I Enoncés 1 1 EML III EML III EML III ESCP III ESCP III ESCP III ESCP III

Transcription

1 ECE R É Page /68 Table des matières I Eocés EML III 7 EML III EML III ESCP III ESCP III 7 6 ESCP III ESCP III ESCP III HEC III HEC III HEC III 99 4 EDHEC II Correctio 7 3 EML III EML III 6 5 EML III ESCP III ESCP III 3 8 ESCP III ESCP III ESCP III HEC III 49 HEC III HEC III EDHEC spicesagros.fr P Christia Siada

2 ECE R É Page /68 Première partie Eocés EML III 7 Partie etière et partie décimale d ue variable expoetielle, loi géométrique sur IN, loi de Beroulli, loi d u produit de variables discrètes, espérace, variace.. O cosidère l applicatiof : IR IR défiie pour tout ombre réelxpar : e x si x> f (x) si x Motrer que f est ue desité de probabilité. O cosidère ue variable aléatoire X admettat f pour desité.. O défiit la variable aléatoire discrètey à valeurs das IN de la faço suivate : l évéemet [Y ] est égal l évéemet [X< ]; pourtoutombreetierstrictemetpositif,l évéemet[y ]estégal àl évéemet[ X<+]. (a) Motrer, pour tout etier aturel :P([Y ]) e e. (b) Motrer que la variable aléatoire Y + suit ue loi géométrique dot o précisera le paramètre. (c) E déduire l espérace et la variace dey. 3. SoitU ue variable de Beroulli telle que : P([U ]) P([U ]) O suppose que les variables aléatoires U et Y sot idépedates. Soit la variable aléatoiret (U )Y, produit des variables aléatoires U ety. Aisi, T est ue variable aléatoire discrète à valeurs das Z, l esemble des etiers relatifs. (a) Motrer que la variable aléatoiret admet ue espéracee(t) et calculere(t). (b) Vérifier que T Y. E déduire que la variable aléatoire T admet ue variace V(T) et calculerv(t). (c) Pour tout ombre etier relatif, calculer la probabilitép([t ]). 4. Soit la variable aléatoiredx Y. O otef D la foctio de répartitio ded. (a) Justifier : t ],[, F D (t) et t [,[, F D (t) (b) Soitt [,[. Exprimer l évéemet [D t] à l aide des évéemets [ X +t], IN. (c) Pour tout ombre réelt [,[ et pour tout ombre etier aturel, calculer la probabilité P([ X +t]). (d) Motrer : t [,[, F D (t) e t e (e) Motrer qued est ue variable aléatoire à desité. Détermier ue desité ded. spicesagros.fr P Christia Siada

3 ECE R É Page 3/68 EML III 6 Loi ormale, foctio de répartitio d ue variable à desité, chagemet de variable à desité quadratique, espérace, variace, loi expoetielle, loi géométrique, moyee de variables géomériques, théorème de la limite cetrée. Partie A. SoitU ue variable aléatoire à desité suivat ue loi ormale d espérace ulle et de variace. (a) Rappeler ue desité deu. x e x dx est cover- (b) E utilisat la défiitio de la variace de U, motrer que l itégrale π gete et que x e x dx 4.. SoitF la foctio défiie sur IR par : x, F (x) x>, F (x) e x Motrer que la foctio F défiit ue foctio de répartitio de variable aléatoire dot o détermiera ue desité f. 3. Soit X ue variable aléatoire admettat f pour desité. π (a) Motrer quex admet ue espéracee(x) et quee(x). (b) Détermier, pour tout réel y, la probabilité P X y. O distiguera les cas y et y>. Partie B (c) Motrer que la variable aléatoirex suit ue loi expoetielle dot o précisera le paramètre. E déduire quex admet ue variacev(x) et calculerv(x).. SoitZ ue variable aléatoire suivat ue loi géométrique de paramètrep. Aisi, pour tout IN, P([Z ]) p( p). Rappeler la valeur de l espéracee(z) et celle de la variacev(z) de la variable aléatoirez.. Soiet uetiersupérieur ouégal à, etvariablesaléatoires idépedatesz,z,...,z, suivat toutesle loi géométriquedeparamètrep.ocosidère lavariablealéatoirem (Z +Z + +Z ). (a) Détermier l espéracemet l écart-typeσ dem. (b) Motrer que lim P([ M m σ ]) existe et exprimer sa valeur à l aide de e x dx. spicesagros.fr P Christia Siada

4 ECE R É Page 4/68 3 EML III 997 Lacers d u dé équilibré, loi d ue variable discrète (dimesio ), espérace, variace, loi coditioelle, loi d u couple, idépedace. O dispose d u dé équilibré à 6 faces et d ue pièce truquée telle que la probabilité d apparitio de pile soit égale àp,p ],[. O pourra oterq p. SoitN u etier aturel o ul fixé. O effectuen lacers du dé; siest le ombre de 6 obteus, o lace alorsfois la pièce. O défiit trois variables aléatoiresx,y,z de la maière suivate : Z idique le ombre de 6 obteus aux lacers du dé; X idique le ombre de piles obteus aux lacers de la pièce; Y idique le ombre de faces obteus aux lacers de la pièce. AisiX +Y Z et, siz pred la valeur, alorsx ety preet la valeur.. Préciser la loi dez, so espérace et sa variace.. Pour IN, IN, détermier la probabilité coditioellep [Z] ([X ]). O distiguera les cas et>. 3. Motrer, pour tout couple d etiers aturels (, ) : Si N alors P([X ] [Z ]) Si>N ou> alors P([X ] [Z ]) 4. Calculer la probabilitép([x ]). N p ( p) Motrer pour tout couple d etiers aturels (,) tel que N : N N N E déduire la loi dex. 6. Motrer que la variablex suit ue loi biomiale de paramètres Quelle est la loi de la variabley? N, p. 6 N 6 7. Est-ce que les variables aléatoiresx ety sot idépedates? Détermier la loi du couple (X,Y). spicesagros.fr P Christia Siada

5 ECE R É Page 5/68 4 ESCP III 3 Suite ifiie de tirages das ue ure à coteu variable, suite géométrique, probabilité coditioelle, suite récurrete d ordre deux à coefficiets variables. Soita,bdeux etiers aturels o uls etsleur somme. Ue ure cotiet iitialemet a boules oires et b boules blaches idiscerables au toucher. O effectue das cette ure ue suite ifiie de tirages au hasard d ue boule selo le protocole suivat : Si la boule tirée est blache, elle est remise das l ure; Si la boule tirée est oire, elle est remplacée das l ure par ue boule blache prise das ue réserve aexe. Avat chaque tirage, l ure cotiet doc toujours s boules. O désige par (Ω, B, P) u espace probabilisé qui modélise cette expériece et, pour tout etier aturelo ul, o ote : B l évéemet la-ième boule tirée est blache ; X la variable aléatoire désigat le ombre de boules blaches tirées au cours des premiers tirages; u l espérace de la variable aléatoirex, c est-à-direu E(X ).. Étude d u esemble de suites SoitAl esemble des suites (x ) de réels qui vérifiet : IN, sx + (s )x +b+ (a) Soitαetβ deux réels et (v ) la suite défiie par : IN, v α+β Détermier e foctio debet desles valeurs deαetβ pour que la suite (v ) appartiee àa. (b) Soit (x ) ue suite apparteat àa, (v ) la suite détermiée à la questio précédete et (y ) la suite défiie par : IN, y x v Motrer que la suite (y ) est ue suite géométrique et expliciter, pour tout etier aturel o ul,y puisx e foctio dex,b,set.. Expressio de la probabilité P (B + ) à l aide deu (a) Doer, e foctio debet des, les valeurs respectives de la probabilitép(b ) et du ombre u. (b) Calculer la probabilitép(b ) et vérifier l égalitép(b ) b+ u. s (c) Soit u etier aturel vérifiat a. Motrer que, pour tout etier de l itervalle [[,]], la probabilité coditioellep [X](B + ) est égale à b+. s E déduire l égalitép(b + ) b+ u. s (d) Soitu etier aturel vérifiat>a. Siest u etier de l itervalle [[, a ]], quel est l évéemet [X ]? Siest u etier de l itervalle [[ a,]], justifier l égalitép [X ](B + ) b+. s Motrer efi que l égalitép(b + ) b+ u est ecore vérifiée. s 3. Calcul des ombresu etp (B ) spicesagros.fr P Christia Siada

6 ECE R É Page 6/68 (a) Soit u etier aturel o ul. Établir, pour tout etier de l itervalle [[ + a,]], l égalité : P([X + ]) a + s P([X ])+ b+ + s P([X ]) Vérifier cette égalité pour +, a et pour tout etierde l itervalle[[, a ]]. (b) Calculer, pour tout etier aturelo ul,u + e foctio deu et de. E déduire que la suite (u ) appartiet à l esembleaétudié das la questio. (c) Doer, pour tout etier aturel o ul, les valeurs de u et de P(B + ) e foctio de b, s et. (d) Quelles sot les limites des suites (u ) et (P(B ))? spicesagros.fr P Christia Siada

7 ECE R É Page 7/68 5 ESCP III Probabilités discrètes das ue ure cotiet N boules dot N sot blaches et sot oires. Etude des variables aléatoires égale aux rag d apparitio des deux boules oires das u tirage sas remise. Somme des cubes, espace probabilisé, loi d u couple, lois margiales, comparaiso de lois, espérace, variace, covariace, loi uiforme discrète, mi, max, probabilité coditioelle. Prélimiaire Motrer, pour tout etier aturel o ul, l égalité : 3 (+) 4 SoitN u etier supérieur ou égal à. Ue ure cotietn boules dotn sot blaches etsotoires. Otire auhasard, successivemet et sas remise, lesn boules de cette ure. Les tirages état umérotés de àn, o otex la variable aléatoire égale au uméro du tirage qui a fouri, pour la premiére fois, ue boule oire etx la variable aléatoire égale au uméro du tirage qui a fouri, pour la deuxiéme fois, ue boule oire.. Préciser l espace probabilisé(ω, A, P) que l o peut utiliser pour modéliser cette expériece aléaoire.. Soitietj deux etiers de l itervale [[,N]]. Motrer que l o a : si j i N P([X i, X j]) N(N ) si i<j N 3. Détermier les lois de probabilité des variablesx etx. Ces variables sot-elles idépedates? 4. (a) Démotrer que la variablen+ X a même loi quex. (b) Détermier la loi de la variablex X et la comparer à celle dex. 5. À l aide des résultats de la questio 4 : (a) Calculer les espéracese(x ) ete(x ). (b) Motrer l égalité des variacesv(x ) etv(x ). (c) Établir la relatio :Cov(X,X ) V(X ) oùcov(x,x ) désige la covariace des variables X etx. 6. CalculerV(X ); e déduirev(x ) et Cov(X,X ). Das cette drière partie, N désige ecore u etier supérieur ou égal à deux. 7. O suppose que A et B sot deux variables aléatoires défiies sur le même espace probabilisé (Ω,A,P), idépedates, suivat la même loi uiforme sur l esemble{,,...,n) et o désige pardl évéemet : "A e pred pas la même valeur queb". (a) Motrer que la probabilité de l évéemetdest N N. (b) SoitY ety les variables aléatoires défiies par : Y mi(a,b) Y max(a,b) Calculer, pour tout couple (i,j) d élémets de {,,...,N}, la probabilité coditioelle P D ([Y i, Y j]). spicesagros.fr P Christia Siada

8 ECE R É Page 8/68 6 ESCP III 999 Suite de variables de Beroulli idépedates, probabilité coditioelle, loi d u produit de variables de Beroulli, covariace, idépedace, probabilité coditioelle, espérace coditioelle. Ue chaîe de fabricatio produit des objets dot certais peuvet être défectueux. Pour modéliser ce processus o cosidère ue suite(x ) de variables aléatoires de Beroulli idépedates, de paramètre p, ( < p < ). La variable aléatoire X pred la valeur si le ième objet produit est défectueux et pred la valeur s il est de boe qualité. Pour cotrôler la qualité des objets produits, o effectue des prélèvemets aléatoires et o cosidère ue suite (Y ) de variables aléatoires de Beroulli idépedates, de paramètrep, (<p < ), telle quey pred la valeur si le ième objet produit est cotrôlé et s il e l est pas. Toutes les variables aléatoiresx ety sot défiies sur u même espace probabilisé Ω, mui d ue probabilité otée P et sot supposées toutes idépedates etre elles. La probabilité coditioelle d u évéemetasachat u évéemetb est otéep B (A) Pour tout etier, o posez X Y. La variable aléatoirez aisi défiie vaut doc si le ième objet est à la fois défectueux et cotrôlé et sio. L objet de l exercice est d étudier le ombre d objets défectueux produits par la chaîe avat qu u objet défectueux ait été détecté.. Détermier, pour tout etier, la loi de la variable aléatoirez et la covariace des variables X etz. E déduire que les variablesx etz e sot pas idépedates. E revache, il résulte des hypothèses (et o e demade pas de le justifier) que, pour tout etier, la variable aléatoirez est idépedate des variables (X i,i) et des variables (Y i,i), de même que des variables (Z i,i).. Soit, pour tout etier, A l évéemet : le ième objet fabriqué est le premier qui ait été cotrôlé et trouvé défectueux. (a) ExprimerA à l aide des variables aléatoiresz,z,...,z et détermierp(a ). (b) Motrer qu o fiira, presque sûremet, par détecter u objet défectueux. 3. Soit u etier. (a) Pour tout etiervérifiat, calculer la probabilité des évéemets [X ] A et [X ] [Z ]. O oteb l évéemet [Z ]. Motrer l égalité des probabilités coditioelles P A ([X ]) P B ([X ]) p pp pp (b) Motrer que six, x,..., x est ue suite quelcoque de ombres égaux à ou à, o a : (c) SoitS P A ([X x ],[X x ],...,[X x ]) j i P A ([X i x i ]) X j le ombre d objets défectueux fabriqués avat le ième objet et soit u etier m vérifiat m. CalculerP A ([S m]). (d) Détermier l espérace des pour la probabilité coditioelle sachata. spicesagros.fr P Christia Siada

9 ECE R É Page 9/68 7 ESCP III 998 Loi uiforme cotiue, espérace, variace, idépedace de variables, covergece e loi d ue suite de variables à desité. Toutes les variables aléatoires cosidérées das cet exercice sot supposées défiies sur u même espace probabilisé, mui de la probabilité P. Pour tout etier, soit X ue variable aléatoire réelle vérifiat P([X ]) pour tout etiertel que. O posey X. D autre part, soit Z ue variable aléatoire de loi uiforme sur l itervalle [, ].. (a) Détermier l espérace E(Z) et la variace V(Z) de la variable aléatoire Z. (b) Calculer, pour tout, l espérace et la variace dey. Détermier les limites des suites (E(Y )) et (V(Y )). (c) Motrer que, pour toute foctiof de classec sur [,], à valeurs réelles, strictemet mootoe, o a lim E(f(Y )) E(f(Z)).. Pour tout réelxo ote x ) la partie etière dex, c est-à-dire le plus grad ombre etier relatif iférieur ou égal àx. x (a) Motrer que, pour tout réel x, lim x. (b) Soit a etbdeux réels vérifiat a b et soit I (a,b) le ombre d etiers vérifiat a< b. Motrer que I (a,b) b a. (c) Motrer que, si a b, lim P(a<Y b) P(a<Z b). 3. Pour tout etier o otez la variable aléatoire Z (a) MotrerZ ety ot même loi de probabilité. (b) Trouver la foctio de répartitio et ue desité ded. et o posed Z Z. (c) Pour u etier tel que et u réel y tel que y, exprimer à l aide de la variable aléatoire Z l évéemet {Z et D y}. E déduire la valeur dep Z [D y]. (d) Motrer que les variables aléatoiresz etd sot idépedates. spicesagros.fr P Christia Siada

10 ECE R É Page /68 8 ESCP III 997 Loi géométrique sur IN, mi d u couple, loi d ue somme de variables discrètes, loi coditioelle, loi d ue différece, idépedace. O ote IN l esemble des etiers aturels. Soitaetbdeux réels tels que <a< et <b<. O effectue ue suite d expérieces aléatoires cosistat à jeter simultaémet deux pièces de moaie otées A et B. O suppose que ces expérieces sot idépedates et qu à chaque expériece les résultats des deux pièces sot idépedats. O suppose que, lors d ue expériece, la probabilité que la pièce A doe pile esta, et que la probabilité que la piècebdoe pile estb.. (a) Pour tout etier aturel, calculer la probabilitéµ que la pièceadoefois pile et, à la (+) ème expériece, face pour la première fois. Calculer de même la probabilité ν que la pièceb doepiles et, à la (+) ème expériece, face pour la première fois. (b) Motrer que les suites (µ ) IN et (ν ) IN défiisset des lois de probabilité sur IN. Ces lois serot otées doréavat respectivemet µ et ν.. O cosidère deux variables aléatoiresx ety, défiies sur u même espace probabilisé (Ω,A,P), à valeurs das IN, idépedates et dot les lois de probabilité sot respectivemet µ et ν. (La variable aléatoire X représete le ombre d expérieces qu il faut réaliser avat que la pièce A doe face pour la première fois et la variable Y représete le ombre d expérieces qu il faut réaliser avat que la pièceb doe face pour la première fois). (a) Calculer l espéracee(x) et la variacev(x). (b) Trouver, pour tout etier aturel, la valeur dep([x ]). (c) O s itéresse au ombre d expérieces qu il faut réaliser avat que l ue au mois des pièces doe face pour la première fois. Pour cela o otem la variable aléatoire défiie parm mi(x,y). Calculer, pour tout etier aturel, la probabilitép([m ]). E déduire la loi de probabilité de M. (d) Détermier la probabilité que la pièce B e doe pas face avat la pièce A, c est-à-dire P([Y X]). 3. O oteu X +Y. (a) Détermier la loi de probabilité deu. (O distiguera les casa b etab). (b) Calculer,pourtoutcouple(j,)d etiersaturels,les probabilitéscoditioellesp [Uj] ([Y ]). 4. O suppose désormais quea b. O otev Y X. (a) Calculer, pour tout etier aturel et tout etier relatif r, la probabilité de l évéemet (M etv r). (O distiguera le casr et le casr<). (b) Trouver la loi de probabilité dev. Les variablesm etv sot-elles idépedates? spicesagros.fr P Christia Siada

11 ECE R É Page /68 9 HEC III Le petit frère d HEC III 7! Desité, foctio de répartitio, mi, max, statistique d ordre, loi d ue somme de variables de Beroulli idépedates, foctio béta d Euler, calcul d ue itégrale par chagemet de variable. Cet exercice met e évidece le fait que l existece d ue espérace fiie, pour ue variable aléatoire, est pas toujours ituitive. Das tout l exercice, I désige l itervalle réel [, [ et o suppose que toutes les variables aléatoires evisagées sot défiies sur le même espace probabilisé (Ω, A, P). Partie A : première approche. Motrer que l applicatio g défiie par : g(t) t sit I sio est ue desité de probabilité.. SoitX ue variable aléatoire à valeurs dasi admettatg pour desité. Détermier, pour tout réel t, la probabilitép([x t]) et motrer quex admet pas d espérace. 3. SoitX ety deux variables aléatoires à valeurs dasi admettatgpour desité et telles que, pour tout réel t, les évéemets [X t] et [Y t] sot idépedats. O défiit alors deux variables aléatoiresu etv paru mi(x,y) etv max(x,y), c est-à-dire que, pour toutωde Ω,U(ω) est le plus petit des ombresx(ω) ety(ω), tadis quev(ω) est le plus grad de ces ombres. (a) Pour tout réel t, exprimer l évéemet [V t] à l aide des variables aléatoires X et Y ; e déduire la probabilité P([V t]). (b) Motrer que la variable aléatoire V admet pour desité l applicatio h défiie par : (t ) h(t) t 3 sit I sio (c) De faço aalogue, calculer pour tout réel t la probabilité P([U > t]) et e déduire que la variable aléatoire U admet pour desité l applicatio m défiie par : m(t) t 3 sit I sio (d) Motrer quev admet pas d espérace et queu admet ue espérace que l o calculera. Partie B : situatio plus géérale Das cette partie,désige u etier supérieur ou égal à et o suppose quevisiteurs, umérotés de à, se redet aléatoiremet das u musée et que, pour tout etier de l itervalle [[,]], l heure d arrivée du visiteur uméro est ue variable aléatoirex admettat pour desité l applicatiog défiie das lapartiea. O suppose de plus que, pour toutréelt, les évéemets[x t], [X t],...,[x t] sot mutuellemet idépedats. Sir est u etier de l itervalle [[,]], o otet r la variable aléatoire désigat l heure d arrivée du r-ième arrivat. La partie A traite doc du cas, les variables aléatoiresu etv état respectivemet égales àt ett.. Soittu élémet dei fixé. Pour tout etierde [[,]], o oteb la variable aléatoire preat la valeur lorsque l évéemet [X t] est réalisé et la valeur sio. (a) Préciser, e la justifiat soigeusemet, la loi de la variable aléatoire Z défiie par Z B B. spicesagros.fr P Christia Siada

12 ECE R É Page /68 (b) Pour tout etierr de l itervalle [[,]], exprimer l évéemet [T r t] à l aide de la variable aléatoire Z et e déduire l égalité : P([T r t]) r t t (a) Vérifier, pour tout etier de l itervalle [[, ]], l égalité (+ ). (b) E déduire que, pour tout etier r de l itervalle [[,]], la variable aléatoire T r admet pour desité l applicatiof r défiie par : + r r r sit I f r (t) r t t sio (c) Doer u équivalet à tf r (t) quadtted vers et e déduire que les variables aléatoires T,T,...,T admettet ue espérace alors quet e admet pas.. Pour tout couple (p,q) d etiers aturels, o posej(p,q) x p ( x) q dx. (a) À l aide d ue itégratio par parties, établir pour tout couple (p,q) d etiers aturels, la relatio : (p+)j(p,q+) (q+)j(p+,q) (b) Calculer, pour tout etier aturel q, l itégrale J(, q). (c) Motrer par récurrece surpque, pour tout couple d etiers aturels (p,q), o a : 3. Soitru etier de l itervalle [[, ]]. J(p,q) p!q! (+p+q)! (a) Si a est u réel strictemet supérieur à, trasformer e effectuat le chagemet de variable x a t l itégrale tf r (t)dt. (b) E déduire la valeur de l espérace de la variable aléatoiret r e foctio deet der. spicesagros.fr P Christia Siada

13 ECE R É Page 3/68 HEC III 996 Tirages par lots, loi géométrique, recherche d ue cojecture. O désige parmu etier fixé supérieur ou égal à. Ue ure cotiet m boules umérotées de à m. O ote E l esemble de ces boules et P(E) l esemble des parties de E. U dispositif permet d effectuer le tirage au hasard d ue partie de ces boules, de telle maière que chacue des parties de E (c est-à-dire chacu des élémets de P(E), y compris la partie vide ou l esemble de toutes les boules) ait la même probabilité d être tirée.. O effectue u tirage. (a) Quelle est la probabilité que la boule portat le uméro appartiee à l esemble de boules tirées? (b) Pour tout etierivérifiat i m o otea i l évèemet : la boule portat le uméroi appartiet à l esemble de boules tirées. Les évèemetsa i sot-ils idépedats? (c) Quelle est l espérace de la variable aléatoire égale au ombre de boules qui ot été tirées? Quelle est sa variace? (d) La probabilité de tirer u ombre pair de boules est-elle supérieure à la probabilité d e tirer u ombre impair?. O effectue maiteat ue suite de tirages de la forme précédete, e remettat das l ure l esemble des boules tirées, après chaque tirage. (a) Détermier, pour tout etier, la probabilité que la boule uméro i soit tirée pour la première fois au ième tirage. (b) O ote T i la variable aléatoire qui pred la valeur ( etier supérieur ou égal à ) si la boule uméroiest tirée pour la première fois au ième tirage. Détermier l espérace det i. (c) O admet, sas que la justificatio e soit demadée, que les variables aléatoires T,T,..., T m sot idépedates. O otet le ombre miimum de tirages qu il faut effectuer pour que chacue desmboules ait été tirée au mois ue fois. Détermier, pour tout etier, la probabilité que T soit iférieure ou égale à. E déduire la loi de probabilité de la variable aléatoire T. 3. O effectue maiteat ue suite de tirages, sas remettre das l ure, après chaque tirage, les boules tirées. Chaque tirage cosiste ecore à predre au hasard ue partie des boules qui restet das l ure, chacue des parties de l esemble des boules restates ayat la même probabilité d être tirée. (a) Calculer la probabilité pour que les m boules soiet toutes tirées e au plus deux tirages. Calculer la probabilité pour que les m boules soiet toutes tirées e exactemet deux tirages. (b) Pour tout détermier plus gééralemet la probabilité pour que les m boules soiet toutes tirées e au plus tirages (O pourra raisoer par récurrece). spicesagros.fr P Christia Siada

14 ECE R É Page 4/68 HEC III 99 Loi d ue variable à desité, momets, somme et produit de variables à desité, covariace, espérace. Soit u ombre etier aturel supérieur ou égal à 3 et p u ombre réel tel que <p<. Ue etreprise de trasport possèdevéhicules idetiques umérotés de à. Le jourj, chaque véhicule a la probabilitépd être e état de marche et la probabilité p d être e pae. O suppose que les paes des différets véhicules survieet de faço idépedate.. O otey la variable aléatoire représetat le ombre de véhicules e état de marche le jourj. (a) Détermier la loi de probabilité dey. (b) Calculer les espéracese(y),e(y (Y )),E((Y )(Y )Y). Vérifier que les rapports E(Y (Y )) E((Y )(Y )Y) et sot idépedats de. E(( )Y) E(( )( )Y). O se place le jourj. Pour tout ombre etieritel que i, o otex i la variable aléatoire qui vaut si le véhicule umérotéiest e état de marche ce jour-là et sio. ExprimerY à l aide desx i. 3. O se place ecore le jour J. L etreprise désire utiliser ses véhicules par équipes de deux; ue équipe est costituée d ue paire de véhicules, otée{i,j}, oùietj sot deux etiers disticts (ue paire e déped pas de l ordre das lequel o écrit les etiersietj). (a) Soietietj deux etiers disticts compris etre et. Iterpréter la variablex i X j. Trouver sa loi de probabilité et so espérace. (b) O ote Z X i X j la variable aléatoire obteue e faisat la somme des variables (i,j) A aléatoiresx i X j quad{i,j} parcourt l esembleades paires d etiers disticts etre et. Iterpréter la variable Z. Calculer so espérace. (c) Etablir la relatio : Y Y +Z A l aide de la questio.b retrouver l espérace de Z. (d) Calculer la covariace dey etz. 4. Soitαu ombre réel tel que <α<. O suppose qu u véhicule e état de marche le jourj a la probabilitéαd être e pae le jourj+ et que tout véhicule e pae le jourj est remis e état de marche le jour J +. O ote X i et Y les variables aléatoires défiies le jour J + respectivemet commex i ety le sot le jourj. (a) Trouver les lois de probabilité dex i et dey. (b) Motrer que si p <, le ombre moye de véhicules e état de marche le jour J + est supérieur au ombre moye de véhicules e état de marche le jourj. (c) O predα /. Détermier la valeur deppour laquelle le ombre moye de véhicules e état de marche le jourj+ est le même que le jourj. spicesagros.fr P Christia Siada

15 ECE R É Page 5/68 EDHEC 997 Espérace et atirépartitio : cas discret et cotiu, reste d ue itégrale covergete, suite défiie par ue itégrale impropre covergete. Das ce problèmedésige u etier supérieur ou égal à. Partie I O effectue tirages au hasard das ue ure coteatboules umérotées de à. U tirage cosiste à extraire ue boule de l ure, la boule tirée état remise das l ure. O oten la variable aléatoire égale au uméro du tirage au cours duquel, pour la première fois, o a obteu ue boule déjà obteue auparavat.. Motrer quen(ω) [[,+]].. Motrer que [[,]],P([N >]) A Rappel :A désige le ombre d arragemets de élémets d u esemble àélémets. 3. (a) Motrer que pour tout [[,]],P(N ) P([N > ]) P([N >]). (b) CalculerP([N +]) puis e déduire la loi den. 4. Motrer que l espéracee(n) de la variable aléatoiren este(n) Partie II Soit X ue variable aléatoire, à valeurs das IR +, de desité f (ulle sur IR ) et de foctio de répartitiof. O suppose, de plus,f cotiue sur IR +. O pose, pour tout réelxpositif,ϕ(x) x tf (t)dt.. Motrer, gràce à ue itégratio par parties, que : x IR +, ϕ(x) x. O suppose, das cette questio, que l itégrale ( F (t))dt xp([x>x]) x ( F (t))dt coverge. (a) Calculerϕ (x) et e déduire que la foctioϕest croissate sur IR +. (b) Motrer queϕest majorée et e déduire quex a ue espérace. (c) Motrer que : x IR +, xp([x>x]) x tf (t)dt A. (d) E utilisat le fait quex a ue espérace, motrer que lim tf (t)dt. x x E déduire lim xp([x>x]), puis motrer quee(x) ( F (t))dt. x Partie III O cosidère la foctiof défiie par : si x< F (x) + x e x si x. Motrer quef est la fotio de répartitio d ue variable aléatoire à desitét. spicesagros.fr P Christia Siada

16 ECE R É Page 6/68. (a) Motrer que, pour tout etier aturel, l itégralei (b) Motrer quei + (+)I puis doer la valeur dei. x e x dx coverge. 3. E déduire, e utilisat la partie II, quet a ue espérace et quee(t ) E(N). spicesagros.fr P Christia Siada

17 ECE EML III 7 C Page 7/68 Deuxième partie Correctio 3 EML III 7. Cette questio e pose aucu problème e itroduisat ue variable aléatoire suivat la loi expoetielle de paramètre, alors ue de ses desité pourrait être f sas aucu problème.. (a) Remarquez que le costat précédet ous fait écrire quex ε(). Par défiitio, ous avosy (Ω) IN avec : P([Y ]) P([X< ]) Pour tout etier aturelo ul, F X () oùf X est la foctio de répartitio dex e () P([Y ]) P([ X<+]) F X (+) F X () e (+) e e e (+) e e () Selo () et () : IN, P([Y ]) e e (b) La variabley + est à valeurs das IN avec pour toutde IN, P([Y + ]) P([Y ]) e ( ) e e e Coclusio : Y + G e Comme d après le cours, Y + admet admet ue espérace et ue variace (e tat que variable géométrique),y admet doc ue espérace et ue variace, respectivemet égales à : O rappelle les équivaleces suivates : E(Y) E(Y +) par propriété dee e e (a,b) R R ax+b admet ue espérace X admet ue espérace (a,b) R R ax+b admet ue variace X admet ue variace spicesagros.fr P Christia Siada

18 ECE EML III 7 C Page 8/68 D autre part par propriété de la variace : V(Y) V(Y +) e e e (e ) Coclusio : E(Y) e et V(Y) e (e ) Nota bee : ous pouvios costater quey X mais l éocé e l a pas précisé pour e pas faire peur peut-être! 3. (a) La variablet admet ue espérace e tat que produit de deux variables, U ety, admettat chacue u momet d ordre deux. Avec : E(T) E((U )Y) E(U )E(Y) par liéarité de l espérace et par idépedace deu ety (E(U) )E(Y) par propriété dee E(Y) caru B Coclusio : E(T) (b) Vérifios... T (U ) Y 4U Y 4UY +Y 4UY 4UY +Y Y Car du fait queu suit ueloideberoulli, ous avos l égalitéu U. E effet : ω Ω, (U (ω) ) U (ω) puisqueu (Ω) {,} et ω Ω, (U (ω) ) U (ω) puisqueu (Ω) {,} Cette égalité se gééralise pour importe quelle puissace o ulle. CommeY admet ue espérace,t e admet ue aussi. Autremet ditt admet ue variace égale selo lethéorème de Huyges-Koeig à : V(T) E T (E(T)) E Y V(Y)+(E(Y)) selo le théorème de Huyges-Koeig e (e ) + e Coclusio : V(T) e+ (e ) spicesagros.fr P Christia Siada

19 ECE EML III 7 C Page 9/68 (c) Nous avost (Ω) Z avec selo la formule des probabilités totales : Z, P([T ]) P([T ] [U ])+P([T ] [U ]) car les évéemet [U ] et [U ] costituet u système complet d évéemets. Aisi pour tout etier relatif : P([T ]) P([(U )Y ] [U ])+P([(U )Y ] [U ]) Discutos maiteat : Si : Si IN : P([ Y ] [U ])+P([Y ] [U ]) P([Y ] [U ])+P([Y ] [U ]) P([T ]) P([Y ] [U ])+P([Y ] [U ]) P([Y ])P([U ])+P([Y ])P([U ]) P([Y ]) e (3) P([T ]) P([Y ] [U ])+P([Y ] [U ]) P( [U ])+P([Y ] [U ]) cary est ue variable positive P([Y ] [U ]) P([Y ])P([U ]) par idépedace deu ety e e (4) si Z : P([T ]) P([Y ] [U ])+P([Y ] [U ]) P([Y ] [U ])+P( [U ]) cary est ue variable positive P([Y ] [U ]) avec N P([Y ])P([U ]) (5) e e Coclusio : selo (3), (4) et (5) P([T ]) e et Z, P([T ]) e e 4. (a) Sigalos pour commecer que la variable D est associée à la partie décimale de la variable X puisque l o rappelle que Y X, doc que D X X. Alors la variable D est à valeurs das l itervalle [, [ car rappelos ecore que : puisque, par défiitio pour tout réel x, x IR, x x < x x< x + Par coséquet e otatf D la foctio de répartitio de la variabledous pouvos immédiatemet dire que : F D (t) si t< F D (t) si t spicesagros.fr P Christia Siada

20 ECE EML III 7 C Page /68 (b) Comme la famille des évéemets ([Y ]) IN costitue u système complet d évéemets ous pouvos écrire pour tout réelt [,[, Coclusio : [D t] [D t] Ω ([D t]) [Y ] IN ([D t] [Y ]) par distributivité de sur IN ([D t] [Y ]) ([D t] [Y ]) IN ([X Y t] [Y ]) ([X Y t] [Y ]) IN ([X t] [X< ]) ([X Y t] [Y ]) IN [X t] car [X t] [X<] [X t] ([X t] [ X<+]) IN ([X t]) ([X +t] [ X<+]) IN ([X t]) ([ X< mi(+t,+)]) IN ([X t]) ([ X<+t]) IN ([ X +t]) ([ X<+t]) IN ([ X<+t]) IN t [,[, [D t] IN ([ X<+t]) (c) Nous avos pour tout ombre réelt [,[, et pour tout etier aturel : P([ X +t]) F X (+t) F X () e (+t) e Coclusio : IN, t [,[, P([ X +t]) e ( e t ) (d) Pour tout ombre réelt [,[ : F D (t) P ([ X<+t]) IN P([([ X<+t])]) parσ additivité dep IN e e t e t sommedesériegéométrique e de raiso /e tel que /e < e t /e t [,[, F D (t) e t e spicesagros.fr P Christia Siada

21 ECE EML III 7 C Page /68 (e) Faisos le bila : F D (t) si t< e t e si t [,[ si t Nous voyos à ce iveau que : F D est cotiue sur ],[ (foctio ulle); F D est cotiue sur [,[ (foctio costate égale à ); F D est cotiue sur [,[ (compositio det t :C sur [,[ et exp :C surr); D autre partf D est de classec surrsauf peut être e et ce qui fait qu elle possède toutes les propriétés requises pour affirmer que D est ue variable à desité dot ue desité f D est obteue par dérivatio def D surr et ous poseros que : Cela doe : f D (x) f D () f D () si t ],] [,[ e t e si t ],[ spicesagros.fr P Christia Siada

22 ECE EML III 6 P A C Page /68 4 EML III 6 Partie A. SoitU ue variable aléatoire à desité suivat ue loi ormale d espérace ulle et de variace. (a) C est ue questio de cours! E otatf U ue desité deu ous predros par exemple : x IR, f U (x) exp x exp x π π (b) Il est de otoriété publique d affirmer que V(U) existe et vaut et selo le théorème de Huyges-Koeig : Par coséquet : ce qui motre que l itégrale Coclusio : V(U) E U (E(U)) E U puisque lau est cetrée x e x dx π x e x dx par parité def U π x e x dx π x e x dx coverge et vaut π x e x dx 4. C est parti pour deux poits essetiels à vérifier : F est cotiue sur IR puisquef y coïcide avec la foctio ulle et sur IR + e tat que somme de telles foctios. D autre part lim F lim F F () etf est cotiue e doc sur IR + fialemet. F est de classec surr puisquef y coïcide avec la foctio ulle et sur IR + e tat que somme de telles foctios. (Il est totalemet iutile de perdre votre temps e puisque ue foctio de répartitio d ue variable à desité doit être de classec presque partout). π 4. Coclusio : selo les deux propriétés précédetes ous pouvos affirmer que F est la foctio de répartitio d ue variable à desité Ue desitéf est obteue à partir def par dérivatio sur IR et ous complèteros sa défiitio e posatf () ce qui doe : si x IR f (x) xe x si x IR + 3. (a) La variable X admet ue espérace si et seulemet si l itégrale (6) xf (x)dx est absolumet covergete etcommef estidetiquemetulle sur IR,X admetueespérace sietseulemet si l itégrale x e x dx est covergete, ce qui est le cas puisque ous recoaissos à u coefficiet multiplicatif près l itégrale de l égalité (6). Coclusio :Xadmet ue espérace égale à E(X) x e x dx π 4 π spicesagros.fr P Christia Siada

23 ECE EML III 6 P B C Page 3/68 (b) D évidece siy<, l évéemet X y est impossible et das ce casp X y. Si maiteaty, puisque l applicatiox x est ue bijectio croissate sur IR +, ous avos les équivaleces suivates : X y ( X y) ( y X y) et : Faisos le bila : P X y P([ y X y]) F ( y) F ( y) F ( y) puisque y e y P X y si y IR e y si y IR + Partie B (c) Le résultat précédet, au demeurat culturel, motre clairemet que : X ε() Nous avos la célèbre coditio écessaire et suffisate : X admet ue variace si et seulemet si X admet u momet d ordre deux, ce qui est le cas ici puisque X est ue variable expoetielle. Coclusio : X admet ue variace égale, selo le théorème de Huyges-Koeig à V(X) E X (E(X)). Sas commetaire particulier, puisque c est du cours : π π 4 E(Z) p et V(Z) p p. (a) Pour commecer sigalos que la variablem admet ue espérace et ue variace puisqu elle est obteue à partir d ue somme de variables admettat chacue ue espérace et ue variace e tat que variables géométriques. Par liéarité de l espérace ous obteos : Coclusio : E(M ) m p E(Z ) E(M ) p Par idépedace des variablesz,z,...,z ous obteos que : p V(M ) V(Z ) p p spicesagros.fr P Christia Siada p p

24 ECE EML III 6 P B C Page 4/68 et par défiitio : p σ p (b) Comme les variables aléatoires (Z i ) i [,]] sot idépedates et de même loi o parle de M E(M ) variablesiid, lethéorèmedelalimitecetréeousaffirmequelasuite σ(m ) coverge e loi vers ue variablen suivat la loin(,). Par coséquet : x IR, lim P M m x Φ(x) x e x dx σ π et fialemet : lim P M m Φ() Φ() σ π e x dx spicesagros.fr P Christia Siada

25 ECE EML III 997 C Page 5/68 5 EML III 997. Comme o effectue ue suite fiie den épreuves de Beroulli idépedates et de même paramètre 6 aisi : Autremet dit : et d après le cours : Z B N, 6 Z(Ω) [[,N]], Z(Ω), P([Z ]) E(Z) N 6 N et V(Z) 5N 36 6 N 5 6. Tout d abord la loi coditioelle de X sachat que [Z ] est la loi biomiale B(,p), car o effectue ue suite fiie de épreuves de Beroulli idépedates et de même paramètre p (probabilité d obteir pile). p ( p) si [[,]] P [Z] ([X ]) si > 3. Comme N, P([Z ]), alors selo la formule des probabilités composées, lorsque N : P([X ] [Z ]) P [Z] ([X ])P([Z ]) Si>N ou>: P([X ] [Z ]) car das ce cas soitp [Z] ([X ]) soitp([z ]). Coclusio : p ( p) N 5 6 N 6 N N p ( p) 5 si N P([X ] [Z ]) 6 6 si > ou>n 4. Nous avos : P([X ]) N P([X ] [Z ]) d après la première versio de la formule des probabilités totales N N ( p) N 5 selo le N N N 5 p 6 6 Coclusio : par la formule du biôme de Newto avec 5 6 < 6 p 6 <. 6 p P([X ]) 6 spicesagros.fr P Christia Siada N

26 ECE EML III 997 C Page 6/68 5. Sas commetaire particulier, pour tout couple d etiers aturels (,) tel que N : N!!( )! N!!(N )! N!!(N )! (N )! ( )!(N )! N N Coclusio : (,) IN, N, N N N Toujours selo la première versio de la formule des probabilités totales pour tout [[,N]] : P([X ]) Coclusio : + N N i N P([X ] [Z ])+ N P([X ] [Z ]) N N N N p ( p) 5 6 N p ( p) 5 6 N p ( p) i 5 i 6 p p N N p 6 i 6 i [[,N]], P([X ]) N selo le3. 6 N pososi 6 (N ) i i+ 6 i (N ) i 5 6 N p N 6 p p 6 6 selo la formule du biôme de Newto, avec p+5+p (a) Détermios la loi dex. [[,N]], P([X ]) N p N 6 p p et X B N, p Détermios la loi dey. CommeX ety jouet u rôle symétrique (o remplace pile par face) alors : Y B N, p 6 7. Comme P([X N] [Y N]) alors que P([X N])P([Y N]) ceci est u cotreexemple motros que : X ety sot o idépedates Détermios la loi du couple (X,Y). Nous avos : X(Ω) Y (Ω) [[,N]] et : (i,j) ([[,N]]), P([X i] [Y j]) P([Z i+j] [X i]) si i+j N sio spicesagros.fr P Christia Siada

27 ECE EML III 997 C Page 7/68 Coclusio : pour tout couple (i,j) ([[,N]]) : N (i+j) i+j N i+j p i ( p) j 5 si i+j N P([X i] [Y j]) i+j i 6 6 sio spicesagros.fr P Christia Siada

28 ECE ESCP III 3 C Page 8/68 6 ESCP III 3. (a) La suite (v ) appartiet àasi et seulemet si : soit ecore : IN, s(α(+)+β) (s )(α+β)+b+ IN, (α )+sα+β b E particulier pour et ous obteos le système : (α )+sα+β b (α )+sα+β b α(+s)+β b α(+s)+β b+ α β b s (b) Pour tout etier aturel o ul, les deux égalités suivates sot vérifiées : sx+ (s )x +b+ sv + (s )v +b+ E retrachat membre à membre les deux égalités, o obtietsy + (s )y ou ecore, puisques : s y + y s Lasuite(y ) estdocgéométrique de raiso s,de premiertermey,égal àx b+s s et, d après le cours : s, y (x b+s) s soit par la relatio liatx ày ous avos fialemet : s, x +b s+(x b+s) (7) s. (a) E preat au départ pour Ω l esemble des boules e jeu mui de la probabilité uiforme puisque les boules sot tirées au hasard, ous pouvos utiliser l idetité de Laplace pour calculerp(b ) e calculat le rapport etre le ombre de boules favorables sur le ombre total de boules, ce qui doe : P(B ) b s La variablex est ue variable de Beroulli égale à si et seulemet si l évéemetb, par coséquet : u E(X ) b s (b) Utilisos la formule des probabilités totales sachat que les évéemetsb etb costituet u système complet d évéémets : P(B ) P B (B )P(B )+P B (B )P(B ) b a b+ + e respectat les modalités du tirage s s s a(+b)+b s (8) spicesagros.fr P Christia Siada

29 ECE ESCP III 3 C Page 9/68 Faisos apparaîtreu maiteat. Coclusio : selo (8) et (9) b+ u s b+ b s s s (s b+bs) s (a+b b+b(a+b)) s (a+b(a+b)) a(+b)+b s (9) P(B ) b+ u s (c) Soitu etier aturel vérifiat a. Si l évéemet [X ] est réalisé, la compositio de l ure avat le (+) ème tirage est deb+ boules blaches et dea+ boules oires. Par le même raisoemet qu au.a. ous obteos : [[,a]], [[,]], P [X](B + ) b+ s Par la formule des probabilités totales, la famille évéemetielle ([X ]) [,]] costituat u système complet d évéemets de probabilités à priori o ulles, il viet : P(B + ) P [X](B + )P([X ]) Coclusio : b+ P([X ]) s b+ P([X ]) s s b+ s s E([X ]) b+ u s P([X ]) par liéarité de la somme [[,a]], P(B + ) b+ u s (d) Soitu etier aturel vérifiat>a. Si est u etier de l itervalle [[, a ]], a+ et il impossible d avoir tiré boules oires au cours despremiers tirages, il s e suit que : L évéemet [X ] est impossible etx (Ω) [[ a,]] Si est u etier de l itervalle [[ a, ]], le même raisoemet qu à la questio précédete coduit aussi au résultat : >a, [[ a,]], P [X](B + ) b+ s () spicesagros.fr P Christia Siada

30 ECE ESCP III 3 C Page 3/68 Toujours selo la formule des probabilités totales, avec le même système complet d évéemets : P(B + ) P [X](B + )P([X ]) P [X](B + )P([X ]) + P [X](B + )P([X ]) a b+ P([X ]) s a b+ P([X ]) P([X ]) e développat s s a a a E(X) Coclusio : Coclusio : selo () et () >a, P(B + ) b+ u s () IN, P(B + ) b+ u s () 3. (a) Selo la formule des probabilités totales associée au système complet d évéemets B+,B + ous avos pour tout etier aturel [[+ a,]] : P([X + ]) P([X + ] B + )+P([X + ] B + ) P([X ] B + )+P([X ] B + ) P [X ](B + )P([X ])+P [X ](B + )P([X ]) Et e raisoos de la même faço qu au.c : a + b+ + P([X + ]) P([X ])+ P([X ]) (3) s s Pour+ : P([X + +]) P(B B... B + ) b P([X ]) s P([X +]) et l égalité (3) est vérifiée. Pour a : P([X + a]) P([X a ]) d après.d a + et l égalité (3) est vérifiée. Pour [[, a ]] : et l égalité (3) est vérifiée. + b s [X + ] [X ] [X ] spicesagros.fr P Christia Siada

31 ECE ESCP III 3 C Page 3/68 (b) Soitu etier aturel o ul. D après le résultat précédet : su + s + P([X + ]) s + P([X + ]) s + a + b+ + P([X ])+ s s + P([X ]) selo (3) (a +)P([X ])+ + (b+ +)P([X ]) par liéarité de (a +)P([X ])+ (+)(b+ )P([X ]) carp([x +]) (a ) P([X ])+ P([X ]) +(b+) P([X ]) P([X ]) +(b+) P([X ]) P([X ]) (a )E(X )+E X +(b+)e(x ) E X +b+ E(X ) (s )E(X )+b+ Coclusio : N, su + (s )u +b+ La boucle est bouclée et la suite (u ) IN appartiet à l esemblea. (c) E repreat le résultat (7), pour tout etier aturel o ul, Coclusio : et selo () : (d) Puisquesest supérieur à deux, o a : s u +b s+(u b+s) s b s, u +b s+ s b+s s b (s ), P(B + ) s b+s s lim s s Par coséquet : lim u et lim P(B +) spicesagros.fr P Christia Siada

32 ECE ESCP III C Page 3/68 7 ESCP III Prélimiaire. Je vous laisse faire la récurrece comme des grads!. Comme les tirages sot caractérisés, par exemple, par l emplacemet des boules blaches puisque toutes les boules sot tirées, autremet dit l uivers est l esemble des dispositios possibles telles que deux cases parmi lesn sot occupées par les deux boules oires les autres état occupées par les blaches. Alors Ω est u esemble fii doc d après le cours ous pourros predrea P(Ω) et comme les boules sot tirées au hasard, l uivers sera de la probabilité uiforme P.. Comme Card(Ω) Card(P ([[,N]])) ous avos Card(Ω) (X,X )(Ω) (i,i ) [[,N]] i <i. [X i] [X j] (i,i ) [[,N]] i i, i j. Par coséquet Card([X i] [X j]). Coclusio : si (i,j) (X,X )(Ω) P([X i] [X j]). Par théorème : Loi dex. Pour touti [[,N ]], N N (N ) N. P([X i]) N P([X i] [X j]) j + N N ji+ ji+ si (i,j) (X,X )(Ω) P([X i] [X j]) N (N ) (N (i+)+) N (N ) Coclusio : i [[,N ]], P([X i]) (N i) N (N ) Loi dex. Pour toutj [[,N]], P([X j]) N i j P([X i] [X j]) P([X i] [X j])+ i j i N (N ) Coclusio : j [[,N]], P([X j]) (j ) N (N ) PuisqueP([X ] [X ]) alors quep([x ])P([X ]), Les deux varibles sot dépedates spicesagros.fr P Christia Siada

33 ECE ESCP III C Page 33/68 4. (a) Tout d abord : (N + X )(Ω) X (Ω) carx (Ω) [[,N]] doc X (Ω) [[ N, ]] et cela etraîe que : Pour tout etier aturel [[,N ]], Coclusio : (N + X )(Ω) [[,N ]] X (Ω) P([N + X ]) P([X N + ]) (N + ) N (N ) (N ) N (N ) P([X ]) L(N + X ) L(X ) (b) Détermios la loi de (X X ) Tout d abord (X X )(Ω) [[,N ]]. D autre part pour tout etier aturel [[,N ]], P([X X ]) P([X +i] [X i]) i N +i N or ous avos les équivaleces successives suivates : i N +i N i N i N (max(, ) i mi(n,n )) ( i N ) et pour tout etier aturel [[,N ]], Coclusio : P([X X ]) i N i N (N ) N (N ) P([X ]) (X X ) L X P([X +i] [X i]) N (N ) 5. (a) Comme (X X ) et X suivet la même loi, par suite E(X X ) E(X ) (aucu problème d existece par fiitude des variables) et par liéarité de l espérace : ou ecore : E(X ) E(X ) E(X ) E(X ) E(X ) (4) D autre part l égalité e loi (N + X ) X etraîe quee(n + X ) E(X ) et par propriété élémetaire de l espérace : Selo (4) et (5) : N + E(X ) E(X ) (5) E(X ) N + 3 et E(X ) (N +) 3 spicesagros.fr P Christia Siada

34 ECE ESCP III C Page 34/68 (b) L égalité e loi (N + X ) X etraîe l égalité des variacesv(n + X ) V(X ) (qui existet toujours par fiitude des variables) d où : V(X ) V(X ) (c) Nous avos : V(X X ) V(X )+V(X ) Cov(X,X ) et comme (X X ) X L, l égalité précédete doe : V(X ) V(X )+V(X ) Cov(X,X ) soit : Cov(X,X ) V(X ) ou ecore : Cov(X,X ) V(X ) car : V(X ) V(X ) 6. CommeX est ue variable fiie, elle ue variace égale à : V(X ) E X (E(X )) avec : E X N N P([X ]) (N ) N (N ) N (N ) N (N ) N (N ) N (N ) N N N N 3 (N )N (N ) 6 par liéarité de N (N ) 4 De plus : efi : (N +)N 6 V(X ) N + 6 (N +)N 3 8 (N +)(N ) V(X ) Cov(X,X ) (N +)(N ) (a) Comme l évéemetdest réalisé si et seulemet siab ous avos doc : P(D) P(AB) P(A B) N P([A i] [B i]) i N P([A i])p([b i]) par idépedace deaetb i N i N spicesagros.fr P Christia Siada

35 ECE ESCP III C Page 35/68 N N N Coclusio : P(D) N N (b) Commeços par sigaler que P(D), par coséquet la probabilité coditioelle est bie défiie. Par défiitio : P D ([Y i, Y j]) P([Y i, Y j] D) P(D) si i j P(([A i, B j] [B i, A j]) D) si i<j P(D) si i j P(([A i, B j] [A j, B i])) si i<j P(D) car [A i, B j] [A j, B i] D si i j P([A i, B j])+p([a j, B i]) si i<j P(D) parσ additivité dep si i j N N si i<j N Coclusio : (i,j) [[,N]], P D ([Y i, Y j]) si i j N (N ) si i<j spicesagros.fr P Christia Siada

36 ECE ESCP III 999 C Page 36/68 8 ESCP III 999. Pour tout etier aturel o ul la variable Z est beroulliee e tat que produit de telles variables avec par idépedace dex ety : Coclusio : P([Z ]) P([X ] [Y ]) P([X ])P([Y ]) P([Z ]) pp Lacovariace ducouple(x,z )existe car les deuxvariables ejeuadmettet chacue umomet d ordre deux e tat que variables beroulliees. Par théorème : Cov(X,Z ) E(X Z ) E(X )E(Z ) Cocluio : E X Y E(X )E(Z ) et comme toutes les variables sot beroulliees P X [Y ] P([X ])P([Z ]) P([X ] [Y ]) p pp P([X ])P([Y ]) p pp par idépedace dex ety pp p p IN, Cov(X,Z ) pp ( p) Comme la covariace du couple (X,Z ) est pas ulle, Les deux variablesx etz e sot pas idépedates (C est la cotraposée de l implicatio : (X,Z ) idépedates implique que Cov(X,Z ) ).. (a) Sas commetaire particulier, ous avos pour tout etier aturel o ul : A Par suite, pour tout etier aturel o ul : P(A ) P [Z ] [Z ] Coclusio : (b) Puisque pp <, [Z ] [Z ] P([Z ])P([Z ]) par idépedace des variablesz ( pp ) pp IN, P(A ) ( pp ) pp (6) lim P(A ) lim ( pp ) pp et comme pour tout etier aturel o ul,p A P(A ), lim P A, alors : O fiira presque sûremet par détecter u objet défectueux 3. (a) Soit, pour tout etier de [[, ]] : P([X ] A ) P([Z ]... [Z ] [X ] [Y ] j P([Z j ]) P([X ]) P([Y ]) [Z + ]... [Z ] [Z ]) l+ P([Z l ]) P([Z ]) spicesagros.fr P Christia Siada

37 ECE ESCP III 999 C Page 37/68 selo toutes les hypothèses d idépedace faites par l éocé etre les variablesx ety et d autre part etre les variables (Z j ) j [,]]. Coclusio : j [[, ]], P([X ] A ) ( pp ) pp (p pp ) (7) Par la formule desprobabilités composées, sachat que la probabilitép([x ]) esto ulle pour tout etierde [[, ]] : P([X ] [Z ]) P [X ]P([Z ])P([X ]) Coclusio : P [X ]P([X Y ])P([X ]) P [X ]P([Y ])P([X ]) P([Y ])P([X ]) par idépedace dex ety [[, ]], P([X ] [Z ]) ( p )p (8) Efi, avat de commecer, sigalos que les probabilitésp(a ) etp(b ) pour [[, ]] sot o ulles et par défiitio d ue probabilté coditioelle : P A ([X ]) P([X ] A ) P(A ) ( pp ) pp (p pp ) ( pp ) pp selo (7) et (6) : p pp pp D autre part pour tout etier [[, ]] : Coclusio : selo (9) et (), ( p )p pp (9) P B ([X ]) P([X ] B ) P(B ) P([X ] [Z ]) P([Z ]) ( p )p pp selo (8) () [[, ]],, P A ([X ]) P B ([X ]) p pp pp (b) Par défiitio d ue probabilité coditioelle, avecp(a ) ous avos : P A ([X x ],...,[X x ]) P([X x ],...,[X x ],A ) P(A ) P([X x ],.,[X x ],[Z ],.,[Z ],[Z ]) P(A ) Pour fixer les idées supposos qu il y ait réels x i égaux à et par coséquet ( ) égaux à, et pour augmeter le cofort des écritures sas que cela soit réducteur, puisque toutes les variablesx i jouet le même rôle, supposos que pour tout etieri [[,]],x i, spicesagros.fr P Christia Siada

38 ECE ESCP III 999 C Page 38/68 alors : P A ([X ],...,[X x ]) puisque : P(A ) P([X x,y ],...,[X,Y ], P(A ) [X + ],...,[X ],[Z ]) Les var. Z j pour j [+, ]] car elles peuvet predre importe qu elles valeurs P([X i ]) P([Y j ]) i l+ j p ( p ) ( p) pp pp ( pp ) p ( p ) ( p) ( pp ) (p pp ) ( p) ( pp ) (p pp ) ( p) ( pp ) ( pp ) p pp p pp pp i P([X l ]) P([Z ]) P A ([X i ]) l+ P A ([X l ]) [[, ]], P A ([X ]) P A ([X ]) p pp pp p pp Je vouslaisselesoid examier,seuls,lesdeuxcasextrêmes,àsavoirp A ([X ],...,[X ]) etp A ([X ],...,[X ])qui doetrespectivemet P A ([X i ])et P A ([X i ]). (c) L évéemet [S m] est réalisé si et seulemet si il y amobjets parmi les premiers qui sot défectueux. Le coditioemet de la probabilité voulat traduire le fait que ces premiers objets sot o cotrôlés. Il y a faços de choisir lesmvariablesx i dot m la réalisatio vaut. Aisi pour calculer la probabilité coditioellep A ([S m]) il suffit de repredre le résultat de la questio précédete avec m, et de multiplier celui-ci par qui est le ombre de situatios équivaletes doatmévéemets [X i ] parmi m les possibles et m évéemets [X j ]. Coclusio : p pp m m p m [[, ]], P A ([S m]) m pp pp et La loi coditioelle des sachata est la loi biomiale de paramètres et p pp pp i i (d) Selo la questio précédete : p pp E A (S ) ( ) pp spicesagros.fr P Christia Siada

39 ECE ESCP III 998 C Page 39/68 9 ESCP III 998. (a) C est ue questio de cours qui e doit pas vous poser le moidre problème, à savoir (a etb ) : E(Z) et V(Z) (b) La variabley admet ue espérace car elle est obteue par trasformatio affie à partir de la variablex qui e admet ue. Par propriété élémetaire dee :, E(Y ) E(X ) Or, si l o posew X + alors il est de otoriété publique quew suit la loi uiforme sur l itervalle d etiers [[, ]] (e effet toute trasformatio affie appliquée à ue variable uiforme redoe ue variable uiforme, ce résultat est valable e discret comme e cotiu). Par coséquet : etraîe que : et : E(W ) +, E(X ) E(W ), E(Y ) De même par propriété devpour tout etier aturelo ul : Coclusio : Comme : V(Y ) V(X ) V(W ) lim, V(Y ) et lim (toute fractio ratioelle état équivalete e l ifii au rapport de ses termes de plus haut degré) lim E(Y ) et lim V(Y ) existet et sot fiies, égales respectivemet à : lim E(Y ) et lim V(Y ) (c) Par le théorème de trasfert, ous avos : E(f (Y )) y Y(Ω) f (y)p([y y]) f P Y f f (t)dt () pourf cotiue sur [,] (somme de Riema) D autre part, toujours par le théorème de trasfert (hypothèses 8 : f cotiue presque partout et itégrale absolumet covergete, hypothèses 998 :f est de classec et strictemet mootoe) : E(f (Z)) Les programmes ot chagé, les hypothèses aussi! f (t)u(t)dt f (t)dt () spicesagros.fr P Christia Siada

40 ECE ESCP III 998 C Page 4/68 Coclusio : selo () et () lim E(f (Y )) E(f (Z)). (a) Cette questio doit être parfaitemet maitrisée sio j etame ue grève de la faim! Elle se résoud e utilisat le théorème d existece d ue limite par ecadremet puisque vous devez savoir que : x R, IN, +x< x x doc e divisat tous les membres de l iégalité par> ous obteos que : x R, IN, x +x< x avec : lim +x lim x x x Coclusio : la suite est doc ecadrée par deux suites covergetes vers la IN même limite, ce qui permet de dire, d après le théorème d ecadremet, que (b) Rappelos ecore que : x lim x (3) x IR, x x< x + Détermios le ombre d etiers vérifiat a < b. E utilisat la défiitio de la partie etière d u réel, ous pouvos écrire sas peie que : d où, puisqueest u etier aturel : Coclusio : soit : a a< b< b + a + b I (a,b) b ( a +)+, (a,b) IR, a b, I (a,b) b a (c) Pour tout etier aturelo ul et pour tout couple de réels (a,b) R tel que a b ous avos : Comme selo (3) : P([a<Y b]) P({ω Ω a<y (ω) b}) P ω Ω a< X (ω) b I (a,b) I (a,b) lim b lim a b a b a dt P([a<Z b]) Nous pouvos doc coclure que : (a,b) IR, a b, lim P(a<Y b) P(a<Z b) spicesagros.fr P Christia Siada