Exercices sur le raisonnement par récurrence

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1 TS Exercices sr le raisoemet par récrrece Das tos les exercices, o veillera à respecter scrplesemet le protocole des récrreces 6 O cosidère la site déiie sr par so premier terme = et la relatio de récrrece por tot etier atrel Démotrer par récrrece qe, por tot etier atrel, o a : O cosidère la site déiie sr par so premier terme et la relatio de récrrece por tot etier atrel Démotrer par récrrece qe, por tot etier atrel, o a : < O rappelle ci-dessos les étapes à respecter O recopiera ce qi sit (e rie écrire sr cette eille) Débt : Por, o déiit la phrase P() : Iitialisatio : Vériios qe P() est vraie Cosidéros etier atrel tel qe la phrase P() soit vraie c est-à-dire Démotros q alors la phrase P( + ) est vraie c est-à-dire Coclsio : O a démotré qe P() est vraie et qe si P() est vraie por etier atrel, alors P( + ) est vraie Doc, d après le théorème de récrrece, la phrase P() est vraie por tot etier atrel O cosidère la site déiie sr par so premier terme et la relatio de récrrece por tot etier atrel Démotrer par récrrece qe, por tot etier atrel, o a : > Le bt des exercices 7 à 9 est de démotrer des ormles sommatoires par récrrece 7 Por tot etier atrel p, o pose p p Por tot etier atrel, o pose S p p p p O observera qe l o a : S p p p p Démotrer par récrrece qe por tot etier atrel o a p S p 8 Por tot etier atrel, o pose S p p Démotrer par récrrece qe, por tot etier atrel, o a S p 9 Por tot etier atrel, o pose S p p Démotrer par récrrece qe, por tot etier atrel, o a S O cosidère la site déiie sr par so premier terme por tot etier atrel Démotrer par récrrece qe, por tot etier atrel, o a : < < et la relatio de récrrece O cosidère la site déiie sr par so premier terme et la relatio de récrrece por tot etier atrel Démotrer par récrrece qe, por tot etier atrel, o a : 5 O cosidère la site déiie sr par so premier terme et la relatio de récrrece por tot etier atrel Démotrer par récrrece qe, por tot etier atrel, o a :

2 O cosidère l éocé sivat : Démotrer par récrrece qe, por tot etier atrel, est divisible par La démostratio est doée das l ecadré ci-dessos Por, o déiit la phrase P() : «est divisible par» Iitialisatio : Vériios qe P() est vraie doc est divisible par O e dédit qe P() est vraie Cosidéros etier atrel tel qe la phrase P() soit vraie Démotros q alors la phrase P( + ) est vraie Pisqe P() est vraie, il existe etier atrel q tel qe q O a alors q q O remplace par + Or q est etier atrel doc o e dédit qe est divisible par et, par site, qe la phrase P( + ) est vraie O e dédit qe la phrase P() est vraie por tot etier atrel Commetaire : O pet être pe srpris par cette récrrece car la propriété à démotrer est pas ormlée sos la orme d e égalité o d e iégalité mais sos la orme d e phrase e raçais Adapter la démostratio précédete por démotrer par récrrece qe, por tot etier atrel, est divisible par 9 Atre méthode : q O tilise la ormle sommatoire q q por q et * qi doe l idetité algébriqe : q q q q q E appliqat cette idetité por q =, retrover le résltat précédet O cosidère e octio déiie sr l itervalle I = [ ; 5] dot le tablea de variatio est doé cidessos x 5 Variatio de O cosidère la site déiie sr par so premier terme et la relatio de récrrece ( ) ) Démotrer par récrrece qe, por tot etier atrel, o a 5 ) Démotrer par récrrece qe, por tot etier atrel, o a À aire après avoir étdié la octio expoetielle O cosidère la octio sr déiie par O sait qe est idéiimet dérivable sr ( x) e x Démotrer par récrrece qe, por tot etier atrel, la octio dérivée -ième de a por expressio x ( x) e O cosidère e phrase P() portat sr etier atrel telle qe, si P() est vraie por etier atrel, alors la phrase P( + ) l est égalemet O sppose q il existe etier atrel tel qe la phrase P( ) soit vraie Qelles coclsios pet-o dédire avec certitde? () P( ) est vraie () P() est vraie por tot etier atrel () P( ) est asse () P() est vraie por tot etier atrel (5) P() est vraie por tot etier atrel Qe pet-o peser d raisoemet sivat? Por etier atrel tel qe, o déiit la phrase P() : «poits qelcoqes d pla sot tojors aligés» Vériios qe la phrase P() est vraie Dex poits d pla sot tojors aligés doc la phrase P() est vraie Cosidéros etier atrel tel qe la phrase P() soit vraie Démotros q alors la phrase P( + ) est vraie Soit A, A, A,, A + poits d pla D après la phrase P(), les premiers poits A, A, A,, A sot aligés sr e droite et de même les poits A, A,, A sot aligés sr e droite Les droites et sot coodes car elles ot les poits A, A,, A e comm Les + poits A, A, A,, A sot doc aligés sr Par coséqet, la phrase P( + ) est vraie

3 O a démotré qe P() est vraie et qe si P() est vraie por etier atrel, alors P( + ) est vraie Doc, d après le théorème de récrrece, la phrase P() est vraie por tot etier atrel 5 O cosidère la octio sr * déiie par x O sait qe est idéiimet dérivable sr * x Démotrer par récrrece qe, por tot etier atrel, la octio dérivée -ième de a por expressio x! x p!! 6 Démotrer par récrrece qe, por tot etier atrel, o a : p p 7 O cosidère la site déiie sr par la valer de so premier terme et la relatio de récrrece por tot etier atrel Démotrer par récrrece qe, por tot etier atrel, o a : p Factorielle d etier atrel Déiitio : Dex complémets tiles : O déiit la actorielle d etier atrel de la maière sivate : Par covetio :! et! Exemple : 5!! (o lit «actorielle de») Calclatrice : O pet obteir la actorielle d etier sr calclatrice Sr calclatrice TI, math sélectioer PRB pis Il est à oter qe la calclatrice e sait pals calcler à partir de 7! (dépassemet de capacités) Propriété immédiate :!! Cette ormle permettrait de déiir la actorielle d etier à l aide d e site Dérivées sccessives d e octio Déiitio : La dérivée première d e octio est otée La dérivée secode d e octio est otée La dérivée troisième d e octio est otée ' '' C est la dérivée de ' C est la dérivée de '' Propriété : De maière géérale, ' Covetio :

4 Corrigé Das la partie dédctive, o procède à «élargissemet» de l ecadremet O pet tojors élargir ecadremet mais o e pet pas le rétrécir O a le droit d élargir ecadremet d sel côté comme c est le cas ici Das l hérédité, o tilise la relatio de récrrece qi déiit la site Soltio détaillée : Por, o déiit la phrase P() : Iitialisatio : Vériios qe P() est vraie par hypothèse (déiitio de la site) doc D où P() est vraie Cosidéros etier atrel tel qe la phrase P() soit vraie c est-à-dire Démotros q alors la phrase P( + ) est vraie c est-à-dire O a : Doc 6 Doc 6 car la octio racie carrée est strictemet croissate sr l itervalle [ ; +[ Par site, Doc P( + ) est vraie Coclsio : O a démotré qe P() est vraie et qe si P() est vraie por etier atrel, alors P( + ) est vraie Doc, d après le théorème de récrrece, la phrase P() est vraie por tot etier atrel Por, o déiit la phrase P() : Par site, Doc P( + ) est vraie Coclsio : O a démotré qe P() est vraie et qe si P() est vraie por etier atrel, alors P( + ) est vraie Doc, d après le théorème de récrrece, la phrase P() est vraie por tot etier atrel Por, o déiit la phrase P() : Iitialisatio : Vériios qe P() est vraie par hypothèse de déiitio de la site doc D où P() est vraie Cosidéros etier atrel tel qe la phrase P() soit vraie c est-à-dire Démotros q alors la phrase P( + ) est vraie c est-à-dire O a : car la octio «carré» est strictemet croissate sr l itervalle [ ; +[ Doc Par site, Doc P( + ) est vraie Coclsio : O a démotré qe P() est vraie et qe si P() est vraie por etier atrel, alors P( + ) est vraie Doc, d après le théorème de récrrece, la phrase P() est vraie por tot etier atrel Por aller pls loi : représetatio graphiqe des premiers termes de la site O a tracé la corbe C d éqatio y x et la droite d éqatio y = x O appliqe la méthode traditioelle (o a choisi e valer qelcoqe de sr l axe des abscisses Iitialisatio : Vériios qe P() est vraie par hypothèse (déiitio de la site) doc D où P() est vraie C Cosidéros etier atrel tel qe la phrase P() soit vraie c est-à-dire Démotros q alors la phrase P( + ) est vraie c est-à-dire O a : Doc car la octio racie carrée est strictemet croissate sr l itervalle [ ; +[ j O i

5 ( ) Démotros par récrrece qe por tot etier atrel, o a» Por, o déiit la phrase P() : «Iitialisatio : Vériios qe P() est vraie par hypothèse doc D où P() est vraie Cosidéros etier atrel tel qe la phrase P() soit vraie c est-à-dire Démotros q alors la phrase P( + ) est vraie c est-à-dire O a : doc Or par hypothèse de récrrece, D où Par site, Doc P( + ) est vraie Doc Coclsio : O a démotré qe P() est vraie et qe si P() est vraie por etier atrel, alors P( + ) est vraie Doc, d après le théorème de récrrece, la phrase P() est vraie por tot etier atrel Remarqe de méthode : Das la partie hérédité, o pet assi procéder par «ajots sccessis» (o «par habillages sccessis») 5 ( ) Démotros par récrrece qe por tot etier atrel, o a Por o déiit la phrase P() : Iitialisatio : Vériios qe P() est vraie par hypothèse doc D où P() est vraie Cosidéros etier atrel tel qe la phrase P() soit vraie c est-à-dire Démotros q alors la phrase P( + ) est vraie c est-à-dire (por écrire cela, o pet, si o vet poser ' ) O a : Or par hypothèse de récrrece, D où Par site, Doc P( + ) est vraie Coclsio : doc O a démotré qe P() est vraie et qe si P() est vraie por etier atrel, alors P( + ) est vraie Doc, d après le théorème de récrrece, la phrase P() est vraie por tot etier atrel 6 Por o déiit la phrase P() : Iitialisatio : Vériios qe P() est vraie par hypothèse doc D où P() est vraie Cosidéros etier atrel tel qe la phrase P() soit vraie c est-à-dire Démotros q alors la phrase P( + ) est vraie c est-à-dire O a : Or par hypothèse de récrrece, doc

6 Doc P est vraie Coclsio : O a démotré qe P() est vraie et qe si P() est vraie por etier atrel, alors P( + ) est vraie Doc, d après le théorème de récrrece, la phrase P() est vraie por tot etier atrel Bila des exercices et 5 Das ces dex exercices, os veos de voir qe le raisoemet par récrrece est moye pissat por démotrer e expressio de terme géérale de site i arithmétiqe, i géométriqe Por démotrer par récrrece les sommes des exercices 7 et 8, o ait comme si o e coaissait pas les ormles (à ac momet o tilise les ormles coes) O tilise jste P (et le symbole, mais ça c est ormal) Das les exercices 7 et 8, il s agit de démotrer par récrrece des ormles de sommes dot o doe e expressio simpliiée Il est bie évidet q il est beacop pls rapide de démotrer ces ormles grâce ax ormles d cors (ormles sommatoires de sommes de termes coséctis d e site arithmétiqe o d e site géométriqe) Néamois, ces dex exercices ot d atre bt qe de motrer commet o procède por des récrreces sr des sommes Das l exercice 9 os voyos tot l itérêt d raisoemet par récrrece pisqe la site est i arithmétiqe i géométriqe Doc la récrrece costite moye extrêmemet pissat de démotrer certaies ormles sommatoires Das les exercices 7 et 8, il s agit de qelqe chose q o coaît (de simple) Ça e sera pas tojors assi simple, et là, o porra tiliser (employer ) raisoemet par récrrece Les exercices 7, 8, 9 ot por bt de démotrer des ormles sommatoires par récrrece L itérêt de la démostratio par récrrece est de retrover des ormles sommatoires déjà coes mais assi d e décovrir d atres Cepedat, appliqer la ormle sommatoire sas passer par la récrrece pet-être pls rapide Utilisatio d logiciel de calcl ormel por simpliier des sommes Evidemmet, o e réservera le raisoemet par récrrece q à des sommes de termes coséctis de sites qi e sot i arithmétiqe, i géométriqes 7 O pet retrover le résltat directemet e tilisat la ormle doat la somme des termes coséctis d e site géométriqe Das cet exercice, o doit calcler S cotrairemet ax exercices précédets O retrove le même gere de démarche das les exercices sivats Soltio détaillée : Démotros par récrrece qe por tot etier atrel o a S Por o déiit la phrase P() : «S» Iitialisatio : Vériios qe P() est vraie S doc o pet écrire S D où P() est vraie Cosidéros etier atrel tel qe la phrase P() soit vraie c est-à-dire Démotros q alors la phrase P( + ) est vraie c est-à-dire soit S S p p O a : S p p p p S S

7 Or par hypothèse de récrrece a rag, S Doc S Par coséqet, soit S S Doc P( + ) est vraie O pet doc écrire avec l hypothèse de récrrece : S O a : S S (E eet, la somme des etiers de à + est égale à (la somme des etiers de à ) + ( + ) ; o a pas déii de site cotrairemet à l exercice précédet) S S Coclsio : O a démotré qe P() est vraie et qe si P() est vraie por etier atrel, alors P( + ) est vraie Doc, d après le théorème de récrrece, la phrase P() est vraie por tot etier atrel 8 Formle sommatoire doat la somme de tos les etiers de à O pet retrover le résltat directemet e tilisat la ormle doat la somme des termes d e site arithmétiqe Por l hérédité, il y a dex méthodes : o pet partir de S S Cette relatio tradit tot simplemet qe la somme de tos les etiers de à + est égale à la somme de tos les etiers de à pls + o pet assi commecer par S et ajoter + ax dex membres NB : Cotrairemet à l exercice précédet, o a pas déii de site Soltio détaillée : Démotros par récrrece qe por tot etier atrel o a S Por o déiit la phrase Iitialisatio : Vériios qe P() est vraie S doc D où P() est vraie P : «S» o pet écrire S Cosidéros etier atrel tel qe la phrase P() soit vraie c est-à-dire S Démotros q alors la phrase P( + ) est vraie c est-à-dire S Exemple : S S99 99 S S99 O pet doc écrire : S (o met a même déomiater) (o actorise) Doc P( + ) est vraie Coclsio : O a démotré qe P() est vraie et qe si P() est vraie por etier atrel, alors P( + ) est vraie Doc, d après le théorème de récrrece, la phrase P() est vraie por tot etier atrel Commetaire : O a établi par récrrece la ormle sommatoire sivate doat la somme des cbes des etiers de à : Cette ormle sommatoire povait être établie sas tiliser de récrrece e recoaissat la somme des termes coséctis d e site arithmétiqe U logiciel de calcl ormel permet de retrover cette ormle O pet oter q il existe égalemet e «preve sas paroles» de cette ormle avec des boles

8 Démotros q alors la phrase P( + ) est vraie c est-à-dire S S S O a : E eet, la somme des cbes des etiers de à + est égale à : (la somme des cbes des etiers de à ) + ( + ) O pet doc écrire : 9 Formle sommatoire doat la somme des cbes des etiers de à p S p p Das la partie «hérédité», o assiste a «miracle de la récrrece» p Remarqe : Il est coseillé d appredre par cœr le résltat : p O pet observer qe Soltio détaillée : p p p p p p Démotros par récrrece qe por tot etier atrel o a S Por o déiit la phrase Iitialisatio : Vériios qe P() est vraie S doc o pet écrire D où P() est vraie P : «S S» p Cosidéros etier atrel tel qe la phrase P() soit vraie c est-à-dire S S Doc P ( + ) est vraie Coclsio : Doc, d après le théorème de récrrece, la phrase P() est vraie por tot etier atrel Commetaire : O a établi par récrrece la ormle sommatoire sivate doat la somme des cbes des etiers de à : O observe qe por la somme des cbes o obtiet e expressio de degré e (la somme des cbes des etiers de à doe résltat de degré ) : si o développe l expressio d secod membre, o obtiet terme exposat qi sera le terme de pls hat degré Das l exercice précédet, o a établi la ormle sommatoire sivate : E comparat les dex ormles sommatoire sivates,

9 p p et p p p, o costate qe l o pet mettre e relatio la somme des etiers de à et la somme des cbes des etiers de à de la maière sivate : p p p p p p p c est-à-dire qe la somme des cbes des etiers atrels de à est égale a carré de la somme des etiers de à Ce résltat est pas «logiqe» (a ses où il e povait pas être dédit directemet) La dédctio est aite à partir des ormles sommatoires qi ot été établies Remarqes : La remarqe sr le degré de l expressio obtee est gééralisable : La somme des etiers atrels de à doe e expressio de degré La somme des carrés des etiers atrels de à doe e expressio de degré La somme des cbes des etiers atrels de à doe e expressio de degré La somme des pissaces des etiers atrels de à doe e expressio de degré 5 etc Il y a pas de ormle sommatoire doat la somme des carrés, des cbes des termes coséctis d e site qelcoqe Les ormles trovées sot propres ax sommes des premiers etiers et des cbes des premiers etiers atrels Démostratio de divisibilité par récrrece Démotros par récrrece qe, por tot etier atrel, est divisible par 9 Por, o déiit la phrase P : «est divisible par 9»» O pet assi écrire la phrase P sos la orme : «9 Iitialisatio : Vériios qe P() est vraie 9 doc est divisible par 9 O e dédit qe P() est vraie Cosidéros etier atrel tel qe la phrase P() soit vraie c est-à-dire est divisible par 9 Démotros q alors la phrase P( + ) est vraie c est-à-dire est divisible par 9 Pisqe P() est vraie, il existe etier atrel q tel qe 9q O a alors q 9 q Or q est etier atrel doc o e dédit qe est divisible par 9 et, par site, qe la phrase P( + ) est vraie Coclsio : O e dédit qe la phrase P() est vraie por tot etier atrel Il at être capable de reaire le raisoemet sas idicatio Exercice persoel : Démotrer par récrrece qe, por tot etier atrel, est divisible par 7 Das les exercices 7, 8, 9, o e pose pas orcémet S Les exercices pevet être rédigés de la maière sivate : p 7 Démotrer par récrrece qe por tot etier atrel o a p p 8 Démotrer par récrrece qe por tot etier atrel o a p p 9 Démotrer par récrrece qe por tot etier atrel o a p p p p Cette propriété est gééralisable O pet démotrer qe si a est etier atrel spérier o égal à, alors por tot etier atrel, a est divisible par a Atre méthode : q * O part de la ormle sommatoire q q por q et q O obtiet l égalité : q q q q E mltipliat les dex membres par *, o obtiet l égalité : q q q q E remplaçat q par das l égalité précédete (c est-à-dire e aisat q = ), o obtiet : soit Or 9 est etier atrel

10 Doc o e dédit qe est divisible par 9 * O pet préseter la démarche avec e lèche : ) Utiliser Soltio détaillée : ( ) q q q q q q q q d après le tablea de variatios ( ) x 5 Variatio de x 5 Variatio de ) Démotros par récrrece qe, por tot etier atrel, o a 5 Por, o déiit la phrase P : «5» Iitialisatio : Vériios qe P() est vraie d après la déiitio de la site O a doc 5 O e dédit qe P() est vraie Cosidéros etier atrel tel qe la phrase P() soit vraie c est-à-dire 5 Démotros q alors la phrase P( + ) est vraie c est-à-dire 5 Pisqe P est vraie, o a : 5 Or d après le tablea de variatio, est croissate (et même strictemet croissate) sr l itervalle I (qi est déii par I = [ ; 5]), doc 5 soit Par coséqet, 5 Coclsio : O e dédit qe la phrase P() est vraie por tot etier atrel O pet doc dire qe la site ( ) est borée etre et 5 ) Démotros par récrrece qe, por tot etier atrel, o a Por, o déiit la phrase P' : Iitialisatio : Vériios qe P' est vraie d après la déiitio de la site O a doc O e dédit qe P' est vraie Cosidéros etier atrel tel qe la phrase P ' () soit vraie c est-à-dire Démotros q alors la phrase P ' ( + ) est vraie c est-à-dire Pisqe P ' () est vraie, o a : Or est croissate sr l itervalle [ ; 5] et d après la qestio ) les ombres et appartieet à l itervalle [ ; 5] doc soit Doc la phrase P '( + ) est vraie Coclsio : La phrase P' est vraie por tot etier atrel O pet doc dire qe la site ( ) est croissate à partir de l idice Commetaires : Ce type de raisoemet sera employé assez réqemmet das des cas où la octio sera déiie de maière explicite Das la qestio ), o a établi qe la site est borée par et 5 Das la qestio ), o a établi qe la site est croissate à partir de l idice

11 Utiliser ' Les poits A et A sot aligés aisi qe les poits A et A Cela e vet pas dire qe les poits A, A et A sot aligés Soltio détaillée : Démotros par récrrece qe, por tot etier atrel, la octio dérivée -ième de a por expressio x x e Por, o déiit la phrase Iitialisatio : P : «x x e» A A Vériios qe P() est vraie x x e x x x ; or e e doc O e dédit qe P() est vraie x e x Cosidéros etier atrel tel qe la phrase P() soit vraie P est vraie Démotros q alors la phrase Pisqe P() est vraie, x x e x E dérivat, o obtiet l égalité ' x e D où x e x et doc P( + ) est vraie Coclsio : O e dédit qe la phrase P() est vraie por tot etier atrel O pet airmer avec certitde qe les propositios () et () sot vraies E revache, o e pet rie dire por les propositios (), () et (5) Por la propositio (), il s agit d théorème de récrrece E particlier, por la propositio (5) : «P est vraie por tot etier atrel» car o e sait pas si la phrase P () est vraie : o e coaît pas la valer de vérité de P () doc o e pet rie dire Cet exercice repose sr e imprécisio de l éocé : Les poits pevet être disticts o coods Rappel : des poits coods sot «orcémet» aligés Das la partie hérédité, dire qe «et sot coodes car elles ot les poits A, A,, A e comm» est ax E eet, les poits A, A,, A pevet tos être coods aqel cas o e pet absolmet pas e dédire qe les droites et sot coodes A 5 Même astce de départ q à l exercice Soltio détaillée : Démotros par récrrece qe, por tot etier atrel, la octio dérivée -ième de a por expressio x! x Por, o déiit la phrase P() : «Iitialisatio : Vériios qe P() est vraie x x ; or! x x x O e dédit qe P() est vraie x doc x!» x! x Cosidéros etier atrel tel qe la phrase P() soit vraie c est-à-dire Démotros q alors la phrase P( + ) est vraie c est-à-dire Pisqe P() est vraie, O pet assi écrire x E dérivat, o obtiet l égalité! x! x x ai de aciliter la dérivatio x ' x! x x! x! x O otera qe! est e costate mltiplicative qi e déped pas de x

12 Il reste doc «itact» lors de la dérivatio p O otera égalemet qe l o a tilisé la ormle de dérivatio sivate : ' p p x x O pet assi écrire : x! x p!! 6 Démotros par récrrece qe, por tot etier atrel, o a : p p p!!» Por, o déiit la phrase P() : «p p p p D où x! et doc P( + ) est vraie x Coclsio : La phrase P() est vraie por tot etier atrel c est-à-dire qe por tot etier atrel, la octio dérivée -ième de a por expressio x! x p p Remarqe : il vadrait miex écrire p p! Cela permet de redre la somme pls lisible avec des parethèses ator de p p! Applicatio (sr exemple) : O appliqe la ormle por calcler 7 x Iitialisatio : Vériios qe P() est vraie 7 x Remarqe : 7 7! x x Il est possible de retrover la ormle géérale doée das l éocé et qe os avos démotrée par récrrece e eectat le calcl «à la mai» des premières dérivées de Aisi : ' x x '' x x x 6 x x x 6 5 x x x D où l idée de la ormle x! x p O a : p p!!= p Or! p Doc o pet écrire p p!! D où P() est vraie p p!! Cosidéros etier atrel tel qe la phrase P() soit vraie c est-à-dire p p Démotros q alors la phrase P( + ) est vraie c est-à-dire p p p p!!! O a : p p p p p p p p p!! p p p!!! (o tilise l hypothèse de récrrece) p!!!!! (o actorise par ( + )! les dex premiers termes de la somme)

13 Doc P( + ) est vraie Coclsio : Doc, d après le théorème de récrrece, la phrase P() est vraie por tot etier atrel c est-à-dire qe por p tot etier atrel, o a : p p!! p O a démotré e ormle sommatoire = = = = Or par hypothèse de récrrece, > doc > et de maière évidete > 7 Démotros par récrrece qe, por tot etier atrel, o a : > Por o déiit la phrase P() : Iitialisatio : Vériios qe P() est vraie = par hypothèse de déiitio de la site doc > D où P() est vraie Cosidéros etier atrel tel qe la phrase P() soit vraie c est-à-dire > Démotros q alors la phrase P( + ) est vraie c est-à-dire > O a : Méthode : Por comparer et, o va tiliser la méthode par diérece c est-à-dire qe l o va démotrer qe E eet, il y a pas de règle cocerat le qotiet por les iégalités Il y a ici pas d atre méthode O e dédit qe (d après la règle des siges : le qotiet de dex ombres strictemet positis est strictemet positis) Par coséqet, et par site P( + ) est vraie Coclsio : O a démotré qe P() est vraie et qe si P() est vraie por etier atrel, alors P( + ) est vraie Doc, d après le théorème de récrrece, la phrase P() est vraie por tot etier atrel Atre méthode por la partie hérédité : 6 = 6 = Or par hypothèse de récrrece, doc Par site, D où 6 / Doc 6 soit Doc P( + ) est vraie

14 Remarqe : 5 6 Le calcl des premiers termes doe :, 7 Atre méthode : assez eicace O étdie la octio : x x x O démotre qe est strictemet croissate sr l itervalle [ ; + [ Doc si x >, alors x Atre aço : Doc D où Commetaires L iitialisatio de certaies récrreces écessite calcl ; d atres, o Das les exercices,,, l iitialisatio e écessite pas de calcl Das les exercices et 5, l iitialisatio écessite calcl Das la partie sr l hérédité, «O travaille avec +» À l itérier de la récrrece por les sommes, o tilise les techiqes algébriqes selles : techiqe de actorisatios, développemets, mises a même déomiater Démostratio d e iégalité Classiicatio des exercices Remarqe : Por tot etier, doc, Doc o pet écrire : Doc ( ) existe Raisoemet ax : Démostratio d e égalité Démostratio d e ormle sommatoire Démostratio de divisibilité O miore le mérater et le déomiater : et Doc e divisat membre à membre les dex iégalités o obtiet : Critiqe de ce raisoemet : o a pas le droite de diviser membre à membre des iégalités de même ses Si a > b et c > d, o e pet écrire a b c d Je précoise de lire : - la iche sr les iégalités (propriétés sr l ordre) ; - le cors sr la logiqe (otammet sr l implicatio P Q)