dλ(y) dλ(x) ( ) = l [0,] (x) l ],0[ (x 2 y)l [0,] (y)dλ(y) dλ(x) ( ) = dy dx = ( x 2 )dx = 2 0 x ue racie double si, et seulemet si, A 2 (ω) B(ω) = 0. E remarquat que {A 2 B = 0} c = {A 2 B > 0} {A 2 B < 0}, il viet P(A 2 B = 0) = P(A 2 B < 0) P(A 2 B > 0) = Détermios la loi de la v.a.r. := A 2 B. Soit h ue applicatio boréliee positive de das. E[h( )] = h(x 2 y)dλ (2) (x, y) = [0,] 2 h(x 2 y)dλ (2) (x, y). ]0,[ 2 Par le chagemet de variable de classe C y = t 2 z et x = t l ouvert ]0, [ 2 a pour image réciproque l ouvert U := {(t, z) 2 / z [0, [, t ] z, [} {(t, z) 2 / z ], 0[, t ]0, + z[}.

186 72 Théorie des probabilités, Bruo Saussereau, , versio 0/0/204 Par le théorème de chagemet de variable (cf. 4.4, page 64) puisque la valeur absolue du jacobie est égale à, il viet h(x 2 y)dλ (2) (x, y) = h(z)dλ (2) (t, z). ]0,[ 2 U Par suite, e utilisat le théorème de Toelli, et e remarquat que l U (t, z) = l [0,[ (z)l ] z,[ (t) + l ],0[ (z)l ]0, +z[ (t), E[h( ) = ( ) = h(z) l ]0,[ (z) l ] z,[ (t)dλ(t) + l ],0[ (z) l ]0, +z[ (t)dλ(t) dλ(z) ( = h(z) l ]0,[ (z)( z) + l ],0[ (z) ) + z dλ(z). La loi de est la mesure de probabilité sur admettat la foctio l ]0,[ (z)( z) + l ],0[ (z) + z pour desité par rapport à la mesure de Lebesgue. O retrouve les résultats des questios précédetes e calculat P( > 0) = l { >0} (ω)dp(ω) Ω = l ]0,+ [ (z)(l ]0,[ (z)( z) + l ],0[ (z) + z)dλ(z) = P( < 0) = = = 0 Ω 0 zdz = 2 3 = 3, l { <0} (ω)dp(ω) l ],0[ (z)(l ]0,[ (z)( z) + l ],0[ (z) + z)dλ(z) + zdz = [ 2 3 ( + z)3/2 ] 0 P( = 0) = P( > 0) P( < 0) = 0. = 2 3, Corrigé de l exercice 4.4, page 9. La foctio f état boréliee positive, o peut lui appliquer le théorème de Toelli et e se rameat à des itégrales de iema o obtiet P (X,Y ) ( 2 ) = f (x, y)dλ (2) (x, y) 2 + = α ( x 2 )dx ye 3y dy 0 0 = α[x x ( 3 3 ] 0 [ 3 ye 3y ] [ ) 9 e 3y ] + 0 = α 2 27.

187 Chapitre 8. Corrigés des exercices 73 Comme P (X,Y ) est ue mesure de probabilité sur 2, o a P (X,Y ) ( 2 ) = d où o déduit α = E utilisat le résultat de l exercice I-9, o sait que X et Y admettet des desités f X et f Y détermiées par : f X (x) := f (x, y)dλ(y) = α( x 2 )l [0,] (x) 9 = 3 2 ( x 2 )l [0,] (x) f Y (y) := f (x, y)dλ(x) = 9ye 3y l [0,+ [ (y). 3. La relatio esembliste {0 < X 2} {Y } = {(X, Y ) ]0, 2] [, + [} permet d écrire P(0 < X 2, Y ) = P((X, Y ) ]0, 2] [, + [) = P (X,Y ) (]0, 2] [, + [) = f (x, y)dλ (2) (x, y) ]0,2] [,+ [ = α[x x 3 3 ] 0 ( [ 3 ye 3y ] + + [ ) 9 e 3y ] + = 9( 3 e e 3 ) = 4e Il s agit de calculer Var(X ), Var(Y ) et Cov(X, Y ). 3 E[X ] = xf X (x)dλ(x) = 0 2 (x x 3 )dx = 3 8 E[X 2 ] = x 2 3 f X (x)dλ(x) = 0 2 (x 2 x 4 )dx = 5 + E[Y ] = yf Y (y)dλ(y) = 9y 2 e 3y dy = E[Y 2 ] = y 2 f Y (y)dλ(y) = 9y 3 e 3y dy = 2 3. Par suite Var(X ) = E[X 2 ] (E[X ]) 2 = Var(Y ) = E[Y 2 ] (E[Y ]) 2 = 2 9 Cov(X, Y ) = E[X Y ] E[X ]E[Y ] = 0 où la derière égalité est ue coséquece directe du théorème de Fubii e remarquat que xyf (x, y) = (xf X (x))(yf Y (y)) et par suite que E[X Y ] = E[X ]E[Y ]. La matrice de dispersio est alors doée par : D =

188 74 Théorie des probabilités, Bruo Saussereau, , versio 0/0/204 Corrigé de l exercice 4.5, page 9 Sas restreidre la gééralité, o peut supposer que m. O a {X = Y } = k=0 [{X = k} {Y = k}] et la réuio est formée de sous-esemble de Ω deux à deux disjoits. O a alors P(X = Y ) = = = = P ( {X = k} {Y = k} ) k=0 P(X = k) P(Y = k) k=0 ( ) ( ) m C k Cm k 2 2 ) ( +m ) C k Cm k = k=0 ( 2 k=0 par idépedace de X et Y ( ) ( +m ) C k Cm m k 2 k=0 et e utilisat l idicatio de l éocé, o obtiet P(X = Y ) = 2 +m C m +m. Corrigé de l exercice 4.6, page 9. Cette relatio est obteue par (r ) dérivatios successives à partir de la somme de la série etière x k = x. k N 2. τ r est ue v.a.r. à valeurs das N {+ }. E effet, a priori il se peut très bie qu o ait u ω tel que { N /X (ω) + X 2 (ω) X (ω) = r} soit vide, das ce cas par covetio, τ r (ω) := +. O sait alors que la loi de τ r sera de la forme P τr = k 0 P{τ r = k}δ k + P(τ r = + )δ + Fixos u etier k N et cosidéros l évéemet {τ r = k}. Si k < r, {τ r = k} = Ø, et si k r, o peut écrire, k {τ r = k} = { X i = r } {X k = }. De plus e vertu de l idépedace de la suite de v.a.r. (X i ) N, i= k P{τ r = k} = P({ X i = r } {X k = }) i= k = P({ X i = r })P({X k = }). i=

189 Chapitre 8. Corrigés des exercices 75 La variable aléatoire réelle k i= X i est la somme de (k ) v.a. de Beroulli idépedates et de paramètre p, elle suit doc la loi biomiale B(k, p). O trouve alors, e posat pour simplifier les écritures q := p : emarquos que P{τ r = k} = C r k pr q (k ) (r ) p = C r k pr q k r + k=0 P{τ r = k} = k r C r k pr q k r = ( q) r pr = où la derière égalité a été obteue par applicatio de la relatio de la première questio. Ce qui doe la loi cherchée pour la variable aléatoire réelle τ r car P(τ r = + ) = 0. Il suffit de remarquer pour cela que P(τ r = + ) = P{τ r N}, et P{τ r N} = + k=0 P{τ r = k} =. Il viet alors que P{τ r = + } = 0. O dit que τ r est presque-sûremet fiie. 3. emarquos d abord que θ r = τ r r 0. Cela prouve que θ r est ue v.a. à valeurs N {+ }, qu elle est presque-sûremet fiie et que sa loi est doée par P θr = k 0 P{θ r = k}δ k où ce qui doe le résultat cherché. P{θ r = k} = P{τ r = k + r} = C r k+r pr q k, 4. Iterprétos ce qui précède de la faço suivate : Appelos jeu de Pile-ou-Face l expériece aléatoire qui cosiste à lacer, ue ifiité de fois, la même pièce de moaie truquée. O ote p la probabilité d avoir "Face" (ou "succès") et q = p la probabilité d avoir "Pile" (ou "échec"). La suite des v.a.r. (X k ) N représete les valeurs successives obteues das u jeu de Pile-ou-Face, e otat X k = quad o a obteu "Face" lors du k ième -lacer et par coséquet X k = 0 quad o a obteu "Pile" lors du k ième -lacer. La v.a.r. X + X X représete alors le ombre de "succès" e lacers das ce jeu. La v.a.r. τ r représete le rag d arrivée (ou ecore temps d attete) du r ième -"succès" et la v.a.r. θ r représete le ombre d "échecs" avat le r ième -"succès" das ue ifiité de lacers d ue pièce de moaie. Si o pred r =, la variable aléatoire réelle τ est le temps d attete du premier "succès" das ue ifiité de lacers d ue pièce de moaie, c est-à-dire ue variable aléatoire réelle géométrique de paramètre p. Ue variable aléatoire réelle géométrique de paramètre p est ue variable aléatoire réelle de Pascal de paramètres r = et p.

190 76 Théorie des probabilités, Bruo Saussereau, , versio 0/0/ Soit (Ω, F, P) u espace probabilisé. Notos A k l évéemet "le fumeur se redat compte pour la première fois qu ue boîte est vide, l autre boîte cotiet k allumettes", G k l évéemet "le fumeur se redat compte pour la première fois que la boîte Gauche est vide, la boîte droite cotiet k allumettes", D k l évéemet "le fumeur se redat compte pour la première fois que la boîte Droite est vide, la boîte gauche cotiet k allumettes". Nous avos la réuio disjoite A k = G k D k et, pour des raisos de symétrie, P(D k ) = P(G k ) d où P(A k ) = 2P(G k ). Notos X la variable aléatoire réelle défiie, pour tout ω Ω, par X (ω) = 0 si, au ième -coup, o cherche l allumette das la poche droite et X (ω) = si, au ième -coup, o cherche l allumette das la poche gauche. O suppose l équiprobabilité de tirer das la poche gauche ou das celle de droite, ce que l o exprime e disat que la variable aléatoire réelle X suit ue loi de Beroulli de paramètre. La variable aléatoire réelle 2 S := X + X X représete le ombre de fois où le fumeur a puisé das sa poche gauche. O cosidérera que le fumeur s apercevra que la boîte gauche est vide lorsqu il cherchera ue allumette das cette poche pour la (N + )ième-fois. Cela sigifie que l évéemet G k est réalisé lorsqu o extrait N k allumettes de la boîte droite avat la (N + )ième-fois où o puise das la poche gauche. Par suite avec les otatios de la questio 2, G k = {θ N+ = N k}. Il viet alors P(A k ) = 2P(G k ) = 2C 2N k N ( 2 )2N k+ = C 2N k N ( 2 )2N k. Corrigé de l exercice 4.7, page 92. Cosidéros sur l espace mesuré (Ω +, F B( + ), P λ), où λ est la mesure de Lebesgue, la foctio à valeurs réelles défiie par H(ω, t) := t l ]t,+ [ (X (ω)). H est positive et ( F B( + ), B())-mesurable, o peut appliquer le théorème de Toelli, { } Hd(P λ) = t l [0,X (ω)[ (t)dλ(t) dp(ω) Ω + Ω + = (X (ω)) dp(ω) Ω = X dp = E[X ] Ω et { } Hd(P λ) = t l {X >t} (ω)dp(ω) dλ(t) Ω + + Ω = t P(X > t)dλ(t). + Comme l applicatio t P(X > t) est mootoe, so esemble des poits de discotiuités est déombrable doc de mesure de Lebesgue ulle. Par suite l applicatio t t P(X > t) est itégrable au ses de iema sur tout compact de + (cf [2] propositio 0-6 p.9). O obtiet le résultat e remarquat que P(X > t) = F X (t). 2. Cosidéros maiteat ue v.a. dot la loi est doée par P X := 2 (δ + δ ). Sa foctio de répartitio est F X (t) = 2 (l [,+ [(t) + l [,+ [ (t)) et + 0 t ( F (t))dt = 2 0 t dt = 2

191 Chapitre 8. Corrigés des exercices 77 alors que E[X ] = 2 (( ) + ). La formule est vérifiée pour aucue valeur de. La coditio X positive est bie écessaire. O peut évidemet calculer les espéraces E[ X ] par la formule démotrée ici mais e preat la foctio de répartitio de X. 3. Comme les trois variables sot positives presque-sûremet, o peut utiliser la relatio de la questio ) avec = pour l espérace et = 2 pour E[X 2 ], puis o calcule σ 2 X = E[X 2 ] (E[X ]) 2. (a) Pour la variable X o obtiet : E[X ] = E[X 2 ] = ( F X (t))dt = 2t( F X (t))dt = ( t)dt + 0 σ 2 X = E[X 2 ] (E[X ]) 2 = 3 4 = 2. (b) Pour la variable Y o obtiet : (c) O a F Z (t) = E[Y ] = E[Y 2 ] = = ( F Y (t))dt = 2t( F Y (t))dt = 0 ] + [ 2te λt λ dt = 2 2t( t)dt = [t t3 ] 0 = e λt dt = λ 2te λt dt 2 λ e λt dt = 2 λ 2 σ 2 Y = E[Y 2 ] (E[Y ]) 2 = 2 λ 2 λ 2 = λ 2. + k=0 λ λk e k! l ],k[(t). Comme F Z (t) est la somme d ue série de foctios positives mesurables, o peut itervertir et. E[Z] = = E[Z 2 ] = e λ k= + 0 = λe λ [λ ( F Z (t))dt = λ k (k )! = λ + k k=0 2t( F X (t))dt = + k=2 σ 2 Z = E[Z 2 ] (E[Z]) 2 = λ. 0 + k k=0 λ λk e k! dt 0 λ λk e k! 2tdt = + λ k 2 + ] (k 2)! + λ k (k )! ] = λ2 + λ k= k= e λ λ k (k )! k Corrigé de l exercice 4.8, page 92 Pour tout etier k o a {T = k} = {X k = } k i= {X i = 0} F et

192 78 Théorie des probabilités, Bruo Saussereau, , versio 0/0/204 {T = + } = + i= {X i = 0} F. T est bie ue variable aléatoire à valeurs das N. Calculos la loi de T. Pour k o a, e utilisat l idépedace des variables (X,..., X k ), k P(T = k) = P({X k = } {X i = 0}) i= = P(X k = )P(X = 0) P(X k = 0) = p( p) k. Comme P(T < + ) = + k= P(T = k) = + k= p( p)k =, o e déduit que P(T = + ) = 0 c-à-d que T est fiie p.s.. P T = + k= p( p)k δ k est la loi géométrique G(p). Calculos maiteat l espérace de T. Il viet e utilisat le théorème du trasfert E[T ] = tdp T (t) = + k= p( p) k tdδ k (t) = + k= p( p) k k. O recoaît la dérivée terme à terme de la série + k= px k calculée pour x = p. De plus + k= x k = et sa dérivée est. E coclusio E[T ] =. x ( x) 2 p Corrigé de l exercice 4.9, page 92. O a lim sup(p k N ) = p N [p k, + [= Ø, k k k k doc P(lim sup(p k N )) = 0. k 2. Motros que la suite (p k N ) k N est idépedate. Soit {p k,..., p k } des etiers premiers, comme p k N... p k N = (p k...p k )N, il viet P(p k N... p k N ) = P ((p k...p k )N ) = p k...p k = P(p k N )...P(p k N ). Ce qui prouve l idépedace de la suite (p k N ) k N. D après u résultat d arithmétique + la série = +, et comme les p k N sot idépedats par rapport à P, e appliquat le théorème de Borel-Catelli o déduit que P(lim sup(p k N )) =. La cotradictio p k k= k prouve que la probabilité P existe pas. Corrigé de l exercice 4.20, page 93. Cosidéros la famille de toutes les sous-tribus A de F telles que, pour tout i I, X i est A-mesurable. Cette famille est o vide car elle cotiet la tribu F. O vérifie alors que σ(x i, i I ) est l itersectio de toutes les tribus composat cette famille. 2. U élémet de C est doc de la forme {X i B } {X i2 B 2 }... {X i B }

193 Chapitre 8. Corrigés des exercices 79 où N, i, i 2,..., i I sot disticts deux à deux et B, B 2,..., B B(). Comme, pour tout k I, X k est σ(x i, i I )-mesurable, {X k B} σ(x i, i I ) pour tout borélie B. Par suite la famille C est icluse das la tribu σ(x i, i I ). Il e est de même pour la tribu egedrée par C. éciproquemet, pour tous k I et borélie B de, {X k B} C. Doc, pour tout k I, l applicatio X k est mesurable par rapport à la tribu egedrée par C. Par suite la tribu egedrée par C cotiet la tribu σ(x i, i I ) qui est la plus petite à posséder cette propriété. 3. Notos C J (resp. C K ) la famille défiie comme das la questio précédete et egedrat la tribu σ(x i, i J) (resp. σ(x i, i K)). Comme les familles C J et C K sot stables par itersectios fiies, pour motrer l idépedace des tribus σ(x i, i J) et σ(x i, i K), il suffit de motrer que, pour tous C C J et D C K, o a P(C D) = P(C)P(D). C C J est doc de la forme {X j A } {X j2 A 2 }... {X j A } où N, j, j 2,..., j J sot disticts deux à deux et A, A 2,..., A B(), et, de même, D C K est de la forme {X k B } {X k2 B 2 }... {X km B m } où m N, k, k 2,..., k m K sot disticts deux à deux et B, B 2,..., B m B(). Par suite, e vertu de l idépedace des v.a.r. (X i ) I, il viet P(C D) = = P ({X j A }... {X j A } {X k B }... {X km B m }) = P(X j A )...P(X j A )P(X k B )...P(X km B m ) = P ({X j A }... {X j A }) P ({X k B }... {X km B m }) = P(C)P(D). D où la relatio cherchée. Corrigé de l exercice 4.2, page 93 Nous utiliseros le fait que la foctio caractéristique d ue somme fiie de variables aléatoires idépedates est égale au produit des foctios caractéristiques des variables aléatoires de la somme (Pour obteir les foctios caractéristiques des lois classiques o pourra se reporter au formulaire de l aexe A, page 205).. Comme les foctios caractéristiques de X et X 2 sot doées par Φ X (t) = ( itα) a et Φ X2 (t) = ( itα) b, o a Φ Y (t) = ( itα) (a+b) et Y est ue v.a.r. de loi gamma γ(a + b, α). 2. O sait que, pour tout k =, 2,,, Φ Xk (t) = ( itα), o a doc Φ Z (t) = ( itα) et Z est ue v.a.r. de loi gamma γ(, α). Corrigé de l exercice 4.22, page 93 Par défiitio Or la suite de v.a.r. ( idicatrices l (Y =) [ [ Φ Z (t) = E[e itz ] = E e it ] Y + j= X j = E k = = e it j= X j l (Y =) ]. e it j= X j l (Y =) ) k est borée e module par, ue seule des est évetuellemet o ulle. O obtiet doc e utilisat le théorème

194 80 Théorie des probabilités, Bruo Saussereau, , versio 0/0/204 de covergece domiée puis l idépedace des v.a.r. + [ Φ Z (t) = E e it ] j= X j l (Y =) = = = + = + = P(Y = )(Φ(t)) = ψ Φ(t). E[l (Y =) ] E[e itx j ] L applicatio ψ qui est aussi défiie par ψ(t) = E[t Y ] est appelée foctio géératrice de la variable discrète Y. Corrigé de l exercice 4.23, page 93 D est ue v.a.r. à valeurs Z et M à valeurs N. De plus, les v.a.r. état discrètes, le couple (D, M) est idépedat si, et seulemet si, pour tout (i, j) Z N, P({D = i} {M = j}) = P(D = i)p(m = j).. Supposos que X et Y suivet la loi géométrique de paramètre p ]0, [. O vérifie aisémet que, pour j N fixé, { {X = i + j} {Y = j} si i 0, {D = i} {M = j} = {X = j} {Y = j i} si i < 0. Par suite e vertu de l idépedace du couple (X, Y ) il viet si i 0, j= P({D = i} {M = j}) = P({X = i + j} {Y = j}) = P(X = i + j)p(y = j) = p 2 q i+j q j = p 2 q i+2j 2 si i < 0, P({D = i} {M = j}) = P({X = j} {Y = j i}) = P(X = j)p(y = j i) = p 2 q j i q j = p 2 q 2j i 2 O peut rassembler ces deux écritures sous la forme P({D = i} {M = j}) = p2 q 2 q2j+ i. Calculos, pour tout i Z fixé, P(D = i). Comme {D = i} = j N ({D = i} {M = j}) où l uio est mutuellemet disjoite et par u calcul simple de somme de séries géométriques, il viet P(D = i) = j N P ({D = i} {M = j}) = j N p 2 q 2 q2j+ i = p2 q 2 q i. Calculos maiteat, pour tout j N fixé, P(M = j). De la même faço que précédemmet {M = j} = ({D = i} {M = j}) où l uio est mutuellemet i Z disjoite. Par u calcul simple de somme de séries géométriques, il viet P(M = j) = i Z = i Z P ({D = i} {M = j}) p 2 q 2 q2j+ i = p q 2 q2j (q + ).

195 Chapitre 8. Corrigés des exercices 8 Comparat les trois valeurs trouvées, o vérifie aisémet que P({D = i} {M = j}) = P(D = i)p(m = j), ce qui prouve l idépedace du couple (D, M). 2. éciproquemet, supposos les v.a.r. D et M idépedates. Soit N, fixé. Par l idépedace du couple (X, Y ), il viet P ((X = + ) (Y = )) P ((X = ) (Y = )) = P(X = + )P(Y = ) P(Y = )P(X = ) = P(X = + ), P(X = ) ce qui doe la première égalité. De plus (X = + ) (Y = ) = (D = ) (M = ) et (X = ) (Y = ) = (D = 0) (M = ). Par l idépedace du couple (M, D), il viet P ((X = + ) (Y = )) P ((X = ) (Y = )) == P(D = )P(M = ) P(D = 0)P(M = ) = P(D = ) P(D = 0) d où la deuxième égalité. O remarque que le rapport e déped pas de l etier. Soit α sa valeur. O a la relatio de récurrece, pour tout N, P(X = + ) = αp(x = ). Par suite, pour tout N, P(X = ) = α P(X = ). De la relatio k P(X = k) = o déduit que α k P(X = ) = P(X = ) =, et par suite que α k P(X = ) = α. La loi de X et Y s écrit alors : P X = P Y = α k ( α)δ k. Les v.a.r. X et Y suivet k doc la loi géométrique de paramètre α. Corrigé de l exercice 4.24, page 94 La probabilité que les variables aléatoires X et Y preet leurs valeurs das le complémetaire de l itervalle ]0, α[ est ulle. O peut doc cosidérer, das la suite, que les variables X et Y sot à valeurs das l itervalle ]0, α[. Par ailleurs, e vertu de l idépedace du couple (X, Y ), le vecteur aléatoire (X, Y ) de dimesio 2 admet pour desité ρ la foctio défiie sur 2 par : pour tout (x, y) 2, ρ(x, y) = α 2 si (x, y) ]0, α[ 2, et ρ(x, y) = 0 si (x, y) / ]0, α[ 2. C est-à-dire que la vecteur aléatoire (X, Y ) de dimesio 2 suit la loi uiforme de dimesio 2 sur ]0, α[ 2. E coséquece, pour tout borélie A de 2, P[(X, Y ) ] = a( ]0, α[2 ) α 2, où a( ]0, α[ 2 ) désige la mesure de l aire de l itersectio du borélie avec le carré ouvert ]0, α[ 2. Pour détermier les lois des variables Z et T, ous pouvos étudier leurs foctios de répartitio, que ous oteros respectivemet F et G. Loi de Z. emarquos que la variable Z peut aussi s écrire Z = max(x, Y ) mi(x, Y ) = X Y. C est ue variable aléatoire positive qui pred ses valeurs das l itervalle [0, α]. Étudios la foctio de répartitio F de Z. Soit z réel fixé. Cela reviet à étudier la probabilité F (z) = P(Z z) de l évéemet {Z z}. Si z < 0, comme Z est positive, l évéemet {Z z} = Ø (évéemet impossible). Par suite F (z) = 0.

196 82 Théorie des probabilités, Bruo Saussereau, , versio 0/0/204 Si z α, comme Z pred ses valeurs das [0, α], l évéemet {Z z} = Ω (évéemet certai). Par suite F (z) =. Il reste à étudier le cas 0 z < α. Supposos 0 z < α fixé. O peut écrire {Z z} = {(X, Y ) ]0, α[ 2 } où = {(x, y) 2 / x y z} désige la bade défiie par les poits de 2 coteus etre les deux droites d équatios respectives y = x + z et y = x z das u système d axes orthoormé. U raisoemet géométrique élémetaire motre que la mesure de l aire de l itersectio ]0, α[ 2 est : a ( ]0, α[ 2) = α 2 (α z) 2. E coséquece, d après la remarque prélimiaire sur la loi du couple (X, Y ), F (z) = P(Z z) = P [ (X, Y ) ]0, α[ 2] = α2 (α z) 2 α 2 = ( z α) 2. E résumé, la foctio de répartitio de la variable aléatoire Z est doée, pour tout réel z, par : 0 si z < 0, F (z) = ( α) z 2 si 0 z < α, si z α. Comme la foctio de répartitio est de classe C sur les trois itervalles ], 0[, ]0, α[ et ]α, + [, ue desité f vérifiera l équatio F = f sur chacu de ces itervalles. Les valeurs de f aux bores, f (0) et f (α), peuvet être choisies arbitrairemet (o rappelle qu ue desité est défiie que presque-partout pour la mesure de Lebesgue). E coclusio, la variable aléatoire Z admet pour desité, la foctio f défiie pour tout réel z, par : { 0 si z < 0 ou si z > α, f (z) = 2 ( z ) si 0 z α, α α Loi de T emarquos que la variable T est ue variable aléatoire positive qui pred ses valeurs das l itervalle [0, ]. Étudios la foctio de répartitio G de T. Soit z réel fixé. Cela reviet à étudier la probabilité G(z) = P(T z) de l évéemet {T z}. Si z < 0, comme T est positive, l évéemet {T z} = Ø (évéemet impossible). Par suite G(z) = 0. Si z, comme T pred ses valeurs das [0, ], l évéemet {T z} = Ω (évéemet certai). Par suite G(z) =. Il reste à étudier le cas 0 z <. Supposos 0 z < fixé. O peut écrire {T z} = {(X, Y ) ]0, α[ 2 } où = 2 avec = {(x, y) 2 / 0 < x < y et xy } z et 2 = {(x, y) 2 / 0 < y < x et y } x z. est le complémetaire (das ]0, + [ 2 ) du secteur agulaire défii par les poits de ]0, + [ 2 coteus etre les deux droites d équatios respectives y = x et y = zx das z u système d axes orthoormé. U raisoemet géométrique élémetaire motre que la mesure de l aire de l itersectio ]0, α[ 2 est : a ( ]0, α[ 2) = zα 2.

197 Chapitre 8. Corrigés des exercices 83 E coséquece, d après la remarque prélimiaire sur la loi du couple (X, Y ), G(z) = P(T z) = P [ (X, Y ) ]0, α[ 2] = zα2 α 2 = z. E résumé, la foctio de répartitio de la variable aléatoire T est doée, pour tout réel z, par : 0 si z < 0, G(z) = z si 0 z <, si z. O recoaît la foctio de répartitio de la loi uiforme sur l itervalle [0, ]. La variable aléatoire T suit doc la loi uiforme sur l itervalle [0, ]. 8.5 Corrigés des exercices du chapitre V Corrigé de l exercice 5., page 97 Le vecteur aléatoire X est l image du vecteur U par l applicatio liéaire A dot la matrice [a i,j ] i,j das la base caoique de a pour coefficiets a i,i = pour i =,,, a j+,j = θ pour j =,,, a i,j = 0 das les autres cas. Par suite toute combiaiso liéaire des variables aléatoires X, X 2,, X est ue combiaiso liéaire des variables aléatoires U, U 2,, U. Comme (U, U 2,, U ) est ue suite idépedate de variable aléatoire réelle gaussiees, le vecteur U est gaussie. Par suite toute combiaiso liéaire des variables aléatoires U, U 2,, U est ue variable aléatoire gaussiee. Il e est doc de même de toute combiaiso liéaire des variables aléatoires X, X 2,, X. Ce qui prouve, par défiitio des vecteurs gaussies, que le vecteur X = AU est lui-même u vecteur gaussie. Corrigé de l exercice 5.2, page 98. Détermios la loi de X par le critère d idetificatio des lois par les foctios positives. Soit h ue applicatio boréliee positive de d das [0, + [. epreos les otatios du corrigé 8.5, page 83, de l exercice 5., page 97. Par applicatio du théorème du trasfert au vecteur U, par idépedace de la suite (U, U 2,, U ) e otat f (t) la desité de N (0, σ 2 ) et x = (x, x 2,, x ), il viet E(h(X )) = E(h(AU)) = h(ax)dp U (x) = h(ax)f (x )f (x 2 ) f (x )dλ () (x). Faisos le chagemet de variable à l aide du C -difféomorphisme A i.e. y := Ax, pour tout x. L applicatio réciproque est défiie, pour tout etier k, par

198 84 Théorie des probabilités, Bruo Saussereau, , versio 0/0/204 x k = k j=0 ( θ)j y k j et so jacobie e u poit y est det(a ) =. O obtiet E(h(X )) = = h(y)f (y )f (y 2 θy ) f ( ) h(y) exp 2π 2σ 2 ( ) ( θ) j y j dλ () (y) j=0 ( k k= ) 2 ( θ) j y k j dλ () (y). j=0 Ce qui prouve que X est u vecteur aléatoire de desité défiie, pour tout x = (x, x 2,, x ), par ( ) f X (x) = exp 2π 2σ 2 k= ) 2 ( θ) j x k j. ( k 2. L espérace de X est E[X ] = E[AU] = AE[U] = 0 (vecteur ul de ). La matrice de dispersio de X est doée par j=0 D X := E(X X ) = E(AU(AU) ) = AD U A = σ 2 AA car D U = σ 2 I, où I désige la matrice-idetité d ordre. O peut calculer D X e effectuat le produit matriciel AA. O trouve que D X = [d i,j ] i,j où d, = σ 2 d i,i = σ 2 (θ 2 + ) pour i = 2,,, d j+,j = d j,j+ = θσ 2 pour j =,,, d i,j = 0 das les autres cas. Corrigé de l exercice 5.3, page 0. O remarque que E[X X a ] = E[X 2 l { X a} ] E[X 2 l { X >a} ]. Le théorème du trasfert permet d écrire E[X 2 l { X a} ] = 2π a a x 2 e 2 x2 dx, E[X 2 l { X >a} ] = 2 + x 2 e 2 x2 dx. 2π E[X X a ] est doc égale à la différece de deux foctios de la variable a réelle positive, cotiues sur +, dot la première est strictemet croissate de 0 à E[X 2 ] = et la secode strictemet décroissate de E[X 2 ] = à 0. Il existe doc ue uique valeur de a 0 pour laquelle E[X X a0 ] = 0 c est-à-dire (X, X a0 ) est o-corrélé. 2. Comme, pour tout réel a > 0, X + X a = 2X l { X a} est pas ue v.a.r. gaussiee car X + X a est ue variable aléatoire borée par 2a, le vecteur (X, X a ) est gaussie pour aucue valeur de a. 3. Si le couple (X, X a ) était idépedat, le vecteur (X, X a ) serait gaussie car ses composates seraiet des v.a.r. gaussiees idépedates. D après la questio précédete, il y aurait cotradictio. Pour tout réel a > 0, le couple (X, X a ) est doc pas idépedat. a

199 Chapitre 8. Corrigés des exercices 85 Corrigé de l exercice 5.4, page 02 Si o cosidère X comme u vecteur coloe, alors le vecteur aléatoire Y := AX suit ue loi gaussiee N 3 (A0, AΓ A ) = N 3 (0, AΓ A ). Comme Y est u vecteur gaussie il suffit, pour que ses composates soiet idépedates, que la matrice AΓ A soit diagoale. Si de plus o veut que les composates de AX soiet o-dégéérées, alors il faut que la matrice AΓ A soit iversible. Comme Γ est réelle symétrique, elle est diagoalisable das et il existe ue matrice orthogoale U telle que la matrice := U Γ U soit diagoale. Les valeurs propres de Γ sot 2 et 4. La matrice est doc iversible aisi que la matrice Γ. Les vecteurs e := 2 (,, 0) et e 2 := (0, 0, ) sot des vecteurs propres liéairemet-idépedats associés à la valeur propre double 2 et e 3 := 2 (,, 0) est u vecteur propre associé à la valeur propre 4. La base de vecteurs propres (e, e 2, e 3 ) est orthoormée et la matrice U := / 2 0 / 2 / 2 0 / est orthogoale. Posos A = U = U. O vérifie que la matrice A aisi défiie répod à la questio posée. Corrigé de l exercice 5.5, page 03 Avec les otatios du cours cocerat les opératios matricielles, l espérace de U est doée par A0 = 0 et sa matrice de dispersio est doée par AI A = AA = I. E effet A est ue matrice orthogoale doc A = A. L image du vecteur gaussie X par l edomorphisme de 2 de matrice A das la base caoique de 2 est ecore u vecteur gaussie. Par suite la loi de U est N 2 (0, I ). Corrigé de l exercice 5.6, page 03. Comme P (X,Y ) est ue probabilité sur 2, α doit être tel que P (X,Y ) ( 2 ) =. Le théorème de Toelli permet d écrire P (X,Y ) ( 2 ) = α e 2 (x2 xy+y 2) dλ (2) (x, y) 2 = α e 3 8 y 2 e 2 (x y 2 )2 dλ () (x)dλ () (y) = α e 3 8 y 2 e 2 x2 dλ () (x)dλ () (y) = α e 3 8 y 2 2πdλ () (y) = α 2π Où o a utilisé la valeur de l itégrale de Gauss α = 3. 4π e 3 8 y 2 dλ () (y) = α 4π 3. (x m) 2 e 2σ 2 dλ () (x) = σ 2π. Par suite 2. O rappelle que la loi N 2 (m, D) admet ue desité par rapport à la mesure de Lebesgue λ (2) si et seulemet si la matrice D est iversible (cf cours). Das ce cas la desité s écrit, pour tout t 2, ( 2π det(d) exp ) 2 (t m) D (t m).

200 86 Théorie des probabilités, Bruo Saussereau, , versio 0/0/204 Le terme costat m D m, obteu par t = 0 das l expressio (t m) D (t m), représete la orme du vecteur m relativemet à la forme quadratique défiie positive défiie par D. Il est ul si et seulemet si m = 0. Comme x 2 xy + y 2 = ( x y ) ( /2 /2 ) ( x y o recoaît e P (X,Y ) la loi gaussiee N ( 2 (m, D) où m = ) 0 puisqu il y ( a pas de terme ) /2 4/3 2/3 costat das l expoetielle et D =. Doc D := /2 2/3 4/3 est la matrice de dispersio du vecteur (X, Y ). O e déduit que X et Y suivet la loi N (0, 4 ) et, puisque D est pas diagoale, le 3 couple de variable aléatoire réelle (X, Y ) est pas idépedat. O peut aussi détermier directemet Var(X ), Var(Y ) et Cov(X, Y ) par u calcul d itégrales à partir de la desité de la loi du couple (X, Y ). Corrigé de l exercice 5.7, page 03 emarquos que X et X ot la même loi. E effet l étude des foctios caractéristiques doe Φ X (t) = E[e itx ] = Φ X ( t) = e 2 t2 = Φ X (t) pour tout réel t.. La relatio h(y ) = h(x )l [0,π] ( X ) + h( X )l ]π,+ [ ( X ) est facile à vérifier. Il suffit pour cela d étudier séparémet le cas où ω satisfait X (ω) [0, π] et le cas où ω satisfait X (ω) ]π, + [. Pour observer que das le premier cas, h(y (ω)) = h(x (ω)) et das le secod cas h(y (ω)) = h( X (ω)). La relatio avec les idicatrices sert à résumer ces deux cas e ue seule expressio. 2. Soiet h ue applicatio boréliee positive de das, de la relatio o obtiet, e passat à l espérace, h(y ) = h(x )l [0,π] ( X ) + h( X )l ]π,+ [ ( X ). ), E[h(Y )] = E[h(X )l [0,π] ( X )] + E[h( X )l ]π,+ [ ( X )]. E remarquat que X et X ot la même loi et e utilisat le théorème du trasfert, il viet E[h( X )l ]π,+ [ ( X )] = E[h(X )l ]π,+ [ ( X )]. Ce qui, e reportat das le deuxième membre de l égalité précédete, doe E[h(Y )] = E[h(X )], pour toute applicatio boréliee positive de das. Ce qui prouve que Y suit la même loi que X c est-à-dire N (0, ). 3. La variable aléatoire réelle X + Y = 2X l [0,π] ( X ) est pas ue gaussiee car X + Y est ue variable aléatoire borée par 2π. Le vecteur (X, Y ) est doc pas gaussie.

201 Chapitre 8. Corrigés des exercices Si le couple (X, Y ) était idépedat, le vecteur aléatoire (X, Y ) serait gaussie car ses composates seraiet des variable aléatoire réelle gaussiees idépedates. D après la questio précédete, il y aurait cotradictio. E coclusio, le couple (X, Y ) est doc pas idépedat. Corrigé de l exercice 5.8, page 03. Du fait de l idépedace des variables aléatoires réelles X, Y et Z, la foctio caractéristique de U est égale au produit des foctios caractéristiques de X, Y et Z. Cette foctio caractéristiqueest doc doée, pour tout t, par Φ U (t) = e 3 2 t2 et par suite U a pour loi N (0, 3). De la même faço, o motre que la variable aléatoire réelle V := 2X Y Z suit la loi N (0, 6) et que la variable aléatoire réelle W := Y Z suit la loi N (0, 2). 2. O remarque que le couple (U, X Y ) est l image de (X, Y, Z) par l applicatio liéaire( de 3 das) 2 de matrice, das les bases caoiques respectives de 3 et 2, A :=. Comme (X, Y, Z) est u vecteur gaussie de loi N 0 3 (0, I ) où 0 est le vecteur ul de 3 et I la matrice idetité d ordre 3, le vecteur (U, X Y ) est aussi gaussie ( de ) loi N 2 (0, AI A ). La matrice de dispersio de (U, X Y ) est doc 3 0 AA =. Cette matrice état diagoale, le couple de variables aléatoires réelles 0 2 (U, X Y ) est idépedat. O procède de faço aalogue pour les couples (U, Y Z) et (U, Z X ). 3. O remarque que le vecteur (X + Y + Z, 2X Y Z, Y Z) est l image du vecteur gaussie (X, Y, Z) par l edomorphisme de 3 de matrice (das la base caoique de 3 ) B := 2. Le vecteur aléatoire (U, V, W ) est doc u vecteur gaussie de loi N 3 (0, BI B ) = N 3 (0, BB ) où BB = La matrice des covariaces du vecteur (U, V, W ), BB, est diagoale et le vecteur (U, V, W ) gaussie, le triplet des variables aléatoires réelles (U, V, W ) est doc idépedat. 5. La foctio caractéristique du couple (U, T ) est défiie, pour tout (u, t) 2, par Φ (U,T ) (u, t) = E [exp (i(uu + vt ))] [ = E exp (iu(x + Y + Z) + 2 it(2x Y Z) )] it(y Z)2, où o a utilisé l idetité à vérifier. Comme la famille des v.a.r. (U, 2X Y Z, Y Z)

202 88 Théorie des probabilités, Bruo Saussereau, , versio 0/0/204 est idépedate, Φ (U,T ) (u, t) = E [ e iuu] E [ ( )] [ ( )] 3 exp it(2x Y Z)2 E exp it(y Z)2 2 2 = e 3 2 u2 Φ 6 (2X Y Z)2(3t)Φ (Y Z)2(3t). 2 Comme (2X Y Z) suit la loi N (0, 6) et que (Y Z) suit la loi N (0, 2), (2X Y Z) et (Y Z) suivet la loi N (0, ). O coclut à l égalité des 6 2 foctios caractéristiques Φ 6 (2X Y Z) = Φ 2 (Y Z) 2 = ϕ. Il viet alors 2 Φ (U,T ) (u, t) = e 3 2 u2 [ϕ(3t)] 2 = e 3 2 u2 6it. Corrigé de l exercice 5.9, page 04. E utilisat la techique des foctios boréliees positives, si h est ue telle foctio, o a E[h(X 2 )] = h(x 2 )dp X (x) = h(x 2 ) e 2 x2 dλ(x) 2π = 2 h(x 2 ) e 2 x2 dλ(x), + 2π puisque la foctio itégrée par rapport à la mesure de Lebesgue est paire. O utilise esuite le théorème de chagemet de variable das ue itégrale relative à la mesure de Lebesgue, e posat t = x 2. E[h(X 2 )] = h(t) e t 2 t 2 l +(t)dλ(t) = h(t)dγ( 2π 2, 2 )(t). O a motré P X 2 = γ(, ) = 2 2 χ2 (). 2. E utilisat les foctios caractéristiques des lois Gamma (voir le formulaire de l aexe A, page 205) et la propositio 4.3, page 86, la somme de deux v.a.r. idépedates de loi respective γ(a, b) et γ(a, b ) est ue v.a.r. de loi γ(a, b+b ). Par récurrece immédiate sur, o motre que la v.a.r. k= X k 2 suit ue loi γ(, ) = 2 2 χ2 ()... D après les théorèmes d algèbre liéaire, il est possible de costruire ue base B orthomormée qui complète la famille libre (V ), B = (V,, V ). La matrice de passage de la base caoique à B est la matrice orthogoale ( i.e. sa trasposée est égale à so iverse) formée des vecteurs coloes de B. Sa trasposée, que l o ote C, est aussi orthogoale 3. O cosidère l espace vectoriel euclidie et o pose V := et de la forme c, c,2 c, c 2, c 2,2 c 2, C = c, c,2 c,

203 Chapitre 8. Corrigés des exercices E utilisat la propositio 5.5, page 98, comme X suit la loi N (0, I ), Y = CX suit la loi N (0, CI C ) = N (0, I ), où C désige la trasposée de C, et C = C puisque C est orthogoale. 5. De Y = CX, o déduit facilemet que Y = X k = X. Avec les règles du calcul matriciel, o remarque que k= Yk 2 = Y Y = (CX ) (CX ) = X (C C)X = X X = k= Xk 2. k= De plus, ( )S 2 = = = (X k X ) 2 = (Xk 2 2X X k + X 2 ) k= Xk 2 2X k= k= X k + X 2 = k= Xk 2 X 2 = Xk 2 + ( 2X 2 + X 2 ) k= Yk 2 Y 2 = Yk 2. k= k= k= Aisi X = Y et S 2 = Y k 2. Le vecteur Y est gaussie et sa matrice k= de dispersio est diagoale doc (Y,, Y ) est idépedat. Par suite X et S 2 sot idépedates e vertu du théorème d idépedace des foctios de v.a.r. (cf propositio 4.4, page 75). 6. La foctio caractéristique de X est Φ X (t) = E[e itx ] = E[e i t Y ] = Φ Y ( t ) = e 2 t2. Doc P X = N (0, ). Efi, d après la deuxième questio, le vecteur aléatoire (Y,, Y ) suit la loi N (0, I ), la v.a.r. ( )S 2 suit la loi χ 2 ( ). Corrigé de l exercice 5.0, page 04 Motros que, pour tout etier, il existe ue forme liéaire L sur + telle que X = L (X 0, ε,..., ε ). Pour =, posos L (x 0, x ) := l (x 0 ) + b x et remarquos que X = L (X 0, ε ). Supposos costruites les formes liéaires L i pour i =,, et costruisos L +. O a Posos X + = l + (X 0, X,..., X ) + b + ε + = l + (X 0, L (X 0, ε ),..., L (X 0, ε,..., ε )) + b + ε +. L + (x 0,..., x + ) := l + (x 0, L (x 0, x ),..., L (x 0, x,..., x )) + b + x +.

204 90 Théorie des probabilités, Bruo Saussereau, , versio 0/0/204 L + est bie ue forme liéaire sur +2 et X + = L + (X 0, ε,..., ε + ), ce qui prouve l existece de la suite (L ). Maiteat, pour tout 0, costruisos l edomorphisme A de + e posat, pour tout (x 0, x,, x ) +, Avec ces otatios, A + (x 0,..., x ) := (x 0, L (x 0, x ),..., L (x 0,..., x )). (X 0, X,..., X ) = A (X 0, ε,..., ε ). Comme les composates de (X 0, ε,..., ε ) sot gaussiees et mutuellemet idépedates, ce vecteur est gaussie. Par suite le vecteur (X 0, X,..., X ) est égalemet gaussie comme image d u vecteur gaussie par ue applicatio liéaire. 8.6 Corrigés des exercices du chapitre VI Das ce paragraphe, toutes les variables aléatoires cosidérées sot supposées défiies sur u même espace de probabilité (Ω, F, P). Corrigé de l exercice 6., page 07. D après l iégalité de Bieaymé-Tchébycheff, P( X m 3σ) σ2 9σ 2 = 9 P(m 3σ < X < m + 3σ) = P( X m σ) U raisoemet aalogue doe l autre partie de la questio. et doc 2. Comme X est de loi N (m; σ 2 ), o utilise les tables umériques (voir mode d emploi das l aexe B, page 2) et o obtiet e otat T = (X m)/σ qui est de loi gaussiee cetrée réduite P(m 3σ < X < m + 3σ) = P ( 3 < X m σ ) < 3 = P( 3 < T < 3) = P(T < 3) P(T < 3) = P(T < 3) [ P(T < 3)] = 2P(T < 3) , où l o a lu P(T < 3) das la partie basse de la table correspodat aux grades valeurs de u. O trouverait de même P(m 2σ < X < m + 2σ) Corrigé de l exercice 6.2, page 07. E utilisat le fait que X est d espérace ulle o a : a = E[a X ] = E[(a X )l (X a) + (a X )l (X >a) ] E[(a X )l (X a) ] (P(X a)) 2 (E[(a X ) 2 ]) 2

205 Chapitre 8. Corrigés des exercices 9 où la derière iégalité est obteue e utilisat l iégalité de Cauchy-Schwarz. De plus E[(a X ) 2 ] = a 2 2aE[X ] + E[X 2 ] = a 2 + σ 2 ce qui doe : a E[(a X )l (X a) ] (P(X a)) 2 a2 + σ 2. E élevat au carré l iégalité précédete o obtiet : P(X > a) = P(X a) a2 a 2 + σ 2 = 2. Si o pose X = Y 00 alors X est ue v.a. cetrée de variace σ2 a 2 + σ 2. Var(X ) = E[(Y 00) 2 ] = E[(Y E[Y ]) 2 ] = Var(Y ) = 400. L iégalité de la questio ) ous coduit à P(Y > 20) = P(X > 20) Avec l iégalité de Bieaymé-Tchebycheff o obtiet : = 2. P(Y > 20) = P(X > 20) P( X > 20) = qui e doe pas de reseigemet. Corrigé de l exercice 6.3, page 09 Notos X k la k ième mesure effectuée sur les N. O peut cosidérer que X k est ue v.a.r. d espérace m, que les v.a.r. X,..., X N sot idépedates et de même loi. O ote X N = N X k la moyee empirique des valeurs observées. Par l iégalité de Bieaymé- N k= Tchébicheff, P( X N m 0.05) V ar(x N) (0.05). Or V ar(x N) = V ar(x ) 2 N P( X N m 0.05) N 0.25 (0.05) = N(0.05) 2. O cherche doc N tel que 0.25 N(0.05) 2 = 0.25 N et doc 0.0 d où Corrigé de l exercice 6.4, page 0 Soit a > 0, preos u etier suffisammet grad pour que 0 < / < a. O veut étudier la limite quad de P( X 0 a). Pour tel que / < a, o a P( X 0 a) = P( X a) = P(X a) + P(X a) = a l [0, } {{ } dx + =0 sur ], a[ + a l [0, } {{ } dx =0 sur [a, + [ d où pour tout a > 0, lim P( X 0 a) = 0 ce qui prouve que (X ) N coverge e probabilité vers 0.

206 92 Théorie des probabilités, Bruo Saussereau, , versio 0/0/204 Corrigé de l exercice 6.5, page 2 O cosidère l exemple 6.3, page 0, du cours. La suite (X ) N coverge e probabilité vers la v.a.r. 0. Mais pour tout etier, E(X ) = + + =. Doc la suite des + espéraces (E(X )) N e coverge pas vers l espérace de la limite qui est 0 = E(0). Corrigé de l exercice 6.6, page 4 p.s ) Comme X X, il existe X tel que P( X ) = 0 et pour tout ω c X, lim X (ω) = X (ω). De même il existe Y de probabilité ulle tel que pour tout ω c Y, lim Y (ω) = Y (ω). Posos = X Y, alors pour tout ω c, lim X (ω) = X (ω) et lim Y (ω) = Y (ω). Comme la foctio f est cotiue sur 2, la suite (f (X (ω), Y (ω))) N coverge vers f (X (ω), Y (ω)). De plus, 0 P( ) P( X ) + P( Y ) et doc P( ) = 0 ce qui prouve la covergece presque-sûre de (f (X, Y )) N vers f (X, Y ). 2) Il suffit d appliquer le premier poit avec f : (x, y) x + y et g : (x, y) xy qui sot des applicatios cotiues sur 2. Corrigé de l exercice 6.7, page 6 O commece par remarquer que X k = X et o a (X k X ) 2 = k= = = k= (Xk 2 2X k X + X 2 ) k= ( k= ( k= X 2 k X 2 k ) ) 2X ( k= 2X 2 + X 2 = X k ) + X 2 ( k= X 2 k ) X 2 d où la relatio pour S 2. D après la loi forte des grads ombres appliquée à la suite (X ) N où la moyee commue à tous les X k est m = E(X 0 ) et la variace commue est σ 2 = V ar(x 0 ). O a X p.s. m et X 2 p.s. m2. De même la suite (X 2 k ) k N est ue suite i.i.d. et o peut doc lui appliquer la loi forte des grads ombres qui prouve que k= X 2 k p.s. E(X 2 0 ). Aisi S 2 = } {{ } k= X 2 k } {{ } E(X0 2) } {{ } X 2 }{{} m 2 p.s. E(X 2 0 ) m 2 = σ 2.

207 Chapitre 8. Corrigés des exercices 93 Corrigé de l exercice 6.8, page 2 Posos, pour tout, S := X + + X. E utilisat le fait que E(S ) = µ et que la variace d ue somme de variables o corrélées est égale à la somme des variaces, o obtiet [ E ( S ] ( ) S µ)2 = Var = Var(X 2 i ) C. O a doc la covergece vers µ das L 2, et par coséquet e probabilité, de la suite ( S ). Corrigé de l exercice 6.9, page 2 Posos, pour tout etier, I := f (U k) et remarquos que k= E(I ) = E(f (U )), Var(I ) = 2 Var ( k= i= f (U k ) ) = Var (f (U )). Pour obteir ces deux résultats, o utilise l idépedace et l idetité des lois des v.a.r. f (U k ). De plus comme f est ue applicatio de carré itégrable, la costate C := Var (f (U )) est fiie. Soit δ > 0, appliquos l iégalité de Bieaymé-Tchebycheff à la v.a.r. I L 2. Il viet, pour tout etier, P ( I E(I ) δ) Var(I ) δ 2 d où P ( I E(f (U )) δ) C δ 2 e reportat les expressios trouvées ci-dessus. Cela prouve que, pour tout δ > 0, lim P ( I E(I ) δ) = 0, c est-à-dire que la suite de v.a.r. (I ) N coverge e probabilité vers E(f (U )). Calculos E(f (U )). Par le théorème de trasfert il viet E(f (U )) = f (U )dp = f (x)dp U (x) Ω = f (x)l [0,] dλ(x) = f dλ ce qui achève la démostratio. Corrigé de l exercice 6.0, page 2 Pour tout i, X i est ue v.a.r. itégrable. La loi forte des grads ombres implique i= X i p.s. E[X ] = 2, [0,] d où, comme f est cotiue, f ( i= X i ) p.s. f ( 2 ).

208 94 Théorie des probabilités, Bruo Saussereau, , versio 0/0/204 Comme f est borée, il existe ue costate M telle que, pour tout, f ( Par applicatio du théorème de covergece domiée de Lebesgue [ ] E f ( X i ) E [f ( 2 ] ) = f ( 2 ). i= X i ) M. O applique maiteat le théorème du trasfert à la variable aléatoire vectorielle (X,, X ), il viet [ ] E f ( X i ) = f ( x + + x ) dp (X,,X i= )(x,, x ) = f ( x + + x ) l [0,] (x i )dλ () (x,, x ) i= = f ( x + + x )dλ () (x,, x ). [0,] e coclusio, lim f ( x + + x )dλ () (x,, x ) = f ( + [0,] 2 ). Corrigé de l exercice 6., page 2. Comme f est cotiue sur le compact [0, ] elle est borée et e particulier sup f (x) 0 x est fii, de plus la v.a.r. f ( S ) est itégrable. Par le théorème de trasfert il viet p (x) := E[f ( S )] = = f ( t ) d ( k=0 f ( k )C k x k ( x) k. k=0 i= C k x k ( x) k δ k ) (t) 2. Comme f est cotiue sur le compact [0, ] elle est uiformémet cotiue sur [0, ]. Fixos ε > 0, il existe alors δ > 0 tel que, pour tout (x, y) [0, ] 2, x y < δ implique f (x) f (y) < ε. De plus [ p (x) f (x) = E f ( ] [ S ) f (x) E f ( ] S ) f (x). Cosidéros l évéemet A := { S x < δ}, il viet [ E f ( ] [ S ) f (x) = E l A f ( ] [ S ) f (x) + E l A c f ( ] S ) f (x) εe(l A ) + 2E(l A c ) sup f (x) 0 x εp(a ) + 2P(A c ) sup f (x) ε + 2P 0 x ( S x δ ) sup f (x) 0 x

209 Chapitre 8. Corrigés des exercices 95 ce qui prouve la deuxième iégalité. Utilisos maiteat l iégalité de Bieaymé-Tchebycheff pour majorer le deuxième terme du secod membre de l iégalité précédete. Comme { S x δ} = { S E(S ) δ} il viet P( S x δ) = P( S E(S ) δ) (δ) 2 Var(S ) = x( x) δ 2 ce qui e reveat à la deuxième iégalité doe, pour tout N et tout x [0, ], x( x) p (x) f (x) ε + 2 sup f (x). δ 2 0 x 3. D après la questio précédete, pour tout N, o obtiet où o a utilisé sup (x( x)) = 0 x 4 [0, ]). sup p (x) f (x) ε + sup f (x) 0 x 2δ 2 0 x (Étudier la foctio umérique h(x) := x( x) sur sup 0 x Par suite, pour tout ε > 0, il existe N N tel que, pour tout N, N implique p (x) f (x) < 2ε, ce qui prouve que la suite de polyômes (p ) N coverge uiformémet sur [0, ] vers la foctio f. Corrigé de l exercice 6.2, page 22. Appliquos le résultat de l exercice 4.7, page 92, à la v.a.r. positive X pour =. Cela doe E( X ) = + P( X > t)dt. O peut alors écrire 0 E( X ) = + 0 = 0 l [,+[ (t)p( X > t)dt l [,+[ (t)p( X > t)dt 0 P( X ) où pour obteir la derière iégalité o a utilisé la majoratio l [,+[ (t)p( X > t) l [,+[ (t)p( X ). 2. Soit ω {( S ) N coverge das }. Comme et que lim + S (ω) S (ω) S +(ω) + = S (ω) ( + ) X +(ω) + S +(ω) + = 0 = lim + S (ω) ( + ),

210 96 Théorie des probabilités, Bruo Saussereau, , versio 0/0/204 ( ) la suite + X +(ω) coverge vers 0. Par suite seuls u ombre fii d etiers N vérifiet X (ω) ou ecore X (ω). ω e peut doc pas apparteir à l esemble lim sup{ X }, ce qui prouve l iclusio cherchée. 3. Comme les v.a.r. sot toutes de même loi, pour tout N, ous avos P( X ) = P( X ) et par suite, e reveat à l iégalité de la première questio appliquée à la v.a.r. X, E( X ) P( X ) = P( X ). 0 0 Comme X est pas itégrable, E( X ) = + et par suite e vertu de l iégalité précédete, la série P( X ) diverge. Comme la suite (X ) N est idépedate, les évéemets { X } sot idépedats. Par applicatio( du lemme de Borel-Catelli ) o e déduit que P(lim sup{ X }) = ou ecore P [lim sup{ X }] c = 0. Mais de l iclusio de la deuxième questio o déduit que ( P ( ) S ) N coverge das = 0. Ce qui sigifie que la suite de v.a.r. ( S ) N e coverge pas presque-sûremet das. Corrigé de l exercice 6.3, page 22. Cosidéros l évéemet A := {( S ) N coverge vers m}. Soit ω A, alors la suite (S (ω)) N coverge vers + si m > 0 ou si m < 0. Par suite l esemble { ( N/S (ω) I } est fii car l itervalle I est supposé boré ; ce qui sigifie que c ( c ω lim sup{s I }). O a doc l iclusio d évéemets A lim sup{s I }). 2. Il s agit de motrer que P [( lim sup{s I } ) c ] =. D après la loi forte des grads ombres, l évéemet A = {( S ) N coverge vers m} est de probabilité égale à, c està-dire P(A) =. Ce qui doe, compte-teu de l iclusio démotrée e ), le résultat cherché. 8.7 Corrigés des exercices du chapitre VII Das ce paragraphe, toutes les variables aléatoires cosidérées sot supposées défiies sur u même espace de probabilité (Ω, F, P). Corrigé de l exercice 7., page 27 ) Cosidéros pour k =,..., N la v.a.r. X k = si la k ième va das la salle et X k = 0 sio (elle va alors das la salle 2). La v.a.r. X k est de loi de Beroulli de paramètre /2. Comme le choix des spectateurs est supposé idépedat, X,..., X N sot des v.a.r. idépedates. Le ombre de spectateurs qui désiret aller das la salle est doc S = S N = X X N qui

211 Chapitre 8. Corrigés des exercices 97 est ue v.a.r. B(N; ). L évéemet "tous les spectateurs e peuvet pas voir le film qu ils ot 2 choisi" se modélise par : {S > } {N S > } = {S > } {S < N }. O remarque que si N > 2, o est sûr qu il y a au mois u spectateur qui e verra pas so film. Das ce cas, P =. De même, si N <, o est sûr que tous les spectateurs pourrot voir leur film. Das ce cas, P = 0. Étudios le cas où N 2 c est-à-dire 0 N. Das ce cas, {S > } {S < N } = Ø et doc P = P(S > ) + P(S N ). D après le théorème cetral limite (N est implicitemet supposé grad), o a lim P N ( S N 2 2 N x ) = x 2π e u2 /2 du. Si o ote T = S N 2 2 N P = P, c est ue v.a.r. asymptotiquemet de loi N (0,) et doc ( T > ) N 2 + P N/4 ( T < N ) N 2 N/4 ( = P T ) N ( 2 = 2 Φ [ (2 N)/ N ]), N/4 où Φ désige la foctio de répartitio de la loi N (0,). 2) Si N = 000 et si o veut P 0.0, il faut choisir pour que Φ[(2 000)/ 000] La lecture iverse de la table de N (0, ) doe Φ(2.58) 0.95 d où (2 000)/ et par suite il faut predre 54. Corrigé de l exercice 7.2, page 29 La foctio de répartitio de δ est l [, [ pour tout N. De plus lim l [, [ (x) = 0 doc la limite de la suite de foctios de répartitio (l [, [ ) N est la foctio-ulle qui est pas ue foctio de répartitio car elle e vérifie pas lim F (x) =. x O a doc la covergece simple de la suite de foctio de répartitios (F δ ) N mais la suite (δ ) N e coverge pas étroitemet vers ue limite µ, sio o aurait lim F δ (x) = F µ (x) = 0 pour tout poit x de cotiuité de F µ et doc F µ = 0, ce qui est impossible. Corrigé de l exercice 7.3, page 3 O sait par le théorème de stabilité de la somme de variables de Poisso idépedates, que la loi de S est P(). emarquos alors que Par suite, k= e k k! = P(S ) et {S } = { (S ) 0}. k=0 k= ( ) e k k! = P (S ) 0. k=0

212 98 Théorie des probabilités, Bruo Saussereau, , versio 0/0/204 ( ) Le théorème-limite cetral permet d affirmer que la suite (S ) coverge e loi vers ue variable Y de loi N (0, ). E particulier P( (S ) 0) ted vers P(Y 0) = ( ) 2 k= quad ted vers +. O coclut doc que la suite e k coverge vers k! 2. Corrigé de l exercice 7.4, page 32 Soit X le ombre de trasistors défectueux das u sachet de 00, X suit ue loi B(00;0.0). L évéemet "la garatie tombe e defaut" se modélise par {X 3}. Comme le proposet les commetaires qui suivet la propositio 7.4, page 32, o approxime la loi biomiale par la loi de Poisso de paramètre car o a = 00 30, p = < 0 et p 0.. D où P(X 3) = P(X 2) P(P() 2) %. Corrigé de l exercice 7.5, page 33 Pour tout N S, posos µ N := H(N,, p). µ N est ue probabilité discrète portée par l esemble des etiers compris etre 0 et. D après le critère de covergece des probabilités discrètes, il suffit de motrer que, pour tout etier k compris etre 0 et, la suite (µ N ({k})) N S coverge vers B(, p)({k}) = C k p k q k. Soit k u etier compris etre 0 et, après explicitatio des coefficiets biomiaux, o peut écrire µ N ({k}) = C k Mais, pour N voisi de l ifii, et [(Np)(Np )...(Np k + )] [(Nq)(Nq )...(Nq + k + )]. [N(N )...(N + )] [(Np)(Np )...(Np k + )], [(Nq)(Nq )...(Nq + k + )] [N(N )...(N + )] sot respectivemet équivalets à (Np) k, (Nq) k et N. Par suite, pour N voisi de l ifii, µ N ({k}) est équivalet à C k p k q k, ce qui termie la démostratio. Ce résultat exprime qu ue loi hypergéométrique peut être approximée par ue loi biomiale. Corrigé de l exercice 7.6, page 36 Pour tout, o vérifie facilemet que l applicatio défiie par { cos(2πx) si x [0, ] f (x) := 0 si x [0, ] c est ue desité de probabilité. La foctio de répartitio F associée à la probabilité de desité f est doée par 0 si t ], 0], F (t) = f (x)dλ(x) = t si(2πt) si t ]0, ], ],t] 2π si t ], + [. k=0

213 Chapitre 8. Corrigés des exercices 99 La suite (F ) coverge simplemet vers la foctio F défiie par F (t) := tl [0,[ (t) + l [,+ [ (t). F est la foctio de répartitio de la loi uiforme U([0, ]) de desité f = l [0,]. O a doc ue covergece étroite des probabilités de desités f vers la loi uiforme, mais la suite des desités a de limite e aucu poit de ]0, [. Corrigé de l exercice 7.7, page 38 Si (a ) N et (σ ) N coverget respectivemet vers les réels a et σ, alors (a ) N et (σ) 2 N coverget respectivemet vers les réels a et σ 2, et pour tout t, la suite (Φ µ (t)) N = ( exp ( ia t 2 t2 σ 2 )) N coverge vers exp (iat 2 t2 σ 2 ). La suite des foctios caractéristiques ( Φ N (a,σ )N 2) coverge simplemet vers la foctio caractéristique de la probabilité N (a, σ 2 ). O coclut alors e utilisat le critère des foctios caractéristiques. Corrigé de l exercice 7.8, page 4 O obtiet facilemet, pour tout, la foctio de répartitio F de µ : F (t) = t l [0,[ (t) + l [,+ [ (t). Cette suite de foctios de répartitio coverge simplemet vers l [,+ [ qui est la foctio de répartitio de δ. La suite (µ ) coverge doc étroitemet vers δ. O remarquera qu ue suite de probabilités absolumet cotiues peut coverger étroitemet vers ue probabilité discrète. Corrigé de l exercice 7.9, page 4 O sait que la foctio caractéristique de la loi de Cauchy est défiie par Φ(t) = e t. Pour tout, la foctio caractéristique de S est doée par Φ S (t) = E[e it S ] = (E[e it X ]) = e t du fait de l idépedace de la suite (X ). Comme la suite ( ) e t ted vers l {0} (t) qui défiit ue applicatio o cotiue e 0, c-à-d ( que) la limite des foctios caractéristiques est pas ue foctio caractéristique, la suite S e coverge pas e loi et doc e peut pas coverger e probabilité. Pour tout, la foctio caractéristique de S est doée par Φ S(t) = e t. La suite ( ) S coverge doc e loi vers ue v.a.r. de loi de Cauchy. Si cette suite covergeait e ( S probabilité, alors la suite S ) 2 covergerait e probabilité vers 0 et doc covergerait 2 e loi vers 0. Or la foctio caractéristique de S S 2 2 est doée par Φ S S 2 (t) = E[e it 2 (X + +X (X + + +X 2 )) ] = e t 2 qui e coverge pas vers(, foctio ) caractéristique de la v.a.r. costate 0, lorsque ted vers +. Doc la suite S e coverge pas e probabilité.

214 200 Théorie des probabilités, Bruo Saussereau, , versio 0/0/204 Pour tout, la foctio caractéristique de S t 2 est doée par Φ 2 S(t) = e qui ( ) coverge e + vers, foctio caractéristique de la v.a.r. 0. La suite S 2 coverge doc e loi vers 0 et d après la première questio, elle coverge aussi e probabilité vers 0. Corrigé de l exercice 7.0, page 42. Pour tous t, α > 0, et N, Φ X+Y (t) Φ X (t) = E [ e itx (e ity ) ] E [ e ity ] = e ity dp + e ity dp { Y >α} { Y α} 2P( Y > α) + e ity dp. { Y α} 2. emarquos que (Y ) N coverge e loi vers la v.a.r. 0 si et seulemet si (Y ) N coverge e probabilité vers la v.a.r. 0 (cf. exercice V-6). Soit ε > 0, il existe α 0 > 0 tel que pour y α 0 o ait e ity ε. De plus la covergece de la suite (Y ) N e probabilité vers 0 coduit à l existece de 0 N tel que pour 0, P( Y > α 0 ) ε et par suite Φ X+Y (t) Φ X (t) 3ε. La covergece e loi vers X de la suite (X ) N etraîe l existece d u etier, que l o peut choisir plus grad que 0, tel que, pour tout, Φ X (t) Φ X (t) ε. O a motré que pour tout, Φ X+Y (t) Φ X (t) Φ X+Y (t) Φ X (t) + Φ X (t) Φ X (t) 4ε, ce qui prouve la covergece e loi vers X de la suite (X + Y ) N. 3. Supposos que X soit ue v.a.r. de loi symétrique, i.e. X a même loi que X (par exemple P X := 2 (δ + δ ) ou P X := N (0, )), et posos, pour tout N, X := X. Il est clair que la suite (X ) N coverge e loi vers X et que la suite (X X ) N coverge e loi vers 2X 0. Corrigé de l exercice 7., page 42. U raisoemet par récurrece motre facilemet que, pour tout N, X = θ k U k. k= La suite des v.a.r. (θ k U k ) k=,, est idépedate, car (U k ) N l est. De plus o vérifie aisémet que la loi de θ k U k est N (0, θ 2 2k σ 2 ). X est la somme de v.a.r. ormales idépedates cetrées, sa loi est doc la loi ormale cetrée de variace si θ, Var(X ) = k= θ2 2k σ 2 = θ2 σ 2 θ 2 si θ =, Var(X ) = σ 2.

215 Chapitre 8. Corrigés des exercices Cosidéros la foctio caractéristique de la v.a.r. X. Pour tout t, si θ, ( ) Φ X (t) = exp θ2 σ 2 t 2 θ 2 si θ =, Φ X (t) = exp ( σ 2 t 2 ). ( Si θ <, la suite (Φ X (t)) N coverge, pour tout t, vers exp ) θ 2 σ2 t 2 qui ) est la valeur e t de la foctio caractéristique de la loi N (0, θ 2 σ2. Das ce cas la suite (X k ) N coverge e loi vers ue v.a.r. de loi N (0, θ 2 σ2 Si θ =, la suite (Φ X (t)) N coverge, pour tout t 0, vers 0 et pour t = 0, vers. La foctio limite état pas cotiue e 0, elle e peut pas être la foctio caractéristique d ue probabilité. Das ce cas la suite (X k ) N e coverge pas e loi. Si θ >, la suite (Φ X (t)) N coverge, pour tout t, vers 0. La foctio limite e preat pas la valeur e 0, elle e peut pas être la foctio caractéristique d ue probabilité. Das ce cas la suite (X k ) N e coverge pas e loi. Corrigé de l exercice 7.2, page 42. Supposos que la suite (X ) N coverge e loi vers X et cosidéros l applicatio cotiue borée f ε, ε > 0, défiie par f ε (t) := (x ε)l ],x ε[ (t) + tl [x ε,x+ε[ (t) + (x + ε)l [x+ε,+ [ (t). Comme E[f ε (X )] = f ε (x ), pour tout N, la suite (f ε (x )) N coverge vers f ε (x) = x. Il existe u etier 0 tel que, pour tout etier 0,, f ε (x ) x < ε, par suite f ε (x ) = x et x x < ε. La suite (x ) N coverge vers x. éciproquemet si la suite (x ) N coverge vers x alors, pour toute applicatio f de das cotiue borée et tout N, E[f (X )] = f (x ). Comme E[f (X )] = f (x), o e déduit que la suite (E[f (X )]) N coverge vers E[f (X )], d où la covergece e loi de la suite (X ) N vers X. 2. Soit F X la foctio de répartitio de la v.a.r. X et F X celle de X, N. Par hypothèse, e dehors de l esemble D des poits de discotiuité de F, la suite (F ) N coverge simplemet vers F X. Comme, pour tous N et t D, F X (t) = l [x,+ [(t), il viet F X (t) {0, }. O peut alors utiliser le résultat de l exercice 3.23, page 60, puisque D := D c est partout dese comme complémetaire d u esemble déombrable das (cf. propositio 7.8, page 29). Doc il existe x tel que P X = δ x et d après la questio précédete o peut ajouter que la suite (x ) N coverge vers x. Corrigé de l exercice 7.2, page 42 O rappelle que la f.c. de la probabilité de Gauss N (a, σ 2 ) est l applicatio défiie sur par Φ µ (t) = exp (iat 2 ) t2 σ 2. ).

216 202 Théorie des probabilités, Bruo Saussereau, , versio 0/0/204. (a) Motros que la suite (σ) 2 N est borée. aisoos par l absurde et supposos que la suite de réels positifs (σ) 2 N est pas borée. Il existe alors ue suite (σ 2 k ) k N extraite de la précédete covergeat vers +. Comme la suite (µ ) N coverge étroitemet vers µ, d après le critère des foctios caractéristiques, la f.c. Φ µ de µ est la limite simple sur de la suite de f.c. (Φ µ ) N. E cosidérat la suite des modules de ces f.c. o obtiet, pour tout t, ( Φ µ (t) = lim exp(ia t) exp ) 2 t2 σ 2 ( = lim exp ) 2 t2 σ 2 = lim exp ( 2 ) t2 σ 2k. k Par suite, Φ µ (0) = et si t 0, Φ µ (t) = 0. La f.c. Φ µ est doc pas cotiue e 0, ce qui cotredit la propriété de cotiuité sur des f.c. et prouve aisi que la suite (σ) 2 N est borée. Motros que la suite (σ) 2 N est covergete. La suite (σ) 2 N est borée, doc il existe M > 0 tel que, pour tout N, σ 2 [0, M]. Comme [0, M] est u compact, la suite (σ) 2 N admet au mois ue valeur d adhérece σ 2 das [0, M]. Si (σ) 2 N admet ue autre valeur d adhérece τ 2 das [0, M], alors τ 2 (resp. σ 2 ) est limite de la suite (σm 2 k ) k N (resp. (σ 2 k ) k N ) extraite de (σ) 2 N. Par u raisoemet déjà effectué, il viet, pour tout t, Φ µ (t) = lim exp ( 2 ) t2 σ 2k = exp ( 2 ) t2 σ 2 k = lim exp ( 2 ) t2 σ 2mk = exp ( 2 ) t2 τ 2, k ce qui implique que τ 2 = σ 2. Cela motre que σ 2 est la seule valeur d adhérece de la suite (σ 2 ) N das le compact [0, M], d où lim if (σ) 2 = lim sup(σ) 2 = lim(σ 2 ) = σ 2. (b) Cosidéros, pour tout N, la f.c. Φ de δ a. O peut écrire, pour tout t, ( ) Φ (t) = exp(ia t) = Φ µ (t) exp 2 t2 σ 2 ( ) et par passage à la limite Ψ(t) := lim Φ (t) = Φ µ (t) exp 2 t2 σ 2. L applicatio Ψ aisi défiie est cotiue e 0 et limite simple d ue suite de f.c.. D après le théorème de cotiuité de Lévy, il existe ue probabilité ν sur dot Ψ est la f.c. et la suite (δ a ) N coverge étroitemet vers ν. Par suite, si o ote C l esemble des réels où la foctio de répartitio de ν est cotiue, pour tout t C, F ν (t) = lim F δa (t). O e déduit que, pour tout t C, F ν (t) {0, }, mais C est ue partie partout dese de, ce qui implique que ν est la mesure de Dirac e u poit a. O coclut alors que la suite (a ) N coverge das vers le réel a. eveat à la foctio caractéristique de µ, o peut écrire, pour tout t, ( Φ µ (t) = lim exp ia t ) 2 t2 σ 2 = exp (iat 2 ) t2 σ 2,

217 Aexe. Corrigés des exercices 203 ce qui, avec la covetio adoptée, prouve que µ = N (a, σ 2 ).

218 204 Théorie des probabilités, Bruo Saussereau, , versio 0/0/204

219 Aexe A. Formulaire 205 Aexe A Formulaire Ce formulaire sera fouri avec les sujets lors des épreuves termiales. A. appels de otatios O rappelle les covetios et otatios suivates :. Pour tous etiers relatifs k et, C k! := k!( k)! si 0 k, et C k := 0 sio. 2. L écriture µ := ρ λ sigifie que ρ est ue desité de probabilité défiie sur par ρ(x) et que µ est la probabilité sur défiie par cette desité ρ. 3. λ désige la mesure de Lebesgue sur. 4. Pour tout réel a > 0, Γ (a) := + tout etier, Γ () = ( )!. Pour chaque probabilité µ de la liste, o trouvera :. so om, sa otatio, sa défiitio ; 0 e x x a dx. E particulier, Γ (/2) = π et, pour 2. sa foctio de répartitio F défiie sur par F (x) := µ(], x]) ; 3. sa foctio caractéristique Φ défiie sur par Φ(t) := e itx dµ(x) (sauf pour la probabilité hypergéométrique) ; 4. so espérace (momet d ordre ) m := xdµ(x) et sa variace (momet cetré d ordre 2) σ 2 := (x m) 2 dµ(x), si ces momets existet. A.2 Quelques relatios à coaître e probabilités Somme d ue série géométrique et ses dérivées terme à terme Pour tout réel 0 < x <, + x k = x k=0

220 206 Théorie des probabilités, Bruo Saussereau, , versio 0/0/204 + k=2 + k= kx k = k(k )x k 2 = ( x) 2 2 ( x) 3 et de faço plus géérale, pour tout etier aturel p, + k=p k(k )(k 2) (k p + )x k p = Somme de la série expoetielle épériee Pour tout réel x, Itégrale de Gauss + + k=0 Formule du biôme de Newto Pour tous réels a, b, et tout etier aturel, x k k! = ex e 2 t2 dt = 2π k= (a + b) = C k a k b k k=0 elatio de Vadermode Pour tous etiers aturels, m, et N tels que 0 N + m, p! ( x) p+. k=n k=0 C k C N k m = C N +m elatio de Pascal Pour tous etiers aturels, k tels que 0 k, C k + = C k + C k Deux autres relatios utiles Pour tous etiers aturels, p tels que 0 p, pc p = C p k=+p k= C k = C + +p+

221 Aexe A. Formulaire A.3 Probabilités usuelles discrètes 207. Dirac : δ a, a F (x) = l [a,+ [ (x) et Φ(t) = e ita m = a et σ 2 = 0 2. Beroulli : B(p) := pδ + ( p)δ 0, p ]0, [ F (x) = ( p)l [0,[ (x) + l [,+ [ (x) et Φ(t) = p + pe it m = p et σ 2 = p( p) 3. Beroulli-symétrique : B s (p) := ( p)δ + pδ, p ]0, [ F (x) = ( p)l [,[ (x) + l [,+ [ (x) et Φ(t) = ( p)e it + pe it m = 2p et σ 2 = 4p( p) k= 4. Biomiale : B(, p) := C k p k ( p) k δ k, p ]0, [ et N k=0 k= F (x) = C k p k ( p) k l [k,+ [ (x) et Φ(t) = ( p + pe it ) k=0 m = p et σ 2 = p( p) 5. Biomiale-égative : I(r, p) := k 0 F (x) = m = + k=0 r( p) p C r k+r pr ( p) k δ k, p ]0, [ et r N ( C r k+r pr ( p) k p l [k,+ [ (x) et Φ(t) = ( p)e it et σ 2 = 6. Géométrique : G(p) := F (x) = + k= m = p et σ2 = p p 2 r( p) p 2 + k= p( p) k δ k, p ]0, [ p( p) k l [k,+ [ (x) et Φ(t) = 7. Hypergéométrique : H(, 2, ) := avec + 2 k= k=0 pe it ( p)e it ) r C k C k 2 δ C k, N, N et 2 N + 2 F (x) = k= k=0 C k C k 2 l C [k,+ [ (x) + 2

222 208 Théorie des probabilités, Bruo Saussereau, , versio 0/0/204 m = et σ 2 2 ( + 2 ) = + 2 ( + 2 ) 2 ( + 2 ) 8. Poisso : P(α) := F (x) = + k=0 + k=0 α αk e k! δ k, α > 0 α αk e k! l [k,+ [(x) et Φ(t) = exp ( α(e it ) ) m = α et σ 2 = α 9. Uiforme-discrète : U() := k= δ k, N k= F (x) = k= l [k,+ [ (x) et Φ(t) = k= m = + 2 k= et σ 2 = 2 2 k= e itk A.4 Probabilités usuelles à desité. Uiforme-cotiue : U([a, b]) := ρ λ, a, b avec a < b et ρ(x) := b a l ]a,b[(x) F (x) = x a b a l [a,b[(x) + l [b,+ [ (x) et Φ(t) = eitb e ita it(b a) m = a + b 2 et σ 2 = (b a) Gamma : γ(a, θ) := ρ λ, a > 0 et θ > 0 avec ρ(x) := θa x a F (x) = x m = a θ et σ2 = a θ 2 ( θ a θ Γ (a) e θt t a l ]0,+ [ (t)dt et Φ(t) = θ it Γ (a) e θx l ]0,+ [ (x) 3. Expoetielle : E(α) := γ(, α) = ρ λ, α > 0 avec ρ(x) := αe αx l ]0,+ [ (x) F (x) = ( e αx )l [0,+ [ (x) et Φ(t) = α α it ) a m = α et σ2 = α 2 4. Khi-deux : χ 2 () := γ( 2, 2 ) = ρ λ, N avec ρ(x) := x 2 Γ ( ) e x 2 l]0,+ [ (x) x ( ) 2 F (x) = ρ(t)dt et Φ(t) = 2it m = et σ 2 = 2

223 Aexe A. Formulaire 5. Cauchy : C(a) := ρ λ, a > 0 avec ρ(x) := F (x) = [ π ( x )] π 2 + arcta et Φ(t) = e a t a a π(a 2 + x 2 ) 209 Les momets m et σ 2 existet pas 6. Normale ou Gauss-Laplace : N (a, b) := ρ λ, a et b > 0 avec ρ(x) := e (x a)2 2b 2bπ F (x) = 2bπ x m = a et σ 2 = b ) e (u a)2 2b du et Φ(t) = exp (iat bt Normale d-dimesioelle : N d (m, D) := ρ λ d, où d N, m d, D matrice carrée d ordre d à coefficiets réels, symétrique, iversible, de type positif, et ρ(x) := ( (2π)d det(d) exp ) 2 (x m) D (x m), où x d ; ( Φ X (u) = exp iu m ) 2 u Du, où u d et l opératio désige la traspositio ; m est le vecteur-espérace et D la matrice de dispersio de N d (m, D)

224 20 Théorie des probabilités, Bruo Saussereau, , versio 0/0/204

225 Aexe B. Table de la loi ormale stadard 2 Aexe B Table de la loi ormale stadard Das ce cours ous utiliseros que la table de la foctio de répartitio de la loi ormale stadard appelée aussi loi ormale cetrée-réduite ou loi de Gauss-Laplace stadard. Cette table, qui est reproduite à la fi de l aexe, sera fourie, sas les explicatios d utilisatio, avec les sujets lors des épreuves termiales. B. Calculs avec des v.a.r. ormales cetrées-réduites Voici quelques exemples d utilisatio de la table de la loi ormale stadard. Tout calcul umérique de probabilité avec ue variable aléatoire X ormale stadard se ramèe à détermier la valeur d expressios de la forme P(a < X < b) ou P(X < b) ou P(a < X ). Les iégalités pouvat être strictes ou larges, cela e chage rie aux calculs car la foctio de répartitio de la loi ormale stadard est cotiue sur. La table de la loi ormale stadard reproduite doe les valeurs, coaissat le réel t positif, des expressios P(X < t). O peut toujours se rameer à ces cas moyeat les relatios. Si t est ue réel positif, P(X < t) est doé par la table. 2. Si t est ue réel positif, P(X > t) = P(X < t). 3. Si t est ue réel strictemet égatif, P(X < t) = P(X < t). 4. Si t est ue réel strictemet égatif, P(X > t) = P(X < t). Pour lire das la table la valeur de P(X < t) pour t positif, par exemple pour t = 2, 37, o procède de la faço suivate. O remarque que 2, 37 = 2, 3 + 0, 07. La valeur de P(X < 2, 37) est lue à l itersectio de la lige horizotale 2, 3 (valeur lue das la première coloe de la table) et de la coloe verticale 0, 07 (valeur lue das la première lige de la table). O trouve P(X < 2, 37) = 0, 99. O peut remarquer que la table e doe des valeurs de P(X < t) que pour 0 < t < 3. Cela est dû au fait que pour les valeurs supérieures à 3, P(X < t) et par suite P(X > t) 0. Toutefois la table doe les valeurs de P(X < t) pour t preat des valeurs etre 3 et 4, 5 avec ciq décimales (tables des grades valeurs pour t située au bas de la page).

226 22 Théorie des probabilités, Bruo Saussereau, , versio 0/0/204 B.2 Calculs avec des v.a.r. ormales de paramètres quelcoques Pour ce qui est du calcul de probabilité das le cas de v.a.r. ormales quelcoques, o rappelle la propositio suivate, qui est ue réécriture avec le lagage des v.a.r. de la propositio 2.9, page 26 : Propositio B.. Procédé de stadardisatio Ue v.a.r. X est ormale d espérace m et de variace σ 2 > 0 si, et seulemet, si la v.a.r. Z := X m est ue v.a.r. ormale cetrée-réduite. σ Comme, pour tout réel a et b avec a < b, o a {a < X < b} = { a m σ P(a < X < b) = P ( a m σ < Z < b m σ }, < Z < b m ). σ Aisi tout évéemet faisat iterveir das sa formulatio ue v.a.r. X ormale d espérace m et de variace σ 2 > 0 peut doc être exprimé avec la v.a.r. Z := X m de loi ormale cetréeréduite. Le procédé de stadardisatio permet de rameer tout calcul de probabilité relatif à σ ue loi ormale quelcoque à u calcul de probabilité relatif à la loi ormale cetrée-réduite, et doc à l utilisatio uiquemet de la table statistique de la loi ormale cetrée-réduite.

227 Aexe B. Table de la loi ormale stadard 23 Foctio de répartitio de la loi ormale cetrée-réduite ou stadard (Pour tout u > 0, la table doe la probabilité que la v.a. pree ue valeur iférieure à u>0) u 0 0,0 0,02 0,03 0,04 0,05 0,06 0,07 0,08 0,09 0 0,5000 0,5040 0,5080 0,520 0,560 0,599 0,5239 0,5279 0,539 0,5359 0, 0,5398 0,5438 0,5478 0,557 0,5557 0,5596 0,5636 0,5675 0,574 0,5753 0,2 0,5793 0,5832 0,587 0,590 0,5948 0,5987 0,6026 0,6064 0,603 0,64 0,3 0,679 0,627 0,6255 0,6293 0,633 0,6368 0,6406 0,6443 0,6480 0,657 0,4 0,6554 0,659 0,6628 0,6664 0,6700 0,6736 0,6772 0,6808 0,6844 0,6879 0,5 0,695 0,6950 0,6985 0,709 0,7054 0,7088 0,723 0,757 0,790 0,7224 0,6 0,7257 0,729 0,7324 0,7357 0,7389 0,7422 0,7454 0,7486 0,757 0,7549 0,7 0,7580 0,76 0,7642 0,7673 0,7704 0,7734 0,7764 0,7794 0,7823 0,7852 0,8 0,788 0,790 0,7939 0,7967 0,7995 0,8023 0,805 0,8078 0,806 0,833 0,9 0,859 0,886 0,822 0,8238 0,8264 0,8289 0,835 0,8340 0,8365 0,8389,0 0,843 0,8438 0,846 0,8485 0,8508 0,853 0,8554 0,8577 0,8599 0,862, 0,8643 0,8665 0,8686 0,8708 0,8729 0,8749 0,8770 0,8790 0,880 0,8830,2 0,8849 0,8869 0,8888 0,8907 0,8925 0,8944 0,8962 0,8980 0,8997 0,905,3 0,9032 0,9049 0,9066 0,9082 0,9099 0,95 0,93 0,947 0,962 0,977,4 0,992 0,9207 0,9222 0,9236 0,925 0,9265 0,9279 0,9292 0,9306 0,939,5 0,9332 0,9345 0,9357 0,9370 0,9382 0,9394 0,9406 0,948 0,9429 0,944,6 0,9452 0,9463 0,9474 0,9484 0,9495 0,9505 0,955 0,9525 0,9535 0,9545,7 0,9554 0,9564 0,9573 0,9582 0,959 0,9599 0,9608 0,966 0,9625 0,9633,8 0,964 0,9649 0,9656 0,9664 0,967 0,9678 0,9686 0,9693 0,9699 0,9706,9 0,973 0,979 0,9726 0,9732 0,9738 0,9744 0,9750 0,9756 0,976 0,9767 2,0 0,9772 0,9778 0,9783 0,9788 0,9793 0,9798 0,9803 0,9808 0,982 0,987 2, 0,982 0,9826 0,9830 0,9834 0,9838 0,9842 0,9846 0,9850 0,9854 0,9857 2,2 0,986 0,9864 0,9868 0,987 0,9875 0,9878 0,988 0,9884 0,9887 0,9890 2,3 0,9893 0,9896 0,9898 0,990 0,9904 0,9906 0,9909 0,99 0,993 0,996 2,4 0,998 0,9920 0,9922 0,9925 0,9927 0,9929 0,993 0,9932 0,9934 0,9936 2,5 0,9938 0,9940 0,994 0,9943 0,9945 0,9946 0,9948 0,9949 0,995 0,9952 2,6 0,9953 0,9955 0,9956 0,9957 0,9959 0,9960 0,996 0,9962 0,9963 0,9964 2,7 0,9965 0,9966 0,9967 0,9968 0,9969 0,9970 0,997 0,9972 0,9973 0,9974 2,8 0,9974 0,9975 0,9976 0,9977 0,9977 0,9978 0,9979 0,9979 0,9980 0,998 2,9 0,998 0,9982 0,9982 0,9983 0,9984 0,9984 0,9985 0,9985 0,9986 0,9986 Table pour les grades valeurs de u u 3 3, 3,2 3,3 3,4 3,5 4 4,5 F(u) 0, , ,9993 0, , , , ,999997

228 24 Théorie des probabilités, Bruo Saussereau, , versio 0/0/204

229 Aexe C. Devoirs à evoyer à la correctio 25 Aexe C Devoirs à evoyer à la correctio Les trois devoirs ci-dessous sot à revoyer pour leur correctio, au plus tard à la date idiquée, à l adresse suivate : Bruo Saussereau, Laboratoire de Mathématiques de, UF Scieces et Techiques, 6, route de Gray, cedex, FANCE Le but premier d u devoir est de motrer au correcteur que vous avez compris le cours, que vous coaissez les résultats vus e cours et les hypothèses qui les commadet, et que vous savez les mobiliser pour répodre à ue questio ou démotrer u résultat ouveau. Il est doc recommader de tout mettre e oeuvre pour atteidre cet objectif. E particulier : U devoir de mathématiques est u devoir de fraçais qui traite de mathématiques, c est doc avat tout u texte de fraçais. Il doit doc être rédigée de faço correcte e fraçais. Les hypothèses spécifiques justifiat l utilisatio de chaque théorème doivet être correctemet explicitées et le résultat du cours utilisé doit être clairemet idetifié voire explicitemet éocé. Les résultats itermédiaires et les coclusios obteues doivet être mis e évidece. Les otatios utilisées ou itroduites, surtout si elles sot ouvelles par rapport au cours, doivet être clairemet aocées. La rédactio du cours peut être cosidérée comme u guide de rédactio d u texte mathématique.

230 26 Théorie des probabilités, Bruo Saussereau, , versio 0/0/204 C. Devoir à revoyer le 2 février 204 au plus tard La rédactio et la présetatio de la copie, la justificatio des affirmatios par référece aux résultats du cours serot des élémets d appréciatio essetiels das la otatio. Exercice I Soit X ue variable aléatoire ormale cetrée réduite. Préciser, das chacu des cas ci-dessous, la loi de probabilité de la variable aléatoire Y défiie e foctio de X. Y = X Y = F (X ) où F est la foctio de répartitio de la variable X. Exercice II Soit X ue v.a.r. ormale de loi N (m, σ 2 ), où m et σ sot des réels avec σ > 0.. Motrer que la foctio caractéristique de X peut s exprimer à l aide de la foctio caractéristique Φ de la loi de Gauss-Laplace stadard N (0, ). 2. E utilisat le théorème de dérivatio sous le sige, motrer que Φ est ue solutio particulière de l équatio différetielle du premier ordre y (t) + ty(t) = 0. E déduire l expressio aalytique de la foctio Φ, puis celle de la foctio caractéristique de la variable X. Exercice III Soit (X k ) k N ue suite idépedate de v.a.r. de Beroulli toutes de même paramètre 0 < p <. Soit u etier r, o défiit deux ouvelles v.a.r., e posat pour tout ω Ω, et avec la covetio if Ø := +. τ r (ω) := if{ N /X (ω) + X 2 (ω) X (ω) = r} θ r (ω) := if{ N /X (ω) + X 2 (ω) X +r (ω) = r}. Motrer, pour tout x ]0, [, la relatio + k=r C r k x k r+ = ( x) r. 2. Motrer que la variable aléatoire réelle τ r est ue variable aléatoire réelle discrète de loi (dite loi de Pascal de paramètres r et p ) P(r, p) := + k=r C r k pr ( p) k r δ k. Vérifier que P(τ r = + ) = 0.

231 Aexe C. Devoirs à evoyer à la correctio Motrer que la variable aléatoire réelle θ r est ue variable aléatoire réelle discrète de loi (dite loi biomiale-égative de paramètres r et p ) I(r, p) := + k=0 C r k+r pr ( p) k δ k. Vérifier que P(θ r = + ) = Doer ue iterprétatio des variables aléatoires réelles τ r et θ r e terme de jeu de Pile-ou-Face. 5. Motrer qu u des deux modèles précédets permet de formaliser le problème dit des boîtes d allumettes de Stepha Baach : U fumeur a das chacue de ses deux poches ue boîte coteat au départ N allumettes. Chaque fois qu il désire fumer ue cigarette, il choisit ue poche au hasard. Quelle est la probabilité que, le fumeur se redat compte pour la première fois qu ue boîte est vide, l autre boîte cotiee k allumettes où k est u etier aturel iférieur ou égal à N? Exercice IV Le but de cet exercice est de motrer qu il existe pas de probabilité P sur l espace (N, P(N ) telle que, pour tout, P(N ) = où N = {k, k N }. Supposos qu ue telle probabilité existe. Soit (p k ) N la suite des ombres etiers premiers ragés e ordre croissat.. Par u raisoemet simple motrer que P(lim sup(p k N )) = 0. k 2. Motrer que la suite (p k N ) N est idépedate. E déduire, e utilisat le fait que la série = +, ue autre valeur de P(lim sup(p k N )). Coclure que la probabilité P p k k k existe pas.

232 28 Théorie des probabilités, Bruo Saussereau, , versio 0/0/204 C.2 Devoir 2 à revoyer le 28 mars 204 au plus tard La rédactio et la présetatio de la copie, la justificatio des affirmatios par référece aux résultats du cours serot des élémets d appréciatio essetiels das la otatio. Exercice I ( ) Soit (X, Y ) u couple de variables aléatoires réelles de loi P (X,Y ) = αe 2 (x2 xy+y 2 ) λ (2) où λ (2) est la mesure de Lebesgue sur 2. Détermier la costate α et la matrice de dispersio du couple (X, Y ). Préciser les lois respectives des variables aléatoires réelles X et Y. Le couple de variables aléatoires réelles (X, Y ) est-il idépedat? Exercice II Théorème de Fisher-Cochra Soit N et (X,, X ) ue suite idépedate de v.a.r. toutes de même loi N (0, ). O défiit respectivemet les v.a.r. moyee empirique et variace empirique par X := X + + X et S 2 := (X k X ) 2. k=. Motrer que la v.a.r. X 2 suit la loi γ(, ) aussi appelée loi du Khi-deux à degré de 2 2 liberté et otée χ 2 (). 2. E utilisat la foctio caractéristique des lois Gamma, e déduire que la loi de la v.a.r. est γ(, ) aussi appelée loi du Khi-deux à degrés de liberté otée 2 2 χ2 (). k= X 2 k 3. Motrer qu il existe ue matrice orthogoale C de la forme c, c,2 c, c 2, c 2,2 c 2, C = c, c,2 c, 4. Détermier la loi du vecteur aléatoire Y := CX. 5. Calculer Y et Yk 2 à l aide de X,, X. E déduire que X = Y et S 2 = Yk 2. k= k= 6. Démotrer le théorème de Fisher-Cochra : Soit (X,, X ) ue suite idépedate de v.a.r. de même loi N (0, ). Alors (X, S 2 ) est idépedat, X suit la loi N (0, ) et ( )S 2 suit la loi χ 2 ( ). Exercice III

233 Aexe C. Devoirs à evoyer à la correctio 29 Soit (ε i ) i ue suite idépedate de v.a.r. de même loi N (0, ) et X 0 ue v.a.r. idépedate de la suite (ε i ) i et de loi P X0 = N (m, σ 2 ). O défiit la suite de v.a.r. (X ) de la faço suivate : X := l (X 0,..., X ) + b ε où (b ) est ue suite de réels et (l ) ue suite de formes liéaires sur. Motrer que, pour tout, il existe ue forme liéaire L sur + telle que X = L (X 0, ε,, ε ) et e déduire que le vecteur (X 0,..., X ) est gaussie.

234 220 Théorie des probabilités, Bruo Saussereau, , versio 0/0/204 C.3 Devoir 3 à revoyer le 8 avril 204 au plus tard La rédactio et la présetatio de la copie, la justificatio des affirmatios par référece aux résultats du cours serot des élémets d appréciatio essetiels das la otatio. Exercice I Théorème de Weierstrass Soiet f ue applicatio cotiue de [0, ] das et x [0, ]. Pour tout N, otos S ue v.a.r. biomiale de loi B(, x).. Motrer que p (x) := E[f ( S )] est u polyôme e x appelé polyôme de Berstei de f. 2. E utilisat l uiforme cotiuité de f sur [0, ] motrer que, pour tout ε > 0, il existe δ > 0 tel que, pour tout N et tout x [0, ], p (x) f (x) E[ f ( S ) f (x) ] ( εp ) S x < δ ( + 2P ) S x δ sup f (x). 0 x E déduire que, pour tout ε > 0, il existe δ > 0 tel que, pour tout N et tout x [0, ], x( x) p (x) f (x) ε + 2 sup f (x). δ 2 0 x 3. Démotrer le théorème de Weierstrass : Toute applicatio cotiue de [0, ] das est limite uiforme sur [0, ] d ue suite de polyômes. Exercice II Soit (X ) ue suite idépedate de v.a.r. de même loi de Cauchy C() (Pour la défiitio, k= cf. formulaire de l aexe A, page 205). Pour tout, o pose S := X k. Étudier les covergeces e probabilité et e loi des suites de v.a.r. S, ( ) ( k= ) ( ) S et S 2. Exercice III Soit (U k ) N ue suite idépedate de v.a.r. de loi ormale cetrée et de variace σ 2 > 0. Pour tout θ, o défiit la suite (X k ) N par la relatio de récurrece X = θx + U, pour tout, avec X 0 = 0.. Détermier, pour tout N, la loi de la v.a.r. X. 2. Étudier la covergece e loi de la suite de v.a.r. (X k ) N.

235 Bibliographie. [] Lelog-Ferrad J. - Araudiès J.M., Cours de mathématiques, Duod, 977. [2] Asel J.P.- Ducel Y., Exercices corrigés e théorie de la mesure et de l itégratio, Ellipses, 995. [3] Asel J.P.- Ducel Y., Exercices corrigés e théorie des probabilités, Ellipses, 996. [4] Bouleau N., Probabilités de l igéieur : variables aléatoires et simulatio, Herma, 986. [5] Brémaud P., Itroductio aux probabilités : modélisatio des phéomèes aléatoires, Spriger-Verlag, 988. [6] Commissio iter-iem "Statistique et Probabilités" (coordiatio M. Hery), Autour de la modélisatio e probabilités, Presses uiversitaires de Frache-Comté, collectio "Didactiques",, 200 [7] Ducel Y., Itroductio à la théorie mathématique des probabilités, Ellipses, 998. [8] Gramai A., Itégratio, Herma, coll. Méthodes, 994. [9] Guiot M., Le paradoxe de Baach-Tarski, Aléas, 99. [0] Heequi P.L., Pourquoi des tribus?, Bulleti APMEP 303, pp [] Leboeuf C.- oque J.L.- Guegad J., Cours de probabilités et de statistiques, Ellipses, 2ème éditio 983. [2] Leboeuf C.- oque J.L.- Guegad J., Exercices corrigés de probabilités, Ellipses, 987. [3] evuz D., Mesure et itégratio, Herma, coll. Méthodes, 994. [4] Stoyaov J., Couterexamples i probability, Joh Wiley ad Sos, 989.