Correction du devoir surveillé de mathématiques n o 5

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1 Correctio du devoir surveillé de mathématiques o 5 Exercice 1 1. Soit g la foctio défiie sur R par g(x) = (x 1)e x. (a) Détermier les ites de g e et +. Limite e. O a ue forme idétermiée. E développat, g(x) = xe x e x. x xex = 0, et x ex = 0. Par somme, g(x) = 0. x Limite e +. (x 1) = +, et x + x + ex = +. Par produit, g(x) = +. x + (b) Dresser le tableau de variatios de g. Justifier. Les foctios x x 1 et exp sot dérivables sur R. Par produit de foctios dérivables, g est dérivable sur R. O rappelle la formule de dérivée d u produit : Pour tout x R, (u v) = u v +uv g (x) = 1e x +(x 1)e x = (1+x 1)e x = xe x Comme pour tout x R, e x > 0, g (x) a le même sige que x. La valeur clé est x = 0. x 0 + g (x) g(x) 1 + g(0) = (0 1)e 0 = 1. (c) Justifier que l équatio g(x) = 1 admet ue uique solutio α sur R. D après les variatios de g, l équatio g(x) = 1 a pas de solutio sur ] ;0]. Sur l itervalle [0; + [, g est cotiue (car dérivable), g est strictemet croissate (car g > 0 pour x > 0 et g (0) = 0), g(0) = 1 < 1 et g(x) = +. x + D après le corollaire du théorème des valeurs itermédiaires, l équatio g(x) = 1 admet ue uique solutio α sur [0;+ [. Comme cette équatio a pas de solutio sur ] ;0], α est l uique solutio sur R. (d) À l aide de la calculatrice, doer ue valeur approchée de α à 10 près. O obtiet 1,7 < α < 1,8. E arrodissat à 10 par défaut, α 1,7.. Ocosidèrelafoctiof défiiesurrparf(x) = (x )e x.oote C sacourbereprésetative.

2 (a) Détermier les coordoées du poit e lequel la tagete à C est parallèle à l axe des abscisses. f (a) est le coefficiet directeur de la tagete e a. La tagete e a est parallèle à l axe des abscisses si et seulemet si f (a) = 0. f est dérivable sur R par produit de foctios dérivables. f (x) = 1e x +(x )e x = (x 1)e x e x > 0 pour tout x R. Doc f (x) = 0 si et seulemet si x 1 = 0, soit x = 1. f(1) = (1 )e 1 = e. La tagete à C est parallèle à l axe des abscisses au poit A(1; e). (b) Justifier que C admet ue uique tagete T parallèle à la droite d équatio y = x et préciser l abscisse du poit de C correspodat. La tagete au poit d abscisse a est parallèle à la droite d équatio y = x ssi elles ot le même coefficiet directeur, ce qui reviet à f (a) = 1. E remarquat que f = g, d après la questio 1(d), l équatio g(x) = 1 admet ue uique solutio qui est α. C admet ue uique tagete T parallèle à la droite d équatio y = x, T est la tagete au poit d abscisse α 1,7. Exercice 1. La température (e C), de refroidissemet d u objet fabriqué idustriellemet est ue foctio f du temps t, e heures, défiie sur [0;+ [ par f(t) = 00e t +0 O ote C sa courbe représetative das u repère orthogoal (o pourra predre cm pour 1h e abscisses, et 1 cm pour 0 C e ordoées). (a) Étudier les variatios de la foctio f sur [0;+ [, et dresser so tableau de variatio. Limite e +. t t + =. X ex = 0. Par composée, t + e t = 0. Par produit et somme, f(t) = = 0. t + Image de 0. f(0) = 00e 0 +0 = 00+0 = 0. Dérivée et variatios. t t t est dérivable sur R, par composée, t e est dérivable sur R. Doc f est dérivable sur R, et doc sur [0;+ [. O rappelle que pour ue foctio u dérivable, (e u ) = u e u.

3 Pour tout t 0, ( f (t) = 00 1 t )e t = 100e < 0 E effet, ue expoetielle est toujours strictemet positive. Doc f est strictemet décroissate sur [0; + [. (b) Tracer C sur [0;7]. t 0 + f (t) f(t) C (c) Lire graphiquemet ue valeur approchée, à l heure près, de l istat où la température de l objet est de 50 C. O laissera les traits de costructio. f(t) = 50 pour t 3,8. E arrodissat à l heure près, la température de l objet est de 50 C au bout de 4 heures eviro.. Pour tout N, o pose d = f() f(+1). d représete la dimiutio de température etre l heure et l heure +1.

4 (a) Exprimer d e foctio de et motrer que 1 d = 00 1 e e. d = f() f(+1) +1 = 00e +0 00e = 00 e e 1 = 00 e e e 1 = 00 1 e e (b) Justifier que la suite (d ) est décroissate et qu elle coverge 0. Ses de variatio 1 Comme 1 e > 0, il est clair que d > 0. O étudie le rapport d +1 d (à comparer à 1). d +1 d Doc la suite (d ) est décroissate. Limite + =. X ex = 0. Par composée, e = 0. Par produit, d = = e e +1 = e = e 1 0,6 < 1 e (c) Écrire u algorithme qui détermiera la plus petite valeur 0 du ombre etier à partir de laquelle la dimiutio de température sera iférieure à 1 C. Comme la suite est (d ) est décroissate, il suffit de détermier le plus petit etier tel que d 1. Il est clair que cet etier existe car (d ) ted vers d 0 = 00 1 e e 0 = 00 1 e.

5 Algorithme : Début N pred la valeur 0 1 D pred la valeur 00 1 e. Fi Tat que D > 1, N pred la valeur N +1 1 N D pred la valeur 00 1 e e Fi Tat que. Afficher N. (d) Détermier 0 à l aide de la calculatrice. O obtiet 0 = 9. La baisse de température d ue heure à la suivate deviet iférieure à 1 C à partir de 9 heures.

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