Chapitre 2 : Etudes de fonctions.

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1 PCSI Préparatio des Khôlles 0-04 Chapitre : Etudes de foctios. Eercice type Motrer que pour [0,], o a( ) 4. Edéduire que ( ) 4. Solutio : Si R, 4 ( ) 4 0. Preos alors ]0,[, alors {0,,}, (( )) ( ) 4, e sommat, o obtiet ( ) Eercice Soitu etier supérieur ou égal à.. Motrer que {,...,},!. E déduire que {,...,},. Etablir alors que N,.. Solutio : Rappel :! i, le secod produit ayat termes. i. Siivérifiei, alors i. E passat à l iverse (ombres positifs), o a!. i i. O a alors!! ( )!! (( ) ( ))! ( i). Das le produit, tous les termes sot iférieurs à doc O a doc0! ( i)(( ) ( )) (de0à, il y a termes). Si, par le biôme, o a et0 ( i), o e déduit que i /5 G H

2 PCSI Préparatio des Khôlles 0-04 Aisi Eercice type Soitf() e5 e e 4 etg()l étudier leur parité. Solutio : La foctiof est défiie surr (care ). Si R, alors R et f( ) e 5 e e 4 e 5 e e 4 e e5 e 4 f(),f est impaire Pourg, o sait que R, < >0 et aisigest défiie surr. Puis g( )l Or (reteir), a b ( a b)( ab) a b d où ab ab. Aisi l l l etgest aussi impaire. Eercice type Trouver toutes les applicatiosf défiies surret à valeurs réelles telles que (,y) R, f()f(y) y. Solutio : O travaille par Aalyse-Sythèse. Aalyse : O commece par détermierf(0). Avecy0, o obtiet f(0) 0 f(0)0. Puis avec R et y0, o obtiet f(). Aisi, àfié, o af() ouf(). Mais le sige peut, à priori, chager lorsque chage (o peut avoirf() etf() ). Motros que le sige est costat. Supposos qu il eisteety tels quef() etf(y) y, alors f()f(y) y y Or u v uv ouu v, o e déduit que yy ou y (y) y0 ou0 Si0, alorsf()0, de même siy0 alorsf(y)0 yy. Doc le sige est bie le même pouret poury. Docf Id R ouf Id R. Sythèse : Les foctiosid R et Id R sot clairemet solutios. Eercice type 4 Pourm R, o défiitf m () m. O otec m la courbe représetative def m.. Motrer que les tagetes au courbesc m au poit d abscisse0 sot parallèles.. Motrer que les tagetes au courbesc m au poit d abscisse sot cocourates. /5 G H

3 PCSI Préparatio des Khôlles 0-04 Solutio : Les foctiosf m sot bie défiies et dérivables surr. U calcul simple doef m() m ( ). (m) ( ). Puisquef m(0), toutes les tagetes e0 ot même coefficiet directeur (égal à). Elles sot parallèle à la premier bissectrice y.. Puisquef m () m etf m() m l équatio de la tagetet m e àc m esty m m ( ). Par aalyse-sythèse. Aalyse : si les tagetes sot cocourates e u poita, alorsaest surt 0 et surt. Ses coordoées vérifiet doc y 0 0 ( ) (A T 0) y ( ) ( ) (A T ) Les coordoées deasot doc,. MaisAest, a priori, uiquemet surt0 et surt. Sythèse : Le poita, est surtm car m m ( ). Coclusio : Les tagetes sot cocourates ea,. Eercice Soitf défiie pour parf(), motrer quef admet u cetre de symétrie. Etudier les variatios de f sur so domaie de défiitio. Détermier lestels que f(). Solutio : O a D f R\{ }, le cetre de symétrie e peut doc avoir que comme abscisse. O calcule doc a 4. Le cetre de symétrie est doc Ω : (,). O réduit a f( a)f( a) a a l itervalle d étude à], [. O peut dériver (quotiet de foctios affies) etf () La foctio est doc strictemet croissate sur], [ et sur], [ (mais pas surd f ). Puisque lim () 0 et f(). O a doc les variatios suivates Et le graphe def est : lim, o a lim f() et lim f() ր ր () >0. lim ()0, f(). Efi, f() et y /5 G H

4 PCSI Préparatio des Khôlles 0-04 O a docf()> si<0, et0< f(0) f()<. Coclusiof ([,])[0, [. Eercice type 5 A l aide d ue étude de foctios, préciser le ombre de solutios de l équatio l m où m est u paramétre. Résoudre l équatio pourml. Solutio : Soitf() l, f est défiie et dérivable (par quotiet) sur]0, [ avecf () l l(). O e déduit que f est croissate sur ],e] décroissate sur [e, [ du sige de E0, o al() et 0 d oùf(). E, o sait (croissaces comparées) que 0 0 l 0. O e déduit le graphe def sur]0, [ : y Sim ],0], l équatiof()m admet ue uique solutio ]0,]. Sim ]0,f(e)[ 0,e, l équatiof()m admet deu solutios ],e[ et ]e, [. Efif() admet ue uique solutioe. e Pourml l l4, l équatio admet au mois ue solutio, mais o a aussi 4 l, doc elle admet deu solutios (et pas plus), et44. Eercice type 6 O sait que 0,si().. Motrer que 0, cos() puis que 6 si().. O défiit, pour N, u si. Doer u ecadremet de u. E déduire que la suite (u ) N coverge et préciser sa limite. Solutio : Rappel :si se prouve e étudiatϕ() si.. O posef()cos(), alorsf est défiie, dérivable surr avecf () si0. Aisif est croissate sur[0, [ etf()f(0)0. Puis o poseg()si(), alors g est défiie, dérivable surr avecg ()f()0d oùgest 6 croissate sur[0, [ etg()g(0)0. 4/5 G H

5 PCSI Préparatio des Khôlles Pour N et, o a 0 d où 6 si O somme ces iégalités pour avoir v 6 u Mais Puisque v O av 6 w et et par ecadremet u () 6 6 b termesplusgrad w w 6 6 /6 0 5/5 G H