Feuille d exercices 5

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1 Mathématiques Physique S3, 205/206 Uiversité Blaise Pascal Feuille d exercices 5 Ex.. Tracer le graphe des foctios périodiques suivates, doer leur développemet e série de Fourier et discuter la covergece de ce développemet. Utiliser les développemets obteus pour trouver la valeur des séries proposées. Ex. 2. Vérifier si les séries suivates sot alterées, et si elles sot absolumet ou simplemet covergetes. exp a avec a > 0 ; + 2 ; Ex ; 4 2 ; log2+ si ; ; si+.. La série l+ est-elle alterée? absolumet covergete? covergete? 2. Calculer les sommes partielles de cette série. Retrouver sa ature covergete ou divergete et calculer évetuellemet sa somme. Ex. 4. Soit u, si pair, 2, sio.. La suite u est-elle décroissate? 2. Soit v u 2 + u 2+. Établir ue relatio etre S v et S 2+ u, où S v est la somme partielle de v, et S u celle de u. 3. Vérifier que la série v diverge. E déduire la ature de la série u. Ex. 5. Soit x > 0. O veut étudier la série + x.. Pour quelles valeurs de x cette série est-elle covergete? Absolumet covergete? Répose: Notos u x. Suivat le critère de d Alembert, o calcule u + u + x x lorsque. O e déduit que la série est absolumet covergete pour x <.

2 Pour x, la série est la série harmoique alterée, qui coverge. Plus précisemet, les u sot décroissats et tedet vers 0, doc par le critère pour les séries alterées, elle coverge. Par cotre, u diverge, doc la série est pas absolumet covergete e x. Pour x >, u 0, doc la série est pas covergete. 2. Soit x, S x la somme partielle de cette série et Sx la limite de S x. Trouver N tel que N S x Sx 0.0. Répose: La série est. Elle est alterée est les u décroisset vers 0. D après u théorème du cours S S u + +. Doc il suffit de predre N 99 tel que N+ 0, 0. Ex. 6. Détermier la ature des séries suivates : l ; cosπ 2 + ; 2 e ; cos ; + + ; + 2 ; + l.

3 Exercices supplémetaires Ex. 7. O compare la série harmoique alterée , +... avec qui cotiet les mêmes termes mais das u ordre différet. Motrer que ces deux séries coverget. État doé que + log 2, trouver la somme de l autre série. Répose: La série harmoique alterée coverge parce qu elle vérifie les coditios du théorème du cours sur les séries alterées covergetes. O saute les détails ici, mais il les faudrait pour u répose e exame. E ce qui cocere la réorgaisatio de la série, o pose v Alors, v. Vu que 8 2 <, alors la séries 8 2 v est égalemet covergete. Les termes de la série de la questio tedet vers zéro, mais NB ils e sot pas décroissates e valeur absolue. O démotre que les sommes partielles tedet vers la même limite que les sommes partielles de v, doc la série est covergete. O calcule v k 2k k log 2. 2 Ex. 8. Soit u et v +.. Étudier la covergece des séries de terme gééral u et w u v. Répose: Les u décroisset vers zéro calculs sautés ici, doc la série alterée u coverge. Pour w o calcule w + +. O e déduit que w les termes état tous positifs, doc la série w est de même ature que, ce qui diverge. 2. E déduire la ature de la série de terme gééral v.

4 Répose: La série v diverge. Effectivemet les sommes partielles de trois séries verifiet S v S u S w. Or les S u coverget et les S w diverge, doc la différece diverge. 3. Motrer que u v. Que peut-o e déduire? Répose: Avec u calcul, o motre que u lim. v O peut e déduire que, bie que l équivalece de deux suites positives u et v implique que les séries u et v sot de même ature, aucu théorème aalogue existe pour les séries altérées ou o-positives. Ex. 9. O veut détermier la ature de la série de terme gééral u l+.. Motrer que le sige de u est alteré, et que u 2 u 2+ l + ρ où ρ < 0. E déduire que u est pas décroissate. Répose: O a l + x > 0 if x > 0 ad l + x < 0 if x < 0. La sige de u est doc alterée. O calcule u 2 u 2+ l + + l 2 l l + ρ, où ρ < O e déduit que, u 2 u 2+ < 0, doc u est pqs décroissat. 2. Soit v u 2 + u 2+. Motrer que v coverge vers /2. E déduire que v, puis u, diverget.

5 Répose: Par les calculs précédets, oú v u 2 u 2+ l + ρ ρ Par u développemet limité : d oú v l + ρ 2, v 2. O e déduit que v et 2 sot de même ature, c est-á-dire elles sot divergetes. Aisi les somme partielles impaires de u diverget, doc u diverge.