Automates 1 Présentation

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1 Automates Présetatio Présetatio d u automate 2 Ue maière de désiger l automate de l exemple 3 Défiitio géérale 4 U exemple d automate 5 Mot costruit sur l alphabet C 6 L esemble de tous les mots das u alphabet 7 Le ouveau vocabulaire 8

2 2 Ceci est le graphe d u automate Présetatio d u automate Cet automate possède deux états otés et L état iitial de l automate L état iitial de l automate est l état E gééral c est le premier état que l o désige Etat accepté L'état est u état accepté, il est sigalé par u double etourage Etat refusé L état est u état refusé so etourage est simple L etrée de l automate est l état L alphabet L alphabet de cet automate est costitué par les caractères { ; } Le caractère fait passer de l état à l état et de l état à l état Par cotre le caractère a aucue actio sur u état Cet automate permet «d accepter» les codes biaires coteat u ombre pair de bits à Exemple de foctioemet («grosso modo») Caractère Etat A la fi du passage l automate est das l'état acceptat doc le code est accepté Bit Etat A la fi du passage l automate se trouve das l état qui est refusé doc le code est refusé

3 3 Ue maière de désiger l automate de l exemple L esemble des états C est l esemble E= {, } L état iitial C est l état particulier (c est le premier de la lite des états) L esemble des états acceptés C est l esemble A= { } ici il est composé d u seul état qui est aussi l état iitial, mais cette situatio est assez rare L alphabet de l automate C est l esemble C = {,}, les élémets de l alphabet sot appelés souvet «les caractères de l automate» ou les lettres de l automate La foctio de trasitio C est la foctio τ : E C E défiie de la maière suivate : La matrice de trasitio τ(,)=, τ(,)= τ(,)=, τ(,)= L automate peut être désigé par (E, C ; A, τ) = ({, },{,},{ }, τ)

4 4 Défiitio géérale U automate est défii par (E, C ; A, τ) avec les défiitios : E est u esemble fii appelé «esemble des états de l automate» das lequel o a choisi u élémet particulier appelé «l état iitial de l automate» et si e E o dit que «e» est u état de l automate Comme E état u esemble fii o peut uméroter ses élémets de à N, o les umérote de telle faço que soit le uméro de l état iitial L esemble C est fii et se omme l alphabet de l automate, ses élémets sot ommés «caractères» A est u sous esemble de E appelé esemble des états acceptés de l automate Ue applicatio τ : E C E est défiie et se omme «foctio de trasitio de l automate» La matrice de l automate O idetifie l esemble des états à l esemble des etiers{,, N}, désigat l état iitial E = {,, N} Remarque U esemble d etiers possède toujours u premier élémet qui peut être cosidéré comme l état iitial L esemble des caractères est idetifié à l esemble { x,, xp} ;C = { x,,xp} Par exemple C peut être l esemble des lettres de l alphabet usuel et : C = { x,,x26} avec:a = x,,x26 = z La matrice de l automate est la matrice à p coloes (le ombre des caractères) et liges (le ombre des états) telle que le terme situé sur la lige uméro i et sur la coloe uméro j soit l état τ ( i,x j) Le graphe de l automate C est le graphe dot les arcs sot les élémets de l esemble si ( u,xi,v) est u tel élémet alors τ ( u,xi ) = v E C E tel que U arc du graphe de l automate est doc de la forme ( u,a,v = τ(u,a)) où «u» représete u état et «a» u caractère a u v v = τ(u,a)

5 5 U exemple d automate Voici le graphe d'u automate ( E,C;A, τ ) (qui 'accepte que les trames où la parité du ombre de bits à u est la même que la parité du ombre de bits à zéro : voir plus loi) Esemble des états : E = {,2,3,4 } Etat iitial : Alphabet : C = {,} Etats acceptats : A = {,4} Foctio de trasitio τ : E C E τ (,) = 2, τ(,) = 3, τ(2,) =, τ(2,) = 4, τ(3,) = 4, τ(3,) =, τ(4,) = 3, τ(4,) = 2 La matrice de trasitio M =

6 6 Mot costruit sur l alphabet C Ue chaîe de caractères de logueur das l alphabet C est ue applicatio m :{,2,,} C O dit aussi «mot de logueur» das l alphabet C Si pour i =,2,, : m(i) = ai, m s'écrit souvet :aa2a D ue maière géérale, m s écrit : m ()m(2)m() Exemples C={ } A est u mot de logueur 8 sur l alphabet C B= {, }Ue trame de logueur est u mot de logueur sur l alphabet B Esemble des mots de logueur L esemble des mots de logueur sur l alphabet C est oté C Propriété (rappel) Si N est le ombre d élémets de C, le ombre d élémets de C est N Le ombre de mots de logueur costruits sur u alphabet costitué de N caractères est: N Par exemple le ombre de mots de logueur sur l'alphabet B = {,} est 2 Il existe u mot de logueur est appelé le mot sas lettres et il est oté ε Cette défiitio est ituitive pour l istat L esemble C est l esemble dot le seul élémet est le mot ε : C = { ε } Questio Quel doit être la logueur miimum des trames costruites sur l'alphabet B pour pouvoir coder les 26 lettres de l'alphabet? Répose l(26) = log2(26) = 4,7 47, il faut doc coder sur 5 bits l(2)

7 7 L esemble de tous les mots das u alphabet L esemble de tous les mots das l alphabet C (y compris le mot ε ) est oté C U élémet de C est simplemet appelé «mot das l alphabet C» Si m est u mot das l alphabet C, il existe u etier tel que m soit u mot de C O peut écrire C = U C = La cocatéatio des mots Si m et m sot deux mots das l alphabet C, o fabrique u ouveau mot oté mm das l alphabet C de la maière suivate : m :,, C m':,,' C mm' : { } { } {,, + ' } C m(i) si j mm'(i) = m'(i ) si + i ' Remarque O se red bie compte que si ε représete le mot sas lettres : εm = mε = m

8 8 Le ouveau vocabulaire Alphabet Alphabet de l automate Chaîe de caractères de logueur Caractères Cocatéatio des mots Esemble des états acceptés Esemble des états de l automate Etat acceptat Etat iitial de l automate Etat refusé Foctio de trasitio L état iitial de l automate Matrice de trasitio Mot de logueur

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