Seconde année - Semestre 3 PROBABILITÉS

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1 1 UNIVERSITÉ DE CERGY Aée LICENCE d ÉCONOMIE et GESTION Secode aée - Semestre 3 PROBABILITÉS Feuille d exercices N 3 : Variables aléatoires - Lois discrètes 1. Calculez Exercice I ( 2 ) 2. Calculez S = uis lim 5 S Calculez P (x) = x et Q(x) = x. Exercice II 1. Soit X ue v.a.r. discrète dot la loi de robabilité est doée das le tableau ci-dessous : Calculer l esérace et la variace de X. x i P(X = x i ) 0, 1 0, 2 0, 1 0, 3 0, 1 0, 2 2. Soit Y ue v.a.r. discrète reat ses valeurs das {3, 4, 5, 6}. Détermier la loi de robabilité de Y sachat que : P(Y < 4) = 1 2, P(Y > 4) = 1 et P(Y = 5) = P(Y = 6). Calculer 3 alors l esérace et la variace de Y Exercice III Soit X ue v.a.r. discrète reat ses valeurs das {0, 1, 2, 3} dot la loi de robabilité est défiie ar : P(X = 0) = P(X = 2) = t et P(X = 1) = P(X = 3) = 0, 5 t où t [0; 1 2 [ Calculer l esérace et la variace de X. Exercice IV O tire au hasard deux uméros disticts de l esemble { 2, 1, 0, 1, 2} et o ote X leur roduit. O suose les tirages équirobables 1. Détermier la loi de robabilité de X et calculer so esérace. 2. Détermier la foctio de réartitio F de X et tracer sa courbe rerésetative.

2 2 Exercice V O tire simultaémet 3 jetos d ue ure coteat 5 jetos umérotés de 1 à 5 et o ote X le lus etit uméro obteu. 1. Préciser l uivers Ω associé à cette exériece aléatoire. 2. A quelle arties de Ω corresodet les évéemets (X = 1), (X = 2), (X = 3) et (X = 4), Calculer leur robabilité. 3. Détermier la loi de robabilité de X et calculer so esérace. 4. Défiir la foctio de réartitio F de la v.a.r. X et tracer sa courbe rerésetative. Exercice VI Ue ure cotiet trois boules blaches, deux boules oires et quatre boules rouges. Le tirage d ue boule blache fait gager 2 oits, celui d ue boule oire fait gager 1 oit et celui d ue boule rouge fait gager 3 oits. O tire simultaémet 2 boules de l ure et o aelle X la v.a.r. qui, à chaque tirage, associe le ombre de oits gagés. 1. Défiir l uivers Ω. 2. (a) Détermier X(Ω) (b) Défiir la loi et la foctio de réartitio de X (c) Tracer la courbe rerésetative de la foctio de réartitio de X. 3. Calculer l esérace et la variace de X (Doer les résultats sous forme de fractios ratioelles irréductibles.) Exercice VII U forai ossède deux roues séarées e 10 secteurs. Sur la remière roue, il y a 3 secteurs rouges et 7 blacs ; sur la secode roue, 1 vert et 9 blacs. O suose que les deux roues touret de maière idéedate l ue de l autre. Les gais sot distribués de la faço suivate : 5 euros si les deux roues tombet sur les secteurs rouges et verts. 3 euros si ue seule des deux roues tombe sur u secteur blacs. 1 euro si les deux roues tombet sur des secteurs blacs. Détermier le rix miimal auquel le forai doit rooser la artie, our que so bééfice moye soit au mois égal à 0, 5 euro ar artie. Exercice VIII Utilisatio de la table de la loi biomiale O lace 7 fois de suite ue ièce de moaie mal équilibrée, telle que la robabilité d obteir «PILE» est 0, 25. Soit X la v.a. qui déombre les «PILES» obteus. 1. Détermier la loi de robabilité de X. Calculer so esérace et sa variace. 2. Quelle est la robabilité d obteir exactemet 3 «PILES»? Mois de 3 «PILES»? 3. Quelle est la robabilité d obteir lus de 3 «PILES» sachat que l o e a obteu au lus 5? 4. Quelle est la robabilité d obteir au mois 3 «FACES» sachat que l o e a obteu mois de 7?

3 3 Exercice IX Utilisatio de la table de la loi de Poisso Das u garage, le ombre de voitures vedues e ue semaie suit la loi de oisso P(6). 1. Détermier la robabilité des évéemets suivats : 8 voitures ot été vedues au cours de la semaie Au mois 2 voitures ot été vedues e ue semaie 2. Sachat que lus de 8 voitures ot été vedues das la semaie, quelle est la robabilité qu il y ait eu 12 voitures vedues? 3. Quelle est la robabilité qu il y ait eu etre 6 et 9 vetes das la semaie? 4. Quelle est la robabilité que l o vede mois de 16 voitures, sachat qu o e vedra au mois 8? Exercice X Extrait du Test de Novembre 2011 Ue fabrique de meubles ossède u arc de 10 machies foctioat sas arrêt. La robabilité our ue machie de tomber e ae au cours d u mois est = 0, 1. O suose que les machies tombet e ae idéedammet les ues des autres. 1. Soit X la V.A.R. qui déombre les machies tombées e ae au cours d u mois. Quelle est la loi de robabilité de X? Justifiez! Préciser les aramètres de cette loi. Doer l esérace et la variace de X. 2. Pour les questios (a) et (b) vous doerez ue valeur arochée à 10 5 rès et our la questio (c) ue valeur à 10 2 rès e vous aidat de la table fourie e aexe. Détermier la robabilité que : (a) Exactemet deux machies sot tombées e ae. (b) Plus de deux machies sot tombées e ae. (c) Au mois deux machies sot tombées e aes sachat qu au lus 5 sot tombées e ae. 3. O suose cette fois que le modèle ris das les questios 1 et 2 est as très fiable, et o décide de modéliser la loi de X ar ue loi de Poisso de aramètre λ = 1. (a) Raelez la valeur de l esérace et de la variace de X. (b) Détermier la robabilité (à 10 5 rès our (i) et (ii) et à 10 2 rès our (iii) ) que : i. Exactemet deux machies sot tombées e ae. ii. Plus de deux machies sot tombées e ae. iii. Au mois deux machies sot tombées e aes sachat qu au lus 5 sot tombées e ae. Exercice XI D arès le Test de Novembre 2011 Ue ure cotiet 1 boules blaches et ue boule oire. O tire ue boule à chaque éreuve. O arrête le jeu dès lors que l o a tiré la boule oire. Soit X la V.A. qui comte les tirages effectués our obteir la boule oire. Partie A : = 4 1. O effectue les tirages sas remise O ote B i l évéemet «O a tiré ue boule blache à la i ème éreuve».

4 4 (a) Exrimer l évéemet (X = 3) à l aide des évéemets B i ou B i. Calculer P(X = 3) (b) Détermier la loi de X. Vous doerez vos résultats das u tableau sas détailler les calculs. (c) Calculer l esérace et la variace de X. 2. O effectue des tirages avec remise Das cette questio, les tirages sot alors suosés idetiques et idéedats. (a) Quelle est la loi de X? E doer le(s) aramètre(s). (b) Doer l exressio de P(X = ) our tout [[1, + ] (c) Calculer l esérace et la variace de X. (d) Détermier le ombre miimum de tirages que l o doit effectuer afi que la robabilité de tirer la boule oire soit suérieure à 0, 9 : o fera les calculs avec l 2 0, 7 et l 5 1, 6 Partie B : Reredre les deux arties récédetes, avec 1 quelcoque Exercice XII Soiet a et b deux etiers strictemet ositifs. O cosidère la V.A.R. discrète X à valeurs das [[1, ab] telle que : x [[1, ab], P(X = x) = 1 a 1 b 1. Quelles coditios doivet vérifier a et b? 2. Détermier la foctio de réartitio F de X, et e doer ue rerésetatio grahique. 3. Calculer E(X) et V (X). Exercice XIII Ue ure cotiet boules blaches umérotées de 1 à ( 2)), et deux boules oires umérotées 1 et 2. O tire simultaémet 4 boules de cette ure. Soit X le ombre de boules blaches obteues. Détermier la loi de robabilité de X et calculer so esérace et sa variace. Exercice XIV O a truqué u jeu de 32 cartes e remlaçat ue carte (autre que l as de coeur) ar u secod as de coeur. O tire simultaémet au hasard cartes (1 < 32) de ce jeu. 1. Quelle est la robabilité que la suercherie soit découverte? 2. Das cette questio, o suose que = 4. O recommece lusieurs fois l exériece de tirer simultaémet 4 cartes de ce jeu (e les remettat arès chaque tirage). Quelle est le ombre miimum de tirages que l o doit réaliser our que la suercherie soit découverte avec ue robabilité au mois égale à 0, 95? Exercice XV Das ue fête foraie, u joueur s exerce au tir à la carabie : o suose que la robabilité d atteidre la cible reste costate égale à = 0, 6. O gage u lot dès lors qu o a réussi à atteidre 3 fois la cible. Calculer la robabilité que cela écessite mois de 8 tirs.

5 5 Das ce tableau, [0, 1] et q = 1. Tableau récaitulatif des lois discrètes Nom Loi uiforme X U([[1; ]) Loi de Beroulli X B() Loi biomiale X B(, ) Loi hyergéométrique X H(N, M, ) Loi hyergéométrique X H(N,, ) Loi de Poisso X P(λ) Loi géométrique X G() Loi de Pascal X P(r, ) Esemble des valeurs [[1; ] P(X = ) = 1 Loi Esérace Variace {0, 1} P(X = 0) = 1 = q q P(X = 1) = [[0; ] P(X = ) = q q iclus das [[0; ] iclus das [[0; ] N P(X = ) = P(X = ) = ( M )( N M ) ( N ( N )( Nq ) ( N λ λ P(X = ) = e! ) M N N P(X = ) = q 1 1 [[r; + [[ P(X = ) = 1 r.q r r 1 M N N M N ) q N N 1 λ r λ q 2 qr 2 N N 1