PROGRAMME TRAITÉ EN COURS DE MESURE ET INTÉGRATION

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1 PROGRAMME TRAITÉ EN COURS DE MESURE ET INTÉGRATION THIERRY FACK Notes de cours Les otes de cours de l a derier serot suivies à partir du troisième cours. Elles sot dispoibles sur le wiki site de la licece de mathématiques : Toutes les iformatios sur le cours de Mesure et Itégratio du semestre d autome 011 serot déposées sur le site : Programme traité lors du cours du 1 septembre 1. Primitives et itégrales Notio de primitive d ue foctio défiie sur u itervalle fermé boré. Itégrale simple. Exemples. Extesio de la otio de primitive. Primitive des foctios e escalier et des foctios réglées.. Itégrale des foctios cotiues Primitive et aire du sous-graphe. L itégrale simple d ue foctio cotiue est limite des sommes de Cauchy. 3. Itégrale de Riema Défiitio. Propriétés élémetaires de l itégrale de Riema (relatio de Chasles, liéarité, positivité de l itégrale). Ue foctio Riema itégrable est borée. Majoratio de l itégrale de Riema au moye de la orme uiforme de la foctio. Programme traité lors du cours du 19 septembre Fi de l itégrale de Riema Limites uiformes de foctios Riema itégrables. Exemples de foctios Riema itégrables : foctios cotiues, cotiues par morceaux, foctios réglées). Sommes de Darboux, théorème de Darboux, critère d itégrabilité de Riema. Exemples d applicatio : les foctios mootoes sur u itervalle compact sot Riema itégrables, le produit de deux foctios Riema itégrables est Riema itégrable.

2 Esemble de mesure ulle. Critère de Lebesgue pour l itégrabilité au ses de Riema. Exemple de foctio o Riema itégrable, mais dot l itégrale peut quad même être défiie. Programme traité lors du cours du 6 septembre Espaces mesurables La méthode d itégratio de Lebesgue. Itégratio de la foctio de Dirichlet. Tribu sur u esemble, espace mesurable, exemples. Tribu egedrée par ue partie. Tribu egedrée par les poits d u esemble. Tribu Boréliee. L image réciproque d u Borélie par ue applicatio cotiue est u Borélie. Programme traité lors du cours du 3 octobre 1. Fi des espaces mesurables Notio de cla (ou algèbre). Classes mootoes. Si u cla est coteu das ue classe mootoe, alors la tribu egedrée par ce cla est coteue das cette classe mootoe.. Espaces mesurés Mesure positive. Espaces mesurés, espaces σ-fiis. Exemples de mesures positives. Propriétés géérales des mesures positives. Programme traité lors du cours du 10 octobre 1. Suite des espaces mesurés Sous-additivité déombrable d ue mesure. Évéemets idépedats. Théorème de Borel-Catelli sur la loi du zéro-u. Iterprétatio probabiliste.. Costructio du prologemet de Lebesgue d ue mesure Demi-aeau. Mesure positive σ-fiie sur u demi-aeau. Exemples de demi-aeaux avec mesure positive σ-fiie : l aeau des itervalles semi-ouverts sur la droite umérique, avec la mesure de Lebesgue. Aeau des pavés semi-ouverts et mesure de Lebesgue -dimesioelle. Aeau des cylidres sur C( a,b, R ) et mesure de Wieer sur les trajectoires du mouvemet Browie. Éocé du théorème de prologemet de Lebesgue pour ue mesure positive σ-fiie sur u demi-aeau. Schéma de la démostratio (icluat la défiitio de la mesure extérieure et la otio de partie mesurable au ses de Lebesgue).

3 Programme traité lors du cours du 17 octobre Prologemet de Lebesgue Démostratio de l existece du prologemet de Lebesgue d ue mesure positive sur u demi-aeau σ-fii : mesure extérieure, esembles égligeables, esembles mesurables au ses de Lebesgue, la mesure extérieure est ue mesure positive sur la tribu des esembles mesurables au ses de Lebesgue. Uicité du prologemet de la mesure à la tribu egedrée par le demi-aeau. Programme traité lors du cours du 4 octobre Foctios mesurables Défiitio. Foctios µ-mesurables. Foctios Boréliees. Caractérisatio de Lebesgue. Exemples de foctios mesurables. Les foctios cotiues sot Boréliees. Caractérisatio des foctios mesurables à valeurs das u produit. Théorèmes de stabilité sur les foctios mesurables : stabilité par compositio, pour la somme, le produit, le module, les bores supérieure et iférieure d ue suite de foctios réelles mesurables, la limite simple, la somme ifiie. Décompositio des foctios réelles mesurables e différece de deux foctios mesurables positives. Programme traité lors du cours du 7 ovembre Foctios mesurables Toute foctio mesurable f est limite simple d ue suite (e ) de foctios simples. E outre, si fest positive, les e peuvet être choisies de maière à vérifier 0 e f et à former ue suite croissate. Foctios itégrables Itégrale des foctios simples positives. Itégrale d ue foctio µ-mesurable positive. Croissace et additivité de cette itégrale. Théorème de covergece mootoe. Additivité déombrable de l itégrale des foctios µ-mesurables positives. Défiitio des foctios réelles µ-itégrables. Itégrale d ue telle foctio. Exemple : toute foctio boréliee borée ulle e dehors d u sous-esemble boré de R est itégrable pour la mesure de Lebesgue. 3

4 Programme traité lors du cours du 14 ovembre Foctios itégrables (suite) Espace des foctios itégrables. Liéarité et positivité de l itégrale. Majoratio fodametale fdµ f dµ. Itégratio des foctios à valeurs complexes. Norme e moyee d ordre 1. Si l itégrale d ue foctio positive est ulle, la foctio est ulle 1 presque partout. L espace L(X,µ) des classes de foctios µ itégrables (modulo égalité presque partout) est u espace ormé. Si f f 0 quad +, alors 1 fdµ = lim fdµ +. Théorème de covergece domiée de Lebesgue Lemme de Fatou. Théorème de covergece domiée de Lebesgue. Discussio, sur des exemples, de la coditio de domiatio. Théorème de covergece domiée pour les séries. Applicatio à l étude de la somme de séries trigoométriques. Programme traité lors du cours du 1 ovembre Théorèmes de covergece (suite) Itégrabilité de la limite p.p. d ue suite de foctios itégrables borée pour la orme L 1. Ue foctio défiie sur u itervalle ouvert o boré, dot la restrictio à chaque segmet compact est Riema itégrable et dot l itégrale est absolumet covergete, est Lebesgue itégrable et so itégrale coïcide avec l itégrale gééralisée. Itégrales dépedat d u paramètre Coditio de cotiuité. Coditio de différetiabilité lorsque le paramètre varie das u ouvert de R. Exemples d applicatio (calcul de + tx e 1+ x o I(t) = dx par résolutio d ue équatio différetielle simple). + x e dx à partir de la détermiatio de o Covergece e moyee d ordre 1 et covergece presque partout Exemple de suite de foctios itégrables qui coverge e moyee d ordre 1 mais pas simplemet presque partout. Programme traité lors du cours du 5 décembre 4

5 Foctios itégrables (fi) L espace des classes de foctios itégrables est complet pour la orme L 1. Lie etre covergece simple presque partout et covergece e moyee d ordre 1. Théorème de covergece pour la orme L 1 de suites mootoes de foctios itégrables à valeurs réelles dot les itégrales sot uiformémet majorées. Comparaiso des itégrales de Riema et de Lebesgue. Itégrales semi covergetes et absolumet covergetes. Lie etre itégrabilité au ses de Lebesgue et absolue covergece de l itégrale pour les foctios réelles sur u itervalle Ide R et qui sot localemet Riema itégrables sur I. Exemples et cotre exemples. Programme traité lors du cours du 1 décembre Itégratio sur les espaces produits Costructio de la mesure produit : existece et uicité. Itégratio par traches des esembles mesurables. Esembles égligeables pour la mesure produit. Itégratio par traches des esembles mesurables par rapport à la mesure produit. Théorème de Fubii- Toelli pour les foctios mesurables positives. Programme traité lors du cours du 19 décembre Itégratio sur les espaces produits (fi) Théorème de Fubii-Toelli pour les foctios itégrables. Exemple d applicatio. Cas des foctios mesurables o positives. Formule du chagemet de variable Eocé de la formule. Applicatio à l itégratio e coordoées polaires. Calcul de l itégrale de Gauss. Applicatio à l itégrabilité de foctios de deux variables par passage e coordoées polaires. Démostratio de la formule de chagemet de variable : (i) Réductio à la formule doat la mesure de l image d u Borélie par itégratio du module du Jacobie, (ii) Cas des chagemets de variable liéaires ; (iii) Cas de la dimesio 1, (iv) Démostratio de la formule géérale par récurrece sur la dimesio, e décomposat localemet u difféomorphisme e composé de difféomorphismes fixat ue variable et d u difféomorphisme liéaire. Fi du cours 5