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- Florent Plamondon
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1 Aexe A. Trigoomérie cos x + si x + a x cos x + co a si x cos( x) si ( x) a ( x) co a ( x) cos (x) si (x) a (x) co a (x) cos( + x) si ( + x) a ( + x) co a ( + x) cos(x) si (x) a (x) co a (x) cos( x) si ( x) a ( x) co a ( x) cos(x) si (x) a (x) co a (x) cos( + x) si ( + x) a ( + x) co a ( + x) si (x) cos(x) co a (x) a (x) cos( x) si ( x) a ( x) co a ( x) si (x) cos(x) co a (x) a (x) cos(a + b) cos(a b) si (a + b) si (a b) cosa cos b si a si b cosa cos b + si a si b si a cos b + cosa si b si a cos b cos a si b
2 a (a + b) a (a b) a a + a b a a a b a a a b + a a a b cos x si x cos x si x cos x si x cos si x cos x + cos x cos x x si x cos x si x a x + + avec x a e x a si x + cos x cos x si x cosa cos b si a si b si a cos b cos(a + b) + cos (a b) cos(a b) cos(a + b) si (a + b) + si (a b) cosa + cos b cosa cos b si a + si b si a si b a + b a b cos cos a + b a b si si a + b a b si cos a b a + b si cos
3 a a + a b co a a + co a b si (a + b) cosa cos b si (a + b) si a si b a si x + b cos x a + b cos(x φ) avec a φ a b e cos φ du sige b a si x + b cos x a + b si (x + φ) avec a φ b e cos φ du sige a a 0 cos si 0 a coa
4 B. Raels sur les ombres comlexes Défiiios : z a + jb avec j a Re(z) b Im(z) Z z a + b b θ Arg(z) Arc a a Noaio rigoomérique (formule de Moivre) : Noaio exoeielle (formuler d Euler) : z Z (cos θ + jsi θ) j z Z e θ Comlexe cojugué : * z a j b jθ Z(cos θ jsi θ) Ze
5 A. Table de rasformées de Lalace f() F() δ ()! + e + a a e ( + a) e! + ( + a) cos si ch sh e cos + λ e si ( + λ) e ch + λ e sh ( + λ) cos ( ) si ( )
6 e cos ( ± ϕ) e si ( ± ϕ) e cos e si cos ϕ ± si ϕ cos ϕ ± si ϕ [( + λ) ] [( + λ) ]
7 A. Décomosiio e fracios arielles Cosidéros u sysème liéaire. Les sigaux e erée e e sorie so reliés ar ue équaio différeielle à coefficies réels cosas : d s() d s() d e() d e() a a + a 0 s() bm b + b 0 d d m d d m e() Preos la rasformée de Lalace de cee équaio, e suosa les codiios iiiales ulles : m ( a a + a 0 ) S() (bm b + b0 ) E() Ce qui ous doe our la focio de rasfer : H() S() E() bm a m b + b a + a 0 L'alicaio du calcul symbolique à la résoluio d'équaios différeielles codui souve à des fracios de olyômes : F () D() Nous allos raeler ici le ricie de la décomosiio e élémes simles de elles fracios. Touefois ous e jusifieros as ous les calculs. Nous suoseros das la suie le degré du uméraeur iférieur à celui du déomiaeur : deg N < deg D. Si el 'es as le cas, il es oujours ossible de se rameer à cee siuaio. E effe : R() F () Q() + avec deg R < deg D D() D() A..a Pôles réels simles Suosos que le déomiaeur admee ue racie réelle simle. C'es-à-dire que la fracio F() es de la forme : F() D() où α es réel e 'es as racie de D (). Nous ouvos réécrire F() : A F() + F () α
8 La déermiaio de la cosae A es alors facile. E effe : A [F() F ()] F () D() E ariculier e choisissa α, il vie : A N( α) D( α ) A..b Pôles comlexes simles Si u olyôme à coefficies réels adme ue racie comlexe λ + j, so cojugué λ - j es égaleme racie. Suosos que la fracio F() soi de la forme : Comme récédemme ous ouvos écrire : F() ( λ j) ( λ + j) D() * F A A () + + F () ( λ j) ( λ + j) Les cosaes cojuguées A e A * s'obiee comme our des ôles réels simles : N( λ + j) A j D( λ + j) * N( λ j) A j D( λ j) Il es gééraleme référable de faire aaraîre des faceurs du secod ordre. Ceux-ci so e effe réses das la able des rasformées de Lalace. Noos A a + j b e A * a - j b, il vie : * A A + ( λ j) ( λ + j) a + jb a jb + ( λ j) ( λ + j) (a + jb) ( λ + j) + (a jb) ( λ j) ( λ) ( λ) a b ( λ) ( λ) Nous ouvos rouver ces deux fracios das la able des rasformées de Lalace.
9 A..c Pôles muliles Suosos que α soi u ôle de mulilicié. Nous ouvos doc écrire : F() D() La fracio F() eu alors se décomoser sous la forme suivae : A A A F() F () α Soi ecore : D() F() A + A A + F () Faisos α. Il vie : A N( α) D( α) Dérivos ar raor à l'exressio récédee : d d D() Faisos α. Il vie : A ( ) A + ( ) A A + F () + d d F () d [( α) F( ] ) d D() d α d α Par iéraio ous obeos la relaio géérale ermea le calcul des coefficies A k : [( α) F( ] k k d d A k ) k! k k d D() k! d α α
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