Mathématiques. Statistiques. Stéphane Perret. Version 3.001

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1 Mathématiques Statistiques Stéphae Perret Versio 3.001

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3 Table des matières Itroductio 1 1 Variables aléatoires Variables aléatoires discrètes Jets d ue pièce bie équilibrée Jets d u dé à six faces bie équilibré Variables aléatoires discrètes, espérace et variace Le théorème de Tchebychev Jets de plusieurs dés à six faces bie équilibrés La loi de Beroulli La loi biomiale La loi des jets de k dés Variables aléatoires cotiues La loi uiforme La loi ormale La foctio gamma Les lois de Studet Les lois du chi-carré Espérace et variace das le cas cotiu Les différetes formes de desité de distributio Propriétés de l espérace et de la variace (cas discret et cotiu) Cetrage et réductio Foctio de répartitio d ue variable aléatoire Foctio de répartitio d ue variable discrète Foctio de répartitio d ue variable cotiue Deux propriétés essetielles de la loi ormale La loi ormale permet d approximer la loi biomiale Le théorème de la limite cetrale Tables Foctio de répartitio de la loi ormale Les quatiles des lois de Studet Les quatiles des lois du chi-carré Estimatio de paramètres 33.1 Paramètres de positio Paramètres de dispersio Les boîtes à moustaches Les quartiles de Tukey et les quartiles de Freud et Perles La boîte à moustaches de Tukey i

4 Lycée catoal de Porretruy Cours de Mathématiques.4 Statistique, estimateur et estimatio La méthode du maximum de vraisemblace Qualités d u estimateur Tests d hypothèses Tests d hypothèses symétriques sur ue moyee Tests d hypothèses symétriques sur ue moyee, variace coue Test d hypothèses symétriques sur ue moyee, variace icoue Résumé et autres statistiques de tests sur les moyees Test du chi-carré : adéquatio à ue loi Test du chi-carré : comparaiso d échatillos Test du chi-carré : idépedace La p-valeur associée à u test d hypothèse Itervalles de cofiace L itervalle de cofiace sur ue moyee, variace coue L itervalle de cofiace sur ue moyee, variace icoue Régressio liéaire La droite des moidres carrés Le coefficiet de corrélatio Le coefficiet de détermiatio La droite des moidres carrés forcée à l origie Les coefficiets de détermiatio et de corrélatio Preuves Autres types de régressio Préambule : ue autre visio de la régressio liéaire Régressio quadratique Régressio hyperbolique Régressio expoetielle Régressio d ue puissace Régressio logarithmique Preuves des théorèmes Preuve des théorèmes des moidres carrés Preuves de la relatio «miraculeuse» Les deux visios pour la droite de régressio Preuve des igrédiets pour le modèle liéaire Preuve du théorème de retrouvailles Preuve des igrédiets pour le modèle quadratique S. Perret page ii Versio 3.001

5 Itroductio Le mode des statistiques se sépare e deux parties : 1. Les statistiques descriptives. Elles cosistet à travailler sur les doées mesurées afi d e extraire l essetiel à l aide de méthodes graphiques (histogrammes, boîtes à moustaches, droite des moidres carrés) ou de paramètres de positios et de dispersio (comme la moyee, le mode, la médiae; l étedue, la variace et l écart type).. Les statistiques iféretielles. Elles utiliset des résultats théoriques (comme la loi des grads ombres ou le théorème de la limite cetrale) afi de pouvoir créer des modèles gééraux à partir des iformatios doées par les statistiques descriptives das le but d effectuer des aalyses prédictives ou de déduire des comportemets gééraux d ue populatio. Statistique descriptive Mesures expérimetales Mesures météorologiques Sodage sur u échatillo Récolte des doées (SuperCard) Tests placebos Statistique iféretielle Modèle physique (formule) Prévisio du temps à court terme Déductio sur la populatio globale Agecemet des produits das les rayos Détermiatio de l efficacité d u médicamet Vastes champs d applicatios De os jours, les probabilités et les statistiques sot utilisées de plus e plus das beaucoup de domaies dot, etres autres : Traitemet du sigal Biologie Physique Jeux vidéos Hydrologie et climatologie Médecie Sport Marketig Scieces écoomiques Psychologie Scieces sociales Crimiologie Le dager des statistiques Les statistiques fot parties du mode des mathématiques : il s agit d ue sciece exacte! Néamois, la réalité état ce qu elle est (imparfaite telle l homme qui l étudie), la plupart des théorèmes e statistiques sot utilisés sas qu o puisse être certais que les hypothèses soiet vraimet vérifiées. Il est souvet moral de se dire que l o peut appliquer tel ou tel théorème. C est ue faiblesse 1 des outils statistiques que l o e peut égliger! Heureusemet, cette faiblesse est compesée par la robustesse de la plupart de certais théorèmes. 1. Les modèles utilisés par les physicies souffret des mêmes faiblesses. La théorie de Newto a été surclassée par la relativité d Eistei, qui a aussi été surclassée par la relativité géérale (macrophysique). Cette derière est actuellemet icompatible avec la mécaique quatique (microphysique). 1

6 Lycée catoal de Porretruy Cours de Mathématiques S. Perret page Versio 3.001

7 Chapitre 1 Variables aléatoires Das l éditio 004 du petit Robert, ou trouve sous «le hasard» la défiitio suivate. «Cause fictive de ce qui arrive sas raiso apparete ou explicable, souvet persoifiée au même titre que le sort, la fortue, etc. [...] Se dit à l occasio d u heureux cocours de circostaces.» Das ce domaie que sot les statistiques, o étudie la structure qui se cache derrière quelques processus aléatoires. O y verra que lorsqu o répète u tel processus u grad ombre de fois, «le hasard» s efface pour laisser place à des lois statistiques. 1.1 Variables aléatoires discrètes Jets d ue pièce bie équilibrée Cosidéros ue pièce de moaie parfaitemet bie équilibrée. Théoriquemet, ue telle pièce tombe ue fois sur deux sur pile, et ue fois sur deux sur face. E effet, par les propriétés de symétrie et d homogééité de la pièce, chacu de ses côtés à la même probabilité d apparaître. Il y a des pièces truquées dot les deux côtés sot les mêmes (deux côtés pile par exemple). O peut aussi truquer ue pièce à l aide d ue presse 1. Effectuos 100 lacers de pièces e otat F pour face et P pour pile. O va étudier l évolutio de la proportio des piles sur le ombre de lacers. Les 100 lacers sot P P F F P P P F P P P F F F F F F F P P P F P F F F P P F F P F F F P F P P P F F P F F P P P F F F P P P P P P P F P P P P F F P F P P P P P F P F F F P P F F F P P P F F F P P P F F P P P F F P F P Comme le côté pile est sorti 54 fois, sa fréquece d apparitio est de O remarque aussi qu il y a ue série de 7 piles de suite, et ue série de 7 faces de suite. Si o devait demader à u humai d écrire 100 piles ou faces de suite, il hésiterait fortemet à e mettre 7 de suite et pourtat cela arrive fréquemmet Nicole Vogel motre, das l article «Peut-o imiter le hasard?» de la brochure APMEP 451, que sur ue série de 100 lacers, il y a plus d ue chace sur deux d avoir ue série d au mois 7 piles ou 7 faces. Dispoible sur 3

8 Lycée catoal de Porretruy Cours de Mathématiques Voici la représetatio graphique de l évolutio de la fréquece d apparitio du côté pile. O commece à 1, puisque le premier lacer a doé pile. Le deuxième lacer doe aussi pile, la fréquece reste à 1. Le troisième lacer doe F, aisi la fréquece doe Le quatrième lacer doe F, aisi la fréquece doe Là le graphe touche l horizotale à hauteur Rappelos qu au 100-ième lacer, la fréquece valait Fréquece d apparitio du côté pile Nombre de lacers Effectuos trois autres séries de 100 lacers pour setir ce qui se passe. Fréquece (pile) Fréquece (pile) Fréquece (pile) Nombre de lacers Nombre de lacers Nombre de lacers Pour les trois graphes ci-dessous, o a d abord lacé 500 pièces, puis 1000, puis Fréquece (pile) Fréquece (pile) Fréquece (pile) Nombre de lacers Nombre de lacers Nombre de lacers O voit que plus le ombre de lacers augmete, plus la fréquece s approche de 0.5. Ce phéomèe illustre le résultat fodametal suivat de la théorie des probabilités. La loi des grads ombres Lorsqu o répète ue expériece aléatoire de maière idépedate u grad ombre de fois, alors les proportios expérimetales se rapprochet des proportios théoriques, appelée probabilités. S. Perret page 4 Versio 3.001

9 Cours de Mathématiques Lycée catoal de Porretruy 1.1. Jets d u dé à six faces bie équilibré Cosidéros u dé à six faces bie équilibré. Théoriquemet, la fréquece d apparitio de chaque face est de 1. E effet, par les propriétés de symétrie et d homogééité du cube, 6 chacue de ses faces à la même probabilité d apparaître. O trouve sur le marché des dés pipés qui ot u uméro qui sort das le 80% des cas 3. E effectuat 60 lacers, o obtiet les doées suivates O costruit, avec ces doées, u histogramme. Pour chacue des issues possibles (ici les ombres de 1 à 6), o compte le ombre de fois qu elle apparaît, c est le ombre d occurreces, puis o calcule la desité qui est le ombre d occurreces divisé par le ombre total de jets. face ombre d occurreces desité O fait esuite u histogramme (voir le complémet sur les histogrammes à la fi de cette sous-sectio e page 7). Histogramme Desité L histogramme permet de mieux visualiser les doées. Ici, o voit que les faces 1, et 3 sot sorties bie plus souvet. Il est possible que le dé soit pipé (avec ue petite bille de plomb vers le sommet adjacet aux faces 4, 5 et 6). Néamois, ces doées e permettet pas de déduire que le dé est truqué. D ailleurs u test du chi-carré idique que ce dé est probablemet pas truqué (voir e page 5). Le test e se trompe pas puisque ces doées sot issues de simulatios à partir d u dé (iformatique) o pipé. La loi des grads ombres affirme que plus le ombre de lacers est grad plus les desités se rapprochet des probabilités (ou des desités théoriques) qui valet ici Ces probabilités sot idiquées sur l histogramme ci-dessus par les poits reliés Versio page 5 S. Perret

10 Lycée catoal de Porretruy Cours de Mathématiques E augmetat le ombre de lacers effectués, o vérifie empiriquemet la loi des grads ombres. Histogramme pour 10 Histogramme pour 10 Histogramme pour 10 Desité Desité Desité Histogramme pour 0 Histogramme pour 0 Histogramme pour 0 Desité Desité Desité Histogramme pour 50 Histogramme pour 50 Histogramme pour 50 Desité Desité Desité Histogramme pour 100 Histogramme pour 100 Histogramme pour 100 Desité Desité Desité Histogramme pour 1000 Histogramme pour 1000 Histogramme pour 1000 Desité Desité Desité Histogramme pour 5000 Histogramme pour 5000 Histogramme pour 5000 Desité Desité Desité S. Perret page 6 Versio 3.001

11 Cours de Mathématiques Lycée catoal de Porretruy Complémets sur les histogrammes Il y a deux sortes d histogrammes : ceux qui ot e ordoée les occurreces (c est-à-dire le ombre de fois qu ue valeur mesurée apparaît; das l exemple, il s agissait du ombre motré par le dé) et ceux qui ot e ordoée les desités. Imagios que l o lace u dé à quatre faces et que l o obtiee les résultats suivats. face ombre d occurreces desité Voici trois histogrammes des occurreces avec différetes faços de grouper les résultats. Histogramme 1 Histogramme Histogramme 3 Occurreces Occurreces Occurreces Cet histogramme est faux E effet, les surfaces e sot pas proportioelles aux probabilités Et ceux pour les desités (avec la même faço de grouper les résultats). Histogramme 1 Histogramme Histogramme 3 Desité Desité Desité O voit le lie etre ces trois histogrammes et la desité de probabilité : les aires doivet correspodre aux probabilités (voir page 15). Ces histogrammes s obtieet à l aide du logiciel «R» ( qui est la versio gratuite du célèbre logiciel «S plus» ( Voici ce qu il faut taper das «R» pour obteir ces histogrammes (pour raccourcir le code, certais réglages ot été elevés). data <- c(1,1,,,3,3,4,4); layout(matrix(1:3, 1, 3, byrowtrue)) hist(data,breaksc(0.5,1.5,.5,3.5,4.5),probfalse,col"gray", maipaste("histogramme 1"),ylimc(0,5),xlab"",ylab"Occurreces") hist(data,breaksc(0.5,.5,4.5),probfalse,col"gray", maipaste("histogramme "),ylimc(0,5),xlab"",ylab"occurreces") hist(data,breaksc(0.5,.5,3.5,4.5),probfalse,col"gray", maipaste("histogramme 3"),ylimc(0,5),xlab"",ylab"Occurreces") E mettat probtrue au lieu de probfalse, «R» passe directemet des histogrammes des occurreces aux histogrammes des desités. Versio page 7 S. Perret

12 Lycée catoal de Porretruy Cours de Mathématiques Variables aléatoires discrètes, espérace et variace Lorsque les valeurs prises par la variable aléatoire X sot e ombre fii ou déombrable, o dit que la variable aléatoire est discrète. Défiitios L esemble des issues d ue expériece aléatoire est appelé Uivers et oté Ω. Ue variable aléatoire 4 est ue foctio X : Ω R qui associe à chaque issue de l expériece e questio u uique ombre réel. O ote IP(X x) pour la probabilité 5 que la variable X pree la valeur x (attetio à bie distiguer majuscule (variable aléatoire) et miuscule (valeur prise par cette variable aléatoire)). O défiit l espérace de X par µ E(X) et la variace de X par σ V(X) où µ E(X) ω Ω X(ω) IP(ω) x Rx IP(X x) O défiit la variace de X par σ V(X) où σ V(X) x R(x µ) IP(X x) O défiit aussi l écart type de X par σ σ. Ces formules e sot valables que lorsque IP(X x) 0 pour u ombre fii ou déombrable 6 de x R (ce qui est le cas pour ue variable aléatoire discrète). C est pour cette raiso qu o se permet de oter x R. Iterprétatios 1. L espérace de X est la moyee des issues podérée par leurs probabilités.. La variace dex est la moyee des carrés des écarts par rapport à l espérace podérée par les probabilités. Autremet dit, plus les valeurs prises par X s éloiget de l espérace, plus la variace augmete fortemet. Quat aux effets des petits écarts sur la variace, ils sot presque égligeables. Ces otios sot liées à la variable aléatoire, doc à la théorie des probabilités. Elles e sot pas liées aux mesures obteues lors d expérimetios. O verra qu o pourra estimer ces paramètres (espérace, variace et écart type) à l aide de mesures das le chapitre. Subtilité! Cotrairemet à d habitude, si X est ue variable aléatoire, x est ue valeur prise par cette variable aléatoire. Doc x est das le domaie arrivée de X, qui est R. 4. O compredra mieux das les chapitres qui suivet pourquoi o les appelle variables aléatoires alors que si o regarde la défiitio, il y a rie de variable, i d aléatoire. 5. Par rapport aux otios du cours DF, la probabilité que la variable aléatoire atteige la valeur x est doée par IP(X x) IP ( {ω Ω : X(ω) x} ). 6. das ce cas, les séries sot ifiies. Se référer au chapitre correspodat du cours OS. S. Perret page 8 Versio 3.001

13 Cours de Mathématiques Lycée catoal de Porretruy Retour à l exemple du jet d u dé E repreat l exemple précédet. O peut cosidérer la variable aléatoire X qui représete le ombre motré par le jet d u dé. O peut aisi avoir ue otatio efficace pour les probabilités : la probabilité que le ombre motré par le dé soit etre 4 et 6 se ote IP(4 X 6). Puisque la probabilité d avoir chaque ombre vaut 1 6, o a IP(4 X 6) IP(X 4)+IP(X 5)+IP(X 6) % Le calcul de l espérace est le suivat. E(X) IP(X1)+IP(X)+3IP(X3)+4IP(X4)+5IP(X5)+6IP(X6) O vérifie que l espérace est rie d autre que la moyee des résultats possibles. Le calcul de la variace est le suivat. E(X) V(X) (1 µ) IP(X1) + ( µ) IP(X) + (3 µ) IP(X3) + (4 µ) IP(X4) + (5 µ) IP(X5) + (6 µ) IP(X6) (1 7 ) 6 + ( 7 ) 6 + (3 7 ) L écart type vaut L espérace de gai + (4 7 ) 6 + (5 7 ) 6 + (6 7 ) Quad la variable aléatoire doe des valeurs e CHF, o parle d espérace de gai au lieu d espérace (mais cela e chage rie à sa défiitio). Das ce cas, l uité de l espérace est le CHF. Quat à l uité de la variace, il s agit de CHF! Aisi, l uité de l écart type est le CHF. Il est doc plus aturel de parler de l écart type lorsqu il y a ue uité. Par exemple, imagios que deux persoes Aka et Brad jouet à pile ou face. Si la pièce tombe sur pile, alors Aka doe CHF à Brad; si la pièce tombe sur face, alors c est Brad qui doe 4 CHF à Aka. O peut traduire cette règle par ue variable aléatoire X : {pile, face} R qui gère la fortue de Aka : X(pile) CHF et X(face) 4 CHF. Pour cette variable X, l espérace vaut E(X) CHF. La variace vaut V(X) ( 1) 1 +(4 1) 1 9 CHF. L écart type vaut σ 3 CHF. L espérace de gai mesure le gai moye : e jouat 1000 fois à u tel jeu, Aka est e droit d espérer gager 1000 CHF (si elle est i trop chaceuse, i trop malchaceuse). L écart type est e relatio avec le risque. Versio page 9 S. Perret

14 Lycée catoal de Porretruy Cours de Mathématiques Gééralisatio de l espérace Soit g : R R ue foctio réelle et X ue variable aléatoire, alors g X est ue variable aléatoire otée 7 g(x) dot l espérace est : E(g(X)) ω Ω g(x(ω)) IP(ω) x Rg(x) IP(X x) Cela permet otammet d écrire la variace comme ue espérace. V(X) x R(x µ) IP(X x) E((X µ) ) Le théorème de Tchebychev Soit X ue variable aléatoire d espérace µ et d écart type σ. Alors, o a IP(µ kσ X µ+kσ) 1 1 k pour tout k > 0 Cas particuliers 1. Pour k 1, o a IP(µ σ X µ+σ) 0%. Cette affirmatio est pas particulièremet utile.. Pour k, o a IP(µ σ X µ+σ) 75%. Aisi il y a au mois75% des valeurs dex qui sot das l itervalle[µ σ,µ+σ]. 3. Pour k 3, o a IP(µ 3σ X µ+3σ) 88.8%. Aisi il y a au mois88% des valeurs dex qui sot das l itervalle[µ 3σ,µ+3σ]. Illustratio das l exemple du jeu d arget de la page précédete Das cet exemple, o a µ 1 et σ 3. O examie les gais d Aka pour ue partie. 1. La probabilité que la somme gagée soit das l itervalle [µ σ,µ+σ] [,4] doit être plus grade ou égale à 0%. C est vrai, car cette probabilité vaut 100%.. La probabilité que la somme gagée soit das l itervalle [µ σ,µ+σ] [ 5,7] doit être plus grade ou égale à 75%. C est vrai, car cette probabilité vaut 100%. 3. La probabilité que la somme gagée soit das l itervalle [µ 3σ,µ+3σ] [ 8,10] doit être plus grade ou égale à 88.8%. C est vrai, car cette probabilité vaut 100%. Coclusio Le théorème e doe pas des valeurs optimales, mais il est vrai quelque soit la variable aléatoire. Ici, o a pris u exemple u peu trop simple, ce qui explique la faible performace du théorème. 7. Cette otatio est abusive : g(x)(ω) a pas de ses! La justificatio est celle-ci : si X : Ω R et g : R R, alors (g X)(ω) g(x(ω)) g(x) avec x X(ω) Im(X). D où la otatio g X g(x). S. Perret page 10 Versio 3.001

15 Cours de Mathématiques Lycée catoal de Porretruy Jets de plusieurs dés à six faces bie équilibrés Cosidéros plusieurs dés à six faces bie équilibrés. O examie la somme obteue des valeurs motrées par u jet de plusieurs dés. Jets de deux dés Voici u tableau représetat la somme, otée, de chacue des 6 36 issues. Issue Issue Issue Issue Issue Issue Si o suppose que les dés sot bie équilibrés, alors chaque issue a autat de chaces de se produire (c est pour cette raiso qu o a teu compte de l ordre). O trouve aisi le tableau des probabilités suivat. somme probabilité La loi des grads ombres affirme que plus le ombre de lacers est grad plus les desités se rapprochet des probabilités ci-dessus. Ces probabilités sot idiquées sur les histogrammes ci-dessous par les poits reliés. Voici ue vérificatio empirique de la loi des grads ombres Histogramme pour 10 Histogramme pour 50 Histogramme pour 100 Desité Desité Desité Somme de dés Somme de dés Somme de dés Histogramme pour 500 Histogramme pour 1000 Histogramme pour 5000 Desité Desité Desité Somme de dés Somme de dés Somme de dés Versio page 11 S. Perret

16 Lycée catoal de Porretruy Cours de Mathématiques Jets de trois dés Lorsqu o jette 3 dés, il y a issues. O a le tableau de probabilités suivat. somme proba La loi des grads ombres affirme que plus le ombre de lacers est grad plus les desités se rapprochet des probabilités ci-dessus. Ces probabilités sot idiquées sur les histogrammes ci-dessous par les poits reliés Voici ue vérificatio empirique de la loi des grads ombres Histogramme pour 10 Histogramme pour 50 Histogramme pour 100 Desité Desité Desité Somme de 3 dés Somme de 3 dés Somme de 3 dés Histogramme pour 500 Histogramme pour 1000 Histogramme pour 5000 Desité Desité Desité Somme de 3 dés Somme de 3 dés Somme de 3 dés Propriétés de l espérace et de la variace E repreat l exemple précédet. O peut cosidérer les variables aléatoires X 1, X et X 3 qui représetet le ombre motré par les dés uméro 1, et 3 respectivemet. O ote das ce cas, la variable aléatoire X 3 X i X 1 +X +X 3 qui représete la somme des ombres motrés par les trois dés. Grâce aux probabilités qui se trouvet das le tableau de l exemple précédet, o a IP(1 X 18) O utilise les propriétés suivates (voir sectio 1.4). ( ) E X i E(X i ) et ( ) V X i V(X i ) si les X i sot idépedates Aisi E(X) E(X 1 )+E(X )+E(X 3 ) µ 10.5 V(X) V(X 1 )+V(X )+V(X 3 ) σ.96 S. Perret page 1 Versio 3.001

17 Cours de Mathématiques Lycée catoal de Porretruy La loi de Beroulli O cosidère ue expériece aléatoire à deux issues : le succès et l échec. À cette expériece, o associe la variable aléatoire X qui doe 1 e cas de succès et 0 e cas d échec. X : {succès, échec} R; succès 1, échec 0 Si p ]0,1[ est la probabilité de succès, alors o a IP(X 1) p et IP(X 0) 1 p O dit que la variable aléatoire X suit ue loi de Beroulli de paramètre p, otée B(p). Il est facile de motrer que E(X) p et V(X) p(1 p). Applicatio O tete de lacer ue pièce de moaie bie équilibrée sur pile. L espérace vaut 1 (o va réussir e moyee ue fois sur ), la variace vaut 1 4, l écart type vaut La loi biomiale O cosidère ue expériece aléatoire costituée de épreuves successives idetiques, idépedates, à deux issues chacue : le succès et l échec. Autremet dit, à la la i-ième épreuve, o associe ue variable aléatoirex i qui suit ue loi de BeroulliB(p) oùp ]0,1[ est la probabilité d u succès à chaque épreuve successive. À cette expériece, o associe la variable aléatoire X qui compte le ombre de succès, aisi X X i. La probabilité d avoir k succès (et doc k échecs) est doée grâce à la techique des aagrammes 8 par la formule suivate (la i-ième case correspod au i-jet; il y a cases). ( permutatios ) IP(X k) IP succès succès... succès échec... échec } {{ }} {{ } k succès ( ) p k (1 p) k où k k échecs ( ) {! si k {0,1,,...,} k!( k)! k 0 sio E fait 9, ( k) est le coefficiet de x k das le polyôme (1+x). O dit que la variable aléatoire X suit ue biomiale de paramètres et p, otée B(,p). Remarque importate Ue variable qui suit ue loi biomiale B(,p) est ue somme de variables qui suivet ue loi de Beroulli B(p). Grâce aux propriétés de l espérace et de la variace (voir sectio 1.4), o a E(X) p et V(X) p(1 p). Applicatio O compte le ombre de piles obteus e laçat fois ue pièce de moaie bie équilibrée. L espérace vaut (le ombre de piles obteus est e moyee égal à la moitié des lacers), l écart type vaut Se référer à la techique des aagrammes du cours de probabilité (cours DF). 9. Par rapport au résultat de la page suivate, o a (1+x) (x 0 +x 1 ) car otre pièce de moaie est comme u dé à deux faces dot les uméros sot 0 pour face et 1 pour pile. Versio page 13 S. Perret

18 Lycée catoal de Porretruy Cours de Mathématiques La loi des jets de k dés Cas particulier où k 5 La variable aléatoire X compte la somme des résultats des jets de chacu des 5 dés. O a évidemmet P(X 5) ( 1 6 )5 1, puisque chacu des 5 dés doit tomber sur De même, o a P(X 30) 1. Il est plus dur de calculer P(X k) avec 5 < m < Regardos e détails commet calculer P(X 8) avec la méthode des aagrammes. ( perm. ) ( perm. ) ( perm. ) P(X 8) IP IP IP !!3! ( ) ! 3!1!1! ( ) 5 ( 1 5! 6!3! + 5! 3!1!1! + 5! ) 4!1! ( ) ! 6 4!1! ( ) O voit que ce qui est pas facile à trouver das le cas gééral, c est le coteu de la parethèse qui cotiet les fractios avec des factorielles. Mais e fait, ces fractios peuvet être expliquées 10 aisi. 5!!3! est le coefficiet de x 1 x3 das (x 1 +x +x 3 +x 4 +x 5 +x 6 ) 5 5! 3!1!1! 5! 4!1! est le coefficiet de x 3 1 x x 3 das (x 1 +x +x 3 +x 4 +x 5 +x 6 ) 5 est le coefficiet de x 4 1x 4 das (x 1 +x +x 3 +x 4 +x 5 +x 6 ) 5 O utilise l astuce suivate : e remplaçat x 1 par x, x par x, x 3 par x 3,..., x 6 par x 6, o trasforme les moômes à six variables ci-dessus e u polyôme à ue seule variable. Aisi, les trois moômes ci-dessus (x 1 x3, x3 1 x x 3 et x 4 1 x 4) sot fusioés sur u ouveau moôme à ue seule variable dot la puissace correspod à la somme des dés, ici x 8. E effet, x 1 x3 deviet x x 6 x 8 ; x 3 1 x x 3 deviet x 3 x x 3 x 8 ; x 4 1 x 4 deviet x 4 x 4 x 8. Aisi 5!!3! + 5! 3!1!1! + 5! 4!1! Règle géérale pour k dés est le coefficiet de x 8 das (x+x +x 3 +x 4 +x 5 +x 6 ) 5 La probabilité de lacer k dés et d obteir u total de m est doée par le coefficiet x m du polyôme (x+x +x 3 +x 4 +x 5 +x 6 ) k multiplié par ( 1 6 )k. Ce coefficiet est facilemet détermiable à l aide de Maxima : la commade qui établit la liste des coefficiets est makelist(coeff(ratsimp((x+x^+x^3+x^4+x^5+x^6)^k),x,m),m,k,6*k). Par exemple, la probabilité de faire u total de 10 avec 30 dés vaut O utilise les combiaisos vues das le chapitre sur le déombremet du cours DF S. Perret page 14 Versio 3.001

19 Cours de Mathématiques Lycée catoal de Porretruy 1. Variables aléatoires cotiues Lorsque les valeurs prises par la variable aléatoire X variet das u itervalle (ou ue réuio d itervalles), o dit que la variable aléatoire est cotiue La loi uiforme Imagios l expériece aléatoire suivate : o fait tourer ue aiguille fixée au milieu d u disque. L aiguille s arrêtera de maière aléatoire. Regardos la variable aléatoire X qui associe à chaque positio de l aiguille l agle correspodat das l itervalle [0,π[. La probabilité que l agle soit exactemet π est ulle. O voit tout de même que la probabilité que l agle soit etre π et 3π devrait valoir L astuce cosiste à se rameer à regarder des aires sous ue courbe appelée desité (cotiue) de probabilité ou ecore distributio et otée f(x). O a IP(a X b) } {{ } Probabilité que X pree ue valeur etre a et b b f(x)dx a } {{ } Notatio mathématique pour décrire l aire etre f et l axe des x, de a jusqu à b Comme ue probabilité est u ombre etre 0 et 1 (ou etre 0% et 100%), o doit avoir + f(x)dx 1 et f(x) 0 pour tout x R La desité de la variable aléatoire X associée à cette expériece aléatoire est doée par { 1 si x [0,π[ f(x) π 0 si x [0,π[ Voici so graphe. desité α 1 π f π 9 4π 9 π 3 8π 9 10π 9 4π 3 14π 9 16π 9 π Im(X 3 ) Cette desité est dite uiforme. O a π 3 IP( 4π X π) 9 3 4π 9 f(x)dx 1 9 E [ effet, e observat le quadrillage, o costate que la zoe grise défiie sur l itervalle 4π, ] π 9 3 a ue proportio de 1. 9 Versio page 15 S. Perret

20 Lycée catoal de Porretruy Cours de Mathématiques 1.. La loi ormale Il existe ue loi, otée N(µ,σ ) et appelée loi ormale (ou loi de Laplace-Gauss) qui, comme o le verra, permet d approximer certaies probabilités. Cette loi déped de deux paramètres : l espérace µ et la variace σ (qui est le carré de l écart type σ). Elle est doée par la desité f(x;µ,σ) 1 σ 1 π e ( x µ σ ) où e est le ombre d Euler qui vaut eviro Voici le graphe de f. desité 1 σ π µ 3σ µ σ µ σ 68.3% 95.4% 99.7% µ µ+σ µ+σ µ+3σ x Le lecteur pourra comparer les pourcetages idiqués avec ceux doés par le théorème de Tchebychev. Même si cette loi est très importate, tous les phéomèes e peuvet pas forcémet être estimés par la loi ormale. Approximatio de la somme d u jet de dés Superposos e rouge/blac la loi ormale N(kµ,kσ ) correspodat aux lacers de k dés pour k {1,,3,4,5,10}. Rappelos que µ 3.5 et σ Histogramme pour 1000 Histogramme pour 1000 Histogramme pour 1000 Desité Desité Desité Somme de 1 dé Somme de dés Somme de 3 dés Histogramme pour 1000 Histogramme pour 1000 Histogramme pour 1000 Desité Desité Desité Somme de 4 dés Somme de 5 dés Somme de 10 dés O voit que lorsque gradit, l approximatio par la loi ormale deviet meilleure. S. Perret page 16 Versio 3.001

21 Cours de Mathématiques Lycée catoal de Porretruy Ecore quelques comparaisos. Histogramme pour 1000 Desité Somme de 0 dés Histogramme pour 1000 Desité Somme de 30 dés Comparos la probabilité exacte d avoir, e laçat 30 dés, ue somme comprise etre 10 et 180 avec so approximatio par la loi ormale N(105,87.5). méthodes de calcul répose vraies probabilités (voir sectio 1.1.8) IP(10 X 180) loi ormale N(105,87.5) loi ormale N(105,87.5) avec correctio de cotiuité (voir aussi la page 8) f(x)dx f(x)dx La correctio de cotiuité cosiste à elever 1 à la première bore d itégratio et à ajouter 1 à la deuxième bore. E effet, si o veut calculer la probabilité IP(X 100) et qu o calcule 100 f(x)dx, o va trouver 0, parce qu il y a pas d aire. Si o veut 100 approximer IP(X 100) à l aide de la loi ormale, il faut calculer l itégrale f(x) dx, 99.5 car les barres des histogrammes sot cetrées e 100 mais sot de largeur 1. Versio page 17 S. Perret

22 Lycée catoal de Porretruy Cours de Mathématiques 1..3 La foctio gamma La foctio gamma est défiie par l itégrale suivate. + Γ() x 1 e x dx ]0,+ [ Propriétés de la foctio gamma. 0 Γ(+1) Γ() pour tout > 0 avec Γ( 1 ) π et Γ(1) 1 Ces propriétés permettet de calculer Γ( ) avec 1. O voit aussi que lorsque est u ombre aturel, 1, la foctio gamma est ue gééralisatio de la factorielle, autremet dit qu o a Γ() ( 1)!. E effet, la factorielle satisfait les propriétés! ( 1)! et 0! 1. y y g(x) x 1 e x g(x) e x Γ( 1 ) π 0.50 Γ(1) Γ( 1 ) x Γ(1) x y y g(x) x 1 e x g(x) xe x Γ( 3 ) 1 Γ(1 ) 1 π 0.50 Γ() 1Γ(1) Γ( 3 ) x Γ() x y y g(x) x 3 e x g(x) x e x Γ( 5 ) 3 Γ(3 ) 3 4 π 0.50 Γ(3) Γ() Γ( 5 ) x Γ(3) x S. Perret page 18 Versio 3.001

23 Cours de Mathématiques Lycée catoal de Porretruy 1..4 Les lois de Studet La desité de probabilité de la loi de Studet T ν à ν degrés de liberté est doée par la foctio suivate. f Tν (x) Γ( ) ν+1 ) ν+1 Γ ( 1 ) (1+ x, x R ν νπ ν Il s agit d ue distributio qui ressemble à celle de la loi ormale cetrée réduite, mais elle est plus haute sur les côtés. Sur les graphiques suivats, o voit la loi ormale cetrée réduite N(0, 1) e traitillés, les lois de Studet pour ν, ν 5 et ν 30. Comparaiso e la loi ormale N(0,1) et T. desité x Comparaiso e la loi ormale N(0,1) et T 5. desité x Comparaiso e la loi ormale N(0,1) et T 30. desité x Versio page 19 S. Perret

24 Lycée catoal de Porretruy Cours de Mathématiques 1..5 Les lois du chi-carré Il existe des lois, otées χ, et appelées lois du chi-carré (proocer «ki») avec degrés de liberté. Voici les expressios foctioelles de leur desité et leur représetatio graphique. desité f (x) 1 Γ( 1 e x si x > 0 )x 0 si x Si 1, o a f 1 (x) 1 π x e x 0.5 Si, o a f (x) 1 e x Si 3, o a f 3 (x) 1 π xe x 0.4 Si 4, o a f 4 (x) 1 4 xe x 0.3 Si 5, o a f 5 (x) 1 3 x 3 e x π Si 6, o a f 6 (x) 1 16 x e x x S. Perret page 0 Versio 3.001

25 Cours de Mathématiques Lycée catoal de Porretruy 1..6 Espérace et variace das le cas cotiu Espérace d ue variable aléatoire cotiue L espérace d ue variable aléatoire X, otée E(X) ou µ, est la moyee podérée des valeurs images de X par leur probabilité : E(X) + x f(x)dx (e modifiat la formule du cas discret) Variace et écart type d ue variable aléatoire cotiue La variace d ue variable aléatoire X, otée V(X), est la moyee podérée des carrés des écarts par rapport à l espérace µ par leur probabilité. V(X) + L écart type de X est défii par σ(x) V(X). Gééralisatio de l espérace (x µ) f(x)dx Soit g : R R ue foctio réelle et X ue variable aléatoire, alors g X est ue variable aléatoire otée 10 g(x) dot l espérace est : E(g(X)) + g(x) f(x)dx Cela permet otammet d écrire la variace comme ue espérace. Exemple de calcul V(X) + (x µ) f(x)dx E((X µ) ) Pour la variable aléatoire X défiie e page 15, l espérace est le résultat que l o peut le plus souvet espérer (e moyee) et vaut : La variace est : V(X) π 0 (x π) π E(X) π 0 x π dx TFCI x 4π dx TFCI (x π)3 6π Par coséquet, l écart type vaut σ(x) π 3. π 0 π 0 4π 4π π π3 6π ( π)3 6π π 6 + π 6 π Cette otatio est abusive : g(x)(ω) a pas de ses! La justificatio est celle-ci : si X : Ω R et g : R R, alors (g X)(ω) g(x(ω)) g(x) avec x X(ω) Im(X). D où la otatio g X g(x). Versio page 1 S. Perret

26 Lycée catoal de Porretruy Cours de Mathématiques 1.3 Les différetes formes de desité de distributio Il s agit d ue otio issue de la théorie des probabilités : ue desité (ou distributio) est ue descriptio de la courbe que devrait suivre u histogramme lorsque les mesures utilisées pour faire l histogramme sot e très grads ombre (grâce à la loi des grads ombres). Il s agit d ue courbe théorique! Tadis que l histogramme est basé sur les observatios, la distributio est théorique. Il faut doc faire preuve de prudece lorsqu o dit que les doées mesurées suivet ue certaie distributio! Das les exemples précédets, les desités ot toujours été détermiées de maière exacte (loi de Beroulli, loi biomiale ou loi multiomiale) ou approximative (loi ormale, lois de Studet, lois du chi-carré). Voici les oms de certaies formes de distributios que l o peut trouver das la ature. Distributio symétrique Distributio uiforme Distributio oblique à gauche Distributio oblique à droite Distributio bimodale S. Perret page Versio 3.001

27 Cours de Mathématiques Lycée catoal de Porretruy Date de aissace de élèves de première aée ( ) O peut regarder la date de aissace des élèves de première aée. Il y a 4 élèves iscrits e août 003. Voici l histogramme où les classes sot des trimestres (trois mois). O voit beaucoup mieux la écessité de classer les doées das des classes, afi d avoir u graphe lisible. Voici l histogramme où les classes sot des semestres (six mois). Il faut faire attetio à l iterprétatio que l o doe à l histogramme, puisque le choix des classes ifluece légèremet l histogramme. Pour cette raiso, il est importat de e pas faire de calculs à partir des ombres idiqués sur l histogramme, mais plutôt à partir des doées iitiales. Même si le choix des classes modifie l histogramme, o s aperçoit que la forme géérale reste la même. Ici, o voit qu e première aée, il y a beaucoup d élèves qui sot és e 1987 et das la première moitié de La distributio est oblique à gauche, car il y a aura certes quelques élèves surdoués qui aurot sauté ue aée (doc qui etrerot au lycée très jeue), mais il y a aura bie plus d élèves qui etrerot au lycée u peu plus vieux (redoublemet, réorietatio professioelle,...). Versio page 3 S. Perret

28 Lycée catoal de Porretruy Cours de Mathématiques 1.4 Propriétés de l espérace et de la variace Propriétés de l espérace L espérace est liéaire (cela proviet des propriétés du symbole somme et de l itégrale). Cela sigifie que l espérace satisfait : additivité : homogééïté : E(X +Y) E(X)+E(Y) E(λX) λ E(X) De plus, si C est ue variable aléatoire costate, o a E(C) C. Propriétés de la variace La variace est pas liéaire. O a tout de même : additivité si X et Y sot idépedats : V(X +Y) V(X)+V(Y) homogééïté de degré : V(λX) λ V(X) lorsque C est ue variable aléatoire costate : V(C) 0 Pour démotrer la formule de l additivité, il faut défiir la otio de variables aléatoires idépedates (et aussi la otio de covariace) : cela dépasse le cadre de ce cours. Par cotre, les deux autres propriétés sot évidetes. Autre formule pour la variace E utilisat les propriétés de l espérace, o motre que V(X) E ( X ) ( E(X) ). E effet, e otat µ E(X), o a : ( (X µ ) ) V(X) E E ( X µx+µ ) E ( X ) µe(x)+µ E ( X ) ( E(X) ) Théorème O cosidère variables aléatoires idépedates X 1, X,..., X de même espérace µ et de même variace σ. La moyee de ces variables aléatoires est aussi ue variable aléatoire, otée X et défiie par X X 1+X + +X. Sous ces hypothèses, o a : E ( X ) µ V ( X ) σ Preuve O a : E ( X ) ( E X ) i Pour la variace : V ( X ) ( V X ) i E li. E(X i) µ µ µ ( 1 V i) X 1 ( V ) X i Poit délicat : o a V( X i) V(X i) parce que les variables aléatoires X i sot idépedates. Par coséquet : V ( X ) 1 ( V ) X i 1 V(X i) 1 σ 1 σ σ S. Perret page 4 Versio 3.001

29 Cours de Mathématiques Lycée catoal de Porretruy 1.5 Cetrage et réductio Défiitios Ue variable aléatoire (discrète ou cotiue) est dite cetrée si so espérace est ulle. Ue variable aléatoire (discrète ou cotiue) est dite réduite si sa variace vaut 1. Théorème Si X est ue variable aléatoire (discrète ou cotiue) d espérace µ et de variace σ, alors X µ est ue variable cetrée réduite σ Preuve 1. O a, par liéarité : ( ) X µ E σ ( ) 1 E li. E (X µ) 1 E li. E(X µ) 1 σ σ σ 0 { }} { (E(X) µ) 0. O commece par utiliser la formule V(X) E ( (X E(X)) ) afi d avoir : ( ) ( (X X µ µ ( X µ ) ) ) V E E σ σ } {{ σ } 0 (voir ci-dessus) O peut aisi cotiuer le calcul : ( ) ( (X ) ) ( ) ( ) X µ µ (X µ) 1 V E E E (X σ σ σ µ) σ E li. 1 σ E( (X µ) ) 1 σ E( X Xµ+µ ) ( E ( X ) µe ( X ) ) +µ µe(x) 1 σ 1 (E σ ( X ) ( E(X) ) ) O termie e se souveat de la formule V(X) E ( X ) ( E(X) ). E effet : ( ) X µ V 1 σ σ ( E ( X ) ( E(X) ) ) 1 σ V(X) 1 σ σ 1 Versio page 5 S. Perret

30 Lycée catoal de Porretruy Cours de Mathématiques 1.6 Foctio de répartitio d ue variable aléatoire Foctio de répartitio d ue variable discrète O défiit la foctio de répartitio d ue variable discrète comme suit. x φ(x) IP(X x) IP(X k) où IP(X k) est la desité discrète de probabilité Exemple k Ci-dessous, o trouve la loi biomiale B(10, 1 ) (dot la desité est e gris focé) et sa foctio de répartitio (e gris clair). desité x 1.6. Foctio de répartitio d ue variable cotiue O défiit la foctio de répartitio d ue variable cotiue comme suit. x φ(x) IP(X x) f(t)dt où f(x) est la desité de probabilité Exemple Ci-dessous, o trouve la loi ormale N(0,1) et sa foctio de répartitio. desité 1 φ f 1 1 x S. Perret page 6 Versio 3.001

31 Cours de Mathématiques Lycée catoal de Porretruy 1.7 Deux propriétés essetielles de la loi ormale La loi ormale permet d approximer la loi biomiale Le théorème cetral-limite de Laplace Soit a, b R et p ]0,1[. Alors La loi biomiale B(,p) suit approximativemet ue loi ormale N(p,p(1 p)) Autremet dit, pour assez grad, o peut approximer la probabilité que la variable X, qui suit ue loi biomiale B(,p) d espérace p et de variace p(1 p), soit etre a et b de la maière suivate. ( ) approx par IP a X b N N(p,p(1 p)) cetrage réductio foctio de répartitio otatio page 30 ( ) IP a N b ( a p IP p(1 p) ( IP Z b p ) p(1 p) Z N(0,1) { }} { N p p(1 p) b p ) p(1 p) ( IP Z a p ) p(1 p) ( ) ( ) b p a p φ φ p(1 p) p(1 p) La plupart du temps, o cosidère que si p 5 et si (1 p) 5 (autremet dit si est suffisammet grad par rapport aux probabilités de succès p et d échec 1 p), alors l approximatio est de boe qualité. Exemple Soit X ue variable aléatoire qui suit la loi biomiale B(10, 1 ) (o lace ue pièce de moaie bie équilibrée 10 fois de suite et o compte le ombre de piles obteu). O a p (1 p) 5. Aisi, o estime B(10, 1 ) avec la loi ormale N(p,p(1 p)) N(5,.5). E gris, o a IP(4 X 7) que l o voit sur le graphe de gauche et que l o estime par la loi ormale sur le graphe de droite. y y x x Versio page 7 S. Perret

32 Lycée catoal de Porretruy Cours de Mathématiques O a : IP(4 X 7) IP(X 4)+IP(X 5)+IP(X 6)+IP(X 7) L approximatio est doée par ( ( 1 6 ( 4)( ) ) ( 1 ) 5 ( 5)( ) ( 1 ) 4 ( 6)( ) ( 1 ) 3 7)( ) IP(4 X 7) φ( ) φ( ) φ(1.6) φ( 0.63) Amélioratio de l estimatio par correctio de cotiuité L estimatio de la page précédete est pas extraordiaire. Pour l améliorer, o va légèremet modifier les bores de l itégrale. E effet, e allat de 4 à 7, l itégrale précédete oublie la moitié des deux rectagles aux extrémités. C est pourquoi il est plus judicieux de partir à 3.5 et de fiir à 7.5 comme le motre les schémas ci-dessous. y y x x O a : IP(4 X 7) L approximatio est maiteat bie meilleure IP(4 X 7) φ( ) φ( ) φ(1.58) φ( 0.95) Formule d approximatio améliorée La formule d approximatio améliorée est doc das le cas gééral doée par ( ( ) IP a X b b+ 1 p ( φ a 1 ) φ p ) p(1 p) p(1 p) Remarque Si est très grad, les deux approximatios (l améliorée et celle du théorème) serot les deux très proches. S. Perret page 8 Versio 3.001

33 Cours de Mathématiques Lycée catoal de Porretruy 1.7. Le théorème de la limite cetrale Le théorème de la limite cetrale, aussi appelé théorème cetral limite est l u des résultats les plus importats de la théorie des probabilités. De faço iformelle, ce théorème 11 doe ue estimatio de l erreur que l o commet e approchat la moyee théorique µ par la moyee arithmétique x. Théorème de la limite cetrale Supposos qu o a variables aléatoires X 1,..., X idépedates et qui suivet ue même loi de probabilité d espérace µ et de variace σ. Le théorème cetral limite dit que, si est suffisammet grad (la plupart du temps 30 suffit), alors la variable aléatoire X X 1+ +X qui correspod à la moyee des variables X 1,..., X suit approximativemet ue loi ormale N(µ, σ). Simulatio umérique E oir, la loi d origie. E rouge/blac, la loi ormale du théorème. E gris, l histogramme des moyees de échatillos de taille. Pour 1, l histogramme suit la loi d origie, puisque la moyee d ue mesure est égale à la mesure elle-même. Puis plus gradit, plus l histogramme cesse de suivre la loi d origie pour se rapprocher de la loi ormale (qui deviet de plus e plus étroite, car σ deviet de plus e plus petit, et haute, car so aire vaut toujours 1) Ce phéomèe a d abord été observé par Gauss qui l appelait loi des erreurs ; mais ce derier e a pas doé de démostratio rigoureuse. La preuve du théorème a été apportée par demoivre et Laplace ; le théorème porte doc parfois leurs oms. Versio page 9 S. Perret

34 Lycée catoal de Porretruy Cours de Mathématiques 1.8 Tables Foctio de répartitio de la loi ormale La foctio de répartitio φ(x) de la loi ormale cetrée réduite N(0,1) est ue itégrale qui admet pas de primitive explicite. O recourt aisi à ue table pour doer des valeurs approximatives. φ(x) 1 x e t dt π O lit les décimales das les liges, et les cetièmes e coloes. Par exemple, o trouve l approximatio arrodie à 4 décimales de φ(1.65), qui vaut , à l itersectio de la lige 1.6 et de la coloe Si x est égatif, o utilise la relatio φ( x) 1 φ(x) qui proviet du fait que la desité est paire et que l aire sous la courbe vaut 1. desité 1 desité 1 φ( 1) φ(1.65) x x φ(1.65) φ( 1) 1 φ(1) S. Perret page 30 Versio 3.001

35 Cours de Mathématiques Lycée catoal de Porretruy 1.8. Les quatiles des lois de Studet La foctio de répartitioφ ν de la loi de Studet T ν à ν degrés de liberté est ue itégrale qui admet pas de primitive explicite (sauf si ν 1). φ ν (x) Γ( ) ν+1 Γ ( 1 x ) ν+1 ) (1+ t dt, x R ν νπ ν Cotrairemet à la table de la loi ormale, il est coutume de préférer ue table des quatiles (c est-à-dire ue table qui doe la valeur de x lorsqu o coaît la valeur de l aire φ ν (x)). φ ν(x) ν if Si, par exemple, pour u test d hypothèses symétriques, le seuil de sigificatio α est égal à 10%, c est-à-dire que α 0.1, alors o a φ ν (x) O trouve x φ 1 ν (0.95) e regardat la valeur se trouvat das la coloe correspodat à 0.95 et das la lige correspodat aux degrés de liberté ν. Si, de plus, o choisit ν 5, o trouve x desité 0.5 x aire φ( ) aire α 0.05 x Versio page 31 S. Perret