[ édité le 5 mai 2016 Enoncés 1. Exercice 7 [ ] [Correction] Soient (u n ) et (v n ) deux suites telles que
|
|
- Henri Piché
- il y a 7 ans
- Total affichages :
Transcription
1 [ édité le 5 mai 06 Eocés Suites umériques Covergece de suites Exercice [ 047 ] [Correctio] Soiet u ) et v ) deux suites réelles covergeat vers l et l avec l < l. Motrer qu à partir d u certai rag : u < v. Exercice [ 048 ] [Correctio] Motrer que u ) Z N coverge si, et seulemet si, u ) est statioaire. Exercice 7 [ 053 ] [Correctio] Soiet u ) et v ) deux suites telles que Que dire de ces suites? 0 u, 0 v et u v Exercice 8 [ ] [Correctio] Soit u ) ue suite de réels o uls vérifiat u + u 0 Exercice 3 [ 049 ] [Correctio] Soiet a, b) R, u ) et v ) deux suites telles que { N, u a et v b Motrer que u a et v b. u + v a + b Exercice 4 [ 050 ] [Correctio] Soit u ) et v ) deux suites réelles telles que u + v ) et u v ) coverget. Motrer que u ) et v ) coverget. Exercice 5 [ 05 ] [Correctio] Soiet u ) et v ) deux suites covergetes. Étudier lim maxu, v ) + Détermier la limite de u ). Exercice 9 [ 0384 ] [Correctio] Soiet K u réel strictemet supérieur à et ε ) ue suite de réels positifs covergeat vers 0. Soit u ) ue suite de réels de [0 ; ] vérifiat La suite u ) coverge-t-elle vers 0? Calcul de limites N, 0 u + u + ε K Exercice 0 [ 054 ] [Correctio] Détermier la limite, si celle-ci existe, des suites u ) suivates : a) u = 3 ) 3 + ) b) u = c) u = + + d) u = k= k Exercice 6 [ 05 ] [Correctio] Soiet u ) et v ) deux suites réelles telles que u + u v + v 0 Démotrer que les suites u ) et v ) coverget vers 0. Exercice [ 055 ] [Correctio] Détermier les limites des suites dot les termes gééraux sot les suivats : a) u = + b) u = [] ) c) u = si d) u = + ) / )
2 [ édité le 5 mai 06 Eocés Exercice [ 056 ] [Correctio] Détermier par comparaiso, la limite des suites u ) suivates : a) u = si + ) + b) u =! c) u = ) + ) Exercice 3 [ 057 ] [Correctio] Détermier les limites des sommes suivates : a) S = k= k b) S = k= k c) S = k= +k d) S = k=+ k Exercice 4 [ 058 ] [Correctio] Comparer lim lim ) m, lim m + + lim + m + d) u = e e) u = [] + ) e) S = k= f) S = k= +k +k g) S = ) k k! ) m et lim ) + Exercice 5 [ 059 ] [Correctio] Soit u ) ue suite de réels strictemet positifs. O suppose []u l. a) Motrer que si l < alors u 0. b) Motrer que si l > alors u +. c) Motrer que das le cas l = o e peut rie coclure. Exercice 6 [ 060 ] [Correctio] Soit u ) N ue suite de réels strictemet positifs. O suppose u + u l + a) Motrer que si l < alors u + 0. b) Motrer que si l > alors u + +. c) Observer que das le cas l = o e peut rie coclure. Exercice 7 [ 06 ] [Correctio] Pour tout N, o pose S = k= a) Établir que pour tout p >, E déduire la limite de S ). + k et S = p+ p ) k k= k dx x p p dx p x b) Établir que S = S. E déduire la limite de S ). Exercice 8 [ 063 ] [Correctio] Détermier la limite de u = Exercice 9 [ 064 ] [Correctio] Soit p N \ {0, }. Pour N o pose a) Motrer que b) Motrer par récurrece ) k ) + p u = et S = k= u k N, + p + )u + = + )u + S = p + p + )u +) c) O pose N v = + p)u. Motrer que v ) coverge vers 0. d) E déduire lim S e foctio de p.
3 [ édité le 5 mai 06 Eocés 3 Exercice 0 [ ] [Correctio] Soit z C avec z <. Existece et calcul de lim + + z k) Exercice [ 0396 ] [Correctio] Étudier la covergece de deux suites réelles u ) et v ) vérifiat lim u + v ) = 0 et + Exercice [ 06 ] [Correctio] Soit a R et pour N, Motrer que et détermier lim P. P = lim + e + eu v ) = cos a k k= a ) si P = sia) Exercice 3 [ 0098 ] [Correctio] Détermier les limites des suites dot les termes gééraux sot les suivats : a) u = [] b) u = + x c) u = + ) ) + d) u = cos cos e) u = ta π 4 + )) α + Exercice 4 [ 0030 ] [Correctio] Nature de la suite de terme gééral ) f) u = ) l l+) l []+ []3+ []4 g) u = h) u = u = cosπ l /)) 3 ) arcta+) arcta ) Exercice 5 [ 078 ] [Correctio] Étudier la covergece de la suite a /), où a > 0. Exercice 6 [ ] [Correctio] Soit u ) ue suite d etiers aturels deux à deux disticts. Motrer que u +. Exercice 7 [ 0030 ] [Correctio] Soiet α > 0 et u = k= α + k α a) Motrer que si α > alors u 0 tadis que si α <, u +. b) Motrer que si α =, la suite est mootoe et covergete. c) Toujours das le cas α = et e exploitat l ecadremet l + x) x l x) valable pour tout x [0 ; [, établir u l. Exercice 8 [ 003 ] [Correctio] a) Établir que pour tout x 0 o a b) E déduire la limite de Exercice 9 [ 0039 ] [Correctio] a) Soit x x l + x) x u = u = + k ) k= p k= + k où p N est fixé. Motrer que la suite u ) coverge. Sa limite sera otée l o e demade pas ici de la calculer)
4 [ édité le 5 mai 06 Eocés 4 b) Soit f : R + C de classe C et telle que f0) = 0. Soit p v = f k= ) + k Motrer que v ) coverge. Exprimer sa limite e foctio de l. c) Calculer l e utilisat fx) = l + x). d) Si f de R + das C est cotiue et vérifie f0) = 0, motrer qu il peut y avoir divergece de la suite v ). Limites des suites mootoes Exercice 30 [ 065 ] [Correctio] Soit u ) ue suite croissate de limite l. O pose a) Motrer que v ) est croissate. b) Établir que v u+v. c) E déduire que v l. v = u + + u Exercice 3 [ 066 ] [Correctio] Soit u ) ue suite réelle covergete. Étudier la limite de la suite v = sup p u p. Exercice 3 [ 067 ] [Correctio] Soit u ) ue suite réelle borée. O pose v = sup u p et w = if u p p p Motrer que les suites v ) et w ) possèdet chacue ue limite das R et comparer celles-ci. Exercice 33 [ 068 ] [Correctio] [Somme harmoique] Pour tout N, o pose H = k= k Motrer que E déduire que lim H = +. N, H H Exercice 34 [ 069 ] [Correctio] Soit H ) la suite défiie pour N par a) Motrer que H +. H = b) Soit u ) ue suite telle que u + u ). Motrer que u +. k= Exercice 35 [ 070 ] [Correctio] O pose 3 5 ) u = 4 6 ) a) Exprimer u à l aide de ombres factoriels. b) Motrer que la suite u ) coverge. c) O pose k v = + )u Motrer que la suite v ) coverge. E déduire la limite de la suite u ) d) Simplifier et comparer ce produit à u. k= ) k e) E déduire que la limite C de la suite v ) est strictemet positive. Exercice 36 [ ] [Correctio] Soiet a > 0 et u = + a) + a )... + a ) a) Motrer que si a alors u +. b) O suppose 0 < a <. Motrer que la suite u ) est covergete. O pourra exploiter la majoratio + x e x valable pour tout x R.
5 [ édité le 5 mai 06 Eocés 5 Suites adjacetes Exercice 37 [ 07 ] [Correctio] Soiet θ ]0 ; π/[ et u = si θ, v = ta θ Motrer que les suites u ) et v ) sot adjacetes. Quelle est leur limite commue? Exercice 38 [ 0035 ] [Correctio] O pose u = et v = + k k k= k= Motrer que les suites u ) et v ) sot adjacetes. E déduire u équivalet de k Exercice 39 [ 07 ] [Correctio] Pour tout N, o pose S = k= k= k et S = S + Motrer que les suites S ) et S ) sot adjacetes. O peut motrer que leur limite commue est π /6, mais c est ue autre histoire... Exercice 40 [ 073 ] [Correctio] [Critère spécial des séries alterées ou critère de Leibiz] Soit u ) ue suite de réels décroissate et de limite ulle. Pour tout N, o pose S = ) k u k Motrer que les suites extraites S ) et S + ) sot adjacetes et e déduire que S ) coverge. Exercice 4 [ 074 ] [Correctio] [Irratioalité du ombre de Néper] Soiet a = k! et b = k! +.! = a +.! a) Motrer que a ) et b ) sot strictemet mootoes et adjacetes. O admet que leur limite commue est e. O désire motrer que e / Q et pour cela o raisoe par l absurde e supposat e = p q avec p Z, q N. b) Motrer que a q < e < b q puis obteir ue absurdité. Exercice 4 [ 075 ] [Correctio] [Moyee arithmético-géométrique] a) Pour a, b) R +, établir : ab a + b b) O cosidère les suites de réels positifs u ) et v ) défiies par u 0 = a, v 0 = b et N, u + = u v, v + = u + v Motrer que, pour tout, u v, u u + et v + v. c) Établir que u ) et v ) coverget vers ue même limite. Cette limite commue est appelée moyee arithmético-géométrique de a et b et est otée Ma, b). d) Calculer Ma, a) et Ma, 0) pour a R +. e) Exprimer Mλa, λb) e foctio de Ma, b) pour λ R +. Exercice 43 [ 0034 ] [Correctio] [Irratioalité de e] O pose pour, u = k! et v = u +.! a) Motrer que les suites u ) et v ) sot adjacetes. b) E exploitat l iégalité de Taylor-Lagrage appliquée à la foctio x e x, motrer que u e. c) O suppose que e = p/q avec p, q N. E cosidérat q.q!u q et q.q!v q obteir ue absurdité.
6 [ édité le 5 mai 06 Eocés 6 Suites extraites Exercice 44 [ 076 ] [Correctio] O suppose que u ) est ue suite réelle croissate telle que u ) coverge. Motrer que u ) coverge. Exercice 45 [ 077 ] [Correctio] Soit u ) ue suite complexe telle que u ), u + ) et u 3 ) coverget. Motrer que u ) coverge. Exercice 46 [ 078 ] [Correctio] Justifier que la suite de terme gééral cos) diverge. Exercice 47 [ 0037 ] [Correctio] Motrer que la suite de terme gééral si) diverge. Exercice 48 [ 079 ] [Correctio] Soit u ) ue suite réelle telle que Motrer que u ) ted vers 0. Exercice 49 [ 0334 ] [Correctio] Soit u ) ue suite réelle vérifiat, p N, 0 u +p + p p u + u 0 et u + Motrer qu il existe ue applicatio ϕ: N N strictemet croissate vérifiat u ϕ) 0 Limite de suites de solutios d ue équatio Exercice 50 [ 090 ] [Correctio] Soit u etier aturel et E l équatio x + ta x = d icoue x ] π/ ; π/[. a) Motrer que l équatio E possède ue solutio uique otée x. b) Motrer que la suite x ) coverge et détermier sa limite. Exercice 5 [ 088 ] [Correctio] Motrer que l équatio xe x = possède pour tout N, ue uique solutio x das R +. Étudier la limite de x ). Exercice 5 [ 09 ] [Correctio] Soit u etier aturel o ul et E l équatio : x l x = d icoue x R +. a) Motrer que l équatio E admet ue uique solutio x, et que x. b) Motrer que la suite x ) est décroissate et coverge vers. Exercice 53 [ 09 ] [Correctio] Soiet N et E : x + x + + x = a) Motrer que l équatio E possède ue uique solutio x das R + et que x [/ ; ] b) Motrer que x ) coverge. c) Détermier la limite de x ). Exercice 54 [ 0034 ] [Correctio] Motrer que pour tout, l équatio x! = possède ue uique racie x das ]0 ; + [. Détermier lim x. Exercice 55 [ 0035 ] [Correctio] Motrer que la relatio u + + )u = défiit ue suite positive u ) uique. Étudier sa covergece et préciser sa limite. x k k!
7 [ édité le 5 mai 06 Eocés 7 Expressio du terme gééral d ue suite récurrete Exercice 56 [ 093 ] [Correctio] Doer l expressio du terme gééral et la limite de la suite récurrete réelle u ) 0 défiie par : a) u 0 = 0 et N, u + = u + b) u 0 = 0 et N, u + = u+. Exercice 57 [ 094 ] [Correctio] Soit x ) et y ) deux suites réelles telles que N, x + = x y et y + = x + y E itroduisat la suite complexe de terme gééral z = x + i.y, motrer que les suites x ) et y ) coverget et détermier leurs limites. Exercice 58 [ 095 ] [Correctio] Soit z ) ue suite complexe telle que N, z + = 3 z + z ) Motrer que z ) coverge et exprimer sa limite e foctio de z 0. a) Exprimer z sous forme d u produit. b) Détermier lim + z. Exercice 6 [ ] [Correctio] Étudier la suite z ) 0 défiie par z 0 C et Exercice 6 [ 0056 ] [Correctio] Soit u ) ue suite réelle telle que N, z + = z + z u 0 = et N, u + = + ) u + Doer l expressio du terme gééral u de cette suite. Suites récurretes liéaires d ordre Exercice 63 [ 098 ] [Correctio] Doer l expressio du terme gééral de la suite récurrete complexe u ) 0 défiie par : u 0 = 0, u = + 4 i et N, u + = 3 i)u i)u Exercice 59 [ 096 ] [Correctio] Soit u ) et v ) les suites détermiées par u 0 =, v 0 = et pour tout N : u + = 3u + v et v + = u + 3v a) Motrer que la suite u v ) est costate. b) Prouver que u ) est ue suite arithmético-géométrique. c) Exprimer les termes gééraux des suites u ) et v ). Exercice 60 [ 097 ] [Correctio] Soiet ρ > 0 et θ ]0 ; π[. O cosidère la suite complexe z ) défiie par z 0 = ρe iθ et N, z + = z + z Exercice 64 [ 099 ] [Correctio] Doer l expressio du terme gééral des suites récurretes réelles suivates : a) u ) 0 défiie par u 0 =, u = 0 et N, u + = 4u + 4u b) u ) 0 défiie par u 0 =, u = et N, u + = 3u + u c) u ) 0 défiie par u 0 =, u = et N, u + = u + u. Exercice 65 [ 0300 ] [Correctio] Soit θ ]0 ; π[. Détermier le terme gééral de la suite réelle u ) défiie par : u 0 = u = et N, u + cos θu + + u = 0 Exercice 66 [ 0683 ] [Correctio] Détermier les foctios f : R + R + vérifiat x > 0, ffx)) = 6x fx)
8 [ édité le 5 mai 06 Eocés 8 Etude de suites récurretes Exercice 67 [ 0304 ] [Correctio] Étudier la suite u ) défiie par u 0 = a R et N, u + = u a) Justifier que la suite u ) est bie défiie et N, u [ ; ] b) Quelles sot les limites fiies possibles pour u )? c) Motrer que u ) coverge puis que lim u = 0. E déduire lim u. Exercice 68 [ 0305 ] [Correctio] Étudier la suite u ) défiie par Exercice 69 [ 0303 ] [Correctio] Étudier la suite u ) défiie par Exercice 70 [ 0306 ] [Correctio] Étudier la suite u ) défiie par Exercice 7 [ 0307 ] [Correctio] Étudier la suite u ) défiie par Exercice 7 [ 0308 ] [Correctio] Étudier la suite u ) défiie par u 0 R et N, u + = u + u 0 = et N, u + = + u u 0 et N, u + = + lu ) u 0 R et N, u + = e u u 0 > 0 et N, u + = + u Exercice 74 [ 030 ] [Correctio] Soit a C tel que 0 < a < et u ) la suite défiie par u u 0 = a et N, u + = u Motrer que u ) est bie défiie et u <. Étudier la limite de u ). Exercice 75 [ 03 ] [Correctio] Soit a > 0 et u ) la suite défiie par u 0 > 0 et N, u + = u + a ) u a) Étudier la covergece de la suite u ). b) O pose pour tout N v = u a u + a Calculer v + e foctio de v, puis v e foctio de v 0 et. c) Motrer que, si u 0 > a, o a u a u0.v 0 Aisi, u réalise ue approximatio de a à la précisio u 0.v 0 0. O peut alors par des calculs élémetaires, détermier ue approximatio de a. Exercice 73 [ 0309 ] [Correctio] Soit u ) la suite réelle défiie par u 0 = a [ ; ] et N, u + = u Exercice 76 [ 033 ] [Correctio] O cosidère l équatio l x + x = 0 d icoue x > 0. a) Motrer que l équatio possède ue uique solutio α.
9 [ édité le 5 mai 06 Eocés 9 b) Former, par l algorithme de Newto, ue suite récurrete réelle u ) covergeat vers α. Exercice 8 [ 0038 ] [Correctio] Étudier la suite défiie par Exercice 77 [ 03 ] [Correctio] Détermier le terme gééral de la suite u ) défiie par : u 0 = a > 0, u = b > 0 et N, u + u = u + À quelle coditio u ) coverge? Exercice 78 [ 030 ] [Correctio] Soit a R +. O défiit ue suite u ) par a) Détermier la limite de u ). b) Détermier la limite de u + u. Exercice 79 [ ] [Correctio] Établir u 0 = a et N, u + = = + u k u 0 R + et N, u + = + 4 u Exercice 8 [ ] [Correctio] Soiet a > 0, u = a, u = a + a, u 3 = a + a + a, Motrer que u ) est covergete. Exercice 83 [ 0033 ] [Correctio] Soit et u ) la suite défiie par f : x x3 + 3 u 0 R et N, u + = fu ) a) Justifier que l équatio fx) = x possède trois racies réelles qu o exprimera pas). b) Étudier le sige de fx) x aisi que la mootoie de f. c) Préciser le comportemet de u ) e discutat selo la valeur de u 0. Exercice 80 [ 039 ] [Correctio] Soit u ) ue suite réelle vérifiat Soit v ) la suite détermiée par N, u [/ ; ] v 0 = u 0 et N, v + = v + u + + u + v Motrer que la suite v ) coverge et détermier sa limite. Exercice 84 [ 0033 ] [Correctio] Soiet avec a > 0) et u ) la suite défiie par f : x x3 + 3ax 3x + a u 0 > 0 et N, u + = fu ) Étudier les variatios de f, le sige de fx) x et e déduire le comportemet de u ).
10 [ édité le 5 mai 06 Eocés 0 Exercice 85 [ ] [Correctio] Soiet u 0 ]0 ; [ et pour tout N, u + = u u Motrer que u ) est mootoe de limite ulle. Détermier les limites des suites dot les termes gééraux sot les suivats u k et u k ) Exercice 86 [ ] [Correctio] Soit f : [a ; b] [a ; b] ue foctio de classe C telle que x [a ; b], f x) < a) Motrer que f admet u poit fixe uique α. b) Motrer, pour tout u [a ; b], la covergece vers α de la suite u ) défiie par u 0 = u et N, u + = fu ) Exercice 87 [ ] [Correctio] Soit f : [a ; b] [a ; b] ue foctio lipschitziee et α [a ; b]. O cosidère la suite défiie par u 0 = α et u + = u + fu ) Motrer que u ) coverge vers u poit fixe de f. Exercice 88 [ 0039 ] [Correctio] Soit u ) la suite défiie par u 0 ]0 ; 4[ et N, u + = 4u u a) Motrer que u ) est borée. Quelles sot les limites possibles de u )? b) Motrer que si u ) coverge alors u ) est soit statioaire égale à 0, soit statioaire égale à 3. c) E posat u 0 = 4 si α, détermier les valeurs de u 0 pour lesquelles la suite u ) est statioaire. Exercice 89 [ ] [Correctio] Soiet ρ R + et θ ] π ; π]. O cosidère la suite complexe z ) N défiie par a) Exprimer z à l aide d u produit. z 0 = ρ e iθ et N, z + = z + z b) Détermier la limite de la suite z ) N. Exercice 90 [ ] [Correctio] Soit u ) ue suite de réels positifs telle que N, u + u + u + ) Motrer que u ) coverge. O pourra commecer par étudier la mootoie de v = maxu +, u ). Exercice 9 [ ] [Correctio] Soiet u ) N et v ) N les suites récurretes réelles défiies par : u 0, v 0 R + et N, u + = u v, v + = u + v Motrer que les suites u ) N et v ) N coverget vers ue même limite. Exercice 9 [ 0036 ] [Correctio] Pour α ]0 ; π/], o étudie les suites u ) et v ) défiies par { u0 = cos α v 0 = et N, { u+ = u + v )/ v + = u + v a) Établir que pour tout N, u = v cos α et v = cos α k k= b) Étudier si α v et e déduire les limites de u ) et v ).
11 [ édité le 5 mai 06 Eocés Exercice 93 [ 0783 ] [Correctio] Soit x ) N ue suite de réels positifs. O pose, pour tout > 0, y = x + x + + x a) Ici x = a pour tout, où a > 0. Étudier la covergece de y ). b) Même questio das le cas où x = ab pour tout, avec b > 0. c) Motrer que y ) coverge si, et seulemet si, la suite x ) est borée. Exercice 94 [ 0365 ] [Correctio] Soiet a ) ue suite réelle positive, borée et u ) la suite récurrete défiie par u 0 > 0 et u + = u + a + pour tout N Motrer que la suite u ) coverge si, et seulemet si, la suite a ) coverge. Exercice 95 [ ] [Correctio] Motrer que la suite réelle x ) défiie par x 0 [a ; b] et N, x + = fx ) + x ) où f est -lipschitziee de [a ; b] das [a ; b], coverge vers u poit fixe de f.
12 [ édité le 5 mai 06 Correctios Correctios Exercice : [éocé] Posos m = l + l )/. O a u l < m. Pour ε = m l > 0, il existe 0 N tel que 0, u l < ε et doc 0, u < m De faço symétrique, il existe N tel que et alors pour tout max 0, ) o a, v > m u < m < v Exercice : [éocé] Si u ) est statioaire, il est clair que cette suite coverge. Iversemet, supposos que u ) coverge et otos l sa limite. Motros l Z. Par l absurde, si l / Z alors El) < l < El) + doc à partir d u certai rag El) < u < El) +. Or u Z. Absurde. Aisi l Z. Puisque u l et l < l < l +, à partir d u certai rag l < u < l +. Or u Z et l Z doc u = l. Fialemet u ) est statioaire égale à l. Exercice 3 : [éocé] O a l ecadremet doc u a puis 0 a u a u ) + b v ) = a + b) u + v ) 0 Exercice 5 : [éocé] O a doc maxa, b) = a + b) + a b ) maxu, v ) = u + v ) + u v ) maxlim u, lim v ) Exercice 6 : [éocé] O a 0 u + v ) = u + u v + v u + u v + v ) 0 Aisi u + v 0 puis et doc u v = u + v ) u + u v + v ) 0 u + v = u + u v + v ) u + v ) 0 qui permet de coclure u 0 et v 0. Exercice 7 : [éocé] O a u v u, v Par le théorème d ecadremet o obtiet lim u = lim v = Exercice 8 : [éocé] Puisque u + /u 0 < /, il existe u rag N N vérifiat N, u + /u / v = u + v ) u a + b) a = b c est-à-dire N, u + u Exercice 4 : [éocé] Supposos u + v l et u v l. u = u + v ) + u v ) l+l et de même v l l. O a alors par récurrece et doc par comparaiso u 0. N, u N u N
13 [ édité le 5 mai 06 Correctios 3 Exercice 9 : [éocé] Motros que la suite u ) coverge vers 0 par l epsilotique... Soit ε > 0. Puisque la suite ε ) coverge vers 0, il existe u rag N N pour lequel N, 0 ε ε et alors pour tout N O e déduit et par récurrece 0 u + u + ε K 0 u + u K + ε K + ε K p N, 0 u +p u p K p + ε K i i= La suite u ) est majorée par et o peut ecore écrire p N, 0 u +p K p + ε /K) p K /K K p + ε K Pour p assez grad, o a /K p ε et alors 0 u +p ε + ε K = λε avec λ ue costate strictemet positive ce qui permet de coclure. d) Exercice : [éocé] u = + ) a) u = e l+/)) or l + ) = / l ) + car l+x) x. Par x 0 suite u e. b) u = e l car l 0. c) si d) + ) / = e lsi ) or l si ) ) ) = e l +) or l + Exercice : [éocé] a) u 0 doc u 0. b) 0 u... c) + u doc u 0. avec +, + doc u. d) Pour 3, 0 u e 3) 0 doc u 0. e) u []3 = e l 3 doc u. l 0 doc si ) /. ) doc + e. Exercice 0 : [éocé] Exercice 3 : [éocé] a) b) c) u = u = /3) + /3) = u = + / + / 0 a) S k= = + b) S k= = +. c) 0 S k= + = + 0 doc u 0. d) 0 S k=+ +) +) 0. e) k= + S k= + doc f) = + k= S + k= gedarmes : S. + S = puis u. par le théorème des g) S =! )! + )! + + ). Par regroupemet de termes. Si est pair alors S! )! et si est impair S! )!. Puisque! )! = ). )! +, o a S +.
14 [ édité le 5 mai 06 Correctios 4 Exercice 4 : [éocé] ) lim + m = m et lim m + lim + m ) =. ) lim m + m = 0 et lim + lim m + m ) = 0. ) = e l ) e. Exercice 5 : [éocé] a) Soit ρ = l+ de sorte que l < ρ <. Comme []u l < ρ, il existe u rag N au delà duquel []u ρ doc 0 < u ρ. O a alors u 0. b) Même démarche mais par mioratio. c) u =, u = et u = / sot des exemples prouvat qu o e peut rie dire. Exercice 6 : [éocé] a) Soit ρ = l+ de sorte que l < ρ <. Comme u+ u l < ρ, il existe u rag N au delà duquel O a alors u + u ρ 0 u = u u u u un+ u N u N ρ N u N 0 doc u 0. O peut aussi raisoer e observat que la suite u ) est décroissate à partir d u certai rag, doc covergete et que sa seule limite possible est ulle. b) Même démarche mais par mioratio ou par croissace. c) u =, u = et u = / sot des exemples prouvat qu o e peut rie dire. Exercice 7 : [éocé] a) O a p+ p dx p+ x dx p p = p car la foctio décroissate x x est majorée par p Par u argumet semblable p dx p x dx p p = p Pour, +k+ +k p doe e sommat + + Or + et doc S l. b) O a + dx x +k + k dx +k x dx x dx x S dx x S = = doc S = k= k k = k= = l + + l dx x = l sur [p ; p + ] ) ) k=+ k = k= + k = S Par suite S l. De plus S + = S + + l doc Exercice 8 : [éocé] O a u = + + S l k= ) + k +
15 [ édité le 5 mai 06 Correctios 5 Or pour k {,..., }, doc puis u. Exercice 9 : [éocé] ) k k= ) ) = ) 3) 0 k ) 0 Exercice 0 : [éocé] O a z) + z k) = z) + z) + z )... + z ) Or z) + z) = z doc z) E répétat la maipulatio + z k) = z ) + z )... + z ) z) + z k) = z + ) a) d où la relatio. ) + p + + b) Par récurrece sur N : Pour = : p+ S = ) et = + p + + ok Supposos la propriété établie au rag. ) + p + + p p + ) p + )p + ) ) = p + S + = S +u + = HR p +p+)u +)+u + = Or z + 0 doc p +)u +) = suites p +p+)u tedet vers +). O e déduit u 0 puis v 0. lim + + z k) = z Exercice : [éocé] Exploitos S = e u + e v et P = e u.e v = e u+v Les ombres e u et e v sot solutios de l équatio X e u )X e v ) = 0 i.e.x S X + P = 0 À l ordre près, o peut exprimer e u et e v à partir du discrimiat de cette équatio. Or S et P, le discrimiat ted alors vers 0 et les deux c) Récurrece établie. d) Par opératios 0 v = + p ) = +p!p! + p )! p! + 0 S p Exercice : [éocé] E exploitat la formule six) = si x cos x si a P = si a cos a cos a =... = sia) Si a = 0 alors P =. Si a 0 alors, pour assez grad, sia/ ) 0 et P = sia) si a
16 [ édité le 5 mai 06 Correctios 6 Puisque o a puis car six) x = P = six) si 0 x 0 si a/ a/ + cos0) = x 0 sia) sia) si a + a si a + a = a Exercice 5 : [éocé] Si a ]0 ; [, la suite est costate égale à 0. Si a =, la suite est costate égale à. Si a > alors a < a a doe a ) / < a / a et doc, par ecadremet, la suite coverge vers a. Exercice 6 : [éocé] A R +, l esemble E = { N u < A} est fii car il cotiet au plus EA) + élémets. Par suite il possède u plus grad élémet N et alors N +, u / E doc u A. Aisi u +. Exercice 3 : [éocé] a) u = exp l /). b) u = exp l + )) x = exp x + o)) e x. )) c) u = exp + ) l + = exp + o)) e. ) ) ) ) d) u = si + + / si / = O ) 0. e) ta π 4 + ) α = + α + o ) doc u = exp l + α + o ))) = expα + o)) e α. f) u = + l + o l l )) e. g) [] = exp l ) = + l + o), u = + h) Par le théorème des accroissemets fiis avec c + doc larcta + )) larcta ) = + c arcta c u = exp ) + c e /π arcta c Exercice 4 : [éocé] E développat l /) u = cos π + π ) + o) = ) + sio)) 0 l o )) [3]4. Exercice 7 : [éocé] a) Si α > alors 0 u α + 0 doc u 0. Si α < alors u = α + doc u +. α + α b) u + u = + > 0 doc u ) est croissate. De plus u + doc u ) est majorée et par coséquet covergete. c) u = + k l ) ) = l + k = l k= et u = doc u l k= k= Exercice 8 : [éocé] + k l + ) ) = l + + k + l k= a) Il suffit de dresser le tableau de variatio des foctios x l + x) x + x et x x l + x). b) l u k= k + ) =
17 [ édité le 5 mai 06 Correctios 7 et doc l u k= ) k k 4 = + + ) + ) 6 3 u e d) Pour fx) = x, Exercice 30 : [éocé] v = p k= + k p + )p + Exercice 9 : [éocé] a) La suite u ) est croissate car u + u = p + ) )p + ) + 0 et u p + p doc u ) coverge vers ue limite l. b) Commeços par le cas où f 0) = 0. Soit ε > 0, il existe α > 0 tel que pour tout x [0 ; α] o ait f x) ε et par l iégalité des accroissemets fiis, o obtiet O a alors x [0 ; α], fx) ε x v = p k= ε + k pε et doc v 0. Pour le cas gééral, il suffit d itroduire gx) = fx) xf 0). Puisque g 0) = 0, o a et doc et fialemet v lf 0). c) Pour fx) = l + x), p k= ) g + k v u f 0) p v = l + k + ) l + k) = lp + ) + ) l + ) lp + ) k= O coclut l = lp + ). a) b) doc v ) est croissate. v + v = u + u + + u ) + ) v = u + + u + u u v + u c) O a v l pour tout N et v ) croissate doc v ) coverge vers u réel l l. La relatio précédete, passée à la limite, doe l l + l ce qui permet de coclure v l. Exercice 3 : [éocé] u ) coverge doc u ) est borée. La suite v ) est doc bie défiie et elle-même borée. O a v + v doc v ) est décroissate et doc coverge. Posos l = lim u et l = lim v. v u doc à la limite l l. Si l > l alors l > l +l > l. À partir d u certai rag v > l+l et u < l+l. Impossible. Il reste l = l. Exercice 3 : [éocé] Pour tout N {u p p + } {u p p } doc v + v et w + w. Les suites v ) et w ) sot respectivemet décroissate et croissate. De plus w v. La suite v ) est décroissate et miorée par w 0 doc elle coverge vers ue limite l. De même la suite w ) coverge vers ue limite m. Efi w v doe à la limite m l 0
18 [ édité le 5 mai 06 Correctios 8 Exercice 33 : [éocé] O a H H = k=+ k k=+ = = H ) est croissate car H + H = + 0. Si H ) coverge vers l alors H H l l = 0. Ceci est impossible puisque H H. Par suite H ) diverge, et puisque H ) est croissate, H ) diverge vers +. Exercice 34 : [éocé] a) Sachat l + x) x, o a doc doc H +. k l + ) = lk + ) l k k H lk + ) l k = l + ) k= b) Il existe N N tel que pour tout N, O a alors u + u N u + u ) / u k+ u k k=n k=n k = H H N ) + b) O a c) u + + ) + ) = u 4 + ) = + + doc u ) est décroissate. Or u ) est miorée par 0 doc u ) coverge. v + = + u + v + u = + + ) + + or + ) + ) 4 + ) 3 = 3 < 0 doc v + v 0. v ) est décroissate et miorée par 0 doc v ) coverge. Nécessairemet lim u = 0 car sio v = + )u +. d) Par télescopage des facteurs Parallèlemet u = k= e) O e déduit k= ) k ) = k 3... = ) ) ) = k k k= + )u + ) 4 et doc C /4. O peut motrer que C = /π e exploitat dès la première questio la formule de Stirlig si celle-ci est coue... ). Exercice 36 : [éocé] k= ) k puis u +. Exercice 35 : [éocé] a) u = )!!) a) Si a alors u + doc u +. b) u > 0 et u+ u > doc u ) est croissate. De plus u e a e a... e a = exp a ) ) a a exp a a doc u ) est majorée et par suite covergete.
19 [ édité le 5 mai 06 Correctios 9 Exercice 37 : [éocé] Via si a = si a cos a, o obtiet Via ta a = u = + si ta a ta a, o obtiet θ + cos θ + u + v = + taθ/ + ) ta θ/ + ) v + si x x et ta x x doc u θ et v θ d où v u 0. x 0 x 0 Les suites u ) et v ) sot adjacetes de limite commue égale à θ. Exercice 38 : [éocé] u + u = + + ) = De même v + v 0 et aisémet v u 0 d où l adjacece de ces deux suites. Notos l leur limite commue, o a k= Exercice 39 : [éocé] O a et S + S = k = + l + o) = + o ) S + S = + ) 0 + ) + + = + ) + ) 0 S S = 0 D autre part Efi S +)+ S + = u +3 + u + 0 S + S = u + 0 Les suites S + ) et S ) état adjacetes, elles coverget vers ue même limite. Par coséquet S ) coverge aussi vers cette limite. Exercice 4 : [éocé] a) a + a = doc a ) est strictemet croissate. b + b = + )! > 0 + )! + + ) + )! + ) + ) = < 0.! + ) + )! doc b ) est strictemet décroissate. Efi b a =.! 0 b) O a Par suite puis Or p.q! Z et q.q!.a q = q q somme d etiers. C est absurde. a q < a q+ e b q+ < b q a q < p q < a q + q.q! q.q!a q < p.q! < q.q!a q + q! k! Z car la somme apparaît comme ue Exercice 40 : [éocé] D ue part S +) S = u + u + 0 Exercice 4 : [éocé] a) a b ) 0 doe l iégalité demadée.
20 [ édité le 5 mai 06 Correctios 0 b) Pour, u = u v u +v = v e vertu de a. u + = u v u = u et v + = u+v v = v. c) La suite u ) est croissate et majorée par v doc elle coverge vers ue limite otée l. La suite v ) est décroissate est miorée par u doc elle coverge vers ue limite otée l. E passat la relatio v + = u+v à la limite, o obtiet l = l+l d où l = l. d) Si b = a alors les deux suites u ) et v ) sot costates égales à a et doc Ma, a) = a. Si b = 0 alors la suite u ) est costate égale à 0 et doc Ma, 0) = 0. e) Notos u ) et v ) les suites défiies par le procédé précédet à partir de u 0 = λa et v 0 = λb. Par récurrece, u = λu et v = λv doc Mλa, λb) = λma, b). Exercice 43 : [éocé] a) Aisémet u ) est croissate v ) décroissate et v u 0. b) Par l iégalité de Taylor-Lagrage, pour tout x [0 ; ], x k ex k! M +x + + )! avec M + = sup x [0;] e x ) +) = e. Pour x =, o obtiet doc u e. e u e + )! 0 c) Par la stricte mootoie des suites u ) et v ) o a u < e < v pour tout N. q.q!u q est u etier et q.q!v q est l etier cosécutif. Or q.q!u q < q.q! e < q.q!v q doc q.q! e e peut être etier. Or q.q! e = p.q! N. Absurde. Exercice 44 : [éocé] La suite u ) état croissate, elle admet ue limite fiie ou ifiie). La suite u ) qui e est extraite a la même limite. Or u ) coverge, il e est doc de même de u ). Exercice 45 : [éocé] u l, u + l et u 3 l. u 6 ) est extraite de u ) et u 3 ) doc u 6 l et u 6 l. Par suite l = l. u 6+3 ) est extraite de u + ) et u 3 ) doc u 6+3 l et u 6+3 l. Par suite l = l. Il e découle l = l. Puisque les suites extraites u ) et u + ) coverget vers ue même limite, la suite u ) coverge vers celle-ci. Exercice 46 : [éocé] Par l absurde, supposos cos) l R. doe cosp) + cosq) = cos p + q cos p q cos + ) + cos ) = cos cos) À la limite o obtiet l = l cos) d où l = 0. Or cos = cos doe alors à la limite 0 =. Absurde. Exercice 47 : [éocé] Par l absurde, supposos si) l R. doe sip) siq) = si p q cos p + q si + ) si ) = si) cos) À la limite, o obtiet cos) 0. Or cos) = cos ) doe alors à la limite 0 =. Absurde. Exercice 48 : [éocé] D ue part D autre part O e déduit u 0. 0 u = 0 0 u ) 0
21 [ édité le 5 mai 06 Correctios Exercice 49 : [éocé] O défiit les valeurs de ϕ par récurrece e posat et pour tout N, ϕ0) = 0 ϕ) = mi {k N k > ϕ ) et u k } Puisque u +, ϕ) est bie défii e tat que plus petit élémet d ue partie o vide de N. Il est immédiat par costructio que ϕ est ue applicatio strictemet croissate de N vers N. Il reste à vérifier u ϕ) 0 Par costructio, o a pour N u ϕ) et puisque ϕ) / {k N k > ϕ ) et u k }, o a ϕ) = ϕ ) ou u ϕ) < Observos qu il e peut y avoir qu u ombre fii de pour lesquels ϕ ) = ϕ) Puisque u + u 0, à partir d u rag N, o a u + u < / Par costructio u ϕn) = N + α avec α 0. O a alors u ϕn)+k N + α + k/ Pour k assez grad, o a Or doc u ϕn)+k < N + k u ϕn+k) N + k ϕn + k) ϕn) + k Aisi, il est pas possible que pour tout p {N +,..., N + k} o ait ϕp) = ϕp ) et doc il existe p N + vérifiat et puisque uϕp) u ϕp) < /, o a et par récurrece o obtiet u ϕp) < p et u ϕp) p u ϕp) [p ; p + /[ q p, u ϕq) [q ; q + /[ Au-delà du rag p + o e peut avoir la propriété car celle-ci etraîe ϕ) = ϕ ) u ϕ ) [ ; /[ et u ϕ) [ ; + /[ Fialemet, o a obteu qu à partir d u certai rag Cela etraîe et doc Exercice 50 : [éocé] u ϕ) < et u ϕ) 0 u ϕ) u ϕ) u ϕ) 0 u ϕ) 0 a) Le tableau de variatio de f : x x + ta x permet d affirmer que cette foctio réalise ue bijectio croissate de ] π/ ; π/[ vers R. L équatio E possède alors pour solutio uique x = f ) b) O a x + ta x = avec x ] π/ ; π/[ doc x = arcta x ) Or x + car x ) borée et doc x π
22 [ édité le 5 mai 06 Correctios Exercice 5 : [éocé] Soit f : R + R défiie par fx) = xe x. f est dérivable et f x) = x + )e x > 0 doc f est strictemet croissate. f0) = 0 et lim + f = + doc l équatio xe x = possède ue uique solutio x. x = f ) +. Exercice 5 : [éocé] a) Le tableau de variatio de f : x x l x permet d affirmer que l équatio f x) = possède ue uique solutio x sur R + et que de plus x [ ; + [. b) = x + + l x + = x + f x + ) doc f x + ) = x + = f x ) doc x + x car f est strictemet croissate sur [ ; + [. La suite x ) est décroissate et miorée par doc elle coverge. Posos l sa limite, o a l Si l > alors x l x l l l + ce qui est absurde car x l x =. Il reste l =. Exercice 53 : [éocé] a) Itroduisos la foctio f : x x + + x qui est cotiue, strictemet croissate et vérifie f 0) = 0 et lim f x) = + x + La foctio f réalise ue bijectio de [0 ; + [ vers [0 ; + [, par suite l équatio E possède ue uique solutio x R +. Puisque f /) = / / < et f ) = o a x [/ ; ]. b) O a doc f + x ) = x x + x = x x + + x ) + x = x x + x La suite x ) est décroissate et miorée, doc elle coverge. c) Posos l = lim x. Puisque x <, x x doe à la limite l <. doe à la limite car 0 x x 0 et fialemet = x + + x = x x x = l l l = / Exercice 54 : [éocé] O pose f x) = x! xk k!. O observe que f 0) =, lim x + f x) = + et f + = f. La propriété est vrai pour = et si elle est vrai au rag, le tableau de sige de f permet d assurer que f + est décroissate et doc strictemet égative) sur [0 ; x ] puis strictemet croissate sur [x ; + ]. Par le théorème des valeurs itermédiaires, o peut assurer que f s aule e u x + > x et celui-ci est uique. La suite x ) est croissate. Si elle est majorée alors elle coverge vers u réel l et x! 0. Or la suite de terme gééral est x k k! est croissate et strictemet positive. Elle e peut doc coverger vers 0. Par coséquet la suite x ) est pas majorée et, état croissate, elle diverge vers +. Exercice 55 : [éocé] L étude des variatios de la foctio x x + + )x assure l existece et l uicité de u > 0 vérifiat la relatio u + + )u = De plus o peut affirmer u. Puisque u u ) ) = et u o a puis permet de coclure u. u ) 0 u /
23 [ édité le 5 mai 06 Correctios 3 Exercice 56 : [éocé] a) Posos v = u +. v ) est géométrique de raiso et v 0 = doc u = +. b) Posos v = u. v ) est géométrique de raiso / et v 0 = doc u =. Exercice 57 : [éocé] O a z + = + i z doc ) + i z = z 0 Or +i < doc z 0 puis x, y 0. Exercice 58 : [éocé] Itroduisos x = Rez ) et y = Imz ). O a x x 0 et y 0 doc z Rez 0 ). Exercice 59 : [éocé] x + = x et y + = y 3 a) u + v + = u v et u 0 v 0 = doc u v ) est costate égale à. b) v = u + doc u + = 5u +. La suite u ) est arithmético-géométrique. c) u + a = 5u a) + 4a +. Pour a = /, u a) est géométrique de raiso 5 et de premier terme 3/. Aisi Exercice 60 : [éocé] u = 3.5 et v = a) z = ρ +eiθ = ρ cos θ ei θ, z = ρ cos θ cos θ 4 ei θ 4,..., doc b) e iθ/ et doc k= z = ρ k= cos θ k ei θ cos θ k = si θ si θ si θ θ z ρ si θ θ Exercice 6 : [éocé] O peut écrire z 0 = ρe iθ avec ρ 0 et θ ] π ; π] O a alors z = ρ + eiθ = ρ cos θ ei θ, z = ρ cos θ cos θ 4 ei θ 4,..., z = ρe i θ Si θ = 0 alors z = ρ ρ. Sio, pour tout N, si θ 0 et si θ k= cos θ k = si θ par exploitatios successives de l idetité si a = si a cos a. O e déduit cos θ k = si θ si θ si θ θ Fialemet k= Exercice 6 : [éocé] u 0 =, u =, u = 3,... Par récurrece, o motre aisémet z ρ si θ θ N, u = + k= cos θ k
24 [ édité le 5 mai 06 Correctios 4 Exercice 63 : [éocé] u ) est ue suite récurrete liéaire d ordre d équatio caractéristique r 3 i)r i) = 0. O obtiet u = + i) 3 i) Exercice 64 : [éocé] Ce sot des suites récurretes liéaire d ordre dot le terme gééral s obtiet à partir de la résolutio de l équatio caractéristique associée. a) u = ). b). u = 3 + c) u = cos )π 3. Exercice 65 : [éocé] u ) est ue suite récurrete liéaire d ordre d équatio caractéristique de solutios r = e iθ et r = e iθ. Par suite, il existe α, β R tels que r cos θr + = 0 N, u = α cos θ + β si θ = 0 doe α = et = doe α cos θ + β si θ = doc Fialemet β = cos θ si θ N, u = cos θ + ta θ = si θ/ si θ Exercice 66 : [éocé] Soit f ue foctio solutio. Pour x > 0, o cosidère la suite u ) détermiée par = ta θ si θ = cos )θ/) cosθ/) u 0 = x et N, u + = fu ) La suite u ) est formée de réels strictemet positifs et satisfait la relatio de récurrece liéaire N, u + + u + 6u = 0 Les racies de l équatio caractéristique associée sot et 3 de sorte qu il existe λ, µ R vérifiat N, u = λ + µ 3) Puisque la suite u ) est formée que de réels strictemet positifs, il est écessaire que µ soit ul. Après résolutio cela doe fx) = x. Iversemet, cette foctio est bie solutio. Exercice 67 : [éocé] O a u 0 = a, u = a, u = a 4, par récurrece u = a. Pour a < alors u 0, pour a =, u et pour a >, u +. Exercice 68 : [éocé] La suite u ) est bie défiie et supérieure à à partir du rag car la foctio itératrice f : x x + est défiie sur R et à valeurs das [ ; + [. u + u = u u + 0 car le discrimiat de x x + est = 3 < 0. La suite u ) est croissate. Si celle-ci coverge vers u réel l alors e passat à la limite la relatio d itératio : l = l +. Or cette équatio e possède pas de racies réelles. Par suite u ) diverge, or elle est croissate, doc u ) diverge vers +. Exercice 69 : [éocé] Pour tout u + u = u u + u + + u Puisque u u 0 = 0, la suite u ) est croissate. Si u ) coverge vers l alors u + = + u doe à la limite l = + l doc l l = 0 et l 0. Par suite l = + 5 = α Par récurrece o motre aisémet que N, u α et par suite u ) coverge vers α.
25 [ édité le 5 mai 06 Correctios 5 Exercice 70 : [éocé] La suite u ) est bie défiie et à valeurs strictemet supérieure à car sa foctio itératrice f : x + l x est défiie sur [ ; + [ à valeurs das [ ; + [. Pour : u + u = lu ) lu ) est du sige de u u. La suite u ) est mootoe et de mootoie détermiée par le sige de u u 0 = + l u 0 u 0. Étudios la foctio gx) = x + l x x défiie sur [ ; + [. g est dérivable, g x) = x 0 e s aulat qu e, g) = 0 doc g est strictemet égative sur ] ; + [. La suite u ) est décroissate. De plus elle est miorée par, doc elle coverge vers u réel l. E passat la relatio d itératio à la limite, o obtiet l = + l l i.e. gl) = 0. Par l étude de la foctio g, o coclut l =. Fialemet u ) coverge vers. Exercice 7 : [éocé] La suite u ) est bie défiie car sa foctio itératrice f : x e x est défiie sur R. Pour, u + u = e u e u est du sige de u u. La suite u ) est mootoe et de mootoie détermiée par le sige de u u 0 = e u0 u 0. Étudios la foctio gx) = e x x défiie sur R. g est dérivable et g x) = e x du sige de x. g0) = 0 doc g est positive. Si u 0 = 0 alors u ) est costate égale à 0. Si u 0 > 0 alors u ) est croissate. Si u ) coverge vers u réel l alors l = e l doc l = 0. Or u ) est miorée par u 0 > 0 doc e peut coverger vers 0. Par suite u ) diverge vers +. Si u 0 < 0 alors u ) est croissate et majorée par 0 doc u ) coverge vers la seule limite fiie possible 0. Exercice 7 : [éocé] La suite u ) est bie défiie et strictemet positive car de foctio itératrice f : x +x défiie sur R + et à valeurs das R +. Si la suite u ) coverge, sa limite l vérifie l = +l et l 0 doc l = +. u + l = + u + l = u l + u ) + l) 4 u l Par récurrece, o motre u l = 4 u 0 l et o coclut u l. Exercice 73 : [éocé] a) L applicatio x x est défiie de [ ; ] vers [0 ; ] [ ; ]. b) Supposos u l. Puisque, u [0 ; ], à la limite l [0 ; ]. La relatio u + = u doe à la limite l = l doc l + l = 0 d où l = ou l =. Or l 0 doc l =. c) u + = u + u u doc u ) est décroissate et par suite coverge vers α 0. Si α > 0 alors + u = u u + doc u 0 puis u. C est impossible. Nécessairemet u 0 et doc u. Exercice 74 : [éocé] Par récurrece motros u existe et u <. Pour = 0 : ok Supposos la propriété établie au rag 0. Par HR, u existe et u < doc u 0 d où u + = Récurrece établie. u + u u u u < u + u u u doc u ) est décroissate d où u a puis puis Par suite u 0. u u + u a ) a 0 a u u existe et
26 [ édité le 5 mai 06 Correctios 6 Exercice 75 : [éocé] La suite u ) est bie défiie et à valeurs das [ a ; + [ à partir du rag car de foctio itératrice f : x x + a ) x défiie sur R + et à valeurs das [ a ; + [. ) Si u ) coverge vers u réel l alors l = l + a l et l 0 doc l = a. u + a = Pour, doc Par récurrece : u + a a u = u a) u u a u = u a u u+ a u a u a u a doc u a. b) v + = u + a u + + a = u au + a u + au + a = = u a u a u u ) a u + = v a doc v = v 0. c) u a v u + a u0 v = u 0 v 0 Exercice 76 : [éocé] a) f : x l x + x réalise ue bijectio strictemet croissate de R + vers R. L équatio proposée possède ue uique solutio α = f 0). b) L algorithme de Newto, propose de défiir la suite u ) par la relatio : u + = u fu ) f u ) = u l u + u /u + = u l u ) u + La foctio f est de classe C, f x) = x + et f x) = x e s aulet pas. Pour u 0 > 0 tel que fu 0 )f u 0 ) 0, la suite coverge vers α. Exercice 77 : [éocé] Par récurrece, o motre que u existe et u > 0. La relatio de récurrece doe alors u + = u + u + u La suite u + /u ) est costate égale à u /u 0 = b/a. La suite u ) est doc géométrique de raiso b/a et fialemet u = a ) b a La suite u ) coverge si, et seulemet si, b a. Exercice 78 : [éocé] a) Pour : u + u = u k u u k = u k + u k b) doc u ) est croissate. Supposos u l R. O a l u = a > 0 E passat la relatio précédete à la limite : 0 = l l+l =. C est absurde. Par suite u +. doc Par suite u + u et u u + u = u + + u u + = 0 u u + + u u + u = u + /u + Exercice 79 : [éocé] Posos u ) la suite détermiée par u 0 = et pour tout N, u + = + u. La suite u ) est bie défiie et à valeurs positive. 0
27 [ édité le 5 mai 06 Correctios 7 Si celle-ci coverge, c est vers l 0 vérifiat l = + l i.e. c est le ombre d Or). O a l = + 5 u + l = + u u l + l = + u + + l u l Par récurrece, o obtiet et doc u l. Aisi u l u 0 l = l Posos v ) la suite détermiée par v 0 = et pour tout N, v + = + v. La suite v ) est bie défiie et à valeurs supérieures à. Si celle-ci coverge, c est vers l vérifiat l = + l. O retrouve l = l. O a Par récurrece, o obtiet et doc v l car l >. Aisi v + l = v l v l v l v l l v 0 l = l v l l Exercice 80 : [éocé] O vérifie sas difficultés que la suite v ) est défiie et que ses termes sot positifs. De plus, o vérifie par récurrece que O a alors v + v = u + v ) + u + v 0 et la suite v ) est doc croissate et majorée. Par coséquet celle-ci coverge vers ue certaie limite l R. Das le cas où la suite u ) est costate égale à, o observe que l =. Peut-être est-ce ecore vrai das le cas gééral? Pour le voir, étudios la suite v ). O a doc par récurrece et o e déduit 0 v + = u +) v ) + u + v v ) 0 v v 0) v Exercice 8 : [éocé] Si u ) coverge sa limite l vérifie l = + l /4 d où l =. u + u = 4 u ) 0 u ) est croissate. Si u 0 > alors u ) diverge vers +. Si u 0 [0 ; ] alors o vérifie aisémet que u ) est majorée par et o coclut u. Exercice 8 : [éocé] u + u doc u ) est croissate. Par récurrece motros u a +. La relatio est vraie pour = et l hérédité s obtiet par u + = a + u a + a +. Exercice 83 : [éocé] car N, v u + ) v ) 0 = v + u + + u + v a) Il suffit de dresser le tableau de variatio de f. O ote α < β < γ ces trois racies. x α β γ b) f est croissate et fx) x
28 [ édité le 5 mai 06 Correctios 8 c) u u + = fu ) fu + ) doc u 0 fu 0 ) = u ) croissate. De même u u + = fu ) fu + ) doc u 0 fu 0 ) = u ) décroissate. Les seules limites fiies possibles pour u ) sot α, β, γ. Efi si u 0 α resp. β, γ) alors pour tout, u α resp. β, γ) et de même pour. Au fial o peut coclure : u 0 ] ; α[ doe u ) décroissat vers. u 0 = α doe u ) costate égale à α. u 0 ]α ; γ[ doe u ) covergeat vers β. u 0 = γ doe u ) costate égale à γ. u 0 ]γ ; + [ doe u ) croissat vers +. Exercice 84 : [éocé] f x) est du sige de 3x a) doc f est croissate et par suite u ) est mootoe. Les racies de l équatio fx) = x sot 0, a et a. Ce sot les seules limites possibles pour u ). fx) x est du sige de ax x 3 = xx a)x + a). Si u 0 ]0 ; a] la suite est croissate est majorée par a doc coverge vers a Si u 0 [ a ; + [ la suite est décroissate et miorée par a doc coverge vers a. Exercice 85 : [éocé] u + u = u 0 doc u ) est décroissate. Aisémet, o motre que u ]0 ; [ pour tout N et doc o peut coclure que u ) coverge. Sa limite l vérifie l = l l d où l = 0. et u k = Exercice 86 : [éocé] u k u k+ = u 0 u + u 0 u k ) = u k+ u k = u + u 0 0 a) Soit g : [a ; b] R défiie par gx) = fx) x. g est cotiue, ga) 0 et gb) 0 doc g s aule e u poit α qui est alors poit fixe de f. Si α et β sot deux poits fixes disticts alors par applicatio du théorème des accroissemets fiis, il existe c [a ; b] tel que f c) = ce qui est icompatible avec les hypothèses. b) La foctio x f x) est cotiue sur le segmet [a ; b], elle y admet doc u maximum e u poit c [a ; b] et e posat k = f c) o a x [a ; b], f x) k avec k [0 ; [ Par l iégalité des accroissemets fiis, f est k lipschitziee et alors par récurrece : N, u α k u α 0 d où le résultat. Exercice 87 : [éocé] u + u = fu ) fu )) + u u ) Puisque f est lipschitziee o a fu ) fu ) u u doc u + u est du sige de u u, e fait la foctio itératrice est croissate). Par suite u ) est mootoe et état borée elle coverge vers u l [a ; b]. La relatio u + = u + fu ) doe à la limite l = l + fl) doc fl) = l. Exercice 88 : [éocé] a) O observe que x 4x x est ue applicatio de [0 ; 4] das lui-même. Par suite u [0 ; 4] pour tout N. Si u ) coverge alors, e posat l sa limite, o a l = 4l l d où l = 0 ou l = 3.
29 [ édité le 5 mai 06 Correctios 9 b) Supposos que u 0. S il existe u rag tel que u = 0 alors la suite u ) est statioaire égale à 0. Sio o a u > 0 pour tout N et doc u + u 3u > 0. Aisi, à partir d u certai rag, la suite est strictemet croissate. De même si u 3 sas être statioaire égale à 3, o observe que la suite u 3 est strictemet croissate à partir d u certai rag. c) O obtiet aisémet u = 4 si α. La suite est statioaire si, et seulemet si, il existe N tel que u = 0 ou 3 i.e. si α) = 0, 3/, 3/ soit ecore α = kπ/3 avec k Z. Aisi les u 0 pour lesquels la suite est statioaire sot les sikπ/3. ) avec k Z et N. Exercice 89 : [éocé] a) z = ρ eiθ +ρ = ρ cos θ ei θ. Par ce pricipe : z = ρ cos θ cos θ 4 cos θ ei θ Sachat o a puis a, b R +, ab a + b, u v u + u et v + v Les suites u ) et v ) sot respectivemet croissate et décroissate et o a, u 0 u v v 0 Par covergece mootoe, u ) et v ) coverget vers des limites l et l. E passat la relatio v + = u + v à la limite o obtiet l = l. Exercice 9 : [éocé] b) e i θ et cos θ cos θ 4 cos θ = si θ si θ si θ θ Fialemet z si θ θ. Exercice 9 : [éocé] Les suites u ) et v ) sot bie défiies et à termes positifs. ou si θ = 0) a) Exploiter + cos x = cos x et raisoer par récurrece. b) si α v = si α via si a cos a = si a. Par suite si α v siα/ ) si α α Exercice 90 : [éocé] et aussi O a u v et u + v, v + = maxu +, u + ) avec u + u u + u + ) v et u + v doc v ) est décroissate. si α α v ) est décroissate et miorée par 0 doc v ) coverge. O a u + v. Exercice 93 : [éocé] ) v + max u + + u ), u + = max u + + u ), ) u + + u + ) = u Notos ++ v que la suite y ) est croissate, elle est doc covergete si, et seulemet si, elle est majorée. a) Ici y + = a + y. Soit l la racie positive de l équatio l l a = 0 i.e. doc v + v u + v doc u ) coverge vers la même limite que u ). l = + + 4a O remarque que y = a l et o motre par récurrece y l. La suite y ) est croissate et majorée doc covergete.
30 [ édité le 5 mai 06 Correctios 30 b) O observe que la ouvelle suite y ) est désormais égale à b fois la précédete, elle est doc covergete. y l doc x ) est borée. ) est borée par ue certai M alors x M, la suite y ) défiie c) Si y ) coverge vers l alors x Si x par x ) est alors iférieure à celle obteue par M ), cette derière état covergete, la suite y ) coverge. Exercice 94 : [éocé] Posos M = sup a N O vérifie aisémet que la suite u ) est bie défiie et que pour tout M + u Supposos la covergece de la suite u ). Sa limite est strictemet positive. E résolvat l équatio défiissat u + e foctio de u, o obtiet a = u + u O e déduit que la suite a ) coverge. Iversemet, supposos que la suite a ) coverge vers ue limite l, l 0. Cosidéros la suite v ) défiie par v 0 = et v + = v + l + pour tout N O vérifie que la suite v ) est bie défiie et à termes strictemet positifs. L équatio x = x + l + possède ue racie L > 0 et o a v + L v L + L ce qui permet d établir que la suite v ) coverge vers L. Cosidéros esuite la suite α ) défiie par α = u v O a α + = α + l a ) u + a + )v + l + ) et doc avec α + k α + a l ) k = [0 ; [ m + où m > 0 est u miorat de la suite covergete v ). Par récurrece, o obtiet α k α 0 + k p a p l p=0 Soit ε > 0. Puisque la suite a ) coverge vers l, il existe p 0 tel que et alors Pour assez grad et o e déduit p 0 p=0 Aisi α 0 et par coséquet p p 0, a p l ε p=p 0 k p a p l ε + k= k p = kε k k p a p l = C te k ε et k α 0 ε α ε + kε k u L Exercice 95 : [éocé] La foctio itératrice de cette suite récurrete est g : x fx) + x) O vérifie aisémet que cette foctio est défiie sur [a ; b] et à valeurs das [a ; b]. O e déduit que la suite x ) est bie défiie et que c est ue suite d élémets de [a ; b].
31 [ édité le 5 mai 06 Correctios 3 O a x + x = fx ) fx )) + x x ) Puisque f est -lipschitziee, o a fx ) fx ) x x et doc x + x est du sige de x x. Par coséquet, la suite x ) est mootoe et sa mootoie découle du sige de x x 0. La suite x ) état de plus borée, elle coverge vers ue certaie limite l avec l [a ; b]. La relatio x + = x + fx ) doe à la limite sachat f cotiue doc fl) = l. l = l + fl)
Chapitre 3 : Fonctions d une variable réelle (1)
Uiversités Paris 6 et Paris 7 M1 MEEF Aalyse (UE 3) 2013-2014 Chapitre 3 : Foctios d ue variable réelle (1) 1 Lagage topologique das R Défiitio 1 Soit a u poit de R. U esemble V R est u voisiage de a s
Plus en détail[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 10 juillet 2014 Enoncés 1. Exercice 6 [ 02475 ] [correction] Si n est un entier 2, le rationnel H n =
[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 1 juillet 14 Eocés 1 Nombres réels Ratioels et irratioels Exercice 1 [ 9 ] [correctio] Motrer que la somme d u ombre ratioel et d u ombre irratioel est u ombre irratioel.
Plus en détailEtude de la fonction ζ de Riemann
Etude de la foctio ζ de Riema ) Défiitio Pour x réel doé, la série de terme gééral,, coverge si et seulemet si x >. x La foctio zeta de Riema est la foctio défiie sur ], [ par : ( x > ), = x. Remarque.
Plus en détail. (b) Si (u n ) est une suite géométrique de raison q, q 1, on obtient : N N, S N = 1 qn+1. n+1 1 S N = 1 1
Premières propriétés des ombres réels 2 Suites umériques 3 Suites mootoes : à faire 4 Séries umériques 4. Notio de série. Défiitio 4.. Soit (u ) ue suite de ombres réels ou complexes. Pour N N, o ote S
Plus en détailSuites et séries de fonctions
[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 3 avril 5 Eocés Suites et séries de foctios Propriétés de la limite d ue suite de foctios Eercice [ 868 ] [correctio] Etablir que la limite simple d ue suite de
Plus en détailx +1 + ln. Donner la valeur exacte affichée par cet algorithme lorsque l utilisateur entre la valeur n =3.
EXERCICE 3 (6 poits ) (Commu à tous les cadidats) Il est possible de traiter la partie C sas avoir traité la partie B Partie A O désige par f la foctio défiie sur l itervalle [, + [ par Détermier la limite
Plus en détail* très facile ** facile *** difficulté moyenne **** difficile ***** très difficile I : Incontournable
Exo7 Topologie Exercices de Jea-Louis Rouget Retrouver aussi cette fiche sur wwwmaths-fracefr * très facile ** facile *** difficulté moyee **** difficile ***** très difficile I : Icotourable Exercice **
Plus en détailLimites des Suites numériques
Chapitre 2 Limites des Suites umériques Termiale S Ce que dit le programme : CONTENUS CAPACITÉS ATTENDUES COMMENTAIRES Limite fiie ou ifiie d ue suite. Limites et comparaiso. Opératios sur les ites. Comportemet
Plus en détailCHAPITRE 2 SÉRIES ENTIÈRES
CHAPITRE 2 SÉRIES ENTIÈRES 2. Séries etières Défiitio 2.. O appelle série etière toute série de foctios ( ) f dot le terme gééral est de la forme f ()=a, où (a ) désige ue suite réelle ou complee et R.
Plus en détailExo7. Déterminants. = 4(b + c)(c + a)(a + b). c + a c + b 2c Correction. b + a 2b b + c. Exercice 2 ** X a b c a X c b b c X a c b a X
Exo7 Détermiats Exercices de Jea-Louis Rouget Retrouver aussi cette fiche sur wwwmaths-fracefr * très facile ** facile *** difficulté moyee **** difficile ***** très difficile I : Icotourable T : pour
Plus en détailSéries réelles ou complexes
6 Séries réelles ou complexes Comme pour le chapitre 3, les suites cosidérées sot a priori complexes et les résultats classiques sur les foctios cotiues ou dérivables d ue variable réelle sot supposés
Plus en détailComportement d'une suite
Comportemet d'ue suite I) Approche de "ses de variatio et de ite d'ue suite" : 7 Soit la suite ( ) telle que = 5 ( + ) 2 Représetos graphiquemet la suite das u pla mui d' u repère. Il suffit de placer
Plus en détail1 Mesure et intégrale
1 Mesure et itégrale 1.1 Tribu boréliee et foctios mesurables Soit =[a, b] u itervalle (le cas où b = ou a = est pas exclu) et F ue famille de sous-esembles de. OditqueF est ue tribu sur si les coditios
Plus en détailIntégration et probabilités ENS Paris, 2012-2013. TD (20)13 Lois des grands nombres, théorème central limite. Corrigé :
Itégratio et probabilités EN Paris, 202-203 TD 203 Lois des grads ombres, théorème cetral limite. Corrigé Lois des grads ombres Exercice. Calculer e cet leços Détermier les limites suivates : x +... +
Plus en détail* très facile ** facile *** difficulté moyenne **** difficile ***** très difficile I : Incontournable
Eo7 Séries etières Eercices de Jea-Louis Rouget Retrouver aussi cette fiche sur wwwmaths-fracefr * très facile ** facile *** difficulté moyee **** difficile ***** très difficile I : Icotourable Eercice
Plus en détail14 Chapitre 14. Théorème du point fixe
Chapitre 14 Chapitre 14. Théorème du poit fixe Si l o examie de plus près les méthodes de Lagrage et de Newto, étudiées au chapitre précédet, elles revieet das leur pricipe à remplacer la résolutio de
Plus en détailSéquence 5. La fonction logarithme népérien. Sommaire
Séquece 5 La foctio logarithme épérie Objectifs de la séquece Itroduire ue ouvelle foctio : la foctio logarithme épérie. Coaître les propriétés de cette foctio : sa dérivée, ses variatios, sa courbe, sa
Plus en détailProcessus et martingales en temps continu
Chapitre 3 Processus et martigales e temps cotiu 1 Quelques rappels sur les martigales e temps discret (voir [4]) O cosidère u espace filtré (Ω, F, (F ) 0, IP). O ote F = 0 F. Défiitio 1.1 Ue suite de
Plus en détailExercice I ( non spé ) 1/ u 1 = 3 4. 2 3 u 2 4 + 3 9. 19 4 2/ Soit P la propriété : u n + 4. > 0 pour n 1. P est vraie au rang 1 car u 1
Bac blac TS Correctio Exercice I ( Spé ) / émotros par récurrece que 5x y = pour tout etier aturel 5x y = 5 8 = La propriété est doc vraie au rag = Supposos que la propriété est vraie jusqu au rag, o a
Plus en détailBaccalauréat S Asie 19 juin 2014 Corrigé
Bcclurét S Asie 9 jui 24 Corrigé A. P. M. E. P. Exercice Commu à tous les cdidts 4 poits Questio - c. O peut élimier rpidemet les réposes. et d. cr les vecteurs directeurs des droites proposées e sot ps
Plus en détailSolutions particulières d une équation différentielle...
Solutios particulières d ue équatio différetielle......du premier ordre à coefficiets costats O cherche ue solutio particulière de y + ay = f, où a est ue costate réelle et f ue foctio, appelée le secod
Plus en détailLes Nombres Parfaits.
Les Nombres Parfaits. Agathe CAGE, Matthieu CABAUSSEL, David LABROUSSE (2 de Lycée MONTAIGNE BORDEAUX) et Alexadre DEVERT, Pierre Damie DESSARPS (TS Lycée SUD MEDOC LETAILLAN MEDOC) La première partie
Plus en détailConvergences 2/2 - le théorème du point fixe - Page 1 sur 9
Au sommaire : Suites extraites Le théorème de Bolzao-Weierstrass La preuve du théorème de Bolzao-Weierstrass3 Foctio K-cotractate4 Le théorème du poit fixe5 La preuve du théorème du poit fixe6 Utilisatios
Plus en détailII LES PROPRIETES DES ESTIMATEURS MCO 1. Rappel : M1 LA REGRESSION : HYPOTHESES ET TESTS Avril 2009
M LA REGRESSION : HYPOTHESES ET TESTS Avril 009 I LES HYPOTHESES DE LA MCO. Hypothèses sur la variable explicative a. est o stochastique. b. a des valeurs xes das les différets échatillos. c. Quad ted
Plus en détailPolynésie Septembre 2002 - Exercice On peut traiter la question 4 sans avoir traité les questions précédentes.
Polyésie Septembre 2 - Exercice O peut traiter la questio 4 sas avoir traité les questios précédetes Pour u achat immobilier, lorsqu ue persoe emprute ue somme de 50 000 euros, remboursable par mesualités
Plus en détailGroupe orthogonal d'un espace vectoriel euclidien de dimension 2, de dimension 3
1 Groupe orthogoal d'u espace vectoriel euclidie de dimesio, de dimesio Voir le chapitre 19 pour l'étude des espaces euclidies et des isométries. État doé u espace euclidie E de dimesio 1, o rappelle que
Plus en détail4 Approximation des fonctions
4 Approximatio des foctios Ue foctio f arbitraire défiie sur u itervalle I et à valeur das IR peut être représetée par so graphe, ou de maière équivalete par la doée de l esemble de ses valeurs f(t) pour
Plus en détailFEUILLE D EXERCICES 17 - PROBABILITÉS SUR UN UNIVERS FINI
FEUILLE D EXERCICES 7 - PROBABILITÉS SUR UN UNIVERS FINI Exercice - Lacer de dés O lace deux dés à 6 faces équilibrés. Calculer la probabilité d obteir : u double ; ue somme des deux dés égale à 8 ; ue
Plus en détailCours de Statistiques inférentielles
Licece 2-S4 SI-MASS Aée 2015 Cours de Statistiques iféretielles Pierre DUSART 2 Chapitre 1 Lois statistiques 1.1 Itroductio Nous allos voir que si ue variable aléatoire suit ue certaie loi, alors ses réalisatios
Plus en détailDeuxième partie : LES CONTRATS D ASSURANCE VIE CLASSIQUES
DEUXIEME PARTIE Deuième partie : LES CONTRATS D ASSURANCE VIE CLASSIQUES Chapitre. L assurace de capital différé Chapitre 2. Les opératios de retes Chapitre 3. Les assuraces décès Chapitre 4. Les assuraces
Plus en détailcapital en fin d'année 1 C 0 + T C 0 = C 0 (1 + T) = C 0 r en posant r = 1 + T 2 C 0 r + C 0 r T = C 0 r (1 + T) = C 0 r 2 3 C 0 r 3...
Applicatios des maths Algèbre fiacière 1. Itérêts composés O place u capital C 0 à u taux auel T a pedat aées. Quelle est la valeur fiale C de ce capital? aée capital e fi d'aée 1 C 0 + T C 0 = C 0 (1
Plus en détailDénombrement. Introduction. 1 Cardinaux d'ensembles nis. ECE3 Lycée Carnot. 12 novembre 2010. 1.1 Quelques dénitions
Déombremet ECE3 Lycée Carot 12 ovembre 2010 Itroductio La combiatoire, sciece du déombremet, sert comme so om l'idique à compter. Il e s'agit bie etedu pas de reveir au stade du CP et d'appredre à compter
Plus en détail16.1 Convergence simple et convergence uniforme. une suite de fonctions de I dans R ou C.
16 Suites de foctios Suf précisio cotrire, I est u itervlle réel o réduit à u poit et les foctios cosidérées sot défiies sur I à vleurs réelles ou complexes. 16.1 Covergece simple et covergece uiforme
Plus en détailSÉRIES STATISTIQUES À DEUX VARIABLES
1 ) POSITION DU PROBLÈME - VOCABULAIRE A ) DÉFINITION SÉRIES STATISTIQUES À DEUX VARIABLES O cosidère deux variables statistiques umériques x et y observées sur ue même populatio de idividus. O ote x 1
Plus en détailIntroduction : Mesures et espaces de probabilités
Itroductio : Mesures et espaces de probabilités Référeces : Poly cédric Berardi et Jea Michel Morel. J.-F. Le Gall, Itégratio, Probabilités et Processus Aléatoire J.-Y. Ouvrard, Probabilités 2, maîtrise-agrégatio,
Plus en détailSTATISTIQUE : TESTS D HYPOTHESES
STATISTIQUE : TESTS D HYPOTHESES Préparatio à l Agrégatio Bordeaux Aée 203-204 Jea-Jacques Ruch Table des Matières Chapitre I. Gééralités sur les tests 5. Itroductio 5 2. Pricipe des tests 6 2.a. Méthodologie
Plus en détail20. Algorithmique & Mathématiques
L'éditeur L'éditeur permet à l'utilisateur de saisir les liges de codes d'u programme ou de défiir des foctios. Remarque : O peut saisir directemet des istructios das la cosole Scilab, mais il est plus
Plus en détailDes résultats d irrationalité pour deux fonctions particulières
Collect. Math. 5, 00, 0 c 00 Uiversitat de Barceloa Des résultats d irratioalité pour deux foctios particulières Richard Choulet 7, Rue du 4 Août, 40 Aveay, Frace E-mail: richardchoulet@waadoo.fr Received
Plus en détailEXERCICES : DÉNOMBREMENT
Chapitre 7 ECE 1 - Grad Nouméa - 015 EXERCICES : DÉNOMBREMENT LISTES / ARRANGEMENTS Exercice 1 : Le code ativol Pour so vélo, Toto possède u ativol a code. Le code est ue successio de trois chiffres compris
Plus en détailPROBLEMES DIOPTIMISATION EN NOMBRES ENTIERS J. L. NICOLAS
PROBLEMES DIOPTIMISATION EN NOMBRES ENTIERS ET APPROXIMATIONS DIOPHANTIENNES J. L. NICOLAS Cet article expose sup 3 e quelques iter'f~reces etre les pr'obl~res dloptimisatio e hombres etiers et la th~or-ie
Plus en détailCours 5 : ESTIMATION PONCTUELLE
Cours 5 : ESTIMATION PONCTUELLE A- Gééralités B- Précisio d u estimateur C- Exhaustivité D- iformatio E-estimateur sas biais de variace miimale, estimateur efficace F- Quelques méthode s d estimatio A-
Plus en détailStatistique descriptive bidimensionnelle
1 Statistique descriptive bidimesioelle Statistique descriptive bidimesioelle Résumé Liaisos etre variables quatitatives (corrélatio et uages de poits), qualitatives (cotigece, mosaïque) et de types différets
Plus en détailDénombrement. Chapitre 1. 1.1 Enoncés des exercices
Chapitre 1 Déombremet 1.1 Eocés des exercices Exercice 1 L acie système d immatriculatio fraçais était le suivat : chaque plaque avait 4 chiffres, suivis de 2 lettres, puis des 2 uméros du départemet.
Plus en détailIntégrales dépendant d un paramètre
[hp://mp.cpgedupuydelome.fr] édié le 3 avril 5 Eocés Iégrales dépeda d u paramère Covergece domiée Exercice [ 9 ] [correcio] Calculer les limies des suies do les ermes gééraux so les suivas : a) u = π/4
Plus en détailChap. 6 : Les principaux crédits de trésorerie et leur comptabilisation
1 / 9 Chap. 6 : Les pricipaux crédits de trésorerie et leur comptabilisatio Le cycle d exploitatio des etreprises (achats stockage productio stockage vetes) peut etraîer des décalages de trésorerie plus
Plus en détailc. Calcul pour une évolution d une proportion entre deux années non consécutives
Calcul des itervalles de cofiace our les EPCV 996-004 - Cas d u ourcetage ou d ue évolutio e oit das la oulatio totale des méages - Cas d u ourcetage ou d ue évolutio das ue sous oulatio das les méages
Plus en détailExamen final pour Conseiller financier / conseillère financière avec brevet fédéral. Recueil de formules. Auteur: Iwan Brot
Exame fial pour Coseiller fiacier / coseillère fiacière avec brevet fédéral Recueil de formules Auteur: Iwa Brot Ce recueil de formules sera mis à dispositio des cadidats, si écessaire. Etat au 1er mars
Plus en détailChap. 6 : Les principaux crédits de trésorerie et leur comptabilisation
Chap. 6 : Les pricipaux crédits de trésorerie et leur comptabilisatio Les etreprises ot souvet besoi de moyes de fiacemet à court terme : elles ot alors recours aux crédits bacaires (découverts bacaires
Plus en détailLES ÉCLIPSES. Éclipser signifie «cacher». Vus depuis la Terre, deux corps célestes peuvent être éclipsés : la Lune et le Soleil.
Qu appelle-t-o éclipse? Éclipser sigifie «cacher». Vus depuis la Terre, deu corps célestes peuvet être éclipsés : la Lue et le Soleil. LES ÉCLIPSES Pour qu il ait éclipse, les cetres de la Terre, de la
Plus en détailConsolidation. C r é e r un nouveau classeur. Créer un groupe de travail. Saisir des données dans un groupe
Cosolidatio La société THEOS, qui commercialise des vis, exerce so activité das trois villes : Paris, Nacy et Nice. Le directeur de la société souhaite cosolider les résultats de ses vetes par ville das
Plus en détailChaînes de Markov. Arthur Charpentier
Chaîes de Markov Arthur Charpetier École Natioale de la Statistique et d Aalyse de l Iformatio - otes de cours à usage exclusif des étudiats de l ENSAI - - e pas diffuser, e pas citer - Quelques motivatios.
Plus en détailProbabilités et statistique pour le CAPES
Probabilités et statistique pour le CAPES Béatrice de Tilière Frédérique Petit 2 3 jui 205. Uiversité Pierre et Marie Curie 2. Uiversité Pierre et Marie Curie 2 Table des matières Modélisatio de phéomèes
Plus en détailFormation d un ester à partir d un acide et d un alcool
CHAPITRE 10 RÉACTINS D ESTÉRIFICATIN ET D HYDRLYSE 1 Formatio d u ester à partir d u acide et d u alcool 1. Nomeclature Acide : R C H Alcool : R H Groupe caractéristique ester : C Formule géérale d u ester
Plus en détailSTATISTIQUE AVANCÉE : MÉTHODES
STATISTIQUE AVANCÉE : MÉTHODES NON-PAAMÉTIQUES Ecole Cetrale de Paris Arak S. DALALYAN Table des matières 1 Itroductio 5 2 Modèle de desité 7 2.1 Estimatio par istogrammes............................
Plus en détailExercices de mathématiques
MP MP* Thierry DugarDi Marc rezzouk Exercices de mathématiques Cetrale-Supélec, Mies-Pots, École Polytechique et ENS Coceptio et créatio de couverture : Atelier 3+ Duod, 205 5 rue Laromiguière, 75005 Paris
Plus en détailTRANSFERT DE CHARGE DANS UN RÉSEAU DE PROCESSEURS TOTALEMENT CONNECTÉS (*) par Maryse BÉGUIN ( 1 )
RAIRO Operatios Research RAIRO Oper. Res. 34 (2000) 99-129 TRANSFERT DE CHARGE DANS UN RÉSEAU DE PROCESSEURS TOTALEMENT CONNECTÉS (*) par Maryse BÉGUIN ( 1 ) Commuiqué par Berard LEMAIRE Résumé. L étude
Plus en détail55 - EXEMPLES D UTILISATION DU TABLEUR.
55 - EXEMPLES D UTILISATION DU TABLEUR. CHANTAL MENINI 1. U pla possible Les exemples qui vot suivre sot des pistes possibles et e aucu cas ue présetatio exhaustive. De même je ai pas fait ue étude systématique
Plus en détailChap. 5 : Les intérêts (Les calculs financiers)
Chap. 5 : Les itérêts (Les calculs fiaciers) Das u cotrat de prêt, le prêteur met à la dispositio de l empruteur, à u taux d itérêt doé, ue somme d arget (le capital) qu il devra rembourser à ue certaie
Plus en détailProcessus géométrique généralisé et applications en fiabilité
Processus géométrique gééralisé et applicatios e fiabilité Lauret Bordes 1 & Sophie Mercier 2 1,2 Uiversité de Pau et des Pays de l Adour Laboratoire de Mathématiques et de leurs Applicatios - Pau UMR
Plus en détailUNIVERSITE MONTESQUIEU BORDEAUX IV. Année universitaire 2006-2007. Semestre 2. Prévisions Financières. Travaux Dirigés - Séances n 4
UNVERSTE MONTESQUEU BORDEAUX V Licece 3 ère aée Ecoomie - Gestio Aée uiversitaire 2006-2007 Semestre 2 Prévisios Fiacières Travaux Dirigés - Séaces 4 «Les Critères Complémetaires des Choix d vestissemet»
Plus en détailUniversité de Bordeaux - Master MIMSE - 2ème année. Scoring. Marie Chavent http://www.math.u-bordeaux.fr/ machaven/ 2014-2015
Uiversité de Bordeaux - Master MIMSE - 2ème aée Scorig Marie Chavet http://www.math.u-bordeaux.fr/ machave/ 2014-2015 1 Itroductio L idée géérale est d affecter ue ote (u score) global à u idividu à partir
Plus en détailChapitre 3 : Transistor bipolaire à jonction
Chapitre 3 : Trasistor bipolaire à joctio ELEN075 : Electroique Aalogique ELEN075 : Electroique Aalogique / Trasistor bipolaire U aperçu du chapitre 1. Itroductio 2. Trasistor p e mode actif ormal 3. Courats
Plus en détailPROMENADE ALÉATOIRE : Chaînes de Markov et martingales
PROMENADE ALÉATOIRE : Chaîes de Markov et martigales Thierry Bodieau École Polytechique Paris Départemet de Mathématiques Appliquées thierry.bodieau@polytechique.edu Novembre 2013 2 Table des matières
Plus en détailSéries numériques. Chap. 02 : cours complet.
Séris méris Cha : cors comlt Séris d réls t d comlxs Défiitio : séri d réls o d comlxs Défiitio : séri corgt o dirgt Rmar : iflc ds rmirs trms d séri sr la corgc Théorèm : coditio écssair d corgc Théorèm
Plus en détailModule 3 : Inversion de matrices
Math Stat Module : Iversio de matrices M Module : Iversio de matrices Uité. Défiitio O e défiira l iverse d ue matrice que si est carrée. O appelle iverse de la matrice carrée toute matrice B telle que
Plus en détailTerminale S. Terminale S 1 F. Laroche
Termiale S Exercices. Rappels et exercices de base 3.. QCM (P. Egel) 3.. QCM, Atilles 005 4. 3. QCM, Liba 009, 3 poits 4. 4. QCM, C. étragers 007. 5. QCM, Frace 007 5 6. 6. QCM, N. Calédoie 007 7. 7. QCM
Plus en détailContribution à la théorie des entiers friables
UFR STMIA École Doctorale IAE + M Uiversité Heri Poicaré - Nacy I DFD Mathématiques THÈSE présetée pour l obtetio du titre de Docteur de l Uiversité Heri Poicaré, Nacy-I e Mathématiques par Bruo MARTIN
Plus en détailRESOLUTION PAR LA METHODE DE NORTON, MILLMAN ET KENNELY
LO 4 : SOLUTO P L MTHO OTO, MLLM T KLY SOLUTO P L MTHO OTO, MLLM T KLY MTHO OTO. toductio Le théoème de oto va ous pemette de éduie u cicuit complexe e gééateu de couat éel. e gééateu possède ue souce
Plus en détailLE PRINCIPE DU RAISONNEMENT PAR RÉCURRENCE
LE PRINCIPE DU RAISONNEMENT PAR RÉCURRENCE. Exemple troductf (Les élèves qu coasset déà be le prcpe peuvet sauter ce paragraphe) Cosdéros la sute (u ), défe pour tout, par : u u u 0 0 Cette sute est défe
Plus en détailStatistiques appliquées à la gestion Cours d analyse de donnés Master 1
Aalyse des doées Statistiques appliquées à la gestio Cours d aalyse de doés Master F. SEYTE : Maître de coféreces HDR e scieces écoomiques Uiversité de Motpellier I M. TERRAZA : Professeur de scieces écoomiques
Plus en détailUn nouvel opérateur de fusion adaptatif. A new adaptive operator of fusion. 1. introduction
A ew adaptive operator of fusio par Fraçois DELMOTTE LAMIH, Uiversité de Valeciees et du Haiaut-Cambrésis, Le Mot Houy, BP 3, 5933 Valeciees CEDEX 9 fdelmott@flore.uiv-valeciees.fr résumé et mots clés
Plus en détailLimites finies en un point
8 Limites finies en un point Pour ce chapitre, sauf précision contraire, I désigne une partie non vide de R et f une fonction définie sur I et à valeurs réelles ou complees. Là encore, les fonctions usuelles,
Plus en détailDETERMINANTS. a b et a'
2003 - Gérard Lavau - http://perso.waadoo.fr/lavau/idex.htm Vous avez toute liberté pour télécharger, imprimer, photocopier ce cours et le diffuser gratuitemet. Toute diffusio à titre oéreux ou utilisatio
Plus en détailIntégrales généralisées
3 Iégrles géérlisées Pour ce chpire, les focios cosidérées so priori défiies sur u iervlle réel I o rédui à u poi, à vleurs réelles ou complees e coiues pr morceu. L défiiio e les propriéés de l iégrle
Plus en détail3 Approximation de solutions d équations
3 Approximation de solutions d équations Une équation scalaire a la forme générale f(x) =0où f est une fonction de IR dans IR. Un système de n équations à n inconnues peut aussi se mettre sous une telle
Plus en détailImage d un intervalle par une fonction continue
DOCUMENT 27 Image d un intervalle par une fonction continue La continuité d une fonction en un point est une propriété locale : une fonction est continue en un point x 0 si et seulement si sa restriction
Plus en détailLe chef d entreprise développe les services funéraires de l entreprise, en
Le chef d etreprise développe les services fuéraires de l etreprise, e assurat lui-même tout ou partie des activités de vete et e ecadrat directemet le persoel techique et commercial et d exploitatio.
Plus en détailContinuité en un point
DOCUMENT 4 Continuité en un point En général, D f désigne l ensemble de définition de la fonction f et on supposera toujours que cet ensemble est inclus dans R. Toutes les fonctions considérées sont à
Plus en détailStructures algébriques
Structures algébriques 1. Lois de composition s Soit E un ensemble. Une loi de composition interne sur E est une application de E E dans E. Soient E et F deux ensembles. Une loi de composition externe
Plus en détailAmphi 3: Espaces complets - Applications linéaires continues
Amphi 3: Espaces complets - Applications linéaires continues Département de Mathématiques École polytechnique Remise en forme mathématique 2013 Suite de Cauchy Soit (X, d) un espace métrique. Une suite
Plus en détail2 ième partie : MATHÉMATIQUES FINANCIÈRES
2 ième partie : MATHÉMATIQUES FINANCIÈRES 1. Défiitios L'itérêt est l'idemité que doe au propriétaire d'ue somme d'arget celui qui e a joui pedat u certai temps. Divers élémets itervieet das le calcul
Plus en détailLe marché du café peut être segmenté en fonction de deux modes de production principaux : la torréfaction et la fabrication de café soluble.
II LE MARCHE DU CAFE 1 L attractivité La segmetatio selo le mode de productio Le marché du café peut être segmeté e foctio de deux modes de productio pricipaux : la torréfactio et la fabricatio de café
Plus en détailInitiation à l analyse factorielle des correspondances
Fiche TD avec le logiciel : tdr620b Iitiatio à l aalyse factorielle des correspodaces A.B. Dufour & M. Royer & J.R. Lobry Das cette fiche, o étudie l Aalyse Factorielle des Correspodaces. Cette techique
Plus en détailUniversité Victor Segalen Bordeaux 2 Institut de Santé Publique, d Épidémiologie et de Développement (ISPED) Campus Numérique SEME
Uiversité Victor Segale Bordeaux Istitut de Saté Publique, d Épidémiologie et de Développemet (ISPED) Campus Numérique SEME MODULE Pricipaux outils e statistique Versio du 8 août 008 Écrit par : Relu par
Plus en détailDéveloppements limités. Notion de développement limité
MT12 - ch2 Page 1/8 Développements limités Dans tout ce chapitre, I désigne un intervalle de R non vide et non réduit à un point. I Notion de développement limité Dans tout ce paragraphe, a désigne un
Plus en détailRégulation analogique industrielle ESTF- G.Thermique
Chapitre 5 Stabilité, Rapidité, Précisio et Réglage Stabilité. Défiitio Coditio de stabilité. Critères de stabilité.. Critères algébriques.. Critère graphique ou de revers das le pla de Nyquist Rapidité
Plus en détailUV SQ 20. Automne 2006. Responsable d Rémy Garandel ( m.-el. remy.garandel@utbm.fr ) page 1
UV SQ 0 Probabilités Statistiques UV SQ 0 Autome 006 Resposable d Rémy Garadel ( m.-el. remy.garadel@utbm.fr ) page SQ-0 Probabilités - Statistiques Bibliographie: Titre Auteur(s) Editios Localisatio Niveau
Plus en détailRECHERCHE DE CLIENTS simplifiée
RECHERCHE DE CLIENTS simplifiée Nous ous occupos d accroître votre clietèle avec le compte Avatage d etreprise Pour trouver des cliets potetiels grâce à u simple compte bacaire Vous cherchez des idées
Plus en détailDualité dans les espaces de Lebesgue et mesures de Radon finies
Chapitre 6 Dualité dans les espaces de Lebesgue et mesures de Radon finies Nous allons maintenant revenir sur les espaces L p du Chapitre 4, à la lumière de certains résultats du Chapitre 5. Sauf mention
Plus en détailLa tarification hospitalière : de l enveloppe globale à la concurrence par comparaison
ANNALES D ÉCONOMIE ET DE STATISTIQUE. N 58 2000 La tarificatio hospitalière : de l eveloppe globale à la cocurrece par comparaiso Michel MOUGEOT * RÉSUMÉ. Cet article cosidère différetes politiques de
Plus en détailExercices - Polynômes : corrigé. Opérations sur les polynômes
Opérations sur les polynômes Exercice 1 - Carré - L1/Math Sup - Si P = Q est le carré d un polynôme, alors Q est nécessairement de degré, et son coefficient dominant est égal à 1. On peut donc écrire Q(X)
Plus en détailPOLITIQUE ECONOMIQUE ET DEVELOPPEMENT
POLTQU ONOMQU T DVLOPPMNT TRUTUR DU MAR NATONAL DU AF-AAO T PR AU PRODUTUR MALAN Beïla Beoit osultat PD N 06/008 ellule d Aalyse de Politiques coomiques du R Aée de pulicatio : Avril 009 Résumé e papier
Plus en détailSommaire Chapitre 1 - L interface de Windows 7 9
Sommaire Chapitre 1 - L iterface de Widows 7 9 1.1. Utiliser le meu Démarrer et la barre des tâches de Widows 7...11 Démarrer et arrêter des programmes...15 Épigler u programme das la barre des tâches...18
Plus en détailCours d analyse numérique SMI-S4
ours d analyse numérique SMI-S4 Introduction L objet de l analyse numérique est de concevoir et d étudier des méthodes de résolution de certains problèmes mathématiques, en général issus de problèmes réels,
Plus en détailCommun à tous les candidats
EXERCICE 3 (9 points ) Commun à tous les candidats On s intéresse à des courbes servant de modèle à la distribution de la masse salariale d une entreprise. Les fonctions f associées définies sur l intervalle
Plus en détailStatistique Numérique et Analyse des Données
Statistique Numérique et Aalyse des Doées Arak DALALYAN Septembre 2011 Table des matières 1 Élémets de statistique descriptive 9 1.1 Répartitio d ue série umérique uidimesioelle.............. 9 1.2 Statistiques
Plus en détailPetit recueil d'énigmes
Petit recueil d'éigmes Patxi RITTER (*) facile (**) mois facile (***) pas facile (****) il faudra de l aide Solutios e rouge. 1) Cryptarithme (**) Trouvez la valeur de A, B et C satisfaisat l équatio suivate.
Plus en détailCOMMENT ÇA MARCHE GUIDE DE L ENSEIGNANT 9 E ANNÉE
GUIDE DE L ENSEIGNANT 9 E ANNÉE TROUSSE PÉDAGOGIQUE 9 E ANNÉE Le préset Guide de l eseigat, qui accompage la trousse pédagogique COMMENT ÇA MARCHE : PRODUCTION D ÉLECTRICITÉ 9 e aée a été coçu à l itetio
Plus en détailLes algorithmes de tri
CONSERVATOIRE NATIONAL DES ARTS ET METIERS PARIS MEMOIRE POUR L'EXAMEN PROBATOIRE e INFORMATIQUE par Nicolas HERVE Les algorithmes de tri Souteu le mai JURY PRESIDENTE : Mme COSTA Sommaire Itroductio....
Plus en détailMéthodes de quadrature. Polytech Paris-UPMC. - p. 1/48
Méthodes de Polytech Paris-UPMC - p. 1/48 Polynôme d interpolation de Preuve et polynôme de Calcul de l erreur d interpolation Étude de la formule d erreur Autres méthodes - p. 2/48 Polynôme d interpolation
Plus en détail