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1 Corrigés TD Chapitre : Variables aléatoires sur u uivers fii Exercice : Soit X la VAR défiie par le tableau suivat : x i p i O ote Y = X ) Détermier la loi cooite de X et Y ) Détermier la loi de Y 3 ) X et Y sot elles idépedates? cov X,Y. Coclusio? 4 ) Calculer ( ) ) Détermier la loi cooite de X et Y o a [( X = i) ( Y = ) ] 0 = P ( X = i) si i P d où le tableau : ) Détermier la loi de Y si = i la loi de Y est la loi margiale das le couple (X,Y) : 3 ) X et Y sot elles idépedates? P [( X = 0 ) ( Y = ) ] = 0 et P ( X = 0) P( Y = ) = / 8 0 X et Y e sot pas idépedates. 4 ) Calculer cov ( X,Y ). Coclusio? cov ( X,Y ) = E( XY ) E( X )E(Y ) Y / X / /4 0 /4 0 4 / /6 Y / X Loi de Y /6 0 0 /6 0 /4 0 /4 0 /4+/4=/ 4 / /6 /6+/6=/3 EIVL L.G Page sur 6

2 5 3 or ( XY ) x y P[ ( X = x ) ( Y = y )] = 0 cov = E et ( X ) = 0 ( X,Y ) = 0 Coclusio : i= = i i E doc Deux variables dot la covariace est ulle e sot pas écessairemet idépedates. Exercice : U garagiste dispose de voitures de locatio. Chacue est utilisable e moyee 4 ours sur 5. Il loue les voitures avec ue marge brute de 45 euros par our et par voiture. O ote X la VAR égale au ombre de cliets se présetat chaque Ω et que our pour louer ue voiture et o suppose que X ( ) = { 0 ; ; ; 3} P ( X = 0 ) = 0, ; P ( X = ) = 0, 3 ; P ( X = ) = 0, 4 ; P ( X = 3 ) = 0, ) Détermier la loi de la VAR Y : «ombre de cliets satisfaits par our» ) Calculer la marge brute moyee par our. ) Détermier la loi de la VAR Y : «ombre de cli ets satisfaits par our» La probabilité qu ue voiture doée soit dispoible u our doé est p=4/5. Y=0 ssi X=0 ou [ (X>=) et (aucue voiture est dispoible)] disoits : Doc P ( Y = 0 ) = 0, + 0, 9 ( / 5 ) = 0, 36 Y= ssi [ X= et au mois ue voiture est dispoible] ou [ (X>=) et (ue seule des deux voitures est dispoible)] disoits P Y = = 0, 3 / 5 + 0, 6 C ( 4 / 5 ) ( / 5 ) = 0, Doc ( ) ( ) [ ] [ ] 48 Y= ssi [ X >= et les voitures sot dispoibles] ( Y = ) = 0, 6 [( 4 / 5 ) ( 4 / 5 )] 0, 384 P = ) Calculer la marge brute moyee par our. La marge brute est 45 Y doc la marge brute moyee par our est 45 E(Y)=45* (0*0,36+*0,48+*0,384)= 56,6 euros. EIVL L.G Page sur 6

3 Exercice 3 : Les vaches laitières sot atteites par ue maladie M avec la possibilité p=0,5. Pour dépister la maladie M das ue étable de vaches laitières, o fait ue aalyse de lait, o peut procéder de deux maières différetes ; Méthode : O effectue ue aalyse sur u échatillo de lait de chaque vache. Méthode : O effectue ue aalyse sur u échatillo du mélage de lait des vaches et si le résultat est positif, o effectue ue aalyse pour chaque vache. Soit X le ombre d aalyse réalisé das la méthode o ote Y = X ) Détermier la loi et l espérace mathématique de Y e foctio de. ) O voudrait coaître la méthode la plus écoomique e foctio du ombre d aimaux a) Motrer que la foctio x a f ( x ) = x l( 0, 85 ) + l( x ) admet u maximum positif b) Détermier le plus grad etier tel que f ( ) > 0 c) Motrer que f ( ) > 0 E(Y ) <, e déduire la méthode la plus écoomique. ) Détermier la loi et l espérace mathématique d e Y e foctio de. + X e pred que les valeurs ou + doc Y pred les valeurs ou Y = ( X = ) aucue vache est malade. Doc P Y = = ( 05, ) = 0, 85 ( si o suppose l idépedace). + D où P Y = = P Y = = 0, 85 ) O voudrait coaître la méthode la plus écoom ique e foctio du ombre d aimaux f ' ( Motrer que la foctio x a f ( x ) = x l( 0, 85 ) + l( x ) admet u maximum positif x ) = l( 0, 85 ) + maximum e x 0 = > 6 > 0 x l( 0, 85 ) EIVL L.G Page 3 sur 6

4 Détermier le plus grad etier tel que f ( ) > 0 E calculat f() pour >=7 f ( ) = l( 0, 85 ) + l( ), f ( 7 ) > 0, 07 et f ( 8 ) < 0, 03 doc =7 Motrer que f ( ) > 0 E(Y ) <, e déduire la méthode la plus écoomique. E(Y ) < + ) > ( 0, 85) < ( 0, 85) < 0 f ( 0 coséquece : si 7 E(Y ) < doc le ombre moye d aalyses pour la secode méthode= E( X ) < alors que le ombre moye d aalyses pour la première méthode est = la secode méthode est plus écoomique. pour >=8, la ère est préférable. Exercice 4 : L élémet F d ue machie est source de paes fréquetes. Lorsque cet élémet est défaillat, il est aussitôt remplacé. Le coût de dépaage (pièce et mai d œuvre) s élève à x euros et la perte de productio due à cette pae est y euros. O suppose qu il e peut se produire plus d ue pae par our. O ote p la probabilité de bo foctioemet au -ième our ( = correspod au our de la mise e service de la machie) Si la machie foctioe correctemet le our, la probabilité aussi correctemet le our + est 0,6. Si l élémet F est chagé le our, la probabilité de bo foctioemet le our + est 0,9. ) Exprimer p + e foctio de p. E déduire lim + p ) O cosidère désormais que la probabilité de bo foctioemet de la machie est 9 3 das l hypothèse où F est chagé qu e cas de pae. O appelle C la VAR égale au coût d itervetio quotidie. Détermier la loi et l espérace mathématique de C e foctio de x et de y. EIVL L.G Page 4 sur 6

5 3 ) O evisage u etretie prévetif de cette mac hie, cosistat à remplacer l élémet F chaque our avat la mise e service de la machie. Das cette hypothèse, o iterviedra doc chaque our, ue ou deux fois, selo qu il a pae ou o. La probabilité de bo foctioemet de la machie pedat la ourée reste évidemmet égale à 0,9, puisque l élémet F est euf. O appelle C la VAR égale au coût d itervetio quotidie. Détermier la loi et l espérace mathématique de C e foctio de x et de y. 4 ) Vous devez aider à choisir etre les deux optio s : i) attedre la pae ii) procéder à u etretie prévetif systématique Que coseillez-vous? ( o pourra faire ue représetatio graphique). ) Exprimer p + e foctio de p. E déduire lim + Notos B l évéemet «l élémet F foctioe bie le -ième our» L éocé dit que : p = P( B ) ; P( B + / B ) = 0, 6 et P( B + / B ) = 0, 9 ( B ; B ) état u système complet d évéemets la formule des probailités totales doe p p + = P( B+ ) = P( B+ / B )P( B ) + P( B p = 0, 6 p + 0, 9( p ) = 0, 3p , / B )P( B ) p est doc ue suite arithmético géométrique, dot la limite c, si elle existe, vérifie c = 0, 3c + 0, 9 doc c = 9 / 3 o étudie u = p c, u est géométrique de raiso ( 0, 3 ) u ( 0, 3) = u d où p = c + ( 0, 3) ( p c ) et lim p = c = 9 / 3 + ) O cosidère désormais que la probabilité de bo foctioemet de la machie est 9 3 das l hypothèse où F est chagé qu e cas de pae. O appelle C la VAR égale au coût d itervetio quotidie. Détermier la loi et l espérace mathématique de C e foctio de x et de y. C = 0 F e tombe pas e pae et C = x + y F tombe e pae EIVL L.G Page 5 sur 6

6 P( C = 0 ) = P( B ) = 9 / 3 et P( C = x + y ) = P( B ) = 4 / 3 E ( C ) = ( x + y )P( C = x + y ) = ( 4 / 3 )( x + y ) 3 ) O evisage u etretie prévetif de cette mac hie, cosistat à remplacer l élémet F chaque our avat la mise e service de la machie. Das cette hypothèse, o iterviedra doc chaque our, ue ou deux fois, selo qu il a pae ou o. La probabilité de bo foctioemet de la machie pedat la ourée reste évidemmet égale à 0,9, puisque l élémet F est euf. O appelle C la VAR égale au coût d itervetio quotidie. Détermier la loi et l espérace mathématique de C e foctio de x et de y. C = x F e tombe pas e pae et C = x + y F tombe e pae P( C = x ) = P( B ) = 0, 9 et P( C = x + y ) = P( B ) = 0, E( C ) = xp( C = x ) + ( x + y )P( C = x + y ) = 0, 9x + 0, ( x + y ) =, x 0, y + 4 ) Vous devez aider à choisir etre les deux optio s : ) attedre la pae ii) procéder à u etretie prévetif systématique Que coseillez-vous? ( o pourra faire ue représetatio graphique). Si o atted la pae le coût moye d itervetio est : E ( C ) = ( 4 / 3 )( x + y ) Si o procède à u etretie prévetif E( C ) =, x 0, y O étudie E( C ) E( C ) = ( 03x 7y ) 30 + Si 7 x > y faire u etretie prévetif, sio attedre la pae. 03 EIVL L.G Page 6 sur 6

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