MASTER ECONOMETRIE ET STATISTIQUE APPLIQUEE (ESA)

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1 MASTER ECONOMETRIE ET STATISTIQUE APPLIQUEE (ESA) Unversté d Orléans Econométre des Varables Qualtatves Chaptre 3 Modèles à Varable Dépendante Lmtée Modèles Tobt Smples et Tobt Généralsés Chrstophe Hurln Polycopé de Cours Master Econométre et Statstque Applquée (ESA) Unversté d Orléans Faculté de Drot, d Econome et de Geston Bureau A 4 Rue de Blos BP Orléans Cedex

2 Contents 1 LeModèleTobtSmple EstmatonparlesMondresCarrésOrdnares ApplcatondesMCOàl ensembledesobservatons Applcaton des MCO aux observatons pour lesquelles y > Estmaton par la méthode en deux étapes : Heckman (1976) EstmatonparleMaxmumdeVrasemblance LogVrasemblancedansunmodèleTobtsmple Re-paramétrsaton d Olsen (1978) Applcaton Effetsmargnaux Proprétésdel estmateurdumvsousdeshypothèsesnonstandard Hétéroscédastcté Nonnormalté ExtensonsdumodèleTobtSmple:modèlesàcensuremultples ModèleTobtsmpleàcensuresmultples Modèle Tobt smple à double censure : Rosett et Nelson (1975) Applcatonmodèleàdoublecensure LesModèlesTobtGénéralsés ModèleTobtGénéralséType DéfntonduTobtgénéralsédetypeII EstmatonparMaxmumdeVrasemblance Estmaton en deux étapes : Heckman (1976) Exemples ModèledeTroncatureAuxlareouModèleHeckt AutresModèlesTobtGénéralsés ModèleTobtGénéralséType ModèleTobtGénéralséType ModèleTobtGénéralséType LesModèlesàrégmes Modèleàrégmesobservables Modèleàrégmesnobservables A Annexes A.1 Concavtédelalog-vrasemblance A. Programmedesmulatond unprobtsmple... 51

3 Econométre des Varables Qualtatves. Cours C. Hurln 3 Introducton Nous allons à présent envsager le cas des modèles à varable dépendante lmtée :ce sont des modèles pour lesquels la varable dépendante est contnue mas n est observable que sur un certan ntervalle. Ans, ce sont des modèles qu se stuent à m chemn entre les modèles de régresson lnéares où la varable endogène est contnue et observable et les modèles qualtatfs. En effet, les modèles à varable dépendante lmtée dérvent des modèles à varables qualtatves, dans le sens où l on dot modélser la probablté que la varable dépendante appartenne à l ntervalle pour lequel elle est observable. Nous verrons que la structure de base des modèles à varable dépendante lmtée est représentée par le modèle Tobt. Avant de présenter plus en détal les modèles à varable dépendante lmtée, et plus spécfquement le modèle Tobt, l convent au préalable de précser les termes que nous allons utlsés par la sute dans le cadre de ce chaptre. Les modèle Tobt se réfèrent de façon générale à des modèles de régressons dans lesquels le domane de défnton de la varable dépendante est contrant sous une forme ou une autre. En économe, de tels modèles ont été ntés par James Tobn (1958). Son analyse portat sur les dépenses de consommaton en bens durables et reposat sur une régresson tenant compte spécfquement du fat que ces dépenses ne peuvent pas être négatves. La varable dépendante état ans assujette à une contrante de non négatvté. Tobn qualfa sonmodèlede modèle à varable dépendante lmtée 1 (lmted dependent varables model) d où le ttre de ce chaptre. Ce modèle et ses généralsatons sont plus connus parm les économstes sous le nom de modèle Tobt. Ce terme a été ntrodut par Goldberger (1964) en rason des smlartés avec le modèle probt. Toutefos, ces modèles sont auss appelés modèles de régresson censurées (censored regresson models) oumodèle de régresson tronquée (truncated regresson models). Cette termnologe plus précse permet en effet d ntrodure la dstncton entre des échantllons tronqués et des échantllons censurés : 1. Un modèle de régresson est dt tronqué lorsque toutes les observatons des varables explcatuves et de la varable dépendante fgurant en dehors d un certan ntervalle sont totalement perdues.. Un modèle de régresson est dt censuré lorsque l on dspose au mons des observatons des varables explcatves sur l ensemble de l échantllon. Nous verrons par la sute que le modèle Tobt est ans un modèle de régresson censurée. Lesmodèlescensurésettronquésontétéutlsésdansd autresdscplnesndépendamment de leur utlsaton et développement en économe, et ce notamment en bologe et dans 1 Tobn J. (1958), Estmaton of Relatonshps for Lmted Dependent Varables, Econometrca, 6, 4-36.

4 Econométre des Varables Qualtatves. Cours C. Hurln 4 les scences de l ngéneur. En bologe, de tels modèles furent utlsés pour représenter le temps de surve des patents en foncton de certanes caractérstques : les échantllons étaent en effet censurés ou tronquées dès lors que le patent reste en ve à la dernère date d observaton de l échantllon ou s l ne peut pas être ausculté à cette date pour une rason quelconque. De la même façon en ngénere, les modèles censurés et tronqués sont utlsés pour analyser le temps de surve d un matérel ou d un système en foncton de ses caractérstques. De tels modèles sont alors qualfés de modèles de surve (survval models). Les économstes et les socologues ont auss utlsés des modèles de surve pour évaluer la durée de phénomènes comme le chômage, le marage, la durée de résdence dans certans leux etc... Mathématquement, les modèles de durée appartennent à la même classe que les modèles Tobt, mas font souvent l objet d un tratement à part. Entre 1958, date de paruton de l artcle de Tobn et les années 70, les modèles Tobt ont été utlsés très fréquemment en économe sous l effet de la conjoncton de deux phénomènes : d une part la plus grande dsponblté de bases mcro-économques et d autre part le développement des capactés nformatques qu a perms de trater des modèles Tobt de grande talle. Du fat de ces très nombreuses applcatons, dfférentes extensons et généralsatons ont été proposées pourle Tobt : modèle Tobt généralsé, modèles à seuls stochastques... C est pourquo on a ntrodut la caractérsaton de modèle Tobt smple pour désgner le modèle développé par Tobn et le dstnguer des autres extensons. Amemya (1983) dentfe ans 5 types de modèle de Tobt, le Tobt smple étant qualfé de modèle Tobt Type I. Plus formellement, consdérons N couples de varables (x,y ) où la varable y est engendrée par un processus aléatore tel que E (y /x )=x β, où β R K est un vecteur de paramètres. On suppose que la varable y n est pas toujours observable : on ne l observe que s sa valeur est supéreure à un certan seul c. On peut ans construre une varable y, qu est égale à y lorsque celle-c est observable et qu vaut c par conventon lorsque y n est pas observable. y = y c s y >c snon =1,..N (0.1) La constante c peut être dentque pour tous les ndvdus. Deux cas peuvent alors se présenter suvant la nature des observatons : 1. S le vecteur x est observable pour tous les ndvdus et cela ndépendamment du fat que la varable y sot observable ou non, on un échantllon censuré. Seule la varable y est observable sur un ntervalle [c, + [. S le vecteur x est observable unquement pour les ndvdus pour lesquels la varable y est observable, on un échantllon tronqué. On ne dspose d observatons (x,y ) que pour les ndvdus pour lesquels y >c. On a par exemple un échantllon tronqué dans le cadre d une enquête où les ménages ne répondent à l enquête que s ls répondent à la queston permettant de détermner y. Ceux pour lesquels y c ne répondent pas à l enquête ou sont élmnés de l échantllon par les enquêteurs.

5 Econométre des Varables Qualtatves. Cours C. Hurln 5 L utlsaton de modèles Tobt suppose que soent partculèrement connus les résultats relatfs aux moments et aux moments condtonnels d une varable dstrbuée selon une lo normale tronquée. C est pourquo, avant de présenter ces modèles, nous proposons les résultats suvants. Sot Φ (.) la foncton de répartton de la lo normale centrée rédute N (0, 1) et sot φ (.) la foncton de densté assocée. Proposton 0.1. Consdérons une varable y suvant une lo normale tronquée telle que : y s y y = > 0 (0.) 0 snon où y est dstrbuée selon une lo normale N m, σ. On admet alors les proprétés suvantes : 1. Espérance de y : m m E (y) =m Φ + σφ σ σ (0.3). Espérance condtonnelle de y : E (y/y > 0) = m + σ φ m σ m Φ m = m + σλ σ σ où λ (x) =φ (x) /Φ (x) désgne le rato de Mll. 3. Varance de y : m V (y) =σ Φ + m m σ σ W σ W m σ avec W (x) = x Φ (t) dt = xφ (x)+φ (x). Par conséquent : m σ V (y) = m Φ m σφ m + m σφ σ m σ m σ Φ m + σ Φ σ σ φ m σ 4. Varance condtonnelle de y : V (y/y > 0) = σ 1 m m σ λ σ λ m σ m Φ m σ (0.4) (0.5) (0.6) Notons smplement que pusque le rato de Mll λ (x) joue un grand rôle dans l analyse des moments d une lo normale tronquée, l est ntéressant de vérfer qu l s agt d une foncton décrossante de x : λ(x) x = λ (x) W (x) Φ (x) (0.7)

6 Econométre des Varables Qualtatves. Cours C. Hurln 6 La forme générale du rato de Mll est reprodute sur la fgure (0.1). Fgure 0.1: Rato de Mll : λ (x) =φ (x) /Φ (x) Rato de Mll Etudons à présent le modèle Tobt Smple ou modèle Tobt de type 1 suvant la termnologe d Amemya (1983).

7 Econométre des Varables Qualtatves. Cours C. Hurln 7 1. Le Modèle Tobt Smple Comme nous l avons dt en ntroducton le modèle Tobt a été développé par Tobn (1958), même s le terme de modèle Tobt n est apparu qu en 1964 dans un artcle de Goldberger. Dans son étude, Tobn cherche à modélser la relaton entre le revenu d un ménage et les dépenses en bens durables. Il dspose pour cela d un échantllon de N = 735 consommateurs tré du Survey of Consumer Fnances. Tobn observe que lorsque l on représente les couples revenus - dépenses des N consommateurs, la relaton obtenue ressemble au graphque (1.1) c-dessous. Une des caractérstques essentelles des données étant que pluseurs observatons pour le montant des dépenses de consommaton sont nulles. Eneffet, ces observatons sont nulles pour tous les ménages n ayant pas acheté de bens durables sur la pérode. Pour ces ndvdus, on dspose ans d observatons sur le revenu mas pas d observatons sur les dépenses de consommaton : on un échantllon censuré. Fgure 1.1: Nuage de Ponts : Modèle Tobt Smple Cette proprété remet en cause l hypothèse de lnéarté et montre que les mondres carrés ordnares ne sont pas la méthode pertnente pour estmer une telle relaton. De façon plus générale, on peut pas c utlser une densté contnue pour explquer la dstrbuton condtonnelle des dépenses par rapport au revenu : en effet, une dstrbuton contnue est ncompatble avec le fat que pluseurs observatons des dépenses soent nulles. C est donc dans ce contexte que Tobn propose son modèle à varable dépendante lmtée (lmted dependent varable model). Dans cette secton nous parlerons de modèle Tobt en réference au Tobt smple pour alléger les notatons.

8 Econométre des Varables Qualtatves. Cours C. Hurln 8 L hstore que propose Tobn est alors la suvante. Consdérons un agent qu a le chox entre deux bens x et y, qu cherche à maxmser son utlté U (x, y) sous sa contrante de budget de la forme x + py R, où p est le prx relatf et R le revenu. On suppose que le prx du ben x sert de numérare. On admet parallèlement que la consommaton de ben x satsfat une contrante de non négatvté x 0, mas que la consommaton de ben y vérfe une contrante du type y y 0 ou y =0. Cette contrante tradut smplement une ndvsblté des premères untés de bens y. Supposons que y sot la soluton du programme de maxmsaton de l utlté sous la contrante de budget et la contrante x 0. (x,y ) = arg max U (x, y) {x,y} sc : x + py R. sc : x 0 Dès lors, deux cas sont à consdérer : sot le nveau de consommaton potentelle du ben y est suffsamment élevé par rapport au seul y 0 et l agent consomme effectvement du ben y en quantté y, sot l n est pas suffsamment élevé et l agent ne consomme pas de ben y. Formellement on a : y y = s y 0 >y 0 S l on suppose que la soluton non contrante y est foncton d un certans nombres de caractérstques x et d une perturbaton ε sous la forme y = β 0 + β 1 x + ε et s l on suppose la normalté des perturbatons ε, alors on peut reprodure des valeurs de la consommaton y semblables à celles du graphques (1.1). Il sufft pour cela de supposer que les seuls y 0 sont les mêmes pour tous les ndvdus et que y 0 =0. Ans, le modèle orgnellement proposé par Tobn (1958) est le suvant : Defnton 1.1. Un modèle Tobt Smple ou modèle Tobt de type I est défn par : y = x β + ε =1,..N (1.1) y y = s y > 0 0 s y 0 (1.) où x = x 1..xK, =1,.., N désgne un vecteur de caractérstques observables et où β =(β 1...β K ) R K est un vecteur de paramètres nconnus et où les perturbatons ε sont dstrbués selon une lo N 0, σε. On suppose ans que les varables y et x sont observées pour tous les ndvdus, mas que les varables y sont observables unquement s elles sont postves. On note X la matrce de dmenson (N,K) telles que les lgnes de cette matrce correspondent aux vecteurs x. On suppose en outre que lm N X X = Q X où Q X est une matrce défne postve. Remarquons que l écrture d un seul nul y > 0 peut parfatement être changé en un seul y >y 0 sansquelemodèlesotchangé. Ilsufft pour cela d absorber dans le vecteur des

9 Econométre des Varables Qualtatves. Cours C. Hurln 9 caractérstques x une constante et de lu assocer un coeffcent égal à y 0. Le cas où les seuls y,0 dffèrent selon les ndvdus nécesste toutefos de modfer le modèle. Essayons à présent de comprendre pourquo l applcaton d une méthode de mondres carrés ordnares ne permet pas d estmer de façon convergente le vecteur des paramètres β assocés aux varables explcatves Estmaton par les Mondres Carrés Ordnares Au delà des calculs, on observe mmédatement sur l exemple de la fgure (1.1) que l applcaton des Mondres Carrés Ordnares n est pas la méthode adéquate pour révéler la relaton entre consommaton et revenu pour au mons eux rasons : 1. Le nuage de pont sera alors mal décrt par une relaton du type consommaton = a + b revenu pusque le nuage de ponts comporte deux partes dstnctes.. L hypothèse de lo contnue généralement fate sur les perturbatons n est pas adaptée dans ce cas pusque la valeur nulle de la consommaton est observée de nombreuses fos dans l échantllon et a donc sans doute une probablté d apparton nettement dfférente de zéro. Nous allons toutefos montrer l applcaton des MCO à l ensemble des observatons ou l applcaton des MCO aux seules observatons pour lesquelles on observe la varable y condut à une estmaton basée des paramètres du vecteur β. On suppose que les N observatons de l échantllon sont générées à partr du processus générateur de données suvant : y = y 0 s y = x β + ε > 0 snon =1,..N avec x = x 1..xK, =1,.., N, β =(β1...β K ) R K et où les perturbatons ε sont dstrbués selon une lo N 0, σε. On cherche c à estmer le vecteur de paramètre β par le méthode des Mondres Carrés Ordnares. Deux solutons sont alors envsageables : 1. Sot on applque les MCO à l ensemble des observatons (x,y ) de l échantllon. Sot on applque les MCO aux seules observatons (x,y ) pour lesquels y > 0. Commençons tout d abord par applquer les MCO à l ensemble des observatons de l échantllon Applcaton des MCO à l ensemble des observatons L estmateur des MCO applqué à l ensemble des N couples d observatons (y,x ) est défn par la relaton suvante : N 1 N β LS = x x x y (1.3) =1 =1

10 Econométre des Varables Qualtatves. Cours C. Hurln 10 Supposons pour commencer que les varables exogènes x sont détermnstes et détermnons alors l expresson de E βls, comme sut : N 1 E βls = x x =1 N =1 x E (y ) (1.4) Cette expresson dépend de la quantté E (y ) qu correspond à l espérance d une varable normale tronquée. En applquant la formule de l espérance d une lo normale tronquée, on montre que : x β x β E (y )=x β Φ + φ On en dédut mmédatement que l estmateur des mondres carrés β est basé : en effet la quantté E βls est une foncton non lnéare de β et ne peut donc pas être égale à β. Le bas peut être postf ou négatf et pour le caractérser, consdérons le cas où K =1, on a alors 1 β LS = N =1 x y et l on en dédut que : N =1 x N E βls =1 = x E (y ) 1 N N = N x x β x β =1 x =1 x βφ + x φ σ ε S l on admet que lm V βls =0 n alors, on en dédut que l estmateur β LS converge vers E βls qu dans le cas général dffère de la vrae valeur β des paramètres : β LS p β = β (1.5) N L estmateur des MCO de β applqué sur l ensemble des observatons est non convergent. Il est alors relatvement dffcle dans le cas de varables détermnstes de donner un résultat général sur la forme du bas, c est à dre sur le fat que l estmateur β LS sur-estme ou sous estme la vrae valeur β des paramètres. C est pourquo, nous allons à présent envsager le cas de varables explcatves stochastques. =1 Envsageons à présent le cas où les varables x sont des varables aléatores. Goldberger (1981) a étudé les bas asymptotques de l estmateur des MCO dans ce cas en supposant que lestouteslesvarablesexplcatvesx, à l excepton du terme constant, étaent dstrbuées selon une lo normale. Goldberger réécrt ans le modèle sous la forme : y = y 0 s y = α + x β + ε > 0 snon =1,..N avec x = x 1..xK, =1,.., N, β =(β1...β K ) R K et γ R. Les résdus ε sont dstrbués selon une lo normale N 0, σε. Hypothèse On suppose que les varables explcatves x sont dstrbuées selon une lo normale N (0, Ω) avec cov ε x (k) =0, k =1,..,K.

11 Econométre des Varables Qualtatves. Cours C. Hurln 11 L hypothèse de nullté de l espérance des varables explcatves x n est pas gênante c pusque s l on consdère des varables non centrées, on peut sans problème ntégrer cette quantté dans le terme constant α. Proposton 1.. Sous les hypothèses de Goldberger (1981), l estmateur β LS des Mondres Carrés Ordnares obtenu sur l ensemble des observatons (x,y ) vérfe : p α β LS β Φ (1.6) N où α correspond à la constante de l équaton y = α + x β + ε et σ y = σ ε + β Ωβ, où Ω désgne la matrce de varance covarance des varables explcatves x. La démonstraton de cette proposton fgure dans Greene (1981) Exemple : Consdérons le cas où α =0. Etant donné que Φ (0) = 0.5, lorsque l n y pas de constante dans la défnton de la varable latente y (α =0), alors on obtent une relaton du type plm βls = 0.5 β. Dans ce cas, l estmateur obtenu sur la totalté de l échantllon converge asymptotquement vers la moté de la vrae valeur β des paramètres. En effet, sous l hypothèse de normalté avec E (x )=0, s la constante α est nulle, on a alors E (y )=0. La varable y est centrée et dstrbuée selon une lo symétrque, la lo normale N x β, σε. Dès lors sous l hypothèse de Goldberger lorsque α =0, on a Prob(y > 0) = Prob(y 0) = 0.5. Pour un échantllon de talle N suffsante, on a donc approxmatvement autant d observatons nulles de y que d observatons strctement postves : N 1 N/. Dès lors, la prse en compte de l ensemble des observatons dans l estmaton des MCO va condure à un estmateur de β convergeant vers la moté de la vrae valeur du vecteur β. Dans le cas K =1, lapentedela drote d ajustement lnéare assocée à la régresson sur l ensemble des observatons (c est à dre β LS ) correspond dans ce cas à la moté de la pente β assocée à la vrae relaton lnéare entre y et x. ********************************* **** Insérer Graphque avec α =0**** ********************************* Une des conséquences remarquables de cette proposton est la suvante : Remark 1. Sous les hypothèses de Goldberger (1981), l estmateur défn par la quantté β c LS =(N/N 1 ) β LS,oùN 1 est le nombre d observatons pour lesquelles y > 0, est un estmateur convergent de β. Un estmateur convergent de α peut être obtenu de façon smlare. β c LS = N p βls N β (1.7) 1 N De la même façon pour l estmateur corrgé α c LS de la constante α, on a : α c LS = N N 1 α LS σ y p N α (1.8) Reprenons l exemple du cas où le terme constant est nul : α =0. On a vu alors que l estmateur des MCO état basé et convergeat vers la moté de la vrae valeur des paramètres : p 0 β LS β Φ = β N σ y

12 Econométre des Varables Qualtatves. Cours C. Hurln 1 Or sous les hypothèses de Goldberger et en partculer sous l hypothèse E (x )=0, mposer la nullté de α revent à mposer la nullté de E (y ). Comme nous l avons dt la varable y est alors centrée et dstrbuée selon une lo symétrque, la lo normale N x β, σε. Dès lors, lorsque α =0, on a Prob(y > 0) = Prob(y 0) = 0.5. Pour un échantllon de talle N suffsante, on a donc approxmatvement autant d observatons nulles de y que d observatons strctement postves : p N N 1 N Ans l estmateur corrgé β c LS est convergent pusque : β c LS = N N 1 β LS p plm βls = β N Greene (1983) dérve les matrces de varance covarance asymptotques de cet estmateur. Malheureusement, on peut utlser cet estmateur que dans la mesure où l on est sur que les hypothèses de Goldberger sont satsfates et en partculer l hypothèses selon laquelle les varables explcatves sont dstrbuées selon des los normales. Ren n est spécfé sur les proprétés de cet estmateur lorsque les varables explcatves ne sont pas dstrbuées selon une lo normale. Il faudra donc utlser une autre méthode pour estmer β dans le cas général. ******************************************************** *** Illustrer par smulaton bas sur β LS et convergence de β c LS *** ******************************************************** Applquons à présent la méthode des MCO aux seules observatons pour lesquelles y > 0 afn d estmer le vecteur de paramètres β Applcaton des MCO aux observatons pour lesquelles y > 0 Compte tenu du graphque (1.1), l état clar que l applcaton des MCO à l ensemble des observatons (x,y ) de l échantllon devat condure à une estmaton basée du coeffcent qu le le revenu à la consommaton. C est ce que nous avons démontré dans la secton précédente. Mas lorsque l on restrent l échantllon aux seules observatons pour lesquelles la varable latente est postve, ce résultat est beaucoup mons évdent à llustrer graphquement. y Applquons ans les MCO aux seules observatons pour lesquelles y MCO, noté β y>0,estdéfn par la relaton : > 0. L estmateur des β y>0 = y >0 x x 1 y >0 x y (1.9) où y >0 désgne la sommaton sur les ndces =1,..,N pour lesquels on a y > 0. Supposons que les varables exogènes x sont détermnstes et détermnons alors l expresson de E βy>0, comme sut : E βy>0 = x E (y /y >0 ) (1.10) y >0 x x 1 y >0 Cette expresson dépend de la quantté E (y /y >0 ) qu correspond à l espérance condtonnelle d une varable normale tronquée. En applquant la formule correspondante, on montre

13 Econométre des Varables Qualtatves. Cours C. Hurln 13 que : φ x β x β E (y /y >0 )=x β + = x β + λ Φ xβ (1.11) où λ (x) =φ (x) /Φ (x) désgne le rato de Mll. Dans ce cas encore, l estmateur des MCO est donc basé et le bas peut être postf et négatf : E βy>0 y = x >0 E (y /y >0 ) y = β + σ x >0 λ (x β/ ) ε (1.1) y >0 x y >0 x Envsageons à présent le cas où les varables x sont dstrbuées selon une lo normale. On se place alors dans le cadre des hypothèses de Goldberger (1981) décrtes à la secton précédente. On suppose que les varables explcatves x sont dstrbuées selon une lo normale N (0, Ω) avec cov ε x (k) =0, k =1,.., K. Sous ces hypothèses, Goldberger obtent le résultat suvant : Proposton 1.3. Sous les hypothèses de Goldberger (1981), l estmateur β y>0 des Mondres Carrés Ordnares obtenu sur les seules observatons (x,y ) pour lesquelles y > 0 vérfe : βy>0 p 1 γ N 1 ρ β (1.13) γ les paramètres γ et ρ étant respectvement défns par : γ = 1 α λ σ y σ y α + σ y λ α σ y (1.14) ρ = 1 σ β Ωβ (1.15) y où α correspond à la constante de l équaton y = α + x β + ε et où σ y = σ ε + β Ωβ, avec Ω matrce de varance covarance des varables explcatves x. La démonstraton de cette proposton fgure dans Goldberger (1981). On peut montrer que les paramètres γ et ρ vérfent : 0 γ 1 0 ρ 1 Dés lors, de façon générale on montre que l estmateur des MCO applqué aux seules observatons y > 0 sous estme l ensemble des composantes du vecteur β. plm β y>0 β (1.16) N Une des conséquences remarquable de cette proposton est la suvante : Remark. Sous l hypothèse de normalté des varables x, ledegrédesousestmaton est totalement unforme pour tous les éléments de β. 1 β (k) plm N β (k) y>0 = ξ k =1,..,K (1.17)

14 Econométre des Varables Qualtatves. Cours C. Hurln 14 Ans le bas affecte de façon symétrque l ensemble des paramètres estmés. Ce résultat n est plus valable dès lors que l on lève l hypothèse de normalté. *** Détermner le cas partculer où l estmateur β y>0 n est pas basé c est à dre lorsque α α γ = σ 1 y λ α + σ y λ = α α λ + λ =1 σ y ασy σ y ****************************************************** *** Insérer Smulatons Bas + Graphque pour le cas partculer ** ****************************************************** σ y σ y 1.. Estmaton par la méthode en deux étapes : Heckman (1976) Pusque la méthode des Mondres Carrés Ordnares ne peut condure qu à des estmatons basées des paramètres dans le cas d un modèle Tobt smple, sauf dans des cas très partculers, dfférentes méthodes d estmaton alternatves ont été proposées. La méthode d estmaton qu est la plus utlsée aujourd hu est celle du maxmum de vrasemblance (Goldberger 1981, Olsen 1978). Toutefos cette méthode est relatvement gourmande en termes de capactés de calcul, notamment dans la phase d optmsaton. C est pourquo, dans les années 70, du fat des contrantes nformatques, d autres méthodes d estmaton ont souvent été prvlégées parce qu elles nécesstaent mons de capactés de calcul : tel est le cas de la méthode d estmaton en deux étapes d Heckman (1976). Heckman (1976), suvant une suggeston de Gronau (1974), propose un estmateur en deux étapes dans un modèle Tobt généralsé à deux équatons (modèle que nous aborderons dans les sectons suvantes). Cet estmateur peut auss être utlsé pour estmer les paramètres d un modèle Tobt smple ou modèle Tobt de type I. Pour comprendre cette méthode, consdérons la formule de l espérance condtonnelle de y sachant que y > 0 : x β E (y /y >0 )=x β + λ (1.18) où λ (x) =φ (x) /Φ (x) désgne le rato de Mll. Ans, l espérance condtonnelle de y sachant y > 0 peut être décomposée en une composante lnéare en β etunecomposantenonlnéareen β. Consdérons à présent la parte quanttatve du modèle Tobt, c est à dre celle qu correspond à l observaton de y > 0. Pour ces observatons on a une relaton du type : y = E (y /y >0 )+v où v est de moyenne nulle. On remplace alors l espérance condtonnelle par son expresson, et l on obtent la relaton suvante. Proposton 1.4. Le modèle Tobt smple, pour y > 0, peut être représenté par la régresson non lnéare hétéroscédastque suvante : avec δ = β/ et v = y E (y /y >0 ) et E (v )=0et y = x β + λ (x δ)+v (1.19) Var(v )=σ ε σ εx δλ (x δ) σ ελ (x δ) (1.0)

15 Econométre des Varables Qualtatves. Cours C. Hurln 15 Ans, pour estmer les paramètres β, l sufft de consdérer la régresson non lnéare (1.19) et d en dédure un estmateur β H àpartrdesn 1 observatons pour lesquelles y > 0. La seule dffculté provenant de l hétéroscédastcté des perturbatons v, pusque Var(v ) dépend des caractérstques x va le rato de Mll λ (x δ) et drectement dans l expresson x δλ(x δ). Telle est l dée de la procédure d Heckman. Proposton 1.5. étapes : La procédure d estmaton d Heckman (1976) comporte deux 1. Etape 1 : Estmer le rato δ = β/ àpartrdumodèleprobt dchotomque suvant par une méthode de maxmum de vrasemblance 1 z = 0 s y > 0 snon =1,..N (1.1) avec Prob(z =1)=Φ (x β/ )=Φ (x δ). Sot δ l estmateur du MV de δ.. Etape : Régresser y sur x et λ x δ par une méthode de Mondres Carrés en ne consdérant unquement les N 1 valeurs postves de y y = x βh + λ x δ + v (1.) On note alors γ H = ans obtenu. β H l estmateur des paramètres du modèle Tobt En effet sous la forme (1.19), le modèle quanttatf apparaît comme un modèle lnéare en β et. Réécrvons le modèle sous forme vectorelle pour dérver les los asymptotques. On pose Z = X λ où X désgne la matrce de dmenson (N 1,K) dont les lgnes correspondent aux vecteur de varables explcatves x pour lesquelles y > 0 et où λ désgne un vecteur de dmenson (N 1, 1) dont le jème élément est donné par l estmateur du rato de Mll λ x j δ. Sot γ = β le vecteur des K +1paramètres à estmer. Le modèle (1.19) s écrt alors sous la forme : y = Zγ + w (1.3) où y désgne le vecteur des N 1 observatons de y pour lesquelles y w =(w 1...w N1 ) sont tels que : w = v + η = v + λ (x δ) λ x δ > 0 et où les résdus (1.4) Le résdu se décompose ans en la somme du résdu v de la représentaton (1.19) et d un terme provenant de l erreur d estmaton du paramètre δ = β/ dans la phase n 1 d estmaton du probt. L estmateur de Heckman en deux étapes est alors défn par : 1 γ H = Z Z Z y Amemya (1983) établt alors lé résultat suvant en ce qu concerne la dstrbuton asymptotque de γ H (cas partculer de Heckman 1979) :

16 Econométre des Varables Qualtatves. Cours C. Hurln 16 Proposton 1.6. L estmateur en deux étapes de Heckman (1976) est asymptotquement normalement dstrbué : N 1 p 1 (γ H γ) N (0,V γ) (1.5) N où N 1 désgne le nombre d observatons telles que y > 0, avec V γ = σ ε (Z Z) 1 Z Σ + σ ε (I Σ) X (X D 1 X) 1 X (I Σ) Z (Z Z) 1 (1.6) Il faut noter que dans cette expresson de V γ, la seconde matrce dans les crochets provent du fat que le rato de Mll λ a du être estmé dans une premère étape. S la valeur de ce rato état connu, la matrce de varance covarance asymptotque devendrat smplement : V γ = σ ε (Z Z) 1 Z ΣZ (Z Z) 1 Au delà de ces résultats, on vérfe quel estmateur de Heckman en deux étapes est asymptotquement convergent : p γ H γ (1.7) N 1 On dspose ans d un estmateur convergent et qu ne nécesste dans la premère étape que l utlsaton d un estmateur du maxmum de vrasemblance pour un probt smple. Cet estmateur représente donc un gan de capactés de calculs par rapport à l estmateur du maxmum de vrasemblance applqué drectement au modèle Tobt. Remarquons toutefos, que cet estmateur est basé à dstance fneenrason delacorrélatonentrelaperturbaton w = η + v et la varable explcatve λ x δ Estmaton par le Maxmum de Vrasemblance La procédure d estmaton la plus utlsée aujourd hu est celle du maxmum de vrasemblance. En effet, les capactés nformatques sont désormas suffsantes pour envsager l optmsaton des fonctons de vrasemblance assocées drectement aux modèles Tobt et non plus unquement aux probt dchotomques comme dans le cas de la procédure d Heckman (1976). Commençons par défnr la log-vrasemblance assocée au modèle Tobt smple : y y = 0 s y = x β + ε > 0 snon =1,..N avec x = x 1..xK, =1,.., N, β =(β1...β K ) R K et où les perturbatons ε sont dstrbués selon une lo N 0, σε Log Vrasemblance dans un modèle Tobt smple Consdérons un échantllon de N observatons y,notéy =(y 1,.., y N ). Lavrasemblancedece modèle est défne par : L y, β, σ x β 1 y x β ε = 1 Φ φ (1.8) : y =0 : y >0 En effet,onsatquesl ondéfnt une varable dchotomque probt z telle que 1 s y z = = x β + ε > 0 =1,..N (1.9) 0 snon

17 Econométre des Varables Qualtatves. Cours C. Hurln 17 alors on peut écrre la probablté que la varable y prenne des valeurs postves sous la forme Prob(z =1) = Prob(ε / <x β/ )=Φ (x β/ ). Par conséquent, la probablté que y prenne une valeur nulle s écrt comme la probablté complémentare : x β Prob(y =0)=Prob(z =0)=1 Φ Ce qu explque le terme du premer produt de la foncton de vrasemblance (1.8). Le second terme de cette expresson correspond tout smplement au produt des los margnales des varables y postves. On sat que s y > 0, on a part défnton y = y = x β + ε où les perturbatons ε sont dstrbués selon une lo N 0, σε. On en dédut que les varables y sont dstrbuées selon une lo normale N x β, σε. Ans, la lo margnale d une observaton y postve est défne par la quantté : 1 exp 1 y x β 1 y x β = φ π où φ (.) désgne la foncton de densté assocée à lo normale centrée rédute. On en dédut l écrture de la log-vrasemblance : Proposton 1.7. La log-vrasemblance concentrée assocée à un échantllon y = (y 1,.., y N ) dans un modèle Tobt smple s écrt : log L y, β, σ x β ε = log 1 Φ N 1 σ : y ε log σ 1 ε σ (y x β) (1.30) =0 ε : y >0 où N 1 désgne le nombre d observatons pour lesquelles y > 0. En effet, on sat que la log-vrasemblance est défne par : log L y, β, σ ε = x β log 1 Φ + 1 log : y =0 = : y =0 = : y =0 = : y =0 log 1 Φ log 1 Φ log 1 Φ x β x β x β : y >0 : y >0 φ log ( )+ N 1 log ( )+ y x β : y >0 : y >0 N 1 log ( ) 1 σ ε y x β log φ 1 log e (y x β) σ ε π : y >0 (y x β) N 1 log (π) En omettant les termes constants (log-vrasemblance concentrée), l vent : log L y, β, σ x β ε = log 1 Φ N 1 log ( ) 1 σ : y ε σ (y x β) =0 ε : y >0 Sachant que N 1 log ( )=(N 1 /) log σ ε, on retrouve l expresson (1.30) de la foncton de log vrasemblance. On en dédut alors l expresson des dérvées premères par rapport à β et à σ ε :

18 Econométre des Varables Qualtatves. Cours C. Hurln 18 Defnton 1.8. Dans le cas d un modèle Tobt, le gradent assocé à la log-vrasemblance s écrt sous la forme suvante : log L y, β, σ ε = 1 φ x β x β : y =0 1 Φ xβ log L y, β, σ ε σ = 1 ε σ 3 ε : y =0 x βφ 1 Φ x β xβ + 1 σ ε N 1 σ + 1 ε σ 4 ε : y >0 : y >0 (y x β) x (1.31) (y x β) (1.3) Amemya (1973) démontre que l estmateur γ = β σε dumaxmumdevrasemblance satsfasant : γ =argmax [log L (y, γ)] = arg max log L y, β, σ ε (1.33) {γ} {β, } est convergent et asymptotquement dstrbué selon une lo normale de moyenne nulle et de varance égale à l nverse de la matrce d nformaton de Fscher : L N (γ γ0 ) N 0,I (γ 0 ) 1 (1.34) N avec log L (y, γ) I (γ) = E γ γ (1.35) γ=γ 0 où γ 0 désgne la vare valeur du vecteur de paramètres 3. Nous allons à présent proposer un changement de paramètre permettant d obtenr une expresson de la log-vrasemblance globalement concave, comme dans le cas des modèles logt et probt dchotomques Re-paramétrsaton d Olsen (1978) Nous avons montré que les estmateurs du maxmum de vrasemblance des paramètres d un modèle Tobt smple, notées respectvement β et, sont soluton du programme : max log L y, β, σ ε {β,} et vérfent donc par conséquent les condtons nécessares suvant, correspondant à l annulaton du vecteur gradent de la log-vrasemblance : log L y,β, σ ε = 1 φ x β x β σ β= β ε : y =0 1 Φ xβ + 1 y σ x β x =0 σ ε ε : y >0 log L y, β, σ ε σ ε σ ε =σ ε = 1 σ 3 ε : y =0 1 Φ φ x β x β x β N 1 σ + 1 ε σ 4 ε : y >0 y x β =0 Pour détermner les estmateurs β et, l convent donc de résoudre ce système de K + 1 équatons non lnéares. Comme dans le cas des modèles probt et logt, l n exste pas d expresson analytque des solutons de ce programme. La résoluton d un tel système ne peut 3 La formule de la matrce de varance covarance asympotoque des estmateurs du MVC dans la paramétrsaton (β, ) est donnée dans Amemya (1973).

19 Econométre des Varables Qualtatves. Cours C. Hurln 19 donc se fare qu en utlsant une procédure d optmsaton numérque. Nous avons vu dans le premer chaptre, que généralement on recours alors à des algorthmes d optmsaton fondés notamment sur la méthode du gradent (comme l algorthme de Newton Raphson par exemple). Amemya (1973) a démontré que la foncton de vrasemblance du modèle Tobt paramétrée en β et n est pas globalement concave. Cette proprété est alors partculèrement gênante pusque nous savons que les solutons des algorthmes d optmsaton numérque sont alors extrêmement sensbles au problème du chox des condtons ntales. S l exste des extrema locaux de la foncton à optmser, en l occurrence c la foncton de log-vrasemblance, l peut arrver que l algorthme converge vers ces extrema locaux. En effet, s l on utlse des condtons ntales dans l algorthme d optmsaton relatvement proches des extrema locaux de la foncton de log-vrasemblance, alors l y a des rsques que l algorthme d optmsaton s arrête en ces ponts pour lesquels le gradent est nul, mas qu ne maxmsent pas de façon globale la foncton de log-vrasemblance. On rsque alors d obtenr des estmateurs non convergents des vras paramètres du modèle Tobt, non pas en rason de mauvases proprétésdelaméthodeéconométrqueutlsée(maxmumdevrasemblance),massmplementen rason de la défallance de l algorthme d optmsaton numérque utlsé pour maxmser la logvrasemblance. Pluseurs solutons, non exclusves les unes des autres, peuvent être apportées à ce problème : 1. La premère soluton consste à modfer les valeurs des condtons ntales de l algorthmes d optmsaton 4 de sorte à vérfer la robustesse des estmatons obtenues à la modfcaton de ces valeurs. S le changement des valeurs ntales ne condut à aucune modfcaton des estmatons des paramètres, cela tend à montrer que l algorthme a convergé vers un extremum global. S en revanche, les estmatons sont modfées, cela prouve que la soluton précédente n état pas un extremum global de la foncton de vrasemblance. Mas se pose alors la queston de savor ce qu l en est pour les nouvelles estmatons obtenues? Correspondent elles à un extremum global de la foncton de la vrasemblance?. La deuxème soluton consste à vérfer la robustesse des estmatons au chox de l algorthme d optmsaton. Généralement, pluseurs algorthmes sont proposés sous les logcels usuels : smplex, Newton Raphson, Marquadt etc.. Ces algorthmes, fondées sur des méthodes dfférentes, n ont pas la même sensblté au chox des condtons ntales. Ans, s pour dfférents algorthmes, on obtent des estmatons relatvement proches, cela tend à prouver que ces estmatons correspondent au maxmum global de la foncton de log-vrasemblance. S, en revanche, on obtent des estmatons sensblement dfférentes pour dfférents algorthmes ayant convergés, cela tend à montrer que certans de ces algorthmes, pour les condtons ntales posées, ne permettent pas d dentfer le maxmum global de la vrasemblance. La queston qu se pose est alors de savor quel algorthme dot être prvlégé en foncton du problème posé? 3. La trosème soluton proposée par Olsen (1978) consste à reparamétrser la foncton de vrasemblance de sorte à garantr sa concavté globale. Dès lors, on supprme le problème de la sensblté des solutons des algorthmes au chox des condtons ntales sur les paramètres pusqu l n exste qu un seul extremum global pour la foncton de logvrasemblance. Le chox des condtons ntales et de l algorthme n affecte alors que la 4 Sous Evexs, clquez pour cela sur l onglet optons dans la fenêtre d estmaton.

20 Econométre des Varables Qualtatves. Cours C. Hurln 0 vtesse de convergence des procédure d optmsaton, et ne dot pas théorquement affecter les résultats. La soluton d Olsen (1978) est ans partculèrement hable pusqu elle supprme le problème en reformulant la log-vrasemblance du modèle Tobt en des paramètres transformés θ = β/ et h = σ 1 ε de sorte à obtenr une nouvelle expresson de la log-vrasemblance re-paramétrée globalement concave. Proposton 1.9 (Olsen 1978). La log-vrasemblance d un modèle Tobt re-paramétrée en θ = β/ et h = σ 1 ε est globalement concave : log L (y, θ,h)= log [1 Φ (x θ)] + N 1 log (h) 1 (hy x θ) (1.36) : y =0 : y >0 où N 1 désgne le nombre d observatons pour lesquelles y > 0. Preuve : la matrce hessenne assocée à la log-vrasemblance log L (y, θ,h) s écrt sous la formesuvante: log L(y,θ,h) log L(y,θ,h) H (θ,h) (K+1,K+1) = θ θ θ h (1.37) log L(y,θ,h) h θ log L(y,θ,h) h Olsen (1978) démontre alors que la matrce hessenne H (θ,h) estégaleàlasommededeux matrces telles que : Ψ (θ,h) 0 H (θ,h)= + Γ = 0 N : y + >0 x x : y >0 x 1 y h : y >0 y x : y >0 y où le bloc Ψ (θ,h) de dmenson (K, K) est défn par :: Ψ (θ,h)= φ (x θ) x θ φ (x θ) x x 1 Φ (x θ) 1 Φ (x θ) : y =0 avec x θ φ (x θ)[1 Φ (x θ)] 1 < 0. En effet, on sat que la quantté φ (z)+zφ (z) correspond àlaprmtvedelafonctonφ (z) : φ (z)+zφ (z) = z Φ (t) dt > z z R On en dédut que z R : φ (z) >z[1 Φ (z)] z φ (z)[1 Φ (z)] 1 < 0 Dès lors, pusque x x est une matrce défne postve, les deux matrces et Γ sont des matrces défnes négatves (cf annexe A.1) : dès lors, la matrce hessenne est égale à la somme de deux matrces défnes négatves, elle est donc défne négatve. La foncton de log-vrasemblance est donc globalement concave. Lorsque la log-vrasemblance est paramétrée en h et θ, le gradent s écrt sous la forme suvante :

21 Econométre des Varables Qualtatves. Cours C. Hurln 1 Defnton Le gradent assocé à la log-vrasemblance d un modèle Tobt reparamétrée en θ = β/ et h = σ 1 ε est : log L (y, θ,h) θ = : y =0 log L (y, θ,h) h φ (x θ) 1 Φ (x θ) x 1 = N 1 h 1 : y >0 : y >0 (hy x θ) x (1.38) (hy x θ) y (1.39) Compte tenu du résultat d Olsen, l est possble en utlsant des algorthmes d optmsaton usuels de détermner les estmateurs du maxmum de vrasemblance des paramètres transformés θ et h. Ces estmateurs sont solutons du programme suvant : θ h =maxlog L (y, θ,h) {θ,h} et vérfent naturellement les condtons nécessares suvantes : log L (y, θ,h) log L (y, θ,h) θ = θ= θ h =0 h= h On en dédut alors les estmateurs des paramètres du modèles Tobt orgnel pusque l on a θ = β/σε et h = σ 1 ε : = h β = θ σε (1.40) Lamatrcedevarancecovaranceasymptotquedesestmateurs et β se dédut alors de celle de θ et β, qu s exprme en foncton de la matrce hessenne H θ, h selon les formules usuelles Applcaton Consdérons tout d abord une applcaton sur données smulées qu nous permettra par la sute d évaluer la portée des bas. On smule un échantllon de 1000 ponts satsfasant les proprétés suvantes : y = y 0 s y = α + βx + ε > 0 snon =1,..N avec x R, =1,..,N, pour une talle d échantllon N = 1000 et où les perturbatons ε sont dstrbués selon une lo N 0, σ ε. On pose la valeur suvante des paramètres : α =1 β =0.8 σ ε =1 On suppose c que la varable explcatve x satsfat l hypothèse de Goldberger (1981) : la varable explcatve x est dstrbuée selon une lo normale N (0, Ω), avec Ω =1, et est ndépendante du résdu, cov (ε x )=0. Le programme permettant de smuler la sére observable y est fourn en annexe (A.). Commençons par estmer les paramètres α, β et σ ε par une méthodedemaxmsatondelavrasemblancestandard. Les résultats sont représentés dans la fgure (1.) : Evews ndque tout d abord que l échantllon smulé comporte 781 observatons pour lesquelles y > 0 et 19 observatons censurées à gauche, c est à dre pour lesquels y =0. On vérfe tout d abord que l algorthme d optmsaton numérque de la maxmsaton de la vrasemblance a convergé après 5 tératons.. Compte tenu de la talle d échantllon N relatvement mportante,

22 Econométre des Varables Qualtatves. Cours C. Hurln Fgure 1.: Estmaton Modèle Tobt Smple par Maxmum de Vrasemblance les réalsatons des estmateurs α =0.965 et β =0.793 sont très proches des vraes valeurs α =1 et β =0.8. Evews fournt en outre un estmaton de la varance résduelle, comme tenu de la dstrbuton chose (en l occurrence une lo normale dans le cas d un modèle Tobt smple) : la réalsaton de l estmateur σ ε est alors égale à 0.97, valeur relatvement proche de la vrae valeur de la varance σ ε =1. Les z statstques correspondant aux tests de nullté des paramètres nous permettent de rejeter l hypothèse nulle au seul de 5% pour les tros paramètres α, β et σ ε. Comparons la réalsaton de ces estmateurs du maxmum de vrasemblance à celles obtenues par les estmateurs des MCO applqués à l échantllon complet, notés α LS, β LS et σ ε,ls reportés sur la fgure (1.3). On vérfe que l estmaton par les MCO sur les 1000 ponts des paramètres α et β donne des résultats largement mons bons que ceux obtenus par maxmum de vrasemblance, pusque nous avons vu précédemment que ces estmateurs sont basés. En effet pour une vrae valeur β =0.8, la réalsaton de l estmateur des MCO est, dans notre expérence, de Nous avons vu que sous l hypothèse de normalté des varables x (hypothèse de Goldberger 1981), l estmateur des MCO du paramètre β vérfe : p α β LS β Φ (1.41) N Dans le cas de notre expérence, sachant que α =1et que : σ y = σ ε + β Ωβ = σ ε + β Ω = =1. 64 σ y

23 Econométre des Varables Qualtatves. Cours C. Hurln 3 Fgure 1.3: Estmaton par les MCO sur l échantllon complet on en dédut que β LS p Φ =0.8 Φ ( ) = N 1.64 Ans, on sat que théorquement l estmateur β LS converge en probablté vers la valeur On vérfe en effet sur la fgure (1.3), pour une talle d échantllon N = 1000 relatvement mportante, que la réalsaton de β LS =0.653 est très proche de cette valeur asymptotque. Nous avons vu en outre, toujours sous l hypothèse de normalté des varables explcatves x, que l estmateur des MCO corrgé β c LS =(N/N 1 ) β LS est convergent : β c LS = N N p β LS β 1 N Dans le cas de notre smulaton, la réalsaton de cette estmateur vaut : β c LS = N β N LS = = Cette réalsaton est en effet très proche de la vrae valeur β =0.8. On remarque que pour notre échantllon smulé, la réalsaton de l estmateur des MCO corrgé est plus proche de la vrae valeur que l estmateur du MV. ********************** **** 1 ) Fare estmaton MCO sur parte postve de la dstrbuton **** ) Introdure N smulatons sur β LS, β c LS, β y>0, β MV et β Hec en contrôlant le pourcentage de données censurées : Matlab **** 3 ) Répartr les applcatons Evews ou Lmdep sur les dfférentes sectons? ********************** 1.5. Effets margnaux Supposons que l on dspose d un estmateur convergent β des paramètres β et d un estmateur convergent σ ε de la varance des résdus. On cherche à mesurer les effets margnaux.

24 Econométre des Varables Qualtatves. Cours C. Hurln 4 Defnton Les effets margnaux dans un modèle de régresson censuré correspondent à la déformaton des prévsons sur une varable contnue engendrée par une varaton d une unté d une des varables explcatves. Il y alors pluseurs prévsons possble dans le cas du modèle Tobt suvant que l on s ntéresse àlavarablecensuréey ou à la varable latente y. En effet, tros cas peuvent apparaître : 1. Sot l on consdère la prévson sur la varable latente représentée par l espérance condtonnelle =1,.., N : E (y / x )=x β (1.4). Sot l on consdère la prévson sur la varable dépendante représentée par l espérance condtonnelle =1,.., N : x β x β E (y / x )=Φ x β + φ (1.43) 3. Sot l on consdère la prévson sur la varable dépendante censurée représentée par l espérance condtonnelle =1,.., N : E (y / x,y > 0) = E (y / x,,y x β > 0) = x β + λ (1.44) On peut ans détermner dfférents effets margnaux suvant que l on consdère l une ou l autre de ces prévsons. Tout d abord s l on consdère la prévson sur la varable latente, on obtent tout smplement un effet margnal mesuré par la dérvé partelle de l espérance condtonnelle E (y / x ) par rapport à une composante quelconque du vecteur des varables explcatves x. Defnton 1.1. L effet margnal d une varaton untare de la kème varable explcatve x (k), k =1,.., K, sur la prévson de la varable latente y est mesuré par la quantté : E (y / x ) = β (k) =1,.., N (1.45) x (k) ou par l élastcté ε y : /x [k] ε y /x [k] = E (y / x ) x (k) x (k) β (k) E (y / x ) = x(k) x β =1,.., N (1.46) Ans, une varaton de 1% de la kème varable explcatve x (k) la prévson de la varable latente y alors calculer une élastcté moyenne ε y /x [k] ε y /x [k] = 1 N pour le ème ndvdu, modfe pour ce même ndvdu de ε y pour cent. On peut /x [k] sur l ensemble des N ndvdus telle que : N =1 ε y /x [k] = 1 N N Consdérons à présent la prévson sur la varable dépendante non censurée. De la même façon, l effet margnal est mesuré par la dérvé partelle de l espérance condtonnelle E (y / x ) par rapport à une composante quelconque du vecteur des varables explcatves x. =1 x (k) β (k) x β

25 Econométre des Varables Qualtatves. Cours C. Hurln 5 Defnton L effet margnal d une varaton untare de la kème varable explcatve x (k), k =1,.., K, sur la prévson de la varable dépendante y est mesuré par la quantté : E (y / x ) x β = Φ β (k) =1,..,N (1.47) x (k) ou par l élastcté ε y/x : [k] ε y/x [k] = E (y / x ) x (k) x (k) x (k) β (k) E (y / x ) = x β + λ x β =1,.., N (1.48) Preuve : A partr de l espérance condtonnelle E (y / x ) détermnons l effet margnal assocé à x (k). E (y / x ) x (k) = = Φ x (k) Φ x β x (k) x β x β x β + φ = β (k) Φ xβ S l on pose z = x β/, on obtent : E (y / x ) x (k) β (k) x β + Φ x (k) = β (k) x β Φ (z) x (k) x β φ x β β (k) + x β + Φ z + φ(z) x (k) φ + x (k) xβ x (k) + Φ (z) Or, on sat que la quantté φ (z)+zφ (z) correspond à la prmtve de la foncton Φ (z) : φ (z)+zφ (z) = z Φ (t) dt z R Dès lors, par dérvaton par rapport à une composante z (k) on obtent : φ(z) z (k) [zφ (z)] + = Φ (z) z (k) φ(z) z Φ (z) + Φ (z)+z = z Φ (z) z (k) z (k) z (k) z (k) φ(z) Φ (z) + z =0 z (k) z (k) Ans, on obtent fnalement que : E (y / x ) = β (k) Φ (z) =β (k) x β Φ x (k) En ce qu concerne l élastcté ε y/x [k] suvante : β (k) x (k) ε y /x [k] x β = Φ = 1 x β + λ β (k) on montre que celle-c est défne par la quantté Φ xβ x (k) x β β (k) x β + φ xβ

26 Econométre des Varables Qualtatves. Cours C. Hurln 6 Ans, une varaton de 1% de la kème varable explcatve x (k) pour le ème ndvdu, modfe pour cent. On peut sur l ensemble des N ndvdus telle que : = 1 N x (k) β (k) N =1 x β + λ x β >. la prévson de la varable dépendante y pour ce même ndvdu de ε y/x [k] alors calculer une élastcté moyenne ε y /x [k] ε y/x [k] = 1 N N =1 De façon générale, on montre que ε y/x [k] ε y /x [k] ε y/x [k] McDonald et Mofft (1980) ont proposé une décomposton partculèrement ntéressante de l effet margnal assocé à la prévson sur la varable dépendante y. Cette décomposton est la suvante : E (y / x ) x (k) x β = Φ β (k) 1 λ x β x β x β + λ +β (k) x β x β x β φ + λ Dès lors, l effet margnal d une varaton untare de la kème varable explcatve x (k), k = 1,..,K, sur la prévson de la varable dépendante y peut se décomposer comme la somme de deux éléments : Remark 3. La varaton de x (k) adeuxeffets sur la prévson de la varable dépendante y représentés par la décomposton de McDonald et Mofft (1980): E (y / x ) x (k) = Prob(y > 0) E (y / x,y >0 ) x (k) + E (y / x,y >0 ) Prob(y > 0) x (k) 1. D une part, la varaton de x (k) modfe l espérance condtonnelle de y dans la parte postve de la dstrbuton.. D autre part, la varaton de x (k) affecte la probablté que l observaton y appartenne à cette parte de la dstrbuton. Au passage, cette décomposton nous donne la 3ème mesure de l effet margnal : celle relatve à la prévson de la varable dépendante sur la parte postve de la dstrbuton : E (y / x,y >0 ) = β (k) x β x β x β 1 λ x (k) + λ où λ (x) =φ (x) /Φ (x) désgne le rato de Mll. ************* Applcaton : construre les dfférentes EM et commentez (exemple éco) Utlser la smulaton ou Utlser exemple Eco : 1. calculer EM1 et élastcté sur y. calculer EM et élastcté sur y 3. Décomposer EM par McDonald et Mofft *************